Mat 4 2016 - Datos y Azar

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TOMO IV
Datos y Azar
Contenidos y ejercicios de preparación PSU
Mauricio Andrés Chiong C.
Ingeniero Civil Industrial (e)
Pontificia Universidad Católica de Chile
CEO Grupo Educativo Sinapsis
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7 COORDINACIÓN DE CONTENIDOS
Y EDICIÓN GENERAL
Nicolás Pinto P.
Lic. en Ciencias. Mención Matemáticas.
Universidad de Chile.
Ariel Reyes F.
Lic. en Ciencias Exactas.
Universidad de Chile.
7 DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN
Nicole Castro B.
Distribución gratuita, prohibida su venta.
© Todos los derechos reservados.
4
Lic. en Artes Visuales. Diseñadora (e)
Pontificia Universidad Católica de Chile.
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TOMO IV DATOS Y AZAR
PREFACIO
Este libro fue confeccionado por Mauricio Chiong Ingeniero Civil Industrial(c) de la
Pontificia Universidad Católica de Chile, fundador de la empresa Sacateun7 y Director del Preuniversitario Gauss.
En éste se plasma el conocimiento adquirido en arduos años de estudio, desde mi
formación escolar en el Instituto Nacional, donde tengo gratos recuerdos de grandes
profesores y maestros como Luis Arancibia y Belfor Aguayo, que hicieron que la motivación por la matemática se tradujera en el amor por enseñarla, hasta mi formación profesional, donde la Universidad traspasó su espíritu de excelencia académica
y de compromiso social.
Espero que este libro sirva de apoyo para lograr un alto puntaje, entrar a la carrera
que quieren, y cumplir sus sueños
Santiago, 2016
Mauricio Chiong
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5
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TOMO IV DATOS Y AZAR
ÍNDICE GENERAL
Prefacio 4
Nomenclatura8
1. Estadística10
Definiciones básicas11
Gráficos13
Medidas de posición o tendencia central
15
Medidas de localización
16
Medidas de dispersión
18
Ejercicios19
2. Probabilidades34
Definiciones Básicas35
Combinatoria35
Probabilidades Clásica y Experimental
36
Distribuciones de Probabilidad
37
Esperanza Matemática
39
Ejercicios40
Respuestas 51
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7
CAPÍTULO 1
ESTADÍSTICA
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TOMO IV DATOS Y AZAR
DEFINICIONES BÁSICAS
La estadística tiene dos ramas principales, una es la estadística descriptiva que se
dedica a recopilar, organizar y analizar datos, los cuales pueden ser de un estudio de
una población o una muestra de ella. Mientras que la otra es la estadística inferencial, la cual se dedica a tratar de deducir características o conductas de los objetos
estudiados a partir de una muestra. Nos referiremos a ambos tipos sin distinción
por el momento, para dar una serie de definiciones de conceptos básicos que necesitaremos manejar.
7 Población (universo)
Es el conjunto de todos los objetos que estamos estudiando u observando, y queremos hacerle un estudio estadístico.
7 Muestra
Como en general los universos son muy grandes (por ejemplo si estamos estudiando
la raza humana), entonces se toma una porción significativa de ellos para hacer el
estudio más simple. A esta porción se le denomina muestra.
7 Variables
Son características que se le asocian a los objetos de la muestra y que pueden ser
observables o medibles. Las variables se dividen en dos tipos, la primera es la variable cuantitativa que es la que puede ser expresada a través de un número como
por ejemplo la edad o la cantidad de hijos que tiene un individuo, que a su vez se
dividen en discretas y continuas. Las discretas son las que son expresadas a través de
números enteros, mientras que las continuas son expresadas a través de cualquier
número real. El segundo tipo son las variables cualitativas las cuales expresan una
cualidad de un objeto como por ejemplo su tipo de pelo o su sexo, las que se dividen
en ordinales y nominales. Las ordinales son las que pueden ser ordenadas de manera
lógica como por ejemplo el nivel de estudio, mientras que las nominales no pueden
ser ordenadas como las personas por su color de pelo.
7 Tablas de frecuencia
Las tablas de frecuencia sirven para ordenar los datos cuando la muestra es muy
grande y que por ello sería muy poco práctico enlistarlas. Estas pueden ser de dos
tipos, la primera es cuando el recorrido de la variable es pequeño, que lo ilustramos
con el siguiente ejemplo
Ejemplo /
Veremos la cantidad de e-mails que recibe una persona por día
durante un mes, arrojando los siguientes datos
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9
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
1 2 2 3 5 1
Notamos que obtenemos que el recorrido
3 2 1 1 2 1
de la variable va entre 0 y 5, por lo tanto
1 1 0 0 2 3
podemos ponerlos en una tabla donde la
2 2 2 3 3 1
frecuencia será el conteo de los días que
3 2 3 3 5 5
recibió una cantidad fija de e-mails
Nº de e-mails
Frecuencia
02
18
29
38
40
53
Total30
La otra es cuando el recorrido de la variable también es muy
grande y en este caso, usamos intervalos para poder disminuir
el recorrido de la variable y quedar en el caso anterior. Por
ejemplo si 30 personas llegaron atrasadas a un matrimonio y
se les pidió anotar cuantos minutos llegaron tarde, lo que se
muestra a continuación
12 23 21 37 52 11
Podemos notar que en este caso el
31 24 15 17 22
recorrido es muy amplio, por lo que
13 19
1
7
5 29 33
22 21 27 38 35
16
30 20 35 38 55 59
Tiempo de atraso
si los clasificamos usando intervalos
de 10 minutos, entonces se obtiene
la siguiente tabla de frecuencia
Frecuencia
0-93
10 - 197
20 - 299
30 - 398
40 - 490
50 - 593
Total30
En lo mostrado anteriormente, se usa la frecuencia o frecuencia absoluta (que es representada en general por fi ), que no es más que un conteo de las veces que aparece
10
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TOMO IV DATOS Y AZAR
la variable pedida, pero existen otros tipos de frecuencia también
7 Frecuencia relativa
Se representa usualmente por hi y es la frecuencia absoluta dividida por el tamaño
de la muestra, por lo que representa la razón entre la cantidad de veces que se repite
un dato y el tamaño muestral.
7 Frecuencia absoluta acumulada
No es más que la suma de todas las frecuencias absolutas de las variables menores
o iguales (recordar que las frecuencias absolutas van ordenadas por una tabla) y se
denota en general por Fi.
7 Frecuencia relativa acumulada
Es lo análogo a la frecuencia absoluta acumulada pero usando la frecuencia relativa
en vez de la absoluta.
GRÁFICOS
Como su nombre lo dice, es la forma gráfica de representar una tabla de datos y existen principalmente tres: Histogramas o gráfico de barras, polígono de frecuencias y
gráfico circular.
7 Histogramas
Los gráficos de barras se montan en ejes coordenados: en el eje X va el recorrido de
las variables (como puntos o intervalos) y en el eje Y va la frecuencia absoluta.
Ejemplo /
Si consideramos la tabla de frecuencias del ejemplo anterior
Tiempo de atraso
Frecuencia
0-93
10 - 197
20 - 299
30 - 398
40 - 490
50 - 593
Total30
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11
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
Entonces su gráfico de barras o histograma será
9
8
7
3
0
10
20
30
40
50
60
7 Polígono de frecuencia
Al igual que antes va en ejes coordenados, pero esta vez en el eje de las X marcamos
los puntos medios de los intervalos considerados (representante del intervalo) y en
el eje de las Y las frecuencias. Luego marcamos los puntos de la forma (representante
del intervalo, frecuencia del intervalo) y los vamos uniendo por una línea.
Ejemplo /
Usaremos la misma tabla de frecuencias del ejemplo anterior,
y obtendremos el siguiente polígono de frecuencia,
9
8
7
3
0
10
20
30
40
50
60
7 Gráfico circular
A diferencia de los anteriores, este no utiliza la frecuencia absoluta si no que la frecuencia relativa, asociando la porción de un disco circular correspondiente a su frecuencia relativa.
12
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TOMO IV DATOS Y AZAR
Ejemplo /
Tomemos la tabla de frecuencia anterior y agreguemos la
frecuencia relativa
Tiempo de atraso
Frecuencia
Frecuencia relativa
1
0-9
3
10 - 19
7
20 - 29
9
30 - 39
8
40 - 49
0
50 - 59
3
10
Total
30
1
10
7
30
3
10
4
15
0
1
0
resultante se ve como
-9
50 -
59
Por lo tanto, el gráfico circular
20 - 29
10 - 19
30 - 39
MEDIDAS DE POSICIÓN O TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de posición o de tendencia central son tres: La media aritmética, Mediana y Moda. La primera de estas -la media aritmética- es el promedio que usualmente conocemos, es decir, la suma de todos los datos divididos por la cantidad total
de ellos, por ejemplo si lo datos son 1, 2, 3 y 4, entonces el promedio es
1 + 2 + 3 + 4 10
=
= 2,5
4
4
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13
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
El segundo de ellos -la mediana- es el valor que divide en dos partes iguales a la
muestra cuando esta se encuentra ordenada ya sea de forma creciente o decreciente.
Por ejemplo, si la muestra es 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, entonces la mediana es 4,
ya que hacia la izquierda y hacia la derecha de 4 podemos encontrar 5 elementos de
la muestra.
El último de ellos -la moda- es el elemento de mayor frecuencia dentro de una muestra, por ejemplo si la muestra es 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7 y 9, entonces claramente
la moda es 2, ya que es el único que tiene frecuencia 3. Debemos tener claro que la
moda no es necesariamente única, puede ser una muestra bimodal o multimodal,
o en caso que todos los elementos presentan la misma frecuencia diremos que la
muestra es amodal o que no posee moda.
MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN
Las medidas de localización, como dice su nombre, nos ayudan a saber con alguna
precisión la ubicación de cierto elemento de la muestra. La precisión la dará el elemento de localización que usemos que son básicamente tres: Cuartiles, Deciles y Percentiles.
7 Cuartiles
Los cuartiles son tres valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro
partes porcentualmente iguales y denotaremos a esos valores por Qi. Si tenemos una
serie de datos ordenados, entonces una forma de calcular los valores de los cuartiles es
3 Q1: Es la mediana de la primera mitad de los elementos
3 Q2: Es la mediana del conjunto
3 Q3: Es la mediana de la segunda mitad de los elementos
7 Deciles
Son básicamente lo mismo que los cuartiles pero en vez de tres elementos dividen
los datos en 4 partes porcentualmente iguales, son 9 valores que dividen la muestra en 10 partes porcentualmente iguales y los denotaremos por Di. Para su calculo
veremos primero los percentiles y con ellos veremos como a partir de ellos puedo
calcular los cuartiles y deciles.
14
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TOMO IV DATOS Y AZAR
7 Percentiles
Al igual que los anteriores y como dice su nombre, los percentiles son 99 valores
que dividen a los datos en 100 partes porcentualmente iguales, a los que denotamos
por Pi . Si un dato esta ubicado en el percentil Pi , significa que es mayor o igual ,
aproximadamente, que el i% de la muestra y menor que el 100 − i% de la muestra. La
relación entre los percentiles, deciles y cuartiles es la siguiente
P10 = D1
P20 = D2
P25 = Q1
P30 = D3
P40 = D4
P50 = D5 = Q2 = mediana
P60 = D6
P70 = D7
P75 = Q3
P80 = D8
P90 = D9
Por lo tanto si aprendemos a calcular los percentiles, sabremos calcular los deciles y
los cuartiles. Para el calculo del percentil Pi consideraremos el siguiente valor
n⋅i
x=
100
donde n es el tamaño de la muestra e i el percentil a calcular. Luego si llamamos
E= [x] y D = {x}, entonces la siguiente función nos da el percentil correspondiente
 Elemento( E + 1)

Pi =  Elemento( E ) + Elemento( E + 1)

