factores de friccion 1

Facultad de Cs. Naturales Sede
Regional Tartagal
Mecánica de Fluidos
“Flujo en cañerías”
Factores de Fricción - Pérdidas de
Carga”
Flujo de fluidos en tuberías
Flujo de fluidos
Tipos de Flujo
Pérdidas de carga
Flujo externo
Flujo interno
tuberías
Nro de
Reynolds
laminar
< 2200 >
turbulento
Flujo de fluidos en tuberías
Pérdidas de carga
Flujo en tuberías
Situaciones de cálculo
Por fricción
¿caída de presión?
En accesorios
¿diámetro mínimo?
¿Caudal?
Primera ley de la termodinámica para flujo en
tuberías: pérdida de altura.
V.C
Condiciones:
x
Flujo Laminar
Estacionario
1
Incompresible
Efectos viscosos despreciables
p 1−p 2
=h l
ρg
2
Aplicando el balance de energía:
Q̇ − Ẇ p + ∫
SC
d
⃗ )dA =
( ⃗τ⋅v
dt
+∫
SC
(
∫
VC
1 2
ρ u+ v +gz
2
(
1 2
(u+ v +gz)ρd V
2
)
^
( v⃗r⋅n)d
A
)
+
De acuerdo al la definición de:
̂ A
Ẇ P = ∫ p( v⃗r⋅n)d
SC
Se obtiene la siguiente ecuación
dQ
= −∫
dt
SC
+∫
SC
2
v 1 p1
̂
ρ
+ ρ +u1 +gz 1 ( v⃗r⋅n)d
A+
2
(
2
)
v 2 p2
̂
ρ
+ ρ +u2 +gz 2 (v⃗r⋅n)d
A
2
(
)
Que puede reescribirse como:
dQ
=∫
dt
SC
[(
2
2
]
v2 v1
p2 −p1
̂
−
+ ρ +(u2 −u1 )+g( z 2 − z 1) ( v⃗r⋅n)d
A
2
2
)
Tubo horizontal
Ec. de continuidad
p2−p1
dQ
̂
=∫
+(u2 −u1 ) (v⃗r⋅n)d
A
ρ
dt
SC
[
]
p2 −p1
dQ
=
+ (u2 −u1 )
ρ
dt
[
]
̂
A
∫ (v⃗r⋅n)d
SC
Del Balance de masa
dm
=
dt
Dividiendo por el flujo de masa (dm / dt) y reordenando se
obtiene:
p1 −p 2 Δ p
dQ
ρ = ρ = − dm + (u2 −u 1 )
[
Representa la pérdida de “energía
mecánica” por unidad de masa del fluido.
]
p1 −p2 Δ p
dQ
ρ = ρ = − dm + (u 2−u1 )
[
]
¿Por qué se puede considerar este término como una
pérdida de energía?
Porque representa:
↬ transferencia de energía (calor) desde el fluido hacia los
alrededores.
↬ un incremento de energía interna en el fluido a partir de
la energía cinética del flujo.
dQ
Δp
hl = −
+ (u2−u1 ) = ρ
dm
[
]
Este término se lo denota como hl y se lo denomina
generalmente como una “pérdida de altura”
También se lo denota como:
hl
Δp
Hl = =
g ρg
Pérdida de presión
por unidad de
peso.
Tiene unidades de L que sería una forma de “altura”.
Para el caso, donde el sistema no sea horizontal, hay que
sumar un cambio de nivel (altura o cota), entonces:
Δp
dQ
ρ = g( y 2−y 1 )+ (u2−u1)− dm
[
Δp
ρ = g( y 2 − y 1) + hl
]
Si además de no ser horizontal hay un cambio en la
sección (diámetro) de la tubería la ecuación a aplicar es:
(
v 21 p1
+ ρ +g y 1 =
2
) (
v 22 p 2
+ ρ + g y 2 + (h l )T
2
)
(
2
1
2
2
v
p1
v
p2
+ ρ + g y1 =
+ ρ + g y 2 + (h l )T
2
2
) (
)
Ec. de Bernoulli Modificada
Esta ecuación puede aplicarse a cualquier serie
de tubos rectos interconectados mediante
diferentes clases de accesorios conectores.
