MÁS ALLÁ DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
TRINOMIOS DE LA FORMA
𝑥 𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑧𝑐 = 0
II PARTE
TERNAS PITAGÓRICAS
Por: Rubén Darío Muñoz López
INTRODUCCIÓN
… Muchas respuestas están dentro de uno mismo... A veces, es cuestión de
cambiar la dirección de nuestra percepción, e incontables respuestas
surgirán maravillosamente. -DLLa problemática de colegir la validez de un teorema varía desde una tarea de lo más trivial hasta
una labor casi imposible. El universo de las matemáticas está inundado de conjeturas que a la luz de una
lámpara parecen verdades absolutas; sin embargo, a pesar del esfuerzo inquieto de las mentes más
preclaras, muchas de ellas aún no han podido atravesar el tamiz de los métodos rigurosos que exige la
deontológica matemática para considerarse teoremas.
Empero, una pregunta reiterativa ¿vale la pena demostrar las conjeturas basadas en indicios? Por
supuesto que sí. Las demostraciones matemáticas son tan bellas y hermosas como las creaciones
artísticas; han surgido para deleitar el alma y la mente como las obras más sublimes de Beethoven,
Picasso o Dalí. Y otras abren el camino por rumbos insospechados hacia nuevos conocimientos y
aplicaciones.
El proceso ideal en la demostración de teoremas, denominado Razonamiento directo, comienza casi
siempre con una hipótesis cierta; pero qué sucede cuando este camino es imposible. En estos casos
recurrimos al estado dialéctico de la premisa: es decir o está arriba o está abajo; o está a la derecha o
está a la izquierda; es positivo o es negativo, es verdadero o es falso. Y como ambos estados no se
admiten al mismo tiempo, al menos fuera del ámbito cuántico, por ende, se asume un razonamiento
indirecto. Es decir, si la conclusión nos conduce a un razonamiento contradictorio de la hipótesis,
podemos determinar el estado de contradicción o falsedad, en consecuencia, la hipótesis
indiscutiblemente tiene un estado de verdad.
Y si ambos razonamientos no son aplicables; se puede recurrir a los indicios mediante un mecanismo
de razonamiento deductivo. La ayuda de gráficos y trazos son una herramienta poderosa para el
razonamiento. Los gráficos precisos tienen una enorme ventaja sobre los esquemas, ya que estos nos
permiten ver con mayor claridad las relaciones, los estados de dependencia y por supuesto los
PATRONES o comportamiento de los números.
Las pruebas, sean estas directas, por inducción matemática o por contraposición, unidas a un
razonamiento creativo y con la ayuda de gráficos precisos; muchas veces nos conducen a la solución de
problemas que parecen insalvables por métodos analíticos.
La matemática desde los albores de la civilizacion estuvo aunada al misticismo de la religión. El símbolo
máximo de los pitagóricos, era la Tetraktys, un simbolo sagrado y fundamental al cual juraban
fidelidad...
El contenido de este primer tratado, por la envergadura que implica el estudio del trinomio de la forma
𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 − 𝑧 𝑐 = 0 es tan amplio, pues implica conceptos tan bastos como el teorema de Fermat, la
conjetura de Beal, la conjetura de catalán hoy teorema, el teorema de Pitágoras, entre otras expresiones,
especialmente cuando están involucradas cantidades enteras y números primos se ha dividido en tres
volúmenes. En este segundo volumen nos centramos en el estudio del teorema de Pitágoras aplicado a
la generación de ternas pitagóricas enteras y ternas enteras de diferentes exponentes, las cuales fueron
parte de la doctrina secreta y sagrada de los sabios de la antigüedad un conocimiento magnánimo que
pretendía unir el alma del hombre con el espíritu del universo.
Pitágoras de Samos, sabio fundador de la hermandad pitagórica, en Cretona al sur de Italia, una sociedad
religiosa que rendía culto a los números. Los pitagóricos se autodenominaban así mismos
“matematikoi”; eran una hermandad hermética y mística regida por símbolos numéricos y geométricos,
pero por sobre todo por un orden y una disciplina estricta. Para llegar a considerarse matemático se debía
pasar un periodo de prueba de silencio de aproximadamente dos a cinco años, en la que ella aspirante o
discípulo se denominaba Acusmático “el que oye”; se les impartía conocimiento sobre la dualidad del
ser humano; la psicología secreta; el peso del alma y el origen de esta. Pasado el velo de la iniciación
recién se accedía al grado de MATEMÁTICO, donde aprendía aritmética, geometría, y el simbolismo
de los números. Pero como ya se dijo los pitagóricos estaban más allá de una simple logia académica,
por ello aún se buscaba la perfección reservándose los máximos grados para los Sebásticos y los
Políticos, que era cuando el miembro de la academia estaba preparado para conducir el destino de otras
personas. No como ahora que el termino político esta tan desmerecido por los actos de corrupción que
puede lindar incluso como sinónimo de facineroso de traje elegante que han pervertido el orden en tiranía
institucional mientras las clases dominadas de la actualidad se degeneran en libertinos.
Las propiedades del teorema de Pitágoras fueron conocidas por pueblos tan antiguos como los egipcios,
los chinos los hindúes, e incluso mucho antes para algunos investigadores.
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
Las costumbres esotéricas de los pitagóricos estaban, inmersas en un estricto canon de conducta moral
y ética. Extendieron su pensamiento y estudio a las ciencias naturales y sociales como la medicina, la
cosmología, la filosofía y la política. El pitagorismo formuló principios que influyeron en el desarrollo
de la matemática y en la filosofía. Sus máximas pueden sintetizarse como:
❖
❖
❖
❖
❖
En el nivel más profundo, la realidad es de naturaleza es matemática
La filosofía encamina la purificación espiritual
El alma se eleva para unirse con lo divino.
Ciertos símbolos son de naturaleza mística
Todos los miembros de la hermandad guardaran absoluta lealtad y secretismo.
“La matemática para los pitagóricos fue un camino hacia la moral”
Ignoro la repercusion de este humilde aporte para la sociedad actual, aunque sé que todo grano de
arena en el mar de los números ensancha las playas del conocimiento. Pido disculpas anteladamente, si
afirmo haber descubierto una forma simplisima de generar ternas bealinas. Asi como haber encontrado
quizas el metodo que utilizó Fermat en su famosa conjetura tricentenaria, y por supuesto haber resuelto
las famosas conjeturas de Beal y Golbach las cuales se presentan en el segundo volumen de este tratado
y que son formas particulares del trinomio de la forma 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 − 𝑧 𝑐 = 0
A continuación, se presenta un método diferente y simplísimo de entender las ternas pitagóricas enteras
y algunas nuevas relaciones inéditas que se fueron divulgando de forma aislada y particularizada por
redes y en especial en el grupo de matemáticas gestionada por Darío Lanni “Más allá del teorema de
Pitágoras” y algunas páginas web, así como su presentación en el XXXII coloquio de la asociación
peruana de matemáticas entre el 1 y 5 de diciembre de 2014.
TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS
ENTEROS POSITIVOS
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
En este libro se presenta un método nuevo para hallar ternas pitagóricas de números
enteros denominado método por diferencia pitagórica. Así mismo se exponen
diversas relaciones derivadas de dicho método como las funciones trigonométricas
de los triángulos rectángulos de lados enteros entre otras aplicaciones.
IMPORTANCIA DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS ENTEROS Z+
El teorema de Pitágoras es uno de los pocos
teoremas que ha sido uno de los más estudiados,
y las aplicaciones son tan bastas que se hallan
en casi todos los campos de las matemáticas.
Según el teorema de Pitágoras, para todo
triangulo rectángulo de lados enteros positivos,
se cumple que para todo cateto menor x = [3,
Si:
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑁
𝑧>𝑦>𝑥
𝑥≥3
La siguiente relación: en todo triángulo
rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa:
2
𝑥𝛼2 + 𝑦𝛽2 = 𝑧𝜍=𝛼+𝛽
Aunque su origen posiblemente tuvo
implicancias prácticas en la antigüedad, hoy en
día es innegable e indiscutible la importancia
que tiene en la enseñanza de las matemáticas de
nivel básico e intermedio; sin embargo muchos
profesores de matemáticas se limitan a describir
el teorema y aplicar cálculos limitados a
determinar un lado desconocido triángulo
rectángulo en función de los dos lados
conocidos; desaprovechando el enorme
potencial de su estudio como elemento
integrador de diversas ramas transversales de
las matemáticas.
Nota:
Algo aún no tan evidente para algunos, los
subíndices de la expresión indican, la posición
sextal y por ende, el sentido de paridad de los
términos del trinomio que se aclararan en el
capítulo sobre modularidad y sextales del volumen
I de Tratado “Mas allá del teorema de Pitágoras”.
En el campo práctico, aún es posible encontrar
situaciones dentro de la construcción moderna
en la que se sigue utilizando el teorema de
Pitágoras, especialmente, cuando involucra
números enteros positivos para el replanteo de
terrenos.
Este ejercicio, que no requiere más de dos minutos
para la solución se publicó en la página de
matemáticas: Más allá del teorema de Pitágoras y
en la página de FB Dario Lanni Matemáticas con la
finalidad de incitar la curiosidad de los integrantes
del grupo.
CONCEPTOS PREVIOS
Desarrollando el cuadrado del binomio (𝑎 + 1)
obtenemos una ecuación compuesta por: un
cuadrado al lado derecho y un trinomio al
izquierdo.
Así mismo, como y = a, reemplazando cuando
corresponda y despejando “a” en función de x
tenemos:
𝑧 =𝑦+1
𝑥2 − 1
𝑎=𝑦=
2
(𝑎 + 1)2 = 𝑎2 + 2𝑎 + 1
Reemplazando en (1) los valores obtenidos de
“a” en x, y, z se obtiene el teorema de Pitágoras:
𝑥2 − 1
(𝑦 + 1) = [2 (
) + 1] + 𝑦 2
2
2
⇒ 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2
Convenientemente ordenado en la suma de un
cuadrado más número impar:
(𝑎 + 1)2 = 𝑎2 + (2𝑎 + 1)
Sabemos de antemano, que el cuadrado y en
general la potencia de un número impar de la
forma 2a + 1 también es impar. Como 2a + 1 es
la expresión general de un impar y esta, a su vez,
contiene a los cuadrados de los números
impares como: 9, 25, 49, 81, 121, … x2.
Por lo tanto, se cumplen para los casos en que
2a + 1 es una potencia impar, que el cuadrado
del binomio a + 1 y su desarrollo es una “terna
de cuadrados”.
Equiparando la expresión cuadrática y su
desarrollo, por analogía con cada término en la
fórmula del Teorema de Pitágoras tenemos:
𝑎2
(𝑎 + 1)2 = (2𝑎 + 1)
+ ↓ ⋯ (1)
↓
↓
2
2
=
𝑦2
𝑥
𝑧
Podemos determinar ternas pitagóricas enteras
para 2a + 1 cuando es un cuadrado perfecto.
Dónde:
𝑧 =𝑎+1
𝑥 = √2𝑎 + 1
𝑦=𝑎
Obsérvese algo muy importante y que será
punto de partida para el desarrollo de una
formula general de Generación de Ternas
Pitagóricas de números Z+, que la hipotenusa es
una unidad mayor que el cateto mayor, tal
como se observa en la mayoría de las TP de
cateto impar primo. Hasta aquí nos sigue
alcanzando la luz de Newton en toda su
magnificencia al igual que el binomio que lleva
su nombre y que nos servirá para determinar un
método general sencillo, pero estructurado de
generación de Ternas pitagóricas, e incluso
extendidas a potencias mayores a 2 y que servirá
de base para comprender las innumerables
propiedades que esconde el afamado teorema.
Por otro lado, el trabajo de otros matemáticos
sobre “la diferencia de dos cuadrados
perfectos de números consecutivos es un
número impar” resulta de utilidad, para
continuar con las demostraciones
Dado: 𝑝2 − 𝑞 2 ∧ 𝑝 = 𝑞 + 1
Entonces: 𝑝2 − (𝑝 − 1)2
Operando: 𝑝2 − (𝑝2 − 2𝑝 + 1) = 2𝑝 − 1
Pero, ya sabemos que algunos impares son
cuadrados perfectos, por tanto:
Si: 𝑥 2 = 2𝑝 − 1 tenemos:
𝑝2 −𝑞 2 = 𝑥 2 ⇒ 2𝑝 − 1 = 𝑥 2
Despejando p y hallando q:
𝑝=
𝑥2 + 1
𝑥2 − 1
∧ 𝑞=
2
2
Ruben Darío Muñoz López
Habiendo determinado p y q en función de x,
ahora veremos la extraordinaria semejanza con
el teorema de Pitágoras, en la que es suficiente
un número impar “x” para determinar ternas
pitagóricas: 𝑝2 −𝑞 2 = 𝑥 2 ⇒ 𝑝2 = 𝒙2 + 𝑞 2
número resulta ser una potencia “n” de un
número Z+, es decir xn. Por otro lado, sea “k” la
diferencia de dichos números, es decir k = p - q
(ver capítulo extensión de las ternas pitagóricas
a potencias mayores de 2, en capítulos
subsiguientes).
Veamos para (a + 2):
(𝑎 + 2)2 = 𝑎2 + 4𝑎 + 4
→ (𝑎 + 2)2 = 4(𝑎 + 1) + 𝑎2 .
Es decir, que en el caso en los que el número par
sea de la forma 4(a + 1) sea un cuadrado
perfecto como: 16, 36, 64, 100…etc. También
es posible establecer ternas pitagóricas enteras.
𝑎2
(𝑎 + 2)2 = 4(𝑎 + 1)
+ ↓ ⋯ (2)
↓
↓
2
2
=
𝑦2
𝑥
𝑧
Vamos a lo dicho: Si 𝑝 = 𝑞 + 𝑘 ⇒ 𝑝 − 𝑞 = 𝑘,
elevando al cuadrado la diferencia y asumiendo
que el resultado es xn:
𝑝2 −𝑞 2 = 𝑥 𝑛
𝑝2 −(𝑝 − 𝑘)2 = 𝑥 𝑛
𝑝2 −(𝑝2 − 2𝑝𝑘 + 𝑘 2 ) = 𝑥 𝑛
2𝑝𝑘 − 𝑘 2 = 𝑥 𝑛
Despejando p:
𝒑=
Veamos ahora, para (a + 3):
(𝑎 + 3)2 = 𝑎2 + 6𝑎 + 9
→ (𝑎 + 3)2 = (6𝑎 + 9) + 𝑎2 .
Entonces, en caso de que el número par de la
forma 6𝑎 + 9 sea cuadrado perfecto, también es
posible establecer ternas pitagóricas enteras.
Obsérvese que 3(2a + 3) es múltiplo de 3.
𝑎2
(𝑎 + 3)2 = 3(2𝑎 + 3)
+ ↓ ⋯ (3)
↓
↓
2
2
=
𝑦2
𝑥
𝑧
Algo similar sucede con la serie de binomios de
la forma (a + r). Un análisis inductivo nos
muestra que, para todo r entero positivo es
posible equiparar la expresión cuadrática y su
desarrollo, por analogía con cada término del
Teorema de Pitágoras:
(𝑎 + 𝑟)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑟 + 𝑟 2
Pudiendo expresarse de la siguiente manera:
𝑎2
(𝑎 + 𝑟)2 = 2𝑎𝑟 + 𝑟 2
+ ↓ ⋯ (4)
↓
↓
2
2
=
𝑦2
𝑥
𝑧
Es evidente que la diferencia de los cuadrados
de dos números es un número entero par o
impar, pero resulta útil e interesante, cuando ese
𝒙𝒏 − 𝒌𝟐
… (5)
𝟐𝒌
Estas reflexiones previas servirán de inicio para
sistematizar y formular un método universal
para la generación de ternas pitagóricas de
números enteros positivos que cumplen el
teorema de Pitágoras o la forma extendida de
ternas pitagóricas enteras:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ∨ 𝑐 2 = 𝑎𝑛 + 𝑏 2
Sin embargo, antes de desarrollar el método
general para generar ternas pitagóricas de
números Z+, a modo de introducción, quiero
explicar que este estudio nos permitirá entender
el comportamiento de los términos de una terna
pitagórica; y posteriormente ayudará a
demostrar que muchas propiedades de los
triángulos rectángulos enteros, como: las
dimensiones del cateto mayor, la hipotenusa, e
incluso otras propiedades como el área, el
perímetro y las funciones trigonométricas, son
función directa “solamente” del cateto menor
“x”, tal que éste sea mayor o igual a 3; por ser
este el menor valor para conformar cualquier
triángulo rectángulo de lados enteros. Así
mismo existe una correspondencia estricta con
los ejes sextales que se verá en el capítulo
correspondiente del tratado sobre dicha materia
o revisarse con mayor profundidad en el libro
Mas allá del teorema de Pitágoras - Tomo I
El teorema de Pitágoras
POSTULADO DEL RESTO PITAGÓRICO
Antes de continuar se presenta la solución al
ejercicio de agilidad matemática propuesto en el
grupo Más allá del Teorema de Pitágoras, el
cual se resuelve descomponiendo en factores el
producto de los tres lados xyz = 4200, que es 7,
24 y 25 que para una mente entrenada se
observa que es la terna pitagórica entera
irreductible más pequeña después de la afamada
tupla 3, 4 y 5. Basta con verificar que yz = 600.
z > y > x; donde k’ > 0 entonces el triángulo
rectángulo de lados enteros se denomina “orto
pitagórico”. En las siguientes tablas se consigna
algunos ejemplos.
Cateto menor impar
x
3
5
7
…
85
85
85
85
y
4
12
24
…
3612
720
204
132
z
k=z- y
5
1
13
1
25
1
…
…
3613
1
725
5
221
17
157
25
k' = y - x
1
7
17
…
3527
635
119
47
Cateto menor par
Nota: sin embargo, la solución algebraica se basa
en las expresiones algebraicas que relacionan los
lados de un triángulo rectángulo de lados enteros
irreductible, las cuales se estudiaran a detalle más
adelante en este libro.
POSTULADO
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es
mayor a cualquiera de los catetos; por tanto, en
toda terna pitagórica entera, la hipotenusa
excede al cateto mayor en 1, 2, 3… ó k unidades,
denominado
diferencia
o
RESTO
PITAGÓRICO, en consecuencia, k es menor
que la hipotenusa y que el cateto mayor, siendo
esta su primera asíntota.
𝑧>𝑦>𝑥>𝑘
Así mismo la diferencia entre catetos se
denomina “Resto cateto” y esta expresada por q
o k’: k’ = y – x, si k’ < 0 el orden de la
desigualdad y > x se invierte, en este caso la
terna pitagórica se denomina “transversa” y el
cateto menor resulta de mayor magnitud que el
cateto mayor. Estas relaciones aritméticas son
las que determinan la existencia de ternas
pitagóricas de números enteros positivos de
forma sencilla. Si se cumple la condición:
x
6
8
10
20
20
20
20
…
y
8
15
24
15
21
48
99
…
z k=z- y
10
2
17
2
26
2
25
10
29
8
52
4
101
2
…
…
k '= y - x
2
7
14
-5
1
28
79
Ahora ya estamos en condiciones de proponer
un método general para construir ternas
pitagóricas de números enteros, no sin antes
expresar lo maravilloso que resultan las ternas
pitagóricas, pues no sólo es una necesidad
retorica e intelectual, pues en la practica el
teorema de Pitágoras que involucra medidas
enteras surgió por la necesidades prácticas de
replantear terrenos y el diseño y cálculo de
cerchas estructurales, cuyos cálculos se
simplifican enormemente.
El método milenario consiste en utilizar una
wincha con la cual se construye un triángulo
rectángulo según este procedimiento:
Para x = de 0 a 3, para y = de 3 a 7, para z = de
7 a 12.
Ruben Darío Muñoz López
DIFERENCIAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Los tres lados de un triángulo rectángulo de
lados enteros deben cumplir una propiedad
importante y fundamental; y es que los tres
lados deben mantener una relación de
tricotomía, es decir una desigualdad absoluta
donde z > y > x. Basta que dos lados sean iguales
para que sea imposible conformar un triángulo
rectángulo de lados enteros.
En este sentido, los términos x, y, z de una terna
pitagórica entera, se distancian aritméticamente
por tres cantidades. A estas diferencias las
denominaremos en la mayor parte de este
estudio por “k, q y h” salvo indicación en
contrario; siendo y k y q los valores más
importantes, pues de ellos depende la existencia
de ternas pitagóricas. Estas diferencias se
denominan Resto pitagórico y Resto cateto
respectivamente. Estos conceptos serán
ampliados y desarrollados con mayor
profundidad más adelante.
Nota: en el grafico se puede observar las diferencias
notables geométricamente.
Partiendo de la ecuación (4) del capítulo
Conceptos previos, k en principio puede asumir
cualquier valor, incluso complejo, aunque por
ahora nos centraremos sólo en valores 𝑘 ∈ 𝑍 + .
Por tanto, si k es el conjunto de la serie natural:
𝑘 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 𝑟}
¿cómo
es
el
comportamiento de h y q?
COMPORTAMIENTO DE “q”
Para k = 1:
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = (𝑥 + 𝑞 + 1)2
𝑞=
𝑥 2 − 2𝑥 − 1
… (10)
2
Tabulando para valores x pequeños, la gráfica
muestra los puntos discretos en Z+ de un
segmento de una parábola.
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
A menudo, al resto pitagórico se le denomina
diferencia pitagórica, por lo cual se deben
considerar sinónimos.
Las tres diferencias notables entre los tres lados
de todo triángulo rectángulo son:
𝑘 = 𝑧 − 𝑦 … (6)
q
1
7
17
31
49
71
97
127
161
q
161
141
𝑞 = 𝑦 − 𝑥 … (7)
121
ℎ = 𝑧 − 𝑥 … (8)
101
q = (x2 - 2x - 1)/2
81
Las cuales están relacionadas por la siguiente
expresión: 𝒉 = 𝒒 + 𝒌 … (9)
61
41
21
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19
Para el mínimo valor x = 3 que puede asumir el
lado menor de un triángulo rectángulo de lados
enteros se tiene un valor entero positivo q = 1 y
luego este se incrementa cuadráticamente según
la Ec. (10). Por lo cual q > 0.
El teorema de Pitágoras
CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA
ENTERA DE “q”
Para k=1:
En primer lugar, debe existir un estricto
cumplimiento de los criterios de divisibilidad,
por tanto, x debe ser impar, para que la
expresión 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 sea divisible entre 2.
EJERCICIO MISCELÁNEO
Si a uno de los catetos de un triángulo isósceles
se le incrementa 7 unidades, el nuevo triangulo
se convierte en un triángulo rectángulo de lados
enteros irreductible. Hallar dicho triángulo
rectángulo, de ser posible, el más pequeño que
cumpla que sus lados sean enteros.
Eso significa que: x = 3, 5, 7, 9 … (2n + 1)
En segundo lugar, por las condiciones
establecidas en el acápite anterior, que exige un
valor positivo para q, entonces: 𝑥 2 > 2𝑥 + 1.
Veamos algunos ejemplos de ternas para k = 1.
32 + (3 + 1)2 = (3 + 1 + 1)2
52 + (5 + 7)2 = (5 + 7 + 1)2
72 + (7 + 17)2 = (7 + 17 + 1)2
92 + (9 + 31)2 = (9 + 31 + 1)2
Para k > 1:
Dependiendo de la cantidad de divisores de x, k
puede tener diversos valores.
Por ejemplo, si: x = 9, entonces: 1 ≤ k ≤ 3
92 + (9 + 3)2 = (9 + 3 + 𝟑)2
92 + (9 + 31)2 = (9 + 31 + 𝟏)2
EJERCICIO MISCELÁNEO
Encontrar al menos tres números enteros
positivos a, b, c tal que cumplan el teorema de
Pitágoras: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , y se cumpla que las
diferencias k, h, q sean potencias perfectas de
números enteros.
𝑘 =𝑐−𝑏
ℎ =𝑏−𝑎
𝑞 =𝑐−𝑎
SOLUCIÓN:
El problema tiene múltiples soluciones, aquí se
presenta una de las más pequeñas.
122 + 162 = 202
𝑘 = 20 − 16 = 22
ℎ = 16 − 12 = 24
𝑞 = 20 − 12 = 23
SOLUCIÓN
Para todo a, b, c que pertenece a N
Si: b = a + 7 y 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 entonces:
𝑎2 + (𝑎 + 7)2 = 𝑐 2
Operando: 2𝑎2 + 14𝑎 + 49 = 𝑐 2
Realizando apenas cinco iteraciones para a > 0
se determina a = 5 para que c sea un cuadrado
entero: 2(5)2 + 14(5) + 49 = 169
En conclusión, el menor y único triángulo
rectángulo de lados enteros cuya diferencia
entre catetos es 7 es: 5, 12, 13 y que resulta
como consecuencia de añadir 7 unidades a uno
de los lados de un triángulo rectángulo
isósceles.
RETO
Demostrar que si x es un número primo impar
que tiene solamente dos divisores, k = 1, por
tanto, q siempre será un número impar y
pertenecerá a ω1 y ω5, pudiendo ser por tanto,
casi siempre un numero primo.
DETERMINACIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS ENTERAS POR TANTEO
De lo expuesto, dada la expresión: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
en la que q y h son las distancias aritméticas del
cateto mayor y la hipotenusa con respecto al
cateto menor x:
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = (𝑥 + ℎ)2
Desarrollando tenemos:
𝑥 2 + 𝑥 2 + 2𝑥𝑞 + 𝑞 2 = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2
𝑥 = 𝑑 + √2ℎ𝑑
Despejando h en función de x, y, z, sólo existirán
ternas enteras cuando:
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)2
ℎ=
2(𝑧 − 𝑦)
Lo cual es útil para determinar ternas inmensas
que cumplen el Teorema de Pitágoras evitando
números aún mucho más grandes al elevarlos al
cuadrado pues (x + y – z)2 es mucho menor que
x2, y2 ó z2.
𝑥 2 + 2𝑥𝑞 + 𝑞 2 = 2𝑥ℎ + ℎ2
𝑥 2 + 2𝑥𝑞 − 2𝑥ℎ + 𝑞 2 − ℎ2 = 0
𝑥 2 + 2(𝑞 − ℎ)𝑥 + (𝑞 2 − ℎ2 ) = 0
En general para k > 1,
De la ecuación de segundo grado:
𝑥=
−2(𝑞 − ℎ) ± √(2(𝑞 −
2
ℎ))2
−
4(𝑞 2
Si: 𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = (𝑥 + 𝑞 + 𝑘)2
−
ℎ2 )
Reduciendo términos y simplificando:
𝑥 = (ℎ − 𝑞) ± √(𝑞 − ℎ)(𝑞 − ℎ) − (𝑞 + ℎ)(𝑞 − ℎ)
Resolviendo dicha ecuación, el resto cateto “q”
tiene una expresión simple y depende solamente
del cateto menor “x” y de la “diferencia
pitagórica k” y está dada por las expresiones que
se demostrarán más adelante:
𝑥 = (ℎ − 𝑞) ± √(𝑞 − ℎ)(𝑞 − ℎ − 𝑞 − ℎ)
Queda la expresión para x:
𝑥 = (ℎ − 𝑞) ± √2ℎ(ℎ − 𝑞)
Tomando la parte positiva de la raíz se obtiene
una expresión que confirma la definición de que
la hipotenusa y el cateto mayor son función del
cateto menor “x”, pero que a su vez este valor
depende de la relación de dos números naturales
q, h tal que h > q, por tanto:
𝑥 = (ℎ − 𝑞) + √2ℎ(ℎ − 𝑞) … (11)
La determínate 2h (h - q) debe ser un cuadrado
perfecto. Quedando establecida la existencia de
ternas pitagóricas enteras irreductibles (coprimas) cuando, si y sólo si, estas se exceden
aritméticamente en dos cantidades q y h tal que
h > q, tal que d = h – q. Así que, para determinar
ternas enteras de un Triángulo Pitagórico basta
con determinar la distancia d entre la hipotenusa
y el cateto mayor con respecto a “x”:
𝑞=
(𝑥 − 𝑘)2
𝑥 2 − 2𝑥𝑘 − 𝑘 2
−𝑘 ∨ 𝑞 =
2𝑘
2𝑘
Para que exista una solución entera se debe
cumplir que: 𝑘 > 0 ∧ 𝑥 2 > 2𝑥𝑘 + 𝑘 2 lo que
en si es la demostración de que la hipotenusa
siempre es mayor que los catetos.
Estableciéndose que, dada la correspondencia
con el teorema de pitadoras: 𝒙 < 𝒚 < 𝒛.
También se puede afirmar dado que k = h – q
según la ecuación (11) que:
𝑥 = 𝑘 + √2ℎk … (12)
por lo cual si k = 1 el valor del cateto menor entero
es: 𝑥 = 1 ± √2ℎ lo cual puede comprobarse
fácilmente utilizando ternas pitagóricas enteras donde
la diferencia entre la hipotenusa y el cateto mayor es
la unidad.
COMPROBACIONES NUMÉRICAS
Determinación
de
ternas
pitagóricas
consecutivas aplicando: 𝑥 = 𝑑 + √2𝑘𝑑
𝑥 2 + (𝑥 + 7)2 = (𝑥 + 10)2
Ejemplo 1: para 𝑘 = 2, ℎ = 1 y 𝑑 = 1
𝑥 = 3 + √2(10)(3) = 3 + 2√15
𝑥 2 + (𝑥 + 1)2 = (𝑥 + 2)2
Entonces la terna pitagórica entera no existe.
Pero existen dos soluciones si se extiende al
conjunto de números reales, aunque este es otro
capítulo.
𝑥 = 1 + √2(2)(1) = 3
Entonces la T. Pitagórica corresponde a 3, 4 y 5.
Ejemplo 2: Determinar la terna consecutiva que
se distancian en dos unidades.
𝑥 2 + (𝑥 + 2)2 = (𝑥 + 4)2
𝑘 = 4,
ℎ = 2 y 𝑑=2
𝑘 = 10,
ℎ = 7 y 𝑑=3
EJERCICIO
Hallar la menor terna pitagórica coprima que
cumpla con lo siguiente:
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑟)2 = (𝑥 + 𝑠)2
∧ 𝑟 = 7,
𝑠= 9
𝑥 = 2 + √2(4)(2) = 6
Entonces la T. Pitagórica corresponde a 6, 8 y
10.
Ejemplo 3: Determinar la terna que se
distancian en 7 y 8 unidades con respecto a “x”.
2
2
2
𝑥 + (𝑥 + 7) = (𝑥 + 8)
𝑘 = 8,
ℎ = 7 y 𝑑=1
𝑥 = 1 + √2(8)(1) = 5
Entonces la T. Pitagórica corresponde a 5, 12 y
13.
SOLUCIÓN
Hallando la diferencia: d = s – r = 2 y aplicando
la fórmula:
𝑥 = 𝑑 + √2𝑠𝑑 tenemos:
𝑥 = 2 + √2(9)(2) = 8
82 + (8 + 7)2 = (8 + 9)2 → 82 + 152 = 172
En estos ejercicios se puede percibir con
claridad, de que en las ternas pitagóricas coprimas o irreductibles se cumple que: y/x así
como z/x es un número Q+, ya que no tienen
factores comunes:
𝑓=
Ejemplo 4: Determinar la terna que se
distancian en 3 y 6 unidades con respecto a “x”.
y
𝑥
∧ 𝑔=
z
𝑥
⟹ 𝑓, 𝑔 ∈ ℚ
EJERCICIO
𝑥 2 + (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 6)2
𝑘 = 6,
ℎ = 3 y 𝑑=3
𝑥 = 3 + √2(6)(3) = 9
Entonces la T. Pitagórica corresponde a 9, 12 y
15.
Ejemplo 5: Determinar la terna que se
distancian en 7 y 10 unidades con respecto a “x”.
Si la siguiente expresión es una terna entera:
𝑥 2 + (𝑥 + q)2 = (𝑥 + q + 1)2 . Demostrar que
si 𝑥 − 4 es múltiplo impar de 3, entonces:
5 = 𝒒 𝑚𝑜𝑑 6
Sugerencia: revisar el acápite
comportamiento de q para k = 1
sobre
el
Ruben Darío Muñoz López
RETO
Sin aplicar el teorema de Pitágoras con la
finalidad de evitar el surgimiento de números
muy grandes al elevar dichos números al
cuadrado y que la calculadora e incluso una hoja
de cálculo arroje error de aproximación;
demostrar que los siguientes números no
conforma una terna pitagórica:
Un segundo procedimiento es aplicando
sextales y criterio de paridad a este ejercicio
siguiendo dos pasos.
18 073 356 855
18 073 356 848
25 559 586 378
18 073 356 855 → w3
18 073 356 848 → w2
25 559 586 378 → w6
Paso 1: Determinando el resto de cada número
con respecto al módulo 6 se determina la
posición sextal de cada uno de ellos.
Paso 2: Aplicando las propiedades de potencia
y suma sextal se obtiene una incongruencia
2
2
modular: w32 + w2→4
= w6≠7
SOLUCIÓN
Inspeccionando los números por su magnitud
debemos establecer si se cumple esta condición:
También podríamos verificar por la relación
notable de las diferencias aritméticas entre los
elementos de una terna pitagórica: ℎ = 𝑞 + 𝑘
180733568552 + 180733568482 = 255595863782
Y por último, aplicado la fórmula:
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)2
ℎ=
2(𝑧 − 𝑦)
Existen varias formas de determinar la
veracidad del planteamiento. Una de ellas es
inspeccionando el estado de paridad pues la
suma de impar más par del primer miembro
debería ser impar, lo cual contradice el estado
de paridad del segundo miembro.
Remplazando y resolviendo:
***
ℎ=
(18 073 356 855 + 18 073 356 848 − 25 559 586 378)2
2(25 559 586 378 − 18 073 356 855)
𝑘 = 25 559 586 378 − 18 073 356 855 = 7 486 229 523
ℎ = 25 559 586 378 − 18 073 356 848 = 7,486,229,530
𝑞 = 18 073 356 855 + 18 073 356 848 = 7
***
Como puede observarse el cuadrado del
numerador es mucho menor que el cuadrado de
cualquiera de los números originales.
Finalmente operando se obtiene:
ℎ=
10 587 127 3252
= 𝟕 𝟒𝟖𝟔 𝟐𝟐𝟗 𝟓𝟐𝟔. 𝟓𝟖𝟓
14 972 459 046
Dicho número es fraccionario lo que determina,
definitivamente, que los números presentados
no conforman una terna pitagórica de números
enteros.
El teorema de Pitágoras
EL CONSECUTIVO DE UN CUADRADO NO ES CUADRADO PERFECTO
𝑑=𝐵− 𝐴
Es importante demostrar que la raíz cuadrada
del consecutivo superior o inferior de un
cuadrado perfecto es irracional; esta
demostración será fundamental para que, más
adelante se determine que la distribución de los
términos de una terna pitagórica es aritmética y
no geométrica.
(𝑎 + 1)2 − 𝑎2 = 2𝑎 + 1 = 𝑑
Como a > 0, entonces el valor mínimo que
puede asumir es: a = 1, reemplazando en 2a+1,
tenemos, por tanto: d =3.
Incrementemos una unidad a “a” en 2a+1,
entonces d = 5. En conclusión: 𝐵 − 𝐴 ≥ 3
Como ya se ha establecido la hipotenusa y los
catetos se distancian aritméticamente por dos
cantidades denominadas en este estudio por q y
k, Resto cateto y diferencia pitagórica
respectivamente.
Eso significa que a medida que “a” se
incrementa, la diferencia “d” se incrementa,
quedando demostrado que la diferencia de dos
cuadrados tiende hacia infinito desde 3.
Dado, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑵 ∧ 𝑎, 𝑏 > 0
𝑏 = 𝑎+1
𝐵=𝑏
2
∧ 𝐴=𝑎
La cantidad de números enteros entre dos
cuadrados está dada por la diferencia d -1.
2
***
A continuación, se puede apreciar la cantidad de números enteros intermedios entre cuadrados perfectos
de algunos números pequeños:
22 − 12 = 3 → 𝟐𝟐 , 3⏟
, 2 , 𝟏𝟐
2
2
2
𝟐
3 − 2 = 5 → 𝟑 , (8),
⏟ 7, 6, 5 , 𝟐𝟐
2
2
𝟐
2
2
𝟐
2
2
4
4 − 3 = 7 → 𝟒 ,⏟
15, 14, 13, 12, 11, 10 , 𝟑𝟐
6
5 − 4 = 9 → 𝟓 , 24,
⏟ 23, 22, 21, 20, 19, 18,17 , 𝟒𝟐
8
𝟐
6 − 5 = 11 → 𝟔 , ⏟
35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, (27), 26 , 𝟓𝟐
10
***
Quedando demostrado de esta forma que, entre
los cuadrados perfectos de dos números
consecutivos, no existe otro cuadrado
intermedio, por tanto, el consecutivo de un
cuadrado perfecto no es cuadrado perfecto.
Incluso se puede afirmar fehacientemente que
entre los números cuadrados más pequeños 1 y
4 existen los números naturales no cuadrados 2
y 3.
De todo esto se desprende que las ternas
pitagóricas irreductibles al ser co-primas sólo se
exceden aritméticamente entre ellas.
Un dato interesante es que la cantidad de
números consecutivos entre dos cuadrados
consecutivos es igual a su diferencia menos 1 y
equivalente a: 2n.
Ruben Darío Muñoz López
CUADRADOS CONSECUTIVOS Y DIFERENCIA INCREMENTAL MAYOR A 1
Pues bien, como ya se indujo, no existen
cuadrados consecutivos, es decir que la
diferencia de dos cuadrados no es la unidad.
∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑁 ∧ 𝑏 > 𝑎 > 0
𝑏 2 ≠ 𝑎2 + 1
𝑏 2 − 𝑎2 = 1
COROLARIO.
Se puede afirmar que no existe la raíz cuadrada
perfecta del consecutivo superior o inferior de
un cuadrado perfecto: √𝑛2 ± 1 → ∄
𝑏 ≠ √𝑎2 + 1
(𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎) = 1
(𝑏 + 𝑎) =
1
1
ó (𝑏 − 𝑎) =
(𝑏 − 𝑎)
(𝑏 + 𝑎)
La diferencia entre dos cuadrados (b2 - a2) se
incrementa a medida que b y a tienden hacia
el infinito; eso significa que sin importar si los
números a, b son consecutivos, la diferencia
jamás es 1, siendo la mínima diferencia 3.
No existe solución entera, pues: (b + a) y (b - a)
son inversos geométricos, es decir uno de ellos
será menor que la unidad, por tanto, racional
menor que 1. De esto se desprende que:
***
n
n2
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
92
1
4
9
16
25
36
49
64
81
2
b -a
3
5
7
9
11
13
15
17
…
Así que, si la diferencia b2 - a2 > 1, la diferencia
tiende a incrementarse hacia el infinito a medida
que los números crecen. En general no existen
dos potencias que sean números consecutivos lo
cual ha sido establecido por el Teorema Preda
Mihailescu, con excepción de 32 - 23 = 1.
𝑚, 𝑎 > 2 ∧ 𝑛, 𝑏 > 3. Lo cual, confirma una
parte de la conjetura de Beal. Existiendo como
única solución: 23 − 32 = 1
Por otro lado, de: (2𝑝 + 1)2 = 4𝑝2 + 4𝑝 + 1
Se puede establecer que: 𝑧 2 = (2𝑝 + 1)2
Aunque no es muy relevante en este estudio,
vale la pena mencionar que la diferencia se
corresponde con la sucesión de números
impares, b2 - a2 = 2n + 1; expresión que es de
utilidad para desarrollar la formula general de
ternas pitagóricas para k = 1 y luego extenderlas
ak>1
𝑥 2 = 4𝑝 + 1 ⇒ 𝑝 =
𝑦 2 = 4𝑝2
𝑥2 − 1
4
Despejado p en función de x, y remplazando en
y, se obtiene la expresión recurrente:
𝑥2 − 1
𝑦=
2
p
∀ 𝑏, 𝑎, 𝑚, 𝑛 𝜖 𝑁 ∧ 𝑏, 𝑎, 𝑚, 𝑛 > 0
𝑏>𝑎>0
𝑏 𝑚 − 𝑎𝑛 > 1
Además, restringiendo aún más los valores:
2
6
12
20
30
42
2
x = 4p+1
9
25
49
81
121
169
x
y
z
3
5
7
9
11
13
4
12
24
40
60
84
5
13
25
41
61
85
El teorema de Pitágoras
TEOREMA GENERATRIZ DE TERNAS PITAGÓRICAS.
Para todo triángulo rectángulo orto pitagórico,
es decir: z > y > x; se cumple que en toda terna
pitagórica: el cateto mayor es igual al cuadrado
del cateto menor, menos el cuadrado de un valor
“k” (diferencia pitagórica, menor o igual al
cateto menor), dividido entre el doble de dicha
cantidad (k).
Donde “k” es submúltiplo del cuadrado del
cateto menor. Y la hipotenusa es igual al cateto
mayor más la cantidad “k”. Así mismo existen
diferencias importantes como las que se
adjuntan al lado del gráfico.
𝑧 =𝑦+𝑘
𝑘 =𝑧−𝑦
𝑚 =𝑧−𝑥 =ℎ
𝑦 − 𝑥 = 𝑚 − 𝑘 = 𝑘′
𝑦−𝑚 =𝑥−𝑘
TERNAS IRREDUCTIBLES
Una terna pitagórica es irreductible si no tienen
factores comunes. Más adelante se demostrará
que si el cateto menor es impar y/o primo, el
cateto mayor es par y la hipotenusa impar. Si el
cateto menor es par, el cateto mayor y la
hipotenusa son impares. Respondiendo a una
estructura estricta dependiendo del índice de
modularidad sextal.
Las ternas conformadas por números pares en
su integridad son reducibles, esto se demostrará
usando teoría de sextales.
A continuación, se demostrará el TEOREMA
GENERATRIZ de ternas pitagóricas por el
método inductivo para diversos valores de k =1,
2, 3, …, etc. Es decir, demostraremos nuestras
suposiciones o hipótesis mediante afirmaciones
basadas en razonamientos y argumentos
verdaderos que se desprenden de métodos
inductivos.
“Toda terna pitagórica de cateto menor
primo es irreductible”
En este libro una terna irreductible esta
expresada por:
HIPÓTESIS
Si “x” es el cateto menor, entonces: El cateto
mayor y es igual a:
𝑥2 − 𝑘2
𝑦=
⋯ 𝐸𝑐. 1.1
2𝑘
La hipotenusa es igual al cateto mayor más (k):
𝑧 = 𝑦 + 𝑘 ⋯ 𝐸𝑐. 1.2
Que puede expresarse directamente en función
del cateto menor:
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
⋯ 𝐸𝑐. 1.3
2𝑘
Por otro lado, el valor de m = z - x está dada
por la expresión:
(𝑥 − 𝑘)2
𝑚=
⋯ 𝐸𝑐. 1.4
2𝑘
(𝑥′)2 + (𝑦′)2 = (𝑧′)2
En cambio, una terna pitagórica de números
enteros en general quedara expresada por:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
Antes de proceder a la demostración
fundamental de este tratado en el grupo:
Mas allá del teorema de Pitágoras se
publicaron dos expresiones obtenidas con
arreglo a las fórmulas generales de ternas
pitagóricas.
Ruben Darío Muñoz López
CASO 1: LA HIPOTENUSA EXCEDE EN UNA UNIDAD AL CATETO MAYOR.
A continuación, vamos a analizar el caso en que
la hipotenusa excede una unidad al cateto
mayor.
2
2
2
𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 = 4𝑧 2
(𝑥 2 + 1)2 = 4𝑧 2
𝑥 2 + 1 = 2𝑧
Dada la ecuación: 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 ,
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 1 entonces k = 1
Despejando z:
Se cumple que para todo cateto menor x impar,
el cateto mayor y es igual a:
𝑥2 − 1
𝑦=
⋯ 𝐸𝑐. 2.1
2
𝒛=
La hipotenusa es igual al cateto mayor más 1.
También, por enunciado en la ecuación 2.2 se
cumple que: z = y + 1
𝒙𝟐 + 𝟏
𝟐
𝑧 = 𝑦 + 1 ⋯ 𝐸𝑐. 2.2
Que puede expresarse directamente en función
del cateto menor:
𝑥2 + 1
⋯ 𝐸𝑐. 2.3
2
Así mismo, el valor de m = z - x está dada por
la expresión:
𝑧=(
𝑧=
𝑥2 − 1 2
+
2
2
𝑧=
𝑥2 + 1
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
2
𝑧=
(𝑥 − 1)2
𝑚=
⋯ 𝐸𝑐. 2.4
2
𝑥2 − 1
)+1
2
Finalmente, reemplazando se puede comprobar.
2
𝑥2 + (
DEMOSTRACIÓN
Partiendo del enunciado:
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
) =(
)
2
2
2
Gráficamente:
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑦 + 1)2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 2 + 2𝑦 + 1
𝑥 2 = 2𝑦 + 1
Despejando y:
ANÁLISIS DE DIVISIBILIDAD
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒚=
𝟐
Reemplazando en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
2
𝑥2 + (
𝑥2 − 1
) = 𝑧2
2
4𝑥 2 + (𝑥 2 − 1)2 = 4𝑧 2
4𝑥 2 + 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 = 4𝑧 2
Para que: x2 - 1, sea divisible entre 2; x2 debe
ser impar al igual que “x” en consecuencia “y”
es un número par. Como “z” es el consecutivo
superior resultará ser un número impar. Sin
embargo, esto reservamos al capítulo sobre
posición sextal de ternas pitagóricas.
El teorema de Pitágoras
EJEMPLOS DE TERNAS PITAGÓRICAS DE CATETO MENOR IMPAR Y k=1:
A continuación, aplicando las fórmulas, se
consigna una serie de ternas para este caso
particular en la que k = 1.
x
𝒚=
3
5
7
9
11
13
15
17
47
59
101
𝒙𝟐 − 𝟏
𝟐
4
12
24
40
60
84
112
144
1104
1740
5100
z=y+1
5
13
25
41
61
85
113
145
1105
1741
5101
Remplazando: 2p + 1 en las expresiones
obtenidas para la generación de Ternas
pitagóricas, estas se reducen a las siguientes
fórmulas mostrando el estado de paridad del
cateto mayor “y” y de imparidad del cateto
menor y la hipotenusa; y de las cuales se puede
obtener directamente las ternas pitagóricas de
números naturales para k=1 para todo p natural
:
p
x = 2p+1
y = 2p2+2p
z = 2p2+2p+1
1
3
4
5
2
5
12
13
3
7
24
25
4
9
40
41
5
11
60
61
6
13
84
85
En algunos casos el cateto menor es un número
primo, al igual que la hipotenusa. Otras Ternas
están conformadas por un primo y dos números
compuestos. Pero definitivamente el cateto
mayor es par y, por tanto, un número
compuesto.
En general estas ternas son co-primas, es decir
irreductibles, lo cual se demostrará más
adelante.
OBSERVACIÓN
Como el cateto menor pertenece a la sucesión
de números impares de la forma: x = 2p + 1
x = {1, 3, 5, 7, 9, ...} ˄ p N tal que:
p = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}
CONCLUSIÓN
Para toda terna pitagórica en la que la
hipotenusa excede al cateto mayor en una
unidad, las ternas están conformadas por un
cateto menor e hipotenusa impar y un cateto
mayor par. En general siempre existe una terna
en la que al menos uno de los términos es un
número compuesto, esto se ira evidenciando
más adelante en las demostraciones.
RESUMEN
x
2
𝑦=
𝑥 −1
2
z=y+1
⇒ 𝒙 = 𝟐𝒑 + 𝟏
(λ)
Numero impar a veces primo
⇒ 𝒚 = 𝟐𝒑𝟐 + 𝟐𝒑
(ρ)
Número compuesto par
⇒ 𝒛 = 𝟐𝒑𝟐 + 𝟐𝒑 + 𝟏
(λ)
Numero impar a veces primo
Ruben Darío Muñoz López
Elevando al cuadrado cada expresión
obtenemos los cuadrados de los catetos e
hipotenusa de un triángulo rectángulo
pitagórico.
A pesar de que en este capítulo no se estudia la
teoría de modularidad de sextales, en la
columna de la derecha se consigna los sextales
de dichos catetos e hipotenusa para TP primo,
es decir aquellos que se ordenan en los sextales
primos.
El cuadrado de un número impar es de la forma:
(2𝑝 + 1)2 = 4𝑝2 + 4𝑝 + 1
Las ternas de cateto menor primo se ubican en
ω1, ω5 y para el único primo de ω 3 que es 3, del
plano sextal. Las expresiones polinomiales son
evidentemente cuadrados perfectos, es decir,
son la forma polinomial de cuadrados perfectos.
De igual forma se puede representar el cuadrado
de todo par:
(2𝑝)2 = 4𝑝2
***
𝑥 2 = 𝟒𝒑𝟐 + 𝟒𝒑 + 𝟏
⇒ 𝑥 𝜖 𝜔1 → 6𝑚 + 1
𝑥 𝜖 𝜔5 → 6𝑚 + 5
𝑦 2 = 𝟒𝒑𝟒 + 𝟖𝒑𝟑 + 𝟒𝒑𝟐
⇒ 𝑦 𝜖 𝜔6 → 18𝑚2 + 6𝑚
𝑦 𝜖 𝜔6 → 18𝑚2 + 30𝑚 + 12
𝑧 2 = 𝟒𝒑𝟒 + 𝟖𝒑𝟑 + 𝟖𝒑𝟐 + 𝟒𝒑 + 𝟏
⇒ 𝑧 𝜖 𝜔1 → 18𝑚2 + 6𝑚 + 1
𝑧 𝜖 𝜔1 → 18𝑚2 + 30𝑚 + 13
COROLARIO
Todo cuadrado impar, puede descomponerse en
la forma polinomial*:
𝜆2 = 4𝑝2 + 4𝑝 + 1
*Descomposición polinomial de un cuadrado
impar.
p (1) = 4(1)2 + 4(1) + 1 →
p (2) = 4(2)2 + 4(2) + 1→
p (3) = 4(3)2 + 4(3) + 1→
… … … … … ……
p(n) → λ2 = 4p2 + 4p + 1
9 = 32
25 = 52
49 = 72
El teorema de Pitágoras
CASO 2: LA HIPOTENUSA EXCEDE AL CATETO MAYOR EN 2 UNIDADES.
A continuación, vamos a analizar el caso en que
la hipotenusa excede dos unidades al cateto
mayor.
2
2
2
Dada la ecuación: 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 ,
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 2 entonces k = 2
Se cumple que para todo cateto menor x par, el
cateto mayor y es igual a:
𝑥2 − 4
𝑦=
⋯ 𝐸𝑐. 3.1
4
La hipotenusa es igual al cateto mayor más 2:
16𝑥 2 + (𝑥 2 − 4)2 = 16𝑧 2
𝑥 4 + 8𝑥 2 + 16 = 16𝑧 2
(𝑥 2 + 4)2 = 16𝑧 2 ⇒ 𝑥 2 + 4 = 4𝑧
Despejando z:
𝑧=
𝑥 2 + 4 𝑥 2 + 22
⇒
⇒
4
2(2)
También, por enunciado en la ecuación 3.2 se
cumple que: z = y + 2
𝑧 = 𝑦 + 2 ⋯ 𝐸𝑐. 3.2
𝑥2 − 4
𝑧=(
)+2
4
Que puede expresarse directamente en función
del cateto menor:
𝑥2 − 4 8
𝑧=
+
4
4
𝑥2 + 4
𝑧=
⋯ 𝐸𝑐. 3.3
4
𝑧=
𝑥2 + 4
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
4
Así mismo, el valor de m = z - x está dada por
la expresión:
(𝑥 − 2)2
𝑚=
⋯ 𝐸𝑐. 3.4
4
DEMOSTRACIÓN
Reemplazando en el enunciado:
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑦 + 2)2
2
𝑥2 − 4
𝑥2 + 4
𝑥 +(
) =(
)
4
4
2
2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 2 + 4𝑦 + 4
𝑥 2 = 4𝑦 + 4
Despejando y:
𝑥 2 − 4 𝒙𝟐 − 𝟐𝟐
𝑦=
⇒
4
𝟐(𝟐)
Reemplazando en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
2
𝑥2 − 4
𝑥 +(
) = 𝑧2
4
2
ANÁLISIS DE DIVISIBILIDAD
Para que: x2–4, sea divisible entre 4, entonces x2
es múltiplo de 4, por tanto, es par al igual que
“x”; “y” y “z” podrá ser par o impar. Sin
embargo, esto reservamos al capítulo sobre
posición sextal de ternas pitagóricas.
Ruben Darío Muñoz López
EJEMPLOS DE TERNAS PITAGÓRICAS DE CATETO MENOR IMPAR Y k=2:
A continuación, aplicando las fórmulas, se
consigna una serie de ternas para este caso
particular en la que k = 2.
Como puede apreciarse algunas ternas son
reductibles y otras irreductibles especialmente
cuando el cateto menor es divisible entre 4.
x
𝒙𝟐 − 𝟒
𝟒
0
3
8
15
24
35
48
63
80
899
1088
1599
𝒚=
2
4
6
8
10
12
14
16
18
60
66
80
z=y+2
2
5
10
17
26
37
50
65
82
901
1090
1601
REDUCCION
1
0
1
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
40
41
33
544 545
p
x = 2p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y = p2- 1
0
3
8
15
24
35
48
63
80
z = p2+ 1
2
5
10
17
26
37
50
65
82
CONCLUSIÓN
Toda terna pitagórica en la que la hipotenusa
excede al cateto mayor en dos unidades estará
conformada por un cateto menor par; y un cateto
mayor y una hipotenusa pares o impares.
OBSERVACIÓN
El cateto menor pertenece a la serie natural de
números pares de la forma: x = 2p:
x = {2, 4, 6, ... 2p} ˄ p
En el caso que las ternas pitagóricas estén
conformadas por números pares en su totalidad
se podrá reducir hasta tener una terna
irreductible de un cateto par y dos impares
(primos entre sí) o te una terna prima de cateto
menor impar.
p = {1, 2, 3...} donde: p ≥ 1.
Remplazando 2p en las expresiones obtenidas
para la generación de TP, de este caso, se
reducen a fórmulas en función de “p”. Elevando
al cuadrado cada expresión obtenemos formas
polinómicas de cuadrados perfectos:
RESUMEN
⇒ 𝒙 = 𝟐𝒑
x
2
𝑦=
𝑥 −4
4
z=y+2
(ρ)
Numero par
⇒ 𝒚 = 𝒑𝟐 − 𝟏
(ρ ó λ)
Número par o impar
⇒ 𝒛 = 𝒑𝟐 + 𝟏
(ρ ó λ)
Número par o impar a veces primo
El teorema de Pitágoras
Elevando al cuadrado cada expresión
obtenemos los cuadrados de los catetos e
hipotenusa de un triángulo rectángulo
pitagórico.
De las expresiones polinomiales tenemos
entonces:
Resumiendo, los cuadrados son:
x
𝑦=
𝑥2 − 4
4
z=y+2
⇒ 𝒙 = 𝟐𝒑
(ρ) Par
→ 𝑥 2 = 4𝑝2
⇒ 𝒚 = 𝒑𝟐 − 𝟏
(ρ ó λ) Par o impar
→ 𝑦 2 = 𝑝4 − 2𝑝 + 1
⇒ 𝒛 = 𝒑𝟐 + 𝟏
(ρ ó λ) Par o impar
→ 𝑧 2 = 𝑝4 + 2𝑝 + 1
COROLARIO
Todo cuadrado par puede descomponerse en:
P2 = 4p2
p (1) →
p (2) →
p (3) →
... →
p (n) →
4(1)2 = 4 = 22
4(2)2 = 16 = 42
4(3)2 = 36 = 62
...
p2 = 4p2
OTRA DEMOSTRACIÓN
Partiendo del primer caso para k = 1: Sea p = 2x
(Conjunto de números pares). Multiplicando
por 2 las ecuaciones Ec. 2.1 y Ec. 2.2 se obtiene:
𝑦 = 2(
𝑥2 − 1
) ⇒ 𝑦 = 𝑥2 − 1
2
𝑧 = 𝑦 + 2 = (𝑥 2 − 1) + 2 ⇒ 𝑧 = 𝑥 2 + 1
Ruben Darío Muñoz López
CASO 3: LA HIPOTENUSA EXCEDE AL CATETO MAYOR EN 3 UNIDADES.
Dada la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ,
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 3 entonces k = 3
𝑧=
𝑥2 + 9
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
6
El cateto mayor y es igual a:
𝑥2 − 9
𝑦=
⋯ 𝐸𝑐. 4.1
6
La hipotenusa es igual al cateto mayor más 3.
2
𝑥2 − 9
𝑥2 + 9
𝑥 +(
) =(
)
6
6
2
2
𝑧 = 𝑦 + 3 ⋯ 𝐸𝑐. 4.2
Expresada en función del cateto menor:
𝑥2 + 9
𝑧=
⋯ 𝐸𝑐. 4.3
6
Por otro lado, el valor de m = z - x está dada
por la expresión:
(𝑥 − 3)2
𝑚=
⋯ 𝐸𝑐. 4.4
6
DEMOSTRACIÓN
Reemplazando en el enunciado y reduciendo:
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑦 + 3)2
ANÁLISIS DE DIVISIBILIDAD
Para que: x2 – 9, sea divisible entre 6, x2 debe
ser múltiplo de 3, por tanto, impar al igual que
x y z; y es par. Sin embargo, esto lo reservamos
al capítulo sobre posición sextal de TPs.
El cateto menor es: x = {3, 9, 15, 21, 27, 33...}
Es decir, el triple de la sucesión de números
impares: x = 3(2p+1)
3(2p +1) = {3(1), 3(3), 3(5), 3(7), 3(9), ...}
𝑥 2 = 6𝑦 + 9
Despejando y:
𝑥 2 − 9 𝑥 2 − 32
𝑦=
⇒
6
2(3)
x
3
9
15
21
27
33
39
Reemplazando en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
2
𝑥2 − 9
2
𝑥 +(
) = 𝑧2
6
36𝑥 2 + (𝑥 2 − 9)2 = 36𝑧 2
𝑥 4 + 18𝑥 2 + 81 = 36𝑧 2
(𝑥 2 + 9)2 = 36𝑧 2 ⇒ 𝑥 2 + 9 = 6𝑧
Despejando z:
𝑥 2 + 9 𝑥 2 + 32
𝑧=
⇒
6
2(3)
También, por enunciado se cumple: z = y + 3
𝑥2 − 9
𝑥 2 − 9 18
𝑧=(
+
)+3⇒ 𝑧 =
6
6
6
x 2 − 9 z = y +3
6
0
3
12
15
36
39
72
75
120
123
180
183
252
255
y=
Reduccion
x
y
z
1
0
1
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
40
41
11 60
61
13 84
85
En este caso todas las ternas son reductibles al
caso 1, factorándolas en 3 obtenemos las ternas
de catetos menores de números impares.
Resultan las formas polinomiales elevadas al
cuadrado, donde las expresiones de la derecha
son evidentemente cuadrados perfectos, es decir
son la forma polinomial de cuadrados perfectos
y en especial de números múltiplos de 3.
Resumiendo, los cuadrados son:
x
𝑦=
𝑥2 − 9
6
z=y+3
⇒ 𝑥 = 3(2𝑝 + 1)
(λ) Impar compueso
→ 𝑥 2 = 32 (4𝑝2 + 4𝑝 + 1)
⇒ 𝑦 = 3(2𝑝2 − 2𝑝)
(ρ) Par compuesto
→ 𝑦 2 = 32 (4𝑝4 + 8𝑝3 + 4𝑝2 )
⇒ 𝑧 = 3(2𝑝2 + 2𝑝 + 1)
(λ) Impar compuesto
→ 𝑧 2 = 32 (4𝑝4 + 8𝑝3 + 4𝑝2 + 1)
El teorema de Pitágoras
CASO 4: LA HIPOTENUSA EXCEDE AL CATETO MAYOR EN 4 UNIDADES.
De la hipótesis: 𝑧 = 𝑦 + 4
𝑧 = 2(𝑝2 + 1)
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑦 + 4)2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 2 + 8𝑦 + 16
𝑥 2 = 8𝑦 + 16
Despejando y:
𝑥 2 − 16
𝑦=
8
𝑥 2 − 42
𝑦=
2(4)
Reemplazando en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
2
𝑥 2 − 16
𝑥2 + (
) = 𝑧2
8
Por enunciado: z = y + 4. Entonces:
𝑥 2 − 16
𝑧=
+4
8
𝑧=
𝑧=
𝑥 2 − 16 32
+
8
8
𝑥 2 + 16
8
𝑧=
𝑥 2 + 42
2(4)
Gráficamente:
En este caso las ternas son pares y reductibles al
caso 2. Cuya expresión polinomial es:
𝑥 = 2(2𝑝)
𝑦 = 2(𝑝2 − 1)
Ternas originales
x
y
z
4
0
4
8
6
10
12
16
20
16
30
34
20
48
52
24
70
74
28
96
100
32
126
130
36
160
164
40
198
202
44
240
244
48
286
290
52
336
340
56
390
394
60
448
452
64
510
514
68
576
580
72
646
650
76
720
724
80
798
802
84
880
884
88
966
970
92
1056 1060
Dividido entre 2
x
y
z
2
0
2
4
3
5
6
8
10
8
15
17
10
24
26
12
35
37
14
48
50
16
63
65
18
80
82
20
99
101
22
120
122
24
143
145
26
168
170
28
195
197
30
224
226
32
255
257
34
288
290
36
323
325
38
360
362
40
399
401
42
440
442
44
483
485
46
528
530
Por tanto, también este caso el cateto mayor y la
hipotenusa son función directa del cateto menor
y de k.
Ruben Darío Muñoz López
CASO 5: PARA UN VALOR ARBITRARIO PRIMO, por ejemplo, k=13.
La hipotenusa excede en dicho valor al cateto
mayor (reducible al caso 1).
De la hipótesis: 𝑧 = 𝑦 + 13
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑦 + 13)2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 2 + 26𝑦 + 169
𝑥 2 = 26𝑦 + 169
Despejando y:
𝑦=
𝑥 2 −169
26
⇒𝑦=
𝑥 2 −132
2(13)
Reemplazando en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
2
𝑥 2 − 169
2
𝑥 +(
) = 𝑧2
26
Por enunciado: z = y + 13. Entonces:
𝑥 2 − 169
𝑧=
+ 13
26
𝑧=
𝑥 2 − 169 338
+
26
26
𝑧=
𝑥 2 + 169
26
𝑧=
𝑥 2 + 132
2(13)
Gráficamente
Ternas originales
x
y
z
13
0
13
39
52
65
65
156
169
91
312
325
117
520
533
143
780
793
169 1092 1105
195 1456 1469
221 1872 1885
247 2340 2353
273 2860 2873
299 3432 3445
325 4056 4069
351 4732 4745
377 5460 5473
403 6240 6253
429 7072 7085
455 7956 7969
481 8892 8905
507 9880 9893
533 10920 10933
559 12012 12025
572 12578 12591
585 13156 13169
598 13748 13761
611 14352 14365
624 14970 14983
Simplificacion
x
y
z
1
0
1
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
40
41
11
60
61
13
84
85
15
112
113
17
144
145
19
180
181
21
220
221
23
264
265
25
312
313
27
364
365
29
420
421
31
480
481
33
544
545
35
612
613
37
684
685
39
760
761
41
840
841
43
924
925
44 967.5 968.5
45
1012 1013
46
1058 1059
47
1104 1105
48
1152 1153
Por tanto, también este caso el cateto mayor y la
hipotenusa son función directa del cateto menor
y de k.
En este caso todas las ternas son reductibles al
caso 1. Cuyas formas polinomiales son:
𝑥 = 13(2𝑝 + 1)
𝑦 = 13(2𝑝2 + 2𝑝)
𝑧 = 13(2𝑝2 + 2𝑝 + 1)
El teorema de Pitágoras
DEMOSTRACIÓN GENERAL DEL
TEOREMA GENERATRIZ DE TERNAS
PITAGÓRICAS
Ruben Darío Muñoz López
CASO GENERAL: LA HIPOTENUSA EXCEDE EN “k” UNIDADES AL CATETO MAYOR.
Aplicado el método de deducción matemática
concluimos que el cateto mayor es cociente de
dividir la diferencia del cuadrado del cateto
menor menos el cuadrado de “k” entre dos veces
el valor “k” y la hipotenusa es igual
simplemente al cateto mayor sumado el valor de
“k”; esta consideración deriva en el caso general
de generación de ternas pitagóricas que a
continuación se detalla.
𝑥 2 + 𝑘 2 = 2𝑘𝑧
Dada la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 𝑘
𝑆𝑖 𝒌 = 𝑥 en: 𝑦 =
Despejando z:
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
2𝑘
COROLARIO
El valor máximo que puede asumir k es x, por
tanto, k ≤ x para ternas enteras en Z+
𝑥2 − 𝑥2
=0
2𝑘
⇒𝑧 =0+𝑘 =𝑥
DEMOSTRACIÓN
Partiendo de las hipótesis:
Evidentemente la terna estaría conformada por
los términos: (x – 0 – x), es decir un triángulo
nulo. Así mismo, el valor mínimo de la
diferencia pitagórica es k = 1; caso contrario si
k = 0; se produce una indeterminación de la
ecuación general de ternas pitagóricas de
números enteros positivos.
𝑥2 − 𝑘2
𝑦=
⋯ 𝐸𝑐. 1.1
2𝑘
𝑧 = 𝑦 + 𝑘 ⋯ 𝐸𝑐. 1.2
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
⋯ 𝐸𝑐. 1.3
2𝑘
2𝑘 > 0 ⇒ 𝑘 ≥ 1 y 𝑘 = {1, 2, 3, … , 𝑛}
Gráficamente:
TERNAS REDUCTIBLES
Las ternas pitagóricas co-primas
irreductibles y se expresan por:
son
(𝑥′)2 + (𝑦′)2 = (𝑧′)2
Reemplazando:
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑦 + 𝑘)2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑦 2 + 2𝑘𝑦 + 𝑘 2
𝑥 2 = 2𝑘𝑦 + 𝑘 2
Despejando y:
2
𝑦=
Dada la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 en algunos
casos es posible simplificarla extrayendo un
factor común monomio “f” transformando la
expresión en el producto de un factor “f” por
una terna pitagórica irreductible.
𝑓 2 [(𝑥′)2 + (𝑦′)2 = (𝑧′)2 ]
2
𝟐
𝟐
𝑥 −𝑘
𝒙 −𝒌
⇒
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
2𝑘
𝟐(𝒌)
Reemplazando en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑥 = 𝑓𝑥′
𝑦 = 𝑓𝑦 ′
𝑧 = 𝑓𝑧′
𝑥 2 = (𝑓𝑥′)2
𝑦 2 = (𝑓𝑦′)2
𝑧 2 = (𝑓𝑧′)2
2
𝑥2 − 𝑘2
𝑥 +(
) = 𝑧2
2𝑘
2
4𝑘 2 𝑥 2 + (𝑥 2 − 𝑘 2 )2 = 4𝑘 2 𝑧 2
4𝑘 2 𝑥 2 + 𝑥 4 − 2𝑘 2 𝑥 2 + 𝑘 4 = 4𝑘 2 𝑧 2
𝑥 4 + 2𝑘 2 𝑥 2 + 𝑘 4 = 4𝑘 2 𝑧 2
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2 = 4𝑘 2 𝑧 2
En conclusión, las ternas pitagóricas no coprimas (𝑓𝑥′)2 + (𝑓𝑦′)2 = (𝑓𝑧′)2
pueden
reducirse a expresiones más simples,
factorizando el o los factores comunes “f”:
𝒇𝟐 [(𝒙′)𝟐 + (𝒚′)𝟐 = (𝒛′)𝟐 ]
El teorema de Pitágoras
TERNAS DE CATETO MENOR IMPARES
Las ternas pitagóricas para
todo cateto menor impar:
x = 2p + 1
𝑥 = 2𝑝 + 1
𝑦=
𝑥 2 − 𝑘 2 (2𝑝 + 1)2 − 𝑘 2 4𝑝2 + 4𝑝 − (𝑘 2 − 1)
=
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘
𝑧=
𝑥 2 + 𝑘 2 (2𝑝 + 1)2 + 𝑘 2 4𝑝2 + 4𝑝 + (𝑘 2 + 1)
=
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘
El cuadrado de dichas ternas pitagóricas están dadas por:
2
2
2
𝑥 = 4𝑝 + 4𝑝 + 1
4𝑝2 + 2𝑝 + (1 − 𝑘 2 )
𝑦 =[
]
2𝑘
2
2
4𝑝2 + 2𝑝 + (1 + 𝑘 2 )
𝑧 =[
]
2𝑘
2
POLINÓMICAS DE TERNAS PITAGÓRICAS COMPUESTAS POR FACTOR f PARA k = 1
x
𝑦=
𝑥 2 − 12
2
𝑧 = 𝑦+1
𝑥 = 𝑓(2𝑝 + 1)
𝑥 2 = 𝑓 2 (4𝑝2 + 4𝑝 + 1)
𝑦 = 𝑓(2𝑝2 + 2𝑝)
𝑦 2 = 𝑓 2 (2𝑝2 + 2𝑝)2
𝑧 = 𝑓(2𝑝2 + 2𝑝 + 1)
𝑧 2 = 𝑓 2 (2𝑝2 + 2𝑝 + 1)2
TERNAS DE CATETO MENOR PAR
Las ternas pitagóricas para
todo cateto menor par:
x = 2p
𝑥 = 2𝑝
𝑦=
𝑥 2 − 𝑘 2 (2𝑝)2 − 𝑘 2 (2𝑝 + 𝑘)(2𝑝 − 𝑘)
=
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘
𝑧=
𝑥 2 + 𝑘 2 (2𝑝)2 + 𝑘 2 4𝑝2 + 𝑘 2
=
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘
El cuadrado de dichas ternas pitagóricas están dadas por:
2
4𝑝2 − 𝑘 2
𝑥 2 = 4𝑝2
𝑦2 = (
)
2𝑘
2
𝑧2 = (
4𝑝2 + 𝑘 2
)
2𝑘
POLINÓMICAS DE TERNAS PITAGÓRICAS COMPUESTAS POR FACTOR f PARA k = 2
x
𝑥 2 − 42
4
𝑧 = 𝑦+4
𝑦=
𝑥 = 𝑓(2𝑝)
𝑥 2 = 𝑓 2 (4𝑝2 )
𝑦 = 𝑓(𝑝2 − 1)
𝑦 2 = 𝑓 2 (𝑝4 − 2𝑝2 + 1)
𝑧 = 𝑓(𝑝2 + 1)
𝑧 = 𝑓 2 (𝑝4 + 2𝑝2 + 1)
Nota: k es divisor de (2𝑝 + 1)2 ó (2𝑝)2 si son impares o pares respectivamente.
Ruben Darío Muñoz López
RELACIÓN ARITMÉTICA DE LAS DIFERENCIA PITAGÓRICAS DE “q” Y “k”
Se demostró que las ternas pitagóricas enteras
dependen solamente del cateto menor y de la
diferencia pitagórica “k”, incluso dedujimos
que este valor debe ser submúltiplo del cateto
menor. Pues ahora vamos a definir
completamente esta afirmación.
Dado el teorema de Pitágoras:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑍 +
𝑦 =𝑥+𝑞
𝑧 = 𝑦+𝑘
Reemplazando
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = (𝑥 + 𝑞 + 𝑘)2
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = (𝑥 + 𝑞)2 + 2(𝑥 + 𝑞)𝑘 + 𝑘 2
𝑥 2 = 2(𝑥 + 𝑞)𝑘 + 𝑘 2
𝑥 2 = 2𝑥𝑘 + 2𝑞𝑘 + 𝑘 2
𝑥 2 − 2𝑥𝑘 − 𝑘 2
𝑞=
2𝑘
Como se observa “q” también depende
solamente de “x” y de la diferencia pitagórica.
Reemplazando: 𝑦 = 𝑥 + 𝑞
2
2
2
𝑥 − 2𝑥𝑘 − 𝑘
𝑥 −𝑘
⟹𝑦=
2𝑘
2𝑘
2
2
𝑥 −𝑘
𝑧 = 𝑦+𝑘 ⇒ 𝑧 =
+𝑘
2𝑘
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
2𝑘
2
𝑦=𝑥+
Ratificándose en todos sus extremos las
hipótesis planteadas sobre las fórmulas
generales para generar ternas pitagóricas
enteras.
Se cumple completamente el sentido de
paridad, si “x” es par, le corresponde un valor
par para “k” y correspondientemente si “x” es
impar, le corresponde un valor impar de “k”
A continuación, se presenta una tabla con los
valores iniciales de “q” para diferentes valores
de k.
x
y= x+q
z= y+k
3
4= 3+1
5= 4+1
6
8= 6+2
10 = 8 + 2
9
12 = 9 + 3
15 = 12 + 3
12
16 = 12 + 4
20 = 16 + 4
15
20 = 15 + 5
25 = 20 + 5
18
24 = 18 + 6
25 = 24 + 6
k=
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1
2
3
4
q
5
6
7
-2
1
-3
-1
-4
7
-5
2
-6
17
-7
7
31
-2
3
14
49
23
4
-3
71
34
97
21
47
5
14
127
62
6
161
79
199
28
51
7
Nota: en la primera columna se consignan los
valores del cateto menor x, y en la primera fila
valores de k.
Resulta interesante que la serie natural se
constituye en el límite de “q” para ternas
enteras. A continuación se consigna un
esquema que sistematiza el valor de las terna
pitagóricas y sus correspondientes valores k y
q.
TABLA SISTEMÁTICA DE TERNAS PITAGÓRICAS Y LOS VALORES k Y q
En la siguiente tabla obsérvese el comportamiento de las ternas pitagóricas por el método general
denominado método de Diofanto, que no es materia de estudio en este libro, basado en la composición
de dos números arbitrarios a y b que en absoluto son los valores de x, y, z que presenta un ordenamiento
interesante de sus elementos y sus relación con el método del autor para la generación de ternas
pitagóricas enteras así como los valores de k y q.
b
1
2
5
4
3
3
10
6
8
8
65
16
63
-47
49
68
32
60
-28
36
73
48
55
-7
25
80
64
48
16
16
89
80
39
41
9
100
96
28
68
4
9
82
18
80
-62
64
85
36
77
-41
49
90
54
72
-18
36
97
72
65
7
25
106
90
56
34
16
117
108
45
63
9
10
101
20
99
-79
81
104
40
96
-56
64
109
60
91
-31
49
116
80
84
-4
36
125
100
75
25
25
136
120
64
56
16
11
122
22
120
-98
100
125
44
117
-73
81
130
66
112
-46
64
137
88
105
-17
49
146
110
96
14
36
157
132
85
47
25
12
145
24
143
-119
121
148
48
140
-92
100
153
72
135
-63
81
160
96
128
-32
64
169
120
119
1
49
180
144
108
36
36
13
170
26
168
-142
144
173
52
165
-113
121
178
78
160
-82
100
185
104
153
-49
81
194
130
144
-14
64
205
156
133
23
49
z = b2+ a2
y = 2ab
113
112
130
126
149
140
170
154
193
168
218
182
x = b2- a2
y- x=b=q
k = (b - a) 2
15
32
51
72
95
1
1
2
4
17
8
15
-2
4
13
12
5
-7
9
20
16
12
7
1
4
4
25
24
7
17
1
3
4
a
5
Leyenda
x
y
z
q
k
5
26
10
24
-14
16
29
20
21
-1
9
34
30
16
14
4
41
40
9
31
1
6
37
12
35
-23
25
40
24
32
-8
16
45
36
27
9
9
52
48
20
28
4
61
60
11
49
1
6
7
7
50
14
48
-34
36
53
28
45
-17
25
58
42
40
2
16
65
56
33
23
9
74
70
24
46
4
85
84
13
71
1
Ternas orto pitagoricas z > y > x
8
Ternas pitagoricas transversas z > x > y
97
94
89
82
73
120
62
1
4
9
145
144
17
127
1
164
160
36
124
4
16
185
176
57
119
9
25
208
192
80
112
16
36
233
208
105
103
25
Si b/a no es factorizable la terna es co-prima.
Si b = a + 1, la terna es irreductible de cateto menor impar, en algunos casos número primo
Nota: Este cuadro es un pequeño aporte al método desarrollado por matemáticos que me antecedieron en el
estudio del teorema de Pitágoras para números enteros.
EJERCICIO
Hallar el número que falta en el cuadro, si se
sabe que los números de las celdas dependen
de la serie natural de números impares, cuyo
primer termino es 3.
EJERCICIO
Hallar el triangulo equilatero, si existe de
numeros enteros tal que la altura sea entera.
SOLUCIÓN
La solucion para los lectores mas avispados es
directa. No existe una solución entera, dado que
la altura de un triangulo equilatero siempre es
irracional.
Estimado lector, la respuesta es 49 ¿por qué?
El cuadro aparenta ser un cuadrado mágico de
orden impar, si bien es cierto que algunas filas
o columnas pueden sumar igual, la respuesta no
se encontrará por ese camino. Ordenando los
números veremos que presenta una estructura
ascendente, que en apariencia no arroja mayor
información, sin embargo en ella esta la
respuesta.
Como la serie esta relacionada con la serie
natural de números impares, entonces x esta en
función de 11 y se halla entre 31 y 71.
Ordenando
Aplicando el teorema de pitagoras se tiene que:
𝑦2 = 𝑧2 − 𝑥2
𝑦 2 = (2𝑥)2 − 𝑥 2
𝑦 2 = 4𝑥 2 − 𝑥 2
𝑦 2 = 3𝑥 2
𝑦 = 𝑥√3
Otro metodo menos directo, pero no menos
interesante esta dado por la aplicación de las
fomulas generalres de ternas pitagoricas.
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
2𝑘
𝑥2 + 𝑘2
2𝑥 =
2𝑘
4𝑥𝑘 = 𝑥 2 + 𝑘 2
Pero: 𝑘 = 𝑧 − 𝑦 ⇒ 𝑘 = 2𝑥 − 𝑦
Reemplazando y resolviendo:
GRAFICA DE LA SERIE
Nota: si revisa el apartado
sobre Resto cateto, encontrará
la jusificacion a la respuesta.
4𝑥(2𝑥 − 𝑦) = 𝑥 2 + (2𝑥 − 𝑦)2
8𝑥 2 − 4𝑥𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2
3𝑥 2 = 𝑦 2
𝑦 = 𝑥√3
El teorema de Pitágoras
DIFERENCIA DEL CATETO MENOR Y LA HIPOTENUSA
En toda terna pitagórica, la hipotenusa excede
al cateto menor en una cantidad entera
denominada “m”, que es el cociente del
cuadrado de la diferencia del cateto menor y La
diferencia pitagórica “k” sobre el doble de la
diferencia pitagórica “k”.
Demostración:
Sea: x, y, z, k N
Del gráfico: m = z − x
De la ecuación general:
𝑧=
𝑥 2 +𝑘 2
2𝑘
Reemplazando:
𝑚 =𝑧−𝑥 ⇒ 𝑚 =
𝑚=
𝑚=
(𝑥 − 𝑘)2
2𝑘
𝑥 2 +𝑘 2
2𝑘
−𝑥
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 2 (𝑥 − 𝑘)2
=
2𝑘
2𝑘
Si: 𝑚 = 𝑧 − 𝑥 ⇒ 𝑚 𝜖 ℕ
DIFERENCIA ENTRE CATETOS
La diferencia q entre los catetos es:
𝑞 = 𝑚′ = 𝑦 − 𝑥 = 𝑚 − 𝑘
Reemplazando: 𝑚′ = 𝑦 − 𝑥 ⇒
𝑚′ =
Demostración:
𝑥2 − 𝑘 2
2𝑘
−𝑥
𝑚′ =
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 − 𝑘 2
=𝑞
2𝑘
𝑚′ =
(𝑥 − 𝑘)2 − 2𝑘 2 (𝑥 − 𝑘)2
=
−𝑘
2𝑘
2𝑘
𝑚′ = 𝑚 − 𝑘
Sea: x, y, z, k N
𝑚′ = 𝑦 − 𝑥 = 𝑚 − 𝑘 ⇒ 𝑚 𝜖 ℕ
Del gráfico:
De la ecuación general:
𝑦=
𝑥 2 −𝑘 2
2𝑘
En este tratado, para efectos prácticos en los
ejercicios se utilizará q en vez de m’
RELACIÓN GRAFICA DE LAS DIFERENCIAS NOTABLES
(𝑥 − 𝑘)2
𝑞 =ℎ−𝑘 ⟹𝑞 =
−𝑘
2𝑘
ℎ =𝑞+𝑘 ⟹ℎ =
(𝑥 − 𝑘)2
2𝑘
𝑥 2 ± 𝑘 2 = 2𝑘̇
𝑚 =𝑥−𝑘
Si x es par, entonces k es par; si x es impar
entonces k es impar.
Ruben Darío Muñoz López
ANÁLISIS DE LOS k DE UNA TERNA PITAGÓRICA
CONCEPTOS PREVIOS SOBRE
DIVISIBILIDAD
propiedad que puede extenderse a potencias
mayores.
Una de las propiedades más importantes sobre
divisores de un número, indica que, si un
número es divisor al mismo tiempo de dos
números, entonces también es divisor de su
suma o su resta.
Para x = 2n + 1, entonces k es impar.
En contraposición a lo explicado líneas arriba,
si x es impar, entonces no es posible que k sea
par, pues no existe criterio de divisibilidad. Por
tanto, si la diferencia pitagórica es divisor del
cuadrado del cateto menor x, entonces k es
diferente de 2:
Es decir, si 𝑑│𝐴 ∧ 𝑑│𝐵 ⇒ 𝑑│𝐴 ± 𝐵. Así mismo,
el conjunto de los divisores de un numero A se
representa por extensión, mediante conjuntos,
utilizando la siguiente nomenclatura:
(𝐴) = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 }.
Si un número k, es divisor del cateto menor de
un triángulo rectángulo de lados enteros,
entonces también es divisor de cualquiera de sus
potencias:
𝑘│𝑥 ⇒ 𝑘│𝑥 2 ∧ 𝑘│𝑥 𝑛 .
De la misma forma, todo número es divisor de
sí mismo, por tanto, un número será divisor
natural de cualquier potencia entera de sí
misma:
𝑘│𝑘 ⇒ 𝑘│𝑘 2 ∧ 𝑘│𝑘 𝑛 .
Ahora estamos en condiciones de afirmar,
según la propiedad general que antecede al
inicio de la explicación de que la diferencia
pitagórica k, es divisor de la suma o diferencia
de las potencias naturales del cateto menor y la
diferencia pitagórica k:
Si 𝑘│𝑥 𝑛 ∧ 𝑘│𝑘 𝑛 ⇒ 𝑘│𝑥 𝑛 ± 𝑘 2
Para x = 2n, entonces k es par.
Para que k sea divisor de x, si este es par, se
debe cumplir que la diferencia pitagórica deba
también ser par: 𝑘│4𝑛2 ⇒ 𝑘 = {2,4, … , 𝑎𝑛 } ∧
𝑘│𝑘 2 ⇒ 𝑘 = {2, … , 𝑎𝑛 }, siendo absolutamente
cierto que esta tiene un valor común para todas
las ternas de cateto par, y este este valor es 2. Y
si n también es par y mayor que 2, obviamente
que el valor común será 4. Por tanto, podemos
afirmar fehacientemente que 2k, es divisor de la
suma o diferencia de los cuadrados del cateto
menor y la diferencia pitagórica: 2𝑘│𝑥 2 ± 𝑘 2
𝑘│(2𝑛 + 1)2 ⇒ 𝑘 ≠ {2,4, … , 𝑎𝑛 }.
CONCLUSIÓN
Si el cateto menor es par, entonces la diferencia
pitagórica debe ser par, caso contrario, si el
cateto menor es impar, la diferencia pitagórica
debe ser impar. Es oportuno recordar que, para
la existencia de triángulos rectángulos enteros,
k < x.
CONJUNTOS TRUNCADOS O FUNCIÓN
𝝉 (Tau)
El teorema fundamental de los divisores de un
número es, para todo 𝑁 ∈ 𝑍 + :
{𝑑/ 𝑑 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑁}
Conjunto par truncado, son los elementos del
conjunto A que intersecan a los elementos del
conjunto B hasta el límite máximo de B:
𝐴 = {1,2,3,4,8}
𝐵 = {1,2,4}
⇒ 𝐴𝜌(𝐵) = {2,4}
Conjunto impar truncado son los elementos del
conjunto A que intersecan a los elementos del
conjunto B hasta el límite máximo de B:
𝐴 = {1,2,3,4,8}
𝐵 = {1,2,4}
⇒ 𝐴𝜆(𝐵) = {1}
El teorema de Pitágoras
IMPLICANCIA FUNDAMENTAL DE LA DIFERENCIA PITAGÓRICA
La diferencia pitagórica k es función entera del
cateto menor x, y se define para: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
y tiene una implicancia fundamental en el
conjunto de números Enteros y de función
discreta.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Por tanto si z = y + k se cumple que:
𝑦=
𝑧 = 𝑔(𝑥)
Como 𝑘 = 𝑧 − 𝑦; k esta entre el rango, para
ternas orto pitagóricas: 𝑘 = [1, 𝑥[
Tal que, se cumple: 𝑘 =
0 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍+
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
; si y sólo si 𝑣
𝑣
>
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
CONJUNTO SUBORDINADO DE k → x
Cuando k pertenece a un conjunto entero, este
es un conjunto subordinado de x. Se dice
conjunto subordinado entero de x, a todos los
elementos del conjunto que corresponde a los
valores enteros de k que arrojan todas las ternas
pitagóricas enteras para un determinado valor
de x > 2.
RESUMEN GENERAL DEL T. P.
Extendiendo el concepto a conjuntos superiores
se tiene que en realidad k pertenece a los
conjuntos: Z+, Q+, R+, y C+ por ende se debe
especificar previamente el conjunto al que
pertenece la terna pitagórica. En este tratado si
bien es cierto se han consignado capítulos para
el estudio de ternas pitagóricas en otros
conjuntos numéricos, el conjunto en el que más
se ha profundizado el estudio corresponde al
desarrollo de ternas pitagóricas en el conjunto
de los números enteros positivos.
Es decir 𝒌 ∈ 𝑍 + para todo x > 2; por tanto:
0 < 𝒌 < 𝑥.
Esto es lo que denominaremos función entera de
la diferencia pitagórica y se representa por:
Del mismo modo existen funciones racionales,
irracionales, enteras y complejas
Si el cateto menor es primo impar, existe
solamente un solo valor para k, y este es la
unidad. Lo mismo sucede para los catetos
menores pares que son el duplo de un primo
impar, el valor de k solamente le corresponde 2.
Si: 𝑥 → 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 ⇒ 𝑘 = {1} caso contrario 2𝑥 ⇒
𝑘 = {2}. Para el resto de los números
compuestos k se encuentra entre todos los
valores de un intervalo a, b. Este concepto está
relacionado al parámetro de primalidad d que se
estudiara más adelante.
Para: x, y, z → co-primas se cumple el T. de
Pitágoras: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 para Z+ si y sólo si:
z=y+1
Sí: 𝑓[(𝑥′)2 + (𝑦′)2 = (𝑧′)2 ]
Si: 𝑥 → 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 ⇒ 𝑘 = [𝑎, 𝑏] compuesto por
múltiples valores submúltiplos enteros menores
que x. Por tanto, existen infinidad de soluciones
enteras, incluso para potencias xn. Así mismo
algunos valores de “y” y “z” pueden ser
potencias mayores que 2, sin incumplir claro
está el UT
Ruben Darío Muñoz López
MÉTODO PARA DETERMINAR MANUALMENTE LOS VALORES DE k
A continuación, se presentan tres números del
orden de los millares que servirán de ilustración
para determinar manualmente los valores de la
diferencia pitagórica de una terna entera. Se
dispone una tabla de doble entrada. Todos los
divisores en una fila, y todos los divisores desde
el segundo hasta la mitad de los divisores en una
columna. Se trazan dos diagonales de arriba
hacia abajo desde la primera y última celda de
la primera fila. Se tachan todas las celdas de
ambas diagonales hacia abajo incluyendo las
39873 (32 x 443)
que se ubican en las diagonales para evitar
productos duplicados. Se procede a hallar el
producto de cada celda de la primera columna
por cada número de la primera fila. Se tachan
los productos duplicados y finalmente los
números que quedan corresponden al conjunto
de las diferencias pitagóricas k. El
procedimiento para números pares es similar,
con la salvedad que también se deben tachar los
productos impares.
6 divisores: 1, 3, 9, 443, 1329, 3987
8 diferencias pitagóricas: 1, 3, 9, (27), (81), 443, 1329, (3987)
43653 (32 x 5 x 97)
x
1
3
9
443
1329
(3987)
3
-
9
27
1329
(3987)
-
9
-
-
81
(3987)
-
-
12 divisores: 1, 3, 5, 9, 15, 45, 97, 291, 485, 873, 1455, 4365
23 diferencias pitagóricas: 1, 3, 5, 9, 15, (25), (27), 45, (75), (81), 97,
(135), (225), 291, (405), 485, (675), 873, 1455, (2025), (2425), (2619),
(4365)
44722 (23 x 13 x 43)
x
1
3
5
9
15
45
97
291
485
873
1455
3
-
9
15
27
45
135
291
873
1455
2619
(4365)
5
-
-
25
45
75
225
485
1455
2425
(4365)
-
9
-
-
-
81
135
405
873
2619
(4365)
-
-
15
-
-
-
-
225
675
1455
(4365)
-
-
-
45
-
-
-
-
-
2025
(4365)
-
-
-
-
16 divisores: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 43, 52, 86, 104, 172, 344, 559, 1118, 2236,
4472
23 diferencias pitagóricas: 2, 4, 8, (16), 26, (32), 52, 86, 104, 172, (208),
(338), 344, (416), (676), (688), 1118, (1352), (1376), 2236, (2704), (3698),
(4472)
Nota: los números en paréntesis son valores “k” que no son divisores directos de los números x o el
máximo divisor x que genera ternas nulas o de cateto cero. También se puede proceder de la siguiente
manera:
El teorema de Pitágoras
1. DETERMINACIÓN DE k PARA CATETO MENOR DE NÚMEROS IMPARES
Para x = 2p + 1 se toman todos los divisores
menores o iguales que x/3. Se elevan al
cuadrado todos los divisores descartándose
los que sobrepasen a “x”. Luego se
multiplican el resto de los divisores por el
siguiente divisor subsiguiente a 1 y así
sucesivamente. sin sobrepasar el límite
establecido anteriormente. Finalmente, se
realizan la reunión de los conjuntos, sin
duplicar elementos.
x
y
z
k
D
3987 7948084 7948085
1
1
3987 2649360 2649363
3
3
3987 883116 883125
9
9
3987 294360 294387
27
3987
98084
98165
81
3987
17720
18163 443 443
3987
5316
6645 1329 139
3987
0
3987 3987 3987
2. DETERMINACIÓN DE k PARA CATETO MENOR DE NÚMEROS PARES
x
Para x = 2p se toman todos los divisores de x
menores que o iguales a x/2 y se multiplican
estos divisores por 2. Se eliminan los divisores
impares. Luego se multiplican el resto de los
divisores por el siguiente divisor subsiguiente
a 2 y así sucesivamente. Finalmente, se
realizan la reunión de los conjuntos, sin
duplicar elementos.
Nota: los números en tono más claro son los
divisores impares que no pertenecen al conjunto k,
por ser precisamente impares.
y
z
4472 4999695 4999697
4472 2499846 2499850
4472 1249920 1249928
k
d
2
4
8
1
2
4
8
13
26
4472
4472
4472
624954
384579
312465
624970
384605
312497
16
26
32
4472
4472
4472
4472
4472
4472
4472
4472
192270
116229
96096
58050
47970
29415
28896
23829
192322
116315
96200
58222
48178
29753
29240
24245
52
86
104
172
208
338
344
416
43
52
86
104
172
344
559
4472
4472
4472
4472
4472
4472
4472
4472
4472
14454
14190
8385
6720
6579
3354
2346
855
0
15130
14878
9503
8072
7955
5590
5050
4553
4472
676
688
1118 1118
1352
1376
2236 2236
2704
3698
4472 4472
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO
Determinar los valores enteros para la
diferencia pitagórica “k” de 4365 que generan
ternas pitagóricas enteros de la forma:
RETO
Podría el lector indicar qué cantidad de ternas
pitagóricas enteras existen en la que aparece el
número impertinente 142857.
x2 + y2 = z2
Pista:
a) Los factores del número impertinente
142857 son: 33 x 11 x 13 x 37
SOLUCIÓN
x
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
4365
y
9526612
3175536
1905320
1058508
635100
381052
352824
211680
126984
117572
98164
70500
42228
32592
23320
19400
13776
10476
5820
3692
2716
2328
0
z
9526613
3175539
1905325
1058517
635115
381077
352851
211725
127059
117653
98261
70635
42453
32883
23725
19885
14451
11349
7275
5717
5141
4947
4365
k
d
1
1
3
3
5
5
9
9
15
15
25
27
45
45
75
81
97
97
135
225
291 291
405
485 485
675
873 873
1455 1455
2025
2425
2619
4365 4365
b) La cantidad de divisores se determina
mediante el producto de los exponentes de
los factores a las que se añade una unidad a
cada uno: (3+1) (1+1) (1+1) (1+1) = 24
c) El conjunto de divisores de 142857 es: 1, 3,
9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, (81), 111, 117,
143, (243) 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999,
1221, 1287, 1443, 142857.
PARÁMETRO DE PRIMALIDAD d DE UNA TERNA PITAGÓRICA
Dado un número entero x > 0 se tiene que el
cociente entre x y el mínimo común múltiplo de
los valores k ≤ x/2 o k ≤ x/3 para el caso de
cateto par e impar respectivamente generen
ternas pitagóricas enteras, determina un
parámetro de medición d. Por ejemplo, si x = 6
entonces el MCM de sus divisores 1, 2, 3, 6 es
precisamente el divisor mayor, es decir 6.
Por otro lado, el conjunto de diferencias
pitagóricas k, de dicho número es 2, por lo tanto,
d = 3.
x
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
36
48
Factores
2x3
23
2x5
22 x 3
2x7
24
2x3
22 x 5
2 x 11
23 x 3
2 x 13
22 x 7
2x3x5
25
22 x 32
24 x 3
7
9
11
13
15
17
19
21
7
32
11
13
3x5
17
19
3x7
𝑥
Si la relación 𝑑 = 𝑀𝐶𝑀 < 1, entonces existe
𝑘
una alta probabilidad de que dicho cateto genere
ternas transversas, es decir, ternas en las que el
cateto menor se convertirá en cateto mayor de
las subsiguientes ternas enteras. Si el cateto
menor es impar primo, dicha relación 𝑑 = 𝑥.
Así que d expresa la primalidad de las ternas
pitagóricas enteras, por tanto si d es primo
impar, entonces es probable que la terna
pitagórica tenga un solo valor k que puede ser 1
ó 2.
Divisores de (x)
Diferencias pitagóricas k
1, 2, 3, 6
2
1, 2, 4, 8
2, 4
1, 2, 5, 10
2
1, 2, 3, 4, 6, 12
2, 4, 6, (8)
1, 2, 7, 14
2
1, 2, 4, 8, 16
2, 4, 8
1, 2, 3, 6, 9, 18
2, 6
1, 2, 4, 5, 10, 20
2, 4, 8, 10
1, 2, 11, 22
2
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2, 4, 6, 8, 12, (16, 18)
1, 2, 13, 26
2
1, 2, 4, 7, 14, 28
2, 4, 8, 14
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
2, 6, 10, (18)
1, 2, 4, 8, 16, 32
2, 4, 8, 16
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
2, 4, 6, 8, 12, 18, (24)
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
2, 4, 6, 8, 12, 16, (18), 24, (32, 36)
1, 7
1, 3, 9
1, 11
1, 13
1, 3, 5, 15
1, 17
1, 19
1, 3, 7, 21
1
1, 3
1
1
1, 3, 5, (9)
1
1
1, 3, 7, 9
MCMk
2
4
2
24
2
8
6
40
2
144
2
56
90
16
72
288
d
6/2 = 3
8/4 = 2
10/2 = 5
12/24= 0.5
14/2 = 7
16/8 = 2
18/6 = 3
20/40 =0.5
22/2 = 11
24/144 = 1/6
26/2 = 13
28/56 = 0.5
30/90 = 1/3
32/16 = 2
36/72 = 0.5
48/288=1/6
1
3
1
1
45
1
1
21
7/1 =7
9/3 = 3
11/1 =11
13/1 =13
15/45 = 1/3
17/1 =17
19/1 =19
21/21 = 1
NÚMEROS AJENOS Y NÚMEROS AJENOS SUPER ABUNDANTES
Son aquellas diferencias pitagóricas que no son
divisores de un numero x. Ejemplo: si x = 48
sus divisores son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
y el conjunto de diferencias pitagóricas sería: 2,
4, 6, 8, 12, 16, (18), 24, (32), (36); entonces 18,
32 y 36 son números ajenos para kx, pues no son
divisores de x, pero si son divisores de la suma
o diferencia de cuadrados, es decir de x2 ± k2.
