Oscilaciones y Ondas

ESCUELA DE ÓPTICA Y OPTOMETRÍA
Asignatura: FÍSICA
Curso: 2004-05
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
TEMA 2. OSCILACIONES Y ONDAS
1. OSCILACIONES
1.1 Movimientos periódicos
1.2 Movimiento armónico simple
A) Cinemática
B) Dinámica
C) Movimiento armónico simple y
movimiento circular
1.3 Oscilaciones amortiguadas
1.4 Oscilaciones forzadas. Resonancia
2. ONDAS
2.1 Movimiento ondulatorio
2.2 Función y ecuación de onda
2.3 Frentes de onda y rayos
2.4 Ondas sonoras
2.5 Energía transportada por las ondas
A) Intensidad de las ondas
B) Sensación sonora
C) Atenuación de las ondas
2.6 Fenómenos de propagación
A) Reflexión, refracción
B) Difracción
C) Interferencias
D) Ondas estacionarias
2.7 Fuentes y detectores de ondas sonoras.
Objetivos
1. Estudiar el movimiento armónico simple como base del movimiento ondulatorio.
2. Discutir las características de la oscilación en distintas condiciones destacando el caso de la
resonancia.
3. Introducir los distintos tipos de ondas señalando la variación armónica espacio-temporal de
la fase.
4. Estudiar con detalle las ondas sonoras, su velocidad e intensidad.
5. Presentar los fenómenos de propagación del sonido: reflexión, refracción, difracción e interferencias.
Contenido de las clases
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
2. Oscilaciones amortiguadas y forzadas; resonancia.
3. Clase de problemas.
4. Ondas armónicas: función y ecuación de onda.
5. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
6. Intensidad de las ondas.
7. Clase de problemas.
8. Propagación de las ondas: reflexión, refracción, difracción e interferencias. Ondas estacionarias.
9. y 10. Clases de problemas.
Bibliografía
1. Física (4º ed. Vol. 1. Cap 14, 15 y 16) - P.A. Tipler, - Reverté 1999 - (3ª ed. Vol. 1. Cap.12,
13 y 14 - Reverté 1992).
2. Física (Cap. 9, 21 y 22) - J. W. Kane y M.M. Sternheim, - Reverté 1998.
3. Física (Cap. 32 y 33) - W. E. Gettys, F. J. Keller y M. J. Skove - McGraw-Hill 1991.
4. Física; principios con aplicaciones (4ª ed. Cap. 11 y 12). D. C. Giancoli, Prentice Hall 1997.
Tema 2
1
5. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/oscilacion.htm
6. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/MovOndulatorio.html
1. OSCILACIONES
1.1. Movimientos periódicos
Cuando el movimiento de un cuerpo se repite a intervalos regulares se dice que el movimiento es periódico y se define período T como el tiempo que necesita el cuerpo para describir
un ciclo completo. Por ejemplo, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol es periódico y el
período es un año; la Tierra después de un terremoto vibra con un ritmo de aproximadamente
una oscilación por hora; las alas de un mosquito vibran con un período del orden de 3 milisegundos; etc.
A menudo para caracterizar un movimiento periódico se utiliza la frecuencia n:
n =
1
T
(1)
que se define como es el número de veces que el movimiento se repite por segundo. Su unidad
es el hercio (Hz). Así, las frecuencias de los ejemplos del párrafo anterior son aproximadamente 3·10–8, 3·10–4 y 3·102 Hz
Las vibraciones de los cuerpos respecto a una posición de equilibrio estable son los movimientos periódicos que se van a considerar en este tema. Al hablar y oír, nuestras laringes y
tímpanos vibran con frecuencias de órdenes comprendidos entre 10 y 103 Hz. Estas oscilaciones y las de los valores de magnitudes como la presión provocadas por aquéllas son base de la
producción, propagación y recepción del sonido. Por otra parte, oscilaciones de muy alta frecuencia, entre 1012 y 1016 Hz, de los valores de campos eléctricos y magnéticos son también la
base de las ondas luminosas que se estudian en la segunda parte del curso.
En la práctica, las vibraciones correspondientes al sonido y a la luz son a menudo movimientos periódicos complicados. No obstante, como demostró Fourier, cualquier vibración
siempre se puede expresar como una suma de movimientos más simples llamados armónicos
simples, que se estudian a continuación.
1.2. Movimiento armónico simple
A) Cinemática
Se dice que el movimiento de un cuerpo es armónico simple cuando la variación con el
tiempo del desplazamiento respecto a su posición de equilibrio s(t) se describe mediante las
funciones trigonométricas seno o coseno:
s (t ) = s max cos(w t + d )
(2)
El coeficiente smax , que se llama amplitud, es el valor máximo de s(t) ya que la función
coseno varía entre +1 y -1. El ángulo (w t + d ) se llama fase y por ello d es la fase inicial (fase
para t = 0). El parámetro w, llamado frecuencia angular, está relacionado con el período de la
función
w=
2p
T
(3)
Hay que señalar que de los tres parámetros que aparecen en la ecuación 2, smax, d y w, sólo
Tema 2
2
w representa una propiedad intrínseca del oscilador ya que smax y d dependen de las condiciones iniciales. Estas y otras características del movimiento armónico se suelen ilustrar considerando las oscilaciones en un sistema físico sencillo compuesto por un cuerpo que cuelga de un
muelle. Cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio y se suelta, la frecuencia es
siempre la misma independientemente de que en el instante inicial la separación y por tanto la
amplitud no sean las mismas. Si se inicia el movimiento comunicando un impulso al cuerpo
cuando se encuentra en la posición de equilibrio, la fase inicial vale p/2 en vez de ser cero
como en los casos anteriores. Sin embargo, la frecuencia sigue siendo la misma.
Con ayuda de la relación 3 se comprueba que el desplazamiento se repite cada intervalo
de tiempo T, es decir, que s(t+T) = s(T)
A partir de la ecuación 2 se obtienen por derivación las expresiones de la velocidad y la
aceleración:
v(t ) =
a (t ) =
d s (t )
p
= -w smax sen(w t + d ) = w smax cos(w t + d + )
dt
2
d v(t )
= -w 2 s max cos(w t + d ) = w 2 s max cos(w t + d + p )
dt
(4)
(5)
= -w s
2
Estas funciones son similares a la función desplazamiento. Sin embargo, aunque el período es el mismo, no pasan por los valores máximos y mínimos al mismo tiempo (figura 1). Se
dice que están desfasadas: la velocidad adelantada en un tiempo T/4 (la fase en p/2 rad) y la
aceleración adelantada en un tiempo T/2 (la fase en p rad) respecto al desplazamiento. En el
movimiento de un cuerpo sujeto a un muelle, el cuerpo tiene velocidad máxima cuando pasa
por la posición de equilibrio (s(t) = 0) y velocidad nula cuando el desplazamiento respecto a la
posición de equilibrio es máximo (s = smax). La aceleración es proporcional y tiene siempre
signo opuesto al desplazamiento.
smax
w smax
w 2 smax
s
T/2
T
t
v
t
a
t
Tema 2
FIG. 1. El desplazamiento, la velocidad y
la aceleración en un movimiento armónico simple están desfasados.
