Números Racionales

Números Racionales
Al considerar a los Números Racionales los cuáles identificamos por “fracciones en forma de
quebrados”, distinguimos las siguientes interpretaciones:
a
b
 donde ; b  0







 N um ero R acional 









Sistem a num erico : bx  a ;
x 
a
( inversa m ultiplicativa )
b
a
D ivision :
 k  ab
( repre sen tacion decim al )
b
P articion o fraccion :
R azon :
( m edicion de m agnitud ; " a " de " b "
( com paracio n relativa de partes iguales ;
Cuando nos referimos al Conjunto de todos los posibles pares ordenados
a
partes iguales )
" a " a " b"
, (b  0) , hay muchos
b
pares ordenados que aparentemente son diferentes, pero que realmente son iguales. Por ejemplo:
a)
1
,
2
b)
2
2
1
,
4
,
3
c)
2
4
,
6
,
4
2
3 4
, , ..... etc
6 8
6
,
8
,.... etc
9 12
,
6 8
, , ..... etc
3 4
porcentaje )
Números Múltiplos, Compuestos y Primos.
Múltiplo de un número:
Un número A es múltiplo de un número B si al efectuar la división
a
, ésta es exacta, es
b
decir, su residuo es cero. Por ejemplo:
55
 5,
11
20
 4,
5
8
4
 2,
15
 3
5
Así 12 es múltiplo de : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12
* * Para buscar múltiplos de un número, solo hay que multiplicar por: 1, 2, 3, 4, 5, ... etc. * *
Números Compuestos:
Es todo número natural distinto de la Unidad y que puede ser expresado como el
producto de dos o más enteros positivos diferentes de si mismos, los cuales son sus
factores y en algunos casos, éstos pueden repetirse.
Ejemplos:
4 se factoriza en :
(2) (2) ó (4) (1)
8 se factoriza en :
(4) (2) u (8) (1) ó (2) (2) (2)
etc.
* * Todo número par mayor que 2 es compuesto * *
* * Los números compuestos son aquellos que se pueden factorizar de dos o más modos * *
Número Primo:
“Es todo número natural que sólo tiene como factores a la Unidad y así mismo”
Son Números Primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ........ etc.
Descomposición de un número en sus factores Primos :
Una Propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros, es que pueden expresarse
como Producto de Números Primos.
Para determinar los factores Primos de un número Natural se va dividiendo dicho
número en forma progresiva, empleando únicamente Números Primos, hasta terminar en
el elemento unitario, (uno).. Ejemplos :
a) “Hallar la factorización prima de 72”
72 2
36 2
18 3
9 3
3 3
 72= (2)(2)(2)(3)(3)= (23) (32)
factores primos
1
b) “Hallar la factorización prima de 1960”
1960 2
980 2
490 2  1960= (2)(2)(2)(5)(7)(7)= (23) (5) (72)
245 5
factores primos
49 7
7 7
1
Cálculo del Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de números enteros positivos:
Un número es un múltiplo común de dos o más enteros dados, si es múltiplo de cada uno de ellos. Es
frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al
cuál se le llama Mínimo Común Múltiplo, y se simboliza por m. c. m. o M. C. M.
Pasos para determinar el m. c. m. :
a) Se halla la factorización prima de cada número dado.
b) El m. c. m. se forma con el Producto de los factores primos comunes y No
comunes Afectados con su Mayor Exponente.
Ejemplos:
“Hallar el m. c. m. de 18, 24, 15 “
18 2
24 2
15 3
9 3
12 2
5 5
3 3
6 2
1
3 3
1
1
18 = (2)(32)
24 = (23)(3)
15 = (3)(5)
Vemos que los factores primos son: 2 , 3 y 5 . Y que los de mayor exponentes son :
23 , 32 y
el 5.
Por lo tanto :
el m. c. m. de 18, 24, y 15 es = (23) (32) (5) = (8)(9)(5) = 360
* * “ También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la vez “ * *
Ejemplo:
18
24
15 2
9
12
15 2
9
6
15 2
9
3
15 2
m. c. m. = (2)(2)(2)(3)(3)(5)= (23) (32) (5) = 360
factores primos
