Parábola y Circunferencia

PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a
un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son
iguales.
CLASIFICACIÓN
SEGÚN LA POSICIÓN EN EL PLANO
PARABOLA HORIZONTAL




Derecha con vértice en el origen y2 = 4px
Derecha vértice fuera del origen
Izquierda con vértice en el origen
Izquierda vértice fuera del origen
(y-k)2 = 4p(x-h)
y2 =- 4px
(y-k)2 = -4p(x-h)
PARABOLA VERTICAL


Hacia arriba con vértice en el origen
x2 = 4py
Hacia arriba vértice fuera del origen
(x-h)2 = 4p(y-k)
 Hacia abajo con vértice en el origen
x2 = -4py
 Hacia abajo vértice fuera del origen
(x-h)2 =- 4p(y-k)
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA:
Foco.- Es el punto fijo F, situado sobre el eje de simetría a “p”
unidades del vértice..
Directriz.- Es la recta fija d sobre la cual si medimos su distancia hasta
un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de
este mismo punto al Foco.
Parámetro.- Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la
letra p.
Eje.- Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice.- Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector.- Es un segmento que une un punto cualquiera de la
parábola con el foco.
EXTENSIÓN.- En geometría, propiedad de los cuerpos de ocupar
una parte mayor o menor de espacio.
LADO RECTO.- La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene
al foco y corta a dos puntos de la parábola.
PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN
Cualquier parábola con vértice en el punto(0,0) y recta directriz dada por
la ecuación 𝑦 = 𝑝 tiene la siguiente ecuación canónica:𝑥 2 = −4𝑝𝑦
Las coordenadas del foco, en este caso, son: (0, −𝑝) .
POR EJEMPLO, la parábola con foco en el punto (0,6) y vértice en el
origen de coordenadas, debe tener como recta directriz a la recta cuya
ecuación esy = 6
Parábola con vértice en un punto cualquiera
Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su
ecuación será, según los casos:
· Eje horizontal y foco a la derecha:
(y-y0)2 = 2p(x-x0)
· Eje horizontal y foco a la izquierda:
(y-y0)2 = -2p(x-x0)
· Eje vertical y foco por encima:
(x-x0)2 = 2p(y-y0)
· Eje vertical y foco por debajo:
(x-x0)2 = -2p(y-y0)
Reducción de la ecuación de una parábola
Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 +
Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de
una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula
adecuadamente el otro miembro.
Ejemplo:
Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice
en el
origen y contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo
al eje X.
Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la
ecuación
ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA
La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco
en
y
por
directriz
la
recta:
(fig. 6.1.7.) viene dada por:
(1)
fig. 6.1.7.
ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco
en
y
por
directriz
(fig. 6.1.8.) viene dada por:
(2)
la
recta:
fig. 6.1.8.
Demostración:
Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego
hacer
e
Observación:
Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas,
pueden
expresarse
en
la
forma:
(3)
(4)
En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables
aparece al cua- drado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la
dirección
del
eje
cuya
variable
aparece
lineal.
Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre
hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p
< 0). Igualmente, la ecuación (4) representa una parábola abierta
hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).
Valores máximos y mínimos de una parábola
Se ha visto en la sección precedente que la ecuación
(1) puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y
representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba
(p > 0) ó hacia abajo (p < 0).
Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente
de x2), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y
también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la
curva.
fig. 6.1.9. (a)
fig. 6.1.9. (b)
Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V
(punto mas alto de la curva) es llamado el punto máximo de la
parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de
la función que ella representa.
Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el
vértice V es llama- do el punto mínimo de la parábola; y el
correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.
Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero
no ambos.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y
foco en el
y = 2px
Demostración:
La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas
coincidan:
Elevando al cuadrado:
-px + y2 = px Þ y2 = 2px
Hay otros tres casos elementales de parábolas:
· Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de
abscisas, la ecuación es y2 = -2px.
· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de
ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.
· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de
ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es
una línea
curva
cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un
punto fijo llamado centro.
CIRCULO
Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la
longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se
encuentran contenidos en una circunferencia.
RADIO
El radio de una circunferencia es el segmento que
une el centro de la circunferencia con un punto
cualquiera de la misma.
El radio mide la mitad del diámetro.
El radio es igual a la longitud de la circunferencia
dividida por 2π.
Diámetro.El diámetro es
una cuerda que
pasa
por
el centro de la circunferencia. El diámetro mide
el doble del radio.
CUERDA
La cuerda es un segmento que une dos puntos de
la circunferencia.
TANGENTE
La recta
tangente o
también
llamada recta
exterior a
una
circunferencia de centro O que pasa
por un punto T de la misma es
la recta perpendicular al radio OT que
pasa por el punto T.
ECUACIÓN ESTANDAR DE LA
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL
ORIGEN
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se
simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es
llamada circunferencia
goniometría,
circunferencia
unidad
o
circunferencia unitaria.
ECUACIÓN ESTANDAR DE LA
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN
CUALQUIER PUNTO
La circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos
los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
De la ecuación general de una circunferencia,
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
Se deduce:
EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA
1)
Del centro el punto (3, -4) y que pasa por el
origen.
Se entiende como Origen a las coordenadas que pasan por X y Y. En
este caso es (0 , 0) Ahora viene la Grafica:
Ecuación Cartesiana.
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
(X – 3)2 + (Y + 4)2 = 25
Ecuación Circunferencia.
(0 – 3)2 + (0 + 4)2 = r2
9 + 16 = r2
25 = r2
r = √25
r=5
Ecuación general de la Circunferencia
(X – 3)2 + (Y + 4)2 = 25
X2 + 2(X)(-3) + (-3)2 + Y2 + 2(X)(4) + (4)2 = 25
X2 – 6X + 9 + Y2 + 8Y + 16 – 25 = 0
X + Y – 6X + 8Y = 0
2)
La Ecuación x2+y2+6x-14y-6=0 representa una circunferencia.
Determine su centro C(h,k) y su radio r
La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:
Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se
deduce que:
y
.
Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.
3) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio
2.