TRABAJO COLABORATIVO Nº2, DE CONTROL ANALOGICO
Presentado por:
Andrés Fernando Carvajal Lozano
Milton Adriano Gonzales
David Pastor Morales
Carlos Alberto Lopez
Presentado a:
Harold Esneider Pérez Walteros
Universidad Nacional Abierta y a Distancia, CEAD – Ibagué
17 de Mayo de 2010, Ibagué – Tolima
INTRODUCCION
En este trabajo encontraremos la aplicación de los conceptos vistos en la unidad
2, aplicados en el diseño de un controlador PID, para un controlador de una
planta; el otro punto es la realización de la matriz de controlabilidad y
observabilidad para determinar su estado; y el último punto es la realización de la
matriz de retroalimentación, atreves de los conceptos vistos del tema de los
espacios de estados.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Implementar los conceptos adquiridos de la unidad 2, sobre diseño de
controladores PID, controlabilidad y observabilidad y diseño en el espacio de
estados.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
•
Comprender la importancia de los controladores PID, en los procesos de
control de una planta.
•
Identificar las aplicaciones que tiene la controlabilidad y observabilidad.
•
Reconocer la importancia que tiene el diseño en el espacio de estados,
para lazos de retroalimentación.
CONTENIDO
1.
Diseñar un controlador PID para el sistema de la figura de tal manera que
Mp=15% y realizar la sintonía del sistema.
Solución por el método de la última ganancia
•
•
Establecemos que Ti=cc y Td=0
Optemos la función de transferencia en lazo cerrado del modo siguiente:
𝐶(𝑠)
𝐾𝑝
=
𝑅(𝑠) (𝑆)(𝑆 + 1)(𝑆 + 20) + 𝐾𝑃
•
La ecuación característica es :
(𝑆)(𝑆 + 1)(𝑆 + 20) + 𝐾𝑃 = (𝑆 2 + 𝑆)(𝑆 + 20) + 𝐾𝑃 = 𝑆 3 + 21𝑆 2 + 20𝑆 + 𝐾𝑃
•
El arreglo de Routh se convierte en:
𝑆3
𝑆2
1
𝑆
𝑆0
1
21
420 − 𝐾𝑃
21
𝐾𝑃
20
𝐾𝑃
1
420 − 𝐾𝑃
𝐵 = 20 − ( ) 𝐾𝑃 =
21
21
•
Encontramos que ocurría una oscilación si𝐾𝑃 = 420 , la ganancia critica es 𝐾𝑐𝑟 = 420
•
Entonces la ecuación característica se vuelve en:
𝑆 3 + 21𝑆 2 + 20𝑆 + 420 = 0
•
Sustituimos en la ecuación característica:
(𝑗𝑤)3 + 21(𝑗𝑤)2 + 20(𝑗𝑤) + 420 = 0
O bien:
21(20 − 𝑤 2 ) + 𝑗𝑤(20 − 𝑤 2 ) = 0
•
Ahora encontramos la ecuación de la frecuencia sostenida de oscilación es:
𝑤 2 = 20 → 𝑤 = √20
•
El periodo de oscilación sostenida es:
𝑃𝑐𝑟 =
•
2𝜋
2𝜋
=
= 1,405
𝑤
√20
Determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:
𝐾𝑝 = 0,6. 𝐾𝑐𝑟 = 0,6.420 = 242
𝑇𝑖 = 0,6. 𝑃𝑐𝑟 = 0,5.1,405 = 0,7025
𝑇𝑑 = 0,125.1,405 = 0,1756
𝐾𝑖 =
𝐾𝑑 =
•
𝐾𝑝
252
=
= 357,4
𝑇𝑖
0,705
𝐾𝑝
252
=
= 1435,08
𝑇𝑑 0,1756
Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es:
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +
= 252 (1 +
1
+ 𝑇𝑑 𝑆)
𝑇𝑖 𝑆
1
+ 0,1756𝑆)
0,705𝑆
= 252 +
252
+ 44,2512𝑆
0,705𝑆
= 252 +
357,44
+ 44,2512𝑆
𝑆
252𝑆 + 357,44 + 44,2512𝑆 2
=
𝑆
𝐺𝑐(𝑠) =
44,2512𝑆 2 + 252𝑆 + 357,44
𝑆
•
La función de transferencia en lazo cerrado
𝐶(𝑠)
𝐺𝑐(𝑠) ∗ 𝐺𝑝(𝑠)
=
𝑅(𝑠) 1 + 𝐺𝑐(𝑠) ∗ 𝐺𝑝(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)
44,2512𝑆 2 +252𝑆+357,44
1
) . ((𝑠).(𝑠+1).(𝑠+20))
𝑆
44,2512𝑆 2 +252𝑆+357,44
1
(
) . ((𝑠).(𝑠+1).(𝑠+20)) . (1)
𝑆
(
=
1+
=
=
=
44,2512𝑆2 +252𝑆+357,44
(𝑠)(𝑠)(𝑠+1)(𝑠+20)
44,2512𝑆 2 +252𝑆+357,44
1 + (𝑠)(𝑠)(𝑠+1)(𝑠+20)
44,2512𝑆2 +252𝑆+357,44
𝑠4 +21𝑠3 +20𝑠2
𝑠4 +21𝑠3 +64,2512𝑆 2 +252𝑆+357,44
𝑠4 +21𝑠3 +20𝑠2
(44,2512𝑆 2 + 252𝑆 + 357,44). (𝑠 4 + 21𝑠 3 + 20𝑠 2 )
(𝑠 4 + 21𝑠 3 + 64,2512𝑆 2 + 252𝑆 + 357,44). (𝑠 4 + 21𝑠 3 + 20𝑠 2 )
𝐶(𝑠)
44,2512𝑆 2 + 252𝑆 + 357,44
=
𝑅(𝑠) 𝑠 4 + 21𝑠 3 + 64,2512𝑆 2 + 252𝑆 + 357,44
El sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario es de aproximadamente 65%.
