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Universidad Autónoma de Santo Domingo
PRIMADA DE AMÉRICA / FUNDADA EL 28 DE OCTUBRE DE 1538
Maestría de Matemática para Educadores
UASD-Recinto San Francisco de Macorís
Nombres y Apellidos:
Yamilka Lara Mendoza
Héctor Antonio
Santana Tobal
José Emiliano De la
José Alfonso Pichardo
Cruz Peña
Jiménez
Unidad 8:Casos de ecuación
Asignatura:
Algebra Educativa
Maestra :
Niña María Liriano Paredes
23 de mayo del 2021
2
Introducción
El presente ensayo se refiere al tema de casos de ecuaciones, el cual se puede definir como
los diferentes tipos de ecuaciones, que pueden ser según sus grados y sus términos. Es
importante destacar que una ecuación es el lenguaje algebraico en el que se traduce ciertos
problemas reales donde, son desconocidas uno o más cantidades.
Entre los casos de ecuaciones a tratar en este ensayo están:
Binómicas: son aquellas que se pueden reducir a dos términos.
Cuadráticas: es una ecuación que se puede expresar de la siguiente forma.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = ; 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
Trinómicas: son aquellas que se pueden reducir a tres términos, sin importar el grado de la
ecuación.
Cúbicas: Ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la variable desconocida es 3.
La forma general de una ecuación general es
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0.
Bicuadradas: Son ecuaciones trinómicas con n = 2 , es decir, de cuarto grado sin términos
de grado impar.
Es importante destacar que la resolución de ecuaciones de estos grados, involucran la
determinación de todas las raíces, tanto reales como imaginarias, ya sea de forma exacta o
con una cierta aproximación previamente especifica. Naturalmente la dificultad en la
resolución de ecuaciones aumenta con su grado, aparte de otras razones, porque cuanto mayor
es éste, más raíces hay que hallar.
Por otra parte, se ha de tratar gráficos relacionados con las ecuaciones cuadráticas, tomando
en cuenta el discriminante.
El propósito de este ensayo es ampliar y reforzar los conocimientos adquiridos en grados
anteriores sobre los casos de ecuaciones. Esperando que sea satisfactorio para cada lector.
3
Ecuaciones binómicas y cuadráticas ( Gráficas)
Ecuaciones binómicas:
Son aquellas que se pueden reducir a la forma:
𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 = 0; 𝑎, 𝑏 ≠ 0; 𝑛 ∈ ℕ
Estas ecuaciones se resuelven aplicando productos notables o los criterios de factorización,
así como también las aplicaciones de los números complejos (Teorema de Moivre).
𝑛
Calculando la raíz n-ésima de 𝑎, 𝑥 = ± √𝑎
1. Si 𝑛 es par y 𝑎 es positivo: hay dos soluciones reales y opuestas.
2. Si 𝑛 es par y 𝑎 es negativo: no hay soluciones reales.
3. Si 𝑛 es impar la ecuación tiene una solución real del mismo signo que el radicando.
Teorema de Moivre
En 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 = 0
𝑏
𝑏
𝑛
⇒ 𝑥 𝑛 = − 𝑎 ⇒ 𝑥 = √− 𝑎
Luego:
𝑏
Caso I: si: 𝑎 < 0
𝑏
𝑛
𝑏 𝑛
𝑛
⇒ 𝑥 = √− 𝑎 (1) = √− 𝑎 . √1
𝑏
𝑛
2𝑘𝜋
⇒ 𝑥𝑘 = √− 𝑎 [cos (
𝑛
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
2𝑘𝜋
𝑛
)] 𝑘 = 0; 1; 2; … ; (𝑛 − 1)
𝑏
Caso II: si: 𝑎 > 0
𝑏
𝑛
𝑛
𝑏 𝑛
⇒ 𝑥 = √− 𝑎 (−1) = √𝑎 . √1
𝑛
𝑏
(2𝑘+1)𝜋
⇒ 𝑥𝑘 = √𝑎 [cos (
𝑛
(2𝑘+1)𝜋
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
𝑛
)] 𝑘 = 0; 1; 2; … ; (𝑛 − 1)
4
Teorema:
Las ecuaciones binómicas solo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples. Vamos a
ver algunos ejemplos de este teorema.
