Unidad 15. Óptica Geométrica

ÓPTICA
GEOMÉTRICA
MATERIAL de APOYO
Ing. Víctor Masnú
Prof.Esp. Patricia Garrido
Año 2017
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TEMA 15: ÓPTICA GEOMÉTRICA
Principio de Fermat. Alcances de la Óptica Geométrica. Leyes de Snell para la
reflexión y la refracción. Reflexión total interna. Reflexión en superficies planas
y esféricas. Métodos gráficos para espejos. Refracción en superficies planas y
esféricas. Lentes delgadas.
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LUZ Y ÓPTICA GEOMÉTRICA
1. Introducción
La luz es una onda electromagnética descrita por los mismos principios teóricos
que gobiernan todas las formas de radiación electromagnética. Esta radiación
se propaga en forma de dos ondas vectoriales mutuamente acopladas, una
onda para el campo eléctrico E y otra onda para el campo magnético B, y esta
propagación de las ondas de luz viene descripta por las ecuaciones de Maxwell
para el campo electromagnético. Sin embargo, cuando las dimensiones del
sistema físico a través del cual se propaga la luz son mucho mayores que la
longitud de onda, la naturaleza ondulatoria de la luz no juega ningún papel y el
proceso puede describirse simplemente mediante rayos que obedecen un
conjunto de reglas geométricas. Este modelo de la luz se denomina óptica de
rayos u óptica geométrica. La experiencia cotidiana puede, en gran medida,
describirse por la óptica geométrica: cuando se interpone un obstáculo opaco
entre una fuente de luz puntual y un pantalla se obtiene una sombra que
corresponde a la proyección geométrica del contorno del objeto desde la fuente
puntual de luz hasta la pantalla, lo que viene a probar la propagación rectilínea
de la luz en medios homogéneos. Las leyes de la reflexión y refracción de la luz
son fácilmente accesibles a partir de la observación directa en un espejo plano
(reflexión) o de la visión de objetos en el fondo de una piscina (refracción).
2. Postulados de la Óptica Geométrica
La óptica geométrica se ocupa sólo de cuestiones relacionadas con la
propagación de la luz, siendo su objetivo determinar las trayectorias de la
energía radiante a través de distintos medios o disponer éstos de modo que la
propagación se ajuste a determinadas trayectorias preestablecidas. La óptica
geométrica se basa en los conceptos de rayo luminoso, utilizado para
caracterizar la luz, y de índice de refracción que caracteriza los medios
materiales por los que la luz se propaga, desarrollándose como una geometría
sobre un único postulado físico: el Principio de Fermat.
1.-La luz se propaga en forma de rayos. Los rayos son emitidos por fuentes
luminosas y pueden ser observados cuando alcanzan un detector óptico.
2.- Un medio óptico se caracteriza por una cantidad n  1, denominada índice
de refracción, que es el cociente de la velocidad de la luz en el vacío, c, entre la
velocidad de la luz en el medio considerado:
n = c/v
(1)
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La definición del índice de refracción indica que, salvo para el vacío, el índice
de refracción es siempre mayor que la unidad, al cumplirse que c  v
Para el vacío c es:
.
La Tabla 1 recoge los
índices de algunos compuestos a temperatura ambiente y presión atmosférica
para la luz de longitud de onda de 589 nm. Teniendo en cuenta la ecuación (1)
es posible obtener el tiempo t que tarda la luz en recorrer una distancia s y que
es:
t = s / v = n*s / c
(2)
es decir, proporcional al producto n*s. La cantidad L = n*s se conoce como
camino óptico.
Tabla 1
Principio de Fermat:
“el camino entre dos puntos dados que recorre un rayo de luz es tal que
para ese camino el tiempo que tarda la luz en recorrerlo es mínimo".
2.1 Propagación de la luz en un medio homogéneo
En un medio homogéneo el índice de refracción es el mismo en todas partes y,
por tanto, también es constante la velocidad de la luz. El camino de tiempo
mínimo que exige el Principio de Fermat es también el camino de mínima
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distancia pues ahora L = n* s. Esto implica que las trayectorias de la luz en los
medios homogéneos son rectilíneas (Figura 0). Asimismo es importante señalar
que las trayectorias de los rayos de luz son reversibles.
Fig. 0
LEYES DE REFRACCIÓN Y REFLEXIÓN (LEY DE SNELL)
Dos de los aspectos más importantes de la propagación son la reflexión
y la refracción. En general, cuando una onda luminosa incide en una interfaz
lisa separada por materiales transparentes (como aire y vidrio o agua y vidrio)
parte de la onda se refleja y parte se refracta (transmite) en el segundo
material, como se muestra en la figura 1.
Los segmentos de onda planas que muestran en la figura 1, se pueden
representar mediante paquetes de rayos que forman haces de luz (figura 2).
El índice de refracción de un material óptico (también conocido como
índice de refractancia) que se denota con η, desempeña un papel importante y
central en la óptica geométrica.
Es la razón de la rapidez de la luz
en el vacío respecto a su rapidez υ
derivada del material (n=c/v)
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La luz siempre se propaga más lentamente en un material que en el
vacío, por lo que el valor de η en cualquier medio que no sea el vacío siempre
es mayor que la unidad. En el vacío η=1 (y en otro medio n>1)
Leyes: Los estudios experimentales de los rayos incidentes, reflejados y
refractados, en una interfaz lisa entre 2 materiales ópticos desembocan
en:
1- “Los rayos incidente, reflejado y refractado, así como la
normal o la superficie, yacen todos en el mismo plano” El
plano de las 3 rayos es perpendicular al plano de la superficie
limítrofe entre 2 materiales.
