I Bimestre --- 2013

ÍNDICE
Aritmetica
Capítulo
Pág.
1. Razonamiento lógico - analítico ......................................................................................... 03
2. Lógica matemática ........................................................................................................... 05
3. Lógica cuantificacional ...................................................................................................... 11
4. Teoría de conjuntos ......................................................................................................... 15
5. Operaciones entre conjuntos ............................................................................................. 19
6. Teoría de la numeración I ................................................................................................. 23
7. Teoría de la numeración II ................................................................................................ 27
8. Repaso ........................................................................................................................... 31
B lackames
Razonamiento lógico - analítico
Capítulo I
Dos hombres juegan un partido de tenis al mejor de cinco sets. Cuando
terminan el partido ambos han ganado tres sets. ¿Cómo puede ser esto?
Problemas para la clase
1. Utilizando cuatro cifras 4 podemos formar:
UNO =
44
4
4 4
44
4
4 4
DOS = 4  4 
44
4 4
Continúa y forma todos los números naturales hasta el
20, recuerda que puedes utilizar las seis operaciones
fundamentales.
2. Es fácil expresar el número 24 por medio de tres ochos:
8 + 8 + 8. ¿Podrá hacerse esto mismo utilizando no el
ocho, sino otras tres cifras iguales?
El problema tiene más de una solución.
3. El número 30 es fácil de expresar con tres cincos:
5 × 5 + 5. Es más difícil hacer esto mismo con otras
tres cifras iguales. Pruébelo.
4. Exprese el número diez empleando cinco nueves.
Indique, como mínimo, cuatro procedimientos de los
múltiples que hay para realizarlo.
5. Exprese el número 100 de cuatro modos distintos,
empleando cinco cifras iguales.
6. ¿Cuál es el número mayor que puede usted escribir con
cuatro unos?
7. Escribe un conjunto de cinco números tales que su
promedio sea 24. Dar como mínimo cinco conjuntos.
8. Mencione tres números de diferente cantidad de cifras,
cuyo promedio sea 36.
9. Se puede:
a. Obtener una unidad mediante tres cincos.
b. Obtener un dos mediante tres cincos.
c. Obtener cuatro mediante tres cincos.
10.Ordene los dígitos del 0 al 9 en dos fracciones cuya
suma sea 1.
CIENCIAS - PAMER
11.Si se toma en orden los dígitos del 1 al 9, hay exactamente
11 formas en que es posible intercalar los signos más y
menos para obtener una suma cuyo resultado sea 100,
una de ellas es: 123 - 45 - 67 + 89 = 100. Calcula por lo
menos, tres formas más.
12.Da tres ejemplos de números irracionales comprendidos
entre 2 y 3 .
13.El número 3785942160, que contiene los dígitos, es
divisible por varios enteros de una cifra. Halla todos sus
divisores de una cifra.
14.Los números perfectos son aquellos en los cuales la
suma de sus divisores, excepto él, es el mismo número.
Ejemplo: 28 es un número perfecto, pues sus divisores
son: 1; 2; 4; 7; 14 y la suma de ellos es:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Calcula otro número perfecto.
15.Utilizando una y solamente una vez las cifras: 1; 2; 3;
4; 5; 6; 7; 8 y 9 resulta posible formar de diversos
modos una variedad de números primos.
Ejemplo: 2; 5; 7; 43; 61; 89. Hallar otros números
primos.
16.Escribe:
a. Tres treces de forma que adquieran su máximo valor
sin emplear ningún signo.
b. Tres cuatro de forma que adquieran su máximo valor
sin emplear ningún signo.
17. Dados los números 3 600; 14 500 y 2 000 extraer la raíz
cuadrada de cada uno de ellos, empleando en cada caso
un método diferente.
18.¿Cuál es el número de tres cifras, que cumple la condición
de que el producto de sus cifras es igual a su suma?
19.Se tiene una balanza de dos platillos y tres pesas de: 1;
3 y 9 kilos. ¿Cuántos pesos diferentes se podrán pesar?
20.Usando ocho ochos deben obtenerse numerales que,
una vez sumados, den por resultado el número 1 000.
Dar dos formas diferentes.
ARITMETICA
5
AÑO
Lógica matemática
Capítulo II
Los guardianes
Estamos encerrados en una habitación que tiene dos puertas (“A” y “B”) con
sendos guardianes que las custodian. Una de las puertas nos llevaría a la muerte y la
otra nos dejaría vivir. De los dos guardianes, no sabemos el de que puerta, uno dice
siempre la verdad y el otro siempre miente.
Si estamos obligados a elegir una de las puertas, ¿qué misma pregunta debemos
formularle a ambos guardianes para averiguar la puerta que nos permite seguir viviendo?
Proposición lógica
Antes de dar el concepto de lo que es una proposición,
trataremos de establecer cuáles de las siguientes
expresiones son verdaderas o falsas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
9 es divisible por 4.
Miguel Grau tuvo úlcera estomacal.
6 es un número entero y par.
¿Qué tiempo hace hoy?
¡Socorro!
x+3>5
Después de analizar cada una de ellas concluímos
que (a) es falsa y (c) es verdadera; respecto de (b) es
probable que dudemos en responder, pero lo cierto es
que es o verdadera o falsa y no ambas ya que en la
realidad debe haber ocurrido que Miguel Grau tuvo o no
úlcera estomacal, pero sólo una de las posibilidades es
correcta.
Por otra parte notamos que no tiene sentido afirmar
que (d) y (e) son verdaderas o falsas y finalmente para
establecer la verdad o falsedad de (f) necesitamos
conocer el valor de “x” y no lo tenemos.
A los enunciados que como (a), (b) y (c) son
unívocamente verdaderos o falsos se les denomina
proposiciones; por esta razón (d) y (e) no son
proposiciones (En general las preguntas y las
exclamaciones no son proposiciones). Debemos anotar
también que la expresión (f), si bien no es proposición,
depende del valor de “x” para serlo; a este tipo de
expresiones se les denomina funciones proposicionales
o enunciados abiertos.
De lo anterior se desprende que:
Una proposición es toda expresión libre de
ambigüedad y que tiene la propiedad de que es
verdadera o falsa, pero sólo una de ellas.
CIENCIAS - PAMER
Si una proposición es verdadera se le asignará el
valor de verdad simbolizado por “V” y si es falsa se le
asignará el valor de verdad simbolizado por “F”.
Notación: Representaremos las proposiciones por letras
minúsculas de la segunda mitad del alfabeto, como:
“p”; “q”; “r”; “s”, etc, que llamaremos variables proposicionales.
Conectivos u operadores lógicos
A partir de dos proposiciones dadas podemos formar
una tercera, si las unimos mediante expresiones como
“y”; “o”; “si .......... entonces”; “........... si y solo si
...........”, etc. A estas expresiones de enlace los
llamaremos conectivos u operadores lógicos.
Por ejemplo:
p: 20 es un número par.
q: 20 es divisible por 5.
“p” y “q”: 20 es un número par y es divisible por 5.
A. La negación (~)
Representa la inversión del valor de verdad de una
proposición.
Por ejemplo:
p: 13 es un número primo.
Su negación es:
~p: No es cierto que 13 es un número primo.
Observamos en el ejemplo que “p” es verdadero y
“~p” es falso; esto es porque “p” y “~p” tienen
valores de verdad opuestos. En general:
ARITMETICA
5
AÑO
p
~p
V
F
F
V
D. La condicional ()
Si "p" y "q" representan proposiciones cualesquiera,
la condicional de “p” y “q” se denota por “p  q” y se
lee “si p, entonces q”. En “p  q”, la proposición
representada por “p” se denomina antecedente y la
representada por “q”, consecuente. Se dice también
que el antecedente implica al consecuente.
No "p"
Se lee: No es cierto que "p"
No es el caso que "p"
B. Conjunción ()
Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra
“y” para formar una nueva proposición.
Tratemos de precisar el significado de la condicional
en un ejemplo:
Por ejemplo:
“Si fumo un cigarro, entonces me aumenta la presión
arterial”.
p: Roxana comió pescado.
q: Roxana se indigestó.
El ejemplo afirma que en el caso que fume un cigarro
debe ocurrir necesariamente que me aumente la
presión arterial; esto es que si el antecedente es
verdadero, el consecuente también debe serlo.
La proposición quedaría:
“p” y “q”: Roxana comió pescado y se indigestó
Notemos también que sólo será falsa cuando ocurra
que me fume un cigarro y no me suba la presión
arterial, esto es cuando el antecedente sea verdadero
y el consecuente falso.
El valor de verdad de una conjunción será dado por
los valores de verdad de las proposiciones que la
componen y de acuerdo a la siguiente tabla:
p
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Por otra parte no se afirma que individualmente el
antecedente o el consecuente sean verdaderos o
falsos.
"p" y "q"
"p" no obstante "q"
Se lee: "p" además "q"
"p" sin embargo "q"
"p" cada vez que "q"
"p" pero "q"
A partir de lo anterior consideraremos que una
condicional sólo es falsa si tiene antecedente
verdadero y consecuente falso y convendremos en
que el valor de verdad de “p  q” viene dado en la
siguiente tabla:
C. Disyunción inclusiva ()
Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra
“o” para formar una nueva proposición.
Por ejemplo:
p: 4 es menor que 7.
q: 4 es igual a 7.
p
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Si "p" entonces "q"
Se lee: "p" implica "q"
"q" porque "p"
"p" dado que "q"
La proposición quedaría:
“p” o “q”: 4 es menor que 7 o igual a 7.