Ejemplo 1:
Resolver: 𝟗𝒙𝟒 − 𝟏 = 𝟎
Factorizando: (𝟑𝒙𝟐 + 𝟏)(𝟑𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎
⇒ (𝟑𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝟎 ∨ (𝟑𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎
𝟏
𝟏
⇒ 𝒙𝟐 = − 𝟑 ∨ 𝒙𝟐 = 𝟑
𝟏
𝟏
⇒ 𝒙 = ±√− 𝟑 ∨ 𝒙 = ±√𝟑
⇒𝒙=±
√𝟑
𝒊
𝟑
√𝟑
∨ 𝒙=±
𝑪. 𝑺 = { 𝟑 𝒊 ; −
√𝟑
𝒊
𝟑
;
√𝟑
𝟑
√𝟑
𝟑
;−
√𝟑
}
𝟑
Ejemplo 2:
Resolver: 𝒙𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟎
Producto notable:(𝒙 − 𝟒)(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔) = 𝟎
⇒ (𝒙 − 𝟒) = 𝟎 ∨ (𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔) = 𝟎
⇒𝒙=𝟒
Utilizando formula general para encontrar las dos raíces restantes:
𝒙=
𝒙=
𝒙=
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
−𝟒±√𝟏𝟔−𝟒(𝟏)(𝟏𝟔)
𝟐(𝟏)
−𝟒±𝟒√𝟑𝒊
𝟐
𝒙 = −𝟐 + 𝟐√𝟑𝒊 ∧ 𝒙 = −𝟐 − 𝟐√𝟑𝒊
𝑪. 𝑺 = {𝟒; −𝟐 + 𝟐√𝟑𝒊; −𝟐 − 𝟐√𝟑𝒊}
5
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática o de 2do grado con una incógnita es de la forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
O cualquier ecuación equivalente a esta. Es decir, es un polinomio de 2do grado igualado a
cero.
Llamamos discriminante a ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐;
•
Si 𝐷 > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales
Resolución:
𝒙=
•
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
⇒ {𝒙𝟏 =
−𝒃+√∆
𝟐𝒂
; 𝒙𝟐 =
−𝒃−√∆
𝟐𝒂
}
Si 𝐷 = 0, la ecuación tiene dos soluciones coincidentes, esto es, la solución es doble
o multiplicidad 2.
Resolución:
𝑥=
•
−𝑏
2𝑎
⇒ {𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 }
Si 𝐷 < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
Datos importantes relacionados con la ecuación cuadrática:
La ecuación incompleta: es cuando algún coeficiente es nulo. En esto casos no es necesario
utilizar la formula general.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇒ {𝒙𝟏 = 𝟎 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝒙𝟐 =
−𝒄
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑎𝑥 2 = −𝑐 ⇒ 𝒙 = ±√ 𝒂
−𝒃
𝒂
}
6
Signos de las raíces, suponiendo que 𝒂 es positivo:
•
Si 𝐶 es positivo, las dos raíces tienen el mismo signo y opuesto al de 𝑏.
•
Si 𝐶 es negativo, las dos raíces tienen el signo contrario y la de menor valor absoluto
tienen el mismo signo que 𝑏.
La fórmula cuadrática
Utilizando el método completando el cuadrado, llegaremos a la formula general, tomando
como base, la definición de la ecuación cuadrática.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
Dividimos todo entre 𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0
Luego completando el cuadrado y despejamos a 𝑥
𝑏
𝑐
𝑥2 + 𝑎 𝑥 = − 𝑎
𝑏
2
𝑏
𝑐
𝑏
2
𝑥 2 + 𝑎 𝑥 + (2𝑎) = − 𝑎 + (2𝑎)
𝑏
2
(𝑥 + 2𝑎) =
𝑏
𝑥 + 2𝑎 =
𝑏 2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
√𝑏2 −4𝑎𝑐
√4𝑎2
Si 𝑎 > 0,entonces √4𝑎2 = |2𝑎| = 2𝑎 y tenemos
𝑥=
−𝑏 ±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Si 𝑎 < 0,entonces √4𝑎2 = |2𝑎| = −2𝑎 y, después de simplificar, vemos que el resultado de
la expresión resultante es válido. Este resultado se conoce como fórmula general.
7
Graficas de una ecuación cuadrática
Las gráficas de las ecuaciones cuadráticas tienen una estructura de parábola según el valor
de a; si es mayor que cero la parábola abre hacia arriba, y si es menor que cero, ésta abre
hacia abajo. En la siguiente imagen podemos observar su comportamiento e incluso tomando
en cuenta el discriminante.