3
1
5 3
1
1
5 5
1
1
1
Podemos también una tabla de Multiplicar, par obtener el m. c. m. de números enteros; y así
evitamos las confusiones existentes entre Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor.
(aunque es un poco tedioso, por lo que debemos poner números pequeños). Por ejemplo:
“Hallar el m. c. m. de los números :
6, 18, y 12 “
Tabla de Multiplicar para obtener el m. c. m.
por
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
18
18
36
54
72
90
.......
12
12
24
36
48
60
72
84
......
Como podemos observar en la tabla, existen dos números que se repiten en cada una de las
líneas de los números dados, que son el 72 y el 36. Entonces escogemos al más pequeño
(36); y éste viene a ser el Mínimo Común Múltiplo de 6, 18, y 12.
Divisibilidad y Cálculo del Máximo Común Divisor:
Divisibilidad:
Un número es divisible entre otro, cuando al dividir el primero entre el
segundo, el cociente es exacto. (el residuo es cero).
Ejemplos:
81
3
 21
;
256
16
 16
;
1728
 72
28
La “divisibilidad” es la propiedad que tiene un número para ser dividido entre otro exactamente.
Criterios de divisibilidad: En ciertos casos NO es necesario efectuar la división, hasta conseguir los
criterios de divisibilidad, que a continuación se señalan:
Número Par: “Es todo número que es múltiplo de 2 “.
Número Impar: “Es todo número que NO es múltiplo de 2 “.
* * Podemos resumir estos criterios de la divisibilidad, con la siguiente tabla * *
un número es
cuando:
divisible entre
2
Su última cifra de la derecha es cero o cifra par
3
La suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3
4
Las dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un número
divisible entre 4
5
Su última cifra a la derecha termina en cero o en 5
6
Simultáneamente es divisible entre 2 y entre 3
7
Se duplica su última cifra de la derecha y se resta al número formado por
las cifras restantes, resultando cero o un número múltiplo de 7
8
Las 3 últimas cifras de la derecha son cero, o forman un número divisible
entre 8
9
La suma de los valores absolutos de sus cifras es divisible entre 9
10
Su última cifra de la derecha es cero
11
La suma de sus cifras de lugar impar tomadas de derecha a izquierda,
menos la suma de las cifras del lugar par, tenga como resultado un
múltiplo de 11
Divisor de un número: Se denomina divisor de un número, precisamente a aquel número que divide
a otro, un número determinado de veces.
Ejemplos:
a) son divisores del 42 :
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, y 42
b) son divisores del 54 :
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, y 54.
Divisores comunes: Son divisores comunes de dos o más números, los números que dividen tanto a
uno como a otro número.
Ejemplos:
Los divisores comunes de 72 y 48 son:
a) Divisores de 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 .
b) Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 .
 los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 .
Máximo Común Divisor:
El Máximo Común Divisor de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes
de dichos números, se simboliza por m. c. d. o M. C. D.
Cuando los números son pequeños el M. C. D. , puede calcularse fácilmente; por el
contrario si los números son grandes, debemos de aplicar algunas reglas para su
obtención.
a) Se anotan los números en un renglón.
b) Se dividen todos los números entre los factores primos comunes.
c) El M. C. D. es el producto de los factores primos comunes tomados con su
MENOR EXPONENTE.
Ejemplos:
Hallar el Máximo Común Divisor de 48 y 72 :
48
72 2 
24
36 2 
12
18 2