E. La bicondicional ()
Se denota por “p  q” y se lee “p si y solo si q”.
“p  q” afirma que “p  q” y a la vez “q  p” esto
es que deben darse las dos condicionales.
Es decir los valores de verdad de “p  q” dependen
de los valores de “p  q” y “q  p”, entonces:
El valor de verdad de una disyunción inclusiva será
dado por los valores de verdad de las proposiciones
que la componen y de acuerdo a la siguiente tabla:
p
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Se lee: “p” o “q”
Nota: También existe la llamada disyunción exclusiva
que se denota por "p  q"; se lee “o p o q” y es
verdadera cuando solo una de las componentes es
verdadera.
p
q
pq
qp
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
(p  q)  (q  p)
V
F
F
V
En resumen:
De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que:
p
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
"p" si y solo si "q"
"p" es condición
necesaria y suficiente para "q".
Se lee:
a. Si la fórmula resulta verdadera para cualquier
combinación de los valores de verdad de las
componentes, la fórmula se denomina tautología.
b. Si por el contrario resulta, siempre falsa recibe el
nombre de contradicción.
c. Si no es tautología ni contradicción, la fórmula recibe
el nombre de contingencia.
Tabla de verdad
Observaciones:
A menudo es necesario representar proposiciones
compuestas que pueden a su vez tener como
componentes otras proposiciones compuestas; en este
caso es necesario el uso de los signos de colección
(paréntesis, corchetes, etc).
A esta representación mediante variables
proposicionales, conectivos lógicos y signos de colección
la llamaremos fórmula proposicional. Así por ejemplo:
1. Consideramos dos tipos de proposiciones: simples
son aquellas que no contienen conectivos lógicos y
compuestas que son las que contienen conectivos
lógicos.
p  [ (~p  q)  ~q ]
2. El número de posibles combinaciones de los valores
de verdad de “n” proposiciones componentes es 2n.
Por ejemplo:
Si: n = 2  hay: 22 = 4 combinaciones
Si en la fórmula anterior, se sabe que “p” es V y “q” es
F, el valor de verdad lo obtenemos de la siguiente forma:
p  [ (p
~ q)q
 ]  ~
V
F
F
F
V
V
Si: n = 3
V
V
V
En otros casos es necesario determinar los valores de
verdad de una fórmula para todas las combinaciones
de los valores de verdad de las componentes, a este
proceso se le denomina evaluar una fórmula en una
tabla de verdad, por ejemplo:
4
1
2
3 1
q)


p
q
p
 [ (p
~
V
V
V
F
FV V V
V FV
V
F
V
V
FV V F
V VF
F
V
F
F
VF V V
F
F
F
F
F
VF
V VF
F F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F

hay: 23 = 8 combinaciones
p
V V V V F F F F
q
V V F F V V F F
r
V F V F V F V F
3. Llamamos fórmulas proposicionales equivalentes, a
aquellas que al ser unidas por el conectivo “” resulta
una tautología. La equivalencia se denota por “”.
Problemas para la clase
~q ]
FV
Los números indican el orden en que se han desarrollado
los conectivos, primero se ha desarrollado las negaciones
1 , luego se desarrolló el paréntesis 2 , para después
desarrollar el corchete 3 , siendo el resultado final de
la evaluación la columna debajo del número 4 .
Bloque I
1. De acuerdo con la definición, ¿cuántas de las siguientes
expresiones son proposiciones?
*
*
*
*
*
*
*
La división entre cero no existe.
4973 es un número primo.
Micaela Bastidas murió a los 14 años.
El principito no podía comprender a los adultos.
¿Miguel Grau nació en Piura?
¡Vive la experiencia!
Mi mejor experiencia, fue a los 17 años.
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son simples?
*
*
*
*
*
24 es número compuesto.
El número 20 es par y el 15 es impar.
Los números 40 y 27 son pares.
Juan y Pedro son primos.
Juan y Pedro son peruanos.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
8. Una proposición disyuntiva inclusiva, será:
a)
b)
c)
d)
e)
Héctor es soltero o casado.
Si hay dinero; iremos de vacaciones.
La leche está fría o caliente.
Rommel es líder y orador.
Eres tú o soy yo, ¿quién se casará con Diana?
9. En la siguiente tabla:
c) 3
3. Determinar el valor de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8.
II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.
III. Madrid está en España o Londres está en Francia.
a) VFV
d) FVF
b) VVV
e) FFF
c) VFF
a)
b)
c)
d)
Tanto Pizarro como Maestri son jugadores.
La fiesta empezó al igual que el concurso.
Marco y Rubén toman chicha con ron.
Carlitos asiste a clases, sin embargo no escucha
clases.
e) Todas.
5. ¿Qué proposición es: “Es el caso que eres postulante si
te preparas en la academia”?
b) disyuntiva
d) condicional
“No es el caso que Carlos sea médico o abogado; en
conclusión, Carlos no es abogado”.
~p q  q
~q ~(p q)
~(p q) ~q
~(p q)  ~q
~(p  q)  ~q
V
F
V
F
1
2
3
4
Los valores de verdad que deben reemplazar a los
círculos en el orden indicado son:
a) VVVV
d) FFFF
b) VFFV
e) FVFV
c) VVFF
I. p  (p q)
II. (p q)  (p  q)
III. ~[(p q)  p]
a) VVV
d) FVF
b) VFV
e) FVV
c) VFF
11.Si la proposición: (p  ~q)  (~r  s) es falsa, deducir
el valor de verdad de: (~p  ~q)  ~p
a)
b)
c)
d)
e)
V
F
VoF
no se puede determinar
ninguna
a) VVF
d) VFV
b) VFF
e) FFF
c) VVV
Bloque II
1. Dadas las proposiciones:
7. “El fiscal de la nación ejercerá sus funciones salvo que
no jure”.
La proposición anterior es:
a) conjuntiva
c) disyuntiva
e) negativa
V
V
F
F
[(p  q)  p]  q
12.Si: (p ~q)  r; es falsa, determinar los valores de
verdad de “p”, “q” y “r”.
6. Simbolizar:
a)
b)
c)
d)
e)
q
10.Indicar el valor de verdad de:
4. Un esquema conjuntivo representa a la proposición:
a) conjuntiva
c) bicondicional
e) negativa
p
b) bicondicional
d) condicional
p: Marco es comerciante
q: Marco es un próspero industrial
r: Marco es ingeniero
Simbolizar el enunciado:
“Si no es el caso que, Marcos sea un comerciante y un
próspero industrial, entonces es ingeniero o no es
comerciante”.
a) ~(p  q)  (r p)
b) (~p q) (r q)
c) ~(p q) (r p)
d) ~(p q) (r ~p)
e) (~p ~q) (~r p)
I. (q  p) ~(q  ~p)
II. (q  ~p)  (q  p)
2. Los valores de verdad de las proposiciones “p”, “q”, “r”
y “s” son respectivamente V, F, F y V.
Obtener los valores de verdad de:
I. [(p q)  r]  s
II. r  (s p)
III. (p r)  (r ~s)
a) VFF
d) VVF
b) FVV
e) FFF
c) VVV
q
V
F
V
F
a) VVFF
d) VVVV
(p  q)(p 
q)

b) VFFV
e) FFFF
c) VFVF
b) VF
c) FV
e) faltan datos
5. Sabiendo que:
* (p  q)  ~r; es falsa
* (s  p)  r; es verdadera
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas?
I. ~(p s)  V
II. (s r)  F
III. q  s  V
a) I y II
d) todas
8. De la falsedad de la proposición:
(p  ~q) (~r  s) se deduce que el valor de verdad
de los esquemas:
I. (~p ~q) (~q)
II. (~r q)  [(~q r) s]
III. (p  q)  [(p q) ~q]
a) VFV
d) VVF
b) FFF
e) FFV
c) VVV
I. (~p ~q) (p q)
es una contradicción.
II. [(p  q) (q  r)]  (p  r)
es una tautología.
III. [p (p  q)]  (q  r)
es una contingencia.
a) VVV
d) VFV
b) VVF
e) FVV
c) VFF
10.¿Cuáles de las siguientes proposiciones compuestas son
tautológicas?
I. (p ~q)  (~p q)
II. (q  ~p)  (p ~q)
III. (~q  p) (q ~p)
a) sólo I
d) I y II
b) sólo II
e) I y III
c) sólo III
11.Si la proposición compuesta: (p  q)  (r  t) es falsa.
Indicar las proposiciones que son verdaderas:
b) I y III
c) II y III
e) sólo una de ellas
6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
equivalentes?
A: (~p q)  (~r  ~p)
B: p  (r  q)
C: ~q  ~p
a) A y B
d) A, B y C
c) FF
9. Indicar el valor de verdad de:
4. Si: (~p)  r; es verdadero; los valores de verdad de:
I. (p s)  (rs)
II. (p r)  s
son:
a) VV
d) FF
b) VF
e) N.A.
son respectivamente:
3. Hallar la tabla de verdad de:
p
V
V
F
F
a) VV
d) FV
b) A y C
c) B y C
e) no son equivalentes
7. Si las siguientes proposiciones:
p ~q y q p son falsas.
Determinar el valor de verdad de:
a) p; r
d) q; t
b) p; q
e) p; r; t
c) r; t
12.Si la proposición: p (r  s) es falsa, ¿cuántas de las
siguientes proposiciones son verdaderas?
