División en ingeniería mecánica y automotriz Ingeniería en mecatrónica Ingeniería de control Unidad II Controladores T2. Respuesta transitoria 8 de febrero del 2021 Dr. Fernando Gómez Salas Universidad Politécnica del Valle de México Ejemplo: Considérese el siguiente sistema de segundo orden: 𝑌 𝑠 25 = 2 𝑅 𝑠 𝑠 + 6𝑠 + 25 Obtenga el tiempo de subida 𝑡𝑟 , el tiempo pico 𝑡𝑝 , la sobreenlogación máxima 𝑀𝑃 y el tiempo de asentamiento 𝑡𝑠 para cuando el sistema esta sujeto a una entrada escalón unitario. A partir de los valores de 𝜁 = 0.6 y 𝜔𝑛 = 5, tenemos 𝜔𝑑 = 𝜔𝜂 1 − 𝜁 2 = 4 y 𝜎 = 𝜁𝜔𝑛 = 3. Tiempo de subida: 𝜋 − 𝛽 3.1416 − 𝛽 𝑡𝑟 = = 𝜔𝑑 4 Donde 𝜔 4 −1 𝑑 −1 𝛽 = tan = tan = 0.93𝑟𝑎𝑑 𝜎 3 Universidad Politécnica del Valle de México Continuamos…. • Tiempo de subida: • Tiempo pico: 3.1416 − 0.93 𝑡𝑟 = = 0.55𝑠ⅇg 4 𝑡𝑃 = 𝜋 𝜋 = = 0.785𝑠ⅇ𝑔 𝜔𝑑 4 • Sobreelongación máxima (sobre pico máximo): − 𝜎 𝜋 𝜔𝑑 3 − 𝜋 ⅇ 4 𝑀𝑝 = ⅇ = = 0.095 Por tanto, el porcentaje de sobreelongación máxima es 9.5%. • Tiempo de asentamiento: 4 4 Para el criterio del 2% se tiene: 𝑡𝑠 = = = 1.33𝑠𝑒𝑔 Para el criterio del 5% se tiene: 𝑡𝑠 = 𝜎 3 𝜎 3 3 3 = = 1 𝑠𝑒𝑔 Universidad Politécnica del Valle de México Curva de respuesta a escalón unitario 𝑦 𝑡 Universidad Politécnica del Valle de México Curvas de respuesta a escalón unitario y(t) Y(s) Fig. Sistema de segundo orden Universidad Politécnica del Valle de México Script en Matlab: >> num=[25]; >> den=[1 6 25]; >> y=tf(num,den) y= 25 -------------s^2 + 6 s + 25 Continuous-time transfer function. >> step(y) >> [out,t]=step(y); Universidad Politécnica del Valle de México Ejemplo: Determine la ecuación que describe el comportamiento del sistemas Fig. Diagrama de un motor de DC controlador por armadura Universidad Politécnica del Valle de México Modelo de la parte eléctrica del motor • La ecuación diferencial para la corriente en armadura es: • Desde que el flujo es constante, el torque desarrollado por el motor es donde Km es el par constante en N-m/amp. Por lo tanto, donde Vb es la f.e.m constante. Universidad Politécnica del Valle de México Repaso: Universidad Politécnica del Valle de México Ejemplo: Considere un motor de DC, en serie con un tren de engranes con relación 1:r, conectado a un eslabón del manipulador , figura 1. a) Determine el modelo del sistema. b) Determine la función de transferencia del sistema c) Determine el diagrama a bloques del sistema 𝜃𝑚 = 𝑟𝜃𝑠 Figura 1. Motor de DC en serie con un tren de engranes Nota: La relación de transmisión r tiene valores típicos entre 0.05 a 0.005. Universidad Politécnica del Valle de México Solución: Si y 𝜃𝑚 = 𝑟𝜃𝑠 Entonces, Figura 1. Motor de DC en serie con un tren de engranes Parte mecánica: Parte eléctrica: −𝑟𝜏𝑙 −𝑟𝜏𝑙 Universidad Politécnica del Valle de México Dominio de Laplace −𝑟𝜏𝑙 (𝑠) Si Si V=0 , la función de transferencia del torque de carga a qm es: −𝒓 Universidad Politécnica del Valle de México −𝑟𝜏𝑙 (𝑠) Universidad Politécnica del Valle de México Diagrama a bloques del sistema 𝑟𝜏𝑙 Universidad Politécnica del Valle de México Ejemplo: Considere el siguiente sistema de control: 𝑅 𝑠 + − 𝐾 𝑠 𝑀𝑠 + (𝐵 + 𝐾𝐾𝑛 ) 𝑌 𝑠 Determine los valores de la ganancia 𝐾 y de 𝐾𝑛 para que el sobreimpulso máximo en la respuesta escalón unitario sea de 0.2 y el tiempo pico sea de 1 segundo. Además, con los valores obtenidos, obtenga el tiempo de subida 𝑡𝑟 y el tiempo de asentamiento 𝑡𝑠 . Asuma que M=1kg y que B= 1 N-m/rad/seg . Universidad Politécnica del Valle de México Universidad Politécnica del Valle de México Universidad Politécnica del Valle de México Tiempo de asentamiento: 𝑡𝑠 = Universidad Politécnica del Valle de México Script MATLAB • • • • >> clear >> num=[12.5]; >> den=[1 3.225 12.5]; >> y=tf(num,den) • • • • • • • y= • • >> step(y) >> 12.5 -------------------s^2 + 3.225 s + 12.5 Continuous-time transfer function. Universidad Politécnica del Valle de México Respuesta del ejemplo Universidad Politécnica del Valle de México