2
Observación
Recordemos que [x] es la parte entera
de x y {x} es la parte fraccionaria de x y
se calcula x-[x]
Si D ≠ 0
Si D = 0
Ejemplo /
Suponga que se tiene una muestra ordenada de 200 elementos y
queremos ubicar el percentil número 70, esto es, el elemento que
divide la muestra en dos partes de modo que el 70% de los datos
se ubica por debajo de él (y el resto de la muestra corresponde al
30% mayor). Entonces aplicando la fórmula con n = 200 e i = 70,
obtendremos que
x=
200 ⋅ 70
100
= 2 ⋅ 70 = 140
Luego como x resultó ser un número entero, entonces debemos
tomar la segunda rama de la función, es decir, tomaremos el elemento 70 y 71 de la lista, y el promedio resultará ser el percentil
buscado.
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15
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión son aquellas que nos ayudan a medir qué tan separados
están los datos unos de otros. Los que estudiaremos son tres: Desviación media,
varianza y desviación estándar.
7 Desviación media
Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones, donde las desviaciones
son la diferencia entre un dato (o el representante en caso que estemos viendo intervalos) y la media aritmética, es decir,
∑
=
N
xi − x
Dm
N
i=1
donde xi es la variable (o el representante en caso de intervalos), N el tamaño de la muestra y x la media aritmética.
7 Varianza
La varianza se denota por σ2 y es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones, es decir,
σ
2
∑
=
N
i=1
( x i − x )2
N
7 Desviación estándar
Este concepto se introduce debido a que la varianza esta medida en unidades cuadradas y estas pueden ser difíciles de interpretar. Por ello introducimos la desviación
estándar como la raíz cuadrada de la varianza, es decir, σ = σ 2 .
16
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TOMO IV DATOS Y AZAR
EJERCICIOS
1. La siguiente tabla muestra la distribución de los
puntajes obtenidos por un curso en una prueba
Puntaje
Nº de alumnos
0-5
4
6 - 11
2
12 - 17
7
18 - 23
11
24 - 29
6
¿Qué porcentaje de los alumnos del curso obtuvo 12
o más puntos en la prueba?
3. El gráfico de la figura representa el número de
iPhones que tiene en su casa los alumnos de un
curso. De acuerdo con esta información, el número
total de alumnos del curso es
Alumnos
10
8
6
A) 80%
B) 20%
C) 30,5%
D) 35%
E) Ninguna de las anteriores
4
2
1
2
3
4
5
Número de IPhones
2. Según información del INE (Instituto Nacional
de Estadísticas), actualmente en Chile, 25 de cada
1.000 habitantes cursa estudios universitarios.
Si en Chile hay 15 millones de habitantes, con la
información proporcionada por el INE, es posible
afirmar que
A) 29
B) 28
C) 27
D) 15
E) 14
A) Cursan estudios universitarios 40.000 habitantes.
B) 375.000 habitantes cursan estudios
universitarios.
C) Quince mil habitantes cursan estudios
universitarios.
D) 600.000 habitantes cursan estudios
universitarios.
E) Menos de 300.000 habitantes han estudiado en la
universidad.
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17
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
4. La siguiente tabla muestra la distribución de
personas que asistieron al cine en una semana.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) la
información de la tabla?
Día
Nº de personas
Lunes
100
Martes
150
Miércoles
200
Jueves
100
Viernes
225
Sábado
200
Domingo
100
III.
Dom Lun
Sáb
Mar
Mié
Vie
Jue
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
I.
250
200
5. Se quiere construir un gráfico circular a partir de
los datos de la siguiente tabla
150
100
Estatura
50
Lun
Mar
Mié
Jue
Vie
Sáb
Dom
II.
Nº de alumnos
148 - 152,9
1
153 - 157,9
5
158 - 162,9
11
163 - 167,9
14
168 - 172,9
6
173 - 180
3
250
¿Cuál debería ser la medida del ángulo
correspondiente al intervalo 153 - 157,9?
200
150
100
50
Lun
18
Mar
Mié
Jue
Vie
Sáb
Dom
A) 45º
B) 30º
C) 20º
D) 12,5º
E) 8º
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TOMO IV DATOS Y AZAR
6. Si el promedio de las notas finales de un curso
de 20 alumnos es de 4 y el de otro curso de 30
alumnos es de 6, entonces el promedio de notas
finales de los alumnos de ambos cursos es
A) 4,2
B) 4,7
C) 5,2
D) 5
E) 5,4
8. De acuerdo con la información entregada por
la tabla, que nos muestra los años de escolaridad
de menores en situación de abandono, ¿Cuál es la
mediana de la muestra?
Años de
escolaridad
7. La tabla muestra los resultados de una prueba de
Matemática
Puntaje
Nº de alumnos
16 - 28
13
29 - 40
48
41 - 50
61
51 - 60
21
61 - 70
6
71 - 80
1
Menores
de edad
Frecuencia
acumulada
0
3
3
1
0
3
2
1
4
6
3
2
4
3
9
5
6
15
Total
15
A) 5
B) 4,5
C) 4
D) 3,5
E) 3
El representante del intervalo modal es
A) 41
B) 50
C) 61
61
D)
150
E) 45,5
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19
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
9. Se realiza un estudio sobre el número de días que
los pacientes sufren mejorías de jaqueca crónica con
un nuevo medicamento, presentado en la siguiente
tabla ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
Días
Frecuencia
0
100
1
250
2
300
3
500
4
450
5
2.000
10. Si la media aritmética entre a y b es 3 y la
desviación estándar es 3 , entonces el valor
de ab es
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
I. La mediana es igual a la moda
II. El porcentaje de pacientes que sintió mejoría a
los 5 días es el 55, 5̄ %.
III. El recorrido de la variable es 2.000.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
20
11. Dado los datos 2, 2, 3, 3, 5, 1, 5, 1, 2, 4, ¿cuál es la
frecuencia de la moda?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) La muestra no posee moda
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TOMO IV DATOS Y AZAR
12. En una balanza, se pesan al mismo tiempo 20
personas. Si la balanza registra 1.200 kilogramos,
¿Cuál es el peso promedio de estas personas?
14. Respecto a la tabla de la pregunta anterior,
¿Cuál es la moda?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A) 60
B) 40
C) 50
D) 30
E) 20
13. En la siguiente tabla se muestran las notas de
un grupo de estudiantes que rindió una prueba:
Nota
fi
3
1
4
5
5
2
6
1
7
1
¿Cuántas personas rindieron la prueba?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
15. Una serie de camisas de iguales características
valen $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000.
Dados estos datos, ¿Cuál(es) de las siguientes
características es(son) verdadera(s)?
I. La moda es $10.000
II. La mediana es $10.000
III. La media es $9.600
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
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21
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
16. Dada la siguiente tabla
Nota
Fi
N1
F1
N2
F2
N3
F3
N4
F4
17. Dados los datos 1, 1, 2, 3, 5, 1, 5, 2. La
media aritmética, la moda y la mediana son
respectivamente
A) 2, 1 y 5
B) 2, 1 y 2
C) 2.5, 1 y 2
D) 2.5, 1 y 4
E) 2.5, 5 y 4
La media es
A)
B)
N1 + N2 + N3 + N4
4
NF
N
F + N3F3 + N4F4
+
1 1
2 2
C)
4
NF
N
F
N3F3 + N4F4
+
+
1 1
2 2
D)
N1 + N2 + N3 + N4
F1 + F2 + F3 + F4
F1 + F2 + F3 + F4
E)Ningunade las anteriores
18. Con los siguientes datos:
{A,A,A,B,B,B,C,C,D,D,D,E,E} es posible afirmar que
A) No existe moda
B) Existen dos modas
C) Existen tres modas
D) Todos los datos son moda
E) El promedio es 1
22
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TOMO IV DATOS Y AZAR
19. Según el gráfico, ¿cuál es la moda de los datos?
21. Si el promedio de edades entre 4 hermanos
es de 7 años. Si a las edades les agregamos la
edad del padre y la madre, entonces el promedio
asciende a 15 años. Entonces el promedio de las
edades de los padres es
6
A) 28
B) 31
C) 23
D) 35
E) 42
4
3
1
2
3
4
5
6
7
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
20. Un estudio estadístico emplea datos
consistentes en el peso corporal de un grupo de
personas. Respecto a estos datos, podemos decir
que corresponden a una variable
I. Cualitativa
II. Continua
III. Discreta
22. Si se tienen los valores 3, 1, 2, 6, a, 5, 8, 2, 3,
entonces se puede saber el valor de a si
(1) La mediana es 3
(2) La moda es 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
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23
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
23. Las edades de un grupo de jóvenes misioneros
es 12, 13, 15, 12 y 14 años. Entonces ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La media es 11 años
II. La mediana es 13 años
III. La desviación estándar es 2 años
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
25. Si la media entre los datos a y b es 3 y la
desviación estándar es
3 , entonces a2 +b2 es
igual a
A) 36
B) 18
C) 72
D) 48
E) 24
26. La tabla adjunta, muestra el resultado obtenido
por dos cursos del preuniversitario Gauss en un
ensayo de lenguaje. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
24. La desviación estándar para los datos
{1, 2, 3, 4, 4, 1, 2, 1, 1, 1} es
A) 14
B) 1,4
C) 0,14
D) 2,4
E) 0,24
Curso
Promedio
Desviación
Estandar
Mañana
706
0,5
Tarde
669
1
I. El curso de la mañana es el más heterogéneo
II. El curso de la mañana presenta menor
dispersión en los puntajes
III. La media aritmética (promedio)
considerando los puntajes de los alumnos de
ambos cursos es 688
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) Solo I y II
24
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TOMO IV DATOS Y AZAR
27. La tabla adjunta, muestra la distribución de los
puntajes de matemática de un grupo de estudiantes
del preuniversitario Gauss. De acuerdo con esta
información, ¿cuál de las siguientes fórmulas
permite determinar el puntaje promedio de la
muestra?
Puntaje
A)
B)
Frecuencia
Pt1
A1
Pt2
A2
Pt3
A3
Pt4
A4
Pt5
A5
A) 69 kilos
B) 60 kilos
C) 6 kilos
D) 62 kilos
E) No se puede determinar
Pt1 + Pt2 + Pt3 + Pt4 + Pt5
5
A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5
C)
5
Pt1 + Pt2 + Pt3 + Pt4 + Pt5
D)
A1Pt1 + A 2Pt2 + A 3Pt3 + A 4Pt4 + A 5Pt5
E)
28. El promedio (media aritmética) de las masas de
4 personas es 65 kilos. Si la suma de las primeras
3 personas es 200 kilos, ¿cuál es la masa de la
última persona?
A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5
5
A1Pt1 + A 2Pt2 + A 3Pt3 + A 4Pt4 + A 5Pt5
A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5
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25
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
29. El gráfico de la figura muestra el resultado de
una encuesta realizada a un grupo de personas
sobre su preferencia con respecto a sabores de
helado.
14
12
10
8
6
4
30. La tabla adjunta, muestra los resultados
obtenidos al lanzar un dado de 8 caras.
Número
Frecuencia
1
2
2
3
3
4
4
2
5
2
6
6
7
4
8
5
2
Vainilla
Piña
3 Leches
Frutilla
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
falsa(s)?
I. La moda es 12
II. El 12,5% de las personas encuestadas prefiere
el helado de piña
III. La media es 16
A) Solo I
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores
26
I. El total de lanzamientos del dado fue 28
II. La frecuencia de la moda es 6
III. La mediana es 4,5
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores
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TOMO IV DATOS Y AZAR
31. La tabla adjunta, muestra el resultado de 3
cursos del preuniversitario Gauss en un mismo
ensayo, ¿Cuál es el promedio (media) entre el total
de alumnos de los tres cursos? (los puntajes se
aproximan al entero mayor)
32. El gráfico circular de la figura, muestra las
matrículas del preuniversitario en los meses de
verano, las cuales suman 200 alumnos.
Diciembre
15%
Curso
Nº de alumnos
Promedio
Mañana
4
755
Tarde
6
804
Noche
5
669
Marzo
35%
Enero
17%
Febrero
33%
A) 740
B) 744
C) 700
D) 745
E) 746
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. Se matricularon 66 alumnos en Febrero
II. Se matricularon 50 alumnos entre
Diciembre y Enero
III. La mayoría se matriculó en Febrero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores
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27
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
33. Dados los puntajes obtenidos por 5 personas
en un ensayo de ciencias: 810, 765, 655, 555 y 605,
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. No existe moda
II. La media es 678
III. La mediana es 605
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
35. La tabla adjunta, muestra la cantidad de
horas que dura un celular con sistema iOS si lo
sometemos a un control de calidad. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
Intervalo de horas
Frecuencia
[10 - 15[
10
[15 - 20[
12
[20 - 25[
8
I. La marca de clase en el intervalo
[20 - 25[ es 22,5
II. La media es el 12
III. La mediana se encuentra en el intervalo
[15 - 20[
34. Si se suman los GB de internet utilizados en el
celular durante 21 días y se divide por 21, se obtiene
A) La moda
B) La mediana
C) La desviación estándar
D) La media aritmética
E) Ninguna de las anteriores
28
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
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TOMO IV DATOS Y AZAR
36. En una muestra de 450 elementos, el elemento
correspondiente al percentil 21 es
A) 90
B) 92
C) 93
D) 94
E) 95
38. La desviación estándar entre los elementos 1, 1,
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 y 4 es
A)
B)
C)
D)
12
11
14
11
14
10
17
10
E)Ningunade las anteriores
37. En la muestra
{Pantalón,Pantalón,Pantalón, Zapato,
Zapato,Polera,Polera,Polera,Polera}.
39. Si el promedio de los dos mejores alumnos
de un curso es 6,7 y el de los dos peores es 4,5,
entonces el promedio entre los cuatro será
Es correcto afirmar que
A) La moda es Zapato
B) La media es Zapato
C) El promedio es Calcetines
D) La moda es Polera
E) El promedio es Polera
A) 5
B) 5,2
C) 5,6
D) 5,9
E) 4,9
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29
CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA
40. Sea x > 7. Si se considera el set de datos
{1, 1, 2, 3, 7, 7, 7, x},
entonces el valor de x para que la media y la
mediana coincidan debe ser
A) 12
B) 15
C) 16
D) 19
E) Nunca coincidirán
30
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TOMO IV ESTADÍSTICA Y PROBALIDIDAD
MIS ANOTACIONES
Te damos espacio extra para que puedas
desarrollar mejor los ejercicios
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CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
CAPÍTULO 2
PROBABILIDADES
32
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TOMO IV DATOS Y AZAR
DEFINICIONES BÁSICAS
Las probabilidades son la rama de la matemática que estudia el azar, es decir, eventos en los cuales uno conoce todos los posibles resultados pero no se conoce con
certeza el resultado de él.
Nuestra primera definición es la de experimento aleatorio, que es un objeto matemático en el cual sé los resultados posibles pero no puedo determinar con precisión un
resultado particular. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda, sé que tiene sólo
dos posibles resultados pero no puedo asegurar la ocurrencia de ninguno de los dos.
Luego podemos definir el espacio muestral, que es el conjunto formado por todos
los posibles resultados de un experimento aleatorio dado. Por ejemplo, el espacio
muestral de lanzar un dado es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Llamaremos eventos o sucesos a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral.
Por ejemplo, al lanzar un dado el espacio muestral está compuesto por los números
1, 2, 3, 4, 5 y 6. Un evento puede ser obtener un número par (formado por los resultados 2, 4 y 6).
Cuando dos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea, los llamamos eventos
mutuamente excluyentes. Por ejemplo, al lanzar un dado consideremos los eventos A
= {1, 3, 5} (obtener un número impar) y B = {2, 4, 6} (obtener un número par). Como
ningún resultado posible es simultáneamente par e impar, decimos que A y B son
mutuamente excluyentes.
PROBABILIDADES CLÁSICA Y EXPERIMENTAL
7 Probabilidad Clásica
Si en un experimento aleatorio, todos los resultados son equiprobables, es decir,
todos tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces diremos que la probabilidad
que ocurra cierto evento A es
donde E es el espacio muestral. Cabe resal#A
Número de casos de A
tar que de la definición anterior se puede
P( A ) =
=
# E Número de casos totales
observar que la probabilidad de cualquier
evento esta entre los valores 0 y 1, por el
hecho que A ⊂ E.
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33
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
7 Probabilidad Experimental
Si tomamos por Fr la frecuencia relativa de un evento A, entonces definimos
Fr =
Cantidad de veces que ocurre A
Cantidad de veces que se realiza el experimento
La Ley de los Grandes Números nos dice que si repetimos dicho experimento una cantidad suficiente de veces, entonces el valor de Fr será cada vez más parecido a la
probabilidad de ocurrencia del evento A.
A continuación presentamos una pequeña lista con propiedades que se cumplen en
las probabilidades, donde E siempre será el espacio muestral, P (·) la probabilidad y,
A y B eventos.
3 P(E) = 1
3 P(φ) = 0
3 0 ≤ P(A) ≤ 1
3 Si A ∩ B = φ (son mutuamente excluyentes), P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
3 Si Ac = E\A, entonces P(Ac) = 1−P(A)
3 Si A ∩ B ≠ φ, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
3 Si A y B son eventos independientes, entonces P(A ∩ B) = P(A)· P(B)
7 Probabilidad Condicionada
Diremos que A y B son eventos dependientes si la ocurrencia de uno influye en la
ocurrencia del otro, y en dicho caso tendremos la siguiente regla de probabilidad
P( A ∩ B) = P( A ) ⋅ P( B| A )
P( B| A ) =
P( A ∩ B)
P( A )
donde P(B|A) denota la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A. Por
lo tanto, como consecuencia inmediata de lo anterior, si A y B son eventos independientes, se tendrá que P (B|A) = P (B)
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
A veces los problemas se presentan en varias etapas y para visualizarlos mejor, conviene pensar en las diferentes etapas como problemas separados. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: 1 de cada 10 niños cree en las hadas. 9 de cada 10 niños que cree en las
hadas puede ver a Peter Pan. 1 de cada 10 niños que no cree en las hadas puede ver a
Peter pan. Si Peter Pan visita un niño al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el niño
vea a Peter Pan?
34
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TOMO IV DATOS Y AZAR
No es fácil dar una respuesta tan sencilla, pues el resultado depende de si el niño
cree o no en las hadas. Pensaremos primero en el caso en que el niño cree: Si el niño
cree, entonces la probabilidad de que vea a Peter Pan es 0.9; mientras que si no cree,
la probabilidad es 0.1. Podemos resumirlo en el siguiente diagrama.