⁂ Tuberías de diferentes diámetros:
Se analiza el ejemplo anterior
Para determinar la pérdida de presión:
Δp
ρ
Se aplica la ecuación de Bernoulli
modificada y se obtiene:
Δp
ρ =
(
2
2
2
1
v
v
−
2
2
)
+ g( y 2−y 1) + (hl )T
(hl )1 =pérdida de altura en el tubo horizontal
(hl )T
(hl )M=pérdida de altura en el codo reductor
(hl )2=pérdida de altura en el tubo inclinado
(hl )1 =pérdida de altura en el tubo horizontal
(hl )M=pérdida de altura en el codo reductor
(hl )2=pérdida de altura en el tubo inclinado
☫ Cada
pérdida
individualmente.
de
altura
debe
ser
calculada
☫ El valor depende del régimen de flujo.
☫ En particular (hl)M depende del tipo de codo o ajuste.
También en esta pérdida se
reducciones, llaves de paso, etc.
incluyen
válvulas,
FLUJOS
LAMINARES
⁂ Flujo laminar en cañerías
Flujo laminar en una cañería circular. Totalmente desarrollado
(el perfil de velocidad no cambia a lo largo del eje x)
Para un elemento de volumen dentro del conducto circular el
balance de cantidad de movimiento
∑ F x=
se resuelve como:
D
̂
⃗ n)dA
ρ v x dV + ∫ ρ v x ( v.
∫
D t Vc
Sc
Teniendo en cuenta fuerzas de presión y los esfuerzos
de corte, el primer término queda:
∑ F x =p(2 π r Δ r )∣x −p(2 π r Δ r )∣x+ Δ x +
+ τ rx (2 π r Δ x )∣r −τ rx (2 π r Δ x )∣r+ Δ r
Para el segundo miembro de la ecuación de balance
D
Dt
∫ ρv x d V = 0
estado estacionario
Vc
̂
=
∫ ρv x (v.⃗ n)dA
Sc
=ρv x (2 π r Δ r v x )∣x+ Δ x − ρv x (2 π r Δ r v x )∣x = 0
Por lo tanto
p(2 π r Δ r )∣x −p(2 π r Δ r )∣x+ Δ x + τ rx (2 π r Δ x )∣r −τ rx (2 π r Δ x )∣r +Δ r = 0
Dividiendo todo por (2p Dr Dx), se obtiene:
p∣x+ Δ x −p∣x (r τ rx )∣r+ Δ r −(r τ rx )∣r
−r
+
=0
Δx
Δr
Tomando límite para Dr y D x tendiendo a cero:
dp
d
−r
+
(r τ rx ) = 0 integrando
dx dr
d p r C1
τ rx =
+
dx 2 r
( )
d p r C1
τ rx =
+
dx 2 r
( )
Para calcular C1 se considera como condición de
contorno:
En r = 0 (centro de caño) el esfuerzo se hace infinito,
entonces debe ser C1 = 0, para que el resultado sea
físicamente posible.
dp r
τ rx =
dx 2
( )
d vx
τrx = μ
dr
Considerando fluido newtoniano:
La ecuación anterior queda
d vx
r dp
=μ
2 dx
dr
( )
volviendo a integrar con respecto a r se obtiene:
2
dp r
vx =
+C 2
d x 4μ
( )
Condición de contorno de no deslizamiento:
vx = 0 en r = R
2
dp R
C2 = −
d x 4μ
( )
Quedando la distribución de velocidad como:
2
dp R
r
vx =−
1−
d x 4μ
R
( )
2
[ ( )]
d p R2
r
vx =−
1−
d x 4μ
R
( )
2
[ ( )]
La velocidad máxima se da en el centro del conducto r = 0
dp R
d x 4μ
( )
v max = −
Además
2
v x = v max
entonces
v max
r
1−
R
2
[ ( )]
2
dp R
v prom =
=−
2
d x 8μ
( )
Despejando el gradiente de presión:
8μ v prom 32μ v prom
dp
−
=
=
2
2
dx
R
D
( )
Ec. de Hagen - Poiseulle
⁂ Cálculo de la pérdida de carga
Se calcula inicialmente el caudal q, a partir de:
D/2
q=
∫
0
D/ 2
v x 2 π r dr =
0
=
dp 1
(R2−r 2 )2 π r dr =
dx 4μ
( )
∫−
4
Δ p πD
L 128μ
( )
Dividiendo por la densidad en ambos miembros se obtiene
para la pérdida de carga:
Δ p 128q μ L
= hl
ρ =
4
πD ρ
Diferencia entre hidrostática y flujo permanente.