18│(482 ± 182 ), se cumple que d < 1. Los
números
ajenos
conforman
conjuntos
superabundantes si k > x/2 para ternas de cateto
par y k < 2/3 x para ternas de cateto impar.
Ruben Darío Muñoz López
TEOREMA DE EXCESO O DIFERENCIA PITAGÓRICA.
En toda terna orto pitagórica, la diferencia
pitagórica “k” es menor que el cateto menor
(primera asíntota en R+).
DEMOSTRACION ADICIONAL
𝑥 + 𝑦2 = 𝑧2
Sea: 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘 𝜖 𝑁
𝑦=
Rediciendo términos tenemos;
𝒙 > 𝒌 𝐿𝑞𝑞𝑑 … 𝑅. 01
2
𝑥2 − 𝑘2
2𝑘 → 𝑘 > 0
𝑧>𝑦>𝑥≥3
𝑥2 = 𝑧2 − 𝑦2
Se cumple que:
𝑥 2 = (𝑧 − 𝑦)(𝑧 + 𝑦)
𝑥>𝑘>0
𝑥 2 = 𝑘(𝑧 + 𝑦)
Si k = x
𝑥 2 = 𝑥(𝑧 + 𝑦) ⇒ 𝑥 = 𝑧 + 𝑦
DEMOSTRACIÓN:
De la Ec. General: 𝑥 2 − 𝑘 2 > 0; (Diferencia
positiva de una raíz cuadrada). Trasponiendo
términos: 𝑥 2 > 𝑘 2
Lo cual es absurdo.
VALOR ENTERO Y PARIDAD DE k PARA TERNAS DE CATETO MENOR PAR
Si el cateto menor x es par, entonces x es de la
forma: x = 2p para p ≥ 2 por tanto, k debe ser
𝑥
par. Para un triángulo orto pitagórico 𝒌 ≤ .
2
Si la terna es transversa existen valores de k
𝑥
entre < 𝒌 ≤ 𝑥.
2
Tal es el caso de 60, 11, 61 donde k trasverso es
50 que correspondería a k = 1 para la terna
irreductible 11, 60, 61.
𝑆𝑖 𝑥 = 2𝑝; entonces:
4𝑝2 − 𝑘 2
2𝑘
(2𝑝 + 𝑘)(4𝑝 − 𝑘)
𝑦=
2𝑘
𝑦=
2𝑝2
𝑘
= 𝑟 |𝑟 𝜖 𝑁
Hay que recordar que k ≤ x, por tanto, k es par
y submúltiplo de 2p2
EJERCICIO
Determinar los valores k para x = 120
SOLUCIÓN
Existen 16 elementos para ternas orto
pitagóricas: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30,
32, 36, 40, 48, 50
Existen 7 elementos para ternas pitagóricas
transversas: (60, 72, 80, 90, 96, 100, 120).
En total hay 22 + 1 términos entre valores k para
orto pitagóricas y transversas.
2𝑝2 𝑘
𝑦=
−
𝑘
2
Por lo cual, k es múltiplo de 2 y es divisor de x
y por tanto, tiene un valor mínimo de 2 es decir
se tiene que la diferencia pitagórica es un
numero par k ≥ 2.
𝑘 = {Divisor par de 2𝑝
Tal que: 𝑥 = 2𝑝 ⇒
2}
Obsérvese que hay 12 + 1 elementos del
conjunto de pares entre 2 y 60 que al no ser
divisores de 120 están excluidos del conjunto k
para ternas orto pitagóricas de cateto x = 120:
14, 22, 26, 28, 34, 38, 42, 44, 46, 52, 54, 56, 58
El teorema de Pitágoras
VALOR ENTERO Y PARIDAD DE k PARA TERNAS DE CATETO MENOR IMPAR
Si el cateto menor x es impar, entonces x es de
la forma: x = 2p + 1; por tanto, k debe ser impar.
Por lo cual, si x es múltiplo de k, entonces se
tiene que: 2p + 1 es múltiplo de k.
2𝑝 + 1
↔ 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑘
Según la expresión general para el cateto
mayor:
(2𝑝 + 1)2 − 𝑘 2 4𝑝2 + 4𝑝 + 1 − 𝑘 2
𝑦=
=
2𝑘
2𝑘
4𝑝2 − 𝑘 2 + (4𝑝 + 1)
2𝑘
(2𝑝 + 𝑘)(2𝑝 − 𝑘) + (4𝑝 + 1)
𝑦=
2𝑘
𝑦=
Los factores (2p + k) y (2p – k) son impares,
pues son los consecutivos superior e inferior de
2p, por tanto, su producto es impar, de la misma
forma 4p + 1 es impar. Con lo que queda
demostrada la imparidad de “k”. Como:
2𝑝2 + 2𝑝 𝑘 2 − 1
−
𝑘
𝑘
𝑘 = {Divisor impar de 2𝑝2 + 2𝑝 }
Tal que:
𝑥 = 2𝑝 + 1 ⇒
2𝑝2 + 2𝑝
= 𝑟 |𝑟 𝜖 𝑁
𝑘
Ya que los submúltiplos impares corresponden
a la mitad de los submúltiplos de los números
pares. Por tanto, k es impar y submúltiplo de p2.
Y los transversos corresponde para x > k > x/3
Tanto 2p2 y p2 determinan el máximo valor que
puede asumir k, para que las ecuaciones
genérales sean operables y por consiguiente se
determine el máximo divisor que corresponderá
con el valor máximo de k transverso; (cuando el
cateto mayor se convierte en cateto menor), en
consecuencia, del corolario de Coligación de
tricotomía de los números Z+, las ternas
pitagóricas pueden agruparse en dos
subconjuntos según el cateto menor sea par o
impar.
Resultan particularmente importantes las de
cateto primo, siendo el valor mínimo de 3 para
el cateto menor de un triángulo orto pitagórico
y 4 para el menor triangulo pitagórico
transverso correspondiente. Este corolario
permite obtener las siguientes formulas
polinomiales; en consecuencia, muchas de las
ternas pitagóricas, pueden simplificarse a
valores en que la hipotenusa excede en 1 ó 2
unidades solamente denominadas ternas
primas.
Ruben Darío Muñoz López
POSTULADO FUNDAMENTAL DE LA DIFERENCIA PITAGÓRICA PARA TERNAS
PRIMAS
Si el cateto menor “x” es primo, existe una y
solamente una terna pitagórica irreductible
correspondiente a un triángulo pitagórico. Ya
que el único divisor k menor es la unidad.
La terna pitagórica generadas es irreductible si
y sólo si k = 1, por tanto, siempre es coprima.
Sea P el conjunto de todos los números primos:
P = {2, 3, 5, 7, 11…} y
El conjunto de todos los números primos pares:
P2n = {2}
Y el conjunto de todos los primos impares:
P2n+1’ = {3, 5, 7, 11…}
Si: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒁+ ∧ 𝒙 ≥ 3
| 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
; si 𝑘 ↔ {1}
2𝑘
2𝑘
Entonces: 𝑥 ∈ 𝑃2𝑛+1
Es decir, x, y, z forman un triángulo rectángulo
Isiaco* cuyo cateto menor primo pertenece a ω1
ó ω5. En otras palabras, si 𝑥 ∈ 𝑃2𝑛+1 ↔ 𝑘 = 1,
entonces la terna pitagórica es prima o
irreductible.
Si 𝒌 ≠ 𝟏; 𝒌 > 𝟎 → 𝒙 ∉ 𝑷𝟐𝒏+𝟏´
Si k =2 y solamente 2, entonces la terna pitagórica es
única para un valor par dado de cateto menor que es
el doble de un numero primo impar.
Nota: *TR de lados enteros, y cateto menor primo.
Se cumple que:
COROLARIO DEL MÍNIMO “k” Y DE LOS PRIMOS ABSOLUTOS Y DE LOS
NÚMEROS PARES E IMPARES
En todo triangulo rectángulo, la hipotenusa “z” excede al cateto mayor “y” en una cantidad
menor al cateto menor “x” y mayor que cero. Caso contrario el triángulo rectángulo no
existe o es nulo.
Por tanto, los mínimos valores que asume k, es:
k =1 para primos y k = 2 para pares.
El teorema de Pitágoras
CANTIDAD DE TERNAS PITAGÓRICAS
La cantidad de ternas pitagóricas enteras
depende de la cantidad de divisores d(x) del
cateto menor x las cuales están determinadas
por d(k) que viene a ser el conjunto de todas las
diferencias pitagóricas enteras para un cateto
menor entero.
𝑑(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Así que dado:
𝑘 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 20, 24, 30, 40}
𝑘 = {2, 4, 6, 8}
602 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑑(60) = {1, 2, 3, 4, 5,6,10,12,15,20,30,60}
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 para 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 3
Diferencia pitagórica: 𝑘 = 𝑧 − 𝑦
En realidad, también existe k = 50, pero la terna
se transforma en trasversa.
Cantidad de divisores de x:
Para números impares compuestos:
𝑑(𝑥) = {𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 , … , 𝑑𝑛 }
Cantidad de diferencias pitagóricas:
𝑑(𝑘) = {𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , … , 𝑘𝑛−𝑟 }
Se cumple que: 𝑑(𝑥) > 𝑑(𝑘)
Para números pares compuestos:
Si el cateto menor es par, entonces la cantidad
de diferencias pitagóricas d(k) para triángulos
orto pitagóricos es igual a la cantidad de
divisores d(x) del cateto menor x menos 2.
𝑑(𝑘) = 𝑑(𝑥) − 2
El valor de k es igual al doble del divisor
correspondiente y siempre deben cumplir que
sean divisor menor que k, es decir ki = 2di.
2
El valor máximo: 𝑘𝑚𝑎𝑥 ≤ 3 𝑑(𝑥𝑚𝑎𝑥 )
Ejemplo:
Si el cateto menor es impar, entonces la
cantidad de diferencias pitagóricas d(k) es igual
a la cantidad de divisores d(x) del cateto menor
x menos 1.
𝑑(𝑘) = 𝑑(𝑥) − 1
El valor de k es igual a los divisores impares
correspondientes.
Ejemplo:
812 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑑(81) = {1, 3, 9,27,81}
𝑘 = {1,3,9,27}
Ejemplo para números primos:
Si el cateto menor es primo impar, x = p.
solamente existirá un solo valor para k = 1
𝑝2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑑(𝑝) = {1, 𝑝 }
𝑘 = {1}
Ejemplos:
42 + 𝑦 2 = 𝑧 2
112 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑑(4) = {1, 2, 4}
𝑑(11) = {1,11 }
𝑘 = {2}
𝑘 = {1}
122 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Ruben Darío Muñoz López
El teorema de Pitágoras
TERNAS IRREDUCTIBLES
A continuación, vamos a demostrar que, si el
cateto menor es primo impar, corresponde una
y sólo una terna pitagórica compuesta para un
único valor tanto para el cateto mayor y la
hipotenusa.
CATETO MAYOR:
Remplazando el valor de “x y b en y”
2
2
𝑎4 − 𝑎2
(𝑎 ⁄𝑛) − (𝑎/𝑛)2
2
𝑦=
= 𝑛
2(𝑎/𝑛)
2𝑎/𝑛
Las ternas pitagóricas de lados enteros de cateto
menor primo impar, constituyen un caso
importante. Estas ternas irreductibles son
únicas, es decir sólo existe una y solo una terna
pitagórica de lados enteros para cada cateto
menor cuya longitud es un número primo mayor
o igual a 3. La demostración se desprende como
corolario de asumir que el cateto menor este
compuesto por el producto de dos números
naturales diferentes de cero x = ab tal que a, b
> 0, y b es submúltiplo de a.
𝑎4 − 𝑎2
𝒂𝟑 − 𝒂
𝑦=
=
2𝑎𝑛
𝟐𝒏
Sea: 𝑥 = 𝑎𝑏 / 𝑎 > 𝑏 > 0 ∧ 𝑥 ≥ 3
En consecuencia, si “a” es primo es evidente
que solo tiene un divisor diferente de 1 que es sí
mismo. Por tanto, a = n y b = 1.
𝑆𝑖: 𝑛 𝜖 𝑁 ∧ 𝑛 =
𝑎
𝑎
⟹𝑏=
𝑏
𝑛
HIPOTENUSA:
𝑎3 − 𝑎 𝑎 𝒂𝟑 + 𝒂
𝑧=
+ =
2𝑛
𝑛
𝟐𝒏
DIFERENCIA PITAGÓRICA
𝑎3 + 𝑎 𝑎3 − 𝑎 𝑎
𝑧−𝑦 =𝑘 =
−
=
2𝑛
2𝑛
𝑛
Se cumple que las ternas enteras (x, y, z)
cumplen con el teorema de Pitágoras.
𝑥=
𝑎2
=𝑎
𝑎
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑦=
𝑎3 − 𝑎 𝑎2 − 1
=
2𝑎
2
Y cuyos valores pueden determinarse en
función de a y n.
𝑧=
𝑎2 + 1
2
𝑥=
𝑎2
𝑛
𝑘=1
𝑎3 − 𝑎
𝑦=
2𝑛
𝑎3 + 𝑎
2𝑛
𝑎
𝑘=𝑏=
𝑛
𝑧=
a>b≥1
A
continuación,
se
presentan
las
demostraciones correspondientes aplicando las
fórmulas generales para generación de ternas
pitagóricas.
Dado el cateto menor x ≥ 3 para todo número
entero, el cateto mayor y la hipotenusa está dada
por las siguientes expresiones.
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
∧
2𝑘
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
Que se corresponden con las fórmulas generales
a
b=k
n
x
y
z
3
1
3
3
4
5
5
1
5
5
12
13
7
1
7
7
24
25
9
1
9
9
40
41
11
1
11
11
60
61
13
1
13
13
84
85
17
1
17
17
144
145
COROLARIO
Si una terna pitagórica es irreductible y posee
una sola solución para el cateto mayor y la
hipotenusa, es decir es única, el cateto menor es
primo. Esto se verifica para una diferencia
pitagórica k=1.
Ruben Darío Muñoz López
PENDIENTE DEL SEGMENTO SECANTE DETERMINADO POR m/Y para k=1
ℎ2 = 𝑚2 + 𝑦 2
⇒ ℎ=
𝑐=
(𝑥 − 1)√2(𝑥 2 − 1)
2
La relación m / y es:
𝑚
=
𝑦
(𝑥 − 1)2
𝑚
𝑥−1
2
⇒
=
2
𝑥 −1
𝑦
𝑥+1
2
Si a = x - 1 entonces:
𝑚
𝑦
=
𝑎
𝑦
𝑎+2
=
𝑚
𝑎
Hasta este punto nos podemos dar cuenta que
todas las relaciones que pueden desprenderse de
un triángulo pitagórico de números enteros
dependen exclusivamente del cateto menor y de
La diferencia pitagórica. Se adjunta una
interesante serie “C” que está conformada por
fracciones para ternas pitagóricas cuyos catetos
menores son los números enteros.
𝑎+2
x
3
5
7
9
11
13
15
C = (x-1)/(x+1)
1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
6/7
7/8
La contra pendiente de “h” esta expresada por:
CONGRUENCIAS E INCONGRUENCIAS DE TERNAS PITAGÓRICAS
INCONGRUENCIA DE LADOS IMPARES
DE UNA TERNA ENTERA
Si x, y, z → primos impares no existe solución
entera que cumpla el T. de Pitágoras:
x2+y2=z2
x2+y2=z2
Es decir existe la solución “S” dentro del
conjunto de números naturales:
Es decir no existe la solución “S” dentro del
conjunto para Z+:
𝑆 ∉ 𝑵 ↔ 𝑥2𝜆 + 𝑦2𝜆 ≉ 𝑧2𝜆
OTRAS CONGRUENCIAS
𝑥𝜌2 + 𝑦𝜆2 ≈ 𝑧𝜆2
INCONGRUENCIA DE PARES DE UNA
TERNA ENTERA
Para x, y → pares y z → impar no existe
solución entera cumple el teorema de Pitágoras:
x2+y2=z2
𝑥𝜆2 + 𝑦𝜌2 ≈ 𝑧𝜆2
Es decir no existe la solución “S” dentro del
conjunto para Z+:
𝑆 ∉ 𝑵 ↔ 𝑥𝜌2 + 𝑦𝜌2 ≉ 𝑧2𝜆
Si el cateto menor es primo, La diferencia
pitagórica k posee un único valor, la unidad; no
existen otros valores para el resto pitagórico,
por tanto, existe uno y sólo un triángulo
pitagórico conformado por ternas x’, y’, z’. El
Cuadrado de dichas ternas pitagóricas están
dadas por (x’)2, (y’)2, (z’)2.
CONGRUENCIA DE PARES DE UNA
TERNA ENTERA
Para x, y → pares, entonces z → par, por tanto,
se cumple el teorema de Pitágoras:
𝑆 𝜖 𝑵 ↔ 𝑥𝜌2 + 𝑦𝜌2 ≈ 𝑧𝜌2
𝑥𝜆2 + 𝑦𝜆2 ≈ 𝑧𝜌2
COROLARIO DEL TRIÁNGULO
PITAGÓRICO PRIMO
El teorema de Pitágoras
TEOREMAS DE TERNAS DE CATETOS CO-PRIMOS
Vamos a demostrar que no existen ternas
pitagóricas enteras para cateto mayor múltiplo
del cateto menor. Es decir, para y = n x la
solución S es nula dentro del conjunto de
números Z+
Para todo: 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑞 𝜖 𝑍 + ∧ 𝑦 = 𝑛𝑥
No existe solución entera para:
𝑥 2 + (𝑞𝑥)2 = 𝑧 2
Si el cateto menor es primo, los catetos de una
terna son irreductible y por tanto son coprimos.
Esto implica que, para que el cateto mayor no
sea coprimo, este último al igual que la
hipotenusa debería tener al menos un factor
múltiplo.
Supongamos que los catetos tengan al menos un
factor común q:
𝑥 2 + (𝑞𝑥)2 = 𝑧 2 ⇒ 𝑥 2 (1 + 𝑞 2 ) = 𝑧 2
Pero la raíz n del consecutivo superior de una
potencia “q” no existe.
𝑥√1 + 𝑞 2 = z
Por tanto, y seria irracional, contradiciendo las
soluciones enteras. Así mismo sabemos que no
existe el cuadrado del consecutivo inferior o
superior de un cuadrado perfecto, por tanto,
podemos concluir que no existe una solución
dentro del conjunto de números Z+. Aunque
algunas consideraciones puedan quedar
inconclusas, sin embargo, aplicando la teoría de
Sextales más adelante se demostrará
fehacientemente la naturaleza de los catetos y la
hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Todos los números primos a excepción de 2
pertenecen a los ω1 y ω5; y gozan de la
propiedad particular de ser impares.
EJERCICIO:
Demostrar que el cuadrado de un número
natural no se puede descomponer en la suma de
dos cuadrados de números naturales en la que
una es el doble de la otra.
Dada la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ; 𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥
Demostración:
𝑧 2 = 𝑥 2 + (2𝑥)2
𝑧 2 = 5𝑥 2
𝑧 = 𝑥√5
√1 + 𝑞 2 ∉ ℕ
Por tanto, z sería irracional, lo que contradice
todo lo expuesto. En consecuencia, probemos
que el cateto mayor y la hipotenusa de una terna
irreductible son co – primos.
Supongamos que el cateto mayor y la
hipotenusa tengan al menos un factor común q:
𝑥 2 + 𝑦 2 = (𝑞𝑦)2 ⇒ 𝑥 2 = (𝑞𝑦)2 − 𝑦 2
Pero la raíz n del consecutivo inferior de una
potencia “q” no existe.
𝑥
=𝑦
√𝑞 2 − 1
√𝑞 2 − 1 ∉ ℕ
Si x es un número natural, no existe una terna
pitagórica entera en la que el cateto mayor es el
doble del cateto menor, puesto que el producto
de x por la raíz cuadrada de 5 es irracional.
EJERCICIO:
Hallar el valor de z para que el cateto menor x
sea el menor primo impar posible y el cateto
mayor el doble de x.
Solución:
Asumimos x = 3 por tanto y = 6, desarrollando
tenemos:
𝑧 2 = 32 + 62
𝑧 2 = 45 ⇒ 𝑧 = 3√5
Ahora una pregunta interesante, ¿existirá un z
entero?
Ruben Darío Muñoz López
LAS INTERESANTES PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE: z – x = m.
La diferencia entre la hipotenusa y los catetos
presentan
algunas
propiedades
muy
interesantes. En el gráfico adjunto se pueden
apreciar dichas relaciones.
determinan sumando sucesivamente: 2, 4, 8, 16,
32…
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2𝑛 siendo 𝑥1 = 3
CASO II: Todas las potencias cuadradas de
los números naturales como función de n2
Vamos a demostrar que toda potencia de la
A continuación, se presentan dos casos muy
importantes.
CASO I: Todas las potencias impares de 2
como función de 22n+1
Vamos a demostrar que toda potencia de la
forma 22𝑛−1 es igual a la suma de la diferencia
de los catetos más la diferencia de la
hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo
rectángulo de lados enteros; si y sólo si, el
cateto menor es un número impar mayor o
igual que 3, es decir:
2
2
Para 𝑥 + 𝑦 = 𝑧
2
forma 𝑛2 es igual a la suma de: la diferencia
de los catetos más la diferencia de la
hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo
rectángulo de lados enteros; si y sólo si, el
cateto de las abscisas es un número par mayor
o igual que 4, es decir:
Para 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Dado 𝑥 ≥ 4 ∧ 𝑥 = 2𝑛 tal que: 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑁
Siempre existe un q y k que pertenece a N, tal
que: 𝒒 + 𝒌 = 𝒏𝟐
Donde: 𝑞 = 𝑦 − 𝑥 ∧ 𝑘 = 𝑧 − 𝑦
z
k=z- y
q=y- x
3
5
2
-1
n2 =k +q
1
8
10
2
2
4
x
y
4
6
8
15
17
2
7
9
Dado 𝑥 ≥ 3 ∧ 𝑥 = 2𝑛 + 1 tal que: 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑁
10
24
26
2
14
16
12
35
37
2
23
25
Siempre existe un q y k que pertenece a N, tal
14
48
50
2
34
36
16
63
65
2
47
49
18
80
82
2
62
64
𝟐𝒏−𝟏
que: 𝒒 + 𝒌 = 𝟐
Donde: 𝑞 = 𝑦 − 𝑥 ∧ 𝑘 = 𝑧 − 𝑦
x
y
z
k=z- y
q=y- x
1
2 2n+1 = k + q
2
3
4
5
1
5
12
13
1
7
8
9
40
41
1
31
32
17
144
145
1
127
128
33
544
545
1
511
512
65
2112
2113
1
2047
2048
129
8320
8321
1
8191
8192
257
33024
33025
1
32767
32768
Otra propiedad interesante, es: los catetos
menores están en progresión potencial, es decir
la distancia entre dos elementos xi y xj es 2n. Así
que empezando en 3 los siguientes elementos se
Otra propiedad interesante que salta la simple
vista es que los catetos menores están en
progresión aritmética, es decir la distancia entre
dos elementos xi y xj es 2. Así que empezando
en 4 los siguientes elementos se determinan
sumando sucesivamente 2.
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2 siendo 𝑥1 = 3
Siendo el mínimo elemento 4
El teorema de Pitágoras
SERIES NATURALES DE TERNAS PITAGÓRICAS
Algunas ternas pitagóricas, conforman series de
números, definidas por uno o varios de sus
elementos pitagóricos, es decir por ejemplo los
catetos menores de varias ternas pitagóricas
pueden pertenecer a una serie numérica según
una función o relación determinada.
Sean las ternas pitagóricas que cumplen el
teorema de Pitágoras, es decir: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Si xn, yn o zn poseen una estructura fn(x, y, z),
que determina una serie numérica, entonces se
tienen el conjunto de ternas pitagóricas
siguientes.
𝑥1 + 𝑦1 = z1
𝑥2 + 𝑦2 = z2
𝑥3 + 𝑦3 = z3
𝑥4 + 𝑦4 = z4
𝑥𝑛−1 + 𝑦𝑛−1 = z𝑛−1
…..
…..
…..
𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = z𝑛
Es decir, se cumple que: 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 𝐵
Veamos un ejemplo, según la tabla adjunta.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x
16
36
60
88
120
156
196
240
288
340
396
456
520
588
660
736
816
y
63
77
91
105
119
133
147
161
175
189
203
217
231
245
259
273
287
z
65
85
109
137
169
205
245
289
337
389
445
505
569
637
709
785
865
z-x
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
Como se puede observar en la tabla, la
diferencia de la hipotenusa y el cateto menor es
49, es decir: z – x = 49; los catetos menores de
todas las ternas que cumplen con dicha
condición pertenecen a la serie 16, 26, 60, 88,
120, 156, … en que la “diferencia” entre
elementos corresponde a la expresión:
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 4(3 + 𝑛)
Siendo el primer término de la serie 𝑥1 = 16
Nota: en los anexos encontrara una hoja de
cálculo de la gráfica para formato digital.
Ruben Darío Muñoz López
GRÁFICA DE LA SERIE
EJERCICIO
Determine el número que falta, si se sabe dichos
números corresponden al cateto menor de ternas
pitagóricas enteras, en las que la diferencia entre
la hipotenusa y el cateto menor es 49.
240
16
156
60
88
196
288
36
SOLUCIÓN
El cuadro a pesar que en aparencia es un
cuadrado mágico de orden impar, no lo es, pues
si bien es cierto que algunas filas o columnas
pueden sumar igual, la respuesta no se
encontrará por esa vía.
Ordenando los números veremos que presenta
una estructura ascendente, que arroja mayor
información, que nos conducirá a la respuesta.
Colocando los números en columna,
observamos que corresponde a la serie.
xn = xi -1 + 4(3 + n)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xn
16
36
60
88
156
196
240
288
Una observacion importante en la tabla se
desprende que tampoco se deben guiar por la
tabulacion que arrojaria el valor subsiguiente
340 que en apariencia corresponderia al cuado
del problema.
Lo mas conveniente es graficar los valores y nos
daremos cuenta de que efectivamente el valor se
encuentra entre 88 y 156. La justificación se
halla en el tema sobre series naturales de ternas
pitagóricas.
Como la serie esta relacionada con la serie
natural de números naturales, entonces x esta en
función de 5 y se halla definitivamente entre 88
y 156.
Estimado lector, la respuesta es 120, porque la
regla de composición es:
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 4(3 + 𝑛).
Remplazando n = 5 se tiene que x5 = 120.
¿Será válido el siguiente razonamiento?
Si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑆 ∧ 𝑧−𝑦 = 𝑦−𝑥 = 𝑑
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑑)2 = (𝑥 + 2𝑑)2
𝑥 2 = 2(𝑥 + 𝑑)𝑑 + 𝑑2
𝑥 2 = 2𝑥𝑑 + 3𝑑2
𝑥 2 − 2𝑥𝑑 = 3𝑑2
𝑥 2 − 2𝑥𝑑 + 𝑑 2 = 4𝑑2
(𝑥 − 𝑑)2 = 4d2 ⇒ 𝑥 = 3d
Por otro lado: 3(𝑥 + 𝑑) = 𝑆 ⇒ 12𝑑 = 𝑆
𝑥+𝑧
∧ 𝑧 =𝑦+𝑑
2
𝑆
𝑥 = 3𝑑 por tanto, 𝑑 = 12
𝑦 =𝑥+𝑑 ∧ 𝑦 =
d
1
2
3
…
…
n
x
3
6
9
…
…
3n
y
4
8
12
…
…
4n
z
5
10
15
…
…
5n
S
12
2(12)
3(12)
…
…
12n
El teorema de Pitágoras
MISCELÁNEA
Del ejercicio planteado con anterioridad, hallar
el valor de z para que el cateto menor x sea el
menor primo impar posible y el cateto mayor el
doble de x.
Solución:
Asumimos x = 3 por tanto y = 6, desarrollando
tenemos:
𝑧 2 = 32 + 62
𝑧 2 = 45 ⇒ 𝑧 = 3√5
Ahora una pregunta interesante, ¿existirá un z
entero? La respuesta es un rotundo NO.
Sabemos que para x primo k=1, entonces
planteando una ecuación en función de las
fórmulas generales de ternas pitagóricas enteras
tenemos:
𝑥 2 − 12
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑦 =
∧ 𝑦 = 2𝑥
2
Para x →primo
y = 2x
𝑥 2 − 12
⇒ 𝑥 2 − 4𝑥 − 1 = 0
2
Resolviendo la Ec. cuadrática tenemos:
𝑥 = √5 + 2 ⇒
2𝑥 =
𝑦 = 2√5 + 4 ∧ 𝒛 = 𝟓 + 𝟐√𝟓
EJERCICIO
Si: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 122
Determine la terna pitagórica si la distancia
aritmética entre la hipotenusa y el cateto mayor
es igual a la distancia aritmética entre el cateto
mayor y el cateto menor.
SOLUCIÓN
Sabemos de antemano, que la suma de los
términos de la terna irreductible más pequeña:
3, 4, 5 suma 12.
32 + 42 = 52
3 + 4 + 5 = 12
Multiplicando por 12 a ambos lados de la suma:
12(3 + 4 + 5) = 122
36 + 48 + 60 = 144
Verificando la distancia aritmética:
48 − 36 = 60 − 48 = 12
Por tanto, la respuesta es: 𝟑𝟔𝟐 + 𝟒𝟖𝟐 = 𝟔𝟎𝟐
El ejercicio esta publicado en la página de
Facebook: Más allá del teorema de Pitágoras
EJERCICIO
Si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12
Además:
xy
z
=𝐴 ∧
xz
y
=𝐵 ∧
yz
x
=𝐶
Hallar: 𝐴𝐵𝐶
NOTA: Para la solución se sugiere abordar el
problema aritméticamente de forma creativa; caso
contrario revisar las fórmulas generales de ternas
pitagóricas consignadas en el libro: Más allá del
teorema de Pitágoras volumen II.
SOLUCIÓN 1
Si la suma de los términos es 12, entonces la
terna no puede ser otra que la terna irreductible
más pequeña: 3, 4, 5.
Por otro lado: 𝐴𝐵𝐶 =
𝑥𝑦
𝑧
×
𝑥𝑧
𝑦
×
𝑦𝑧
𝑥
= 𝑥𝑦𝑧
Entonces: 𝐴𝐵𝐶 = 𝑥𝑦𝑧 = 3 × 4 × 5 = 60
SOLUCIÓN 2
Para ternas irreductible de cateto menor impar,
el producto y la suma de términos de una terna
está dada por las siguientes formulas:
𝑥𝑦𝑧 =
𝑥(𝑥 4 − 1)
… (1)
4
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥(𝑥 + 1) … (2)
En (2): 𝑥(𝑥 + 1) = 12 ⇒ 𝑥 = 3
Si x = 3 entonces el producto según (1):
xyz = ABC = 60
El ejercicio esta publicado en la página de
Facebook: Más allá del teorema de Pitágoras.
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PRIMAS ABSOLUTAS
TERNAS PITAGORICAS PARA TODO "n" DONDE x = 2n + 1
Cateto mayor
Cateto menor
Hipotenusa
n
x=2n+1
z=y+1
y = (x 2 -1)/2
0
1
0
1
1
3
4
5
2
5
12
13
3
7
24
25
4
9
40
41
5
11
60
61
6
13
84
85
7
15
112
113
8
17
144
145
9
19
180
181
10
21
220
221
11
23
264
265
12
25
312
313
13
27
364
365
14
29
420
421
15
31
480
481
16
33
544
545
17
35
612
613
18
37
684
685
19
39
760
761
20
41
840
841
21
43
924
925
22
45
1012
1013
23
47
1104
1105
24
49
1200
1201
25
51
1300
1301
26
53
1404
1405
27
55
1512
1513
28
57
1624
1625
29
59
1740
1741
30
61
1860
1861
31
63
1984
1985
32
65
2112
2113
33
67
2244
2245
34
69
2380
2381
k= 1
30
Cateto menor
En la tabla adjunta se puede apreciar este
fenómeno en las ternas coloreadas en rojo.
Así mismo se presenta tres graficas mostrando
el comportamiento de los catetos y de la
hipotenusa.
y = 2x + 1
R² = 1
25
20
15
10
5
0
0
5
10
n
350
y = 2x2 + 2x
R² = 1
300
Cateto Mayor
Algunas ternas pitagóricas contienen tanto para
el cateto menor y la hipotenusa números primos
al mismo tiempo como el caso de las ternas 3,
4, 5 ó 5, 12, 13. Esto se cumple estrictamente
para el caso en que la diferencia pitagórica es k
= 1. Cuando k > 1 no existen ternas que
cumplan esta condición de doble primalidad.
Así mismo como una curiosidad se han
resaltado las ternas en las que alguno de sus
elementos son potencias perfectas, con la
finalidad de adelantar algunos indicios
interesantes sobre la extensión del teorema de
Pitágoras a potencias mayoreos a 2, sin
contradecir obviamente el teorema de Fermat al
respecto.
250
200
150
100
50
0
0
5
10
n
350
Z= 2x2 + 2x + 1
R² = 1
300
Hipotenusa
Las ternas pitagóricas de números enteros son
funciones discretas de números naturales.
250
200
150
100
50
0
0
5
10
n
El teorema de Pitágoras
ANÁLISIS COMBINATORIO DE TERNAS PITAGÓRICAS POR PARIDADES
PARA “n=2”
TEOREMA DE INCOMPATIBILIDAD DE
CATETOS PRIMOS A LA VEZ
Cuando los catetos se alternan entre impar y par
dan
una
hipotenusa
impar.
Ahora
demostraremos que, si la hipotenusa es par, los
catetos no pueden ser impares o primos al
mismo tiempo.
Para ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑁 ∧ 𝑧, 𝑦, 𝑥 ≥ 3
Se establece las condiciones de verdad o
falsedad dependiendo del estado de paridad de
los catetos y la hipotenusa, dependiendo del
cateto menor que puede ser par o impar:
Para: 𝑥𝛼2 + 𝑦𝛽2 = 𝑧𝜍2
ρ
ρ
Si: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ Ζ+
λ
Y además: 𝑧 > 𝑦, > 𝑥 ≥ 3
Si: 𝑥 ⟶ 𝑥𝜆 ∧ 𝑦 ⟶ 𝑦𝜆 ⇒ 𝑧 ⟶ 𝑧𝜌
ρ
Sean los catetos impares y la hipotenusa par:
𝑥 = 2𝑎 + 1 ⟶ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑦 = 2𝑏 + 1 ⟶ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
λ
λ
ρ
v
λ
f
ρ
f
λ
v
ρ
f
λ
v
ρ
f
λ
f
𝑧 = 2𝑐 ⟶ 𝑝𝑎𝑟
(2𝑎 + 1)2 + (2𝑏 + 1)2 = (2𝑐)2
4𝑎2 + 4𝑏 2 + 4𝑎 + 4𝑏 + 2 = 4𝑐 2
TERNAS PITAGÓRICAS POR PARIDAD
Al parecer solo existen estas combinaciones:
𝜌2 + 𝜌2 = 𝜌2
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑎 + 𝑏 + 1/2 = 𝑐 2
𝜌2 + 𝜆2 = 𝜆2
⏟2 + 𝑏 2 + 𝑎 + 𝑏 + 1
𝑎
⁄2 = 𝑐⏟2
⏟
𝜆2 + 𝜌2 = 𝜆2
𝑁
𝑄
𝑁
𝑁+𝑄 ≭𝑁
Como el primer miembro es una suma racional
(con decimal 0.5) resulta incongruente con el
valor entero del segundo miembro. Quedando
demostrado que no es posible que los catetos
sean impares al mismo tiempo. Y si fueran pares
tendrían factor común 2, contradiciendo la
irreductibilidad de ternas co-primas.
COMBINATORIA DE ELEMENTOS
Efectuando un análisis combinatorio para la
siguiente ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 y aplicando
la teoría de paridades se determinan la
combinación de elementos de un triángulo
rectángulo de lados enteros según la calidad de
ser par o impar, y con ello la existencia de ternas
pitagóricas de números Z+.
Solo pueden existir ternas pitagóricas con las
siguientes combinaciones:
En cambio, no existe TP de números enteros
positivos para otras combinaciones como:
Ruben Darío Muñoz López
TEOREMA DE INCOMPATIBILIDAD DE CATETOS PARES, IMPARES A LA VEZ
Aplicando la teoría de paridades se puede demostrar que las ternas pitagóricas tienen la siguiente
composición.
Par + Impar = Impar
→ Irréductible : (2𝑛) + (2𝑚 + 1) ≅ (2𝑝 + 1) → (𝑛 + 𝑚) = 𝑝
Par + Par = Par
→ Réductible : (2𝑛) + (2𝑚) ≅ (2𝑝) → (𝑛 + 𝑚) = 𝑝
Impar + Par = Impar
→ Irreductible : (2𝑛 + 1) + (2𝑚) ≅ (2𝑝 + 1) → (𝑛 + 𝑚) = 𝑝
Luego de reducir cualquier terna con factor común se obtendrá una terna irreductible en la que se
cumplirá indefectiblemente que: si x es par, entonces z es par o impar. Si “x” es impar, entonces “z” es
impar. Por tanto, jamás existirá una terna pitagórica de forma:
Par + par = impar :
Impar + impar = impar:
(2𝑛) + (2𝑚) ≇ (2𝑝 + 1) → 2(𝑛 + 𝑚) − 1 ≠ 2𝑝
(2𝑛 + 1) + (2𝑚 + 1) ≇ (2𝑝 + 1) → 2(𝑛 + 𝑚 − 𝑝) ≠ −1
EJERCICIO
Para x primo, determinar si
existe una solución entera
para el siguiente triángulo
rectángulo.
La solucion algebraica (tradicional), determina
que no existe solucion entera
𝑥 2 + (𝑥 + 2)2 = (𝑥 + 3)2
𝑥 2 + (𝑥 + 2)2 = ((𝑥 + 2) + 1)2
𝑥 2 + (𝑥 + 2)2 = (𝑥 + 2)2 + 2(𝑥 + 2) + 1
𝑥 2 = 2𝑥 + 5
𝑥 2 − 2𝑥 − 5 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 + √6
Los lados del triángulo presentan los siguientes
ordenamientos numéricos, dependiendo si el
cateto menor es par o impar respectivamente:
𝜌, 𝜌, 𝜆 ó 𝜆, 𝜆, 𝜌 que contradice completamente
al ordenamiento sextal de ternas pitagóricas
enteras
demostradas
correspondiente.
𝑥
↓
𝜌
en
el
𝑥+1
↓
𝜆
𝒙+𝟐
↓
𝝆
𝒙+𝟑
↓
𝝀
𝑥 𝑥+1
↓
↓
𝝀
𝜌
𝒙+𝟐
↓
𝝀
𝒙+𝟑
↓
𝝆
capítulo
𝝆𝟐 + 𝝆𝟐 ≠ 𝝀𝟐 : No cumple las leyes de paridad
ni de composición de TP.
𝝀𝟐 + 𝝀𝟐 ≠ 𝝆𝟐 : Cumple Ley de paridades, y si
bien es cierto cumple las propiedades de
sumatoria sextica para x1, pero no las
propiedades sexticas de composición de TP.
En conclusión, la solución entera no existe,
además existirán soluciones complejas.
El teorema de Pitágoras
MÉTODO DE CONOCIMIENTO GENERAL DE TERNAS PITAGÓRICAS
Debido a que el siguiente método para generar
ternas pitagóricas enteras, no corresponde al
aporte del autor de este libro, sólo nos
limitaremos a identificar algunos elementos que
se corresponden con el método generatriz de
Ternas pitagóricas por el método generatriz de
resto pitagórico, la demostración utilizando las
fórmulas generatrices propias de este libro y que
se presentaron previamente en el cuadro
sistemático en el que se identifica tanto la
diferencia pitagórica k y el resto cateto q, en el
capítulo sobre diferencias aritméticas.
DEMOSTRACIÓN
1
Dividiendo entre a2b2c2 toda la
expresión general del teorema de
Pitágoras.
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
(
Se tiene:
(𝑎2
𝑎2
−
2𝑟
2
𝑟2
) (
𝑎2
+
2𝑟
2
𝑟2
1
1
1
+ 2 2= 2 2
2
2
𝑏 𝑐
𝑎 𝑐
𝑎 𝑏
Pero:
𝑎2 − 𝑟 2
𝑎2 + 𝑟 2
𝑏=
∧ 𝑐=
2𝑟
2𝑟
Remplazando:
−
4𝑟 2
+ 𝑟 2 )2
4𝑟 2
𝑎2 (
)
1
𝑟 2 )2 (𝑎2
1
+
+
𝑎2
+
2𝑟
2
𝑟2
)
1
=
𝑎2 (
𝑎2
− 𝑟2
2𝑟 )
2
1
1
= 2 2
2
2
+𝑟 )
𝑎 (𝑎 − 𝑟 2 )2
4𝑟 2
4𝑟 2
𝑎2 (𝑎2
16𝑟 4
4𝑟 2
4𝑟 2
+
=
(𝑎2 − 𝑟 2 )2 (𝑎2 + 𝑟 2 )2 𝑎2 (𝑎2 + 𝑟 2 )2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑟 2 )2
4𝑘 2
1
1
+
=
(𝑎2 − 𝑟 2 )2 (𝑎2 + 𝑟 2 )2 𝑎2 (𝑎2 + 𝑟 2 )2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑟 2 )2
Se obtiene las fórmulas conocimiento general,
que indica que dados dos números enteros a y r
mayores que cero, tal que a > r, se cumple que:
multiplicando por 2, sumando sus cuadrados,
restando sus cuadrados; se obtiene ternas
pitagóricas de números enteros para 𝑎 > 𝑟
𝟐
𝟐
𝟐𝟐 𝒓𝟐 𝒂𝟐 + (𝒂𝟐 − 𝒓𝟐 ) = (𝒂𝟐 + 𝒓𝟐 )
Sumando la hipotenusa y el cateto mayor:
𝑧 + 𝑦 = 𝑎2 + 2𝑎𝑟 + 𝑟 2
Factorizando: 𝑧 + 𝑦 = (𝑎 + 𝑟)2
Restando la hipotenusa y el cateto menor:
2
𝑥 = 𝑎 −𝑟
2
𝑧 − 𝑥 = 2𝑟 2
𝑦 = 2𝑎𝑟
𝑧 = 𝑎2 + 𝑟 2
2
𝑘 = (𝑎 − 𝑟)
Por último restando el cateto menor del mayor:
𝑦 − 𝑥 = 2𝑎𝑟 − (𝑎2 − 𝑟 2 )
Se cumple que: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Amerita indicar, según los tratados de otros
autores, que este es uno de los procedimientos
favoritos y habituales para determinar ternas
enteras que cumplan el teorema de Pitágoras
para a > r. A continuación, se realizará un
análisis algebraico para determinar algunas
correspondencias.
Restando la hipotenusa y el cateto mayor:
𝑧 − 𝑦 = 𝑎2 − 2𝑎𝑟 + 𝑟 2
Factorizando: 𝑧 − 𝑦 = (𝑎 − 𝑟)2
Como k = z – y, entonces: 𝑘 = (𝑎 − 𝑟)2
Finalmente tendríamos las diferencia notables
de los términos de una terna pitagórica.
𝑘 = (𝑎 − 𝑟)2
𝑞 = 2𝑎𝑟 − (𝑎2 − 𝑟 2 )
ℎ = 2𝑟 2
Que aportan poca información a diferencia del
método presentado en este libro. Si k = 1
sabemos entonces, que la TP es prima, por
tanto, a y r son consecutivos a = r + 1
Por tanto, el valor de “k” quedaría establecido en las
ecuaciones anteriores exclusivamente para ternas primas.
a
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
33
34
35
Como k = z – y, entonces: 𝑘 = (𝑎 − 𝑟)2 = 1
Por otro lado, igualando ecuaciones podemos correlacionar
los valores de a y r
De las
expresiones:
𝑧 = 𝑎2 + 𝑟 2
Despejando:
𝑎=√
𝑥 = 𝑎2 − 𝑟 2
𝑟=√
𝑦 = 2𝑎𝑟
𝑧+𝑥
2
Como z es función
de x:
𝑎=√
𝑧−𝑥
2
𝑟=√
(𝑥 + 𝑘)2
4𝑘
(𝑥 − 𝑘)2
4𝑘
De donde se desprende que si: 𝑘 ≤ 𝑥 ⇒ (𝑥 + 𝑘)2 =
°
4𝑘
Es decir, (x + k)2 es múltiplo de 4k, es decir si x par entonces
k es par mayor o igual a 2; si x impar entonces k es impar
mayor o igual a 1.
Ahora continuaremos con la correlación del método general
y la generación por el método de la serie Fibonacci, para
luego presentar una tabla que sistematiza las ternas
pitagóricas enteras por el método general para la diferencia
de los cuadrados de dos números consecutivos, aclarando y
reconociendo la genialidad de su inventor, al cual no tuve la
suerte de conocer.
Mas adelante se estudiarán un caso
especial de terna pitagóricas que las
que el lado menor puede estar elevado
a una potencia mayor a 2. Se sigue la
misma demostración del teorema de
Pitágoras.
𝑎𝑛 + 𝑏 2 = 𝑐 2 ∧ 𝑐 = 𝑏 + 𝑘
𝑎𝑛
𝑏2
𝑐2
+
=
𝑎𝑛 𝑏 2 𝑐 2 𝑎𝑛 𝑏 2 𝑐 2 𝑎𝑛 𝑏 2 𝑐 2
1
1
1
+ 𝑛 2= 𝑛 2
2
2
𝑏 𝑐
𝑎 𝑐
𝑎 𝑏
𝑛
𝑏=
𝑎 −𝑘
2𝑘
2
𝑛
∧ 𝑐=
𝑎 +𝑘
2𝑘
1
𝑎𝑛
(
−
2𝑘
𝑘2
2
𝑎𝑛
) (
+
2𝑘
𝑘2
2
−
𝑘 2 )2 (𝑎𝑛
+
𝑘 2 )2
+
𝑘 2 )2
+
𝑘 2 )2
+
16𝑘 4
16𝑘 4
(𝑎𝑛
−
𝑘 2 )2 (𝑎𝑛
−
𝑘 2 )2 (𝑎𝑛
4𝑘 2
(𝑎𝑛
+
+
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
65
67
69
1
𝑎𝑛
𝑎𝑛 (
)
1
(𝑎𝑛
+
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
32
33
34
+
2𝑘
𝑘2
2
)
y
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
312
364
420
480
544
612
684
760
840
924
1012
1104
1200
1300
1404
2112
2244
2380
z
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
313
365
421
481
545
613
685
761
841
925
1013
1105
1201
1301
1405
2113
2245
2381
1
=
𝑎𝑛
𝑎𝑛 (
1
1
= 𝑛 𝑛
2
2
+𝑘 )
𝑎 (𝑎 − 𝑘 2 )2
2
4𝑘
4𝑘 2
𝑎𝑛 (𝑎𝑛
4𝑘 2
4𝑘 2
= 𝑛 𝑛
2
2
+𝑘 )
𝑎 (𝑎 − 𝑘 2 )2
𝑎𝑛 (𝑎𝑛
𝑎𝑛 (𝑎𝑛
1
1
= 𝑛 𝑛
2
2
+𝑘 )
𝑎 (𝑎 − 𝑘 2 )2
4𝑘 2 𝑎𝑛 + (𝑎𝑛 − 𝑘 2 )2 = (𝑎𝑛 + 𝑘 2 )2
2
𝒙 = 2𝑘√𝑎𝑛
𝒚 = 𝑎𝑛 − 𝑘 2
2
− 𝑘2
)
2𝑘
𝒛 = 𝑎𝑛 + 𝑘 2
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS Y LA SERIE FIBONACCI
Se aclara, como se dijo anteriormente, no es
materia de este tratado reincidir sobre tópicos
desarrollados por otros matemáticos, ni incluir
la demostración de la impresionante relación de
la serie Fibonacci y el Teorema de Pitágoras, las
cuales pueden verificarse por el lector o
encontrarse en la abundante bibliografía al
respecto; sólo mostraremos las relaciones de
este método con el método general presentado
en este tratado. Sin embargo, se puede “aportar”
que las ternas pitagóricas generadas por cuatro
términos consecutivos de la secuencia
Fibonacci, sólo dependen únicamente de los dos
primeros términos consecutivos a1 y a2.
Sea:
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
cuatro
términos
consecutivos de la serie Fibonacci, los cuales se
originan por los dos primeros números.
Si: 𝑎3 = 𝑎1 + 𝑎2 ∧ 𝑎4 = 𝑎2 + 𝑎3
Entonces: 𝑎4 = 𝑎1 + 2𝑎2
Por lo tanto, la serie quedaría expresada sólo en
función de los primeros números de la serie:
(𝑎1 ) ( 𝑎2 ) (𝑎1 + 𝑎2 ) (𝑎1 + 2𝑎2 )
Según el método de ternas por Fibonacci
𝒙 = 𝑎1 × 𝑎4 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2
𝒚 = 2𝑎2 × 𝑎3 = 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22
𝒛 = 𝑎1 × 𝑎3 + 𝑎2 × 𝑎4 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22
En consecuencia, si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ; se cumple:
(𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 )2 + (2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22 )2
= (𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22 )2
𝒛 = 𝑞 2 + 𝑝2 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22
𝒙 + 𝒛 = (𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 ) + (𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22 )
Reemplazando se obtiene
𝑞 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑝 = 𝑎2
𝑞 2 = (𝑎1 + 𝑎2 )2
Si 𝑎1 = 1, entonces se inicia el cálculo con dos
consecutivos, que corresponde generalmente a
ternas primas.
Dado que: 𝑥 + 𝑧 = 2𝑞 2
𝑥+𝑧
𝑞2 =
2
También:
𝑥 + 𝑧 = 2𝑎12 + 4𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22
𝑥+𝑧
= 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 𝑎22
2
𝑥+𝑧
√
= 𝑎1 + 𝑎2
2
Nota: Este método no se ha consignado en el
capítulo de Generación de Ternas Pitagóricas, por
corresponder a otros autores, pero sí que está
vinculado al método general.
EJERCICIO
Si se toma los números consecutivos de la serie:
7 8 15 23; se hallan las TPs de la forma:
x = ad
: 7 x 23
= 161
y = 2bc
: 2 x 8 x 15
= 240
z = b 2 + c2
:82 + 152
= 289
Entonces de: 1612 + 2402 = 2892
Esto significa que la generación de TPs por el
método de la serie Fibonacci, también requiere
solamente dos valores 𝒂𝟏 y 𝒂𝟐 , para los cuales
𝑘 = 𝑎12 . Ahora veremos que representan estos
valores en la formula general.
𝑥 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 ⇢ 72 + 2(7 × 8) = 161
De las clásicas formulas generales de TP.
Obsérvese que para esta terna 𝑘 = 72 que
𝒙 = 𝑞 2 − 𝑝2 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2
𝒚 = 2𝑝𝑞 = 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22
𝑦 = 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22 ⇢ 2(8 × 15) + 2(82 ) = 240
𝑧 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 2𝑎22 ⇢ 72 + 2(8 × 15) + 2(82 )
𝑧 = 289
corresponde al cuadrado del primer término.
Ruben Darío Muñoz López
DOBLE SERIE FIBONACCI Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Veamos el siguiente cuadro en la que se ha
dispuesto en filas de cuatro en cuatro los
términos de la serie Fibonacci. Aplicando el
método de generación por Fibonacci se han
obtenido las ternas pitagóricas respectivas.
Terminos de la
secuencia Fibonacci
a1
1
1
2
3
5
8
13
21
↑
SF
a2
1
2
3
5
8
13
21
34
a3
2
3
5
8
13
21
34
55
a4
3
5
8
13
21
34
55
89
Ternas pitagoricas enteras y
valor de "k"
Posicion
sextal
x
y
z
k
xα
3
4
5 1
w3
5
12
13 1
w5
16
30
34 4
w4
39
80
89 9
w3
105 208 233 25
w3
272 546 610 64
w2
715 1428 1597 169
w1
1869 3740 4181 441
w3
↑
Cuadrado de SF
EJERCICIOS MISCELÁNEOS Y
CURIOSIDADES
SERIE FIBONACCI Y LA TP 5, 12, 13
De la sucesión 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 cuya
suma es múltiplo de 6 y tomando los 4 primeros
términos se obtiene la primera terna pitagórica
prima 3, 4 y 5:
=3
y = 2(1 x 2)
=4
z=1x2+1x3
=5
153 = 1
7
x=1x5
=5
y = 2(2 x 3)
= 12
z=1x3+2 x5
= 13
SERIE FIBONACCI Y LA TP 8, 15, 17
De la sucesión 22 + 33 + 55 + 82= 186 cuya
suma 18 = 3 x 6 es múltiplo de 6 y por el método
Fibonacci, se obtiene la primera terna pitagórica
prima de cateto par 8, 15, 17
Obsérvese que la secuencia Fibonacci se repite
tanto en las filas como en las columnas del panel
de la izquierda para los cuatro números
generadores de ternas enteras de TP, así mismo
el cuadrado del primer número generador se
corresponde con el valor de la diferencia
pitagórica k.
x=1x3
SERIE FIBONACCI Y LA TP 5, 12, 13
De la sucesión de primos (incluyendo a 1,
especial) 11 + 22 + 33 + 55 = 115 que suma
otro primo por el método Fibonacci, se obtiene
la segunda terna pitagórica prima 5, 12, 13.
8
x=2x8
= 16
(8)
y = 2(3 x 5)
= 30
(15)
z=2x5+3x8
= 34
(17)
PRIMO 153
El número primo 153, mencionado en la biblia
es considerado por los gematras, un número
especial. Para empezar, es la suma de 7 números
de la serie Fibonacci empezando en los números
1 y 7. Los dos primeros términos 1 y 7
conforman el número primo 17 cuyo cuadrado:
289 = 172.
Pero lo realmente interesante es que las ternas
pitagóricas
obtenidas,
aplicando
el
procedimiento de “Tuplas pitagóricas por serie
Fibonacci”, la diferencia pitagórica k = z - y es
el cuadrado de los términos de la misma serie:
15
23
38
= 304
61
x = 1 x 15
= 15
x = 7 x 23
= 161
x = 8 x 38
x = 15 x 61
= 915
y = 2(7 x 8)
= 112
y = 2(8 x 15)
= 240
y = 2(15 x 23) = 690
y = 2(23 x 38) = 1748
z = 1x8 + 7x15 = 113
z = 7x15+8x23 = 289
z = 8x23+15x38= 754
z = 15x38+23x61= 1973
k=1
k=49
k=64
k=225
El teorema de Pitágoras
CATETO MENOR
Continuando con el estudio se presenta una serie de relaciones numéricas
interesantes que dependen única y exclusivamente del cateto menor como: el
área y perímetro de un triángulo rectángulo de lados enteros (Triangulo
pitagórico)
Ruben Darío Muñoz López
PITÁGORAS EL HOMBRE QUE TRASCENDIÓ LA MORTALIDAD
Pitágoras en sus recorridos por el mundo de su época, llegó a Egipto, un reino que atesoraba siglos de
conocimientos filosóficos, científicos y por supuesto una avanzada matemática que permitió el
florecimiento de una de las civilizaciones más desarrolladas en la arquitectura y astronomía de la
antigüedad. Si bien es cierto, se le atribuye el descubrimiento del afamado teorema que lleva su nombre,
este lo aprendió posiblemente de los sabios egipcios, aunque no se descarta que haya arribado a dicho
teorema en sus interminables horas de estudio de los números. Hoy en día, sabemos que cientos de
personas pueden atribuirse una de las más de trecientas formas de demostrar el célebre teorema. Pero,
lo que sí es indudable e indiscutible es que fiel a la generosidad y desprendimiento, lo difundió desde
su Escuela, considerada una de las más prestigiosa por la calidad y complejidad de los conocimientos
impartidos en ella; llegando incluso a universalizarse hoy en día. Es raro encontrar alguna persona que
no haya oído de este gran matemático que vivió hace más de dos mil quinientos años o de su famoso
teorema:
“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
A pesar, de que la historia de este célebre personaje es bastante difusa, pues lo poco o mucho que se
sabe, nos ha llegado a través de mitos y leyendas, y los poquísimos escritos que sobre él existen, aún
generan controversia entre los historiadores.
Es extraordinaria la época en que vivió, es como si el universo interviniese en la vida mortal de los seres
humanos, pues Pitágoras de una forma asombrosa compartió su existencia con una pléyade de
celebridades científicas y filosóficas. El siglo V antes de Cristo fue una época de florecimiento de las
ciencias naturales y espirituales de la Magna Grecia, destacándose el mismo como uno de los grandes
maestros místicos.
Pitágoras es considerado, por muchos entendidos, como un HOMBRE EXTRAORDINARIO que
alcanzó la Sabiduría plena. Sus seguidores, especialmente matemáticos y filósofos, aun en la actualidad,
lo consideran el más asombroso Hombre, ubicándolo en la escala de los seres, entre Dios y los otros
hombres,
En el lapso de cuatro décadas acumuló las capacidades suficientes para trascender desde el estado común
o iniciático hasta alcanzar los secretos místicos que transformaron su alma humana común en un espíritu
superior en su búsqueda de la VERDAD. Por propio esfuerzo se convirtió en el personaje más ilustre,
el más erudito, el más sabio, el más universal, el más instruido de la educación más sobresaliente, el
más dotado de dones y talentos naturales, el más erudito, un hombre cuya visión trascendió la escala
humana… Él viajó para aprender, y aprendió para enseñar.
Existen personas, entre ellos los ocultistas, que creen erradamente que Pitágoras fue un "numerólogo",
obsesionado y abstraído en absurdas permutaciones de alguarismos y letras con el fin de adivinar el
futuro, o un matemático a quien poco le interesa la realidad del mundo, pues se halla sumergido en
desarrollar teorías matemáticas ajenas a la realidad. Todo lo contrario, Pitágoras, entendía que los
números son la clave para entender y describir el universo.
El teorema de Pitágoras
ÁREA DE UN TRIANGULO PITAGÓRICO
Como se ha venido explicando a lo largo del
contenido de este libro, los triángulos
rectángulos de lados enteros presentan
innumerables propiedades que pueden ser
determinadas sin necesidad de conocer el valor
de todos sus lados; en la mayoría de los casos es
suficiente conocer el cateto menor y por
supuesto La diferencia pitagórica, en caso de
triángulos rectángulos parentales. Tratándose
de ternas primitivas para k = 1 y k = 2 es
suficiente conocer solamente el cateto menor o
simplemente uno cualquiera de sus otros lados.
Así tenemos que el área de un triángulo
rectángulo de lados enteros para k = 1 es el
producto de tres números consecutivos dividido
entre cuatro, el cateto menor corresponde al
término intermedio de los consecutivos.
𝑥2 − 1
𝑥
(
) 𝑥(𝑥 2 − 1)
𝑥𝑦
2
𝐴=
⇒
=
2
2
4
(𝒙 − 𝟏)(𝒙)(𝒙 + 𝟏) 𝑥 3 − 𝑥
⟹ 𝐴=
=
𝟒
4
Ejemplo:
El área del triángulo pitagórico 3 – 4 – 5 es:
2×𝟑×4
𝐴=
=6
4
Corolario: El área de un triángulo rectángulo
pitagórico de lados enteros y cateto menor
primo es múltiplo de 4.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE LADOS
ENTEROS CUYO CATETO MENOR ES PRIMO IMPAR
Cateto
Consecutivo
menor
inferior
primo
Consecutiv
o superior
AREA
(𝒙−)(𝒙)(𝒙 + 𝟏)
𝟒
X-1
x
X+1
2
3
4
6
4
5
6
30
6
7
8
84
10
11
12
330
12
13
14
546
16
17
18
1224
18
19
20
1710
22
23
24
3036
28
29
30
6090
30
31
32
7440
36
37
38
12654
40
41
42
17220
42
43
44
19866
46
47
48
25944
52
53
54
37206
58
59
60
51330
60
61
62
56730
66
67
68
75174
70
71
72
89460
72
73
74
97236
78
79
80
123240
82
83
84
142926
88
89
90
176220
90
91
92
188370
96
97
98
228144
100
101
102
257550
=
Ruben Darío Muñoz López
PERÍMETRO DE UN TRIANGULO PITAGÓRICO
En general el perímetro de un Triángulo
Pitagórico esta expresado por:
𝑃 = 𝑥 + 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).
Resulta interesante la semejanza de la sumatoria
de los múltiplos de 4 de la serie natural con el
doble producto del perímetro 2𝑃 = 2𝒙(𝑥 + 1)
de un TR de cateto menor impar para k = 1.
Lo cual puede expresarse de forma específica
como:
𝑥 2 + 𝑥𝑘
𝑃 =𝑥+𝑦+𝑧 =
𝑘
A continuación, se presenta una tabla con los
cálculos del perímetro correspondientes para
triángulos rectángulos de cateto menor primo
impar.
El perímetro de un TP de lados enteros para k=1
es el producto de dos números consecutivos, el
cateto menor corresponde al término menor de
los consecutivos. Partiendo de que el perímetro
es la sumatoria de los tres lados de un triángulo
tenemos.
𝑥2 − 1 𝑥2 + 1
𝑃=𝑥+
+
2
2
2𝑥 + 𝑥 2 − 1 + 𝑥 2 + 1
𝑃=
2
𝑃=
2𝑥 + 2𝑥 2
= 𝑥2 + 𝑥
2
𝑃 = 𝑥(𝑥 + 1)
EJERCICIO
Demostrar que el cociente de la siguiente
𝑥 3 −1
expresión
sí, x es un número primo de la
𝑥−1
forma 6n + 1, o un numero de la forma 6n + 4,
es un número múltiplo de 3.
La solución se desprende del corolario de área
de un triángulo rectángulo
k=1
𝑥 3 −1
𝑥−1
= 3𝑛 ó 4𝑛 para
RELACIÓN INTERESANTE
La sumatoria de los números naturales es:
𝑛
𝑛(𝑛 + 1)
∑ 𝑛𝑖 =
2
𝑖=1
Y la suma de los múltiplos de 4 de la sucesión
natural está dada por la fórmula:
𝑛
4 ∑ 𝑛𝑖 = 2 𝑛(𝑛 + 1)
𝑖=1
PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
CATETO MENOR Consecutivo
PRIMO
superior
x
X+1
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
91
97
101
4
6
8
12
14
18
20
24
30
32
38
42
44
48
54
60
62
68
72
74
80
84
90
92
98
102
PERÍMETRO
𝑃 = (𝑥)(𝑥 + 1)
12
30
56
132
182
306
380
552
870
992
1406
1722
1892
2256
2862
3540
3782
4556
5112
5402
6320
6972
8010
8372
9506
10302
A continuación se presenta un post publicado en
el grupo más allá del teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
Gráfico de área y perímetro de un triángulo rectángulo de cateto impar para k=1
DEDUCCIONES ADICIONALES DE LA HIPOTENUSA Y EL PERÍMETRO
Se puede obtener una expresión pitagórica aún
mucho más simple, deducida del perímetro del
triángulo rectángulo de lados enteros, para una
diferencia k = 1 dada por la siguiente expresión:
𝑃 =𝑥+𝑦+𝑧
𝑥2 − 1 𝑥2 + 1
𝑃=𝑥+
+
2
2
Entonces se tiene: 𝑃 = 𝑥 2 + 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 1)
𝑧 = 𝑥2 − 𝑦
Por lo cual, resulta interesante y plausible
definir el perímetro de un TP de números Z+
como el producto de dos números consecutivos,
cuyo menor número es el cateto menor “x” para
k=1.
Es decir: P = x (x + 1).
2
Reemplazando: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑥2 = 𝑦 + 𝑧
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Extraídas del libro Números y formas de P. Martínez
Será posible encontrar una serie mayor a esta
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 242 = 702
Por SEMANA NAVIDEÑA
21 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
2
¿La suma de cuadrados más pequeña?
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Ruben Darío Muñoz López
PRODUCTOS NOTABLES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CATETO MAYOR POR HIPOTENUSA
PRODUCTO DE LOS LADOS DE UN
TRIANGULO PITAGÓRICO
𝑦𝑧 = 𝑔(𝑥)
(𝑥 2 − 𝑘 2 )(𝑥 2 + 𝑘 2 )
𝑦𝑧 =
4𝑘
𝑥𝑦𝑧 = 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑥𝑦𝑧 = 𝑥
Para k = 1:
(𝑥 2 − 1)(𝑥 2 + 1) 𝑥 4 − 1
𝑦𝑧 =
⇒
4
4
COROLARIO
El producto del cateto mayor por la hipotenusa
de un triángulo rectángulo pitagórico de lados
enteros para k=1 es múltiplo de 4.
CATETO MENOR POR HIPOTENUSA
𝑥𝑧 = 𝑥𝑔(𝑥)
𝑥𝑧 = 𝑥
𝑥 2 + 𝑘 2 𝑥(𝑥 2 + 𝑘 2 )
⇒
2𝑘
2𝑘
Para k = 1
𝑥𝑧 =
𝑥(𝑥 2 + 1)
2
PRODUCTO DE CATETOS
𝑥 𝑓(𝑥)
𝑥𝑦 = 𝑥𝑓(𝑥)
𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 ) (𝑥 − 𝑘) (𝑥) (𝑥 + 𝑘)
𝑥𝑦 =
⇒
2𝑘
2𝑘
𝑥𝑦𝑧 =
𝑥2 − 𝑘2 𝑥2 + 𝑘2 𝑥4 − 𝑘2
×
=
2𝑘
2𝑘
4𝑘 2
𝑥 4 − 𝑘 2 (𝑥 2 + 𝑘)(𝑥 2 − 𝑘)
=
4
4
Producto de los lados de un triángulo de lados
enteros para k = 1.
𝑥𝑦𝑧 = 𝑥
𝑥𝑦𝑧 =
𝑥2 − 1 𝑥2 + 1
×
2
2
𝑥5 − 𝑥
4
x (x 5 - x)/4
3
60
5
780
7
4200
9
14760
11
40260
13
92820
15
189840
17
354960
COROLARIO
El producto de todos los lados de un triángulo
rectángulo pitagórico de lados enteros es
múltiplo de 4.
COROLARIO
El producto de todos los lados de un triángulo
rectángulo pitagórico de lados enteros y cateto
menor primo es múltiplo de 4.
Nota: En el grupo Más allá del teorema de
Pitágoras se publicaron los siguientes posts.
Para k = 1 tenemos:
𝑥 2 − 1 𝑥(𝑥 2 − 1)
⇒
2
2
(𝑥 − 1)(𝑥)(𝑥 + 1)
𝑥𝑦 =
2
𝑥𝑦 = 𝑥
COROLARIO
El producto de catetos de un triángulo
rectángulo pitagórico de lados enteros para k=1
es el semi producto de tres números
consecutivos.
Se propone el siguiente ejercicio para el
LECTOR: Demostrar que el producto del cateto
mayor por la hipotenusa para todo T. Pitagórico
de cateto menor primo mayor o igual a 3, es
múltiplo de 4.
El teorema de Pitágoras
TEOREMA DE LA DESCOMPOSICIÓN DEL CUADRADO DE NÚMEROS PRIMOS
Entre una las publicaciones aisladas más
antiguas está el teorema que dice que: el
cuadrado del cateto menor es igual a la suma
del cateto mayor y la hipotenusa. Este teorema
demuestra que todos los cuadrados de los
números impares pueden definirse por la
diferencia elemental de la hipotenusa con el
cateto mayor. En general es válido para todos
los números impares mayores o iguales a 3. Sin
embargo es de particular importancia cuando se
trata de números primos mayores que 2, pues
como ya se sabe las ternas pitagóricas de cateto
menor primo impar son primitivas e
irreductibles y por tanto no se aplica el concepto
de parentalidad.
Si (x, y, z) es una terna pitagórica irreductible,
se cumple que: 𝑥 2 = y + z ↔ z > y > x ≥ 3
Demostración:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥2 = 𝑧2 − 𝑦2
𝑥 2 = (𝑧 − 𝑦)(𝑧 + 𝑦)
Si cateto menor x es impar o primo mayor que
2, las ternas irreductibles tienen una diferencia
pitagórica igual a 1: z - y = k = 1
𝑥2 = 𝑦 + 𝑧
Esto nos conlleva a que podemmos
descomponer todo cuadrado de numero impar
en la suma de dos elementos de un triangulo
rectangulo de lados enteros.
A continuacion se presenta una diapositiva
publicada en el grupo Más allá del teorema de
Pitágoras y en la pagina de Darío Lanni
matemáticas, debido a que fue una de las
publicaciones que sucito bastante interes y
participacion entre el público.
Ruben Darío Muñoz López
ALTURA Y PROYECCIONES DE LOS CATETOS SOBRE LA HIPOTENUSA
Vamos a determinar la altura H y las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
con respecto a la altura H del triángulo
rectángulo considerando a la hipotenusa como
base del triángulo. Con la finalidad de generar
la fórmula de la altura de un triángulo
rectángulo en función del cateto menor y
demostrar las siguientes formulas.
𝑧𝑦 =
(𝑥 2 − 𝑘 2 )2
2𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
𝑧𝑥 =
2𝑥 2 𝑘
𝑥2 + 𝑘2
2
𝑥2 − 𝑘2
) − 𝑥2
2𝑘
𝑧𝑦 − 𝑧𝑥 =
𝑥2 + 𝑘2
(
)
2𝑘
(
𝑧𝑦 − 𝑧𝑥 =
𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4
2𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
Volviendo a plantear un sistema de ecuaciones
𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
𝐻=
𝑥2 + 𝑘2
Para k = 1: 𝐻 =
Y remplazando por las fórmulas generales:
𝑥(𝑥 2 −1)
𝑥 2 +1
𝑧𝑦 − 𝑧𝑥 =
𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4
⋯ (3)
2𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
𝑧𝑦 + 𝑧𝑥 =
𝑥2 + 𝑘2
⋯ (4)
2𝑘
Sumando las ecuaciones (3) y (4) miembro a
miembro:
2𝑧𝑦 =
𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑘 2 + 𝑘 4 𝑥 2 + 𝑘 2
+
2𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
2𝑘
⟹ 2𝑧𝑦 =
(𝑥 2 − 𝑘 2 )2
𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
Finalmente se obtiene:
En tratados especializados de geometría de
triángulos se puede encontrar la fórmula:
𝐻 = √𝑧𝑥 𝑧𝑦
DEMOSTRACIONES
Del grafico se desprende que:
𝑥 2 = 𝑧𝑥2 + 𝐻 2 ⋯ (1)
(𝑥 2 − 𝑘 2 )2
𝒛𝒚 =
2𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
𝒛𝒙 = 𝑧 − 𝑧𝑦 =
Reemplazando valores en la fórmula:
𝐻 = √𝑧𝑥 𝑧𝑦 ; tenemos:
y
𝑦 2 = 𝑧𝑦2 + 𝐻 2 ⋯ (2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) en H y
ordenando términos tenemos:
𝑦 2 − 𝑥 2 = 𝑧𝑦2 − 𝑧𝑥2
Por diferencia de cuadrados, el 2° termino es:
(𝑥 2 − 𝑘 2 )2
2𝑥 2 𝑘
𝐻=√ 2
×
𝑥 + 𝑘 2 2𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
⇒𝐻=
Despejando:
𝑦2 − 𝑥2
= 𝑧𝑦 − 𝑧𝑥
𝑧
𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
𝑥2 + 𝑘2
Finalmente, para ternas irreductibles k = 1;
tenemos que:
𝑦 2 − 𝑥 2 = (𝑧𝑦 + 𝑧𝑥 )(𝑧𝑦 − 𝑧𝑥 )
Pero: 𝑧𝑦 + 𝑧𝑥 = 𝑧
2𝑥 2 𝑘
𝑥2 + 𝑘2
𝑯=
𝑥(𝑥 2 − 1)
𝑥2 + 1
El teorema de Pitágoras
ALTURAS Y SERIES
La altura trazada sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo de lados enteros, hacia el
ángulo opuesto se puede determinar de varias
formas. Resultan interesantes la línea resultante
de unir las alturas que se generan a medida que
se
forman
triángulos
rectángulos
sucesivamente. A continuación se deja el
siguiente reto.
La altura en función de los segmentos
proporcionales zx y zy sobre la hipotenusa:
ℎ = √𝑧𝑥 𝑧𝑦
SERIES
Resulta interesante las series que se generan con
las alturas en los triángulos rectángulos
generados por cada altura.
ℎ1 =
Para determinar la magnitud de la altura,
considerar un triángulo rectángulo de lados
enteros tal que: 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 3 y que se cumple
el teorema de Pitágoras: 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 .
La altura en función de los catetos y la
𝑥𝑦
hipotenusa es: ℎ = 𝑧
𝑥𝑦
𝑧
𝑥𝑦
𝑧𝑥 ( )
𝑧𝑥 ℎ1
𝑧
ℎ2 =
⇒ ℎ2 =
𝑥
𝑥
𝑧𝑥 𝑦
ℎ2 =
𝑧
De: 𝑧𝑥2 = 𝑥 2 − ℎ12
𝑧𝑥2 = 𝑥 2 −
𝑥 2 𝑦 2 𝑥 2 (𝑧 2 − 𝑦 2 )
=
𝑧2
𝑧2
𝑥4
𝑥2
⇒
𝑧
=
𝑥
𝑧2
𝑧
Por tanto, ahora se puede determinar h2.
𝑧𝑥2 =
𝑥 2 𝑥𝑦
(
𝑧𝑥 ℎ1
𝑧)(𝑧)
ℎ2 =
=
𝑥
𝑥
ℎ2 =
Estableciendo la relación de igualdad de áreas:
ℎ𝑧
𝑥𝑦
𝐴=
∧ 𝐴=
2
2
ℎ𝑧 𝑥𝑦
=
⇒ ℎ𝑧 = 𝑥𝑦
2
2
𝑥𝑦
ℎ=
𝑧
Entonces la altura está dada por el producto de
los catetos sobre la hipotenusa.
𝑥2𝑦
𝑧2
De la misma forma se determina el valor de la
tercera altura y así sucesivamente. Con respecto
al cateto mayor y simplemente debemos invertir
los valores de x con y en las fórmulas.
Por otro lado: ℎ1 = √𝑧𝑥 𝑧𝑦 = √𝑧𝑥 𝑧 − 𝑧𝑥2
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO DE DEMOSTRACIÓN
Ahora se deja al lector demostrar la veracidad o
falsedad de la serie, si se continúa desarrollando
para las siguientes alturas h2, h3, …, hj.
𝑥𝑦
ℎ1 =
𝑧
ℎ2 =
𝑥2𝑦
𝑧2
ℎ3 =
...
...
ℎ𝑛 =
𝑥3𝑦
𝑧3
𝑥𝑛𝑦
𝑧𝑛
El teorema de Pitágoras
EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE VARIABLE ENTERA
Existen algunas expresiones algebraicas cuyo
valor numérico, dadas ciertas condiciones,
siempre es un número que pertenece a Z+. En
este apartado estudiaremos algunas expresiones
algebraicas para variable discreta, y en espacial
prima.
Estas expresiones son consecuencia de la
aplicación del método general de generación de
ternas pitagóricas enteras. Aplicando diversas
operaciones al teorema extendido de ternas
pitagóricas enteras de la forma 𝑥 𝑛 + 𝑦 2 = 𝑧 2
para x primo impar, cateto mayor y = f(x) e
hipotenusa z = g(x).
Sextal
origen
x
ω1
1
0
ω6
ω3
3
2
ω2
ω5
5
8
ω2
ω1
7
18
ω6
ω3
9
32
ω2
ω5
11
50
ω2
ω1
13
72
ω6
Todo polinomio de la forma x2 ± 2x + 1 es
divisible entre 2 si y solo si x es primo impar.
Es decir, dados los polinomios p(x) y q(x), para
todo x primo impar, existe un valor /a/ tal que
el cociente de q(x) y p(x) es /a/ tal que 𝑎 ∈ 𝑍 + .
𝑞(𝑥)
=𝑎
𝑝(𝑥)
Sextal
(x 2 -2x+1)/2 Resultado
SUMA DE CATETO MAYOR Y LA
HIPOTENUSA f(x) +g(x)
De:
𝑦=
Donde:
𝑝(𝑥) > 0 ∧ 𝑞(𝑥) > 0 ó
𝑝(𝑥) < 0 ∧ 𝑞(𝑥) < 0.
Caso contrario a < 0
Las expresiones derivadas, generalmente, son
consecuencia del cálculo de áreas, perímetros o
productos de elementos de TP donde:
𝑥 𝑛 + [𝑓(𝑥)]2 = [𝑔(𝑥)]2
𝑥2 − 𝑘2
⇒ 2𝑦𝑘 = 𝑥 2 − 𝑘 2
2𝑘
De:
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
⇒ 2𝑧𝑘 = 𝑥 2 + 𝑘 2
2𝑘
Sumando miembro a miembro
2𝑦𝑘 + 2𝑧𝑘 = 2𝑥 2
𝑘(𝑦 + 𝑧) = 𝑥 2
𝑥2
𝑦+𝑧 =
𝑘
Pero k = z – y, entonces:
DIFERENCIA DE HIPOTENUSA Y
CATETO MENOR
De : z - x :
𝑥 2 − 2𝑥𝑘 + 𝑘 2 (𝑥 − 𝑘)2
𝑧−𝑥 =
=
2𝑘
2𝑘
Para k=1
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)2
𝑧−𝑥 =
=
2
2
El resultado de aplicar la expresión a la sucesión
de números impares implica una distribución
sextal cíclica de sextales: ω1, ω3, ω5 para el
origen y ω6, ω2, ω2 para el resultado.
Significa que si x es un número primo de la
forma 6n + 1 el resultado es un múltiplo de 6.
𝑥2
𝑦+𝑧 =
⇒ 𝑥 2 = (𝑧 + 𝑦)(𝑧 − 𝑦)
𝑧−𝑦
El cuadrado del cateto menor se puede
descomponer en el producto de la suma por la
diferencia de la hipotenusa y el cateto mayor
Para k=1 sabemos que: z + y = x2
Ruben Darío Muñoz López
DOBLE HIPOTENUSA MENOS CATETO
MENOR 2g(x) – x
De: 2𝑧 − 𝑥 = (𝑥 2 + 1) − 𝑥
⟹ 2𝑧 − 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 + 1
Pero
𝑥2 − 𝑥 + 1 =
𝑥3 + 1
𝑥+1
Por tanto, se cumple que para todo x > 1, está
expresión arroja valores enteros, expresión que
puede extenderse a todo Z+.
El resultado de aplicar la expresión a la sucesión
natural de números naturales implica una
distribución sextal cíclica de sextales: ω1, ω1,
ω3.
Para todo numero de la forma 6n + 2 ó 6n + 5
el resultado es un múltiplo de 3.
Y para ω1, ω3, ω4, ω6. El resultado es un
numero primo o seudo primo de ω1.
Sextal
origen
x
Sextal
(x 3 +x)/(x+1) Resultado
0
1
ω1
ω1
1
1
ω1
ω2
2
3
ω3
ω3
3
7
ω1
ω4
4
13
ω1
ω5
5
21
ω3
ω6
6
31
ω1
ω1
7
43
ω1
ω2
8
57
ω3
ω3
9
73
ω1
El teorema de Pitágoras
EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE VALOR ENTERO DERIVADA DEL PERÍMETRO
Ahora veremos la expresión algebraica
𝑥 3 −1
𝑥−1
para todo x ≠ 1; basada en el perímetro de un TP que
determina una función de valor entero para todo 𝑥 ∈ 𝑍 + ∧ 𝑥 > 1.
De: 2𝑧 + 𝑥 = (𝑥 2 + 1) + 𝑥 ⟹ 2𝑧 + 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 + 1
𝑥 3 −1
𝑥−1
Pero 𝑥 2 + 𝑥 + 1 =
𝑥 3 −1
𝑥−1
por tanto, se cumple que:
Sextal
origen
x
0
Sextal
(x 3 -x)/(x-1) Resultado
1
ω1
𝑃+1=
y como P es entero, entonces, significa que,
para todo x > 1, está expresión arroja valores enteros,
expresión que puede extenderse a todo Z+. para x ≠ 1
ω1
1
Indeterm.
(ω3)
ω2
2
7
ω1
ω3
3
13
ω1
El resultado de aplicar la expresión a la sucesión natural de
números naturales implica una distribución sextal cíclica de
sextales: ω1, ω1, ω3.
ω4
4
21
ω3
ω5
5
31
ω1
ω6
6
43
ω1
ω1
7
57
ω3
ω2
8
73
ω1
ω3
9
91
ω1
Para todo numero de la forma 6n + 1 (ω1) ó 6n + 4 (ω4)
el resultado es un múltiplo de 3. Y para ω2, ω3, ω5, ω6.
El resultado es un numero primo o seudo primo de ω1.
SUMA DE HIPOTENUSA Y CATETO MENOR
De: z + x:
Para k=1
(𝑥+𝑘)2
𝑥 2 +2𝑥𝑘+𝑘 2
=
2𝑘
2𝑘
(𝑥+1)2
𝑥 2 +2𝑥+1
𝑧+𝑥 =
𝑧+𝑥 =
2
=
2
El resultado de aplicar la expresión a la sucesión de números
impares implica una distribución sextal cíclica de sextales:
ω1, ω3, ω5 para el origen y ω2, ω2, ω6 para el resultado.
Significa que si x es un numero primo de la forma 6n + 5
(ω6) el resultado es un múltiplo de 6.
OTRA EXPRESIÓN QUE ARROJA ENTEROS
De la suma de cubos y diferencia de cubos:
3
3
𝑥 +1 𝑥 −1
+
= 4𝑧
𝑥+1
𝑥−1
El resultado de aplicar la expresión a la sucesión de números
naturales implica una distribución sextal cíclica de sextales:
ω4, ω4, ω2 para el resultado.
Nota:
4𝑥 2 − 4y = 4z
Sextal
origen
x
ω1
1
2
ω2
ω3
3
8
ω2
ω5
5
18
ω6
ω1
7
32
ω2
ω3
9
50
ω2
ω5
11
72
ω6
ω1
13
98
ω2
Sextal
origen
x
ω1
1
Indeterm.
(ω4)
ω2
2
10
ω4
ω3
3
20
ω2
ω4
4
34
ω4
ω5
5
52
ω4
ω6
6
74
ω2
ω1
7
100
ω4
ω2
8
130
ω4
Para x primo impar se cumple que, la siguiente expresión es múltiplo de 4
Sextal
(x 2 +2x+1)/2 Resultado
Sextal
Resultado
Ruben Darío Muñoz López
DEMOSTRACIONES
Si x, y, z y k son elementos de una terna pitagórica entera, realizar las siguientes demostraciones
considerando que:
𝑥2 − 𝑘2
𝑦=
2𝑘
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
2𝑘
𝑘 =z−y
1. Demostrar que si 𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 ) es múltiplo de 4; entonces 𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 ) es múltiplo de k.
Sabemos que el área de todo triangulo pitagórico es entero y es el semi producto de los catetos.
𝑥𝑓(𝑥)
2
Aplicando la fórmula de generación de ternas pitagóricas tenemos que:
1 𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
𝐴=
2
2𝑘
Simplificando tenemos
𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
𝐴=
4𝑘
2
2
Quedando demostrado que 𝑥(𝑥 − 𝑘 ) es múltiplo de 4k; por tanto, múltiplo de 4.
Entonces el área de TP está dada por la siguiente función:
𝐴=
DIFERENCIA DE DOBLE HIPOTENUSA MENOS CATETO MENOR
De: 2g(x) - x
2𝑧 − 𝑥 = (𝑥 2 + 1) − 𝑥
2𝑧 − 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 + 1
Pero:
𝑥 3 +1
𝑥+1
= 𝑥2 − 𝑥 + 1
PERÍMETRO DE TRIANGULO PITAGÓRICO DOBLE
Como puede observarse, un dato interesante, la diferencia entre la hipotenusa y el cateto menor “x”
equivale en valor al perímetro de un triángulo pitagórico doble, es decir un triángulo isósceles
conformado por dos triángulos rectángulos pitagóricos iguales.
Perímetro de triangulo isósceles formado por dos
TP: 𝑃 =
(𝑥−𝑘)2
2𝑘
DEMOSTRACIÓN PARA EL LECTOR: Demostrar que la siguiente expresión arroja valores enteros
para x >2 y x primo:
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥+1
2
EJERCICIO: Para todo x primo impar, demostrar que la expresión anterior es múltiplo de 4
Solución: La solución es automática basada en el teorema anterior.
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO: Demostrar que si x > 1 y es impar la siguiente expresión 𝑥 5 − 𝑥 , es múltiplo de 4.
Solución:
Sabemos que el producto de todos los lados de un triángulo pitagórico
de lados enteros es:
𝑥5 − 𝑥
𝑥𝑦𝑧 =
4
Por tanto, este teorema de por si es suficiente para demostrar lo
enunciado, incluso se puede demostrar que termina en cero y es múltiplo
de 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 60.
Nota: Puede verificarse fácilmente en una hoja de cálculo.
x
1
3
5
7
9
11
13
(x 5-x)/4
0
60
780
4200
14760
40260
92820
COROLARIO: La diferencia de la quinta potencia de un primo, menos dicho primo es múltiplo de 4.
EJERCICIO: Demostrar que si x es impar la siguiente expresión 𝑥 5 − 𝑥, es múltiplo de 60.
La solución es similar al ejercicio anterior, utilizando el corolario del producto de todos los lados de un
triángulo rectángulo para k=1
EJERCICIO
̅̅̅̅
Si ABC es un triángulo rectángulo de lados enteros, hallar: 𝑝𝐶
Si se cumple que:
̅̅̅̅ = 2√13 y AB = 13
̅̅̅̅̅
𝑚𝐵 = √73; 𝐴𝑛
Además, m, n y p son puntos medios de los lados, es decir:
̅̅̅̅̅
𝐴𝑚 = ̅̅̅̅̅
𝑚𝐶
̅̅̅̅ = 𝑛𝐵
̅̅̅̅
𝐶𝑛
̅̅̅̅
𝐴𝑝 = ̅̅̅̅
𝑝𝐵
Solución:
Realizando una construcción auxiliar se observa que ̅̅̅̅
𝑝𝐶 es la mitad de
la diagonal AB del rectángulo ABC0, es decir la mitad de la hipotenusa
del triángulo rectángulo ABC.
Además, AB = 13, por tanto, como el triángulo rectángulo es de lados
enteros, se cumpliría que el resto de los lados son: AC = 5 y BC= 12.
Finalmente, ̅̅̅̅
𝑝𝐶 es la mitad de la hipotenusa AB, es decir 6.5
Respuesta:
̅̅̅̅ = 6.5
𝑝𝐶
Nota: Con los valores de mB y An se verifica que efectivamente es la solución buscada
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO: Hallar el área sombreada
SOLUCIÓN A
La mitad de la diferencia del cuadrado de z menos la suma de los cuadrados de x y y.
𝑧 2 −(𝑥 2 +𝑦 2 )
El área sombreada es:
2
Del gráfico se desprende que: 𝑥 + 𝑦 = 𝑧
Elevando al cuadrado ambos miembros: 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑧 2 −(𝑥 2 +𝑦 2 )
Despejando xy se tiene: 𝑥𝑦 =
2
Por tanto, el área sombreada es xy = 6
SOLUCIÓN B
Desplazando convenientemente la geometría del problema
tenemos que el área sombreada en cada rectángulo xy es la mitad
de dicho rectángulo, es decir xy/2 por ello es fácil deducir que
el total sombrado es un rectángulo xy, es decir 6, según el
planteamiento del mismo problema.
𝑥𝑦
𝑆 = 2( ) = 2 × 3 = 6
2
LADO DEL CUADRO DE ÁREA EQUIVALENTE DE UN TRIÁNGULO PITAGÓRICO NO
ES ENTERO.
Es posible determinar el área de un cuadrado equivalente al área de un triángulo rectángulo de lados
enteros. Así mismo es posible que el cuadrado resultante no tenga lado entero.
𝑥 3 −𝑥𝑘 2
4𝑘
Área de un triángulo rectángulo: 𝐴⊿ =
𝑥 3 −𝑥𝑘 2
2𝑘
Lado del cuadrado: 𝑙 = √
1
𝑎2 − 𝑏 2
𝑏
=
2
[
]
𝑐2
𝑎
𝑥 3 −𝑥𝑘 2
𝑘
= 2√
CONJETURA: Si: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑎 > 𝑏
Ordenando
: 𝑥 3 = 2𝑘𝑙 2 + 𝑥𝑘 2
Demostrar que no existe un número “l” que
Sea
: x = a; k = b; l = c;
cumple:
Entonces
: 𝑎3 = 2𝑏𝑐 𝑐 + 𝑎𝑏 2
𝑎2 − 𝑏 2
𝑏
= 2[ ]
2
Para tal efecto vamos a transformar la expresión
𝑐
𝑎
anterior en otra un poco más interesante y
Válido un contra ejemplo
enunciar la siguiente conjetura:
DEMOSTRACIÓN
𝑎2 − 𝑏 2
𝑏
=
2
. .. (1)
𝑐2
𝑎
𝑏
Como
:𝑏<𝑎 ⇒ 0<𝑎<1
Entonces
:0<
2𝑏
𝑎
< 2;
El único entero menor que 2 es 1, por tanto:
2𝑏
𝑎
= 1, esto significa que 2𝑏 = 𝑎
Remplazando en (1)
4𝑏 2 − 𝑏 2
=1
𝑐2
3𝑏 2 = 𝑐 2 ⇒ 𝑏√3 = 𝑐
Quedando demostrado que “c” es un número
irracional
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO: Hallar: x + y
Si:
𝑥2
𝑦2
+ 𝑥 = 12 … (1)
𝑦
1
1
1
+ 𝑦 = 3 … (2)
𝑥
SOLUCIÓN
Multiplicando (1) por xy:
𝑥 3 + 𝑦 3 = 12𝑥𝑦 … (3)
Multiplicando (2) por 3xy:
3𝑥 + 3𝑦 = 𝑥𝑦 … (4)
Despejando y tenemos:
3𝑥
𝑦 = (𝑥−3)
Reemplazando en (3):
27𝑥 3
36𝑥 2
𝑥3 +
=
… (5)
(𝑥 − 3)3 (𝑥 − 3)
Multiplicando (5) por (x-3)3:
(𝑥 − 3)3 𝑥 3 + 27𝑥 3 = 36𝑥 2 (𝑥 − 3)2
Operando y simplificando términos:
𝑥 6 − 9𝑥 5 + 27𝑥 4 = 36𝑥 4 − 216𝑥 3 + 324𝑥 2
Dividiendo entre x2:
𝑥 4 − 9𝑥 3 + 27𝑥 2 = 36𝑥 2 − 216𝑥 + 324
Trasponiendo términos:
𝑥 4 − 9𝑥 3 − 9𝑥 2 + 216𝑥 − 324 = 0
Resolviendo la ecuación, las únicas soluciones
enteras son:
𝑥1 = 6 ∧ 𝑦 = 6
Las soluciones reales son:
𝑥2 =
𝑥3 =
−3−√45
2
=
−3−3√5
2
= −4.854 …
−3 + √45 −3 + 3√5
=
= 1.854 …
2
2
Por tanto, x + y = 12
EJERCICIO:
Hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos x, y del ejercicio anterior
SOLUCIÓN:
Si x, y = 2, entonces aplicando la fórmula de diagonal de un cuadrado: 𝑧 = 6√2
Ruben Darío Muñoz López
ÁREAS Y PERÍMETROS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SUPERPUESTOS
El siguiente acápite muestra el comportamiento de las áreas y perímetros de un triángulo pitagórico que
coincide en un vértice y un cateto.
EJERCICIO: Determine que el perímetro del cuadrilátero ADEC de la figura adjunta es irracional.
𝑃 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + (𝑦 − 𝑥)√2
𝑃 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑦√2 − 𝑥√2
𝑃 = 𝑥(1 − √2) + 𝑦(1 + √2) + 𝑧
En consecuencia, P es irracional. A
continuación, se muestran dos tablas para
triángulos pitagóricos de lado menor impar y
par.
x
y
z
d
3
4
5
√2
5
12 13
7√2
7
24 25
17√2
El ÁREA Y PERÍMETRO ABF
9
40 41
𝑥3
31√2
𝐴𝐴𝐵𝐹 =
11 60 61
2𝑦
49√2
x
6
8
10
12
12
y
8
15
24
35
16
z
10
17
26
37
20
d
2√2
7√2
14√2
23√2
4√2
EJERCICIO:
Determine el menor triangulo rectángulo que al
superponerlo coincidiendo un vértice y un cateto
tal como se muestra en la figura, la intersección
de ambos triángulos es otro triangulo rectángulo
de lados enteros.
Respuesta:
Se deja la respuesta para que el lector compruebe
la solución. Considere que los lados del triangulo
posean un factor común.
El triángulo rectángulo 12, 16, 20 genera el
triángulo rectángulo 9, 12, 15
Si x par entonces AABF es racional o entero.
(𝑥 2 𝑦 + 𝑥)(𝑥 − 𝑦)
𝐴𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹 =
2
𝑥 3 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 − 𝑥𝑦
2
𝑥(𝑥𝑦 + 1)(𝑥 − 𝑦)
2
El teorema de Pitágoras
TERNAS PARENTALES
Algunas ternas pitagóricas tienen un cateto igual, tales como las ternas: 9, 12, 15 y
9, 40, 41. Ambas ternas corresponden a dos triángulos no correspondientes, son por
lo tanto triángulos diferentes que tienen un lado común.
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PARENTALES
De lo estudiado sabemos que la
cantidad de TPs son infinitos. Si el
cateto menor no es un primo,
puede tener varios divisores, por
tanto, existen varios valores para
La diferencia pitagórica “k”.
Ahora estudiaremos los triángulos
pitagóricos que comparten valores
entre
sus
elementos,
especialmente
aquellos
que
forman familias con el cateto
menor. Luego, un cateto menor
“x” no primo, conformará varios
TPs, denominados Triángulos
pitagóricos parentales. (El cateto
menor mínimo para que existan
triángulos pitagóricos parentales
es 8)
Veamos algunos ejemplos:
Para x = 24: En realidad, para x = 24, existen en total 07 ternas pitagóricas parentales, de las cuales
cuatro son orto pitagóricas y tres son transversas (Por espacio no se consigna la máxima terna en el
gráfico).
x
y
z
k
m
24 143
145
2
121
24
70
74
4
50
24
45
51
6
27
24
32
40
8
16
24
18
30
12
6
24
10
26
16
2
24
7
25
18
1
COROLARIO
La cantidad de triángulos pitagóricos conformados para un mismo valor del cateto menor depende del
valor de “k” él cual es siempre menor que “x” y la cantidad de divisores que asume “k”
Nota: ver tabla de valores k en el capítulo correspondiente.
El teorema de Pitágoras
FAMILIAS DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
k
x
A diferencia de los números primos, los números compuestos,
dependiendo de la cantidad de divisores, determinan series de ternas
1
153
pitagóricas para cateto menor o mayor común. Como por ejemplo
3
153
para el cateto de valor 12
En la columna del al lado se observa una relación de ternas para el
cateto menor 153 para diferentes valores de k.
y
z
11704
11705
3900
3903
9
153
1296
1395
17
153
680
697
27
153
420
673
51
153
204
255
81
153
104
185
COROLARIO
Dadas varias ternas pitagóricas, en general, existen familias de ternas que tienen un cateto común. (Ver
el siguiente ejemplo gráfico):
COMPORTAMIENTO DE LA DIFERENCIA PITAGÓRICA k
𝑥
El valor de “k” para toda terna orto-pitagórica par es menor o igual a la mitad del cateto menor: 𝑘 ≤ 2
𝑥
2
En algunos casos existen valores utilizables entre el rango:
≤𝑘<𝑥
𝑥
Para un cateto menor par, cuando el valor de k es mayor o igual a la mitad del cateto menor x: 𝑘 ≥ el
2
cateto mayor se convierte en cateto menor, es lo que denominamos triangulo pitagórico transverso; para:
3
𝑦 ≤ 4 𝑥 y para el caso de cateto menor impar es suficiente que k sea igual o mayor a un tercio del cateto
𝑥
menor 𝑘 ≥ 3
TRIANGULO PITAGÓRICO TRANSVERSO
Si: 𝑦 =
𝑥 2 −𝑘 2
2𝑘
⇒ 𝑥 = √𝑘 2 + 2𝑘𝑦
Entonces el valor de “k” es: 𝑘 =
√4𝑦 2 +4𝑥 2 −2𝑦
2
= √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑦 = 𝑧 − 𝑦
𝑥
En conclusión, para un TP par: 𝑥 > 𝑘 ≥ 2
El cateto mayor se convierte en cateto menor, en
consecuencia, un triángulo pitagórico es transverso
si se invierte el orden de la desigualdad de los
catetos.