I. (~s  t)  ~p
III. t  ~r
a) ninguna
d) tres
II. r  p
IV. (r  p) (s  t)
b) una
e) cuatro
c) dos
13.De las proposiciones, ¿cuál es una contradicción?
I. ~[ ~(p  q)  q ]  (p  q)
II. ~[ ~p  q ]  (p  q)
a) I
d) ninguna
b) II
e) F.D.
c) I y II
14.De la falsedad de: (p  ~q)  (~r  ~s) se deduce
que los valores veritativos de:
I. ~(~q  ~s)  ~p
II. ~(~r  s)  (~p  ~q)
III. p  ~[q  ~(s  r)] son:
a) FFV
d) FVV
b) FFF
e) VFF
c) FVF
Lógica cuantificacional
Capítulo III
1. Función proposicional
2.2.Cuantificador Existencial
Es aquel enunciado que contiene una variable y que
tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso
para cierto valor de la variable. Las funciones
proposicionales se pueden representar por: p(x), q(x),
r(x), etc., donde "x" sería la variable.
Si a una función proposicional, le anteponemos la
expresión "existe un x tal que", estaremos indicando
el sentido existencial (que exista) de dicha función:
Notación:
Ejemplos:
x: p(x) ó x/p(x) ó (x)(p

)
(x)
p(x) : x - 2 > 18
q(x) : x2 + 4 = 16
r(x) : “x” es un número primo
Si en la primera función proposicional p(x) a "x" le damos
diferentes valores tendremos:
para: x = 10 
p(10):
10 - 2 > 18
8 > 18
(falso)
para: x = 23 
p(23):
23 - 2 > 18
21 > 18
(verdadero)
Como puede verse, dependiendo del valor de la variable
podemos obtener resultados diferentes.
2. Cuantificadores universal y existencial
2.1.Cuantificador Universal
Si a una función proposicional, le anteponemos la
expresión "para todo x", estaremos indicando el
sentido universal de dicha función proposicional,
obteniéndose ahora una proposición lógica.
Se lee:
"existe un x, tal que, se verifique p(x)".
"existe por lo menos un x, tal que, se
verifique p(x)".
"al menos un x, verifica p(x)".
Ejemplo:
p(x): x - 3 > 10
x: p(x)
x: x - 3 > 10
[función proposicional]
[proposición lógica]
Para verificar que es una proposición lógica, podemos
darnos cuenta que si x = 15, se cumple la
desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un
"x", que verifique p(x), por lo tanto es una proposición
lógica, cuyo valor es verdadero.
3. Negación de proposiciones que tienen cuantificadores
Sea la proposición:
x: p(x)
su negación será:
~[x: p(x)] = x: ~p(x)
Notación:
x: p(x) ó x/p(x)(x)ó (x)[p

]
Se lee: "para todo x, tal que, se verifique p(x)".
Ejemplo:
Si tenemos una función proposicional:
P(x): x + 5 > 2 [no es proposición lógica]
y ahora le agregamos el cuantificador universal "".
x: P(x)
x: x + 5 > 2 [proposición lógica]
tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso,
por que no todos los valores de "x" cumplirán la
proposición, por ejemplo: para x = -4, no se cumple.
Entonces es falso que para todo "x", se cumpla:
x+5>2
CIENCIAS - PAMER
De la misma forma, si tenemos la proposición:
x: p(x)
su negación será:
~[x: p(x)] = x: ~p(x)
Ejemplos:
i. x: x = 7
~[x: x = 7] = x: x  7
ii. x: "x" es un número par.
~[x: x es un número par] = x: "x" no es un número par.
iii. x: x2 >1
~[x: x2 > 1] = x: x2  1
ARITMETICA
5
AÑO
4. Circuitos lógicos
El valor de verdad de una proposición puede asociarse
con interruptores que controlan el paso de la corriente.
Así si una proposición es verdadera, el interruptor estará
cerrado y la corriente pasará. Si la proposición es falsa,
el interruptor estará abierto y la corriente no pasará.
p=F
Los interruptores pueden estar en serie o paralelo:
Equivalencia Lógica
4.1. Serie
p
pq
q
p
4.2. Paralelo
pq
q
p
4.3. Mixto
q
(p  q)  (~r)
~r
Problemas para la clase
Bloque I
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones
proposicionales?
I. p(x): x2 + x > 4
II. q(x): "x" es un número impar
III. r(x): 3x + 7
a) Sólo I
d) I y III
b) Sólo II
e) I y II
c) Sólo III
2. Dada la función proposicional: p(x): x3 - 2x > 0
hallar los valores de verdad para: x = -1; x = 2; x = 1
a) VVV
d) FVV
b) VVF
e) FVF
c) VFV
3. Dado el conjunto: A = {3;4;5;6}
hallar el valor de verdad de cada proposición.
I.  x  A: x + 3 > 4
II.  x  A/x - 5 > 1
III.  x  A/x2 - 15 > 0
a) VVF
d) VFV
b) FFF
e) VFF
a) FVV
d) VVF
b) FVF
e) VFV
c) FFV
5. Dadas las proposiciones: p, q y r
p:  x  IR/x2 > 0
q:  x  IR: x2 + x < 1
4
3
r:  x  IR:
x
hallar el valor de verdad de:
(p  ~q)  (q  ~r)
a) V
d) F.D.
b) F
e) N.A.
c) V o F
6. La negación de la expresión:
"Para todo número real "x" existe un número real "y" tal
que: x.y  0"
a)
b)
c)
d)
e)
 x  IR;  y  IR: x.y < 0
 x  IR;  y  IR: x.y = 0
 x  IR;  y  IR: x.y < 0
 x  IR,  y  IR: x.y < 0
N.A.
7. Escribir la negación de las siguientes proposiciones:
p(x) :  x
q(x) :  x
r(x) :  x
s(x;y) :  x
t(x) :  x
R;x 0
x<0
IR ;  n ZZ, n x < n + 1
IR; 2 x + 4 7
IR;  y IR; (x2 + y2 = 4) (x = y)
IR ; x 3
x 2
8. Dado el conjunto: A = {-2; -1; 0; 1; 2}; determinar el
valor de: ~ p q, siendo:
p(x;y) :  x A ;  y A; x + y = 0
q(x;y) :  x A;  y A; xy = 0
9. Si: A = {-2; -1; 0; 1;2} y
p(x;y) :  x A,  y A; x . y = y
q(x;y) :  x A,  y A; xy no está definido
r(x;y) :  x A,  y A; -2 x + y < 1
s(x;y) :  x A,  y A; x2 - y2 = (x + y) (x - y)
Hallar el valor de: [(p
m)
(q
n)]
(r
s)
10.Dadas las proposiciones:
c) FVF
4. Dado el conjunto: B = {-1;0;1;2}
hallar el valor de verdad de cada proposición.
p(x) : (  x
IR; x-1
IR)
q(x) : (  x
Q;
I)
r(x) : (  x
x
IR; x0 1)
( x
(x
( x
IR; x2 + 3 < x)
I; x2 - 4
ZZ ;
0)
7  x / 3x = 0,6)
)
p=V
I.  x  B/x2 < 0
II.  x  B: x2 + 1  0
III.  x  B / (x + 1) (x - 1) > 2
A. Hallar el valor de: [p (~ q r)] [~ r (r
B. Negar simbólicamente cada proposición.
~ q)]
11.Hallar la expresión equivalente al circuito mostrado:
p
~r
q
a) (p  q)  r
c) (p  q)  ~r
e) (p  q)  ~r
b) (p  q)  ~r
d) (p  q)  r
p
r
r(x) :  x
Donde:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
decir el valor de verdad de:
b) VFV
e) FFF
c) VVF
I.  x  U: x  3  x < 4
II.  x  U: x + 2 < 8  x > 6
III.  x  U: x + 2 = 5  x - 1 = 2
b) FFV
e) FFF
Hallar el valor de verdad de: (p
q)
r
b) ~ q
e) p
c) ~ p
q
8. Hallar el equivalente del circuito:
~p
p
q
b) ~ p
e) p q
c) q
9. Hallar la expresión equivalente que representa al circuito:
~(p  q)
p(x;y) :  x A,  y A / x = 2(y - 1)
q(x;y) :  x A,  y A / 2x + y = y
r(x;y) :  x A,  y A / x-1 = y
x  y
x  y
U = {x A / x 2 x < 2}
A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}
a) ~ p
d) p ~q
a) p
d) p
x < 3}
A/
x2  4
=x-2
x 2
q
c) VFF
2
U;
x 2
x 1
7. Hallar el equivalente del circuito:
~p
~p
~q
2. Si: U = {1; 2; 3; 4; 5}
¿cuál es el valor de verdad de las siguientes
proposiciones?