3
B) Dinámica
La fuerza que impulsa el cuerpo, de acuerdo con la segunda ley de Newton y la ecuación 5, es
F = ma
(6)
= - mw 2 s = - K s
donde K
K = mw 2
(7)
es otro parámetro que como n y w está relacionado con el período del movimiento armónico.
La ecuación 6 puede considerarse una definición del movimiento armónico simple (siempre que se satisface dicha ecuación el cuerpo está describiendo un movimiento armónico simple); expresa que la fuerza es proporcional al desplazamiento y está dirigida siempre hacia la
posición de equilibrio. Este resultado coincide, en el caso del cuerpo sujeto al muelle, con el
de la proporcionalidad entre tensión y deformación en un sistema elástico (ecuación 9 del tema 1). La diferencia de signo entre ambas fórmulas aparece porque mientras que allí se consideraba la fuerza que se realiza sobre el muelle (Dℓ mismo signo que F), aquí se trata de la
fuerza que ejerce el muelle sobre el cuerpo (s signo opuesto a F).
Hay que señalar que aunque el cuerpo esté colgado del muelle, el peso del cuerpo está
compensado por la tensión del muelle en la posición de equilibrio y la fuerza resultante cuando el cuerpo oscila alrededor de esa posición de equilibrio es únicamente la fuerza recuperadora expresada por la ecuación 6.
La fuerza elástica realiza un trabajo W sobre el cuerpo. Si consideramos la energía potencial correspondiente ks2/2 (tabla 1 del tema 0), la ley de conservación de la energía (suma de
la energía cinética y la energía potencial elástica almacenada en el muelle) al pasar del desplazamiento s1 al desplazamiento s2 se escribe
1
1
1
1
m v12 + K s12 = m v 22 + K s 22 = cte
2
2
2
2
(8)
Si se consideran las expresiones de s y v en función del tiempo se obtiene
1
1
m v2 + K s2 =
2
2
1
1
= m (w s max sen (w t + d ) )2 + K ( s max cos(w t + d ) )2 =
2
2
1
1
2
2
= K s max
sen 2 (w t + d ) + cos 2 (w t + d = K s max
2
2
Etotal =
(
(9)
)
Esta expresión de la energía total se comprende considerando el cuerpo en la posición extrema del movimiento donde el desplazamiento es máximo (energía potencial máxima) y la
velocidad cero (energía cinética cero).
En la figura 2 se representa la variación de estas funciones (energía cinética, energía potencial y energía total) con el tiempo y se observa que la energía total permanece constante.
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4
smax
s
T/2
T
t
Etotal
Epotencial
1 2
k smax
2
Ecinética
t
FIG. 2. Representación de la energía en función del tiempo en un movimiento armónico simple. Se
incluye como referencia la representación del desplazamiento en función del tiempo.
C) Movimiento armónico simple y movimiento circular
y
Resulta útil relacionar el movimiento armónico simple con
w
smax
otro movimiento periódico como es el circular uniforme:
smax
El desplazamiento de un cuerpo cuyo movimiento es armós
nico simple se puede considerar como la componente x de un
vector de módulo smax que gira alrededor del origen con velocidad angular w (figura 3). La velocidad y la aceleración se pue- w2 s
max
den también representar por vectores de módulos vmax y amax
que giran con la misma velocidad angular pero adelantados
unos ángulos p/2 y p rad, respectivamente.
Esta representación vectorial tiene la ventaja de que permite sumar movimientos armónicos sumando vectores, lo que
T/2
resulta más fácil que si se trata de sumar las correspondientes
funciones trigonométricas.
x
s
T
FIG. 3. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme.
t
1.3. Oscilaciones amortiguadas
En el movimiento armónico simple la única fuerza responsable del movimiento es la fuerza recuperadora (ecuación 6):
F = -K s
(10)
Esta ecuación se puede escribir en la forma
d2s
+ w 2s = 0
2
dt
(11)
y su solución es la función desplazamiento (ecuación 2):
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s (t ) = s max cos(w t + d )
Las oscilaciones correspondientes se llaman oscilaciones libres y sus valores característicos (período, frecuencia o frecuencia angular) se llaman naturales o propios. Con la intención
de distinguirlos de otros tipos de oscilaciones que se consideran a continuación se indican por
T0, n0 y w0.
En la práctica, además de la fuerza recuperadora, existen fuerzas de rozamiento que en
mayor o menor grado provocan la disminución de la amplitud de las oscilaciones con el tiempo. Como las fuerzas de rozamiento dependen generalmente de la velocidad y si ésta no es
muy elevada, la dependencia es lineal (recuerda la ley de Stokes en el tema anterior) se considera que la fuerza total es
F = -K s -g v
(12)
donde g es la constante de amortiguamiento.
Esta ecuación se puede escribir en la forma
d2s
dt
2
+
g ds
m dt
+ w02s = 0
(13)
y su solución es la función:
s (t ) = smax e - m t cos(w t + d )
(14)
donde
m=
g
(15)
2m
y
w = w 02 - m 2
(16)
En la figura 4 se representa el desplazamiento s(t) en función del tiempo. El resultado es
como el del movimiento armónico simple salvo que la amplitud de las oscilaciones disminuye
exponencialmente con el tiempo. El grado de amortiguamiento aumenta con el valor de g .
Cuando g es muy grande (movimiento sobreamortiguado) desaparecen las oscilaciones; si se
saca el cuerpo de la posición de equilibrio, vuelve a esta posición sin oscilar.
s
smax
s max e - m t
t
FIG. 4. Disminución de la amplitud en un
movimiento amortiguado.
1.4. Oscilaciones forzadas. Resonancia
A veces, para compensar las pérdidas por rozamiento se comunica energía al cuerpo a
medida que éste oscila. Otras veces, la energía se comunica de forma voluntaria o involuntaria
a un cuerpo que está en reposo lo que provoca oscilaciones en él. En todas estas situaciones, la
Tema 2
6
frecuencia de la fuerza impulsora juega un papel muy importante.
En los casos que nos interesan, como el del sonido, la fuerza impulsora es de tipo armónico Fmax cos(w t). Así consideramos que, en general, la fuerza total que actúa sobre un cuerpo
que vibra es
F = - K s - g v + Fmax cos(w t )
(17)
Esta ecuación se puede escribir en la forma
Fmax
d2s g ds
2
+
+
w
s
=
cos(w t )
0
m
dt 2 m dt
(18)
s (t ) = s max cos(w t + d )
(19)
y su solución es:
donde
s max =
Fmax
(20)
m 2 (w 2 - w 02 ) 2 + g 2w 2
y la fase d depende también de la frecuencia, aunque no lo consideraremos aquí.
El resultado es un movimiento armónico simple. Hay que destacar que el cuerpo oscila
con una frecuencia igual a la de la fuerza impulsora y la amplitud depende de esta frecuencia.
Se obtiene que la amplitud es pequeña salvo para valores próximos a la frecuencia natural del
cuerpo (figura 5).
w f < w0
smax
w f = w0
smax
s
t
s
t
w f > w0
s
smax
t
FIG. 5. La amplitud de una oscilación forzada depende de la frecuencia de la fuerza impulsora y sólo
es considerable cuando la frecuencia es próxima a la frecuencia natural del cuerpo.
