ECUACIONES DE SUMATORIAS INFINITAS GENERALES Y PARTICULARES (Recuperado automáticamente)

ECUACIONES DE SUMATORIAS INFINITAS
GENERALES Y PARTICULARES
CUANDO LA DIFERENCIAS DE TERMINOS ESTA EN
PA: (forma de multiplicación)
𝑎1 : 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 ; 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑎0 : 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜. (𝑎0 = 𝑎1 − 𝑟), 𝑥: 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 .
𝑘=∞
∑
𝐾=1
[𝑎1 + 𝑟(𝑘 − 1)]𝑥 𝑘 = 𝑎1 𝑥 + (𝑎1 + 𝑟)𝑥 2 + ( 𝑎1 + 2𝑟)𝑥 3 + ⋯ . ∞
𝑘=∞
𝑎1 − 𝑎0 𝑥
]
)2
(1
−
𝑥
𝐾=1
𝑘=∞
𝑎1 − 𝑎0 𝑥
𝑘−1
∑
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]𝑥
=[
]
)2
(1
−
𝑥
𝐾=1
particular: [𝑎1 = 1 , 𝑟 = 1 ] entonces
∑
Caso
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]𝑥 𝑘 = 𝑥 [
𝑘=∞
∑
𝐾=1
𝑘=∞
∑
𝐾=1
𝑘
2
3
𝑥
4
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 … . =
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]𝑥 𝑘−1 = 1 + 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 … . =
(1 − 𝑥 )2
1
(1 − 𝑥 )2
Otra forma de expresión: (forma de división)
𝑘=∞
∑
1
𝑎1 (𝑎1 + 𝑟) (𝑎1 + 2𝑟)
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]( )𝑘 =
+
+
+ ⋯.∞
2
3
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝐾=1
1
𝑘
∑𝑘=∞
𝐾=1 [𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]( ) =
𝑎1 (𝑞)−𝑎0
Donde . (𝑎 = 𝑎 − 𝑟)
0
1
(𝑞−1)2
𝑘=∞
1
(𝑎1 + 𝑟) (𝑎1 + 2𝑟) (𝑎1 + 3𝑟)
∑
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]( )𝑘−1 = 𝑎1 +
+
+
….∞
1
2
2
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝐾=1
𝑘=∞
1 𝑘−1
𝑎1 (𝑞 ) − 𝑎0
∑
[𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]( )
= 𝑞[
]
𝑞
(𝑞 − 1)2
𝐾=1
𝑞
Casos particulas : a=1
1
1
𝑞
𝑞
𝑘
∑𝑘=∞
𝐾=1 [𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟]( ) =
+
(1+𝑟)
𝑞2
+
(1+2𝑟)
𝑞3
+ ⋯.∞ =
𝑞−𝑎0
(𝑞−1)2
Donde . (𝑎0 = 𝑎1 − 𝑟)
ECUACIONES DE SUMATORIAS INFINITAS
GENERALES Y PARTICULARES
CUANDO Los términos ESTA EN PG:
(forma de multiplicación)
𝑘
𝑘=∞
∑
[
𝐾=1
𝑞 −1 𝑘
] 𝑥 = 𝑎1 𝑥 + (𝑎1 + 𝑞1 )𝑥 2 + ( 𝑎1 + 𝑞1 + 𝑞 2 )𝑥 3 + (𝑎1 + 𝑞1 + 𝑞 2 + 𝑞 3 )𝑥 3 ….