Siempre dibujamos los diagramas de rayos de modo que los rayos que
inciden, reflejan y refractan estén en el plano del diagrama.
2- “El ángulo de reflexión
es igual al ángulo de incidencia
, para todas las longitudes de onda y para cualquier par de
materiales” Es decir, en la figura 3.
ᶱr = ᶱa (ley de reflexión)
Esta relación, junto con la observación de que los rayos incidente,
reflejado y la normal, yacen todos en el mismo plano, se conoce como “LEY DE
REFLEXIÓN”
Para la luz monocromática, y dado un par de materiales, a y b, en lados
opuestos de la interfaz, “La razón de las senos de los ángulos
y
, donde
ambos ángulos se han medido desde la normal a la superficie, es igual a la
razón inversa de los índices de refracción”
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Ecuación (A)
(Ley de refracción)
Ecuación (B)
Este resultado experimental, junto con la observación que los rayos
incidentes y refractados, así como la normal, yacen todos en el mismo plano,
se llama “LEY DE REFRACCIÓN O LEY DE SNELL”
Las ecuaciones A y B muestran que cuando un rayo pasa de un material
a hacia otro b con un índice de refracción más grande (ᶯ
b>
ᶯ a) y, por lo tanto,
con una rapidez de onda menor, el ángulo θb respecto a la normal es más
pequeño en el segundo material, que el ángulo θa en el primero; en
consecuencia el rayo se desvía hacia la normal (figura 3). Cuando el segundo
material tiene índice de refracción más pequeño que el primer material
(
), y por lo tanto una rapidez de onda mayor, el rayo se desvía
alejándose de la normal figura 4. Esto explica por qué una regla o un palote
sumergidos en el agua parecen doblarse, los rayos luminosos provenientes de
abajo de la superficie cambian de dirección en la interfaz del aire y del agua, de
modo que los rayos parecieran provenir de una posición situada arriba de su
punto de origen final. Figura 5.
No importa cuáles sean los materiales a ambos lados de la interfaz, el
rayo transmitido no se desvía en el caso especial de la incidencia normal, donde el rayo incidente es perpendicular a la interfaz-, de modo que:
=0 y
=0 (*). Por lo que el rayo reflejado viaja de regreso a lo largo de la
misma trayectoria que el rayo incidente. Y volviendo con (*) a la ecuación B
esto significa que
también es cero, por lo que el rayo transmitido es así
mismo perpendicular a la interfaz.
Podemos decir que la trayectoria de un rayo refractado o reversible, al
igual que la trayectoria de un rayo reflejado. Es por esto que, cuando vemos los
ojos de otras personas en un espejo, ellos también nos ven.
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figura 1
figura 2
figura 3
figura 4
figura 5
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REFLEXIÓN INTERNA TOTAL
En ciertas circunstancias, se puede reflejar toda la luz en la interfaz, sin que
nada de ellas se transmita, aunque el segundo material sea transparente. La
figura 1 nos muestra como ocurre esto. Se muestran varios rayos que irradian
desde un fuente puntual P el material a con índice de refracción
. Los rayos
inciden en la superficie de un segundo material b, con índice de refracción
donde
ᶯ a > ᶯ b,
,
los materiales pueden ser agua y aire. De acuerdo con la ley
de Snell:
Puesto que
, es mayor que la unidad,
es más grande que
. El rayo se desvía apartándose de la normal. Por consiguiente, debe
haber cierto valor de
menor que 90° con el que la ley de Snell da
=1,
=90º. Esta corresponde al rayo 3 del diagrama, que emite apenas rozadas
superficies a un ángulo de refracción de 90°. Comparar el diagrama de la figura
1 y figura 2 (rayos de luz).
El ángulo de incidencia para que el rayo refractado emerja tangente a la
superficie se llama ángulo crítico, y se denota como “
”. Si el ángulo de
incidencia es mayor que el ángulo crítico, el seno del ángulo de refracción,
calculando con base en la ley de Snell, tendrá que ser mayor que la unidad, lo
cual es imposible. El rayo no puede pasar el material superior, queda atrapado
en el material inferior y se refleja totalmente en la superficie limítrofe. Esto es
conocido como reflexión total interna y se representa solo cuando un rayo
incide en la superficie de un segundo material cuyo índice de refracción es más
pequeño que el del material por el que se propaga, o viaja, el rayo.
Podemos hallar el ángulo crítico de 2 materiales determinados si se
iguala
, (sen
) en la ley de Snell. Tenemos:
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(ángulo crítico para la reflexión interna total) (fórmula A)
Habrá reflexión total interna si el ángulo de incidencia
es mayor o igual a
,
A manera de ejemplo explicativo, en el caso de una superficie de vidrioaire,
=1,52 en el vidrio.
La luz se propaga adentro de este vidrio se refleja totalmente su índice
en la superficie vidrio-aire, con un ángulo de 41, 1° o más. Debido a que el
ángulo crítico es un poco menor que 45°, es posible utilizar un prisma con
ángulo de 45°-45°-90° como superficie totalmente reflejante. En tanto que
ninguna superficie metálica refleja el 100% de la luz que incide en ella, un
prisma puede reflejar totalmente la luz.