La dependencia con la frecuencia se ilustra con más detalle en la figura 6 donde se ha representado smax en función de w para los casos en que el rozamiento (representado por el valor
de g) es grande y pequeño. También se incluye el caso en el que se desprecia el rozamiento. La
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amplitud es máxima cuando el denominador de la ecuación 20 es mínimo, lo que ocurre para
la frecuencia
w = w - 2m = w 2
0
smax
2
2
0
g2
2 m2
(21)
g=0
gpequeño
FIG. 6. Amplitud de una oscilación forzada en
función de la frecuencia. El aumento para
valores próximos a w0 depende de la constante
de amortiguamiento.
ggrande
w0
wf
Esta frecuencia, si g es pequeño, coincide con la frecuencia natural del sistema w0. Si se
calcula la potencia suministrada al sistema resulta también una dependencia de la frecuencia
similar aunque entonces los máximos de las curvas se obtienen siempre cuando la frecuencia
es igual a la frecuencia natural, incluso para valores grandes de g. Cuando se cumple la condición (w = w 0) se dice que hay resonancia. Como en la figura 6, las curvas son tanto más puntiagudas cuanto menor es el amortiguamiento. Si g tiende a cero, la amplitud y la potencia
suministradas crecen indefinidamente lo que provoca generalmente la destrucción del cuerpo.
Podemos comprender la resonancia suponiendo que golpeamos repetidamente el cuerpo
que cuelga de un muelle con una frecuencia n distinta de su frecuencia natural n0: en algunos
momentos lo golpearemos hacia arriba mientras se desplaza hacia abajo de modo que impedimos su movimiento. En otras ocasiones lo golpearemos también hacia arriba mientras se
desplaza en ese mismo sentido pero, como resultado global, la amplitud no tenderá a aumentar. En cambio, si le golpeamos repetidamente con una frecuencia próxima a la natural, cada
golpe producirá un aumento de la amplitud hasta llegar a un estado estacionario en que la
energía que le comunicamos iguala las pérdidas por rozamiento del sistema.
Estos fenómenos de resonancia son los que determinan, por ejemplo, el intervalo de audición del oído, y el de absorción de la luz por los distintos materiales y en último término sus
colores.
Todo sistema por complicado que sea tiene una o varias frecuencias naturales de oscilación para las que se produce la resonancia. Se habla de resonancia acústica, magnética, óptica,
etc. Por ejemplo, la mayor parte del análisis químico está basado en el estudio de las resonancias de un material ya que éstas son características de las moléculas que lo constituyen. La
energía electromagnética radiada por una emisora, y con ella la información emitida, es captada por el receptor de radio discriminándola de las demás por medio de un circuito oscilante al
que vamos variando su frecuencia hasta conseguir la resonancia (mando de sintonía).
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8
2. ONDAS
2.1. Movimiento ondulatorio
Se llama movimiento ondulatorio u onda al fenómeno de propagación de un movimiento
oscilatorio a través del espacio. Cuando se golpea un diapasón se percibe un sonido porque las
oscilaciones de las ramas de un diapasón se transmiten por el aire hasta nuestro oído. La propagación de las oscilaciones por una cuerda al agitar un extremo, la propagación de las oscilaciones por la superficie del agua al arrojar una piedra a un estanque y la propagación de las
variaciones de los campos eléctricos y magnéticos que constituyen la luz son fenómenos del
mismo tipo.
La frecuencia sigue siendo la característica principal y es común a todos los movimientos
oscilatorios que componen el movimiento ondulatorio. Por ejemplo, cuando se golpea un diapasón las oscilaciones del tímpano en el oído tienen la misma frecuencia que la de las ramas
del diapasón.
Las ondas se clasifican en longitudinales y transversales: En las longitudinales el desplazamiento de las partículas del medio por el que se transmite la onda tiene lugar en la dirección
de propagación de la onda. En las transversales el desplazamiento es perpendicular respecto a
la dirección de propagación. Por ejemplo, las ondas sonoras en un fluido son longitudinales
debido a que un fluido presenta una resistencia a las tensiones de corte despreciable y, en
consecuencia, no puede transmitir los movimientos transversales a la dirección de
propagación de la onda. En cambio, las ondas sonoras en un sólido pueden ser longitudinales
y transversales. Las ondas luminosas, que no necesitan un medio material para propagarse, se
comportan como ondas transversales ya que los campos eléctricos y magnéticos son
perpendiculares a la dirección de propagación.
Las ondas también se clasifican en uni-, bi- y tridimensionales dependiendo de las dimensiones del medio en que se propaguen. En este tema, para facilitar la comprensión de las propiedades generales de las ondas, se recurre frecuentemente a un sistema unidimensional como
es el de la propagación de ondas transversales en una cuerda. Son bidimensionales, las ondas
superficiales que se propagan en la superficie del agua. Las ondas sonoras y luminosas que se
propagan en el espacio son tridimensionales.
Conviene señalar también que, en la práctica, las perturbaciones que originan las ondas
no suelen ser armónicas y que la ventaja de considerar este tipo de onda reside en que cualquier perturbación se puede expresar matemáticamente como una suma de ondas armónicas.
Esta descomposición facilita el estudio de las ondas y los efectos que producen.
2.2. Función y ecuación de onda
Para deducir la forma de la función que describe una onda armónica consideramos primero la propagación de un pulso propagándose en una cuerda (figura 7a): Si se supone que en un
instante dado el pulso tiene la forma f(x) y si, transcurrido un tiempo, el pulso se ha movido en
el sentido positivo del eje x y se encuentra a una distancia d de la posición anterior, la función
que representa el pulso es f(x-d) (figura 8). Por tanto, para representar un pulso moviéndose
con velocidad u en el sentido positivo del eje x basta sustituir la distancia constante d por el
producto ut con lo que la función será f(x-ut). Del mismo modo f(x+ut) representa un pulso
que se mueve con velocidad u en el sentido negativo del eje x.
Tema 2
9
b)
a)
FIG. 7. Propagación de a) un pulso y b) una onda armónica en una cuerda.
y
d
d
y = f(x+d)
y = f(x)
y = f(x-d)
x
FIG. 8. Traslación de un pulso representado por la función f(x).
Si en lugar de un pulso se trata de un movimiento armónico simple (figura 7b) la función
que representa una onda armónica que se propaga en la dirección positiva del eje x es
s ( x, t ) = s max cos[k ( x - ut )]
(22)
donde el coeficiente smax es la amplitud y el ángulo [k(x - ut)] es la fase.
La constante k puede calcularse considerando que cada punto de la cuerda, representado
por un valor de x, describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular w. Así,
identificando la ecuación 22 con x = x0 y la ecuación 2 se obtiene
k=
w
(23)
u
con lo que la función de onda se escribe
s ( x, t ) = s max cos (k x - w t )
(24)
De acuerdo con lo razonado para un pulso, basta un cambio de signo en uno de los términos de la fase para que la función de onda pase a representar una onda propagándose en la
dirección negativa del eje x (figura 9).
s
s
s ( x, t ) = s max cos [k (x - u t )]
x
x
s ( x, t ) = s max cos [k (x + u t )]
FIG. 9. Los signos de los términos de la fase determinan el sentido de propagación de la onda.
