cuatro operaciones

ADICIÓN
5.
NOTITA IMPORTANTE
Los signos aritméticos:
1) La escritura latina utilizaba la palabra plus
(que significa “más”) para indicar la adición.
Se escribía:
6. MONOTONIA
*
Quáttuor – plus – quínque
*
Para expresar: 4 + 5
Por necesidades prácticas esta expresión se
transformó en:
Quáttuor – p – quinqué
+
Dieron lugar al signo + (utilizado para indicar la
operación de adición).
a= b
c<d
a + c < b+ d
*
a<b
c<d
a + c < b+ d
a>b
(El resultado no se puede
c<d
a + c ? b + d predecir)
SUMA DE TÉRMINOS EN
ARITMÉTICA
Sea : S = t1 + t 2 + t 3 + ......... + tn
Sucesivas transformaciones de esta letra
“p” manuscrita (inicial de la palabra plus)
p  ƒ
UNIFORMIDAD. Si se tienen varias
igualdades, estas se pueden sumar miembro
a miembro resultando otra igualdad.
S=
SUMAS NOTABLES
ADICIÓN
Es una operación aritmética directa, que tiene
por objeto unir varias cantidades homogéneas
en una sola llamada suma total.
1.
cantidades (sumandos)
S1 =
S
n(n + 1)
2
Suma total
LEYES FORMALES
1. CLAUSURA. La suma de dos o más números
enteros resulta otro número entero.
3.
SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS
NATURALES
S1 = 1+ 2 + 3 + ... + n
2.
2.
n
 t1 + t n 
2
Donde:
n = # de términos
t1 = primer término
t n = último término
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
A + B + C + ... + N =
PROGRESIÓN
ASOCIATIVA. Dadas ciertas cantidades de
sumandos, la suma total también resulta al
hacer grupos de sumandos.
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
CONMUTATIVA. El orden de los sumandos
no altera la suma total.
4. MODULATIVA. Para todo número entero
existirá su elemento neutro o módulo de la
suma denotado por cero, tal que se cumpla
que a + 0=a.
SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS
PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
S 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2
S2 =
3.
n(n + 1)(2n + 1)
6
SUMA DE LOS CUBOS DE LOS PRIMEROS
NÚMEROS NATURALES
S3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3
 n(n + 1) 
S3 = 

 2 
2
4. SUMA DE LAS CUARTAS POTENCIAS DE LOS
NÚMEROS NATURALES
S 4 = 14 + 2 4 + 3 4 + ... + n 4
S4 =
5.
n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1)
30
SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS PARES
S5 = 2 + 4 + 6 + ... + 2n
S5 = n(n + 1)
Donde: n = # de términos
6. SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS
IMPARES
𝑺𝟔 = 𝟏 + 𝟑 + 𝟓+. … . . +(𝟐𝒏 − 𝟏)
S 6 = K2
Donde: K = # de términos
*
CASOS ESPECIALES:
S7 = 1. 2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)
S7 =
n(n + 1)(n + 2)
3
C= 1 + 3 + 5 + … + 29
SUSTRACCIÓN
NOTITA IMPORTANTE
Cifra: Significa “vacío”, “hueco”.
Proviene del Árabe SIFR, traducción del Hindú
SUNYA (vacío).
La palabra cifra en el lenguaje específico de los
matemáticos, fue en un principio el nombre
elegido para el cero.
Sin embargo, debido a la amplia difusión del arte
del cálculo, y por la notable importancia de la
presencia del cero en el sistema de numeración
decimal, la palabra cifra se popularizó tomando
el significado del signo numérico que tiene
actualmente.
Cifra presenta entonces un doble significado:
– La cifra popular para indicar el signo
numérico.
– La cifra de los matemáticos para representar
al cero.
Donde: n = # de términos
SUNYA
SIRF
CERO
S8 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2)
S8 =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
SUSTRACCIÓN
Donde: n = # de términos
Ejercicios de aplicación
01. Sumar 857 + 798 + 64
02. Sumar:
423(5) + 134 (5) + 233(5)
03. Hallar la suma de todos los números pares
de 3 cifras.
Es una operación inversa a la adición, que
consiste en que dadas dos cantidades llamadas
minuendo y sustraendo, para encontrar otra
cantidad llamada diferencia, tal que sumada con
el sustraendo reproduzca el minuendo.
Término:
M: minuendo
S: sustraendo
D: diferencia
04. Al efectuar:
2 + 22 + 222 + … + 22222
Condición:
05. Calcular el valor de M, si:
M = A +B + C
Nota:
Donde:
A= 1 + 2 + 3 + … + 16
B= 2 + 4 + 6 + … + 24
M− S = D
→
M= S + D
La expresión: A – B
De A restar B