0.1
0.9
Cree
No cree
0.1
0.9
Ve a
Peter Pan
No ve a
Peter Pan
0.1
Ve a
Peter Pan
0.9
No ve a
Peter Pan
Para calcular la probabilidad de que el niño vea a Peter Pan, debemos multiplicar las
probabilidades de las ramas que nos llevan a un resultado donde el niño ve a Peter
Pan. Por ejemplo, en este caso, Debemos multiplicar las probabilidades que nos llevan al primer caso, es decir 0,9 · 0,1 y las que nos llevan al tercer caso (0,1 · 0,9). Al
sumar ambas tenemos que la probabilidad de ver a Peter Pan es 2· 0,9 · 0,1. Este tipo
de diagramas es conocido como diagrama de árbol y resulta muy útil para resolver
este tipo de problemas.
COMBINATORIA
Ya hemos visto que en un experimento aleatorio donde todos los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un evento A cualquiera puede calcularse
según la regla de Laplace:
P( A ) = # A
#Ω
En otras palabras, la probabilidad de que ocurra un evento A se obtiene como la
razón del número de resultados favorables al evento A y el total de resultados en el
espacio muestral.
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35
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
Ejemplo: Una canasta contiene 5 manzanas rojas y 4 manzanas verdes. Si se extrae
al azar una de las manzanas del cesto ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta extraída sea de color rojo?
Solución: El espacio muestral tiene 9 elementos (uno por cada manzana del canasto), luego #Ω = 9. Si se define A como el evento donde se extrae una manzana roja,
entonces #A = 5, pues 5 de las manzanas del cesto son rojas. Así, de acuerdo a la regla
#A 5
#A 5
= . De donde la probabilidadPbuscada
de Laplace, P( A ) =
( A ) = es= .
#Ω 9
#Ω 9
A pesar de que el procedimiento detrás de este tipo de problemas es bastante sencillo, hay veces en que encontrar el número de elementos presentes en el espacio
muestral o la cantidad de elementos del evento A puede ser muy complicado. Para
ayudarnos a resolver estas dificultades, estudiaremos algunos elementos básicos de
combinatoria, la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio del número de
elementos que tienen los conjuntos finitos.
7 Principio aditivo y principio multiplicativo
Los principios básicos sobre los que estableceremos toda la teoría de combinatoria y
técnica de conteo reciben el nombre de principio aditivo y principio multiplicativo.
Estos resultados se presentan a continuación:
3 Principio aditivo: Si un experimento tiene m resultados posibles y otro tiene n
resultados posibles, hay m + n maneras en que se puede llevar a cabo solo uno de los
experimentos.
Ejemplo /
Carlos debe escoger entre adoptar un gato o un perro. Si
le han ofrecido 4 gatos y 7 perros ¿Cuántas opciones tiene
Carlos para adoptar un animal?
R: Carlos debe escoger uno de los dos experimentos,
adoptar un gato o adoptar un perro. Como hay 4 opciones de gato y 7 de perro, de acuerdo al principio aditivo,
Carlos tiene 7 + 4 = 11 opciones para escoger su próxima
mascota.
3 Principio multiplicativo: Si en un experimento hay m resultados posibles y en otro
hay n resultados posibles, entonces al realizar ambos experimentos se tienen mn
resultados posibles.
36
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TOMO IV DATOS Y AZAR
Ejemplo /
Carlos desea adoptar un gato y un perro. Si le han ofrecido
4 gatos y 7 perros ¿Cuántas opciones tiene para escoger
los animales que adoptará?
R: Esta vez Carlos debe escoger ambos, un perro y un gato.
Como hay 4 opciones para escoger un gato y 7 para escoger un perro, en virtud del principio multiplicativo se tienen
7 · 4 = 28 formas de escoger un animal de cada especie.
El siguiente ejemplo tiene por finalidad ilustrar cómo se aplican estos conceptos a
problemas de probabilidad.
Ejemplo /
Carlos desea adoptar dos animales. Le han ofrecido 4 gatos y 7 perros. Si escoge dos animales al azar entre sus
opciones y los adopta ¿Cuál es la probabilidad de que
adopte dos animales de diferente especie?
R: Aplicando la regla de Laplace, se tiene que la probabilidad de que adopte animales de distinta especie se calcula
mediante la fórmula:
#A
P( A ) =
#Ω'
Donde #A es el número de elementos del evento donde
Carlos adopta animales de especie distinta y #Ω representa el total de elementos en el espacio muestral.
Para encontrar #Ω se aplica el principio multiplicativo: el
experimento consiste en escoger dos animales. Como hay
4 gatos y 7 perros, Carlos tiene 11 opciones para escoger
al primer animal (véase el Ejemplo 1). Sin embargo, Para
escoger el segundo animal ya no tiene 11 opciones, pues
al elegir su primera mascota ha eliminado una opción (No
puede adoptar dos veces al mismo animal). En términos
simples, una vez que escoge la primera mascota solo tiene
10 formas de escoger su segunda mascota, Así, el principio multiplicativo indica #Ω =11 · 10 = 110.
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37
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
Para hallar #A debemos contar la cantidad de formas en
que Carlos puede adoptar animales de especies diferentes. Notemos que esto se puede hacer adoptando primero un gato y luego un perro, o bien adoptando primero un
perro y posteriormente un gato. La cantidad de maneras
de adoptar un perro en la primera oportunidad es 7, pues
hay 7 perros. Si luego se desea adoptar un gato, entonces hay 4 opciones para la segunda elección. Con esto
se tiene que de acuerdo al principio aditivo, hay 7 · 4 = 28
maneras de adoptar primero un perro y luego un gato.
La otra manera de adoptar dos animales de especies distintas es adoptar un gato primero y después un perro.
Como hay 4 maneras de escoger el gato y 7 maneras de
escoger el perro, entonces el principio multiplicativo indica que hay 4 · 7 = 28 formas de escoger primero un gato
y luego un perro. Con esta información, podemos utilizar
el principio aditivo para establecer la cantidad de maneras en que se pueden adoptar dos animales de especies
distintas. Esto corresponde a sumar ambas cantidades,
es decir, #A=28 + 28, obteniendo como resultado #A = 56.
De acuerdo a la regla de Laplace, se tiene P (A) =
56
110
=
28
55'
PERMUTACIONES
A menudo interesa calcular probabilidades que tienen relación con la cantidad de
maneras de ordenar un conjunto de objetos determinado. Las diferentes ordenaciones que puede tener un conjunto son llamadas permutaciones. Para motivar el
estudio de las permutaciones, consideremos el siguiente problema:
Ejemplo /
Fabián tiene una colección de 4 libros ordenados en su repisa según su fecha de lanzamiento. En un descuido, los
libros se caen y Fabián los vuelve a poner en la repisa, pero
sin percatarse del orden. ¿Cuál es la probabilidad de que
el primer y el segundo libro queden en su lugar?
38
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TOMO IV DATOS Y AZAR
R: Nuevamente, si se define A como el evento donde el pri-
mer y el segundo libro quedan en los lugares que corresponden, la probabilidad de A está dada por
#A
P( A ) =
#Ω'
Para hallar #A notemos que si el primer y el segundo libro
quedan ubicados correctamente, entonces al ubicar un libro en la tercera posición el orden queda determinado de
manera unívoca, pues solo queda una opción para poner
en último lugar. En otras palabras, al contar los casos favorables para el evento A basta obtener la cantidad de maneras de ubicar el tercer libro cuando los primeros dos libros están en las posiciones que corresponden. Como hay
dos maneras de hacer esto(colocar el tercer libro en su
posición o en la posición del cuarto libro), se tiene #A = 2.
Por otro lado, para hallar la cantidad #Ω de elementos en
el espacio muestral, utilizamos el principio multiplicativo:
El libro que ocupa la primera posición puede escogerse
de 4 maneras, el libro que le sigue se puede escoger de
3 formas(pues uno de los libros ya está en la repisa). El
siguiente se escoge de dos maneras, pues hay dos libros
que ya están ubicados. Finalmente, el último libro solo se
puede escoger de una manera. Como se deben hacer todas estas cosas simultáneamente, se aplica el principio
multiplicativo. Así #Ω = 4 · 3 · 2 · 1. Finalmente, de acuerdo
2
1
a la regla de Laplace: P (A) =
=
4 · 3 · 2 · 1 12'
Si en el problema anterior hubiese más libros, por ejemplo, 83, el número de elementos en el espacio muestral se habría obtenido a partir de una multiplicación
muy tediosa. Si el número de libros es suficientemente grande, ni siquiera cabría en
la hoja. Esto genera la necesidad de definir nueva notación para contar la cantidad
de permutaciones en un conjunto. A continuación se muestra una función cuyo dominio son los números cardinales y nos ayuda a simplificar este tipo de problemas.
7 Definición: Si n es un número cardinal, se define el factorial de n, anotado n! (se
lee “ene factorial”), mediante la recursión:
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39
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
0! = 1
(n + 1)! = (n + 1)n!
Ejemplo /
Calcule los factoriales de todos los enteros comprendidos
entre 0 y 5.
R: Por definición 0! = 1.
De acuerdo a la segunda parte de la definición:
1! = (0+1)! = 1 · 0! = 1 · 1 = 1.
Análogamente: 2! = (1 + 1)! = (1 + 1) · 1! = 2 · 1 = 2.
Siguiendo de la misma forma:
3! = (2 + 1)! = (2 + 1)2! = 3 · 2! = 3 · 2 = 6.
4! = (3 + 1)! = (3 + 1) · 3! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2 = 24.
5! = (4 + 1)! = (4 + 1) · 4! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120.
Observación: para números n mayores que 0,
n! = n(n - 1)(n - 2) ··· 2 · 1
Ejemplo /
Escriba como multiplicación el factorial de 10
R: De acuerdo a la observación,
10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
7 Propiedad: El número de permutaciones existentes en un conjunto no vacío de
n elementos es n!
7 Demostración: Encontrar la cantidad de permutaciones equivale a encontrar
la cantidad de maneras en que el conjunto puede ordenarse. El primer elemento se
puede escoger de n maneras, el siguiente de n - 1 maneras (el primer elemento no
puede ocupar el segundo lugar). El tercer elemento puede escogerse de n - 2 maneras. Prosiguiendo de esta forma hasta que solo queda un elemento se tiene que el
número de permutaciones es n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ··· 2 · 1. De acuerdo a la observación,
esto es n! (note que n ≥ 1 debido a que por hipótesis el conjunto es no vacío).
40
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TOMO IV DATOS Y AZAR
Ejemplo /
Bernardo pertenece a un curso de 40 alumnos. El profesor hace una interrogación sorpresa y llama, uno a uno,
a los 40 estudiantes para hacerles preguntas. ¿Cuál es la
probabilidad de que Bernardo sea el último integrante del
curso en ser interrogado?
R: El espacio muestral se compone de todas las permutaciones existentes para el conjunto formado por los 40
alumnos del curso, es decir #Ω = 40!. Para determinar en
cuántas de estas permutaciones Bernardo ocupa el último
lugar, notamos que en un ordenamiento donde Bernardo
está al final, hay 39! Formas de ordenar al resto del curso.
Luego la probabilidad de que Bernardo sea el último estudiante en ser interrogado es:
P (A) =
39!
40!
=
39!
40 · 39!
=
1
40
PERMUTACIONES CON
ELEMENTOS INDISTINGUIBLES
Hay veces en que en un conjunto se tienen dos elementos que para propósitos prácticos son indistinguibles. Considere el siguiente ejemplo:
Ejemplo /
¿Cuántas palabras, con o sin sentido, pronunciables o no
pronunciables, pueden formarse con las letras de la palabra MANADA?
R: La palabra MANADA consta de 6 letras, de modo que
estas se pueden ordenar de 6! Formas diferentes. Sin embargo, Las tres letras A cumplen el mismo rol dentro de
la palabra. Así, al intercambiar de lugar las tres letras A
se obtiene la misma palabra. Dicho de otra manera, estamos contando más palabras de las que realmente existen
al considerar las letras A como diferentes. Una forma de
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41
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
solucionar este problema es notar que cada palabra se
contó 3! veces, pues se puede formar de tantas maneras
como se puedan reordenar las letras A. Así, para obtener
la verdadera cantidad de palabras existentes, se debe dividir por 3!. Luego, existen 6! = 6 · 5 · 4 · 3! = 6 · 5 · 4 = 1
3!
3!
40
palabras distintas.
7 Propiedad: Si se tienen n elementos agrupados en k clases que se consideran
indistinguibles, y el número de elementos en cada clase se anota por n1, n2, …, nk,
entonces el número de permutaciones existentes en este conjunto está dado por
n!
n1 ! n2 ! ··· nk !
Ejemplo /
En una orquesta de 20 músicos se necesita un cantante
de primera voz, 3 cantantes de segunda voz, 5 flautistas, 4
tecladistas, 2 violinistas y 5 percusionistas. ¿Cuántas opciones tienen para asignar sus roles?
R: Hay n = 20 músicos. Se consideran indistinguibles los
n1 = 3 cantantes de segunda voz, los n2 = 5 flautistas, los
n3 = 4 tecladistas, los n4 = 5 percusionistas, los n5 = 2 violinistas y se forma una clase de un elemento (n6 = 1) donde
solo está el cantante de primera voz. Así, la cantidad de
opciones está dada por:
20!
3!5!4!5!2!1!
PERMUTACIONES SIN PRIMER
ELEMENTO (CÍCLICAS)
En algunos problemas se desea calcular una permutación sin distinguir un elemento
que inicia el orden. En estos casos, se fija un elemento arbitrario y se ordenan los
demás a partir de su posición relativa al elemento fijo. En otras palabras, se fija uno
y se ordena el resto. De modo que si un conjunto tiene n elementos, entonces hay
(n - 1)! Permutaciones cíclicas.
42
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TOMO IV DATOS Y AZAR
Ejemplo /
Un collar circular está formado por una cadena que contiene 5 piedras: Rubí, zafiro, jade, lapislázuli y amatista.
¿Cuántos diseños pueden existir para estos collares?
R: Hay cinco piedras, que pueden ordenarse de 5! maneras diferentes. Sin embargo, al cerrar el collar, algunas
ordenaciones se ven iguales(por ejemplo si se ponen en
orden Rubí, zafiro, jade, lapislázuli y amatista se forma
el mismo collar que al colocar jade, lapislázuli, amatista,
rubí y zafiro). Para resolver el problema correctamente,
suponemos fija una de las cinco piedras (supongamos que
se escoge jade). La piedra que se ubica a la derecha del
jade se puede escoger de 4 formas, la que sigue de 3, la
siguiente de 2 maneras y la que se ubica a la izquierda solamente de una. Así, hay 4! Maneras de diseñar un collar
con estas características.
CANTIDAD DE MUESTRAS
EN UNA POBLACIÓN FINITA
Con las herramientas que manejamos en este momento ya podemos determinar la
cantidad de elementos de muchos espacios muestrales. En estadística discreta, a
menudo interesa conocer la cantidad de muestras de un tamaño dado que se pueden
extraer desde una población finita. Para ello clasificamos los procesos de muestreo
de acuerdo a dos criterios. El primer criterio distingue si los elementos pueden extraerse más de una vez (muestreo con reposición) o una vez escogidos no pueden
volver a formar parte de la muestra(muestreo sin reposición). El segundo criterio indica si una muestra formada por los mismos elementos en diferente orden se considera una muestra distinta (con orden) o si se considera como la misma muestra (sin
orden). La siguiente tabla resume de cuántas formas se puede escoger una muestra
de acuerdo a los dos criterios mencionados anteriormente. Si la población tiene n
elementos y se extrae una muestra de tamaño k, entonces la cantidad de muestras
posibles está dado por
Con reposición
Con orden
Sin orden
nk
k - 1
( n + k
)
Sin reposición
Observaciones
n
El símbolo   se llama combinación
k 
y se lee “n sobre k". Se define como
n
n!
 =
 k  k !(n − k )!
El símbolo Vkn es llamado variación o
arreglo y se lee “variación de n sobre
k". Se define mediante la fórmula
Vk n =
n!
(n − k )!
La combinación a veces se anota Ckn y
la variación a veces se anota Akn.
V kn
( nk )
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43
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
Ejemplo /
El código genético se determina a partir de combinaciones
de cuatro bases nitrogenadas: Adenina, Citosina, Guanina
y Timina (o Uracilo en el ARN). La unidad de información
básica en el proceso de traducción del ARN mensajero es
llamada codón y está determinada por una secuencia de
tres bases nitrogenadas ¿Cuántos codones distintos pueden armarse con cuatro bases nitrogenadas?
R: Una base nitrogenada puede presentarse más de una
vez en un codón, por lo tanto, estamos en presencia de
un muestreo con reposición. Además, un codón con las
mismas bases nitrogenadas en diferente orden almacena
información diferente. En consecuencia, el orden es relevante. Como se extrae una muestra de tres bases nitrogenadas a partir de una población de cuatro bases nitrogenadas, con reposición y con orden, el número de codones
es 43 = 64.
Ejemplo /
En el ejército romano, cuando una tropa se acobardaba
durante una batalla o mostraba señales de amotinamiento, se aplicaba un castigo conocido como diezmado (decimatio). Consistía en que la tropa se dividía en grupos de 10
personas y en cada grupo se escogía al azar un miembro
que debía ser lapidado por los nueve restantes. Si se aplica esta medida en una tropa de 130 miembros, ¿De cuántas formas se pueden escoger los 13 miembros lapidados?
R: Al lapidar a los mismos 13 miembros en distinto orden, se tienen exactamente las mismas bajas dentro de
la tropa. Esto indica que se realiza muestreo sin orden.
Un individuo que es lapidado en un grupo no puede ser
lapidado en otro grupo, por lo tanto se muestrea sin reposición. Como se escogen k=13 individuos en una tropa de
n=130, se tienen 130 maneras de realizar el diezmado.
13
( )
44
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TOMO IV DATOS Y AZAR
Ejemplo /
Cinco amigos salen de vacaciones en un auto. Si deben escoger un piloto y un copiloto, ¿Cuántas opciones tienen?
R: Escoger a los mismos dos individuos intercambiando
posiciones es una elección diferente. Por lo tanto, el muestreo es ordenado. Además, no puede escogerse la misma
persona de piloto y copiloto, por lo tanto es un muestreo
sin reposición. En este caso n=5 y k=2, por lo tanto hay 5!
5!
5
V2 =
= = 5 · 4 = 20
(5 − 2)! 3!
formas de escoger al piloto y al copiloto en este viaje.
Ejemplo /
¿De cuántas formas se pueden colocar 5 bolitas idénticas
en 4 urnas enumeradas del 1 al 4?
R: Una urna puede contener más de una bolita, por lo tanto es un muestreo con reposición. No importa qué bolita va
en qué urna, sino cuántas van en cada una. Por lo tanto no
importa el orden. Como se escogen k=5 urnas de un total
de n=4, se tienen
 5 + 4 − 1  8