Comandos en Matlab
>>
>>
>>
>>
>>
•
num=[0 0 44.2512 252 357.44];
den=[1 21 64.2512 252 357.44];
step(num,den)
grid
title('Respuesta Escalon Unitario')
Ahora debemos realizar una sintonía del controlador hasta llegar a un valor aproximada de
sobrepaso máximo del 15%, solo se mostrara los cálculos del método que se pudo llegar a
esta aproximación.
Dejamos Kp= 252 y Ti y Td las multiplicamos por un factor de 3.5, obteniendo la función de
transferencia del controlador PID.
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +
= 252 (1 +
= 252 +
= 252 +
1
+ 𝑇𝑑 𝑆)
𝑇𝑖 𝑆
1
+ 0,6146𝑆)
2,4675𝑆
252
+ 154,8792𝑆
2,4675𝑆
102,1277
+ 154,8792𝑆
𝑆
252𝑆 + 102,1277 + 154,8792𝑆 2
=
𝑆
𝐺𝑐(𝑠) =
154,8792𝑆 2 + 252𝑆 + 102,1277
𝑆
Función de transferencia en lazo cerrado:
𝐶(𝑠)
𝐺𝑐(𝑠) ∗ 𝐺𝑝(𝑠)
=
𝑅(𝑠) 1 + 𝐺𝑐(𝑠) ∗ 𝐺𝑝(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)
154,8792𝑆 2 +252𝑆+102,1277
1
) . ((𝑠).(𝑠+1).(𝑠+20))
𝑆
154,8792𝑆 2 +252𝑆+102,1277
1
(
) . ((𝑠).(𝑠+1).(𝑠+20)) . (1)
𝑆
(
=
1+
=
=
=
154,8792𝑆 2 +252𝑆+102,1277
(𝑠)(𝑠)(𝑠+1)(𝑠+20)
154,8792𝑆 2 +252𝑆+102,1277
1+
(𝑠)(𝑠)(𝑠+1)(𝑠+20)
154,8792𝑆 2 +252𝑆+102,1277
𝑠4 +21𝑠3 +20𝑠2
𝑠4 +21𝑠3 +174,8792𝑆 2 +252𝑆+102,1277
𝑠4 +21𝑠3 +20𝑠2
(154,8792𝑆 2 + 252𝑆 + 102,1277). (𝑠 4 + 21𝑠 3 + 20𝑠 2 )
(𝑠 4 + 21𝑠 3 + 174,8792𝑆 2 + 252𝑆 + 102,1277). (𝑠 4 + 21𝑠 3 + 20𝑠 2 )
𝐶(𝑠)
154,8792𝑆 2 + 252𝑆 + 102,1277
=
𝑅(𝑠) 𝑠 4 + 21𝑠 3 + 174,8792𝑆 2 + 252𝑆 + 102,1277
𝐾𝑝 = 0,6. 𝐾𝑐𝑟 = 0,6.420 = 242
𝐾𝑖 =
𝐾𝑑 =
𝐾𝑝
252
=
= 357,4
𝑇𝑖
0,705
𝐾𝑝
252
=
= 1435,08
𝑇𝑑 0,1756
El sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario es de aproximadamente 15%.
El Lugar geométrico de las raíces es:
Comando en Matlab
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
num=[0 0 154.8792 252 102.1277];
den=[1 21 174.8792 252 102.1277];
step(num,den)
grid
title('Respuesta Escalon Unitario 15%')
rlocus(num,den)
grid
2. Para el siguiente sistema determine:
a)
Su controlabilidad.
b) Su observabilidad.