Para los cálculos es importante distinguir con
claridad estos conceptos
hidrostática
partículas del fluido estáticas con respecto a
algún sistema de referencia inercial.
flujo permanente
las partículas del fluido que pasan por
un punto fijo y mantienen en el tiempo
todas sus propiedades.
Las
variables
cinemáticas
son
constantes en el tiempo para ese
punto.
las partículas pueden acelerarse, pero cada partícula
debe tener la misma aceleración en cualquier
instante para cada lugar del sistema.
Chorro subsónico que sale de un tanque:
Considerando la situación de la figura se tiene:
FLUJO
Flujo permanente si el nivel (a) se mantiene contante.
No hay estado hidrostático, las partículas se aceleran a
medida que se acercan al punto (b)
Chorro subsónico que ingresa a un tanque:
FLUJO
En la entrada del tanque y a
una corta distancia, el
chorro permanece intacto
(flujo paralelo).
Lejos de la región de
entrada el chorro forma
un patrón irregular.
Alrededor del chorro se encuentra una cubierta delgada
de flujo viscoso con pequeños vórtices.
Chorro subsónico que ingresa a un tanque:
Más allá de la cubierta pero cerca de la
pared, se tienen condiciones estáticas.
FLUJO
Alrededor del chorro se
encuentra una cubierta
delgada de flujo viscoso
con pequeños vórtices.
Como el flujo es paralelo en el chorro y afuera de la cubierta existen
condiciones estáticas, puede utilizarse la presión hidrostática del
fluido en los alrededores como la presión del chorro emergente.
La presión en este punto esta dada por la
presión hidrostática para la profundidad h
h
Se puede realizar esta aproximación porque el flujo es paralelo en
el chorro y afuera de la cubierta existen condiciones hidrostáticas.
1
2
Sin embargo, no puede utilizarse la ecuación de Bernoulli entre
el chorro emergente y la superficie, (1) y (2) debido a que se
pasaría a través de la cubierta donde existe fricción
significativa. Esta fricción invalida el uso de la ecuación de
Bernoulli.
Este chorro que emerge hacia un tanque se conoce como
“chorro libre”.
Ejemplo de aplicación
Un tubo capilar con diámetro interno de 6 mm conecta dos tanques:
uno cerrado A y otro abierto B.
El líquido en todo el sistema es agua. (peso específico 9780 N/m3 y
viscosidad 0.0008 kg/ms. La presión manométrica:
pA = 34.5 kPa = pabsoluta – patmosférica
¿En qué dirección fluirá el agua y cuál es el caudal q?
No se tendrán en
cuenta las pérdidas
en las entradas C y D
en cada tanque.
Primero se calculan las
presiones en cada lado
de un tapón imaginario
que puede ubicarse en
D.
(considerando presiones
absolutas)
p derecha = p A + p atm + γ(1m) = (patm +44,3)Pa
p izquierda = patm +γ(1.4m) + γ(4.3 m) sen45º = ( p atm + 43,4)Pa
pderecha > pizquierda
Debe fluir desde D hacia C, el fluido asciende por el capilar.
Dirección
del
movimiento del
líquido en del
capilar
Hipótesis: estado estacionario, flujo laminar en el capilar,
flujo totalmente desarrollado.