6
9 2

3
9 3

1
3 3

1
1
los factores primos marcados con ““ , forman al:
m. c. d. = (2)(2)(2)(3)= (23) (3) = (8) (3) = 24
factores primos comunes
Entonces el M. C. D. de 48 y 72 es 24
Hallar el Máximo Común Divisor de 60, 150, 40, y 850 :
60 150 40 850 2

30
75
20 425 2

15
75
10 425 2

m. c. d. = (2)(5= (2) (5) = 10
15
75
5 425 3

factores primos comunes
los factores primos marcados ““ , forman al:
5
25
5
425 5

1
5
1
85 5

1
1
1
17 17 
1
1
1
Entonces el M. C. D. de 60, 150, 40, 850 es 10
1
* Podemos dejar de realizar el proceso, cuando llegamos a la unidad de cualesquiera de los números dados.
*
Podemos determinar tanto el M. C. M. como el M. C. D. de dos o más números de una sola vez, para ello
debemos de marcar (“palomear” ), a los factores primos que afecten (dividan) a todos los números de la
serie dados, y marcar con una “cruz” (), a los factores primos que NO afecten a la TODA la serie de
números dados.
Ejemplos:
Hallar el m. c. m. y el m. c. d. de los números: 200, 225, y 300 .
200
225
300 2

100
225
150 2

todos los factores primos, forman al:
50
225
75 2

m. c. m. = (2)(2)(2)(3)(3)(5)(5)= (23) (32) (52) = 1800
25
225
75 3

25
75
25 3

25
25
25 5

5
5
5 5

1
1
1
factores primos comunes
todos los factores primos marcados con “”, forman al:
m. c. d. = (5) (5) = (52) = 25
factores primos
Por lo tanto el m. c. m. de 200, 225, y 300 es 1800 y
Aplicaciones del M. C. M. :
el m. c. d. es 25 .
El M. C. M. se aplica en la adición y la sustracción (suma y resta), de fracciones
comunes (quebrados) que tengan diferentes denominadores.
Cuando sumamos o restamos fracciones comunes con diferentes denominadores, debemos realizar
la conversión a fracciones equivalentes de igual denominador, por lo que dicho proceso establece
buscar el : “Mínimo Común Múltiplo”, para los denominadores, quien será el denominador
común de todas las fracciones.
Ejemplos:
Sumar:
8
4

3

7
1

9
a) Determinamos el m. c. m. de
3
7
9 3
1
7
3 3
1
7
1 7
1
1
1
3, 7, y 9 :
el m. c. m. = (3) (3) (7) = (32) (7) = (9) (7) = 63
luego, entonces 63 es el denominador común de las fracciones
b) Se convierten las fracciones comunes a fracciones equivalentes con un denominador
común que es 63:
b1 : Se divide al M. C. M.
(denominador común), entre
cada uno de los
denominadores de la fracción :
21
3 63 ;
b2 :
9
7 63 ;
7
9 63 ;
El cociente obtenido se multiplica por el numerador correspondiente de la
fracción, separándose por su signo correspondiente.
21 x 8 = 168
,
9 x 4 = 36
;
7 x1= 7
b3 : Se realiza la suma de los numeradores (productos obtenidos) en la fracción.
168 + 36 + 7 = 211
formándose la fracción equivalente.
Si la fracción encontrada es Impropia (numerador > denominador), es decir, que la fracción es mayor que la
unidad, entonces debemos reducirla a su expresión mínima, par ello debemos aplicar el M. C. D. en nuestro
ejemplo, no tienen ; entonces vamos a transformarla a un número Mixto , por lo que debemos simplemente
dividir el numerador (211) entre el denominador (63), hasta que el residuo sea menor que el divisor; en este
caso el denominador (63).
donde:
El cociente es la parte entera del número mixto.
El residuo
es el numerador de la parte fraccionaria, afectada por el denominador común
(M.C.M.)
finalmente la suma está desarrollada:
8
3

4
7

1
9

( 21 )( 8 )  ( 9 )( 4 )  ( 7 )(1 )
63

168  36  7
63

211
63

3
22
63
Este mismo proceso se desarrolla en la Sustracción (resta) de fracciones con diferentes denominadores
63