 = 
 5   5
formas de llenar las urnas.
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45
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
EJERCICIOS
1. Si se tiene el juego del Loto, donde para cada
cartón de juego se eligen 7 números de 35,
¿cuál de las siguientes expresiones representa la
cantidad de cartones de juego posibles?


A)  35 
 7 
 35 
B) 
7!
 7 
C)
D)
3. ¿De cuántas formas puedo ordenar 3 libros en un
estante con 4 espacios?
A) 6
B) 18
C) 12
D) 32
E) 24
35!
7!
35
7
E)Ningunade las anteriores
4. Una mujer tiene 3 clósets donde ordenar sus tres
tipos de ropa: pantalones, blusas y abrigos.
Si cada tipo de ropa va en un único closet, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ordenar?
2. Si se tiene un estante con 7 espacios para libros
y se desea colocar 4 libros distintos en cualquier
orden. ¿De cuántas maneras se pueden colocar los
libros?
A) 3!
B) 4!
C) 4! · 3
D) 3! · 3!
E) 34
 
A)  7 
 4
 7
B)   4!
 4
C)
D)
7!
4!
7
4
E)Ningunade las anteriores
46
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TOMO IV DATOS Y AZAR
5. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 4 personas
en 10 sillas?
A) 4!
B) 10!
C) 104
 
D)  10 
 4
E) 5.040
6. Usando combinatoria, diga cual es el número de
diagonales de un hexágono regular
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 6
7. Hay que colocar a 5 mujeres y 4 hombres en una
fila, de modo que los hombres usen las posiciones
pares, ¿De cuántas maneras puedo hacer la fila?
A) 4!
B) 5!
C) 9!
D) 4!5!
 
E)  9 
 4
8. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar
con las cifras {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, permitiendo
repetición?
A) 4!
B) 49
C) 94
 
D)  9  4!
 4
E) Ninguna de las anteriores
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47
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
9. Si en la pregunta anterior no permitimos
repeticiones, entonces ¿cuál es la nueva cantidad
de números que puedo formar?
11. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una
carta al azar de un mazo inglés, esta sea un 9 rojo?
A) 4!
B) 49
C) 94
 
D)  9  4!
 4
A)
B)
C)
 9
E)  
 4
D)
13
1
52
1
12. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos
dados no cargados, la suma de los valores
obtenidos sea mayor o igual que 10?
A)
 
A)  8  3!
 3
B)
B) 83
C)
4
48
2
1
26
E)Ningunade las anteriores
10. Si a la pregunta anterior, agregamos que los
números formados deben terminar en 1 y no se
permite repetición, ¿cuál es la nueva cantidad de
números que puedo formar?
C) 8
 
D)  9  3!
 3
 9
E)  
 3
1
D)
E)
5
26
1
6
5
6
1
9
5
36
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TOMO IV DATOS Y AZAR
13. Se extraen aleatoriamente, sin reposición, cuatro
cartas de una baraja inglesa de 52 cartas. ¿Cuál es
la probabilidad de que haya al menos una jota?
15. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos
dados uno de ellos sea 3 si la suma de los dos es 7?
1
A)
 1
A)  
 4
B)
4
1
2
C)1−
5
1
B)
3
1
C)
48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45
52 ⋅ 51⋅ 50 ⋅ 49
D) No se puede calcular
E) Ninguna de las anteriores
2
2
D)
E)
5
1
6
14. Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas, y 9
azules. Si se extraen 3 bolas al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que las tres bolas sean azules?
A)
B)
9
20
3
20
 9
 