Un prisma de 45°-45°-90° utilizado como en la figura 3, se llama prisma
Porro. La luz entra y sale en ángulo recto con respecto al la hipotenusa, y se
refleja totalmente en cada una de las caras mas cortas. El cambio total de
dirección de los rayos es de 180°. En la figura 4, se ve el prisma de porra de los
binoculares.
El brillo del diamante se debe en gran medida a su alto índice de
refracción (
=2,417) y a su correspondiente ángulo crítico. La luz que entra en
un diamante tallado se refleja internamente en su totalidad en las caras de la
superficie trasera, y después emerge de la superficie frontal. Los “diamantes de
imitación”, como el circón cúbico, se fabrican a partir de materiales cristalinos
menos costosos, con índices de refracción comparados al del diamante.
Cuando un haz de luz entra por un extremo de una barra transparente
(figura 5), la luz se refleja internamente en su totalidad si el índice de refracción
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de la barra es mayor que el de los materiales circundantes. La luz queda
“atrapada” dentro de la barra, incluso cuando esta es curva, siempre y cuando
la curvatura no sea muy grande. A eso se lo llama en ocasiones tubo de luz.
Los dispositivos de fibras ópticas han encontrado una extensa variedad
de aplicaciones médicas, en los instrumentos llamados endoscopios, que
pueden ser insertados directamente en los tubos bronquiales, vejiga, colon,
etc., para llevar a cabo examen visuales directos. También se utilizan en los
sistemas de comunicación que se utiliza para transmitir un rayo láser
modulado.
Otra ventaja es que se pueden hacen muy delgadas, permitidos empaquetar
mas fibras en un cable de diámetro determinado, y se puede enviar señales
más nítidas por un mismo cable, como en las líneas telefónicas diferentes.
figura 1
figura 2
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figura 3
figura 4
figura 5
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN EN UNA SUPERFICIE PLANA
Por objeto entendemos cualquier cosa desde donde irradian rayos de
luz. Esta luz podrá ser emitida por el objeto mismo, si este es autoluminoso,
como el filamento incandescente de una bombilla eléctrica. La luz podría ser
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emitida por una fuente distinta (como el sol) y reflejarse en el objeto, un
ejemplo es la luz que llega a nuestros ojos desde las páginas de ese libro, la
figura 1 muestra rayos luminosos que irradian en todas direcciones desde un
objeto situado en un punto.
Este es un objeto puntual carente de extensión física. Los objetos reales
con longitud, anchura y altura, se llaman objetos extensos.
Supóngase que alguno de los rayos provenientes de un objeto inciden
en una superficie reflectante plana y lisa (figura 2). Ésta podría ser la superficie
de un material con un índice de refracción diferente, la cual refleja parte de la
luz incidente a una superficie metálica pulida, que refleja casi el 100% de la luz
que incide en ella. En todos los casos dibujaremos la superficie reflejada como
una línea negra con un arco sombreado tras ella, como en la figura 2.
De acuerdo con la ley de reflexión, todos los rayos que inciden en la
superficie se reflejan en un ángulo respecto de la normal igual al ángulo de
incidencia. Dado que la superficie es plana, la normal tiene la misma dirección
en todos los puntos de la superficie, y se tiene una reflexión “especular”. Una
vez que los rayos se han reflejado, su dirección es la misma que si hubiesen
provenido del punto P´. Al punto P se le llama punto de objeto, y el punto P´ es
el punto de la imagen correspondiente; se dice que la superficie reflectante
forma una imagen del punto P.
Si la superficie de la figura 2 no fuera lisa, la reflexión seria difusa, y los
rayos provenientes de distintas partes de la superficie seguirían direcciones no
correlacionadas. En ese caso no habría una imagen definida del punto P´, de
donde todos los rayos reflejados parecen emanar. No podemos ver nuestro
reflejo sobre una superficie metálica empañada, porque su superficie es
áspera. Al pulirla se alisa, hay “reflexión espectral” y se hace visible una
imagen reflejada.
Una superficie plana refractiva también forma una imagen como se
muestra en la figura 3. Los rayos provenientes del punto P, se refractan en la
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interfaz entre 2 materiales ópticos. Cuando los ángulos de incidencia son
pequeños, la dirección final de los rayos de refracción es la misma que si
hubiesen provenido del punto P´, como se muestra, y también en este caso
llamamos punto de imagen a P´.
En la figura 2 y 3, los rayos no pasan realmente por el punto de imagen
P´. De hecho, si el espejo de la figura 2 es opaco, no hay luz alguna en su lado
derecho. Si los rayos salientes no pasan en realidad por el punto de imagen, se
dice que la imagen es una imagen virtual.
FORMACIÓN DE LAS IMÁGENES POR ESPEJOS PLANOS.
Las imágenes que se producen por reflexión para hallar la ubicación
precisa de la imagen virtual P´, que en espejo plano forma de un objeto situado
en P, utilizamos la construcción que se presenta en la figura 4, la figura
muestra rayos que divergen a partir de un punto de objeto P situado a una
distancia S a la izquierda de un espejo plano. Llamamos a S, la “distancia de
objeto”. El rayo PV incide normalmente en el espejo (Es decir, es perpendicular
a la superficie del espejo), y regresa siguiendo el mismo camino por el que
llego.
