La historia temprana de los valores medios y las implicaciones para la educación Instituto Arthur Bakker Freudenthal, Universidad de Utrecht Journal of Statistics Education Volumen 11, Número 1 (2003), jse.amstat.org/v11n1/bakker.html Copyright © 2003 de Arthur Bakker, todos los derechos reservados. Este texto puede ser compartido libremente entre individuos, pero no puede ser republicado en ningún medio sin el consentimiento expreso por escrito del autor y notificación previa al editor. Palabras clave: investigación en diseño; Reinvención guiada; Historia de la estadística; Medidas de tendencia central; Escuela intermedia. Abstracto La historia temprana de los valores promedio se utiliza como fuente de inspiración para el diseño instruccional en las aulas de la escuela secundaria. Este estudio histórico ayuda a definir diferentes capas, aspectos y aplicaciones de los valores medios y nos anima a mirar a través de los ojos de los estudiantes, que no tienen los mismos conceptos que tienen los profesores y los diseñadores instruccionales. Como resultado de este estudio, se consideran posibles implicaciones para la educación, como la estimación como punto de partida para un curso de estadística, permitiendo el rango medio como estrategia inicial, una forma visual de estimar la media mediante representaciones de barras en una sencilla herramienta informática, y la reinvención de rango medio, mediano, moda y media. 1. Introducción Varios autores han sugerido que estudiar la historia de un tema es una buena preparación para enseñar ese tema ( Freudenthal 1983b ; Radford 2000 ; Stanton 2001 ). Los obstáculos con los que se enfrentó la gente en el pasado son interesantes para los profesores porque los estudiantes a menudo encuentran obstáculos similares. Sin embargo, los estudiantes también saben cosas que la gente en el pasado no sabía. En palabras de Freudenthal (1983b, p. 1696) : “El joven aprendiz recapitula el proceso de aprendizaje de la humanidad, aunque de una manera modificada. Él repite la historia no como sucedió en realidad, sino como hubiera sucedido si la gente en el pasado hubiera sabido algo como lo que sabemos ahora. Es una versión revisada y mejorada del proceso histórico de aprendizaje que recapitulan los estudiantes jóvenes. 'Debería recapitular' deberíamos decir. De hecho, no hemos entendido el pasado lo suficientemente bien como para darles la oportunidad de recapitularlo ”. Como parte de mi investigación en educación estadística, tuve que diseñar materiales de instrucción para estudiantes de séptimo grado que no habían aprendido ninguna estadística excepto la media aritmética. Para investigar qué podría ser la "versión revisada y mejorada del proceso de aprendizaje histórico" para estos estudiantes, decidí estudiar la historia temprana de la estadística, en particular de los promedios, así como el aprendizaje de los estudiantes. El estudio consistió en entrevistas exploratorias con 26 estudiantes de séptimo grado de diferentes habilidades y cinco experimentos de enseñanza en el aula en clases de séptimo grado con 12 a 15 lecciones por experimento. Grabé todas las entrevistas y lecciones y grabé en video las lecciones de las dos últimas clases. En cinco ciclos de desarrollo de materiales de instrucción, observación de las aulas y revisión de los materiales, el maestro y yo pudimos desarrollar una unidad de instrucción que ayudó a los estudiantes a aprender los conceptos de valores promedio a través de un proceso de lo que Freudenthal (1991) llamó "reinvención guiada". " Este proceso es consistente con el desarrollo histórico de los conceptos y tiene en cuenta la diferencia contextual entre los estudiantes actuales y el pasado histórico. Como marco para estudiar la relación entre historia y educación, utilicé la fenomenología histórica y didáctica de Freudenthal, como se describe en la Sección 2 . Las secciones siguientes tratan temas históricos y didácticos relacionados con los valores medios. La última sección resume las ideas sobre la relación entre el proceso de aprendizaje histórico y el proceso de aprendizaje individual para los promedios. 