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La función de onda armónica es periódica, no sólo en el tiempo sino también en el espacio:
• La periodicidad temporal es la misma del movimiento oscilatorio. Si nos situamos en
un punto de la cuerda x= x0 , la función se repite transcurrido un tiempo T (figura 10a):
s ( x0 , t + T ) = s max cos[kx0 - w (t + T )] =
(25)
= s max cos(kx0 - wt ) = s ( x0 , t )
• La periodicidad espacial se llama longitud de onda, se representa con la letra griega l
y está relacionada con el período temporal por
l =uT
(26)
En efecto, si consideramos la situación en un instante t = t0 , se encuentra que la función se repite en puntos separados por una distancia l (figura 10b):
s ( x + l , t 0 ) = s max cos[k ( x + uT ) - w t 0 ] =
(27)
= s max cos(kx - w t 0 ) = s ( x, t 0 )
a)
b)
s (x0,t)
s (x,t0)
T
l
x
t
FIG. 10. La función de onda es doblemente periódica. Los valores se repiten en el a) tiempo y b) espacio con períodos T y l , respectivamente.
Hay que llamar la atención sobre la posibilidad de confundir la constante k:
k=
w
u
=
2p T 2p
=
T l
l
(28)
con la constante elástica K utilizada en el tema anterior y en la primera parte de este tema.
Para evitarlo se puede escribir la función de onda en la forma
é æ x t öù
s ( x, t ) = s max cos ê2 p ç - ÷ú
ë è l T øû
(29)
La función de onda es solución de una ecuación cuya forma general se puede obtener por
derivación no sólo con respecto al tiempo t:
¶ 2 s( x, t )
¶t
2
+ w 2 s ( x, t ) = 0
(30)
sino también con respecto a x:
Tema 2
11
¶ 2 s( x, t )
¶x
2
+ k 2 s ( x, t ) = 0
(31)
Combinando ambas expresiones se obtiene la llamada ecuación de onda:
2
¶ 2 s( x, t )
2 ¶ s ( x, t )
=u
¶t2
¶ x2
(32)
Esta ecuación representa la dinámica del movimiento ondulatorio y su deducción en cada
caso suele ser complicada. En el caso del sonido, por ejemplo, se obtiene tras considerar las
variaciones de presión o desplazamiento a que está sometida cada partícula del medio al paso
de la onda.
2.3. Frentes de onda y rayos
La propagación de las ondas consideradas hasta ahora es según una única dirección (x).
Por tanto, o bien son ondas unidimensionales como en el caso de la cuerda o, si se trata de
ondas tridimensionales, se entiende que la situación física es la misma en todos los puntos de
cada plano perpendicular a la dirección de propagación (figura 11a). Estas ondas tridimensionales se llaman ondas planas y los planos perpendiculares a la dirección de propagación se
llaman frentes de onda. Un frente de onda es el lugar geométrico de los puntos alcanzados por
la onda en un determinado instante y representa una superficie de fase constante.
Si el foco que origina las ondas es puntual, las ondas se propagan en todas direcciones,
los frentes de onda son esferas y las ondas se llaman ondas esféricas (figura 11b). Si el foco es
una línea, los frentes de onda son cilindros y las ondas se llaman ondas cilíndricas (figura
11c). En la práctica, a distancias grandes de una fuente “puntual” (tomando como referencia
su tamaño) se considera que las ondas son planas. Éste es el caso de la luz del Sol a su llegada
a la Tierra (figura 12).
a)
b)
y
x
z
z
c)
y
y
x
z
x
FIG. 11. Frentes de onda a) planos b) esféricos y c) cilíndricos en ondas tridimensionales.
FIG. 12. A gran distancia del foco los frentes de onda esféricos son aproximadamente planos.
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Los rayos que se emplean tanto en óptica son líneas perpendiculares a los frentes de onda. Así
los rayos correspondientes a una onda plana son líneas paralelas mientras que los correspondientes a una onda esférica son divergentes o convergentes (figura 13)
a)
b)
c)
FIG. 13. Los rayos son a) paralelos en una onda plana y b) divergentes o c) convergentes en una onda
esférica.
2.4. Ondas sonoras
Se llaman ondas sonoras a las ondas capaces de estimular el oído humano. La región de
frecuencias audibles varía de unas personas a otras aunque se supone generalmente un intervalo entre los 20 y 20·103 Hz. Las ondas de frecuencia inferior a 20 Hz se llaman infrasonidos y
los de frecuencia superior a 20·103 ultrasonidos. Hay que señalar que en otros animales el
campo audible es distinto. Por ejemplo, en el perro el límite superior alcanza los 30·103 Hz y
en el murciélago supera los 40·103 Hz.
El conjunto de ondas ordenadas según su frecuencia o longitud de onda se llama espectro.
En la figura 14 se muestra el espectro de las ondas sonoras.
20 Hz
Infrasonidos
10 Hz
400 Hz
1600 Hz
20000 Hz
Bandas de ondas sonoras audibles
Graves
Medios
Agudos
100 Hz
1000 Hz
10000 Hz
Ultrasonidos
100000 Hz
FIG. 14. Espectro de ondas sonoras.
Aunque las ondas sonoras en un sólido pueden ser transversales y longitudinales, nos referimos generalmente a estas últimas que en los fluidos como el aire son las únicas posibles.
Cuando un altavoz emite un sonido, la membrana se mueve hacia delante y hacia atrás
con una frecuencia determinada. La onda sonora se produce porque las moléculas de aire cercanas a la membrana realizan oscilaciones forzadas reproduciendo el movimiento de dicha
membrana. Estas moléculas, a su vez, fuerzan a las contiguas y así sucesivamente de forma
que todas ellas lo reproducen con un retraso que depende de la distancia al altavoz y la velocidad de propagación. En la figura 15 se representa en un cierto instante la onda de desplazamiento (desplazamiento longitudinal de las moléculas s respecto a su posición de equilibrio en
función de su distancia x a la membrana del altavoz). Cuando s es positivo significa que la
molécula se mueve en el sentido de propagación de la onda y cuando es negativo en sentido
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contrario. Para aclarar esta situación se han representado las posiciones de las moléculas en
reposo y al paso de la onda. Este movimiento de las moléculas determina que en ese instante
en unas regiones (regiones en reposo A, C y E) la presión p sea menor que la presión atmosférica mientras que en otras (regiones B y D) la presión sea mayor. Como consecuencia, en el
estudio del sonido se utilizan también las ondas sonoras de presión. En la figura también se
aprecia que la onda de presión está retrasada en l/4 respecto a la de desplazamiento.
t
Moléculas al
paso de la onda
s
x
Onda de desplazamiento
p
x
Onda de presión
FIG. 15. Ondas sonoras de desplazamiento y presión.
