Óptica ondulatoria y ecuación de Maxwell

Óptica Física. Universidad de Murcia. Curso 05/06
Ginés Cervantes Linares
OPTICA ONDULATORIA Y ECUACIONES DE MAXWELL.
1. Movimiento Ondulatorio: es un movimiento que implica:
- que tiene que existir una magnitud que tenga un valor finito en todo punto.
- el valor de la anterior magnitud tienen que poder sufrir variaciones a lo largo del tiempo.
- una perturbación instantánea en un punto produce una perturbación casi igual en otro punto próximo y
en un instante posterior. Esto es básicamente con lo que identificamos una onda, de esta manera la onda
viaja sin deformarse.
Matemáticamente una onda es la solución de las Ecuaciones de Maxwell. Esta ecuación de onda es una
∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
ecuación diferencial:
=
·
. Esta fórmula viene definida para una dimensión (cuerda de una guitarra)
∂x 2 v 2 ∂t 2
y ya veremos las que tengan más dimensiones.
Euler en 1748 demostró que la solución de esta ecuación diferencial es una función en las que las magnitudes
van relacionadas de esta manera: ψ = f (vt ± x )
∂ψ
∂ ψ ∂ (vt − x)
−∂ψ
=
·
=
Esta es la derivada primera de la ecuación con respecto la posición.
∂x
∂ (vt − x)
∂x
∂ (vt − x)
∂ 2ψ
∂ ⎛∂ ψ
Ahora volvemos a derivar: 2 2 = ⎜⎜
∂ x
∂x ⎝ ∂x
⎞
⎛∂ ψ
−∂
⎟⎟ =
·⎜⎜
⎠ ∂ (vt − x) ⎝ ∂x
⎞ ∂ (vt − x)
− ∂ 2ψ
∂ 2ψ
⎟⎟
=
(−1) =
∂ (vt − x) 2
∂ (vt − x) 2
⎠ ∂x
Con respecto al tiempo:
∂ψ
∂ ψ ∂ (vt − x)
∂ψ
=
·
=v
∂t
∂ (vt − x)
∂t
∂ (vt − x)
∂ 2ψ
∂ ⎛∂ ψ
= ⎜⎜
2 2
∂t
∂t ⎝ ∂t
⎞
⎛∂ ψ
∂
⎟⎟ =
·⎜⎜
⎠ ∂ (vt − x) ⎝ ∂t
⎞ ∂(vt − x)
⎡ 1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ 2ψ ⎤
⎟⎟
= v2
⇒
=
=
⎢ v 2 ∂ 2t 2 ∂ (vt − x) 2 ∂ 2 x 2 ⎥
∂t
∂ (vt − x) 2
⎦
⎠
⎣
En el caso de la suma, la derivada segunda son las mismas en ambos casos, tanto con respecto a x como con
respecto a t.
ψ = f (vt ± x )
Explicación de v: en un tiempo posterior la posición ha variado.
- en (t + ∆t ) → x + ∆x
- f (v(t + ∆t ) − ( x + ∆x) )
- como no hay apenas perturbación de la 1ª y 2ª ondas tienen que ser iguales.
V= velocidad de fase
f (v (t + ∆t ) − ( x + ∆x ) ) = f (vt − x )⎫
⎪
∆x
⎪
v∆t − ∆x = 0; v =
⎪ Aquí la velocidad de fase sale negativa, los valores de x con respecto de t
∆t
⎬
f (v (t + ∆t ) − ( x + ∆x ) ) = f (vt + x )⎪ estarían avanzando hacia tiempos negativos, por lo que es más lioso para
comprenderlo.