El rayo PB forma un ángulo θ con PV, incide en el espejo a un ángulo
de incidencia θ y se refleja formando un ángulo igual con la normal. Si
prolongamos hacia atrás los 2 rayos reflejados, estos se intersecan en el punto
P´, a una distancia S´ detrás del espejo. Llamamos S´ la “distancia de imagen”.
La línea entre P y P´ es perpendicular al espejo. Los 2 triángulos PVB y
P´VB son congruentes; por tanto P y P´ están a la misma distancia del espejo y
S y S´ son de igual magnitud. El punto de imagen P´ esta situado exactamente
en posición opuesta al punto P, tan distante de la cara posterior del espejo,
como el punto del objeto se encuentra su cara anterior.
Podemos repetir la construcción de la figura 4, con respecto a cada rayo
que diverge desde P. La dirección de rayos reflejados salientes es la que sería
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si cada uno hubiera tenido su origen en le punto P´, lo que confirma que P´es la
imagen de P. No importa donde se halle el observador, siempre verá la imagen
en el punto P´.
REGLA DE LOS SIGNOS
1° “Regla de signos para la distancia de objetos”; cuando el objeto esta del
mismo lado de la superficie reflectante o refractiva que las luz entrante, la
distancia de objetos S es positiva; en caso contrario es negativo.
2° “Regla de signos para la distancia de imagen”; cuando la imagen esta del
mismo lado de la superficie reflectiva o refractada que la luz saliente, la
distancia de imagen S´ es positiva, en caso contrario es negativa.
3° “Regla de signos para el radio de curvatura para una superficies esférica”;
cuando el centro de curvatura C esta del mismo lado que la luz saliente, el
radio de curvatura es positivo; caso contrario será negativo.
En el caso de un espejo los lados entrante y saliente son siempre el
mismo; ejemplo, en las figuras 2 y 4, ambos están del lado izquierdo. En el
caso de las superficies refractivas de la figura 3, los lados entrantes y salientes
están a los lados izquierdo y derecho, respectivamente, de la interfaz entre los
2 materiales.
En la figura 4 la distancia de objeto S es positivo porque el punto P esta
en el lado entrante (izquierdo) de la superficie reflectante. La distancia de
imagen S´ es negativa por que el punto P´ no esta en el lado saliente
(izquierdo) de la superficie. La relación entre las distancia S y S´ es
simplemente:
S= - S´ (espejo plano)
En el caso de una superficie reflectante o refractiva plana, el radio de curvatura
es infinito y no es una magnitud particularmente interesante ni útil, en realidad
estos casos no necesitamos la 3ra regla de signos
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figura 1
figura 2
figura 3
figura 4
REFLEXIÓN EN UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
Por si solo un espejo plano no es capaz de llevar a cabo alguna tarea
como un espejo para aplicar maquillaje, que muestra una imagen más grande.
Por eso en su lugar se utilizan espejos curvos. Consideremos el caso especial
de formación de imágenes por un espejo esférico. La figura 1 muestra un
espejo esférico con radios de curvatura R, con su lado cóncavo hacia la luz
incidente. “el centro de curvatura” de la superficie (el centro de esfera de la cual
forma parte la superficie) está en C, y el vértice del espejo (el centro de la
superficie del espejo) está en V. La recta CV recibe el nombre de eje óptico. El
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punto P es un objeto puntual que se encuentra sobre el eje óptico, por el
momento, supondremos que la distancia de P a V es mayor que R.
El rayo PV, que pasa por C incide de forma normal en el espejo y se
refleja sobre si mismo. El rayo PB, a un ángulo α respecto al eje, incide en el
espejo en B, donde los ángulos de incidencia y reflexión son θ. El rayo reflejado
intersecta el eje en el punto P´.
El punto P´ es, por tanto, la imagen del punto objeto P. A diferencia de
los rayos reflejados de la figura 1, del tema de “reflexión y refracción de una
superficie plana”, los rayos reflejados de la figura 2 de ese tema, se intersecan
efectivamente en el punto P´, y luego divergen a partir de P´ como si hubiesen
nacido de este punto. Por consiguiente P´ es una imagen real.
La utilidad de una imagen real: suponga que el espejo esta en una
habitación a oscuras donde la única fuente de luz es un objeto autoluminoso
situando en P. Si se coloca un pedazo pequeño de película fotográfica en P´,
todos lo rayos luminosos del punto P que se reflejen en el espejo incidirán en el
mismo punto P´ de la película. Una vez revelada la película mostrará una sola
mancha brillante que representa una imagen nítidamente enfocada del objeto
en el punto P. Principio de los telescopios astronáuticos que utilizan espejos
cóncavos para detener fotografías de los cuerpos celestes.
Con espejo plano como el de la figura 2, del tema anterior, colocar un
pedazo de película en el punto de imagen P´ sería una perdida de tiempo. Los
rayos luminosos nunca pasaran realmente por le punto de la imagen P´, y no
se registra la imagen en la película.
Las imágenes reales son indispensables en fotografía. Hallamos el punto
P´ de la figura 1 de este tema y probaremos la aseveración de que todos los
rayos provenientes de P se intersecan en P´. La distancia de objeto, medida
desde el vértice V, es S, la distancia de imagen, también medida desde V es
S´. Los signos de S, S´ y el radio de curvatura R están determinados por la
regla de los signos. El punto de objeto P está dado del mismo lado que la luz
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incidente, por lo que, de acuerdo con al 1° regla de signos, S es positivo. El
punto de imagen P´ está del mismo lado que la luz reflejada, de modo que, de
acuerdo con la segunda regla de signos, la distancia de imagen S´ también es
positiva. El centro de curvatura C está del mismo lado que la luz reflejada, así
que, según la tercera regla de signos, R es siempre positivo, cuando la
reflexión ocurre en el lado cóncavo de una superficie.
