EJERCICIOS EXTERNALIDADES 1. Los pescadores de camarones en el sur del Perú están muy felices por los recientes resultados en la producción de esta especie. Esto está ocurriendo en esa zona debido al accionar de la empresa Bee Company, productora de miel de abeja. Una reciente investigación de una prestigiosa universidad nacional concluyó que las abejas desprenden un elemento 𝒙 que al caer sobre los ríos mejora el crecimiento y reproducción de los camarones. Este impacto se puede cuantificar de la siguiente manera: (𝒒)=𝜷𝒒𝟐/𝟒. La función de costos de la empresa productora de miel de abeja está dada por (𝒒)=𝜶+𝜷𝒒𝟐 y la demanda del mercado es 𝑷(𝒒)=𝜶+𝜸𝒒. a) ¿Cuánto produce y a qué precio Bee Company? Solución En el mercado se presenta una externalidad, pero no existe regulación. En este contexto, la empresa actúa como si la externalidad no existiera, por lo que maximizará sus beneficios utilizando para ello su costo privado. 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 𝐼𝑀𝑔 = 𝛼 + 2𝛾𝑞 𝐶𝑀𝑔 = 2𝛽𝑞 𝛼 + 2𝛾𝑞 = 2𝛽𝑞 𝑞= 𝛼 2𝛽 − 2𝛾 b) ¿El presidente de la Asociación de Camaroneros declara a la prensa que eso ha sido producto del trabajo de su despacho en el sector? ¿Está en la razón? La externalidad positiva sería la causa del incremento de la producción de camarones. c) ¿Cuál es el óptimo social de la empresa productora de miel de abeja? Grafique. Solución En el óptimo social deben incluirse todos los costos en los que la sociedad incurre para la producción de un bien o servicio. 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 𝐼𝑀𝑔 = 𝛼 + 2𝛾𝑞 El costo varía cuando incorporamos la externalidad. 𝐶(𝑞) = 𝛼 + 𝛽𝑞 2 − 𝑥(𝑞) 𝐶(𝑞) = 𝛼 + 𝛽𝑞 2 − 𝐶𝑀𝑔 = 2𝛽𝑞 − 𝐶𝑀𝑔 = 𝛽𝑞 2 4 2𝛽𝑞 4 3𝛽𝑞 2 Igualando: 𝛼 + 2𝛾𝑞 = 3𝛽𝑞 2 2𝛼 + 4𝛾𝑞 = 3𝛽𝑞 𝑞= 2𝛼 3𝛽 − 4𝛾 d) ¿El ministro de la Producción y Pesquería le pide a usted que calcule el subsidio para que la empresa produzca una mayor cantidad de miel de abeja? Solución 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 𝐼𝑀𝑔 = 𝛼 + 2𝛾𝑞 El costo marginal variará cuando incorporemos el subsidio por unidad de producto. 𝐶(𝑞) = 𝛼 + 𝛽𝑞 2 − 𝑠𝑞 𝐶𝑀𝑔 = 2𝛽𝑞 − 𝑠 Igualando: 𝛼 + 2𝛾𝑞 = 2𝛽𝑞 − 𝑠 𝑞= 𝛼+𝑠 2𝛽 − 2𝛾 El q que se obtiene de incorporar la intervención del Estado en el mercado (s) debe ser equivalente al q del óptimo social. Entonces: 𝛼+𝑠 2𝛼 = 2𝛽 − 2𝛾 3𝛽 − 4𝛾 𝛼+𝑠 = 𝑠= 𝑠= 2𝛼(2𝛽 − 2𝛾) 3𝛽 − 4𝛾 4𝛼𝛽 − 4𝛼𝛾 −𝛼 3𝛽 − 4𝛾 4𝛼𝛽 − 4𝛼𝛾 − 3𝛼𝛽 + 4𝛼𝛾 3𝛽 − 4𝛾 𝑠= 𝛼𝛽 3𝛽 − 4𝛾 2. El principal estadio de la ciudad está localizado al lado de la residencial Los Pinos. Recientemente, la empresa administradora del estadio está alquilando el recinto deportivo para la realización de conciertos de distintos géneros musicales. Cuanto mayor es la cantidad de conciertos (𝒙), mayores son los costos para la inmobiliaria al momento de vender los bloques de departamentos (𝒚) por el ruido que generan