𝑞−1
𝐾=∞
𝑞𝑘 − 1 𝑘
𝑥(𝑎1 − 𝑎0 𝑟)
∑[
]𝑥 =
𝑞−1
(1 − 𝑥)(1 − 𝑥𝑟)
𝑘=1
Caso particular: [𝑎1 = 1 , 𝑞 ∶ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑃𝐺 ] entonces
𝑞𝑘 − 1 𝑘
[
]𝑥 = 1𝑥 + (1 + 𝑞1 )𝑥 2 + ( 1 + 𝑞1 + 𝑞 2 )𝑥 3 + (1 + 𝑞1 + 𝑞 2 + 𝑞 3 )𝑥 3 … . ∞
∑
𝐾=1 𝑞 − 1
𝑘=∞
𝐾=∞
𝑞𝑘 − 1 𝑘
𝑥
∑[
]𝑥 =
𝑞−1
(1 − 𝑥)(1 − 𝑥𝑟)
𝑘
𝑘=∞
∑
𝐾=1
[
𝑘=1
𝑟 − 1 𝑘−1
]𝑥
= 1 + (1 + 𝑟 1 )𝑥 1 + ( 1 + 𝑟1 + 𝑟 2 )𝑥 2 + (1 + 𝑟1 + 𝑟 2 + 𝑟 3 )𝑥 3 … ∞
𝑟−1
𝑟 𝑘 −1
𝐾=∞
∑𝑘=1 [
] 𝑥 𝑘−1
𝑟−1
=
1
(1−𝑥)(1−𝑥𝑟)
Otra forma de expresión: (forma de división)
𝑟 𝑘 − 1 1 𝑘 𝑎1 (𝑎1 + 𝑟) (𝑎1 + 𝑟 + 𝑟 2 ) (𝑎1 + 𝑟 + 𝑟 2 + 𝑟 3 )
𝑎1
𝑟
∑
[
]( ) =
+
+
+
=
+
𝑞
𝑞2
𝑞3
𝑞4
(𝑞 − 1) (𝑞 − 1)(𝑞 − 𝑟)
𝐾=1 𝑟 − 1 𝑞
𝑘=∞
Forma particular si a=1
𝑞𝑘 −1 1 𝑘
𝑘=∞
∑𝐾=1 [
]( )
𝑞−1 𝑞
=
𝑞
(𝑞−1)(𝑞−𝑟)
SUMA DE ‘N’ ELEMENTOS NEUTROS MULTIPLICATIVOS
∑𝒌=𝒏
𝑲=𝒎 𝒂 = (𝒏 − 𝒎 + 𝟏)𝒂
∑𝒌=𝒏
𝒂 + 𝒂 + 𝒂 … . +𝒂 = 𝒂𝒏 , ∀𝒏𝝐ℕ
𝑲=𝟏 𝒂 = ⏟
𝒏 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
SUMA DE ‘N’ PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
𝒌=𝒏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
, ∀𝒏𝝐ℕ
∑ 𝒌 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 … . +𝒏 =
⏟
𝟐
𝑲=𝟏
′𝒏′ 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS ‘N’ PRIMEROS NÚMEROS
NATURALES
12 + 22 + 32 + 42 + ⋯ . 𝑛 2 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
,
𝟐
∀𝒏𝝐ℕ
SUMA DE LOS CUBOS DE LOS ‘N’ PRIMEROS NÚMEROS
NATURALES
𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐
13 + 2 3 + 33 + 43 + ⋯ . 𝑛 3 = [
] ∀𝒏𝝐ℕ
𝟐
SUMA DE CUARTAS POTENCIAS DE LOS ‘N’ PRIMEROS
NÚMEROS NATURALES
14 + 24 + 3 4 + ⋯ . 𝑛 4 =
𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)(𝟑𝒏𝟐 +𝟑𝒏−𝟏)
𝟑𝟎
∀𝒏𝝐ℕ
SUMA DE QUINTAS POTENCIAS DE LOS ‘N’ PRIMEROS
NÚMEROS NATURALES
15 + 25 + 3 5 + ⋯ . 𝑛 5 =
𝒏𝟐 (𝒏+𝟏)𝟐 (𝟐𝒏𝟐 +𝟐𝒏−𝟏)
𝟏𝟐
∀𝒏𝝐ℕ
SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS DE LOS ‘N’ PRIMEROS.
NÚMEROS NATURALES
1𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 + ⋯ . 𝑛(𝑛 + 1) =
𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)
𝟑
∀𝒏𝝐ℕ
SUMA DE PRODUCTOS TERNARIOS DE LOS ‘N’ PRIMEROS.
NÚMEROS NATURALES
𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)(𝒏+𝟑)
1𝑥2𝑥3 + 2𝑥3𝑥4 + 3𝑥4𝑥5 + ⋯ . 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) =
𝟒
∀𝒏𝝐ℕ
SUMA DE LOS ‘N’ PRIMEROS NÚMEROS IMPARES
CONSECUTIVOS.