A,  y
x es par
Hallar el valor de verdad de: (p
I.  x  A/x2 - 9 = 0
II.  x  A/x + 3 > 7
III.  x  A/x + 5 < 4
ZZ/ -3
A, x2 > 0
p(x) :  x U; x > 3
q(x) :  x U; x2 = 2
1. Dado el conjunto:
s(x;y) :  x
p(x) : x
2 ; -2; - 2 }
6. Dadas las proposiciones:
Bloque II
3. Sea: A = {x
Hallar el valor de verdad de:
[ ~ p ( ~ q r)]
(s  q)
A. Determinar el valor de verdad de p; q; r y s
B. Negar cada una de las proposiciones.
~s
p  (r  s)
(p  q)  (r  ~s)
(p  q)  (r  ~s)
(p  q)  (r  ~s)
(p  q)  (r  s)
a) VVV
d) FVV
6}
q(x) : x A, x 2 = x
x2 - 4 = (x + 2) (x - 2)
r(x;y) : x A, y A, x + y > 0
s(x; y) :  x A,  y A, x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
q
a) VVV
d) VFF
ZZ / -2 < x
p(x;y) : x U,  y U / x2 + y2 < 36
q(x;y) : x U, y U / 2(x + y) - 2(x - y) = 4y
r(x;y) : x U,  y U / x + y = 0
s(x;y) : { x U / (x > 10) (x > 6)} =
5. Si: A = {2; 1/2;
12.Hallar la expresión equivalente del circuito mostrado:
a)
b)
c)
d)
e)
4. Si se sabe que: U = {x
2
a) p
d) ~ q
 x  y
q)
(~r
~ s)
~(p  q)
b) ~ p
e) (p q)
~q
r
c) q
10.Dado el conjunto: A = {2;3;4;5}
Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas:
I.  x; x2 - 2x - 1 > 0
II.  x;  y/x + y < 6
III.  x;  y: x + y < 10
IV.  x;  y: x + y < 10
V.  x;  y/x + y < 10
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
III.  x  M;  y  M/x + y > 6
IV.  x  M/2x < 11
a) 0
d) 3
c) 3
11.Dado el conjunto:
M = {3; 4; 5; 6}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I.  x  M/(2x - 5)  1
II.  x  M;  y  M/x3 + y3 > 16
b) 1
e) 4
c) 2
12.De las siguientes expresiones, ¿cuáles son funciones
proposicionales?
I. "x" es un número par.
II. (x2 - 3x + 2) - (5x + 2)
III. todos los gatos son negros.
a) I y II
d) Sólo III
b) Todas
e) II y III
c) Sólo I
Teoría de conjuntos
Capítulo IV
La reproducción de las esporas
Un biólogo coloca en un tubo de ensayo totalmente limpio una espora. Al cabo de una
hora, esta se ha dividido en tres esporas exactamente iguales a la original. Y así continúa el
proceso, dando cada espora, en cada hora, lugar a otras tres. A las doce de la noche el tubo
estaba totalmente lleno. ¿A qué hora estaba el tubo a un tercio de su altura?
Noción de conjunto
Por ejemplo, dados los conjuntos:
Se entiende por conjunto a una reunión, colección,
agrupación, agregado o clase de integrantes bien
definidos, estos integrantes reciben el nombre de
elementos.
Relación de pertenencia
Se utiliza para vincular a un elemento con el conjunto
del cual forma parte o no.
-
Si “x” es elemento del conjunto “A”: x  A.
Si “x” no es elemento del conjunto “A”: x  A.
A = { a; c; l}
B = { c; l; a}
A=B
Propiedades de la igualdad de conjuntos
I. A = A ;  A
(propiedad reflexiva)
II. A = B implica B = A
(propiedad simétrica)
III. A = B y B = C implica A = C (propiedad transitiva)
Conjunto potencia
Relaciones entre conjuntos
Dado A  U, existe y es único el conjunto de todos los
subconjuntos o partes de “A”, que denotaremos por
“P(A)”.
1. Inclusión: Dados los conjuntos “A” y “B” en un cierto
universo “U”:
Simbólicamente:
P(A) = { x/x  A}
A  B  x  A  x  B
Gráficamente:
A
B
Por ejemplo, si: A = {a ; b; c}
A  B y leemos:
* "A" es subconjunto de "B".
* "A" está incluido en "B".
* "A" está contenido en "B".
Propiedades de la inclusión de conjuntos:
I. A  A ;  A
(propiedad reflexiva)
II. A  B  B  C  A  C
(propiedad transitiva)
III. Ø  A ; A
(Ø = conjunto vacío)
2. Igualdad:
A = B  (A  B)  (B  A)
P(A) =
 a ; b ;  c ;  a; b;  a ; c ; b ; c ;  a ; b ; c ; Ø 
observemos que por cumplirse: Ø A y A  A, entonces: ØP(A) y A  P(A)
Conjuntos comparables
Un conjunto “A” es comparable con otro conjunto “B”,
cuando entre dichos conjuntos existe relación de inclusión.
“A” comparable con “B”
A  B  B  A

Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = { 1; 3; 5}
B = {1; 2; 3; 4; 5}
Son comparables ya que: A  B.
CIENCIAS - PAMER
ARITMETICA
5
AÑO
Problemas para la clase
Bloque I
1. Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
* El conjunto: A = { x / x + 8 = 8 } es vacío.
* Si: B = { 1; 2; 3; 4 }, entonces: 3  B.
* Si: C =
a; b  ; c; d; a entonces { a; b }  C.
* Si: D = { n2 - 1 / 2  n  9 } entonces “D” posee siete
elementos.
a) VFFF
d) FFVF
b) FVVF
e) FFVV
c) VVFF
a) 16
d) 4
b) 8
e) 32
7. Si para dos conjuntos “A” y “B” se cumple que:
n(A) + n(B) = 16
n[ P(A  B) ] = 4 096
Entonces:
[ (A  B)'  (A  B)' ]'
¿Cuántos subconjuntos propios tiene?
a) 16
d) 63
b) 31
e) 127
a) 2
d) 6
b) 4
e) 5
c) 3
3. Si el conjunto “A” es unitario.
A = { a + b; b + c; a + c; 6 }
Calcular “a2 + b3 + c4”
a) 28
d) 258
b) 72
e) 117
c) 96
4. Dados los conjuntos iguales:
A = { a2 + 9; b + 2 }
B = { - 9; 10 }
Hallar “a + b”
a) - 11
d) b y c
b) - 10
e) N.A.
 x  A  x  B
 x  E  x  B
A  E Ø
5. Dado el conjunto: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas?
I.
II.
III.
IV.
 x  A : (x - 1)2 > 0
 x  A / x2 = x
 x ; y  A : x + y < 10
 x  A ; y  A / xy < 6
a) 1
d) 4
b) 0
e) 2
[ (A  B) - E]  Ac
Observación: Ac = Complemento de “A”.
a) B
c) (A
e) (A
c) 3
* n(B - C) = 4
* n(A  B) = 10
¿Cuántos subconjuntos tiene “C”?
b) B - A
d) B - (A
B) - E
B) E
E)
9. Considere dos conjuntos comparables cuyos cardinales
son números que se diferencian en 3, además la
diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia
es 112. Indicar el número de elementos que posee la
intersección.
b) 4
e) 8
c) 6
10.Sabiendo que el conjunto potencia de “A” tiene 128
subconjuntos en total, que el número cardinal de la
intersección de “A” y “B” es 5 y que (B - A) tiene 16
subconjuntos. ¿Cuántos subconjuntos tiene la reunión
de “A” y “B”?
a) 512
d) 2 048
6. Para los conjuntos: “A”, “B” y “C” contenidos en un conjunto
universal “U”, siendo: C  B, se cumple que:
* n(A - C) = 5
* n(A - B) = 3
¿A qué será igual la expresión siguiente?
a) 3
d) 7
c) - 12
c) 32
8. Dados los conjuntos: “A”, “B” y “E”; cumpliéndose que:
2. Determinar por extensión el conjunto “A” e indicar el
número cardinal de dicho conjunto.
 x 3  x

/ x  ZZ   3  x  4 
A= 
 x  2

c) 64
b) 64
e) 4 096
c) 1 024
11.Sean los conjuntos “A” y “B”, tal que:
A - B = Ø ; siendo: n(B) = 2
A = { 6; 2a; ab }
B = { 8; 3b; c }
siendo { a; b; c }  IN; indicar el conjunto { a; b; c } por
comprensión.
a) { x  ZZ / 1  x  3}
b) { “x” es par / 2  x  3 }
c) { 2x / x  IN  x  4; x  3 }
d) { 2x / x  IN  1  x  3 }
e) { x / x  ZZ +  x2  64}
12.Si:
Calcular la suma de los elementos del conjunto “B”.
a) 71
d) 89
A = { a; b; c; b} y
B = { (m2 + 1); - 1; 5; (n - 3); 2 }
donde: “n” y “m”  ZZ+ y 3 < n < 8; además “A” y “B”
son equivalentes. Hallar la suma de los valores de
“n + m”.
a) 8
d) 14
b) 13
e) 12
c) 10
1. Si: A = { varones }
B = { personas que son médicos }
C = { personas que fuman }
Como se expresaría:
“Mujeres fumadoras que no son médicos”
a) A'  B'  C
c) (A  B  C')'
e) A'  B'  C
b) A'  B'  C'
d) A  B  C'
I.
II.
III.
IV.