El valor de k será diferente. 𝑘 ⊥ es el transverso de
k y el valor de 𝑘 ⊥ resulta de reemplazar el valor de
x por y: 𝑘 ⊥ = 𝑧 − 𝑥
x
y
z
k
x
y
z
k┴
16
63
65
2
63
16
65
49
36
77
85
8
77
36
85
49
60
1
109
18
91
60
109 49
88
105
137
32
105 88
137 49
119
120
169
49
120 119 169 50
Veamos algunos ejemplos en la tabla adjunta:
En todo TP se denomina orto pitagórico si cumple que: k < x < y < z
En todo TP se denomina transverso pitagórico si cumple que: y < k┴ < x < z
Ruben Darío Muñoz López
TRIÁNGULOS PARENTALES
Veamos otros ejemplos antes de establecer
algunas conjeturas y construir dos tablas que
facilitan la determinación de ternas pitagóricas
para catetos menores a 100.
K
1
3
7
9
21
27
49
X
63
63
63
63
63
63
63
Y
1984
660
280
216
84
60
16
Z
1985
663
287
225
105
87
65
K
2
4
6
8
12
16
18
24
32
36
X
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
Y
575
286
189
140
90
64
55
36
20
14
Z
577
290
195
148
102
80
73
60
52
50
Para el caso que se generen ternas pitagóricas
primas para k = 1, para cateto menor primo
mayor o igual a 3, automáticamente se establece
una relación de generación de triángulos
parentales para k = 2 con respecto al cateto
mayor. Y las expresiones son las siguientes.
De las fórmulas generales para k=1 y k=2
tenemos para el triángulo original un cateto
mayor y una hipotenusa, denominado y de x y z
de x respectivamente.
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
𝑦𝑥;𝑘=1 =
∧ 𝑧𝑥;𝑘=1 =
2
2
Tomando el cateto mayor como si fuese el
cateto menor de otro triangulo rectángulo de
lados enteros, se obtiene el parental,
obviamente para k = 2. ¿por qué? Porque el
cateto mayor es par, por ello solo existirán
ternas enteras si el nuevo resto pitagórico es par,
y el mínimo par, siempre será 2.
𝑦𝑦;𝑘=2 =
𝑦𝑥 2 − 4
𝑦𝑥 2 + 4
∧ 𝑧𝑦;𝑘=2 =
4
4
Remplazando valores tenemos:
2
𝑥2 − 1
( 2 ) −4
𝑦𝑦;𝑘=2 =
4
𝑥2 − 1 2
( 2 ) +4
𝑧𝑦;𝑘=2 =
4
Operando tenemos las nuevas expresiones:
(𝑥 2 − 1)2 − 16
𝑦𝑦;𝑘=2 =
16
𝑧𝑦;𝑘=2
(𝑥 2 − 1)2 + 16
=
16
Para el caso de yy es posible simplificar
(𝑥 2 − 5)(𝑥 2 + 3)
𝑦𝑦;𝑘=2 =
16
𝑧𝑦;𝑘=2 = 𝑦𝑦;𝑘=2 + 2
Desarrollando los cuadrados se obtienen:
𝑥 2 − 2𝑥 − 15
𝑥 2 − 2𝑥 + 17
𝑝=
∧ 𝑞=
16
16
a
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
b
4
12
24
60
84
144
180
264
420
480
684
840
924
1104
1404
c
5
13
25
61
85
145
181
265
421
481
685
841
925
1105
1405
p
3
35
143
899
1763
5183
8099
17423
44099
57599
116963
176399
213443
304703
492803
q
5
37
145
901
1765
5185
8101
17425
44101
57601
116965
176401
213445
304705
492805
El teorema de Pitágoras
RELACIONES NOTABLES DE TRIANGULOS PARENTALES
𝑥 4 − 2𝑥 2 + 17
16
𝑥 4 − 10𝑥 2 + 25 (𝑥 2 − 5)2
𝑡=
=
16
16
Se puede establecer una serie de relaciones
entre dos triángulos parentales, en función del
cateto menor x y la diferencia pitagórica k.
𝑤=
Debido a que dependiendo del grado y
magnitud del cateto mayor y, este determina un
único o múltiples triángulos parentales para el
triángulo rectángulo ∆ABC, es decir pueden
existir muchos triángulos rectángulos de lados
enteros para ∆BCD.
𝑅1 =
En este acápite sólo estudiaremos el caso más
simple y que consiste en que para todo triángulo
rectángulo de lados enteros para k =1 y su
parental k’ = 2.
Por ser k = 1 se trata de un triángulo irreductible
de cateto menor impar o primo impar, por lo que
el cateto mayor y siempre será múltiplo de 6
según las reglas séxticas.
A continuación, se presentan las fórmulas que
interrelación los diversos elementos del
triángulo pitagórico y su parental.
Para k =1 y k’ = 2
𝑥−1
2
𝑦 − 2 𝑥2 − 5
𝑅2 =
=
2
4
𝑥 2 + 2𝑥 − 7
𝑅2 + 𝑅1 =
4
𝑥 2 − 2𝑥 − 3
𝑅2 − 𝑅1 =
4
𝑥 4 − 6𝑥 2 − 8𝑥 + 29
𝑂𝑂′ = √
8
También se desprende por T. de Pitágoras que:
𝑂𝑂′ = √(𝑅2 + 𝑅1 )2 + (𝑅2 + 𝑅1 )2
COROLARIO
Si x es un numero primo impar entonces
(𝑥 2 − 5)2 es múltiplo de 16.
EJERCICIO
Demostrar que si x es un numero primo impar,
entonces 𝑥 2 − 5, es múltiplo de 4
Solución:
Del corolario del valor de t en las fórmulas de
relación de triángulos parentales se cumple que
(𝑥 2 −5)
Si: 𝑥 → 2𝑛 + 1
𝑥2 − 1
𝑦=
2
𝑥2 + 1
𝑧=
2
𝑥 4 − 2𝑥 2 − 15
𝑣=
16
16
2
; por tanto
2
𝑥 2 −5
4
. En conclusión, se
cumple que: 𝑥 − 5 = 4𝑛.
Nota: también es posible demostrarlo de forma
algebraica considerando x = 2n + 1
Ruben Darío Muñoz López
CONJETURAS DERIVADAS DEL TEOREMA GENERATRIZ
La cantidad de ternas pitagóricas para todo
triángulo rectángulo corresponde a los
siguientes conjuntos:
1) Cuando el cateto menor es primo, conjunto
unitario {1} es decir existe una sola terna;
para k = 1.
Es decir, para todo cateto menor x → primo,
no existe un k primo o número compuesto
mayor que 1 que determine que x, y, z
pertenezcan al conjunto de números enteros
en las siguientes funciones:
𝑦=
x2 −k2
2𝑘
𝑧=
x2 +k2
2𝑘
2) Cuando el cateto menor es producto de 2 y
un factor primo absoluto, conjunto unitario
{2} existe una sola terna para k = 2. Así para
x = 14 solamente existe una terna pitagórica
determinada por k = 2.
3) Si el máximo valor de “k” para una terna orto
pitagórica de cateto menor par es: k < x/2,
caso contrario el triángulo es transverso.
4) El máximo valor “k” para una terna orto
pitagórica de cateto menor impar es: k < x/3,
caso contrario el triángulo es transverso.
5) Según los divisores de la forma 22, 23, 24….
2n-1 para catetos menores de la forma 2n = (4,
8, 16, 32... Etc.) según lo indicado en (3)
caso contrario el triángulo es transverso.
6) Para cateto menor producto de dos factores
primos absolutos, cantidad de factores
primos del cateto menor más uno. Así para
15 existen tres ternas pitagóricas.
7) Para potencias perfectas de la forma xn,
existirán valores k = x, x2, … xn-1. Así para
81=34 existirá terna para k = 3, k = 9, k = 27.
8) La cantidad máxima de ternas pitagóricas no
nulas de cateto menor par corresponde a la
cantidad de divisores enteros de 2p2/k, donde
“2p” corresponde al cateto menor.
9) La cantidad máxima de ternas pitagóricas no
nulas de cateto menor impar corresponde a
la cantidad de divisores enteros de p2/k,
donde “p” corresponde al cateto menor.
Todas estas consideraciones se observan en las
siguientes cribas en las que se puede
desprender:
❖ Todos los pares tiene k = 2
❖ La diagonal amarilla es una secuencia
ordenada de todos los números pares. Y que
marca el límite de “k” para la obtención de
ternas pitagóricas que cumplen la condición:
z>y>x
❖ Los números en rojo son los “k” transversos,
es decir que: z > x > y, el lado menor se
trasforma en lado mayor en la terna
pitagórica.
❖ El producto de primos por 2 no cumplen para
k = 4; Los múltiplos de (4) a partir de 8
alternan con el doble de los primos.
(Propiedad importante)
❖ El resto de los valores “k” se corresponde
ordenadamente bajo una estructura
armónica.
❖ Todos los múltiplos de 4 se alternan con
primos
❖ Para k = 5, cumple para todos los múltiplos
de 5.
❖ Para k = 6, cumple para todos los múltiplos
de 6 mayor que 6.
❖ Para k = 8, cumple para todos los múltiplos
de 4 mayores que 8.
❖ Para k = 10, cumple para todos los múltiplos
de 10 mayor que 10.
❖ Para k = 12, cumple para todos los múltiplos
de 12 mayores que 12.
❖ Para k = 16, cumple para todos los múltiplos
de 8 mayores que 16.
❖ Para k = 18, cumple para todos los múltiplos
de 6 mayores que 18.
El teorema de Pitágoras
CRIBA DE RESTO PITAGÓRICO “K” PARA NÚMEROS PARES.
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
6
8
6
8
10
12
14
16
18
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
4
4
4
8
6
4
4
8
6
4
8
12
8
6
4
4
10
14
10
18
8
6
4
16
8
8
12
10
16
6
4
4
18
14
24
20
8
6
32
18
22
8
12
16
18
24
32
36
10
4
8
26
6
4
4
18
8
6
4
8
14
10
16
12
18
8
36
6
34
8
12
16
18
24
32
6
4
10
8
16
12
14
8
6
4
50
48-54
36
38
18
8
26
20
32
18
24
16
10
28
40
36
22
32
18
8
12
16
44
50-54
46
30
18
24
32
50-64
42-56-72
8
6
50
22
8
4
40
14
6
4
30
8
4
4
24
32
18
10
4
20
32
16
6
4
28
36
48-64-72
14
4
8
10
20
40
50
Al igual que para catetos menores primos existen catetos menores pares cuyo k tiene un solo valor; es
decir, existen ternas enteras únicas para cateto menor par en la que k solamente toma el valor de 2, como:
10, 14, 22, 26, etc. que exactamente son el doble de los números primos.
Para orto pitagóricos: 2 ≤ 𝑘 <
N
2
y para ternas transversas:
Por otro lado k solo se ubica en los sextales ω2, ω4 y ω6.
N
2
< 𝑘 < N y para ternas nulas k = N.
Ruben Darío Muñoz López
CRIBA DE RESTO PITAGÓRICO “k” PARA NÚMEROS IMPARES.
33
1
1
55
1
71
1
93
1
115
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
(3)
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
(5)
(7)
3
(9)
(11)
(13)
3
5
9
(15)
(17)
(19)
3
7
9
(21)
5
3
9
3
9
5
3
3
11
7
25
9
5
13
9
15
25
27
7
3
9
5
17
11
3
3
7
19
9
21
5
27
13
3
3
25
9
9
5
23
9
7
3
15
25
45
49
11
9
27
5
17
3
25
9
29
7
3
13
49
9
31
5
19
3
9
11
Para valores primos impares existe un solo valor k = 1
Para orto pitagóricos
N
3
49
25
<𝑘<N
25
27
33
81
El teorema de Pitágoras
VALOR DE “k” PARA TERNAS ORTO PITAGÓRICAS
El máximo valor de k para cateto menor impar
está definido por una asíntota que contiene a
todos los números que atraviesan la tabla en un
alineamiento diagonal que se inicia en 1 y se
incrementa en la serie natural de números
𝑥
impares de la forma 2n + 1 e igual a 3 para
todos los múltiplos impares de 3.
En la tabla anterior se ha resaltado con fondo
𝑥
amarillo dichos números: 𝑥 ≤ 3. Por eso se
puede afirmar con certeza que el mayor valor de
“k” lo define w3, pues la asíntota mencionada
corresponde a todos los múltiplos impares de 3.
x
3
9
15
21
27
33
81
k
1
3
5
7
9
11
27
El valor de “k” son todos los divisores de x y
todos los cuadrados de los divisores de x,
menores que “x”. Si “x” es cuadrado perfecto,
el máximo valor de “k” es su raíz cuadrada. Y
si xn el máximo valor de “k” es xn-1
DETERMINAR POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS SI UN NÚMERO ES PRIMO.
Para determinar si un número p > 6 es primo
utilizando el teorema de Pitágoras, se puede
seguir la siguiente regla:
❖ Si p no es múltiplo de 2 (termina en par o en
cero), 3 (suma de cifras múltiplo de 3) ó 5
(termina en 5).
❖ Multiplicar el número p por 2 y si “2p” no
termina en cero y no es divisible entre 6.
❖ Sumar y restar 2 unidades a dicho número:
se obtienen los números: (2p - 2) y (2p + 2)
❖ Aplicar el teorema de ternas pitagóricas para
k = 4 a los números. Si cumple para (2p - 2)
y (2p + 2) y no cumple para 2p. Entonces el
número “p” es primo un 99.9%.
❖ El número 4 y 6 tiene relación con los
números primos ya que si “x” es el doble de
un número primo, “k” es diferente de 4.
∀ 𝑝 ∧ 𝑞 ∈ Ζ+
Sea: q = 2p
̅̅̅ ∧ 𝐵 = ̅̅̅
𝐴 = 𝑎𝑏
𝑐𝑑
̅̅̅
̅̅
𝐶 = 𝑏𝑐 ∧ 𝐷 = ̅̅
𝑎𝑑
𝐿 = ̅̅̅
𝑎𝑐
𝐵 𝐿
𝐵𝑛
= →ℎ=
ℎ 𝑛
𝐿
𝐴 𝐿
𝐴𝑚
= →ℎ=
ℎ 𝑚
𝐿
𝐵𝑛 𝐴𝑚
=
⇒ 𝑏𝑛 = 𝑎𝑚
𝐿
𝐿
𝐵 𝑚
=
𝐴 𝑛
Los únicos triángulos rectángulos que cumplen
con dicha condición son 6, 8, 10 y 8, 15, 17 que
tienen a 8 como lado común.
Si 𝑞 ≠ 6𝑛 ó 10𝑛
Terna [2𝑝 − 2, 2𝑝; 2𝑝 + 2]
Si: 𝑡 =
Si: 𝑡 =
(2𝑝−2)2 −42
2(4)
(2𝑝+2)2 −42
2(4)
→ ∃; ∴ 𝑡 𝜖 𝑁
→ ∃; ∴ 𝑡 𝜖 𝑁
⇒ 𝑃 puede ser primo
EJERCICIO:
Dados los triángulos rectángulos de lados
enteros
más
pequeños,
donde
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐿 ∈ 𝑁; hallar n, m y h, si B > A
𝐴+𝐵 𝑛+𝑚
17 𝑚
=
⇒
=
𝐴
𝑛
6
𝑛
21 8
16
= →𝑛=
= 2,285714
6
𝑛
7
40
𝑚=
= 5,714285
7
30
ℎ=
= 4.28574
7
Ruben Darío Muñoz López
QUINEPLAS PITAGÓRICAS
La asignación de Registro de Memoria en informática por ejemplo en un
proceso de 8 bits utiliza operaciones modulares en operaciones con números
grandes o la criptografía en vez de operaciones aritméticas. Así
111111112=255 sumando +1 el valor es “0” es decir 256 = 0.
El teorema de Pitágoras
INTRODUCCIÓN
Tener acceso a la información de cuentas
bancarias, seguro social o tarjetas de identidad
de Alguien, así como tener el potencial de
suplantarle o tener la capacidad de dañar el
sistema económico y financiero son acciones
muy comunes. Con el desarrollo de la Intelies
ilimitada
no imagino.
,
por ello los sistemas de cifrado utilizan números
primos del orden de 10200.
Veamos: 3992003 = 1997 x 1999, son
productos fáciles de encontrar con una simple
calculadora, basta dividir 3992003 entre los
números primos iguales o menores que su raíz
cuadrada.
Esta
es
aproximadamente
1997.99975… siempre y cuando no se disponga
de la función de descomposición primal; en este
caso la búsqueda, en una computadora común,
no dura más de 7 segundos.
A modo de dar una idea sobre el tiempo que
implica, ingresar un número de 10400 en una
computadora, requiere de cerca de 20 minutos,
suponiendo que se tiene buena vista y excelente
concentración para no equivocarse en el
proceso, por que revisar el orden de los números
es más laborioso que volverlos a ingresar.
Las calculadoras modernas por alguna razón
preconcebida sólo permiten mostrar como
máximo 12 cifras, escondiendo el resto en
forma de notación científica, algo oportuno para
ahorrar memoria en el aparato y disuadir a los
intrépidos de intentar descomponer números
primos grandes, y si esto no es suficiente
siempre existirá el over flow o Math error.
Dejando de lado esos detalles, pues ahora sólo
faltaría realizar la división de dicho número
entre aproximadamente 1080 veces de divisiones
sucesivas entre todos los primos menores que la
raíz cuadra de dicho número, es decir es un 1
seguido de 80 ceros. Calculando 8 segundos por
cada división suponemos que se tiene el número
en memoria para no volverlo a ingresar en cada
división. Se requería de muchas personas
trabajando por Generaciones. Suponiendo que
se tenga un software capaz de enlistar las cifras
a medida que se calcula.
QUINEPLAS DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Algunas series de números parecen
completamente aleatorias, pero son el resultado
de relaciones geométricas perfectamente
establecidas como resultante de los triángulos
pitagóricos parentales.
Ejemplo: 5 – 12 – 13 – 35- 37
A continuación, se presentan complejas
progresiones de cinco términos, originadas en
cateto menor primo de Ternas pitagóricas.
x
3
5
7
11
13
y
4
12
24
60
84
QUINEPLAS
PRODUCTO Q
z
y'= t z' = s x + t
x y z y' z'
5
3
5
6
900
13
35
37
40
1010100
25
143 145 150
87087000
61
899 901 910
32610559740
85
1763 1765 1776 288827529900
Tomando dos quineplas y multiplicando sus
respectivos productos Q:
Producto 𝑄5 : 5 × 12 × 13 × 35 × 37
QUINEPLAS DE TRIÁNGULOS
PARENTALES
𝑄5 = 1010100
Producto 𝑄13 : 13 × 84 × 85 × 1763 × 1765
𝑄13 = 288827529900
Ruben Darío Muñoz López
𝑄5 × 𝑄13 = 2,9174468795 𝐸 + 17
Así que, si el problema se complejiza para
valores de x pequeños, cuanto más descomunal
resultaría para valores primos de x del orden de
las centenas, millares o decenas de millares sin
ir muy lejos. Como los componentes de las
Quineplas a pesar de ser aleatorios están
completamente establecidos por una regla de
“Composición” es evidente que se establecería
la correspondencia biunívoca de Primos
generadores y de Clave generada, la cual es un
polinomio de 13 avo grado.
Así que si resulta difícil descomponer en
factores primos un número inmenso; imagínese
cuanto más difícil será descomponer el
producto de dos Quineplas, considerando que la
descomposición factorial es a su vez diferente
de las Quineplas como por ejemplo para el
cateto Q5 cuyos factores son:
Sea el cateto menor x:
22 × 3 × 52 × 7 × 13 × 37 = 1010100
5
12
13
2
2
x 𝑥 −1 𝑥 +1
2
2
35
𝑥 − 2𝑥 2 − 15
16
4
37
𝑥 − 2𝑥 2 + 17
16
4
(𝑥 2 − 5)(𝑥 2 + 3)
16
Otro procedimiento útil para generar claves, por
ejemplo, en las tarjetas de crédito, esta vez a
nivel “usuario”; en las que estas poseen un
número de cuatro dígitos, por tanto, las claves a
utilizar sin correr el riesgo de olvidarlas, pero a
su vez hacer difícil la decifración por algún
extraño podrían ser una cualquiera de la lista
siguiente, utilizando el mismo ejemplo anterior
para la Quineplas de cateto primo 5:
1213 – 1235 – 1237 – 1312 – 1335 – 1337 – 3512 – 3513 – 3537- 3712 – 3713 – 3735.
Optándose por elegir un favorito, basado en la
posición de un de los lados del triángulo, por
ejemplo, siempre optaría por el primero, el
segundo etc. Así que mi generador de claves no
guardaría la posición solamente el propietario
subjetivamente tendría presente que su clave es
generado por el triángulo pitagórico 5 – 12 - 13
y su clave corresponde por decir al quinto
número de la serie es decir 1335, que
corresponde a una posibilidad entre 12.
Aunque no lo parezca, todas son sucesiones
establecidas perfectamente. Como puede
apreciarse a simple vista las Quineplas parecen
números al azar, sin embargo, responden a
reglas formales establecidas por relaciones
pitagóricas.
El teorema de Pitágoras
GENERACIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS
POR OTROS METODOS
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
IDENTIDADES DE LEGENDRE
POR FACTORIZACIÓN
BINOMIO DE NEWTON
POR DIFERENCIA DE CUADRADOS
POR SUCESIÓN DE CUADRADOS
POR SUCESIÓN DE CUBOS
POR SUCESIONES COMPUESTAS
DIFERENCIA DE POTENCIAS
POR NÚMEROS CONSECUTIVOS
POR DESCOMPOSICIÓN ADITIVA
MÉTODO GRÁFICO – TANGENTES
MÉTODO GRAFICO – CIRCUNFERENCIAS
POR TABLAS
TERNAS AXILES
TERNAS PITAGÓRICAS SIN UTILIZAR POTENCIAS
OTROS CASOS
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR IDENTIDADES DE LEGENDRE
Se sabe que, el desarrollo del cuadrado de un binomio (suma o diferencia) determina un trinomio
cuadrado perfecto:
➢ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
➢ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
➢ (a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 - b2 + 2abi = (a+b)(a-b) + 2abi
➢ (a + b)2 (a - b)2 = (a2 - b2)2
Operandolas aritmeticamente se derivan las denominadas Identidades de Legendre, cuya estructura
permite la GENERACIÓN de TP, siempre y cuando a – b ≠ 0.
SUMANDO LOS CUADRADOS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DEL BINOMIO.
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
Cuando: 2(a2 + b2) es cuadrado perfecto, se
obtienen ternas pitagóricas enteras. En el
cuadro adjunto se presentan algunos cuadrados
que cumplen el teorema de Pitágoras.
a
7
17
14
31
23
21
b
1
7
2
17
7
3
(a+b) 2
64
576
256
2304
900
576
(a-b) 2
36
100
144
196
256
324
2(a 2 +b 2 )
100
676
400
2500
1156
900
LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DEL BINOMIO.
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Cuando: 4ab es cuadrado perfecto, se obtienen
ternas pitagóricas enteras. Trasponiendo
terminos, disponiendo en forma semejante a la
expresion Pitagorica.
(a + b)2
a
4
8
9
9
12
16
16
= 4ab + (a - b)2
b
(a+b) 2
(a-b) 2
1
25
9
2
100
36
1
100
64
4
169
25
3
225
81
4
400
144
9
625
49
4ab
16
64
36
144
144
256
576
Cuando a es igual a b, evidentemente (a-b)2 =
0, por lo cual descartamos dicho valor.
Opteniendo sólo las siguientes ternas:
172 = 82 + 15 2 → 172 = 43 + 152
102 = 82 + 62
→ 102 = 43 + 62
Ejemplo:
Considerando el cubo perfecto 63 = 216:
4ab = 216 → ab = 54, Cuyos factores son:
1 x 54; 2 x 27; 3 x 18; 6 x 9.
Cuando a = b : Evidentemente (a - b)2 = 0.
Por lo cual descartamos cualquier valor que
Ejemplo:
Considerando el cuadro perfecto 82, tenemos:
4ab = 64 → ab = 16, cuyos factores son:
comprometa dicha relacion. Opteniendo sólo
las siguientes ternas:
552 = 63 + 532
1 x 16; 2 x 8; 4 x 4.
292 = 63 + 252
212 = 63 + 152
El teorema de Pitágoras
152 = 63 + 32
Conociendo previamente una potencia perfecta
de la forma 4ab, es posible determinar una TP.
Dicha potencia debera ser necesariamente
divisible entre 4, donde:
Pero los valores obtenidos con las diversas
expresiones se conjugan simplemente en una
potencia entera de todo par de la forma (2m), es
decir que basta con elaborar una hoja de cálculo
con el cuadrado de todos los números pares, y
estos arrojaran todas las potencias perfectas de
los números pares.
z = a + b; x = 4ab; y = a – b.
Donde se cumplirá: z2 = xn + y2
(𝑎 + 𝑏)2 4𝑎𝑏 (𝑎 − 𝑏)2
= ↓ =
↓
↓
2
𝑛
2
𝑦
𝑥
𝑧
Resolviendo
determinamos:
2m
(2m) 2
(2m) 3
(2m) 4
(2m) 5
2
4
8
16
32
4
16
64
256
1024
6
36
216
1296
7776
8
64
512
4096
32768
𝑧−𝑦
10
100
1000
10000
100000
2
12
144
1728
20736
248832
14
196
2744
38416
537824
16
256
4096
65536
1048576
18
324
5832
104976
1889568
ecuaciones
𝑎=
𝑧+𝑦
2
∧ 𝑏=
simultaneas
Así mismo 4ab es par por tanto es de la forma
general: 4ab = (2m)n
Despejando ab, tenemos: ab=2n-2mn
Donde m y n son cualquier número natural.
El siguiente cuadro ejemplifica lo antes dicho.
0
1
2
3
1
22
𝑚
2
No existe ternas enteras
m2
Ternas para todo cuadrado
de m
Ternas para todo duplo del
2m3
4
22m4
5
23m5
…
…
n
Ternas enteras para todo m
par
cubo de m
2n-2mn Ternas infinitas.
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR FACTORIZACIÓN
Como: 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 > 0 ∧ 𝑦 = 𝑥 + 𝑞
𝑧 = 𝑦 + 1 ∨ 𝑧 = (𝑥 + 𝑞) + 1
diferencia de lo expresado en la Ec. Gral. que
permite encontrar todas las ternas posibles,
incluyendo las ternas transversas. Es decir, TP
de la forma: z > y > x ó z > x > y
Reemplazando en el TP
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = [(𝑥 + 𝑞) + 1]2
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = (𝑥 + 𝑞)2 + 2(𝑥 + 𝑞) + 12
𝑥 2 = 2𝑥 + 2𝑞 + 1
𝑥 2 − 2𝑥 − (2𝑞 + 1) = 0
Haciendo: −𝑎 × 𝑏 = 2𝑞 + 1 ∧ 𝑏 − 𝑎 = −2
Factorizando
𝑥2
− 2𝑥 − (2𝑘 + 1) = 0
𝑥
−𝑎
− 𝑥𝑎
𝑥
𝑏
𝑥𝑏
−2𝑥
Entonces: −𝑎𝑏 = −(2𝑘 + 1)
𝑎𝑏 − 1
𝑘=
2
La solución positiva de la ecuación:
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 0
Luego: a = (3, 5, 7, 9 … x)
b = a – 2 = (1, 3, 5, 7 … a-2)
3
5
7
9
11
13
15
1
3
5
7
9
11
13
𝒒=
y=x+q
z=y+1
97
15
112
113
15
15
36
39
15
15
20
25
15
15
8
17
15
13
𝑞=
Si a = b + 1 (a ˄ b son dos números sucesivos)
Cateto menor
x = a + b ó a2 - b2
Ejemplo: Para todo a = 2n +1 y b = a - 2 se
tiene y como: a y b deben ser impares para
poder operarse dentro del conjunto Z+.
b
x
b
Por otro lado, el método harto conocido en que
en toda terna pitagórica los lados de un triángulo
rectángulo pueden descomponerse en dos
componentes según las siguientes expresiones:
⇒𝑥 =𝑎 ∧ 𝑏 =𝑎−2
a
𝑎𝑏 − 1
2
a
Cateto mayor
y = 2ab
Hipotenusa
z = a2 + b2 ó 2ab +1
En la que el cateto menor es un número impar,
Y en general se observa que el cateto menor está
formado por la sucesión de todos los números
naturales impares: (2𝑎 + 1)
El cateto mayor es el doble producto de dos
números sucesivos: 2𝑎(𝑎 + 1) = (2𝑎2 + 2𝑎)
𝒂𝒃 − 𝟏
𝟐
x
y=x+q
z=y+1
1
7
17
31
49
71
97
3
5
7
9
11
13
15
4
12
24
40
60
84
112
5
13
25
41
61
85
113
Pero, la última terna: 15 - 112 - 113 a diferencia
de las anteriores, no es la única para el cateto x
= 15; comparte la propiedad pitagórica con las
siguientes ternas, debido a que k = 1, 3, 5 y 9.
Este método permite obtener ternas pitagóricas
cuando la hipotenusa excede al cateto mayor en
k=1; además: a = b + 2. Sin embargo, el método
no abarca el desarrollo de todas las ternas, a
La hipotenusa igual al cateto mayor más uno
resultando un trinomio cuadrado de segundo
grado: (2𝑎2 + 2𝑎 + 1)
𝑎2 + (𝑎 + 1)2 = 𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎 + 1
𝑎2 + (𝑎 + 1)2 = 2𝑎2 + 2𝑎 + 1
Concuerda con la forma polinomial general de
generación de ternas pitagóricas para un resto
pitagórico k=1. En consecuencia, se puede
formar ternas pitagóricas a partir de la sucesión
natural de números naturales. Y para el caso de
números pares tal como se demostró:
(2𝑎)
(𝑎2 − 1)
(𝑎2 + 1)
Nota: Este método se consigna ilustrativamente
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS POR EL BINOMIO DE NEWTON
Este método bastante ingenioso, está basado en
una relación sextal de suma de números
consecutivos: 𝑎 + (𝑎 + 1) = (2𝑎 + 1)
Se cumple que todo cuadrado de un binomio es
un trinomio cuadrado perfecto de la forma:
(𝑎 + 1)2 = 𝑎2 + (2𝑎 + 1)
2
2
Se cumple que (𝑎 + 1) = 𝑎 + 𝐼
Donde 𝐼 2 = 2𝑎 + 1
que no resulta complicado ya que el menor de
dichos números es la mitad por defecto del
cuadro del impar. Luego se cambia el orden de
los números trasladando tal como se ve en el
siguiente cuadro. Finalmente se colocan los
exponentes cuadráticos.
4+5=9
42 + 9 = 52
42 + 32 = 52
2
2a + 1 es la representación general de un impar,
y en algunos casos será una potencia impar.
Basta con conocer la potencia impar de un
número impar para determinar el valor de una
TP de k = 1, según la siguiente expresión:
12 + 13 = 25
122 + 25 = 132
122 + 52 = 132
Ejemplo ilustrativo
24 +25 = 49
242 + 49 = 252
242 + 72 = 252
Potencia impar I
2a + 1
Cuya raíz se
extrae fácilmente
9
3
25
5
49
7
81
9
121
11
𝒂=
𝐼−1
2
4
12
24
40
60
b=a+1
5
13
25
41
61
La obtención de TP por este método incluso es
mucho más sencilla, basta tomar un cuadrado
impar, restarle 1 y luego dividirlo entre 2, para
hallar su mitad por defecto; a este valor sumarle
1 que es su consecutivo superior. Hemos
obtenido el cateto mayor e hipotenusa
respectivamente; siendo la raíz del Cuadrado
impar el cateto menor.
𝐼2 − 1
→ 𝑦;
2
𝑦 + 1 → 𝑧;
√𝐼 2 → 𝑥
40 + 41 = 81
402 + 81 = 412
402 + 92 = 412
Este método se puede extender a potencias de
orden superior, ejemplo de ternas pitagóricas de
orden superior por el método del binomio de
Newton:
13 + 14 = 27
132 + 27 = 142
132 + 33 = 142
62 + 63 = 125
622 + 125 = 632
622 + 53 = 632
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
312 + 313 = 625
3122 + 625 = 3132
3122 + 54 = 3132
Ejemplo de ternas pitagóricas por el método del
binomio de Newton: Incluso el método aún se
puede simplificar más, se escriben son
consecutivos que suman un cuadro impar, algo
665 + 666 = 1331
6652 + 1331 = 6662
6652 + 113 = 6662
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR DIFERENCIA DE CUADRADOS
𝑥𝑛 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥𝑛 = 𝑧2 − 𝑦2
𝑥 𝑛 = (𝑧 − 𝑦)(𝑧 + 𝑦)
solución a dos ecuaciones simultaneas. Cuyas
soluciones son:
𝑎+𝑏
𝑧=
2
𝑎−𝑏
𝑦=
2
𝑎 =𝑧−𝑦
𝑏 =𝑧+𝑦
𝑥 𝑛 = 𝑎𝑏
Ejemplo: 5 x 125 = 625 → 54 + 602 = 652
Es suficiente encontrar dos factores cuyo
producto sea una potencia perfecta, y plantear la
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIÓN DE CUADRADOS
Dada la sucesión de cuadrados de números naturales y basados en el principio que la diferencia de dos
cuadrados consecutivos de dicha sucesión es un número impar, entre ellos potencias perfectas de
números impares
1
4
9
3
5
16
7
25
9
36
11
49
13
64
15
Por tanto, en algunos casos la diferencia de dos elementos consecutivos es una potencia de la
forma x2 cuya expresión es 2a + 1
Sea: (a+1)2 – a2 = 2a + 1; Despejando a
en función de x:
𝑥2 − 1
𝑎=
2
Ejemplo:
25 – 16 = 9
25 = 9 + 16
52 = 32 + 42
Como ya se estará pensando, los números impares no sólo contienen cuadrados, contienen a todas las
potencias impares de los números impares.
Sea: (a+1)n – a2 = 2a + 1; Despejando a
en función de x:
𝑎=
𝑥𝑛 − 1
2
Ejemplo:
Para x = 133
10992 = 133 + 10982
Pero este método no está restringido a una tupla de potencias perfectas, una extensión del método cuando
la diferencia es cualquier número, con el siguiente ejemplo:
49 – 36 = 13
72 = 13 +62
Multiplicando por 132 toda la expresión
132(72 = 13 +62)
912 = 133 + 782
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIÓN DE CUBOS
Un caso similar, aunque no tan general está dado por la sucesión de cubos de números naturales, basados
en el principio de que dichas potencias en algunos casos tienen una diferencia cuyo valor es una potencia
perfecta
3
3
3
3
4
37
3
5
61
3
6
91
3
7
127
3
8
169
9
3
𝑛(𝑛+1) 2
𝑎 =(
2
)
217
Siguiendo el mismo procedimiento anterior se tiene la terna: 29 = 73 + 132
Y para generalizar el caso se toma una diferencia de cubos y se multiplica convenientemente por la
potencia cubica de su diferencia, obteniendo de esta manera ternas de potencias, similarmente a la
realizada para el segundo ejemplo del caso anterior.
Así que para: 23 y 33 se obtiene, 573 = 194 + 383
CONCLUSIÓN
En general se podrá extender este método para diferencias de cualquier tipo de potencia.
Es decir, dada una diferencia de potencias “n”: zn – yn = k; Ordenado y multiplicando toda la
expresión convenientemente por una kn, se obtiene una terna de la forma:
(kz)n = kn+1 + (ky)n.
Evidentemente siempre existirá una potencia par, es decir si: n = 2m, caso contrario n = 2m + 1 seria
par. Esto se constituye en un adelanto a lo estipulado por la conjetura de Beal, sobre la paridad de los
exponentes de las ternas de la forma:
x a + yb = z c
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIONES COMPUESTAS
Dada las sucesiones compuestas que pueden descomponerse en TP.
Ejemplo para:
𝑁8 = 8 ⨁ 11
𝑁1 = 1 ⨁ 4 = 5
𝑁2 = 2 ⨁ 5 = 12
𝑁3 = 3 ⨁ 6 = 21
𝑁4 = 4 ⨁ 7 = 32
𝑁5 = 5 ⨁ 8 = 45
𝑁6 = 6 ⨁ 9 = 60
𝑁7 = 7 ⨁ 10 = 77
𝑁8 = 8 ⨁ 11 = 96
Si se cumple para: 𝑁𝑎 = 𝑎 ⨁ 𝑏
𝑁1 = 1 + 𝑎
𝑁2 = 2 + (𝑎 + 1) + (1 + 𝑎) = 2𝑎 + 4
𝑁3 = 3 + (𝑎 + 2) + (2𝑎 + 4) = 3𝑎 + 9
𝑁4 = 4 + (𝑎 + 3) + (3𝑎 + 9) = 4𝑎 + 16
𝑁5 = 5 + (𝑎 + 4) + (4𝑎 + 16) = 5𝑎 + 25
𝑁6 = 6 + (𝑎 + 5) + (5𝑎 + 25) = 6𝑎 + 36
…
…
…
𝑁𝑛 = 𝑛 + (𝑎 + (𝑛 − 1)) + ((𝑛 − 1)𝑎 + (𝑛 − 1)2 )
𝑁𝑛 = 𝑛𝑎 + 𝑛2
Analizando las operaciones, resulta una sucesión cuya operación subsiguiente, es la suma de los
términos más la suma anterior o el producto de los términos más la suma del primer término, según la
siguiente formula:
𝑁8 = 8 ⨁11 = 8(4) + 82 = 96
Si: n = a y Nn fuese una potencia obtendríamos una expresión pitagórica.
𝑁𝑛 = 𝑛𝑎 + 𝑛2 → 𝑧 𝑝 = 𝑛2 + 𝑛2
Ejemplos:
Si: 𝑁1 = 1 ⨁ 4 para N4 tenemos: 25 = 42 + 42
Si: 𝑁1 = 1 ⨁ 8 para N8 tenemos: 27 = 82 + 82
Si: 𝑁1 = 1 ⨁ 16 para N16 tenemos: 29 = 162 + 162
Si: 𝑁1 = 1 ⨁ 54 para N54 tenemos: 183 = 542 + 542
El teorema de Pitágoras
DIFERENCIA DE POTENCIAS
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 1
(a + 1)2 − a2 = 2𝑎 + 1
Pero, 𝟐𝒂 + 𝟏 puede ser una potencia cualquiera
de números impares.
3(2𝑎 + 1) 6𝑎 + 3 𝑤3
=
=
= 𝑤1,3,5
3
3
3
Además, convirtiendo a sextales tenemos:
Por teoría de sextales, en w1, w3 están todas las Entonces existen trinomios de la forma:
potencias perfectas pares e impares de dichos
z 2 = 𝑤1𝑛ó 3 + y 2 ó z 2 = 𝑤52𝑛 + y 2
sextales, y en w5 se ubican solamente las
potencias pares de w5. Ahora:
b
a
b2
a2
2a+1
sí: 2𝑎 + 1 = 𝑤1𝑛ó 3
5
4
25
16
9
13
14
25
41
61
63
85
122
(a + 1)2 − a2 = 𝑤1𝑛ó 3
(a + 1)2 = 𝑤1𝑛ó 3 + a2
sí : 2𝑎 + 1 = 𝑤52𝑛
(a + 1)2 − a2 = 𝑤52𝑛
(a + 1)2 = 𝑤52𝑛 + a2
12
13
24
40
60
62
84
121
169
196
625
1681
3721
3969
7225
14884
144
169
576
1600
3600
3844
7056
14641
25
27
49
81
121
125
169
243
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 2
Entonces: 22 (𝑎 + 1), es una potencia de la
(a + 2)2 − a2 = 4(𝑎 + 1)) → 2𝑛+2
sí: 𝑎 + 1 = 2𝑛
forma 2𝑛+2
También
(a + 2)2 − a2 = 22 (𝑎 + 1)
sí: 𝑎 + 1 = 𝑁 2
Ordenando
el
trinomio
tomando
consideración lo antes dicho tenemos:
(a + 2)2 = 2𝑛+2 + a2 ó (a + 2)2
= (2𝑁)2 + a2
Ahora sí:
𝑛
4(𝑎 + 1) = 𝑤2,4
ó
𝑛
(a + 1)2 − a2 = 𝑤2,4
ó6
𝑛
2
(a + 1)2 = 𝑤2,4
ó6 + a
Entonces existen trinomios de la forma:
z 2 = 2𝑛+2 + y 2
ó z 2 = (2𝑁)2 + y 2
𝑛
2
Es decir: z 2 = 𝑤2,4
ó6 + y
Entonces: (2𝑁)2 es una potencia de cuadrada
de todos los números pares
en
b
2
3
5
9
10
17
26
37
a
0
1
3
7
8
15
24
35
b2
4
9
25
81
100
289
676
1369
a2
0
1
9
49
64
225
576
1225
4(a+1)
4
8
16
32
36
64
100
144
En la tabla solo se muestran potencias de 2
b
3
5
9
17
a
1
3
7
15
b2
9
25
81
289
a2
1
9
49
225
2 2(n+1)
8
16
32
64
Ruben Darío Muñoz López
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 3
2
2
(a + 3) − a = 6𝑎 + 9 →
𝑤3𝑛
z 2 = 𝑤3𝑛 + y 2
b
6
15
42
123
a
3
12
39
120
b2
36
225
1764
15129
a2
9
144
1521
14400
3n
27
81
243
729
Algunos ejemplos en el que las potencias se han desarrollado para mostrar el origen de las ternas
(a + 3)2 = (𝟔𝒂 + 𝟗) + a2
𝑎 → 39: 422 = 243 + 392
𝑎 → 3:
62 = 27 + 32
𝑎 → 72:
752 = 441 + 722
𝑎 → 12:
152 = 81 + 122
𝑎 → 120:
1232 = 729 + 1202
𝑎 → 36:
392 = 225 + 362
𝑎 → 180:
1832 = 1089 + 1802
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 4
(a + 4)2 − a2 = 8𝑎 + 16
(a + 4)2 = (8𝑎 + 16) + a2
Si: (𝑎 + 2) = 8𝑛 ⇒ (a + 4)2 = 8𝑛+1 + a2
Si: (8𝑎 + 16) es una potencia cualquiera.
(a + 4)2 = (8𝑎 + 16) − a2
Algunos ejemplos en el que las potencias se han desarrollado para mostrar el origen de las ternas
(a + 4)2 = (𝟖𝒂 + 𝟏𝟔) + a2
𝑎 → 30: 342 = 256 + 302
𝑎 → 6:
102 = 64 + 62
𝑎 → 62:
662 = 512 + 622
742 = 576 + 702
𝑎 → 16:
202 = 144 + 162
𝑎 → 70:
𝑎 → 25:
292 = 216 + 252
𝑎 → 123:
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 5
(a + 5)2 − a2 = 10𝑎 + 25 → 5(2𝑎 + 5)
1272 = 576 + 1232
Si, (2𝑎 + 5) = 5𝑛 ⇒ (a + 5)2 = 5𝑛+1 + a2
Si: (10𝑎 + 25) es una potencia cualquiera.
Algunos ejemplos en el que las potencias se han desarrollado para mostrar el origen de las ternas
(a + 5)2 = (𝟏𝟎𝒂 + 𝟐𝟓) + a2
𝑎 → 60: 652 = 625 + 602
𝑎 → 10:
152 = 125 + 102
𝑎 → 120:
1252 = 1225 + 1202
𝑎 → 20:
252 = 225 + 202
𝑎 → 200:
2052 = 2025 + 2002
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 6
(a + 6)2 − a2 = 12𝑎 + 36 → 12(𝑎 + 3)
(a + 6)2 − a2 = 12𝑛+1
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = 7
(a + 7)2 − a2 = 14𝑎 + 49 → 7(2𝑎 + 7)
(a + 7)2 − a2 = 7𝑛+1
DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS d = k
(a + k)2 − a2 = 2𝑘𝑎 + 𝑘 2 → 𝑘(2𝑎 + 𝑘)
(a + k)2 − a2 = 𝑘 𝑛+1
Si, (𝑎 + 3) = 12𝑛 es una potencia cualquiera de
12.
Si, (2𝑎 + 7) = 7𝑛 es una potencia cualquiera
de 7.
Si, (2𝑎 + 𝑘) = 𝑘 𝑛 es una potencia cualquiera
de k.
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS POR NÚMEROS CONSECUTIVOS
Una forma básica de hallar ternas pitagóricas enteras es
operando con dos números naturales consecutivos n y n + 1.
En la que la hipotenusa es la suma de los cuadrados de dos
números naturales consecutivos, el cateto mayor es el doble
producto de los números consecutivos y el cateto menor es la
diferencia de los cuadrados de los números consecutivos,
tomando el valor absoluto, en las operaciones.
Si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
La hipotenusa es la suma de los cuadrados de dos números consecutivos
𝑧 = (𝑛 + 1)2 + 𝑛2
El cateto menor es la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos
𝑥 = (𝑛 + 1)2 − 𝑛2
El cateto mayor es el doble producto de dos números consecutivos.
𝑦 = 2𝑛(𝑛 + 1)
CUADRADO DE LOS LADOS DEL TRIANGULO
Cuadrado de la hipotenusa
𝑧 2 = 𝑛4 + 2𝑛2 (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 1)4
Cuadrado del cateto menor
𝑥 2 = 𝑛4 − 2𝑛2 (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 1)4
Cuadrado del cateto mayor
𝑦 2 = 4𝑛4 (𝑛 + 1)2
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR DESCOMPOSICIÓN ADITIVA
El método para determinar ternas pitagóricas de números enteros por descomposición aditiva consiste
en determinar tres números naturales a, b, c > 0; tal que la hipotenusa de una terna pitagórica es la suma
de dichos números, es decir z = a + b + c.
Para todo: 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0; se cumple que: (𝑎 + 𝑐)2 + (𝑏 + 𝑐)2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
Donde:
El valor del cateto menor es:
𝑥 = 𝑎+𝑐
El valor del cateto mayor es:
𝑦 =𝑏+𝑐
El valor de la hipotenusa:
𝑧 = 𝑎+𝑏+𝑐
Tal que:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
Como consecuencia de la definición de diferencia pitagórica, entonces: 𝑘 = 𝑎
DEMOSTRACIONES Y DETERMINACIÓN DE LAS FORMULAS
Desarrollando el cuadrado de cada termino
𝑥 2 = (𝑎 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑐 + 𝑐 2
𝑦 2 = (𝑏 + 𝑐)2 = 𝑏 2 + 2𝑏𝑐 + 𝑐 2
𝑧 2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
Igualando términos en: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑎2 + 2𝑎𝑐 + 𝑐 2 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑐 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
𝑐 2 = 2𝑎𝑏
Por tanto, el cuadrado de c es igual al doble producto de dos números naturales. Un análisis simple
determina que a, b y c deben cumplir ciertas condiciones.
1. El valor de c es par
2. Para a = k = 1, b debe ser la mitad de un cuadrado perfecto
3. Para a = k = 2, b debe ser un cuarto de un cuadrado perfecto.
De estas conclusiones se puede construir las siguientes tablas pitagóricas de números enteros.
𝑥 = 𝑎 + 𝑐 → 𝑎 + 2𝑎𝑏
𝑦 = 𝑏 + 𝑐 → 𝑏 + 2𝑎𝑏
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏
𝑘=𝑎
Si se mantiene constante a, se tiene que b y c son función de a y el conjunto de números pares, tal que:
𝑏=
𝑛2
4
∧ 𝑐 = 2√𝑏
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGORICAS POR DESCOMPOSICION ADITIVA PARA k = 1
n
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
b = n 2 /2 c = (2b) 1/2
2
2
8
4
18
6
32
8
50
10
72
12
98
14
128
16
162
18
200
20
242
22
288
24
338
26
392
28
x= a+c
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
y=b+c
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
312
364
420
z =a+b+c
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
313
365
421
k=a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
TERNAS PITAGORICAS POR DESCOMPOSICION ADITIVA PARA k = 2
n
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b = n 2 /4 c = (4b) 1/2
1
2
4
4
9
6
16
8
25
10
36
12
49
14
64
16
81
18
100
20
121
22
144
24
169
26
196
28
x= a+c
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
y=b+c
3
8
15
24
35
48
63
80
99
120
143
168
195
224
z =a+b+c
5
10
17
26
37
50
65
82
101
122
145
170
197
226
k=a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS DEFINIDAS POR DIVISOR
Si bien este método puede considerarse como una forma más de generar ternas pitagóricas, este método
en si muestra el comportamiento y la relación entre el cateto menor y La diferencia pitagórica k, así
como la implicancia del cumplimiento de los criterios de divisibilidad que debe ser de cumplimiento
obligatorio. submúltiplo del cateto menor.
𝑎
𝑎
⟹𝑏=
𝑏
𝑛
𝑎 𝑎(𝑛 + 1)
𝑥 =𝑎+𝑏 =𝑎+ =
𝑛
𝑛
𝑎 𝑎(𝑛 + 2) 𝑎
=
+
𝑛
2
𝑛
𝑎𝑛(𝑛 + 2) + 2𝑎
𝑧=
2𝑛
Pero (n+1)/n no existe dentro del conjunto de
𝑎𝑛(𝑛 + 2) + 2𝑎 𝑎(𝑛 + 2)
−
números enteros a menos que n=1 en este caso 𝑧 − 𝑦 = 𝑘 =
2𝑛
2
x=2a. Caso contrario a es múltiplo de n
𝑎(𝑛+2)
Pero: 𝑦 = 2
𝑥 =𝑎+𝑏 ∧ 𝑛 =
𝑧 = 𝑦+𝑏 = 𝑦+
Considerando la diferencia pitagórica k = b.
𝑘=
𝑦=
(𝑎 + 𝑏)2 − 𝑏 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏
=
2𝑏
2𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 𝑎2 + 2𝑎 ⁄𝑛 𝑎(𝑛 + 2)
𝑦=
=
=
2𝑎⁄
2𝑏
2
𝑛
𝑎𝑛(𝑛 + 2) + 2𝑎 − 𝑎𝑛(𝑛 + 2)
2𝑛
𝑎
𝑘= ⟹𝑘=𝑏
𝑛
Como se puede apreciar el valor de k debe ser
submúltiplo de a y por supuesto del cateto menor.
a
2
4
6
8
10
12
14
b
1
1
1
1
1
1
1
n
2
4
6
8
10
12
14
x
3
5
7
9
11
13
15
y
4
12
24
40
60
84
112
z
5
13
25
41
61
85
113
a
2
4
6
8
10
12
14
b
2
2
2
2
2
2
2
n
1
2
3
4
5
6
7
x
4
6
8
10
12
14
16
y
3
8
15
24
35
48
63
z
5
10
17
26
37
50
65
a
6
12
18
24
30
36
42
b
3
3
3
3
3
3
3
n
2
4
6
8
10
12
14
x
9
15
21
27
33
39
45
y
12
36
72
120
180
252
336
z
15
39
75
123
183
255
339
a
8
12
16
20
24
28
32
b
4
4
4
4
4
4
4
n
2
3
4
5
6
7
8
x
12
16
20
24
28
32
36
y
16
30
48
70
96
126
160
z
20
34
52
74
100
130
164
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS ENTERAS POR EL MÉTODO DE LAS TANGENTES
En este acápite vamos a desarrollar el método geométrico de construcción de ternas pitagóricas enteras
con regla y compas. La construcción de un triángulo rectángulo de lados enteros con regla y compas
requiere algunos conceptos básicos como:
a) Dos puntos determinan una línea recta.
b) La circunferencia es la entidad matemática cuya fundamental propiedad es: la distancia de cualquier
punto de la circunferencia hacia un punto central es la misma.
c) Es posible trazar paralelas, perpendiculares y determinar puntos centrales de un segmento de recta
por medio de procedimientos gráficos, utilizando tan solo una regla y un compás. Por no tratarse del
tema principal, se sugiere al lector revisar libros especializado de construcciones geométricas con
regla y compas.
CASO GENERAL
Determinar a priori la longitud del cateto menor x; el cual debe ser por supuesto una cantidad entera.
1. Trazar un segmento de recta “AD” con dicha longitud, este vendrá a
ser el cateto menor x.
2. Determinar el valor de La diferencia pitagórica k, esta debe ser un
submúltiplo exacto del cateto menor. 𝑘̇ = 𝑥
3. Marcar el punto “B” a la distancia de k del punto “A”
4. Con centro en “B” y “D” trazar dos arcos de circunferencia con una
radio relativamente mayor a la mitad del segmento “BD”. Unir los
puntos de intersección de los arcos, determinando de esta forma el
punto central “C” del segmento de recta “BD”.
5. Trazar la circunferencia de radio “BD” con centro en el punto “C”
6. con centro en el punto de intersección "F" trazar otra circunferencia
con radio "CF"
7. Unir con un segmento los puntos "A" y "F"
Ruben Darío Muñoz López
8. Aplicando el mismo método del paso "5" determinar el punto medio
"G" del segmento "AF"
9. Unir con un segmento de recta el punto de intersección de las
circunferencias "H" con el punto "A"
10. proyectar una perpendicular desde el punto "D" del segmento de
recta "AD"
11. Prolongar los segmentos de recta "AH" y la perpendicular que parte
del punto "D" hasta que se intercepten en el punto "P".
Quedando gráficamente establecido el triángulo rectángulo de lados
enteros cuyos valores son:
12. Para todo x, nuero entero se cumple que el cateto mayor y la
hipotenusa está dada por las siguientes expresiones:
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
2𝑘
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
CASO PARTICULAR k =1
En este caso, considerar la distancia k =1 y el segmento x debe ser un numero entero impar. Por ello
basta con seguir los pasos descritos anteriormente con la salvedad siguiente.
1. El cateto menor debe ser un número impar de la forma 2n + 1 mayor o igual a 3
2. El valor de la diferencia pitagórica es k = 1
3. Seguir todos los pasos subsiguientes hasta determinar las ternas pitagóricas.
4. Las ternas corresponden siempre a casos irreductibles.
CASO PARTICULAR k = 2
En este caso, considerar la distancia k =2 y el segmento x debe ser un numero entero par. Por ello basta
con seguir los pasos descritos anteriormente con la salvedad siguiente.
1. El cateto menor debe ser un número par de la forma 2n mayor o igual a 4.
2. El valor de la diferencia pitagórica es k = 2
3. Seguir todos los pasos subsiguientes hasta determinar las ternas pitagóricas.
4. Las ternas corresponden en algunos casos a ternas reductibles.
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS POR EL MÉTODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS
La construcción geométrica de ternas pitagóricas enteras por el método de la circunferencia es bastante
sencilla, y sirve para determinar TP primas cuando el cateto menor es un numero primo mayor que 2 o
un número impar para k=1
Todos estos métodos están basados en el principio de que los lados de un triángulo entero están
estructurados aritméticamente, es decir las ternas pitagóricas se construyen por diferencias aritméticas
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR TABLAS
La distribución de la sucesión natural en tres columnas a, b, c tal como se muestra en la tabla adjunta,
permite establecer relaciones lineales que determinan ternas pitagóricas de números enteros. En la
primera columna “a” se acomodan todos los números impares, en la segunda columna quedan los
números pares y en la tercera columna vuelve a consignarse la serie de números impares iniciada en 3.
La disposición de las ternas está distribuida en filas que incrementan su posición en una unidad. Es decir,
fila 1, fila 3, fila 6, fila 10, etc. Siendo la subsiguiente fila la correspondiente a la sumatoria de la serie
natural es decir n (n - 1) / 2. Este método genera ternas de cateto menor impar.
Las Ternas pitagóricas quedan establecidas de la siguiente manera:
➢ La hipotenusa es la suma de la segunda y tercera columna:
➢ El cateto mayor es la suma de la primera y tercera columna:
➢ El cateto menor es igual a la raíz cuadrada de la suma de x e y:
a
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
b
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
c
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
z = b + c)
y = a + c)
x = (y + z)1/2
x = (y+z) 1/2
3
y=a+c
4
z=b+c
5
x2 =y +z
9
5
12
13
25
7
24
25
49
9
40
41
81
11
60
61
121
Las posiciones intermedias entre filas generan ternas de cateto menor de tipo Real, como por ejemplo
para 3, 4, 5 corresponde la terna √17, 8, 9.
En la tabla subsiguiente se consignan algunas ternas pitagóricas generadas por tres números
consecutivos, a los que denominaremos consecutivos de Tartaglia, en honor al gran matemático italiano
cuyo nombre original era Nicolo Fontana, y como consecuencia de encontrarse dentro de algunas
disposiciones ordenadas del famoso triangulo numérico de Tartaglia. Este concepto es aplicable a
ordenamientos que inicien en número diferente a 1 y que cumplen similares propiedades.
¿CURIOSIDADES NUMÉRICAS…?
Utilizando el concepto sobre generación de ternas en base a tablas surge otra inquietante curiosidad.
a
1
19
55
109
181
271
b
2
20
56
110
182
272
c
3
21
57
111
183
273
4
22
58
112
184
274
5
23
59
113
185
275
6
24
60
114
186
276
666
x = (y+z) 1/2
3
9
15
21
27
33
y=a+c
4
40
112
220
364
544
z=b+c
5
41
113
221
365
545
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS POR CONSECUTIVOS DE TARTAGLIA
a
b
c
y=a+c
z=b+c
x = (y+z) 1/2
x2 =y +z
1
2
3
3
4
5
9
5
6
7
5
12
13
25
11
12
13
7
24
25
49
19
20
21
9
40
41
81
29
30
31
11
60
61
121
41
42
43
13
84
85
169
55
56
57
15
112
113
225
71
72
73
17
144
145
289
Es evidente que las ternas pueden depender solamente de a ya que b = a +1 y c = a + 2.
Así tenemos que: z = 2a + 3; y = 2(a + 1) y x = (4a + 5)1/2 donde “a” es un consecutivo de Tartaglia y
que siguen un ciclo sextal 11, 55, 115, 191, 295, 415, 551, 715 ...
DEMOSTRACIONES
El conjunto de los números 𝑎 = {1, 5, 11, 19, 29, 41, … , 𝑛} que pertenecen a la primera columna “a”
presentan una secuencia que corresponde al doble de cada término sumando el anterior.
1
5
11
19
29
41
+4
+6
+8
+10
+12
2(2)
2(3)
2(4)
2(5)
2(6)
…
p
2(n)
Esto permite establecer una sucesión de números de diferencia aritmética progresiva para el “n
esimo” término de la forma: 𝑎𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛)
Y como bn y cn son consecutivos, los términos “n esimo” correspondientemente serán:
𝑏𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛) + 1
𝑐𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛) + 2
Ruben Darío Muñoz López
𝑎1 = 𝑎
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑎2 = 𝑎 + 2(2)
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑎3 = 𝑎 + 2(2) + 2(3)
Para la hipotenusa “z”
𝑎4 = 𝑎 + 2(2) + 2(3) + 2(4)
𝑧 = 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛
…
𝑧 = 𝑛(𝑛 + 1) + 𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑎𝑛 = 𝑎 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛)
𝒛 = 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏) + 𝟏
Pero a = 1, entonces:
Para el cateto mayor “y”
𝑎𝑛 = 1 + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(𝑛)
𝑎𝑛 = 1 + 2(2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛)
Agregando y restando una unidad a la
sumatoria
𝑎𝑛 = 1 + 2(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 − 1)
𝑦 = 𝑎𝑛 + 𝑐𝑛
𝑦 = 𝑛(𝑛 + 1) − 1 + 𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝒚 = 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)
Para el cateto menor “x”
Sabemos que el cateto menor es igual a:
𝑥2 = 𝑦 + 𝑧
Expresando la sumatoria como fórmula.
𝑛(𝑛 + 1)
𝑎𝑛 = 1 + 2 (
− 1)
2
𝑥 2 = 2𝑛(𝑛 + 1) + 2𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑥 2 = 4𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑥 = √4𝑛(𝑛 + 1) + 1 → “Cuadrado perfeto”
Determinando de este modo los tres
números consecutivos a, b, c en función de Definiendo las relaciones en función de Sn
que es la sumatoria de la serie natural para
la sumatoria de la serie natural.
un término enésimo.
𝑎 = 𝑛(𝑛 + 1) − 1
𝑛
𝑏𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
𝑐𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) + 1
𝑛(𝑛 + 1)
⇒ 2𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑧 = 4𝑆𝑛 + 1
𝑆𝑛 =
Ahora estamos en condiciones de definir la 𝑦 = 4𝑆𝑛
relación pitagórica basada en tres números 𝑥 = √8𝑆𝑛 + 1 → “Cuadrado perfecto”
consecutivos de Tartaglia.
Quedando demostrado en todos sus términos lo afirmado y como consecuencia de lo estudiado,
se desprende el siguiente corolario.
COROLARIO
El óctuplo de la suma de la serie natural más uno es un cuadrado perfecto.
El teorema de Pitágoras
CORRELACIÓN DE LA SUMA DE LA SUCESIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y EL
CUADRADO DE LOS NÚMEROS IMPARES
Efectivamente si Sn es la sumatoria de la sucesión natural, 8Sn +1 es un cuadrado perfecto.
8 (Sn) + 1 = b2
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8 (1) + 1 = 9
8 (1 + 2) + 1 = 25
8 (1 + 2 + 3) + 1 = 49
8 (1 + 2 + 3 + 4) + 1 = 81
8 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 1 = 121
...
...
8 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + n) + 1 = b2
También es posible establecer que la
expresión 8Sn +1 tal que Sn es la sumatoria de
los n primeros números naturales es un
cuadrado perfecto de un cuadrado impar.
Existe una distribución modular en cada etapa
del desarrollo, como es evidente la serie
natural presenta una distribución sextal cíclica
desde w6 para cero. La sumatoria natural cada
12 términos repite un ciclo, en la que no
aparecen los sextales II y V; lo que implica
que jamás existirá una potencia impar de 2 ni
ninguna potencia de 5. Lo cual es verificable
por las propiedades estudiadas en el capítulo
sobre potencia de sextales.
La expresión 8Sn +1 tiene una distribución
cíclica para tres términos, y en la que no
aparece el sextal impar V por lo cual no
existirá jamás una potencia impar de 5.
Sn
0
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
8Sn +1
1
9
25
49
81
121
169
225
289
361
441
Donde: S n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
nα
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Sα
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
0
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
105
120
8 Sα + 1
1
9
25
49
81
121
169
225
289
361
441
529
625
729
841
961
1
3
0
4
3
3
4
0
3
1
0
0
1
3
0
Raiz cuadrada
3
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
1
Ejercicio: Si la sumatoria de los 18 primeros números naturales es igual a 𝑆18 =
sumatoria de los 8 primeros números naturales es igual a 𝑆8 =
172 −1
8
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
3
5
1
3
5
1
3
5
1
3
5
1
3
5
1
372 −1
8
hallar “b” para 𝑆3 =
y la
𝑏 2 −1
8
Ruben Darío Muñoz López
ANÁLISIS FINAL Y CONCLUSIÓN
Como se desprende de la demostración para x > 2, dados tres números consecutivos de Tartaglia se
cumple que:
𝑧 = 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 → 𝒛 = 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏) + 𝟏
𝑦 = 𝑎𝑛 + 𝑐𝑛 → 𝑦 = 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝑥 2 = 𝑦 + 𝑧 → 𝑥 = √4𝑛(𝑛 + 1) + 1
Tal que decir 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Expresando las fórmulas en función de Sn que es la sumatoria de la serie natural tal que:
𝑆𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
Se tiene:
𝑧 = 4𝑆𝑛 + 1
𝑦 = 4𝑆𝑛
𝑥 = √8𝑆𝑛 + 1 → “Cuadrado perfecto”
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS POR PRODUCTO DE DOS CONSECUTIVOS
Antes de las explicaciones se deja el siguiente
reto.
RETO:
Dados dos números consecutivos a y b,
demostrar que existen ternas pitagóricas enteras
para un número n = a + b tal que el valor menor
de la tupla pitagórica x = ab
2
2
Y se cumple que: 𝑥 + 𝑦 = 𝑧
Donde: 𝑦 =
𝑎2 𝑏2 − 4
4
Y además: 𝑥 =
∧ 𝑧=
(𝑎+𝑏)2 −1
4
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1+3+5+7+9
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
= 12
= 22
= 32
= 42
= 52
= 62
En consecuencia, todo cuadrado de un número
natural es igual a la sumatoria de los n primeros
números naturales impares, dicho de otro modo,
la sumatoria de la serie de números naturales
impares es igual a un cuadrado entero positivo.
2
𝑎2 𝑏2 + 4
4
= 𝑎𝑏
𝑆 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 𝑚 = 𝑛2
Tal que: 𝑛 = 1, 2, 3, … , 𝑚. Por tanto, la
expresión general del cuadrado de un numero
natural es: 𝑛2 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 𝑚
Nota: n es la posición relativa del impar
por tanto si se quiere en posición absoluta
de la secuencia de números naturales se
debe usar otra fórmula.
EJEMPLO:
Si a = 5 y b = 6
𝑥 = 𝑎𝑏 = (5)(6) = 𝟑𝟎
EJEMPLO:
Para hallar la suma de los cuatro primeros
números impares: 1 + 3 + 5 + 7 en función del
último número conocido.
𝑎 2 𝑏 2 − 4 52 6 2 − 4
=
= 𝟐𝟐𝟒
4
4
𝑎 2 𝑏 2 + 4 52 6 2 + 4
𝑧=
=
= 𝟐𝟐𝟔
4
4
302 + 2242 = 2262
𝑦=
Por último se verifica que: 𝑥 =
(5+6)2 −1
4
= 30
SUMATORIA DE NÚMEROS IMPARES
La sumatoria de la sucesión de números impares
es igual a n2 donde n > 0 es la posición relativa
del último término y representa cualquier
número natural.
1.- Secuencia de números impares:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …
2.- Sumatorias parciales:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …
3.- Expresión cuadrática de sumatorias:
12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , 72 , 82 , 92 , … 𝑛2
Aplicando la siguiente fórmula, considerando
que m = 7 que es el último valor impar.
(𝑚 + 1)2 (7 + 1)2
=
= 42 = 16
4
4
EJERCICIO
Determinar la suma de los números impares
existentes en la serie: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 17.
17 + 1 2
(
) = 92
2
Ahora vamos a ver como determinar mediante
sumatorias la suma de números pares
conociendo la sumatoria del subsiguiente
número impar. Para esto restamos la sumatoria
total de la serie natural menos la sumatoria de
los impares.
Ruben Darío Muñoz López
SUMATORIA DE NÚMEROS PARES
La sumatoria de los números pares también
determina una serie: 2, 6, 12, 20, 30, …
2
2+4
2+4+6
2+4+6+8
2 + 4 + 6 + 8 + 10
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
=2
=6
= 12
= 20
= 30
= 42
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛+1 2
− (
)
2
2
2𝑛(𝑛 + 1) (𝑛 + 1)2
−
4
4
(𝑛 + 1)(2𝑛 − (𝑛 + 1))
4
(𝑛 + 1)(𝑛 − 1) 𝑛2 − 1
=
4
4
Claro está que como el número n es el último
valor del impar, el par seria n – 1, es decir para
calcular la sumatoria de números pares
conociendo el valor de dicho par se debe
calcular la sumatoria en función del
subsiguiente número impar.
Sumatoria de números pares conociendo el
valor del ultimo par m.
(𝑚 + 1)2 − 1 𝑚(𝑚 + 2)
=
4
4
Evidentemente la sumatoria será par, por tanto
siempre existirán ternas pitagóricas para k = 2.
A continuación se desarrollarán algunas
expresiones para la determinación de ternas
pitagóricas enteras según las fórmulas
obtenidas.
TERNAS PITAGÓRICAS PARA n IMPAR
Utilizando las expresiones halladas se pueden
determinar ciertas expresiones algebraicas para
la determinación de ternas pitagóricas.
𝑛2 − 1
𝑥=
∧ 𝑘=2
4
𝑛4 − 2𝑛2 − 63 (𝑛2 − 9)(𝑛2 + 7)
𝑦=
=
64
82
4
2
𝑛 − 2𝑛 + 193
𝑧=
82
n
1+2=
2+3=
3+4=
4+5=
5+6=
6+7=
7+8=
3
5
7
9
11
13
15
x
1x 2=
2x 3=
3x 4=
4x 5=
5x 6=
6x 7=
7x 8=
2
6
12
20
30
42
56
y
0
8
35
99
224
440
783
z
2
10
37
101
226
442
785
El conjunto de los catetos menores es por tanto:
𝑥 = {6, 12, 20, 30, 42, … }. Los elementos de
este conjunto se ajustan a la propiedad para todo
m ≥ 0, 𝑥 = (𝑚 + 1)(𝑚 + 2); es decir el
producto de dos números consecutivos ab tal
que b = a + 1. Obsérvese además el
comportamiento de n y x que son la suma y el
producto respetivamente de dos números
consecutivos, tal como se supuso en el “reto” al
inicio de este acápite.
Para k = 2
𝑎4 + 2𝑎3 + 𝑎2 − 4
𝑦=
4
(𝑎 + 2)(𝑎3 + 𝑎 − 2)
𝑦=
4
𝑎4 + 2𝑎3 + 𝑎2 + 4
𝑧=
4
También se pueden obtener ternas para k = a y
k = a + 1 por ser factores de x.
Para k = a
𝑥 = 𝑎(𝑎 + 1)
𝑎2 (𝑎 + 1)2 − 𝑎2 𝑎2 (𝑎 + 2)
𝑦=
=
2𝑎
2
𝑎2 (𝑎 + 1)2 + 𝑎2
𝑎(𝑎2 + 2𝑎 + 2)
𝑧=
=
2𝑎
2
Para k = a + 1
𝑥 = 𝑎(𝑎 + 1)
𝑦=
𝑎2 (𝑎 + 1)2 − (𝑎 + 1)2
2(𝑎 + 1)
(𝑎 + 1)(𝑎2 − 1) (𝑎 + 1)2 (𝑎 − 1)
=
2
2
2 (𝑎
2
2
𝑎
+ 1) + (𝑎 + 1)
𝑧=
2(𝑎 + 1)
𝑦=
𝑧=
(𝑎 + 1)(𝑎2 + 1)
2
El teorema de Pitágoras
CUADRADO DE NÚMEROS IMPARES
Serie natural
Suma acumulada
:
:
1
1
(1)
Si:
S = 1 + 2 + 3 +...+ m
Entonces:
8S + 1 = (2n + 1)2
EJERCICIO
Si
s = 1 + 2 + 3 +...+ n
2
3
3
6
4
10
(2)
8 (1) + 1
8 (3) + 1
8 (6) + 1
8 (10) + 1
8 (15) + 1
8 (21) + 1
8 (28) + 1
8 (36) + 1
8 (45) + 1
...
8 (s) + 1
5
15
(3)
6
21
7
28
=9
= 25
= 49
= 81
= 121
= 169
= 225
= 289
= 361
32
52
72
92
112
132
152
172
192
=
(2m + 1)2
y 2 = z2 - x 2
z2 = 8 (s + 2) + 1
y2 = 8(s + 2) + 1 - (8(s) + 1)
x2 = 8 (s) + 1
y2 = 8s + 16 + 1 - 8s - 1
Hallar el valor de y, si se cumple que:
y2 = 16, entonces y = 4
x 2 + y2 = z 2
EJERCICIO
Si
s = 1 + 2 + 3 +...+ n
y 2 = z2 - x 2
z2 = 8(s + 18) + 1
y2 = 8(s + 18) + 1 - (8(s) + 1)
x2 = 8(s) + 1
y2 = 8s + 144 + 1 - 8s - 1
Hallar el valor de y, si se cumple que
x 2 + y2 = z 2
8
36
y2 = 144, entonces y = 12
9
45
Ruben Darío Muñoz López
NÚMEROS PRIMOS DE LA FORMA 4s + 1
Si: s = 1 + 2 + 3 +...+ m
2
2
x +y =z
Finalmente: P = 59
2
x2 = 8s + 1,
Entonces y = 4s y z = 4s + 1 para k = 1, implica
que 4s + 1 puede ser un número primo.
4 (1) + 1
4 (3) + 1
=5
= 13
4 (6) + 1
=
4 (10) + 1
= 41
4 (15) + 1
4 (21) + 1
= 61
=
4 (28) + 1
= 113
4 (36) + 1
=
4 (45) + 1
= 181
EJERCICIO
Dada la terna 8, 15, 17 cuál es la expresión para
8 en función de a se tiene que:
17 = 4a + 1
15 = 4a – 1
SOLUCIÓN
Resolviendo ambas ecuaciones lineales se tiene
que a = 4, por tanto:
17 = 4 (4) + 1
15 = 4 (4) - 1
Obsérvese que 8 es el cateto menor de la terna.
Aplicando las formulas generales para ternas
pitagóricas enteras tanto para el cateto mayor y
la hipotenusa se tiene que:
EJERCICIO
Si P1, P2 y P3 son números primos de la forma:
4s + 1, tal que s1, s2 y s3 son sumatorias de la
serie natural.
Hallar el menor número primo P = P1 + P2 + P3
si se cumple que:
P1 = 4s1 + 1
P2 = 4s2 + 1
P3 = 4S3 + 1
SOLUCIÓN
Como consecuencia del estudio de las ternas
pitagóricas de números enteros, se sabe que
cuando el cateto menor es impar y la diferencia
entre la hipotenusa y el cateto mayor es 1, la
hipotenusa es de la forma 4s + 1,
𝑥2 − 4
4
𝑥2 + 4
𝑧 = 4𝑎 + 1 =
4
𝑦 = 4𝑎 − 1 =
16𝑎 − 4 = 𝑥 2 − 4
16𝑎 = 𝑥 2 ⇒ 𝑥 = 4√𝑎
16𝑎 + 4 = 𝑥 2 + 4
16𝑎 = 𝑥 2 ⇒ 𝑥 = 4√𝑎
Ambas expresiones coinciden determinando
que: 𝑥 = 4√𝑎 y como a = 4 finalmente tenemos
que:
8 = 2(4)
Para s = 1 + 2 + 3 +...+ n.
Así mismo la hipotenusa casi siempre es un
número primo; por tanto, es simple verificar
que:
4 (1) + 1
4 (1+2) + 1
4 (1+2+3+4) + 1
=5
= 13
= 41
El teorema de Pitágoras
TERNAS AXILES POR CUADRADOS PERFECTOS
Son aquellas ternas pitagóricas (x, y, z) de la
forma 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) − 𝑎, 𝑔(𝑥) + 𝑎 en la que el
cateto menor también es polinomio de variable
entera. El cateto mayor y la hipotenusa
presentan una estructura polinomial simetrizada
muy semejante, es decir se asemejan en su
composición y cumplen el teorema de Pitágoras
en Z+.
[𝑓(𝑥)]2 + [𝑔(𝑥) − 𝑎]2 = [𝑔(𝑥) + 𝑎]2
n
4
9
16
25
36
49
64
81
x
4
6
8
10
12
14
16
18
y=n- 1
3
8
15
24
35
48
63
80
z=n+1
5
10
17
26
37
50
65
82
La demostración está basada en disponer una
estructura simetrizada para el cateto mayor y la
hipotenusa, luego se aplica las fórmulas
generales de generación de ternas pitagóricas o
aplicando el teorema de Pitágoras para
determinar el cateto menor. En este caso se
aplica lo segundo.
Un caso más general es considerar un elemento
diferencial a > 1.
Para: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑧 =𝑥+𝑎
𝑥 → 2√𝑥 ∧ 𝑘 = 2
𝑦 =𝑥−1
𝑧 =𝑥+1
COMPROBACIÓN:
Para: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑥 → 2√𝑎𝑥 ∧ 𝑘 = 2𝑎
𝑦 =𝑥−𝑎
COMPROBACIÓN:
(2√𝑎𝑥)2 + (𝑥 − 𝑎)2 = (𝑥 + 𝑎)2
4𝑎𝑥 + (𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 1) = (𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 1)
𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 1
(2√𝑥)2 + (𝑥 − 1)2 = (𝑥 + 1)2
4𝑥 + (𝑥 2 − 2x + 1) = (𝑥 2 + 2x + 1)
𝑥 2 + 2x + 1 = 𝑥 2 + 2x + 1
Para x cuadrado perfecto se tendrán ternas
enteras.
Así que es suficiente que ax sea un cuadrado
perfecto para obtener ternas pitagóricas enteras
simetrizadas. En el siguiente ejemplo se tiene
para a = 2.
n
2
8
18
32
x
4
8
12
16
y=n- 2
0
6
16
30
z=n+2
4
10
20
34
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS SIN UTILIZAR POTENCIAS
Las operaciones aritméticas entre los elementos constitutivos de las ternas pitagóricas de números
enteros permiten correlacionar un conjunto de ternas ordenadas. Así tenemos que las ternas de cateto
menor impar generadas por x = 2n+1 cuya diferencia pitagórica es k = 1, tales como: 3, 4, 5 ó 5, 12, 13
y las subsiguientes se pueden determinar aplicando el siguiente método en las que no se utilizan las
operaciones de potencia o raíz. Así tenemos que conociendo una terna de cateto menor impar x1 , y1 , z1
la siguiente terna de cateto impar x2 , y2 , z2 está determinada por:
𝑥2 = 𝑥1 + 2
𝑦2 = 𝑧1 + 2𝑥1 + 1
𝑧2 = 𝑧1 + 2𝑥1 + 2
Ejemplo:
De la terna (a) para x=5 y z = 13 se obtienen las
ternas para (b)
7=5+2
25 = 2(5) +13 + 2 y
24 = 2(5) +13 + 1
𝟓2 + 122 = 132 … (𝑎)
72 + 242 = 252 . . . (𝑏)
En la tabla subsiguiente se aprecia que la suma del cateto menor y la hipotenusa de una terna pitagórica
x1 , y1 , z1 es igual a la diferencia de la hipotenusa y cateto menor de la terna subsiguiente x2 , y2 , z2 .
Este sistema podría ser conocido como el método de
generación de ternas de cateto menor impar por el
método del serrucho de la suma y diferencia de cateto
menor e hipotenusa.
Cateto
menor
PRIMO
Cateto
mayor
Hipotenusa
Suma y diferencia
cateto menor e
hipotenusa
xn
Yn
Zn
z+x
z-x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
312
364
420
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
313
365
421
8
18
32
50
72
98
128
162
200
242
288
338
392
450
2
8
18
32
50
72
98
128
162
200
242
288
338
392
DEMOSTRACIONES
Sean las ternas pitagóricas para k=1
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22
Se cumple que: 𝑥2 = 𝑥1 + 2
Desprendiéndose del comportamiento de
la suma y diferencia alternada
𝑧1 + 𝑥1 = 𝑔 . . . (1)
𝑧2 − 𝑥2 = 𝑔 . . . (2)
Igualando (1) y (2) se cumple que:
𝑧1 − 𝑧2 + 𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑧1 − 𝑧2 + 𝑥1 + 𝑥1 + 2 = 0
𝑧1 − 𝑧2 + 2𝑥1 + 2 = 0
𝑧2 = 2𝑥1 + 𝑧1 + 2
Como: 𝑧2 − 𝑦2 = 1
𝑦2 = 2𝑥1 + 𝑧1 + 1
Es interesante mencionar que las ternas coloreadas en rojo son ternas irreductibles que contienen dos
primos a la vez, tanto para cateto menor como para hipotenusa.
El teorema de Pitágoras
TERNAS ESPECIALES
CATETO POR SEMISUMA
La terna pitagórica 28, 21, 35 posee una
propiedad interesante; 28 es igual a la semi
suma de 21 y 35, es decir 28 = (21 + 35) / 2.
Quepa la pregunta forzosa: ¿es la única terna
que posee esta propiedad?
282 + 212 = 352
28 =
21 + 35
2
Pues no. Vamos a demostrar que existen
infinitas ternas que comparten esta propiedad y
son todas aquellas, que son múltiplos de la terna
primitiva transversa 4, 3, 5.
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 . . . (1)
𝑥=
𝑦+𝑧
. . . (2)
2
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
La suma de estas expresiones es:
𝑥2
𝑦+𝑧 =
𝑘
Dividiendo entre 2 ambos miembros:
𝑦 + 𝑧 𝑥2
=
2
2𝑘
Remplazando valores tenemos:
𝑥2
𝑥=
⇒ 𝑥 = 2𝑘
2𝑘
𝑦=
4𝑘 2 − 𝑘 2 3𝑘
⇒
2𝑘
2
𝑧=
4𝑘 2 + 𝑘 2 5𝑘
⇒
2𝑘
2
Ternas tienen la forma siguiente, siempre y
cuando k sea un número par mayor o igual a 2:
2𝑘,
3𝑘 5𝑘
,
↔ 𝑘 > 0 ∧ 𝑘 = 2𝑛
2 2
k
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
4
8
12
16
20
24
28
32
36
y
3
6
9
12
15
18
21
24
27
z
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Es decir, las ternas pitagóricas de números
enteros de la forma a, b, c para todo n natural
es: 4n, 3n, 5n cumplen la propiedad que la semi
suma del cateto de menor valor más la
hipotenusa es igual al cateto mayor.
COROLARIO
Con excepción de la terna primitiva, 4, 3, 5 no
existe ninguna otra terna primitiva en al que la
semi suma del cateto menor más la hipotenusa
sea igual al cateto mayor.
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR DIFERENCIA DE CATETOS
EJERCICIO
¿Podría el lector encontrar otra terna pitagórica
en la que la diferencia de catetos sea 7?
PROCEDIMIENTO
Para determinar ternas pitagóricas por
diferencia de catetos q, se debe especificar
previamente a priori dicha diferencia.
𝑥 2 + (𝑥 + 𝑞)2 = ((𝑥 + 𝑞) + 𝑘)2
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 − 2𝑞𝑘 − 𝑘 2 = 0
La solución es bastante sencilla pues la segunda
terna más conocida es 5 - 12 - 13 que cumple la
condición del problema.
Ahora, ¿podría el lector encontrar otras ternas
pitagóricas en que la diferencia de catetos sea 7?
En realidad, el proceso es sencillo, basta con
aplicar las fórmulas generales de ternas
pitagóricas de números enteros para determinar
la cantidad de ternas que se desee.
Y posteriormente calcular el valor del cateto
menor tabulando para varios valores de la
diferencia pitagórica k.
𝑥 = 𝑘 + √2𝑘 2 + 𝑞𝑘
Por otro lado, para determinar k en función del
cateto menor, entonces asignamos a priori q y
tabulamos para los diversos valores de x.
𝑘 = −(𝑥 + 𝑞) ± √(𝑥 + 𝑞)2 + 𝑥 2
Continuando con el ejemplo para q = 7
𝑥 2 + (𝑥 + 7)2 = ((𝑥 + 7) + 𝑘)2
𝑥 2 = 2𝑘(𝑥 + 7) + 𝑘 2
𝑥 2 − 2𝑘(𝑥 + 7) − 𝑘 2 = 0
𝑘 2 + 2(𝑥 + 7)𝑘 − 𝑥 2 = 0
𝑘 = −(𝑥 + 7) ± √(𝑥 + 7)2 + 𝑥 2 … (1)
Así mismo se puede calcular el valor del cateto
menor en función de la diferencia pitagórica k.
𝑥 2 − 2𝑘(𝑥 + 7) − 𝑘 2 = 0
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 − (14𝑘 + 𝑘 2 ) = 0
Un dato interesante es que en algunas ternas las
diferencias son potencias perfectas, es decir:
𝑧−𝑦 =𝑏
𝑛
∧ 𝑧−𝑥 =𝑐
𝑚
EJERCICIO
Hallar una terna pitagórica cuya diferencia de
catetos sea 7 y la diferencia de la hipotenusa con
los catetos sean cuadrados perfectos.
SOLUCIÓN
La terna: 65, 72, 97; cuyas diferencias con la
hipotenusa son 52 y 25 respectivamente.
A continuación, se va a desarrollar
analíticamente
el
procedimiento
para
determinar ternas pitagóricas de números
enteros positivos para un valor especifico de
resto cateto.
𝑥 = 𝑘 + √2𝑘 2 + 14𝑘 … (2)
k
1
2
7
18
25
56
121
162
343
722
961
x
5
8
21
48
65
140
297
396
833
1748
2325
Δ
1
5
11
7
31
65
41
181
379
239
El teorema de Pitágoras
Aplicando las ecuaciones (1) ó (2) determinamos algunos valores, adjuntos en la tabla adjunta siguiente.
TERNAS ENTERAS CUYA DIFERENCIA DE CATETOS ES 7
x
y=x+7
z
k =z-y
y-x
z-x
5
12
13
1
7
8
8
15
17
2
7
9
21
28
35
7
7
14
48
55
73
18
7
25
65
72
97
25
7
32
140
147
203
56
7
63
297
304
425
121
7
128
396
403
565
162
7
169
833
840
1183
343
7
350
1748
1755
2477
722
7
729
2325
2332
3293
961
7
968
10205
10212
14437
4225
7
4232
13568
13575
19193
5618
7
5625
59496
59503
84145
24642
7
24649
79097
79104
111865
32761
7
32768
346785
346792
490433
143641
7
143648
461028
461035
651997
190962
7
190969
2021228
2021235
2858453
837218
7
837225
2687085
2687092
3800117
1113025
7
1113032
11780597
11780604
16660285
4879681
7
4879688
15661496
15661503
22148705
6487202
7
6487209
La diferencia pitagórica k se calcula por la
fórmula:
𝑘 = √2𝑥 2 + 14𝑥 + 49 − (𝑥 + 7);
que resulta de resolver la ecuación cuadrática
siguiente: 𝑥 2 + (𝑥 + 7)2 = ((𝑥 + 7) + 𝑘)2
𝑘 2 + (2𝑥 + 14)𝑘 − 𝑥 2 = 0
COMPORTAMIENTO DE "x"
16000
La cantidad de estas ternas es infinita, y siempre
existirá, mientras exista un x tal que
√2𝑥 2 + 14𝑥 + 49 sea un cuadrado perfecto. En
la página “Más allá del teorema de Pitágoras”,
T. Furler calculó algunos valores para x
mayores, lo cual se adjunta.
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11
12
13
COMPORTAMIENTO DE "k"
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Es recomendable el uso de una hoja de cálculo
o mejor aún el uso de un programa de cálculo.
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS DE LADOS CONSECUTIVOS.
El triángulo rectángulo universal “3, 4, 5” es un
triángulo pitagórico especial, pues posee varias
propiedades interesantes, entre ellas ser uno de
los pocos triángulos de catetos consecutivos y el
único triangulo rectángulo de lados
consecutivos.
EJERCICIO:
Verificar que solamente existe un triángulo
rectángulo de lados enteros consecutivos.
EN CONCLUSIÓN
Si x es primo, entonces k = 1, por tanto, queda
descartado que exista más ternas de lados
consecutivos,
quedando
solamente
la
posibilidad de determinar ternas pitagóricas de
catetos consecutivos. Pero ya que es posible
establecer que, para cateto menor primo a
excepción de la terna antes mencionada, esta es
la única de cateto primo. Por ello la hipotenusa
entera sólo cumple para el cuadrado de un
trinomio de la forma 2x2 + 2x + 1, para x = 3:
Solución:
Planteando convenientemente el teorema de
Pitágoras: 𝑥 2 + (𝑥 + 1)2 = (𝑥 + 2)2
𝑧 2 = 𝑥 2 + (𝑥 + 1)2
Desarrollando y realizando las simplificaciones
correspondientes.
𝑧 = √2𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝑥 2 + (𝑥 + 1)2 = [(𝑥 + 1) + 1]2
52 = 2(3)2 + 2(3) + 1
2
2
𝑧 2 = 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1
52 = 32 + (3 + 1)2
2
𝑥 + (𝑥 + 1) = (𝑥 + 1) + 2(𝑥 + 1) + 1
𝑥 2 = 2(𝑥 + 1) + 1
𝑥 2 = 2𝑥 + 3
Ordenando: 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
Factorizando: (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⇒ 𝑥 = 3
Resolviendo la ecuación de segundo grado por
el método de completar un cuadrado y como una
ecuación de segundo grado tiene como máximo
dos soluciones reales:
𝑥 2 − 2𝑥 = 3
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 4
(𝑥 − 1)2 = 4
𝑥 − 1 = ±2 ⇒ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −1
En consecuencia, existe una única solución
entera, determinado por el único triángulo
rectángulo entero de lados consecutivos:
3 - 4 - 5.
Verificándose que sólo existe un triángulo
rectángulo de lados consecutivos.
5 = √2(3)2 + 2(3) + 1
Si se toman dos elementos cualesquiera de un
triángulo rectángulo, si existen elementos
consecutivos dos a dos. Así tenemos ternas de
catetos consecutivos y por supuesto ternas de
cateto mayor e hipotenusa consecutivo que fue
el punto de partida para este estudio
concienzudo sobre el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS DE CATETOS CONSECUTIVOS
Con la finalidad de buscar la participación de
algunos matemáticos o aficionados a las
matemáticas, se publicó el reto de encontrar
algunas ternas pitagóricas de números enteros
que cumplan la condición de que los catetos
sean consecutivos. Gracias a algunos
colaboradores y el uso de algoritmos
computacionales, se han encontrado algo más
de una decena de ternas de catetos consecutivos
para triángulos rectángulos.
x
3
20
119
696
x
2
Wa
3
9
3
20
400
2
119
14161
5
696
484416
6
4059
16475481
3
23660
559795600
2
137903
19017237409
5
803760
6.460301376E+11
6
4684659
2.194602995E+13
3
y
y
2
A simple vista, parece que existen muy pocas
ternas pitagóricas de catetos consecutivos.
Wb
4
16
4
21
441
3
120
14400
6
697
485809
1
4060
16483600
4
23661
559842921
3
137904
19017513216
6
803761
6.460317451E+11
1
4
3
4684660
2.194603932E+13
27304196
2
7.455191192E+14
4
3
4
1
6
3
4
1
6
z
5
29
169
985
SOLUCIÓN
Realizando una búsqueda mediante algoritmos
computacionales y verificando el valor del área,
a continuación, se presenta un cuadro con los
valores hallados hasta la décima posición.
RETO
Encontrar al menos otra terna pitagórica de
números enteros que cumpla: x2 + y2 = z2 tal que
y = x + 1. Y que sea diferente a las ternas
presentadas.
x
y = x+ 1
4
21
120
697
z
z
2
W c=a+b
5
25
5
29
841
5
169
28561
1
985
970225
1
5741
32959081
5
33461
1119638521
5
195025
38034750625
1
1136689
1.292061883E+12
1
5
4
6625109
4.389206926E+13
27304197
3
38613965
5
7.455191738E+14
3
1.491038293E+15
1
4
3
6
1
4
3
6
1
k
1
1
8
1
49
1
288
1
1681
1
9800
1
57121
1
332928
1
1940449
1
11309768
Ruben Darío Muñoz López
A continuación, realizaremos un estudio para
comprender mejor el comportamiento de este
tipo de ternas pitagóricas.
Como para un cateto menor x que pertenece al
conjunto de números Z+, corresponde un cateto
mayor y = x + 1 y una hipotenusa z = y + k; con
el valor mínimo k = 1. La terna pitagórica prima
mínima 3 – 4 – 5 es el único triangulo pitagórico
que cumple ambas condiciones de ser de catetos
consecutivos y de lados consecutivos
incluyendo a la hipotenusa, por lo demás
eliminando la restricción de que el cateto mayor
y la hipotenusa se distancien en una unidad.
x
3
20
119
696
4059
23660
137903
803760
4684659
27304196
1E+09
900000000
800000000
700000000
600000000
500000000
400000000
300000000
200000000
100000000
0
159140519
927538920
y = 0,5565 e 1,7748 x
R² = 0,9999
0
5
10
Variación del cateto menor para todo n ϵ N
En conclusión, hallar las ternas de catetos
consecutivos, se hace cada vez más difícil y
requiere mayor cantidad de tiempo de
procesamiento digital para encontrar este tipo
de ternas, a menos que se disponga de un
método analítico.
Para todo 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝜖 𝒁+ se cumple que:
x2 + y2 = z2
Al parecer, la cantidad de ternas de catetos
consecutivos, son infinitas, pero que se
distancian de forma exponencial. Eso significa
que existen aún más, pero, para valores mucho
mayores. Aplicando una regresión exponencial
a los datos x de la tabla adjunta, se observa el
comportamiento del cateto menor que se
aproxima a 𝑥 = 𝟎. 𝟓𝟓𝟔𝟓𝒆𝟏𝟕𝟕𝟒𝟖𝒏 donde “n”
vendría a ser la posición de los siguientes
valores de x. Ahora, podemos estimar el valor
de las subsiguientes ternas que corresponderían
a la décima y undécima posición y estas serían
próximas a: 28 405 449 y 167 566 621.
para todo y = x + 1
Despejando z de las expresiones indicadas, la
hipotenusa corresponde a una expresión
cuadrática.
𝑧 = √2𝑥 2 + 2𝑥 + 1
Por paridades se determina que, para x, par o
impar, en el caso que sea un cuadrado perfecto,
es un número impar, por tanto, el valor de “z” es
impar como, por ejemplo: Para x = 20, z = 292
15
Por otro lado, las ternas siguen un estricto
patrón de distribución sextal ω3, ω2, ω5 y ω6,
empezando desde la terna más pequeña (3, 4, 5)
cuyo cateto pertenece al tercer sextal. Así
mismo la hipotenusa solamente pertenece a los
sextales primos ω1, ω5, por tanto, algunos
valores son primos impares absolutos. Como
puede observarse del patrón no hay ternas
enteras para catetos menor ω1 y ω4. Con
respecto al cateto mayor consecutivo, también
le corresponde una distribución sextal orgánica:
ω4, ω3, ω6 y ω1, por ende, es posible que existan
catetos mayores primos, pero es esto por el
momento una conjetura.
x
ω3
ω2
ω5
ω6
y = x+ 1
ω4
ω3
ω6
ω1
z
ω5
ω5
ω1
ω1
Las primeras ternas, por ejemplo, poseen las propiedades sextales que se adjuntan en la tabla siguiente.
x
33
202
1195
6966
40593
236602
RETO
Sea: x2 + y2 = z2 para todo y = x + 1. Demostrar
que el cuádruplo de le área del triángulo
rectángulo más uno es igual al cuadrado de la
hipotenusa. Considere que: 4A +1 = z2,
SOLUCIÓN
Sea: A el área del triángulo rectángulo, por
tanto: A = x (x + 1) / 2. Reemplazando y
comparando se determina que efectivamente se
cumple lo enunciado.
De lo afirmado se desprende lo siguientes:
1. El único triangulo rectángulo de lados
consecutivos de cateto menor primo está
formado por la terna: 3, 4, 5. En otras
palabras, solo existe una terna de lados
consecutivos de cateto menor primo.
y = x+ 1
44
213
1206
6971
40604
236613
z
55
295
1691
9851
57415
334615
k
11
82 =23
491 = 72
2886= 2 x 122
16811= 412
98002 = 23x52x72
Lee: N
Has x = 3; n = 1
Sub (10)
If: x = 6n+1 ó x = 6n+4
Has: n = n + 1
Sub (20)
y = x + 1; 𝒛 = √𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
If: z entero, imprime x, y, z
Else: Has x= x+1
If: x <= N
Go (20)
Else: End
CONJETURA:
Terry Furler se percató que para 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
donde y=x+1; La diferencia pitagórica cumple
la función: kn= 6kn-1 – kn-2 +2; de este indicio,
utilizando una hoja de cálculo y basado en los
números de “Pell”, se encontró que las ternas
secuenciales hasta la posición 16 y luego de un
salto a las posiciones 18 a 22 cumplen que:
2. El único triangulo rectángulo de catetos
consecutivos de cateto menor primo está
formado por la terna: 3, 4, 5. En otras
palabras, solo existe una terna de catetos
consecutivos de cateto menor primo.
xn= 6xn-1 – xn-2 +2;
yn= 6yn-1 – yn-2 -2;
zn= 6zn-1 – zn-2.
ALGORITMO PARA DETERMINAR
TERNAS DE CATETOS CONSECUTIVOS
Las ternas de las filas 17, 23,24 y 25 al parecer
“no cumplen”, dando pie a esta conjetura,
aunque la razón sea que la cantidad de cifras que
acepta una celda en una hoja de cálculo es 15.
Lee: N
Has x = 3
Sub (10)
y=x+1
𝒛 = √𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
If: z entero, imprime x, y, z
Else: Has x = x + 1
If: x <= N
Go (10)
Else
End
Un algoritmo más eficiente es el siguiente. Como no
existe ternas para x que pertenezcan a ω1 y ω4, en
el proceso computacional, salta los números de la
forma 6n+1 y 6n+4
Si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑦 = 1
/𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑁
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22
𝑥32 + 𝑦32 = 𝑧32
..........
2
2
2
𝑥𝑛−2
+ 𝑦𝑛−2
= 𝑧𝑛−2
2
2
2
𝑥𝑛−1
+ 𝑦𝑛−1
= 𝑧𝑛−1
𝑥𝑛2 + 𝑦𝑛2 = 𝑧𝑛2
En el siguiente cuadro se ha resaltado en las filas de color amarillo, las ternas que aparentemente no
cumple, según la hoja de cálculo utilizada. Quedando pendiente la demostración fehaciente o de que las
hojas de cálculo presentan limitaciones para números mayores a 15 dígitos o que el sistema no cumple
para todas las ternas pitagóricas de lados consecutivos.