Controlabilidad: Recordando la fórmula para la construcción de la matriz tenemos:
Ahora a partir de la formula comenzamos a construir cada columna, como sabemos la
matriz A es una matriz 3x3, debemos construir una matriz de controlabilidad 3x3, así que
procedemos a construir la primera columna:
1
𝐵 = [0]
0
Ahora se construye la segunda columna:
−12 −10 −5 1
𝐴. 𝐵 = [ 1
0
0 ] . [0]
0
0
1
0
𝐶11 = [−12 −10 −5]. [1] = −12 − 10 − 5 = −27
𝐶21 = [1
0 0]. [0] = 0 + 0 + 0 = 0
𝐶31 = [0
1 0]. [0] = 0 + 0 + 0 = 0
−27
𝐴. 𝐵 = [ 0 ]
0
Y por ultimo construimos la tercera columna:
−12 −10 −5 2 1
𝐴2 . 𝐵 = [ 1
0
0 ] . [ 0]
0
0
1
0
Debemos encontrar la matriz𝐴2 :
−12 −10 −5 −12 −10 −5
𝐴2 = 𝐴. 𝐴 = [ 1
0
0 ].[ 1
0
0]
0
1
0
0
1
0
𝐶11
−12
[
].
= −12 −10 −5 [ 1 ] = 144 − 10 + 0 = 134
0
−10
𝐶12 = [−12 −10 −5]. [ 0 ] = 120 + 0 − 5 = 115
1
−5
𝐶13 = [−12 −10 −5]. [ 0 ] = 60 + 0 + 0 = 60
0
𝐶21 = [1 0
−12
0]. [ 1 ] = −12 + 0 + 0 = −12
0
𝐶22 = [1 0
−10
].
[
0
0 ] = −10 + 0 + 0 = −10
1
−5
0]. [ 0 ] = −5 + 0 + 0 = −5
0
𝐶23 = [1 0
𝐶31 = [0 1
−12
0]. [ 1 ] = 0 + 1 + 0 = 1
0
𝐶32 = [0 1
−10
0]. [ 0 ] = 0 + 0 + 0 = 0
1
𝐶33 = [0
−5
1 0]. [ 0 ] = 0 + 0 + 0 = 0
0
134 115 60
𝐴2 = [−12 −10 −5]
1
0
0
Ahora hallamos 𝐴2 . 𝐵
134 115 60 1
𝐴2 . 𝐵 = [−12 −10 −5] . [0]
0
1
0
0
𝐶11 = [134 115 60]. [1] = 134 + 115 + 60 = 309
𝐶21 = [−12 −10 −5]. [0] = 0 + 0 + 0 = 0
𝐶31 = [1
0 0]. [0] = 0 + 0 + 0 = 0
309
𝐴2 . 𝐵 = [ 0 ]
0
Entonces la matriz de controlabilidad es:
1
∁= [0
0
−27 309
0
0 ]
0
0
Ahora hallamos su rango atreves de su determinante:
1 −27 309 1 −27
det ∁ = [0
0
0 0 0 ]=0+0+0-0-0-0=0
0
0
0 0 0
Es de rango cero a si que el sistema es controlable
Observabilidad: Recordando la formula de la construcción de la matriz tenemos:
Ahora a partir de la formula comenzamos a construir cada fila, como sabemos la matriz A
es una matriz 3x3, debemos construir una matriz de observabilidad de 3x3, así que
procedemos a construir la primera fila:
𝐶 = [3 5
−5]
Ahora se construye la segunda fila:
𝐶. 𝐴 = [3
𝐶11 = [3
−12 −10 −5
].
[
5 −5
1
0
0]
0
1
0
−12
5 −5]. [ 1 ] = (−36) + 5 + 0 = −31
0
𝐶12 = [3
−10
].
5 −5 [ 0 ] = (−30) + 0 − 5 = −35
1
𝐶13 = [3 5
−5
−5]. [ 0 ] = (−15) + 0 + 0 = −15
0
𝐶. 𝐴 = [−31 −35 −15]
Y por último se construye la tercera fila:
−12 −10 −5 2
𝐶. 𝐴2 = [3 5 −5]. [ 1
0
0]
0
1
0
Debemos encontrar la matriz𝐴2 :
−12 −10 −5 −12 −10 −5
𝐴2 = 𝐴. 𝐴 = [ 1
0
0 ].[ 1
0
0]
0
1
0
0
1
0
𝐶11
−12
[
].