1 + 3 + 5 + 7+. … … . +(2𝑛 − 1) = 𝑛
⏟
2
𝑛− 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑎𝑛 = 2n-1
2
𝑛 =
𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3, … … . . +𝑎𝑛 = [
-2
𝑎 +1 2
[ 𝑛2 ]
+2
+2
𝑎𝑛 −𝑎0 2
2
]
𝑛2 = [
𝑎𝑛 = 2n+ 𝑎0
𝑎𝑛 −𝑎0 2
]
2
SUMA DE LOS ‘N’ PRIMEROS NÚMEROS PARES
CONSECUTIVOS
2
7+.…………. +(2𝑛)
. +(2𝑛 =
− 𝑛(𝑛
1) =+𝑛1)
⏟
21
++43++65++8+.
⏟
𝑛− 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑛− 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
SUMA DE LOS ‘N’ TERMINOS INVERSOS.
𝒓
𝒓
𝒓
𝒓
𝟏 𝟏
𝟏
+
+
+ ⋯+
= [ −
]
𝑎1 𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎3 𝑎4
𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 𝑟 𝑎1 𝑎𝑛+1
+𝒓
+𝒓
+𝒓
+𝒓
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝒏
+
+
+ ⋯+
=
1𝑥2 2𝑥3 3𝑥4
𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1
𝒓
𝒓
𝒓
𝒓
𝟏 𝟏
𝟏
+
+
+ ⋯+
= [
−
]
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎3 𝑎4 𝑎5
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 𝑟 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1
+𝒓
+𝒓
+𝒓
+𝒓
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟑)
+
+
+ ⋯+
=
1𝑥2𝑥3 3𝑥4𝑥5 5𝑥6𝑥7
(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 + 1) 4(𝑛 − 1)(𝑛 + 1)
+𝟐
+𝟐
+𝟐
SUMA LIMITE
𝟏
𝑞
+
𝑞𝑡
𝟏+𝒓
𝑞
+
1+𝑡
𝑞𝑡
𝟏+𝟐𝒓
𝑞
+
1+2𝑡
𝟏+𝟑𝒓
𝑞
……∞ =
1+3𝑡
𝑞𝑡−1
(𝑞𝑡 −1)
+
𝑟
2
(𝑞𝑡 −1)
SUMA DE LOS ‘N’ TERMINOS INVERSOS. EN PA(General)
+𝑹𝟏
+𝒓𝟏
+𝒓𝟐 +𝒓𝟑
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂 𝟒
+ 2 + 2 + 3 … … ∞ = 𝒂𝟏 + 𝒓𝟏 + 𝑹𝟏 +….
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
(𝑞−1)
(𝑞−1)2
(𝑞−1)3
PRIMERA FORMA PARTICULAR: 𝒂𝟏 = 𝟏
+𝒓
+𝒓
+𝒓
𝟏 𝟏 + 𝒓 𝟏 + 𝟐𝒓 𝟏 + 𝟑𝒓
𝑟+𝑞−1
+ 2 +
+
…
…
∞
=
𝑞
𝑞
𝑞3
𝑞4
(𝑞 − 1)2
𝒙𝒒
𝒙𝒒
SEGUNDA FORMA PARTICULAR: r=0 , 𝒂𝟏 = 𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
+ 2 + 2 + 3……∞ =
𝑞 𝑞
𝑞
𝑞
(𝑞 − 1)
TERCERA FORMA PARTICULAR: r=1 , 𝒂𝟏 = 𝟏
𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝒒
+ 2 + 2 + 3……∞ =
𝑞 𝑞
𝑞
𝑞
(𝑞 − 1)2
SUMA DE LOS ‘N’ TERMINOS INVERSOS EN PG:
+r
+𝑟 2
+𝑟 3 …..
𝒂𝟏
𝒓
𝒂𝟏 𝒂𝟏 + 𝒓 𝒂 𝟏 + 𝒓 + 𝑟 2 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝑟 2 + 𝑟 3
+
+
+
+
…
…
∞
=
(𝑞 − 1) (𝑞 − 1)(𝑞 − 𝑟)
𝑞
𝑞1
𝑞2
𝑞3
Forma particular: 𝒂𝟏 = 𝟏
𝒂𝟏 𝒂𝟏 + 𝒓 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝑟 2 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝑟 2 + 𝑟 3
𝒒
+
+
+
…
…
∞
=
𝑞
𝑞2
𝑞2
𝑞3
(𝑞 − 1)(𝑞 − 𝑟)
SUMA DE LOS ‘N’ PRODUCTOS OPUESTOS
S=k(1)+(k-1)(2)+(k-3)(3)+…..+1(k)=
𝒌(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)
3