Si la función s ( x, t ) = s max cos[kx - wt )] (ecuación 24) representa la onda de desplazamiento, la onda de presión correspondiente se obtiene a partir de la ecuación 11 del tema anterior que relaciona la variación de presión con la de volumen:
DV
Dp = - B
V
Considerando una porción de volumen del medio donde se propaga la onda (figura 16) se
escribe
Ds
Dx
(33)
ds
p
= k B smax sen(kx - w t ) = k B smax cos(kx - w t - )
dx
2
(34)
Dp = - B
y para variaciones suficientemente pequeñas
Dp = - B
s2
s1
S V
Dx
Tema 2
S
V +DV
Dx + Ds
FIG. 16. Diagrama para relacionar DV con Ds e Dx. El
volumen V = S Dx en condiciones de equilibrio se convierte en V+DV =S(Dx+Ds) al paso de la onda. Así, DV
=S Ds
14
Resulta, por tanto, que la amplitud de la onda de presión está relacionada con la amplitud
de la onda de desplazamiento por
Dpmax = k B smax
(35)
También se obtiene que la fase de la onda de presión está retrasada p/2 rad respecto a la
onda de desplazamiento de acuerdo con las representaciones de la figura 15.
Hay que señalar que Dp no representa la presión real en una región sino la diferencia entre
la presión real y la presión atmosférica. Esta presión se llama a veces presión acústica y se
representa por p en vez de Dp. Así lo haremos nosotros de aquí en adelante. En los sonidos
habituales la presión acústica (entre 20·10–6 Pa y 20 Pa) es mucho menor que la presión atmosférica (105 Pa).
La velocidad de propagación de las ondas sonoras depende de las características del medio. La fórmula
u=
B
rm
(36)
se obtiene tras considerar con detalle la dinámica del movimiento de partículas y comparar la
ecuación obtenida con la ecuación de onda. Las fórmulas que expresan las velocidades de
otras ondas son similares. Por ejemplo, la correspondiente a la propagación de las ondas sonoras en sólidos si la onda es longitudinal es
u=
Y
rm
(37)
y si es transversal es
u=
G
rm
(38)
A partir de la fórmula 36 y considerando la expresión 13 del tema anterior ( B µ p ) con
una constante de proporcionalidad 1,4 se obtiene la velocidad de propagación del sonido en el
aire en condiciones normales:
u=
1,4 1,01·10 5
= 330 m/s
1,3
(39)
Este valor corresponde a una temperatura de 0ºC. Como se encuentra que la velocidad de
propagación es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta, la velocidad a una
temperatura de 20ºC es de 340 m/s. Las velocidades de las ondas sonoras longitudinales en
otros medios se agrupan en la tabla 1.
Tabla 1. Velocidad del sonido en algunos medios (en el aluminio para ondas longitudinales)
Aire (20 ªC)
Agua
Sangre
Aluminio
Tema 2
u (km/s)
0,34
1,50
1,57
5,0
15
La velocidad de propagación de la onda que hemos llamado u no se debe confundir con la
velocidad de las partículas del medio en torno a su posición de equilibrio. Ésta última es una
función armónica (ds/dt) mientras que la velocidad de propagación es característica de la onda
y constante para cada medio.
2.5. Energía transportada por las ondas
A) Intensidad de las ondas
En un movimiento ondulatorio el movimiento oscilatorio generado en una región del espacio se propaga a otras regiones del mismo. No se propaga la materia, sino su estado de movimiento y por lo tanto la energía.
Las magnitudes físicas que se utilizan para estudiar teóricamente la energía transportada
por la onda son la densidad de energía y el flujo de energía.
La densidad de energía está relacionada con la energía contenida en el espacio atravesado
por la onda. Si se considera un cierto volumen del espacio en el que al paso de la onda sonora
todas las moléculas realizan movimientos oscilatorios se tiene (ver ecuaciones 9 y 7)
rE =
Etotal 1
2
= r m w 2 smax
V
2
(40)
y en función de la amplitud de la onda de presión (ecuación 35)
rE =
2
pmax
2 u 2 rm
(41)
El flujo de energía se calcula tras relacionarlo con la densidad de energía que va apareciendo al paso de la onda (figura 17):
IE =
u
S
Etotal Etotal V
=
= r E IV = r E S u
t
Vt
(42)
V
x=ut
FIG. 17. El flujo de energía es el producto de la densidad
de energía por el flujo de volumen.
Como la energía emitida por el foco según los casos (onda plana, esférica, cilíndrica,...) se
reparte en el espacio de distintas formas, desde el punto de vista práctico, la magnitud de interés es el flujo de energía por unidad de superficie normal a la dirección de propagación. Esta
magnitud se llama intensidad de la onda y por desgracia se le asigna también como símbolo I.
Para evitar confusiones utilizaremos el símbolo P (potencia), que también se usa frecuentemente, para el flujo de energía. Así la intensidad de la onda se escribe
I=
P
= rE u
S
(43)
Substituyendo el valor de rE de las ecuaciones 40 y 41 se obtiene
Tema 2
16
I=
2
1
1 pmax
2
Zw 2 smax
=
2
2 Z
(44)
donde al producto rm u se le llama impedancia acústica Z del medio
Z = rm u
(45)
y juega un papel importante en la transmisión del sonido. La proporcionalidad con el cuadrado
de la amplitud es un resultado general común a todo tipo de ondas.
B) Sensación sonora
Para que nuestro oído perciba un sonido, no basta que su frecuencia esté comprendida entre 20 y 20000 Hz; es preciso además que la intensidad sea mayor que 10-12 W/m2. Este valor
se conoce como umbral de audición. La sensación sonora que se percibe con el oído depende
de la intensidad de la onda sonora, pero no es proporcional a ella, sino que sigue una relación
aproximadamente logarítmica. Por ello se define una nueva magnitud llamada nivel de intensidad L:
æ I
L = logçç
è I0
ö
÷÷
ø
(46)
donde la intensidad I0 de referencia es el umbral de audición.
Aunque L es adimensional, como recordatorio de que el valor se refiere a una magnitud de
este tipo, se mide en belios y en la práctica se prefiere utilizar números 10 veces mayores para
evitar los decimales midiendo en decibelios:
æ I ö
L( dB ) = 10 logçç ÷÷
è I0 ø
(47)
Por ejemplo, a un sonido de 10-5 W/m2 le corresponde un nivel de intensidad de 70 dB
æ 10-5 ö
L = 10 log çç -12 ÷÷ = 10 log (107 ) = 10 × 7 = 70 dB
è 10 ø
(48)
Esta definición logarítmica tiene la ventaja de cubrir el enorme intervalo de intensidades a
los que es sensible el oído (entre 10-12 y 1 W/m2) empleando un intervalo mucho menor (entre
0 y 120 dB). En la tabla 2 se agrupan los valores típicos de L de diversos sonidos.
Tabla 2. Nivel de intensidad de diversos sonidos
Umbral de audición
Cuchicheo
Casa (interior)
Conversación
L (dB)
0
20
40
60
Tráfico intenso
Discoteca
Umbral de dolor
Rotura del tímpano
L (dB)
80
100
120
160
La sensación sonora también depende de la frecuencia; su valor es máximo a unos
3500 Hz y disminuye considerablemente para frecuencias inferiores a 200 Hz. El valor del
umbral de audición I0 que se toma como referencia para definir el nivel de intensidad es el que
corresponde a la frecuencia de 1000 Hz.