Según un Teorema de Geometría Plana:
Un Ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los 2 ángulos
internos opuestos. Aplicando este teorema a los triángulos PBC y P´BC de la
figura 1 tenemos que:
ϕ=α+θ
β=ϕ+θ
Eliminando θ entre estas 2 ecuaciones se obtiene α+ β= 2ϕ (ecuación A)
Al calcular la distancia de imagen S´, Si h es la altura del punto B
respecto el eje óptico. Y sea d la distancia corta de V al pie de esta línea
vertical. Escribiremos entonces expresiones de las tangentes de α, β y ϕ y
recordando que S, S´ y R son todas cantidades positivas:
La tangente de un ángulo mucho menor que un radián es casi igual al
ángulo mismo medido en radianes, podemos sustituir tan α por α, y así
sucesivamente en las ecuaciones anteriores. Así mismo si α es pequeño
podemos pasar por alto la distancia d en comparación con S´, S y R. Así pues,
en el caso de ángulos pequeños tenemos las relaciones aproximadas
siguientes:
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Sustituyendo estas en la ecuación A y dividiendo entre h, se tiene una
relación general entre S, S´ y R:
Es preciso entender con claridad que la ecuación B así como muchas
relaciones similares que deducimos mas adelante, son aproximadamente
correctas. Es resultado de un cálculo que contiene aproximaciones y solo es
válido respecto a rayos paraxiales-rayos provenientes de P que forman ángulos
pequeños con el eje; y se intersecan en P’-
Si aumenta el ángulo α que un rayo forma con el eje óptico, el punto P´
donde el rayo interseca el eje óptico se acerca un poco más al vértice que en el
caso de un rayo paraxial. En consecuencia, un espejo esférico, a diferencia de
un espejo plano, no forma una imagen puntual precisa de un objeto puntual, la
imagen se “embarra”. Esta propiedad de los espejos esféricos se llama
“aberración esférica”.
PUNTO FOCAL Y DISTANCIA FOCAL
Cuando el punto objeto P estÁ muy lejos del espejo esférico (S=∞), los
rayos entrantes, son paralelos. De acuerdo con la ecuación B, la distancia S´
viene dada en este caso por:
Esta se muestra en la figura 3. El haz de rayos paralelos incidentes
convergen después de reflejarse en el espejo, en un punto F situado a una
distancia R/2 del vértice del espejo. El punto F donde convergen se llama
“punto focal o foco”; la distancia del vértice al punto focal, que se denota con f,
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recibe el nombre de distancia focal. Vemos que f esta relacionada con el radio
de curvatura R:
(distancia focal del espejo esférico) (ecuación C)
En la figura 4, el objeto se encuentra en el punto focal f, por lo que la
distancia S es S=f=R/2. La distancia de imagen S´ viene dada una vez más por
la ecuación B:
Con el objeto en el punto focal, los rayos reflejados de la figura 4 son
paralelos al eje óptico; se encuentran solo en un punto infinitamente alejando
del espejo por lo que la imagen está en el infinito.
LAS PROPIEDADES DEL PUNTO FOCAL F DE UN ESPEJO ESFÉRICO
1. Todo rayo entrante paralelo al eje óptico se refleja a través del punto
focal.
2. Todo rayo entrante que pasa por el punto focal se refleja paralelamente
al eje óptico. Se cumplen solo cuando los rayos son paraxiales, en
cambio en los espejos parabólicos estos enunciados son exactamente
válidos.
Por lo regular, expresamos la relación entre las distancias de objeto y de
imagen de un espejo (ecuación B) en términos de la distancia focal f:
1/S + 1/S’= 1/f (relación objeto- imagen- espejo esférico) (ecuación D)
IMAGEN DE UN OBJETO EXTENSO, ESPEJO ESFÉRICO:
Supóngase ahora que se tiene un objeto de tamaño finito representado
por la flecha PQ, en la figura 5 perpendicular al eje óptico CV. La imagen de P
formada por rayos paralelos, paraxiales, está en P´. La distancia de objeto
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correspondiente al punto Q es casi idéntica a la correspondiente al punto P, por
lo que la imagen P´Q´ es casi recta y perpendicular al eje. Adviértase que la
flechas, objeto e imagen son de distinto tamaño (Y y Y´, respectivamente) y de
orientación opuesta. En la ecuación siguiente definimos el aumento lateral m
como la razón del tamaño de imagen Y´ respecto al tamaño del objeto Y, m es
igual a Y´ como Y:
Como los triángulos PVQ y P´VQ´ son semejantes, también tenemos la
relación Y/S=-Y´/S´. El signo negativo es necesario porque objeto e imagen
están en lados opuestos del eje óptico; si Y es positiva Y´ es negativo, por lo
tanto:
Si m es positivo, la imagen es derecha en comparación con el objeto, si
m es negativo, la imagen es invertida respecto al objeto, como en la figura 5.