8
Ecuaciones Trinómicas
Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general:
ax2n + bxn + c = 0 ; abc 0 n ℕ
Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable:
𝐙 = 𝐱 𝐧 ⟶ 𝐙𝟐 = 𝐱 𝟐𝐧 ; lo que la convierte en una ecuación cuadrática; 𝐚𝐳 𝟐 + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 0.
Después de resolver esta, se repone la variable original y se hallan las soluciones de la
ecuación trinómica.
Ejemplo 1
Hallar el conjunto solución de la ecuación 8x6 + 7x3 – 1 = 0
Solución: Aplicando el cambio de base: x3 = z x6 = z2, entonces nos queda:
8z2 + 7z – 1 = 0
(8z – 1) (z + 1) = 0
8z – 1 = 0 z + 1 = 0
z=
1
z=–1
8
Reponiendo la variable original:
x3 =
1
x3 – (
(𝑥 −
𝑥=
Recordar:
x3 = – 1
8
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) ⟶ Diferencia de dos cantidades al cubo
1
2
1
2
1
2
3
) = 0 x3 + 1 = 0
) (𝑥 2 +
1
2
𝑥+
1
4
)=0
; 4𝑥 2 + 2 𝑥 + 4 = 0
𝑥=
𝑥=
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ⟶ Suma de dos cantidades al cubo
(𝑥 + 1) (𝑥 2 − 𝑥 + 1)
𝑥 = −1 ;
− 2 ± √4 − 16
8
− 2 ± 2 √3 𝑖
8
C.S. = {
𝟏
𝟐
,
𝑥=
− 1 ± √1 − 4
2
𝑥=
− 1 ± √3 𝑖
2
− 𝟏 + √𝟑 𝒊
𝟒
,
− 𝟏− √𝟑 𝒊
− 𝟏 + √𝟑 𝒊 − 𝟏− √𝟑 𝒊
, −𝟏,
,
𝟒
𝟐
𝟐
}
9
Ejemplo 2
Hallar el conjunto solución de la ecuación x6 – 9x3 + 8 = 0
Solución: Aplicando el cambio de base: x3 = z x6 = z2, entonces nos queda:
z2 – 9z + 8 = 0
(z – 8) (z – 1) = 0
z–8=0 z–1=0
z=8
z=1
Reponiendo la variable original:
x3 = 8
Aplicando:
x3 = 1
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) ⟶ Diferencia de dos cantidades al cubo
x3 – 8 = 0 x3 – 1 = 0
x3 – (2)3 = 0 x3 – 1 = 0
(𝑥 − 2) (𝑥 2 + 2𝑥 + 4 ) = 0
𝑥= 2 ;𝑥=
𝑥=
𝑥=
− 2 ± √4 − 16
2
(𝑥 − 1) (𝑥 2 + 𝑥 + 1)
𝑥=1;
𝑥=
− 2 ± √−12
2
− 1 ± √1 − 4
2
𝑥=
− 1 ± √3 𝑖
2
− 2 ± 2 √3 𝑖
2
𝑥 = − 1 ± √3 𝑖
C.S. = {𝟐; − 1 + √3 𝑖 ; − 1 − √3 𝑖; 𝟏 ;
− 𝟏 + √𝟑 𝒊
𝟐
;
− 𝟏− √𝟑 𝒊
𝟐
}
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Ecuaciones Exponenciales Trinómicas
Son aquellas que mediante una operación que denominamos “Cambio de Variable”, se
pueden convertir en una ecuación de segundo grado.
Ejemplo:
22x – 3· 2x + 1 = 0
Se llaman Trinómicas porque aparecen tres términos sumándose o restándose.
Resolución:
Lo primero que debemos hacer es el cambio de variable:
Z = 2x ⟶ Z 2 = 22x
Sustituyendo el cambio de variable se obtiene lo siguiente:
z2 – 3z + 2 = 0
Como se aprecia es una ecuación de segundo grado que se resuelve utilizando la ecuación
que sigue:
z=
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑧1 =
2𝑎
3 + 1
2
=2
=
∧
3 ± √(−3)2 − 4(1) (2)
2(1)
𝑧2 =
3− 1
2
=
3 ± √9 − 8
2
=
3 ± √1
2
=
3 ± 1
2
=1
Luego de estar calculada debemos deshacer el cambio de variable para hallar x:
Z = 2x ⟶ 2 = 2x ⟶ 𝑥 = 1
∧
Z = 2x ⟶ 1 = 2x ⟶ 𝑥 = 0
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Ecuaciones cúbicas
Son aquellas ecuaciones en que su mayor grado es tres, por lo tanto, según el teorema
fundamental del algebra esta tiene tres raíces, las cuales pueden ser determinadas según el
valor del discriminante.
