Series de tiempo

Series de tiempo
Definición
Una serie temporal o cronológica es una sucesión de datos cuantitativos medidos en
determinados momentos y ordenados cronológicamente, generalmente en periodos
equidistantes.
Grafica de una serie de tiempo
Se realiza para visualizar y analizar el patrón de comportamiento de la serie,
colocando los valores de la magnitud de la serie en el eje de las ordenadas y el
tiempo en el eje de las abscisas.
Componentes de una serie de tiempo
Según los métodos de descomposición de una serie temporal se asume que su valor
real de la serie en el tiempo t (Yt) está en función de cuatro componentes:
- Tendencia (𝑇𝑖𝑘 )
- Variaciones estacionales(𝐸𝑖𝑘 )
- Variaciones residuales o erráticas (𝑟𝑖𝑘 )
- Variaciones cíclicas 𝐶𝑖𝑘 )
El modelo de descomposición aditivo tiene la siguiente forma:
𝑌𝑖𝑗 = 𝑇𝑖𝑘 + 𝐸𝑖𝑘 + 𝑟𝑖𝑘 + 𝐶𝑖𝑘
- Tendencia (𝐓𝐢𝐤 )
Explica el comportamiento de la magnitud en el largo plazo. Se calcula en
función de las medias anuales de los valores de la serie, permitiendo observar
si aumentan o disminuyen durante el periodo de tiempo en estudio.
- Variaciones estacionales (𝐄𝐢𝐤 )
Son oscilaciones que ocurren con una periodicidad dentro del año y que se
pueden identificar repetidamente a lo largo de los años de los que disponemos
datos por analizar. Por ejemplo, el volumen de ventas de una superficie
comercial tiene subidas significativas en períodos de rebajas.
Estas variaciones se pueden medir en valores absolutos (componente
estacional Ek) o en valores relativos (índices estacionales Ik) respecto a la media
global (M = media aritmética de las medias corregidas).
- Variaciones residuales o erráticas (rik)
Llamados también residuos, son las variaciones aleatorias respecto al modelo
teórico que pretende analizar la serie con la información del resto de los
componentes. Es necesario que no presentan periodicidad manifiesta y tomen
valores pequeños. Cuando el valor absoluto de cualquiera de sus valores se
aleje de los demás, indicará un dato no se ajusta al modelo que se pretende
obtener, en estos casos se analiza su origen que podría ser una huelga, un
accidente, una perturbación meteorológica que habrá que encontrar con la
información pertinente al alcance del contexto de la serie estudiada y que se
intenta explicar para justificar la variación de estos datos en particular que se
desajustan del modelo.
- Variaciones cíclicas (𝐂𝐢𝐤 )
Las fluctuaciones cíclicas son movimientos oscilatorios alrededor de una tendencia,
caracterizados por diferentes fases sucesivas recurrentes, de expansión y contracción, de
mayor o menor amplitud, que no se encuentran ceñidas a lapsos fijos y que son
susceptibles de medición, se producen como consecuencia de períodos de
prosperidad y de depresión en la actividad económica, o en otras magnitudes
cualquiera.
Métodos de análisis de una serie de tiempo
Para el análisis de una serie de tiempo se desarrollarán los siguientes métodos:
- Método de ajuste analítico
- Método de las medias móviles
Método de ajuste analítico
Cálculo de la tendencia
- Se obtienen los promedios anuales
(i=1,2,3, …,n), donde n es el número de
años
𝑦̅𝑖 =
∑ 𝑦𝑖𝑘
𝑚
m: Numero de periodos (meses, trimestres, cuatrimestre, etc,) evaluados por año
- Se considera una variable ficticia X, que representa a los años en
consideración, a la que se le asignan valores o códigos con la finalidad de
simplificar los cálculos, recomendado si la serie de años es impar colocar el
valor cero al año que se ubica al centro.