En el caso de un espejo plano, S es igual –S´, por lo que Y´=Y y m=+1 “puesto
que m es positivo, la imagen es derecha y como
igual a 1, la imagen es del
mismo tamaño que un objeto.
La imagen formada por un espejo o lente puede ser mayor, menor o del
mismo tamaño que el objeto, si es más pequeña entonces el valor absoluto del
aumento es menor que la unidad;
La imagen que forma el espejo de
un telescopio astronómico o una lente de cámara es por lo regular más
pequeña que el objeto:
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figura 1
figura 4
figura 2
figura 3
figura 5
REFRACCIÓN EN UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
Consideremos la refracción en una superficie esférica, en una interfaz
esférica entre 2 materiales ópticos de diferente índice de refracción. Este
análisis es aplicable directamente a temas ópticos reales, como el ojo humano.
Así mismo constituye un peldaño hacia el análisis de las lentes, que
normalmente tiene 2 superficies esféricas o casi esféricas.
En la figura 1 una superficie esférica de radio R forma una interfaz entre
2 materiales con índices de refracción diferentes
. La superficie forma
una imagen P´ de un punto de objeto P. Nos proponemos averiguar cuál es la
relación entre las distancias de objeto y de imagen (S y S´). Aplicaremos la
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regla de signos que utilizamos en el caso de los espejos esféricos. El centro de
curvatura C está del lado saliente de la superficie, por lo tanto R es positivo. El
rayo PV incide en el vértice V y es perpendicular a la superficie (esto es, al
plano tangente a la superficie en el punto de incidencia V), y proyecta en el
segundo material sin desviarse. El rayo PB, que forma un ángulo α con el eje,
índice ángulo
respecto a la normal y se refracta a un ángulo
. Estos rayos
se intersecan en P´, a una distancia S´ a la derecha del vértice. El dibujo de la
figura corresponde al caso
Las distancias de objeto y de imagen son
ambas positivas.
Probaremos que si el ángulo α es pequeño, todos los rayos provenientes
de P se intersecan en el punto P´, por lo que P´ es la imagen real de P. Una
vez más, aplicaremos el teorema según el cual el ángulo externo de un
triángulo es igual a la suma de los 2 ángulos internos opuestos; la aplicación de
estos a los triángulos PBC y P´BC da lo siguiente:
Según la ley de refracción:
Asimismo, las tangentes de α, β y ϕ son:
En el caso de rayos paraxiales,
son ambos pequeños en
comparación con un radián, y podemos tomar como aproximación del seno y
de la tangente de cualquiera de estos, el ángulo mismo (medidos en radianes).
La ley de refracción da entonces:
Combinando este con la prima de las ecuaciones A, se obtiene
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La sustitución de esto en al segunda de las ecuaciones dá:
(ecuación C)
Ahora aplicaremos las aproximaciones tan α =α, etc., en las ecuaciones
B y también pasamos por alto la pequeña distancia d, esas ecuaciones se
transforman entonces en:
Por último sustituimos estas en la ecuación C y extraemos por división
en el factor común h para obtener:
(relación objeto-imagen, superficie refractiva esférica) (ecuación D)
Esta ecuación no contiene el ángulo α, por lo que la distancia de imagen
es la misma con respecto a todos los ángulos paraxiales que emanan de P,
esto prueba nuestra aseveración de que P´ es la imagen de P.
Para obtener el aumento lateral m correspondiente a esta situación
utilizaremos la construcción de la figura 2. Dibujamos 2 rayos a partir del punto
Q, uno que pasa por el centro de curvatura C y otro que incide en el vértice V.
En los triángulos PQV y P´Q´V;
De acuerdo con la ley de refracción:
Si los ángulos son pequeños:
Así pues, por último:
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o bien:
(aumento lateral, superficie refractiva esférica) (Ecuación E)
Las ecuaciones D y E son aplicables a superficies refractivas tanto
convexas como cóncavas siempre y cuando se apliquen la regla de signos de
forma congruente. No importa si
es mayor o menor que
. Para verificar
esto construya diagramas como la figura 1 y 2.
•
R>0 y
•
R<0 y
>
(y deduzca nuevamente las ecuaciones D y
E)
•
R<0 y
La refracción en superficies curvas es una de las razones por la que los
jardineros evitan regar las plantas medio día. Cuando la luz solar entra en una
gota de agua que reposa sobre una hoja, sus rayos luminosos se refractan
unos hacia otros como en la figura 1 y 2. En consecuencia, la luz solar que
incide en la hoja está más concentrada y puede causar daño.
Un caso especial importante de superficie refractiva esférica es una
superficie plana entre 2 materiales ópticos. Esta corresponde a fijar R=∞ en la
ecuación D en este caso:
(superficies refractiva plana) (ecuación F)
Para hallar el aumento lateral m correspondiente a este caso, combinamos en
esta ecuación con la relación general (ecuación E) para obtener este resultado
simple:
m=1
25
Es decir, la imagen que forma una superficie refractiva plana siempre tiene el
mismo tamaño lateral que el objeto, y siempre es derecha.
figura 1
figura 2
LENTES DELGADAS
Una lente es un sistema óptico con dos superficies refractivas. La lente
más simple tiene dos superficies esféricas lo suficientemente próxima una de
otra como para que podamos pasar por alto la distancia entre ellas; a este
dispositivo se llama lente delgada.