2. Marco Freudenthal (1983a) distinguió los fenómenos que queremos comprender o estructurar y los conceptos con los que lo hacemos. Podemos estudiar la relación entre fenómenos y conceptos de diferentes formas. La fenomenología histórica es el estudio de los fenómenos históricos en los que surgieron ciertos conceptos matemáticos para comprender por qué surgieron. Fenomenología didácticaes el estudio de la relación entre los conceptos matemáticos y los fenómenos en los que surgen con respecto al proceso de enseñanza y aprendizaje de estos conceptos y sus aplicaciones. Estudiar historia puede ayudarnos a ver ciertos fenómenos a través de los ojos de personas que no tenían los mismos conceptos y técnicas. Esto puede ayudarnos a adoptar la perspectiva de los estudiantes y comprender mejor su proceso de aprendizaje. Mi enfoque fue el siguiente. Primero recogí tantos ejemplos históricos tempranos con un sabor estadístico como fuera posible. La siguiente selección de ejemplos históricos estuvo guiada por su interés educativo: solo seleccioné ejemplos que podrían verse como etapas preliminares de nociones estadísticas con posible relevancia para la enseñanza de estudiantes más jóvenes. Por ejemplo, si se alcanza una estimación de un número de años mediante algún método que podría interpretarse como una versión intuitiva de un promedio, se incluyó. No se habría incluido la estimación como una simple conjetura. Posteriormente, el profesor y yo realizamos los experimentos de enseñanza y buscamos paralelos y diferencias entre los procesos de aprendizaje históricos e individuales. En la organización de este artículo, hay una alternancia entre los dos procesos para demostrar su relación. 3. La historia temprana de la estimación Los ejemplos históricos más antiguos que se encontraron tenían que ver con la estimación. Cuatro de ellos se presentan aquí para mostrar las etapas preliminares de algunas medidas de centro. Ejemplo 1 En una antigua historia india, Rtuparna estimó el número de hojas y frutos en dos grandes ramas de un árbol en expansión ( Hacking 1975). Calculó el número sobre la base de una sola ramita, que multiplicó por el número estimado de ramitas en las ramas y encontró un número, que después de una noche de conteo resultó ser muy cercano al número real. Bien podría ser que eligiera una ramita típica o promedio, ya que eso daría una estimación adecuada. Esto entonces puede verse como un predecesor intuitivo de la media aritmética, porque un número promedio representa todos los demás números de ramitas y este número promedio está de alguna manera "en el medio" de los demás. Presumiblemente, la elección se hace de modo que lo que se cuenta demasiado por un lado se cuente demasiado poco por el otro. Este uso de un promedio, a nuestros ojos modernos, tiene que ver con la compensación, el equilibrio y la representatividad. Ejemplo 2 Otro ejemplo de estimación proviene del historiador griego Herodoto (circa 485-420 a. C.) sobre los egipcios y fue encontrado por Rubin (1968, p. 31) : “Declaran que trescientas cuarenta y una generaciones separan al primer rey de Egipto del último mencionado (Hefesto) - y que había un rey y un sumo sacerdote correspondientes a cada generación. Considere ahora tres generaciones como cien años, trescientas generaciones dan diez mil años, y las cuarenta y una generaciones restantes son 1.340 años más; así se obtiene un total de 11.340 años ... " El punto estadísticamente importante de esta cita es la suposición de que tres generaciones se contabilizaron como cien años. Esta suposición se hizo para estimar la cantidad total de años entre el primer rey egipcio y Hefesto. Por supuesto, tres generaciones no siempre fueron exactamente cien años; a veces un poco menos, a veces un poco más, pero los errores se nivelan aproximadamente. Es por eso que este método puede verse como una etapa preliminar del desarrollo de la media. Como en el primer ejemplo, vemos el aspecto de compensación y representatividad (número típico de años por generaciones). Rubin también encontró otros ejemplos antiguos de razonamiento estadístico en el trabajo de uno de los primeros historiadores científicos, Tucídides (alrededor de 460-400 a. C.). Las citas de los ejemplos 3 y 4 son de su Historia de la guerra del Peloponeso . Se invita al lector a decidir cómo traduciría estos dos extractos en términos estadísticos modernos ( Rubin 1971, p. 53 ; traducción de R. Warner). Ejemplo 3 “(El problema era para los atenienses) ... forzar su camino sobre el muro circundante del enemigo ... Su método fue el siguiente: construyeron escaleras para llegar a la parte superior del muro del enemigo, y lo hicieron calculando la altura de la pared por la cantidad de capas de ladrillos en un punto que estaba orientado en su dirección y no había sido enlucido. Las capas fueron contadas por muchas personas al mismo tiempo, y aunque es probable que algunas se equivoquen en la cifra, la mayoría