Números enteros positivos consecutivos

ENUNCIAT
Quins són els nombres que es poden obtenir com a suma de nombres enters
positius consecutius?
Si l’enunciat fos de nombres enters (positius i negatius) la resposta seria TOTS ja que
qualsevol nombre enter n es pot posar com a suma de nombres enters consecutius de la
manera següent:
n=
n
∑i
i = − ( n −1)
(en aquesta expressió es poden invertit el límits del sumatori si l’inferior surt més gran que el superior)
Fixem-nos ara, per tant, en el cas que treballem amb nombres enters positius.
n ≥1
Suma de dos enters consecutius
n+(n+1)=2n+1 Els senars són suma de dos
enters consecutius (excepte l’1).
Per tant mirem ara els parells (ja que els senars ja estan estudiats):
Suma de tres enters consecutius
n+(n+1)+(n+2)=3n+(1+2) els múltiples de 3
Suma de quatre enters consecutius n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+(1+2+3)
Suma de cinc enters consecutius
múltiples de 5
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+(1+2+3+4) els
Anem a suma ara k (senar) enters consecutius
k −1
que és multiple de k
2
Els parells que són múltiples d’un senar són suma de nombres enters
consecutius
n+(n+1)+(n+2)+...+(n+(k-1)) = kn + (1+2+3+...+(k-1)) = kn + k ·
Quins nombres queden que no siguin senars i que essent parells no siguin
múltiples de cap senar; les potències de 2.
Estudiem aquestes:
Mirem a veure si poden ser suma de k (parell) enters consecutius.
k −1
Mirem si aquesta expressió té solució: 2 t = kn + k ·
(k parell)
2
2t
k −1
j
k = 2 ⋅ s ( s senar )
= s⋅n + s⋅
j
2
2
mai té solució perquè el memebre de l’esquerra és sempre enter (òbviament j ≤ t ) i
el de la dreta no és enter.
TEOREMA
Els nombres enters positius que no es poden escriure com a suma de nombres
enters positius consecutius són les potències de 2, és a dir, els nombres de la
forma 2 t amb t ≥ 0 . La resta de nombres enters positius tots es poden escriure com
a suma de nombres enters consecutius.