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PROPIEDADES DE LAS LENTES
Una lente de la forma que se muestra en la figura 1 y 2 tiene la
propiedad de que cuando y un haz de rayos paralelos al eje atraviesa la lente,
los rayos convergen en un punto F2 (figura 1), y forman una imagen real en
ese punto. Este tipo de lentes se llaman “convergentes”. Los rayos que pasan
por el punto F1 emergen de la lente en forma de un haz de luz de rayos
paralelos (figura 2). Los puntos F1 y F2 son los que se conocen como el 1er y
2do puntos focales, y la distancia f (medida desde el centro de la lente) de una
lente convergente se define como una cantidad positiva, y las lentes de esta
clase se conocen también como lentes positivas.
La recta horizontal central de la figura 1 y 2 se denomina eje óptico,
como en los espejos esféricos. Los centros de curvatura de las 2 superficies
esféricas se encuentran sobre el eje óptico y la definen. Las 2 distancias f de la
figura 1 y 2 ambas idénticas como f, siempre son iguales en el caso de una
lente delgada, incluso cuando los 2 lados tienen diferentes curvaturas.
La figura 3 muestra como hallar la posición y el aumento lateral de una
imagen formada por una lente convergente delgada. Con base en la misma
notación y regla de signos que hemos utilizado, sean S y S´ las distancias de
objeto y de imagen, y sean Y y Y´ las alturas del objeto y de la imagen. El rayo
QA, paralelo al eje óptico antes de la refracción, pasa por el segundo punto
focal F2 después de refractarse. El rayo QOQ´ pasa directamente por el centro
de la lente sin desviarse, porque en el centro las superficies son paralelas y
suponemos que están muy próxima una de otra.
Los dos ángulos identificados como α en la figura 3 son iguales. Por
consiguiente, los 2 triángulos rectángulos PQO y P´Q´O son semejantes y las
razones de los lados correspondientes son iguales, por tanto:
(ecuación A)
27
La razón del signo negativo es que la imagen está abajo del eje óptico y
Y´ es negativo. Los ángulos identificados como β son iguales, y los 2 triángulos
rectángulos OAF2 y P´Q´F2 son semejantes, por tanto:
o bien:
(ecuación B)
Ahora igualmente las ecuaciones A y B, dividamos entre S´y
reorganizamos:
(relación objeto-imagen, lente delgada) Ecuación C
El aumento lateral m = Y´/Y corresponde a la lente, según la ecuación A
(aumento lateral, lente delgada) (Ecuación D)
El signo negativo indica que, cuando S y S´ son ambos positivas, como
en la figura 3, la imagen invertida, y los signos de Y y Y´ son opuestos.
Las ecuaciones C y D son ecuaciones fundamentales de las lentes
delgadas. Como veremos, las reglas de los signos que vimos en el caso de los
espejos esféricos también son aplicables a las lentes. En particular,
considérese una lente con una distancia focal positiva (lente convergente).
Cuando un objeto esta por fuera del primer punto focal F1 de esta lente (es
decir cuando S>f). la distancia de imagen S´es positiva (esto es, la imagen
esta del mismo lado que los rayos salientes). Esta imagen es real e invertida,
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como en la figura 3. En la figura 4 se muestra como una lente forma una
imagen tridimencional de un objeto tridimensional. El punto R está más cerca
de la lente que el punto P. De acuerdo con la ecuación C el punto de imagen R´
está más alejado de la lente que el punto de imagen P´, y la imagen P´R´
apunta en la misma dirección que el objeto PR. Las flechas P´S´ y P´Q´ están
al revés respecto a PS y PQ. Es decir, si el objeto es una mano izquierda, su
imagen también es una mano izquierda.
En la figura 4, advertimos que la imagen formada por la lente es
invertida, pero no es inversa de adelante hacia atrás o a lo largo de PR, el
índice a lo largo de PQ y el dedo medio izquierdo a lo lago de PS. Luego
giremos la mano 180° con el pulgar como eje, esto hace coincidir los dedos con
P´Q´ y P´S´. En otras palabras, una imagen invertida es equivalente a una
imagen que ha girado 180° en torno al eje de la lente.
La figura 5 muestra una lente divergente, el haz de rayos paralelos que
inciden en esta lente divergen después de refractarse. La distancia focal de una
lente divergente es una cantidad negativa y las lentes de este tipo se conocen
también como lentes negativas. Los puntos focales de una lente negativa están
invertidos en relación con los de una lente positiva. El segundo punto focal F2
de una lente negativa es el punto a partir del cual los rayos que originalmente
son paralelos al eje parecen divergir después de refractarse como en la figura
5. Los rayos incidentes que convergen hacia el 1er punto focal F1 como en la
figura 6, emergen de la lente paralelos a su eje.
Las ecuaciones C y D son aplicables a lentes tanto positivos como
negativos. En la figura 7 y 8 se muestran los diversos tipos de lentes, tanto
convergentes como divergentes.
Veamos una observación importante:
“Toda lente mas gruesa en su centro que en sus bordes es una lente
convergente con f positiva, y toda lente más gruesa en su borde que en su
centro es una lente divergente con f negativa (si,o...siempre y cuando la lente
tenga un índice de refracción mayor que el material circundante)”
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Lo probaremos con la ecuación del fabricante de lentes.
ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES
La ecuación del fabricante de lentes, es la relación entre la distancia
focal f, el índice de refracción η de la lente, y los radios de curvatura R1 y R2
de la superficies de la lente.