lo haría bien, especialmente porque contaban las capas con frecuencia y no estaban tan lejos de la pared como para no podía verlo lo suficientemente bien para su propósito. Por lo tanto, adivinando cuál era el grosor de un solo ladrillo, calcularon la longitud que tendrían que tener sus escaleras ... " Ejemplo 4 “Homero da el número de barcos como 1.200 y dice que la tripulación de cada barco boetiano era de 120 y la tripulación de Filoctetes era de cincuenta hombres por cada barco. Con esto, me imagino, quiere expresar el máximo y el mínimo de las distintas compañías de barcos ... Si, por lo tanto, calculamos el número tomando un promedio de los barcos más grandes y más pequeños ... ” En el Ejemplo 3 , pudimos ver un uso implícito del modo, aquí indicado por "la mayoría". Tenga en cuenta que "la mayoría" probablemente significa "el valor más frecuente" y no necesariamente "más de la mitad". En esta situación, los griegos asumieron que el número más frecuente sería el correcto. Para encontrar la altura total de este número de ladrillos, supuestamente necesitaban otra estimación, a saber, el espesor esperado o promedio de un solo ladrillo. En el ejemplo 4 , vemos nuevamente la estimación con la ayuda de un valor promedio. Tucídides posiblemente interpretó los números dados como valores extremos, de modo que se pueda estimar la cantidad total de hombres en los barcos. Sugirió que tomar el promedio de estos dos extremos proporcionaría una estimación. De hecho, esto se llama rango medio, definido como la media aritmética de los dos extremos. Rubin (1971, p. 53) escribe sobre esto: "Esta técnica de promediar los valores extremos del rango para obtener la media aritmética o el rango medio se puede justificar si ciertas suposiciones son defendibles, es decir, que la distribución subyacente es al menos aproximadamente simétrica o rectangular". Las traducciones alternativas no dan otras interpretaciones sobre estos temas estadísticos ( Rubin 1971 ; Thucydides 1975 ). Thomas Hobbes, en la traducción más antigua del griego al inglés (1629), solo usa la palabra "significar" donde Rex Warner usa "promedio". Encontramos ciertos fenómenos que fueron organizados por predecesores de conceptos estadísticos contemporáneos. En los ejemplos 1 , 2 y 3 , se utilizó una especie de promedio similar a la media aritmética . En el ejemplo 3 , también podríamos reconocer el modo . En el Ejemplo 4 , Tucídides describió un método que podríamos llamar tomando el rango medio . Tenga en cuenta que estas nociones no se definieron ni se utilizaron explícitamente, aunque en aquellos días se conocían muchos valores medios (consulte la Sección 5 ); la literatura sobre la historia de la estadística indica que los precursores de la mediana antes de 1599 son muy poco probables ( Eisenhart 1974). 4. Opinión inicial de los estudiantes sobre el promedio Los ejemplos históricos ilustran que puede resultar bastante difícil hacer explícitos los aspectos implícitos de los valores medios. ¿Tucídides realmente pensó en el rango medio en la segunda cita? En las entrevistas exploratorias, encontré una dificultad similar para traducir los argumentos de los estudiantes en términos estadísticos. De solo 26 estudiantes obtuve una gran variedad de respuestas a la pregunta: "¿Sabes cuál es el promedio?" (En holandés solo hay una palabra para media y media, " gemiddelde, "que tiene tanto el significado informal como estadístico de promedio). Todos estos estudiantes habían aprendido la media aritmética, pero ninguna otra noción estadística. Por lo tanto, tienen una formación diferente a la de la mayoría de los estudiantes estadounidenses de séptimo grado, por ejemplo, que aprenden la media, mediana y moda años antes. Considere la siguiente muestra de respuestas de los estudiantes a la pregunta "¿Cuál es el promedio?" Jennifer Charissa Bart Centina Claire Lisa Kerster Franco: Otros: Cual es el promedio? Posibles interpretaciones estadísticas La mitad. El todo, y entre la mitad, es la media. Parte del algoritmo: dividir por dos. Todo junto. Parte del algoritmo: sumar todos los valores Miras entre lo más alto y lo más bajo. ¿Rango medio? ¿En algún lugar entremedio? La mayoría. ¿Modo, típico? Lo que crees que es aproximadamente. Estimación o representatividad La media está un poco equilibrada. Punto de equilibrio Entre. ¿Rango medio? El punto medio. ¿Rango medio, mediano o centro de gravedad? Suma y divide por el número. Algoritmo Si miramos más de cerca algunas de las respuestas de los estudiantes, queda claro que a