Subido por MATEMATİK OKULU YAYINLARI -MATEMATİK OKULU

integral

Anuncio
hhİNTEGRAL İLE ALAN BULMA
y
b)
d
d
1. y = f(x) eğrisinin x = a ve x = b doğruları ile x ekseni arasında kalan bölgesinin alanı
y f (y)
Alan = –
dy
c
Alan =
y
c
x=f(y)
b
x
O
f (x) dx ile bulunur.
a
a)
y
y
c)
y=f(x)
b
y f (y)
Alan = –
a
a
y f (y)
dy +
c
O
x=f(y)
a
dy
b
b
x
b
x
b
y f (x)
Alan =
c
dx
a
3. İki eğri arasında kalan bölgenin alanı,
a)
y
b)
y
a
b
x
O
y
f(x)
g(x)
g(x)
y=f(x)
O
a
b
f(x)
a
x
O
x
b
b
Alan = –
y f (x)
dx
a
b
Alan =
y (f (x) − g (x))
dx
a
c)
y
y
b)
y=f(x)
a
b
c
f(x)
x
O
g(x)
a
b
Alan =
y f (x)
c
y f (x)
dx –
a
O
Alan =
b
y (f (x) - g (x))
dx +
a
2. y = f(x) eğrisinin y = c ve y = d doğruları ile y ekseni arasında
kalan bölgenin alanı
c
c
b
dx
x
b
y (g (x) − f (x))
dx
b
c)
y
b
d
Alan =
y
f (y) dy ile bulunur.
x
c
y
a)
d
d
Alan =
y f (y)
c
a
g(x)
f(x)
dy
b
c
O
Alan =
x=f(y)
x
y (g (y) − f (y))
a
dy
KURAL
Parabol grafiklerinde tepe noktasindan geçecek
şekilde dikdörtgen oluşturulduğunda alanlar aşağıdaki oranlarda olur.
c

2
a
A
A
2A
2A
A
y
y= x 2
A
0
A

Yandaki şeklin taralı alanı
9
2A
2A
2A
3
x
bulunurken dikdörtgen alanı
3.9 = 27,
3A = 27, A = 9 br2
bulunur.
KURAL
2A
A
2A
A
A
A
A
Parabollerin tepe noktas›ndan geçecek şekilde
dikdörtgen oluşturulduğunda, alanlar şekildeki oranlarda olur.
A
2
Yandaki şekilde bulunan
y
4
d
8x=y2
A
O
A
2
x
taral› alan dikdörtgenin alan›
n›n
2.4
3
1
3
=
ü olacağ›ndan
8
3
Merkezi orijin ve yarıçapı r olan çemberin denklemi
br2 olur
x2  y2  r 2 dir. Buradan y  r 2  x2 yazılırsa,
çemberin x ekseninin üst kısmında kalan yarım çember yayı ifade edilmiş olur.
y
r
KURAL
Parabolün tepe noktasından geçecek şekilde
doğru çizildiğinde taralı alan dikdörtgenin alanının
1
6
s› olur.
r
0
r
x
r
r


0
r


r
r 2  x2 
  r2
4
(Çeyrek dairenin alanı)
r 2  x2 
  r2
2
(Yarım dairenin alanı)
Örnek 1:
Örnek 4:
y
S2
O
–4
y
4
x
–4
S1
y=x3
O
x
4
y=f(x)
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde S1 ve S2 bulundukları taralı bölgelerin alanlarıdır.
S1 = 4 br2
Buna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 16
S2 = 6 br2
Yukarıda y = x3
eğrisinin grafiği
verilmiştir.
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
4
y f (x)
olduğuna göre,
dx integralinin değeri kaçtır?
-4
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 16
Örnek 5:
Örnek 2:
y
7
y
–5
S1
–1
S1
O
S2
S3
4
S2
x
9
x
O
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde S1, S2 ve S3
bulundukları taralı bölgelerin alanlarıdır.
dx = 7,
-5
y f (x)
dx = –8,
y f (x)
dx = 13
4
-1
olduğuna göre, S1 + S2 + S3 toplamı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 15
C) 20
D) 28
7
y
7
f (y) dy +
kaçtır?
-2
A) 40
B) 34
dy integralinin sonucu
-2
C) 28
D) 24
E) 16
Örnek 6:
y
y
y=x2–9
O
x2
Yanda y = – 9 parabolü verilmiştir.
3
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
B) 18
y=x3
Yanda y = x3 eğrisinin grafiği verilmiştir.
x
3
O
A) 12
y f (y)
E) 34
Örnek 3:
–3
S2 = 6 br2
S3 = 4 br2 dir.
Buna göre,
9
4
S1 = 10 br2
S3
–2
y f (x)
S1, S2ve S3 bulundukları
taralı bölgelerin alanları
olmak üzere,
3
y=f(x)
-1
Yanda x = f(y) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x=f(y)
C) 36
D) 48
x
–2
E) 54
3
Buna göre,
y f (y)
-2
dy değeri kaçtır?
Örnek 7:
Örnek 10:
y
f(x)
4
Yanda y = f(x) ve
y
f(x)
2
x = g(y) fonksiyonlarının
g(x)
3
grafiği verilmiştir.
2
x
4
1
Taralı bölgenin alanı 3 br2
O
4
1
4
x
y f (x)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
A) 10
y f (x)
3
4
4
dx +
yf
dx = 5 br2
1
-1
(x) dx değeri kaçtır?
1
2
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
olduğuna göre,
y g (y)
dy değeri kaçtır?
2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Örnek 11:
Örnek 8:
y
y
y=x
9
–3
3
x
O
y=9–x2
–6
d
O
6
x
Yukarıda y = 9 – x2 parabolü ile d doğrusunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda O merkezli yarım çember ile y = x doğrusu verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Buna göre taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade
edilir?
9
A)
4
9
B)
2
27
C)
4
27
D)
2
54
E)
2
6
A)
36 − x 2 dx
B)
0
0
3 2
C)
#
0
_ 36 − x 2 − x i dx
3 2
D)
Örnek 9:
Yanda y = f(x) ve
y = g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir.
g(x)
2
36 − x 2 dx
0
f(x)
O
#
5
y f (x)
x
Örnek 12:
3
5
dx = 16
br2
2
y
9 − x2 dx
0
integralinin değeri kaçtır?
5
y g (x)
dx = 24 br2
2
olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
#
0
3 2
E)
y
#_
6
#
36 − x 2 − x i
_ x − 36 − x 2 i dx
Örnek 13:
Örnek 16:
2
y
4 − x2 dx
y
-2
f(x) = y
integralinin değeri kaçtır?
A) p
C)
B) 2p
5π
2
D) 3p
A1
E) 4p
O
5
A2
x
8
Yukarıdaki şekilde, A1 = 15 br2 , A2 = 12 br2 olduğuna göre,
8
#
8
f (x) dx +
0
# f (x) dx
kaçtır?
0
Örnek 14:
y = x5 eğrisi , y = 1 ile y = 32 doğrulari ve y ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç
br2dir?
Örnek 17:
y
Örnek 15:
O
y
–6 –4
O
10 x
–3
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonu (– ∞ , 0]
aralığında doğrusal, [0, ∞) aralığında sabittir.
Buna göre,
10
–6
f (x) dx integralinin değeri kaçtır?
x
f(x) = y
–6
Yukarıdaki şekilde f(x) = y fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
9
Buna göre,
–2
# f (x) dx + #
5
sonucu kaçtır?
#
9
–2
f(x) = y
6
5
–6
f –1 (x) dx işleminin
Descargar