Transformación isométrica Como ya ubicas puntos en el plano cartesiano y puedes formar figuras en él, profundizaremos el trabajo en el plano cartesiano, incorporando el contenido Transformaciones Isométricas. Para incorporar este contenido es necesario primero identificar qué es una Transformación Geométrica. En primer lugar considera los siguientes pares de figuras presentadas en los planos cartesianos que se diseñaron con el software GeoGebra, el que puedes descargar de la página www.geogebra.org Par N°1 Par N°2 Par N°3 Par N°4 Puedes observar que en el Par N°1 se presentan dos triángulos de igual forma, pero de diferente tamaño. Por otro lado en los pares N°2 y N°3, las figuras son las mismas, solo se encuentran en posiciones diferentes. Por último en el par N°4 las figuras son totalmente distintas. 135 Con lo anterior se puede realizar la siguiente definición. Definición Se denomina transformación geométrica a la aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano, generándose así un cambio ya sea de tamaño, en la forma o en la posición de un objeto o un cuerpo. Observación De acuerdo a la definición anterior, cada para presentado más arriba es una transformación geométrica. Para los pares N°2 y N°3, en donde solo ha cambiado la posición de las figuras, podemos dar la siguiente definición. Definición Se denomina transformación isométrica a la transformación geométrica que solo modifica la posición de la figura, sin alterar su tamaño ni forma, es decir, la figura es congruente a la original. Observación Congruencia:= igual Isométricas:= se desprende de iso=igual; métrica=medida Otros ejemplos de transformaciones isométricas 136 En las transformaciones isométricas se identifican: A. Traslación B. Reflexión C. Rotación Traslación Definición Una figura trasladada en el plano, es aquella que se forma al mover la figura en línea recta. La figura se puede trasladar hacia abajo, hacia arriba, hacia la izquierda, hacia la derecha y también en diagonal. Ejemplo Horizontal Diagonal u oblicua Vertical Observación En una traslación: 1. Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares 2. Una figura no cambia su posición respecto de la horizontal. 3. No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una sola traslación. 137 Ejercicios 1. Indica cuáles son transformaciones isométricas. Las que no lo sean nómbralas como geométricas: A. C. E. ……………………. B. ………………….. D. ………………………. …………………… …………………. F. ……………………… 2. Ubica los siguientes puntos en el plano: A 3,1 ; B 1, 4 ; C 5,1 ; D 3,5 A. Cada punto trasládalo 3 unidades a la derecha e indica los nuevos pares ordenados correspondientes. A' 138 , B ' , C ' , D ' , B. Une los puntos A con A ' , B con B ' , C con C , D con D ' . ¿Qué puedes decir de las medidas de estos segmentos? 3. Ubica los siguientes puntos en el plano: A 1, 6 ; B 2,1 ; C 10,1 ; D 6,3 A. Cada punto trasládalo 2 unidades hacia arriba e indica los nuevos pares ordenados correspondientes. A' , B ' , C ' , D ' , B. Une los puntos A con A ' , B con B ' , C con C , D con D ' . ¿Qué puedes decir de las medidas de estos segmentos? 139 4. Dibuja el cuadrado de vértices A 2, 2 ; B 2,5 ; C 5, 2 ; D 5,5 . A. Cada punto trasládalo dos unidades a la derecha y dibuja el nuevo cuadrado. B. Mide un lado del cuadrado original y un lado del nuevo cuadrado. ¿Miden lo mismo? 5. En cada plano se presenta una traslación de un cuadrilátero ABCD (figura geométrica de cuatro lados). ¿Indica cuál fue la traslación que se efectuó? Figura N°1 Figura N°1: Figura N°2: 140 Figura N°2 6. Ubica los siguientes puntos en el plano: A 1,1 ; B 6, 4 ; C 4,3 ; D 1,6 A. Cada punto trasládalo 3 unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba e indica los nuevos pares ordenados correspondientes. A' , B ' , C ' , D ' , B. Une los puntos A con A ' , B con B ' , C con C , D con D ' . Con una regla mide los segmentos creados ¿Qué puedes decir de las medidas de estos segmentos? 