AD=Ø
DA
(B  C)  A
AC=Ø
b) 1
e) N.A.
c) 2
7. Sabiendo que “U” es el conjunto universal respecto a
los conjuntos “A”, “B” y “C” y además:
*
*
*
*
*
n(U) = 150
n(C - A) = 45
n[ (A  B  C)' ] = 25
n(A  B  C) = 20
n[ (A  B) - C ] = 30
Hallar “n[ (A  C) - B ]”
2. Si:
n(A) = 8 y n(B) = 6
n(C) = 7 y n(D) = 10
El número máximo de elementos de (A B) es “k” y el número
mínimo de elementos de (D - C) es “l ”. Hallar “k + l ”
a) 15
d) 18
b) 16
e) 19
c) 17
3. Se tiene los conjuntos:
A = { x / x  IR  x < 3 }
B = { x / x  IR  x < 8 }
C = { x / x  IR  x > 9 }
Calcular: [ (A - C)  (IR - B) ]  B
a)
b)
c)
d)
e)
c) 73
6. “A”, “B”, “C” y “D” son conjuntos no vacíos tales que:
A  B y D = B  C, luego de las proposiciones
mostradas, cuántas son correctas:
a) todas
d) 3
Bloque II
b) - 55
e) 79
{ x / x  IR  x  8 }
{ x / x  IR 3 < x < 9 }
A
Ac
B-A
4. U = { x / x  IN  0  x  9 }
(A  B)c = { 0; 6; 9 }
A B = { 1; 2; 7 }
A - B = { 3; 5 }
¿Cuál es la suma de los elementos de: B - A?
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
5. Sabiendo que:
A = { x / x  ZZ 4  x2  25 }
B = { y + 24 / y  ZZ ( 20  y - 3)  A }
a) 5
d) 20
b) 10
e) 30
c) 15
8. Sean: “A”, “B” y “C” tres conjuntos, la intersección de
los tres tiene 5 elementos y la unión de los tres tiene 50
elementos. Si la unión de “A” y “B” tiene 35 elementos y
se sabe que cada intersección de dos de ellos tiene 10
elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto “C”?
a) 10
d) 15
b) 20
e) 25
c) 30
9. Dados tres conjuntos: “A”, “B” y “C”, se sabe que:
*
*
*
*
*
*
n(B) = 3 × n(A)
n(C) = n(A) - 1
n(A) = 2 × n(A  B) = 4 × n(A  C)
n(B  C) = 2
n(A  B  C) = 1
n[ (A  B) - C ] = 121
Calcular “n[C - (A  B)]”
a) 20
d) 32
b) 30
e) 33
c) 31
10.Sea: A = { 3; { 2; 8 }; 5 }
Dar el valor veritativo de las siguientes proposiciones:
*
*
*
 x  P(A) / 2  x
 x  P(A) / { 3 }  x
 x  P(A) / { 2; 8 }  x
a) FVF
d) VFF
b) VFV
e) N.A.
c) FFV
11.Si: U = { x / x  IN, x < 1 000}
a) 25
d) 10
A = { x / x = 7k  k  IN }
B = { x / x = 11k  k  IN }
C = { x / x = 6k  k IN }
c) 11
12.Determinar por extensión el conjunto “M” e indicar el
número cardinal de dicho conjunto.
 x 2  4

M= 
/ x  IN  0  x  6 
 x  2

a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 20
P = { x / x  ZZ 10  x < 20 }
Q = { x / x  ZZ  x < 3 }
R = { x / x  ZZ  x > 1} ; a qué es igual: (P  Q)  R
(A  B)  C'
b) 10
e) 8
b) 15
e) 40
14.Si “P”, “Q” y “R” son subconjuntos de ZZ (números
enteros) y:
Hallar el cardinal de:
a) 9
d) 12
13.En el problema anterior, hallar la suma de los elementos
de dicho conjunto.
c) 6
a) P
d) Rc
b) Q
e) Qc
c) R
* Observación: AC = complemento del conjunto “A”.
15.Si los conjuntos “A” y “B” poseen 16 y 8 subconjuntos
respectivamente y A  B posee 32 subconjuntos,
¿cuántos subconjuntos posee A  B?
a) 4
d) 1
b) 8
e) 16
c) 2
Operaciones entre conjuntos
Capítulo V
Los sacos de monedas
En un banco hay siete sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor,
cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado
junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos
en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá
averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?
A=B
Dados los conjuntos “A” y “B” contenidos en el conjunto
universal “U”.
Unión
Gráficamente “A  B”:
B
A
B
A
A  B = { x / x  A  x  B }
Por ejemplo:
"A" y "B" son disjuntos
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
"A" y "B" no disjuntos
B
A
 M  N = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }
Gráficamente “A  B”:
A B
B
A
A
B
Diferencia
A - B = { x / x  A  x  B}
Por ejemplo:
"A" y "B" disjuntos
"A" y "B" no disjuntos
B
A
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
 M - N = { 1; 2; 3 }
N - M = { 6; 7 }
Gráficamente “A - B”:
A
B
A
B
AB
Intersección
A B = { x / x  A  x B }
"A" y "B" son disjuntos
"A" y "B" no disjuntos
Por ejemplo:
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
 M  N = { 4; 5 }
CIENCIAS - PAMER
B
A
BA
ARITMETICA
5
AÑO
Diferencia simétrica
A  B = { x / (x  A  x B)  (x  A  x B) }
Por ejemplo:
a) 3
d) 6
M = { 1; 2; 3; 4; 5 }
N = { 4; 5; 6; 7 }
Gráficamente “A  B”:
B
"A" y "B" disjuntos
b) 4
e) 7
c) 5
3. Un grupo de 110 alumnos de la UNI llegó para su
inscripción y se observó que:
 M  N = { 1; 2; 3; 6; 7 }
A
2. En el mes de marzo, Martín comió en el desayuno
huevos o tocino. Si no comió huevos durante 11 días y
no comió tocino durante 14 días, ¿cuántos días comió
huevos y tocino?
A
B
"A" y "B" no disjuntos
A
-
50 se matricularon en Matemática II.
60 se matricularon en Física II.
70 se matricularon en Química II.
30 en Matemática II y Física II.
32 en Física II y Química II.
35 en Matemática II y Química II.
20 en los tres cursos.
¿Cuántos no se matricularon en Matemática II, Física II
y Química II?
a) 7
d) 10
B
b) 8
e) 11
c) 9
4. A un grupo de 36 comensales se les preguntó sobre sus
preferencias respecto a las comidas de la Costa, Sierra
y Selva; y se obtuvo la siguiente información:
AB
Complemento
A' = { x / x  U  x A}
Por ejemplo:
U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
M = { 2; 4; 6; 8 }
a) 3
d) 6
Gráficamente “A'”:
U
A
Problemas para la clase
Bloque I
1. De un grupo de estudiantes de idiomas, se sabe que 80
estudian inglés o francés. Además 52 estudian inglés y
67 estudian francés. ¿Cuántos estudian inglés y francés?
b) 37
e) 40
A 22 no les gusta la de la Costa.
A 20 no les gusta la de la Sierra.
A 21 no les gusta la de la Selva.
A 8 no les gusta ninguna.
5 gustan de la Costa y Sierra.
8 de la Costa y Selva.
7 de la Sierra y Selva.
¿Cuántos gustan de los tres lugares?
 M' = { 1; 3; 5; 7; 9 }
a) 36
d) 39
-
c) 38
b) 4
e) 7
c) 5
5. En un aula del quinto año se tomó tres exámenes a
saber: aritmética, física y química. De donde se obtuvo
la siguiente información:
-
Todos los que aprobaron física aprobaron aritmética.
8 aprobaron los tres cursos.
13 aprobaron física.
13 aprobaron aritmética y no química.
15 aprobaron aritmética y química.
2 aprobaron solo química.
5 no aprobaron examen alguno.
¿Cuántos alumnos conforman el aula?
a) 26
d) 31
b) 35
e) 32
c) 28
6. En una reunión social, en un determinado momento, se
observó que había 20 hombres menos sin bailar que
mujeres sin bailar. Si el número de mujeres que bailan
es la mitad del número de hombres que no bailan y
además el número de personas presentes fue de 140,
calcule cuántas mujeres sin bailar habían en ese
momento.
a) 20
d) 80
b) 40
e) 100
c) 60
7. En la fiesta de promoción de la PUCP, facultad de
derecho, se observó que 67 eran hombres y 37 mujeres.
El número de personas que fumaba era 36. El número
de hombres que no fumaba era 40. El número de
personas que no beben es 50. Si hubo 12 hombres que
bebían y no fumaban, calcule el número de mujeres
que no fuman y beben, además 21 mujeres no beben ni
fuman.
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
{ 2; { a } }  P(A)
{ { 5 }; { 2; a }}  P(A)
{ 5; a }  P(A)
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
B
C
c) 3
11.En una determinada ciudad hay tres estaciones de radio
“A”, “B” y “C” que pueden ser escuchadas por 3 000
familias. Luego de una encuesta se obtuvo la siguiente
información: 1 800 familias escuchan la estación “A”;
1 700 familias escuchan la estación “B”; 1 200 familias
escuchan la estación “C”; 1 250 familias escuchan las
estaciones “A” y “B”; 700 familias escuchan las estaciones
“A” y “C”; 600 familias escuchan las estaciones “B” y
“C”, y 200 familias escuchan las estaciones “A”, “B” y
“C”. ¿Cuál es el número de familias que no escuchan a
“A” pero escuchan “B” o “C”?
a) 400
d) 550
c) 7
8. ¿Qué relación conjuntista representa la región
sombreada?
A
*
*
*
b) 450
e) 600
c) 500
12.En una fiesta se ha observado que de los invitados:
-
El 80 % fuma.
El 90 % bebe.
El 60 % son hombres.
El 2 % son mujeres que no fuman ni beben.
El 55 % son hombres que beben y fuman.
El 18 % son mujeres que no fuman.