Forma general de la ecuación Cúbica
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Para buscar las soluciones de este tipo de ecuaciones nos centraremos en las Fórmula de
Cardano – Tartaglia.
Es permitente observar alguno de los aportes de estos grandes matemáticos.
Gerolamo Cardano
(Jérôme Cardan; Pavía, actual Italia, 1501 - Roma, 1576)
Matemático italiano. Se graduó en la Universidad de Pavía y se
doctoró en medicina (1526) en la de Padua.
En 1536 se trasladó a Milán, donde empezó a ejercer como
profesor de matemáticas.
Principales aportaciones a las matemáticas
-
Ideo en mecánica un sistema de suspensión y transmisión (suspensión Cardan)
-
Introdujo un método regular de reducción de la ecuación cubica general en la que
faltaba el termino cuadrado de la incógnita mediante sustitución y lo extendió al
cuarto grado.
-
Trato de encontrar un sistema científico universal combinando la observación
empírica en medicina o matemáticas con los métodos ocultos de la astrología y la
alquimia
-
Utilizo los números irracionales siguiendo la tradición hindú y árabe.
-
Fue el primero en trabajar con números imaginarios (raíces de números negativos)
-
Dio la primera descripción clínica de fiebre tifoidea.
12
Tartaglia [Niccolò Fontana]
(Brescia, actual Italia, 1499 - Venecia, 1557) Matemático
italiano.
Aportaciones
-
Fue el descubridor de un método para resolver
ecuaciones de tercer grado, conocida como fórmula de Cardano - Tartaglia
-
El triángulo de Tartaglia, popularizado por Pascal, aunque el resultado no es
originalmente suyo.
-
Analizo e introdujo las leyes del plano inclinado estudiadas por Jordano.
-
En los estudios de balística descubrió nuevos métodos e instrumentos entre los que
se encuentran las tablas de fuego, sobre las trayectorias de proyectiles.
-
Ideo dos instrumentos para determinar alturas y distancias inaccesibles.
-
Desarrollo una fórmula para el compás.
Ecuaciones cúbicas con coeficientes complejos
Hasta el momento no existe una formula general para resolver ecuaciones cubicas tanto con
coeficientes complejo como reales, aunque existe una forma análoga a las ecuaciones
cuadráticas suponiendo que los coeficientes sean cualquiera número complejo
Dada una ecuación con coeficientes complejos cualesquiera 1, sustituyendo en la ecuación
general (1) la incógnita y por una nueva incógnita x (4), ligada a y por medio la igualdad
resulta una ecuación para la incógnita x. (3), la cual no cuenta con el termino elevado al
cuadrado.
𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Formula General Cubica.
𝑋 = 𝑦 + 𝑘
Suponiendo 2
𝑦=𝑥−
𝑦3 +
𝑝
𝑦
𝑎
3
+ 𝑞 = 0
Se aplica el Teorema de Taylor
Sustituyendo 3, ecuación reducida
13
Hallando las raíces de la ecuación (4), en virtud de (3) se obtienen también las raíces de (1).
Por lo tanto, queda resolver la ecuación cubica reducida (4), con cualesquiera coeficientes
complejos.
Por el teorema fundamental la ecuación reducida tiene tres raíces complejas.
Realizando cambio de variables y el método de Vieta en la ecuación reducida, podemos
obtener las fórmulas:
3
2 𝑞2
𝑞
𝑝3
√
√
𝐴= − +
+
2
4 27
3
2 𝑞2
𝑞
𝑝3
√
√
𝐵= − −
+
2
4 27
Estas se conocen como la fórmula de Cardano que expresa las raíces de la ecuación reducida
mediante los coeficientes, valiéndose de radicales cúbicos y cuadrado.
Como el radical cúbico tiene tres valores en el campo de los números complejos, las fórmulas
de Cardano dan tres raíces para A y 3 para B, por lo tanto, no se puede combinar cualquier
valor de A con B.
Para un valor a1 dado de A, se debe tomar solamente de los tres valores de B aquel satisface
𝑃
la ecuación 𝐴𝐵 = − , los otros dos se pueden obtener multiplicando a1 por las raíces
3
cubicas de w y w2 de la unidad; por lo tanto, todas las raíces de la ecuación cúbica reducida
se pueden obtener con las fórmulas.
