Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística - UFF
Gabarito da Primeira Prova de Cálculo III-A
2012-II
Prof. Jorge Delgado
Turma G1
Questão 1 (2,0 pontos)
Inverta a ordem de integração para calcular:
Zπ Zπ
x
0
0 ≤ x ≤ π
Solução: A região de integração é D :
x ≤ y ≤ π ,
sen y
dy dx.
y
0 ≤ y ≤ π
que também se representa como D :
0 ≤ x ≤ y
. Assim,
como a função do integrando é contínua na região D, temos:
Zπ Zπ
0
sen y
dy dx
y
x
Zπ Zy
=
0
Zπ
sen y
sen y
dx dy =
y
y
0
0
Zπ
Zπ
Zy
sen y
dx dy =
y
0
0
Z y
dx dy
0
π
π
sen y sen y
sen y dy
y − 0 dy =
y dy =
y
y
0
0
0
=
Z
π
0
− cos y
=
Z
= −[cos π − cos 0] = −[−1 − 1] = 2.
y
=
x
y
r 2 = 4 cos(2θ)
Questão 2 (2,0 pontos)
Use integral dupla para calcular a área da região R delimitada
pela curva "Lemniscata"
r 2 = 4 cos(2θ)
R
R
x
Indicação: Basta calcular a área da região R no primeiro quadrante.
Questão 2
Solução: Por simetria, basta calcular a área da parte D de R localizada no primeiro quadrante do plano, isto é,
D = {(x, y) ∈ R|x ≥ 0 e y ≥ 0}, pois Área(R) = 4 Área(D).
Em coordenadas polares a região D se descreve por: Dr θ
0 ≤ θ ≤ π
4
:
p
0 ≤ r ≤ 4 cos(2θ)
. Logo, pela fórmula de mu-
dança de variáveis, temos:
ZZ
Área(D)
ZZ
dA =
=
dx dy =
D
Z
=
π
4
0
=
ZZ
r dr dθ =
D
Dr θ
√
r2
2 0
4 cos(2θ)
Z
Z
Z √4 cos(2θ)
0
π
4
r dr dθ
0
Z
π
4
4 cos(2θ)
dθ =
dθ =
cos(2θ) 2 dθ
2
0
0
π
π
π
sen(2θ)|04 = sen 2
= sen
= 1.
Logo, Área(R) = 4 Área(D) = 4 × 1 = 4 u.a.
π
4
4
2
2
Questão 3 (2,0 pontos)
Usando coordenadas cilíndricas, calcule o momento de inércia em torno do eixo-z do sólido homogêneo G de
densidade 1, delimitado superiormente pela esfera de centro na origem e raio 1 e inferiormente pelo plano xy.
Solução: O momento de inércia do sólido G em relação ao eixo-z é dado por
ZZZ
Iz (G) =
r 2 (x, y, z) δ(x, y, z) dx dy dz,
G
onde r (x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ∈ G ao eixo-z e δ(x, y, z) é a função de densidade que, em nosso
caso, é constante igual a 1. Note que a distância do ponto (x, y, z) ao eixo-z é a mesma que a distância do ponto
q
(x, y, 0) à origem: r (x, y, z) = x 2 + y 2 .
Em coordenadas cilíndricas, o sólido G se descreve por: Gr θz
0≤r ≤1
: 0 ≤ θ ≤ 2π
√
0 ≤ z ≤ 1 − r 2 ,
e, portanto, o momento de
inércia de G em relação ao eixo-z se calcula como:
ZZZ
Iz (G)
Z 1 Z 2π Z √1−r 2
2
r r dr dθ dz =
=
Gr θz
r
r dz dθ dr =
0
0
3
Z 2π Z √1−r 2
0
0
Z1
Z1
p
p
r 2 1 − r 2 (−2r )dr .
r 3 1 − r 2 dr = −π
0
0
2π
=
Z1
3
dz dθ dr
0
0
Fazendo a substituição u = 1 − r 2 , temos du = −2r dr , r 2 = 1 − u, u = 1 quando r = 0 e u = 0 quando r = 1.
Assim,
Z0
Iz (G)
=
Z1
√
(1 − u) u du = π
−π
1
1
2
3
2
(u − u ) du = π
0
"
3
5
#1
u2
u2
−
=π
3/2
5/2 0
2
2
−
3
5
=π
10 − 6
4π
=
.
15
15
Questão 4 (2,0 pontos)
A transformação linear (u, v, w) = (3x, 2y, 5z) leva a esfera unitária S : x 2 + y 2 + z2 = 1 no elipsóide E :
u2
v2
w2
+
+
= 1. Calcule o volume da região W do espaço delimitada pelo elipsóide E.
9
4
25
Solução: Seja (u, v, w) = T (x, y, z) = (3x, 2y, 5z) a transformação linear que leva a esfera unitária no elipsóide.
O sólido W delimitado pelo elipsóide E é obtido aplicando T à esfera sólida Wxyz delimitada pela esfera S, logo,
pela fórmula de mudança de variáveis, temos:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Vol(W ) =
dV =
du dv dw =
W
3
onde J = det
0
0
0
2
0
0
W
|J|dx dy dz,
Wxyz
4π 13
0
,
= 30. Como o volume da esfera Wxyz de centro na origem e raio 1 é igual a
3
5
obtemos:
ZZZ
Vol(W ) = 30
Wxyz
dx dy dz = 30 Vol(Wxyz ) = 30 ·
4π
= 40π u.v.
3
3
z
γ(t)
Questão 5 (2,0 pontos)
S
Calcule a área do pedaço S do cilindro x 2 + y 2 = 2, compreendida entre o plano
z = 0 e o arco
da hélice
t
γ(t) = 2 cos t, 2 sen t, 2 , com 0 ≤ t ≤ 2π .
2
2
y
x
Questão 5
Solução: O círculo C de centro na origem e raio 2 contido no plano xy, base da superfície S, se parametriza por
σ (t) = (2 cos t, 2 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π .
Sendo x = 2 cos t, y = 2 sen t, temos t = arctan
função f (x, y) =
y
. Logo, a altura da superfície varia ao longo do círculo C pela
x
1
y
arctan , (x, y) ∈ C. Usando a parametrização do círculo, temos
2
x
2 sen t
1
t
1
= arctan(tan t) = ,
f (σ (t)) = f (2 cos t, 2 sen t) = arctan
2
2 cos t
2
2
e, como
p
kσ 0 (t)k = k(−2 sen t, 2 cos t)k = 4 sen2 t + 4 cos2 t = 2,
obtemos:
Z 2π
Z
f (x, y) ds =
Área(S) =
C
0
f (σ (t))kσ 0 (t)k dt =
Z 2π
0
2π
Z 2π
t
· 2 dt =
2
0
t dt =
t2
2 0
=
4π 2
= 2π 2 u.a.
2