Si no hay hombres que no fuman y beben, ¿cuántas
mujeres fuman y no beben?
a)
b)
c)
d)
e)
a) 3
d) 6
B  [ (A  C) - (A  C) ]
B  [ (A  C) - (A C) ]
B  [ (A C)  (A  C) ]
B  [ (A  C) - (A  C) ]'
B - [ (A  C) - (A  C) ]
1. Dados los conjuntos unitarios:
n(B - A) = 5
n(B - C) = 8
n(A  B) = 9
n(A  C) = 2
n[ (A  B)' ] = 4
b) 17
e) 20
n(P(A)) = 24
{{a}}A
{ 2; 5 }  A
B={
n + m; 8 }
n - m; 4 }
a) 240
d) 20
b) 40
e) 225
c) 220
2. Para tres conjuntos “A”, “B” y “C” se cumple:
c) 18
10.Sea el conjunto: A = { 2; { a }; { 2; a }; 5}, ¿cuántas de
las siguientes proposiciones son verdaderas?
*
*
*
A={
Calcule n[ P(D) ], si: n(D) = n + m
Calcule “n(U)”, si: C  (A  B)
a) 16
d) 19
c) 5
Bloque II
9. Dados los conjuntos “A”, “B” y “C” incluidos en un universo
“U”, se sabe que:
-
b) 4
e) 7
*
*
*
*
n(A  B  C) = 5
n(Ac  Bc  Cc)c = 50
n(A  B) = 35
n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) = 10
Calcule “n(C)”
a) 20
d) 15
b) 25
e) 10
c) 30
3. De un grupo de 50 personas: 30 hablan español, 25
hablan inglés, 20 hablan francés y 4 hablan los tres
idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de
estos idiomas, si todos hablan al menos uno de estos
idiomas?
a) 16
d) 14
b) 21
e) 20
c) 17
4. De una muestra de 400 personas se observa que:
-
50 hombres cantantes no son ciegos.
80 mujeres son cantantes o ciegas, pero no mudas.
40 personas son mudas y ciegas.
30 personas son mudas, pero no ciegas.
60 hombres son ciegos, pero no mudos.
¿Cuántas personas no son cantantes, tampoco mudos
ni ciegos?
a) 160
d) 200
b) 140
e) 120
c) 180
5. En la maternidad se observó que de las 47 personas
presentes, 29 eran hombres de los cuales 19 no eran
mayores de edad. Si 11 personas nacieron hoy y las
mujeres mayores de edad son tantas como las menores
de edad, de estas, las que nacieron hoy representan el
20 % del número de hombres mayores de edad.
¿Cuántos hombres menores de edad no nacieron hoy?
a) 12
d) 15
b) 13
e) 10
c) 14
6. En un aula de 104 personas todos juegan al menos fútbol
(F), básket (B) o vóley (V). Se sabe que todos los que
practican “B” también practican “F”. Los hombres que
practican solo “F” y “B” son 10 y estos son la mitad de
las personas que practican solo “V” y a su vez la tercera
parte de las personas que practican solo “F” y “V”. De
las personas que practican los tres deportes se sabe
que son la mitad de las mujeres que practican solo “B”
y “F”; y la tercera parte de las personas que practican
solo “F”. Calcule, ¿cuántos practican solo “F”?
a) 27
d) 9
b) 12
e) 15
c) 18
7. En un aeropuerto se dispone a viajar un grupo de
personas. Se observa que 40 mujeres viajan al
extranjero, 37 hombres viajan a provincias, 28 casados
viajan al extranjero, 45 solteros viajan a provincias y
hay 42 hombres casados. ¿Cuántas mujeres solteras
viajan a provincias, si 18 mujeres solteras viajan al
extranjero?
a) 44
d) 41
b) 43
e) 40
c) 42
8. Se tienen tres conjuntos “A”, “B” y “C; tal que se cumple:
*
*
*
*
AC=C
n(A'  B') = 100
n(C') = 190
n[ (A  B) - C ] = 6n(C)
Calcule “n(U)”
a) 200
d) 208
b) 205
e) 206
c) 210
9. Dados los conjuntos “A”, “B” y “C” contenidos en un
universo de 98 elementos de modo que:
*
*
*
*
n(A - B) = 21
n(B - C) = 25
n(C - A) = 32
3n(A  B  C) = n[ (A  B  C)' ]
Calcule “n[ A  B  C ]”
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
10.Cuál de las alternativas representa la región sombreada:
C
A
B
I. (C  A'  B')  (A  B)
II. C  (A  B)'
III. [(C  A' B')  A]  [(C A'  B')  B]
a) sólo I
d) I y II
b) sólo II
e) I, II y III
c) sólo III
11.En una reunión a la que asistieron 32 personas, se
observó que:
-
A 13 les gusta la salsa.
A 15 les gusta el rock.
A 15 les gusta la balada.
A 5 les gusta la salsa y el rock.
A 8 les gusta el rock y la balada.
A 7 les gusta la salsa y la balada.
¿A cuántos no les gusta la salsa, ni el rock ni la balada?
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
12.En la fiesta de promoción de primaria de un colegio
asistieron 80 alumnos, de los cuales 34 son mujeres y
18 hombres están bailando. ¿Cuántas mujeres no están
bailando?
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
Teoría de la numeración I
Capítulo VI
La ferretería
Una mujer entra a una ferretería, ve un producto que le interesa y pregunta: ¿Cuánto
cuesta uno?.
El vendedor responde “ochenta maravedíes”. Entonces ella pregunta: “¿y trece?”, a lo que
el tendero replica “ciento sesenta”.
La mujer se decide finalmente y dice “me llevaré ciento treinta y cinco”. “Eso le costará
doscientos cuarenta maravedíes”. ¿Qué es lo que está comprando la señora?
Introducción
En el transcurso del desarrollo de la humanidad, el
hombre tuvo la necesidad de expresar el número, al inicio
presumiblemente solo en un lenguaje simbólico. Los dedos
de la mano pueden usarse para presentar un conjunto
de dos, tres, cuatro o cinco objetos. Por medio de los
dedos de las manos se podían representar colecciones
de hasta diez elementos, y usando los dedos de las manos
y pies podía remontarse hasta veinte. Cuando el uso de
los dedos resultaba inadecuado , podían utilizarse
pequeños montones de piedras para representar los
elementos de un conjunto y cuando el hombre primitivo
empleaba este sistema de representación, a menudo
amontonaba las piedras en grupos de cinco, debido a
que antes ya se había familiarizado con los quíntuplos
por observación de su propia mano o pie.
Cada pueblo en la antigüedad definía su propio sistema
de numeración. Un accidente anatómico, el que tengamos
diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha
determinado la definición del sistema decimal de
numeración en la mayor parte de los pueblos. Otro
sistema de numeración también ligado a la fisiología
humana es el duodecimal, puesto que los cuatro dedos
de la mano, a excepción del pulgar, tienen 12 falanges
en total, por lo que se puede contar hasta doce. Este
sistema se emplea en la actualidad ya que muchos objetos
se compran por docenas y no decenas: cuchillos,
tenedores, platos, etc. Los ingleses conservan vestigios
del sistema duodecimal tanto en el sistema de medidas,
un pie equivale a doce pulgadas, como en el sistema
monetario, un chelin equivale a doce peniques.
Actualmente utilizamos el sistema decimal que fue
simbolizado por los Hindues y difundido por los árabes,
razón por la cual se le llama sistema indoarábigo.
Los símbolos que usamos son diez: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 8 y 9; a los que llamamos cifras o dígitos. Uno de los
principios con el que se rige nuestro sistema es el de la
posición, según el cual el valor de cada dígito depende
de su posición, por ejemplo:
CIENCIAS - PAMER
5 7 8 6
Posición
unidades: 6 × 1
decenas : 8 × 10
Valores
centenas: 7 × 100 posicionales
millares : 5 × 1000
Podemos apreciar que la suma de los valores posicionales
de las cifras dan como resultado el numeral 5 786.
5786 = 5 × 1000 + 7 × 100 + 8 × 10 + 6 × 1
Numeración
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio
de la correcta formación, escritura y lectura de los
números.
Número
Es un ente matemático que nos permite cuantificar los
objetos de la naturaleza.
Numeral
Es la representación simbólica o figurativa del número.
Cifra o dígito
Son los símbolos que por convención se usarán en la
formación de los numerales y estos son: 0; 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8 y 9.
Sistema posicional de numeración
Es un conjunto de principios y convenciones que nos
permiten la correcta formación, escritura y lectura de
los números.
Principios fundamentales
1. Del orden.- Toda cifra que forma parte de un
numeral ocupa un orden determinado, el cual se
considera de derecha a izquierda.
ARITMETICA
5
AÑO
Por ejemplo:
Lugar
1º 2º 3º 4º 5º
9
2
7
5
* Numeral de dos cifras de la base 10: ab
6
5º 4º 3º 2º 1º
ab  { 10; 11; 12; 13; ...; 99 }
Orden
2. De la base.- Todo sistema de numeración tiene una
base que es un número entero positivo mayor que
uno, el que nos indica el número de unidades
suficientes y necesarias de un orden cualquiera para
formar una unidad del orden inmediato superior.
3. De las cifras.- Las cifras de un numeral deben ser
enteras no negativas, la primera debe ser diferente
de cero, además deben ser menores que la base.
Por ejemplo, representa en base 10 el siguiente
conjunto de asteriscos.