3
C)
 20 
 
3
 12 
 
3
D)
 20 
 
3
 20 
 
3
E)
 9
 
3
16. Si se ha lanzado una moneda honesta 765 veces,
y en todos los lanzamientos se obtuvo un sello.
¿Cuál es la probabilidad que el lanzamiento 766 sea
una cara?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
765
1
766
2
766
2
3
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49
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
17. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 dados no
cargados, se obtengan exactamente tres veces 5?
A)
B)
C)
D)
E)
1
72
1
A) 0,05882
B) 0,0625
55
1
6
C)
D)
1
216
1
1
2
1
4
E) 0,0485
18
18. En una sala de 60 alumnos, se sabe que la
probabilidad de escoger uno al azar y que este
sea hombre es de
3
5
. De acuerdo a lo anterior,
¿Cuántas mujeres hay en el curso?
A) 24
B) 20
C)
19. Si se extraen dos cartas al azar de un mazo
inglés ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que
ambas sean de diamante?
2
5
D) 36
E) Ninguna de las anteriores
50
20. En Chile, una patente está formada por dos
consonantes (distintas de ñ) seguidas de cuatro
dígitos entre 0 y 9. ¿Cuántas patentes distintas
pueden formarse?
A) 106
B) 272 · 104
C) 21 · 20 · 10 ·9 · 8 · 7
D) 21 + 21 + 10 + 10 + 10 + 10
E) 212 · 104
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TOMO IV DATOS Y AZAR
21. Cuando llueve, la probabilidad de que una
1
jugadora de fútbol anote un gol es . Si la
4
2
probabilidad de que no llueva es , ¿cuál es la
3
probabilidad de que llueva y la jugadora haga un gol?
A)
B)
C)
D)
23. De un mazo inglés de cartas (52 cartas), se
sacan 2 cartas al azar, entonces ¿Cuál es la
probabilidad de que de esas cartas una sea de
diamante y la otra de trébol?
1
A)
6
1
B)
12
10
C)
14
1
4
E)Otro valor
D)
E)
12
1.326
26
1.326
13
204
156
1.326
56
1.326
22. Se tienen 4 monedas, y se define el valor M1 como
la probabilidad de sacar sólo una cara y el valor M2
como la probabilidad de sacar tres caras. Entonces
el valor de M1 −M2 es
A) 1
1
B)
8
1
C)
16
1
D)
32
E) 0
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51
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
24. Si tenemos 4 conjuntos de números A, B, C y D
dados por
A = {1, 2, 3, 4},
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
C = {5, 6, 7, 8, 9},
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Si formamos al azar un número de cuatro dígitos de
la forma digAdigBdigCdigD, donde digA es un número
del conjunto A y así sucesivamente, entonces
¿Cuál es la probabilidad de que este sea divisible
por 2?
A)
B)
C)
D)
E)
26. En una sala de clases hay 3 hombres y 9
mujeres. Se sabe que 2 de esos hombres y 5 de
esas mujeres prefieren clases interactivas y el
resto prefiere clases tradicionales. Si se elige una
persona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que
esa persona sea hombre y prefiera las clases
interactivas?
A)
B)
C)
103
1.305
26
D)
25.430
130
E)
1
6
2
3
2
5
1
12
3
5
1.020
156
25.430
12.715
25.430
27. Se tiene una bolsa con pelotitas numeradas del
1 al 25, todas de igual peso y tamaño. Si se extrae
una bolita al azar, ¿Cuál es la probabilidad de sacar
un número par o múltiplo de 4?
25. ¿Cuál de los siguientes eventos no tiene
probabilidad 1 de ocurrencia?
A) Escoger un número natural al azar mayor que 1 y
que este sea primo o compuesto
B) Nacer en un mes que tenga entre 27 y 32 días
C) Lanzar un dado y que este nos entregue un
número par o impar
D) Lanzar tres dados y que el producto sea menor
que 216
E) Lanzar una moneda y obtener una cara o un sello
52
A)
B)
C)
D)
20
25
3
25
2
5
22
25
E)Ningunade las anteriores
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TOMO IV DATOS Y AZAR
28. Si se lanza un dado de 8 caras, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número impar o un
número mayor o igual que 5?
1
A)
B)
C)
30. Si se lanzan 4 monedas no cargadas, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener dos caras y dos sellos?
A)
6
1
B)
3
3
C)
3
5
5
8
3
8
6
4
D)1
E)0
D)
29. Si se lanzan 3 monedas, ¿Cuál es la probabilidad
de obtener dos caras y un sello?
31. Si una gata tiene 4 gatitos, ¿Cuál es la
probabilidad de que sean un macho y tres hembras?
A)
B)
C)
D)
11
E)Ningunade las anteriores
4
5
3
8
3
5
6
15
E)Ningunade las anteriores
A)
B)
C)
D)
E)
4
9
1
4
4
5
1
2
1
3
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53
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
32. En una caja hay 30 aros de perla de igual peso
y tamaño, de las cuales 8 son celestes, 10 son
blancos y el resto son rosados. Si se extraen 6 aros
al azar, ¿Cuál es la probabilidad de extraer un aro
celeste, uno blanco y uno rosado, en ese orden y sin
reposición?
8 10 12
A) ⋅ ⋅
30 30 30
8 10 12
B) ⋅ ⋅
30 28 26
8 10 12
C) +
+
30 28 26
8 10 12
D) ⋅ ⋅
30 29 28
8 10 12
E) + +
30 29 28
34. Un hotel para mascotas tiene 25 perros entre
café y negros, y se sabe que 15 de ellos son café. Si
se abre la puerta del lugar y se escapa un perro,
¿Cuál es la probabilidad de que sea negro?
A)
B)
C)
D)
E)
10
23
5
16
2
5
3
7
4
11
33. Una mochila de un alumno del preuniversitario
Gauss tiene 4 guías de lenguaje, 5 guías de
matemática y 2 de historia, todos de igual peso y
tamaño. Si se extrae una guía al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que NO sea de matemática?
A)
B)
C)
D)
5
11
4
11
6
11
2
11
E)Ningunade las anteriores
54
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TOMO IV DATOS Y AZAR
35. La tabla adjunta muestra el número de
empresas que poseen un determinado número de
software para administrar sus negocios. Al
seleccionar una de estas empresas al azar.
Nº de empresas
Nº de software
4
0
2
1
1
2
4
3
5
4
6
5
7
6
36. La probabilidad de que al lanzar 2 dados, la
suma de los números sea mayor o igual que 5 es
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
5
6
3
4
5
9
6
10
¿Cuál es la probabilidad de que ésta tenga menos de
cuatro software para sus negocios?
A)
B)
C)
D)
E)
11
29
11
27
15
27
11
30
13
27
37. Si se tiene una moneda cargada, donde la
probabilidad de obtener cara es
1
3
y se sabe
que esta siempre sale cara o sello, entonces
la probabilidad de sacar tres sellos en tres
lanzamientos es
A)
B)
C)
D)
E)
8
27
11
27
15
27
14
27
13
27
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55
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES
38. En la pregunta anterior, la probabilidad de sacar
al menos dos caras en tres lanzamientos es
8
A)
B)
C)
27
5
A)
27
7
B)
27
11
C)
27
3
D)
D)
E)
40. Según el problema anterior, la probabilidad de
lanzar dos veces el dado y obtenerun 1 y un 6, en
ese orden es
2
49
1
49
2
25
1
25
E)Ningunade las anteriores
27
39. Si se sabe que un dado está cargado, donde los
números del 2 al 6 tienen la misma probabilidad
y el 1 tiene el doble de probabilidad que ellos.
Entonces la probabilidad de que al lanzar el dado se
obtenga 1 es
A)
B)
C)
D)
1
7
2
7
1
5
2
5
E)Ningunade las anteriores
56
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CAPÍTULO 3
INFERENCIA ESTADÍSTICA
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CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
INTRODUCCIÓN
La rama de la estadística que veremos a continuación estudia cómo inferir o deducir
características de una población a partir de una pequeña parte de ella, debido a que
en muchos estudios es imposible tomar la totalidad de la población, esta forma de estudiar colecciones de datos es llamada Inferencia Estadística, y responde a las preguntas: ¿Cómo podemos sacar conclusiones acerca de las características de la población si no conocemos todos sus elementos? ¿Qué tan fiables son estas estimaciones?
Para realizar inferencias estadísticas estudiamos una parte pequeña, pero representativa de la población que llamamos una Muestra, y extrapolamos (inferimos) conclusiones sobre la población general a partir de ella.
TÉCNICAS DE MUESTREO
Llamamos muestreo a las técnicas que utilizamos para escoger una muestra a partir
de una población.
Los tipos de muestreo se clasifican en muestreos probabilísticos y no probabilísticos. En un muestreo probabilístico, cada elemento de la población tiene una
determinada probabilidad de pertenecer a la muestra, y dicha probabilidad se puede
calcular sin ambigüedad. En los muestreos no probabilísticos en cambio, se desconoce la probabilidad de que un individuo determinado pertenezca a la muestra.
Siempre existe algún error pues la muestra no es completamente fiable, sólo una
buena aproximación, y a este error se le llama error de muestreo.
7 Muestreo aleatorio
Si todas las muestras posibles de una población pueden ser tomadas con la misma
probabilidad, este muestreo es un Muestreo Aleatorio. Distinguimos dos tipos:
3 Sin reposición: Una vez que un individuo es escogido para integrar la
muestra, no puede volver a ser escogido
Observación
Al extraer todas las muestras de un
3 Con reposición (muestreo aleatorio simple): Los individuos pueden
aparecer más de una vez en la muestra.
tamaño dado en una población finita
y calcular el promedio de las medias muestrales se obtiene la media
poblacional.
58
El muestreo aleatorio es apropiado para poblaciones grandes y es más simple de
implementar que otras técnicas de muestreo, pero requiere de un listado completo
de todos los individuos que conforman la población.
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TOMO IV DATOS Y AZAR
El objetivo de extraer una muestra representativa es estudiar alguna característica
de la población representada en una variable estadística, la cual toma la forma
de una función que relaciona los miembros de la población con sus cantidades correspondientes, y dando algún patrón a partir del cual sacaremos conclusiones que
aplicar a la población general. A estos patrones que encontraremos entre los datos
los llamaremos Distribuciones.
Observación
Por ejemplo: si realizamos un estudio sobre lo que compran los clientes de un supermercado no podremos entrevistar a todos, por lo tanto entrevistaremos a una
muestra, y si nuestro estudio está bien hecho podremos obtener un perfil que nos
diría cuánto gasta cada tipo de persona del supermercado. Este perfil de los clientes
será una distribución de los gastos de los clientes en el supermercado.
La inferencia estadística sólo nos dará
aproximaciones, nunca dará resultados para cada uno de los miembros de
la población.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución más importante que se estudia es la llamada distribución normal
o distribución Gaussiana, y es posible aplicar esta distribución a cualquier grupo
de datos cuya distribución se asemeja al siguiente gráfico:
X
Es decir, un grupo de datos en el cual la mayoría de los datos se agrupa cerca de la
media aritmética, y la cantidad disminuye suavemente hacia los extremos, formando una curva simétrica cuyo eje de simetría se encuentra en su media.
Rigurosamente, este gráfico representa la siguiente función:
f (x) =
−
1
e
σ 2π
( x − µ )2
2σ 2
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59
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
Donde μ corresponde a la media aritmética de la población y σ corresponde a su
desviación estándar. σ2 también es una medida común, y este representa la Varianza de la distribución.
100
Frecuencia
80
60
40
20
0
6
8
10
12
14
16
18
Cuando una variable X sigue una distribución normal de media μ y varianza σ2, escribimos X ∼ N (μ, σ2).
7 Propiedades de la distribución normal
3 La forma de la curva de la distribución depende de sus dos parámetros, la media y la desviación estándar
3 La media indica la posición de la campana. Al incrementar
la media, la gráfica de la campana se desplaza hacia la derecha
3 A mayor desviación, la curva se volverá más plana,
pues los datos tendrán mayor variabilidad
3 Si X ∼ N(μ, σ2) y se extraen n observaciones de manera
independiente en esta población, el promedio obtenido
2
pertenece a una población normal de media μ y varianza σ
n
3 Si X∼N(μ, σ2) no depende de Y∼N(v, τ2), entonces X + Y∼ N (μ + v, σ2 + τ2)
60
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TOMO IV DATOS Y AZAR
7 Intervalos de una distribución normal
El objetivo de la distribución normal es poder conocer qué porcentaje de los datos se
encuentran en distintos intervalos, y nos permite responder preguntas como:
3 ¿Qué porcentaje de un grupo de atletas que sigue una
distribución normal tiene un buen rendimiento?
3 ¿Cuánto puntaje debo tener para estar en el mejor 10%
de los estudiantes que dan la PSU?
Estas preguntas tienen una solución que es a la vez simple y complicada. La simple
es: El porcentaje de datos que responde estas preguntas es el área bajo la curva de la
distribución normal que se encuentra entre los parámetros pedidos.
Pero calcular esta área es extremadamente difícil, por lo que utilizamos unos intervalos notables con porcentajes ya conocidos para cualquier distribución normal.
Si una población normal tiene media μ y desviación estándar σ, se tiene que:
3 El 68,3% de las observaciones se encuentra en
el intervalo [μ - σ,μ + σ], es decir, el 68,3% de los
datos se encuentra a menos de una desviación
estándar de distancia de la media.
3 El 95,5% de los datos se encuentra en el intervalo
[μ - 2σ,μ + 2σ], es decir, el 95,5% de las observaciones
se encuentra a menos de dos desviaciones estándar
de distancia de la media.
3 El 99,7% de los individuos se encuentra en el
intervalo [μ - 3σ,μ + 3σ], es decir, el 99,7% de las
observaciones se encuentra a menos de tres
desviaciones estándar de distancia de la media.
Probabilidad
μ (valor estimado)
34%
14%
2%
μ - 2σ μ - σ
34%
μ
μ+σ
2%
μ + 2σ
Variable
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61
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
7 Variables estandarizadas (tipificadas)
Si se necesita calcular otros percentiles, hay malas noticias: hasta el día de hoy no
se ha descubierto un método para calcularla de manera exacta. Sin embargo, existen tablas con muy buenas aproximaciones. Ahora, no es posible escribir una tabla
para cada una de las combinaciones posibles de media y desviación estándar, entonces convenimos en utilizar la distribución normal estándar o normal tipificada
como referencia, a la cual llevaremos cualquier otra distribución.
Definición: Si una variable Z sigue una distribución N(0,1), se dice que Z tiene una
distribución normal estándar o normal tipificada.
Para llevar una distribución cualquiera a esta distribución N(0,1), utilizamos una
técnica llamada estandarización o tipificación, que nos permite relacionar una
distribución normal de media y desviación estándar arbitrarias con una distribución
N(0,1).
X−µ
Propiedad: Si X ∼ N (μ, σ2), entonces Z =
tiene una distribución normal esσ
tándar.
Una vez convertida la variable de distribución N(μ, σ2), en una de distribución
N(0,1), podemos utilizar una tabla como la siguiente para encontrar los valores necesarios para resolver los problemas.
62
z
P(Z < z)
0,67
0,749
0,99
0,839
1,00
0,841
1,15
0,875
1,28
0,900
1,64
0,950
1,96
0,975
2,00
0,977
2,17
0,985
2,32
0,990
2,58
0,995
0
z
Z
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TOMO IV DATOS Y AZAR
7 Algunos ejemplos de fenómenos que
se modelan con distribuciones normales:
3 Puntajes en pruebas nacionales (PSU, SIMCE) e
internacionales(TOEFL, exámenes de admisión a
distintas universidades). Los puntajes PSU de una
generación tienen una distribución normal de
media 500 y desviación estándar 110.
3 Indicadores sicológicos como el coeficiente intelectual.
3 Fenómenos meteorológicos como la temperatura.
3 Estaturas y pesos de individuos de la misma edad
siguen una distribución normal.
3 El error cometido al hacer mediciones en experimentos
sigue una distribución normal.
INTERVALOS DE CONFIANZA
Puede ocurrir que al tomar dos muestras representativas diferentes dentro de una
misma población, se obtengan estadísticos diferentes. Esto no necesariamente significa que el estudio esté mal realizado, sino que simplemente es un reflejo de que
hay azar involucrado en el proceso de muestreo.
Para estimar el error que induce el azar, se establece un rango de valores que podrían contener el valor del parámetro poblacional estimado, con cierta probabilidad.
A esta probabilidad se le conoce como nivel de confianza y su principal objetivo es
evaluar la validez del muestreo.
Un intervalo de confianza [a,b] para un parámetro poblacional es un intervalo de
números reales que con cierto nivel de confianza (95%,99%, etc.) contiene al parámetro estudiado.
Si se desea construir un intervalo de confianza para la media de una población normal con varianza conocida σ2, a partir de una muestra de tamaño n, media x, y nivel
de confianza (100 - a)% está dado por