los eventos musicales. Los ingresos de la empresa administradora están definidos por 𝑰𝒙=𝟒𝟖𝒙, mientras que sus costos son 𝑪𝒙=𝒙𝟐. Por su parte, la inmobiliaria tiene una función de ingresos: 𝑰𝒚=𝟔𝟎𝒚, mientras que su función de costos está definida por: 𝑪𝒚=𝒚𝟐+𝒙𝒚. a) En un escenario de libre mercado, ¿cuántos conciertos permitirá la otra empresa? Bajo este escenario, ¿cuántos edificios se construirán? Solución Cada empresa maximiza “por separado” sus beneficios económicos. Empresa de conciertos: 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 48 = 2𝑥 𝑥 = 24 Empresa inmobiliaria: 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 60 = 2𝑦 + 𝑥 60 = 2𝑦 + 24 𝑦 = 18 b) El Estado analiza la situación y prohíbe los conciertos en la ciudad. ¿Cuántos edificios se construirán? Solución Si el la intervención del Estado se materializa con una prohibición de realizar conciertos (restricción de cantidad o cuota), la externalidad desaparece. Empresa inmobiliaria: 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 𝐼𝑀𝑔 = 60 Los costos de la empresa inmobiliaria varían, ya que no existe externalidad. 𝐶(𝑦) = 𝑦 2 𝐶𝑀𝑔 = 2𝑦 Igualando: 60 = 2𝑦 𝑦 = 30 c) Una de las empresas absorbe a la otra, ¿Cuántos conciertos y edificios se pondrán a disposición? Solución Si una empresa absorbe a la otra, existirá una función de ingresos conjunta y una función de costos conjunta. 𝐼(𝑥, 𝑦) = 48𝑥 + 60𝑦 𝐶(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 La empresa debe maximizar los beneficios para cada línea de producción. Para los conciertos: 𝐼𝑀𝑔𝑥 = 𝐶𝑀𝑔𝑥 48 = 2𝑥 + 𝑦 Para los edificios: 𝐼𝑀𝑔𝑦 = 𝐶𝑀𝑔𝑦 60 = 2𝑦 + 𝑥 Resolvemos de manera simultánea. De la condición de maximización de los conciertos despejamos y: 𝑦 = 48 − 2𝑥 Reemplazamos en la condición de maximización de los edificios: 60 = 2(48 − 2𝑥) + 𝑥 60 = 96 − 4𝑥 + 𝑥 3𝑥 = 36 𝑥 = 12 Reemplazando en la expresión para y: 𝑦 = 48 − 2𝑥 𝑦 = 48 − 2(12) 𝑦 = 24 d) ¿A cuánto asciende el impuesto para obtener un número eficiente de conciertos? Debería imponerse un impuesto a quien genera la externalidad, es decir, a la empresa de conciertos. 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 𝐼𝑀𝑔 = 48 El costo total varía porque se incluye un impuesto por cantidad. 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑡𝑥 𝐶𝑀𝑔 = 2𝑥 + 𝑡 Igualando: 48 = 2𝑥 + 𝑡 𝑥= 48 − 𝑡 2 En el óptimo la cantidad de conciertos que debe realizarse es 12. 48 − 𝑡 = 12 2 48 − 𝑡 = 24 𝑡 = 24 3. Suponga que dos agentes están decidiendo que tan rápido manejar sus autos, El agente 𝒊 elige manejar su auto a una velocidad tal que 𝒙𝒊∈[𝟎,𝟏], y percibe una utilidad de 𝑼𝒊(𝒙𝒊)=√𝒙𝒊. No obstante, mientras más rápido conduzcan los agentes es más probable que estos provoquen un accidente que los perjudique. Sea (𝒙𝟏,𝒙𝟐)=(𝒙𝟏𝟐+𝒙𝟐𝟐)/𝟐 la probabilidad de un accidente, y que el costo generado a