𝑥1 = 𝑎1 + 𝑏1
𝑥2 = 𝑎2 + 𝑏3 = 𝑎1𝑤 + 𝑏1𝑤2
𝑥3 = 𝑎3 + 𝑏2 = 𝑎1𝑤2 + 𝑏1𝑤
Ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales.
Si una ecuación cúbica es de coeficientes reales entonces.
a) Tiene una raíz real y dos complejas conjugadas si y solo si, su discriminante es
positivo.
b) Tiene sus tres raíces reales y al menos dos iguales si y solo si su discriminante es
cero.
c) Tiene tres soluciones reales, si y solo, si su discriminante es negativo.
14
Ej. Encontrar las raíces de la siguiente ecuación.
𝑥 3 + 3𝑥 2 + 9𝑥 + 14 = 0
a=1
𝑥 =𝑦−
𝑷=𝒄−
b=3
𝑏
c=9
d = 14
𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0
3
𝒃𝟐
𝑝=9−
𝟑
(3)2
𝑝=9−
3
𝑝=6
𝒃𝒄 𝟐𝒃𝟑
𝒒= 𝒅−
+
𝟑
𝟐𝟕
a=1
𝑞 = 14 −
b=3
3(9)
3
+
2(3)3
27
𝑞 = 14 − 9 + 2
𝑦 3 + 6𝑦 + 7 = 0
c=9
d = 14
𝑞 = 14 −
3(9)
3
+
2(27)
𝑞= 7
Ecuación en Forma reducida
Buscamos el determinante para los tipos de raíces.
∆ = 4 𝑝3 + 27𝑞2
∆ = 4 (63 ) + 27(7)2
∆ = 864 + 1323
∆ = 2187
∆>0
La ecuación tiene 1 raíz real y 2 raíces imaginarias conjugadas.
27
9
3
15
Estas son las fórmulas de Cardano.
Procedemos a buscar los valores necesarios.
3
3
𝑦1 = √𝐴 + √𝐵
3
3
𝑦2 = 𝜔 √𝐴 + 𝜔2 √𝐵
3
3
𝑦3 = 𝜔2 √𝐴 + 𝜔 √𝐵
𝜔=−
1
2
1
𝜔2 = −
+ 2 𝑖 √3
3
2
2
1
2
−
1
2
𝑖 √3
3
𝑞
𝑞
𝑝
𝐴 = √− 2 + √ 4 + 27
3
2
𝑞
∆
𝐴 = √− + √
2
108
3
𝐴 = √−
(7)
2
2
3
2187
+ √
𝐴 = √−
108
(7)
2
3
𝐴 = √1
A=1
3
7 2 2187
𝐵 = √− − √
2
108
3
7
𝐵 = √− − 4.5
2
3
𝐵 = √−8
B=-2
•
𝑦1 = 𝐴 + 𝐵
𝑦1 = 1 + (−2)
𝑦1 = −1
Solución de la ecuación reducida
+ 4.5
16
𝑏
𝑥 =𝑦−
Sustituimos y, para encontrar la raíz de la ecuación general.
3
3
3
𝑥 =𝑦−
𝑥1 = 𝑦1 − 1
𝑥1 = −1 − 1
𝑥1 = −2
•
𝑦2 = 𝜔𝐴 + 𝜔2 𝐵
𝑦2 = (−
1 1
+ 𝑖 √3 + 1 + √3𝑖
2 2
𝑦2 = −
𝑦2 =
1
2
1 1
1 1
+ 𝑖 √3) (1) + (− − 𝑖 √3) (−2)
2 2
2 2
+
3√3
2
𝑖
raíz de la ecuación reducida
𝑥2 = 𝑦 − 1
𝑥2 =
1 3√3
+
𝑖− 1
2
2
1
𝑥2 = − 2 +
•
2
𝑖
raíz de la ecuación general
3
3
𝑦3 = 𝜔2 √𝐴 + 𝜔 √𝐵
𝑦3 = (−
𝑦3 = −
𝑦3 =
3√3
1
2
1 1
1 1
− 𝑖 √3) (1) + (− + 𝑖 √3) (−2)
2 2
2 2
1 1
− 𝑖 √3 + 1 − √3𝑖
2 2
−
3√3
2
𝑖
raíz de la ecuación reducida
17
𝑥3 = 𝑦 − 1
𝑥3 =
1 3√3
−
𝑖− 1
2
2
1
𝑥3 = − 2 −
3√3
2
𝑖
solución de la ecuación general
Dada la ecuación
2𝑥 3 + 𝑥 2 − 12𝑥 − 3 = 0
Debemos convertir la ecuación en Mónica.