⎪
∆x
v∆t + ∆x = 0; v = −
⎪
∆t
⎭
1
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1.2. Ecuación de onda tridimensional:
δ 2ϕ δ 2ϕ δ 2ϕ 1 δ 2ϕ
1 δ 2ϕ
2
+
+
=
Esta
fórmula
suele
expresarse
para
abreviar:
∇
=
ψ
v 2 δt 2
δx 2 δy 2 δz 2 v 2 δt 2
∧
⎫
⎧→
⎪
⎪ v = v·s
Las soluciones a esta ecuación son del tipo: ψ = f (vt − r s )⎨→ ∧
⎬
⎪ r ·s = xs x + ys y + zs z ⎪
⎭
⎩
Se define Frente de Onda como el lugar geométrico de los puntos con igual perturbación en un instante. Lo que
→∧
→ ∧
quiere decir matemáticamente es que en el frente de onda r ·s = cte .
Esto nos permite distinguir entre:
- Ondas planas, cuando s es constante
∧
- Ondas esféricas, cuando s es radial, es decir, del tipo s = (cos α , cos β , cos γ ) . Aquí la solución es del
→∧
tipo ψ = f (vt − r s )
2. Movimiento Ondulatorio.
Toda onda se puede descomponer en ondas armónicas (senos y cosenos).
como expresión general: ψ = a·cos( wt − kx + ϕ )
3π
π
Pudiendo utilizar las equivalencias: cos α = − sen(α − ) = sen(α − )
2
2
El valor máximo que puede alcanzar el coseno es 1, entonces el valor de ψ
- Parte Temporal:
- Pulsación: w(rad/seg)
w ⎛ ciclos ⎞
⎟⎟ = seg −1 = Hz
= ⎜⎜
- Frecuencia: υ =
2π ⎝ segundo ⎠
1 2π
- Período: T = =
= ( seg )
υ w
- Parte Espacial:
- Número de Onda: k (rad/m)
2π
- Longitud de Onda: λ =
= metros
k
- Parte Constante:
w metros
- Velocidad de fase: v = =
k
seg
- Relaciones de Constitución:
w
λ
v c/n
c
v = = 2πλw = λv =
λ= =
=
v=
k
T
v0
v0
n
Vamos a tomar una onda que tiene
oscilará entre +a y –a.
λ0
n
2.1. Notación Exponencial:
Hay veces que en vez de representar una onda con el coseno conviene representarla con una exponencial.
→→
→→
→→
Ψ = a·e i ( wt − k r +ϕ ) = a(cos(wt − k r + ϕ )) + isen( wt − k r + ϕ )
A veces se habla de amplitud compleja A, A = a·e iϕ
Cuando trabajamos con estas fórmulas hacemos todos los cálculos y sólo cogemos la parte real como resultado
(aunque no en todos los casos), porque lo imaginario no existe en nuestro mundo real.
2
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2.2. La luz como onda: principio de Huygens.
PPO: Cada punto en un frente de onda en propagación sirve como fuente de trenes de
ondas esféricas secundarias de tal modo que, al cabo de cierto tiempo, el frente de
onda será la envolvente de estos trenes de ondas. Además, si la onda que se propaga
tiene una frecuencia v, y se transmite por el medio a una velocidad
vt, entonces los trenes de ondas secundarios tendrán la misma
frecuencia y velocidad.
3. Ley de la Refracción:
n1 ·senε = n2 ·senε '
En el caso que la luz incida perpendicularmente la luz no se desvía.
4. Ecuaciones de Maxwell:
E= Campo eléctrico
⎫
∇·D = ρ ; Gauss
D= Desplazamiento dieléctrico, efecto de un campo eléctrico sobre un
⎪ →
→
⎫
→ →
⎪ D = ε ·E ⎪ medio dieléctrico.
∇·B = 0; Gauss
⎪→
H= campo magnético.
→
→
⎪ B = µ ·H ⎪⎪ B= inducción magnética.
⎬
→ →
⎬
∂B
J= densidad de corriente. Depende del campo eléctrico. Se relaciona al
∇·E = −
; Faraday ⎪ →
→ ⎪
∂t
⎪
=
·
J
σ
E
movimiento de cargas.
⎪
⎪⎭
→
ρ = densidad de carga.