Como el líquido fluye desde D a C, entonces se aplica la
ecuación de Bernoulli modificada entre estos dos puntos:
v 2D p D
v 2C pC
128μ Lq
+ ρ + g yD =
+ ρ + g yC +
2
2
π ρ D4
v 2D p D
v 2C p C
128μ L q
+ ρ + g yD =
+ ρ + g yC +
2
2
π ρ D4
Los términos de velocidad se cancelan por la ecuación de
continuidad:
VD Acapilar = VC Acapilar
Para calcular pD en el tanque A, se puede usar la ecuación de
Bernoulli nuevamente. No se puede usar el valor anterior, el
fluido esta ahora en movimiento.
Superficie libre
Considerando el Tanque A,
aplicando
la
ecuación
de
Bernoulli. Nivel de referencia en
D
v 2sup.libre p A
v 2 pD
+ ρ + g(1m) =
+ ρ + g(0 m)
2
2
Línea de corriente
2
pD
v
=
+ 44.4 N m/kg
ρ
2
Se ha supuesto que la energía cinética de la superficie libre
es despreciable
En C: el Iíquido emerge como un chorro libre, la presión pc se
puede tomar como la presión hidrostática en el tanque a la
profundidad correspondiente al chorro libre (1.4 m)
pc =ρ g h=9780
N
x 1.4 m=13.9 k Pa
3
m
Reemplazando pC y pD en la primera ecuación
pD
v2
ρ = 2 + 44.4N m/kg
p c = 13.9 k Pa
pD
pC
128μ Lq
ρ + g y D = ρ + g yC +
4
πρ D
Se obtiene una ecuación para la velocidad v.
v 2 + 6.13 v−1.740=0
Calculando el caudal:
→
v=0.2718
v π D2
litros
q=
= 7.6 x 10−3
4
s
Evaluando el Nro de Reynolds se obtiene Re = 2032,
justificando la hipótesis de flujo laminar
⁂ Condiciones de entrada en una tubería
En el ejemplo anterior el flujo se supuso laminar,
completamente desarrollado (Re < 2,300).
Esta condición se alcanza cuando los efectos viscosos
prevalecen en toda la sección transversal del flujo.
Da como resultado un perfil de velocidad que no varía
en la dirección del flujo por lo tanto las líneas de
corriente son rectas y paralelas.
Pero en la entrada a una tubería, las condiciones anteriores
no se satisfacen.
L'
Perfil
inicial
Perfil totalmente
desarrollado
La longitud L' puede calcularse a partir de las siguientes
relaciones:
Flujo Laminar
Flujo Turbulento
→
→
L '=0.058 ReD D
L'=4.4 Re1D/6 D
⁂ Análisis dimensional (flujo en conductos)
Como una primera aproximación se determinan algunos
parámetros significativos para un fluido que circula en un
conducto:
VARIABLE
cambio de presión
velocidad
diámetro
longitud
rugosidad
viscosidad
densidad
SIMBOLO DIMENSION
Δp
v
D
L
e
μ
ρ
2
M /l t
L/t
L
L
L
M / Lt
3
M/ L
Con estas variables se obtienen los siguientes parámetros
adimensionales (Nros PI):
Δp
π1 = 2 = Eu
ρv
L
π2 =
D
v Dρ
π4 = μ = Re
e
π3 =
D
A partir del teorema PI, se pueden expresar funcionalmente
como:
hl
v
= ϕ1
2
(
L e
, , Re
D D
Δp
h l = ρ = pérdida principal
)
Experimentalmente se comprueba que la pérdida principal es
directamente proporcional a la relación L/D, entonces:
hl
L
e
=
ϕ 2 , Re
2
D
D
v
(
)
Este función luego
se llamará f
La función φ2 la cual varía con la rugosidad relativa (e/D) y
con el número de Re, se la designa: factor de fricción (f )
hl = 2 f f
L 2
v
D
El factor 2 define el factor de fricción de Fanning.