2𝑥 3 + 𝑥 2 − 12𝑥 − 3
=0
2
1
3
𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 − = 0
2
2
𝒃=
𝟏
𝒅=−
c=-6
𝟐
𝟑
𝟐
Transformar la ecuación general a ecuación reducida.
𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0
𝑥 =𝑦−
𝑝=𝑐−
𝒒= 𝒅−
𝑏
3
𝑏2
𝑝 = −6 −
3
𝒃𝒄
𝟑
+
𝟐𝒃𝟑
𝑞=−
𝟐𝟕
∆ = 4 𝑝3 + 27𝑞 2
73 3
53 2
∆ = 4 (− 12) + 27 (− 108)
∆ = −894
D<0
Por lo tanto, tiene tres raíces reales
3
2
−
1
2
( )
2
𝑝=−
3
1
(−6)
2
3
+
1 3
2
2( )
27
𝑞= −
𝟕𝟑
𝟏𝟐
53
108
18
73
53
𝑦−
=0
12
108
𝑦3 −
3
2
2
3
3
𝑞
𝑞
𝑝
𝐴 = √− 2 + √ 4 + 27
𝐴 = √−
(−
53
)
108
2
2
−894
+ √ 108
𝑨 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟐𝟗 + 𝟎. 𝟔𝟕𝟔𝟕𝒊
3
𝐵 = √−
(−
53
)
108
2
2
−894
− √ 108
𝑩 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟐𝟗 − 𝟎. 𝟔𝟕𝟔𝟕𝒊
𝑦1 = 𝐴 + 𝐵
𝑦1 = 1.2529 + 0.6767𝑖 + 1.2529 − 0.6767𝑖
𝑦1 = 2.5058
𝑥1 = 𝑦1 −
𝑏
3
𝑥1 = 2.5058 −
1
2
3
𝑥1 = 2.3392
𝜔=−
1
2
1
+ 2 𝑖 √3
𝜔2 = −
1
2
−
1
2
𝑖 √3
𝑦2 = 𝜔𝐴 + 𝜔2 𝐵
𝑦2 = (−
1
2
1
+ 2 𝑖 √3) 1.2529 + 0.6767𝑖 + (−
𝑦2 = −2.4251
𝑥2 = −2.4251 −
1
2
−
1
2
1
2
𝑖 √3) 1.2529 − 0.6767𝑖
𝒙𝟐 = −𝟐. 𝟓𝟗𝟏𝟕
3
𝑦3 = 𝜔2 𝐴 + 𝜔𝐵
𝑦3 = (−
1
2
1
− 2 𝑖 √3) 1.2529 + 0.6767𝑖 + (−
1
2
+
1
2
𝑖 √3) 1.2529 − 0.6767𝑖
19
𝑦3 = −0.0808
𝑥3 = −0.0808 −
1
2
3
𝒙𝟑 = −𝟎. 𝟐𝟒𝟕𝟒
El hecho de que las raíces de una ecuación cubica, se presentaran en una forma que incluyera
raíces cubicas de números imaginarios desoriento a los matemáticos antiguos por largo
tiempo, y este caso fue llamado por ellos caso irreducible, es decir, cuando el D < 0 y p y q
son números racionales, pero entre las tres raíces reales de una ecuación ninguna es racional,
es absolutamente imposible expresa alguna de estas raíces en una forma que solo incluya
radicales de cualquier clase. No obstante, las dificultades algebraicas que se presentan en el
caso irreducible, es posible expresar las raíces en una forma conveniente para el cálculo
numérico, extrayendo la raíz cubica de
trigonométricamente.