 x − z a σ , x + z a σ 
 
 
 
 
n
n 

2
2
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63
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
Donde z a corresponde al valor tal que el a % de los datos es mayor en una distribu(2)
2
ción normal estándar.
σ
La cantidad z a 
es llamada error de muestreo o error y suele ser expresado
n
 2 
como porcentaje.
Ejemplo: En un laboratorio, se cuenta con una muestra de 121 frascos con jarabe,
se sabe que la cantidad de sacarosa presente en ellos sigue una distribución normal de desviación estándar 10g. Si la media de la cantidad de sacarosa en estos 121
frascos de jarabe es 640g, el intervalo del 95% de confianza, en gramos, está dado
aproximadamente por [638,22; 641,78], con un error de 1.782 ya que al reemplazar
los valores correspondientes x = 640; σ = 10; n = 121 y z(a)= z0,025 = 1.96 se obtienen
2
dichos valores.
Ejemplo /
Las estaturas de un grupo de personas siguen una distribución
normal de media 1,40m y desviación estándar 20 cm.
(a) ¿Qué porcentaje ellos mide entre 1,2m y 1,6m?
(b) ¿Qué porcentaje de elos mide menos de 1,8 metros
pero más de 1,6?
Solución (a)
Como el 68,3% de los individuos se ubica a menos de una desviación estándar de la media, podemos asegurar que el 68,3%
de los estudiantes tiene una estatura x tal que |x - μ| ≤ σ, es
decir, -σ ≤ x - μ ≤ σ. Al sumar μ en cada miembro de la desigualdad, resulta μ - σ ≤ x ≤ μ + σ. Considerando que μ = 1,4 y σ = 0,2
(al medir en metros) se obtiene 1,4 - 0,2 ≤ x ≤ 1,4 + 0,2. Así, se
sigue x ∈ [1.2,1.6]. Por lo tanto, el 68,3% de los integrantes mide
entre 1,2m y 1,6m.
Solución (b)
Considerando que el 95,5% de los individuos tiene una estatura
que se encuentra en el intervalo [μ - 2σ,μ + 2σ], se tiene que el
95,5% de las estaturas de los individuos se ubica en el intervalo
[1,0;1,8]. Si de ese intervalo restamos el 68,3% de las personas
cuyas estaturas estaban entre 1,2 y 1,6 (se calculó en (a)). En-
64
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TOMO IV DATOS Y AZAR
tonces tenemos que el 27,2% de los sujetos tiene estaturas que
se encuentran en el intervalo [1.0,1.2] o que se encuentran en el
intervalo [1.6,1.8]. Además, como la gráfica de la distribución es
simétrica en torno a su media, se sigue que la cantidad de estudiantes en cada intervalo es la misma. Así, la mitad del 27.2%
de los integrantes mide entre 1.6 y 1.8, es decir, el 13.6% de ellos
mide menos de 1,8 metros y más de 1,6.
Ejemplo /
En cierta ciudad, la temperatura diaria sigue una distribución
normal de media 18° y desviación estándar 2°. ¿Qué porcentaje
de los días habrá una temperatura mayor a 20°?
Solución
Si llamamos T a la temperatura en un día, se tendrá que
T ∼ N(18,4). Al estandarizar, se obtiene que (T - 18) / 2 ∼ N(0,1).
El siguiente paso consiste en relacionar la desigualdad T >
20 con una desigualdad que involucre la variable estandarizada. Al restar 18 y dividir por 2 en esta desigualdad resulta
T − 18 20 − 18
T − 18 20 − 18
>
, es decir,
> 1. De acuerdo al valor tabulado,
2
2
2
2 T − 18 20 − 18
el 84,1% de los días satisfacen que
≤
> 1. Por lo tanto, el
2
2
15,9% restante satisface la condición buscada.
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65
MIS ANOTACIONES
Te damos espacio extra para que puedas
desarrollar mejor los ejercicios
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TOMO IV DATOS Y AZAR
EJERCICIOS
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
A) Al estudiar características de una muestra, se
obtiene una estimación de las características de
una población
B) Una muestra contiene más datos que una
población
C) Nunca es posible estudiar una población
completa
D) El muestreo aleatorio simple solo es válido en
distribuciones normales
E) Ninguna de las anteriores
2. En un estudio estadístico
I. El muestreo garantiza ahorro económico
al realizar el estudio
II. El muestreo permite recolectar datos de
manera más rápida
III. El muestreo garantiza validez de las
conclusiones respecto de la población
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III
3. Son ventajas del muestreo aleatorio:
I. Al escoger la muestra al azar, se previene
cualquier sesgo que pudiese tener origen
en la elección del investigador
II. Al conocer la probabilidad de cada individuo de pertenecer a la población, se tiene información del error cometido
en las conclusiones
III. Se clasifica en muestreo sin reposición
y con reposición
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
4. Si X ∼ N(1,4) ¿Cuál de estas variables tiene una
distribución N(0,1)?
A)
B)
x-1
2
x-1
4
C) x-4
D) x-2
E) Ninguna de ellas
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67
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
5. Si una población sigue una distribución normal
estándar ¿Cuál de estos valores corresponde al
percentil 95 de la población?
7. Si Z ∼ N(0,1) ¿Cuál de las siguientes expresiones
tiene un valor igual a P(Z < -2)?
A) P(Z > -2)
B) P(Z ≤ 2)
C) P(Z > 2)
D) P(-1 < Z < 1)
E) Ninguna de las anteriores
A) 0,67
B) 1
C) 1,28
D) 1,64
E) 1,96
6. Una población sigue una distribución N(4,25)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
8. Una población sigue una distribución N(3,5) ¿Qué
distribución tendrá si cada dato se multiplica por 2?
A) La mediana de la población es 4
B) La desviación estándar de la población es 25
C) La media de la población es 4
D) Aproximadamente el 68,3% de los datos se ubica
en el intervalo [-1,9]
E) Ninguna de las anteriores
A) N(6,5)
B) N(6,10)
C) N(3,20)
D) N(3,10)
E) N(6,20)
68
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TOMO IV DATOS Y AZAR
9. ¿Cuál de las siguientes cantidades no sigue una
distribución normal?
A) Los puntajes de la PSU de historia obtenidos por
los postulantes que rindieron la prueba el año 2014
B) Las estaturas de niños de un curso
C) El tiempo de vida útil de las ampolletas de una
marca dada
D) La temperatura media que se registra en un
mismo mes
E) Ninguna de las anteriores
11. La cantidad de teléfonos celulares por familia
en una ciudad se modela por medio de una
distribución normal con media μ y varianza 0,25. Se
toma una muestra aleatoria de 100 familias de esta
ciudad, obteniéndose una media de 3,5 celulares.
Para los resultados de esta muestra, ¿Cuál de los
siguientes intervalos es el intervalo de confianza de
nivel 0,90 para μ?
A) [3,5-1,64 ·
B) [3,5-0,9 ·
10. Se dice que un individuo padece de retraso
mental si su coeficiente intelectual está entre
70 y 85 puntos. El coeficiente intelectual de los
individuos de un país sigue una distribución normal
de media 100 y desviación estándar 15. ¿Qué
porcentaje de la población de este país padece de
retraso mental?
A) 95,5%
B) 47,75%
C) 68,3%
D 34,15%
E) 13,6%
1
1
;3,5+1,64 · ]
40
40
1
1
;3,5+0,9 ·
]
200
200
C) [-1,64 ·
1
1
;1,64 ·
]
400
400
D) [-0,90 ·
1
1
;0,90 · ]
20
20
E) [3,5 − 1,64 ·
1
1
;3,5 + 1,64 · ]
20
20
12. Al respecto de la gráfica de una campana de
gauss se afirma:
I. Al incrementar la media poblacional, la
gráfica se desplaza hacia la izquierda
II. Es simétrica respecto de la media
III. La curva se vuelve más plana al incrementar la varianza
Es(son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
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69
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
13. Se desea estimar el tiempo promedio que tarda
un atleta en completar una carrera de 100 metros
planos. Tras observar a 15 atletas se obtiene un
intervalo de confianza de nivel 0,95 dado por [13,20]
medido en segundos. ¿Cuál de estas afirmaciones
es verdadera?
A) El 95% de los atletas tarda en promedio entre
13 y 20 segundos en completar una carrera de 100
metros planos
B) Hay una probabilidad de 0,975 de que el tiempo
que tardan los atletas en promedio de completar
una carrera de 100 metros planos se encuentre en
el intervalo [13,20]
C) Al observar más atletas, la probabilidad de
que el promedio se encuentre en el intervalo de
confianza incrementa
D) Si el tiempo que tardan los atletas sigue una
distribución normal, entonces la media muestral
obtenida fue de 16,5 segundos.
E) Ninguna de las anteriores
15. Si Z ∼ N(0,1), entonces P(1,15 < Z < 1,28) =
A) 0,875
B) 0,900
C) 0,950
D) 0,025
E) 0,125
16. En un estudio se desea estimar el diámetro
medio de las piernas en una población de jirafas.
Considerando una distribución normal de varianza
25 cm2 para el diámetro de las piernas de las
jirafas. Si [⋅] representa la función parte entera,
¿cuál debe ser el tamaño muestral para que la
amplitud del intervalo de confianza al nivel 0.99
construido a partir de la muestra sea menor a 2 cm?
A) [(5 · 2,32)2 ]+1
14. Una población sigue una distribución normal
estándar. ¿Cuál es el máximo valor que puede
presentarse en una observación que pertenece al
1% más pequeño?
A) -2,58
B) -2,32
C) -2,17
D) -2,00
E) -1,96
70
B) [(5 · 0,839)2 ]+1
C) [(25 · 2,58)2 ]+1
2
 5
 