Comúnmente es usado el factor de fricción de Darcy
L v2
hl = f D
D 2
Donde:
f = fD = 4 ff
Ecuación de Darcy - Weisbach
2
L v
hl = f
D 2
FLUJOS
TURBULENTOS
Chorro
turbulento
Simulación Numérica Directa
(DNS)
de un chorro (Mach 1.92)
En
1883
Osborne
REYNOLDS (1842-1912)
realizó un experimento
que sirvió para poner en
evidencia las diferencias
entre flujo laminar y flujo
turbulento.
Este
experimento
consiste en inyectar
colorante en un líquido
que circula por un
largo tubo de sección
circular constante.
⁂ Turbulencia en la transferencia de momento
En un flujo turbulento el vector velocidad instantánea varía
constantemente, difiere en magnitud y dirección del vector
velocidad media.
Matemáticamente se puede expresar como:
t
v x = v̄ x ( x , y , z)+ v ' x ( x , y , z ,t ) → v̄ x =
1
v x ( x , y , z ,t )dt
∫
t 0
Representa la intensidad de turbulencia
⁂ Tensiones de corte turbulentas
Se imponen las siguientes hipótesis para el análisis
 El
movimiento molecular aleatorio representa un
intercambio de momento entre capas adyacentes de
fluido.
 Es razonable esperar que a partir de las fluctuaciones a
gran escala, (presentes en un flujo turbulento), resulte una
transferencia neta de momento.
 Se considera un flujo turbulento y se impone un Volumen
Control (VC)
⁂ Tensiones de corte turbulentas
 Para
este VC considerado se aplica
Macroscópico de Cantidad de Movimiento.
el
Balance
 Se considera como modelo de velocidad para un flujo
turbulento, a:
⃗
⃗ =v
⃗'
v
̄+ v
Aplicando el Balance de Cantidad de Movimiento, se tiene:
∂ v⃗ ρdV +
⃗
F
=
∑ ∂t ∫
v.c
∫ v⃗ ρ(v⃗⋅n̂ )dA
s.c.
La integral de volumen es cero por considerar estado
estacionario
Parte superior del VC
Considerando la parte superior del VC,
teniendo en cuenta la dirección x y el
efecto de la velocidad v'y
V'y atraviesa la parte superior del VC
Tomando promedios se tiene:
∑ F x =∫ v 'x ρ(̄v y +v ' y ) dA=∫ v ' x ρ v̄ y dA+∫ ρ v 'x v ' y dA
Sc
Sc
Sc
En promedio, la primera integral del último miembro vale
cero, el integrando es una variable aleatoria.
∑ F x =∫ ρ v 'y v ' x dA
Sc
ρv ' y v ' x
Este término puede considerarse como un esfuerzo
cortante
Por lo tanto:
ρv ' y v ' x
La
presencia
de
fluctuaciones
turbulentas contribuyen al flujo de
cantidad de movimiento en la dirección
x.
d v̄x
τ yx = μ
− ρv ' y v ' x
dy
Representa la contribución turbulenta y se lo
denomina, tensiones de corte de Reynolds
En 1877, Boussinesq formuló una teoría para las tensiones
de corte turbulentas, considerando una relación análoga a
la ecuación de Newton de la forma:
d v̄x
[ τ yx ]turb= At
dy
At = viscosidad de remolino
Se define la difusividad de remolino de momento:
At
ϵM = ρ
d v̄x
[ τ yx ]turb=ρ ϵM
dy
Es importante notar que la difusividad de remolino es una
propiedad del flujo y no del fluido.
⁂ Ecuación de Navier – Stokes
La ecuación diferencial para el movimiento de un fluido,
considerando también gradiente de temperatura en el flujo
y movimiento turbulento, se expresa como:
⃗
∂u
⃗
⃗⋅∇ u+ 2 ω×u
⃗ ]−2 ∇⋅[ τ R+ μ ϵ ( u
⃗ )]+ ∇ p+ σ u
⃗ + ρβ g
⃗ θ=ρ fo
ρ[
+u
∂t
Tensor de Reynolds
⃗f =g
⃗+ g
⃗ βθ0−afr −ω̇× ⃗x −⃗
⃗)
ω×( ω
⃗×x
θ0
afr
⃗
x
⃗
2 ω× u
τR
⃗)
ϵ (u
→
→
→
→
→
→
temperatura de referencia
aceleración del sistema de referencia
vector posición
aceleracion de Coriolis
tensiones de Reynolds (flujoturbulento)
tensor velocidad de deformación
❀
Con el objeto de describir completamente el
comportamiento fluidodinámico, se necesita un modelo para
el tensor de Reynolds.