- Estimar la tendencia de la serie (la ecuación de regresión lineal)
𝑇𝑖 = 𝑦̅𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖
Cálculo de la componente estacional
Permite analizar el comportamiento de la magnitud por periodos dentro del año
(mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, etc.), tomando como referencia la media
global corregida (M), expresando los datos en unidades originales y en valor
absoluto. Para calcularlo se procede como sigue:
- Calcular la media de los valores de cada periodo anual (meses, trimestres,
cuatrimestre, etc,), representada por:
𝑦̅𝑘 =
∑ 𝑦𝑖𝑗
𝑛
- Luego se calcula las medias corregidas 𝑦̅𝑘′ :
𝑦̅𝑘′ = 𝑦̅𝑘 −
𝑏1
∗ (𝑘 − 1)
𝑚
- Calcular la media de las medias corregidas (M)
∑ 𝑦̅𝑘′
𝑀=
𝑚
- En base a este valor se analizarán los valores de los periodos, con la
siguiente relación funcional:
𝐸𝑘 = 𝑦̅𝑘′ − 𝑀
Ek, permite estimar en cuantas unidades se alejan los valores de la variable
respecto al valor promedio M (si están por encima o por debajo del promedio).
La estacionalidad de la serie puede ser interpretada también por medio de los
índices estacionales (𝐼𝑘 ), calculados con la siguiente fórmula:
𝐼𝑘 =
𝑦̅𝑘′
∗ 100
𝑀
Así, un índice iguala 115%, indicaría que los precios en el periodo k (trimestre
k) del año, supera en 15% a la media anual.
Cálculo de la componente residual o errática (rik)
Permite identificar el comportamiento anómalo de algún dato yik, el valor
del cual no se pueda explicar por las componentes, de tendencia y
estacional, infiriendo que por cualquier causa por identificar (motivos
extraordinarios) este valor no está dentro del patrón de comportamiento
encontrado y con el que se ha interpretado los datos originales para
explicar el fenómeno.
Los valores de esta componente deben ser pequeños en valor, variados
en signo y sin regularidad ni patrón. Permiten ver que los datos reales no
se ajustan completamente al patrón encontrado con la tendencia y la
componente estacional. Se calcula con la siguiente formula:
𝑟𝑖𝑘 = 𝑦𝑖𝑘 − 𝑇𝑖 − 𝐸𝑘
Ejemplo
Para analizar la evolución de los gastos en un departamento de una empresa, se tomaron
los siguientes datos que expresan en miles de dólares los gastos cuatrimestrales de los
cuatro años que figuran en la tabla:
Tabla 2
Gastos en un departamento de una empresa en miles de dólares según cuatrimestre
durante los años 2015 – 2018
2015
2016
2017
2018
Cuatrimestre 1
26
25
21
20
Cuatrimestre 2
18
15
12
10
Cuatrimestre 3
22
20
18
12
a) Calcular por el método del ajuste analítico, las componentes de la serie de tiempo,
asumiendo un modelo aditivo
b) Estime los valores de los gastos que se pueden esperar para el año 2019.
Solución
Representación gráfica del modelo
Siempre hay que empezar con una gráfica de los datos para ver el patrón de
comportamiento de la serie y confirmar que podemos aplicarle un ajuste analítico de
tipo aditivo.
Viendo esta gráfica solo cabe esperar una tendencia decreciente y también una
componente estacional bastante marcada por la periodicidad, evidenciada en la figura
(eje X) que coincide con el intervalo anual que corresponde cada tres datos.