D)  · 2,58  +1
 
 2
E) [(5 · 2,58)2 ]+1
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TOMO IV DATOS Y AZAR
17. Un instructor de esgrima desea medir el tiempo
que tardan sus deportistas en reaccionar a la
señal de partida dada por el árbitro al comenzar
los combates. Tras medir los tiempos de retardo
en la reacción de sus 16 alumnos obtiene las
respuestas 5, 7, 3, 13, 4, 5, 3, 6, 8, 11, 10, 9, 9, 6, 5,
9, medidas en centésimas de segundo. Si deseara
tomar una muestra de tamaño 5, ¿Cuál de estas no
corresponde a un muestreo sin reposición?
A) 5, 3, 4, 5, 11
B) 3, 4, 6, 8, 9
C) 9, 9, 9, 10, 11
D) 5, 7, 5, 7, 3
E) A, C y D son correctas
19. ¿Cuál de los siguientes histogramas representa
mejor a una distribucón normal?
A)
B)
C)
D)
E)
18. El diámetro de los troncos de los sauces sigue
una distribución normal de media 15m y desviación
estándar 5m. ¿Cuál es la probabilidad de que el
diámetro del tronco de un sauce mida menos de
26.6 m?
A) 0,977
B) 0,985
C) 0,99
D) 0,995
E) 0,01
20. Un señor del mal tiene 10 esclavos. Cada
mañana escoge a 3 por muestreo aleatorio
simple con reposición y los castiga. ¿Cuál es la
probabilidad de que el mismo esclavo sea castigado
3 veces durante una mañana?
A)
1
10
B)
1
100
C)
3
10
D)
2
10
E)
1
1000
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71
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
21. Con los datos de la pregunta anterior ¿Cuál es
la probabilidad de que algún esclavo sea castigado
exactamente dos veces durante la misma mañana?
A)
27
100
B)
9
1000
C)
9
100
D)
27
1000
E) Otro valor
22. Con los datos de la pregunta 20, ¿Cuál es
la probabilidad de que castigue a tres esclavos
diferentes durante la mañana?
A)
28
100
B)
72
1000
72
C)
100
23. Un practicante de lucha Greco-romana postula
a un cupo para un campeonato regional. Los organizadores declaran mediante un comunicado que
solo aceptarán a los postulantes que pertenezcan
al 1.5% con mejor desempeño en una prueba de
fuerza. Si nuestro luchador sabe que los puntajes
de dicha prueba siguen una distribución normal
con media 4 y desviación estándar 3, ¿Cuál es el
mínimo puntaje que debe obtener en la prueba para
clasificar?
A) 9,88
B) 10,34
C) 10,51
D) 10,96
E) 11,74
24. ¿Cuál de los siguientes histogramas representa
una distribución de mayor varianza?
A)
B)
C)
D)
D) 1
E) Otro valor
E) No se puede determinar
72
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TOMO IV DATOS Y AZAR
25. La amplitud de un intervalo de confianza para
la media poblacional de una distribución normal
incrementa si
I. La varianza poblacional incrementa
II. La media muestral incrementa
III. El tamaño muestral incrementa
IV. El nivel de confianza del intervalo incrementa
Son verdaderas:
A) Sólo I
B) Sólo IV
C) I y IV
D) II y III
E) I, III y IV
26. Si X  N (µ,σ 2 ) entonces P (X < µ)=
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
1
D)
5
E) Otro valor
27. Considere una población de distribución normal
de varianza 4. Si se desea construir un intervalo
del 95% de confianza a partir de una muestra de
tamaño 100, ¿cuál es el error de esta estimación?
A)
1.96
5
B)
3.92
5
C)
1.96
50
D)
1.64
5
E) Ninguna de las anteriores
28. Una empresa produce narices de payaso y
desea estimar la cantidad de pintura roja necesaria
para producir cada unidad. Suponga que la cantidad
de pintura utilizada en la producción de una unidad
se rige por una distribución normal. Si se desea
obtener un error menor que 5% al construir un
intervalo de confianza de nivel 90% y la desviación
estándar corresponde a 0.05 ml ¿Cuántas narices
de payaso, como mínimo, se deben incluir en la
muestra?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
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73
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
29. La efectividad de una vacuna en un paciente
enfermo se rige por una distribución normal.
Si se estudia la efectividad en una muestra de
121 pacientes, obteniendo un error del 10% al
construir un intervalo de 99% de confianza ¿Cuál
es la desviación estándar de la efectividad de las
vacunas?
A)
1,21
6,6564
B)
0,1
28,38
C)
11
25,8
D)
1,1
2,32
E)
11
2,58
30. ¿Cuál de las siguientes cantidades no influye
en el error de muestreo al construir intervalos de
confianza para poblaciones normales?
31. Sean X e Y dos variables aleatorias
independientes tales que X ∼ N(0,1) e Y ∼ N(2,3).
¿Cuál es el valor de P(X + Y > 6)?
A) 0,045
B) 0,159
C) 0,977
D) 0,023
E) Otro valor
32. Un capitán del equipo de atletismo debe
escoger 2 competidores para una carrera de
relevos. Tras poner a prueba a sus cinco candidatos
en una carrera corta y promediar los tiempos
(en segundos) de cada posible pareja obtiene los
siguientes resultados:
9, 9, 10, 11, 10, 11, 12, 11, 12, 13
A) La varianza de la población
B) La desviación estándar de la población
C) La media de la población
D) El tamaño muestral
E) El nivel de confianza
74
¿Cuál es el tiempo promedio de los cinco
corredores?
A) 10
B) 10,8
C) 11
D) 11,8
E) Otro valor
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TOMO IV DATOS Y AZAR
33. Si X ∼ N(a + b,a + 2b) e Y ∼ N(a + 2b,a − b) son
variables aleatorias independientes ¿Qué valor
debe tomar a para que la variable aleatoria X + Y
siga una distribución normal estándar?
A)
1
2
B)
1
4
C) D)
35. Si X ∼ N (μ, 1) ¿Qué valor debe tener μ para que
P(X ≤ 8) = 0,841
A) 7
B) 6
C) 8
D) 0
E) Ninguno de los valores anteriores
1
2
3
4
E) No existe tal valor de a
34. Suponga que X ∼ N (5,92) e Y ∼ N (−3,34). Al
respecto se afirma
I. La población X es más homogénea que la
población Y
II. Al extraer muestras aleatorias de 10
individuos de cada población, La media
muestral de X tiene una varianza menor a
la media muestral de Y
III. La campana de Gauss asociada a la
variable X tiene a la recta x = 5 como eje de
simetría
36. Si X e Y son variables aleatorias independientes
de distribución normal estándar ¿Cuál es la
probabilidad aproximada de que el interior del
cuadrado de centro en el origen, lados paralelos a
los ejes y lado 2 contenga al punto (X,Y)?
A) 0,68
B) 0,95
C) 0,46
D) 0,90
E) Otro valor
Es(son) falsa(s):
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) II y III
E) I, II y III
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75
CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA
37. Se puede conocer la media poblacional a partir
de una muestra si
(1) Se conoce la media muestral
(2) Se conoce la varianza poblacional
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
38. Se puede conocer la probabilidad de que un
individuo de una población pertenezca a una
muestra si
(1) Se conoce el tamaño muestral
(2) La técnica de muestreo es muestreo aleatorio simple
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
76
39. Se puede determinar P(X > μ + 2) si
(1) X ∼ N(μ + 2,1)
(2) μ + 2 es la mediana de la población
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
40. Se puede conocer la mediana de una población
normal si:
(1) Se conoce la media
(2) Se conoce la varianza
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola
E) Se requiere información adicional
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MIS ANOTACIONES
Te damos espacio extra para que puedas
desarrollar mejor los ejercicios
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CAPÍTULO 4
VARIABLES ALEATORIAS
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TOMO IV DATOS Y AZAR
VARIABLES ALEATORIAS
Una Variable aleatoria es una medida que utilizamos para cuantificar los resultados posibles de un experimento aleatorio, está definida como una función X que
relacióna cada elemento del espacio muestral con un número real. Es decir:
X : Ω → R
El recorrido de esta función entonces, es un subconjunto de los números reales
que contiene todos los resultados posibles de esta variable, como imágenes de algún
elemento del espacio muestral.
Estas variables pueden ser discretas o continuas, dependiendo de la naturaleza
de su recorrido.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
En el caso de una variable discreta, podemos hablar de una función de probabilidad f(x), esta es la función que relaciona cada elemento del recorrido con la probabilidad de que la variable tome dicho valor, es decir f(x0 ) = P(X = x0). Ya que estamos
hablando de una probabilidad, sabemos que debe cumplir las siguientes condiciones:
3
3
f(x0) ≥ 0 para todo x0 ∈ Rec(X)
∑
f (i) = 1
i ∈ Rec(X)
También podemos definir la función de distribución F(X), que nos indica la probabilidad de que la variable tome un valor igual o menor, es decir:
F(x0) = P(X ≤ x0)
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79
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
ESPERANZA Y VARIANZA
DE UNA VARIABLE ALEATORIA
La Esperanza o Valor Esperado de una variable aleatoria es simplemente el valor
promedio que uno obtendría al realizar infinitos experimentos, por lo tanto mientras más experimentos se realicen, más tiende a acercarse el promedio hacia la Esperanza. Esta se define como:
E( X ) =
∑
xi ∈ Rec(X)
f ( xi ) · xi
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
Si entendemos esta esperanza, obtenemos como conclusión la ley de los grandes
números que dice: Mientras más experimentos realice, más se acerca la frecuencia
relativa de cada evento a su respectiva probabilidad, pero esta forma de enunciar la
ley es equivalente a otra que relaciona esta ley con la esperanza:
"Mientras más grande sea la muestra, más cercana será
su media a la Esperanza de la Variable".
La Varianza es ligeramente distinta del concepto que usamos al trabajar con datos,
como estos están fijos su varianza sólo mide la dispersión de los datos, en el caso de
una variable aleatoria la varianza mide su variación ideal, y se calcula muy fácilmente usando la esperanza:
Var(X) = E(X2 ) - [E(X)]2
Luego, la desviación estándar de un variable se encuentra de la misma forma que
utilizando datos.
StDev( X ) = Var( x )
80
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TOMO IV DATOS Y AZAR
DISTRIBUCIONES IMPORTANTES
DE VARIABLES ALEATORIAS
7 Distribución de Bernoulli
La distribución de Bernoulli es la forma en la que se distribuyen los resultados de
una variable que sólo tiene dos resultados posibles, a estos dos resultados los llamamos un éxito o un fracaso, por ejemplo lanzar una moneda sigue una distribución
de bernoulli.
La ventaja es que esta moneda no debe ser justa, es decir las probabilidades de éxito
o fracaso no necesitan ser mitad y mitad, formalmente:
Si X es una variable aleatoria donde p es la probabilidad de éxito y q es la probabilidad de fracaso, se cumple que P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1 - p.
Además, E(X) = p y Var(X) = pq = p(1 - p).
7 Distribución Binomial
La distribución binomial es un caso similar al de la distribución de Bernoulli en el
que también buscamos éxitos y fracasos, pero en lugar de medir esta probabilidad
medimos la probabilidad de obtener cierta cantidad de éxitos en alguna cantidad de
experimentos:
Una Variable aleatoria X sigue una distribución Binomial si la probabilidad de
obtener k éxitos en n experimentos, donde la probabilidad de éxito en cada uno es
p. (la frase anterior se resume en X ~ Bin(n,p)):
 n
P( X = k ) =   p k (1 − p)n− k
 k
Con esta distribución, podemos tambien obtener la esperanza y varianza fácilmente, entonces:
Si X ~ Bin(n,p) →
E(X) = np y Var(X) = np(1 - p)
Como aprendimos en combinatoria, calcular estos coeficientes binomiales puede resultar complicado, pero una distribución binomial X ~ Bin(n,p) se puede aproximar
a una distribución normal X ~ N(np,np(1 - p)) ya que esta tiene la misma Esperanza y
Varianza. Mientras más grande sea n, mejor será esta aproximación.
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81
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
En todos los casos anteriores hablamos de variables discretas, entonces tiene sentido pensar en cosas como “sumar todos los resultados del recorrido” porque estas cantidades son finitas, pero estos métodos no funcionan cuando hablamos de variables
aleatorias no discretas, por ejemplo no sabemos cuanto es la suma de todos los números racionales entre 0 y 1.
Luego, ajustaremos nuestras definiciones para reutilizar los conceptos que vimos en
variables aleatorias discretas en continuas.
En lugar de hablar de una función de probabilidad, hablaremos de una Función de
densidad, y esta mide cual es la probabilidad que una variable aleatoria tome un
valor dentro de un intervalo. Ya que existen infinitos resultados posibles para una
variable continua, no tiene sentido preguntar por la probabilidad de que caiga en valor particular, por lo que preguntamos cuan posible es que caiga dentro de un rango.
Esta función cumple que:
3 La probabilidad de que la variable tome un valor, dentro
de un intervalo de su recorrido no puede ser negativa.
3 La probabilidad de que la variable tome un valor dentro
del intervalo del total de su recorrido es 1
Es importante notar que el ejemplo más claro y estudiado de una variable de este
tipo es la Distribución normal en la cual los intervalos que nos dan la probabilidad
son aquellas áreas bajo la curva de la distribución. Así, si vemos la normal como una
Variable aleatoria continua, tenemos que el área total bajo la curva es 1, y por lo
tanto es exactamente lo mismo preguntar qué porcentaje de esta área se encuentra
en un intervalo, a preguntar cual es la probabilidad de caer en ese intervalo si elijo
un valor al azar
82
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TOMO IV DATOS Y AZAR
EJERCICIOS
1. ¿Cuál de las siguientes es una variable aleatoria?
A) El número de caras de un dado
B) El punto de ebullición del agua, medido en
grados Kelvin
C) El resultado obtenido al lanzar un dado común
D) El número de habitantes que había en Texas el
día 1 de Enero de 1999
E) Ninguna de las anteriores
2. ¿Cuál de las siguientes no se clasifica como una
variable aleatoria discreta?
A) Se encuesta a 100 personas al azar y se define
la variable aleatoria X como el número de mujeres
encuestadas.
B) Se lanzan 4 dados comunes y se define X como
la suma de las puntuaciones obtenidas.
C) Se recorren 20 calles de Santiago en Auto y se
define X como el número de semáforos que se
encuentran en luz roja al pasar por ellos.
D) Se observa la carrera de un nadador y se
define X como el tiempo que tarda en completar el
recorrido.
E) Ninguna de las anteriores.
3. Se lanzan dos monedas y se define X = 1 si las
monedas tienen el mismo resultado y X = 0 si no
lo tienen. ¿Cuál es el dominio de esta variable
aleatoria?
A) {(cara, cara), (cara, sello),
(sello, cara), (sello, sello)}
B) {cara, sello}
C) {0, 1}
D) {0,1,cara, sello}
E) No se puede determinar
4. Se define la variable aleatoria X como la suma
de los resultados obtenidos al lanzar dos dados
comunes. ¿Cuál es el recorrido de X?
A) {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
B) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C) {1,2,3,4,5,6}
D) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
E) Ninguna de las anteriores
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83
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
5. Una urna contiene 10 bolitas blancas y 4 bolitas
negras. Se extraen al azar, sin reposición, 5 bolitas
de la urna y se define la variable aleatoria X como el
número de bolitas blancas extraídas. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. P(X = 0) = 0
II. P (X = 1) =
10
14
7. Se pagan $400, se lanza un dado común y se
reciben $100 multiplicado por el valor que muestra
el dado. ¿Cuál es el balance esperado?
A) -200
B) -50
C) 0
D) 350
E) 50
 10  4
  