7. Traslada el triángulo de la figura dos unidades a la derecha y tres unidades hacia abajo. Indica los puntos del nuevo triangulo. A' , B ' , C ' , 141 8. A la figura representada en el plano cartesiano se le aplicó una traslación correspondiente a cuatro unidades a la izquierda y tres unidades a hacia abajo. Dibuja la nueva figura. A. Indica los puntos de la figura original. B. Indica los nuevos puntos. 142 Reflexión o Simetría Definición Una figura es simétrica respecto de un eje, llamado eje de simetría, cuando al dividirla en dos partes, ambas partes coinciden con respecto al eje, igual que al mirarse en un espejo. El eje de simetría puede ser horizontal, diagonal o vertical. Observación Una figura puede o no poseer un eje de simetría, pero siempre es posible determinar su simétrico respecto de un eje. Ejemplo Las figuras N°1 y N°2 poseen un eje de simetría, pero para todas se determinó su figura simétrica, respecto de un eje. Figura N°1 Figura N°4 Figura N°2 Figura N°5 Figura N°3 Figura N°6 143 Ejercicios 1. Realiza las siguientes actividades: A. Ubica los siguientes puntos en el plano: A 1,3 ; B 3, 2 ; C 1, 4 ; D 2, 6 B. Dibuja el eje de simetría que corresponde al segmento cuyos puntos son P 7,6 y P 7,1 . C. Considerando el eje de simetría que dibujaste, representa en el plano los puntos que corresponden al simétrico de los puntos A, B, C y D. A' , B ' , C ' , D ' , 2. Dada la figura en el plano cartesiano. A. Representa la figura simétrica respecto del eje de simetría presentado. B. Anota los puntos de la figura dibujada y de la nueva figura. 144 3. Dada la figura en el plano cartesiano. A. Representa la figura simétrica respecto del eje de simetría presentado. B. Anota los puntos de la figura dibujada y de la nueva figura 4. Dadas las siguientes letras y figuras, determina si tiene ejes de simetría. Las que lo tengan, dibújalos. 145 Rotación Definición Una figura rotada es aquella en que el movimiento se efectúa al girar la figura en torno a un punto fijo llamado punto de rotación, con un cierto ángulo, que se llama ángulo de rotación. El sentido del ángulo puede ser horario o anti horario. Sentido Anti horario Sentido Horario Observación Recuerda que algunos ángulos tienen la siguiente clasificación, la que se realiza en grados. Ángulo recto: mide exactamente 90 Ángulo extendido: es el que mide exactamente 180 o dos rectos. Ángulo Completo: es el que mide exactamente 360 o cuatro rectos 146 Observación Cuando realizas una rotación, respecto de un punto de rotación y con un ángulo de rotación determinado, cada punto de la figura original deberá formar el ángulo dado con el punto correspondiente de la nueva figura. Ejemplo 1. En la siguiente figura, se ha realizado una rotación de 90° respecto del punto E, en sentido anti horario y cada punto de la figura original forma el ángulo de 90° respecto del punto de rotación. 2. En la siguiente figura, se ha realizado una rotación de 180° respecto del punto B, en sentido horario y cada punto de la figura original forma el ángulo de 180° respecto del punto de rotación. 147 Ejercicios 1. Observa las imágenes a continuación y luego indica en cuál de ellas la figura sombreada ocupa la misma posición de la figura punteada mediante una rotación. A. B. 2. Observa las imágenes y encierra en un círculo las que corresponden a una rotación. 148 3. Di si la figura ha girado 90°. 180°, 270° 0 360° en el sentido horario o en el sentido anti horario. A. C. B. D. C. F. 149 4. La siguiente imagen representa una bandera y el punto P es el punto de rotación. Observa cuál de las siguientes imágenes representa una rotación en 90°de la bandera y dibújala en la primera imagen. 5. En la siguiente imagen se distingue una figura geométrica a la cual se le aplicó una rotación en 180° resultando otra figura a la que le faltan las letras correspondientes a A, B y E de la figura original. El punto D es el punto de rotación. Tu misión es asignar a cada vértice la letra que le falta según corresponda. Marca A’ al punto A rotado, B’ al punto B rotado y E’ al punto E rotado. 150