N° Terna
x
y
z
CUADRADOS DE x, y, z
CUMPLIMIENTO
1
3
4
5
9
16
25
cumple
2
20
21
29
400
441
841
cumple
3
119
120
169
14161
14400
28561
cumple
4
696
697
985
484416
485809
970225
cumple
5
4,059
4,060
5,741
16475481
16483600
32959081
cumple
6
23,660
23,661
33,461
559795600
559842921 1119638521
cumple
7
137,903
137,904
195,025
19017237409 19017513216 38034750625
cumple
8
803,760
803,761
1,136,689
6.4603E+11 6.46032E+11 1.29206E+12
cumple
9
4,684,659
4,684,660
6,625,109
2.1946E+13
2.1946E+13 4.38921E+13
cumple
10
27,304,196
27,304,197
38,613,965
7.45519E+14 7.45519E+14 1.49104E+15
cumple
11
159,140,519
159,140,520
225,058,681
2.53257E+16 2.53257E+16 5.06514E+16
cumple
12
927,538,920
927,538,921
1,311,738,121
8.60328E+17 8.60328E+17 1.72066E+18
cumple
13
5,406,093,003
5,406,093,004
7,645,370,045
2.92258E+19 2.92258E+19 5.84517E+19
cumple
14
31,509,019,100
31,509,019,101
44,560,482,149
9.92818E+20 9.92818E+20 1.98564E+21
cumple
15
183,648,021,599
183,648,021,600
259,717,522,849
3.37266E+22 3.37266E+22 6.74532E+22
cumple
16
1,070,379,110,496
1,070,379,110,497
1,513,744,654,945
1.14571E+24 1.14571E+24 2.29142E+24
cumple
17
6,238,626,641,379
6,238,626,641,380
8,822,750,406,821
3.89205E+25 3.89205E+25 7.78409E+25
FALSO
18
36,361,380,737,780
36,361,380,737,781
51,422,757,785,981
1.32215E+27 1.32215E+27
2.6443E+27
cumple
19
211,929,657,785,303
211,929,657,785,304
299,713,796,309,065
4.49142E+28 4.49142E+28 8.98284E+28
cumple
20
1,235,216,565,974,040
1,235,216,565,974,040
1,746,860,020,068,410
1.52576E+30 1.52576E+30 3.05152E+30
cumple
21
7,199,369,738,058,940
7,199,369,738,058,950
10,181,446,324,101,400
5.18309E+31 5.18309E+31 1.03662E+32
cumple
22
41,961,001,862,379,600
41,961,001,862,379,600
59,341,817,924,539,900
1.76073E+33 1.76073E+33 3.52145E+33
cumple
23
244,566,641,436,219,000
244,566,641,436,219,000
345,869,461,223,138,000
5.98128E+34 5.98128E+34 1.19626E+35
FALSO
24
1,425,438,846,754,930,000
1,425,438,846,754,930,000
2,015,874,949,414,290,000
2.03188E+36 2.03188E+36 4.06375E+36
FALSO
25
8,308,066,439,093,370,000
8,308,066,439,093,370,000 11,749,380,235,262,600,000
26
48,422,959,787,805,300,000 48,422,959,787,805,300,000 68,480,406,462,161,300,000
6.9024E+37
6.9024E+37 1.38048E+38
FALSO
2.34478E+39 2.34478E+39 4.68957E+39
cumple
Dario Lanni - 2018
A continuación, se presenta una extensión al
análisis, considerando que:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 .. (1)
𝑏 = 𝑎+1
Remplazando valores
𝑎2 + (𝑎 + 1)2 = 𝑐 2
2𝑎2 + 2𝑎 + 1 = 𝑐 2
2𝑎(𝑎 + 1) + 1 = 𝑐 2
2𝑎𝑏 + 1 = 𝑐 2 . . . (2)
De ello se desprende las siguientes formulas
𝑐2 − 1
𝑎𝑏 =
2
𝑐 = √2𝑎𝑏 + 1
De (2) completando cuadrados.
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 1
(𝑎 + 𝑏)2 = 2𝑐 2 − 1
𝑎 + 𝑏 = √2𝑐 2 − 1
(𝑎 + 𝑏)2 + 1
𝑐=√
2
Así mismo de (2) se tiene que, generando una
tabla para las primeras parejas de consecutivos
la hipotenusa se corresponde exactamente con
la hipotenusa de las ternas pitagóricas primas
para k = 1, la cual se corresponde con:
𝑥2 − 1
𝑧=
∧ 𝑧 = 𝑐2
2
Donde x es el cateto menor de la forma:
x = 2n+1, por tanto, reemplazando en z se tiene:
(2𝑛 + 1)2 + 1
(2𝑛 + 1)2 + 1
⇒𝑐=√
2
2
Que vendría a ser el valor de “c” con lo cual se
transforman las expresiones indicadas líneas
arriba en:
𝑎 = 𝑛; 𝑏 = 𝑛 + 1 ∧ 𝑐 = √2𝑛2 + 2n + 1
𝑧=
Siendo la diferencia pitagórica k igual a:
El teorema de Pitágoras
Ejemplo: 32 + 42 = 52 ↔ 72 + 242 = 252
𝑘 = 𝑐 − 𝑏 = √2𝑛2 + 2n + 1 − (𝑛 + 1)
Se tiene: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 ↔ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Donde:
𝑧 2 = 𝑐 2 ; 𝑥 = 2𝑎 + 1 ∧ 𝑦 = 2𝑎2 + 2𝑎
A continuación, se presenta una tabla
ilustrativa.
a
b
c2
c
1
2
5
2.23606798
2
3
13
3.60555128
3
4
25
5
4
5
41
6.40312424
5
6
61
7.81024968
6
7
85
9.21954446
7
8
113
10.6301458
8
9
145
12.0415946
9
10
181
13.453624
...
...
...
...
20
21
841
29
21
22
925
30.4138127
22
23
1013 31.8276609
23
24
1105 33.2415403
24
25
1201 34.6554469
25
26
1301 36.0693776
26
27
1405 37.4833296
27
28
1513 38.8973007
28
29
1625 40.3112887
29
30
1741 41.7252921
...
...
...
...
119
120
28561
169
120
121
29041 170.414201
121
122
29525 171.828403
122
123
30013 173.242604
𝑥2 + 1
𝑐 = √𝑧 = √
;
2
𝑥−1
𝑥+1
𝑎=
∧ 𝑏=
2
2
Por lo cual, se puede afirmar que las ternas de
catetos consecutivos tienen su correspondiente
terna primitiva de cateto menor impar, cuya
hipotenusa es un cuadrado perfecto, tal como
puede apreciar en la siguiente tabla.
Pero a = n
𝑘 = √2𝑎2 + 2𝑎 + 1 − (𝑎 + 1)
𝑐 2 = 2𝑛2 + 2n + 1
2𝑛2 + 2n + (1 − 𝑐 2 ) = 0
𝑛=
−2 ± √22 − 4(2)(1 − 𝑐 2 )
2(2)
𝑛=
±√2𝑐 2 − 1 − 1
2
Considerando el valor positivo de la raíz:
√2𝑐 2 − 1 − 1
𝑛=
2
De esto se desprende que:
𝒂=
√2𝑐 2 − 1 − 1
√2𝑐 2 − 1 + 1
∧ 𝒃=𝑎+1=
2
2
De esto se desprende que las ternas de cateto
consecutivo a, b, c están relacionadas a las
ternas primas x, y, z para k = 1;
𝑇(𝑎, 𝑏, 𝑐)𝑏=𝑎+1 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘=1
Es decir, como:
𝑐 2 = 2𝑎𝑏 + 1 ↔ 𝑏 = 𝑎 + 1
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 ↔ 𝑧 = 𝑦 + 1
TERNAS PRIMITIVAS
x
y
z = c2
7
41
239
1393
8119
24
840
28560
970224
32959080
25
841
28561
970225
32959081
TERNAS DE CATETOS CONSECUTIVOS
𝒂=
→
→
→
→
→
𝑥 −1
2
3
20
119
696
4059
𝒃=
𝑥+1
2
4
21
120
697
4060
=
𝑥2 + 1
2
5
29
169
985
5741
Ruben Darío Muñoz López
INEXISTENCIA DE TERNAS ENTERAS DE CATETOS CONSECUTIVOS PARA CATETO
MENOR: ω1 y ω4
Aplicando las propiedades sexticas se
determina que no existen ternas enteras de
catetos consecutivos para sextiles del w1 y w4
es decir si el cateto menor es primo o seudo
primo perteneciente al w1, o un numero par
perteneciente al w4, no existen ternas de catetos
consecutivos. La demostración se basa en que
no existe raíz cuadrada para w2 y w5.
LEMA:
Para todo cateto menor de la forma 6n+1 y
6n+4, no existe triangulo rectángulo de catetos
consecutivos.
A continuación, se presenta el análisis sextal
exhaustivo para determinar la existencia de
ternas pitagóricas de catetos consecutivos.
𝑧 = √2𝑤12 + 2𝑤1 + 1 = √𝑤5 ⟹ ∄ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑤1
Si x pertenece a ω1, no existen cuadrados enteros en ω5
𝑧 = √2𝑤22 + 2𝑤2 + 1 = √𝑤1 = 𝑤1
Si x pertenece a ω2, existen cuadrados enteros en ω1
𝑧 = √2𝑤32 + 2𝑥3 + 1 = √𝑤1 = 𝑤1
Si x pertenece a w3, existen cuadrados enteros en ω1
𝑧 = √2𝑤42 + 2𝑥4 + 1 = √𝑤5 ⟹ ∄ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑤4
Si x pertenece a w4, no existen cuadrados enteros en w5
𝑧 = √2𝑤52 + 2𝑥5 + 1 = √𝑤1 = 𝑤1
Si x pertenece a w5, existen cuadrados enteros en ω1
𝑧 = √2𝑤62 + 2𝑥6 + 1 = √𝑤1 = 𝑤1
Si x pertenece a w6, existen cuadrados enteros en ω1
𝑧 2 = 2𝑤12 + 2𝑤1 + 1
𝑧 2 = 𝑤2 + 𝑤2 + 1 = 𝑤4 + 1 = 𝑤5
𝑧 2 = 2𝑤22 + 2𝑤2 + 1
𝑧 2 = 2𝑤4 + 2𝑤2 + 1 = 𝑤6 + 1 = 𝑤1
𝑧 2 = 2𝑤32 + 2𝑤3 + 1
𝑧 2 = 𝑤6 + 𝑤6 + 1 = 𝑤12→6 + 1 = 𝑤1
𝑧 2 = 2𝑤42 + 2𝑤4 + 1
𝑧 2 = 𝑤2 + 𝑤2 + 1 = 𝑤4 + 1 = 𝑤5
𝑧 2 = 2𝑤52 + 2𝑤5 + 1
𝑧 2 = 𝑤2 + 𝑤10→4 + 1 = 𝑤6 + 1 = 𝑤1
𝑧 2 = 2𝑤62 + 2𝑤6 + 1
𝑧 2 = 𝑤6 + 𝑤6 + 1 = 𝑤6 + 1 = 𝑤1
EJERCICIO PARA AFICIONADOS
Hallar el menor triangulo rectángulo de lados
enteros, cuya suma de lados y suma de
cuadrados de lados sean múltiplos de 6:
Si: x2 + y2 = z2
Entonces:
x + y + z → múltiplo de 6
𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑧2 → múltiplo de 6
Ayuda: si n es impar, la suma de cifras de n es
9 y es también cuadrado de x.
SOLUCIÓN
En primer lugar, recordemos que:
𝒏
𝑛(𝑛 + 1)
∑𝒊 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 +⋯+ 𝒏 =
2
𝒊=𝟏
Entonces:
𝑛(𝑛 + 1)
𝒛𝟐 =
2
EJERCICIO PARA MATEMÁTICOS
Hallar el menor triangulo rectángulo de lados
enteros y cateto menor primo, cuya suma de
lados y suma de cuadrado de lados sean
múltiplos de 6:
Reemplazando en: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐
𝑛(𝑛 + 1)
𝑥 2 + (2𝑥)2 =
2
𝑛(𝑛
+
1)
5𝑥 2 =
⇒ 10𝑥 2 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
Si: x2 + y2 = z2
Para x primo
El producto de 02 consecutivos es: 10x2
Entonces:
x + y + z → múltiplo de 6
x2 + y2 + z2 → múltiplo de 6
Si: P > 2 y P es primo y P! = múltiplo de 6
Solución:
9 + 12 =15
60 + 63 =87
No existe solución entera, ya que x y z no son
múltiplos de 6.
EJERCICIO
Para todo: 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑛 𝜖 𝑵
Si: 𝑧 > 𝑦 > 𝑥
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑦 = 2𝑥
𝑛
2
𝑧 = ∑𝑖
𝑖=1
Hallar el valor primo impar mínimo de x,
El problema tiene varias soluciones enteras,
incluso infinitas, pero el primo más pequeño es
x=3, en el cuadro adjunto se consignan algunas
soluciones enteras.
n n+1
9
10
360 361
x
3
114
y
6
228
z2
45
64980
A
9
12996
Resulta sugestivo que este ejercicio conlleve
interesantes propiedades como:
1. El área del triángulo es: A = x2
2. Para la solución más pequeña, n es cuadrado
perfecto de x, es decir n = x2
3. En general:
𝒏(𝒏+𝟏)
𝒙=√
𝟏𝟎
y 𝒏=
√𝟒𝟎𝒙𝟐 +𝟏 − 𝟏
𝟐
; que se
obtiene aplicando Baskhara a la ecuación
cuadrática.
4. El siguiente valor “n” debe ser próximo a
13600 y “x” próximo a 4300. Estimando que
“x” es una función exponencial definida
aproximadamente por: 0,0789 e 3,6376x
Ruben Darío Muñoz López
MÉTODO DE GENERACIÓN DE TERNAS DE TERRY FURLER
Como se ha indicado reiteradas veces, no es intención del autor presentar métodos de otros matemáticos,
los cuales se encontrarán detallados con mayor profundidad en los trabajos de investigación propios de
cada autor, sin embargo, resulta interesante la correlación de las fórmulas para la generación de ternas
enteras por el método de Terry Furler y las fórmulas generales de generación de ternas pitagóricas de
Ruben D Muñoz L.
En este acápite simplemente se consignarán las fórmulas del Método Furler más no su demostración y
se procederá a determinar la correlación que existe con el método general materia de este libro.
ANÁLISIS PREVIO
Empecemos por determinar tres números naturales b, c, k en los que se pueda descomponer cada término
de las ternas pitagóricas de números enteros.
Dados tres números naturales b, c y k tal que En primer lugar, se tiene de forma directa que:
cumplan las relaciones siguientes:
𝑐 = 𝑥 − 𝑘 … (7)
𝑥 = 𝑘 + 𝑐 … (1)
𝑦 = 𝑏 + 𝑐 … (2)
Igualando en c (1) y (2): 𝑥 − 𝑘 = 𝑦 − 𝑏
𝑧 = 𝑏 + 𝑐 + 𝑘 … (3)
𝑏 = 𝑦 − 𝑥 + 𝑘, pero y puede reemplazarse por
Además:
la expresión general del cateto mayor.
2
2
2
𝑥 + 𝑦 = 𝑧 … (4)
𝑘 = 𝑧 − 𝑦 … (5)
Si se cumple entonces que:
(𝑘 + 𝑐)2 + (𝑏 + 𝑐)2 = (𝑏 + 𝑐 + 𝑘)2 … (6)
𝑏=
𝑥2 − 𝑘2
−𝑥+𝑘
2𝑘
(𝑥 − 𝑘)2
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 2
𝑏=
⇒ 𝑏=
… (8)
2𝑘
2𝑘
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO DEMOSTRATIVO
Dada la terna primitiva 3, 4, 5 determine tres
números naturales b, c y k tal que cumplan
las relaciones siguientes:
𝑥 = 𝑘+𝑐
De antemano sabemos que k = 1, entonces
𝑐 =3−1 = 2
𝑏=
(3 − 1)2
=2
2(1)
𝑦 =𝑏+𝑐
𝑏=2 ∧ 𝑐=2
𝑧 =𝑏+𝑐+𝑘
Reemplazando en la expresión siguiente:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
(𝑘 + 𝑐)2 + (𝑏 + 𝑐)2 = (𝑏 + 𝑐 + 𝑘)2
Considere las siguientes expresiones:
(2 + 1)2 + (2 + 2)2 = (2 + 2 + 1)2
(𝑥 − 𝑘)2
𝑏=
∧ 𝑐 =𝑥−𝑘
2𝑘
32 + 42 = 52
EJEMPLO
Siguiendo el ejemplo anterior determine tres números naturales en las que se pueda descomponer los
términos de la terna 8, 15, 17.
SOLUCIÓN
𝑘 = 2,
𝑏 = 9,
𝑐 = 6 ⇒ (2 + 6)2 + (9 + 6)2 = (9 + 6 + 2)2
CORRELACIÓN DEL MÉTODO LANNI Y LAS FORMULAS DE TERRY FURLER
Cateto menor
𝒙 = 2𝑛2 + 2𝑠𝑛
Cateto mayor
𝒚 = 𝑠 2 + 2𝑠𝑛
Hipotenusa
𝒛 = 𝑠 2 + 2𝑛2 + 2𝑠𝑛
Diferencia de (z – x)
𝑠2 =
(𝑥 − 𝑘)2
2𝑘
Resto pitagórico
𝑘 = 2𝑛2
Diámetro circulo inscrito
2𝑠𝑛 = 𝑑 = 𝑥 − 𝑘
Radio circulo inscrito
𝑠𝑛 = 𝑟
Nota:
S2 es la diferencia entre la hipotenusa y el cateto menor equivalente a:
(𝑥−𝑘)2
2𝑘
. Así mismo si se reemplaza k = 2n2
por k = s2, se obtienen ternas pitagóricas trasversas, es decir x se hace y e y se hace x
Obsérvese que los factores que componen los términos de una terna pitagórica tienen la misma estructura
de descomposición estudiada en el acápite anterior donde el resto pitagórico esta dado por 𝑘 = 2𝑛2
Ruben Darío Muñoz López
Si 𝑘 = 2𝑛2, entonces
Del cateto menor
𝒙 = 2𝑠𝑛 + 𝑘
Luego 2𝑠𝑛 = 𝑥 − 𝑘
𝒚 = 𝑠 2 + 2𝑠𝑛, entonces
Del cateto mayor
𝑦 = 𝑠 2 + (𝑥 − 𝑘)
𝑠 2 = 𝑦 − (𝑥 − 𝑘)
Diferencia de (z – x)
(𝑥 − 𝑘)2
𝑠 =
2𝑘
Diámetro circulo inscrito
2𝑠𝑛 = 𝑑 = 𝑥 − 𝑘
Radio circulo inscrito
𝑠𝑛 = 𝑟
2
Valor de n
𝑘
𝑛=√
2
OTRAS DEMOSTRACIONES
En (2) despejando “c”
𝑐 =𝑦−𝑏 ⇒ 𝑐 =
𝑥2 − 𝑘2
−𝑏
2𝑘
𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 2
𝑐=
−
2𝑘
2𝑘
𝑥 2 − 𝑘 2 − 𝑥 2 + 2𝑘𝑥 − 𝑘 2
𝑐=
2𝑘
𝑐 = 𝑥 − 𝑘 … (7)
Así mismo de (2):
𝑥2 − 𝑘2
𝑏+𝑐 =
2𝑘
Ejemplo
Para la terna 7, 24, 25 determine los valores b
y c de la fórmula de T. Furler.
𝑘 = 𝑧 − 𝑦 = 25 − 24 = 1
𝑏=
(𝑥 − 𝑘)2 (7 − 1)2
=
= 18
2𝑘
2(1)
𝑐 =𝑥−𝑘 =7−1=6
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
(6 + 1)2 + (18 + 6)2 = (18 + 6 + 1)2
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO
Hallar la distancia de los centros de las circunferencias circunscritas FG, si los triángulos ∆ABC y
∆BCD son triángulos rectángulos de lados enteros.
La solución es bastante evidente e intuitiva. No es necesario recurrir a procesos algebraicos que pueden
resultar engorrosos con el planteamiento de varias ecuaciones y apenas algunos datos numéricos. Sin
embargo, por tratarse de ternas pitagóricas enteras sabemos que todos los lados de un triángulo
pitagórico y la familia parental dependen simplemente del cateto menor y su diferencia pitagórica. Por
ello lo primero que debemos hacer es identificar el cateto menor que da origen al sistema.
Eso significa que el cateto menor AC es impar.
Siendo el mínimo posible 3. Asumiendo este
valor y aplicando las fórmulas generatrices nos
percataremos que no puede ser ya que el cateto
mayor seria CB = 4; entonces CD = 3, por tanto,
descartamos este valor.
Asumiendo ahora que AC = 5, entonces BC = 12
Por tanto para el triángulo parental ∆BCD le
corresponde un resto pitagórico par que puede ser
Identificamos que An es La diferencia pitagórica k=2, con esto tendríamos que CD = 35.
del sistema el cual es k = 1.
Ahora verificamos que los lados enteros del ejerció seria: ∆ABC: 5, 12, 13 y ∆BCD: 12, 35, 37 y cuyos
radios de las circunferencias circunscritas son: RF = 3 y RG = 5. Lo cual coincide con los datos del
ejercicio. Por lo tanto, sólo queda hallar la distancia FG. Se puede hallar aplicando el teorema de
Pitágoras que vendría a ser la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la suma de radios más del
cuadrado de la diferencia de radios o la fórmula para estos casos:
√
𝑥 4 −6𝑥 2 −8𝑥+29
8
; donde x
corresponde al cateto menor es decir x = 5. Finalmente, la distancia 𝑭𝑮 = √58 = 7.61
MÉTODO SIMPLIFICADO
Si k = 1 para ∆ABC y k’=2 para el parental La distancia de centros de radios circunscritos de
∆BCD se tiene que t = 25, entonces:
triángulos parentales está dada por la fórmula:
(𝑥 2 − 5)2
𝑥 4 − 6𝑥 2 − 8𝑥 + 29
𝑡=
⇒𝑥=5
𝑂𝑂′ = √
= √58 = 7.61 …
16
8
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO
Si los ∆ABC y ∆DEC son triángulos rectángulos de lados enteros y se cumple que: x2 + y2 = z2.
Demostrar que:
𝑛 𝑥
𝑛𝑦
= →𝒎=
𝑚 𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
=
→ 𝒎𝒚 = 𝑥(𝑛 + 𝑦 − 𝑥)
𝑚 𝑛+𝑦−𝑥
𝑥2
𝑛=
𝑥+𝑦
𝑥𝑦
𝑚=
𝑥+𝑦
𝑥𝑧
𝑎=
𝑥+𝑦
𝑥𝑛 + 𝑥𝑦 − 𝑥 2 =
𝑦𝑧
Y que las distancias: 𝐷𝐹 = 𝐹𝐵 = 𝑥+𝑦
𝑛𝑦 2
𝑥
𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑥 3 = 𝑛𝑦 2
𝑥 2 𝑛 − 𝑛𝑦 2 = 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦
𝑛(𝑥 2 − 𝑦 2 ) = 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦
𝒏=
𝑥3 − 𝑥2𝑦
𝒙𝟐
=
𝑥2 − 𝑦2
𝒙+𝒚
𝒎=
𝑛𝑦
𝑥3𝑦 − 𝑥2𝑦2
𝒙𝒚
→ 3
=
2
𝑥
𝑥 − 𝑥𝑦
𝒙+𝒚
𝑪𝑭 =
𝑥3𝑦 − 𝑥2𝑦2
𝒙𝒚√𝟐
√2 =
3
2
𝑥 − 𝑥𝑦
𝒙+𝒚
2
𝒙𝟐
𝒙𝒚 2
𝑎 =𝑛 +𝑚 →[
] +[
]
𝒙+𝒚
𝒙+𝒚
2
2
𝑎=
𝒙𝒛
𝒙+𝒚
2
Si los ∆ABC y ∆DEC son dos triángulos rectángulos de lados enteros iguales. Hallar la longitud del
segmento CF. La respuesta puede ser hallada en menos de 15 segundos si se sabe que:
𝐴𝐶 = 𝐶𝐸 = 5
𝐷𝐹 = 𝐹𝐵
𝑥𝑦
60
=
𝑥 + 𝑦 17
De la fórmula:
𝑪𝑭 =
𝑥𝑦√2 60√2
=
𝑥+𝑦
17
Una aclaración importante, no se solicita en el
ejercicio, pero se puede determinar que los
triángulos rectángulos, al ser pitagóricos, solo
corresponden al TP primo cuyos lados son: cateto
menor 5, cateto mayor 12 e hipotenusa 13.
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS MÉTODOS DESARROLLADO POR COLABORADORES
Vamos a analizar unas interesantes fórmulas para la obtención de TP enteras, presentadas, en las redes
que administramos, aunque sin demostración, por Anthony Jhon, en agosto de 2018. Luego de un análisis
se observa alguna semejanza de las expresiones de composición axil presentada por los autores de este
humilde tratado sobre trinomios de la forma: x a + y b = z c referido al teorema de Pitágoras y que
compartimos con mucho agrado.
Fórmula de Anthony Jhon
𝑥 = 𝑛2𝑤
𝑦=
𝑛2𝑤+1 − 𝑛2𝑤−1
2
𝑧=
𝑛2𝑤+1 + 𝑛2𝑤−1
2
𝑘 = 𝑛2𝑤−1
Gráfico presentado por el autor A simple vista, es posible
de este libro:
simplificar las variables:
𝑛2𝑤+1 = 𝑥 𝑛+1 = 𝑛2𝑤−1 = 𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛−1
𝑦=
2
𝑥 𝑛+1 + 𝑥 𝑛−1
𝑧=
2
𝑘 = 𝑥 𝑛−1
A continuación, vamos a correlacionar los exponentes con potencias primas aunque no necesariamente,
de las ternas: 2w + 1 = p y 2w - 1 = q; es decir, números naturales elevadas a potencias primas.
𝑥 𝑝−1 ó 𝑥 𝑞+1
𝑥𝑝 − 𝑥𝑞
𝑦=
2
𝑥𝑝 + 𝑥𝑞
𝑧=
2
𝑘 = 𝑥 𝑞 ó 𝑥 𝑝−2
p y q: primos impares
CASO: (𝑥 2𝑤 )2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Para 𝑥 2𝑤 ∧ 𝑘 = 𝑥 𝑞=2𝑤−1
donde 𝑝 = 2𝑤 + 1 ∧ 𝑞 = 2𝑤 − 1
CASO
Para 𝑥 𝑝 ∧ 𝑘 = 𝑥 𝑝−1 ∧
𝑥𝑝+1
𝑥𝑝−1
= 𝑥2
donde 𝑝 = 2𝑤 + 1 ∧ 𝑞 = 2𝑤 − 1
se cumple: (𝑥 2𝑤 )2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
𝑥 𝑝=2𝑤+1 + 𝑥 𝑞=2𝑤−1
2
𝑘 = 𝑥 𝑞=2𝑤−1
𝑦=
𝑥 𝑝+1 − 𝑥 𝑝−1
2
𝑥 𝑝+1 + 𝑥 𝑝−1
𝑧=
2
𝑥 2(𝑤+1) − 𝑥 2(𝑤−1)
2
𝑥 2(𝑤+1) + 𝑥 2(𝑤−1)
𝑧=
2
𝑦=
𝑦=
Veamos una explicación más detallada de las expresiones:
Gráficamente:
𝑥 𝑝=2𝑤+1
𝑝=2𝑤+1
𝑞=2𝑤−1
𝑥
−𝑥
𝑦=
2
𝑧=
𝑥𝑝 − 𝑥𝑞
2
𝑥𝑝 + 𝑥𝑞
𝑧=
2
𝑥 2𝑤+1 − 𝑥 2𝑤−1
𝑦=
2
𝑥 2𝑤+1 + 𝑥 2𝑤−1
𝑧=
2
Que puede expresarse en
función de uno de los
primos
𝑥𝑝
𝑥 𝑝+1 − 𝑥 𝑝−1
𝑦=
2
𝑧=
𝑥 𝑝+1 + 𝑥 𝑝−1
2
𝑘 = 𝑥 𝑝−1
Ruben Darío Muñoz López
COMPOSICIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS POR
SUCESIONES
(TUPLAS ESPECIALES)
Las evidencias sobre el conocimiento del teorema de Pitágoras se pueden
rastrear hasta las primeras civilizaciones en el norte de África y Asia y por
supuesto de la antigua Grecia. La tablilla de Plimton 322 y que se halla
resguardada en uno de los museos más importantes del mundo es uno de los
tesoros más valiosos; ella contiene una serie de ternas enteras.
El teorema de Pitágoras
SUCESIONES GENERADAS POR TERNAS PITAGÓRICAS
Las ternas generadas por este método poseen además la propiedad de conformar series numéricas. Así
tenemos por ejemplo que las ternas pitagóricas siguientes presentan un ordenamiento muy interesante
si se las analiza que: Para:
𝑥 → 2√𝑛2 ∧ 𝑘 = 2 𝑦 = 𝑛2 − 1 𝑧 = 𝑛2 + 1
Catetos menores: Sucesión de pares
𝑥2 = 𝑥1 + 2
2, 4, 6, 8, 10, 12, … (x)
Catetos mayores: Sucesión de razón variable
𝑦2 = 𝑦1 + (2𝑛 + 1)
0, 3, 8, 15, 24, 35, … (y)
Hipotenusas: Sucesión de razón variable
𝑧2 = 𝑧1 + (2𝑛 + 1)
2, 5, 10, 17, 26, 37, … (z)
Diferencia pitagórica: Constante 2
𝑘 = 𝑧𝑖 − 𝑦𝑖
A simple vista no se percibe la belleza, quizás si las presentamos con mayor detalle:
x = n2 2
x
2
3
4
2
6
+2
y
3
P
A
12
6
24
12
24
18
60
20
63
50
84
24
18
…
80
…
65
82
…
Serie de impares
+17
144
32
Serie de pares
Diferencia Constante
Serie de impares
+17
+15
112
28
…
+2
+15
+13
2
9
16
48
37
2
+2
+13
+11
8
14
35
26
40
16
2
+2
+11
+9
7
12
24
17
2
+2
+9
+7
6
10
15
10
2
+2
+7
+5
5
8
8
5
2
+2
+5
z
4
180
36
…
…
4
4
4
4
4
4
60
36
18
120
60
24
6
210
90
30
6
336
126
36
6
504
168
42
6
720
216
48
6
Las series x, y, z son las ternas que cumplen que x2 +y2 = z2. Las series P y A son el perímetro y el área
respectivamente de cada triangulo rectángulo compuesto por los elementos (x, y, z). Para los lectores
que no están habituados al tópico sobre generación de ternas es posible que no salte a la vista una
interesante propiedad: Las series P y A son catetos mayores de triángulos rectángulos de lados enteros.
Serie P: 5, (12), 13 – 7, (24),25 – 9, (40), 41 – 11, (60), 61 – 13, (84), 85 – 15, (112), 113, etc.
Serie A: 8, (6), 10 – 18, (24),30 – 32, (60), 68 – 50, (120), 130 – 72, (210), 222, etc.
La serie P, es aún más interesante pues corresponde a las ternas de cateto menor primo y por tanto de
diferencia pitagórica k=1. La serie A también esconde sus secretos, pues ella esta guiada por la variación
de la diferencia pitagórica k = 4, 6, 8, 10…, la cual se incrementa en pares. Se deja al lector explorar
esta característica. Finalmente se puede afirmar que todo cuadrado ±1 es un elemento pitagórico.
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO PARA INTERNET: Hallar los números que falta en las siguientes series: x, y, z:
x
4
6
8
10
12
14
16
18 ( … )
y
3
8
15
24
35
48
63
80
(…)
z
5
10
17
26
37
50
65
82
(…)
Si el ejercicio les pareció demasiado sencillo, compruebe que los números faltantes corresponden a una
terna pitagórica entera al igual que cada columna de números que le anteceden cumpliendo estrictamente
la relación: x2 + y2 = z2
PROBLEMA:
Demostrar que todo cuadrado de un numero entero positivo al añadir y disminuir una unidad los valores
resultantes son la hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo de lados enteros.
SERIES QUE GENERAN TERNAS
ni
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
a =2n i +a i-1
0
6
16
30
48
70
96
126
160
198
bi =ai +2
2
8
18
32
50
72
98
128
162
200
ci = ai + 3
3
9
19
33
51
73
99
129
163
201
x = (y + z) 1/2
ni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a =2n i +a i-1
1
9
21
37
57
81
109
141
177
217
bi =ai +2
3
11
23
39
59
83
111
143
179
219
ci = ai + 3
7
15
27
43
63
87
115
147
183
223
x = (y + z) 1/2
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
6
10
14
18
22
26
30
34
38
42
y = ai + ci
3
15
35
63
99
143
195
255
323
399
z = bi + ci
5
17
37
65
101
145
197
257
325
401
y = ai + ci
8
24
48
80
120
168
224
288
360
440
z = bi + ci
10
26
50
82
122
170
226
290
362
442
Explicación de las series
0
6
6
2(3)
1
16
10
2(5)
9
8
4(2)
30
14
2(7)
21
12
4(3)
37
16
4(4)
48
…
…
…
57
…
…
…
18
2(9)
20
4(5)
El teorema de Pitágoras
DESCOMPOSICIÓN DE TERNAS EN SUCESIONES
Cada término de una terna de números naturales
puede descomponerse en un conjunto de series
limitadas de números; de tal forma que, tanto
catetos como hipotenusa estén representados
por una o más familias de series de números
naturales.
Dada la expresión: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 , para todo
x, y, z que son números naturales, existen las
series:
X: x1, x2, x3, …
Y: y1, y2, y3, …
Z: z1, z2, z3, …
Veamos los siguientes ejemplos de
descomposición de dos ternas en series
numéricas:
TP: 32 + 42 = 52 es equivalente:
(1 + 2) 2 + (1 + 3) 2 = (2 + 3) 2
TP: 52 + 122 = 132 es equivalente:
(2 + 3) 2 + (5 + 7) 2 = (5 + 8) 2
Algunas ternas pueden descomponerse en varis
series. Las series están determinadas por la
cantidad de términos que se desee y la constante
aritmética “diferencia aritmética d” que se
establezca a voluntad, siempre y cuando se
cumplan criterios de divisibilidad según la
siguiente ecuación:
𝑆 = 𝑎𝑛 +
𝑛(𝑛 − 1)𝑑
2
𝑆 = 𝑎, (𝑎 + 𝑑) + (𝑎 + 2𝑑) + (𝑎 + 3𝑑) + … + [𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑]
S: Suma de la serie igual al valor de cada cateto
a: Primer elemento de la serie de composición
ye hipotenusa, determinada por la formula
general de generación de ternas pitagóricas
de números naturales. Poor convención se
simboliza por Sx, Sy, Sz.
está determinada previamente, siempre y
cuando cumpla criterios de divisibilidad. Es
decir, el valor de “a” depende del valor de
cada lado del triángulo rectángulo
representado
por
“Sx,
Sy,
Sz.”
Respectivamente y la cantidad de elementos
en que se quiera distribuir la serie.
n: Cantidad de términos de la serie, establecidas
previamente
d: Diferencia aritmética de la serie.
2𝑆 − 𝑛(𝑛 − 1)𝑑
=𝑎
2𝑛
Basta con conocer el valor de cada cateto y
la hipotenusa, luego de establecer la cantidad
de términos de la serie respectiva, se aplica
la formula y esta calcula el valor del primer
término de cada serie para diferentes valores
de “d”. El mínimo valor de “d”
evidentemente es 1.
En el caso que La diferencia pitagórica es k=1,
las fórmulas se reducen a
2𝑆 − 𝑛(𝑛 − 1)
=𝑎
2𝑛
Ruben Darío Muñoz López
Sea la terna: 92 + 122 = 152
x1
a1
1
2
a2
3
3
a3
5
4
Las combinaciones se desprenden del cuadro,
sin embargo, las que me agradan
particularmente por presentar estructuras
armoniosas son las siguientes
S
9
9
y1
y2
y3
3
2
1
4
4
4
5
6
7
12
12
12
z1
z2
z3
4
3
2
5
5
5
6
7
8
15
15
15
(1+ 3 + 5) 2 + (2 + 4 + 6) 2 = (3 + 5 + 7) 2
(2+ 3 + 4) 2 + (2 + 4 + 6) 2 = (2 + 5 + 8) 2
(2+ 3 + 4) 2 + (3 + 4 + 5) 2 = (4 + 5 + 6) 2
2(9) − 3(3 − 1)2
=1
2(3)
2(9) − 3(3 − 1)
=2
2(3)
Sea la terna: 252 + 602 = 652
a1
a2
a3
a4
a5
S
1
3
3
4
5
5
7
6
9
7
25
25
y1
10
11
12
13
14
60
y2
8
10
12
14
16
60
y3
6
9
12
15
18
60
y4
4
8
12
16
20
60
y5
2
7
12
17
22
60
z1
11
12
13
14
15
65
z2
9
11
13
15
17
65
z3
7
10
13
16
19
65
z4
5
9
13
17
21
65
z5
3
8
13
18
23
65
z6
1
7
13
19
25
65
x1
Al establecer otros valores para la diferencia
aritmética “d” x puede tener varios valores
iniciales para las series.
Por ejemplo, simplemente variando el
termino inicial y manteniendo la diferencia
aritmética, para x =25 se tienen dos series.
2(9) − 3(3 − 1)2
=1
2(3)
2(25) − 5(5 − 1)
=3
2(5)
Sea la terna: 212 + 722 = 752
a1
a2
a3
a4
a5
a6
S
x1
1
2
3
4
5
6
21
y2
7
9
11
13
15
17
72
y4
2
6
10
14
18
22
72
z2
10
11
12
13
14
15
75
z3
5
8
11
14
17
20
75
Existen ternas, en las que a pesar de que “x” es
un número con varios divisores solo es posible
establecer para la diferencia aritmética “d=1”
por tanto solo existe una única serie. Por
ejemplo, para x =25 se tienen una única serie
Sx.
𝑎1 =
2(21) − 6(6 − 1)
=1
2(6)
El teorema de Pitágoras
APLICACIÓN DE SUCESIONES A LA GENERACIÓN DE TP ENTERAS
Ahora veremos cómo están relacionadas las ternas pitagóricas de números Z+ a las sucesiones de
números naturales. Pero antes un repaso sobre la sumatoria de la sucesión natural de números enteros.
𝑛
𝑛2 + 𝑛 (𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛
𝑁 = {1, 2, 3, 4, 5, … , 𝑛} ⇒ ∑ 𝑛𝑖 =
=
=𝑆
2
2
1
La suma de la sucesión natural mayor de 02 términos está formada por dos factores como mínimo. Es
un producto de la forma n*(n + 1) / 2. Eso significa que con excepción de la sumatoria S = 3 = 1 + 2, la
sumatoria es un número compuesto. Cuando el ultimo termino pertenece a ω1 ó ω4, S puede ser un seudo
primo del I sextal.
Posición sextal del último término de la
Sextal donde se ubica la sumatoria
sucesión (Cantidad de términos)
I
II
III
IV
V
VI
𝑛 → 𝜔1
𝜔1
𝜔4
𝑛 → 𝜔2
𝜔3
𝜔6
𝑛 → 𝜔3
𝜔3
𝜔6
𝑛 → 𝜔4
𝜔1
𝜔4
𝑛 → 𝜔5
𝜔3
𝜔6
𝑛 → 𝜔6
𝜔3
𝜔6
La sumatoria de la sucesión natural jamás se ubica en el w2 ó w5 es decir nunca es un numero de la forma
6n + 2 ó 6n + 5.
TERNAS PITAGÓRICAS EXTENDIDAS POR SUMA DE LA SUCESIÓN NATURAL
Dividiendo Sn entre k, obtenemos la expresión
Sea: 𝑆𝑛 = {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 𝑛}
general para determinar la hipotenusa de un
𝑛2 + 𝑛
2
triángulo rectángulo de lados enteros.
𝑆𝑛 =
∧ 𝑛=𝑘
2
2
𝑆
Reemplazando tenemos que la expresión casi se 𝑆𝑛 𝑘 2 +𝑘 2
=
⇒ 𝑘𝑛 = 𝑧
aproxima a la EG. de TP
𝑘
2𝑘
2
𝑘2 + 𝑘2
De donde se deduce que:
𝑆𝑛 =
∧ 𝑛 = 𝑘2
2
𝑥 = 𝑛 = 𝑘2
𝑦 =𝑧−𝑘 =
𝑘 4 −𝑘 2
2𝑘
=
𝑘 3 −𝑘
2
𝑧=
𝑘 4 +𝑘 2
2𝑘
=
𝑘 3 +𝑘
2
Finalmente ajustamos la fórmula de la sumatoria de la secuencia natural hasta lograr una semejanza
con las fórmulas generales para obtención de ternas pitagóricas de números Z+; donde el cateto menor
x = n = k2 es decir, x debe ser un cuadrado perfecto, por tanto, la hipotenusa es la sumatoria dividida
entre k y el cateto mayor es la diferencia y = z – k. En este caso se Sn debe ser múltiplo de k, caso
contrario no existe una terna entera de TP.
Veamos un ejemplo antes de continuar con las explicaciones
Remplazando: x = 32 en:
𝑥 = 𝑛 = 𝑘2
33 − 3
𝑘4 − 𝑘2 𝑘3 − 𝑘
𝑦
=
= 12
𝑦 = 𝑧−𝑘 =
=
2
2𝑘
2
33 + 3
𝑘4 + 𝑘2 𝑘3 + 𝑘
𝑧
=
= 15
𝑧=
=
2
2𝑘
2
2
Para la sumatoria de los 9 primeros números Se determina la terna: 3
naturales: S9 =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45;
Nota: 12 y 15 también son sucesiones: 1+2+3+4+5 =15 y 2 + 4 + 6 =12
12
15
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS EXTENDIDAS POR SUMA SUCESIÓN DE NÚMEROS PARES
∀ 𝑛 ∈ Ν, sea 𝑆2𝑛 = {2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ⋯ + 2𝑛 }, Factorizando, factor común 2
𝑆2𝑛 = 2{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 𝑛} = 𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛2 + 𝑛
𝑛
∑ 𝑁𝑖 = 𝜔𝛼2 + 𝜔𝛼 = 𝜔𝛼 (𝜔𝛼 + 1)
1
Posición sextal del último término de la
Sextal donde se ubica la sumatoria
sucesión (Cantidad de términos)
I
II
III
IV
V
𝑛 ∈ 𝜔1 → 𝑤1 (𝑤1 + 1) = 𝑤2
𝜔2
𝑛 ∈ 𝜔2 → 𝑤2 (𝑤2 + 1) = 𝑤6
𝑛 ∈ 𝜔3 → 𝑤3 (𝑤3 + 1) = 𝑤6
𝑛 ∈ 𝜔4 → 𝑤4 (𝑤4 + 1) = 𝑤2
𝜔2
(𝑤
𝑛 ∈ 𝜔5 → 𝑤5 5 + 1) = 𝑤6
𝑛 ∈ 𝜔6 → 𝑤6 (𝑤6 + 1) = 𝑤6
La sumatoria de la sucesión sólo se ubica en el ω2 ó ω6
Sea: 𝑆2𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 ∧ 𝑛 = 𝑘 2
VI
𝜔6
𝜔6
𝜔6
𝜔6
Obtenemos la expresión general para
determinar la hipotenusa de un triángulo
Dividiendo S2n entre 2k y reemplazando
rectángulo de lados enteros.
tenemos que la expresión casi se aproxima a la 𝑆𝑛
=𝑧
EG. de TP
2𝑘
2
𝑆2𝑛 𝑘 2 + 𝑘 2
=
2𝑘
2𝑘
𝑥 = 𝑛 = 𝑘2
∀ 𝑛 ∈ Ν, sea
De donde se deduce que:
𝑦 = 𝑧−𝑘 =
𝑘 4 −𝑘 2
2𝑘
=
𝑘 3 −𝑘
2
𝑧=
𝑘 4 +𝑘 2
2𝑘
=
𝑘 3 +𝑘
2
SUCESIÓN DE MÚLTIPLOS DE 3 EN ORDEN ABSOLUTO
𝑆2𝑛 = {3 + 6 + 9 + 12 + ⋯ + 3𝑛 }, Factorizando, factor común 3
𝑆3𝑛 = 3{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 𝑛} =
3𝑛(𝑛 + 1) 3𝑛2 + 3𝑛
=
2
2
𝑛
∑ 𝑁𝑖 = 𝜔𝛼2 + 𝜔𝛼
1
Posición sextal del último término
de la sucesión (Cantidad de
términos)
𝑛 → 𝜔1
𝑛 → 𝜔2
𝑛 → 𝜔3
𝑛 → 𝜔4
𝑛 → 𝜔5
𝑛 → 𝜔6
Sextal donde se ubica la sumatoria
I
II
III
𝜔3
𝜔3
𝜔3
𝜔3
𝜔3
𝜔3
IV
V
VI
𝜔6
𝜔6
𝜔6
𝜔6
𝜔6
𝜔6
El teorema de Pitágoras
A continuación, veremos un cuadro para los primeros números naturales, en el que se cumple
perfectamente lo enunciado.
k
Sn
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
7
28
8
36
9
45
10
55
11
66
x = k2
y = z-k
z = Sn/k
1
0
1
4
3
5
9
12
15
16
30
34
25
60
65
36
105
111
49
168
175
64
252
260
81
360
369
100
495
505
121
660
671
12
78
13
91
14
105
144 169 196
858 1092 1365
870 1105 1379
Veamos los siguientes gráficos:
Del TP
→
→
Por otro lado, sabemos que la fórmula para la sumatoria de los
números impares es: Si = n2; por tanto “x2” es el resultado de
sumar la sucesión de números impares, es decir el cateto
menor “x” es la sumatoria de la sucesión de números impares.
A continuación, se presenta Valores de x como sumatoria de
impares.
1+3 =4
1+3+5 =9
1+3+5+7 =16
1+3+5+7+9 =25
1+3+5+7+9+11 =36
1+3+5+7+9+11+13 =49. . .
Continuando con el desarrollo veremos que tanto “y” como “z” también son sumatorias de sucesiones
de números enteros plausibles de identificar fácilmente al igual que “x”. Si se observa con
detenimiento veremos que los valores de “z” corresponden a sucesiones naturales de “k” términos, es
decir la suma de tantos sumandos como indique el valor absoluto del cateto menor.
𝑧→
⏟
1 ⏟
2+3 ⏟
4 + 5 + 6 ⏟7 + 8 + 9 + 10 ⏟
11 + 12 + 13 + 14 + 15 ⏟
16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 . ..
5
1
𝑦→
34
65
111
⏟
0 ⏟
1+2 ⏟
3 + 4 + 5 ⏟6 + 7 + 8 + 9 ⏟
10 + 11 + 12 + 13 + 14 ⏟
15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 . ..
3
0
𝑥→
15
12
30
60
105
⏟
1 ⏟
1+3 ⏟
1 + 3 + 5 ⏟1 + 3 + 5 + 7 ⏟
1+3+5+7+9 ⏟
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 . ..
1
4
9
16
25
36
La cantidad de elementos a sumar en las sucesiones de x, y de z es la raíz cuadrada de x
Ruben Darío Muñoz López
PROCEDIMIENTO:
Este procedimiento es válido para triángulos rectángulos de lados enteros cuyo cateto menor es un
cuadrado perfecto. Veamos un ejemplo para x = 64
1. Tomamos el cuadrado perfecto
: x = 64
2. Suma de la sucesión natural de 64
: S = 2080
3. Calculamos k como raíz cuadrada de 64
: k=8
4. Hallamos la hipotenusa “z” dividiendo S/k da un valor de
: 260.
5. Calculamos “y” restando z - k
: y = 252
6. Obtenido la terna pitagórica reductible
: 64
252
260.
7. Simplificando por 4 tenemos la TP irreductible
: 16
63
65
8. Descomponemos en las sucesiones generatrices
(1+3+5+…+15)2 + (28+29+30+…+35)2 = (29+30+31+…+36)2
Nota importante:
Sabemos por teoría de sextales que en ω2 y ω5 no existen cuadrados perfectos. Por tanto, el cateto menor
“x” solo pertenece a los sextales I, III, IV y VI. Y en ningún caso es primo por tratarse de un cuadrado
perfecto y por ser producto de dos números como se demostró en un capítulo anterior.
Existen infinidad de sucesiones que conforman TP de números enteros. Quizás los griegos de la
antigüedad miraban a las ternas pitagóricas de números enteros como sucesiones de números naturales,
esto es posible según el antiguo método que se muestra líneas abajo.
(1+2)2 + (1+3)2 = (2+3)2
(3+4+…+7)2 + (4+5+…+11)2 = (2+3+…+11)2
En algunos tratados se puede revisar como los griegos resolvían la
suma de la sucesión natural de forma geométrica:
1 + 2 + 3 + ··· + n = S
𝑛2 𝑛
𝑆=
+
2 2
Nota: Último término de una sucesión aritmética es: an = a1 + (n-1) d
EJERCICIO
Se sugiere al lector utilizar la siguiente expresión para determinar una fórmula para generar ternas
pitagóricas.
G = (1 + 12 ) + (1 + 22 ) + (1 + 34 ) + ⋯ + (1 + n2 )
𝑛
∑(1 + i2 ) = 𝑛2 + 2𝑛 − 1
𝑖=1
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS DESCOMPUESTAS EN SUCESIONES DE NÚMEROS Z+
El sorprende ordenamiento de ternas pitagóricas descompuestas en suma de sucesiones de números
enteros positivos.
x2 + y2 = z2
(1+3)2 + (1+2)2 = (2+3)2
(1+3+5)2 + (3+4+5)2 = (4+5+6)2
(1+3+5+7)2 + (6+7+8+9)2 = (7+8+9+10)2
(1+3+5+7+9)2 + (10+11+12+13+14)2 = (11+12+13+14+15)2
(1+3+5+7+9+11)2 + (15+16+17+18+19+20)2 = (16+17+18+19+20+21)2
(1+3+5+7+9+11+13)2 + (21+22+23+24+25+26+27)2 = (22+23+24+25+26+27+28)2
DEMOSTRACIÓN
𝒙 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛
(𝑛) [
𝒚=
(1 + 2𝑛 − 1)
= 𝑛2
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛(𝑛 − 1)
+(
+ (𝑛 − 1))]
2
2
=
(𝑛2 − 1)𝑛
𝑛3 − 𝑛
⇒y=
2
2
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛(𝑛 − 1)
(𝑛) [(
+ 1) + (
+ (𝑛 − 1) + 1)] (𝑛2 + 1)𝑛
𝑛3 + 𝑛
2
2
𝒛=
=
⇒z=
2
2
2
𝑛3 −𝑛
2
Comparando: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ⇒ (𝑛2 )2 + (
2
𝑛3 +𝑛
2
) =(
2
)
Igualando las expresiones se obtiene una igualdad que demuestra las hipótesis:
𝑛6 − 2𝑛4 + 𝑛2 𝑛6 + 2𝑛4 + 𝑛2
𝑛4 +
=
⇒𝑛=𝑛
4
4
Finalmente, se presenta una ecuación derivada que cumple estrictamente con el teorema de Pitágoras
𝑛3 −𝑛
para potencia cuadrada de impares: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ⇒ 𝑛4 + (
2
2
𝑛3 +𝑛
) =(
2
2
)
CURIOSIDAD
A pesar de que la siguiente terna no es una terna pitagórica resulta interesante la descomposición que
puede hacerse del número bíblico de la bestia con los números: 1523 + 2123 = 6666
(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2 = 666
(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ + 36)
Descomponiendo las potencias en sucesión de cubos
152 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225
212 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441
Luego los cubos consecutivos suman: 666 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13
Y las curiosidades persisten, la suma de las sucesiones que relacionan al número de hombre bíblico
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
→ 15 + 21 = 36 = 62
Ruben Darío Muñoz López
TRIANGULO NUMÉRICO DE TERNAS PITAGÓRICAS
Las TPs para cateto menor impar y k=1, se ordenan bellamente en un triángulo numérico. La cantidad
de términos de cada fila se corresponde con la posición u orden de la fila y la secuencia natural de
números enteros, así como con el valor del cateto menor “x”. La hipotenusa se ordena invariablemente
en la columna central, el cateto mayor se ubica en la misma fila una posición anterior a la hipotenusa.
Fila
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
T. PITAGORICAS
Los numeros naturales escritos
verticalmente determinan la
fila en que se ubica el cateto
menor impar "x"
x2 −1
y=
2
22
29
37
56
38
26
41
x
1
y
0
z
1
3
4
5
15
5
12 13
7
24 25
9
40 41
21
27
34
42
51
61
Para K=1; la hipotenusa "z" se
ubica en la culumna del
medio del triángulo numérico
y el cateto mayor " y" un valor
consecutivo menor.
20
33
50
60
14
25
40
10
19
32
49
59
13
24
39
6
9
18
31
48
58
12
23
3
5
8
17
30
47
57
2
11
16
z
1
4
7
x2 +1
z=
2
46
y
43
52
62
28
35
36
44
53
63
45
54
64
55
65
66 11 60 61
Sea:
a
b
T
ye
: Primer término de cada fila. Ejemplo: 4, 11, 22, 37…
: Último término de cada fila. Ejemplo: 6, 15, 28, 45…
: Cantidad de términos de cada fila (igual a x) Ejemplo: 3, 5, 7, 9…
: Reflejo de cateto mayor. Ejemplo 6, 14, 26, 42…
Se puede demostrar fácilmente, el cumplimiento de la estructura numérica de las ternas en función de la
fila “x”. La cantidad de términos de la sucesión es la diferencia de extremos más una unidad: 𝑥 = 𝑏 −
𝑎 + 1 y el valor de “z” es el promedio de los extremos a y b, luego: 2𝑧 = 𝑎 + 𝑏 operando con ambas
ecuaciones obtennos expresiones conocidas como:
𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑥2 + 𝑥
𝑥2 + 1
2𝑧 =
+
⇒𝑧=
2
2
2
Obteniendo la formula general para hallar la hipotenusa. Un concepto interesante es el valor espejo del
cateto mayor “ye” y que corresponde al término equidistante hacia la derecha de la hipotenusa del cateto
mayor. Es decir:
𝑥2 + 1
𝑥2 − 1
𝑥2 + 3
𝑧=
𝑦=
=𝑧−1
𝑦𝑒 =
=𝑧+1
2
2
2
Es evidente que la cantidad de términos de cada fila es la secuencia natural, aunque esto también puede
demostrarse, pero lo considero ocioso. Por ello T = x
𝑏
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥
𝑥3 + 𝑥
𝑎=
𝑏=
∑ 𝑇=
2
2
2
𝑎
Parece importante este concepto que, circunscrito a la primalidad de
los números, podemos afirmar que una tripleta de números
consecutivos se puede relacionar a un número primo, estrechamente
relacionada con la TPs de Números enteros. Así 242526 corresponde
al primo 7
x
3
5
7
11
y
4
12
24
60
z
5
13
25
61
ye
6
14
26
62
NOTA: Las fórmulas son validad también para filas pares, es decir se cumple la relación pitagórica, con la
diferencia de que la hipotenusa es un racional igual al promedio de los términos de cada fila. Resulta interesante
que la sumatoria de cada fila del triángulo numérico corresponde con la suma de la diagonal de un cuadrado
mágico de orden impar donde “x” es el número de casillas del lado del CM, el cual se explica con mayor detalle
en el capítulo de ternas y cuadrados mágicos.
El teorema de Pitágoras
LA PIRÁMIDE NUMÉRICA DE TERNAS PITAGÓRICAS Y LOS CUADRADOS MÁGICOS
4
5
6
11
12
13
14
15
22
23
24
25
26
27
28
8
1
6
17
24
1
8
15
30
39
48
1
10
19
28
3
5
7
23
5
7
14
16
38
47
7
9
18
27
29
4
9
2
4
6
13
20
22
46
6
8
17
26
35
37
10
12
19
21
3
5
14
16
25
34
36
45
11
18
25
2
9
13
15
24
33
42
44
4
21
23
32
41
43
3
12
22
31
40
49
2
11
20
Las diagonales de los cuadrados mágicos de orden impar son series ordenadas de números naturales que
contienen en la diagonal a la hipotenusa de ternas pitagóricas irreductibles para cateto menor impar y
diferencia pitagórica k = 1 en la celda del medio y una celda anterior al cateto mayor. La cantidad de
celdas por fila es igual al valor del cateto menor. Este es el origen de la pirámide numérica de ternas
pitagóricas presentadas en el capítulo correspondiente a este tópico.
QUÉ SERIE CONTINUA A LAS SIGUIENTES
4
5
6
( )
11
12
13
14
15
22
23
24
25
26
27
28
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
La respuesta al acertijo corresponde a la serie de números de la diagonal ordenada ascendentemente de
un cuadrado mágico de orden 9 x 9.
3 términos entonces x = 3
5 términos entonces x = 5
7 términos entonces x = 7
9 términos entonces x = 9
( )
22
( )
11
23
( )
4
12
24
(40)
5
13
25
(41)
6
14
26
( )
15
27
( )
28
( )
( )
Ruben Darío Muñoz López
EL TEOREMA DE PITÁGORAS POR SUCESIÓN DE SUMA DE CUBOS.
Es posible determinar una relación entre la
suma de los cubos de la serie natural y el
teorema de Pitágoras.
Para todo cateto menor cuya magnitud es igual
a un cuadrado perfecto existe al menos una terna
pitagórica de números enteros positivos para los
cuales el cateto mayor y la hipotenusa contienen
la suma de cubos de la serie natural; es decir
para todo “x” cuadrado perfecto, corresponde
un cateto mayor y, y una hipotenusa “z” que
contienen una suma de cubos de la serie natural.
de cubos de los primeros “x” números naturales
entre el cateto menor “x”. Del mismo modo el
cateto mayor cumple condición similar, pero
disminuyendo la serie en un elemento.
𝑥 = 𝑘2
∧
√𝑆 =
𝑛2 + 𝑛
2
13 + 23 + 33 +. . . +(𝑥 − 1)3
𝑦=√
𝑥
13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
𝑧=√
𝑥
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
Haciendo los siguientes arreglos:
Dividiendo ambos términos por “k”
√𝑆 𝑛2 + 𝑛
=
𝑘
2𝑘
Recordemos que una serie natural es el conjunto
de números de la forma 1, 2, 3, 4, …, n y cuyos
elementos pueden establecer sumatorias
ordenadas de potencias lineales, cuadradas,
cubicas etc. En este caso particular nos interesa
la sumatoria de los cubos de la serie natural.
Considerando un valor n = k2 y remplazando, se
obtiene una expresión similar a la formula
general de TP de números enteros; donde el
término de la derecha es “z” y por tanto x = k2.
√𝑆 (𝑘 2 )2 + 𝑘 2
√𝑆
=
⇒
=𝑧
𝑘
2𝑘
𝑘
2
por tanto: 𝑆 = (𝑧𝑘)
𝑆 = 13 + 23 + 33 +. . . +𝑛3
Cuya suma se estable por la expresión:
2
𝑛2 + 𝑛
S = 13 + 23 + 33 + ... + 𝑛3 = (
)
2
Vamos a demostrar que existe una terna (x, y, z)
que cumple con las siguientes propiedades, es
decir, para:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑆 = 13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
Se cumple que la hipotenusa es igual a la raíz
cuadrada del cociente de la suma de la sucesión
Como la diferencia pitagórica es simplemente
“k” por ende el cateto mayor, es y = z - k; Dicho
de otro modo, el cuadrado del producto de la
hipotenusa por La diferencia pitagórica es la
suma de una sucesión de cubos de la serie
natural.
13 + 23 + 33 +. . . +(𝑛 = 𝑘 2 )3
= 𝑧2
𝑘2
Esta relación se cumple si y sólo si el último
término de la sucesión es un cuadrado prefecto,
es decir x = n2.
El teorema de Pitágoras
COMPROBACIONES
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 sí x es cuadrado perfecto.
2
2
13 + 23 + 33 +. . . +(𝑥 − 1)3
13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
𝑥2 + √
=√
𝑥
𝑥
13 + 23 + 33 +. . . +(𝑥 − 1)3 13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
𝑥 +
=
𝑥
𝑥
LQQD
2
𝑥 3 + 13 + 23 + 33 +. . . +(𝑥 − 1)3 = 13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
También se cumple que:
((𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 1))2 (𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 1) 𝑥 2 − 𝑥
13 + 23 + 33 +. . . +(𝑥 − 1)3
𝑦=√
=√
=
=
𝑥
4𝑥
2√𝑥
2√𝑥
(𝑥 2 + 𝑥)2 𝑥 2 + 𝑥 (x + 1)√𝑥
13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
𝑧=√
=√
=
=
𝑥
4𝑥
2
2√𝑥
2
2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
𝑥
𝑘 =𝑧−𝑦 =
−
=
= √𝑥
2√𝑥
2√𝑥
√𝑥
EN CONCLUSIÓN
𝑥 = 𝑘2
𝑧=
13 + 23 + 33 +. . . +𝑥 3
√𝑆
=√
𝑘
𝑥
𝑦 = 𝑧 − 𝑘 = 𝑧 − √𝑥
Ejemplo
Sea: S = 13 + 23 + 33 + ... + 93
Como 9 = 32; entonces, k = 3 y la sucesión
puede expresarse así:
S = 13 + 23 + 33 + ... + (32 )3 → 𝑧 = 15
Corolario
La suma de la sucesión de cubos dividido entre la cantidad de términos de dicha sucesión, si este es un
cuadrado perfecto, corresponde a la hipotenusa de una TP entera.
Ruben Darío Muñoz López
CONJUNTO DE TERNAS DE SERIE DE POTENCIAS
Dada la siguiente suma de la serie de potencial iguales: 𝑏
⏟𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + ⋯ + 𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑎+1 en la que la
𝑏 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
cantidad de términos de la suma es igual a la base de las potencias, y el teorema de Pitágoras, aplicado
a números enteros Z+: 𝑥 2 + 𝑦𝑖2 = 𝑧𝑖2 tal que 𝑥 = 𝑏 𝑎+1 dónde: 𝑘 = {𝑏, 𝑏 2 , 𝑏 3 , 𝑏 4 … 𝑏 a }
Existen un conjunto de ternas enteras que cumplen con las fórmulas de generación de ternas enteras
según el siguiente arreglo:
𝑥 = 𝑏 𝑎+1
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑘 2
𝑏 2(𝑎+1) + 𝑘 2
𝑧=
ó𝑦+𝑘
2𝑘
2𝑘
A continuación, se presenta el cuadro mostrando los conjuntos potenciales de ternas enteras generadas
aplicando las fórmulas generales para generación de ternas pitagóricas de números enteros Z+
𝑦=
𝑦 = {𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … 𝑦𝑎 }
x
𝑦1 =
𝑧 = {𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … 𝑧𝑎 }
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 2
2𝑏
𝑧1 = 𝑦1 + 𝑏
2
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 2
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 4
𝑦2 =
⇒
2𝑏 2
2𝑏 2
2
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 3
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 6
𝑦3 =
⇒
2𝑏 3
2𝑏 3
2
𝑥 = 𝑏 𝑎+1
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 4
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 8
𝑦4 =
⇒
2𝑏 4
2𝑏 4
... ... ...
... ... ...
𝑧2 = 𝑦2 + 𝑏 2
𝑧3 = 𝑦3 + 𝑏 3
𝑧4 = 𝑦4 + 𝑏 4
... ... ...
... ... ...
2
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 i
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 2𝑖
𝑦𝑖 =
⇒
2𝑏 i
2𝑏i
𝑦𝑎 =
𝑧𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝑏 i
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 a 2
𝑏 2(𝑎+1) − 𝑏 2𝑎
⇒
2𝑏 a
2𝑏 a
𝑧𝑎 = 𝑦𝑎 + 𝑏 a
Nota: También es válido considerar b0 para k=1
Ejemplo: Hallar el conjunto de ternas enteras para la siguiente serie: 34 + 34 + 34 = 35
Por tanto, el valor del cateto menor será x = 35
x
729
y
z
x2
y2
z2
k =ba
972
1215
531441
944784
1476225
243
3240
3321
531441
10497600
11029041
81
9828
9855
531441
96589584
97121025
27
29520
29529
531441
871430400
871961841
9
88572
88575
531441
7844999184
7845530625
3
265720
265721
531441
70607118400
70607649841
1
El teorema de Pitágoras
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN IMPAR Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS
NOMENCLATURA
TPs: Ternas pitagóricas de triángulos rectángulos
de lados enteros
CMs: Cuadrados mágicos de Orden Impar
fx : Fila del cateto x
fy : Fila del cateto y
fz : Fila de la hipotenusa z
d: Distancia vertical entre fz y fx (d = fz - fx)
1°: Posición inicial, numéricamente igual a 1
x° : Posición de x, numéricamente igual a x
CM2n+1: Cuadrado mágico de orden impar
Las TPs, son fundamentalmente sucesiones
numéricas establecidas con precisión y que se
adecuan a una estructura funcional de variable
discreta, por ello no es una simple curiosidad
matemática que también se las encuentre en los
cuadrados mágicos de orden impar. A
continuación,
vamos
a
determinar
analíticamente la posición de los Terniles
pitagóricos en un Cuadrado Mágico de Orden
Impar por el método de LOUBERE,
considerando que éste no es el único método de
construcción de CM2n+1, pero, en todos ellos sin
excepción se pueden encontrar ternas
pitagóricas ordenadas en una estructura
preestablecida. En este caso vamos a trabajar
ternas para k=1.
17
23
4
10
11
30
38
46
5
13
21
22
39
47
6
14
15
23
31
8
3
4
1
5
9
6
7
2
24
5
6
12
18
1
7
13
19
25
8
14
20
21
2
48
7
8
16
24
32
40
1
9
17
25
33
41
49
10
18
26
34
42
43
2
15
16
22
3
9
19
27
35
36
44
3
11
47
57
67
77
6
16
26
36
37
58
68
78
7
17
27
28
38
48
69
79
8
18
19
29
39
49
59
80
9
10
20
30
40
50
60
70
1
11
21
31
41
51
61
71
81
12
22
32
42
52
62
72
73
2
23
33
43
53
63
64
74
3
13
34
44
54
55
65
75
4
14
24
45
46
56
66
76
5
15
25
35
Se observa un patrón de comportamiento
posicional de los catetos y la hipotenusa de un
TP de lados enteros k=1 con los valores de las
casillas de los CM2n+1. La posición estricta de
todos los valores de las TPs se muestra como
indicios en los siguientes gráficos, él se
demostrará analíticamente a continuación.
DEMOSTRACIÓN DE CORRELACIÓN
DE TPs Y CM2n+1 PARA k=1
Las TPs siguen una estricta distribución según
el grafico de la izquierda, siendo función directa
de x.
28
29
37
45
4
12
20
n
1
2
3
4
…
…
n
x
3
5
7
9
…
…
2n+1
d = fz - fx
0
1
2
3
…
…
n-1
Ruben Darío Muñoz López
POSICIÓN DE X
Contando desde la casilla central (1°):
Deduciendo del grafico superior se tiene que La
casilla donde se ubica x corresponde a la xesima
casilla contando de izquierda a derecha desde el
centro de la primera fila y continuando en la
segunda fila. Es decir, el valor de x° = x; dicho
de otro modo, el valor de x se ubica en una
casilla a x° distancia de la casilla central
contando de izquierda a derecha.
1° +
𝑥−1 𝑥−1
2𝑥 − 2
+
= 1° +
= 𝑥°
2
2
2
Observando detenidamente, nos damos cuenta
de que la cantidad de casillas desde 1° hasta x,
es una fila completa, siendo esta una deducción
mucho más directa.
CALCULO DE LA DISTANCIA
VERTICAL d ENTRE x E y
De la tabla se observa que la distancia “d”, es
una unidad menor que n:
𝑑 = 𝑛−1 ⟹ 𝑛 = 𝑑+1
𝑥−1
𝑥 = 2𝑛 + 1 ⟹ 𝑛 =
2
Igualando las ecuaciones en “n”:
𝑑+1=
𝑥−1
2
⟹𝑑=
𝑥−3
2
A medida que x se incrementa, n asume valores
consecutivos de la serie natural: 1, 2, 3, 4…etc.
Esto es importantísimo ya que por primera vez
nos damos cuenta con claridad, que la distancia
entre filas de los catetos y la hipotenusa se
corresponde con la sucesión natural de números
enteros positivos.
z
5
13
25
41
61
85
113
145
y
4
12
24
40
60
84
112
144
x
3
5
7
9
11
13
15
17
n=fz-fx
0
1
2
3
4
5
6
7
n'=fy-fx
1
2
3
4
5
6
7
8
n''=fz-fy
0
0
0
0
0
0
0
0
POSICIÓN DE Z
Por otro lado, la cantidad de celdas de todo CM
impar es: x * x es decir x2. Evidentemente se
corresponde con la sumatoria de la sucesión
natural de 1 hasta x2 ya que esa es la cantidad de
celdas.
Snxn = 1+2+3+4+…x2
𝑆𝑥×𝑥 =
𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
2
Dividendo entre la “x” filas obtenemos la
sumatoria de cada una de las filas o columnas.
𝑥 2 (𝑥 2 + 1) 𝑥(𝑥 2 + 1)
𝑆𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 =
=
2𝑥
2
Volviendo a dividir entre “x” que es la cantidad
de celdas por cada columna obtenemos el valor
de la celda central, en este caso que corresponde
a z.
𝑥(𝑥 2 + 1) 𝑥 2 + 1
𝑧=
=
2𝑥
2
Formula que se corresponde con la que
utilizamos para hallar la hipotenusa en la
generación de ternas pitagóricas cuando k=1.
𝑥2 + 1
𝑧=
2
POSICIÓN DE Y
Observamos que y esta una celda por debajo en
diagonal de z, es decir: y = z – 1 tal y como está
demostrado.
De esta forma hemos demostrado que:
1. z siempre se encuentra en la celda central
(Centro geométrico del CM), alineada con 1
y con el último valor x2, lo cual no requiere
demostración por ser parte de la data del
problema.
2. x e y siempre están alineadas en una columna
anterior a la columna central, espaciadas por
una distancia vertical d, según formula
𝑥−3
deducida: 𝑑 =
2
3. x esta una celda por debajo en diagonal de 1,
al igual que y está por debajo de z una celda
en diagonal. Es decir, la distancia vertical es
cero al igual que para y y z
4. La distancia de 1 a x en orden absoluto
contando de derecha a izquierda es x
El teorema de Pitágoras
CONCLUSIÓN
Las ternas pitagóricas presentan en estas
circunstancias una conexión directa con la
disposición de los CM impares.
1. z se encuentra en la celda central (Centro
geométrico del CM)
2. y una columna anterior a la columna central,
una casilla en diagonal por debajo de z
3. x Alineada con y en la segunda fila, una
casilla por debajo de 1 en diagonal.
A la derecha de (x+2) se encuentran una
sucesión natural de naturales que es el producto
por 1, 2, 3, … (x-1), es decir: (x+2)r
tal que r = 1, 2, 3, ... (x-1)
OTRAS DEMOSTRACIONES CONEXAS
Posición de las ternas en orden absoluto:
𝑥° =
3𝑥 − 1
2
𝑦° =
𝑥 2 + 2𝑥 − 1
2
𝑧° =
𝑥2 + 1
2
Posición de las ternas con respecto a x:
(𝑥 − 1)2
2
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
𝑦° =
2
𝑧° =
Valores de los extremos:
𝑥+3
𝑎=
2
𝑏 = 2𝑧 − 𝑎
𝑧=
𝑎+𝑏
2
Inspeccionando los valores en los CM2n+1
encontramos que, a la derecha de x, se encuentra
x+2
La suma de y + z = x2
No es una curiosidad o simple coincidencia,
pues otro método de construcción de CM2n+1 de
orden impar e incluso simples ordenamientos
consecutivos de números naturales, también
presentan un ordenamiento preciso de las ternas
pitagóricas, siendo algunos tan evidente la
posición de las TPs, que no requiere una
demostración a posteriori.
Ahora extenderemos estos conceptos a otro tipo
de ordenamiento de cuadrados numéricos. Dado
cualquier ordenamiento numérico de la
secuencia natural de números enteros positivos,
siempre existirá un patrón reconocible del
ordenamiento de las ternas pitagóricas, ya que
todo cateto menor impar, pertenece a la
sucesión natural de impares cuya distancia
aritmética es 2, existe una correspondiente
sucesión natural para el cateto mayor y la
hipotenusa.
Veamos
los
siguientes
ordenamientos.
Ruben Darío Muñoz López
LAS TERNAS PITAGÓRICAS COMO FUNCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS
Las TP de números Z+, de cuadrados mágicos mantiene las siguientes relaciones:
Cateto menor
Orden del
cuadrado
mágico
Cantidad
de casillas
Cateto mayor
Hipotenusa
Suma de
términos
𝑆𝑥 =
𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
2
𝑥2 − 1
2
(𝑥 2 − 1)2
𝐶𝑦 =
4
(𝑥 2 − 1)4 + 4(𝑥 2 − 1)2
𝑆𝑦 =
32
Suma de
filas
𝐿𝑥 =
𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
2𝑥
𝐿𝑦 =
(𝑥 2 − 1)3 + 4(𝑥 2 − 1)
16
𝐿𝑦 =
Casilla
central
𝑗𝑥 =
(𝑥 2 + 1)
2
𝑗𝑦 =
(𝑥 2 − 1)2 + 4
8
𝑗𝑧 =
𝑥
𝑦=
𝐶𝑥 = 𝑥 2
𝑥2 + 1
2
(𝑥 2 + 1)2
𝐶𝑧 =
4
(𝑥 2 + 1)4 + 4(𝑥 2 + 1)2
𝑆𝑧 =
32
𝑧=
(𝑥 2 + 1)3 + 4(𝑥 2 + 1)
16
(𝑥 2 + 1)2 + 4
8
Dichas relaciones se pueden vislumbrar en el
siguiente gráfico y en dos ejemplos de ternas y
sus relaciones dentro de los cuadrados mágicos
de orden CM2m+1
➢
➢
➢
➢
➢
Ternas
Cuadrados de la terna
Suma de CM2m+1
Suma de filas o columnas
Celda central
x
3
9
45
15
5
y
4
16
136
34
8.5
z
5
25
325
65
13
RESUMEN GRÁFICO
x
5
25
325
65
13
y
12
144
10440
870
72.5
z
13
169
14365
1105
85
El teorema de Pitágoras
CORRELACIÓN DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ENTEROS Y CUADRADOS MÁGICOS
DE ORDEN IMPAR.
Acomodando un triángulo pitagórico de lados enteros para k=1, en la misma cantidad que indica el valor
absoluto del cateto menor (para x =3 tres triángulos, para x=5 cinco triángulos, y así sucesivamente; se
encuentra una serie de relaciones entre los diversos elementos del TP y los valores que se obtienen en
los CMs, como la cantidad de casillas, suma de filas o columnas y la suma total del Cuadrado Mágico
correspondiente al orden que indica el cateto menor del TP.
Así tenemos que para:
EJEMPLOS
TRIANGULO RECTÁNGULO: 3, 4, 5
Cantidad de casillas:
3+3+3=9
Suma de filas o columnas:
5 + 5 + 5 = 15
8
3
4
15
1
5
9
15
6
7
2
15
Suma de celdas:
15
15
15
45
3x5 + 3x5 + 3x5 = 45
TRIANGULO RECTÁNGULO: 5, 12, 13
Cantidad de casillas:
5+5+5+5+5 =25
Suma de filas o columnas:
13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 65
Suma de celdas:
5x13 + 5x13 + 5x13 + 5x13 + 5x13 = 325
FORMULAS DERIVADAS
17
23
4
10
11
65
24
5
6
12
18
65
1
7
13
19
25
65
8
14
20
21
2
65
15
16
22
3
9
65
65
65
65
65
65
325
➢ Cantidad de casillas:
➢ Suma de filas o columnas:
➢ Suma de celdas:
x2
xz
x2z
Ruben Darío Muñoz López
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN IMPAR POR EL MÉTODO BRACHET
La
hipotenusa
se
ubica
exactamente el centro geométrico
del CM, el cateto menor un
cuadrado hacia la izquierda y el
cateto mayor un cuadrado encima
del cateto mayo.
Se presenta el método constructivo
con el objetivo de mostrar
didácticamente el origen de esta
disposición ya que el cateto menor
coincide con el extremo más
oriental de la geometría de
composición. La hipotenusa se
ubica en el centro geométrico y los
catetos a la izquierda tal como se
muestra en los gráficos.
ENIGMA
“El numero que no es, os conducirá por el camino que lleva a
la vida eterna. He aquí la subiduria es un número de hombre
que es, que no fue y que será
47
23
5
29
53
35
11
1° Pista: Cuadrado mágico 3x3 con siete números, seis de ellos primos y uno compuesto que involucra
un numero divino es decir 7x5
2° Pista: Los NÚMEROS de la diagonal del cuadro inferior izquierdo al cuadro superior derecho
muestran que la distancia entre los NÚMEROS es 6
El que tenga inteligencia calcule, pues el número de hombre para el que tenga sabiduria es el 6. Al
completar el cuadrado magico todos los NÚMEROS a excepcion de 35 son primos.
Por ende 35 es el numero que no es, sin embargo, la
respuesta no sería tan evidente si se quiere proteger algo
valioso
47
17
23
5
29
53
35
41
11
87
87
87
Tomamos el 35 y lo colocamos en el centro de otro
cuadrado magico de 3 x 3 y se completa con el resto de
NÚMEROS primos incrementanod el valor inical en 6
unidades (11).
53
23
29
11
35
59
41
47
17
105
105
105
Surgiendo un nuemvo número primo, el ultimo del CM
(59) que es el número que falta. Encontrandose ademas
que a suma de los extremos es 70 un numero sagrado.
El teorema de Pitágoras
ORDENAMIENTO PITAGÓRICO SEGÚN BASE MODULAR
Ordenando los números enteros positivos, por ejemplo, en columnas de 2, 3 y cuatro, vemos que el
ordenamiento es evidente para k=1: para módulo 2.
k=1
x-z
y
y
x-z
x-y
z
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
52
55
58
61
64
67
70
73
76
79
82
85
2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
38
41
44
47
50
53
56
59
62
65
68
71
74
77
80
83
86
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
78
81
84
87
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
101
105
109
113
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
k=2
x-z y
x-y
2
6
10
14
18
22
26
30
34
38
42
46
50
54
58
62
66
70
74
78
82
86
90
94
98
102
106
110
114
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
84
88
92
96
100
104
108
112
116
3
7
11
15
19
23
27
31
35
39
43
47
51
55
59
63
67
71
75
79
83
87
91
95
99
103
107
111
115
x-z
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
111
116
121
126
2
7
12
17
22
27
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
102
107
112
117
122
127
3
8
13
18
23
28
33
38
43
48
53
58
63
68
73
78
83
88
93
98
103
108
113
118
123
128
4
9
14
19
24
29
34
39
44
49
54
59
64
69
74
79
84
89
94
99
104
109
114
119
124
129
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
121
127
133
2
8
14
20
26
32
38
44
50
56
62
68
74
80
86
92
98
104
110
116
122
128
134
x
y
3
9
15
21
27
33
39
45
51
57
63
69
75
81
87
93
99
105
111
117
123
129
135
4
10
16
22
28
34
40
46
52
58
64
70
76
82
88
94
100
106
112
118
124
130
136
x-z
5
11
17
23
29
35
41
47
53
59
65
71
77
83
89
95
101
107
113
119
125
131
137
y
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120
126
132
138
Ruben Darío Muñoz López
CUADRADOS NUMÉRICOS DE ORDEN SECUENCIAL
Ternas pitagóricas, de cateto menor impar, ordenados en cuadrados numéricos de orden secuencial
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
18
8
9
10
11
12
13
14
19
20
21
22
23
24
25
26
27
15
16
17
18
19
20
21
28
29
30
31
32
33
34
35
36
22
23
24
25
26
27
28
37
38
39
40
41
42
43
44
45
29
30
31
32
33
34
35
46
47
48
49
50
51
52
53
54
36
37
38
39
40
41
42
55
56
57
58
59
60
61
62
63
43
44
45
46
47
48
49
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
1
2
3
4
5
1
2
3
6
7
8
9
10
4
5
6
11
12
13
14
15
7
8
9
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Dario Lanni
Como se desprende del cuadro inferior, “y” corresponde a la sumatoria de la sucesión natural
multiplicada por 4, lo mismo ocurre para la hipotenusa que es una unidad mayor que “y”.
x =2n+1
2(0)+1 2(1)+1 2(2)+1 2(3)+1 2(4)+1 2(5)+1 2(6)+1 2(7)+1
1
3
5
7
9
11
13
15 …
y
0
0
y
=
4
+4
1(4)
12
+8
2(4)
40
+16
4(4)
60
+20
5(4)
84
+24
6(4)
(1 + 2 + 3 + 4 + …. + n) 4
𝑦 = (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)4 = [
Como 𝒙 = 𝟐𝒏 + 𝟏
24
+12
3(4)
⟹𝑛=
𝑛(𝑛 + 1)
]4
2
𝑥−1
2
𝑥−1 𝑥−1
( 2 ) ( 2 + 1)
𝑥2 − 1
𝑦=[
]4 =
2
2
La fórmula general para el cateto mayor de TP de cateto menor impar.
112
+28
7(4)
2(n)+1
… 2n(n+1)
…
… n(4)
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS POR MODULARIDAD
Este procedimiento que bien puede denominarse método modular o de la pirámide invertida de ternas
pitagóricas, en realidad es un método grafico que permite determinar ternas pitagóricas irreductibles
para k=1.
El método está fundamentado en las propiedades modulares de números impares. Básicamente se
construye una matriz de 𝑏 × 𝑐, donde la cantidad de celdas por fila es b y la cantidad de celdas por
𝑏+1
columna es 𝑐 = 2 . Por lo tanto, la cantidad total de celdas será 𝑏 × 𝑐. Empezando en la primera celda
de la primera fila y columna se consignan ordenadamente la serie natural 1, 2, 3, …, bc de izquierda a
derecha y de arriba hacia abajo.
Módulo 3
Módulo 5
1
4
2
5
3
6
1 2 3
6 7 8
11 12 13
3
4
5
5
Módulo 7
4 5
9 10
14 15
Módulo 9
1 2 3
4
5
6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
12 13
7
1
10
19
28
37
2
11
20
29
38
3
12
21
30
39
4
13
22
31
40
24 25
5
14
23
32
41
6
15
24
33
42
7
16
25
34
43
8
17
26
35
44
9
18
27
36
45
9 40 41
La hipotenusa se encuentra en la intersección de las diagonales trazadas desde los extremos de la primera
fila, es decir desde 1 y b hacia abajo cortándose exactamente en la celda del medio de la última fila
(resaltada en fondo amarillo.
El cateto mayor simplemente se ubica una celda anterior a la hipotenusa, resaltada en color rojo.
El cateto menor x corresponde a la última celda de la primera fila hacia el lado derecho, resaltada en
fondo celeste, por tanto, x = b. En consecuencia, x distancia de la primera celda en b unidades y por
tanto es la base modular.
Veamos otros ejemplos para b = 11 y b = 13
BASE MODULAR 11
1
12
23
34
45
56
2
13
24
35
46
57
3
14
25
36
47
58
4
15
26
37
48
59
5
16
27
38
49
60
6
17
28
39
50
61
7
18
29
40
51
62
11 60 61
8
19
30
41
52
63
BASE MODULAR 13
9
20
31
42
53
64
10
21
32
43
54
65
11
22
33
44
55
66
1
14
27
40
53
66
79
2
15
28
41
54
67
80
3
16
29
42
55
68
81
4
17
30
43
56
69
82
5
18
31
44
57
70
83
6
19
32
45
58
71
84
7
20
33
46
59
72
85
8
21
34
47
60
73
86
13 84 85
9
22
35
48
61
74
87
10
23
36
49
62
75
88
11
24
37
50
63
76
89
12
25
38
51
64
77
90
13
26
39
52
65
78
91
Ruben Darío Muñoz López
ESCALERA PITAGÓRICA
2n+1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
1-5*
1
5
13
25
41
61
85
113
145
4-6 3-5 2-4
* Los números a-b son los residuos al dividirlos entre 6
1-3 2-6 1-5 4-6
4
3
2
3-5 2-4 1-3
12 11 10 9
8
7
6
24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
40 39 38 37 36 35 34 33 32 31
60 59 58 57 56 55 54 53 52 51
84 83 82 81 80 79 78 77 76 75
112 111 110 109 108 107 106 105 104 103
144 143 142 141 140 139 138 137 136 135
2-6
i La columna resaltada en fondo amarillo son las hipotenusas
ii La columna resaltada en verde son los catetos mayores
iv La columna resaltada en color celeste a los catetos menores (números impares)
1-5 4-6 3-5 2-4
14
1-3 2-6 1-5 4-6
30 29 28 27 26
3-5 2-4 1-3 2-6
50 49 48 47 46 45 44 43 42
1-5 4-6 3-5 2-4
74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62
1-3 2-6 1-5 4-6
102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86
134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114
Si se considera a las hipotenusas 5, 13, 25, 41, …etc. como una serie, cada termino Zi está determinado
en función del término anterior por la siguiente expresión: 𝑧𝑖 = 4𝑛𝑖 + 𝑧𝑖−1
Del mismo modo, el cateto mayor Yi estará expresado por: 𝑦𝑖 = 𝑧𝑖 − 1
Si se enrollase la gráfica escalonada a partir de la columna amarilla, cada fila formaría un prisma regular
de sección poligonal Así para 5 se tendría 4, para 13 sería 8 lados, y así sucesivamente 12, 16, …, 4n
lados.
Esto determina que las hipotenusas de las ternas pitagóricas irreductibles para k = 1, son de la forma 4n
+ 1, pues se ajustan a la “modularidad” en base 4 (obsérvese el escalonamiento cada cuatro términos);
siéndose así entonces, los catetos mayores serian de la forma 4n, por lo tanto, el cuadrado del cateto
menor es de la forma 8n + 1.
El teorema de Pitágoras
𝑧 = 4𝑛 + 1
𝑦 = 4𝑛
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥 2 + (4𝑛)2 = (4𝑛 + 1)2
𝑥 2 = 8𝑛 + 1
Donde n es un número natural
que se ajusta exactamente a la
serie: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … s.
Una serie bastante conocida,
pues cada término es la
sumatoria de las series
naturales sucesivas.
Esto significa que basta
multiplicar la sumatoria de la
serie natural para un valor
requerido por 4 y añadirle una
unidad a esta suma y se obtiene
la hipotenusa de un triángulo
rectángulo irreductible para
k=1.
El cateto mayor, por tanto, será 4 veces la sumatoria. Aplicando el teorema de Pitágoras se tendrá
entonces, que el cateto menor es la raíz cuadrada de 8s menos 1.
𝑧 = 4𝑆 + 1
𝑦 = 4𝑆
𝑥 = √8𝑠 + 1
Ruben Darío Muñoz López
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS PARA CATETO MENOR “S”
Si el cateto menor es una sumatoria de la
sucesión natural S = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n.
𝑛(𝑛−1)
𝑥=𝑆= 2 ∧ 𝑛≥2
S2 − 4
S2 + 4
𝑆𝑖: 𝑘 = 2 ⟹ 𝑦 =
∧ 𝑧=
4
4
𝑆𝑖: 𝑘 = 1 ⟹ 𝑦 =
S2 − 1
S2 + 1
∧ 𝑧=
2
2
La suma de lados esta dado por:
𝑆2 − 𝑘2 𝑆2 + 𝑘2
𝑆𝑘 + 𝑆 2
𝑇=𝑆+
+
⟹𝑇=
2𝑘
2𝑘
𝑘
y
4
8
24
112
36
20
220
72
28
195
96
21
323
1012
z
5
10
26
113
39
25
221
75
35
197
100
35
325
1013
k
1
2
2
1
3
5
1
3
7
2
4
14
2
1
𝑛2 (𝑛 − 1)2 + 4𝑘 2
8𝑘
El valor de k está determinado por el valor de S.
Si S es par entonces k es par, si S es impar
entonces k es impar, y deben cumplir las
condiciones de divisibilidad establecidas para la
diferencia pitagórica.
Para k = 1 si la sumatoria es impar
𝑛(𝑛 − 1)
𝑥=
2
En general para cualquier k.
S2 − 𝑘 2
S2 + 𝑘 2
𝑦=
∧ 𝑧=
2k
2k
x
3
6
10
15
15
15
21
21
21
28
28
28
36
45
𝑧=
T
12
24
60
240
90
60
462
168
84
420
224
84
684
2070
𝑦=
𝑛2 (𝑛 − 1)2 − 4
8
𝑧=
𝑛2 (𝑛 − 1)2 + 4
8
Para k = 2 si la sumatoria es par
𝑛(𝑛 − 1)
𝑥=
2
𝑦=
𝑛2 (𝑛 − 1)2 − 16
16
𝑛2 (𝑛 − 1)2 + 16
16
Aplicando las fórmulas pitagóricas se establece
que la suma de los términos de una terna
pitagórica cuyo cateto menor es una sumatoria
natural, está dada por la expresión:
𝑆 2 + 𝑆𝑘
𝑆𝑥+𝑦+𝑧 =
𝑘
𝑧=
Nota: cuando S posee más divisores pitagóricas
entonces se obtiene diversas ternas pitagóricas.
2
𝑛(𝑛 − 1)
] − 𝑘2
2
𝑦=
2𝑘
[
𝑛2 (𝑛 − 1)2
− 𝑘2
4
y=
2𝑘
𝑦=
𝑛2 (𝑛 − 1)2 − 4𝑘 2
8𝑘
2
𝑛(𝑛 − 1)
] + 𝑘2
2
𝑧=
2𝑘
[
𝑛2 (𝑛 − 1)2
+ 𝑘2
4
𝑧=
2𝑘
EJERCICIO: Encontrar dos triángulos
rectángulos de lados enteros tal que sus catetos
menores son sumatorias de sucesiones naturales
y sus perímetros son iguales. Considere como
ayuda las siguientes expresiones.
𝑇1 ⟶ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛)2 + (𝑏 + 4)2 = 𝑐 2
𝑇2 ⟶ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 𝑚))2 + 𝑏 2 = (𝑐 − 1)2
SOLUCIÓN: Como los catetos menores son la
sumatoria de dos sucesiones naturales, entonces
m = n + 1; Remplazando valores e igualando los
perímetros se tiene que n = 4, por tanto, las
ternas son 10, 24, 26 y 15, 20, 25
Ruben Darío Muñoz López
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
El teorema de Pitágoras
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS DE LADOS
ENTEROS
Las funciones trigonométricas se definen como la razón o el resultado de dividir dos lados cualesquiera
de un triángulo rectángulo. Estas relaciones están en función del ángulo de apertura del ángulo inyector
o ángulo de referencia trigonométrica.
𝑦 𝑥2 − 𝑘2
=
𝑧 𝑥2 + 𝑘2
𝑥
2𝑥
cos 𝛼 = sen 𝛽 = = 2
𝑧 𝑥 + 𝑘2
sen 𝛼 = cos 𝛽 =
𝑦 𝑥2 − 𝑘2
tan 𝛼 = cot 𝛽 = =
𝑥
2𝑥
cot 𝛼 = tan 𝛽 =
𝑥2
2𝑥
− 𝑘2
sec 𝛼 = csc 𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 𝑘2
=
𝑥
2𝑥
csc 𝛼 = sec 𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 𝑘2
=
𝑦 𝑥2 − 𝑘2
cot 𝛼 = tan 𝛽 =
cos 𝛼
2𝑥
= 2
sin 𝛼 𝑥 − 1
sec 𝛼 = csc 𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 1
=
𝑥
2𝑥
csc 𝛼 = sec 𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 1
=
𝑦 𝑥2 − 1
para k = 1:
𝑦 𝑥2 − 1
=
𝑧 𝑥2 + 1
𝑥
2𝑥
cos 𝛼 = sen 𝛽 = = 2
𝑧 𝑥 +1
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = cos 𝛽 =
tan 𝛼 = cot 𝛽 =
sin 𝛼 𝑦 𝑥 2 − 1
= =
cos 𝛼 𝑥
2𝑥
para k = 2:
𝑦 𝑥2 − 4
=
𝑧 𝑥2 + 4
𝑥
2𝑥
cos 𝛼 = sen 𝛽 = = 2
𝑧 𝑥 +4
sen 𝛼 = cos 𝛽 =
tan 𝛼 = cot 𝛽 =
𝑦 𝑥2 − 4
=
𝑥
2𝑥
cot 𝛼 = tan 𝛽 =
2𝑥
−4
𝑥2
sec 𝛼 = csc 𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 4
=
𝑥
2𝑥
csc 𝛼 = sec 𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 4
=
𝑦 𝑥2 − 4
RESUMEN PARA CATETO MENOR PRIMO IMPAR para k = 1.
Las funciones trigonométricas de triángulos pitagóricos de lados enteros y cateto menor primo “x”
dependen solamente del cateto menor.
2𝑥
𝑥2 − 1
𝑥2 − 1
cos 𝛼 = 2
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 2
tan 𝛼 =
𝑥 +1
𝑥 +1
2𝑥
Ruben Darío Muñoz López
RELACIÓN DE ÁREAS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝐴𝑡 =
𝑥(𝑥 2 − 1)
2
𝐴𝑐 = 𝑥 2
𝐴𝑡 𝑥(𝑥 2 − 1) 𝑥 2 − 1
=
=
𝐴𝑐
2𝑥 2
2𝑥
⇒
𝐴𝑡
= tan 𝛼
𝐴𝑐
El potencial del método se puede apreciar, con lo siguientes ejemplos en los que se escoge
adecuadamente el valor del cateto menor, obteniéndose interesantes y bellas expresiones para ternas
pitagóricas en Z+
OTRAS EXPRESIONES
2𝐴
Si A es área del triángulo pitagórico, entonces la: tan 𝛼 = 𝑥 2
z
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
313
365
421
y
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
312
364
420
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Sen a = y/z
0.8
0.92307692
0.96
0.97560976
0.98360656
0.98823529
0.99115044
0.99310345
0.99447514
0.99547511
0.99622642
0.99680511
0.99726027
0.9976247
SENO DE TERNAS PITAGÓRICAS k=1
1.000
0.980
0.960
0.940
0.920
0.900
0.880
0.860
0.840
0.820
0.800
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
El teorema de Pitágoras
IDENTIDADES UNITARIAS PARA TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Se aclara que por tratarse de triángulos rectángulos de lados enteros se debe tener las siguientes
consideraciones: la suma de los ángulos α y ß son complementario por tanto su suma es 90°
De la identidad general, aplicada a ángulos complementarios se tiene que: sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1
sin2 𝛼 + sin2 𝛽 = 1
tan 𝛼 + cot 𝛼 =
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
1
𝑦 𝑥 𝑧2
= + =
=
sin 𝛼 cos 𝛼 𝑥 𝑦 𝑥𝑦
2𝑘𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
2𝑥
cos 2𝛼 = sen 2𝛽 = 2
𝑥 + 𝑘2
sen 2𝛼 = cos 2𝛽 =
tan 2𝛼 = cot 2𝛽 =
𝑥2 − 𝑘2
2𝑥
cot 2𝛼 = tan 2𝛽 =
𝑥2
2𝑥
− 𝑘2
sec 2𝛼 = csc 2𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 𝑘2
=
𝑥
2𝑥
csc 2𝛼 = sec 2𝛽 =
𝑧 𝑥2 + 𝑘2
=
𝑦 𝑥2 − 𝑘2
DEMOSTRACIONES
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜶
cos 2𝛼 =
4𝑥 2
𝑥 4 − 2𝑥 2 + 𝑘 4
−
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
cos 2𝛼 = −
cos 2𝛼 =
𝑥 4 − 6𝑥 2 + 𝑘 4
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
4𝑥 2 − (𝑥 2 − 𝑘 2 )2
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
Para k=1:
cos 2𝛼 = −
4𝑥 2 − (𝑥 2 − 1)2
𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶
sin 2𝛼 = cos(𝛼 − 𝛽) =
4𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
Ruben Darío Muñoz López
SENO DE SUMA Y SENO DE DIFERENCIA DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
De la fórmula general
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛽 cos 𝛼
De la fórmula general
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛽 cos 𝛼
De las funciones de ángulos complementarios
sin(𝛼 − 𝛽) = sin2 𝛼 − cos 2 𝛼
De las funciones de ángulos complementarios
sin(𝛼 + 𝛽) = 1
sin(𝛼 − 𝛽) =
(𝑥 2 − 𝑘 2 )2 − 4𝑥 2
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
Para k =1
sin(𝛼 − 𝛽) =
(𝑥 2 − 1)2 − 4𝑥 2
(𝑥 2 + 1)2
Formula abreviada para ambos casos:
(𝑥 2 − 𝑘 2 )2 ± 4𝑥 2
sin(𝛼 ± 𝛽) =
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
COSENO DE SUMA Y SENO DE DIFERENCIA DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
De la fórmula general
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 sin 𝛽
De la fórmula general
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sen 𝛼 sin 𝛽
De las funciones de ángulos complementarios
cos(𝛼 + 𝛽) = 0
De las funciones de ángulos complementarios
4𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
cos(𝛼 − 𝛽) = sin 2𝛼 =
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
Para k = 1
cos(𝛼 − 𝛽) = sin 2𝛼 =
4𝑥(𝑥 2 − 1)
(𝑥 2 + 1)2
SUMA DE SENOS Y DIFERENCIA DE SENOS
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
) cos ( 2 )
2
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin (
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin 45° cos
sin 𝛼 + sin 𝛽 = √2 cos (
𝛼−𝛽
2
𝛼−𝛽
)
2
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 cos
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sen 2
2
𝛼−𝛽
2
𝛼−𝛽
sin 𝛼 − sin 𝛽 = √2 sen (
)
2
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 cos 45° sen
SUMA DE COSENOS Y DIFERENCIA DE COSENOS
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos
2
2
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = √2 cos (
)
2
2
2
𝑥 + 2𝑥 − 𝑘
𝛼−𝛽
= cos (
)
2
√2(𝑥 2 + 𝑘 2 )
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sen
2
2
𝛼−𝛽
cos 𝛼 − cos 𝛽 = √2 sen (
)
2
cos 𝛼 − cos 𝛽 = 2 sen
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO
Demostrar que no existe un triángulo rectángulo de lados enteros que posea un ángulo agudo de 22.5°
DEMOSTRACIÓN
𝑦
De la definición de tangente: 𝑥 = √2 − 1
Si: 𝑥, 𝑘 𝜖 𝑍 + ∧ 𝑘 < 𝑥
⇒ 𝑥 2 − 𝑘 2 𝜖 𝑍 + ∧ 2𝑘𝑥 𝜖 𝑍 +
Luego:
𝑥2 − 𝑘2
2
2
2𝑘 = √2 − 1 ⇒ 𝑥 − 𝑘 = √2 − 1
𝑥
2𝑘𝑥
𝑥2 − 𝑘2
= √2 − 1
2𝑘𝑥
En consecuencia, no existe un triángulo
rectángulo de lados enteros que tenga un
ángulo agudo de 22.5°.
Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones:
TERNAS PITAGÓRICAS PARA CATETO PAR
x = 2n
y = n2 - 1
z = n2 + 1, entonces k = 2
TERNAS DE CATETO IMPAR
Si:
x = 2n + 1
y = 2n2 + 2n
𝜖 𝑍 + ∨ 𝑄+
Pero: √2 − 1 𝜖 𝐼 +
EJERCICIO
Si:
𝑥 2 −𝑘 2
2𝑘𝑥
= (n + 1)2 + (n - 1)
z = 2n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 + n, entonces k = 1
Ruben Darío Muñoz López
POTENCIAS NOTABLES DE TERNAS
PITAGÓRICAS
El teorema de Pitágoras
POTENCIAS NOTABLES DE TERNAS
Las ternas pitagóricas poseen algunas
interesantes propiedades relacionadas con
potencias perfectas.
POTENCIA IMPAR DE 3 DE X
Según el teorema de Pitágoras: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐
CUADRADO DE X
𝟐
𝟐
Según el teorema de Pitágoras: 𝒙 + 𝒚 = 𝒛
𝟐
Para todo “x” de la forma 2n - 1, para k = 1
existen ternas pitagóricas enteras que cumplen
con la siguiente condición: 𝒚 + 𝒛 = 𝒙𝟐
En general se cumple que:
𝒙𝟐
𝒚+𝒛 =
𝒌
Si la diferencia entre la hipotenusa y el cateto
mayor es 1, la suma del cateto mayor y la
hipotenusa es el cuadrado del cateto menor.
x
y
z
3
4
5
5
12
13
y + z = x2
3 2
9
Para todo “x” de la forma 3n, existen ternas
pitagóricas enteras para k = 3 que cumplen con
la siguiente expresión: 𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟐𝒏−𝟏
Si la diferencia entre la hipotenusa y el cateto
mayor es 3, la suma del cateto mayor y la
hipotenusa es una potencia impar de 3.
x
y
z
y + z = 3 2n-1
3
2
9
12
15
27
3
3
3
3
27
120
123
243
3
5
3
4
81
1092
1095
2187
3
7
3
5
243
9840
9843
19683
3
9
3
6
729
88572
88575
177147
3
11
Según el teorema de Pitágoras: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐
Si el cateto menor es una potencia natural de un
numero entero positivo, se cumple que la suma
del cateto mayor y la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es una potencia impar de un numero
natural, 𝒚 + 𝒛 = 𝒙𝟐𝒏−𝟏 . Es decir, toda potencia
impar de un numero natural se puede
descomponer en la suma de dos números
enteros positivos, tal que estos sean el cateto
mayor y la hipotenusa de una terna pitagórica de
números enteros, donde el cateto menor es el
número entero elevado a la mitad del
consecutivo de la potencia impar
Para todo “x” de la forma 2n, existen ternas
pitagóricas enteras para k = 2 que cumplen con
la siguiente condición: 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐𝒏−𝟏
Sea x = an y k2 = a2, entonces:
𝑥 2𝑛 − 𝑘 2
𝑎2𝑛 − 𝑎2
𝑦=
↔𝑦=
2𝑘
2𝑎
Si la diferencia entre la hipotenusa y el cateto
mayor es 2, la suma del cateto mayor y la
hipotenusa es una potencia impar de 2.
𝑦=
25
5
2
7
24
25
49
7
2
9
40
41
81
9
2
11
60
61
121
11
2
13
84
85
169
13
2
15
112
113
225
15
2
POTENCIA IMPAR DE 2 DE X
x
y
z
y + z = 2 2n-1
23
8
22
4
3
5
2
3
8
15
17
2
4
16
63
65
128
2
2
5
32
255
257
512
29
2
6
64
1023
1025
2048
2 11
128
4095
4097
8192
2 13
27
32
25
7
𝑎2𝑛−1 − 𝑎
𝑎2𝑛−1 + 𝑎
↔𝑧=
2
2
𝒚 + 𝒛 = 𝒂𝟐𝒏−𝟏
𝒛 − 𝒚 = 𝒂(𝒂𝟐(𝒏−𝟏) + 𝟏)
EJERCICIOS: Hallar las ternas pitagóricas
enteras que corresponden a triángulos
rectángulos, si se cumple que: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
a) y + z = 8
b) y + z = 32
c) y + z = 27
d) y + z = 243
Ruben Darío Muñoz López
CUADRADO DE Y - SUMA POR
DIFERENCIA
𝑥 2 + 𝑘 2 + 2𝑘𝑥
2𝑘
(𝑥 + 𝑘)2
𝑧+𝑥 =
2𝑘
En toda terna pitagórica x, y, z se cumple que el
producto de la suma por la diferencia de la
hipotenusa con el cateto menor siempre es un
número cuadrado perfecto.
𝑧+𝑥 =
𝑥2 + 𝑘2
−𝑥
2𝑘
DEMOSTRACIÓN
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑧−𝑥 =
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥 2 + 𝑘 2 − 2𝑘𝑥
𝑧−𝑥 =
2𝑘
𝑦2 = 𝑧2 − 𝑥2
𝑧−𝑥 =
Es obvio que se cumple que:
𝑦 2 = (𝑧 + 𝑥)(𝑧 − 𝑥)
En consecuencia, si k = 2 se tiene que:
2
(𝑥 + 2)
𝑧+𝑥 =(
)
2(2)
También se cumple que:
(𝑥 + 𝑘)2 (𝑥 − 𝑘)2
(𝑧 + 𝑥)(𝑧 − 𝑥) =
×
2𝑘
2𝑘
(𝑧 + 𝑥)(𝑧 − 𝑥) =
(𝑥 + 𝑘)2 (𝑥 − 𝑘)2
4𝑘 2
(𝑧 + 𝑥)(𝑧 − 𝑥) = (
(𝑥 + 𝑘)(𝑥 − 𝑘)
)
2𝑥
𝑧−𝑥 =(
2
x
4
6
8
10
12
14
16
18
20
𝑥2 + 𝑘2
+𝑥
2𝑘
y
3
8
15
24
35
48
63
80
99
z
5
10
17
26
37
50
65
82
101
z+x
9
16
25
36
49
64
81
100
121
(𝑥 − 2)
)
2(2)
2
Por tanto, en toda terna pitagórica x, y, z para
cateto menor par y diferencia pitagórica k = 2
se cumple que la diferencia y la suma de la
hipotenusa con el cateto menor siempre es un
número cuadrado perfecto. En consecuencia, el
cateto mayor “y” es la raíz cuadrada del
producto de la suma por la diferencia de la
hipotenusa z con el cateto menor x.
Por otro lado, de:
𝑦 = √(𝑧 + 𝑥)(𝑧 − 𝑥)
𝑧+𝑥 =
(𝑥 − 𝑘)2
2𝑘
z-x
1
4
9
16
25
36
49
64
81
y 2 = (z+x)(z-x)
9
64
225
576
1225
2304
3969
6400
9801
𝑦=
(𝑧 + 𝑥)(𝑧 − 𝑥)
3
8
15
24
35
48
63
80
99
Por Rubén D. Muñoz L. para Más allá del teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
PLANO SEXTAL Y LAS TERNAS
PITAGÓRICAS
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS Y SEXTALES
En este capítulo vamos a estudiar la posición
sextal de las ternas pitagóricas, las cuales
responden estrictamente a la distribución sextal
de números Z+. Tanto los catetos como la
hipotenusa se ordenan en ejes sextales
específicos dependientes del cateto menor y la
diferencia pitagórica siguiendo un orden
perfectamente preestablecido.
𝑦=
36𝑛2 + 12𝑛𝛼 + 𝛼 2 + 𝑘 2
𝑧=
2𝑘
Es importante destacar que α sólo puede tomar
uno de los seis valores comprendidos entre 1 y
6 lo que determina que α2 es 1, 4, 9→3, 16→4,
25→1, 36→6 es decir (1, 4, 3, 6)
respectivamente. Así mismo, si α es par,
entonces k es par, caso contrario si α es impar,
k también es impar, tal como se demostró en el
capítulo de la diferencia pitagórica y dicho valor
estará determinado en función de los criterios de
divisibilidad.
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝛧 +
∧ 𝑥 ∈ 𝜔𝛼 ⟷ 𝛼 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝜔𝛼2 − 𝑘 2
𝜔𝛼2 + 𝑘 2
𝑦=
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
𝑦=
36𝑛2 + 12𝑛𝛼 + 𝛼 2 − 𝑘 2
2𝑘
(6𝑛 + 𝛼)2𝛼 − 𝑘 2
(6𝑛 + 𝛼)2𝛼 + 𝑘 2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
***
Para 𝜔12 : x2=(6n+1)2
𝑦=
36𝑛2 + 12𝑛 + 12 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
36𝑛2 + 12𝑛 + 12 + 𝑘 2
2𝑘
Para 𝜔22 : x2=(6n+2)2
𝑦=
36𝑛2 + 24𝑛 + 4 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
36𝑛2 + 24𝑛 + 4 + 𝑘 2
2𝑘
Para 𝜔32 : x2=(6n+3)2
𝑦=
36𝑛2 + 36𝑛 + 9 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
36𝑛2 + 36𝑛 + 9 + 𝑘 2
2𝑘
Para 𝜔42 : x2=(6n+4)2
𝑦=
36𝑛2 + 48𝑛 + 16 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
36𝑛2 + 48𝑛 + 16 + 𝑘 2
2𝑘
Para 𝜔52 : x2=(6n+5)2
𝑦=
36𝑛2 + 60𝑛 + 25 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
36𝑛2 + 60𝑛 + 25 + 𝑘 2
2𝑘
Para 𝜔62 : x2=(6n+6)2 ó
6n
36𝑛2 + 72𝑛 + 36 − 𝑘 2
𝑦=
ó
2𝑘
36𝑛2 − 𝑘 2
𝑦=
2𝑘
En caso de que la diferencia pitagórica k = 1;
para números primos de los sextales ω1 y ω5 se
cumplirá que el cateto mayor pertenece a ω6 y
la hipotenusa a ω1
𝑥 → 𝜔1−5 ⇒ 𝑥 2 → 𝜔1
𝑦 → 𝜔6 ⇒ 𝑦 2 → 𝜔6
𝑧 → 𝜔1 ⇒ 𝑧 2 → 𝜔1
El cuadrado de la hipotenusa siempre estará en
el Sextal I, para cualquier cateto primo
absoluto.
36𝑛2 + 72𝑛 + 36 + 𝑘 2
𝑧=
ó
2𝑘
36𝑛2 + 𝑘 2
𝑧=
2𝑘
Primeramente,
vamos
a
estudiar
el
comportamiento para cateto menor impar, es
decir se ubican en los sextales: ω1, ω3, ω5
El teorema de Pitágoras
PRIMER SEXTAL:
Para todo “x” tal que es un número que
pertenece al ω1
∀ 𝑥 𝜖 𝜔1 ∕ 𝑥 = 6𝑝 + 1 → Cateto
primo TP, por tanto, se cumple que:
x mod (6) = 1
menor
𝒙 ∈ 𝜔1 → 𝑥 2 ∈ 𝜔1
𝒚 ∈ 𝜔6 → 𝑦 2 ∈ 𝜔 6
𝒛 ∈ 𝜔1 → 𝑧 2 ∈ 𝜔1
Por tanto, el cuadrado de todo número del ω1 se
ubica en el ω1
𝑥 2 = (6𝑝 + 1)2 = 36𝑃2 + 12𝑃 + 1
(36𝑃2 + 12𝑃) + 1 𝑚𝑜𝑑( 6) = 1
Luego el cateto mayor e hipotenusa se calculan
por las fórmulas de ternas pitagóricas:
𝑥2 − 1
𝑦=
∧ 𝑧 = 𝑦+1
2
El consecutivo inferior del cuadrado de un
número del ω1 se ubica en el ω6.
𝑥 2 − 1 = (6𝑝 + 1)2 − 1
= 36𝑃2 + 12𝑃36𝑃2 + 12𝑃 𝑚𝑜𝑑( 6) = 0
La mitad del consecutivo inferior del cuadrado
de todo número del ω1, que corresponde al
cateto mayor de un triángulo pitagórico primo,
se ubica en el ω6.
𝑥 2 − 1 (6𝑝 + 1)2 − 1
=
= 18𝑃2 + 6𝑃
2
2
18𝑃2 + 6𝑃 𝑚𝑜𝑑( 6) = 0
Finalmente, el cateto mayor y su cuadrado se
ubican en el VI Sextal; es decir:
𝒚 ∈ 𝜔6 → 𝑦 = 6𝑝 ⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔6
Similar demostración arroja para la hipotenusa:
𝑧 ∧ 𝑧 2 ∈ 𝜔1
MÉTODO ABREVIADO
Utilizando las propiedades de sextiles tenemos:
𝜔12 − 1 𝜔1 − 1
𝜔6
𝑦=
→
⇒
= 𝜔3 ó 𝜔6
2
2
2
∀ 𝑥 ∈ 𝜔1 / 𝑥 = 6𝑝 + 1
Pero sabemos que, si x es primo, y es par
entonces descartamos el valor impar quedando
ω6:
𝒚 ∈ 𝜔6 ⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔6
Luego para determinar la posición de la
hipotenusa:
𝑧 = 𝑦 + 1 ⇒ 𝜔6 + 1 = 𝜔1
∧ 𝜔12 = 𝜔1 ⇒ 𝑧 2 ∈ 𝜔1
Concluyendo que en toda terna pitagórica en la
que el cateto menor es primo (I Sextal), el cateto
mayor par pertenece al VI Sextal; la hipotenusa
se ubica también en el Sextal I pudiendo ser por
tanto primo o producto de primos. Existe un
cumplimiento estricto de las propiedades de
paridades y sextiles.
𝑦2
𝑥2
𝑧2
↓
↓
↓
2
2
𝜔1 + 𝜔6 = 𝜔12
↓
↓
↓
~𝜌(𝑥) 𝜌(𝑦) ~𝜌(𝑥)
Nota: Si el cateto menor es un primo del ω1, el cateto
mayor es un múltiplo de 2, 3 y 6.
Ruben Darío Muñoz López
TERCER SEXTAL k = 1:
Si “x” es un número que pertenece al ω3 y k = 1
Sea x = 6 n + 3 → Cateto menor de un TP,
(impar múltiplo de 3).
Por tanto: 𝑥 𝑚𝑜𝑑 (6) = 3
∀ 𝑥 ∈ 𝜔3 / 𝑥 = 6𝑝 + 3
𝑥 2 ∈ 𝜔3
𝑦 2 ∈ 𝜔4
𝑧 2 ∈ 𝜔1
El cuadrado de todo número ω3 se ubica en el ω3
MÉTODO ABREVIADO
Utilizando las propiedades de sextiles:
𝑥 2 = (6𝑝 + 3)2 = 36𝑃2 + 36𝑃 + 32
(36𝑃2 + 36𝑃) + 32 𝑚𝑜𝑑( 6) = 3
2
Aplicando las fórmulas de ternas pitagóricas se
calculan el cateto mayor e hipotenusa:
𝑥2 − 1
𝑦=
∧ 𝑧 = 𝑦+1
2
El consecutivo inferior del cuadrado de todo
número del ω3 se ubica en el ω2
𝑥 2 − 1 = (6𝑝 + 3)2 − 1 = 36𝑃2 + 36𝑃 + 8
𝑦=
𝜔32 −1
2
→
𝜔3 −1
2
⇒
𝜔2
2
= 𝜔1 ó 𝜔4 .
Pero, si x es impar, y es par, por tanto,
descartamos el valor impar y nos quedamos con
el Sextal par:
𝑦 ∈ 𝜔4 ⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔4
Luego para determinar la posición de la
hipotenusa:
𝑧 =𝑦 +1
⇒ 𝜔4 + 1 = 𝜔5
𝜔52 = 𝜔1
⇒ 𝑧 2 ∈ 𝜔1
36𝑃2 + 36𝑃 𝑚𝑜𝑑( 6) = 23
∧
La mitad del consecutivo inferior del cuadrado
de todo número del ω2, que corresponde al
cateto mayor de un TP se ubica en el ω1 y ω4.
Asumiendo el valor par tenemos.
𝑥2 − 1
= 18𝑃2 + 18𝑃 + 4
2
Concluyendo que en toda terna pitagórica en la
que el cateto menor es impar y pertenece al III
Sextal, el cateto mayor par pertenece al ω4 por
tanto es un múltiplo de 2 y la hipotenusa se
ubica también en el ω5 y su cuadrado en el ω1
pudiendo ser primo o producto de primos.
Existe un cumplimiento estricto de las
propiedades de paridades y sextiles.
18𝑃2 + 6𝑃 𝑚𝑜𝑑( 6) = 4
Finalmente, el cateto mayor se ubica en el IV
Sextal. Al igual que su cuadrado, es decir:
𝑦 ∈ 𝜔4 ⇒ 𝑦 2 = 𝜔4 ↔ 𝑦 = 6𝑝 + 4
En cambio, z está en el V Sextal su cuadrado en
el I Sextal.
𝑧∈
𝜔5
∧
𝑧2 ∈
𝜔1
𝑦2
𝑥2
𝑧2
↓
↓
↓
𝜔32 + 𝜔42 = 𝜔12
↓
↓
↓
~𝜌(𝑥) 𝜌(𝑦) ~𝜌(𝑥)
El teorema de Pitágoras
TERCER SEXTAL k = 1:
Si “x” es pertenece al ω3 y k = 3. Por
propiedades de sextiles:
𝑦=
𝜔32 −32
2(3)
→
𝜔3 −93
66
⇒
𝜔0→6
6
= 𝜔6
Sabemos que, si x es impar, y es par, entonces:
𝑦 ∈ 𝜔6 → 𝑦 2 ∈ 𝜔 6
Luego para determinar la posición de la
hipotenusa:
𝑧 = 𝑦 + 3 ⇒ 𝜔6 + 3 = 𝜔3
∧
𝜔32 = 𝜔3
𝑥2 − 1
= 18𝑃2 + 30𝑃 + 12
2
18𝑃2 + 30𝑃 + 12 𝑚𝑜𝑑( 6) = 0
⇒ 𝑧 2 ∈ 𝜔3
Finalmente, el cateto mayor se ubica en el VI
Sextal. Al igual que su cuadrado, es decir:
𝑦 ∈ 𝜔6 / 𝑦 = 6𝑝 + 6 ⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔6
En cambio, z está en el I Sextal su cuadrado en
el I Sextal.
𝑧 ∈ 𝜔1 ∧ 𝑧 2 ∈ 𝜔1
𝑥32
𝑦62
𝑧32
↓
↓
↓
𝜔32 + 𝜔62 = 𝜔32
↓
↓
↓
~𝜌(𝑥) 𝜌(𝑦) ~𝜌(𝑥)
QUINTO SEXTAL:
Si “x” es un número que pertenece al V Sextal
𝑥 2 ∈ 𝜔1
𝑦 2 ∈ 𝜔6
𝑧 2 ∈ 𝜔1
∀
𝑥 ∈ 𝜔5 / 𝑥 = 6𝑝 + 5
Sea x = 6 n + 5 → Cateto menor de una TP, es
decir impar; por tanto: 𝑥 𝑚𝑜𝑑 (6) = 5
El cuadrado de todo sextal ω5 se ubica en ω1
𝑥 2 = (6𝑝 + 5)2 = 36𝑃2 + 60𝑃 + 52
(36𝑃2 + 60𝑃) + 52 𝑚𝑜𝑑( 6) = 52
Luego el cateto mayor e hipotenusa se calculan
por las fórmulas de ternas pitagóricas:
𝑥2 − 1
𝑦=
∧ 𝑧 = 𝑦+1
2
El consecutivo inferior del cuadrado de todo
sextal ω5 se ubica en el ω6
𝑥 2 − 1 = (6𝑝 + 5)2 − 1 = 36𝑃2 + 60𝑃 + 24
36𝑃2 + 36𝑃 + 24 𝑚𝑜𝑑( 6) = 0
La mitad del consecutivo inferior del cuadrado
de todo número del ω6, que corresponde al
cateto mayor de un triángulo pitagórico se ubica
en el ω6.
MÉTODO ABREVIADO
Utilizando las propiedades de sextiles tenemos:
𝑦=
𝜔52 −1
2
→
𝜔1 −1
2
⇒
𝜔6
2
= 𝜔3 ó 𝜔6
Pero sabemos que, si x es impar, y es par, por
tanto, descartamos el valor impar y nos
quedamos con el Sextal par:
𝑦 = 𝜔6 ⇒ 𝑦 2 = 𝜔6
Luego, la posición de la hipotenusa es:
𝑧 = 𝑦 + 1 → 𝜔6 + 1 = 𝜔1 por tanto; 𝜔12 =
𝜔1 ⇒ 𝑧 2 = 𝜔1
Concluyendo que en toda terna pitagórica en la
que el cateto menor es impar y pertenece al V
Sextal, el cateto mayor par pertenece al VI
Sextal y la hipotenusa como su cuadrado se
ubica en el I Sextal, pudiendo ser por tanto
primo o producto de primos. Existiendo el
cumplimiento estricto de las propiedades de
paridades y sextiles.
𝑦2
𝑥2
𝑧2
↓
↓
↓
𝜔12 + 𝜔62 = 𝜔12
↓
↓
↓
~𝜌(𝑥) 𝜌(𝑦) ~𝜌(𝑥)
Ruben Darío Muñoz López
RESUMEN TERNAS PITAGÓRICAS
PRIMAS
La ubicación de los cuadrados de los lados de
un TP de cateto impar sigue la regla siguiente,
siempre y cuando k=1:
RESUMEN TERNAS PITAGÓRICAS
PARES
Seguidamente
vamos
a
estudiar
el
comportamiento para cateto menor par, es decir
los que se ubican en los sextales: ω2, ω4, ω6
𝒙 ∈ 𝜔1 → 𝑥12 ∈ 𝜔1
La ubicación de los cuadrados de los lados de
un TP de cateto impar sigue la regla siguiente,
siempre y cuando k=2.
𝒚 ∈ 𝜔6 → 𝑦62 ∈ 𝜔6
𝒛 ∈ 𝜔1 → 𝑧12 ∈ 𝜔1
𝑥 ∈ 𝜔5 ⇒ 𝑥12 ∈ 𝜔1
𝑦 ∈ 𝜔6 ⇒ 𝑦42 ∈ 𝜔6
𝑧 ∈ 𝜔1 ⇒ 𝑧12 ∈ 𝜔1
NOTA: En el V Sextal no existe ninguna potencia
par que se ubique en dicho Sextal, esto es fácil de
verificar y una condición importante en la
comprensión de ternas bealinas.
CATETO PAR DEL II SEXTAL
𝑥 ∈ 𝜔2 ⇒ 𝑥 2 ∈ 𝜔4
𝑦=
RESUMEN TERNAS PITAGÓRICAS
IMPAR III SEXTAL
La ubicación de los cuadrados de los lados de
un TP de cateto impar sigue la regla siguiente,
siempre y cuando k=1:
𝑥 ∈ 𝜔3 ⇒
𝑥12
∈ 𝜔1
𝑦 ∈ 𝜔4 ⇒ 𝑦42 ∈ 𝜔4
EXPLICACIÓN GENERAL:
(𝑎 + 1)2 − 𝑎 = 2𝑎 + 1 → 2𝑎 + 1 = 𝑏 2𝑛+1
2n+1
ω1
𝜔1𝑛
2n+1
ω3
𝜔3𝑛
2n+1
ω5
2𝑛
𝜔5→1
ω5
𝜔52𝑛+1
2n+1
𝑦 ∈ 𝜔3 ó 𝜔6
⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔3 ó 𝜔6
𝑧 ∈ 𝜔5 ó 𝜔2
⇒ 𝑧 2 ∈ 𝜔1 ó 𝜔4
CATETO PAR DEL IV SEXTAL
𝑥 ∈ 𝜔4 ⇒ 𝑥 2 ∈ 𝜔4
𝑦=
𝑧 ∈ 𝜔5 ⇒ 𝑧12 ∈ 𝜔1
𝜔1𝑎 + 𝜔3𝑏 ó 6 = 𝜔4𝑐 ó 1
Ahora trabajaremos con catetos pares de los
Sextales II, IV y VI, que será desarrollado por el
método abreviado de Sextales.
𝜔42 − 4 𝜔6
⇒
4
4
𝜔42 − 4 𝜔6
⇒
4
4
𝑦 ∈ 𝜔3 ó 𝜔6
⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔3 ó 𝜔6
𝑧 ∈ 𝜔5 ó 𝜔2
⇒ 𝑧 2 ∈ 𝜔1 ó 𝜔4
CATETO PAR DEL VI SEXTAL
𝑥 ∈ 𝜔6 ⇒ 𝑥 2 ∈ 𝜔6
𝜔62 − 4 𝜔2
𝑦=
⇒
4
4
𝑦 ∈ 𝜔2 ó 𝜔5
⇒ 𝑦 2 ∈ 𝜔4 ó 𝜔1
𝑧 ∈ 𝜔4 ó 𝜔1
⇒ 𝑧 2 ∈ 𝜔4 ó 𝜔1
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS Y NÚMEROS PRIMOS
RETO
Determine cuál de las condiciones es
incompatible para la existencia de ternas
pitagóricas de lados enteros en:
2
𝑥𝛼=1,3,5
2
+ 𝑦𝛽=1,3,5
Los tres últimos casos están determinados por la
incompatibilidad de catetos estudiado líneas
arriba.
2
= 𝑧𝜍=2,4,6
A continuación, vamos a demostrar la relación
intrínseca entre los números primos y el
teorema de Pitágoras.
No existen ternas pitagóricas cuyos catetos sean
impares y menos primos absolutos, al mismo
tiempo y que sumados sean el cuadrado o
potencia par, generalizando, de algún número
par. Sólo pueden existir para la suma de dos
cuadrados impares cuya suma sea una potencia
impar, evidentemente de un numero par.
En otras palabras, no existen ternas pitagóricas
para los siguientes casos, y en especial dado que
particularmente no existen cuadrados en w2:
𝜔12
↓
𝜔1
𝜔12
↓
𝜔1
+
+
+
+
𝜔12
↓
𝜔1
2
𝜔5→1
↓
𝜔1
=
=
=
=
𝜔22𝑐+1
↓
𝜔2
𝜔22𝑐+1
↓
𝜔2
2
𝜔5→1
↓
𝜔1
+
𝜔32
↓
𝜔3
+
2
𝜔5→1
↓
𝜔1
+
+
+
+
2
𝜔5→1
↓
𝜔1
𝜔32
↓
𝜔3
𝜔32
↓
𝜔3
𝜔22𝑐+1
↓
𝜔2
=
=
=
=
𝜔62𝑐+1
↓
𝜔6
=
=
𝜔42𝑐+1
↓
𝜔4
EJERCICIO
Cuando el lado menor de una Terna pitagórica
de lados enteros es primo mayor que 3, la suma
de los tres lados es:
a)
b)
c)
d)
e)
Par.
Impar.
A veces es múltiplo de 3.
a y c correctos.
No se puede determinar.
SOLUCIÓN
𝜔12
↓
𝜔1
+
+
𝜔32
↓
𝜔3
=
=
𝜔42𝑐+1
↓
𝜔4
Si x = ω1 entonces la suma es ω2;
Si x = ω5 entonces la suma es ω6
Por tanto, la respuesta fehaciente es que la suma
de los tres lados es par y en algunos casos
múltiplo de 3 por tanto a y c son correctos.
Ruben Darío Muñoz López
TABLAS DE DISPOSICIÓN DE TERNAS POR SEXTALES
w1
w6
w1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
121
24
84
180
312
480
684
924
1200
1512
1860
2244
2664
3120
3612
4140
4704
5304
5940
6612
7320
25
85
181
313
481
685
925
1201
1513
1861
2245
2665
3121
3613
4141
4705
5305
5941
6613
7321
w3
3
9
15
21
27
33
39
45
51
57
63
69
75
81
87
93
99
105
111
117
123
w4
4
40
112
220
364
544
760
1012
1300
1624
1984
2380
2812
3280
3784
4324
4900
5512
6160
6844
7564
w5
5
41
113
221
365
545
761
1013
1301
1625
1985
2381
2813
3281
3785
4325
4901
5513
6161
6845
7565
w5
5
11
17
23
29
35
41
47
53
59
65
71
77
83
89
95
101
107
113
119
125
w6
12
60
144
264
420
612
840
1104
1404
1740
2112
2520
2964
3444
3960
4512
5100
5724
6384
7080
7812
w1
13
61
145
265
421
613
841
1105
1405
1741
2113
2521
2965
3445
3961
4513
5101
5725
6385
7081
7813
Ternas pitagóricas de cateto menor par para k=2
w2
8
20
32
44
56
68
80
92
w3
15
99
255
483
783
w5
w2
w6
w2
w4
w3
w5
4
3
5
17
w4
10
14
48
50
16
63
65
26
168
170
28
195
197
38
360
362
40
399
401
50
624
626
52
675
677
62
960
962
64
1023 1025
74
1368 1370
76
1443 1445
86
1848 1850
88
1935 1937
98
2400 2402
100 2499 2501
110 3024 3026
112 3135 3137
122 3720 3722
124 3843 3845
101
22
257
34
485
46
785
58
1155 1157
70
1599 1601
82
2115 2117
94
104 2703 2705
w6
24
120
288
528
840
w2
w6
w2
w4
6
8
10
18
80
82
30
224
226
42
440
442
54
728
730
66
1088 1090
78
1520 1522
90
2024 2026
26
122
290
530
842
1224 1226
1680 1682
2208 2210
w5
w1
12
35
37
24
143
145
36
323
325
48
575
577
60
899
901
72
1295 1297
84
1763 1765
96
2303 2305
102 2600 2602
106 2808 2810
116 3363 3365
w6
108 2915 2917
114 3248 3250
118 3480 3482
120 3599 3601
126 3968 3970
El teorema de Pitágoras
TERNAS DE POTENCIA CUALESQUIERA
PARA EL CATETO MENOR
xn + y2 = z2
Ruben Darío Muñoz López
TERNA PITAGÓRICA DE CATETO MENOR DE POTENCIA CUALESQUIERA
Existe una infinidad de casos en que el valor correspondiente al cateto menor de un triangulo rectangulo,
esta elevado a una potencia mayor a 2, aunque no necesariamente la terna corresponda a un triangulo
rectangulo.
32+24=52
43+152=172
54+3122=3132
133+10984=10992
34+122=152
44+632=652
54+602=652
152+64=392
34+402=412
45+2552=2572
74+1682=1752
164+5102=5142
35+114=1222
45+602=682
36+3642=3652
172+124=1452
36+1202=1232
64+26=102
272+3642=3652
ANALISIS PREVIO
Sabemos que la diferencia de dos cubos de números consecutivos es un numero impar, y en algunos
casos potencia perfecta. Por tanto 𝑏 3 − 𝑎3 = 𝑧 𝑛 en la que n ≠ 3, restriccion impuesta por el UTF.
Si b = a +1 se tiene: (𝑎 + 1)3 − 𝑎3 = 𝑧 𝑛 ⇒ 3𝑎2 + 3𝑎 + 1 = 𝑧 𝑛 .
Extendiendo a un caso general para k >1, es decir dos NÚMEROS no consecutivos distanciados por “k”
se tendria que (𝑎 + 𝑘)3 − 𝑎3 = 𝑧 𝑛 ⇒ 3𝑎2 𝑘 + 3𝑎𝑘 2 + 𝑘 3 = 𝑧 𝑛
Las siguientes Ternas nos inducen a pensar que la relación determinada para las TP se puede extender
a casos en que el exponente de x puede ser mayor a 2, es decir xn>2. La semejanza del teorema de
Pitágoras con la siguiente expresión, que extiende el TP a ternas trinómicas en la que el lado menor es
raíz “n” de un segmento entero dado y el RP k es submúltiplo de xn. Así mismo k < x.
𝑥𝑛 − 𝑘2
⋯ 𝐸𝑐. 7.1
2𝑘
DEMOSTRACIÓN
Dada la ecuación:
𝑦=
𝑥𝑛 + 𝑦2 = 𝑧2,
𝑧 = 𝑦 + 𝑘 ⋯ 𝐸𝑐. 7.2
𝑛
2
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 𝑘
𝑧=
2
𝑥 + 𝑦 = (𝑦 + 𝑘)
𝑥𝑛 + 𝑘2
⋯ 𝐸𝑐. 7.3
2𝑘
Desarrollando:
Despejando y:
𝑥 𝑛 + 𝑦 2 = 𝑦 2 + 2𝑘𝑦 + 𝑘 2
4𝑘 2 𝑥 𝑛 + (𝑥 𝑛 − 𝑘 2 )2 = 4𝑘 2 𝑧 2
𝑥 𝑛 = 2𝑘𝑦 + 𝑘 2
4𝑘 2 𝑥 𝑛 + 𝑥 2𝑛 − 2𝑘 2 𝑥 𝑛 + 𝑘 4 = 4𝑘 2 𝑧 2
𝑦=
𝑥 𝑛 −𝑘 2
2𝑘
𝑛
2
⇒
Reemplazando en: 𝑥 + 𝑦 = 𝑧
𝑛
𝑥𝑛 + (
𝒙𝒏 −𝒌𝟐
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
𝟐(𝒌)
2
2 2
𝑥 −𝑘
) = 𝑧2
2𝑘
𝑥 2𝑛 + 2𝑘 2 𝑥 2 + 𝑘 4 = 4𝑘 2 𝑧 2
(𝑥 𝑛 + 𝑘 2 )2 = 4𝑘 2 𝑧 2
𝑥 𝑛 + 𝑘 2 = 2𝑘𝑧
Despejando z:
𝑧=
𝑥 𝑛 +𝑘 2
⋯ 𝐿𝑞𝑞𝑑
2𝑘
Observación:
La TPE 23 + 12 = 32 se obtiene con la ecuación general de TPE para x=2, pero como y=1; es una TPE
transversa es decir x > y quedando demostrado que existen infinitas ternas para: 𝒙𝒏≥𝟑 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐
Ejemplos: 333 + 1312 = 1424 ;
53 + 622 = 632 ;
73 + 1712 = 1722
El teorema de Pitágoras
Caso especial
Para Cateto menor xn
𝑥 2𝑛 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ,
𝑥
2𝑛
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 𝑘
2
𝑥 2𝑛 − 𝑘 2
2𝑘
𝑦=
𝑥 2𝑛 + 𝑘 2
𝑧=
2𝑘
2
+ 𝑦 = (𝑦 + 𝑘)
Caso especial k = 1
Para Cateto menor xn
𝑥 2𝑛 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ,
𝑥
2𝑛
2
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 1
2
+ 𝑦 = (𝑦 + 1)
𝑦=
𝑥 2𝑛 − 1
⇒ 2𝑦 = 𝑥 2𝑛 − 1
2
𝑧=
𝑥 2𝑛 + 1
⟹ 2𝑧 = 𝑥 2𝑛 + 1
2
Sumando miembro a miembro las expresiones del cateto mayor y la hipotenusa, se determina que:
2𝑦 + 2𝑧 = 2𝑥 2𝑛 ⇒ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 2𝑛 ; similar al caso de TP de exponente 2, en la que la suma de cateto
mayor e hipotenusa es igual al cuadrado del lado menor, en este caso xn al cuadrado
DETERMINACIÓN DEL ESTADO DE PARIDAD DE k
Así mismo si “x” es par, entonces “k” es par, caso contrario si “x” es impar “k” debe ser impar. Las
propiedades de paridad se deben respetar estrictamente, caso contrario el conjunto solución de ternas
enteras será nulo.
(2𝑝)𝑎 − 𝑘 2
𝑆𝑖 ∶ 𝑥 = 2𝑝
2𝑎−1 𝑝𝑎 𝑘
𝑦=
=
−
2𝑘
𝑘
2
𝑎−1
𝑎
2
𝑝
k = {Todos los cocientes pares de 𝑘
/ p N 2p = x}
Recordar que k < x, Por tanto k es par y submúltiplo de (2p)a Si :
x = 2 p +1
a
k = {Todos los cocientes impares de
p
k
/ p N}
Ya que los submúltiplos corresponden a la mitad de los submúltiplos de los números pares. Por tanto, k
es impar y submúltiplo de p2.
Tanto (2p)a y pa Determinan el máximo valor que puede asumir k, para que las ecuaciones genérales
sean operables y por consiguiente se determine el máximo divisor que corresponderá con el valor
máximo de k transverso.
OTRAS TERNAS
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥 2 = 𝑛4
𝑦 2 = 2𝑛2 + 1
𝑧 2 = (𝑛2 + 1)2
n
2
12
70
x2 =n4
16
20736
24010000
y 2 = 2n 2 +1
9
289
9801
z 2 = (n 2 +1) 2
25
21025
24019801
EJERCICIO
Hallar la terna para el máximo valor de “n” en: 𝑛3 + (2𝑛3 + 1) = (𝑛2 + 1)2
Solución
Resolviendo la ecuación se obtiene n = 1 y 2, por tanto, la solución pedida es: 23 + 17 = 52
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS POR NÚMEROS DE LA FORMA n2 + 1
Las siguientes ternas pitagóricas aunque no lo
parezca no están elegidas al azar.
32 + 42 = 52 → 2
172 + 1442 = 1452 → 12
992 + 49002 = 49012 → 70
5772 + 1664642 = 1664652 → 408
33632 + 56548842 = 56548852 → 2378
72 + 242 = 252 → 5
412 + 8402 = 8412 → 29
2392 + 285602 = 285612 → 169
No existe un múltiplo de 6 que sea igual al
consecutivo superior del cuadrado de un
numero impar.
2
𝜔2𝑎+1
+ 1 ≠ 𝜔6
Y no existe un número natural de la forma 6n+4
que sea igual al consecutivo inferior del
cuadrado de numero impar.
2
𝜔2𝑎+1
− 1 ≠ 𝜔4
Continuando con las explicaciones, en
consecuencia, como los sextales primos
contienen infinitos números primos, siempre
existirá un número par cuyo cuadrado
aumentado en 1 sea primo.
13932 + 9702242 = 9702252 → 985
2
𝜔2→4
+ 1 = 𝜔5 ; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 22 + 1 = 5
81192 + 329590802 = 329590812 → 5741
𝜔42 + 1 = 𝜔5 ; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 42 + 1 = 17
Aparte de que son ternas para k = 1 es decir la
diferencia entre la hipotenusa y el cateto mayor
es 1, poseen otras propiedades comunes que
descubriremos más adelante, aunque se
adelante que en el número que sigue a la
implicancia está la clave.
𝜔62 + 1 = 𝜔1 ; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 62 + 1 = 37
En cambio para los números pares w2 y w4
definitivamente no se cumple dado que arrojan
valores múltiplos de 3 siendo por tanto el único
valor cuando.
2
𝜔2→4
− 1 = 𝜔3
Algunos números de la forma n2 + 1, son primos
mayores que 2 cuando n es par y por tanto,
pertenecen a los sextales w1 y w5.
𝜔42 − 1 = 𝜔3
𝑛 = {22 , 44 , 66 , 104 , 142 , 164 , 202 , 246 … }
Con respecto al sextal VI a pesar de que
deberían existir al menos un caso no se han
encontrado para valores menores a los primeros
ocho mil casos.
𝑛2 + 1 = {55 , 175 , 371 , 1015 , 1975 , 2575 , … }
Evidentemente por paridad y verificando
sextilmente esta propiedad no se extiende a los
números impares.
𝜔12 + 1 = 𝜔2
𝜔12 − 1 = 𝜔6
𝜔32 + 1 = 𝜔4
𝜔32 − 1 = 𝜔2
𝜔52 + 1 = 𝜔2
2
𝜔5→1
− 1 = 𝜔6
Lo cual nos demuestra, aunque no es parte del
estudio de este acápite de que:
2
𝜔2→4
− 1 = 𝜔3 ; 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝟐𝟐 − 𝟏 = 𝟑
𝜔62 − 1 = 𝜔5
Por lo que es posible conjeturar de que no
existen. “Es decir el consecutivo inferior del
cuadrado de un numero múltiplo de 6 no es
primo”.
El teorema de Pitágoras
Algunos corolarios que se desprendieron de los
estudios sobre la teoría de sextales.
Corolario: La diferencia del cuadrado de un
número primo prino mayor que 5, menos 1 es
múltiplo de 6:
𝑝12 − 1 = 6𝑛
Corolario: La suma del cuadrado de un número
primo prino más 1 no es múltiplo de 6:
𝑝12 + 1 ≠ 6𝑛
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS
POR NÚMEROS PRIMOS n2 + 1
Como algunas potencias son de la forma 2m+1,
donde m = n2 Existen ternas en las que algunos
de sus elementos son el consecutivo superior o
inferior del cuadrado de un numero natural.
2
2
2
2
3 +4 = 5 →2 +1 =5
172 + 1442 = 1452 → 122 + 1 = 145
72 + 242 = 252 → 52 − 1 = 24
2
2
2
2
41 + 840 = 841 → 29 − 1 = 840
Y esto se debe a que se cumple lo siguiente:
Sea:
𝑝 = 𝑛2 + 1
Elevando al cuadrado: 𝑝2 = (𝑛2 + 1)2
Desarrollando:
𝑝2 = 𝑛4 + 2𝑛2 + 1
Agrupando convenientemente se conforma una
expresión que cumple perfectamente el teorema
de Pitágoras:
𝑛4 + (2𝑛2 + 1) = 𝑝2
Como se han obtenido potencias cuadradas de
cuadrados, en realidad lo que hemos obtenido
son ternas extendidas para potencias cuartas de
uno de los elementos de la terna, así
transformando los ejemplos anteriores tenemos:
242→4 + 323 = 525→1
1246 + 1725→1 = 14512
7044 + 9923 = 490112
En el segundo caso:
Sea:
𝑛2 − 1 = 𝑝
Elevando al cuadrado: (𝑛2 − 1)2 = 𝑝2
Desarrollando:
𝑛4 − (2𝑛2 − 1) = 𝑝2
Entonces:
𝑛4 = 𝑝2 + (2𝑛2 − 1)
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS
POR NÚMEROS PRIMOS n2 - 1
Algunas potencias son de la forma 2m + 1,
donde m = n2.
Agrupando y ordenando convenientemente
tenemos:
𝑛4 = 𝑝2 + (2𝑛2 − 1)
Del mismo modo hemos obtenido ternas
pitagóricas extendidas para hipotenusas cuartas
545→1 = 2426 + 712
2945→1 = 84026 + 4125→1
16914 = 2856026 + 23925→1
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS DE POTENCIA n>2 PARA CATETO MENOR IMPAR POR
SEXTALES
Sea la ecuación 𝑥 𝑛 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ; estableciendo la ecuación sextica general 𝑥𝛼𝑛 + 𝑦𝛽2 = 𝑧𝛾2 para cateto
menor x=2m+1se demostrara que la estructura sextal corresponde con la siguiente ecuación.
2
𝑛
2
𝑥𝛼=1,3,5
+ 𝑦𝛽=6
= 𝑧𝛾=1
Aplicando las fórmulas generales de generación de ternas pitagóricas de lados enteros se tiene que el
cateto mayor y la hipotenusa que se correspondería con un triángulo rectángulo TP, es función del cateto
menor
2
𝑛
𝑥𝛼=1,3,5
2
𝑥𝛼𝑛 − 𝑘 2
𝑥𝛼𝑛 + 𝑘 2
+[
] =[
]
2𝑘
2𝑘
En este caso se va a generalizar las funciones al estudio de los sextales impares ω1, ω3 y ω5. Cuya
ecuación genérica seria
2
2
𝜔𝛼2𝑛 − 𝑘 2
𝜔𝛼2𝑛 + 𝑘 2
𝑛
𝜔𝛼=1,3,5 + [
] =[
] → 𝐶. 𝐵.
2𝑘
2𝑘
2
CASO SEXTAL I
𝜔1𝑛
2
𝜔12𝑛 − 𝑘 2
𝜔12𝑛 + 𝑘 2
+[
] =[
] → 𝐶. 𝐵.
2𝑘
2𝑘
𝜔1𝑛 + 𝑦62 = 𝑧12
2
CASO SEXTAL III
2
𝜔32𝑛 − 𝑘 2
𝜔32𝑛 + 𝑘 2
𝜔3𝑛 + [
] =[
] → 𝐶. 𝐵.
2𝑘
2𝑘
𝜔3𝑛 + 𝑦62 = 𝑧12
2
CASO SEXTAL V
𝜔5𝑛
2
2𝑛
2𝑛
𝜔5,1
− 𝑘2
𝜔5,1
+ 𝑘2
+[
] =[
] → 𝐶. 𝐵.
2𝑘
2𝑘
2𝑛
𝜔5→1
+ 𝑦62 = 𝑧12
𝜔52𝑛+1 + 𝑦62 = 𝑧12
x
𝑛
𝜔𝛼=1
y
𝜔12𝑛 − 𝑘 2
𝑦=
2𝑘
z
𝜔12𝑛 + 𝑘 2
𝑧=
2𝑘
𝑛
𝜔𝛼=3
𝑦=
𝜔32𝑛 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
𝜔32𝑛 + 𝑘 2
2𝑘
𝑛
𝜔𝛼=5
𝑦=
𝜔54𝑚 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
𝜔54𝑚 + 𝑘 2
2𝑘
𝑛
𝜔𝛼=5
𝑦=
𝜔54𝑚+2 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
𝜔54𝑚+2 + 𝑘 2
2𝑘
El teorema de Pitágoras
LA FORMULA GENERAL PARA k = 1:
𝑥 𝑛 −1
𝑥 𝑛 + 𝑦 2 = (𝑦 + 1)2 → y =
; 𝑧 =𝑦+1
2
Si x es par, entonces k es par, caso contrario si x es impar k es impar.
CASO CUBICO PARA k = 1
𝑥3 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑦=
𝑥3 − 1
2
𝑧=
𝑥3 + 1
2
CONCLUSIÓN:
Para toda terna en la que el hipotema excede al cateto mayor en una unidad, las ternas están conformadas
por un cateto menor impar y alternancia entre pares e impares de la hipotenusa y el cateto mayor. Se
hizo una demostración grafica de que este tipo de ternas forman triángulos obtusángulos. Cuyo Angulo
mayor es mayor de 90° y menor de 103.3425° y que corresponde a la terna 3 - 13 - 14
Ejemplos:
A continuación, aplicando las fórmulas, se consigna una serie de ternas
para este caso. Las ternas son primas entre sí.
Observación
Como el cateto menor pertenece a la sucesión de números impares de
la forma: x = 2p + 1.
Dónde: x = {1, 3, 5, 7, 9...} ˄ p = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}
x
3
5
7
9
11
13
15
y
13
62
171
364
665
1098
1687
z
14
63
172
365
666
1099
1688
Las ternas de cateto menor primo se ubican en los sextantes I y V del plano sextal. (Ver Cap. Las ternas
pitagóricas en el plano sextal). Remplazando: 2p + 1 en las expresiones obtenidas estas se reducen a las
siguientes fórmulas:
Cúbico para k=3
x
𝑥 = 2𝑝 + 1
x
y
z
𝑦 = 4𝑝3 + 6𝑝2 + 3𝑝
𝑥3 − 1
3
3
6
y
𝑦=
2
9
120
123
15
561
564
𝑧 = 4𝑝3 + 6𝑝2 + 3𝑝 + 1
z=y+1
z
21 1542 1545
27 3279 3282
Como se puede apreciar las combinaciones son infinitas
Ejemplo ternas - sextiles para a > 2; para “x”, algunas co-primas:
343 + 4024 = 4112
545→1 + 31226 = 31312
717 + 2123 = 2824
353 + 1145→1 = 12222→4
555→1 + 1022→4 = 1523
714 + 120026 = 120112
363 + 36424 = 36525→1
1135 + 66512 = 66626
1312 + 713 = 832
373 + 109312 = 109422→4
1145→1 + 732026 = 732112
3113 + 1489523 = 1489624
292 + 12712 = 12923
1644 + 51026 = 51422→4
636 + 2512 = 2925→1
2
2
216
2→4 + 5106 = 5144
2032 + 199912 = 200123
636 + 5325→1 = 5512
1523 + 33525→1 = 34024
2173 + 65824 = 66525→1
832 + 12712 = 12923
Nota: los subíndices se corresponden con los ejes sextales, que cumplen la ley de clausura y se
presentara en el capítulo de Números Sextales
Ruben Darío Muñoz López
Para que: x3 - 1, sea divisible entre 2; x3 debe ser impar al igual que “x” en consecuencia “y” es un
número par o impar. Como “z” que es el consecutivo superior resultante de ser par o impar. Por tanto,
no existe un valor par de “x” para que x3 - 1, sea divisible entre 2.
83 + 1272 = 1292
Ejemplo:
𝑘=2
83 + 622 = 662
3
2
8 + 28 = 36
83 + 82 = 242
𝑘=4
2
𝑘=8
𝑘 = 16
Aún más interesante resulta la semejanza del teorema de Pitágoras con la siguiente expresión:
TPX para x 2
𝑥 𝑎 + 𝑦 3 = (𝑦 + 𝑘)3
𝑎
3
3
𝑥 +𝑦 =𝑧
𝑥 𝑎 = 3𝑦 2 + 3𝑦 + 1
𝑎
𝑥 = √3𝑦 2 + 3𝑦 + 1
Se han encontrado escasas ternas bealinas de co primos, para ser más exactos tres específicamente, al
parecer su distribución es menor pero no significa fehacientemente que exista un límite superior o que
sean finitas.
𝑥2 + 𝑦3 = 𝑧3
18112 + 10432 = 10533
252112 + 145533 = 145634
Pero resultan ser TPE transversas es decir x > y. Por lo que ortogonalizandolas, serían expresiones de
la forma: x3 + y2 = z3
A continuación, se presentan TPE para x = 2a+1 y k = 5, 7, diversos
Cúbico para k=5
x
5
15
25
35
45
55
65
y
10
335
1560
4285
9110
16635
27460
z
15
340
1565
4290
9115
16640
27465
Cúbico para k=7
x
7
21
35
49
63
77
91
y
21
658
3059
8400
17857
32606
53823
z
26
663
3064
8405
17862
32611
53828
Cúbico k diversos
x
11
13
15
17
33
39
91
y
55
78
105
136
528
741
4095
z
66
91
120
153
561
780
4186
Para la ecuación que se presenta a continuación, parece haber muy pocas ternas de números enteros
positivos que cumplan la condición de co primos:
22 + 112 = 53
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧3
92 + 462 = 133
162 + 882 = 203
8352 + 882 = 893
Recordando la expresión x2 + y3 = z3 cuya
transversa es: x3 + y2 = z3 Para k=1. No
existen ternas enteras de números naturales co
primos, los decimales tienden a 0.666…. Pero si
pueden obtenerse cuando contienen factores
comunes como, por ejemplo: 73 + 492 = 143
CONJETURA DEL CUADRADO POR DIFERENCIA DE CUBOS
Un acápite importante de estudio, son las ternas co-primas
290000
conformadas por la diferencia de cubos de enteros positivos,
y = 0,0603e2,5399x
que cumplan con la siguiente ecuación:
R² = 0,9986
190000
𝑏 3 − 𝑎3 = 𝑐 2 ∧
𝑏 =𝑎+1
Son bastantes escazas, existen aproximadamente 6 ternas en
el rango de los 3 primeros millones de números naturales
para el valor de “a”, cuando a y b son consecutivos. La
extrapolación puede verse en el gráfico.
90000
-10000
0
2
4
6
DIFERENCIA DE CUBOS Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Es posible determinar Ternas” para triángulos no rectángulos que se extienden a potencias:
n > 2, por diferencia de cubos. “Existen cuadrados que pueden descomponerse en la diferencia de dos
cubos, que no necesariamente conformen un triángulo rectángulo. Estas ternas cumplen la conjetura de
BEAL.
La expresión más simple y conocida y que corresponde a
un triángulo obtusángulo de 120° es:
832 − 713 = 1312
Factorizando la diferencia de cubos e igualando a c2
El cuadrado de “c”, es mayor que la suma de los
cuadrados de a y b; entonces c es mayor que a y b
(el todo es mayor que las partes) o el hipotemo es
mayor que los otros lados de un triángulo
obtusángulo.
𝑏 3 − 𝑎3 = 𝑐 2
𝑏 3 − 𝑎3 = (𝑏 − 𝑎)(𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 ) = 𝑐 2
(𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 ) < 𝑐 2
2
𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 < 𝑏 3 − 𝑎3
𝑏 2 + 𝑎2 << 𝑏 3 − 𝑎3 ⇒ 𝑏 2 + 𝑎2 << 𝑐 2
Como la diferencia del cubo de b con respecto al
cubo de a es positivo (c2).
𝑏 3 − 𝑎3. = (𝑏 − 𝑎)(𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 )
𝑏 3 − 𝑎3. = (𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 )
Sí: b = a + 1, entonces:
b−a =1
De la condición de que c y b son consecutivos en la siguiente ecuación: 𝑏 3 − 𝑎3 = 𝑐 2
En función de c
En función de b
Igualando:
𝑐 3 − (𝑐 − 1)3 = 𝑎2
(𝑏 + 1)3 − 𝑏 3 = 𝑎2
3𝑐 2 − 3𝑐 + 1 = 𝑎2
3𝑏 2 + 3𝑏 + 1 = 𝑎2
Ejemplo:
83 − 73 = 82 + 8 × 7 + 72
83 − 73 = 169
1053 − 1043 = 1052 + 105 × 104 + 1042
1053 − 1043 = 32761
𝑐 2 − 𝑐 = 𝑏2 + 𝑏
Ordenando y convirtiendo 169 =132
132 + 73 = 83
Ordenando y convirtiendo 32761=1812.
1812 + 1043 = 1053
Ruben Darío Muñoz López
Las 6 escazas ternas co-primas de números 13 – 03 = 12
naturales de la forma:
83 – 73 = 132
𝟑
𝟑
𝟐
𝒃 −𝒂 =
para 𝒃 = 𝑎 + 𝟏
1053 – 1043 = 1812
14563 – 14553 = 25212
(𝒂 + 𝟏)𝟑 − 𝒂𝟑 = 𝟑𝒂𝟐 + 𝟑𝒂 + 𝟏
202733 – 202723 = 351132
3
3
2
Son escazas, quizás ¿Son finitas? -Darío Lanni 282360 – 282359 = 489061
2014(𝒂 + 𝟏)𝟑 − 𝒂𝟑 = 𝟑𝒂𝟐 + 𝟑𝒂 + 𝟏
(𝒂 + 𝟏)𝟑 = (𝟑𝒂𝟐 + 𝟑𝒂 + 𝟏) − 𝒂𝟑
Sin embargo: 3a2 +3a +1 puede ser una
potencia mayor que 3
𝒛𝟑 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟑
𝒛𝟑 = 𝒙𝒏>𝟑 + 𝒚𝟑
Del gráfico se deduce que si:
c > a y b; b > a
Entonces:
c>b>a
La diferencia del cuadrado de “x2 – 1” es el triple
producto de dos números consecutivos.
𝒙𝟐 = 𝟑𝒂𝟐 + 3𝑎 + 1 ⇒
𝒙𝟐 = 3𝑎(𝑎 + 1) + 1
𝒙𝟐 − 1 = 3𝑎(𝑎 + 1)
𝒙𝟐 − 1
= 𝑎(𝑎 + 1)
3
POR DEFINICIÓN DE SEXTALES
El cumplimiento sextal es completamente estricto tanto para ternas como evidentemente para la suma
de números consecutivos y diferencia de cubos.
El cuadrado pertenece sólo a 𝝎𝟏 es decir a2 es Desarrollando:
un seudo primo del I sextal.
(6𝑛 + 𝛼)3 − (6𝑛 + 𝛼 − 1)3 = 𝑎12
Si: 𝛼 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
108𝑛2 + 36𝑛𝛼 − 18𝑛 + 3𝛼 2 − 3𝛼 + 1 = 𝑎12
3
2
3
Entonces: 𝜔𝛼 − 𝜔𝛼−1 = 𝑎1
3(6𝑛 + 𝛼)(6𝑛 + 𝛼 − 1) + 1 = 𝑎12
3
3
3
3
𝜔𝛼 = (6𝑛 + 𝛼) ∧ 𝜔𝛼−1 = (6𝑛 + 𝛼 − 1)
3𝑚 + 1 = 𝑎12
Los múltiplos de 3 sólo se ubican en los sextales III y VI y 3m+1 podría ser un cuadrado de ω1 ó ω4.
Pero según la definición por sextales se observa que solo se cumpliría para el primer sextal, entonces:
3𝜔2 + 1 = 𝜔1
3𝜔4 + 1 = 𝜔1
3𝜔6 + 1 = 𝜔1
El teorema de Pitágoras
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES POR EJE SEXTAL
3
𝛼 = 0 ⇒ 𝜔0→6
− 𝜔53 = 𝑎12
108𝑛2 − 18𝑛 + 1 = 𝑎12
𝑛2 −
𝑛 1 − 𝑎2
+
=0
6
108
3
𝛼 = 1 ⇒ 𝜔1→7
− 𝜔63 = 𝑎12
2
108𝑛 + 18𝑛 + 1 = 𝑎12
𝑛2 +
𝑛 1 − 𝑎2
+
=0
6
108
3𝑛 7 − 𝑎2
+
=0
6
108
𝛼 = 2 ⇒ 𝜔23 − 𝜔13 = 𝑎12
108𝑛2 + 54𝑛 + 7 = 𝑎12
𝑛2 +
𝛼 = 3 ⇒ 𝜔33 − 𝜔23 = 𝑎12
108𝑛2 + 90𝑛 + 19 = 𝑎12
𝑛2 +
5𝑛 19 − 𝑎2
+
=0
6
108
𝛼 = 4 ⇒ 𝜔43 − 𝜔33 = 𝑎12
108𝑛2 + 126𝑛 + 37 = 𝑎12
𝑛2 +
7𝑛 37 − 𝑎2
+
=0
6
108
𝛼 = 5 ⇒ 𝜔53 − 𝜔43 = 𝑎12
108𝑛2 + 162𝑛 + 61 = 𝑎12
𝑛2 +
9𝑛 61 − 𝑎2
+
=0
6
108
𝛼 = 6 ⇒ 𝜔63 − 𝜔53 = 𝑎12
108𝑛2 + 198𝑛 + 91 = 𝑎12
𝑛2 +
11𝑛 91 − 𝑎2
+
=0
6
108
CONCLUSIONES:
1. Diferencia de dos sextales consecutivos. - La diferencia de cubos de dos números consecutivos
pertenece al sextante I.
2. La diferencia de cubos de dos números consecutivos es de la forma 3m+1; siendo esta la forma de
todo número cuadrado perfecto.
3. Como α puede tomar uno de seis valores, se obtienen 6 ecuaciones de 2° grado. El caso α = 0 es igual
a α = 6 (equipolencia de sextales)
HIPÓTESIS
1. Cada una de las seis posibles ecuaciones de 2° grado, puede tener como máximo dos soluciones
reales, para cada valor de a.
2. Cuando n = 0; no existe solución entera.
3. Existen solamente 12 ternas reales y 6 soluciones conformadas por enteros positivos. (Una ecuación
cuadrática, tiene como máximo una solución entera positiva).
2𝑓 + 1
𝑆 = 𝑛1 + 𝑛2 → −
; 2𝑓 + 1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
6
𝑃 = 𝑛1 × 𝑛2 → −
𝑞 − 𝑎2
; 𝑞 = {1, 7, 19, 37, 61, 91}
108
Se han encontrado 6 ternas Para: "𝑛" = 0 ⇒ 113 − 036 = 112
coprimas de números Z+ de la Para: "𝑛" = 1 ⇒ 83 − 73 = 132
1
1
2
1
forma:
3
3
2
Para:
"𝑛"
=
17
⇒
105
−
104
3
3
2 = 1811
𝑐 3 − 𝑏 3 = 𝑎2 ∧ 𝑐 − 𝑏 = 1
Para: "𝑛" = 40 242 ⇒ 145634 − 145533 = 252112
Para: "𝑛" = 563 3378 ⇒ 2027335 − 2027234 = 3511312
Únicas soluciones posibles:
Para: "𝑛" = 7843 47060 ⇒ 28236036 − 28235935 = 48906112
Ruben Darío Muñoz López
DIFERENCIA POLINOMIAL DE TERNAS
PITAGÓRICAS
El teorema de Pitágoras
DIFERENCIA POLINOMIAL DE TERNAS PITAGÓRICAS EXTENDIDAS n > 2 Y EL UTF.
La DP de grado “n” se define como:
Otra forma de demostrar que el teorema de
Pitágoras no es válido y no cumple para
potencias mayores a 2 (último teorema el
teorema de Fermat), es el método de Diferencia
Polinomial (DP) aplicado a las ternas
pitagóricas extendidas, aplicando el principio
de que el cateto mayor y la hipotenusa son
función directa del cateto menor x.
Δρ(n) =h(x) - [g(x) – f(x)]; tal que si Δρ(n)>0
entonces se ratifica el UTF.
CASO POTENCIA 3:
Aplicando las formulas polinomica de
generación de ternas pitagóricas y el concepto
de diferencia potencial para n = 3:
Por ello, dados dos polinomios de grado “n”:
𝑥 3 + 𝑦 3 ≇ 𝑧 3 ya que Δρ(3)>0
f(x), g(x) y h(x) tal que: h(x) > g(x) > f(x).
3
3
𝑥 = (2𝑝 + 1)
𝑦 3 = (2𝑝2 + 2𝑝)3
𝑧 3 = (2𝑝2 + 2𝑝 + 1)3
⇒
⇒
⇒
* * *
𝑥 = 8𝑝3 + 12𝑝2 + 6𝑝 + 1
𝑦 3 = 8𝑝6 + 24𝑝5 + 24𝑝4 + 8𝑝3
𝑧 3 = 8𝑝6 + 24𝑝5 + 36𝑝4 + 32𝑝3 + 18𝑝2 + 6𝑝 + 1
3
* * *
Reenplazando en 𝑥 3 + 𝑦 3 ∴ 𝑧 3 , y resolviendo,
obtenemos la diferencia polinomial:
Δ𝜌(3) = 𝑧 3 − (𝑥 3 + 𝑦 3 )
Δ𝜌(3) = 12𝑝4 + 16𝑝3 + 6𝑝2
que: 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 más aún si x, y, z son
impares; no existe conjunto solución dentro del
conjunto de números Z+.
Δ𝜌(3) > 0
Asumiendo al igual que para la potencia “2” que
el cateto mayor se aproxime a la hipotenusa.
Caso 1 en que z = y +1
Por tanto, para números enteros:
𝑧 3 > 𝑥 3 + 𝑦 3.
𝑥 3 + 𝑦 3 = (𝑦 + 1)3
Quedando demostrado que: 𝑥 3 + 𝑦 3 ≠ 𝑧 3
OTRA DEMOSTRACIÓN:
Que corrobora que el teorema de Pitágoras no
se cumple para una potencia 3, si z > y > x > 1
Partiendo del teorema: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Multiplicando por z:
𝑥2𝑧 + 𝑦2𝑧 = 𝑧3
3
2
3
2
𝑥 <𝑥 𝑧→𝑥 +𝑝 =𝑥 𝑧
𝑦3 < 𝑦2𝑧 → 𝑦3 + 𝑞 = 𝑦2𝑧
(𝑥 3 + 𝑝) + (𝑦 3 + 𝑞) = 𝑧 3
𝑥3 + 𝑦3 ≪ 𝑧3
CONCLUSIÓN
Considerando por teoría de paridades y por
resto polinomial Δ𝜌(3) > 0, el teorema
extendido de Pitágoras para la terna, x, y, z tal
𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑦 3 + 3𝑦 2 + 3𝑦 + 1
𝑥 3 = 3𝑦 2 + 3𝑦 + 1
Resolviendo la ecuación tenemos
soluciones:
−√3 × √4𝑥 3 − 1 + 3
𝑦1 =
∧
6
√3 × √4𝑥 3 − 1 − 3
𝑦2 =
6
dos
Cuyas soluciones está definida por la
determinante: 4x3 - 1 que debería ser un
cuadrado perfecto o en todo caso raíz cubica de
3. Sabemos que el lado mínimo para un
triángulo es cuando x ≥ 2; y la determinante
tiene que ser necesariamente de la forma 3a2…
¿Por qué? La respuesta es simple, anular la raíz
cuadrada de 3 y poder extraer el radicando en
términos enteros. Aplicando sextales se tiene
que el valor de x solamente podría corresponder
a sextiles de w1
Ruben Darío Muñoz López
CASO POTENCIA n=4:
z4 = 16p8 + 64p7 + 128p6 + 160p5 + 136p4 + 80p3 +32p2 + 8p +1
y4 = 16p8 + 64p7 + 96p6 + 64p5 + 16p4
x4 = 16p4 + 32p3 + 24p2 + 8p + 1
Δρ(4)=32p6 + 96p5 + 104p4 + 48p3 + 8p2
Con este método se puede probar que la
extensión del teorema de Pitágoras para
k=1 no es válida para potencias mayores a
(2); ya que la diferencia polinomial se
hace cada vez más grande para potencias
mayores e iguales a 3, teniendo su mínimo
valor cero solamente para exponente 2, en
la que la diferencia polinomial es cero.
En general, la diferencia
polinomial se incrementa a
medida que crece “n”
demostrando que no se puede
extender el teorema de
Pitágoras para potencias
mayores a 2.
Exponent
e
n
0
1
1,30
2
2,5
3
4
4,5
Gráficamente en el siguiente
ejemplo se percibe el
incremento exponencial de la
diferencia polinomial para la
terna 3 – 4 – 5.
Δ𝜌(2) = 0
Δ𝜌(3) = 12𝑝4 + 16𝑝3 + 6𝑝2
Δ𝜌(4) = 32𝑝6 + 96𝑝5 + 104𝑝4 + 48𝑝3 + 8𝑝2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Δ𝜌(𝑛) = 𝑓(𝑝) → ∞
Cateto
menor
(x)
Cateto
mayor
(y)
Hipotenusa
(z)
3
4
5
1
3
4,16
9
15,59
27
81
140
1
4
6,05
16
32
64
256
512
1
5
8,08
25
55,9
125
625
1398
Diferencia
polinomial
d(p): zn-(x n+yn)
-1
-2
-2,13
0
8,31
34
288
745
798
698
y = 1,0951x6 - 10,944x5 + 44,856x4 - 89,195x3 + 85,271x2
- 32,189x - 0,9972
R² = 1
598
498
398
298
198
98
-2
1
2
3
4
5
Esta correlación algebraica es una aproximación bastante razonable a la forma en que posiblemente
Fermat haya inducido que el teorema de Pitágoras no se puede extender a potencias mayores a 2.
El teorema de Pitágoras
DIVISIBILIDAD Y TERNAS PITAGÓRICAS
La geometría tiene dos grandes tesoros, uno el teorema de Pitágoras y el
otro es la división de un segmento de línea en una proporción extrema y una
media. - Kepler
Ruben Darío Muñoz López
DIVISIBILIDAD DE TERNAS PITAGÓRICAS
En este capítulo se va a establecer los criterios
de divisibilidad de las ternas pitagóricas. Por
ejemplo sea la terna: 5, 12, 13 la cual es
irreductible; debido a que el MCD de los
elementos de la terna es 1. El cateto menor 5 es
primo y sólo divisible por 1 y 5; el cateto mayor
12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12 y la
hipotenusa 13 es primo y sólo divisible por 1 y
13.
En cambio la terna 12, 16, 20 tiene como factor
común 4. Así tenemos que el cateto menor 12 es
divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12; el cateto mayor
16 es divisible por 1, 2, 4, 8 y 16 y la hipotenusa
20 es divisible por 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
En el segundo ejemplo se aprecia que los tres
elementos de la terna son números compuestos
y que la terna es simplificable a 3, 4, 5 por tanto,
se puede afirmar que 12, 16, 20 es reductible a
3, 4, 5.
Algunas ternas pitagóricas de números enteros
son susceptibles de agruparse en conjuntos
especiales determinados por expresiones
algebraicas. Lo primero que se expone, a modo
de entrar en calor, es un reto matemático sobre
restos sucesivos.
5, 11, 59, 419, 839, 2519, 27719, 360359,
720719 y por supuesto 12252239. Y se
denominan en este artículo como números
ínclitos y su nomenclatura es N5.
Número
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
12252239
Divisor
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
RESTO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
El procedimiento para determinar un número
ínclito N que cumpla condiciones similares a
2519 ó 12252239 está dada por el MCM de los
divisores sucesivos menos 1: MCM – 1.
RETO
Podría el lector encontrar otro número mayor o
menor que 12252239 que al dividirlo
sucesivamente por 2, 3, 4, 5, 6, …, 18 de como
residuos sucesivos 1, 2, 3, 4, 5, … ,17
respectivamente.
Donde, para el MCM de 2, 3, 4, 5, …, n; los
restos sucesivos son: 1, 2, 3, 4, …, n-1; por
tanto:
𝑁5
= 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑐4 , 𝑐5 , … , 𝑐𝑛
2, 3, 4, 5, … , 𝑛
RESTOS SUCESIVOS POR COCIENTES
SUCESIVOS Y NÚMEROS ÍNCLITOS
La expresión se puede extender infinitamente,
así por ejemplo para los siete primeros ínclitos,
puede observarse que el MCM es múltiplo de 6
por lo cual, al restar una unidad, N5 es de la
forma 6m – 5.
El número 2519, es otro número especial, pues
es el menor número natural que dividido por 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 dan como restos sucesivos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Los primeros números que comparten la
propiedad de dividirlos por cocientes sucesivos
de la serie natural a partir de 2 hasta un valor
determinado por el M.C.M de los divisores
sucesivos son:
Con residuos sucesivos: 1, 2, 3, 4, … , 𝑛 − 1
El teorema de Pitágoras
MCM
𝐍𝟓 = (𝑴. 𝑪. 𝑴) − 𝟏
Para 2 y 3 el MCM es 6
6
55
Para 2, 3 y 4 el MCM es 12
12
115
Para 2, 3, 4 y 5 el MCM es 60
60
595
Para 2, 3, 4, 5 y 6 el MCM es 60
60
595
Para 2, 3, 4, 5, 6 y 7 el MCM es 420
420
4195
Para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 el MCM es 840
840
8395
Para 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 el MCM es 2520
2520
25195
Divisores sucesivos
La nomenclatura utilizada para expresar el mínimo común múltiplo de los números sucesivos de 2 hasta
n está dada por la siguiente expresión: 𝜇2𝑛 ! = 𝑀𝐶𝑀(2,3,4,5, … , 𝑛); expresión que contiene al producto
de todos los números primos sucesivos.
Nomenclatura
MCM.
Factores
𝜇23 ! =
6
2, 3
𝜇24 ! =
12
22, 3
𝜇25 ! = 𝜇26 ! =
60
22, 3, 5
𝜇27 ! =
420
22, 3, 5, 7
𝜇28 ! =
840
23, 3, 5, 7
𝜇29 ! = 𝜇10
2 !=
2520
23, 32, 5, 7
12
𝜇11
2 ! = 𝜇2 ! =
27720
23, 32, 5, 7, 11
14
15
𝜇13
2 ! = 𝜇2 ! = 𝜇2 !
360360
23, 32, 5, 7, 11, 13
𝜇16
2 !=
720720
24, 32, 5, 7, 11, 13
18
𝜇17
2 ! = 𝜇2 ! =
12252240
24, 32, 5, 7, 11, 13, 17
𝜇19
2 !=
232792560
24, 32, 5, 7, 11, 13, 17, 19
EJERCICIO:
Hallar el número más pequeño que al dividirlo
sucesivamente por 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se obtiene
como resto único a 1. Dato adicional es el
cuadrado de un número primo.
SOLUCIÓN: El MCM de 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 es
840, entonces N = 840 + 1= 841.
EJERCICIO:
Hallar la terna pitagórica irreductible x, y, z, tal
que, si se divide el cateto menor x
sucesivamente por 2, 3, 4, 5 y 6 se obtienen los
restos 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente.
Dato adicional:
𝑧>𝑦>𝑥≥3
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
El cateto mayor y es múltiplo al mismo tiempo
de 2, 3, 4, 5 y 6. Si se divide la hipotenusa z por
2, 3, 4, 5 y 6 se obtiene como resto 1.
SOLUCIÓN: El MCM de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60,
entonces x = 60 - 1= 59.
Aplicando las fórmulas generales de ternas
pitagóricas, se tiene y = 1740 y z = 1741.
Verificando los restos especificados en el
problema se cumple con todas las condiciones.
Por tanto, la terna pitagórica es: 59, 1740, 1741
ALGUNAS CURIOSIDADES DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS
Determinando las ternas pitagóricas para los
números que resultan del MCM de divisores
sucesivos se tiene que el cateto mayor y la
hipotenusa
también
presentan
un
comportamiento ordenado. Veamos la siguiente
tabla.
Divisores
2
3
4
5
6
7
8
MCM MCM - 1
2
x
6
5
12
11
60
59
60
59
420
419
840
839
y
12
60
1740
1740
87780
351960
z
13
61
1741
1741
87781
351961
Entre las conclusiones más evidentes se tiene
que el MCM es múltiplo de 6, por ende, N =
MCM – 1 pertenece al quinto sextal, siendo por
tanto un número primo o seudo primo. Esto
implica que N en esos casos tendrá en la
mayoría de los casos ternas irreductibles para
k=1 tal como 5, 11 y 59.
El MCM de los primeros números naturales se
puede relacionar con los lados de un triángulo
rectángulo. En este caso el cateto menor es de la
forma 2p. y para MCM – 1, el cateto es de la
forma 2p – 1.
Para ternas enteras se pueden corresponder con
excepción de 2, al cateto mayor, así tenemos:
Para 6 se tiene:
x
y
z
8
6
10
Para 12 se tiene:
x
y
z
5
12
13
9
12
15
16
12
20
35
12
37
k
4
k
1
3
8
25
h
2
h
8
6
4
2
q
-2
x1
x2
x3
x4
yi
b
b
b
b
zi
c1
c2
c3
c4
Rubén D Muñoz L - Más allá del teorema de Pitágoras.
Hallar las cuatro ternas pitagóricas de la forma
xi yi zi de números enteros que cumplen que:
k i = z i - yi
1
3
8
25
hi = zi - xi
8
6
4
2
qi = y i - x i
7
3
-4
-23
SOLUCIÓN
Partiendo de la primera terna k1 = 1, por tanto
es una terna irreductible de cateto menor impar.
Probando con las dos primeras ternas de este
tipo se deduce que corresponde a la terna
irreductible 5, 12, 13; determinando el valor de
b = 12. Reemplazando en cada terna
subsiguiente.
xi yi zi ki = zi - yi hi = zi - xi qi = yi - xi
5 12 13
1
8
7
x2 12 c2
3
6
3
x3 12 c3
8
4
-4
x4 12 c4
25
2
-23
Aplicando las diferencias de las columnas de la
derecha.
xi yi zi ki = zi - yi hi = zi - xi qi = yi - xi
5 12 13
1
8
7
9 12 15
3
6
3
16 12 20
8
4
-4
35 12 37
25
2
-23
EJERCICIO:
Podría determinar cuántas ternas pitagóricas
existen que contengan entre sus términos a 840
ó 420, se incluyen las primeras como pista.
Para 840:
x
41
58
130
154
…
y
840
840
840
840
z
841
842
850
854
k
1
2
10
14
Para 420:
x
29
65
77
144
153
175
…
y
420
420
420
420
420
420
z
421
425
427
444
447
455
k
1
5
7
24
27
35
q
7
3
-4
-23
EJERCICIO
𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒊 = 𝐳𝒊𝟐
xi
RESTOS CUADRADOS
Se ha demostrado con anterioridad el estricto
cumplimiento sextal de las ternas pitagóricas,
cuyo resultado, también puede verificarse
utilizando las propiedades de la aritmética
modular y el residuo de las divisiones entre los
elementos de un triángulo rectángulo de lados
enteros. Dada una terna pitagórica de cateto
menor impar se cumple que el semi resto de
dividir el producto de los catetos entre la
hipotenusa es igual a cuadrado de un número
que pertenece a la serie natural de números.
𝑥 → cateto menor impar de la forma 2n + 1
𝑦 → cateto mayor
𝑧 → hipotenusa
𝑟 → resto de dividir xy/z
𝑟
𝑛2 =
2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)2
=
2
2
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
y
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
z
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
n 2 =(xy mod z)/2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
EJERCICIO
Hallar la terna pitagórica de números enteros tal
que el resto de dividir el producto de los catetos
entre la hipotenusa es el menor número primo.
SOLUCIÓN
El menor número primo es 2.
(𝑥 − 1)2
𝑟=
2
(𝑥 − 1)2
2
4 = (𝑥 − 1)2 ⇒ 𝑥 = 3
Por tanto, la terna es; 3 – 4 – 5, tal que, 12/5 deja
resto 2.
EJERCICIO
Hallar la terna pitagórica de números enteros tal
que al dividir el producto de los catetos entre la
hipotenusa deja un resto de 2
SOLUCIÓN
El resto en función del cateto menor está dado
por.
(𝑥 − 1)2
𝑟=
2
2=
Que puede expresarse de la siguiente manera:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑛2 =
4
𝑥−1
𝑛=
2
𝑟=
2=
(𝑥 − 1)2
2
4 = (x − 1)2 ⇒ x = 3 ;
Por tanto, la terna es: 3 – 4 – 5, tal que, 12/5 deja
resto 2.
EJERCICIO
Hallar dos ternas pitagóricas tal que, el resto de
dividir el producto de los catetos entre la
hipotenusa de la primera terna sea el doble del
resto de dividir el producto entre la hipotenusa
de la segunda terna.
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑑2 + 𝑒 2 = 𝑓 2
r → resto de; ab / c
s → resto de; de / f
Tal que: s = 2r
Catetos
menores
Catetos
mayores
Hipotenusas
Restos
27
33
120
180
123
183
42
84
Darío Lanni
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO
Hallar dos ternas pitagóricas tal que la
diferencia entre la mitad de los restos de dividir
el producto de los catetos entre la hipotenusa de
la primera terna y el resto de dividir el producto
entre la hipotenusa de la segunda terna sea 666.
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑑2 + 𝑒 2 = 𝑓 2
r → resto de; ab / c
s → resto de; de / f
Tal que; s – r = 666
Catetos
menores
Catetos
mayores
Hipotenusas
Restos /2
10
99
24
1632
26
1635
3
669
Darío Lanni
EJERCICIO
Hallar dos ternas pitagóricas tal que la suma de
los restos de dividir el producto de los catetos
entre la hipotenusa de la primera terna y el resto
de dividir el producto entre la hipotenusa de la
segunda terna sea 666.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
x
y
6
8
10
24
14
48
18
80
22
120
26
168
30
224
34
288
Suma de restos
z
10
26
50
82
122
170
226
290
Resto de: xy / z
8
6
22
46
78
118
166
222
666
Si se observa con detenimiento se encontrarán
interesantes detalles como que algunas ternas
poseen los mismos dígitos en las unidades.
Los catetos menores 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 y
34 es una serie aritmética de la forma:
xn = 6 + 4(n - 1)
Los catetos mayores también son una serie que
responden a la regla de composición:
yn = 4n (n + 1).
Las hipotenusas son otra serie numérica que se
ajustan a la condición:
zn = 2 + 4n (n + 1), es decir, z – y = 2.
La suma de términos es para n ≥ 0:
24 + 36n + 8n (n - 1)
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝑑2 + 𝑒 2 = 𝑓 2
r → resto de; ab / c
Ahora se verificará la veracidad de la expresión.
s → resto de; de / f
𝑥𝑛2 + 𝑦𝑛2 = 𝑧𝑛2
Tal que; s + r = 666
Catetos
menores
Catetos
mayores
Hipotenusas
Restos
22
69
120
792
122
795
78
588
= 666
Darío Lanni
Reemplazando valores:
[6 + 4(𝑛 − 1)]2 + [4𝑛(𝑛 + 1)]2
= [2 + 4𝑛(𝑛 + 1]2
[(4𝑛 + 2)]2 + (4𝑛2 + 4n)2
= [2 + (4𝑛2 + 4n)]2
PERTURBADORA SUMA DE RESTOS
La suma de los restos de dividir el producto de
los catetos entre la hipotenusa de las siguientes
ternas pitagóricas es el perturbador número de
la bestia… 666.
El teorema de Pitágoras
SUMA DE CATETOS ENTRE HIPOTENUSA
Demostrar que si: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
Y además se cumple que:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
Entonces el cociente entre la suma de
los catetos y la hipotenusa no es un
número entero, es decir:
𝑥+𝑦
=𝑟 ⇒ 𝑟 ∉𝒁
𝑧
x
3
5
7
9
11
13
15
y
4
12
24
40
60
84
112
z
5
13
25
41
61
85
113
r
1.4
1.31
1.24
1.2
1.16
1.14
1.12
x
y
z
r
4
3
5
1.4
6
8
10
1.4
8
15
17
1.35
10
24
26
1.31
12
35
37
1.27
14
48
50
1.24
16
63
65
1.22
Teorema: Por Rubén D Muñoz L
DEMOSTRACIÓN
la suma de los catetos es prima con respecto a la hipotenusa. Es decir, entre x + y con z no existe un
factor común. Primero evaluaremos los dos casos simples para x + y = 2z y para x + y = z
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑥 + 𝑦 = 2𝑧
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ∧ 𝑥 + 𝑦 = 𝑧
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
𝑥+
𝑥 2 − 𝑘 2 2(𝑥 2 + 𝑘 2 )
=
2𝑘
2𝑘
𝑥+
𝑥 2 − 𝑘 2 (𝑥 2 + 𝑘 2 )
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑘 2
2𝑘𝑥 + 𝑥 2 − 𝑘 2 = 𝑥 2 + 𝑘 2
𝑥 2 − 2𝑘x + 3𝑘 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑘(1 ± √−2)
𝑥=𝑘
En el primer caso no existe ternas reales, solo existirían ternas en los complejos. Y en el segundo caso
Si x = k, entonces y = 0, por tanto la terna seria nula. Ahora para el caso general x + y = nz
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑥 + 𝑦 = 𝑛𝑧
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
𝑥 2 − 𝑘 2 𝑛(𝑥 2 + 𝑘 2 )
𝑥+
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘𝑥 + 𝑥 2 − 𝑘 2 = 𝑛𝑥 2 + 𝑛𝑘 2
(𝑛 − 1)𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + (𝑛 + 1)𝑘 2 = 0
𝑥=
2𝑘 ± √4𝑘 2 − 4(𝑛 − 1)(𝑛 + 1)𝑘 2
2(𝑛 − 1)
𝑥=
2𝑘 ± 2√𝑘 2 − (𝑛2 − 1)𝑘 2
2(𝑛 − 1)
𝑥=
𝑘 ± k√2 − 𝑛2
𝑛−1
Si n = 1 entonces: 𝑥 =
Si n > 1 entonces: 𝑥 =
2𝑘
0
∨
0𝑘
0
𝑘±k√2−𝑛2
𝑛−1
Entonces la determínate determina una terna
compleja, quedando demostrado que la suma
de los catetos nunca es prima con respecto a la
hipotenusa.
Una
propiedad
importante
para
la
determinación de números primos en la
conjetura de Beal 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑐
TEOREMA: El cociente entre la suma de los catetos sobre la hipotenusa no es un numero entero.
𝑥+𝑦
=𝑛 ⟹ 𝑛 ∉𝑍
𝑧
Ruben Darío Muñoz López
CONJUNTO DE TERNAS POR FACTORIZACIÓN
Factorización es expresar un número
compuesto, una matriz o un polinomio como
producto de otros factores de números primos o
expresiones irreductibles.
Por ejemplo: el 6 se factoriza en números
primos 2 × 3.
La diferencia de cuadrados 𝑥 2 − 𝑘 2 se factoriza
como binomio conjugados: (𝑥 + 𝑘)(𝑥 − 𝑘)
𝑥 4𝑛 − 𝑘 4𝑛 = (𝑥 2𝑛 − 𝑘 2𝑛 )(𝑥 2𝑛 + 𝑘 2𝑛 )
Pudiendo factorizarse a su vez por diferencia de
cuadrados el factor conformado por otra
diferencia de cuadrados, con lo que se
consiguen expresiones algebraicas divisoras por
otra; con lo cual podemos obtener un conjunto
de ternas pitagóricas interesantes como ya se
mencionó.
EJEMPLO:
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
No todo polinomio se puede factorizar en
expresiones reales, en cambio toda expresión si
se puede factorizar en expresiones de números
complejos. Se ha puesto un especial interés en
las expresiones que pueden factorizarse en
números enteros, especialmente positivos. En
este acápite se verá la factorización de algunos
métodos aplicados a expresiones algebraicas
que están relacionadas con el teorema de
Pitágoras y en especial con las ternas pitagóricas
de números enteros.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
El cateto mayor de una terna pitagórica esta
expresado en general por:
𝑥 2 − 𝑘 2 (𝑥 + 𝑘)(𝑥 − 𝑘) − 𝑘 2
𝑦=
=
2𝑘
2𝑘
Si k = x + k tendríamos una expresión:
𝑦=
(𝑥 + 𝑘)(𝑥 − 𝑘) − (𝑥 + 𝑘)2
2(𝑥 + 𝑘)
𝑦=
(𝑥 − 𝑘) − (𝑥 + 𝑘)
⟹ 𝑦 = −𝑘
2
Por el contrario si k = x – k tendríamos:
(𝑥 + 𝑘)(𝑥 − 𝑘) − (𝑥 − 𝑘)2
𝑦=
2(𝑥 − 𝑘)
(𝑥 + 𝑘) − (𝑥 − 𝑘)
𝑦=
⟹𝑦=0
2
Este razonamiento sirve para poner límites a los
valores de k. Utilizando algunas expresiones
creativas podemos determinar preciosos
conjuntos de ternas basadas en la factorización
de diferencia de cuadrados. Un caso general es
el siguiente:
𝑥 = 𝑎2 − 1 ∧ 𝑘 = 𝑎 − 1
𝑦=
(𝑎2 − 1)2 − (𝑎 − 1)2
2(𝑎 − 1)
𝑦=
(𝑎 − 1)2 (𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)2
2(𝑎 − 1)
𝑦=
(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)
2
(𝑎 − 1)[(𝑎 + 1)2 − 1]
2
𝑎(𝑎 − 1)(𝑎 + 2)
𝑦=
⟹ 𝑧 = 𝑦 + (𝑎 − 1)
2
𝑦=
a
2
3
4
5
6
7
8
x = a2- 1
3
8
15
24
35
48
63
y
4
15
36
70
120
189
280
z
5
17
39
74
125
195
287
k
1
2
3
4
5
6
7
Las ternas del cuadro poseen la propiedad de
que la diferencia pitagórica es la sucesión de
números naturales: 𝑘 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 𝑛}.
También los elementos de las ternas en este
ejemplo son series numéricas.
𝑥 = {3, 8, 15, 24, 35, … , 𝑛}
8−3=5
15 − 8 = 7
24 − 15 = 9
35 − 24 = 11
…
El teorema de Pitágoras
…
…
𝑥 = 𝑎3 − 𝑏 3
⟹ 𝑘 = (𝑎 − 𝑏) ∨ (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
Es decir los catetos menores conforman el
conjunto de todos los números impares mayores
o iguales a 5. Con respecto al conjunto de
catetos mayores y e hipotenusas z, se deja al
lector avispado para que determine a modo de
ejercitación las propiedades comunes de los
elementos de dichos conjuntos, no sin antes
sugerir que el número 3 es una pista importante.
𝑥 = 𝑎3 + 𝑏 3
⟹ 𝑘 = (𝑎 + 𝑏) ∨ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
EJERCICIO
Dadas las siguientes ternas podría el lector
hallar la terna, x, y, z. tal que la diferencia entre
la hipotenusa y el cateto mayor es 13579.
32 + 42 = 52 → 5 − 4 = 1
152 + 362 = 392 → 39 − 36 = 3
352 + 1202 = 1252 → 125 − 120 = 5
EJEMPLO
𝑥 = 𝑎3 − 1 ∧ 𝑘 = 𝑎 − 1
(𝑎3 − 1)2 − (𝑎 − 1)2
2(𝑎 − 1)
(𝑎 − 1)2 (𝑎2 + 𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)2
𝑦=
2(𝑎 − 1)
2
(𝑎 − 1)(𝑎 + 𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)
𝑦=
2
(𝑎 − 1)[(𝑎2 + 𝑎 + 1)2 − 1]
𝑦=
2
𝑎(𝑎 − 1)(𝑎3 + 2𝑎2 + 3𝑎 + 2)
𝑦=
2
𝑧 = 𝑦 + (𝑎 − 1)
𝑦=
a
2
3
4
5
6
7
8
632 + 2802 = 2872 → 287 − 280 = 7
992 + 5402 = 5492 → 549 − 540 = 9
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 → 𝑧 − 𝑦 = 13579
EJERCICIO
Hallar las expresiones algebraicas para x, y, z.
x = a3- 1
7
26
63
124
215
342
511
y
24
168
660
1920
4620
9744
18648
z
25
170
663
1924
4625
9750
18655
tal que la diferencia entre: 𝑧 − 𝑦 = 2𝑛
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 → 𝑧 − 𝑦 = 2𝑛
EJEMPLO
𝑥 = 𝑎3 − 1 ∧ 𝑘 = 𝑎2 + 𝑎 + 1
EJERCICIO
Hallar las expresiones algebraicas para x, y, z.
𝑦=
tal que la diferencia entre: 𝑧 − 𝑦 = 2𝑛 + 1
(𝑎 − 1)2 (𝑎2 + 𝑎 + 1)2 − (𝑎2 + 𝑎 + 1)2
𝑦=
2(𝑎2 + 𝑎 + 1)
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 → 𝑧 − 𝑦 = 2𝑛 + 1
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
Si el cateto menor de un triángulo rectángulo de
lados enteros es una diferencia de cubos,
cualquiera de sus factores producto de una
factorización, perfectamente se constituye en
diferencia pitagórica.
(𝑎3 − 1)2 − (𝑎2 + 𝑎 + 1)2
2(𝑎2 + 𝑎 + 1)
𝑦=
(𝑎2 + 𝑎 + 1)2 [(𝑎 − 1)2 − 1]
2(𝑎2 + 𝑎 + 1)
𝑦=
(𝑎2 + 𝑎 + 1)(𝑎2 − 2𝑎)
2
𝑦=
𝑎(𝑎 − 2)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
2
𝑧 = 𝑦 + (𝑎2 + 𝑎 + 1)
k
1
2
3
4
5
6
7
Ruben Darío Muñoz López
a
4
6
8
10
12
x =a3- 1
63
215
511
999
1727
y
84
516
1752
4440
9420
z
105
559
1825
4551
9577
k
21
43
73
111
157
EJERCICIO
Hallar una terna pitagórica x, y, z de números
enteros, tal que el cateto menor sea el
consecutivo anterior de un cubo perfecto y que
la diferencia entre la hipotenusa el cateto mayor
sea un cubo perfecto.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑥 = 𝑛3 − 1
𝑧 − 𝑦 = 𝑘3
Nota: Como ayuda se brinda el valor de k = 7.
TRINOMIOS
Los trinomios son expresiones algebraicas de
tres términos, siendo algunas susceptibles de
factorizarse. Siguiendo el mismo método
anterior, es posible generar ternas pitagóricas
enteras para trinomios de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
o en el caso general 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 simplemente
factorizando y tomando uno de los factores
como el valor de la diferencia pitagórica k.
EJERCICIO
Dados los trinomios siguientes con sus
respectivas
factorizaciones,
determinar
expresiones algebraicas para algunos conjuntos
de ternas enteras usando sus factores como
diferencia pitagórica:
a) 𝑎2 + 2𝑎 − 15 = (𝑎 + 5)(𝑎 − 3)
b) 𝑏 2 + 5𝑏 + 6 = (𝑏 + 3)(𝑏 + 2)
Tomando la primera expresión y como
diferencia pitagórica el factor (a – 3) tendríamos
por ejemplo.
𝑦=
(𝑎 − 3)[(𝑎 + 5)2 − 1]
2
(𝑎 − 3)(𝑎2 + 10𝑎 + 24)
2
(𝑎 − 3)(𝑎 + 4)(𝑎 + 6)
𝑦=
2
⟹ 𝑧 = 𝑦 + (𝑎 − 3)
𝑦=
a
4
5
6
7
x = a 2 +2a-15
9
20
33
48
y
40
99
180
286
z
41
101
183
290
k
1
2
3
4
EJERCICIO
Si el número menor de una terna pitagórica se
puede descomponer polinomialmente en la
expresión algebraica de la forma 𝑎2 + 2𝑎 − 15
hallar la menor terna pitagórica tal que la
diferencia entre la hipotenusa y el cateto mayor
es el mínimo cuadrado perfecto posible.
SOLUCIÓN:
482 + 2862 = 2902 → 290 − 286 = 22
EJERCICIO
Si el número menor de una terna pitagórica se
puede descomponer polinomialmente en la
expresión algebraica de la forma 𝑎2 + 2𝑎 − 15
y a su vez es una potencia perfecta de 2, hallar
la menor terna pitagórica tal que la diferencia
entre la hipotenusa y el cateto mayor sea otra
potencia perfecta de 2.
𝑥 = 𝑎2 + 2𝑎 − 15 ∧ 𝑥 = 2𝑛
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑧 − 𝑦 = 2𝑚
SOLUCIÓN: 1282 + 10202 = 10282
𝑥 = 112 + 2(11) − 15 ∧ 𝑥 = 27
𝑧 − 𝑦 = 1028 − 1020 = 8 = 23
𝑥 = 𝑎2 + 2𝑎 − 15 ∧ 𝑘 = (𝑎 − 3)
(𝑎 + 5)2 (𝑎 − 3)2 − (𝑎 − 3)2
2(𝑎 − 3)
EJERCICIO
𝑦=
𝑦=
(𝑎 − 3)2 [(𝑎 + 5)2 − 1]
2(𝑎 − 3)
(2𝑎 + 3)2
4𝑎2 + 12𝑏 + 9
El teorema de Pitágoras
Para diferencia pitagórica: 𝑘 = 2𝑎 + 3
sus factores conforman conjuntos enteros de
ternas pitagóricas.
𝑥 = (2𝑎 + 3)2
𝑦=
(2𝑎 + 3)4 − (2𝑎 + 3)2
2(2𝑎 + 3)
𝑦=
(2𝑎 + 3)3 − (2𝑎 + 3)
2
TERNAS POR PRODUCTO DE SERIES
n
(2𝑎 + 3)((2𝑎 + 3)2 − 1))
𝑦=
2
(2𝑎 + 3)(2𝑎 + 3 + 1)(2𝑎 + 3 − 1)
𝑦=
2
𝑦 = 2(𝑎 + 1)(𝑎 + 2)(2𝑎 + 3)
𝑧 = 𝑦 + (2𝑎 + 3)
a
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
6
7
6
7
5
6
4
5
3
4
2
3
S=𝑛+
x = 4a 2 +12a+9
y
60
168
360
660
1092
1680
2448
25
49
81
121
169
225
289
z
65
175
369
671
1105
1695
2465
k
5
7
9
11
13
15
17
En este tipo de terna el cateto menor es una
potencia impar mayor o igual a 25 y la
diferencia pitagórica es el conjunto de la serie
de números impares mayores e iguales a 5 o la
raíz cuadrada del cateto menor.