= −12 −10 −5 [ 1 ] = 144 − 10 + 0 = 134
0
−10
𝐶12 = [−12 −10 −5]. [ 0 ] = 120 + 0 − 5 = 115
1
−5
𝐶13 = [−12 −10 −5]. [ 0 ] = 60 + 0 + 0 = 60
0
𝐶21 = [1 0
−12
0]. [ 1 ] = −12 + 0 + 0 = −12
0
𝐶22 = [1 0
−10
].
[
0
0 ] = −10 + 0 + 0 = −10
1
𝐶23 = [1 0
𝐶31 = [0 1
−5
0]. [ 0 ] = −5 + 0 + 0 = −5
0
−12
0]. [ 1 ] = 0 + 1 + 0 = 1
0
𝐶32
= [0 1
𝐶33 = [0
−10
].
0 [ 0 ]=0+0+0=0
1
−5
1 0]. [ 0 ] = 0 + 0 + 0 = 0
0
134 115 60
𝐴2 = [−12 −10 −5]
1
0
0
Ahora hallamos 𝐶. 𝐴2
𝐶. 𝐴2 = [3 5
134 115 60
−5]. [−12 −10 −5]
1
0
0
𝐶11 = [3 5
134
−5]. [−12] = 402 − 60 − 5 = 337
1
𝐶12 = [3 5
115
−5]. [−10] = 345 − 50 + 0 = 295
0
𝐶13 = [3
60
5 −5]. [−5] = 180 − 25 + 0 = 155
0
𝐶. 𝐴2 = [337 295 155]
Entonces la matriz de observabilidad es:
3
5
−5
𝑂 = [−31 −35 −15]
337 295 155
Ahora hallamos su rango atreves de su determinante:
3
5
−5
3
5
det 𝑂 = [−31 −35 −15 −31 −35]
337 295 155 337 295
det 𝑂 = (−16275) + (−25275) + 45725 − 58975 − (−13275) − (−24025)
det 𝑂 = 4175 − 21675 = −17500
El sistema no es observable.
3. La matriz de realimentación de estados para que los nuevos polos de lazo
cerrado se ubiquen en: s=-3, s=-4 y s=-5.
Desarrollo:
•
Retomando la matriz de controlabilidad tenemos:
1 −27 309
∁= [0
0
0 ]
0
0
0
Es de rango 0 el sistema es controlable
Este primer método se usa la ecuación característica para el sistema es:
𝑠 0
[𝑠𝐼 − 𝐴] = |[0 𝑠
0 0
𝑠 + 12
[𝑠𝐼 − 𝐴] = | −1
0
0
−12 −10 −5
0] − [ 1
0
0 ]|
𝑠
0
1
0
10 5
𝑠 0| = 11𝑠 3 + 11𝑠 2 + 5𝑠 + 0 = 0
−1 𝑠
𝑠 3 + 𝑎1 𝑠 2 + 𝑎2 𝑠1 + 𝑎3 = 0
Por lo tanto,
𝑎1 = 11,
𝑎2 = 5,
𝑎3 = 0
La ecuación característica deseada es:
(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)(𝑠 + 5) = 0
(𝑠 + 3)(𝑠 2 + 9𝑠 + 20 = 0
𝑠 3 + 12𝑠 2 + 47𝑠 + 60 = 0
𝑠 3 + 𝛼1 𝑠 2 + 𝛼2 𝑠1 + 𝛼3 = 0
𝛼1 = 12;
𝛼2 = 47;
𝛼3 = 60
Remitiéndonos a la ecuación:
𝑘 = ⟨𝛼3 − 𝑎3 |𝛼2 − 𝑎2 |𝛼1 − 𝑎1 ⟩
𝑘 = ⟨60 − 0|47 − 5|12 − 11⟩
Entonces el vector de retroalimentación es:
𝑘 = ⟨60|42|1⟩
CONCLUSION
Para finalizar, podemos decir que este trabajo nos ayudo a aplicar lo que hemos
visto en la segunda unidad del curso de control analógico, a tener en cuenta los
distintos parámetros cuando se diseña un controlador PID, determinar la
controlabilidad y observabilidad del sistema y el diseño en el espacio de estados,
que es fundamental en la automatización, telecomunicación, informática e
industrial, para el manejo, control y adquisición de datos, de un proceso de una
planta, que son demandadas en nuestro mundo moderno.
BIBLIOGRAFIA
Harold Esneider, Pérez Walteros, Modulo de Control Analógico,
Universidad Nacional Abierta y a Distancia, Ibagué, Colombia.
Recuperado el 1 de Mayo de 2010.
Katsuhiko, Ogata, Ingeniería de control moderna, Pearson Prentice Hall,
México, México, 30 de abril de 2010.
www.wikipedia.com, Recuperado el 30 de Abril de 2010.
Studnet Microsoft, Encarta, Microsoft, Estados Unidos. Recuperado el 1
de Mayo de 2010.