Tema 2
17
C) Atenuación de las ondas
Las ondas se debilitan con la distancia al foco emisor. Esta atenuación está regida por dos
leyes: la geométrica del cuadrado de la distancia y la física de absorción exponencial
• Ley del cuadrado de la distancia:
En una onda plana la amplitud es constante y por tanto la intensidad de la onda no
varía con la distancia. Sin embargo, si la onda es esférica el frente de onda aumenta continuamente creciendo proporcionalmente a su radio al cuadrado (r2) y por tanto la intensidad disminuye en la misma proporción ya que la misma energía se reparte en una superficie cada vez mayor. De la figura 18 se tiene
I1 =
P
P
=
S1 4p r12
(49)
I2 =
P
P
=
S 2 4p r22
(50)
I 1 r22
=
I 2 r12
(51)
de donde
I2
r2
P
r1
I1
FIG. 18. La intensidad de la onda disminuye con el cuadrado
de la distancia.
Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, en una onda esférica
la amplitud disminuye linealmente con la distancia. En consecuencia, la función de onda
correspondiente a una onda esférica se escribe
p (r , t ) =
p max
cos(k r - w t )
r
(52)
• Ley exponencial de absorción
El medio de propagación siempre absorbe parte de la energía transportada por la onda
debido a fenómenos de rozamiento. En general, se supone que estas pérdidas son proporcionales al valor de la intensidad y al espacio recorrido. Si la onda es plana
DI = -a I Dx
(53)
donde a es el coeficiente de absorción característico del medio de propagación. Con esta
hipótesis, tras la integración, se obtiene la ley general de absorción
Tema 2
18
I x = I 0 e -a x
(54)
donde I0 representa la intensidad inicial (figura 19).
I0
FIG. 19. La intensidad de la onda
disminuye exponencialmente con la
distancia recorrida en un medio absorbente.
I1
x
Considerando la absorción, si la onda es plana, la función de onda se escribe
-
ax
cos(k x - w t )
(55)
p max - a2r
e
cos(k r - w t )
r
(56)
p ( x, t ) = p max e
2
y si la onda es esférica
p(r , t ) =
Estas expresiones recuerdan las obtenidas al estudiar el movimiento oscilatorio amortiguado, allí la variación en función del tiempo y aquí en función de la posición. Ahora la
onda no se debilita con el tiempo mientras el foco siga emitiendo energía (movimientos
oscilatorios forzados)
2.6. Fenómenos de propagación
Las ondas sonoras y, en general, todas las ondas interaccionan con los obstáculos que se
encuentran siempre y cuando sus dimensiones sean mayores que la longitud de onda. En caso
contrario, la onda ignora el obstáculo. Se habla de reflexión y refracción si las dimensiones
del obstáculo son mucho mayores (al menos unas 50 veces) que la longitud de onda. El fenómeno de difracción es tanto más notorio cuando las dimensiones del obstáculo se aproximan a
la longitud de onda.
Estos fenómenos se pueden explicar mediante el llamado principio de Huygens que se
enuncia de la siguiente manera: en la propagación de una onda cada punto del medio alcanzado por la onda se convierte a su vez en un nuevo foco puntual emisor de ondas esféricas, que
llamamos secundarias, y cualquier frente de onda posterior se obtiene como superficie tangente a los frentes de estas ondas secundarias. Si los puntos emisores de las ondas secundarias
que se consideran no pertenecen a un mismo frente de ondas, es decir, si las ondas secundarias
no se emiten todas al mismo tiempo, hay que tener en cuenta los desfases entre ellas. En la
figura 20 se muestra la formación de los sucesivos frentes de onda a partir de las ondas secundarias en los casos de una onda plana y una onda esférica.
En esta sección vamos a considerar también el fenómeno de interferencia o superposición
de ondas que tiene lugar al encontrarse unas ondas con otras. El resultado se interpreta con el
llamado principio de superposición según el cual, la función de onda resultante es simplemente la suma algebraica de las diferentes funciones de onda que intervienen. Después de la superposición las ondas continúan su propagación como si no hubiera habido interferencia.
Tema 2
19
a)
b)
FIG. 20. Aplicación del principio de Huygens a la propagación de frentes de onda
a) planos y b) esféricos.
Por último, presentamos el fenómeno de las ondas estacionarias que es una combinación
de interferencia y reflexión, y que tiene lugar cuando se encuentran ondas que viajan en la
misma dirección y sentidos contrarios. Este fenómeno es muy común si se tiene en cuenta que
los medios de propagación son finitos y que las ondas reflejadas en las superficies que limitan
el medio se van a superponer con las ondas incidentes.
A) Reflexión y refracción
La reflexión y la refracción ocurren cuando la onda encuentra una superficie que limita
dos medios que difieren entre sí por su densidad y por sus propiedades elásticas. Parte de la
onda se refleja retrocediendo hacia el medio en el que venía propagándose. La refracción es el
cambio de dirección de propagación de la onda transmitida al nuevo medio.
En la reflexión se cumple que los ángulos qi y qr que forman los rayos incidente y el reflejado con la perpendicular a la superficie límite son iguales:
qi = qr
(57)
La refracción es una consecuencia de la variación de la velocidad de propagación de la
onda al cambiar de medio. Conviene recordar que la frecuencia es un parámetro constante de
la onda, mientras que la velocidad de propagación y, por tanto, la longitud de onda (ver la
ecuación 26) varían al cambiar las propiedades del medio. Los ángulos qi y qt que forman los
rayos incidente y transmitido con la perpendicular a la superficie límite cumplen la ecuación
senq i u1
=
senq t u 2
(58)
donde u1 y u2 representan las velocidades de las ondas en los medios donde se propagan las
ondas incidente y transmitida, respectivamente. La ecuación 58 se conoce como la ley de
Snell.
Estas ecuaciones se pueden deducir con la ayuda del principio de Huygens, considerando
las ondas secundarias emitidas por los puntos de la superficie límite como se indica en la figura 21. Las deducciones, sin embargo, no las consideraremos aquí ya que estas leyes se estudian con detalle en la asignatura Óptica Geométrica.
El reparto de la energía, sin embargo, responde a fórmulas cuya deducción es más complicada. En las ondas sonoras la relación entre las intensidades de las ondas depende del valor
de las impedancias acústicas Z1 y Z2 de ambos medios:
I r (Z 1 - Z 2 )
=
I i (Z 1 + Z 2 ) 2
2
Tema 2
(59)
20
Refracción
Reflexión
qi
qr
qi
u1
B
qi
A
D
u1
C
A
C
B
D
qt
FIG. 21. Aplicación del principio de Huygens: reflexión y refracción.
La relación entre las intensidades de las ondas transmitida e incidente se obtiene a partir
de la fórmula anterior y del principio de conservación de la energía (se desprecia la absorción):
It Ir
+
=1
Ii Ii
(60)
It
4 Z1 Z 2
=
I i (Z 1 + Z 2 ) 2
(61)
Sustituyendo se obtiene
Se comprueba que si Z1 es igual a Z2, es decir, si no hay cambio de medio, la intensidad de
la onda reflejada es cero y las intensidades de las ondas transmitida e incidente son iguales.