En este caso podemos aplicar el Método de Tartaglia
Consiste en buscar el ángulo con la formula
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝑄
√−𝑝3
Y las raíces están dada por:
𝜃
𝑋1 = 2√−𝑝 𝑐𝑜𝑠 (3) −
𝑎1
3
𝜃
𝑋2 = 2√−𝑝 𝑐𝑜𝑠 ( 3 + 120° ) −
𝜃
𝑎1
3
𝑋3 = 2√−𝑝 𝑐𝑜𝑠 ( 3 + +240° ) −
𝑎1
3
Podemos obtener los de valores de P , Q , D con las expresiones
𝑃=
−𝑎1 2 + 3 𝑎2
9
𝑄=
−2𝑎1 3 + 9 𝑎1 𝑎2 − 27𝑎3
54
D = Q2 + P3
Ejemplo:
Encontrar las raíces de la ecuación:
x3 -6x2 + 3x + 10 = 0
20
𝑃=
−(−6)2 +3 (3)
9
P = -3
−2 (−6)3 + 9 (−6)(3) − 27(10)
𝑄=
54
Q=0
D = (0)2 + (-3)3
D = - 27
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
0
√−(−3)3
𝐶𝑜𝑠𝜃 = 0
90
𝑋1 = 2√−(−3) 𝑐𝑜𝑠 ( 3 ) −
(−6)
3
= 2√3 cos(30) + 2
√3
= 2√3 ( ) + 2
2
=3+2
=5
90
𝑋2 = 2√−(−3) 𝑐𝑜𝑠 ( 3 + 120° ) −
(−6)
3
= 2√3 cos 150° + 2
= 2√3 (−
√3
2
)+2
=−3+2
= -1
90
𝑋3 = 2√−(−3) 𝑐𝑜𝑠 ( 3 + 240° ) −
(−6)
3
𝑋3 = 2√3 𝑐𝑜𝑠(270° ) + 2
= 2√3 (0) + 2
=2
Por lo tanto, las tres raíces de la ecuación son: 5, -1, 2
21
Ecuaciones bicuadráticas
Se llaman Ecuaciones Bicuadráticas a las ecuaciones de la forma:
𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0
Es decir, las Ecuaciones Bicuadráticas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de
grado impar.
Las ecuaciones bicuadráticas también se pueden escribir así: 𝑎(𝑥 2 )2 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0
Una ecuación bicuadrática se puede reducir a una ecuación de segundo grado, efectuando el
cambio de variable:
t = x2 ⟶ t2 = x4
Con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita 𝑡
𝑡 2 + bt + c = 0
Si llamamos 𝒕𝟏 y 𝒕𝟐 a las soluciones de esta última ecuación la solución de la ecuación
bicuadrática
x = ± √𝑡1 = {
𝑥1 = + √𝑡1
𝑥2 = − √𝑡1
x = ± √𝑡2 = {
𝑥3 = + √𝑡2
𝑥4 = − √𝑡2
Observa que, si 𝒕𝟏 y 𝒕𝟐 son números positivos, una ecuación bicuadrática tiene cuatro
soluciones, que es el número máximo de soluciones posibles.
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuación 𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝟎
Solución:
Factorizando el número 4 obtenemos
𝑥 2×2 − 13𝑥 2 + 36 = 0
22
Usando 𝑎𝑚𝑛 = (𝑎𝑚 )𝑛 , transformando la expresión en
(𝑥 2 )2 − 13𝑥 2 + 36 = 0
Para resolver la ecuación bicuadrática usando la sustitución 𝑡 = 𝑥 2 , entonces
𝑡 2 − 13𝑡 + 36 = 0
Escribiendo −13𝑡 como una diferencia
𝑡 2 − 4𝑡 − 9𝑡 + 36 = 0
Factorizando 𝑡 de la expresión
𝑡(𝑡 − 4) − 9𝑡 + 36 = 0
𝑡(𝑡 − 4) − 9(𝑡 − 4) = 0
Factorizando 𝑡 − 4 de la expresión
(𝑡 − 4)(𝑡 − 9) = 0
Cuando el producto de los factores es igual a cero, al menos un factor es cero
𝑡−4=0
𝑡−9=0
Resolviendo la ecuación para 𝑡
𝑡=4
𝑡=9
Volviendo la sustitución de 𝑡 = 𝑥 2
𝑥2 = 4
𝑥2 = 9
Obteniendo la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación y usando las raíces positivas
y negativas.
𝑥±2
23
Escribiendo las soluciones tanto positivas como negativas
𝑥 = −2
𝑥=2
Obteniendo la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación y usando las raíces positivas
y negativas.
