PRÁCTICO 7
Prof. Mario Sierra
1) Consideremos el espacio muestral Ω = {a, b, c, d}. Sea X : Ω → R, tal que X(a) = X(b) = 0,
X(c) = X(d) = 1
a) Considerando el álgebra generada por los subconjuntos {a}, {c, d}. Probar que X es una
variable aleatoria para esa álgebra.
b) Si se considera ahora el álgebra generada por {a}, {c}, ¿es X una variable aleatoria? En
caso negativo, definir una que sı́ lo sea.
2) Un dado es lanzado dos veces. Indica el espacio muestral del experimento y luego la función de
cuantı́a de las variables aleatorias:
a) X1 : Suma de números obtenidos.
b) X2 : Diferencia de números obtenidos.
c) X3 : Valor absoluto de la diferencia de números obtenidos
d) X4 : Máximo entre números obtenidos
3) Una caja contiene 4 bolas rojas y 2 negras. Se extraen simultáneamente dos bolas. Sea X el
número de bolas rojas obtenidas. Hallar la función de cuantı́a y la de distribución de X.
4) Se lanza un dado una vez, si sale 5 o 6 representamos X por el número aparecido. Si sale 1,2,3
o 4 volvemos a lanzar el dado y representamos X a la suma de los puntos obtenidos en los dos
lanzamientos. Hallar la función de cuantı́a y de distribución de X.
5) Un hombre tiene n llaves en su llavero y quiere abrir la puerta de su casa. Solo una llave del
llavero es la correcta. Sea X la cantidad de intentos necesarios hasta que abre la puerta. Encontrar
la función de cuantı́a en los siguientes casos:
a) No se eliminan las llaves que no abren.
b) Se eliminan las llaves que abren.
6) Sea X una variable aleatoria con función de distribución:
F : R → [0, 1]; F (x) =
1[−3,1) (x)
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Calcular:
a) P (−3 ≤ X ≤ 1)
b) P (−3 < X ≤ 1)
c) P (−3 ≤ X < 1)
1
+
3.1[1,2) (x)
+ 1[2,+∞) (x)
4
d) P (−3 < X < 1)
e) P (−2 < X < 1)
f) P (−1 < X < 0)
7) Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0,51 de ser varón, calcular la probabilidad
de que una familia con tres hijos tenga:
a) Por lo menos un niño.
b) Por lo menos una niña.
8) Dos personas juegan a cara o cruz, han acordado continuar la partida hasta que tanto la cara
como la cruz se hayan presentado por lo menos tres veces. Hallar la probabilidad de que el juego
no haya acabado cuando han hecho diez tiradas.
9) Una máquina normalmente produce un 5 % de piezas defectuosas. La producción de un dı́a entero
se inspeccionará por completo si al inspeccionar 12 piezas al azar se encuentran 3 o más piezas
defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que se inspeccione por completo?
10) Un aparato eléctrico consta de 5 piezas diferentes conectadas de tal forma que el aparato funciona,
si las 5 piezas funcionan con éxito. La probabilidad de que cada una funcione con éxito es 0,9.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione si ahora deben funcionar con éxito
cuatro de los cinco componentes?
11) La experiencia demuestra que el 10 % de las personas que reservan una mesa en un restaurante
no concurren. Si un restaurante tiene 40 mesas y admite reserva para 43, ¿cuál es la probabilidad
de que pueda acomodar a todas las personas que concurren?
12) Un vendedor de seguros sabe que la probabilidad de vender una póliza es mayor mientras más
contactos realice con los vendedores potenciales. La probabilidad de que una persona luego de ser
visitada compre una póliza es 0,25 constante, además cada visita es independiente de la anterior.
¿Cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender
por lo menos una póliza sea de 0,80?
13) En una fábrica el número de accidentes sigue un proceso de Poisson a razón media de 2 accidentes
por semana. Se pide:
a) Probabilidad de que en una semana ocurra algún accidente.
b) Probabilidad de que ocurran 4 accidentes en el transcurso de dos semanas.
c) Probabilidad de que ocurran dos accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente.
14) La probabilidad de que un niño sea varón es de 0,51. Calcular:
a) La probabilidad de que un matrimonio tenga tres hijas antes del primer varón.
2
b) La probabilidad de que un matrimonio tenga tres hijas antes de tener 2 varones.
15) Los números 1, 2, · · · , 10 se escriben en 10 tarjetas y se colocan en una urna. Las tarjetas se
extraen de una a una sin devolución. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Hay exactamente tres números pares en las primeras cinco extracciones.
b) Se necesitan 5 extracciones para obtener 3 números pares.
c) Obtener el 7 en la cuarta extracción.
d) El mayor número obtenido en las primeras tres extracciones es 5.
16) Un matemático lleva consigo dos cajas de fósforos. Al principio en cada caja hay n fósforos. Cada
vez que el matemático precisa un fósforo elige al azar una de las cajas. Calcular la probabilidad
de que cuando el matemático encuentre una caja vacı́a, en la otra hallan exactamente r fósforos.
17) Un proveedor mayorista de ciertos equipos posee 20 equipos de los cuales 4 son defectuosos.
Una empresa desea comprar los 20 equipos. Para aceptar cualquier compra la empresa realiza
un control de calidad sobre una muestra tomada sin reposición que contiene el 20 por ciento del
tamaño total de la compra y sólo acepta si ningún equipo de la muestra es defectuoso.
a) Suponga que el proveedor entrega los 20 equipos en un sólo lote. ¿Cuál es la probabilidad
de que la empresa acepte el lote?
b) Suponga ahora que el proveedor entrega dos lotes de 10 piezas cada uno, en cuyo caso puede
elegir cuántos de los cuatro equipos defectuosos pone en cada lote. Calcular la probabilidad
de que la empresa acepte ambos lotes en los siguientes casos:
i)
ii)
iii)
iv)
Los cuatro equipos defectuosos están en el primer lote.
Hay exactamente tres equipos defectuosos en el primer lote.
Hay dos equipos defectuosos en cada lote.
Si el proveedor puede elegir entre mandar los 20 equipos en un solo lote, o mandar dos
lotes de 10 equipos (con los cuatro equipos defectuosos acomodados por él)
¿Cuál es la estrategia que le conviene elegir?
18) Se tiene una moneda cargada que satisface P (cara) = p y P (número) = 1 − p, donde 0 < p < 1.
Se tira la moneda sucesivamente y de manera independiente. Considere la siguiente variable
aleatoria X = número de tiradas hasta obtener cara por primera vez.
a)
i) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tiradas hasta obtener cara por primera
vez sea un número impar.
ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tiradas hasta obtener número por primera
vez sea un número impar.
b) Considere un número natural k fijo.
i) Calcule P (X > k)
ii) Suponga ahora que se tienen 5 monedas idénticas a la moneda cargada y que se tiran
sucesivas veces cada una de esas monedas de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que en al menos una de esas monedas se obtenga cara por primera vez
después de la k-ésima tirada.
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19) El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de
ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una lı́nea desocupada
para sus llamadas. Puede ser de interés saber el número de intentos necesarios que se
requieren para tener una lı́nea disponible. Suponga que p = 0, 05 es la probabilidad de
tener lı́nea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber
la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación .
20) Sea X ∼ U nif {x1 , x2 , x3 , · · · , xn }. Escribir una expresión para su función de distribución
usando una sola vez el sı́mbolo de indicatriz y una sola vez el sı́mbolo de sumatoria.
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