Por el contrario, si Z1«Z1 o Z1»Z1 la mayor parte de la energía se refleja. Esto es lo que ocurre
en la superficie de separación entre un gas y un líquido o un sólido porque la densidad y, en
consecuencia, la impedancia acústica del gas es mucho menor que la de un líquido o sólido.
Cuando lo que importa es la onda transmitida las pérdidas por reflexión se suelen expresar en decibelios. Por ejemplo, una onda sonora que se transmite del aire al agua o viceversa
experimenta una atenuación de 30 dB lo que significa que su intensidad se ha reducido a la
milésima parte del valor incidente.
B) Difracción
En un medio homogéneo los rayos con que se representa la propagación de las ondas son
líneas rectas. Sin embargo, si se interpone un obstáculo los rayos se desvían bordeándolo y la
difracción es apreciable cuando las dimensiones del obstáculo se aproximan a la longitud de
onda. Hay que señalar que sucede lo mismo cuando se interponen diafragmas, siempre que
sean de dimensiones próximas a l . En resumen, se llama difracción al fenómeno según el
cual, una onda se desvía de su trayectoria al encontrar un obstáculo u orificio de dimensiones
próximas a su longitud de onda.
Si por ejemplo se coloca una pantalla con un orificio suficientemente pequeño para que
sólo permita actuar como foco emisor un punto, de acuerdo con el principio de Huygens, se
propaga una sola onda esférica secundaria que llena todo el semiespacio al otro lado del orificio (figura 22a). En cambio si el orificio es muy grande comparado con l habrá un gran númeTema 2
21
ro de ondas secundarias cuyas ondas esféricas se sumarán para dar nuevas ondas planas (figura 22c). En el primer caso, no habrá zonas de sombra mientras que en el segundo existirá una
zona de luz y otra de sombra nítida. En los casos intermedios la onda se difracta en mayor o
menor grado creando una zona de penumbra (figura 22b).
a)
b)
c)
a
d
FIG. 22. Difracción por un orificio de dimensiones a) aproximadamente igual a l y b) entre l y
10l. c) Cuando las dimensiones del orificio son grandes (>50 l) la difracción se desprecia.
En general, se cumple aproximadamente
sena »
l
d
(62)
donde a es el ángulo de difracción y d una longitud del orden de las dimensiones del orificio.
Si en lugar de un orificio la onda se encuentra un obstáculo se aplican las mismas consideraciones, y en la ecuación 62 d es ahora una longitud del orden de las dimensiones del obstáculo
(figura 23).
a
d
FIG. 23. La difracción en un obstáculo de dimensiones
representadas por d sigue las mismas reglas que en el
caso del orificio.
La longitud de onda de las ondas sonoras audibles varía entre 0,02 y 20 m por lo que la
mayor parte de los sonidos se difractan apreciablemente en puertas y ventanas. Este fenómeno
combinado con el de reflexión de las ondas da lugar a que los sonidos se esparzan por todos
los rincones del interior de los edificios.
C) Interferencias
Tal como se ha definido antes, se llama interferencia al fenómeno que tiene lugar cuando
dos ondas se propagan de forma que las vibraciones se superponen y, como consecuencia, los
movimientos de las partículas se refuerzan o se debilitan dependiendo de la diferencia de fase
entre ambas ondas.
Por simplicidad consideramos la superposición de dos ondas de la misma frecuencia y
amplitud. En la figura 24 se muestra un aparato para producir interferencias (interferómetro)
de ondas sonoras. Las ondas generadas por un foco sonoro se dividen en dos partes de
aproximadamente la misma amplitud que viajan por caminos distintos hasta superponerse a la
salida del aparato. Desplazando el trozo de tubo acodado inferior se varía la longitud del camino recorrido entre las dos ondas antes de la superposición.
Tema 2
22
Foco sonoro
FIG. 24. Interferómetro de ondas sonoras.
Las funciones de las ondas que se superponen se escriben
p1 = p max cos(k x - w t )
(63)
p 2 = p max cos[k ( x + Dx) - w t ]
(64)
y el resultado de la superposición es
k Dx ö
æ k Dx ö
æ
p R = p1 + p2 = 2 pmax cosç
÷
÷ cosç k x - w t +
2 ø
è 2 ø
è
(65)
La onda resultante tiene la misma frecuencia y una amplitud que depende de la diferencia
de fase j entre las dos ondas:
j = k Dx
(66)
Cuando la diferencia de camino entre las dos ondas Dx es igual a l o un múltiplo de l (la
diferencia de fase j es 2p o un múltiplo de 2p) las ondas se superponen en fase, la amplitud
de la onda resultante es máxima y se habla de interferencia constructiva (figura 25a). Por el
contrario, cuando Dx es igual a l/2 o un múltiplo impar de l/2 ( la diferencia de fase j es p o
un múltiplo impar de p) las ondas se superponen en oposición de fase, la amplitud de la onda
resultante es cero y se habla de interferencia destructiva (figura 25b).
a)
p
T/2
p1max
p2max
p2
T
t
t
b)
p1max
T/2
T
t
p2
p2max
pR
pRmax
p1
t
pR
t
pR= 0
t
FIG. 25. Interferencia de dos ondas sonoras a) constructiva y b) destructiva
Tema 2
23
La intensidad de la onda resultante IR se obtiene elevando al cuadrado la amplitud en la
ecuación 65:
æ k Dx ö
I R = 4 I cos 2 ç
÷
è 2 ø
(67)
donde I es la intensidad de cada una de las dos ondas que se superponen. En la figura 26 se
representa IR en función de la diferencia de camino entre las dos ondas Dx. Hay que señalar
que las interferencias suponen una redistribución espacial de la energía. En los puntos donde
la interferencia es destructiva, la intensidad es cero mientras que donde es constructiva, es el
doble de la suma de las intensidades de las dos ondas.
l
I
d = k Dx =
4I
2p
l
Dx
FIG. 26. Variación de la intensidad de la onda resultante de la interferencia de dos ondas con la diferencia de
camino entre ambas.
Si las ondas no tienen la misma amplitud, los mínimos no son nulos, los máximos son
menores y, en consecuencia, las variaciones respecto al valor medio 2I son también menores.
D) Ondas estacionarias
La mayoría de los medios por los que se propagan las ondas están limitados. Por ejemplo,
un trozo de cuerda, el tubo de un instrumento musical, el interior de una habitación. Cuando
una onda encuentra una de las superficies límite, la porción reflejada se superpone con la incidente resultando otra onda con propiedades especiales llamada onda estacionaria.
Para obtener el resultado de la interferencia consideramos las funciones de onda correspondientes a las ondas incidente y reflejada:
p1 = p max cos(k x - w t )
(68)
p 2 = p max cos(k x + w t + d )
(69)
Se supone que no hay pérdidas de energía en la reflexión por lo que la amplitud es la
misma. Los signos del producto w t son diferentes para tener en cuenta que las ondas se propagan en sentidos opuestos y la fase d se introduce para considerar los posibles efectos de la
superficie límite.