𝑥 = ±3
Escribiendo las soluciones tanto positivas como negativas
𝑥 = −3
𝑥=3
La ecuación tiene 4 soluciones
𝒙𝟏 = −𝟑; 𝒙𝟐 = −𝟐; 𝒙𝟑 = 𝟐; 𝒙𝟒 = 𝟑
Ejemplo 2:
Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación 𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟗 = 𝟎
Solución:
Utilizando los pasos anteriormente detallados, procedemos a resolver la ecuación propuesta
Factorizando el número 4 obtenemos
𝑥 2×2 − 10𝑥 2 + 9 = 0
Usando 𝑎𝑚𝑛 = (𝑎𝑚 )𝑛 , transformando la expresión en
(𝑥 2 )2 − 10𝑥 2 + 9 = 0
Escribiendo −10𝑡 como diferencia
𝑡 2 − 𝑡 − 9𝑡 + 9 = 0
Factorizando 𝑡 de la expresión
24
𝑡(𝑡 − 1) − 9𝑡 + 9 = 0
Factorizando −9 de la expresión
𝑡(𝑡 − 1) − 9(𝑡 − 1) = 0
Factorizando 𝑡 − 1
(𝑡 − 1)(𝑡 − 9) = 0
Cuando el producto de los factores es igual a cero, al menos un factor es cero
𝑡−1=0
𝑡−9=0
Resolviendo la ecuación para 𝑡
𝑡=1
𝑡=9
Volviendo a sustituir 𝑡 = 𝑥 2
𝑥2 = 1
𝑥2 = 9
Resolviendo la ecuación para 𝑥
𝑥 = −1
𝑥=1
𝑥 = −3
𝑥=3
Las 4 soluciones para la ecuación son
𝒙𝟏 = −𝟑; 𝒙𝟐 = −𝟏; 𝒙𝟑 = 𝟏; 𝒙𝟒 = 𝟑
25
Conclusión
El contenido presentado en este ensayo se refirió al tema de los diferentes casos de
ecuaciones, vimos que se clasifican según sus grados y términos. Se ha destacado que una
ecuación es el lenguaje algebraico en el que se traduce ciertos problemas reales donde, son
desconocidas uno o más cantidades, se pudo apreciar cómo se procede para dar soluciones a
los diferentes casos de ecuaciones de una forma detallada y simple.
En el caso de las ecuaciones binómicas, se observó el uso del teorema de Moivre, con dos
vertientes, explicadas claramente en el mismo. Además, se desarrollaron ejercicios
concernientes al teorema de las raíces simples en el caso de las ecuaciones binómicas. Por
otra parte, se explicó de manera llana las ecuaciones cuadráticas, enfocándonos en la fórmula
general como método de resolución común de estas ecuaciones. En el mismo tenor se
observaron ejemplos de gráficos según el valor del discriminante y el valor del coeficiente
principal.
Siguiendo en el ámbito de los casos de ecuaciones, tenemos las trinómicas que son un tipo
de ecuación de fácil resolución en comparación a otras ecuaciones que son de grado superior
a dos, ya que con solo realizar algunos cambios de variable la convierte en una ecuación
cuadrática, la cual se podría resolver por factorización o haciendo uso de la fórmula general,
una vez obtenido la resolución de la ecuación a la cual fue convertido, reponemos la ecuación
original y procedemos aplicar algunas reglas ya establecidas como la suma y diferencia de
dos cantidades al cubo. Aplicado estas reglas podremos obtener las diferentes raíces que
contiene la ecuación a resolver. En conclusión, consideramos que las ecuaciones trinómicas
son un tema que debe ser conocido y estudiado correctamente por ser de fundamental y gran
importancia en el desarrollo de distintas actividades que realizan las personas en su vida
cotidiana, especialmente si nuestra formación es inclinada al ámbito empresarial.
Adentrándonos en las ecuaciones cubicas, quedó demostrado que estas, a pesar de no existir
una fórmula general para resolverlas, con las aportaciones de grandes matemáticos como
Cardano-Tartaglia, los cuales, usando diferentes artificios y teoremas, llegaron a
confeccionar las fórmulas que hoy llevan su nombre. Estas permiten resolver ecuaciones
cúbicas y cuarticas, obteniendo raíces que serán definidas según el valor de discriminante.
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En cuanto a las ecuaciones bicuadraticas, podemos concluir que tienen una semejanza en el
modo de resolución de las trinómicas, ya que estas, realizando un cambio de variables las
podemos llevar a una ecuación cuadrática. Por otra parte, es importante destacar que estas
ecuaciones tienen los grados de exponentes par.
En general este ensayo se basó en la resolución de casos de ecuaciones, explicados de manera
detallada y bien desarrolladas en este trabajo, con el fin de aportar más conocimientos en
estos temas, a cada lector.
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Bibliografía
Blgspot.com 2015 ( ecuaciones binómicas y trinómicas)
Curso algebra superior 1968 Kurosch
Math Quick Reference Card ─ ECUACIONES 1.3 ─ (cc) www.3con14.com
Teoría de Ecuaciones de J.V USPENSKY
Algebra y Trigonometría, Segunda Edición. Dennis G. Zill Jacqueline M. Dewar