* Numeral de tres cifras de la base 7: abc7
abc7  { 1007; 1017; 1027; ...; 6667 }
*
(ab)(a  2)(b  3) 8 es un numeral de tres cifras de
la base 8.
Numeral capicúa
Es todo numeral simétrico, por ejemplo:
**********
**********
* 226 ; 445 ; 779
**********
**********
* 313 ; 90911 ; 6667
**********
**********
* 42246 ; 51159 ; 22225
*******
*******
Observamos tres grupos de diez unidades y siete
unidades simples, entonces su representación será: 3710
Considerando los principios de la base y de las cifras
podemos indicar:
Base
Sistema
Cifras disponibles
Veamos la representación literal de los numerales capicúas:
* Numeral capicúa de dos cifras en la base 10: aa
aa  { 11; 22; 33; ...; 99 }
* Numeral capicúa de tres cifras en la base 7: aba7
aba7  { 1017; 1117; 1217; ...; 6667}
* Numeral capicúa de cuatro cifras en la base 11: abba11
abba11  { 100111; 111111; 122111; ...;
(10)(10)(10)(10)11 }
Descomposición polinómica
Representación literal de numerales
Para representar los numerales se debe tener en cuenta
las siguientes consideraciones:
1. Toda expresión entre paréntesis nos indicará una
cifra.
2. Las letras diferentes no necesariamente representan
valores diferentes, excepto se indique que deben ser
valores diferentes.
Consiste en expresar al número como la sumatoria de
los valores posicionales de cada una de sus cifras, por
ejemplo:
4253 = 4 × 103 + 2 × 102 + 5 × 10 + 3
abcd = a × 103 + b × 102 + c × 10 + d
aba7 = a × 72 + b × 7 + a
ab4c 6 = a × 63 + b × 62 + 4 × 6 + c
También se puede descomponer un número por bloques,
por ejemplo:
abab = ab × 102 + ab
abcabc7 = abc7 × 73 +
abc 7
4a4a6 = 4a6 × 62 + 4a6
a) 9
d) 12
b) 10
e) 13
c) 11
y mnp 6 al expresar como una multiplicación indicada a
mnmn8 y mnpmnp 6 respectivamente.
Bloque I
1. ¿Cuántas cifras tiene un numeral en el que se observa
que la cifra de segundo orden es la tercera cifra?
a) 3
d) 2
b) 4
e) 6
c) 5
2. Calcular “a + b”, si los numerales:
7a38 ; 545b ; 6b5a
están correctamente escritos.
a) 11
d) 15
b) 13
e) 16
c) 14
3. Si los numerales están correctamente escritos, calcular
“a + b”.
b) 6
e) 3
c) 4
4. Calcule la suma de los números de valores que pueden
asumir: “a”, “b” y “c”.
 2  b 
(5  a)(3  a)(2b  1) c  
 3  2  8
a) 14
d) 17
b) 281
e) 284
c) 282
8. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a
cuatro veces la suma de sus cifras?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
9. Calcule la suma de los numerales, tal que al restarles el
numeral que se obtiene al invertir el orden de su cifras
se obtiene 54.
a) 1
d) 4
a) 34
d) 37
b
II.  b  5 9
3
a) 5
d) 7
a) 280
d) 283
b) 2
e) 5
c) 3
10.Si Arturo tiene ab años y dentro de “6a” años tendrá
50 años, calcule su edad dentro de “a + b” años.
(2a)( a  2) 5
b) 15
e) 18
c) 16
b
5. Si el numeral 2a  5  3  b 8  an ; es capicúa,
2
calcule “a × b”.
a) 6
d) 4
N = 2 × 54 + 7 × 53 + 52 + 8 × 5 + 2
7. Calcule la suma de los factores que multiplican a mn8
Problemas para la clase
I.
6. Exprese “N” en base 5 y de la suma de sus cifras.
b) 3
e) 8
c) 2
b) 35
e) 38
c) 36
11.Calcule el producto de las cifras de un numeral de tres
cifras, tal que sea igual a 25 veces la suma de sus cifras.
a) 9
d) 18
b) 20
e) 15
c) 10
12.Un auto que viaja con velocidad constante pasó por el
kilómetro ab . Al cabo de media hora pasó por el
kilómetro ba . Finalmente, luego de media hora más
pasó por el kilómetro a0b . ¿Con qué rapidez viajó el
automóvil (km/h)?
a) 80
d) 60
b) 90
e) 100
c) 75
Bloque II
1. Dado el numeral capicúa de cifras significativas:
b
abc b  2  bc  14
2
Calcule “a + b + c”
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
mnp1  3  2mnp
Calcule “m + n + p”
b) 17
e) 20
c) 18
3. Dados los numerales: aa b ; ba c y ca 4
Calcule “a + b + c”
a) 3
d) 12
b) 6
e) 10
c) 9
4. Si los numerales:
 a
a  b ; c1 6 ;
2
b
 b1 c
2
están bien escritos, calcule “a × b × c”
a) 40
d) 12
b) 60
e) 15
c) 24
5. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que al
sumarles el numeral que se forma al invertir el orden
de sus cifras se obtiene 22 veces la diferencia de las
mismas?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
6. Halle un numeral de dos cifras, tal que al invertirlo, el
numeral queda aumentado en 15 respecto a su doble.
De como respuesta el producto de sus cifras.
a) 27
d) 18
b) 31
e) 34
c) 32
8. Si: abcd = 37ab + 62cd
Halle “a + b + c + d”
2. Si se cumple que:
a) 16
d) 19
a) 30
d) 33
b) 3
e) 15
c) 9
7. Escriba correctamente el siguiente numeral y dé como
respuesta la suma de sus cifras.
(4n)(5n  2)(7n)( 4n  1)(3n)(n  5)6 n
(n > 6)
a) 16
d) 14
b) 17
e) 13
c) 15
9. Exprese “E” en base 8 y de como respuesta la suma de
sus cifras.
E = 6 × 83 + 4 × 85 + 11 × 82 + 3 × 84 + 37
a) 23
d) 26
b) 24
e) 27
c) 25
10.Calcule la suma de las cifras y la base, del menor
numeral de cinco cifras significativas y diferentes entre
sí.
a) 25
d) 10
b) 21
e) 22
c) 28
11.Si ab es un numeral de cifras significativas y mínimo,
además: ab = n(a + b).
Calcule “a + b + n”
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
12.Calcule el menor valor de “a + b + n”, si: ab = n(a - b).
a) 20
d) 23
b) 21
e) 24
c) 22
13.¿Cuál es el factor por el que hay que multiplicar a
“a - b” para que sea igual a ab  ba ?
a) 9
d) 6
b) 10
e) 11
c) 7
14.¿Cuál es el factor por el que hay que multiplicar a “a - c”
para que sea igual a abc  cba ?
a) 33
d) 22
b) 66
e) 99
c) 11
Teoría de la numeración II
Capítulo VII
Adivina la edad
Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el
número del mes de nacimiento (enero = 1; febrero = 2; ...) y después le pides que lo multiplique
mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido
por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente,
réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad,
y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?
B'  (A  A')
Ø
Cambios de base
1. De una base diferente de 10 a la base 10. Por
descomposición polinómica
Por ejemplo:
* Podemos llevar, gracias a los métodos anteriores, de
base diferente de 10 a base diferente de 10, por
ejemplo:
a) 4379 a base 6
4
a) 57211 a base 10
3
7
2
9=4×9 +3×9+7
4379 = 358
57211 = 5 × 112 + 7 × 11 + 2   57211 = 684
358
6
4
b) 41325 a base 10
59
6
5
9
6
3
1
41325 = 4 × 53 + 1 × 52 + 3 × 5 + 2   41325 = 542
2. De la base 10 a una base diferente de 10. Por
divisiones sucesivas.
a) 547 a base 7
7
78
1
b) 2667 a base 11
2667 = 2 × 72 + 6 × 7 + 6
2667 = 146
Por ejemplo:
547
1
7
11
4
7
1
146
11
3
13
11
2
1
547 = 14117

 2667 = 12311
Problemas para la clase
b) 326 a base 9
326
2
 4379 = 13546
Bloque I
9
36
0
9
4
 326 = 4029
1. Si: 8729 = abc 11 , calcule “a + b + c”..
a) 22
d) 25
c) 42 a base 2
42
2
0
21
2
1
10
2
0
5
2
1
2
2
0
1
b) 23
e) 26
c) 24
2. Exprese en base 5 el menor numeral de 4 cifras de la
base 7. De como respuesta la suma de cifras de mayor
y menor orden.
CIENCIAS - PAMER
 42 = 1010102
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
ARITMETICA
5
AÑO
3. Calcule el producto de las cifras del numeral que se
obtiene al expresar en base 4 el menor numeral de tres
cifras significativas de la base 9.
a) 4
d) 9
b) 10
e) 8
c) 12
4. Calcule el valor de “a + n”, si se cumple que:
7 a n = 639
a) 7
d) 10
b) 8
e) 11
c) 9
b) 11
e) 14
c) 11
E = 112  1213  1415
4
16
b) 34
e) 37
7
c) 35
a) 7
d) 10
b) 8
e) 11
c) 9
2. Si se cumple que:
13m n  33n p  136 m  44 p
b) 21
e) 18
c) 27
3. Si: bc n  an m , donde: m < 5, calcule
“a + b + c + m + n”.