❀ Hipótesis de Boussinesq:
⃗ ) → μt =ρ νt
τ R =μt ϵ( u
❀ Se necesita un modelo para las tensiones de corte
turbulentas
⁂ Hipótesis de Mixing Length
Propuesta por Prandtl (1925): determinar una distancia media, perpendicular
a la dirección del flujo, a lo largo de la cual una partícula pierde su cantidad
de movimiento extra y adquiere la velocidad media que existe en la nueva
posición. Esta distancia se denomina “longitud de mezclado”
Gráficamente
Se supone que v'x (fluctuación de la velocidad) es en la
dirección ±y a lo largo de una distancia L.
Luego de recorrer la distancia L su velocidad difiere de la
velocidad del fluido adyacente una cantidad
[ v̄ x ] y±L−[ v̄ x ]y
La teoría de Prandtl define esta diferencia de velocidad
como:
d v̄ x
[ v̄ x ] y±L − [ v̄ x ]y = ±L
dy
d v̄ x
v
̄ 'x = ±L
dy
⇒
Donde L, “longitud de mezclado” depende de las
propiedades del flujo y no de las características del fluido.
Prandtl propuso que v'x y v'y son proporcionales, lo que se
confirma hoy en día a partir de datos experimentales. Por lo
tanto.
v ' x v ' y =−(constante)L
d v̄ x
dy
∣ ∣
2
d v̄ x
dy
El valor de (constante) puede ser introducido en L (longitud de
mezclado), por lo tanto la ecuación queda:
Propuesto por Prandtl
ρv ' x v ' y =−ρ L
dv
̄x
dy
∣ ∣
2
Propuesto por Boussinesq
d v̄ x
[ τ yx ]turb =ρ ϵM
dy
d v̄ x
dy
ϵM =L
d v̄ x
dy
∣ ∣
2
⁂ Distribución de velocidad a partir de la hipótesis
de Mixing Length
➫
Se usa esta teoría para correlacionar perfiles de
velocidad para grandes números de Reynolds. (flujos
turbulentos)
➫
Se considera un flujo turbulento en las cercanías de una
pared sólida
Hipótesis de trabajo
☙Se supone que L varía directamente con y:
L=Ky
☙La velocidad vx aumenta al aumentar y.
d v̄ x
d v̄ x
=
dy
dy
∣ ∣
Aplicando las hipótesis se tiene:
2
τ yx = ρ K y
2
d v̄ x
dy
( )
2
Si las tensiones de corte turbulentas se mantienen
constantes en la región de interés, se puede escribir:
2
ρK y
√ τ0 /ρ
2
d v̄ x
dy
( )
2
= τ0
⇒
d v̄ x √ τ 0 /ρ
=
dy
Ky
Tiene unidades de velocidad
Integrando la ecuación anterior se obtiene:
vx =
√ τ 0 /ρ
K
ln y + C
CC :
v̄ x =̄
v x , max en y=h
v̄ x , max −̄v x
1
y
= − ln
K
h
√ τ 0 /ρ
[ ]
El valor de K fue
calculado por Prandtl
y Nikuradse
experimentalmente,
K = 0.4
⁂ Distribución Universal de velocidad
v̄ x , max −̄v x
1
y
= − ln
K
h
√ τ 0 /ρ
[ ]
v̄x
+
=v
√ τ0 /ρ
Válida para tubos lisos
Velocidad adimensional
Por lo tanto la ecuación v x =
√ τ 0 /ρ
K
ln y + C se convierte en:
1
v = ln y+ C
K
+
adimensional
Debe también ser adimensional
Si se define
+
√ τ0 /ρ
y = ν y
como un pseudo Nro de Reynolds
v̄x
y √ τ 0 /ρ
v =
= ln
ν
τ
/ρ
√ 0
+
{
Esta ecuación indica que en tubos lisos
}
v+ = f (y+)
A partir de datos experimentales de Nikuradse y Reichardt, se
pueden correlacionar tres regiones en el flujo:
corazonturbulento y + ≥ 30
+
zonade transición 30 ≥ y ≥5
+
subcapa laminar 5 > y > 0
v+ = 5,5+ 2,5ln y+
+
+
v = −3,05+ 5ln y
+
+
v =y
v+ =5,5+ 2,5ln y +
+
v =−3,05+ 5ln y
v + =y +
+
⁂ Perfil de velocidad y esfuerzo cortante en la
pared para flujos turbulentos
Nikuradse realizó un extenso estudio experimental sobre
perfiles de velocidad en flujos turbulentos con números de
Reynolds relativamente bajos.