Vemos en forma general dos interfaces esférica que separan 3
materiales índices y refracción
,
y
como se ve en la figura 9. Este es
normalmente el caso de los lentes de anteojos. En estas condiciones
mostradas en la figura, S2 y S1´ tienen la misma magnitud pero signo opuesto.
Decimos que S2=-S1´.
Ejemplo: Si la primera imagen está del lado saliente de la primera superficie, S’1 es
positiva; pero…cuando vemos un objeto de la segunda superficie, la primera imagen
no está del lado entrante de esa superficie, de ahí que S2= - S’1.
Necesitamos aplicar la ecuación de una superficie dos veces: una para cada
superficie. Las ecuaciones resultantes son:
Ordinariamente, los materiales primero y tercero son aire o vacío, así
que fijamos
. El segundo índice
es el de la lente, al cual
llamaremos η. Sustituyendo estos valores y la relación S2=-S1´ obtenemos:
Para obtener una relación entre la posición inicial del objeto S1 y la
posición final de la imagen S´2, sumamos estas 2 ecuaciones. Con ello se
elimina el término n/S1´ y se obtiene
30
Por último, considerando la lente como una sola unidad, llamamos a la
distancia de objeto simplemente S y a la distancia de imagen S´ y tenemos:
(Ecuación E)
Ahora con la otra ecuación de lentes delgadas (ecuación C), vemos que
las distancias de objeto y de imagen S y S´ aparecen exactamente en los
mismos lugares en ambas ecuaciones y que la distancia focal f viene dada por
(ecuación del fabricante de lentes para lentes delgadas)(ecuación F)
Al deducir de nuevo la relación entre distancia de objeto, de imagen y
distancia focal de una lente delgada, al mismo tiempo hemos deducido una
expresión de distancia focal f de una lente en términos de su índice de
refracción ᶯ y de los radio de curvatura R1 y R2 de sus superficies. Todas las
lentes de la figura 7 son lentes convergentes con una distancia focales
positivas y las de las figura 8 son lentes divergentes con f negativas.
Se aplican todas las reglas de signos anteriores a las ecuaciones E y F,
por ejemplo en la figura 10, S, S´y R1 son positivos, pero R2 es negativo
31
figura 1
figura 2
figura 3
figura 4
32
figura 5
figura 6
figura 7
figura 8
figura 9
33
figura 10
MÉTODO GRÁFICO PARA LENTES
Se puede hallar la posición y el tamaño de una imagen formada por una
lente delgada mediante un método gráfico. En este caso se dibujan unos pocos
rayos especiales, llamados rayos principales, que divergen a partir de un punto
del objeto que no está sobre el eje óptico. La intersección de estos rayos,
determinan la posición y el tamaño de la imagen. Haremos de cuenta que la
desviación de cada rayo ocurre en su totalidad en el plano medio de la lente,
como se muestra en ola figura 1 y 2.
Los 3 rayos principales se muestran en la figura 1 y 2:
1. Rayo paralelo al eje emerge de la lente en una dirección que pasa por el
segundo punto focal F2 de una lente convergente, o que parece
provenir del segundo punto focal de una lente divergente.
2. Un rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía en grado
apreciable, en el centro de la lente las dos superficies son paralelas, por
tanto, este rayo emerge prácticamente con el mismo ángulo que tenía al
entrar y a lo largo de la misma recta.
3. Un rayo que pasa por (avanza hacia) el 1er punto focal F1 emerge
paralelo al eje.
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Cuando la imagen es real, la posición del punto de imagen está
determinada por la intersección de dos cualquiera de los rayos 1,2 y 3 (figura
1). Cuando la imagen es virtual, se prolonga hacia atrás los rayos salientes
divergentes hasta su punto de intersección para hallar el punto de imagen,
figura 2.
“hay que tener en cuenta que todo rayo proveniente del objeto que incida
en la lente pasará por el punto de imagen (imagen real) o pareciera nacer
en el punto de imagen (si es virtual)”
La figuras de la 3 a la 8 muestran diagramas de rayos principales
correspondientes a una lente convergente con diversas distancias de
objeto,
La imagen 3,4 o 5 ayudan a explicar lo que ocurre al enfocar una cámara
fotográfica. Para que una foto esté bien enfocada, la película debe estar en
la posición de la imagen real que forma la lente de la cámara. La distancia
de imagen real que forma la lente de la cámara. La distancia de imagen
aumenta conforme el objeto se aproxima, por lo que se retira más la
película detrás de la lente (es decir, se aleja la lente frente a la película). En
la figura 6 el objeto está en el punto focal, no se puede dibujar el rayo 3
porque no atraviesa la lente. En la figura 7 la distancia de objeto es menor
que la distancia focal. Los rayos salientes son divergentes y la imagen es
virtual; se localiza su posición prolongando los rayos salientes hacia atrás,
así que la distancia S´ es negativa. La figura 8 corresponde a un objeto
virtual. Los rayos entrantes no divergen a partir un objeto real, sino que
convergen como si fueran a encontrarse en la punta del objeto virtual o del
lado derecho, en este caso la distancia de objeto S es negativa. La imagen
real Y se halla entre la lente y el segundo punto focal. Esto sucede si los
rayos incidentes en la lente de la figura 8 emergen de otra lente
convergente situada a la izquierda de la figura.
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figura 1
figura 2
figura 3
figura 4
figura 6
figura 5
figura 7
figura 8
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37