Re star B de A
A excede a B

Propiedades:
1. La suma de los tres términos de una
sustracción es igual al doble del minuendo.
M + S + D = 2M
2.
Para todo número de tres cifras (no capicúa)
abc n . Se cumple que al restarle el número
que resulta de invertir el orden de sus cifras,
se obtiene una diferencia xyzn , tal que la cifra
de 2do orden es ( n – 1) y la suma de las cifras
de 1er y 3er orden es: (n – 1)
Es decir:
Observa qué ocurre con el número 12. Si lo
elevamos al cuadrado resulta 144. Si invertimos
el 12 nos da 21, que si lo elevamos al cuadrado es
441, que es el número que resulta de invertir 144.
Esta propiedad también la cumplen los
siguientes números:
122 = 144
132 = 169
1022 = 10
404
1032 = 10
609
1122 = 12 544
1132 = 12 769
1222 = 14 884
_
abc n
cba n
xyz n
→
y= n- 1
x+ z = n - 1
Además:
xyz n
212 = 441
312 = 961
2012 = 40
401
3012 = 90601
2112 = 44 521
3112 = 96 721
2212 = 48 841
+
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
zyx n
10(n - 2)(n - 1)
n
Complemento aritmético ( C.A.)
El C.A. de un número, es igual a las unidades que
le faltan a dicho número, para ser igual a la
unidad seguida de tantos ceros, como cifras
tenga el número.
Ejemplo:
C.A. (72) =
C.A. (857) =
C.A. (
ab ....... c