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
4. Si: an2 9  47b n , calcule “a + b + n”..
a) 12
d) 15
8. Calcule “n - m”, si:
1a 1b n  13 1b
c) 13
Bloque II
a) 24
d) 30
7. Calcule el valor de:
a) 33
d) 36
b) 12
e) 15
Calcule “m + n + p”
324 n  abn 6
b) 10
e) 8
a) 11
d) 14
c) 12
6. Calcule el valor de “a + b + n”, si:
a) 9
d) 7
aba 7  ccb 9  d8b
1. Calcule “a + b + c”, si: aaa 7  bc 8
5. Calcule el valor de “m + n”, si: 251 m  20n 7 .
a) 10
d) 13
12.Calcule “a + b + c + d”, si:
b) 13
e) 16
c) 14
1a m
5. Si: 4 a5 n  2b3 8 , calcule “a + b + n”..
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
9. ¿Cuántos numerales de cuatro cifras del sistema decimal
tienen cuatro cifras en el sistema octanario?
a) 3 960
d) 2 096
b) 3 096
e) 2 069
b) 4
e) 7
c) 5
b) 10
e) 13
c) 11
6. Calcule el valor de “a + b + n”, si:
c) 2 460
10.¿En cuántos sistemas de numeración el 881 se escribe
con cuatro cifras?
a) 3
d) 6
a) 9
d) 12
54 a03 n  16b03 8
a) 12
d) 15
b) 13
e) 16
c) 14
7. Si se cumple que:
abab 4 5  mn(m  1)(n  1) 7 , donde “m” y “n” son
pares, calcule la suma de “a + b + m + n”.
11.Si: aabb 7  11a4 9
Halle el valor de “a + b“
a) 7
d) 10
b) 8
e) 11
a) 15
d) 16
c) 9
b) 14
e) 17
c) 13
8. Si: mnpq  4a2q 7 , calcule “a + m + n + p”..
a) 20
d) 18
b) 21
e) 19
c) 22
9. Calcule “a + b + d”, si:
abb5 d  a(b  3)(b  3)(b  1) 7
a) 10
d) 11
b) 8
e) 6
c) 7
10.Halle “mn”, si se cumple que: m2n 4  1m5 (2n)
a) 8
d) 15
b) 7
e) 9
c) 16
11.Si: aabc 6  bb(2c) 7  b + c = 7, calcule “a + b - c”..
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
12.Exprese el numeral 4257 a base 9. De como respuesta
la suma de sus cifras.
a) 13
d) 16
b) 14
e) 17
c) 15
13.Calcule el valor de: E = 11 12 13  13 14 15
a) 41
d) 44
b) 42
e) 45
16
c) 43
14.Calcule el valor de “a + n”, si: 1021 n  20a 4
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
15.Si: 3b6 n  143 8 , calcule “b + n”..
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
Repaso
Capítulo VIII
Problema de edades
Dos amigos mantienen esta conversación:
-
¿Cuántos años tienen ya tus tres hijas?-preguntó el primero.
Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de
años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.
Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante.
Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor estudia en TRILCE.
¿Sabrías decir las edades de las tres hijas?
Problemas para la clase
1. ¿Qué expresiones son lógicamente equivalentes?
I. p  (~p  q)
II. ~(p  ~q)
III. ~q  p
a) I y II
d) todas
b) I y III
e) ninguna
c) II y III
b) 5 y 3
e) 2 y 4
c) 4 y 4
3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
equivalencias lógicas?
b) sólo II
e) todas
p: María estudia en TRILCE.
q: María ingresará a la UNI.
r: María trabaja.
Simbolizar:
María trabaja solo si estudia en TRILCE. Además, María
ingresará a la UNI puesto que estudia en TRILCE.
(p  r)  (q  p)
(r  p)  (q  p)
(r  p)  (p  q)
(p  r)  (p  q)
(~p  r)  (q  r)
CIENCIAS - PAMER
~r
6. Dadas las proposiciones:
p(x) : (  x
IN / 2 + 3x = 8)
( x
ZZ ; x2 > x)
q(x) : (  x ZZ / - x < 0) (  x IR /  x
r(x) : (  x I / x0 = 1) (  x ZZ / -x = x)
a) Negar cada proposición.
b) Hallar el valor de verdad de:
~(q
p)
[~r
(~p
c) sólo III
4. Se definen las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
p(x; y) :  x A,  y A, -1 < x + y 2
q(x) :  x A, (x2 = 5) (4 + 3 = 7)
r(x; y) :  x A,  y A, 2x + y = 0
7. Si: p(x) : ~ {  x
I. { p  (~p  q) }  p
II. ~(p  q)  ~p  ~q
III. (p  q)  ~(p  q)
a) sólo I
d) II y III
2 } y las proposiciones:
a) Hallar el valor de verdad de: (~ p q)
b) Escribir la negación de cada proposición.
2. Cuántos “V” y cuántos “F” respectivamente tiene en su
tabla de verdad la proposición: (p ~q)  (r  q)
a) 6 y 2
d) 1 y 7
5. Sea: A = {0; 2; -1; 3/2;
Q)
~ q)]
Q ; x + 2 > 0}
q(x) :  x
IN /3x + 3x+1 + 3x+2 = 117
r(x) :  x
ZZ /
x
=1
x
Hallar el valor de: (p
q)
r
8. Dado el conjunto: A = { a; { a }; ; {  }}, ¿cuántas de
las siguientes proposiciones son verdaderas?
*
*
*
*
*
 A
 A
{  } A
{ { a };  }  P(A)
{ {  } }  P(A)
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
ARITMETICA
5
AÑO
9. Se tienen tres conjuntos: “A”; “B” y “C”, tales que están
incluidos en el universo “U”, además:
*
*
*
*
AC=C
n(C') = 150
n[ Ac  Bc] = 90
n[ (A  B) - C ] = 6n(C)
a) 1
d) 4
Calcule “n(U)”
a) 150
d) 180
b) 160
e) 190
c) 170
A = { 2x + 1; 3x}
B = { 2x; y }
C = { x2 / x  A }
b) 5
e) 4
b) febrero
e) mayo
Calcule “n(S)”
c) 4
13.De una muestra recogida de 200 secretarias se observó:
40 eran blancas, 50 eran morenas y 90 tenían ojos
pardos. De las últimas, 65 no son blancas y 60 no son
morenas. ¿Cuántas secretarias no eran blancas, ni
morenas ni tenían ojos pardos?
a) 71
d) 74
b) 72
e) 75
c) 73
14.A una reunión, a la cual asistieron 150 personas, se
observó que 60 son mujeres, 58 hombres no bailan, 25
mujeres bailan pero no fuman, 68 personas no bailan
ni fuman y 30 personas fuman. ¿Cuántas mujeres bailan
y están fumando?
a) 16
d) 19
b) 17
e) 20
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
a  1 b  a c  22b
2
Calcule “a + b + c”
a) 10
d) 13
c) 18
b) 11
e) 14
c) 12
18.Calcule “a + b”, si:
c) marzo
A = { 1; 2; 3; 4 }
B = { 3; 4; 5; 6 }
S = { (a; b)  A × B / b = a + 3 }
b) 3
e) 8
16.Calcule “m + n + p”, si los numerales están bien escritos.
c) 14
12.Sean los conjuntos:
a) 16
d) 6
c) 3
17. Dado el numeral capicúa:
11.Catalina sale a pasear todos los días con al menos dos
de sus siete perritos que tiene. Si durante cuatro meses
consecutivos, salió cada día con un grupo diferente de
perros, indique el segundo de estos meses, si el último
mes tiene un número impar de días.
a) enero
d) abril
b) 2
e) 5
n23q m ; p21 n ; n3m 6 ; a2aa p
10.Si: A = B, halle la suma de los elementos de “C”.
a) 1
d) 7
15.De un grupo de 66 deportistas que practican fútbol,
atletismo, básquet, se ha observado que 29 practican
atletismo, 33 practican fútbol, 31 practican básquet, 11
practicaban atletismo y básquet, 13 practicaban fútbol
y básquet, además 4 practican atletismo y fútbol.
¿Cuántos practican los tres deportes?
(a  2)( a  1)( a  4 )  3b7 9
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
19.Si: aab 7  11a4 5
Calcule el valor de “a + b”
a) 6
d) 9
b) 7
e) 4
c) 8
20.Halle “a + b + c + n”, si: abc 5  cbn 6 .
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
21.Si: abc 6  1abc 3 , escriba el mayor abc 6 a base 5.
a) 131
d) 141
b) 121
e) 101
c) 111
22.Si:
 15  6  9 
    7  abbcba m
 m  m  m 
Halle “m + a + b + c”.
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
23.Si:
*
*
*
*
*
n[ P(A  B) ] = 1
n[ A  C ] = n(B  C) = 2
n[ A - C ] = n[B - C] = 4
n[C - A] = 9
n[ A'  B'  C'] = 2
c) 8
a) 20
d) 23
b) 21
e) 24
c) 22
24.En un grupo de 55 personas, 25 hablan francés, 33
alemán y 5 los tres idiomas. Si todos hablan por lo menos
un idioma, ¿cuántas personas del grupo hablan
exactamente 2 de estos idiomas?
a) 25
d) 27
b) 30
e) 20
c) 28
25.Si se cumple que: 4 a7 n  5bc 7
Calcule “a + b + c + n”
Calcule “n[U]”
a) 16
d) 19
Departamento de Publicaciones - Trilce
COSI5SLIAR1B-04
b) 17
e) 20
c) 18