 3   2
III. P (X = 3) =
 14
 
5 
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
1
6. Si X es una variable aleatoria tal que P(X = 1) =
5
y P(X = 2) = 1 , entonces
4
A) P(X = 3) =
B) P(X = 3) <
C) P(X = 3) ≤
D) P(X = 3) >
E) P(X = 3) ≥
84
11
20
11
20
11
8. Se entrevista a 100 personas de manera
independiente y se registra el número de personas
bautizadas. Si se sabe que el 48% de la población se
ha bautizado, ¿Qué distribución sigue esta variable
aleatoria?
A) Bernoulli
B) Binomial
C) Normal
D) Hipergeométrica
E) Ninguna de las anteriores
20
11
20
11
20
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TOMO IV DATOS Y AZAR
9. El tiempo de espera de las personas, en minutos,
en cierto paradero de Transantiago, tiene una
función de distribución dada por F(x) = 1 - e-2x ¿Cuál
es la probabilidad de esperar 2 minutos o menos?
A) e-4
B) e-2
C) 1 - e-2
D) 1 - e-4
E) Otro valor
11. Se lanza un dado 20 veces y se definen las
variables aleatorias X e Y, donde X es el número
de veces que se obtiene un número par e Y es el
número de veces que se obtiene un número impar.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. P(X = 4) = P(Y = 16)
II. P(X = 5) = P(Y = 5)
III. P(X = 9) = P(X = 11)
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
10. En el bosque de caperucita roja se ha instalado
un hogar de ancianos. Se sabe que una de cada
10 ancianas que vive en ese hogar es un lobo
disfrazado. Si el 60% de la gente que se queda en
el hogar son ancianas y se escogen 15 personas
mediante muestreo aleatorio simple, al definir
la variable aleatoria X como el número de lobos
escogidos, resulta P(X = 2) =
12. ¿Cuántas monedas se deben lanzar para que la
varianza del número de caras sea 1?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) No se puede obtener varianza 1
 15
A)   0,62 0,413
2 
 10 2 13
B)   0,1 0,9
2 
 15
C)   0,062 0,9413
 13
 10
D)   0,062 0,9413
2 
E) Otro valor
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85
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
13. ¿Cuál es el recorrido de una variable aleatoria
normal de media 3 y varianza 16?
A)  - {3}
B) Q
C) [-1,7]
D) ]-1,7[
E) 
15. Defina la variable aleatoria X como el número
obtenido al lanzar un dado común. Suponga
que se lanza medio millón de dados comunes
y se registran los resultados en una tabla de
frecuencias. De acuerdo a la ley de los grandes
números, ¿Cuál de estos valores es una mejor
estimación para la frecuencia relativa acumulada
del número de dados que muestran el número 3 en
su cara superior?
A) La función de densidad de probabilidad de X
evaluada en 3
B) La función de distribución de X evaluada en 3
C) La función de probabilidad de X evaluada en 3
D) El valor esperado de X
E) La varianza de X
14. La siguiente tabla muestra la función de
probabilidad de una variable aleatoria X.
k 1
P(X = k)
p
2
2p
3
3p
4
4p
¿Cuál es el valor de la función de distribución de X
evaluada en 3?
A) 0,1
B) 0,3
C) 0,4
D) 0,6
E) No se puede determinar
86
16. Considere una variable aleatoria discreta X
cuya desviación estándar es 8 y su recorrido es un
subconjunto del intervalo ]-∞,0]. Considere además
que E[X2] = 100. ¿Cuál es el valor esperado de X?
A) 6
B) 36
C) 64
D) -6
E) No se puede determinar
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TOMO IV DATOS Y AZAR
17. Se lanzan dos dados comunes de manera
simultánea y se define la variable aleatoria X como
el mayor valor obtenido. ¿Cuál es la función de
probabilidad de la variable aleatoria X?
x
6
1
B) f(x)=
6
2x − 1
C) f(x)=
36
x
D) f(x)=
36
E) Ninguna de las anteriores
A) f(x)=
18. En un programa de talentos la probabilidad de
que un postulante sea aceptado es 1/10. Si en una
sesión hay 8 postulantes ¿Cuál es la probabilidad
de que exactamente 3 postulantes sean aceptados?
3
5
3
5
 5  1   9 
A)      
 3  10   10 
 8  1   9 
B)      
 3  10   10 
 8  1 
C)    
 3  10 
3
 8  1 
D)    
 3  10 
8
 1
E)  
 10 
8
19. El número de patos que hay en una laguna al
mediodía se rige por una función de probabilidad
dada por
  x
 1 , si x ∈N
=
f
(
x
)
 2 

0, en otros casos
Si se observa la laguna al medio día durante 10000
días, de acuerdo a la ley de los grandes números,
¿Cuántas veces se encontrarán exactamente 2
patos?
A) Aproximadamente 1/4
B) Aproximadamente 2500 días
C) Exactamente 2500 días
D) Aproximadamente 5000 días
E) Exactamente 1000 días
20. En la tabla adjunta se muestra la función de
probabilidad de una variable aleatoria X.
X
P(X = x)
0
a
1
2a
2
3a
3
4a
Se afirma:
I. La función de distribución de X,
evaluada en 2, corresponde a 0,3
II. La función de probabilidad de X
evaluada en 1 corresponde a 0,2
III. El valor esperado de la variable aleatoria es 1,5
No son verdaderas:
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) II y III
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87
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
21. En un control de calidad, se dejan caer 1000
botellas de vidrio y se define la variable aleatoria
X como el número de botellas que se quiebran. Si
la probabilidad de que una botella se quiebre es
9/10, entonces al aproximar esta variable aleatoria
mediante una distribución normal X∼ (μ,σ2), el valor
de σ es:
23. En un curso de 38 estudiantes, de los cuales
19 son mujeres y 19 son varones, se escoge un
integrante al azar. Se define la variable aleatoria
X ∼ Bernoulli (p), que toma el valor 1 cuando
se escoge una mujer y 0 cuando se escoge un
varón. ¿Cuál es el parámetro p para esta variable
aleatoria?
A) 30
B) 1000
C) 3 10
D) 900
E) 90
A)19
B) 1
C) 0,4
D) 0,5
E) Otro valor
22. Una variable aleatoria X tiene por recorrido
al conjunto {1, 2, 3}. Si F(x) es su función de
distribución y F(2) = 0,9, entonces P(X = 3) =
24. Una variable aleatoria tiene una distribución
binomial de parámetros n y p, ¿Cuál de los
siguientes no puede ser el valor de (n,p)?
A) 0,1
B) 0,9
C) 1
D) 0
E) Otro valor
1
A) (9, )
2
4
B) (3, )
9
1
C) (2, )
5
9
D) (9, )
7
E) Ninguna de las anteriores
88
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TOMO IV DATOS Y AZAR
25. En un estudio social se entrevistará a 10.000
personas y se preguntará si comen queso en el
desayuno. Se estima que el 60% de las personas
come queso al desayunar. Si se modela el número
de personas encuestadas que responde que come
queso durante el desayuno como una variable
aleatoria de distribución binomial y se aproxima
mediante una distribución normal, la probabilidad
de que al menos 4.000 personas respondan que no
comen queso es:
A) 0,5
B) 0,749
C) 0,67
D) 0,977
E) Otro valor
26. Si X es una variable aleatoria de distribución
binomial con parámetros 5 y 0,4 e Y es una variable
aleatoria de distribución binomial independiente de
X con parámetros 3 y 0,4, entonces
2
A) X + Y  Bin(8, )
5
2
B) X + Y  Bin(4, )
5
4
C) X + Y  Bin(8, )
5
4
D) X + Y  Bin(4, )
5
E) Ninguna de las anteriores
27. Se ordenan al azar las letras de la palabra
“PREUGAUSS” y se define la variable aleatoria X
como el número de letras que quedan en el lugar
correcto. Interpretando el concepto de variable
aleatoria como función ¿Cuál es el valor de
X (AUEUPRGSS)?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
28. Al lanzar un dado común y definir la variable
aleatoria X como el resultado obtenido, la función
de distribución es:
A) F(x) =
1
6
x
B) F(x) =
6
C) F(x) = x
D) F(x) = 3,5
E) Otro valor
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89
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
29. Con respecto a una variable aleatoria continua
es siempre cierto que:
A) Puede tener un recorrido finito
B) Todos los elementos del recorrido tienen distinta
probabilidad
C) Su recorrido es el conjunto de los números reales
D) Su dominio es infinito
E) Ninguna de las anteriores
31. Se puede conocer el valor esperado de una
variable aleatoria discreta X si se sabe:
(1) La función de probabilidad toma el mismo valor en todos los elementos del recorrido
(2) El recorrido de la variable aleatoria es
{1,2,3,4,5,9,11}
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
30. Se lanzan 10 monedas y se define la variable
aleatoria X como la razón entre la cantidad de caras
y el sucesor de la cantidad de sellos. ¿Cuál de los
siguientes números no pertenece al recorrido de X?
A)
B)
1
2
4
7
8
32. Un ropero tiene n pares de zapatos. Se extraen
al azar, sin reposición 2r zapatos y se define la
variable aleatoria X como el número de zapatos que
fueron extraídos sin extraer a su pareja. Se puede
determinar el recorrido de X si
(1) r = 3
(2) n = 9
A) (1) por sí sola
3
B) (2) por sí sola
D) 10
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E)
Todas
las
alternativas
anteriores
pertenecen
al
recorrido
de
X
E) Todas las alternativas anteriores pertenecen al
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
recorrido de X
E) Se requiere información adicional
C)
90
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TOMO IV DATOS Y AZAR
33. Se tiene una cierta cantidad de fichas rojas y
blancas repartidas en dos urnas. Se extrae una
ficha de cada urna y se define la variable aleatoria X
como “la cantidad de fichas rojas extraídas”. Si en
cada urna hay fichas de un único color, entonces el
recorrido de la variable aleatoria es:
35. Se tiene una urna con 20 bolitas iguales en cuyo
exterior se escribieron números naturales. Si definimos la variable aleatoria X como “la cantidad de
números pares que se obtienen al sacar 5 bolitas
sin reposición”. Si P(X ≤ 2)=1 podemos asegurar que
en la urna:
A) {1}
B) {0,1}
C) {10}
D) {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}
E) [0,10]
I . Hay 18 números impares y 2 números pares
II. Hay como máximo 2 números pares
III. La probabilidad de obtener solo
números impares al realizar el experimento es 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) I, II y III
34. Se tiene un saco con fichas de diferentes
colores. Se extraen 3 fichas al azar y se define la
variable aleatoria X como “la cantidad de fichas
azules extraídas”. Si P(X >1) = 0 entonces P(X = 1) =
A) 1
B) 0
1
C)
2
1
D)
3
E) No se puede determinar
36. Para el experimento de extraer una bolita de
una urna que contiene 18 bolitas iguales coloreadas
unas de blanco y otras de azul se define la variable
aleatoria X como “la cantidad de bolitas blancas
extraídas”. Si sabemos que P(X = 0 )= 4 , entonces
9
P(X ≤ 1) =
A)
5
9
B) 1
1
C)
2
8
D)
18
E)No se puede determinar
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91
CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS
37. Se lanza una moneda n veces y se define la
variable aleatoria S como "la cantidad de sellos que
aparecen”. Si P(S = 0) = 1 entonces n =
8
A) 3
B) 8
C) 24
D) 2
E) 1
39. De una urna con bolitas rojas, azules y blancas
se extraen dos bolitas y se define la variable
aleatoria X como “la cantidad de bolitas blancas
extraídas”. Se pueden determinar los posibles
valores de X si sabemos que:
(1) La probabilidad de que las dos bolitas
extraídas sean azules es de un 20%.
(2) La probabilidad de no obtener ninguna
bolita azul es de un 50%.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
38. Dado un experimento aleatorio, se define una
variable aleatoria X tal que los valores posibles son
{0, 1, 2, ..., 19, 20}. Al respecto, es siempre verdadero que
I. P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) =...= P(X = 20)
II. P(X ≤ 10) =
1
2
III. P(X ≤ 20) = 1
A) Solo I
B) Solo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
40. Un saco contiene 10 fichas con letras del abecedario. Se procede a sacar una ficha de la bolsa, se
registra la letra y se devuelve a la bolsa, luego se
extrae una segunda ficha y se registra la letra. Se
define la variable aleatoria V como “la cantidad de
vocales extraídas”. Podemos saber el recorrido de
la variable aleatoria V si sabemos que
(1) La probabilidad de obtener al menos una
consonante es 9
25
(2) La probabilidad de obtener dos consonantes es de 2
50
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
92
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MIS ANOTACIONES
Te damos espacio extra para que puedas
desarrollar mejor los ejercicios
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NOMENCLATURA
∀
∃
{a, b, c . . .}
∈
∉
⊂
∪
∩
A c φ
R2 R3 (a, b) (a, b, c)
A × B
N
N0
Z
Q
I R C = ≡
∼ ≅
> < 94
Para todo
Existe
Conjunto formado por los elementos a, b, c . . .
Pertenece
No pertenece
Subconjunto
Unión
Intersección
Complemento de A
Conjunto vacío
Plano cartesiano
Espacio Euclidiano
Par ordenado
Trío ordenado
Producto cartesiano entre A y B
Números naturales
Números cardinales
Números enteros
Números racionales
Números irracionales
Números reales
Números complejos
Igualdad
Equivalencia
Semejantes
Congruentes
Mayor que
Menor que
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TOMO IV DATOS Y AZAR
≥
≤
z
f(x)
f−1(x)
±
ln Σ [a, b]
(a, b) o ]a, b[
(a, b] o ]a, b]
C(n, k) V (n, k)
fi x Me Mo σ
σ2 PQ / / ⊥ AB sin(α)
cos(α)
tan(α)
m n
Mayor o igual que
Menor o igual que
Conjugado de z
Función con variable independiente x
Función inversa de f(x)
Suma o resta
Resta o suma
Logaritmo natural o logaritmo en base e
Sumatoria
Intervalo cerrado desde a hasta b
Intervalo abierto desde a hasta b
Intervalo semi-abierto desde a hasta b
Combinación de n sobre k
Variación de n sobre k
Frecuencia
Media aritmética o promedio
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza
Segmento desde el punto P hasta Q
Paralelos
Perpendicular
Arco desde A hasta B
Seno de α
Coseno de α
Tangente de α
Pendiente de la recta y = mx + n
Coeficiente de posición de la recta y = mx + n
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95
±
HOJA DE RESPUESTAS
Capítulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Página 17
Página 46
Página 67
Página 83
1A
2B
3B
4C
5A
6C
7E
8C
9C
10 C
11 B
12 A
13 D
14 D
15 E
16 C
17 C
18 C
19 B
20 B
96
21 B
22 B
23 B
24 B
25 E
26 B
27 E
28 B
29 B
30 B
31 E
32 A
33 C
34 D
35 D
36 E
37 D
38 B
39 C
40 A
1A
2B
3E
4A
5E
6C
7D
8C
9D
10 A
11 D
12 B
13 C
14 C
15 B
16 A
17 D
18 A
19 A
20 E
21 B
22 E
23 C
24 E
25 D
26 A
27 E
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29 B
30 C
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23 C
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26 A
27 A
28 C
29 C
30 C
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36 C
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38 E
39 D
40 A
1C
2D
3A
4A
5C
6C
7B
8B
9D
10 C
11 E
12 D
13 E
14 D
15 B
16 D
17 C
18 B
19 B
20 D
21 C
22 A
23 D
24 D
25 A
26 A
27 C
28 B
29 D
30 A
31 C
32 C
33 A
34 E
35 B
36 B
37 A
38 B
39 E
40 D
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