y :la distancia desde la
pared de la tubería.
Para números de Reynolds aproximadamente por debajo de
3 x 106, es posible representar las curvas anteriores
mediante:
V̄
=
V max
y
D/2
( )
1/ n
El exponente n varía con el número de Reynolds desde 6
hasta 10 para números de Reynolds entre 4,000 y 3.24 x 106.
Generalmente se utiliza un valor de 7 para n, con lo cual la
ecuación se conoce como “Ley de la potencia un séptimo”.
Para tubos lisos con números de Reynolds bajos, menores
que 3 x 106, Blasius desarrolló una fórmula muy simple
para el esfuerzo cortante en la pared de una tubería.
(fórmula de fricción de Blasius) - en unidades inglesas está
dada por:
τ p =0,03325ρV
2
ν
RV
( )
1/ 4
⁂
Factores de fricción para flujos totalmente
desarrollados
⬊ Flujo Laminar: considerando un fluido incompresible
La ecuación de Navier Stokes resulta:
μ v̄
dp
−
= 32 2
dx
D
p
μ v̄
− ∫ dp = 32 2
D
p
0
L
∫ dx
0
μ v̄ L
→ Δ p = 32 2
D
La pérdida principal se puede evaluar como:
μ v̄ L
Δp
hl = ρ = 32
2
ρD
Usando la ecuación de Darcy - Weisbach
L v2
hl = f
D 2
μ v̄ L
L 2
hl = 32
= 2f f v
2
D
ρD
f f = 16
Despejando el factor de fricción
μ
16
=
D v̄ ρ
Re
64
f =
Re
Factor de fricción
Fanning
Factor de fricción Darcy
(flujo laminar)
⬊ Flujo Turbulento: tubos lisos
La expresión del factor de fricción no se obtiene de forma
sencilla como en el caso anterior.
Se utiliza la teoría de Mixing-Length
Para el caso del corazón turbulento, en un tubo circular, la
velocidad promedio puede ser calculada utilizando la
siguiente expresión.
y+ ≥ 30
v+ = 5,5+ 2,5ln y+
A
1
v̄ = ∫ v + dA =
2
A 0
πR
√ τ 0 /ρ
R
∫
0
+
√ τ0 /ρ
y = ν y
τ0 /ρ
√
( 2,5ln ν + 5,5) 2 π r dr
Haciendo un cambio de variables: y = R – r
v̄ = 2,5 √ τ 0 /ρ ln
√ τ 0 /ρR
ν
se obtiene:
+ 1,75
Las tensiones de corte turbulentas se relacionan con la
energía cinética del flujo a partir de la siguiente ecuación:
2
̄
τ 0 = (1/2)f f ρ v ⇒
v
̄
1
=
√ τ 0 /ρ √ f f /2
La ecuación anterior queda
1
R
= 2,5 ln ν v
̄ √ f f /2 + 1,75
√ f f /2
{
}
Cambiando a logaritmo en base 10, e introduciendo el Nro de
Re.