Año
Cuatrimestre
2015
Cuatrimestre_01
26
Cuatrimestre_02
18
Cuatrimestre_03
22
Cuatrimestre_01
25
Cuatrimestre_02
15
Cuatrimestre_03
20
Cuatrimestre_01
21
Cuatrimestre_02
12
Cuatrimestre_03
18
Cuatrimestre_01
20
Cuatrimestre_02
10
Cuatrimestre_03
12
2016
2017
2018
Gastos
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Figura 2. Gastos cuatrimestrales en un departamento de una empresa, en miles
de dólares durante los años 2015 - 2018
Cálculo de la tendencia
2015
2016
2017
2018
Cuatrimestre 1
26
25
21
20
Cuatrimestre 2
18
15
12
10
Cuatrimestre 3
22
20
18
12
22,00
20,00
17,00
14,00
i: 1,2,3,4,
k: 1,2,3,
n=4
m=3
i
Año
Xi
1
2
3
4
2015
2016
2017
2018
-1
0
1
2
Ti=19.6-2.7Xi
22,00
20,00
17,00
14,00
La ecuación de regresión obtenida:
̅) ∗ (y̅𝑖 − y̅)
∑n1(Xi − X
b1 =
̅ )2
∑𝑛𝑖(Xi − X
b1= -2,7
b0 = 𝑌̅ − 𝑏1 ∗ 𝑋̅
b0= 19,6
Ti=b0+b1Xi
22,3
19,6
16,9
14,2
Ti = 19.6 - 2.7Xi
Según la componente de tendencia se observa que los gastos han disminuido
anualmente en el periodo en estudio, por cada año de incremento de la serie
el gasto en el dpto. en referencia de la empresa ha disminuido en 2700 dólares.
Cálculo de la componente estacional
2015
2016
2017
2018
Cuatrimestre 1
26
25
21
20
23
23
𝐸𝑘
3,85
Cuatrimestre 2
18
15
12
10
13,75
14,65
-4,5
76,50
Cuatrimestre 3
22
20
18
12
18
19,8
0,65
103,39
22,00
20,00
17,00
14,00
M=
19,15
- Calcular la media de los valores de cada periodo anual (cuatrimestre) 𝑦̅𝑘 :
𝑦̅𝑘 =
∑ 𝑦𝑖𝑗
𝑛
n=4 (número de años)
- Luego se calcula las medias corregidas 𝑦̅𝑘′ :
𝑦̅𝑘′ = 𝑦̅𝑘 −
𝑏1
∗ (𝑘 − 1)
𝑚
𝑦̅1′ = 𝑦̅1 −
𝑏1
∗ (1 − 1)
𝑚
= 23-(-2.7/3)*(1-1)
= 23
𝑦̅2′ = 𝑦̅2 −
𝑏1
∗ (1 − 1)
𝑚
120,10
= 13.75-(-2.7/3)*(2-1)
= 14.65
- Calcular la media de las medias corregidas (M)
∑ 𝑦̅𝑘′
𝑀=
𝑚
- Cálculo de la media de los valores de cada periodo anual (meses, trimestres,
cuatrimestre, etc,), representada por:
𝑦̅𝑘 =
∑ 𝑦𝑖𝑗
4
- Cálculo de las medias corregidas 𝑦̅𝑘′ :
𝑦̅𝑘′ = 𝑦̅𝑘 −
𝑏1
∗ (𝑘 − 1)
𝑚
- Calcular la media de las medias corregidas (M)
∑ 𝑦̅𝑘′
𝑀=
𝑚
M= 19150 dólares
- En base a este valor se analizarán los valores de los periodos, con la
siguiente relación funcional:
𝐸𝑘 = 𝑦̅𝑘′ − 𝑀
𝐸1 = 𝑦̅1′ − 𝑀
= 23-19,50
= 3,85
𝐸2 = 𝑦̅2′ − 𝑀
= -4,5
𝐸3 = 𝑦̅3′ − 𝑀
= 0,65
E1: En el primer cuatrimestre los gasto en referido departamento de la empresa
superó en 3850 dólares al gasto medio anual.
Índices relativos
𝑦̅𝑘′
𝐼𝑘 =
∗ 100
𝑀
I1= 120,1
I2= 76,50
I3=103,39
-
I1: Los gastos en el departamento en referencia de la empresa en el primer cuatrimestre
fueron 20.1 % superiores al gasto promedio anual.
-
I2: El segundo cuatrimestre las ventas solo representaron el 76.4% del promedio anual o
el 23.6% menores del promedio anual.
-
I3:En el tercer cuatrimestre el gasto fue de solo $650 superior al gasto medio anual.
Cálculo de la componente residual o errática (rik)
𝑟𝑖𝑘 = 𝑦𝑖𝑘 − 𝑇𝑖 − 𝐸𝑘