Es una operación aritmética directa cuyo origen
proviene de la adición y consiste en dadas 2
cantidades, multiplicando y multiplicador, se
debe hallar una tercera cantidad llamada
producto, que contenga al multiplicando las
mismas veces que el multiplicador contenga a la
unidad.
Origen:
a + a + a + .... + a = p
n veces
n cifras
P = a.n
Ejercicios de aplicación
01. Hallar a +b + c, si:
Producto
Multiplicando
xab4 − x1ab = bc3
02. Si:
E=
Multiplicador
abc − cba = mnp , simplificar:
(m + n)2 − (n + p)2
3(m − p)
03. ¿Cuál es el número de 3 cifras que restado su
C.A. da 296?
04. Si: abc − cba = mn(m + 1)
Hallar: (a – c)
05. La suma del minuendo, sustraendo y la
diferencia de una sustracción es 19 456 y el
minuendo es el cuádruplo del sustraendo.
Hallar el sustraendo.
MULTIPLICIÓN
NOTITA IMPORTANTE
Los cuadrados invertidos
Se cumple:
P n
=
a 1
LEYES FORMALES
1.
Clausura
El producto de 2 números enteros es otro
número.
a.b=c
2. Conmutativa
El orden de los factores no altera el
producto.
a.b=b.a
3.
Modulativa
Existen un solo número conocido como la
unidad
(elemento
neutro
multiplicación). tal que:
a.1=a
de
la
Si: abc  bc  cb = 162 500
05. Hallar la suma de las cifras del producto en:
*1* 
3*2
4. Distributiva.
a(b+c) = a . b + a . c
*3* +
3*2*
*2*5
5.
Uniformidad
Dadas 2 ó más igualdades estas se pueden
multiplicar miembro a miembro dando como
resultado otra igualdad.
a=b
c=d
a.c=b.d
6. Monotonía
ab
a =b
ab
cd
cd
cd
a .c  b.d
a . c  b . d a . c ? b . d (No se puede anticipar)
CANTIDADES DE CIFRAS DE UN PRODUCTO
La cantidad de cifras de un producto de “n”
factores será máximo igual a la suma de las
cantidades de cifras de cada factor y como
mínimo dicha suma disminuida en (n – 1)
Sea: P =A1. A2 . A3 ...... A
n
a1 cif
a2 cif
a3 cif
..
..
1*8 **0
DIVISIÓN
NOTITA IMPORTANTE
¿Cuál es el origen de dividir?
Dividir
Significa “partir”, “separar en partes”. Proviene
del verbo latino divídere, que tiene ese
significado.
Los árabes indicaron la división, desde tiempos
muy antiguos, con la forma de fracción.
Siguiendo este método el matemático suizo
Rahn, en 1659, empleó el signo para indicar la
división.
El punto encima de la línea señala la posición del
DIVIDENDO o numerador de una fracción, y el
punto por debajo de la línea, la del DIVISOR o de
nominador. En 1684, el filósofo alemán G. W.
Leibniz introdujo introdujo como signo de la
división los dos puntos (:), usados actualmente
en muchos países.
DIVISIÓN
¿Cuántas cifras como máximo y como
mínimo puede tener “P”?
Máximo : a1 + a 2 + a 3 + .... + a n = S
Mínimo : S – (n – 1)
Es una operación aritmética inversa a la
multiplicación que tiene por objeto en dadas 2
cantidades, dividendo y divisor, hallar una
tercera cantidad llamada cociente que ponga en
manifiesto las veces que el dividendo contiene al
divisor.
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN
Ejercicios de aplicación
01. Hallar a + b + c + d + e, si:
abcde7 × 5 = 7abcde
02. Sí: aabb × 77 termina en …041, hallar a + b.
03. Si: N × 375 = … 625
N × 427 = … 021
Dividendo: (D)
Divisor : (d)
Cociente por exceso
Cociente por defecto
Residuo por defecto
Residuo por exceso
Hallar las 3 últimas cifras de N × 156
04. Hallar: a + b + c
TIPOS DE DIVISIÓN ENTERA
an cif
:
:
:
:
(qe)
(qd)
(rd)
(re)
I.
a bc a b c
=  
d
d d d
División Exacta
Es cuando no existe presencia de resto
D
2.
d
q
D=d.q
II. División Inexacta
Es cuando existe presencia de resto y a su
vez se clasifican en dos.
a>b
c<d
a
> b
d
c
d
qd
a=b
c<d
a
> b
c
d
a>b
c > d.
a
? b
c
d
D = d . qd + rd
El resultado no se puede anticipar (?)
b) Por Exceso:
D
d
re qe = qd + 1
D = d . qe - re
Ejemplo:
59
4
d
c
a) Por Defecto:
D
rd
Monotonía.
a>b
c=d
a
> b
7
8+1
59 = 7 . (8 + 1) - 4
CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE
La cantidad de cifras del cociente de dos
números, puede ser como mínimo igual a la
diferencia entre las cantidades de cifras del
dividendo y divisor y como máximo la diferencia
aumentada en una unidad.
q=
A → a cifras
B → b cifras
PROPIEDADES
1.
=1
r
0  r  d  min
rmax = d − 1
2.
rd + re = d
3.
qe = qd + 1
¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo
puede tener “q”?
Máximo: a – b + 1
Mínimo: a – b
4. En toda división entera inexacta, si al
dividendo y al divisor se le multiplica o divide
por una misma cantidad, el cociente no se
altera, pero si el residuo quedará
multiplicado o divido por dicha cantidad.
2
42 8
2 5
2
21 4
1 5 no se altera
tambien 2
x2
42 8
2 5
x2
tambien x 2
LEYES FORMALES
1.
Distributiva
84 16
4 5 no se altera
CASO ESPECIAL
Cuando el numerador y denominador tienen
varios factores
Primero se calcula la cantidad de cifras como
máximo y como mínimo, tanto del numerador
como denominador, mediante la regla del
producto. Luego para hallar el máximo del
cociente se compara el máximo del numerador,
con el mínimo del denominador, análogamente
para hallar el mínimo del cociente se compara el
mínimo del numerador con el máximo del
denominador, ambos mediante la determinación
de la cantidad de un cociente.
Ejemplo:
A ; B y C tienen 12 ; 9 y 5 cifras respectivamente.
¿Cuántas cifras tiene E?
E=
A2 . B 3
C4
max : 2(12) + 3(9) = 51
A2 . B3 
 min : 51 − (5 − 1) = 47
C4
max :  4(5) = 20

min : 20 − (4 − 1) = 17
max :  51 − 17 + 1 = 35
E=

min :  47 − 20 = 27
Ejercicios de aplicación
01. La diferencia de 2 números es 107 y su
cociente es 12, dejando un
residuo que es lo mayor posible. Hallar el
mayor de dichos números.
02. En una división el cociente es 156 y el residuo
es 6; al agregar 1000 unidades al dividendo y
al repetir la división se obtiene un cociente
de 173 y un residuo de 54. Hallar el dividendo.
03. Determinar un número N si es el mayor
posible y además al dividirlo por 50 se
obtiene un resto que es igual al triple del
cociente respectivo.
04. El cociente de dos números es 15, y el residuo
es 3. Si la suma de ellos es 211, entonces el
mayor excede al cuadrado de menor en:
05. Al dividir un número de 3 cifras y otro de 2
cifras, se obtiene 11 de cociente y 25 de
residuo; se les toma el complemento
aritmético y se vuelve a dividir, esta vez se
obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar
la suma de las cifras del dividendo y divisor.