⎪
→ →
→
∂D
∇·H = J +
; Ampere ⎪ ε : permitividad dieléctrica, µ :permeabilidad magnética, σ :conductividad. Son
∂t
⎭
Ctes.
→ →
⎡ε 0 = 8.85·10 −12 Faradios / metro ⎤
⎢
⎥
−7
⎢ µ 0 = 4π 10 Henrios / metro ⎥
⎢σ = 0
⎥
⎣ 0
⎦
Simplificando las ecuaciones:
→ →
⎫
∇·E = 0
⎪
→
→
⎫
→ →
⎪
=
D
ε
E
·
⎪
∇·B = 0
⎪
→
→
→
→
1 ⎪⎪
→
⎪
=
⇒
=
B
µ
H
H
B⎬
·
De estas ecuaciones obtenemos la conclusión de que si hay → →
⎪
∂B ⎬
µ0 ⎪
un campo magnético que varíe con el tiempo, entonces ∇ x E = −
⎪
∂t
→
→
⎪
existe un campo eléctrico.
⎪
→
⎪⎭
=
J
σ
E
·
→
Por eso se llama campo electromagnético y la luz es una
⎪
1 →
∂E⎪
onda electromagnética.
∇xB =ε
∂t ⎪⎭
µ0
3
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5. Ecuación de onda a partir de la ecuaciones de Maxwell.
El rotacional del rotacional de A es igual al gradiente de la divergencia menos el laplaciano.
→
→
⎛ → → ⎞ →⎛ → → ⎞
∇ x ⎜ ∇ x A ⎟ = ∇ ⎜ ∇· A ⎟ − ∇ 2 A
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧ →
⎪∇ 2 E = µ 0ε
⎪
⎨
⎪ 2→
⎪∇ B = µ 0ε
⎩
n=
→
∂2 E
∂t 2
→
∂2 B
∂t 2
⎧1
1
⎪ 2 = µ 0 ε ⇒ v =⇒ v =
εµ 0
⎪v
⎪
⎨Vacío :
⎪
1
⎪ v =⇒ v =
= 2 .99792458 ·10 8 m / s = 3·10 8 m / s = c
0
⎪⎩
ε 0µ0
εµ 0
εµ
c
que en el caso de un medio no
=
=
ε 0 µ0
v
ε 0 µ0
magnético n ≅
ε
ε0
6. Transversalidad de las Ondas Electromagnéticas.
El campo eléctrico y el magnético son perpendiculares entre sí
y perpendiculares a la dirección
del movimiento.
Regla de la mano izquierda:
- B(z) – Pulgar
- E (y) – Índice
- s (x) - Corazón
→
∂B
Aplicando a la ecuación de Faraday ∇·E = −
la propiedad de transversalidad obtenemos la conclusión de
∂t
que el campo magnético y el eléctrico son perpendiculares entre sí y perpendiculares al sentido de movimiento.
→ →
∧
→
→
sxE =vB
→
→
La relación entre sus módulos es: E = v B
∧
→
1→
sxB =− E
v
7. Intensidad de las ondas electromagnéticas.
→
→
∧
⎫ S es la potencia por unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación. Si tengo
E x H = s ⎪ una superficie inclinada hay que tener en cuenta la oblicuidad, ya que no coincide con el vector
→
1 → ⎬ poynting.
s=Ex
B⎪
µ0 ⎭
→
→ 2
Módulo: s = ε ·v E
→→
= ε ·v·E02 cos 2 ( wt − k r + ϕ )
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E2
1
1
1
Intensidad: I = εvE02 = ncε 0 E02 ; Para ondas esféricas: I = ncε 0 02 E
2
σ
2
2
distancia.
Ginés Cervantes Linares
s la ley del cuadrado de la
8. Camino Óptico y diferencia de fase.
δ =
2π
λ
( n·l ) → (ca min ooptico ); δ =
0
2π
λ
l
Ar
r1
r2
∧ →
l = s·∆r
s
9. Espectro Electromagnético.
5