El resultado de la superposición
p R = p1 + p 2 = 2 p max cos(k x +
d
2
) cos(w t +
d
2
)
(70)
indica que las partículas del medio describen movimientos armónicos simples de la misma
frecuencia y cuya amplitud
Tema 2
24
p R max = 2 p max cos(k x +
d
2
)
(71)
depende de la posición x. En la figura 27 se muestran las posiciones de las partículas en instantes diferentes. Las posiciones en las que las partículas no se mueven se llaman nodos y las
posiciones en las que la amplitud es máxima se llaman antinodos o vientres. La onda resultante parece no moverse y por eso se llama estacionaria.
En las superficies límites suelen formarse nodos o vientres de la onda estacionaria. En el
caso de un trozo de cuerda, si el extremo está fijo se forma un nodo y si puede oscilar libremente un antinodo. En el de un tubo sonoro, si el extremo está cerrado se forma un antinodo
de presión (nodo de desplazamiento) y lo contrario si está abierto.
pR
t1 = 0
x
t2
t3
t4 = T/4
t5
t6
t7 = T/4
FIG. 27. Ondas estacionarias. En algunos
puntos la amplitud del movimiento vibratorio es siempre cero (nodos) y en otros
es máxima (antinodos).
Si en uno de los extremos de un tubo sonoro de longitud ℓ, por ejemplo para x=0, hay un
nodo de presión (extremo del tubo abierto) se cumple
( p Rmax ) x =0 = 0 Þ d = p
(72)
p R = 2 p max sen (k x) sen (w t )
(73)
y pR toma la forma
Las condiciones del otro extremo establecen el tipo de ondas estacionarias que pueden
aparecer. Si hay otro nodo de presión, es decir, el tubo sonoro está abierto por ambos extremos
( p R max ) x = L = 0 Þ k l = n p ( n = 1,2,3,...)
(74)
sólo se pueden propagar las ondas cuya longitud de onda cumple
Tema 2
25
l=n
l
2
( n = 1, 2, 3,...)
(75)
Estas ondas se representan en la figura 28. No hay que confundir estas ondas de presión
con las de desplazamiento que recordamos están desfasadas en p/2 rad respecto a las de presión. Donde hay un nodo en la onda de presión hay un antinodo en la de desplazamiento y
viceversa.
El sistema, de acuerdo con estos resultados, sólo permite el establecimiento de las ondas
cuya frecuencia cumple
n=
n=1
u
l
=n
u
( n = 1, 2, 3,...)
2l
(76)
pRmax=0
n=2
n=3
ℓ
FIG. 28. Ondas sonoras estacionarias en un tubo de longitud ℓ
abierto por ambos extremos para n=1, 2 y 3.
Estas frecuencias se conocen como frecuencias de resonancia del sistema. La correspondiente a n=1 se llama tono fundamental y las restantes, n = 2, 3, .., se conocen como primer,
segundo,... sobretono, respectivamente. También se usan los términos, primer armónico (n=1),
segundo armónico (n=2) y así sucesivamente. Cualquier otra onda que no satisfaga las condiciones en los límites no puede existir en el sistema.
En el caso de un tubo sonoro abierto por un extremo pero cerrado por el otro
( p R max ) x = L = 2 p max Þ k l = n
p
2
( n = 1, 3, 5,...)
(77)
sólo se pueden propagar las ondas cuya longitud de onda cumple
l=n
l
4
( n = 1, 3, 5,...)
(78)
Estas ondas estacionarias se representan en la figura 29. Las frecuencias de resonancia
asociadas son
n=
Tema 2
u
l
=n
u
( n = 1, 3, 5,...)
4l
(79)
26
pRmax=0
n=1
pRmax=2pmax
n=3
n=5
FIG. 29. Ondas sonoras estacionarias en un tubo de longitud ℓ abierto por un extremo y cerrado por el otro para
n=1, 3 y 5
ℓ
n= 1
3
5
L
L
L
FIG. 30.
Dispositivo para medir la
velocidad del sonido basado en la
producción de ondas estacionarias
En la figura 30 se muestra un dispositivo para medir la velocidad del sonido basado en la
producción de ondas estacionarias: un tubo vertical con agua está unido mediante una goma a
un depósito de manera que variando la altura del depósito se puede variar la longitud efectiva
del tubo. Basta excitar un diapasón de frecuencia conocida junto a la boca del tubo y ajustar la
longitud del tubo hasta que se produzca la resonancia, lo que se reconoce por un aumento de
la intensidad de la onda resultante. La resonancia se consigue para los valores de ℓ que satisfacen la ecuación 79.
2.7. Fuentes y detectores de ondas sonoras
Las fuentes sonoras están constituidas por un dispositivo que produce una vibración y una
estructura resonante que amplifica y modula la intensidad de la onda emitida. En los
instrumentos musicales se producen sonidos mediante las vibraciones de cuerdas y
membranas. Los altavoces generan sonidos mediante el movimiento de una membrana
controlada por señales eléctricas que estudiaremos más adelante. Las cajas de resonancia
asociadas a estos instrumentos son las que determinan la forma final de la onda sonora.
Tema 2
27
mentos son las que determinan la forma final de la onda sonora.
La generación de la voz humana tiene lugar mediante las cuerdas vocales situadas en la laringe. Cuando están relajadas el aire pasa libremente y no se emiten sonidos. Al tensarlas el
aire pasa de forma intermitente haciéndolas vibrar y produciendo un sonido que depende de la
tensión y del grosor de las cuerdas vocales.
El sonido emitido se modula principalmente mediante dos cajas de resonancia: las cavidades bucal y nasal (figura 31a). La primera se puede cambiar de forma y dimensiones para producir los diferentes fonemas. Como primera aproximación la cavidad bucal se considera un
tubo de unos 17 cm de largo con un extremo abierto (la boca) y otro cerrado (las cuerdas vocales). De la fórmula 79 se obtiene que la frecuencia fundamental y los dos primeros sobretonos son aproximadamente 500, 1500 y 2500 Hz, respectivamente.
Los detectores de las ondas sonoras analizan el espectro de las ondas que reciben. Un micrófono, por ejemplo, traduce las vibraciones en señales eléctricas de diferente frecuencia que
pueden ser almacenadas y reproducidas más tarde mediante un altavoz. Un altavoz puede funcionar también como lo hace un micrófono. En el laboratorio, se utilizan dos altavoces, uno
como emisor y otro como receptor, para estudiar la resonancia en un tubo sonoro.
El oído externo está constituido por el canal auditivo (figura 31b) que actúa como cavidad
resonante en cuyo extremo hay una membrana elástica (tímpano). La función de la cavidad
resonante es amplificar un determinado intervalo de frecuencias. Como el canal auditivo
humano es de unos 2,7 cm la frecuencia fundamental según la ecuación 79 es aproximadamente 3100 Hz.
a)
b)
Canal
auditivo
Cavidad del
Tímpano oido medio
Cavidad nasal
Cavidad bucal
Lengua
Cuerdas vocales
Oido
externo
Trompa de
Eustaquio
FIG. 31. a) Las cavidades nasal y bucal actúan como cajas de resonancia en la emisión de los sonidos.
b) El canal auditivo actúa como caja de resonancia en la recepción de los sonidos.
J. A. Quintana
M. T. Caballero
Versión 08/07/04
Tema 2
28