1
= 4,06 log { Re √ f f } − 0,60
√ff
Von Kármán (1931)
Nikuradse (1932)
1
= 4,0 log {Re √ f f } − 0,40
√ ff
Prandtl (1935)
1
= 2,0 log {Re √ f } − 0,80
√f
Estas ecuaciones correlacionan el factor de fricción con el
Número de Reynolds
Valores calculados con la ecuación de Prandtl
Existen muchas expresiones alternativas en la literatura
C. F. Colebrook, “Turbulent Flow in Pipes, with
Particular Reference to the Transition
between the Smooth and Rough Pipe Laws,”
J. Inst. Civ. Eng. Lond., vol. 11, 1938–1939,
pp.133–156.
⬊ Flujo Turbulento: tubos rugosos
A partir de un análisis similar al anterior, Von Kármán
desarrolló la siguiente ecuación:
1
D
= 4,06 log
+ 2,16
e
√ff
{}
La cual es muy parecida a la deducida por Nikuradse a
partir de datos experimentales
1
D
= 4,0 log
+ 2,28
e
√ff
{}
⬊ Flujo Turbulento: tubos rugosos
En 1939 Colebrook y White combinaron las ecuaciones de
Von Kármán y Prandtl y propusieron para el factor de
fricción:
εr
1
2,51
= −2 log
+
3,7 Re √ f f
√ ff
{
}
εr = ε
D
⬊RESUMEN
Ecuación Bernoulli Modificada
(
v 21 p1
v 22 p2
+ ρ + g y1 =
+ ρ + g y 2 + (hl )T
2
2
) (
)
(hl )T = (hl )en el conducto + (hl )ajustes + (hl )otros
Δp
L v2
ρ =hl = f D 2
Δ p L2
ρ = 2
T
[ ]
⬊RESUMEN
Laminar Re < 2300
Tubos lisos
Δ p 128 qμ L
= hl
ρ =
4
πD ρ
Flujo
Tubos tubos rugosos
Δp
L v2
ρ =hl = f D 2
64
f=
Re
Turbulento Re > 2300
Δp
L v2
ρ =hl = f D 2
εr
1
2,51
= −2 log
+
3,7 Re √ f
√f
{
}
⁂ El diagrama de Moody
Se dedujo anteriormente que:
L v2
hl = f
D 2
El término f se determina experimentalmente de manera
que satisfaga la ecuación de Bernoulli modificada, al utilizar
promedios temporales
Nikuradse realizó experimentos en tuberías donde se
incorporó rugosidad artificial, pegando arenas de diferentes
granulometrías y variando el grado de separación sobre las
paredes internas de la tubería.
Gráficamente, datos obtenidos son:
−1/ 4
f = 0,316 Re
1
= 2,0 log {Re √ f } − 0,80
√f
Tuberías lisas
A partir de los desarrollos anteriores se puede calcular:
Δ p 128q μ L
= hl
ρ =
4
πD ρ
Igualando:
Con
L v2
hl = f
D 2
Se obtiene:
64
f =
Re
La teoría indica que f es función de Re y forma una hipérbola
rectangular. En escala logarítmica como el de la figura
anterior, la hipérbola se convierte en una línea recta.
La coincidencia
experimentales.
es
excelente
entre
los
resultados
Después del número de Reynolds crítico todas las curvas de
rugosidad coinciden con las curvas de tubo liso
Los datos de Nikuradse se desarrollaron para condiciones de
rugosidad artificiales.
Moody realizó un extenso estudio de flujos en tuberías.
DIAGRAMA DE MOODY:
Se representa en doble escala logarítmica, el factor de
fricción vs el númerode Reynolds, con distintas curvas de
rugosidad relativa.
flujo laminar Re<2000:
Tomando logaritmo:
Flujo turbulento: se divide en tres zonas en función de
Número de Reynolds
Re de 2000 a 4000:
Zona crítica donde se produce el cambio de flujo laminar a
turbulento
Re de 4000 a 10000:
El factor de fricción es función de la rugosidad relativa y del
Nro de Reynolds
Re mayor a 10000:
Zona de turbulencia completamente desarrollada, el factor
de fricción solo depende de la rugosidad
fin