SUMA DE CUBOS
𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)3
Entonces existen ternas enteras para diferencia
pitagóricas:
𝑘 = (𝑎 + 𝑏)2
S = n + Suma
serie natural
SERIE NARURAL
𝑛(𝑛+1)
2
=
2
5
9
14
20
27
1
2
1
𝒏𝟐 +𝟑𝒏
𝟐
35
=
𝒏 𝒏+𝟑
𝟐
Ahora se va a determinar las expresiones
algebraicas para obtener ternas pitagóricas
donde:
𝑥 = 𝑛(𝑛 + 3) ∧ 𝑘 = 𝑛
𝑦=
𝑛2 (𝑛 + 3)2 − 𝑛2
2𝑛
𝑦=
𝑛(𝑛2 + 6𝑛 + 8) 𝑛(𝑛 + 2)(𝑛 + 4)
=
2
2
𝑛(𝑛 + 3)2 + 𝑛 𝑛(𝑛2 + 6𝑛 + 10)
𝑧=
=
2
2
n=k
2
4
6
8
10
12
14
x
10
28
54
88
130
180
238
y
24
96
240
480
840
1344
2016
z
26
100
246
488
850
1356
2030
𝑘 = (𝑎 + 𝑏)
Reduciendo n a m tal que n = 2m se tendría:
3
2
2
3
3
𝑎 − 3𝑎 𝑏 + 3𝑎𝑏 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)
𝑥 = 2𝑚(2𝑚 + 3) ∧ 𝑘 = 2𝑚
Entonces existen ternas enteras para diferencia
pitagóricas:
𝑦 = 4𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 + 2)
𝑘 = (𝑎 − 𝑏)2
𝑧 = 2𝑚[2(𝑚 + 1)(𝑚 + 2) + 1]
𝑘 = (𝑎 − 𝑏)
En conclusión toda expresión algebraica que
pueda factorizarse en expresiones reales, esta y
De la misma manera se obtiene ternas
pitagóricas para:
Ruben Darío Muñoz López
PARA TERNAS RACIONALES EN Q+.
𝑥 = 𝑛(𝑛 + 3)
𝑘 = (𝑛 + 3)
𝑦=
𝑦=
𝑛2 (𝑛 + 3)2 − (𝑛 + 3)2
2(𝑛 + 3)
𝑦=
(𝑛 + 3)(𝑛2 − 1)
2
𝑛! − 𝑘 2
⟹ 𝑘 = 1, 2, 3 …
2𝑘
Ejemplo: 𝑥 = 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
𝑘 = 1, 2, 3,4
(𝑛 − 1)(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)
𝑦=
2
𝑦1 =
242 − 12
= 287.5 ⟹ 𝑧1 = 288.5
2(1)
(𝑛 + 3)(𝑛2 − 1)
𝑧=
+ (𝑛 + 3)
2
𝑦2 =
242 − 22
= 143 ⟹ 𝑧2 = 145
2(2)
𝑧=
(𝑛 + 3)(𝑛2 − 1) + 2(𝑛 + 3)
2
𝑦3 =
242 − 32
= 94.5 ⟹ 𝑧3 = 97.5
2(3)
𝑧=
(𝑛 + 3)(𝑛2 + 1)
2
𝑦4 =
242 − 42
= 70 ⟹ 𝑧4 = 74
2(4)
n
1
3
5
7
9
11
13
15
x
4
18
40
70
108
154
208
270
y
0
24
96
240
480
840
1344
2016
z
4
30
104
250
492
854
1360
2034
k
4
6
8
10
12
14
16
18
En general se podrían obtener ternas
compuestas por el producto arbitrario de los
factores, es decir si el factorial de un número
está dada por n! = 1 x 2 x 3 x 4 … n el valor de
k podría estar compuesto por el producto de dos
o más factores tomados de forma arbitraria o
siguiendo las propiedades combinatorias, con lo
cual se obtendrían diversas ternas Racionales.
𝑘 =2×3=6
TERNAS Y FACTORIALES
𝑥 = 𝑛! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 … 𝑛
𝑘<𝑥
PARA TERNAS ENTERAS EN Z+.
𝑦=
𝑛! − 𝑘 2
⟹ 𝑘 = 2, 4, 6 …
2𝑘
Ejemplo: 𝑥 = 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
𝑘=2
𝑦=
242 − 22
= 143
2(2)
𝑧 = 145
𝑘 =2×4=8
𝑘 = 3 × 4 = 12
𝑦6 =
242 − 62
= 45 ⟹ 𝑧6 = 51
2(6)
𝑦8 =
242 − 82
= 32 ⟹ 𝑧8 = 40
2(8)
𝑦12 =
242 − 122
= 18 ⟹ 𝑧12 = 30
2(12)
En el cuadro subsiguiente se puede observar el
resumen de las ternas Z+ y Q+ para 4!
El teorema de Pitágoras
y
287.5
143
94.5
70
45
32
18
x
24
24
24
24
24
24
24
k
1
2
3
4
6
8
12
z
288.5
145
97.5
74
51
40
30
288
264
Con lo cual se pueden determinar expresiones
algebraicas de ternas pitagóricas enteras, tal que
al menos k = (a - b).
NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS
Sea S la suma de tres números consecutivos
impares. Si el primer número es n.
𝑆 = 𝑛 + (𝑛 + 2) + (𝑛 + 4)
𝑆 = 3𝑛 + 6
240
216
192
Pero 𝑛 = 2𝑎 + 1, entonces:
𝑆 = 2𝑎 + 1 + (2𝑎 + 3) + (2𝑎 + 5)
168
144
𝑆 = 6𝑎 + 9
120
96
72
TERNAS PITAGÓRICAS
48
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Para Z+ el conjunto de ternas orto pitagóricas se
da cuando los valores de k = 2, 4, 6, 8, 12. Y en
el caso de Q+ se tiene que k = 1, 3.
Concluyendo, ya solamente existirán ternas
enteras cuando k cumple las propiedades de
divisibilidad con respecto a x.
Sea S el cateto menor de un triángulo rectángulo
de lados enteros.
𝒙𝟏 = 𝟑𝒏 + 𝟔
𝑦1 =
(3𝑛 + 6)2 − 1 9𝑛2 + 36𝑎 + 35
=
2
2
𝑧1 =
9𝑛2 + 36𝑎 + 37
2
𝒙𝟑 = 𝟑𝒏 + 𝟔
SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS
A LA “n”
La suma de dos potencias impares perfectas
elevadas al mismo exponente se descompone en
dos factores:
𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏2
− ⋯ + 𝑎𝑏 𝑛−2 − 𝑏 𝑛−1 )
Con lo cual se pueden determinar expresiones
algebraicas, tal que al menos k = (a + b).
La diferencia de dos potencias perfectas
elevadas al mismo exponente se descompone en
dos factores:
𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏2
+ ⋯ + 𝑎𝑏 𝑛−2 − 𝑏 𝑛−1 )
(3𝑛 + 6)2 − 9 3𝑛2 + 12𝑎 + 9
=
6
2
3(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)
𝑦3 =
2
𝑦3 =
9𝑛2 + 36𝑎 + 29
𝑧3 =
6
DIVISIBILIDAD
Demostrar que, si el cateto menor x de un
triángulo rectángulo es la suma de tres números
consecutivos impares a, b, c. Existen al menos
dos triángulos rectángulos de lados enteros de la
forma:
𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑧 2,
Tal que si 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, entonces 𝑥 = 𝑆
Para el triángulo 1:
𝑦=
𝑆2 − 1
𝑆2 + 1
∧ 𝑧=
2
2
Ruben Darío Muñoz López
Para el triángulo 2:
𝑦=
𝑆2 − 9
𝑆2 + 9
∧ 𝑧=
6
6
𝑧3 = 18𝑎2 + 54𝑎 + 36 + 6𝑎 + 9
𝑧3 = 18𝑎2 + 60𝑎 + 45
Factorizando también se puede determinar que
para k = 2a + 3 también existirán terna enteras.
DEMOSTRACIÓN
𝑆−6
3
𝑆−6 2
𝑆−6
9 ( 3 ) + 36 ( 3 ) + 35
𝑦1 =
2
2
𝑆 − 12𝑆 + 36 + 12(𝑆 − 6) + 35
𝑦1 =
2
Simplificando:
𝑛=
𝑆2 − 1
𝑆2 + 1
𝑦1 =
⇒ 𝑧1 =
2
2
Lo mismo sucede para:
𝑦3 =
𝑆2 − 9
𝑆2 + 9
⇒ 𝑧3 =
6
6
𝑦2𝑎+3 =
(6𝑎 + 9)2 − (2𝑎 + 3)2
= 8𝑎 + 12
2(2𝑎 + 3)
𝑧2𝑎+3 = 10𝑎 + 15
Que definitivamente son ternas enteras.
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
k
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
x
15
21
27
33
39
45
51
57
63
69
75
y
20
28
36
44
52
60
68
76
84
92
100
z
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
Todas son ternas pitagóricas reductibles a la
primitiva 3, 4, 5.
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 → 𝒇(𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟓𝟐 )
Tal que: f = 2n +1 y f ≥ 5
EJERCICIOS PROPUESTOS
Una demostración más simple se da cuando:
𝒙𝟏 = 𝟔𝒂 + 𝟗
𝑦1 =
(6𝑎 + 9)2 − 1
= 18𝑎2 + 54𝑎 + 40
2
𝑧1 = 18𝑎2 + 54𝑎 + 40 + 6𝑎 + 9
𝑧1 = 18𝑎2 + 60𝑎 + 49
𝒙𝟑 = 𝟔𝒂 + 𝟗
𝑦3 =
(6𝑎 + 9)2 − 9
= 18𝑎2 + 54𝑎 + 36
6
Hallar la regla de composición de las ternas
pitagóricas enteras para las siguientes
expresiones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
e)
(𝑛 − 1)(5𝑛2 + 3𝑛 + 7)
(3𝑛 + 1)(5𝑛2 + 1)
(5𝑛 − 3)2
(3𝑛 + 2)2
4𝑛2 + 25𝑛 − 20
El teorema de Pitágoras
PROBLEMA RESUELTO POR INSPECCIÓN PITAGÓRICA
Hallar el área entera mínima de la figura
sombreada A, para a, b, c enteros. Además, se
cumple que:
∧
𝒃
𝒂+𝒃
∧
𝒂+
Tienen cociente entero exacto. Se adjunta hoja
de cálculo con valores tabulados para algunas
ternas pitagóricas.
Sin ningún valor numérico; sin embargo, si
enfocamos el problema desde una perspectiva
pitagórica, es probable que la solución debe
corresponder con algún caso de terna pitagórica.
Evaluando para las ternas enteras más pequeñas
se observa casos que se ajustan a la solución del
problema.
Aplicando las fórmulas genérales para ternas
pitagóricas para valores pequeños del cateto
menor como son:
𝑏=
𝑎2 −𝑘 2
2𝑘
∧ 𝑐 = 𝑏 + 𝑘;
En la tabla adjunta, se observa que el área entera
más pequeña es 56 y corresponde a la terna
irreductible 3, 4, 5. Tal que:
𝐴
𝑏
El problema puede resultar intimidante
tratándose de un ejercicio con cuatro variables
A, a, b, c. En la que el área total de la figura
sombreada estaría conformada por:
𝐴 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 +
Area
𝑎𝑏
2
A/a
A/b
= 14
∧
𝐴
=8 ∧
𝑎+𝑏
𝐴
𝑎+𝑐
= 7.
Obsérvese la diferencia con la terna pitagórica
4, 3, 5; ¿por qué?... El orden de los catetos en
las fórmulas influye en el resultado.
Propuesto para el grupo: Más allá del teorema
de Pitágoras y la pagina Darío Lanni
Matemáticas.
a
b
c
3
4
5
56
18.667
14
A/c
11.2
A/(a+b)
8
A/(a+c)
7
A/(b+c)
6.222
A/(a+b+c)
4.667
4
3
5
56
14
18.667
11.2
8
6.222
7
4.667
5
12
13
368
73.6
30.667
28.308
21.647
20.444
14.72
12.267
6
8
10
224
37.333
28
22.4
16
14
12.444
9.333
7
24
25
1334
190.571
55.583
53.36
43.032
41.688
27.224
23.821
12
35
37
2948
245.667
84.229
79.676
62.723
60.163
40.944
35.095
12
16
20
896
74.667
56
44.8
32
28
24.889
18.667
12
9
15
504
42
56
33.6
24
18.667
21
14
16
63
65
8954
559.625
142.127
137.754
113.342
110.543
69.953
62.181
16
30
34
2552
159.5
85.067
75.059
55.478
51.04
39.875
31.9
16
12
20
896
56
74.667
44.8
32
24.889
28
18.667
Ruben Darío Muñoz López
CIFRAS INFINITAS Y LAS TERNAS
PITAGÓRICAS
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS PERSISTENTES
Las ternas pitagóricas es el conjunto de una tripleta de números naturales mayores que 3 que cumplen
perfectamente el teorema de Pitágoras, es decir que suma del cuadrado de dos de ellos es igual al
cuadrado del tercer número.
Existe una cantidad innumerable de casos en la que el resultado de una operación presenta un
ordenamiento repetitivo de las cifras a las que podemos denominar “Cifras persistentes” que para nada
son una simple curiosidad; por el contrario, son estructuras matemáticas definidas por funciones
perfectamente establecidas. A continuación, presentamos dos ejemplos de Ternas con cifras persistentes
constituidas por: x = 333…3 y x = 999…9. Para los más sagaces se adjuntan las ternas pitagóricas que
cumplen el teorema de Pitágoras: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
(10𝑛 − 1)
3
102𝑛 − 2 × 10𝑛 − 8
𝑦=
18
102𝑛 − 2 × 10𝑛 + 10
𝑧=
18
x
3
33
333
3333
33333
𝑥=
Además de que:
x
3
33
333
3333
33333
2
x
9
1089
110889
11108889
1111088889
𝑥 = 10𝑛 − 1
𝑦 = 22𝑛−1 × 52𝑛 − 10𝑛
𝑧 = 22𝑛−1 × 52𝑛 − 10𝑛 + 1
Además de que:
x
9
99
999
9999
99999
y
4
544
55444
5554444
555544444
z
5
545
55445
5554445
555544445
Las ternas presentadas se adecuan al siguiente ordenamiento:
𝑥 = 3 × 10n + 3 × 10n−1 + 3 × 10n−2 + ⋯ + 3 × 101 + 3
𝑦=⏟
555 … 5 ⏟
444 … 4 4
𝑛−1
𝑛−1
𝑧=⏟
555 … 5 ⏟
444 … 4 5
𝑛−1
𝑛−1
x
9
99
999
9999
99999
y
40
4900
499000
49990000
4999900000
z
41
4901
499001
49990001
4999900001
2
x
81
9801
998001
99980001
9999800001
Las ternas pitagóricas se adecuan al siguiente ordenamiento:
𝑥 = 9 × 10n + 9 × 10n−1 + 9 × 10n−2 + ⋯ + 9 × 101 + 9
𝑦 = 4⏟
999 … 9 ⏟
000 … 0
𝑛−1
𝑛
𝑧 = 4⏟
999 … 9 ⏟
444 … 4 1
𝑛−1
𝑛−1
A continuación, se presenta un estudio más profundo del comportamiento de las ternas pitagóricas de
cifras persistentes.
Ruben Darío Muñoz López
PERSISTENCIAS PITAGÓRICAS
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS
PERSISTENTES
REPRESENTACIÓN POLINÓMICA DE LAS
TERNAS
1002 + 24992 = 25012
(102 )2 + (25𝑥102 − 1)2 = (25𝑥102 + 1)2
10002 + 2499992 = 2500012
(103 )2 + (25𝑥104 − 1)2 = (25𝑥104 + 1)2
100002 + 249999992 = 250000012
(104 )2 + (25𝑥106 − 1)2 = (25𝑥106 + 1)2
1000002 + 24999999992 = 25000000012
(105 )2 + (25𝑥108 − 1)2 = (25𝑥108 + 1)2
1⏟
0000. . .02 + 24 ⏟
99999. . .92 = 25 ⏟
000000. . .0 12
(10𝑛 )2 + (25𝑥102𝑛−2 − 1)2 = (25𝑥102𝑛−2 + 1)2
𝑛
2(𝑛−1)
2𝑛−3
GENERALIZACIÓN DE LAS CIFRAS PERSISTENTES
2
2
(1 ⏟
0000. . .0) + (24 ⏟
99999. . .9) = (25 ⏟
000000. . .0 1)
𝑛
2(𝑛−1)
2𝑛−3
102𝑛 + (25 × 102𝑛 − 1) = (25 × 102𝑛 + 1)
2
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS PERSISTENTES CASO GENERAL.
La expresión general para expresar un Para cifras impares, n debe ser un número de la
numero natural de cifras impares iguales es: forma a = 2c + 1 es decir n = 1, 3, 5, 7 y 9.
n
m=1
m=2
m=3
m=4
1
1
11
111
1111
𝑛(10𝑚 − 1)
3
3
33
333
3333
𝑥=
9
5
5
55
555
5555
7
7
77
777
7777
La cantidad de cifras depende del exponente
9
9
99
999
9999
m, y esa esta cantidad es igual a m que
pertenece a Z+.
CATETO MAYOR:
HIPOTENUSA
2
𝑛(10𝑚 − 1)
] −1
9
=
2
2
[
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑛2 102𝑚 − 2𝑛2 10𝑚 + 𝑛2 − 92
2 × 92
2
(92 − 𝑛2 )
𝑛 − 10 𝑛 −
2
92
2𝑚−1 2𝑚 2
5
𝑚 2
También
𝑚
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑛
2
− 1) − 9
2 × 92
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑛2 102𝑚 − 2𝑛2 10𝑚 + 𝑛2 − 92
+1
2 × 92
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑛2 102𝑚 − 2𝑛2 10𝑚 + 𝑛2 + 92
2 × 92
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
2
𝑛(10 − 1)
[
] −1
9
=
2
2 (10𝑚
𝑛(10𝑚 − 1)
] +1
9
=
2
[
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛
(10𝑚 𝑛2 − 𝑛2 + 9)(10𝑚 𝑛2 − 𝑛2 − 9)
=
2 × 92
92
También
2
𝑛(10𝑚 − 1)
] +1
9
=
2
[
2
(10𝑚 𝑛2 − 𝑛2 )2 − 92
2 × 92
22𝑚−1 52𝑚 𝑛2 − 10𝑚 𝑛2 +
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛
(10𝑚 𝑛2 − 𝑛2 )2 − 92
+1
2 × 92
(10𝑚 𝑛2 − 𝑛2 )2 + 92
=
2 × 92
(92 + 𝑛2 )
2
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS DE CIFRAS IMPARES PERSISTENTES
FORMULA PARA PERSISTENTES x = 111 … 1
𝑥111…1 = ⏟
111 … 1
(10𝑚 − 1) 2
[
] −1
9
𝑛
2𝑚−1 2𝑚
𝑦111…1 =
2
5
− 10𝑚 − 40
2
𝑦=
92
(10𝑚 − 1) 2
[
] +1
22𝑚−1 52𝑚 − 10𝑚 + 41
9
𝑧111…1 =
𝑧=
2
92
FORMULA PARA PERSISTENTES x = 333 … 3 (Repetitivas para toda la terna)
2
𝑥333…3 = ⏟
333 … 3
3(10𝑚 − 1)
[
𝑦333…3 =
] −1
9
𝑛
2
𝑚
2
3(10 − 1)
] +1
9
=
2
𝑦=
22𝑚−1 52𝑚 − 10𝑚 − 4
32
𝑧=
22𝑚−1 52𝑚 − 10𝑚 + 5
32
[
𝑧333…3
FORMULA PARA PERSISTENTES x = 555 … 5
2
𝑥555…5 = ⏟
555 … 5
5(10𝑚 − 1)
[
]
−
1
𝑛
9
𝑦555…5 =
2
22𝑚−1 52𝑚+2 − 52 10𝑚 − 28
2
𝑚
𝑦
=
5(10 − 1)
92
[
] +1
9
𝑧555…5 =
22𝑚−1 52𝑚+2 − 52 10𝑚 + 53
2
𝑧=
92
FORMULA PARA PERSISTENTES x = 777 … 7
2
𝑥777…7 = ⏟
777 … 7
7(10𝑚 − 1)
[
] −1
𝑛
9
𝑦777…7 =
2
2𝑚−1
2
7 ×2
52𝑚 − 72 10𝑚 − 16
2
𝑚
𝑦=
7(10 − 1)
92
[
]
−
1
9
𝑧777…7 =
2
72 × 22𝑚−1 52𝑚 − 72 10𝑚 + 65
𝑧=
92
FORMULA PARA PERSISTENTES x = 999 … 9 (Repetitivas para toda la terna)
2
𝑥999…9 = ⏟
999 … 9
9(10𝑚 − 1)
[
]
−
1
𝑛
9
𝑦999…9 =
10𝑚 (10𝑚 − 2)
2
2
𝑦
=
= 22𝑚−1 52𝑚 − 10𝑚
𝑚
9(10 − 1)
2
[
] +1
9
𝑧999…9 =
𝑧 = 22𝑛−1 52𝑛 − 10𝑚 + 1
2
El teorema de Pitágoras
TERNAS DE CIFRAS PARES PERSISTENTES
La expresión general para expresar un numero Para cifras pares, n debe ser un número de la
natural par de cifras iguales es:
forma b = 2c es decir n = 2, 4, 6 y 8.
𝑥=
𝑛(10𝑚 − 1)
9
La cantidad de cifras depende del exponente m, y
esa esta cantidad es igual a m que pertenece a Z+.
CATETO MAYOR:
n
2
4
6
8
2
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛
m=2
22
44
66
88
m=3
222
444
666
888
m=4
2222
4444
6666
8888
HIPOTENUSA:
𝑛(10𝑚 − 1)
] −4
9
=
4
2
[
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛
m=1
2
4
6
8
𝑛2 (10𝑚 − 1)2
−4
92
=
4
𝑛2 (10𝑚 − 1)2 − 22 92
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
22 92
(10𝑚 𝑛 − 𝑛 + 18)(10𝑚 𝑛 − 𝑛 − 18)
𝑦𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
22 92
𝑛(10𝑚 − 1)
] +4
9
=
4
[
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛
𝑛2 (10𝑚 − 1)2 − 22 92
=
+2
22 92
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑛2 (10𝑚 − 1)2 − 22 92 + 23 92
22 92
𝑧𝑛𝑛𝑛…𝑛 =
𝑛2 (10𝑚 − 1)2 − 22 92 (3)
22 92
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS INFINITAS
En algunos casos especiales, con la finalidad de
evitar los errores de cálculo y aproximación de
los ordenadores, en especial de las hojas de
cálculo, que ya sabemos presentan limitaciones
de presentación de resultados, debido a que solo
pueden manejar un aproximado de 15 cifras
significativas; se ha desarrollado un método
para trabajar con cifras infinitas.
Cantidad de cifras: 2n
Suma de cifras que no se repiten: 8 + 1 = 9
9
0
Nomenclatura corta: (𝜍𝑛9 )2 = 𝜍𝑛−1
8̇ 𝜍𝑛−1
1̇
Veamos otro ejemplo para 999…98
2
(999
⏟ … 9 8) = (10𝑛 − 2)2 = 102𝑛 − 4(10𝑛 ) + 4
𝑛−1
2
NOMENCLATURA
Un número compuesto de “n” cifras idénticas se
representa por: 𝜍𝑛𝑎 = ⏟
aaa … a
𝑛
Un número compuesto por cifras que se repiten en su
composición:
𝑎
𝑑
𝜍𝑛−2
𝜍1𝑏𝑐 𝜍𝑛−3
= aaa
⏟ … a bc
⏟ ⏟
ddd … d
𝑛−2
1
𝑛−3
Expresion original por primera vez utilizada en 1997
(999
⏟ … 9 8) = 10𝑛 (10𝑛 − 4) + 4
𝑛−1
2
(999
⏟ … 9 8) = 10𝑛 (999
⏟ … 9 6̇ ) + 4
𝑛−1
𝑛−1
2
(999
⏟ … 9 8) = ⏟
999 … 9 6̇ ⏟
000 … 0 + 4
𝑛−1
𝑛−1
𝑛
2
(999
⏟ … 9 8) = ⏟
999 … 9 6̇ ⏟
000 … 0 4̇
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
Tabla de comprobación
A continuación, se presentan ejemplos
ilustrativos, mostrando la nomenclatura
utilizada al respecto.
2
(999
⏟ … 9) = (10𝑛 − 1)2 = 102𝑛 − 2(10𝑛 ) + 1
𝑛
2
(999
⏟ … 9) = 10𝑛 (10𝑛 − 2) + 1
𝑛
(999
⏟ … 9) = 10 (999
⏟ … 9 8̇ ) + 1
𝑛
𝑛
𝑛−1
Veamos otro ejemplo para 999…97
(999
⏟ … 9) = ⏟
999 … 9 8̇ ⏟
000 … 0 + 1
𝑛−1
𝑛
2
(999
⏟ … 9) = ⏟
999 … 9 8̇ ⏟
000 … 0 1̇
𝑛−1
(999
⏟ … 9 7) = (10𝑛 − 3)2 = 102𝑛 − 6(10𝑛 ) + 9
𝑛−1
2
2
𝑛
64
9604
996004
99960004
9999600004
999996000004
99999960000004
2
2
𝑛
1
2
3
4
5
6
7
𝑛−1
(999
⏟ … 9 7) = 10𝑛 (10𝑛 − 6) + 9
𝑛−1
(999
⏟ … 9 7) = ⏞
999 … 9 4̇ 000
⏟
⏟ … 0 9̇
𝑛−1
𝑛−1
(999…9) 2
81
9801
998001
99980001
9999800001
999998000001
99999980000001
𝑛−1
Tabla de comprobación
Tabla de comprobación
n
1
2
3
4
5
6
7
2𝑛
2
1
2
3
4
5
49
9409
994009
99940009
9999400009
Ahora veamos otro ejemplo en el que no es
factible el desarrollo de una expresión general
El teorema de Pitágoras
82 = (10 − 2)2 = 64
882 = (102 − 12)2 = 7744
8882 = (103 − 112)2 = 788544
88882 = (104 − 1112)2 = 78996544
888882 = (105 − 11112)2 = 7901076544
888882 = (105 − 11112)2 = 790121876544
2
2
𝑛
2
2
(888
⏟ … 8) = 10
𝑛
2𝑛
− 2 × 10 × ⏟
111 … 1 2̇ + (111
⏟ … 1 2̇)
𝑛
𝑛−1
2
𝑛−1
(888
⏟ … 8) = 10𝑛 (10𝑛 − 2 × ⏟
111 … 1 2̇) + (111
⏟ … 1 2̇)
𝑛
𝑛−1
Pero según (I):
(888
⏟ … 8) = (1̇ ⏟
000 … 0 − ⏟
111 … 1 2̇ )
𝑛
2
10𝑛 − ⏟
111 … 1 2̇ = ⏟
888 … 8
𝑛−1
𝑛−1
𝑛
𝑛−1
(888
⏟ … 8) = (10𝑛 − ⏟
111 … 1 2̇) 2 → (𝐼)
𝑛
𝑛−1
2
2
(888
⏟ … 8) = 10𝑛 (888
⏟ …8− ⏟
111 … 1 2̇) + (111
⏟ … 1 2̇)
Entonces:
𝑛
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
Por otro lado
2
2
2
(111
⏟ … 1 2̇) = (10 × ⏟
111 … 1 + 2) = 102 × (111
⏟ … 1 ) + 4(10) (111
⏟ …1 ) + 4
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
2
2
𝑛−1
2
(111
⏟ … 1 2̇) = (111
⏟ … 1 2̇) = 102 × (111
⏟ … 1 ) + 10 (444
⏟ …4 ) + 4
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
Como se pude observar no es factible por presentar muchas irregularidades en la forma.
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO:
Expresar en forma compacta las siguientes expresiones:
2
(999
⏟ … 9 8)
𝑛−1
𝑛−1
(999
⏟ … 9 𝑎)
(999
⏟ … 9 8) = ⏟
999 … 9 6̇ 000
⏟ … 0 4̇
𝑛−1
2
𝑛−1
2
→
(999
⏟ … 9 5)
𝑛−1
2
→
(999
⏟ … 9 5) = ⏞
999 … 9 000
⏟
⏟ … 0 25̇
𝑛−1
2
→
2𝑛
2
(999
⏟ … 9 𝑎) =
𝑛−1
𝑛−1
9
9
0
(𝜍𝑛−1
𝜍18 )2 ⇒ 𝜍𝑛−1
𝜍16 𝜍𝑛−1
𝜍14
𝑛−1
2
9
9
0
𝜍15 ) ⇒ 𝜍𝑛−1
𝜍𝑛−1
𝜍125
(𝜍𝑛−1
𝑛−1
(10−𝑎)2
9
9
0
(𝜍𝑛−1
𝜍1𝑎 )2 ⇒ 𝜍𝑛−2
𝜍180+2𝑎 𝜍𝑛−2
𝜍1
2
Ruben Darío Muñoz López
SUMA
Si a + b = 9 y m > n se cumplee que:
EJEMPLO:
444 … 4 + ⏟
⏟
555 … 5 = ⏟
444 … 4 ⏟
999 … 9 → 𝜍430 + 𝜍550 = 𝜍430 𝜍950
80
50
Si a + b ≥ 10 y m > n se cumplee que:
EJEMPLO:
𝑎
𝑎
𝜍𝑚
+ 𝜍𝑛𝑏 = 𝜍𝑚−𝑛
𝜍𝑛𝑎+𝑏
30
50
𝑎
𝑎
𝜍𝑚
+ 𝜍𝑛𝑏 = 𝜍𝑚−𝑛
𝜍𝑛𝑎+𝑏
4
777 … 7 + ⏟
⏟
666 … 6 = ⏟
777 … 7 8̇ ⏟
444 … 4 3̇ → 𝜍780 + 𝜍650 = 𝜍729 8𝜍49 3
80
50
29
49
Nota : observese que la notacion se ha simplificado aun mas para cifras que no se repiten. En estudios posteriores
se ira simplificando aun mas, con la finalidad de disponer de un sistema mas operativo. Asi por ejemplo para el
ejercio anterior se propone: 7(80) + 6(50) = 7(29)8(49)3
Una aclaracion oportuna; si bien es cierto que no siempre es posible utilizar el concepto, especialmente cuando las
cantidades no permiten expresiones generalizadas.; debemos recordar que en las matematicas no siempre es
posible la generaliizacion de los metodos. Por ejemplo no se puede aplicar siempre los mismos metodos de
factorizcion, no se pued eaplicar los mismos metodos de simplificacion, etc.
EJERCICIO
Sabiendo que una hoja de cálculo solo puede mostrar 15 cifras significativas y si N = 999…9 y tiene
“9” cifras, determinar la cantidad de cifras y la suma de las cifras que no se repiten en: 999…92
Solución:
Aplicando la fórmula:
Resulta: 999…92 =999999998000000001
2
2
(𝜍99 ) = (999
⏟ … 9) = ⏟
999 … 9 8̇ 000
⏟ … 0 1̇
9
9−1
9−1
(𝜍𝑛9 )2 = 𝜍89 8̇ 𝜍80 1̇
Cantidad de cifras: 2n = 18
Suma de cifras que no se repiten: 8 + 1 = 9
Si la cantidad de cifras “n” es un número primo o seudo primo (producto de primos) inmenso.
EJERCICIO
Cuanto suman las cifras que no se repiten en: 𝟏𝟎𝟐𝒏 − 𝟐(𝟏𝟎𝒏 ) + 𝟏
Solución: Las cifras que no se repiten son 1 y 8 por tanto su suma es 9.
EJERCICIO
Calcular las ternas pitagóricas enteras para k =1 si 𝑥 = 𝜍99
→𝑥=⏟
999 … 9 8̇ 000
⏟ … 0 1̇
9−1
9−1
Solución: Aplicando las fórmulas generales de generación de ternas pitagóricas tenemos:
2
𝑦=
𝑥 = 𝜍99
𝑦 = 4̇𝜍89 𝜍90
999 … 9 8̇ ⏟
⏟
000 … 0 1̇2 − 1
𝑥=
9−1
9−1
2
2
(𝜍99 ) −1
𝑥 = 𝜍99
𝑧=
2
2
𝑧 = 4̇𝜍89 𝜍80 1̇
𝑦 = 4̇ ⏟
999 … 9 ⏟
000 … 0
9−1
(𝜍99 ) +1
9
𝑧 = 4̇ ⏟
999 … 9 ⏟
000 … 0 1̇
9−1
9−1
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO
Para los siguientes ejemplos hallar las ternas pitagóricas para k=1 y k=2 respectivamente, se adjunta los
desarrollos correspondientes
2
Tabla de comprobación
𝑛
2
2𝑛
𝑛
(999
⏟ … 9 5) = (10 − 5) = 10
− 10(10 ) + 25
𝑛−1
2
(999
⏟ … 9 5) = 10𝑛 (10𝑛 − 10) + 25
𝑛−1
2𝑛
2
(999
⏟ … 9 5) = ⏞
999 … 9 000
⏟
⏟ … 0 25̇
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
1
2
3
4
5
2
Tabla de comprobación
(999
⏟ … 9 6) = (10𝑛 − 4)2 = 102𝑛 − 8(10𝑛 ) + 16
𝑛−1
2
(999
⏟ … 9 6) = 10
𝑛 (10𝑛
− 8) + 16
𝑛−1
2𝑛
2
(999
⏟ … 9 6) = ⏞
999 … 9 2̇ ⏟
⏟
000 … 0 16̇
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−2
25
9025
990025
99900025
9999000025
1
2
3
4
5
36
9216
992016
99920016
9999200016
Ruben Darío Muñoz López
SUMAS INFINITAS CON TERNAS PITAGÓRICA
En este capítulo se presentan algunas series basadas en los elementos de ternas pitagóricas. Resulta
interesante saber si las siguientes sumatorias son convergentes o divergentes.
Partiendo de las expresiones 𝑥 = 2𝑛 + 1 ; 𝑦 =
𝑥
2𝑥
𝑥
2(2𝑛+1)
𝑦
𝑧
𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
por tanto = (2𝑛+1)2
𝑦
𝑧
(2𝑛+1)2 −1
𝑥 2 −1
2
y𝑧=
𝑥 2 +1
2
Se tiene que 𝑦 = 𝑥 2 −1 por tanto 𝑦 = (2𝑛+1)2 −1 es la relación entre cateto menor y cateto mayor
Se tiene que =
−1
es la relación entre cateto mayor e hipotenusa
SUMA DE LOS COCIENTES DE CATETOS x/y PARA x = 2n + 1
La sucesión de números impares a partir se inicia en 3, puesto que es el menor valor para el cateto menor
de los triángulos rectángulos de lados enteros. Según la hipótesis la suma de esta serie converge en 666.
3 5
7
9
2𝑛 + 1
𝑆= +
+
+
+ ⋯+
4 12 24 40
(2𝑛 + 1)2 − 1
𝑆=
𝑆=
2𝑥
2(𝑥 + 2 × 1)
2(𝑥 + 2 × 2)
2(𝑥 + 2 × 3)
2(𝑥 + 2 × 𝑛)
+
+
+
+ ⋯+
2
2
2
− 1 (𝑥 + 2 × 1) − 1 (𝑥 + 2 × 2) − 1 (𝑥 + 2 × 3) − 1
(𝑥 + 2 × 𝑛)2 − 1
𝑥2
2(3 + 2 × 0)
2(3 + 2 × 1)
2(3 + 2 × 2)
2(3 + 2 × 3)
2(3 + 2 × 𝑛)
+
+
+
+ ⋯+
(3 + 2 × 0)2 − 1 (3 + 2 × 1)2 − 1 (3 + 2 × 2)2 − 1 (3 + 2 × 3)2 − 1
(3 + 2 × 𝑛)2 − 1
SUMA DE COCIENTES DEL CATETO MAYOR ENTRE HIPOTENUSA y/z PARA x = 2n + 1
(2𝑛 + 1)2 − 1
4 12 24 40
𝑆= +
+
+
+ ⋯+
(2𝑛 + 1)2 − 1
5 13 25 41
𝑆=
𝑥 2 − 1 (𝑥 + 2)2 − 1 (𝑥 + 2 × 2)2 − 1 (𝑥 + 2 × 3)2 − 1
(𝑥 + 2 × 𝑛)2 − 1
+
+
+
+
⋯
+
𝑥 2 + 1 (𝑥 + 2)2 + 1 (𝑥 + 2 × 2)2 + 1 (𝑥 + 2 × 3)2 + 1
(𝑥 + 2 × 𝑛)2 + 1
𝑆=
32 − 1 (3 + 2)2 − 1 (3 + 2 × 2)2 − 1 (3 + 2 × 3)2 − 1
(3 + 2 × 𝑛)2 − 1
+
+
+
+
⋯
+
32 + 1 (3 + 2)2 + 1 (3 + 2 × 2)2 + 1 (3 + 2 × 3)2 + 1
(3 + 2 × 𝑛)2 + 1
Una serie resulta convergente si la sucesión de sumas parciales de los términos de una serie infinita tiene
un límite en el espacio considerado.
EJERCICIO DE RESULTADO SORPRENDENTE
Hallar el valor de S1 y S2. Y determinar si la sumatorias son convergentes.
𝑆1 =
2(3 + 2 × 0)
2(3 + 2 × 1)
2(3 + 2 × 2)
2(3 + 2 × 3)
2(3 + 2 × 𝑛)
+
+
+
+ ⋯+
(3 + 2 × 0)2 − 1 (3 + 2 × 1)2 − 1 (3 + 2 × 2)2 − 1 (3 + 2 × 3)2 − 1
(3 + 2 × 𝑛)2 − 1
𝑆2 =
2(3 + 2 × 0)
2(3 + 2 × 1)
2(3 + 2 × 2)
2(3 + 2 × 3)
2(3 + 2 × 𝑛)
+
+
+
+ ⋯+
(3 + 2 × 0)2 + 1 (3 + 2 × 1)2 + 1 (3 + 2 × 2)2 + 1 (3 + 2 × 3)2 + 1
(3 + 2 × 𝑛)2 + 1
El teorema de Pitágoras
RELACIONES CIRCULARES DE LAS
TERNAS PITAGÓRICAS
En este capítulo se desarrolla las relaciones que existen entre el circulo y la
circunferencia con el teorema de Pitágoras, concretamente para ternas
enteras.
Ruben Darío Muñoz López
RELACIONES DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE LADOS ENTEROS Y LA
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.
Se denomina circulo pitagórico, al círculo que
circunscribe a todo triangulo rectángulo de
lados enteros, juntamente con todos los
segmentos respectivos del triángulo pitagórico
como sus lados, sus tres vértices, siendo uno de
sus diámetros, la hipotenusa. La distancia del
centro del circulo hacia cada vértice del
triángulo de lados enteros es el radio de la
circunferencia e iguales a la mitad de la
hipotenusa.
Estos generan una serie de funciones y
relaciones de áreas y longitudes, las cuales
pueden expresarse en función de las ternas
enteras del triángulo pitagórico, o simplemente
en función del cateto menor y la diferencia
pitagórica, ya que todos los elementos dependen
solamente de dichos valores.
Todo triángulo rectángulo de lados enteros se
puede inscribir en una circunferencia C. tal que
la hipotenusa es diámetro de dicha
circunferencia.
𝐴𝐶 = 𝑥
𝐵𝐶 = 𝑦
𝐴𝐵 = 𝑧
TRIÁNGULO PITAGÓRICO INSCRITO
Triangulo rectángulo de lados enteros ∆ABC,
que se inscribe dentro del circulo pitagórico.
Todos sus vértices son puntos de la
circunferencia
circunscrita,
siendo
la
hipotenusa uno de sus diámetros. Los ángulos
agudos del triángulo rectángulo inscrito estan
determinados por:
𝛼 + 𝛽 = 90°
𝑦
𝑦
tan 𝛼 = ⟹ 𝛼 = tan−1 ( )
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
tan 𝛽 = ⟹ 𝛽 = tan−1 ( )
𝑦
𝑦
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DEL
CIRCULO PITAGÓRICO
1. Hipotenusa: diámetro de la circunferencia.
2. Catetos: lados ortogonales enteros del TP
cuyos lados extremos interceptan dos puntos
de la circunferencia pitagórica.
3. Altura de los arcos pitagóricos: extensión de
las alturas pitagóricas, hasta intersecar a la
circunferencia pitagórica, cuya medida es el
radio o la semi hipotenusa.
4. Radios notables: semi hipotenusa, segmento
que une el vértice del ángulo recto y la mitad
de la hipotenusa, extensión de las alturas del
TP que parten de los puntos medios de los
catetos
5. Segmentos circulares
6. Sectores circulares
7. Ángulos agudos: ángulos complementarios
del triángulo pitagórico (ver capítulo sobre
funciones trigonométricas de triángulos
pitagóricos.
El teorema de Pitágoras
RELACIONES Y FUNCIONES DEL
CIRCULO PITAGÓRICO
A continuación, se presentan las fórmulas
principales deducidas de los elementos
fundamentales del circulo pitagórico.
ALTURAS
Son los segmentos perpendiculares hx y hy que
unen la base de los triángulos isósceles
conformados por los lados entero del triángulo:
AC, CB y AB; y los semi ejes de la hipotenusa
AO y OB; y el segmento OC que une el centro
del círculo con el vértice del Angulo recto C.
Partiendo de: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Tal que z > y > x > 2
𝑦=
𝑧=
𝑥2 − 𝑘2
2𝑘
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
Siendo z el diámetro de la circunferencia.
LONGITUD CIRCUNFERENCIA
La longitud de la circunferencia circunscrita de
un triángulo rectángulo de lados enteros sólo
depende de la hipotenusa, y esta a su vez del
cateto menor x y de k.
𝐶⊙ = 2𝜋𝑅
𝐶⊙ = 𝜋𝑧
𝐶⊙ =
𝜋(𝑥 2 + 𝑘 2 )
2𝑘
DE LAS ÁREAS DEL CIRCULO TOTAL
𝐴⊙ = 𝜋𝑅 2
𝐴⊙ =
𝜋𝑧2
4
𝐴⊙ =
𝜋(𝑥 2 + 𝑘 2 )2
16𝑘 2
RAZÓN ÁREA Y CIRCUNFERENCIA
𝐴𝑇 𝑧 𝑥 2 + 𝑘 2
= =
𝐶𝑇 4
8𝑘
ÁREA DE TRIÁNGULOS
Área del triángulo rectángulo ABC
𝑥𝑦
⊿𝐴𝐵𝐶 =
2
Área de los triángulos AOC y BOC
𝑥𝑦
∆𝐴𝑂𝐶 = ∆𝐵𝑂𝐶 =
4
La medida de estas alturas, son exactamente la
mitad de los catetos.
𝑦 𝑥2 − 𝑘2
=
2
4𝑘
𝑥
ℎ𝑦 =
2
ℎ𝑥 =
Ruben Darío Muñoz López
FLECHA PITAGÓRICA
Son los segmentos perpendiculares a los catetos
del triángulo y que se prolongan de los
segmentos hx y hy hasta interceptar a la
circunferencia pitagórica. Es la altura de los
arcos de circunferencia AC y AB que parten
desde los catetos correspondientes.
𝑧
𝑧 𝑦 𝑧−𝑦
𝑑𝑥 = − ℎ𝑥 = − =
2
2 2
2
𝑥 2 + 3𝑘 2
4𝑘
𝑧
𝑧 𝑥 𝑧−𝑥
𝑑𝑦 = − ℎ𝑦 = − =
2
2 2
2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦 =
𝑥 2 − 𝑥𝑘 + 𝑘 2
2𝑘
𝑄𝑄 ′
𝑃𝑃′
=
𝑧−𝑥
𝑧−𝑦
Para k=1 se tiene:
𝑄𝑄 ′
=𝑧−𝑥 =ℎ
𝑃𝑃′
SUMA DE FLECHAS DE CATETOS
2𝑧 − 𝑥 − 𝑦
𝑄𝑄 ′ + 𝑃𝑃′ =
2
Otra definición de la diferencia de catetos
𝑦−𝑥 𝑞
𝑄𝑄 ′ − 𝑃𝑃′ =
=
2
2
(𝑧
−
𝑥)(𝑧
− 𝑦)
𝑄𝑄 ′ × 𝑃𝑃′ =
4
2
𝑧
−
𝑧(𝑥
+ 𝑦) + 𝑥𝑦
𝑄𝑄 ′ × 𝑃𝑃′ =
4
Si quisiéramos construir un triángulo rectángulo
con esos valores tendríamos que la hipotenusa
es:
𝑧−𝑥 2
𝑧−𝑦 2
2
2
𝑄𝑄 ′ + 𝑃𝑃′ = (
) +(
)
2
2
(𝑧 − 𝑥)2 (𝑧 − 𝑦)2
2
2
𝑄𝑄 ′ + 𝑃𝑃′ =
+
4
4
2
3𝑧
−
𝑧(𝑥
+
𝑦)
2
2
𝑄𝑄 ′ + 𝑃𝑃′ =
4
RELACIONES ESPECIALES DE
FLECHAS PITAGÓRICAS
Extrayendo la raíz cuadrada se obtiene la
longitud de la hipotenusa para catetos QQ’ y
PP’.
√3𝑧 2 − 𝑧(𝑥 + 𝑦)
2
Ahora la pregunta es existirán para valores Z+
En caso de que: 𝑥12 + 𝑦62 = 𝑧12
√3𝑧12 − 𝑧1 (𝑥1 + 𝑦6 )
2
√𝑧3 − (𝑧(𝑥 + 𝑦))1
A continuación se presenta otra definición de la
diferencia entre hipotenusa y cateto menor,
basada en las relaciones entre las flechas
pitagóricas de un círculo circunscrito a un
triangulo rectángulo de lados enteros:
𝑧−𝑥
2
𝑧−𝑦
′
𝑃𝑃 =
2
𝑄𝑄 ′ =
2
√(𝑧 − 𝑧(𝑥 + 𝑦))2
2
Pero no existe raíz cuadrada para ω2, por lo
tanto se concluye que al menos si la terna es de
la forma: 𝑥12 + 𝑦62 = 𝑧12 no existe valor entero
para la hipotenusa de catetos QQ’ y PP’.
El teorema de Pitágoras
Analizando la divisibilidad de las ternas que
tienen cateto menor impar, entonces el cateto
mayor es par y la hipotenusa es impar, por lo
cual la semi diferencia de hipotenusa con cateto
mayor siempre será un número fraccionario. En
cambio la diferencia de la hipotenusa con el
cateto menor será par por tanto, divisible entre
2. Finalmente la raíz cuadrada de la hipotenusa
de catetos QQ’ y PP’ no es entero, al menos para
ternas primitivas de cateto menor impar.
x
13
19
25
25
31
37
43
49
49
y
84
180
312
62
480
684
924
1200
168
z
85
181
313
67
481
685
925
1201
175
QQ'
36
81
144
21
225
324
441
576
63
PP'
0.5
0.5
0.5
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
3.5
Hipot
36.0035
81.0015
144.0009
21.1483
225.0006
324.0004
441.0003
576.0002
63.0971
EJERCICIO
Si x es un numero primo impar, y se cumple que
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ; demostrar que la flecha QQ’
trazada desde el punto medio del cateto mayor
a la circunferencia circunscrita es un cuadrado
perfecto.
SOLUCIÓN
Cuando k = 1 entonces QQ’ es un cuadrado
perfecto.
𝑧−𝑥
𝑄𝑄 ′ =
2
𝑥2 + 1
−𝑥
𝑄𝑄 ′ = 2
2
𝑥 2 + 1 − 2𝑥
2
𝑄𝑄 ′ =
2
(𝑥 − 1)2
4
Como
se
desprende
del
resultado,
efectivamente QQ’ tiene raíz cuadrada exacta.
𝑄𝑄 ′ =
EJERCICIO
Evaluar el comportamiento del segmento PP’
para k = 1.
SOLUCIÓN
𝑧−𝑦
1
𝑃𝑃′ =
⇒ 𝑃𝑃′ =
2
2
El valor del segmento PP’ es constante e igual
a 1/2.
De ambos ejercicios se puede desprender que no
se puede conformar un triángulo rectángulo de
lados enteros con las flechas QQ’ y PP’ como
catetos de un triángulo rectángulo de lados
enteros debido a que la suma de QQ’ + PP’ será
siempre racional: 𝑃𝑃′ + 𝑄𝑄 ′ → ℚ
Ahora para el caso en que: 𝑥52 + 𝑦62 = 𝑧12
√3𝑧12 − 𝑧1 (𝑥5 + 𝑦6 )
2
√𝑧3 − (𝑧(𝑥 + 𝑦))5
2
√(𝑧 − 𝑧(𝑥 + 𝑦))4
2
La raíz cuadrada ω4 es ω2, por lo tanto puede
existir valor entero para la hipotenusa de catetos
QQ’ y PP’, sin embargo para las primera ternas
pitagóricas para valores de x ≤ 10000 no se han
encontrado.
x
5
11
17
23
29
35
35
35
35
41
47
y
12
60
144
264
420
612
120
84
12
840
1104
z
13
61
145
265
421
613
125
91
37
841
1105
QQ'
4
25
64
121
196
289
45
28
1
400
529
PP'
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2.5
3.5
12.5
0.5
0.5
Hipot
4.0311289
25.005
64.001953
121.00103
196.00064
289.00043
45.069391
28.217902
12.539936
400.00031
529.00024
Finalmente se concluye que es posible que no
existan valores enteros en general, vertiendo la
siguiente conjetura:
CONJETURA
Si las flechas de los arcos de circunferencia
subtendidos sobre los catetos de un triángulo
rectángulo de lados enteros inscrito en una
circunferencia son los catetos de un triángulo
rectángulo, dicho triangulo rectángulo no es un
triángulo rectángulo de lados enteros.
Ruben Darío Muñoz López
x
3
9
15
25
21
27
33
39
49
x
9
15
21
27
33
39
45
51
57
y
4
40
112
62
220
364
544
760
168
y
12
36
72
120
180
252
336
432
540
z
5
41
113
67
221
365
545
761
175
z
15
39
75
123
183
255
339
435
543
QQ'
1
16
49
21
100
169
256
361
63
QQ'
3
12
27
48
75
108
147
192
243
PP'
0.5
0.5
0.5
2.5
0.5
0.5
0.5
0.5
3.5
PP'
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
Hipot
1.1180
16.0078
49.0026
21.1483
100.0012
169.0007
256.0005
361.0003
63.0971
Hipot
3.3541
12.0934
27.0416
48.0234
75.0150
108.0104
147.0077
192.0059
243.0046
𝛽𝑧𝜋
𝛼𝑧𝜋 𝑧𝜋
+
=
180° 180°
2
EJERCICIO:
Hallar los arcos correspondientes a cada lado
del triángulo rectángulo ABC cuyos medidas
corresponden a las ternas pitagóricas 3, 4, 5.
SOLUCIÓN
Para la hipotenusa:
Para el cateto menor:
Para el cateto mayor:
̂ = 2.5𝜋
𝐴𝐵
̂ = 1.024162 … 𝜋
𝐴𝐶
̂ = 1.475836 … 𝜋
𝐵𝐶
EJERCICIO DE AGILIDAD MENTAL
Si el diámetro de una circunferencia es de 85
cm, determinar el triángulo rectángulo de los
lados enteros máximo que puede inscribirse
dentro de dicha circunferencia.
SOLUCIÓN
Por teorema de Pitágoras: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 852
De la fórmula de la hipotenusa:
ARCOS PITAGÓRICOS
Los tres arcos notables son los arcos
determinados por las cuerdas que corresponden
a los catetos y al arco máximo o semi
circunferencia correspondiente a la hipotenusa.
̂
Arco para el cateto menor x: 𝐴𝐶
̂
Arco para el cateto mayor y: 𝐶𝐵
̂
Arco para la hipotenusa z: 𝐴𝐵
La longitud de los arcos de circunferencia
correspondientes a cada lado de un triángulo
rectángulo de lados enteros inscrito en dicha
circunferencia está dada por las siguientes
expresiones.
Longitud de la circunferencia: 𝐶 = 𝑧𝜋
A continuación se presentan las fórmulas que
describen la longitud de los arcos determinados
por la hipotenusa y los catetos:
̂ = 𝑧𝜋
Arco de media circunferencia: 𝐴𝐵
2
Arco para el cateto menor:
̂ =
𝐴𝐶
Arco para el cateto mayor:
̂ =
𝐵𝐶
̂ + 𝐵𝐶
̂ = 𝐴𝐵
̂
𝐴𝐶
𝛽𝑧𝜋
180°
𝛼𝑧𝜋
180°
𝑥 2 +1
2
= 85
Resolviendo la ecuación, se tiene que:
x = 13, y = 84 y z = 85
Una forma aún más fácil es: el diámetro de una
circunferencia corresponde a la hipotenusa del
mayor triangulo rectángulo que puede
inscribirse dentro de ella. Así mismo, la terna
pitagórica 13, 84, 85 coincide con el dato del
problema.
SEGMENTOS PITAGÓRICOS
Son los segmentos circulares correspondientes
a cada lado del triángulo rectángulo.
Para el cateto menor x: 𝑆𝑥
Para el cateto mayor y: 𝑆𝑦
Para la hipotenusa z: 𝑆𝑧
El teorema de Pitágoras
SECTORES PITAGÓRICOS
Son los sectores circulares correspondientes a
cada lado del triángulo rectángulo.
𝜋𝑧 4
𝑛𝛼
4
𝜋𝑧 4
𝑆𝐶𝑦 =
𝑛𝛽
4
𝜋𝑧 4
𝑆𝐶𝑧 =
8
𝑦ℎ𝑦 𝑥𝑦 𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
=
=
2
4
8𝑘
Pero A1 = A2
𝐴2 =
Para el cateto menor x: 𝑆𝐶𝑥 =
Para el cateto mayor y:
Para la hipotenusa z:
Según el postulado fundamental, el todo es igual
a las partes:
𝑆𝐶𝑥 + 𝑆𝐶𝑦 + 𝑆𝐶𝑧 = 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝑆𝐶𝑥 + 𝑆𝐶𝑦 = 𝑆𝐶𝑧
***
𝑏 = √𝑅 2 − 𝑐 2
𝑎 = 𝑅 − √𝑅 2 − 𝑐 2
𝑐√𝑅 2 − 𝑐 2
𝐴⊿ =
2
𝐴Δ = 𝑐√𝑅 2 − 𝑐 2
𝜋𝑥 2
8
𝜋𝑦 2
𝐴𝑅=𝑥𝑏+𝑥𝑐 =
8
𝑥𝑦
𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 =
2
𝜋𝑧 2
𝐴𝑅=𝑧/2 =
8
𝐴𝑅=𝑦𝑏+𝑦𝑐 =
𝜋𝑧 2 𝑥𝑦 𝜋𝑧 2 − 4𝑥𝑦
−
=
8
2
8
(𝐴𝑅=𝑦𝑏+𝑦𝑐 + 𝐴𝑅=𝑥𝑏+𝑥𝑐 ) − (𝐴𝑅=𝑧/2 − 𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 )
𝜋𝑥 2 𝜋𝑦 2 𝜋𝑧 2 − 4𝑥𝑦
=
+
−
8
8
8
𝑥𝑦
=
2
𝐴𝑅=𝑧/2 − 𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 =
SEMI CIRCULO
𝜋𝑅 2
𝜋𝑧2
𝑆𝐶𝑍 =
⟹ 𝐴𝑇 =
2
8
TRIANGULO 1
𝑥ℎ𝑥 𝑥𝑦 𝑥(𝑥 2 − 𝑘 2 )
𝐴1 =
=
=
2
4
8𝑘
TRIANGULO 2
Por tanto, las áreas de las lúnulas y el triángulo
rectángulo son áreas iguales
Ruben Darío Muñoz López
TEOREMA DE PONCELET APLICADO A TERNAS PITAGÓRICAS ENTERAS
Antes de las explicaciones dejamos para el
lector el siguiente ejercicio: “Demostrar que
una circunferencia de radio entero puede
circunscribirse perfectamente en un triángulo
rectángulo de lados enteros”.
𝑅=
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 𝑥 + 𝑦 − (𝑦 + 1)
=
2
2
𝑅=
𝑥−1
2
Veamos la siguiente tabla
CIRCULO PITAGÓRICO INSCRITO
x
3
5
7
9
11
13
15
17
Es el circulo inscrito dentro de un triángulo
rectángulo, el cual ha sido ampliamente
estudiado siendo una de las relaciones más
importantes el teorema de Poncelet, muy útil
para el desarrollo de problemas que involucran
triángulos y circunferencias.
Primero demostraremos con ayuda del teorema
de Poncelet que el radio de la circunferencia
inscrita en un triángulo rectángulo de lados
enteros es función del cateto menor.
𝑥+𝑦−𝑧
2
Pero: z = y + k
𝑅=
𝑅=
𝑥 + 𝑦 − (𝑦 + 𝑘)
2
Entonces:
𝑥−𝑘
𝑅=
2
Aplicando el teorema de Poncelet a triángulos
rectángulos, queda demostrado de que el radio
de la circunferencia inscrita en el triángulo
rectángulo es la semi diferencia del cateto
menor menos la diferencia pitagórica k.
Cuando x es número impar, o primo impar la
diferencia pitagórica k = 1, Entonces se tiene
que el radio es igual a la semi diferencia del
cateto menor menos 1.
y
4
12
24
40
60
84
112
144
z
5
13
25
41
61
85
113
145
R
1
2
3
4
5
6
7
8
Podemos afirmar entonces que toda
circunferencia para radio R que pertenece al
conjunto de números naturales, se tiene que
existe un triángulo rectángulo de lados enteros
para cateto menor impar. Dicho de otro modo,
todo triangulo rectángulo de lados enteros para
cateto menor impar, y especialmente primo
impar existe una circunferencia inscrita con
radio que pertenece al conjunto de números
naturales.
𝑥−1
2
Dicho de otro modo, se puede circunscribir una
circunferencia de radio entero positivo en un
triángulo rectángulo de lados enteros.
𝑅=
EJERCICIO
Determinar la cantidad de triángulos
rectángulos de lados enteros que circunscriben
a un círculo de radio R = 703.
En la tabla subsiguiente se muestra la relación
de triángulos rectángulos que cumplen la
condición.
El teorema de Pitágoras
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CIRCUNSCRITO A UN CÍRCULO DE RADIO R = 703
a = 1406 + k
1407
1408
1425
1443
1444
1480
1767
2109
2128
2775
𝒃=
𝒂𝟐−𝒌𝟐
𝟐𝒌
989824
495615
53428
28120
27417
14763
4144
2812
2775
2128
c = b +k
k=c- b
989825
495617
53447
28157
27455
14837
4505
3515
3497
3497
1
2
19
37
38
74
361
703
722
1369
R=
Por Dario Lanni
Por Dario Lanni
Por Dario Lanni
Por Dario Lanni
Por Dario Lanni
Por Dario Lanni
Por Dario Lanni
Otra fuente
Otra fuente
Otra fuente
𝒙−𝟏
𝟐
703
703
703
703
703
703
703
703
703
703
Ruben Darío Muñoz López
ISOTENUSAS
xn + y2 = z2
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS ISOTENUSAS
Se denominan ternas pitagóricas isotenusas o
simplemente isotenusas a las tripletas
pitagóricas de números enteros positivos que
tienen igual hipotenusas, no siendo siempre
necesario que ambas ternas sean iguales.
+
2
2
2
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍 …/𝑐 = 𝑎 + 𝑏
∀ 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ ∈ 𝑍 + …/𝑐′2 = 𝑎′2 + 𝑏′2
Se cumple que
𝑐 = 𝑐′ aunque 𝑎 ≠ 𝑎′ ∨ 𝑏 ≠ 𝑏 ′
Uno de los procedimientos para determinar el
conjunto de ternas isotenusas, se inicia con
establecer una terna pitagórica irreductible que
sirva de base para especificar la circunferencia
circunscrita que contiene a todas las ternas
pitagóricas de la forma: 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 . El
diámetro de la circunferencia circunscrita
corresponde al valor de la hipotenusa z.
DEMOSTRACIONES
𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑘 = 𝑧 − 𝑦 . .. (1)
𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 → 𝑘 ′ = 𝑧 − 𝑏 . .. (2)
En (1) para x y para k:
𝑧 2 = 𝑥 2 + (𝑧 − 𝑘)2 ⟹ 𝑥 = √2𝑧𝑘 − 𝑘 2
𝑘 = 𝑧 − √𝑧 2 − 𝑥 2 = 𝑧 − 𝑦
Si k = 1
𝑥 = √2𝑧 − 1
Obsérvese, que en este caso x es la raíz cuadrada
de un número impar de la forma 2n-1
En (2)
𝑧 2 = 𝑎2 + (𝑧 − 𝑘′)2 ⟹ 𝑎 = √2𝑧𝑘′ − 𝑘′ 2
𝑘′ = 𝑧 − √𝑧 2 − 𝑎2 = 𝑧 − 𝑏
Si k = 1 entonces k’ > 1 caso contrario las ternas
serian iguales lo cual contradice el enunciado.
𝑏 = 𝑧 − 𝑘′
CONCLUSIONES
De las propiedades de ternas y las dimensiones
que puede asumir a y b se desprende que:
𝑧>𝑦>𝑏>𝑞
𝑘 ≥ 1 ∧ 𝑘 > 𝑘′ > 2
𝑎>𝑥>𝑏<𝑦
Ahora utilizando una hoja de cálculo
determinaremos algunas ternas isotenusas.
Deducido por el valor positivo
determinante
2
2𝑧𝑘 ′ − 𝑘 ′ > 0
2
2𝑧𝑘 ′ > 𝑘 ′
′
2𝑧 > 𝑘
de
Pero siempre se cumplirá que
𝑧 > 𝑘′
Pues la diferencia pitagórica siempre es menor
que la hipotenusa, incluso menor que el cateto
menor.
RELACIÓN DE DIFERENCIAS PITAGÓRICAS k y k’ DE TERNAS ISOTENUSAS.
𝑧 = 𝑦 + 𝑘 ∧ 𝑧 = 𝑏 + 𝑘′
𝑦 + 𝑘 = 𝑏 + 𝑘′
𝑏 = 𝑦 + 𝑘 − 𝑘′
Entonces:
𝑏=
𝑥2 − 𝑘2
+ 𝑘 − 𝑘′
2𝑘
𝑏=
𝑥 2 − 𝑘 2 + 2𝑘 2 − 2𝑘𝑘 ′
2𝑘
la
𝑏=
𝑥 2 + 𝑘 2 − 2𝑘𝑘 ′
2𝑘
𝑥2 + 𝑘2
𝑎 = √2𝑧𝑘′ − 𝑘′ 2 ⇒ 𝑎 = √2(
)𝑘′ − 𝑘′ 2
2𝑘
𝑥 2 𝑘′ + 𝑘 2 𝑘′ − 𝑘𝑘′ 2
𝑎=√
𝑘
Ruben Darío Muñoz López
La siguiente hoja de cálculo se utiliza para determinar ternas isotenusas. Esta aplicación puede obtenerse
en la versión digital del documento, siempre y cuando se accedan a los permisos del autor.
x
3
17
99
273
275
277
279
281
283
y
4
144
4900
37264
37812
38364
38920
39480
40044
z
5
145
4901
37265
37813
38365
38921
39481
40045
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
4
24
140
386.077712
388.906158
391.734604
394.563049
397.391495
400.219940
b
3
143
4899
37263
37811
38363
38919
39479
40043
c
5
145
4901
37265
37813
38365
38921
39481
40045
k'
2
2
2
2
2
2
2
2
2
EJERCICIO
Si se cumple que: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Demostrar que sólo existen 7 ternas pitagóricas
isotenusas de lados enteros, es decir para z = 925
Ayuda
Cuatro de las ternas son:
432 + 9242 = 9252
5332 + 7562 = 9252
5552 + 7402 = 9252
8882 + 2592 = 9252
Presentar como solución las 03 ternas faltantes o
una cuarta terna adicional como contra ejemplo.
Propuesto para el grupo Más allá del Teorema de
Pitágoras por Rubén D Muñoz L
Para z = 925
Existen en total 7 ternas cuyos catetos y diferencia k se detalla a continuación:
x
y
k
43
924
1
Z para
encontrar
925
259
888
37
285
880
45
300
875
50
Cateto
Cateto
menor x mayor Y
1
43
924
37
259
888
45
285
880
50
300
875
160
520
765
169
533
756
185
555
740
k'
520
765
60
Z = 925
Por fórmula
925
925
925
925
925
925
925
533
756
169
k
1
37
45
50
160
169
185
555
740
185
h
881
629
595
575
245
223
185
200
q
882
666
640
625
405
392
370
Gráfico K
150
100
50
0
0
150
300
450
600
El teorema de Pitágoras
TERNAS ISOTENUSAS ESPEJO
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍 +
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ∧ 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ ∈ 𝑍 +
2
2
𝑐 ′ = 𝑎′ + 𝑏 ′
2
↔ 𝑐 = 𝑐′
Dada la terna pitagórica isotenusas a, b, c cuyo
espejo corresponde a la terna a’, b’, c’ tal que
tienen lados correspondientes iguales y
paralelos, se cumple que c = c’.
Como c > b > a > 2, se tiene que “a” puede
llegar a ser cercanamente igual, pero jamás
igual a “b”. Si ambas fuesen iguales la terna
deja de ser entera por presentar una hipotenusa
igual al producto de uno de los catetos
multiplicado por la raíz de 2.
EJERCICIO
Hallar dos ternas pitagóricas isotenusas de lados
enteros que cumplan que:
𝑎 ≠ 𝑎′ , 𝑏 ≠ 𝑏 ′ ∧ 𝑐 = 𝑐′.
Dada la hipotenusa 85, el conjunto de ternas
pitagóricas de lados enteros está compuesta por
los pares de catetos:
(13 - 84), (36 -77), (40 – 75), (51 – 68).
En total 4 ternas pitagóricas tiene a 85 como
hipotenusa común así mismo todos los
triángulos rectángulos son diferentes.
𝑥 = {13, 36, 40, 51}
Dadas dos ternas pitagóricas a, b, c y a’, b’, c’
tal que tienen catetos correspondientes
diferentes y se cumple que c = c’ es decir la
dimensión de sus hipotenusas son iguales.
Como debe cumplirse que c > b > a > 2, se tiene
que a’ puede llegar a ser cercanamente igual,
pero jamás igual a “a”. Del mismo modo se
cumple que b’ puede llegar a ser cercanamente
igual pero jamás igual “b”. Entonces ambas
ternas son isotenusas si c = c’.
𝑧 = {25}
𝑥 = {7, 15}
𝑦 = {24, 20}
𝑘 = {1, 5 }
𝑧 = {50}
𝑥 = {14, 30}
𝑦 = {48, 40}
𝑘 = {2, 10 }
𝑦 = {84, 77, 75, 68}
𝑘 = {1}
𝑡 = { 8, 10, 17}
𝑧 = 85
Sin embargo existen ternas únicas para H={1}
es decir son un conjunto unitario tales como
H=11, 60, 61. H=9, 10, 41. H=113, que no
comparten la hipotensa con otros conjuntos de
pares de catetos diferentes.
𝑧 = {145}
𝑥 = {17, 24, 87,100}
𝑦 = {144, 143, 116, 105}
𝑘 = {1, 2, 29, 40 }
𝑧 = {221}
𝑥 = {25, 85,104,100}
𝑦 = {220, 204, 171, 105}
𝑘 = {1, 17, 26, 50 }
Ruben Darío Muñoz López
Dadas dos ternas pitagóricas diferentes.
Para la terna irreductible x, y, z.
𝑥2 − 𝑘2
𝑦=
2𝑘
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
2𝑘
Pero c = z
𝑥 2 + 𝑘 2 𝑎2 + 𝑡 2 𝑥 2 + 𝑘 2 𝑘
=
⇒ 2
=
2𝑘
2𝑡
𝑎 + 𝑡2 𝑡
Para la terna a, b, c.
𝑎2 − 𝑡 2
𝑏=
2𝑘
𝑎2 + 𝑡 2
𝑐=𝑧=
2𝑡
𝑐=𝑧=
𝑎2 + 𝑡 2
⇒ 2𝑡𝑧 = 𝑎2 + 𝑡 2
2𝑡
𝑎 = √2𝑡𝑧 − 𝑡 2
Es evidente que los catetos de ambas ternas deben
se ser diferentes, caso contrario ambas ternas
serian iguales lo cual contradice la proposición de
ser ternas diferentes.
𝑎≠𝑥 ∧ 𝑏≠𝑦
Así mismo si asumimos que la terna x, y, z
corresponde al triangulo rectángulo de cateto
menor mínimo, entonces se cumple que:
𝑎 > 𝑥 por tanto 𝑡 > 𝑘 y según las propiedades de
ternas 𝑥 > 𝑘
Por otro lado 𝑘 = {1, 2, 3, … , 𝑛}
Así mismo el valor de “a” es menor que el cateto
de un triángulo isósceles que determina el eje
vertical de las ordenadas: 𝑎 <
Por tanto:
√2𝑧
2
√2𝑧
2
>𝑎>𝑡>𝑘
MÉTODO PARA DETERMINAR DIFERENCIAS DE CUADRADOS IGUALES DE
DIFERENTES TÉRMINOS
Una de las aplicaciones directas de la obtención de ternas isotenusas es la determinación de dos
diferencias de cuadrados de igual valor. Esto se da debido a que la hipotenusa corresponde al diámetro
de una circunferencia en la que cualquier triangulo inscrito es rectángulo.
Por otro lado, igualando (1) y (2) y ordenando Ejemplo:
convenientemente.
Las ternas isotenusas 7, 24, 25 y 15, 20, 25
2
2
2
2
determinan las diferencias de cuadrados
𝑥 +𝑦 =𝑎 +𝑏
2
2
2
2
2
2
2
2
152 − 72 = 242 − 202
𝑥 −𝑎 =𝑏 −𝑦 ó 𝑥 −𝑏 =𝑎 −𝑦
202 − 72 = 242 − 152
Es evidente que se desprenda como corolario la suma de dos cuadrados iguales. De los ejemplos
anteriores se tendría que: 152 + 202 = 242 + 72 y 202 + 152 = 242 + 72
EJERCICIO PROPUESTO
Encontrar al menos la suma de dos cuadrados que sea igual a la suma de otros dos cuadrados diferentes.
El teorema de Pitágoras
CIRCUNFERENCIAS Y RELACIONES PITAGÓRICAS
Radio del circulo circunscrito es:
Pero:
Entonces:
Radio del circulo inscrito es:
La razón entre radios es:
La diferencia entre los radios es:
Para el caso de k=1:
Razón de radios para k=1:
Diferencia de radios para k=1:
𝑅𝑐 =
𝑧
2
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
𝑥2 + 𝑘2
𝑅𝑐 =
4𝑘
𝑥−𝑘
𝑅𝑖 =
2
𝑅𝑐
𝑥2 + 𝑘2
=
𝑅𝑖 2𝑘(𝑥 − 𝑘)
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 2 + 𝑘
𝑅𝑐 − 𝑅𝑖 =
4𝑘
𝑥−1
𝑥2 + 1
𝑅𝑖 =
∧ 𝑅𝑐 =
2
4
𝑅𝑐
𝑥2 + 1
=
𝑅𝑖 2(𝑥 − 1)
𝑥 2 − 2𝑥 + 2
𝑅𝑐 − 𝑅𝑖 =
4
𝑧=
La
circunferencia
circunscrita está dada
por:
𝜋(𝑥 2 + k 2 )
Cc =
2𝑘
La
circunferencia
inscrita está dada por:
𝐶𝑖 = 𝜋(𝑥 − 𝑘)
EJERCICIO
Si los radios de dos circunferencias, una contenida en la otra son 𝑅𝑖 = 1
y 𝑅𝑐 = 2.5. Hallar, si es posible el triángulo rectángulo irreductible ABC
que sea inscrito dentro de la circunferencia mayor Cc e inscriba a la
circunferencia menor Ci.
SOLUCIÓN
INTUITIVA
Si el radio Rc del circulo mayor Cc es 2.5
entonces el diámetro es 5, lo cual corresponde
con la hipotenusa del triángulo rectángulo de
lados enteros irreductible más pequeño es
decir la terna 3, 4, 5. Y por tanto se sabe que
dicho diámetro debe corresponder con la
hipotenusa.
ANALÍTICA
Si se cumple que el diámetro de una
circunferencia que circunscribe a un triángulo
rectángulo es a la hipotenusa.
𝑧
𝑅𝑐 = ⇒ 𝑧 = 2𝑅𝑐 = 5
2
Por otro lado, la diferencia de radios es:
𝑥 2 − 2𝑥 + 2
𝑅𝑐 − 𝑅𝑖 =
4
𝑥 2 − 2𝑥 + 2
1.5 =
4
𝑥 2 − 2𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = 3
Finalmente aplicando el teorema de Pitágoras:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 → 𝑥 = 3, 𝑦 = 4 ∧ 𝑧 = 5
Ruben Darío Muñoz López
LÚNULAS
𝑏 = √𝑅 2 − 𝑐 2
𝑎 = 𝑅 − √𝑅 2 − 𝑐 2
𝐴⊿ =
𝑐√𝑅 2 − 𝑐 2
2
𝐴Δ = 𝑐√𝑅 2 − 𝑐 2
𝐴𝑅=𝑦𝑏+𝑦𝑐 =
𝜋𝑥 2
8
𝐴𝑅=𝑥𝑏+𝑥𝑐 =
𝜋𝑦 2
8
𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 =
𝑥𝑦
2
𝐴𝑅=𝑧/2 =
𝜋𝑧 2
8
𝐴𝑅=𝑧/2 − 𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 =
𝜋𝑧 2 𝑥𝑦 𝜋𝑧 2 − 4𝑥𝑦
−
=
8
2
8
(𝐴𝑅=𝑦𝑏+𝑦𝑐 + 𝐴𝑅=𝑥𝑏+𝑥𝑐 ) − (𝐴𝑅=𝑧/2 − 𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 ) =
𝜋𝑥 2 𝜋𝑦 2 𝜋𝑧 2 − 4𝑥𝑦 𝑥𝑦
+
−
=
8
8
8
2
Por tanto, las áreas de las lúnulas y el triángulo rectángulo son áreas iguales
Por otro lado
P = (𝐴𝑅=𝑦𝑏+𝑦𝑐 + 𝐴𝑅=𝑥𝑏+𝑥𝑐 ) − (𝐴𝑅=𝑧 − 𝐴⊿𝐴𝐵𝐶 )
2
2
P=
2
2
𝜋𝑥
𝜋𝑦
𝜋𝑧 − 4𝑥𝑦 𝑥𝑦
+
−
=
8
8
8
2
El teorema de Pitágoras
MÉTODO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO PERTENECE A UNA TERNA
PITAGÓRICA ENTERA.
Una terna pitagórica es una tripleta de tres
números 𝒂, 𝒃, ∈ Z+ | 𝑐 > 𝑏 > 𝑎 ≥ 3 que
cumplen el teorema de Pitágoras, es decir la
suma de los cuadrados de dos de ellos es igual
al cuadrado del tercero.
2
2
𝑎 +𝑏 =𝑐
2
En principio todo número natural a par o impar
mayor que 2 puede constituir el cateto menor de
un triángulo rectángulo de lados enteros.
𝑎 = {3,4,5, … , 𝑛}
Esto no sucede con la hipotenusa c y el cateto
mayor b, pues estos deben cumplir además de
ser enteros positivos, ciertas condiciones. No
todos los números naturales conforman
hipotenusas o catetos mayores, estos dependen
estrictamente del cateto menor, tal como ya se
ha demostrado.
Así tenemos que los números naturales 3, 4, 5,
6, 7, 8, etc. son siempre lados menores de ternas
pitagóricas; pero soló 4 y 8 pueden ser catetos
mayores y solamente 5 se constituye en una
hipotenusa. Esto no amerita mayor explicación
puesto que se deduce fácilmente por el
conocimiento de las ternas pitagóricas más
pequeñas como 3, 4, 5 y 5, 12, 13; pues no
existen ternas enteras más pequeñas. El
contenido del libro “Más allá del teorema de
Pitágoras” ha abordado exhaustivamente el
comportamiento de las tuplas pitagórica y que
gracias al descubrimiento de las fórmulas
generales de generación de ternas enteras
basadas en el cateto menor y la diferencia entre
la hipotenusa y el cateto mayor.
Número
Para 83
Para 85
Para 87
Divisores
1, 83
1, 5, 17 y 85
1, 3 y 29
A continuación, vamos a estudiar las
condiciones que determinan cuando un número
puede ser o no hipotenusa de una tripleta
pitagórica.
Como ya se mencionó, no existe ningún
triangulo rectángulo de lados enteros cuya
hipotenusa sea 4, siendo la menor longitud para
una hipotenusa entera el valor de 5; esto
significa que todos los múltiplos de 5 serán
siempre hipotenusas de triángulos pitagóricos.
Este es el punto de partida para desarrollar el
método que a continuación se describe.
CASO I:
Cuando el número a ser inspeccionado dependa
de un cateto menor primo mayor que 3. En este
caso basta con considerar que si el cateto menor
es primo impar.
Sabemos que la diferencia pitagórica es k = 1,
𝑥 2 +𝑘 2
por tanto, de la fórmula 𝑧 = 2𝑘 se deduce
que 2𝑧 − 1 = 𝑥 2 es decir que el doble de la
hipotenusa disminuido en 1 debe ser un
cuadrado perfecto, caso contrario la terna no
corresponde al caso de ternas irreductibles de
cateto menor primo.
REGLA PRACTICA
Basta con restar una unidad al doble del número
y extraer la raíz cuadrada, si dicha raíz es entera,
entonces el número inspeccionado si pertenece
a una terna pitagórica de lados enteros.
Ejemplo: determinar cuál de los siguientes
números 83, 85, 87 corresponde a la hipotenusa
de un triángulo rectángulo de lados enteros.
2𝑧 − 1 = 𝑥 2
2(83) − 1 = 𝑥 2
2(85) − 1 = 𝑥 2
2(87) − 1 = 𝑥 2
Sabemos de antemano que existe la terna
pitagórica: 13, 84, 85 lo que corrobora el
resultado. Así mismo resulta interesante el
número 85, que posee los divisores, 5 y 17 de
los cuales 5 es su submúltiplo e hipotenusa del
Valor del cateto menor
12.84 = 𝑥
13 = 𝑥
13.15 = 𝑥
triángulo rectángulo 3, 4, 5; por ello 17(3, 4, 5)
conformaría otra terna pitagórica 51, 68, 85.
Esto nos conduce al segundo método.
Ruben Darío Muñoz López
CASO II
Caso en que el número a ser inspeccionado no
necesariamente cumpla con que 2𝑧 − 1 = 𝑥 2 ,
es decir no tiene solución dentro del conjunto de
números Z+, entonces para que z pertenezca a
una tripleta entera, al menos uno de sus factores
debe corresponder a una hipotenusa
irreductible. Así por ejemplo 185 es igual a 5 x
37, y 5 es hipotenusa del triángulo rectángulo
entero 3, 4, 5 por lo cual existe un triángulo
rectángulo entero cuyos lados respectivamente
para x, y, z son 111, 148, 185 que cumplen el
teorema de Pitágoras, donde 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Número
Para 184
Para 185
Para 186
Divisores
23 y 23
5 y 37
2, 3 y 31
REGLA PRACTICA
Basta con extraer los divisores del número y
determinar que divisor se puede identificar
como hipotenusa de alguna terna pitagórica
conocida, entonces si existe una o más
hipotenusas
irreductibles,
el
número
inspeccionado si pertenece a una terna
pitagórica de lados enteros.
Ejemplo: determinar cuál de los siguientes
números 184, 185, 186 corresponde a la
hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados
enteros.
(𝑛𝑎)2 + (𝑛𝑏)2 = (𝑛𝑐)2
Valores de la terna
Para n=37: (𝑛3)2 + (𝑛4)2 = (𝑛5)2
1112 + 1482 = 1852
EN GENERAL
La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo deben tener solución entera para las
siguientes expresiones: 2𝑘𝑧 − 𝑘 2 = 𝑥 2
y
2𝑘𝑦 + 𝑘 2 = 𝑥 2
O poseer divisores que correspondan
a elementos respectivos de ternas
irreductibles reconocidas. En la tabla
adjunta se ha factorizado un conjunto
de números pares facilitando la
determinación de la correspondencia
con algún elemento de una terna
irreductible.
CONCLUSIÓN
Todo número entero mayor que 2
conforma el cateto menor de un
triángulo rectángulo de lados enteros.
Pero no todos los números enteros
conforman catetos mayores o
hipotenusas
de
triángulos
rectángulos enteros. Por ejemplo 6, 7
u 8 jamás serán hipotenusas de
triángulos rectángulos de lados
enteros.
N°
Factoriz.
Fam.:
22
8
12
16
18
20
24
25
27
28
30
32
36
40
42
44
45
48
23
22x3
24
2x32
22x5
23x3
4x2
4x3
Fam:
23
Fam: 32
Fam:
52
Primos
Ternarios
8x2
32 x 2
4x5
8x3
52
33
22x7
2x3x5
25
24x32
23x5
2x3x7
22x11
32x5
24x3
32 x 3
4x7
2x3x5
4x9
8x5
2x3x7
4x11
32 x 5
4x12
8x6
Se deja al lector la siguiente tabla con la finalidad de que practique encontrar ternas pitagóricas.
N°
Divisores
1
2
3
4
6
9
12
18
36
37
111
148
222
333 444 666 1332
1332
Cantidad
1998 1 2 3 6 9 18 27 37 54 74 111 222 333 666 999 1998
(16)
3996 1 2 3 4 6 9 12 18 27 36 37
54
74
(17)
108 111 148 222 333 444 999 1332 1998 3996 ( 2 3 )
El teorema de Pitágoras
NÚMEROS INCLINADOS
Este capítulo se inicia con dos preguntas
lúdicas: ¿Qué es un numero inclinado? Y ¿Qué
tienen en común los números 5, 13, 17, 85?
Cuyas respuestas se pueden intuir, sin embargo,
la intuición no es suficiente por ello
procedernos a responder las interrogantes con
un ejemplo que explicita la relación circular de
los datos.
Suponga que tiene una escalera de 5 metros de
largo apoyada sobre el piso y una pared
inclinada formando un triángulo rectángulo. De
cuantas formas se puede colocar para que la
distancia horizontal del pie de la escalera hasta
la pared y la altura de la parte superior al piso
sean números enteros, tal como se muestra en la
figura adjunta.
La respuesta será 2 siempre y cuando el
triángulo formado tenga por catetos 3 y 4. Es
evidente que existirán esta clase de números
inclinados por llamarlos de alguna manera.
Existen infinitos números inclinados, aunque no
todos los números naturales poseen esta
propiedad.
El menor número inclinado es 5, así que una
escalera cuya longitud sea un número natural
menor que 5, jamás se podrá colocar de forma
inclinada apoyada en una pared y que forme un
triángulo rectángulo de lados enteros con el
piso.
Los números 5, 13, 61, 85…n cumplen con la
𝑛2 +1
propiedad de que 2 , que no es otra que la
expresión que describe la hipotenusa de un
triángulo rectángulo de lados enteros para una
diferencia pitagórica k = 1. Esto implica como
consecuencia de que la expresión general de
𝑥 2 +𝑘 2
hipotenusa entera es 𝑧 = 2𝑘 , existirán
infinitas familias de números inclinados.
EJERCICIO
De cuántas formas se puede colocar una
escalera inclinada de 17 m. de largo apoyada
sobre el piso y una pared formando un triángulo
rectángulo para que la distancia horizontal del
pie de la escalera hasta la pared y la altura de la
parte superior al piso sean números enteros.
Igual que en ejemplo anterior se podrá colocar
de dos maneras ya que 17 es hipotenusa de la
terna 8, 15, 17.
En conclusión, determinar si un número es
inclinado se resume en establecer si dicho
número corresponde a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo de lados enteros. Los
primeros números inclinados para cateto menor
impar son:
n
5
7
9
11
13
15
z
13
25
41
61
85
113
17; 145
15; 113
13; 85
11; 61
9; 41
5; 13
5
7; 25
7
9
11
13
15
17
Ruben Darío Muñoz López
PROPORCIÓN AUREA Y LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS
Si se traza dos circunferencias con los diámetros de los segmentos áureos y se construyen dos triángulos
rectángulos semejantes se obtienen interesantes relaciones áureas entre los diversos elementos de los
triángulos en referencia.
𝑥 = 𝐴1 + 𝐴2
𝑦 = 𝐵1 + 𝐵2
𝜑=
𝑧 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐶1 𝐵1 𝐴1
=
=
𝐶2 𝐵2 𝐴2
𝐶1 + 𝐶2 𝜑 + 1
𝐶1 + 𝐶2
=
∨
=𝜑+1
𝐶1
𝜑
𝐶2
𝑧
𝜑+1
𝑧
=
∨
=𝜑+1
𝐶1
𝜑
𝐶2
𝐵1 + 𝐵2 𝜑 + 1
𝐵1 + 𝐵2
=
∨
=𝜑+1
𝐵1
𝜑
𝐵2
𝑦
𝜑+1
𝑦
=
∨
= 𝜑+1
𝐵1
𝜑
𝐵2
𝑧𝜑
𝑧
= 𝐶1 ∨
= 𝐶2
𝜑+1
𝜑+1
𝐴1 + 𝐴2 𝜑 + 1
𝐴1 + 𝐴2
=
∨
= 𝜑+1
𝐴1
𝜑
𝐴2
𝑥
𝜑+1
𝑥
=
∨
=𝜑+1
𝐴1
𝜑
𝐴2
𝑦𝜑
𝑦
= 𝐵1 ∨
= 𝐵2
𝜑+1
𝜑+1
𝑥𝜑
𝑥
= 𝐴1 ∨
= 𝐴2
𝜑+1
𝜑+1
RELACIONES SEXTICAS
𝑎 = 𝜔1
𝑏 = 𝜔6
𝑏′ = 𝜔1
𝑐 = 𝜔6
𝑑 = 𝜔1
𝑎 = 𝜔3
𝑏 = 𝜔4 ò 𝜔6 ò 𝜔4
𝑏 ′ = 𝜔5 ò 𝜔3 ò 𝜔1
𝑐 = 𝜔6 ò 𝜔4
𝑑 = 𝜔1 ò 𝜔5
𝜆 𝜌 (𝜆) 𝜌 𝜆
𝑎 = 𝜔5
𝑏 = 𝜔6
𝑏′ = 𝜔1
𝑐 = 𝜔6
𝑑 = 𝜔1
𝑎 = 𝜔2
𝑎 = 𝜔4
𝑏 = 𝜔3
𝑏 = 𝜔3
𝑏′ = 𝜔5 𝑏′ = 𝜔5
𝑐 = 𝜔6
𝑐 = 𝜔6
𝑑 = 𝜔1
𝑑 = 𝜔1
𝜌 𝜆 (𝜆) 𝜌 𝜆
𝑎 = 𝜔6
𝑏 = 𝜔2
𝑏′ = 𝜔5
𝑐 = 𝜔6
𝑑 = 𝜔1
𝜌 𝜌 (𝜆) 𝜌 𝜆
𝑎 = 𝜔6
𝑏 = 𝜔5
𝑏′ = 𝜔1
𝑐 = 𝜔4
𝑑 = 𝜔5
𝜆 𝜌 (𝜆) 𝜌 𝜆
El teorema de Pitágoras
RELACIONES TRIANGULARES DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS
Las ternas pitagóricas (x, y, z) además de cumplir con el teorema de Pitágoras 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 dadas
ciertas condiciones, poseen cualidades que los interrelacionan según algunas propiedades particulares.
Estas relaciones se denominan genéricamente relaciones triangulares y relaciones circulares. En este
capítulo vamos a estudiar las primeras.
Las relaciones triangulares de las ternas pitagóricas se simbolizan por 𝛶𝑥𝑦𝑧 y representa la relación que
existe entre los tres componentes de una terna entera y representada en su forma más general por:
𝛶𝑥𝑦𝑧 = 𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑧
𝑧>𝑦>𝑥
RELACIONES TRIANGULARES
CATETO PAR POTENCIA PERFECTA DE 2n
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 → 𝑥 = 2𝑛 Para: k=2
𝑥 = 2𝑛
𝑦 = 22(𝑛−1) − 1
𝑧 = 22(𝑛−1) + 1
Ejemplo:
2n
Cateto x = 2 n
Cateto y
Hipotenusa z
Y+Z
2
1
4
3
5
8
4
2
8
15
17
8
3
16
63
4
32
255
16
z-x
2
3
1
1
1
32
2
5
9
3
2
65
128
2
7
49
7
2
257
512
2
9
225
15
2
CATETO PAR POTENCIA PERFECTA DE 2n
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 → 𝑥 = 2𝑛 Para: k=2
𝑦 = 𝑛2 − 1
𝑥 = 2𝑛
𝑧 = 𝑛2 + 1
Ejemplo:
x + z = (n+1) 2
z - x = (n-1) 2
2n
Cateto x = 2n
Cateto y
Hipotenusa z
2(2)
4
3
5
9
3
2
1
1
1
2(3)
6
8
10
16
4
4
4
2
2
2(4)
8
15
17
25
5
2
9
3
2
2(5)
10
24
26
36
6
2
16
4
2
Ruben Darío Muñoz López
RELACIONES TRIANGULARES PARA TERNAS DE CATETOS CONSECUTIVOS
Las ternas pitagóricas de catetos consecutivos también presentan un ordenamiento secuencial bastante
interesante. Entre las relaciones más interesante tenemos: la diferencia de un cateto de posición xi menos
un cateto mayor de posición yi-1 es un cuadrado perfecto que determina una serie de diferencia aritmética
variable y diferencia cuadrática: Así por ejemplo 20 – 4 = 16; 120 – 20= 100; 696 – 120 = 576. Que son
cuadrados perfectos de 4, 10, 24.
x
y
z
k
x i+1 -y i = R 2
R
3
4
5
1
1
1
20
21
29
8
16
4
119
120
169
49
100
10
696
697
985
288
576
24
4059
4060
5741
1681
3364
58
23660
23661
33461
9800
19600
140
137903
137904
195025
57121
114244
338
803760
803761
1136689
332928
665856
816
4684659
4684660
6625109
1940449
3880900
1970
27304196
27304197
38613965
11309768
22619536
4756
159140519
159140520
225058681
65918161
131836324
11482
927538920
927538921
1311738121
384199200
768398400
27720
Otra relación triangular x, y, z es aún más interesante. La suma de un cateto menor de posición xi+1 más
el cateto mayor y la hipotenusa de una posición yi y zi respectivamente es igual a la hipotenusa de la
posición zi+1. Por ejemplo: 20 + 4 + 5 = 29;
119 + 21 + 29 = 169; 696 + 120 + 169 = 985… Etc
x
y
z
k
x i+1 + y i + z i = z i+1
3
4
5
1
5
20
21
29
8
29
119
120
169
49
169
696
697
985
288
985
4059
4060
5741
1681
5741
23660
23661
33461
9800
33461
137903
137904
195025
57121
195025
803760
803761
1136689
332928
1136689
4684659
4684660
6625109
1940449
6625109
27304196
27304197
38613965
11309768
38613965
159140519
159140520
225058681
65918161
131836324
927538920
927538921
1311738121
384199200
1311738121
El teorema de Pitágoras
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS INSCRITOS
(𝑎 + 𝑏)𝑐𝐷
𝑅=
4𝐴
(𝑎 + 𝑏)(𝑚 + 𝑛) (𝑎 + 𝑏)𝑏
𝐴=
=
2
2
𝐷 = 𝑏√2
𝑅=
(𝑎 + 𝑏)𝑐𝑏√2
2(𝑎 + 𝑏)𝑏
𝑅=
𝑐√2
2
Quedando demostrado que si n + m = b; el radio
de la circunferencia circunscrita nunca es entero.
Generalizando
(𝑎 + 𝑏)𝑐𝐷
4𝐴
(𝑎 + 𝑏)(𝑚 + 𝑛)
𝐴=
2
Si b = y, entonces no existe radio de valor entero
𝑅=
ya que R tiende a 𝑅 =
Para que exista una circunferencia circunscrita
los valores deben estar comprendidos dentro de la
expresión que determina R en función de y.
𝐷 = √𝑏 2 + (𝑚 + 𝑛)2
𝑅=
𝑐√𝑏 2 + (𝑚 + 𝑛)2
2(𝑚 + 𝑛)
Si m + n = y
𝑅=
𝑐√𝑏 2 + 𝑦 2
𝑐𝐷
⇒𝑅=
2𝑦
2𝑦
Si “a” es primo o impar para k=1, entonces “a”
tiene el mínimo valor y y tiene el máximo valor.
Por lo cual para valores enteros y debe disminuir
y a se debe incrementar variando el valor de k.
Nota:
La ecuación general de una circunferencia está dada por la expresión
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝐴
𝐵
Centro (cx,cy): 𝐶 (− 2 , − 2 )
Radio 𝑅 =
𝑐 √2
2
√𝐴2 +𝐵2 −4𝐶
2
2
(𝑥 − 𝑐𝑥 )2 + (𝑦 − 𝑐𝑦 ) = 𝑅 2
Ruben Darío Muñoz López
RELACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DE UN CIRCULO CIRCUNSCRITO A
UN TRIANGULO PITAGÓRICO
En este capítulo vamos a establecer las relaciones del área y el perímetro de una circunferencia
circunscrita a un triángulo rectángulo de lados enteros. Y determinar que dicha relación no es entera. Si
el radio es entero, entonces dicha relación es “racional”
Sea el área y el perímetro de una circunferencia
circunscrita al triangulo rectángulo cuyos lados
son x, y, z tal que z > y > x
Sea
C: Perímetro de la circunferencia
A: área del circulo correspondiente
𝐶 = 2𝜋𝑟 ⇒ 𝐶 = 𝜋𝑧
𝐴 = 𝜋𝑟 2 ⇒ 𝜋 =
𝜋𝑧 2
4
𝐶 4 2
= =
𝐴 𝑧 𝑟
x
3
5
7
9
11
13
y
4
12
24
40
60
84
z
5
13
25
41
61
85
C
15.7079633
40.8407045
78.5398163
128.805299
191.637152
267.035376
A
19.6349541
132.73229
490.873852
1320.25431
2922.46657
5674.50173
x
4
6
8
10
12
14
y
3
8
15
24
35
48
z
5
10
17
26
37
50
C
15.7079633
31.4159265
53.4070751
81.681409
116.238928
157.079633
A
19.6349541
78.5398163
226.980069
530.929158
1075.21009
1963.49541
x
8
12
16
20
24
28
y
6
16
30
48
70
96
z
10
20
34
52
74
100
C
31.4159265
62.8318531
106.81415
163.362818
232.477856
314.159265
A
78.5398163
314.159265
907.920277
2123.71663
4300.84034
7853.98163
C/A
0.8
0.30769231
0.16
0.09756098
0.06557377
0.04705882
C/A
0.8
0.4
0.23529412
0.15384615
0.10810811
0.08
C/A
0.4
0.2
0.11764706
0.07692308
0.05405405
0.04
EJERCICIO
Cuál es la razón máxima de la longitud de una circunferencia al área de un círculo circunscrito a un
triángulo rectángulo de lados enteros.
La relación es una función decreciente que tiende a cero y cuyo máximo valor es 4/5. Como el valor
mínimo para la hipotenusa es 5 se tiene entonces que la razón máxima se da para la terna pitagórica 3,
4, 5. Por tanto para z = 5
𝐶 4 4
= = = 0.8
𝐴 𝑧 5
El teorema de Pitágoras
RELACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DE UN CIRCULO CIRCUNSCRITO A
UN RECTÁNGULO PITAGÓRICO
Un rectángulo pitagórico es aquel cuyos lados
corresponden a los catetos de un triángulo
pitagórico, por tanto, su diagonal es la
hipotenusa de dicho triángulo. En este capítulo
vamos a establecer las relaciones de la
circunferencia
circunscrita
con
dicho
rectángulo. Las relaciones son irracionales,
pues involucran productos por pi.