partir del accidente sería 𝒄𝒊>𝟎, tal que es el costo generado por el agente 𝒊. a) Encuentre la velocidad a la que desea conducir cada agente. Solución Para el individuo 1 debe maximizarse la utilidad neta 1⁄ 𝑥12 + 𝑥22 𝑈1 = (𝑥1 2 ) − ( )𝑐1 2 𝜕𝑈1 1 −1⁄2 = 𝑥1 − 𝑥1 𝑐1 = 0 𝑥1 2 1 1⁄ 2 = 𝑥1 𝑐1 2𝑥1 3⁄ 2 𝑥1 = 1 2𝑐1 1 2 𝑥1 = ( ) ⁄3 2𝑐1 Para el individuo 2 es el mismo resultado funcionalmente, dado que las funciones son simétricas 1 2 𝑥2 = ( ) ⁄3 2𝑐2 b) Encuentre la velocidad a la que debe conducir cada agente para tener un resultado eficiente (socialmente óptimo). Solución Debe maximizarse la utilidad neta conjunta. 1⁄ 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 ) = (𝑥1 2 ) − ( 1⁄ 𝑥12 + 𝑥22 𝑥12 + 𝑥22 )𝑐2 ) 𝑐1 + (𝑥2 2 ) − ( 2 2 Para el individuo 1: 1 −1⁄2 𝑥 − 𝑥1 𝑐1 − 𝑥1 𝑐2 = 0 2 1 1 −1⁄2 𝑥 = 𝑥1 (𝑐1 + 𝑐2 ) 2 1 1 2 𝑥1 = ( ) ⁄3 2(𝑐1 + 𝑐2 ) Para el individuo 2 es el mismo resultado funcionalmente, dado que las funciones son simétricas 1 2 𝑥2 = ( ) ⁄3 2(𝑐1 + 𝑐2 ) c) ¿Cada agente tiene incentivos a manejar rápido (𝒙𝒊>𝟎.𝟓)? Demuestre su respuesta. Existe una relación inversamente proporcional entre el costo del accidente y la velocidad por lo que los individuos tendrán el incentivo a correr. Si los individuos aumentan la velocidad, aumenta la utilidad y disminuye el costo. d) ¿Quién genera y quien recibe la externalidad? La externalidad es generada por quien maneja más rápido y la recibe quien maneja más lento. e) Si el agente 𝒊 es penalizado con una multa de 𝒕𝒊 en el caso de un accidente, ¿cuánto debería ser dicha multa para que la externalidad sea internalizada? Solución La función de utilidad neta cambia porque debe incluirse el mecanismo de intervención del Estado (multa). Para el individuo 1: 1⁄ 𝑥12 + 𝑥22 𝑈1 = (𝑥1 2 ) − ( )(𝑐1 + 𝑡1 ) 2 𝜕𝑈1 1 −1⁄2 = 𝑥1 − 𝑥1 (𝑐1 + 𝑡1 ) = 0 𝑥1 2 1 1⁄ 2𝑥1 2 = 𝑥1 (𝑐1 + 𝑡1 ) 3⁄ 2 𝑥1 = 1 2(𝑐1 + 𝑡1 ) 1 2 𝑥1 = ( ) ⁄3 2(𝑐1 + 𝑡1 ) El nivel de velocidad con la multa debe ser equivalente al nivel de velocidad del óptimo social. De esta manera: 1 1 2 2 ( ) ⁄3 = ( ) ⁄3 2(𝑐1 + 𝑡1 ) 2(𝑐1 + 𝑐2 ) 𝑐1 + 𝑐2 = 𝑐1 + 𝑡1 𝑡1 = 𝑐2 Para el individuo 2, dado que las funciones son simétricas, la multa sería: 𝑡2 = 𝑐1 f) Suponga ahora que (𝒙𝟏,𝒙𝟐)=𝒙𝟏𝒙𝟐, 𝒄𝟏=𝟏, y 𝒄𝟐=𝟏𝟎, ¿sigue siendo verdad que ambos agentes tienen incentivos a manejar más rápido que el punto socialmente óptimo? En principio, quien registre un costo de accidente mayor es quien menos incentivos tendrá para aumentar la velocidad. g) ¿Quién genera y quien recibe la externalidad en f? Solución Para el individuo 1 1⁄ 𝑈1 = (𝑥1 2 ) − 𝑥1 𝑥2 𝜕𝑈1 1 −1⁄2 = 𝑥1 − 𝑥2 = 0 𝑥1 2 1 1⁄ 2 = 𝑥2 2𝑥1 Para el individuo 2 1⁄ 𝑈2 = (𝑥2 2 ) − 10𝑥1 𝑥2 𝜕𝑈2 1 −1⁄2 = 𝑥2 − 10𝑥1 = 0 𝑥2 2 1 1⁄ 2 = 𝑥1 20𝑥2 Ambos generan externalidades, pero los efectos más importantes corresponden al incremento de la velocidad de 1 en la utilidad de 2.