𝑥2 + 𝑘2
𝜋
𝐶0
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
= 2
=
𝜋
𝑃∎ 𝑥 + 2𝑘𝑥 − 𝑘 2
2(𝑥 2 + 2𝑘𝑥 − 𝑘 2 )
𝑘
Para k =1
𝐶0
𝑥2 + 1
=𝜋
𝑃∎
2(𝑥 2 + 2𝑥 − 1)
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
𝑥2 − 𝑘2
2𝑘
𝑧
𝑟=
2
𝑥2 + 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
⇒𝑟=
2𝑘
4𝑘
𝑦=
y
z = 2r
4
5
12
13
24
25
40
41
60
61
84
85
112 113
144 145
180 181
220 221
264 265
312 313
C
15.71
40.84
78.54
128.81
191.64
267.04
355.00
455.53
568.63
694.29
832.52
983.32
P
14
34
62
98
142
194
254
322
398
482
574
674
C/P
1.122
1.201
1.267
1.314
1.350
1.376
1.398
1.415
1.429
1.440
1.450
1.459
RELACIÓN C/P
1.500
Longitud de la circunferencia y área del circulo
circunscrito.
𝑥2 + 𝑘2
𝐶0 = 2𝜋𝑟 ⇒ 𝐶 = 𝜋
2𝑘
2
𝜋𝑧
𝐴0 = 𝜋𝑟 2 ⇒ 𝜋 =
4
1.450
1.400
1.350
1.300
1.250
1.200
El perímetro del rectángulo pitagóricos es:
𝑥 2 + 2𝑘𝑥 − 𝑘 2
𝑃∎ = 2(𝑥 + 𝑦 ) ⇒ 𝑃∎ =
𝑘
1.150
1.100
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
El área del rectángulo pitagórico es:
𝑥2 − 𝑘2
𝑥3 − 𝑘2𝑥
𝐴∎ = 𝑥𝑦 ⇒ 𝐴∎ = 𝑥
=
2𝑘
2𝑘
Ejercicio para el lector:
Hallar el límite de la expresión cuando x tiende
hacia el infinito para ternas pitagóricas k = 1.
Las relaciones entre la longitud de la
circunferencia y el perímetro del rectángulo esta
dado por:
lim [
𝑥→∞
𝑥2 + 1
]=𝜏
2(𝑥 2 + 2𝑥 − 1)
Ruben Darío Muñoz López
RELACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DE UN CIRCULO CIRCUNSCRITO A
UN CUADRADO
Vamos a establecer las relaciones de la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita en un
cuadrado. Y las relaciones entre los circunferencias circunscrita e inscrita a un rectángulo pitagórico.
𝐶𝑐
𝐿√2
= √2 ⇒ 𝐶𝑐 = 𝐶𝑖 √2
𝑅𝑐 =
𝐶𝑖
2
𝐿
𝐶𝑐2
𝑅𝑖 =
= 2 ⇒ 𝐶𝑐2 = 𝐶𝑖2 + 2
2
𝐶𝑖2
𝐶𝑐 = 𝜋𝐿√2
𝐴𝑐
= 2 ⇒ 𝐴𝑐 = 𝐴𝑖 + 2
𝐶𝑖 = 𝜋𝐿
𝐴𝑖
𝜋𝐿2
𝐶𝑐2 𝐴𝑐
𝐴𝑐 =
=
2
𝐶𝑖2 𝐴𝑖
𝜋𝐿2
𝐶𝑐2 + 𝐶𝑖2 𝐴𝑐 + 𝐴𝑖
𝐴𝑖 =
=
4
𝐴𝑖
𝐶𝑖2
2
2𝐶𝑖 + 2 2𝐴𝑖 + 2
=
𝐴𝑖
𝐶𝑖2
𝐶𝑖 = 𝑛 ⇒ 𝐶𝑐2 = 𝑛2 + 2
Dado Cc y Ci fuesen los catetos de un triángulo rectángulo, entonces la hipotenusa es ℎ = √𝐶𝑐2 + 𝐶𝑖2
Si: 𝐶𝑖 = 𝑛 ⇒ 𝐶𝑐2 = 𝑛2 + 2 ∧ 𝐶12 = 𝑛2 entonces se tiene que: ℎ = √2𝑛2 + 2
Dado que:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
Se establece la relación
𝐶𝑖2 + 𝐶𝑐2 = 2𝑛2 + 2
Donde:
𝐶𝑖 = 𝑛 ∧ 𝐶𝑐 = √𝑛2 + 2
Concluyendo que el cateto menor y la hipotenusa siempre es entera y el cateto mayor es irracional.
El teorema de Pitágoras
RELACIÓN ENTRE CATETOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
La relación entre el cateto vertical y el cateto horizontal de un triángulo rectángulo levantado sobre el
eje de las abscisas de una semi circunferencia, permite hallar el rectángulo inscrito dentro de dicha
semicircunferencia.
Sea “a” el cateto menor, b el cateto mayor y
R el radio. Por tanto, f = a/b.
Se cumple que:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑅 2
(𝑏𝑓)2 + 𝑏 2 = 𝑅 2
𝑏 2 (𝑓 2 + 1) = 𝑅 2
𝑅2
𝑏2 = 2
(𝑓 + 1)
𝑅
𝑅√(𝑓 2 + 1)
𝑏=
=
𝑓2 + 1
√(𝑓 2 + 1)
𝑏2𝑓 2 + 𝑏2 = 𝑅2
DIMENSIONES DE UN CUADRADO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA.
Para determinar las dimensiones de un cuadrado inscrito dentro de una semicircunferencia basta con
establecer a = 0.5b, es decir f = 0.5 en la expresión anterior.
𝑏=
𝑏=
𝑅√(0.52 + 1)
0.52 + 1
𝑅√1.25 2𝑅√5
=
1.25
5
Un cuadrado inscrito tiene por lado:
𝑏=
Por perímetro:
En consecuencia, a=
𝑎 = 0.5𝑏 =
𝑅√5
5
2𝑅√5
5
𝑃=
8𝑅√5
5
Por área:
𝐴=
4𝑅 2
5
Ruben Darío Muñoz López
CASO DE UN TRIANGULO PITAGÓRICO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Se sabe de antemano que todo triangulo inscrito en una circunferencia, cuya hipotenusa corresponde al
diámetro, es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, el radio R es igual a la mitad de la hipotenusa. Las
fórmulas anteriores se transforman en:
Un cuadrado inscrito tiene por lado:
𝑏=
𝑧√5
5
En función del cateto menor x, para k=1:
𝑏=
(𝑥 2 + 𝑘 2 )√5 (𝑥 2 + 1)√5
⇒
10𝑘
10
Por perímetro:
Por perímetro:
4𝑧√5
𝑃=
5
2(𝑥 2 + 𝑘 2 )√5 2(𝑥 2 + 1)√5
𝑃=
⇒
5𝑘
5
Por área:
Por área:
2
(𝑥 2 + 𝑘 2 )2 (𝑥 2 + 1)2
𝐴=
⇒
20𝑘 2
20
𝑧
𝐴=
5
Para ternas irreductibles de cateto menor primo:
Á𝑟𝑒𝑎 =
(𝑎2 + 1)2 (32 + 1)2
⇨
=𝟓
20
20
𝐿𝑎𝑑𝑜∎ =
(𝑎2 + 1)√5 (32 + 1)√5
⇒
= √𝟓
10
10
El teorema de Pitágoras
LONGITUD DE LA CATIANA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO DE LADOS ENTEROS
𝑧 2
𝛿 2 = ( ) − ℎ2
2
𝑦2
=𝑧
𝑧
𝑧2 − 𝑦2
𝑛=
… (6)
𝑧
En (2) ó (3)
𝑛+
𝑛 + 𝑚 = 𝑧 … (1)
ℎ2 = 𝑥 2 − 𝑛2 … (2)
ℎ2 = 𝑦 2 − 𝑚2 … (3)
ℎ2 = 𝑥 2 − (
Igualando (2) y (3)
2
(𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) = 𝑦 − 𝑥
𝑧(𝑚 − 𝑛) = 𝑦 2 − 𝑥 2
𝑦2 − 𝑥2
… (4)
𝑧
𝑦2
… (5)
𝑧
Reemplazando en (1)
𝑚=
𝑦2
ℎ =𝑦 −( )
𝑧
𝑥𝑦
ℎ=
𝑧
Finalmente
𝑧 2
𝛿 2 = ( ) − ℎ2
2
𝑧 2
𝑥𝑦 2
𝛿2 = ( ) − ( )
2
𝑧
2
2 2
𝑧
𝑥
𝑦
𝛿2 = − 2
4
𝑧
2
𝑚2 − 𝑛2 = 𝑦 2 − 𝑥 2
Igualando (1) y (4)
2
2
𝑥 2 − 𝑛2 = 𝑦 2 − 𝑚2
𝑚−𝑛=
𝑧2 − 𝑦2
)
𝑧
2
2
𝛿
𝛿
𝛿
𝛿
𝑧 4 − 4𝑥 2 𝑦 2
=
4𝑧 2
4
√𝑧 − 4𝑥 2 𝑦 2
=
2𝑧
4
√𝑧 − 4𝑥 2 𝑦 2
=
2𝑧
√(𝑦 + 𝑘)4 − 4𝑥 2 𝑦 2
=
2(𝑦 + 𝑘)
2
𝛿=
√𝑧 4 − 4𝑥 2 (𝑧 − 𝑘)2
2𝑧
CALCULO DE EN FUNCIÓN DEL CATETO MENOR
√𝑧 4 − 4𝑥 2 𝑦 2
2𝑧
2 + 𝑘2
𝑥
𝑥2 − 𝑘2 2
√(
)4 − 4𝑥 2 (
)
2𝑘
2𝑘
=
𝑥2 + 𝑘2
2(
)
2𝑘
2
2 4
2 2
𝑘 2 )2
√(𝑥 + 𝑘4 ) − 4𝑥 (𝑥 −
2
16𝑘
4𝑘
=
𝑥2 + 𝑘2
𝑘
2
2
4
2 2
2 2 2
√(𝑥 + 𝑘4 ) − 16𝑥 (𝑥 −4𝑘 ) 𝑘
16𝑘
16𝑘
=
𝑥2 + 𝑘2
𝑘
2
2
4
(𝑥 + 𝑘 ) − 16𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑘 2 )2 𝑘 2
√
16𝑘 4
=
𝑥2 + 𝑘2
𝑘
𝛿=
𝛿
𝛿
𝛿
𝛿
√(𝑥 2 + 𝑘 2 )4 − 16𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑘 2 )2 𝑘 2
4𝑘 2
𝛿=
2
𝑥 + 𝑘2
𝑘
Finalmente, en función del cateto menor y La
diferencia pitagórica se tiene que:
√(𝑥 2 + 𝑘 2 )4 − 16𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑘 2 )2 𝑘 2
4𝑘(𝑥 2 + 𝑘 2 )
Para k=1
𝛿=
√(𝑥 2 + 1)4 − 16𝑥 2 (𝑥 2 − 1)2
4(𝑥 2 + 1)
Para k=2
𝛿=
𝛿=
√(𝑥 2 + 4)4 − 64𝑥 2 (𝑥 2 − 4)2
8(𝑥 2 + 4)
Ruben Darío Muñoz López
TABLA DE CATIANAS PARA TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS PARA k=1 y k=2
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
y
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
z
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
0.7
4.57692308
10.54
18.5243902
28.5163934
40.5117647
54.5088496
70.5068966
88.5055249
108.504525
130.503774
x
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
y
3
8
15
24
35
48
63
80
99
120
143
z
5
10
17
26
37
50
65
82
101
122
145
0.7
1.4
4.73529412
9.15384615
14.6081081
21.08
28.5615385
37.0487805
46.539604
57.0327869
68.5275862
EJERCICIO
Si x = 24 cual es el menor valor para si el triángulo ABC es rectángulo
EJERCICIO
Si: 𝑥 2 − 1 = 8
Hallar el valor de en:
𝛿=
√(𝑥 2 + 1)4 − 16𝑥 2 (𝑥 2 − 1)2
4(𝑥 2 + 1)
SOLUCIONES.
Para x = 24 el valor mínimo se determina para el triángulo rectángulo parental de menor valor del
cateto mayor.
En el segundo caso, se determina que x = 3 es decir es el lado menor de una terna pitagórica, por tanto,
remplazando se obtiene 0.7
El teorema de Pitágoras
DISTANCIA DE CENTROS DE CIRCUNFERENCIAS CIRCUNSCRITAS
Distancia OO’ de los centros de dos Cateto mayor en función de x: 𝑦 = 𝑥 2 −𝑘2
2𝑘
circunferencias circunscritas de dos triángulos
𝑥 2 −1
Para k = 1 tenemos: 𝑦 =
rectángulos de lados enteros, en función del
2
cateto menor x. De las siguientes relaciones.
𝑥 2 +𝑘 2
Hipotenusa en función de x: 𝑧 = 2𝑘
Teorema de Pitágoras: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Para k = 1 tenemos: 𝑧 =
DIAGRAMAS
El radio de la circunferencia circunscrita con respecto al triángulo
𝑥−𝑘
rectángulo es: 𝑅 =
2
Trazando una perpendicular al cateto x, desde el centro de la
circunferencia “O” por semejanza de triángulos se verifica que el
𝑥+𝑘
valor de Ap es x – R: 𝐴𝑝 = 2 ; también se puede deducir de la
siguiente expresión: 𝐴𝑝 = 𝑘 + 𝑅
2
𝑥 2 +1
2
2
𝑥 +𝑘
La hipotenusa del ⊿ 𝑩𝑪 es el segmento: ̅̅̅̅
𝑩 = 𝑧 = 2𝑘
̅̅̅̅ por tanto, la longitud del segmento pq es la
Por simetría ̅̅̅̅
𝐴𝑝 = 𝑞𝐵
diferencia de la hipotenusa AB y el doble de la distancia Ap, es decir
pq = z – 2Ap.
Reemplazando tenemos: 𝑝𝑞
̅̅̅ =
𝑥 2 +𝑘 2
2𝑘
𝑥+𝑘
)
2
− 2(
=
𝑥 2 −2𝑥𝑘−𝑘 2
2𝑘
La distancia pM es la mitad del segmento pq:
𝑥 2 − 2𝑥𝑘 − 𝑘 2
̅̅̅̅
𝑝𝑀 =
4𝑘
Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo OpM
̅̅̅̅̅2 = 𝑅 2 + ̅̅̅̅
𝑂𝑀
𝑝𝑀2
Fig (1)
2
𝑥−𝑘 2
𝑥 2 −2𝑥𝑘−𝑘 2
)
+
(
)
2
4𝑘
𝑥 4 −4𝑥 3 𝑘 +6𝑥 2 𝑘 2 −4𝑥𝑘 3 +𝑘 4 +4𝑘 3
2
̅̅̅̅̅
Reduciendo términos: 𝑂𝑀 =
16𝑘 2
√4𝑘 4 +(𝑥−𝑘)4
Finalmente factorizando y radicando: ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′ =
2𝑘
𝑥 4 −4𝑥 3 +6𝑥 2 −4𝑥+5
√4+(𝑥−1)4
2
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Para k=1 𝑂𝑀 =
⇒ 𝑂𝑂′ =
16
2
̅̅̅̅̅2 = (
Remplazando tenemos: 𝑂𝑀
Fig (2)
DESARROLLO DE OPERACIONES
Para evitar operaciones engorrosas en el desarrollo de los cuadrados, estos se han realizado a parte, y se
consignan a continuación para el lector que quiera verificar las fórmulas.
𝑥−𝑘 2
) =
Para cateto menor de Op:
(
Para cateto mayor pM:
(
Hipotenusa OM
̅̅̅̅̅2 = 4𝑥
𝑂𝑀
2
𝑥 2 −2𝑥𝑘+𝑘 2
𝑥 2 −2𝑥𝑘−𝑘 2
4𝑘
4
2
) =
4𝑥 2 𝑘 2 −8𝑥𝑘 3 +4𝑘 3
16𝑘 2
𝑥 4 +4𝑥 2 𝑘 2 +𝑘 4 −4𝑥 3 𝑘−2𝑥 2 𝑘 2 +4𝑥𝑘 3
2 𝑘 2 −8𝑥𝑘 3 +4𝑘 3
16𝑘 2
=
16𝑘 2
+
𝑥 4 +4𝑥 2 𝑘 2 +𝑘 4 −4𝑥 3 𝑘−2𝑥 2 𝑘 2 +4𝑥𝑘 3
16𝑘 2
Ruben Darío Muñoz López
OTRAS EXPRESIONES PARA OM
̅̅̅̅̅
𝑂𝑀2 =
(𝑥 − 𝑘)2 (𝑥 2 − 2𝑥𝑘 − 𝑘 2 )2
(𝑥 − 1)2 (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2
+
⟹
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑘
=
1:
+
=
4
16𝑘 2
4
16
̅̅̅̅̅ 2 =
𝑂𝑀
4𝑘 2 (𝑥 − 𝑘)2 + (𝑥 2 − 2𝑥𝑘 − 𝑘 2 )2
4(𝑥 − 1)2 + (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2
⇒
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑘
=
1:
16𝑘 2
16
̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 2 =
(2𝑘𝑥 − 2𝑘 2 )2 + (𝑥 2 − 2𝑥𝑘 − 𝑘 2 )2
(2𝑥 − 2)2 + (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2
⇒ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1:
2
16𝑘
16
Existen diferentes formas de enfocar la solución, a parte del método general, se conoce el desarrollado
por Terry Furler, que también es válido para resolver este problema. A continuación, se presenta un
método simplificado
Por T de Pitágoras: ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 = (𝑥 − 2𝑅)2 + (𝑦 − 2𝑅)2
2
𝑥
Reemplazando: ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 = (𝑥 − (𝑥 − 𝑘)) + (
2 −𝑘 2
2𝑘
2
− (𝑥 − 𝑘))
2
𝑥2 − 𝑘2
𝑥 2 − 2𝑥𝑘 + 𝑘 2
̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 = 𝑘 2 + (
− 𝑥 + 𝑘) = 𝑘 2 + (
)
2𝑘
2𝑘
2
(𝑥 − 𝑘)2
(𝑥 − 𝑘)4
2
2
̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′ = 𝑘 + [
] ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 = 𝑘 2 +
2𝑘
4𝑘 2
4𝑘 4 + (𝑥 − 𝑘)4
√4𝑘 4 + (𝑥 − 𝑘)4
′ =
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 =
⇒
𝑂𝑂
4𝑘 2
2𝑘
√4+(𝑥−1)4
̅̅̅̅̅
para k=1: 𝑂𝑂′ =
2
2
Como la mayor parte de ejercicios se comparte en las redes, este es la solución presentada en la página
del grupo: Mas allá del teorema de Pitágoras.
SOLUCIÓN:
Por: Ruben D Muñoz L
Por T. de Pitágoras: ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 = (𝑥 − 2𝑅)2 + (𝑦 − 2𝑅)2
2
2
𝑥 −1
El radio es R=3: ̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′2 = (𝑥 − 6)2 + ( 2 − 6)
Remplazando x = 7:
Finalmente:
2
2
7 −1
̅̅̅̅̅
𝑂𝑂′ = √1 + ( 2 − 6)
̅̅̅̅̅
OO′ = √1 + (18)2 = 𝟓√𝟏𝟑
TAMBIÉN SE PUEDE APLICAR LA FÓRMULA
Para k = 1 se tiene:
̅̅̅̅̅ = √4+(𝑥−1)
𝑂𝑂′
2
̅̅̅̅̅ =
Reemplazando x=7 tenemos: OO′
4
√4+(7−1)4
2
= 𝟓√𝟏𝟑
EJERCICIO
Considerando el grafico anterior, así como un resto pitagórico k=1, determinar el valor del cateto menor
x, si el segmento ̅̅̅̅̅
OO′ = √5
Respuesta: x= 3
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO DE CIRCUNFERENCIAS Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Si el área del rectángulo ROJO es de 20 m2, y el
triángulo rectángulo ∆ABC es de lados enteros,
hallar el área de la superficie amarilla.
Además, se cumple que: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝐴′𝐶′
𝐴𝐶
Área rectángulo rojo: 𝐴 𝑅𝑅 = 𝑦𝑧
SOLUCIÓN MÉTODO 1
Si el área del rectángulo ROJO es 20 m2,
entonces: y = 4 y z = 5 y el cateto x = 3
La diagonal AA’ seria entonces:
𝐷𝐴𝐴′ = √(2𝑥 + 𝑧)2 + 𝑦 2
Remplazando valores:
𝐷𝐴𝐴′ = √(2(3) + 5)2 + 42 ⇒ 𝑫 = √𝟏𝟑𝟕
La superficie AMARILLA se compone del
EFGH y dos semi círculos amarillos con centro
de radio en A y A’, por tanto, calcularemos El problema tiene una pequeña ambigüedad, no se
ambas áreas independientemente y luego las especifica, si a la superficie amarilla se le debe
adicionaremos en un área total.
descontar el área del rectángulo ROJO, por tanto,
se puede considerar dos respuestas, para ambos
El área del rectángulo AMARILLO, conformado casos.
por el diámetro y la diagonal es:
𝐴 𝑅𝐴 = 2𝑧 × 𝐷 ⇒ 𝐴𝑅𝐴 = 10 × √137
El área total de la superficie AMARILLA es:
𝐴 𝑇 = 10 × √137 + 25𝜋 = 195.58𝑚2
El ara de los dos semi círculos que conforman un
círculo es:
Área AMARILLA descontando superficie ROJA:
𝐴⊖𝐴 = 𝜋𝑧 2 ⟹ 𝐴𝐶𝐴 = 25𝜋
195.58 – 20 = 175.58m2
SOLUCIÓN MÉTODO 2
Si el área del rectángulo ROJO es 20 m2, entonces: y = 4 y z = 5 y el cateto x = 3. Podemos aplicar la
fórmula, cuando el cateto menor es primo mayor que 2, es decir para k = 1.
2
𝐴𝑇 =
(𝑥 2
2
𝑥2 + 1
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
+ 1) × √(2𝑥 +
) +(
) +𝜋(
)
2
2
2
2
𝐴 𝑇 = (32 + 1) × √(2(3) +
2
2
32 + 1
32 − 1
32 + 1
) +(
) +𝜋(
)
2
2
2
𝐴 𝑇 = 10 × √137 + 25𝜋 = 195.58𝑚2
2
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO PROPUESTO Y SOLUCIÓN SINTÉTICA
Cuando el área del rectángulo ROJO es de
20m2, y el triángulo rectángulo ∆ABC es de
lados enteros, el área AMARILLA es de
195.6m2, aproximadamente.
Hallar el área de la superficie amarilla si el
rectángulo ROJO fuese de 156m2.
Además, se cumple que:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝐴′𝐵′
𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐵𝐶 = ̅̅̅̅̅̅
𝐵′𝐶′
Área rectángulo rojo = 𝑦 × 𝑧
̅̅̅̅
𝐴𝐶 = ̅̅̅̅̅
𝐴′𝐶′
RESPUESTA
Si el área del rectángulo rojo es 156m2, entonces: y = 12 y z = 13 y el cateto x = 5
Aplicando la fórmula: 𝐴 𝑇 = (𝑥 2 + 1) × √(2𝑥 +
𝑥 2 +1 2
)
2
𝑥 2 −1 2
)
2
+(
2
𝑥 2 +1
)
2
+𝜋(
=
𝐴 𝑇 = 26√673 + 169𝜋 = 1205.43𝑚2
Área descontando el rectángulo rojo:
1049.43m2
DEMOSTRACIÓN GENERAL
De las fórmulas generales de ternas enteras para:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑦=
𝑥 2 −𝑘 2
2𝑘
𝑧=
𝑥 2 +𝑘 2
2𝑘
El área del rectángulo amarillo es: 𝐴 𝑅𝐴 = 2𝑧 × 𝐷
Área rectángulo rojo: 𝐴 𝑅𝑅 = 𝑦𝑧
𝑥 2 −𝑘 2
)
2𝑘
𝐴 𝑅𝑅 = 𝑦𝑧 = (
𝑥 2 +𝑘 2
)
2𝑘
(
=
Y: 𝐴 𝑅𝐴 =
𝑥 4 −𝑘 4
4𝑘 2
D = AA’ = √(2𝑥 + 𝑧)2 + 𝑦 2
𝐷 = √4𝑥 2 + 4𝑥𝑧 + 𝑧 2 + 𝑦 2
2
Finalmente tenemos que: 𝐴 𝑇 =
𝑥 2 +𝑘 2
𝑘
La fórmula para cateto primo, k = 1:
∗ √(2𝑥 +
𝑥 2 +𝑘 2 2
)
2𝑘
𝑥 2 −𝑘 2 2
)
2𝑘
+(
Las dos semi circunferencias amarillas hacen una
circunferencia entera cuya área es:
La diagonal AA’ se determina aplicando el
teorema de Pitágoras
𝑥2 + 𝑘2
𝑥2 − 𝑘2
𝐷 = √(2𝑥 +
) +(
)
2𝑘
2𝑘
𝑥 2 +𝑘 2
𝑘
2
× √(2𝑥 +
2
𝑥2 + 𝑘2
𝐴𝐶𝐴 = 𝜋𝑅 = 𝜋𝑧 = 𝜋 (
)
2𝑘
El área amarilla total es área del rectángulo
amarillo más área de la circunferencia amarilla
ARA+ACA
𝐴 𝑇 = 2𝑧 × 𝐷 + 𝜋𝑧 2
2
𝑥 2 +𝑘 2 2
)
2𝑘
𝑥 2 −𝑘 2 2
)
2𝑘
+(
𝐴 𝑇 = (𝑥 2 + 1) × √(2𝑥 +
2
2
𝑥 2 +𝑘 2
)
2𝑘
+𝜋(
𝑥 2 +1 2
)
2
𝑥 2 −1 2
)
2
+(
2
𝑥 2 +1
)
2
+𝜋(
El teorema de Pitágoras
GENERACIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS EN R+
Aunque este tratado considera preferentemente relaciones numéricas de
números Z+, no puedo evitar caer subyugado a mostrar la extensión de la
generación de ternas pitagóricas al conjunto de números R+.
Ruben Darío Muñoz López
GENERACIÓN DE TERNAS DE PITÁGORAS EN R+
La extensión del método de generación de
ternas R+ es posible cumpliendo las mismas
reglas para Z+.
de números reales positivos en los que basta
aplicar las fórmulas generales para determinar
los valores de x, y, z conociendo x y k
CASO GENERAL:
La hipotenusa “z” excede al cateto mayor “y”
en una cantidad “k” menor o igual al cateto
menor x.
EJEMPLO 1
𝒙 = 𝟑. 𝟓 ∧ 𝒌 = 𝟎. 𝟕
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ R+
𝑠𝑖: 𝑧 = 𝑦 + 𝑘
𝑧>𝑦>𝑥>𝑘>0
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2,
𝑦=
3.52 − 0.72
= 8.4
2(0.7)
𝑧 = 8.4 + 0.7 = 9.1
3.52 + 8.42 = 9.12
EJEMPLO 2
𝒙=𝛑 ∧ 𝒌=𝝅⁄𝟐
Dada las ecuaciones:
𝑥2 − 𝑘2
𝑦=
⋯ 𝐸𝑐. 𝑅. 1.1
2𝑘
𝑦=
𝑧 = 𝑦 + 𝑘 ⋯ 𝐸𝑐. 𝑅. 1.2
π2 − (𝜋 ⁄ 2)2 3
= π
2(𝜋 ⁄ 2)
4
𝑧 = 3/4 π + 𝜋/2 = 5𝜋/4
𝑥2 + 𝑘2
𝑧=
⋯ 𝐸𝑐. 𝑅. 1.3
2𝑘
π^2 + (3/4 π)^2 = (5/4 π)^2
EJEMPLO 3
Hallar las expresiones algebraicas para las
ternas pitagóricas reales cuyo cateto menor está
dada por la siguiente función:
x = n (n + 1) / 2, para k = n.
𝒏(𝒏 + 𝟏)
∧ 𝒌=𝒏
𝟐
DEMOSTRACIÓN
Si: 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑧 = 𝑔(𝑥)
𝒙=
Entonces:
𝑦 → 𝑓(𝑥)
𝑘 = 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)
2
2
𝑥 +𝑦 = 𝑧
2
𝑧 → 𝑔(𝑥)
2
→ 𝑥 +
[𝑓(𝑥)]2
=
[𝑔(𝑥)]2
Por definición si: 𝑘 ∈ 𝑅 + ⇒ 𝑥 ≥ 0
Por tanto, para: 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑥 se cumple que
𝑓(𝑥) → 𝑔(𝑥)
Evidentemente el valor máximo que puede
asumir “k” es x para valores positivos de las
ternas. Caso contrario si: 𝑘 = 𝑥 entonces:
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
=0 ∧𝑧 =0+𝑘 =𝑥
2𝑘
La terna estaría conformada por: (x – 0 – x), es
decir un triángulo nulo. A continuación, unos
ejemplos de generación de ternas de Pitágoras
2
𝑛(𝑛 + 1)
] − 𝑛2
2
𝑦=
2𝑛
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 + 3)
𝑦=
8
[
2
𝑛(𝑛 + 1)
] + 𝑛2
2
𝑧=
2𝑛
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 + 3) + 8𝑛
𝑧=
8
[
“y” y “z” son expresiones algebraicas enteras.
n
1
5
8
9
13
16
17
21
24
25
29
32
33
37
40
41
45
48
x
1
15
36
45
91
136
153
231
300
325
435
528
561
703
820
861
1035
1176
y
0
20
77
108
312
570
680
1260
1863
2100
3248
4340
4752
6660
8385
9020
11880
14382
z
1
25
85
117
325
586
697
1281
1887
2125
3277
4372
4785
6697
8425
9061
11925
14430
x2
1
225
1296
2025
8281
18496
23409
53361
90000
105625
189225
278784
314721
494209
672400
741321
1071225
1382976
y2
z2
0
1
400
625
5929
7225
11664
13689
97344
105625
324900
343396
462400
485809
1587600
1640961
3470769
3560769
4410000
4515625
10549504 10738729
18835600 19114384
22581504 22896225
44355600 44849809
70308225 70980625
81360400 82101721
141134400 142205625
206841924 208224900
x'
1
3
36
5
7
68
9
11
100
13
15
132
17
19
164
21
23
196
y'
0
4
77
12
24
285
40
60
621
84
112
1085
144
180
1677
220
264
2397
z'
1
5
85
13
25
293
41
61
629
85
113
1093
145
181
1685
221
265
2405
MCD
1
5
1
9
13
2
17
21
3
25
29
4
33
37
5
41
45
6
Análisis de datos:
Resulta interesante que la distribución de la serie n, para que arroje ternas, solamente, enteras está dada
por la diferencia entre elementos según la serie alternada: 4, 3, 1 en la que se distribuyen los elementos
de “n” empezando en 1. Es decir, de 1 a 5, la distancia es 4 unidades, de 5 a 8 la distancia es de 3
unidades y de 8 a 9 la distancia es de 1 unidad; y esta distribución numérica se repite cíclicamente.
Analizando un poco más a profundidad se puede determinar que en si los elementos que arrojan ternas
enteras se distribuyen en una serie determinada por los siguientes sextales: 1, 5, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 6.
Con excepción de la terna 36 – 77 - 85 (en realidad es parte del comportamiento y distribución de estas
ternas) es la única terna irreductible, el resto todas son reductibles a ternas primitivas. Siendo las
siguientes bastante interesantes, pues coinciden con ternas cuyo MCD se incrementa en 1 unidad:
n
8
16
24
32
40
48
56
64
x
36
136
300
528
820
1176
1596
2080
y
77
570
1863
4340
8385
14382
22715
33768
z
85
586
1887
4372
8425
14430
22771
33832
x'
36
68
100
132
164
196
228
260
y'
77
285
621
1085
1677
2397
3245
4221
z'
85
293
629
1093
1685
2405
3253
4229
MCD
1
2
3
4
5
6
7
8
x'
3
7
9
15
19
21
27
228
31
y'
4
24
40
112
180
220
364
3245
480
z'
5
25
41
113
181
221
365
3253
481
MCD
5
13
17
29
37
41
53
7
61
Estas ternas tienen como MCD un numero primo
n
5
13
17
29
37
41
53
56
61
x
15
91
153
435
703
861
1431
1596
1891
y
20
312
680
3248
6660
9020
19292
22715
29280
z
25
325
697
3277
6697
9061
19345
22771
29341
Ruben Darío Muñoz López
FUNCIÓN PITAGÓRICA Y CONTINUIDAD
k
2
4
6
8
10
12
18
20
24
30
36
40
50
x
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
y
899
448
297
221
175
144
91
80
63
45
32
25
11
z
901
452
303
229
185
156
109
100
87
75
68
65
61
900
Cateto Mayor Y
800
Hipotenusa Z
700
600
500
400
60 2 + y 2
=z2
20
30
300
200
100
0
0
5
10
15
25
35
40
45
50
En realidad, las ternas que cumplen el teorema de Pitágoras para un cateto menor dado no son funciones
discretas, para valores intermedios de k que pertenece a R, se puede establecer una función continua,
entre un rango preestablecido. Así entre 2 y 4 que determinan valores enteros, es decir 2 < k < 4 para
k=3 las ternas correspondientes para x = 60 arroja, y = 589.5 y z = 601.5. Y para k=1 se tendrá x = 60,
y = 1799.5 y un valor de z = 1801.5. De esta forma para valores comprendidos entre ak, bk existirán
infinitos valores ki que determinan una función continua entre el rango ak, bk. Existe un punto de
discontinuidad para k=0, pues no existe división por cero y para valores negativos de k se tendrá una
traza funcional que sale del I cuadrante. Lo mismo sucede para valores mayores de La diferencia
pitagórica k > x, donde la función puede llegar a cortar al eje de las abscisas y la traza funcional salir
del I cuadrante. Así por ejemplo para k=70 se tiene x=60, y = -9.2857142… y para z = 60.7142857…
Cateto Mayor Y
2
2
60 + y = z
k=z-y
k→R
2
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Hipotenusa Z
10 20 30 40 50 60 70 80
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS COMO FUNCIÓN DE VARIABLE DISCRETA
Es posible relacionar tres funciones de variable
discreta: x = f(n); y = g(n); z = h(n) que
cumplan la relación pitagórica de ternas enteras
para un triángulo rectángulo. Por ejemplo, las
ternas pitagóricas siguientes cumplen las
funciones dadas para:
𝑥 = 𝑓(𝑛) ∶ 𝑛2 − 1 ∧ 𝑘 = 1; tenemos:
𝑦 = 𝑔(𝑛) =
[𝑓(𝑛)]2 − 𝑘 2
2𝑘
[𝑛2 − 1]2 − (𝑛 − 1)2
𝑦 = 𝑔(𝑛) =
2(𝑛 − 1)
𝑦=
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 + 2)
2
𝑧 = ℎ(𝑛) =
[𝑓(𝑛)]2 + 𝑘 2
2𝑘
𝑧 = ℎ(𝑛) = 𝑔(𝑛) + 𝑘 = 𝑔(𝑛) + (𝑛 − 1)
𝑧=
[𝑛 − 1]2 + 1 𝑛2 − 2𝑛 + 2
=
2
2
n
2
4
6
8
10
12
x
1
3
5
7
9
11
y
0
4
12
24
40
60
z
1
5
13
25
41
61
Se observa que n es par y que las ternas
corresponden a aquellas de cateto menor impar
y como k = 1 y por tanto irreductibles.
MISCELÁNEA
Existirá algún numero primo que escape a la
siguiente proposición:
Así en la tabla se puede observar
n
1
2
3
4
5
6
7
8
x
0
3
8
15
24
35
48
63
y
0
4
15
36
70
120
189
280
z
0
5
17
39
74
125
195
287
Obsérvese que los conjuntos correspondientes a
los lados de los triángulos rectángulos
obtenidos son series fácilmente determinables.
En caso del conjunto “x” los elementos se
distancian en función de los números impares:
3, 5, 7, 9… etc.
EJERCICIO
Las ternas pitagóricas siguientes cumplen la
función dada para 𝑥 = 𝑓(𝑛) ∶ 𝑛 − 1 ∧ 𝑘 = 1;
determine las funciones discretas para y y z.
𝑦=
[𝑓(𝑛)]2 − 𝑘 2
2𝑘
[𝑛 − 1]2 − 1 𝑛2 − 2𝑛 𝑛(𝑛 − 2)
𝑦=
=
=
2
2
2
[𝑓(𝑛)]2 + 𝑘 2
𝑧=
2𝑘
x
3
5
7
11
13
RETO:
a
4
12
24
60
84
b
3
35
143
899
1763
c
5
37
145
901
1765
Ruben Darío Muñoz López
FUNCIÓN TERNA DE CATETO MENOR
CUADRADO PERFECTO
EJERCICIO TERNAS CON RADICALES
Si: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Las siguientes funciones determinan ternas que
cumplen con la siguiente condición: El cateto
menor es un cuadrado perfecto y la diferencia
entre hipotenusa y cateto mayor es la raíz
cuadrada del cateto menor 𝒛 − 𝒚 = √𝒙
𝟐
Para 𝒙 = 𝒏 ∧ 𝒌 = 𝒏.
procedimiento general:
Aplicando
𝑦=
𝑛4 − 𝑛2
𝑛3 − 𝑛
⇒𝑦=
2𝑛
2
𝑧=
𝑛4 + 𝑛2
𝑛3 + 𝑛
⇒𝑧=
2𝑛
2
n x=n
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
10 100
11 121
11 121
2
y
3
12
30
60
105
168
252
360
495
660
660
Y se cumple que:
√𝑎√𝑎√𝑎√𝑎 … = 3
el
√𝑏√𝑏√𝑏√𝑏 … = 4
z
5
15
34
65
111
175
260
369
505
671
671
√𝑐√𝑐 √𝑐√𝑐 … = 5
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11
Hallar:
√𝑎 + 𝑏 + 𝑐√𝑎 + 𝑏 + 𝑐√𝑎 + 𝑏 + 𝑐√𝑎 + 𝑏 + 𝑐 …
Primeramente, determinamos una expresión
general para determinar el valor de la variable
√𝑥√𝑥 √𝑥√𝑥 … = 𝑁
Las siguientes funciones determinan ternas
pitagóricas enteras que cumplen las funciones
dadas.
Elevando al cuadrado
𝑥 √𝑥√𝑥 √𝑥 … = 𝑁 2
x
y
z
z-y
n2
𝒏𝟑 − 𝒏
𝟐
𝒏𝟑 + 𝒏
𝟐
k=n
Pero: √𝑥 √𝑥√𝑥 √𝑥 … = 𝑁
Reemplazando y simplificando:
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙 = 𝒏 ; 𝒚 = 𝒙 − 𝟏; 𝒛 = 𝒙 + 𝟏)
𝑥𝑁 = 𝑁 2 ⟹ 𝑥 = 𝑁
Finalmente aplicando la fórmula deducida:
3 + 4 + 5 = 12
El teorema de Pitágoras
TERNAS DE ÁREA Y PERÍMETRO IGUALES
K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
X
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Y
12
8
6.66667
6
5.6
5.33333
5.14286
5
4.88889
4.8
4.72727
4.66667
4.61538
4.57143
4.53333
4.5
4.47059
4.44444
4.42105
4.4
4.38095
4.36364
4.34783
Z
13
10
9.66667
10
10.6
11.3333
12.1429
13
13.8889
14.8
15.7273
16.6667
17.6154
18.5714
19.5333
20.5
21.4706
22.4444
23.4211
24.4
25.381
26.3636
27.3478
AREA PERIMETRO
30
30
24
24
23.3333 23.3333333
24
24
25.2
25.2
26.6667 26.6666667
28.2857 28.2857143
30
30
31.7778 31.7777778
33.6
33.6
35.4545 35.4545455
37.3333 37.3333333
39.2308 39.2307692
41.1429 41.1428571
43.0667 43.0666667
45
45
46.9412 46.9411765
48.8889 48.8888889
50.8421 50.8421053
52.8
52.8
54.7619 54.7619048
56.7273 56.7272727
58.6957 58.6956522
Verificación
13
12
11
10
9
CATETOS DE TRIÁNGULO PITAGÓRICOS
Si el área y el perímetro de un triángulo
rectángulo son iguales, la función tiene una
asintota en 4 que es el mínimo valor de "y"
para las ternas pitagóricas de lados enteros.
8
30
24
23.33333333
24
25.2
26.66666667
7
28.28571429
6
30
5
31.77777778
4
33.6
3
35.45454545
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A medida que "x" tiende hacia el infinito, "y" tiende hacia la
asintota 4. El mínimo valor para "y" es 3, por tanto, sólo
quedarian "y = 3 y 4". Planteando un sistema de ecuaciones
se obtien una ecuación cuadrática que implica que sólo
existen dos soluciones.
37.33333333
39.23076923
41.14285714
43.06666667
45
46.94117647
48.88888889
RESUMEN:
Existen sólo 02 triángulos de lados enteros de área y
perimetro igual. Para valores en R existen infinitas
soluciones lo cual es verificable por una ecuación
cuadrática.
50.84210526
52.8
54.76190476
56.72727273
58.69565217
Una interesante novedad lo constituye la propiedad de que es posible determinar los triángulos
rectángulos de lados y perímetros iguales sólo en función de la diferencia pitagórica k, la cual puede
corresponder a cualquier número natural mayor que cero.
2𝑘 2 + 12𝑘 + 16
𝑘
No está de más recalcar que estamos hablando de ternas de triángulos rectángulos dentro del conjunto
de números R+.
EJERCICIO: Determinar la terna o ternas reales que se distancian en 7 y 10 unidades con respecto a “x”.
𝑥 2 + (𝑥 + 7)2 = (𝑥 + 10)2
𝑘=3
𝑦 =𝑥+7 ⟹
𝑥 2 − 32
=𝑥+7
6
𝑥 2 − 6𝑥 − 51 = 0
𝑥=
𝑥=
−(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(−51)
2(1)
6 ± √240
2
𝑥1 = 3 + 2√15 ∧ 𝑥2 = 3 − 2√15
2
(3 + 2√15) − 32
𝑦1 =
6
𝑦1 =
9 + 12√15 + 60 − 9
= 2√15 + 10
6
2
(3 − 2√15) − 32
𝑦2 =
6
𝑦2 =
9 − 12√15 + 60 − 9
= 10 − 2√15
6
𝑧1 = 2√15 + 10 + 3 = 2√15 + 13
z2 = 10 − 2√15 + 3 = 13 − 2√15
Ruben Darío Muñoz López
EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL NUMERO ÁUREO
A continuación, se presentan dos ternas que cumplen el teorema de Pitágoras y que incluyen al número
de oro en su composición.
√5 − 1
𝜑=
= 0.61803398874989484820458683436564…
2
A) PARA EL NUMERO ÁUREO Y RAÍCES INFINITAS
DEMOSTRACIÓN
1
2
𝜑2 − 𝑘 2 𝜑 − 𝜑2 𝜑4 − 1
𝑦𝜑 =
=
=
2
𝑘
2𝜑
𝜑
1
2
𝜑2 + 𝑘 2 𝜑 + 𝜑2 𝜑4 + 1
𝑧𝜑 =
=
=
2
𝑘
2𝜑
𝜑
Finalmente:
2
2
𝜑4 − 1
𝜑4 + 1
𝜑2 + (
) =(
)
2𝜑
2𝜑
𝝋 = √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + ⋯
𝑥=𝜑 ∧ 𝑘=
1
𝜑
𝜑4 − 1
2𝜑
4
𝜑 +1
𝑧𝜑 =
2𝜑
𝑦𝜑 =
𝜑 2 + 𝑦𝜑2 = 𝑧𝜑2
2
4
2
(√1 + √1 + √1 + ⋯ ) − 1
(√1 + √1 + √1 + ⋯ ) + 1
(√1 + √1 + √1 + ⋯ ) +
=
2√1 + √1 + √1 + ⋯
(
)
2√1 + √1 + √1 + ⋯
(
B) PARA EL NUMERO ÁUREO EN FUNCIÓN FRACCIONES INFINITAS
1
𝜑 =1+
1
1+
1
1+
1
1+…
2
4
1+
1+
(
1
1
1+
2
1
2
4
1+
(
+
1
1 + …)
1
1 + …)
1+
(
1+
(
=
1
1 + …)
1
1+
(
(
+1
1
2 1+
1
1
1 + …)
)
1
1+
1
2 1+
(
−1
1
2
4
1
1
1 + …)
)
)
El teorema de Pitágoras
INTERSECCIÓN DE FUNCIONES Y EL NÚMERO ÁUREO
Se estudió a profundidad, que toda TP de
números Z+ depende generalmente del cateto
menor; en realidad, depende de dos valores: el
cateto menor y la diferencia pitagórica “k = z y”; que en algunos casos determina la
parentalidad pitagórica, también estudiada.
En este tratado lo dejaremos como un paréntesis
para mayores ampliaciones en el futuro. Por
tanto, la regla de composición está basada en la
condición particular de que las funciones:
𝑓(𝑎 + 1) 𝑦 𝑔(𝑎2 )
se intercepten en
a+1
a2
k
-4
-3
16
-3
-2
9
-2
-1
4
-1
0
1
0
1
0
1
2
1
2
3
4
3
4
9
4
5
16
19
11
5
1
-1
-1
1
5
11
𝐚𝟐𝛂
491
644
2253
6764
12251
-4
𝐚+𝟏
-
82
93
164
273
366
=
=
=
=
=
-3
2
; para 𝑎2 = 𝑎 + 1
/
aN.
Haciendo arreglos que determinen una
diferencia de potencias, es sumamente fácil
obtener una Terna pitagórica o Terna
pitagórica extendida. Desprendiéndose de los
indicios de la tabla siguiente, vemos que a + 1
en algunos casos es una potencia perfecta de
números Z+, lo cual sirve para plantear TPE por
diferencia de un cuadrado menos una potencia
“n”. Similar a los casos anteriormente
estudiados, estas arrojan TB de factor común
“k”, bajo el arreglo de que las funciones a2 y
a+1 se intercepten en el número áureo; es decir
“El cuadrado de un número positivo es igual al
consecutivo superior de dicho número para
1.618…. (Número áureo).
a
1+√5
Veamos por ejemplo cuando a = 3 se obtiene la
siguiente TPE: partiendo de 32 - 22 = 5
9−4=5
(32 = 5 + 22) * 52
1523 = 535 + 1024
Nota: a+1 y a2 son co primos, cuya
demostración es bastante sencilla, a
continuación, se muestra una relación de
composición de Ternas:
-2
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-1 -2 0
-4
k
𝐚𝟐𝛂
415
551
2095
6491
11891
712
262→4
1523
2622→4
3525
x+1
x2
1
2
3
𝐚+𝟏
-
232
323
244
333
626
4
5
k
=
=
=
=
=
415
551
2095
6491
11891
Definiremos ahora la regla de composición,
planteando la composición ternal:
𝑎2 − (𝑎 + 1) = 𝑘
𝑎2 = (𝑎 + 1) + 𝑘
Hagamos: 𝑎 + 1 = 𝑏 𝑛
EJEMPLO
𝑥 = 3 ∧ 𝑘 = 0.5
𝑦=
32 − 0.52
= 8.75
2(0.5)
𝑧 = 8.75 + 0.5 = 9.25
Multipliquemos toda la expresión por 𝑘 2𝑛
32 + 8.752 = 9.252
𝑘 2𝑛 [𝑎2 = 𝑏 𝑛 + 𝑘]
𝑘 2𝑛 𝑎2 = 𝑘 2𝑛 𝑏𝑛 + 𝑘 2𝑛+1
(𝑎𝑘 𝑛 )2
=
(𝑏𝑘 2 )𝑛
+𝑘
EJERCICIO:
Demostrar que el valor de 𝑘 = √2 − 1 para el
triángulo rectángulo siguiente satisface el
teorema de Pitágoras.
2𝑛+1
Finalmente:
𝑎𝑘 𝑛 = 𝑧
Aplicando Baskhara a la ecuación de
segundo grado que surge luego de aplicar la
fórmula general para hallar ternas
pitagóricas de número en R+ se demuestra
fácilmente.
𝑏𝑘 2 = 𝑥
𝑘=𝑦
𝑧 2 = 𝑥 𝑛 + 𝑦 2𝑛+1
Demostraciones adicionales, si k = 0, es decir
𝑎2 − 𝑎 − 1 = 0
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−1)
2
1 + √5
𝑎=
= 1.618
2
𝑎=
1 − √5
𝑎=
= −0.618
2
Una terna interesante, cuando la diferencia son
dos potencias de primos, y que basta con
multiplicar por 386 para convertirla en TPE.
𝑥=π
𝑘 = 𝜋⁄2
372 − 113 = 38
382𝑥3 (372 − 113 = 38)
3 2
2 3
(37x38 ) − (11x38 ) = 38
20302642 = 158843 + 387
EJEMPLO
𝑥=5 ∧ 𝑘=2
𝑦=
52 − 22
= 5.25
2(2)
𝑧 = 5.25 + 2 = 7.25
52 + 5.252 = 7.252
EJERCICIO
Halla el valor de las circunferencias que tienen
por diámetro a la hipotenusa y al cateto mayor
si la semicircunferencia del cateto menor es el
cuadrado de pi
𝐶𝑥 = π2
2
7
π2 − 𝜋⁄2
𝑦=
= 3⁄4 π
2(𝜋⁄2)
𝑧 = 3⁄4 π + 𝜋⁄2 = 5𝜋⁄4
Por tanto:
3
5
π2 + ( π)2 = ( π)2
4
4
3
𝐶𝑦 = 2πy ⇒ 𝐶𝑦 = π2
2
5
𝐶𝑧 = 2πz ⇒ 𝐶𝑧 = π2
2
El teorema de Pitágoras
PROBLEMA
𝑆𝑖: 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑛 𝜖 𝑁
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
y = 2𝑥
Hallar el menor valor para n de tal forma que sea una raíz cubica perfecta en:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒏𝟑
SOLUCIÓN
𝑥 2 + (2𝑥)2 = 𝑧 2
𝑥 2 + 4𝑥 2 + 5𝑥 2 = 𝑛3
5𝑥 2 = 𝑧 2
10𝑥 2 = 𝑛3 ⇒ 10𝑥 2 = 𝑛( 𝑛2 )
10 = 𝑛
PROBLEMA
Demostrar que no existe solución entera para el siguiente triangulo.
𝑆𝑖: 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑁
12𝑎 + 15𝑏 = 20𝑐
Para empezar, debemos entender que el triángulo no necesariamente es rectángulo, y los exponentes no
necesariamente son iguales, de ser iguales por UTF la solución es automática. Sin embargo, como el
triángulo es obtusángulo, debemos recurrir a otro procedimiento diferente a aplicar el teorema de
Pitágoras.
SOLUCIÓN TRADICIONAL
Presentó la solución de un colaborador en fb, la cual se ha desarrollado en este tratado de forma más
explícita que la propuesta original de Milton Lozano, con finalidad de ser más didáctica para algunos
lectores. En la explicación se presentan todos los pasos al detalle.
(4×5)𝑐
Dividiendo la terna por 3, se verifica que: 3 es racional (factores co primos, no se puede simplificar)
12𝑎 15𝑏 20𝑐 (3 × 4)𝑎 (3 × 5)𝑏 (4 × 5)𝑐
(4 × 5)𝑐
+
=
→
+
=
⇒ 3𝑎−1 × 4𝑎 + 3𝑏−1 × 5𝑏 =
3
3
3
3
3
3
3
Dividiendo la terna por 4, se verifica que:
(3×5)𝑏
4
es racional (factores co primos, no se puede simplificar)
12𝑎 15𝑏 20𝑐 (3 × 4)𝑎 (3 × 5)𝑏 (4 × 5)𝑐
(3 × 5)𝑏
+
=
→
+
=
⇒ 3𝑎 × 4𝑎−1 +
= 4𝑐−1 × 5𝑐
4
4
4
4
4
4
4
Dividiendo la terna por 5, se verifica que:
(3×4)𝑎
5
es racional (factores co primos, no se puede simplificar)
12𝑎 15𝑏 20𝑐 (3 × 4)𝑎 (3 × 5)𝑏 (4 × 5)𝑐 (3 × 4)𝑎
+
=
→
+
=
⇒
+ 3𝑏 × 5𝑏−1 = 4𝑐 × 5𝑐−1
5
5
5
5
5
5
5
SOLUCIÓN POR SEXTALES
12a6 + 15b3 = 20c6+3→3 ≠2 ó 4
Ruben Darío Muñoz López
PROBLEMA
Demostrar que no existe solución entera para el siguiente triangulo.
Si: a, b, c
ϵ N
13𝑎 + 20𝑏 = 21𝑐
131𝑎 + 20𝑏2 = 21𝑐3
𝟐𝟎𝒃𝟐 Establece el cumplimiento de sextales, debido a que el estado de paridad del exponente “b”
determina dos posibilidades, por tanto, es par b=2n; si es impar b=2n+1
𝑐
131𝑎 + 202𝑛
2→4 = 213≠5
𝑐
131𝑎 + 202𝑛+1
2→2 = 213=3
Es decir, si b es par, no existe solución entera; pero si b es impar es posible encontrar al menos una
solución entera. Así mismo los términos del trinomio son co primos, sin embargo, es posible establecer
que existen F°: múltiplos de 3, 4, 5, 7, 13 en los que podrían descomponerse los términos, por ejemplo.
3𝑐3 × 71𝑐 − 131𝑎
22𝑛+1
2
Es decir que el resultado del segundo término de
la ecuación es un múltiplo de 10n por tanto una
cifra que termina en “n ceros”
131𝑎 + (4 × 5)2𝑛+1
= (3 × 7)𝑐3
2
102𝑛+1
=
4
131𝑎 + 42𝑛+1
× 52𝑛+1
= 3𝑐3 × 71𝑐
2
5
22𝑛+1
× 52𝑛+1
=
2
5
3𝑐3 × 71𝑐 − 131𝑎
22𝑛+1
2
EJERCICIO
Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 400, hallar la cantidad de ternas para toda hipotenusa entera.
SOLUCIÓN
El planteamiento se resume en que si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 además de: 𝑥 + 𝑦 + z = 400. Hallar todas las
ternas para z siempre entero. El problema parece complejo, pero en realidad es bastante simple.
400
Las ternas nulas, para x = 0 ó x = 200,
𝑥→
= 117.15 … ∧
determinan los límites que puede asumir los
2 + √2
catetos, es decir para 0 < x < 200, se 𝑧 → 𝑥√2 = 165.68
determina que el límite máximo de la
Es decir, el valor de x esta entre: 0 < x < 117.16
hipotenusa es z < 200.
Entonces: el valor máximo entero para la
2
2
2
2
2
2
hipotenusa es199 que corresponde cuando el
0 + 200 = 200 y 200 + 0 = 200
ángulo entre x y z tiende a cero, en este caso la
A partir de 45° (triángulo isósceles), se hipotenusa entera, sería z = 199. Y el menor
duplican las ternas, intercambiándose los valor es cuando el ángulo tiende a 45° siendo
catetos, por ello para afinar los límites y por tanto el valor entero más próximo 166.
mantener la relación: 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 0
debemos considerar el límite máximo 𝑧 = {166, 167,168, … , 199}
verdadero para el cateto x, y este se da cuando
En conclusión, la cantidad de triángulos cuya
el triángulo es isósceles es decir x = y:
hipotenusa es entera y cuyos lados suman 400
(
400
2 + √2
2
) +(
400
2 + √2
2
) =(
400√2
2 + √2
2
)
es: 34 y sólo existe una y sola una terna
pitagórica entera para 80, 150, 170
El teorema de Pitágoras
CANTIDAD DE TERNAS DE HIPOTENUSA ENTERA PARA PERÍMETRO CONSTANTE
Con base en el ejercicio precedente, vamos a
determinar la cantidad de triángulos rectángulos
de perímetro P para hipotenusa siempre entera.
Es decir, si tres números reales (x, y, z) cumplen
con el teorema de Pitágoras 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ; y
además 𝑥 + 𝑦 + z = 𝑷, se puede determinar un
procedimiento analítico para generalizar el
problema. Si 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 + .
La hipotenusa entera mínima es el valor
redondeado al entero superior de:
𝑃√2
𝑧𝑚𝑖𝑛 =
2 + √2
Por otro lado cuando x = y se produce la simetría
de ternas pitagóricas, solamente se invierte el
sentido de la desigualdad de y > x a x > y, esto
determina otra cota para x para una terna de
catetos iguales; donde: 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑧 2 ⇒ 𝑧 =
𝑥√2 siendo el perímetro:
𝑃
𝑃 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥√2 ⇒ 𝑥 =
(2 + √2)
Con lo que podemos afirmar que:
𝑝
𝑥√2 < 𝑧 ≤ − 1
2
Determinamos que La diferencia pitagórica
depende del cateto menor y el perímetro, según
la expresión de perímetro, podemos despejar k.
Aplicando las expresiones generales de ternas
Conociendo P y z, sea d = P – z:
pitagóricas:
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
𝑦=
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
Se tiene que el perímetro de un triángulo
rectángulo P = x + y + z en función del cateto
menor x y La diferencia pitagórica k está dada
por la expresión:
𝑥 2 + 𝑘𝑥
𝑃=
𝑘
Límites para el cateto x cuando z se aproxima a
45°:
𝑃
0<𝑥<
2 + √2
Límites para el cateto y:
𝑃
𝑃
<𝑦<
2
2 + √2
Límites para la hipotenusa, es decir el mínimo y
máximo valor que puede asumir z:
𝑃√2
𝑃
→ máx 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 < 𝑧 ≤ − 1
2
√2 + 2
La hipotenusa entera máxima es:
𝑃
𝑧𝑚𝑖𝑛 = − 1
2
Por lo tanto, la cantidad de ternas es:
𝑃
𝑃√2
#𝑧𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −
2 2 + √2
𝑃=𝑥+
𝑥2 − 𝑘2 𝑥2 + 𝑘2
𝒙𝟐
+
⇒𝒌=
2𝑘
2𝑘
𝑷−𝒙
El valor de z en función de x y P:
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
𝑥 4 + 𝑥 2 (𝑃 − 𝑥)2
⇒𝑧=
2𝑘
2𝑘(𝑃 − 𝑥)2
𝑥 2 + 2𝑘𝑥 − 𝑘 2
2𝑘
Remplazando por k
𝑑 =𝑥+𝑦 ⇒𝑑 =
𝑑=
𝑥2
𝑥 2 + 2(𝑃 − 𝑥 )𝑥 −
𝑥4
(𝑃 − 𝑥)2
2𝑘
2
2𝑥 − 2𝑑𝑥 + (2𝑑𝑃 − 𝑃2 ) = 0
𝑥=
2𝑑 ± √4𝑑2 − 8(2𝑑𝑃 − 𝑃2 )
4
𝑦=
4𝑑 − 2𝑑 ± √4𝑑2 − 8(2𝑑𝑃 − 𝑃2 )
4
Nota: Por lo tanto, de: 𝑥 2 + 𝑘𝑥 − 𝑃𝑘 = 0
−𝑘+√𝑘 2 +4𝑃𝑘
aplicando Baskhara: 𝑥 =
. El valor
2
de la determinante de la ecuación cuadrática
𝑘 2 + 4Pk > 0 implica que siempre existirá al
menos una solución real siempre y cuando se
considere solamente el valor positivo de la raíz.
Por
otro
lado,
de
z:
𝑧=
𝑥 2 +𝑘 2
2𝑘
⇒𝑥=
√2𝑧𝑘 − 𝑘 2, de donde 2𝑧𝑘 − 𝑘 2 > 0 ⇒ 2𝑧 > 𝑘
Ruben Darío Muñoz López
EJERCICIO
Si la suma de tres lados de un triángulo rectángulo es 400 y la diferencia entre los cuadrados de dos de
ellos es 165 2 determinar si existe una solución entera para un triángulo de lados enteros.
SOLUCIÓN
Del planteamiento del problema.
𝑎2 − 𝑏 2 = 1652 … (1)
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 400 … (2)
0 < 𝑥 < 117.157 < 𝑦 < 𝑧 ≤ 199
Ahora podemos asignar variables a los lados
del triángulo rectángulo (2) por lo cual a = z.
En (1): 𝑎2 − 𝑏 2 = 1652 ⇒ 𝑎2 = 1652 + 𝑏 2
Por lo tanto: a > b y a > 165; lo que determina
No se puede afirmar aun, que la terna a, b, c sea que “a” sería hipotenusa del triángulo
un triángulo rectángulo, por lo cual c no rectángulo buscado.
necesariamente es 165.
Tercero. – de (1) Si c2 = 1652 entonces se
Por tanto, asumamos provisionalmente que:
cumplirá en (2) que a + b = 235.
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 400, tal que x, y, z son los
elementos de una terna pitagórica Real donde:
𝑎2 − 𝑏 2 = 1652 ⇒ (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 1652
z > y > x.
1652
𝑎−𝑏 =
… (5)
235
Evaluemos el comportamiento de x, y, z tal que
𝑎 + 𝑏 = 235 … (6)
el perímetro se mantenga constante en 400:
Igualando las ecuaciones (5) y (6)
Primero. - El valor máximo de la hipotenusa se
𝑎 = 175.4255 …
da cuando x tiende a cero, entonces y tiende a la
𝑏 = 59.5744 …
hipotenusa, es decir:
𝑐 = 165
𝑥 → 0 ⇒ 𝑦 = 𝑧 = 200. Por tanto:
0 + 200 + 200 = 400 ∧ 02 + 2002 = 2002
Por otro lado, aplicando un algoritmo
computacional se encuentra valores para a, b,
Segundo. - Dada la condición z > y > x para no c; pero que no determinan triángulos
duplicar valores el mínimo valor de z se da rectángulos de lados enteros:
cuando los catetos son iguales es decir x = y.
a
b
c
a+b+c
𝑧 = 𝑥√2 ⇒ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥√2 = 400
173
52
175
400
400
187
88
125
400
𝑥=𝑦=
= 200(2 − √2)
2 + √2
219
144
37
400
𝑥 ≅ 117.157 …
Finalmente, agotado el análisis llegamos a la
𝑧 = 200(2 − √2)√2 ⇒ 𝑧 ≅ 165.685 …
conclusión fehaciente de que no existe un
Ahora estamos en condiciones de afirmar que: triángulo rectángulo de lados enteros que
cumpla las condiciones del problema.
z tendría que cumplir que: 166 < 𝑧 ≤ 199
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS POR NÚMEROS COMBINATORIOS Y FACTORIALES
TERNAS PITAGÓRICOS (x y z) POR
NÚMEROS COMBINATORIOS
TERNAS PITAGÓRICAS (x y z) DE
NÚMEROS FACTORIALES.
Aplicando las fórmulas generales de ternas
pitagóricas se tiene que:
𝑛!
𝑛
𝑥=
= ( )
𝑟
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
La factorial de un número está definida por la
siguiente expresión:
𝑛 2
( ) − (𝑟!)2
𝑦= 𝑟
2𝑟!
Por lo tanto, las ternas que cumplen el teorema
𝑛! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 …
de Pitágoras 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 están dadas por las
2
𝑛!
(
) − (𝑟!)2
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑦=
2𝑟!
𝑛 2
( ) + (𝑟!)2
𝑧= 𝑟
2𝑟!
2
𝑛!
) − (𝑟!)2
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑧=
2𝑟!
siguientes expresiones:
𝑥 = 𝑛!
𝑦=
(𝑛!)2 − (𝑟!)2
2𝑟!
𝑧=
(𝑛!)2 + (𝑟!)2
2𝑟!
(
r! → submúltiplo de n!
Otras expresiones
𝑦=
𝑦=
𝑦=
𝑛!2
−(𝑟!)2
2
𝑟! (𝑛−𝑟)!2
2𝑟!
𝑛!2 −𝑟!4 (𝑛−𝑟)!2
2 𝑟!3 (𝑛−𝑟)!2
𝑛!2
2 𝑟!3
(𝑛−𝑟)!2
−
𝑟!
2
r! →submúltiplo de n!
Ruben Darío Muñoz López
DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES PITAGÓRICAS
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y =x3
-125
-64
-27
-8
-1
0
1
8
27
64
125
125
y=x3
100
75
50
25
-5
-4
-3
-2
0
-1
-25 0
1
2
3
4
5
-50
-75
-100
-125
DOMINIO Df DE LA FUNCION y = x 3 son todos los números REALES
RANGO Rf DE LA FUNCION y = x 3 son todos los números REALES
El DOMINIO de una función son todos los
elementos que pertenecen a la variable
independiente, en este caso “x” pertenecientes
al eje de las abscisas del espacio 2D. Así
tenemos en el ejemplo, luego de tabular que los
valores que puede asumir la variable x son todos
los números negativos y todos los números
positivos.
El RANGO de una función son todos los
elementos que pertenecen a la variable
dependiente, en este caso “y” pertenecientes al
eje de las ordenadas del espacio 2D. Así
tenemos en el ejemplo, luego de tabular que los
valores que puede asumir la variable y son todos
los números negativos y todos los números
positivos.
En el caso de las funciones generadas por las
ternas pitagóricas de números enteros positivos,
el Dominio de la función serán todos los
números enteros positivos mayores o iguales a
3. Y el Rango está determinado por las
siguientes expresiones.
Para el cateto mayor:
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
2𝑘
Siendo, por ejemplo, el mínimo valor para
ternas orto pitagóricas 4 para el cateto mayor y
5 para la hipotenusa para k = 1.
Y para la hipotenusa:
𝑧=
𝑥2 + 𝑘2
2𝑘
Las ternas pitagóricas de números enteros
definen están definidas no continuas, es decir de
variable discreta de valor entero. Sin embargo,
si se extiende los conceptos al conjunto de
números reales e incluso complejos, entonces
las funciones presentan continuidad por ende
son derivables.
EJERCICIO
Si m y n son dos números reales positivos
arbitrarios, encuentre un número positivo tal
que:
/2𝑥 2 − 𝑥 − 6/< 𝑚
Si: /𝑥 − 2/< 𝑛
Y: 𝑥 > 0
E indique cual seria la terna para k = 1
SOLUCIÓN
Para mayor comprensión tabularemos la
funcion para algunos valores pequeños
x
m
-1
3
0
6
1
5
2
0
3
9
4
22
Si m es un número R+ mayor que cero, entonces
el minimo valor absoluto que toman la
expresiones es cero.
2
/2𝑥 − 𝑥 − 6/< 𝑚
↓
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 0
Igualando la expresion a cero tenemos:
2𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 ⇒ (2𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0
Resolviendo optenemos:
3
𝑥1 = − 2
𝑥2 = 2
Por tanto, 2 es el único valor entero positivo que
hace el valor absoluto de la expresión igual a
cero y, por ende, menor a cualquier valor
positivo m.
Del mismo modo para n tenemos:
x
n
-1
3
0
2
1
1
2
0
3
1
4
2
Si n es un número R+ mayor que cero, entonces
el minimo valor absoluto que toman la
expresiones es cero.
/𝑥 − 2/< 𝑛
↓
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 0
Igualando la expresion a cero tenemos:
𝑥−2=0⇒𝑥 =2
Por lo cual, 2 es el único valor entero positivo
que hace el valor absoluto de la expresión igual
a cero y, por tanto, menor a cualquier valor
positivo m.
Nota: Ver grafico de función
Para la primera inecuación: Cuando x→0, la
función toma el valor de 6 luego m < 6. Y
cuando x→2, la función toma el valor de 0
luego 0 <m Vemos que la solución corresponde
para un valor cercano a 2. Incluso para todo x
positivo o negativo diferente de 2 se cumple lo
indicado, es decir cuando x tiende a 2, lo mismo
sucede con la segunda expresión, es decir los
valores de ambas expresiones tienden a cero y
el valor absoluto de cero siempre es más
pequeño que cualquier entero positivo.
COMPROBACIÓN
𝐸𝑞 1 : /2(2)2 − 2 − 6/= 0
𝐸𝑞 2 : /2 − 2/= 0
Por tanto, cualquier valor diferente de 2, hara
que el valor de la expresion valor absoluto sea
mayor a cero, en consecuencia, puede existir
siempre un numero real entre cero y dicho valor.
Por lo cual cuando x=2; cualquier valor para n
y m sera siempre mayor que las expresiones del
problema.
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
Aplicando las fórmulas generales, finalmente,
la terna es: 2, 1.5, 2.5.
Desarrollado por Ruben D Muñoz para el grupo:
Más allá del teorema de Pitágoras
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS
FRACCIONARIOS
1
1
1
+
=
𝑃2 𝑄 2 𝑅 2
El teorema de Pitágoras
TEOREMA DE PITÁGORAS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS CUADRÁTICOS
Aplicando las fórmulas generales para la
generación de terna pitagóricas, es posible
determinar inversas cuadráticas de números
enteros positivos que cumplan con el teorema
de Pitágoras.
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 … (1)
Dividiendo (1) entre a2b2c2
1
1
1
+ 2 2 = 2 2 … (2)
2
2
𝑏 𝑐
𝑎 𝑐
𝑎 𝑏
1
1
1
+
=
… (3)
(𝑏𝑐)2 (𝑎𝑐)2 (𝑎𝑏)2
En función del cateto menor y la diferencia
pitagórica k. en (3) remplazando b y c por las
expresiones generales, se tiene:
16𝑘 4
4𝑘 2
4𝑘 2
+
=
(𝑎4 − 𝑘 4 )2 𝑎2 (𝑎2 + 𝑘 2 )2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑘 2 )2
(𝑎4
4
1
+ 2 2
4
2
−𝑘 )
𝑎 (𝑎 + 𝑘 2 )2
1
= 2 2
… (4)
𝑎 (𝑎 − 𝑘 2 )2
Dependiendo de la cantidad de divisores
pitagóricos, la expresión (4) permite determinar
todas las ternas pitagóricas de fracciones
inversas cuadráticas para un valor dado “a” sin
necesidad de conocer loa valores de b y c.
Ejemplo:
Determinar las fracciones cuadráticas para la
terna irreductible: 3, 4, 5
De (3): 𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
1
1
1
+
=
202 152 122
1
1
1
+
=
400 225 144
EJERCICIO
En las siguientes expresiones, hallar las ternas
a, b, c de números enteros positivos, tal que
cumplan que:
a)
b)
c)
1
20402
1
19202
1
𝑎2
1
1
1
𝑎2
1
+ 𝑏2 = 𝑐 2:
1
+ 𝑏2 = 𝑐 2
1
1
+ 𝑏2 = 𝑐 2
1
1
+ 652 = 𝑐 2
Ayuda para la solución
a) Método (4): x=8 y k=2
b) Método (4): x=8 y k=4
c) Método (3): x=8 y k=2
EJERCICIO
Dada la expresión: 𝑎𝑎 + 𝑏 𝑏 = 𝑐 𝑐 , si se divide
por 𝑎𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 demostrar que la siguiente
expresión es absurda Si a = b = c = 2
1
1
1
+
=
𝑏 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎𝑎 𝑐 𝑐 𝑎𝑎 𝑏 𝑏
Reemplazando valores:
1
1
1
+ 𝑎 𝑐= 𝑎 𝑏
𝑏
𝑐
2 2
2 2
2 2
Lo cual es absurdo.
INVERSAS Y OTRAS POTENCIAS DE
TERNAS
Otras relaciones que se desprenden de las ternas
son: Si: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 entonces:
1
1
1
𝑎2 𝑏 2
+
=
∧
+
=1
𝑏 2 𝑐 2 𝑎2 𝑐 2 𝑎2 𝑏 2
𝑐2 𝑐2
PROBLEMA:
Si:
𝑎
𝑏
𝑎𝑎 + 𝑏 𝑏 − 𝑐 𝑐 = (𝑐 2 − 𝑏 2 )2 + (𝑐 2 − 𝑎2 )2
𝑐
De (4):
4
1
1
+
=
2
2
(80)
9(10)
9(8)2
1
1
1
+
=
1600 900 576
1
1
1
+
=
4002 302 242
− (𝑎2 + 𝑏 2 )2
a) Demostrar que: 𝑎𝑎 + 𝑏 𝑏 < 𝑐 𝑐
b) Demostrar que: 2𝑎 + 2𝑏 < 2𝑐
1
1
1
c) Demostrar que: 𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐 2
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUMATORIA DE SERIES RACIONALES
Tomando los elementos de una serie racional, divergente o convergente, es posible encontrar ternas
pitagóricas en R+ tomando como el valor x la sumatoria de la serie y como Resto pitagórico, uno
cualquiera de los elementos de la serie, y con ellos determinar una o varias ternas racionales. Antes de
continuar veamos como ejemplo la siguiente serie racional.
1
∧ 𝑎1 𝜖 ℚ 𝑏, 𝑘 𝜖 ℕ
𝑏𝑘
No cometer el error de considerar que 𝑆𝑖 = 𝑆𝑗 pues son sumarias en
diferentes puntos, y no el valor trascendente que se asume en estos
𝑛
casos. Es oportuno aclarar que la sumatoria tiende hacia un valor
𝑆𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 → 𝑆1 𝜖 ℚ
determinado por la cantidad de términos, sin llegar a ser el valor del
𝑖=1
límite impuesto por “n” así como: 0.9999… ≠ 1
𝑛
La sumatoria en algún punto determinado, no infinito, es por
𝑆𝑗 = ∑ 𝑎𝑗 → 𝑆𝑗 𝜖 ℚ
supuesto una cantidad racional y que se determina por la siguiente
𝑖=1
formula, en la que mcm es el mínimo común múltiplo de los
𝑆𝑖 ≠ 𝑆𝑗 → 𝑆𝑖 ≪ 𝑆𝑗
denominadores de la serie:
𝑚𝑐𝑚 𝑚𝑐𝑚 𝑚𝑐𝑚
𝑚𝑐𝑚
+ 𝑘 + 𝑘 + ⋯+ 𝑘
𝑘
1
1
1
1
1
1
𝑏
𝑏2
𝑏3
𝑏𝑛
𝑎1 = 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 + ⋯ 𝑘 + 𝑘 + ⋯ + 𝑘 = 1
→ 𝑄𝑛
𝑚𝑐𝑚
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑏𝑖 𝑏𝑗
𝑏𝑛
𝑎1 =
1
∑ 𝑎𝑖 → 𝑆1 =
𝑖=1
2
∑ 𝑎𝑖 → 𝑆2 =
𝑖=1
3
∑ 𝑎𝑖 → 𝑆3 =
𝑖=1
4
∑ 𝑎𝑖 → 𝑆4 =
𝑖=1
5
∑ 𝑎𝑖 → 𝑆5 =
𝑖=1
6
∑ 𝑎𝑖 → 𝑆5 =
𝑖=1
1
= 1 → 𝑄1
1
1 1 3
+ = = 1.5 → 𝑄2
1 2 2
1 1 1 11
+ + =
= 1.83333 … . → 𝑄3
1 2 3
6
1 1 1 1 25
+ + + =
= 2.083333 … . → 𝑄4
1 2 3 4 12
1 1 1 1 1 137
+ + + + =
= 2.283333 … . → 𝑄5
1 2 3 4 5
60
1 1 1 1 1 1 49
+ + + + + =
= 2.45 → 𝑄6
1 2 3 4 5 6 20
Como se puede observar, con este ejemplo, a medida que se incrementa “n” el valor de la sumatoria
puede incluso llegar a ser un número racional de fracción exacta como en S2 y S6. Por ello no debemos
asumir que la sumatoria sea necesariamente un número trascendental, en un punto determinado. Así
mismo en cualquier momento es posible determinar la fracción generatriz de la sumatoria. La pregunta
es: ¿en algún punto la sumatoria será entera? Ahora a lo que nos conduce esta dilucidación siguiendo
los caminos del teorema de Pitágoras para ternas en R+
2
𝑥 = ∑ 𝑎𝑖 =
𝑖=1
3
1 1 3
+ = = 1.5
1 2 2
1 1 1 11
𝑥 = ∑ 𝑎𝑖 = + + =
= 1.8333
1 2 3
6
𝑖=1
𝑦=
1.52 − 0.52
=2
2(0.5)
𝑧=
1.52 + 0.52
= 2.5
2(0.5)
𝑦=
1.83332 − 0.52
= 4.875
2(0.5)
𝑧=
1.83332 + 0.52
= 5.2083 …
2(0.5)
El teorema de Pitágoras
TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS
COMPLEJOS
𝑦=
𝑥 2 − (𝑘𝑖)2
2𝑘𝑖
𝑥 2 + (𝑘𝑖)2
𝑧=
= 𝑦 + 𝑘𝑖
2𝑘𝑖
Ruben Darío Muñoz López
A pesar de que en este tratado se ha restringido
el estudio del trinomio: 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑐 al
conjunto de números Z+, la tentación de
generalizar y extender el método para la
generación de ternas pitagóricas a otros
conjuntos de números resulta irresistible para
una mente que se deleita en el rigor del universo
matemático. Pues bien, en este apartado
veremos que los principios estudiados para la
GTP de números Z+ se extienden perfectamente
al Conjunto de Números Complejos.
Para todo 𝒙 ∈ ℂ ; y que es un número de la
forma: 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Aplicando las fórmulas generales de TP,
determina los terniles complejos:
𝑦=
(𝑎 + 𝑏𝑖)2 − 𝑘 2
2𝑘
𝑧=
(𝑎 + 𝑏𝑖)2 + 𝑘 2
2𝑘
DEMOSTRACIONES
Desarrollando para y, para todo k:
𝑧=
𝑎2
+ 𝑎𝑖
2
Para mayor comprensión se anexan las
propiedades básicas de números complejos de
conocimiento general y dominio público.
EJEMPLO
2
2
7
9
(3 + 𝑖)2 + ( + 3𝑖) = ( + 3𝑖)
2
2
PROPIEDADES NÚMEROS COMPLEJOS
La suma de dos números complejos no puede
ser cero, a menos que cada una de sus
componentes sea cero. Por tanto, 𝑎 + 𝑐𝑖 ≠ 0 . A
menos que: 𝑎 = 0 ∧ 𝑐 = 0.
Si dos números complejos son iguales, entonces
cada una de sus componentes reales e
imaginarais son iguales correspondientemente.
𝑎 + 𝑐𝑖 = 𝑏 + 𝑑𝑖 ⟹
𝑎=𝑏 ∧ 𝑐=𝑑
ADICIÓN:
𝐴 = 𝑎 + 𝑐𝑖 ∧ 𝐵 = 𝑏 + 𝑑𝑖
𝑦=
(𝑎 + 𝑏𝑖)2 − 𝑘 2
2𝑘
𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 + (𝑐 + 𝑑)𝑖
𝑥 =𝑎+𝑏 ∧ 𝑦 =𝑐+𝑑
𝑦=
𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 − 𝑏 2 − 𝑘 2
2𝑘
𝐴 + 𝐵 = 𝑥 + 𝑦𝑖
Si k = 1 entonces:
𝑎2 − 𝑏 2 − 1
𝑦=
+ 𝑎𝑏𝑖
2
DIFERENCIA O SUSTRACCIÓN:
𝐴 = 𝑎 + 𝑐𝑖 ∧ 𝐵 = 𝑏 + 𝑑𝑖
Si k = 1 y b = 1 entonces:
𝐴 + 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 + (𝑐 − 𝑑)𝑖
𝑥 =𝑎−𝑏 ∧ 𝑦 =𝑐−𝑑
𝑦=
𝑎2 − 2
+ 𝑎𝑖
2
𝐴 − 𝐵 = 𝑥 − 𝑦𝑖
Desarrollando para z:
𝑧=
(𝑎 + 𝑏𝑖)2 + 𝑘 2
2𝑘
𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 − 𝑏 2 + 𝑘 2
𝑧=
2𝑘
Si k=1 entonces:
𝑎2 − 𝑏 2 + 1
𝑧=
+ 𝑎𝑏𝑖
2
Si k=1 y b=1 entonces:
MULTIPLICACIÓN:
𝐴 = 𝑎 + 𝑐𝑖 ∧ 𝐵 = 𝑏 + 𝑑𝑖
𝐴𝑥𝐵 = 𝑎𝑏 + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑖 − 𝑐𝑑
𝐴𝑥𝐵 = 𝑎𝑏 − 𝑐𝑑 + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑖
𝑥 = 𝑎𝑏 + 𝑐𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑
𝐴𝑥𝐵 = 𝑥𝑦𝑖
El teorema de Pitágoras
POTENCIAS NOTABLES
𝐴2 = (𝑎 + 𝑏𝑖)2 = (𝑎2 − 𝑏 2 ) + 2𝑎𝑏𝑖
𝐵2 = (𝑎 − 𝑑𝑖)2 = (𝑎2 − 𝑑2 ) − 2𝑎𝑑𝑖
CONJUGADA
𝐴 = 𝑎 + 𝑐𝑖
𝐴 = 𝑎 − 𝑐𝑖
𝐴 𝐴 = 𝑎2 + 𝑐 2
𝑥 = 𝑎2 − 𝑐 2 ∧ 𝑦 = 2𝑎𝑐
COCIENTE O DIVISIÓN
𝐴 = 𝑎 + 𝑐𝑖 ∧ 𝐵 = 𝑏 + 𝑑𝑖
RAÍZ
La raíz cuadrada es un valor que pertenece a R+
al que denominamos valor absoluto módulo del
número complejo
𝐴 = 𝑎 + 𝑐𝑖
𝐴 𝑎 + 𝑐𝑖 (𝑎 + 𝑐𝑖)(𝑏 − 𝑑𝑖)
=
=
𝐵 𝑏 + 𝑑𝑖 (𝑏 + 𝑑𝑖)(𝑏 − 𝑑𝑖)
|𝐴|2 = 𝐴 𝐴 = 𝑎2 + 𝑐 2
𝐴 (𝑎𝑏 + 𝑐𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
=
𝐵
𝑏2 + 𝑑2
𝐴 (𝑎𝑏 + 𝑐𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
=
𝐵
𝑏2 + 𝑑2
𝐴 (𝑎𝑏 + 𝑐𝑑) (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
= 2
+ 2
𝐵
𝑏 + 𝑑2
𝑏 + 𝑑2
|𝐴| = √𝑎2 + 𝑐 2
𝑥=
En definitiva, el siguiente gráfico define la
relación dependiente de La diferencia pitagórica
en los diferentes conjuntos numéricos.
(𝑎𝑏 + 𝑐𝑑)
(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)
∧ 𝑦= 2
2
2
𝑏 +𝑑
𝑏 + 𝑑2
𝐴
= 𝑥 + 𝑦𝑖
𝐵
TEOREMA DE PITÁGORAS COMPLEJO PAR k = 1
2
𝑎2 − 𝑏 2 − 1
𝑎2 − 𝑏 2 + 1
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (
+ 𝑎𝑏𝑖) = (
+ 𝑎𝑏𝑖)
2
2
2
2
Ruben Darío Muñoz López
MATRICES PITAGÓRICAS
El teorema de Pitágoras
MATRICES Y TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS ENTEROS.
Antes de proceder con las explicaciones
dejamos el reto de encontrar la regla de
vinculación del número indicando p. Como
ayuda se indica que la vinculación está de por
medio números primos:
p → 25398.
Dada las siguientes vinculaciones:
3145 → 7153
511213 → 401271
Para los que no han podido encontrar con
facilidad la operación que vincula el
antecedente con el consecuente, Ahora
imaginen que los números fuesen de cientos de
cifras.
El ordenamiento sextal de las ternas pitagóricas
se presentan también en las matrices,
especialmente en las matrices de 2 x 2. Si se
construye una matriz con los cuatro términos
fundamentales de una terna pitagórica de la
siguiente manera: posición superior izquierda
para el cateto menor, posición superior derecha
para La diferencia pitagórica k = 1, posición
inferior izquierda para el cateto mayor “y” y
posición inferior derecha para la hipotenusa.
𝐱 𝟏
[
]
𝐲 𝐳
Este ordenamiento para el caso de las ternas
pitagóricas primas para k = 1; nos conduce a
ciertas propiedades con números primos.
𝐱 𝟏
] se sabe que, si “x” es un
𝐲 𝐳
número primo del primer y quinto sextal, la
hipotenusa pertenece al sextal primo w1, es decir
en muchos casos, el valor de la hipotenusa es un
número primo impar. Teniendo una estructura
de la forma:
Dada la matriz: [
[
𝒙 𝝐 𝒘𝟏
𝒚 𝝐 𝒘𝟔
𝟏
𝒙 𝝐 𝒘𝟓
] Ó [
𝒛 𝝐 𝒘𝟏
𝒚 𝝐 𝒘𝟔
𝟏
]
𝒛 𝝐 𝒘𝟏
x 1
] Si x es primo
𝑦 𝑧
prino o prico, entonces z también puede ser
primo.
Es decir, dada la matriz:[
Del mismo modo, el cuadrado de dicha matriz:
x 12
p 1
[
] =[
]
𝑦 𝑧
𝑟 𝑞
Si x es primo prino o prico, entonces p y/o q es
primo.
En general matriz de 2x2 elevada a una potencia
cualesquiera “para un ordenamiento ternal de
un triángulo rectángulo de números naturales,
puede contener al menos un numero primo
impar mayor a 3.
La terna más pequeña de números naturales por
ejemplo tendría la siguiente estructura:
3
[
4
1
]
5
Ruben Darío Muñoz López
PRODUCTO DE DOS MATRICES DE 2X2
La regla de composición básica es el producto de dos matrices que está definido por
A 𝐵
Aa + Bc Ab + Bd
a 𝑏
[
]×[
]=[
]
𝐶 𝐷
Ca + Dc Cb + Dd
𝑐 𝑑
A continuación, presentamos un conjunto de ternas estructuradas en matrices para k=1 cuyas potencias
presentan la primalidad de al menos alguno de sus términos. Para el caso del cuadrado de una matriz
2x2 cuyos términos son los elementos de una terna pitagórica prima está dada por.
x2 + 𝑦
𝑥+𝑧
x 12
[
] =[
] → x 2 + 𝑦 ó 𝑦 + 𝑧 2 Son primos o seudo primos
𝑦 𝑧
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧
𝑦 + 𝑧2
EJEMPLOS
3 12
13 8
[
] =[
]
4 5
32 29
[
3 13
𝟕𝟏 𝟓𝟑
] =[
]
4 5
212 177
[
𝟑𝟕
18
5
1 2
] =[
]
216 𝟏𝟖𝟏
12 13
[
𝟒𝟎𝟏 𝟐𝟕𝟏
5
1 3
] =[
]
3252 2569
12 13
[
7
1 2
𝟕𝟑 32
] =[
]
24 25
768 649
[
7
1 2
𝟏𝟐𝟕𝟗
873
] =[
]
24 25
20952 16993
[
9
1 2
121
50
] =[
]
40 41
2000 1721
[
9
1 3
𝟑𝟎𝟖𝟗
2171
] =[
]
40 41
868440 72561
[
11 1 2
𝟏𝟖𝟏
72
] =[
]
60 61
4320 3781
[
13 1 2
253
98
] =[
]
84 85
8232 7309
APLICACIÓN PARA CLAVES INFORMÁTICAS
La aplicación inmediata, se percibe en la encriptación bajo diversos esquemas, por ejemplo, para un
hacker no tendría sentido la vinculación de:
1116061→18172
914041 → 30892171
Que simplemente se relaciona la terna prima con su respectivo valor “k” a la fila superior del cubo de la
matriz 2x2 que dio origen a una matriz que es su cubo así por ejemplo:
3 13
71
53
Entonces 3145 → 7153
[
] =[
]
4 5
212 177
Esto nos lleva un nivel mayor de dificultad de forma simple y sencilla de manejar para un ordenador,
per que dificulta al intruso al no encontrar operaciones “aritméticas lógicas” en apariencia.
𝒘𝟏 𝒘𝟐
𝒘𝟏 𝒘𝟔
𝒘
𝟏 𝟐
𝒘
𝟏 𝟐
[ 𝟏
] = [𝒘 𝒘 ]
[ 𝟓
] = [𝒘 𝒘 ]
𝒘𝟔 𝒘 𝟏
𝒘
𝒘
𝟔
𝟏
𝟔
𝟏
𝟔
𝟏
Así tenemos que, dada la matriz M [x,k,y,z] para x primo, entonces M2 [x,k,y,z] →P; es decir al menos
tiene un número primo en su composición. La complejidad se multiplicaría hasta niveles indescifrables
para números inmensamente grandes si se desconoce la regla de composición.
La regla de composición es particular, es decir se puede conformar un conjunto de operaciones para los
términos de las matrices, de tal forma que solo el programador las defina, siempre claro está aplicando
la ley del menor esfuerzo a fin de agilizar y no sobrecargar los procesos de cómputo. Por el momento se
viene engendrando la idea de utilizar esquemas gráficos que vinculen números primos para el mismo
propósito, pero recalco aún está en el tablero de dibujo.
El teorema de Pitágoras
CALCULO DE LA DETERMINANTE DEL CUADRADO DE UNA MATRIZ DE 2 X 2
Una relación muy interesante es la siguiente, en la que la determinante del resultado de calcular el
cuadrado de na matriz de 2 x 2 en la que los elementos son las ternas pitagóricas enteras co-primas para
k=1, resulta un cuadrado perfecto:
[
x
𝑦
3
[
4
x2 + 𝑦
12
] =[
𝑧
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧
12
13
] =[
5
32
𝑥+𝑧
] → (x 2 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧 2 ) − (𝑥 + 𝑧)(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧) = (𝑦 − 𝑥𝑧)2
𝑦 + 𝑧2
8
] → 13 × 29 − 8 × 32 = 1125 ↔ 3 × 5 − 1 × 4 = 1125
29
5
[
12
𝟑𝟕
18
1 2
] =[
] → 37 × 181 − 18 × 216 = 5325 ↔ 5 × 13 − 1 × 12 = 5325
216 𝟏𝟖𝟏
13
7
[
24
1 2
𝟕𝟑
32
] =[
] → 73 × 649 − 32 × 768 = 15112 …
25
768 649
9
[
40
1 2
121
50
] =[
] → 121 × 1721 − 50 × 2000 = 32925 …
41
2000 1721
11
[
60
1 2
𝟏𝟖𝟏
72
] =[
] → 181 × 3781 − 72 × 4320 = 61125 …
61
4320 3781
13
[
84
1 2
253
98
] =[
] → 253 × 7309 − 98 × 8232 = 202125 …
85
8232 7309
Para cubos:
3
[
4
13
𝟕𝟏 𝟓𝟑
] =[
] → 71 × 177 − 53 × 212 = 1135
5
212 177
5
[
12
𝟒𝟎𝟏 𝟐𝟕𝟏
1 3
] =[
] → 401 × 2569 − 271 × 3252 = 5335
3252 2569
13
7
[
24
1 2
𝟏𝟐𝟕𝟗
873
] =[
] → 1279 × 16993 − 873 × 20952 = 15135
25
20952 16993
9
[
40
1 3
𝟑𝟎𝟖𝟗
2171
] =[
] → 3089 × 72561 − 21271 × 868440 = 32935
41
868440 72561
Ruben Darío Muñoz López
UN INTERESANTE EJERCICIO CRIPTOGRÁFICO
Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10
Hallar la suma:
𝑆 = ̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐 + ̅̅̅̅̅
𝑐𝑎𝑏 + ̅̅̅̅̅
𝑏𝑐𝑎
Sin embargo, veremos que es posible determinar S:
Descomponiendo polinómicamente
̅̅̅̅̅ = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐
𝑎𝑏𝑐
E indicar si es posible que se cumpla: ̅̅̅̅̅
𝑐𝑎𝑏 = 100𝑐 + 10𝑎 + 𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
̅̅̅̅̅
𝑏𝑐𝑎 = 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑎
SOLUCIÓN
Sumando términos según el factor
𝑆 = 100(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 10(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
Dado que: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑎, 𝑏, 𝑐 < 10
Factorizando
Y la única terna en este caso es 3, 4, 5 𝑆 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(100 + 10 + 1)
cuya suma es 12, se puede afirmar que Reemplazando a + b + c = 10
𝑆 = 111(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
no se cumple al mismo tiempo que:
𝑆 = 111(10)
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10 ∧ 32 + 42 = 52
𝑺 = 𝟏𝟏𝟏𝟎
El teorema de Pitágoras
EXTENSIONES
En este capítulo se presenta contenido que si bien no está vinculado
directamente con el tema central del libro: Ternas pitagóricas de lados
enteros, si indirectamente, pues gracias al estudio del teorema de Pitágoras
podemos determinar algunas relaciones enteras de cuadriláteros, por ejemplo,
al que hemos llamado:
“El más bello secreto” - Alejandro Silvani-
Ruben Darío Muñoz López
EXTENSIÓN PITAGÓRICA
Se denomina extensión pitagórica a la extensión
del lado más corto de un triángulo obtusángulo
de lados enteros, hasta convertir el triángulo en
rectángulo de lados enteros.
Dado el triángulo obtusángulo de lados enteros
c, d, e tal que e > c > d > 0 se puede determinar
los segmentos a y la extensión b que determinan
con los lados d y e un triángulo rectángulo de
lados a, (b + d), e.
EJERCICIO
Dado el triángulo obtusángulo de lados enteros
c = 15, d = 7, e = 20 determinar analítica o
gráficamente con el uso de una escuadra y un
compás los valores enteros de los segmentos a,
b, f y g que determinan un triángulo rectángulo
de lados a, (b + d + f), g. Tal que se cumpla el
teorema de Pitágoras:
𝑎2 + (𝑏 + 𝑑 + 𝑓)2 = 𝑔2 para: 𝑎, 𝑏, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑍 + .
SOLUCIÓN GRAFICA
Prolongar
el
segmento d por
ambos
extremos
hasta que se pueda
trazar con una
escuadra
las
perpendiculares a y
b, con lo que se
determina
automáticamente
los valores de a y b.
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 . . . (1)
𝑒 2 = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑑)2 … (2)
𝑒 2 = 𝑐 2 + 2𝑏𝑑 + 𝑑2 . . . (3)
De (3) la extensión b del segmento d que se
prolonga para conformar un triángulo
rectángulo es:
𝑒 2 − 𝑐 2 − 𝑑2
𝑏=
… (4)
2𝑑
Con un compás trazar un arco que corte a la
extensión del segmento d con un radio igual a:
Despejando “a” en (1) y remplazando (4)
SOLUCIÓN ANALÍTICA
Aplicando las fórmulas se determinan con
precisión absoluta los valores de:
𝑒 2 − 𝑐 2 − 𝑑2
𝑏=
2𝑑
2
𝑎 = √𝑐 2 − (
𝑒 2 − 𝑐 2 − 𝑑2
) … (5)
2𝑑
El largo total del segmento y = b + d será:
𝑒 2 − 𝑐 2 + 𝑑2
𝑦=
… (6)
2𝑑
EJERCICIO
Hallar los segmentos a y b que determinen un
triángulo rectángulo con los lados d y e si:
𝑐 = 10,
𝑑 = 9 ∧ 𝑒 = 17
SOLUCIÓN
Aplicando las fórmulas (4) y (5)
𝑎 = 8 ∧ 𝑏 = 6 ∧ 𝑦 = 15
La terna pitagórica es: 8, 15, 17.
𝑒=
𝑎2 +4
con lo que quedaran determinados
los valores de los segmentos f y g.
4
2
𝑒 2 − 𝑐 2 − 𝑑2
) = √𝑐 2 − 𝑏 2
2𝑑
𝑎2 − 4 − 4(𝑏 + 𝑑)
𝑓=
4
𝑎 = √𝑐 2 − (
Si a es par, el triángulo rectángulo de lados
𝑎2 +4
enteros máximo esta dado por: 𝑒 =
, con
4
lo que se determinan los valores:
= 12,
𝒃 = 9,
𝒆 = 19 ∧ 𝒈 = 37
Publicado en: Más allá del teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
BISECTOR EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS
El bisector es un segmento de linera recta que
une un vértice de un triángulo con el punto
medio del lado opuesto de dicho triangulo. En
todo triangulo rectángulo de lados enteros, es
decir un triángulo pitagórico, se cumple que la
longitud del bisector que une el vértice del
ángulo recto con el punto medio de la
hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de
𝑧
la hipotenusa, es decir, 𝑓 = 2 y determina con el
cateto menor y la media hipotenusa un triángulo
isósceles de base “x”.
Sabemos que el bisector divide a la hipotenusa
en dos segmentos iguales.
𝑥2 + 𝑘2
𝑧
𝑓 = = 2𝑘
2
2
⟹𝑓=
𝑥2 + 𝑘2
4𝑘
Así mismo sabemos que el bisector “f”
determina dos triángulos isósceles tal como se
observa en la figura adjunta, por tanto.
Para los casos especiales en que k = 1 y k = 2
respectivamente f es igual a:
𝑥2 + 1
𝑓=
4
𝑥2 + 4
𝑓=
8
2
𝛼 = sin−1 (
2
𝑥 −𝑘
)
𝑥2 + 𝑘2
𝛽 = cos −1 (
𝑥2 − 𝑘2
)
𝑥2 + 𝑘2
SOLUCIÓN
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧 2 = 𝑥 2 + (𝑥 + 𝑏)2
𝑧
𝑧 = 2𝑏 ⇒ 𝑏 =
2
𝑧
2
2
𝑧 = 𝑥 + (𝑥 + )2
2
𝑧4
𝑧 2 = 2𝑥 2 + 𝑥𝑧 +
4
⟹ 3𝑧 2 − 4𝑥𝑧 − 8𝑥 2 = 0
4𝑥 ± √16𝑥 2 + 4(3)(8𝑥 2 )
𝑧=
2(3)
𝑧=
2𝑥(1+√7)
;
3
𝑦=
𝑥(4+√7)
;
3
es irracional.
𝑧
𝑦 =𝑥+𝑏 ⟹ 𝑦 =𝑥+
2
𝑥
𝑧
𝑥
=
⟹
=z
sin 𝛽 sin 90
sin 𝛽
𝑥
3
sin 𝛽 = =
𝑧 2(1 + √7)
3
𝛽 = sin−1 [2(1+
Pero: 𝑦 = 𝑥
COROLARIO
La suma de los cuadrados del cateto menor y el
resto pitagórico es múltiplo de 4.
EJERCICIO
Hallar β si y = x + b; f es bisector en el ∆ABC,
es decir divide la hipotenusa en dos segmentos
iguales, donde z = 2b. Por otro lado, f es radio,
por tanto, igual a b es decir a z/2
es irracional.
] = 24.2951°
√7)
𝑧
𝑥 2 −𝑘 2
+ 2 ≠ 2𝑘
Nota: Toda terna entera de un triángulo
rectángulo está dada por las fórmulas
generales de generación de ternas pitagóricas,
llegando a la conclusión que este tipo de
triangulo en el que y = x +b no existe como
terna entera, para x entero, lo cual también
puede demostrase igualando los valores del
cateto mayor y.
Ruben Darío Muñoz López
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO PITAGÓRICO DE LADOS ENTEROS DIFERENTES
Existen infinitos cuadriláteros de lados enteros
diferentes entre sí, que conforman un polígono
convexo cuyo perímetro encierra un área A
entera. Dicho de otro modo: Existen infinitas
cuaternas de números enteros mayores que cero
y diferentes entre sí, cuyo perímetro encierra un
área A entera.
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑍 +
𝑎≠𝑏≠𝑐≠𝑑
𝐴 ∈ 𝑍+
Determinar al menos una solución entera para
un polígono convexo de cuatro lados enteros,
implica determinar la continuidad de la función
A = f(a, b, c, d) en el intervalo [0, x] con x > 0.
Si a, b, c, d > 0 y x ≤ A, entonces: para que existe
una cuaterna a, b, c, d que conformen un
polígono convexo de lados enteros y que
encierre un área entera, la función A,
determinada por a, b, c, d debe mantener la
continuidad en el intervalo 0, x.
El método propuesto en este libro está basado
en un procedimiento sencillo que consiste en
determinar cuadriláteros enteros por diferencia
de triángulos pitagóricos.
Un triángulo rectángulo de lados enteros se
denomina triangulo pitagórico. Está demostrado
que el área de todo triangulo pitagórico es
entera, pues los catetos son siempre pares o par
e impar, jamás son impares al mismo tiempo.
Por tanto, el producto de los catetos siempre es
divisible entre dos. Ahora bien, la diferencia de
dos triángulos pitagóricos siempre es una
cantidad entera.
MÉTODO DE LA DIFERENCIA DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
El método para determinar polígonos convexos
de cuatro lados enteros diferentes utiliza la
propiedad de clausura de números enteros y la
propiedad de que todo triangulo pitagórico
encierra un área entera, por tanto, la diferencia
de dos triángulos pitagóricos que coincidan en
el vértice del ángulo recto genera una diferencia
entera.
En la figura adjunta se aprecia tres ejemplos con
las cuaternas siguientes:
2-5-8-13,
1-5-9-13,
3-4-5-10
A continuación, se va a desarrollar las fórmulas
generales para la determinación de las cuaternas
enteras de cuadriláteros enteros de área entera.
Dados dos triángulos rectángulos de áreas
diferentes, cuyos lados cumplen las siguientes
propiedades.
𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦, 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑧, 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑍 +
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘 ∈ 𝑍 +
𝑑𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 , ∈ 𝑍 +
𝑑𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 , ∈ 𝑍 +
𝑑𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 , ∈ 𝑍 +
𝑎≠𝑏≠𝑐≠𝑑
𝐴1 ∈ 𝑍 +
El teorema de Pitágoras
𝐴1 =
𝑥1 𝑦1
2
𝐴1 =
𝑥13 − 𝑥1 𝑘12
4𝑘1
Para el cuadrilátero entero
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1
PROPIEDADES
1. El área del cuadrilátero es entera.
2. Los lados son enteros positivos diferentes.
3. Las extensiones de dos lados no adyacentes
forman un ángulo recto.
4. Dos lados no adyacentes son hipotenusas de
triángulos pitagóricos.
5. Las diferencias pitagóricas siguen las
mismas reglas asignadas a los triángulos
pitagóricos.
6. Las diferencias entre dos elementos
cualquiera de ambos triángulos pitagóricos
son enteros.
Para el triángulo mayor
𝑦2 =
𝑥22
𝑘22
−
2𝑘2
𝑥22 + 𝑘22
𝑧2 =
2𝑘2
𝑥2 𝑦2
𝐴2 =
2
𝐴2 =
𝑥23 − 𝑥2 𝑘22
4𝑘2
Para el triángulo menor
𝐴 = 𝐴2 − 𝐴1
𝐴2 − 𝐴1 =
𝑥23 − 𝑥2 𝑘22 𝑥13 − 𝑥1 𝑘12
−
4𝑘2
4𝑘1
Determinación del área diferencial
𝐴=
𝑥23 − 𝑥2 𝑘22 𝑥13 − 𝑥1 𝑘12
−
4𝑘2
4𝑘1
𝐴=
𝑘1 (𝑥23 − 𝑥2 𝑘22 ) − 𝑘2 (𝑥13 − 𝑥1 𝑘12 )
4𝑘1 𝑘2
𝑘1 𝑥23 −𝑘2 𝑥13 + 𝑥1 𝑘2 𝑘12 − 𝑥2 𝑘1 𝑘22
𝐴=
4𝑘1 𝑘2
𝐴=
𝑘1 𝑥23 −𝑘2 𝑥13 + 𝑘1 𝑘2 (𝑥1 𝑘1 − 𝑥2 𝑘2 )
4𝑘1 𝑘2
Si k1 = k2 = k
𝑥23 − 𝑥13 + 𝑘 2 (𝑥1 − 𝑥2 )
𝐴=
4𝑘
Si k1 = k2 = k = 1
𝐴=
(𝑥23 − 𝑥13 ) + (𝑥1 − 𝑥2 )
4
𝑦1 =
𝑥12 − 𝑘12
2𝑘1
(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥22 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑥12 − 1)
𝐴=
4
𝑧1 =
𝑥12 + 𝑘12
2𝑘1
𝐴=
∆𝑥(𝑥22 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑥12 − 1)
4
Ruben Darío Muñoz López
EXPRESIONES ENTERAS DERIVADAS
𝐴=
𝐴=
(𝑥23 − 𝑥13 ) + (𝑥1 − 𝑥2 )
4
(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥22 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑥12 − 1)
4
La expresión es entera si y sólo si los valores de x2 y x1 son números primos impares diferentes.
EJERCICIO:
Hallar el cuadrilátero de menor área entera de lados enteros diferentes entre sí y cuya suma sea la
menor posible.
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑍 +
𝑎≠𝑏≠𝑐≠𝑑
𝐴 ∈ 𝑍+
Solución
Por el principio de continuidad de la función A = f(a, b, c, d) para el
intervalo [0, x] tal que x ≤ A se tiene entonces que es suficiente que una
cuaterna conforme un cuadrilátero y tenga como área a 1; por tanto la
solución es: a = 4, b = 3, c = 2 y d = 1.
EJERCICIO:
Hallar los ángulos α y β para que el cuadrilátero de lados 1, 2, 3, 4 tenga un área de 1m2.
Solución: α = 6.8179° y β = 12.9785°
7 − 4𝑚
3
Si: + = 2 Hallar la terna pitagórica de lados
Tabulando para valores pequeños de m:
enteros irreductible cuyo cateto menor sea a + b.
EJERCICIO
𝑎
3
𝑏
4
SOLUCIÓN
Si asumimos que a y b son enteros, a es múltiplo
de 3 y b es múltiplo de 4, es decir:
𝑎 = 3𝑛 ∧ 𝑏 = 4𝑚
Por tanto: 𝑛 + 𝑚 = 2
𝑆𝑖: 𝑛 = 𝑚, ⇒ 𝑛 = 1
𝑎 =3 ∧ 𝑏 =4 ⇒ 𝑎+𝑏 =7
𝑆𝑖 𝑛 ≠ 𝑚:
m
1
2
3
4
5
6
7
8
3𝑛 + 4𝑚 = 7 ⇒ 𝑛 =
n= (7-4m)/3
1
-0.33333
-1.66667
-3
-4.33333
-5.66667
-7
-8.33333
a=3n
3
-1
-5
-9
-13
-17
-21
-25
b=4m
4
8
12
16
20
24
28
32
a+b
7
7
7
7
7
7
7
7
La terna pitagórica de lados enteros irreductible,
es decir la más pequeña cuyo cateto menor es 7
sería: 7 – 24 – 25 tal que 72 + 242 = 252
El teorema de Pitágoras
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS QUE CONFORMAN CUADRILÁTEROS
EJERCICIO
SOLUCIÓN
Si el triángulo ABC es un triángulo de lados Por formula de área de un triángulo rectángulo
𝑥𝑦
enteros cuya área es 150m2, determine el área
𝑇1 =
= 150
2
mínima del rectángulo ADEF de tal forma que
todos los triángulos que lo conforman sean
El único triángulo de lados enteros que
rectángulos de lados enteros
cumple dicha condición le corresponde a la
terna 15, 20, 25
𝑥𝑦 = 15 × 20 = 300
entonces: BC=15, AC=20 y AB=25. Similar
razonamiento se aplica para los triángulos
ACD, ABF y CBE.
Por tanto, las ternas de los otros triángulos
rectángulos de lados enteros que conforman el
rectángulo ADEF son:
BE=9, CE=12 y BC=15
BF=7, AF=24 y AB=25
Planteado para: Más allá del teorema de CD=12, AD=16 y AC=20
Pitágoras - 2020
Un corolario interesante que se desprende es que si los triángulos T2, T3 y T4 son triángulos rectángulos
de lados enteros y T1 tiene área entera: cualquier altura del triángulo ABC será siempre entera; debido
a que el área de un triángulo es un medio la base por altura.
A continuación, se presenta una tabla con algunos casos similares para cuadriláteros de áreas enteras
que están compuestas por cuatro triángulos rectángulos pitagóricos.
TRIANGULO 2
TRIANGULO 3
TRIANGULO 4
AREAS
a1
b1
c1
k1
A2
a2
b2
c2
k2
A3
x
y
z
k
A4
9
12
15
3
54
7
24
25
1
84
16
12
20
8
96
AT
384
A1
150
32
60
68
8
960
13
84
85
1
546
45
24
51
27
540
3780
1734
32
24
40
16
384
13
84
85
1
546
45
60
75
15 1350
3780
1500
20
48
52
4
480
16
63
65
2
504
36
15
39
24
270
2268
1014
18
24
30
6
216
14
48
50
2
336
32
24
40
16
384
1536
600
20
15
25
10
150
16
63
65
2
504
36
48
60
12
864
2268
750
27
36
45
9
486
21
72
75
3
756
48
36
60
24
864
3456
1350
40
96
104
8
1920
32
126
130
4
2016
72
30
78
48 1080
9072
4056
36
48
60
12
864
28
96
100
4
1344
64
48
80
32 1536
6144
2400
40
30
50
20
600
32
126
130
4
2016
72
96
120 24 3456
9072
3000
45
60
75
15 1350
35
120
125
5
2100
80
60
100 40 2400
9600
3750
28
96
100
4
1344
44
117
125
8
2574
72
21
75
54
756
8424
3750
24
45
51
6
540
36
77
85
8
1386
60
32
68
36
960
4620
1734
24
32
40
8
384
36
77
85
8
1386
60
45
75
30 1350
4620
1500
Ruben Darío Muñoz López
DESCOMPOSICIÓN DE UN CUADRADO EN LA SUMA DE TRES CUADRADOS
Es posible descomponer el cuadrado de un
número entero positivo en la suma de tres
cuadrados perfectos. El caso más conocido está
compuesto por: 32 + 42 + 122 = 132, claro que
esta no es una singularidad numérica.
A continuación, vamos a describir un método
que permita hallar potencias cuadradas que
pueden descomponerse en la suma de tres
cuadrados perfectos. En general, se puede
descomponer algunos cuadrados en la suma de
tres cuadrados perfectos mediante métodos
racionales y uno de ellos es el desarrollo del
binomio de Newton:
(𝑥 + 𝑘)𝑛 = ∑
𝑛
𝑛
(𝑘𝑖
)𝑥 𝑘𝑖 𝑘 𝑛−𝑖
𝑖=0
Para n = 2: (𝑥 + 𝑘)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑘 + 𝑘 2 .
Si x + k = z; y 2xk = y2 es un cuadrado perfecto,
el cuadrado del binomio (x + k) es igual a la
suma de tres cuadrados.
2
Para 𝑥 ≥ 𝑘 > 0 tal que 2xk=y se cumple que:
(𝑥 + 𝑘)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑘 + 𝑘 2
⇒ 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑘2
x
k (x+k) 2
x2
y 2 =2xk
k2
2
1
9
4
4
1
8
1
81
64
16
1
18
1
361
324
36
1
32
1
1089
1024
64
1
x
k (x+k) 2
x2
y 2 =2xk
k2
4
2
36
16
16
4
9
2
121
81
36
4
16
2
324
256
64
4
25
2
729
625
100
4
x
k (x+k) 2
x2
y 2 =2xk
k2
6
3
81
36
36
9
24
3
729
576
144
9
54
3
3249
2916
324
9
96
3
9801
9216
576
9
Incluso se da el caso que 2xk = yn, en estos casos
la expresión puede determinar la siguiente
relación:
Para 𝑥 ≥ 𝑘 > 0 tal que 2xk=yn se cumple que:
(𝑥 + 𝑘)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑘 + 𝑘 2
⇒ 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦n + 𝑘2
x
k (x+k) 2
x2
y 2 =2xk
k2
4
1
25
16
8
1
8
2
100
64
32
4
27
4
961
729
216
16
40
5
2025
1600
400
25
Aunque lo realmente interesante es encontrar
ternas co-primas que sumen otro cuadrado.
Como el del ejemplo inicial o este otro ejemplo:
52 + 122 + 842 = 852. Si se observa con
detenimiento existe un pequeño indicio y es que
el cuadrado descomponer es una unidad mayor
que el tercer cuadrado del primer miembro. x2
+ y2 + z2 = (z+1)2, donde a excepción de s,
los otros elementos se determinan en función
del valor “x” aplicando las formula general de
generación de ternas pitagóricas para k=1; con
este valor se genera el valor de “k” y por
supuesto de (k+1).
Sea: x; 𝑦 =
𝑥 2 −1
2
∧ 𝑧 =𝑦+1
Se calcula una nueva terna pitagórica tomando
“z” y con esto se determina zy y w
𝑧2 + 1
𝑧𝑦 =
∧ 𝑤 = 𝑍𝑦 + 1
2
Quedando la cuaterna de la siguiente forma:
x2 + y2 + zy2 = w2.
Habiendo encontrado una forma sencilla de
generar cuaternas pitagóricas, al menos cuando
un cuadrado excede una unidad al otro elemento
mayor de la terna de cuadrados.
Ejercicio: Determinar el cuadrilátero de área
máxima que determina 3, 6, 6, 9.
Si 92 = 62 + 62 + 32
El teorema de Pitágoras
TERNAS CORRESPONDIENTES POR SUMA DE TÉRMINOS
RETO: Dadas dos ternas pitagóricas de números enteros (a, b, c) y (x, y, z); hallar otra terna pitagórica
de números enteros cuya suma de sus términos correspondientes (a + x), (b + y) y (c + z) conforma otra
terna pitagórica, caso contrario presentar un contra ejemplo.
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
(𝑎 + 𝑥)2 + (𝑏 + 𝑦)2 = (𝑐 + 𝑧)2
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
Nota: Este reto se presentó en la página Más allá del teorema de Pitágoras el 21 de diciembre de 2019.
Por Darío Lanni para más allá del teorema de Pitágoras.
En este acápite se demostrará que los términos de una
terna pitagórica de números enteros no pueden
descomponerse en la suma de dos ternas pitagóricas de
números naturales. Para lo cual, partiendo de la
siguiente conjetura, se tiene.
CONJETURA: Dadas dos ternas pitagóricas de
números enteros (a, b, c) y (x, y, z). La suma de sus
términos correspondientes: (a + x), (b + y) y (c + z);
no conforma otra terna pitagórica.
TEOREMA
Dadas dos ternas pitagóricas de números enteros
(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ). La suma de sus términos
correspondientes:
(𝑥1 + 𝑥2 ), (𝑦1 + 𝑦2 ) y (𝑧1 + 𝑧2 ); no conforma otra
terna pitagórica de números enteros.
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12 ⟹ 𝑘1 = 𝑧1 − 𝑦1
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22 ⟹ 𝑘2 = 𝑧2 − 𝑦2
𝑥𝑠 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑦𝑠 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑧𝑠 = 𝑧1 + 𝑧2
𝑥𝑠2 + 𝑦𝑠2 = 𝑧𝑠2 ⟹ 𝑘𝑠 = 𝑧𝑠 − 𝑦𝑠
𝑘𝑠 = (𝑧1 + 𝑧2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝑘1 + 𝑘2
𝑦𝑠 =
𝑥12 − 𝑘12 𝑥22 − 𝑘22 𝑥𝑠2 − 𝑘𝑠2
+
=
2𝑘1
2𝑘2
2𝑘𝑠
𝑦𝑠 = 𝑘2 (𝑥12 − 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 − 𝑘22 ) =
𝑥12 + 𝑘12 𝑥22 + 𝑘22 𝑥𝑠2 + 𝑘𝑠2
𝑧𝑠 =
+
=
2𝑘1
2𝑘2
2𝑘𝑠
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
(𝑎 + 𝑥)2 + (𝑏 + 𝑦)2 ≠ (𝑐 + 𝑧)2
Por tanto, demostrar que no existen dos
ternas pitagóricas de números enteros cuyas
sumas de sus términos correspondientes
conformen otra terna pitagórica entera.
𝑥12 + 𝑦12 = 𝑧12
𝑥22 + 𝑦22 = 𝑧22
(𝑥1 + 𝑥2 )2 + (𝑦1 + 𝑦2 )2 ≠ (𝑧1 + 𝑧2 )2
𝑥12 − 𝑘12
𝑦1 =
2𝑘1
2
𝑥2 − 𝑘22
𝑦2 =
2𝑘2
2
𝑥𝑠 − 𝑘𝑠2
𝑦𝑠 =
2𝑘𝑠
𝑥12 + 𝑘12
𝑧1 =
2𝑘1
2
𝑥2 + 𝑘22
𝑧2 =
2𝑘2
2
𝑥𝑠 + 𝑘𝑠2
𝑧𝑠 =
2𝑘𝑠
1 = 2𝑘1 𝑘2 𝑘𝑠
𝑘1 𝑘2 (𝑥𝑠2 − 𝑘𝑠2 )
𝑘𝑠
𝑘1 𝑘2 (𝑥𝑠2 + 𝑘𝑠2 )
𝑘𝑠
𝑘1 𝑘2 (𝑥𝑠2 + 𝑘𝑠2 ) 𝑘1 𝑘2 (𝑥𝑠2 − 𝑘𝑠2 ) 2𝑘1 𝑘2 𝑘𝑠2
𝑘𝑠 =
−
=
𝑘𝑠
𝑘𝑠
𝑘𝑠
𝑧𝑠 = 𝑘2 (𝑥12 + 𝑘12 ) + 𝑘1 (𝑥22 + 𝑘22 ) =
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Lo cual es absurdo, pues el doble
producto de tres diferencias pitagóricas
de números enteros no puede ser 1. En
conclusión, no existen dos ternas cuya
suma correspondiente de sus términos
pitagóricos conformen otra terna
pitagórica, pues para ternas enteras k≥1,
por tanto:
1 ≤ 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑠
Ruben Darío Muñoz López
PROPIEDAD TRIANGULAR DE NÚMEROS
Dados tres números arbitrarios, se cumple que
la diferencia entre el número mayor y el número
menor es igual a la suma de las diferencias del
número intermedio menos el menor y sumada a
la diferencia del número mayor menos el
número intermedio.
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑅 ∧ 𝑧 ≥ 𝑦 ≥ 𝑥
x
3
5
7
9
11
13
y
4
12
24
40
60
84
z
5
13
25
41
61
85
n
1
7
17
31
49
71
m
1
1
1
1
1
1
n+m
2
8
18
32
50
72
𝑛 = 𝑦−𝑥 ∧ 𝑚 = 𝑧−𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧−𝑥
⇒𝑟 =𝑛+𝑚 =𝑧−𝑥
Esta propiedad se cumple para tres números
cualesquiera sin importar otra condición. Por
ello dada las ternas pitagóricas (x, y, z) que
cumplen el teorema de Pitágoras donde:
x2 + y2 = z2
𝑛 =𝑦−𝑥 ∧ 𝑚 =𝑧−𝑦
n+m=y–x+z–y=z–x
Esta propiedad es indistinta de las condiciones
a las que estén elevados los exponentes, por ello
extendiendo el concepto a los trinomios
generales de la forma: xa + yb = zc; siempre se
cumplirá la condición triangular para (x, y, z).
siguientes
Ejemplo, para ternas extendidas de potencia de
x mayor que 2: x3 + y2 = z2
Para el caso de ternas pitagórica primitivas k=1
x
y
z
n
m n+m
3
13
14
10
1
11
5
62
63
57
1
58
7
171 172 164
1
165
9
364 365 355
1
356
11
665 666 654
1
655
13 1098 1099 1085 1
1086
Se cumple que si:
Ejemplos, dadas las
pitagóricas: x2 + y2 = z2
Para el caso de ternas pitagóricas primitivas k=2
x
y
z
n
m n+m
4
3
5
-1
2
1
6
8
10
2
2
4
8
15
17
7
2
9
10
24
26
14
2
16
12
35
37
23
2
25
14
48
50
34
2
36
ternas
Para el caso de ternas pitagórica primitivas k=1
Para el caso de ternas pitagóricas primitivas k=2
x
y
z
n
m n+m
4
15
17
11
2
13
6
53
55
47
2
49
8
127 129 119
2
121
10
249 251 239
2
241
12
431 433 419
2
421
14
685 687 671
2
673
El teorema de Pitágoras
En el caso de ternas pitagóricas para k=1
sabemos que la diferencia z – x está dada por la
expresión siguiente:
(𝑥 − 1)2
𝑧−𝑥 =
2
Y para el caso general:
𝑧−𝑥 =
(𝑥 − 𝑘)2
2𝑘
Y la diferencia y – x por:
𝑧−𝑥 =
(𝑥 − 1)2 − 2
2
Como siempre cada descubrimiento nos motiva
a plantear ejercidos que ejercitan la creatividad
de los lectores por ello, presentamos las
siguientes series cuyo sustenta está en el
material presentado.
Y para el caso general:
𝑧−𝑥 =
(𝑥 − 𝑘)2 − 2𝑘 2
2𝑘
Y como es lógico z – y = 1, y para el caso
general: z – y = k
EJERCICIO
Hallar los números que faltan en las siguientes
series:
b=n+m
11
58
165
356
58
165
356
655 (… ) 1086
13
49
121
241
421 (… ) 673
SERIE n + m
1050
a
3
5
7
9
11
13
11
900
750
600
450
300
1086
150
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Ayuda: Revisar el Teorema extendido de Pitágoras juntamente con el siguiente grafico que facilitará
percibir el comportamiento de la primera serie. Si el lector desea puede verificar para el caso de las
ternas de la forma: xa + yb = zc
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS Y PROPORCIONALIDAD
EJERCICIO
Hallar las ternas pitagóricas de tres cifras más
pequeñas de los triángulos rectángulos ΔABE y
ΔACD si estos son semejantes. Además, n y m
son catetos irreductibles de una terna pitagórica
primitiva. Además, se debe cumplir que AE y
AD son números naturales de tres cifras de la
forma:
La terna irreductible más pequeña es: 3, 4, 5 y
el número múltiplo de 3 más pequeño de dos
cifras diferentes es 12, por tanto:
Los lados AE = 12 y AD = 21. Aplicando las
fórmulas generales para k = 4 para 12 y k = 7
para 21 se obtienen las ternas pitagóricas de
dos cifras que pide el enunciado: 12, 16, 20 y
21, 28, 35.
𝐴𝐸 = ̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐
𝐴𝐷 = ̅̅̅̅̅
𝑐𝑏𝑎
Tal que: c > b > a
EJERCICIO
Hallar el triángulo rectángulo de lados
enteros más pequeño, tal que la hipotenusa
z puede dividirse en dos segmentos a y b
enteros proporcionales a los catetos x e y.
La terna irreductible más pequeña es: 3, 4, 5 y
el número múltiplo de 3 más pequeño de tres
cifras diferentes es 123, por tanto:
Los lados AE = 123 y AD = 321. Aplicando
las fórmulas generales para k = 41 para 123 y
k = 107 para 321 se obtienen las ternas
pitagóricas de tres cifras que pide el
enunciado: 123, 164, 205 y 321, 428, 535.
EJERCICIO
Hallar las ternas pitagóricas de dos cifras más
pequeñas de los triángulos rectángulos ΔABE y
ΔACD si estos son semejantes. Además, n y m
son catetos irreductibles de una terna pitagórica
primitiva. Además, se debe cumplir que AE y
AD son números naturales de dos cifras de la
forma:
𝐴𝐸 = ̅̅̅
𝑎𝑏
𝐴𝐷 = ̅̅̅
𝑏𝑎
Es posible determinar ternas pitagóricas en la
que la hipotenusa puede dividirse en dos
segmentos enteros a y b proporcionales a los
catetos x e y.
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ∧ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑁
𝑥𝑧
𝑦𝑧
𝑎=
∧ 𝑏=
𝑥+𝑦
𝑥+𝑦
En la tabla adjunta se presenta las primeras
ternas que cumplen esta condición para todo:
𝑧 > 𝑦 > 𝑥 > 2 ∧ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁
x
21
42
63
84
85
105
126
147
168
170
184
y
28
56
84
112
204
140
168
196
224
408
345
z
35
70
105
140
221
175
210
245
280
442
391
k
7
14
21
28
17
35
42
49
56
34
46
a
15
30
45
60
65
75
90
105
120
130
136
b
20
40
60
80
156
100
120
140
160
312
255
El teorema de Pitágoras
SEGMENTOS PROPORCIONALES DE Ye
Las proyecciones del cateto menor x, la
hipotenusa z ye, se puede formar un triángulo
derivado: x - z - ye.
Ejemplo:
En la TP 3 - 4 - 5 hallar la proporción entre ya e
yb sabiendo que y = 4, por tanto, ye = 6.
Donde la altura h, determina dos segmentos
proporcionales. ya y yb.
𝑦𝑎 =
62 + 42
1
=4
2(6)
3
𝑦𝑏 =
62 − 42
2
=1
2(6)
3
Finalmente, la proporción es 2.60
De el grafico se desprende que:
ℎ2 = 𝑧 2 − 𝑦𝑎2
ℎ2 = 𝑥 2 − 𝑦𝑏2
Igualando: 𝑧 2 − 𝑦𝑎2 = 𝑥 2 − 𝑦𝑏2
𝑧 2 − 𝑥 2 = 𝑦𝑎2 − 𝑦𝑏2
𝑧 2 − 𝑥 2 = (𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 )(𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 )
𝑧 2 − 𝑥 2 = 𝑦𝑒 (𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 )
Luego, se obtiene:
𝑧2 − 𝑥2
= 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏
𝑦𝑒
Igualando con: 𝑦𝑒 = 𝑦𝑎 + 𝑦𝑏
Obtenemos:
𝑧2 − 𝑥2
= 𝑦𝑒
2𝑦𝑒
Eliminando z tenemos:
𝑦𝑒2 + 𝑦 2
𝑦𝑎 =
2𝑦𝑒
Finalmente:
𝑦𝑒2 − 𝑦 2
𝑦𝑏 =
2𝑦𝑒
No olvidar que:
ye = y + 2 ó 𝑦𝑒 =
𝑥 3 +𝑥
2
La proporcionalidad tiende hacia el infinito,
cuya grafica es una parábola de 2° grado.
Ruben Darío Muñoz López
MISCELÁNEAS
Uno de los misterios de Pitágoras permaneció oculto como el secreto más recóndito
de la hermandad pitagórica, incluso después de varios siglos de la muerte del gran
maestro. Literalmente muchos de los descubrimientos sobre la naturaleza del
universo y sobre las leyes matemáticas que lo rigen se sellaron en su tumba. Algunos
de estos misterios estuvieron custodiados en la gran biblioteca de Alejandría, pero
perecieron durante el gran incendio perpetrado por los conquistadores. Poquísimos
aun se conservan entre las logias modernas y que están visibles en cada manifestación
natural. Poco a poco estos misterios salen a la luz.
El teorema de Pitágoras
TABLA DE PITÁGORAS SIMPLIFICADA DE MULTIPLICACIÓN
La matemática, no es sólo una disciplina o
una herramienta que permite conocer la realidad
de los fenómenos mensurables; es por sobre
todo un arte, que nos clarifica la aparente
confusión manieresca del cosmos, lo confuso se
hace evidente casi repentinamente. La
matemática nos permite extraer el patrón bajo el
cual todas las cosas se hallan ordenadas en la
naturaleza. En este sentido la enseñanza de las
matemáticas debe seguir esa misma lucidez y
limpieza, se debe impartir en las escuelas,
extrayendo lo esencial sin la turbidez de las
complejidades, ya que ellas contradicen la
esencia de la matemática que es diáfana como
el cristal a través del cual entendemos el
universo. Se debe inculcar a los niños de que la
matemática es simple, hermosa y que nos ha de
facilitar la vida y no complicarla.
Recuerdo que cuando era un niño de 4 años, me
costaba esfuerzo en comprender el empecinado
y enigmático empeño de los adultos por
mandarme a la escuela, me costaba interpretar
las razones por las que cada mañana dejaba la
comodidad del patio de mi casa en la que
disfrutaba de historias fantásticas propias de la
mente creativa de un niño; para sentarme en una
mesita llena de rayones que me deprimía y me
desconcertaba. La maestra, una completa
extraña gesticulaba frases incomprensibles para
mi corta edad. Siento decir que, durante el
primer año en el jardín de niños, ni en el primer
grado de educación básica llegue a entender por
qué iba a ella, ¿será por eso que la mayoría de
los niños sienten un estrés los primeros días de
escuela? Incluso esta desorientación coexistió
hasta el tercer grado, supongo, mi memoria se
trunca en esta parte de mi existencia.
Aprender la tabla de multiplicación era un
martirio; diez números iguales multiplicados
uno por uno por la secuencia natural del uno al
diez, es decir diez multiplicaciones. Imagínense
obligar a un niño aprender 30 “cosas” abstractas
y que las recuerde en secuencia cada vez que se
le pregunta. Pues bien, como las tablas son diez,
había que memorizar trescientos números en un
orden inamovible. No tiene sentido es
totalmente antipedagógico. Y no olvidemos que
luego viene la tabla de resta, multiplicación,
división, potenciación etc., etc.…
Recuerdo que, luego de explicarle a mi
pequeña hija el concepto de la multiplicación, le
daba una tabla por día: El primer día, la tabla del
dos; el segundo día la tabla del tres, así
sucesivamente; sin embargo, las tablas cada día
tenían menos números. La niña se iba dando
cuenta que cada día, el trabajo de memorizar las
tablas era menor. Pero por favor que no se
confunda, no era la misma tabla con la que
aprenden la mayoría de los niños. Continúenos
con la explicación.
Y cuando le di la última tabla, ella preguntó:
¿Supongo que ahora me darás la tabla del diez
y que debo memorizar sólo 10 x 10?
- Pues sí, le dije.
Es cien. Respondió ella con suficiencia,
sin dejar de hacer lo que le fascinaba hacer,
dibujar vestidos. Ahora ella es Diseñadora de
modas y ha ocupado en forma consecutiva el
primer lugar en la institución donde ella estudió,
a pesar de que fue una de las alumnas de menor
edad de la clase.
Les presento la tabla que se diseñó para ella,
eliminado los productos repetidos. El propósito
es el mismo, enseñar la misma tabla de
multiplicación a un niño, pero con menor
esfuerzo.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
3
4
5
6
7
8
9
10
=
=
=
=
=
=
=
=
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
4
5
6
7
8
9
10
=
=
=
=
=
=
=
16
20
24
28
32
36
40
5
5
5
5
5
5
x
x
x
x
x
x
5
6
7
8
9
10
=
=
=
=
=
=
25
30
35
40
45
50
6
6
6
6
6
x
x
x
x
x
6
7
8
9
10
=
=
=
=
=
36
42
48
54
60
7
7
7
7
x
x
x
x
7
8
9
10
=
=
=
=
49
56
63
70
8
8
8
x
x
x
8
9
10
=
=
=
64
72
80
9
9
x
x
9
10
=
=
81
90
10
x
10
=
100
Elaborado por : Ruben Dario Muñoz López - 2004 para: Lucero Gabriela
Tabla de multiplicación abreviada
Aquí me detengo para en una pequeña
explicación: el niño comprende implícitamente
la propiedad conmutativa o no le es difícil
comprenderla; si 2x3 = 6, entonces 3x2= 6; así
que basta con que aprenda el primer producto,
su cerebro subconsciente hará el resto del
trabajo, no hay necesidad de saturarlo con
información redundante; sobre todo que los
recursos neuronales son valiosos y deben
aprovecharse al máximo.
En fin, esta pequeña anécdota me sirve de
marco para mostrar cómo solamente con
aprender 135 números, menos de la mitad de los
exigidos. Supongo que esta historia ejemplifica
la óptica que debe orientar la enseñanza de las
matemáticas.
Nota: Esta tabla se ha utilizado como tema para un
comic educativo que puede revisarse en la página
Dario Lanni matemáticas.
TABLA PITAGORICA DE MULTIPLICACION - Simplificada
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
3
9
12 15 18 21 24 27 30
4
16 20 24 28 32 36 40
5
25 30 35 40 45 50
6
36 42 48 54 60
7
49 56 63 70
8
64 72 80
9
81 90
10
100
Elaborado por : Ruben D Muñoz L - 2004 para: Lucero Gabriela
El teorema de Pitágoras
ÁREA Y PERÍMETRO
Solución:
El único triángulo rectángulo
de lados enteros de cateto 5,
corresponde a la terna prima 5,
12, 13. Aplicando las fórmulas
la respuesta es: c) 30
Ruben Darío Muñoz López
SOLUCION
El teorema de Pitágoras
Ruben Darío Muñoz López
RETO MILLONARIO
Hace algunos años se publicó un ejercicio matemático
que incluia un premio por la astronomica cantidad de
diez millones de dólares zimbawenses de ese entonces,
con la intensión de incentivar y estimular a las personas
que no les gusta las matemáticas a que se interesen en
ella o en todo caso para los más ambiciosos indagar en
temas políticos y finacieros que mucha falta hace; si se
quiere entender como funciona el mundo actual. A
continuacion se replica el ejercicio incluyendo la
interesante correlacion numérica que modela el
comportamiento de P para que se cumpla la condición
de que “la raiz cuadrada de cuatro veces P menos 3 sea
siempre un número entero positivo”.
La respuesta después de algunos años.
Nota, el ejercicio actual difiere un poco del original.
P
1
3
7
13
21
31
…
…
…
bi
4𝑃 − 3
1
3
5
7
9
11
bj
..
…
…
P
p n+1
P = 2(1+2+3+…+(n-1)) +1
1
2(1)+1
2(2)+2(1)+1
2(3)+2(2)+2(1)+1
2(4)+2(3)+2(2)+2(1)+1
2(5)+2(4)+2(3)+2(2)+2(1)+1
…
…
...
…
bj = bi + 2a i
…
…
…
2(1+2+3+4+5+…+(n-2)+(n-1)) + 1
Remplazando la expresión:
n (n - 1) + 1 en P
√4𝑝 − 3 = √4[𝑛(𝑛 − 1) + 1] − 3
√4𝑝 − 3 = √4𝑛2 − 4𝑛 + 1
⇒ √(2𝑛 − 1)2 = 2𝑛 + 1
Se tiene que 4P - 3 es igual a (2n - 1)2
Lo que significa, que la raíz siempre es un
número entero impar, múltiplo de 3 ó un
número de la forma 6n + 5, en muchos casos
primo.
p +2(n+1)
Atte: Ruben D Muñoz L – 2019
P= n (n - 1) + 1
EJERCICIO
Hallar las ternas pitagóricas enteras (a, b, 391833) y (c, d, 391833) si se cumple que:
𝑎2 + 𝑏 2 = 391 833 2 ↔ 𝑎 = 5 (391 833 − 𝑏)
𝑐 2 + 𝑑2 = 391 833 2 ↔ 𝑐 = 4 (391 833 − 𝑑)
RESPUESTA
150 705
361 692
391 833
k = 30 141;
x = 5k
184 392
345 735
391 833
k = 46 098;
x = 4k
El teorema de Pitágoras
EL ALMACÉN DE LOS ENTEROS
El propietario de una edificación y el contratista
de la obra se presentan a un proceso de arbitraje,
porque ambos sostienen que el metraje de los
trabajos no coincide con lo realmente
contratado. El trabajo realizado fue el
mantenimiento de un almacén que considera:
partida de pintura de paredes interiores, la
partida de revestimiento de cielo raso, y la
partida revestimiento de pisos con mayólica. De
mutuo acuerdo aceptaron que la pintura de
paredes considera el largo corrido y el alto total
obviando puertas y ventanas, es decir como si
no existieran.
Culminado los trabajos, ambos hicieron el
presupuesto por separado para determinar
cuánto costaba el mantenimiento del almacén.
El contratista ignoraba que el propietario era
contador, así mismo el propietario por su parte
ignoraba que el contratista era ingeniero.
Cuando obtuvieron los resultados estos no
coincidían, así que entraron en una disputa, la
única forma que tenían para resolver el impase
era solicitar un arbitraje, y así lo hicieron con la
confianza de que cada uno se saldría con lo
suyo.
El Árbitro, se constituye en el almacén y
constata que todas las medidas de los ambientes
son medidas enteras, realiza una sola medición
y resuelve que ambos están equivocados. Por su
parte el propietario ha quitado un metro
cuadrado a cada partida y el contratista ha
incrementado un metro cuadrado a cada partida.
Procede a redactar el acta de conciliación con
las medidas reales. Sin embargo, a fin de que su
laudo no sea cuestionado, permite que cada una
de las partes pueda verificar su decisión,
realizando una y sola una medición entre dos
puntos en cualquier parte de la edificación
incluyendo diagonales.
El propietario, no conforme, procede a medir la
diagonal de la pared más pequeña y verifica que
también es una medida entera, por tanto, acepta
la decisión del Árbitro. El contratista, en su afán
por impresionar con su pericia de constructor
experimentado, mide la diagonal del
paralelepípedo del ambiente. El contratista
igualmente al constatar que también es una
medida entera, queda satisfecho con la decisión
del Árbitro.
A fin de dejar zanjado el asunto, el Arbitro, no
solo consigno las dimensiones interiores del
almacén sino también su volumen y este era el
cuadrado de un numero entero.
¿Cuáles eran las medidas interiores del
almacén, por la que ambos suscribieron el acta
de conciliación sin objeciones?
SOLUCIÓN
Se anexa los resultados, dejando las demostraciones para el lector inteligente.
PARTIDAS DE
MANTENIMIENTO
METRAJE SEGÚN
PROPIETARIO
METRAJE REAL
POR EL ARBITRO
METRAJE SEGÚN
CONTRATISTA
Pintura de paredes
95
96
97
Revestimiento de cielo raso
47
48
49
Revestimiento de Pisos
47
48
49
MEDIDAS: 3, 4, 12. Diagonales 5 y 13
Ruben Darío Muñoz López
ANÁLISIS GRAFICO DEL TEOREMA DE KAMALSINGH PRAJAPATI
Análisis gráfico de un teorema presentado por
Kamalsingh Prajapati. Como las dimensiones del
rectángulo determina la longitud de los radios de los
círculos A, B y C. Pues la altura se incrementa desde
cero hasta el radio de la circunferencia circunscrita. Y
la anchura disminuye desde 2R hasta cero.
Sea x, y el ancho y altura del rectángulo respectivamente, los cuales tienen los siguientes límites: 2𝑅 ≥
𝑥 ≥ 0 y 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑅, lo que determina que con excepción de un solo punto, la variabilidad del teorema
de Pitágoras, está determinado por valores cero en los límites de la relación por tanto no se cumpliría
que 𝑅𝑎2 = 𝑅𝑏2 + 𝑅𝑐2 para cualquier valor de x ó y.
DEMOSTRACIONES
Se dejan las demostraciones algebraicas para
el lector
El teorema de Pitágoras
UNA PREGUNTA INTERESANTE DE UN MIEMBRO DEL GRUPO MÁS ALLÁ DEL
TEOREMA DE PITÁGORAS
(Publicación en Dario Lanni matemáticas y el grupo en FB Más allá del teorema de Pitágoras)
Una pregunta interesante que nos permite sugerir:
Revisar
el
capítulo
sobre
funciones
trigonométricas, de triángulos rectángulos de
lados enteros en el libro “Más allá del teorema
de Pitágoras – volumen II” de Ruben D Muñoz
L, a la venta en Amazon. Allí, encontrarás varias
fórmulas para determinar las funciones
trigonométricas, que dependen sólo del cateto
menor y de la diferencia pitagórica.
An interesting question that allows us to suggest:
Review the chapter on trigonometric functions,
of right triangles rectangles of whole sides in the
book "Beyond the Pythagorean Theorem Volume II" by Ruben D Muñoz L, on sale at
Amazon. There, you will find several formulas to
determine the trigonometric functions, which
depend only on the minor leg and the
Pythagorean difference.
Existirá un triángulo rectángulo de lados enteros If there is a right triangle with integer sides whose
cuyo ángulo menor sea 20°, permite exponer: smallest angle is 20 °, it allows to expose: To
Para empezar, sabemos que:
begin with, we know that 20 ° → π / 9 rad.
20° → π/9 rad.
And
that
the
Sen
20°
=
Y
que
el
Sen
20°
= 0.34202014332566873304409961468226; it is
0.34202014332566873304409961468226; es un an IRRATIONAL number
número IRRACIONAL
In a whole triangle, the sine of 20 ° would be
En un triángulo entero, el seno de 20° estaría dada given by the ratio of x / z; but both are integers,
por la razón de x/z; pero ambos son números therefore, said ratio is a RATIONAL number;
enteros, por tanto, dicha razón es un numero which induces us to think that the nearest angle
RACIONAL; lo cual nos induce a pensar que el would correspond to the triple 5, 12, 13 whose
ángulo más próximo correspondería a la terna 5, smaller angle is approximately 22.16 ° and often
12, 13 cuyo ángulo menor es aproximadamente used in "trusses".
22.16° y utilizado a menudo en “cerchas”.
This approach, although not conclusive, gives us
Esta aproximación, aun no concluyente, nos da the opportunity to carry out a more exclusive
pie a realizar una demostración más excluyente demonstration that we will surely include in the
que de seguro incluiremos en la sección de section of exercises in the 2nd edition of the
ejercicios en la 2° edición del libro mencionado mentioned book that is already in the final
que ya está en recta final, consignado por straight, of course consigned your name as
supuesto tu nombre como propositor.
propositor.
Gracias en nombre de todo el equipo por tan Thank you on behalf of the whole team for such
interesante pregunta.
an interesting question.
ATTE: Dario Lanni - 2/9/2019
Ruben Darío Muñoz López
CURIOSIDADES PITAGÓRICAS CON NÚMEROS TRANSPUESTOS
Sea N un numero compuesto por cifras
consecutivas, es decir:
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁
𝑎𝑏𝑐 … 𝑛
⃖⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Y sea 𝑁
𝑛 … 𝑐𝑏𝑎 su transpuesta, es decir un
numero con sus cifras en orden inverso, tal que
n ≤ 9. Se cumple para:
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃖⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁
𝑎𝑏𝑐 … 𝑛 y 𝑁
𝑛 … 𝑐𝑏𝑎
lim
𝑛→9
⃗
𝑁
1 𝑛−𝑎
≈ ≈
⃐⃗⃗ 8
𝑎
𝑁
En la tabla siguiente se observa el
comportamiento del cociente entre un numero
de cifras consecutivas y su transpuesta e inversa
aproximada.
1
12
123
1234
12345
123456
1234567
12345678
123456789
1
21
321
4321
54321
654321
7654321
87654321
987654321
1
0.571429
0.383178
0.285582
0.227260
0.188678
0.161290
0.140845
0.125
1
1.75
2.609756
3.501621
4.400243
5.300034
6.200005
7.100001
8.00000007
Nota: No se cumple necesariamente para cifras
aleatorias
PERSISTENCIA DE CIFRAS
Ahora estudiaremos el comportamiento de las
ternas pitagóricas de algunos números de cifras
consecutivas y sus transpuestas.
Para empezar el único número que se aproxima
a la unidad aparte de 1 es 8.00000007… Y las
ternas pitagóricas para 8 son solamente dos:
82 + 152 = 172
82 + 62 = 102
A continuación se presenta una tabla con
algunas ternas para los primeros números de
cifras consecutivas y sus transpuestas, junto a
algunas curiosidades numéricas que involucran
estos números con ternas pitagóricas de
números enteros.
x
12
12
12
12
y
35
16
9
5
z
37
18
11
7
k
2
4
6
8
x
21
21
21
21
y
220
72
28
20
z
221
75
35
29
k
1
3
7
9
123
123
123
123
7564
2520
836
164
7566
2522
838
166
1
3
9
41
321
321
321
321
51520
17172
5720
428
51521
17175
5729
535
1
3
9
107
1234
380688
380690
2
4321
4321
4321
9335520
321900
62580
9335521
321929
62729
1
29
149
12345
12345
12346
12345
12345
12345
76199512
25399836
15242369
8466608
5079960
92176
76199514
25399838
15242371
8466610
5079962
92178
1
3
5
9
15
823
1475385521
491795175
163931729
77651879
1548682.001
1
3
9
19
953
54321 1475385520
54321 491795172
54321 163931720
54321 77651860
54322
1547729
CURIOSIDADES DE TERNAS DE
CIFRAS CONSECUTIVAS
12 y su transpuesto 21 son catetos menores de
triángulos rectángulos reducibles a la terna
primitiva 3, 4, 5. Así tenemos que las ternas
pitagóricas: 12, 16, 20 y la terna 21, 28, 35
pertenecen a triángulos rectángulos semejantes.
123 y su transpuesto 321 son catetos menores
de triángulos rectángulos reducibles a la terna
primitiva 3, 4, 5. Así tenemos que las ternas
pitagóricas: 123, 164, 205 y la terna 321, 428,
535 pertenecen a triángulos rectángulos
semejantes. Y estas a su vez presentan otra
curiosidad más interesante: las ternas
resultantes 123, 164, 205 y la terna 321, 428,
535 poseen los mismos dígitos en orden de las
ternas 12, 16, 20 y la terna 21, 28, 35.
Otro caso similar los constituye los números
12345 y 54321 así como los números
123456789 y 987654321 que también son
reducibles a la primitiva 3, 4, 5. Y por ende son
triángulos rectángulos semejantes.
En cambio la terna para x = 1234 es única y
reductible a la terna primitiva: 617, 190344,
190345.
Se deja al lector descubrir otras interesantes
relaciones pitagóricas con el resto de los
números. Una de las causas, radica en que el
número menor de las ternas pitagóricas es
múltiplo de 3 lo cual puede verificarse según las
propiedades de divisibilidad, sumando los
dígitos de dichos números.
El teorema de Pitágoras
CONJETURA DE POLÍGONO REGULAR INSCRITO
Sea P un polígono regular cerrado de n lados,
inscrito en una circunferencia C. Existirá al
menos un triángulo rectángulo de lados enteros
que se pueda inscribirse dentro del polígono P,
tal que el cateto menor x sea igual a la longitud
L de uno de los lados del polígono P.
Si x, y, z son los lados de un triángulo rectángulo
de lados enteros. Tal que n es la cantidad de
lados del polígono P, donde:
𝑃 = 𝑛𝑥 ∧ 𝐶 = 𝑛𝐿
para: 𝑥 = 𝐿
Al parecer no existe solución entera que cumpla
que si x, y, z son los lados de un triángulo
rectángulo de lados enteros:
Sea P(n) un polígono regular de n lados inscrito
en una circunferencia.
El ángulo interno de cada arco correspondiente
a las cuerdas correspondientes a los lados del
polígono P(n) es entonces:
180
𝑛
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑍 +
𝑧>𝑦>𝑥≥3
𝜃=
No se cumpla
el teorema de
Pitágoras.
Se cumple que si
𝑛 ∈ 𝑍 + ∧ 𝑛 ≥ 3 ⇒ 𝜃 ≤ 120°
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
CONJETURA
No existe un polígono regular cuyo lado
corresponda al lado menor de un triángulo
rectángulo de lados enteros. O dicho de otro
modo no se puede construir un polígono regular
de lado entero inscrito en una circunferencia
cuyo diámetro sea la hipotenusa de un triángulo
rectángulo de lados enteros: 𝐿2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
Así que no es posible que el lado menor de un
triángulo rectángulo de lados enteros sea el lado
de un polígono regular inscrito dentro de la
circunferencia para diámetro igual a la
hipotenusa z de dicho triangulo rectángulo. La
solución a esta conjetura admite un contra
ejemplo.
En consecuencia:
𝜃
𝛼 = ≤ 60°
2
Por otro lado, para polígonos de 3 y 4 lados no
existe terna pitagórica correspondiente al
estudio. Así tenemos que para los primeros
polígonos el ángulo agudo del triángulo
rectángulo inscrito seria:
n
3
4
5
6
7
8
9
10
ϴ
120
90
72
60
51.428571
45
40
36
α
60
45
36
30
25.714286
22.5
20
18
Ruben Darío Muñoz López
INDICIOS
Un triángulo equilátero no es rectángulo y por
ende no existe hipotenusa que coincida con uno
de los diámetros de la circunferencia.
tan 45° =
2 tan 22.5°
1 − tan2 22.5°
1 − tan2 22.5° = 2 tan 22.5°
tan 22.5° = 𝑥
En el caso de un cuadrado, cada dos lados
consecutivos, si bien es cierto forman triángulos
rectángulos, estos son equiláteros y por tanto la
hipotenusa está afectada por la raíz cuadrada de
dos, en consecuencia la hipotenusa es
irracional.
𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0 ⇒ tan 22.5° = √2 − 1
No existe solución entera
Ahora queda el
demostraciones.
reto
FÓRMULAS ÚTILES
Para un hexágono regular. En la figura
referencial no existe un triángulo rectángulo de
lados enteros inscrito dentro de un hexágono
regular.
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧ 𝑧=
2𝑘
2𝑘
𝑥
= tan(α). . . (1)
𝑦
𝑥
𝑧=
… (2)
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑥2
= tan2 (𝛼) … (3)
𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= tan2 (𝛼) + 1
𝑦2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥 2 → 𝑦 = 𝑥 √3
No existe solución entera
𝑧2
= tan2 (𝛼) + 1
𝑦2
Para un octágono regular:
𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 = tan2 (𝛼) + 1
𝑥2 + 𝑘2
𝑥
=
2𝑘
𝑠𝑒𝑛𝛼
de
hacer
las
El teorema de Pitágoras
ANEXOS
Matemático que no sienta pasión por los acertijos matemáticos, no puede
considerarse un verdadero matemático…Solamente los matemáticos más
apasionados encontraron los más bellos secretos de los números y el
universo
“El más bello secreto” - Alejandro Silvani-
Ruben Darío Muñoz López
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
A continuación, se presentan dos demostraciones sencillas y evidentes del teorema de Pitágoras,
las cuales se conocen desde hace muchísimos años. Estoy convencido de que estas dos demostraciones
han sido tantas veces descubiertas, incluyendo al autor que por casualidad tuvo la suerte de
encontrárselas a la edad de catorce años, una tarde sin proponérselo. Y quizás este fue el inicio de un
romance con el teorema más famoso de la historia de las matemáticas.
TABLA RESUMEN DE TERNAS PITAGÓRICAS
Primer método
AT = 4A1 + A2 y AT = (a+b)2
𝑎𝑏
𝐴1 =
𝑦 𝐴2 = 𝑐 2
2
𝑎𝑏
A𝑇 = 4
+ 𝑐2
2
A 𝑇 = (𝑎 + 𝑏)2
2𝑎𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
Segundo método
𝐴 = (2𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 2𝑏)
A = 2a 2 + 4ab + ab + 2b 2
A = 2a 2 + 5ab + 2b 2
(1)
ab
A = 4 + 3ab + a 2 + b 2 + c 2
2
A = 2ab + 3ab + a 2 + b 2 + c 2
A = 5ab + a 2 + b 2 + c 2
( 2)
Igualando : 1 y 2
2a 2 + 5ab + 2b 2 = 5ab + a 2 + b 2 + c 2
2a 2 + 2b 2 = a 2 + b 2 + c 2
a 2 + b2 = c2
LQQD
Cuanto conocimiento nos ha alcanzado de la luz de
Newton, en cambio es una lástima que la grandeza del
gran sabio de Samos, el gran maestro nos alumbra
tenuemente bajo una luz opacada por el tamiz de la
leyenda y las fabulas, sin embargo, para las matemáticas
Pitágoras seguirá brillando por las eternidades en un
universo que cada vez descubre sus misterios gracias a los
números.
Según J Ramón Sordo
… Después de la muerte de Pitágoras, la escuela continuó
en el extremo sur de Italia (conocida en la antigüedad
como Magna Grecia), conservando quizás su influencia
hasta mediados del siglo V A.C., cuando probablemente
acaeció la destrucción de la ciudad de Metaponto,
pereciendo muchos de los Pitagóricos que se habían
refugiado en aquella ciudad. “Aquellos Pitagóricos que
permanecieron vivos parecen haber emigrado a Grecia,
donde establecieron centros en Flios y Tebas.
BIOGRAFÍAS: Pitágoras
Por J. Ramón Sordo
N°
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Catet
o
meno
r
Cateto
mayor
Hipotenu
sa
Cateto
menor
Cateto
mayor
Hipotenusa
x
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
y
0
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
312
364
420
480
544
612
684
760
840
924
1012
1104
1200
1300
1404
1512
1624
1740
1860
1984
2112
2244
2380
2520
2664
2812
2964
3120
3280
3444
3612
3784
3960
4140
z
1
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
313
365
421
481
545
613
685
761
841
925
1013
1105
1201
1301
1405
1513
1625
1741
1861
1985
2113
2245
2381
2521
2665
2813
2965
3121
3281
3445
3613
3785
3961
4141
x2
1
9
25
49
81
121
169
225
289
361
441
529
625
729
841
961
1089
1225
1369
1521
1681
1849
2025
2209
2401
2601
2809
3025
3249
3481
3721
3969
4225
4489
4761
5041
5329
5625
5929
6241
6561
6889
7225
7569
7921
8281
y2
0
16
144
576
1600
3600
7056
12544
20736
32400
48400
69696
97344
132496
176400
230400
295936
374544
467856
577600
705600
853776
1024144
1218816
1440000
1690000
1971216
2286144
2637376
3027600
3459600
3936256
4460544
5035536
5664400
6350400
7096896
7907344
8785296
9734400
10758400
11861136
13046544
14318656
15681600
17139600
y2
1
25
169
625
1681
3721
7225
12769
21025
32761
48841
70225
97969
133225
177241
231361
297025
375769
469225
579121
707281
855625
1026169
1221025
1442401
1692601
1974025
2289169
2640625
3031081
3463321
3940225
4464769
5040025
5669161
6355441
7102225
7912969
8791225
9740641
10764961
11868025
13053769
14326225
15689521
17147881
El teorema de Pitágoras
DIMENSIÓN DE LA HIPOTENUSA
Demostrar que el segmento AC
correspondiente a la hipotenusa del ∆ABC es
mayor que el segmento AD correspondiente a la
hipotenusa del ∆ABD. Existen varias
demostraciones, las cuales se presentarán a
continuación en este anexo.
̅̅̅̅
𝐴𝐶 2 − 2𝐵𝐷 × 𝐷𝐶 − ̅̅̅̅
𝐷𝐶 2 = ̅̅̅̅
𝐴𝐷 2
2
2
̅̅̅̅ = 𝐴𝐷
̅̅̅̅ + (2𝐵𝐷 × 𝐷𝐶 + 𝐷𝐶
̅̅̅̅ 2 )
𝐴𝐶
Entonces ̅̅̅̅
𝐴𝐶 > ̅̅̅̅
𝐴𝐷
POR PROYECCIONES
La proyección de 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶
La proyección de 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷
Pero: 𝐵𝐶 > 𝐵𝐷, entonces 𝐴𝐶 > 𝐴𝐷
POR CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA
Con centro en A se trazan los arcos de
circunferencia que contienen a los puntos C y D
hasta que corten en los puntos P y Q
pertenecientes a la extensión del segmento AB.
Las proyecciones de 𝐴𝐶 y 𝐴𝐷 sobre el
segmento 𝐵𝐶 determina el cumplimiento de la
premisa: A mayor proyección mayor segmento
proyector.
Como puede desprenderse del gráfico:
̅̅̅̅ = 𝐴𝑄
̅̅̅̅ y 𝐴𝐷
̅̅̅̅ = 𝐴𝑃
̅̅̅̅ , y el punto P esta entre
𝐴𝐶
los puntos B y Q.
Por tanto, por propiedad de extensión de
̅̅̅̅ > 𝐴𝑃
̅̅̅̅ > 𝐴𝐵
̅̅̅̅.
números reales se cumple que: 𝐴𝑄
Entonces se concluye que: ̅̅̅̅
𝐴𝐶 > ̅̅̅̅
𝐴𝐷 .
POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Q>P>B
POR TEOREMA DE PITÁGORAS
Aplicando el celebérrimo teorema de Pitágoras
a los triángulos rectángulos ∆ABC y ∆ABD.
̅̅̅̅2 + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ 2 = 𝐴𝐶
̅̅̅̅ 2
𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐵2 + ̅̅̅̅
𝐵𝐷 2 = ̅̅̅̅
𝐴𝐷 2
Igualando en 𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐵2 = ̅̅̅̅
𝐴𝐶 2 − ̅̅̅̅
𝐵𝐶 2
2
2
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ 2
𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐷
2
2
̅̅̅̅ − 𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 𝐴𝐷
̅̅̅̅ 2 − 𝐵𝐷
̅̅̅̅ 2
𝐴𝐶
Pero: ̅̅̅̅
𝐵𝐶 = ̅̅̅̅
𝐵𝐷 + ̅̅̅̅
𝐷𝐶
2
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐶 − (𝐵𝐷 + ̅̅̅̅
𝐷𝐶 )2 = ̅̅̅̅
𝐴𝐷 2 − ̅̅̅̅
𝐵𝐷 2
̅̅̅̅
𝐴𝐶 2 − ̅̅̅̅
𝐵𝐷 2 − 2𝐵𝐷 × 𝐷𝐶 − ̅̅̅̅
𝐷𝐶 2 = ̅̅̅̅
𝐴𝐷 2 − ̅̅̅̅
𝐵𝐷 2
𝑎
cos(𝛼 + 𝛽)
𝑎
𝑐=
cos(𝛼)
𝑒=
Pero 𝛼 + 𝛽 > 𝛼 ; por tanto:
cos(𝛼 + 𝛽) < cos(𝛼)
Entonces:
𝑎
𝑎
>
cos(𝛼 + 𝛽) cos(𝛼)
por consiguiente: e > c
A mayor ángulo, mayor cateto opuesto, por lo
que es mayor la hipotenusa consecuentemente.
Ruben Darío Muñoz López
TERNAS PITAGÓRICAS Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Introducción
En todo proceso de la vida diaria, es necesario
clasificar y ordenar las cosas de diferentes
maneras, aplicando algún criterio de
ordenación. Las cosas se pueden ordenar por
tamaño (grandes, medianos, pequeños). Se
pueden ordenar por tipo, por color, por forma,
etc.
A = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 15, 20, 22, 25}
La clasificación de objetos responde a la
naturaleza de los objetos en sí y al criterio de
clasificación u ordenación. Las matemáticas
permiten estructurar, clasificar y ordenar los
procesos abstrayéndolo en forma de modelos
simples o modelos matemáticos. Una
consecuencia importante del lenguaje de los
conjuntos es el concepto de relación y función.
Clasificar los números en impares y pares:
A1 = {1, 5, 7, 11, 5, 25}
A2 = {2, 4, 8, 10, 12, 20, 22}
Todos los subconjuntos determinados según los
criterios de ordenación o clasificación han
establecido una relación de conjuntos entre los
elementos del conjunto y un criterio de
ordenación o clasificación. A continuación,
vamos a establecer la diferencia entre Relación
matemática y función matemática.
Funciones y Relaciones
La definición de FUNCIÓN se realiza en base a
los conceptos de conjunto. Dados dos
conjuntos, estos están o no relacionados, es
decir los elementos de uno de los conjuntos se
relacionan o está en función del otro conjunto.
Matemáticamente, Relación no es igual a
Función, difiere en la forma en que
correspondemos los elementos de dos
conjuntos. Básicamente la diferencia entre
relación y función es que en el primer caso a
cada elemento de un conjunto le pueden
corresponder más de un elemento de un
segundo conjunto, en cambio cuando la
relaciones es biunívoca, es decir a cada
elemento de un conjunto solo le puede
corresponder uno y solo uno elemento del
segundo conjunto, se establece una función
matemática de ambos conjuntos.
Veamos el siguiente ejemplo: Sea el conjunto A
cuyos elementos numéricos se describen
matemáticamente a continuación y que
podemos ordenar o clasificar.
Podemos ordenar los números de menor a
mayor, cosa que ya está hecha.
Ordenar los números de mayor a menor:
A = {25, 22, 20, 15, 12, 11, 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1}
En este caso existen dos criterios, en realidad,
por paridad y por magnitud (ascendente)
Clasificar los números múltiplos de 5:
A5 = {5, 10, 15, 20, 25}
Obsérvese que los elementos del subconjunto
A5 están relacionados a los 5 primeros números
naturales, es decir son múltiplos de 1,2,3,4 y 5.
En otras palabras 5, 10, 15, 20, 25 están en
función de 1, 2, 3, 4 y 5 mediante una operación
aritmética del producto por 5. Cualquier otro
número diferente distorsionaría la función
establecida. En cambio, en el subconjunto A1
cualquier número impar no cambiaría el criterio
de ordenación, el subconjunto seguiría siendo
un conjunto de impares.
CONJUNTOS PITAGÓRICOS
Las ternas pitagóricas se constituyen en un buen
ejemplo de estudio de conjuntos de números
naturales. El universo de todos los elementos
que constituyen las tuplas pitagóricas es el
conjunto de números N; por ello es importante
recordar algunos conceptos básicos al respecto.
En este apartado se presenta un resumen de
ejercicios con conjuntos.
EJERCICIO
Dado el conjunto A, describir por extensión los
subconjuntos que conformen ternas pitagóricas.
Al no existir elementos para ese subconjunto la
respuesta es el conjunto vacío.
El teorema de Pitágoras
EJERCICIO
Clasificar los números que no pertenecen a una
terna pitagórica entera primitiva:
El conjunto de catetos mayores pares menores
que 20 de triángulos pitagóricos.
𝐶𝑦 = {
A6 = {1, 2}
Bajo este criterio, por ejemplo si tuviésemos
que agregar un elemento más al conjunto A,
sería 29, pues 26 corresponde a la terna 26, 168,
170 reducible a la terna 13, 84, 85.
CONJUNTOS DE ELEMENTOS INFINITOS
DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
El conjunto orto pitagórico de triángulos
rectángulos de lados enteros, son infinitos.
Obsérvese que no se incluye 0, 1 y 2, debido a
que en una terna orto pitagórica: z > y > x
Dado un triángulo rectángulo orto pitagórico de
lados enteros x, y, z tal que z > y > x > 2 se
pueden establecer los siguientes conjuntos:
𝐶𝑥 = {𝑥 |𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟}
𝐶𝑥 = {3, 4, 5, 6, 7, … , ∞}
Los elementos se distancian aritméticamente en
una unidad.
𝑛2 − 𝑘 2
| 3 ≤ 𝑛 ≤ 12 ∧ 2 ≤ 𝑘 ≤ 6}
2𝑘
En la tabla siguiente se distribuyen todas las
ternas pitagóricas para cateto menor entre 3 y
12.
x=n
y
z
k
3
4
5
1
4
3
5
2
5
12
13
1
6
8
10
2
7
24
25
1
8
15
17
2
8
6
10
4
9
40
41
1
9
12
15
3
10
24
26
2
11
60
61
1
12
35
37
2
12
16
20
4
12
9
15
6
Según los criterios establecidos en las
preposiciones, solamente las siguientes ternas
cumplen lo enunciado.
𝐶𝑦 = {𝑦 |𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 }
𝐶𝑦 = {4, 6, 8, 12, 15 … , 𝑦}
𝐶𝑧 = {𝑧 |𝑧 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 }
𝐶𝑧 = {5, 10, 13, 15, 17, … , 𝑧}
Tanto para el conjunto de catetos mayores y de
hipotenusas, los elementos se distancian
aritméticamente en más de una unidad.
CONJUNTOS DE ELEMENTOS FINITOS DE
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
A continuación se presentan algunos ejemplos
de conjuntos que definen elementos de ternas
pitagóricas de conjuntos finitos:
El conjunto de hipotenusas de triángulos
pitagóricos múltiplos de 5 y menores que 30.
𝐶𝑧 = { 5𝑛 | 1 ≤ 𝑛 ≤ 5}
𝐶𝑧 = {5, 10, 15, 20, 25}
x=n
3
5
6
8
9
12
y
4
12
8
6
12
16
z
5
13
10
10
15
20
k
1
1
2
4
3
4
Por tanto, el conjunto es: 𝐶𝑦 = {4, 6, 8, 12, 16}
El conjunto de catetos menores de valor impar
de triángulos pitagóricos menores que 13.
𝐶𝑥 = { 2𝑛 + 1 | 1 ≤ 𝑛 < 6}
𝐶𝑥 = {3, 5, 7, 9, 11}
Ruben Darío Muñoz López
ANEXO EN FORMATO DIGITAL DEL CAPITULO SERIES NATURALES DE TERNAS
PITAGÓRICAS
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xi = xi-1 +4(3+n)
268
16
36
60
88
120
156
196
240
288
232
196
160
124
88
52
16
1
3
5
7
9
El teorema de Pitágoras
HOJA DE RUTA Y LOS VIAJES DE PITÁGORAS POR EL MUNDO ANTIGUO
Pitágoras durante su existencia recorrió el mundo
antiguo casi en toda su extensión, visitó y
compartió escenario con los más grandes y
renombrados sabios de la antigüedad.
1. En ÉFESO, el filósofo Bias en Prienne y el
matemático Tales en Mileto le absuelven muchos
misterios órficos y sobre geometría sagrada.
2. En HALICARNASO, ahonda en las costumbres
y penetra en las creencias de los chipriotas.
3. En SIDÓN, Samos su tierra natal, dialogó con el
Hierofante, sucesor del anciano Moschus, padre
de la teoría de los Átomos.
4. En la ciudad de BIBLOS, presenció los arcanos
de la muerte de Adonis, y aprovecho para instruir
sobre los orígenes fenicios en Tyro.
5. Visitó Egipto: Sucesivamente los sacerdotes de
Heliópolis, los sacerdotes de Memphis y los
pontífices de la gran Tebas, lo instruyeron en las
antiguas doctrinas, lo iniciaron en merito a su
perseverancia y lo condujeron por nuevas
pruebas iniciáticas respectivamente.
6. Etiopía, atendió las enseñanzas de los
Gimnosofistas del reino de Meroé, (Nubia, actual
Sudán).
7. De regreso a Memphis, presencia el juicio de los
muertos del Faraón Amosis, mientras Cambises
prepara la invasión y conquista de Egipto,
Pitágoras es hecho prisionero.
8. Cruza el monte Carmelo, el monte Líbano, y
surca el río Éufrates; manteniendo “El silencio”
pilar de su filosofía mientras observa y asimila
todo conocimiento que tiene a su alcance.
9. En ORCHOE, los Caldeos lo compensan por los
escándalos de Babilonia. Ahí ascendió la torre de
Bélus, siendo admitido en el selecto grupo de
confidentes de la gran reforma de Zoroastro.
10. Después de viajar a Susa se dirigió a Persépolis
donde presencio los rituales funerarios de Ciro en
Persagarde y la coronación de Dario.
11. En ECBATANA los magos lo incluyeron en una
delegación extranjera hacia a los Brahmanes de
la India. conocido como el MAESTRO JONICO
o YAVANACHARYA aprendió la doctrina de
los “Vedas”, y adquirió el conocimiento de los
Gimnosofistas o Yoguis. Conoció a Buda, el
Iluminado.
12. De regresó de la India, visito y estudio las
costumbres de la gente de TRAPOBANE (actual
Ceylán),
13. En Creta, en el monte Ida, se entrevistó con el
sabio Epiménides.
14. Antes de regresar a Samos, visito y pernoctó en
la residencia del filósofo Cleóbulo, en Rodas.
Allí presenció la declamación del poema “los
placeres” de Théos en la corte de Polícrates.
Presencio la revolución en Samos y calvario de
la crucifixión del príncipe Polícrates.
15. Como consecuencia de las turbulencias políticas
e intrigas Pitágoras se expatrió de Samos
definitivamente.
16. Las islas Cicladas, y prosiguió su itinerario hasta
llegar a Samotracia.
17. Cuando visito la villa Espartana, se empapó de
las costumbres lacedemonias y oyó de la viva voz
del sabio Chiton las disertaciones de política y las
leyes de Licurgo.
18. Presenció los juegos olímpicos, resplandeciendo
en el estrado ante un atiborrado público junto al
eminente poeta Thespis quien recitó la
“Tragedia”. El nutrido público griego demandó
oír al sabio y reputado Pitágoras. Ante el
asombro de los asistentes, él narró con mucho
detalle la historia y efemérides de las
civilizaciones humanas desde el principio de la
historia hace más de 12 mil años hasta la
actualidad de esos días, una información que hoy
se halla perdida o reposa protegida en las
bibliotecas de hermandades herméticas. Su
disertación puso énfasis en lo que él consideraba
los principios políticos fundamentales que deben
regir una sociedad desarrollada y que a su tiempo
fueron esgrimidas por los legisladores:
Prometeo, Tot, Orfeo, Minos, Licurgo, Dracon,
Numa, etc.
19. De la Élide pasó a la Arcadia. Estuvo en la corte
del príncipe León en Fliunte, usando por primera
vez el título modesto de filósofo. Visitó Corinto,
Megara, y fue recibido en los misterios de
Eleusis, y se mostró en Atenas, en la época de la
conjuración de Harmodius.
20. la Beocia; visitó por segunda vez a Tebas, y se
encaminó hacia Delfos, donde él dialogó con la
gran sacerdotisa del Oráculo.
21. Naupacte y tocó la isla de Córcega, y se dirigió
hacia Siracusa. Pitágoras se encontró con el
tirano Phalaris, y ogró hacer una revolución en
Sicilia, que culminó con la muerte de Phalaris.
22. Nuestro sabio continuó el examen de esta isla.
Asistió a las solemnidades de Venus, sobre el
Ruben Darío Muñoz López
monte Érix. Tomó la ruta a Panorma. Atravesó
las planicies de Enna hasta Centuripe, donde
convirtió al déspota Symmichus a la filosofía. De
la cúspide del Etna, descendió a Catania, donde
el discípulo Carondas se le unió, como lo había
hecho antes el joven Abaris en Sicilia.
23. Atravesó el estrecho de Caribdis, y se encontró a
los pies de los Apeninos. Él pasó a Rhégium, en
Lacres.
24. En el país de los Etruscos, visitó las fábricas de
los vasos extraordinarios y sus monumentos
imponentes.
25. Escaló el Vesubio e ingreso a la ciudad de
Herculano, luego visitó la caverna de la Sibila, en
Cumas, donde yacía moribunda. El maestro
acompañó a la Sibila a Roma, llevando los libros
Sibilinos donde acontecería el futuro de la
metrópoli. Pitágoras apesadumbrado pasó sobre
las ruinas humeantes de la ciudad de Alba,
arrasada por la naciente Roma.
26. Encuentro de Junius Brutus, no el que asesino
Julio Cesar siglos después, autor de la caída de
los Tarquinas. Estando en el palacio del rey
Tarquina de Roma, es testigo de la gran
revolución y transición de la monarquía a la
democracia romana.
27. Nuestro ilustre Sabio acompañado de los
embajadores de la naciente república Romana
visita Cartago, Sardina, Córcega, y Marsella. Su
joven discípulo, el joven Nórdico Abaris, lo guía
por las Galias, la foresta de los Carnutos
(Chartres). Llegando a iniciarse en las místicas
ceremonias druidas, llegando a obtener el grado
de Maestro Druida. Zamolxis el hijo de uno de
los maestros druidas, se une a Pitágoras.
Prolonga su recorrido por las riveras del rio Sena
hasta llegar a Lutecia (Paris).
28. Cruza los Alpes, de regreso a Italia, acompañado
de Abaris y sus tres discípulos. Pitágoras,
recorren el país de las Sabinas.
29. Finalmente se establece en Crotona, contrae
matrimonio con Theana, con quien tiene un hijo
y una hija. Luego de un tiempo resiente la muerte
de su anciano maestro Ferécides en Delos, a
quien rinde los homenajes póstumos
correspondientes, dejando todas sus actividades
públicas y académicas.
30. De regreso a la Magna Grecia, Pitágoras,
consagró su vida a la transformación de las
costumbres y la legislación de muchas villas
griegas como Crotona o Tarento. Fungió de
magistrado y de instructor simultáneamente.
Instituyó una Escuela superior de Misterios, una
especie de consorcio científico, místico y
sacerdotal, donde se cultivaba todas las ciencias
y disciplinas cognitivas de la época, las que para
muchos eran vetadas como verdaderos misterios:
las matemáticas, la aritmética, la geometría, la
música, la astronomía, la astrología, el estudio e
interpretación de los sueños que hoy podría
equipararse con el psicoanálisis, etc.
31. Ulteriormente de un noviciado de silencio de dos
años, se admitía al aspirante, tiempo que podía
extenderse hasta cinco años, si el postulante no
reunía las cualidades humanistas, este era
descalificado. Entre las características más
sobresalientes era la vida en comunidad,
abstención de consumo de carnes y bebidas
alcohólicas o alucinógenas.
Extraído de: PITÁGORAS Y LA CIENCIA
MODERNA por Q.H. Rafael Arturo Camerano
Fuentes VM.
Gran Logia de Colombia. Logia Pitágoras Nº 28,
Bogotá
El teorema de Pitágoras
USO DE LETRAS Y NOMENCLATURA
a, b, c, d, e
A, B, C, D, E
F, G, M, N,
H
f, g, (h)
h, j, k, (q)
i, j
L, l
m, n
O, o, O’
p, q
r, s, t
S, T
u, v
x, y, z
: Para potencias, y otras cantidades numéricas
: Vértices de figuras geométricas
: Puntos especiales en geometría (centro de segmentos)
: Altura geométrica
: Para funciones (letra cursiva)
: Diferencias notables de TP
: valores i y j enésimos de una sucesión
: Longitud
: Potencias
: Centro geométrico, origen
: Números primos
:
: Totales o sumatorias
: Valor de segmentos adyacentes
: Para ternas pitagóricas
: Sextales, base de sextales
: Índice de sextales y ángulos
: paridades (par e impar)
: constante pi
: Numero de oro
: Productiva
: Sumatoria
: Incremento de cantidades
: Ángulos
U
: Conjunto universal
w, ω
: Conjunto sextal
xyz
Relaciones triangulares de ternas pitagóricas
N, Z, Q, I, R, C
: Conjunto de Números (carácter en negrita)
SÍMBOLOS DE RESERVA FUNCIONES ESPECIALES
#&@¢£ØøâåÅʃʄʘΨζℛℬ∂
Ruben Darío Muñoz López
Gracias e infinitas disculpas por cualquier omisión, falta o error de
trascripción, pues un trabajo matemático está siempre dispuesto a la
revisión y el escrutinio, al cual me someto con humildad y
reconocimiento.
El teorema de Pitágoras
BIBLIOGRAFÍA
Singh, Simon y Ribet, Kenneth A. El último reducto de Fermat. Investigación y Ciencia. Barcelona
Capi Corrales Rodriguez El teorema de Fermat 1993 conjetura de catalán
Pitágoras y su teorema Paul Strathern 1997
BIOGRAFÍAS: Pitágoras - Por J. Ramón Sordo 2006
Valores del pitagorismo en la era actual – Alejandro Silvani
Ruben Darío Muñoz López
ÍNDICE DE CONTENIDOS
TRINOMIOS DE LA FORMA .............................................................................................................................. 1
TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS ........................................................................ 4
IMPORTANCIA DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS ENTEROS Z+ ................................................ 5
CONCEPTOS PREVIOS ......................................................................................................................................... 6
POSTULADO DEL RESTO PITAGÓRICO............................................................................................................. 8
...................................................................... 9
DIFERENCIAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DETERMINACIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS ENTERAS POR TANTEO ....................................................... 11
..................................................... 14
EL CONSECUTIVO DE UN CUADRADO NO ES CUADRADO PERFECTO
............................................... 15
CUADRADOS CONSECUTIVOS Y DIFERENCIA INCREMENTAL MAYOR A 1
TEOREMA GENERATRIZ DE TERNAS PITAGÓRICAS. .................................................................................... 16
CASO 1: LA HIPOTENUSA EXCEDE EN UNA UNIDAD AL CATETO MAYOR. ................................................ 17
CASO 2: LA HIPOTENUSA EXCEDE AL CATETO MAYOR EN 2 UNIDADES. ................................................. 20
CASO 3: LA HIPOTENUSA EXCEDE AL CATETO MAYOR EN 3 UNIDADES. ................................................. 23
CASO 4: LA HIPOTENUSA EXCEDE AL CATETO MAYOR EN 4 UNIDADES. ................................................. 24
CASO 5: PARA UN VALOR ARBITRARIO PRIMO, POR EJEMPLO, K=13. ............................................................ 25
CASO GENERAL: LA HIPOTENUSA EXCEDE EN “K” UNIDADES AL CATETO MAYOR. ............................. 27
RELACIÓN ARITMÉTICA DE LAS DIFERENCIA PITAGÓRICAS DE “Q” Y “K” ............................................. 29
DIFERENCIA DEL CATETO MENOR Y LA HIPOTENUSA ................................................................................ 32
DIFERENCIA ENTRE CATETOS ......................................................................................................................... 32
............................................................................... 32
RELACIÓN GRAFICA DE LAS DIFERENCIAS NOTABLES
ANÁLISIS DE LOS K DE UNA TERNA PITAGÓRICA .......................................................................................... 33
IMPLICANCIA FUNDAMENTAL DE LA DIFERENCIA PITAGÓRICA ............................................................. 34
MÉTODO PARA DETERMINAR MANUALMENTE LOS VALORES DE K .......................................................... 35
TEOREMA DE EXCESO O DIFERENCIA PITAGÓRICA.................................................................................... 39
POSTULADO FUNDAMENTAL DE LA DIFERENCIA PITAGÓRICA PARA TERNAS PRIMAS ....................... 41
TERNAS IRREDUCTIBLES .................................................................................................................................. 44
CONGRUENCIAS E INCONGRUENCIAS DE TERNAS PITAGÓRICAS ............................................................ 45
TEOREMAS DE TERNAS DE CATETOS CO-PRIMOS ........................................................................................ 46
LAS INTERESANTES PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE: Z – X = M. ..................................................... 47
SERIES NATURALES DE TERNAS PITAGÓRICAS ............................................................................................. 48
TERNAS PRIMAS ABSOLUTAS ........................................................................................................................... 51
ANÁLISIS COMBINATORIO DE TERNAS PITAGÓRICAS POR PARIDADES PARA “N=2” ............................ 52
TERNAS ESPECIALES ....................................................................................................................................... 116
CATETO POR SEMISUMA ................................................................................................................................. 116
TERNAS PITAGÓRICAS POR DIFERENCIA DE CATETOS ............................................................................. 117
TERNAS PITAGÓRICAS DE LADOS CONSECUTIVOS. ................................................................................... 119
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS DE CATETOS CONSECUTIVOS ..................................................................... 120
INEXISTENCIA DE TERNAS ENTERAS DE CATETOS CONSECUTIVOS PARA CATETO MENOR: Ω1 Y Ω4 .. 125
MÉTODO DE CONOCIMIENTO GENERAL DE TERNAS PITAGÓRICAS ........................................................ 54
TERNAS PITAGÓRICAS Y LA SERIE FIBONACCI ............................................................................................. 56
DOBLE SERIE FIBONACCI Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS.......................................................................... 57
CATETO MENOR ................................................................................................................................................. 58
ÁREA DE UN TRIANGULO PITAGÓRICO.......................................................................................................... 60
El teorema de Pitágoras
PERÍMETRO DE UN TRIANGULO PITAGÓRICO ............................................................................................. 61
PRODUCTOS NOTABLES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ........................................................................ 63
ALTURA Y PROYECCIONES DE LOS CATETOS SOBRE LA HIPOTENUSA..................................................... 65
ALTURAS Y SERIES ............................................................................................................................................. 66
EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE VARIABLE ENTERA .................................................................................. 68
EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE VALOR ENTERO DERIVADA DEL PERÍMETRO ........................................... 70
PERÍMETRO DE TRIANGULO PITAGÓRICO DOBLE ...................................................................................... 71
LADO DEL CUADRO DE ÁREA EQUIVALENTE DE UN TRIÁNGULO PITAGÓRICO NO ES ENTERO. ........ 73
ÁREAS Y PERÍMETROS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SUPERPUESTOS .............................................. 75
TERNAS PARENTALES ........................................................................................................................................ 76
TERNAS PARENTALES ........................................................................................................................................ 77
TRIANGULO PITAGÓRICO TRANSVERSO ........................................................................................................ 78
TRIÁNGULOS PARENTALES .............................................................................................................................. 79
RELACIONES NOTABLES DE TRIANGULOS PARENTALES ............................................................................ 80
CONJETURAS DERIVADAS DEL TEOREMA GENERATRIZ ............................................................................. 81
CRIBA DE RESTO PITAGÓRICO “K” PARA NÚMEROS PARES. ..................................................................... 82
CRIBA DE RESTO PITAGÓRICO “K” PARA NÚMEROS IMPARES. ................................................................. 83
DETERMINAR POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS SI UN NÚMERO ES PRIMO. .......................................... 84
TABLA SISTEMÁTICA DE TP, DIFERENCIA PITAGÓRICA Y Q ........................................................................ 30
................................................................................................................................ 85
QUINEPLAS PITAGÓRICAS
................................................................................................ 86
QUINEPLAS DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
.................................................................................................. 86
QUINEPLAS DE TRIÁNGULOS PARENTALES
GENERACIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS POR OTROS METODOS ............................................................. 88
TERNAS PITAGÓRICAS POR IDENTIDADES DE LEGENDRE ......................................................................... 89
TERNAS PITAGÓRICAS POR FACTORIZACIÓN ............................................................................................... 91
TERNAS PITAGÓRICAS POR EL BINOMIO DE NEWTON ................................................................................ 92
TERNAS PITAGÓRICAS POR DIFERENCIA DE CUADRADOS ........................................................................ 93
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIÓN DE CUADRADOS ............................................................................ 93
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIÓN DE CUBOS ....................................................................................... 94
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIONES COMPUESTAS ............................................................................ 95
DIFERENCIA DE POTENCIAS ............................................................................................................................ 96
TERNAS PITAGÓRICAS POR NÚMEROS CONSECUTIVOS ............................................................................. 98
TERNAS PITAGÓRICAS POR DESCOMPOSICIÓN ADITIVA ........................................................................... 99
TERNAS PITAGÓRICAS DEFINIDAS POR DIVISOR ....................................................................................... 101
TERNAS PITAGÓRICAS ENTERAS POR EL MÉTODO DE LAS TANGENTES ................................................ 102
TERNAS PITAGÓRICAS POR EL MÉTODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS .................................................... 104
TERNAS PITAGÓRICAS POR TABLAS.............................................................................................................. 105
CORRELACIÓN DE LA SUMA DE LA SUCESIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y EL CUADRADO DE LOS
NÚMEROS IMPARES ......................................................................................................................................... 108
TERNAS PITAGÓRICAS POR PRODUCTO DE DOS CONSECUTIVOS .......................................................... 110
CUADRADO DE NÚMEROS IMPARES............................................................................................................. 112
NÚMEROS PRIMOS DE LA FORMA 4S + 1 ...................................................................................................... 113
TERNAS AXILES POR CUADRADOS PERFECTOS ......................................................................................... 114
TERNAS PITAGÓRICAS SIN UTILIZAR POTENCIAS ...................................................................................... 115
MÉTODO DE GENERACIÓN DE TERNAS DE TERRY FURLER ..................................................................... 116
TERNAS PITAGÓRICAS MÉTODOS DESARROLLADO POR COLABORADORES ........................................ 132
Ruben Darío Muñoz López
COMPOSICIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS POR SUCESIONES ................................................................. 133
SUCESIONES GENERADAS POR TERNAS PITAGÓRICAS ............................................................................. 134
....................................................................................... 136
DESCOMPOSICIÓN DE TERNAS EN SUCESIONES
APLICACIÓN DE SUCESIONES A LA GENERACIÓN DE TP ENTERAS ........................................................ 138
TERNAS PITAGÓRICAS EXTENDIDAS POR SUMA DE LA SUCESIÓN NATURAL ....................................... 138
TERNAS PITAGÓRICAS EXTENDIDAS POR SUMA SUCESIÓN DE NÚMEROS PARES ............................... 139
SUCESIÓN DE MÚLTIPLOS DE 3 EN ORDEN ABSOLUTO ............................................................................ 139
TERNAS PITAGÓRICAS DESCOMPUESTAS EN SUCESIONES DE NÚMEROS Z+ ....................................... 142
TRIANGULO NUMÉRICO DE TERNAS PITAGÓRICAS................................................................................... 143
EL TEOREMA DE PITÁGORAS POR SUCESIÓN DE SUMA DE CUBOS. ....................................................... 145
CONJUNTO DE TERNAS DE SERIE DE POTENCIAS ...................................................................................... 147
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN IMPAR Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS ........................................... 148
CORRELACIÓN DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ENTEROS Y CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN
IMPAR. ............................................................................................................................................................... 152
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN IMPAR POR EL MÉTODO BRACHET................................................. 153
CUADRADOS NUMÉRICOS DE ORDEN SECUENCIAL ................................................................................. 155
TERNAS PITAGÓRICAS POR MODULARIDAD ............................................................................................... 156
ESCALERA PITAGÓRICA .................................................................................................................................. 157
TERNAS PITAGÓRICAS PARA CATETO MENOR “S” ..................................................................................... 160
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ........................................................ 161
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS DE LADOS ENTEROS .................... 162
RELACIÓN DE ÁREAS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS................................................................... 163
IDENTIDADES UNITARIAS PARA TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ................................................................. 164
POTENCIAS NOTABLES DE TERNAS PITAGÓRICAS ................................................................................... 167
POTENCIAS NOTABLES DE TERNAS .............................................................................................................. 168
PLANO SEXTAL Y LAS TERNAS PITAGÓRICAS ............................................................................................. 170
TERNAS PITAGÓRICAS Y SEXTALES ............................................................................................................... 171
PRIMER SEXTAL: .............................................................................................................................................. 172
TERCER SEXTAL K = 1: ..................................................................................................................................... 173
TERCER SEXTAL K = 1: ..................................................................................................................................... 174
QUINTO SEXTAL: .............................................................................................................................................. 174
................................................................................................... 175
RESUMEN TERNAS PITAGÓRICAS PRIMAS
TERNAS PITAGÓRICAS Y NÚMEROS PRIMOS ............................................................................................... 176
TERNAS DE POTENCIA CUALESQUIERA PARA EL CATETO MENOR ....................................................... 178
TERNA PITAGÓRICA DE CATETO MENOR DE POTENCIA CUALESQUIERA ............................................. 179
DETERMINACIÓN DEL ESTADO DE PARIDAD DE K .................................................................................... 180
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS POR NÚMEROS DE LA FORMA N2 + 1 ............................................. 181
TERNAS PITAGÓRICAS DE POTENCIA N>2 PARA CATETO MENOR IMPAR POR SEXTALES................... 183
CASO SEXTAL I .................................................................................................................................................. 183
CASO SEXTAL III ............................................................................................................................................... 183
El teorema de Pitágoras
CASO SEXTAL V ................................................................................................................................................. 183
LA FORMULA GENERAL PARA K = 1: ............................................................................................................. 184
CASO CUBICO PARA K = 1 ............................................................................................................................... 184
CÚBICO PARA K=5 ................................................................................................................................................ 185
CÚBICO PARA K=7 ................................................................................................................................................ 185
CÚBICO K DIVERSOS .............................................................................................................................................. 185
CONJETURA DEL CUADRADO POR DIFERENCIA DE CUBOS .................................................................... 186
POR DEFINICIÓN DE SEXTALES .................................................................................................................... 187
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES POR EJE SEXTAL ............................................................................... 188
DIFERENCIA POLINOMIAL DE TERNAS PITAGÓRICAS .............................................................................. 189
DIFERENCIA POLINOMIAL DE TERNAS PITAGÓRICAS EXTENDIDAS N > 2 Y EL UTF. ........................... 190
CASO POTENCIA 3:........................................................................................................................................... 190
CASO POTENCIA N=4: ...................................................................................................................................... 191
DIVISIBILIDAD Y TERNAS PITAGÓRICAS...................................................................................................... 192
DIVISIBILIDAD DE TERNAS PITAGÓRICAS ................................................................................................... 193
ALGUNAS CURIOSIDADES DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS ........................................................................ 195
RESTOS CUADRADOS ...................................................................................................................................... 196
SUMA DE CATETOS ENTRE HIPOTENUSA .................................................................................................... 198
CONJUNTO DE TERNAS POR FACTORIZACIÓN ........................................................................................... 199
PROBLEMA RESUELTO POR INSPECCIÓN PITAGÓRICA ............................................................................ 206
CIFRAS INFINITAS Y LAS TERNAS PITAGÓRICAS ........................................................................................ 207
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS PERSISTENTES ..................................................................................... 208
PERSISTENCIAS PITAGÓRICAS ...................................................................................................................... 209
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS PERSISTENTES CASO GENERAL. ....................................................... 210
TERNAS DE CIFRAS IMPARES PERSISTENTES .............................................................................................. 211
TERNAS DE CIFRAS PARES PERSISTENTES .................................................................................................. 212
............................................................................................. 213
TERNAS PITAGÓRICAS DE CIFRAS INFINITAS
SUMAS INFINITAS CON TERNAS PITAGÓRICA ............................................................................................. 217
SUMA DE LOS COCIENTES DE CATETOS X/Y PARA X = 2N + 1 ..................................................................... 217
SUMA DE COCIENTES DEL CATETO MAYOR ENTRE HIPOTENUSA Y/Z PARA X = 2N + 1 ......................... 217
RELACIONES CIRCULARES DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS ...................................................................... 218
TEOREMA DE PONCELET APLICADO A TERNAS PITAGÓRICAS ENTERAS .............................................. 225
ISOTENUSAS ...................................................................................................................................................... 227
RELACIÓN DE DIFERENCIAS PITAGÓRICAS K Y K’ DE TERNAS ISOTENUSAS. ......................................... 228
TERNAS ISOTENUSAS ESPEJO ........................................................................................................................ 230
CIRCUNFERENCIAS Y RELACIONES PITAGÓRICAS .................................................................................... 232
MÉTODO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO PERTENECE A UNA TERNA PITAGÓRICA ENTERA. ..... 234
NÚMEROS INCLINADOS .................................................................................................................................. 236
PROPORCIÓN AUREA Y LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS ................................. 237
RELACIONES TRIANGULARES DE LAS TERNAS PITAGÓRICAS .................................................................. 238
RELACIONES TRIANGULARES PARA TERNAS DE CATETOS CONSECUTIVOS ......................................... 239
Ruben Darío Muñoz López
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS INSCRITOS .................................................................................................... 240
RELACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DE UN CIRCULO CIRCUNSCRITO A UN TRIANGULO
PITAGÓRICO ..................................................................................................................................................... 241
RELACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DE UN CIRCULO CIRCUNSCRITO A UN RECTÁNGULO
PITAGÓRICO ..................................................................................................................................................... 242
RELACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DE UN CIRCULO CIRCUNSCRITO A UN CUADRADO
............................................................................................................................................................................ 243
RELACIÓN ENTRE CATETOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO .............................................................. 244
CASO DE UN TRIANGULO PITAGÓRICO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA .................................... 245
LONGITUD DE LA CATIANA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO DE LADOS ENTEROS .......................... 246
DISTANCIA DE CENTROS DE CIRCUNFERENCIAS CIRCUNSCRITAS ........................................................ 248
EJERCICIO DE CIRCUNFERENCIAS Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS ....................................................... 250
EJERCICIO PROPUESTO Y SOLUCIÓN SINTÉTICA ...................................................................................... 251
GENERACIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS EN R+ ........................................................................................ 252
GENERACIÓN DE TERNAS DE PITÁGORAS EN R+ ....................................................................................... 253
FUNCIÓN PITAGÓRICA Y CONTINUIDAD ..................................................................................................... 255
TERNAS PITAGÓRICAS COMO FUNCIÓN DE VARIABLE DISCRETA .......................................................... 256
EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL NUMERO ÁUREO.................................................................................. 259
CANTIDAD DE TERNAS DE HIPOTENUSA ENTERA PARA PERÍMETRO CONSTANTE .............................. 264
TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS POR NÚMEROS COMBINATORIOS Y FACTORIALES .................... 266
DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES PITAGÓRICAS ............................................................................ 267
TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS ........................................................................... 269
TEOREMA DE PITÁGORAS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS CUADRÁTICOS .......................................... 270
TERNAS PITAGÓRICAS POR SUMATORIA DE SERIES RACIONALES .......................................................... 271
TERNAS PITAGÓRICAS DE NÚMEROS COMPLEJOS ................................................................................... 272
TEOREMA DE PITÁGORAS COMPLEJO PAR K = 1 ........................................................................................ 274
MATRICES PITAGÓRICAS ................................................................................................................................ 275
PRODUCTO DE DOS MATRICES DE 2X2 ........................................................................................................ 277
...................................... 278
CALCULO DE LA DETERMINANTE DEL CUADRADO DE UNA MATRIZ DE 2 X 2
EXTENSIONES ................................................................................................................................................... 280
EXTENSIÓN PITAGÓRICA ................................................................................................................................ 281
BISECTOR EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS .......................................................... 282
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO PITAGÓRICO DE LADOS ENTEROS DIFERENTES ................................... 283
MÉTODO DE LA DIFERENCIA DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ................................................................ 283
EXPRESIONES ENTERAS DERIVADAS ............................................................................................................ 285
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS QUE CONFORMAN CUADRILÁTEROS......................................................... 286
DESCOMPOSICIÓN DE UN CUADRADO EN LA SUMA DE TRES CUADRADOS ......................................... 287
TERNAS CORRESPONDIENTES POR SUMA DE TÉRMINOS ......................................................................... 288
PROPIEDAD TRIANGULAR DE NÚMEROS .................................................................................................... 289
El teorema de Pitágoras
MISCELÁNEAS ................................................................................................................................................... 291
TABLA DE PITÁGORAS SIMPLIFICADA DE MULTIPLICACIÓN .................................................................. 294
ÁREA Y PERÍMETRO ......................................................................................................................................... 296
RETO MILLONARIO .......................................................................................................................................... 299
EL ALMACÉN DE LOS ENTEROS ..................................................................................................................... 300
ANÁLISIS GRAFICO DEL TEOREMA DE KAMALSINGH PRAJAPATI ........................................................... 301
UNA PREGUNTA INTERESANTE DE UN MIEMBRO DEL GRUPO MÁS ALLÁ DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS ....................................................................................................................................................... 302
CURIOSIDADES PITAGÓRICAS CON NÚMEROS TRANSPUESTOS ............................................................. 303
PERSISTENCIA DE CIFRAS .............................................................................................................................. 303
CONJETURA DE POLÍGONO REGULAR INSCRITO....................................................................................... 304
ANEXOS .............................................................................................................................................................. 306
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS ....................................................................................... 307
DIMENSIÓN DE LA HIPOTENUSA ................................................................................................................... 308
SEGMENTOS PROPORCIONALES DE YE ........................................................................................................ 292
TERNAS PROPORCIONALES............................................................................................................................ 291
TEORÍA DE CONJUNTOS CON TERNAS PITAGÓRICAS ................................................................................ 309
ANEXO EN FORMATO DIGITAL DEL CAPITULO SERIES NATURALES DE TERNAS PITAGÓRICAS ........ 311
BIBLIOGRAFÍA
.................................................................................................................................................. 316
ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................................................................... 317