menudo no existe una interpretación estadística única. Si Frank dice "el punto medio", ¿se refiere al punto en el medio del valor más bajo y más alto, al valor más medio, al punto con distancias absolutas mínimas a los demás, o al centro de gravedad? No podemos estar seguros. Esto ilustra que para los estudiantes no hay distinciones claras entre los diferentes aspectos de estas nociones. Al principio de la historia, vemos el mismo fenómeno (recuerde los ejemplos de la Sección 3 ). Cuando las personas organizan su mundo y resuelven problemas, se les insta a aclarar y definir sus métodos con mayor precisión. Por ejemplo, con datos distribuidos simétricamente, no hay una necesidad evidente de distinguir el rango medio, mediano, medio o punto de equilibrio. Para los materiales de instrucción, debemos, por tanto, elegir contextos que requieran distinciones claras. Por ejemplo, una distribución sesgada puede mostrar la limitación del rango medio y requerir una medida diferente del centro. La observación de que los ejemplos históricos más antiguos tenían que ver con la estimación da lugar a la pregunta: "¿Es la estimación un buen punto de partida para la educación estadística?" La respuesta de estos experimentos resultó ser sí. Como muestran los ejemplos históricos, la estimación involucra muchos aspectos cualitativos del promedio que se descuidan si los estudiantes solo aprenden el algoritmo de sumar todos los valores y dividir por el número de valores. Estos aspectos cualitativos incluyen representatividad, en algún punto intermedio, equilibrio y compensación (ver también Strauss y Bichler 1988 ; Mokros y Russell 1995). A primera vista, “en algún punto intermedio” puede parecer muy vago, pero la investigación recién mencionada muestra que muchos estudiantes tienden a olvidar incluso esta propiedad de intermediación de la media cuando la calculan a ciegas. Otra observación de la historia es que en las estimaciones se utilizó el promedio para encontrar un número total. Esperaba que los estudiantes reinventaran algunos aspectos del promedio si tuvieran que estimar los números totales. En muchos libros de texto, el orden de enseñanza se invierte: los estudiantes primero aprenden a calcular la media y luego tienen que descubrir en qué situaciones pueden aplicar la media con sensatez. Para la educación, los ejemplos históricos necesitaban ser revisados de dos maneras. Primero, la mayoría de los estudiantes con los que trabajamos ya conocían el algoritmo para calcular la media, aunque a menudo no lo entendían bien. En segundo lugar, los contextos históricos no eran adecuados para la instrucción: ¿cuántos estudiantes estarían interesados en estimar el número de años entre el primer rey egipcio y Hefesto? Para la primera tarea del curso, decidí elegir un contexto que sería más atractivo para los estudiantes, a saber, estimar el número de elefantes en una imagen (ver Figura 1 , de Boswinkel et al., 1997 ). 3. 1. 2. 4. Figura 1. Cuatro estrategias de estudiantes para estimar el número total de elefantes en la imagen. (Reproducido con permiso de Mathematics in Context © 1998 Encyclopaedia Britannica, Inc.). Los estudiantes de todas las clases utilizaron cuatro estrategias principales con algunas variantes: 1. Haga grupos, adivine cuántos hay en cada grupo y sume todos los números. 2. Haga un grupo con un número fijo y estime cuántos grupos encajan en el total (en la Figura 1, parte 2, los estudiantes estimaron grupos de 10). 3. Cuente el número de elefantes a lo largo y ancho y multiplíquelos (los lectores que hayan visto el video "Buenas noches, Sr. Bean" pueden reconocer su método de contar ovejas). 4. Haga una cuadrícula, elija una “caja promedio” y multiplique por el número de cajas en la cuadrícula. De hecho, la estrategia 4 se basa en un sentido intuitivo del promedio. Cuando el profesor y yo les preguntamos a los alumnos qué querían decir con una caja media, la describieron como “una caja con ni muy poco ni demasiado”. Se puede encontrar una descripción similar en la Ética Nichomaquea de Aristóteles ( Aristóteles 1994 ). 5. Valores medios en Grecia Aristóteles (384-322 a. C.) menciona la media aritmética, pero también define una forma filosófica de la media, a saber, la "media relativa a nosotros". Con esta noción explica qué es la virtud. Acerca de la diferencia entre la media aritmética y "la media relativa a nosotros", escribe ( Aristóteles 1994 , Libro II, Capítulo VI, p. 5): "Por una cosa, denoto un punto igualmente distante de cualquier extremo, que es uno y el mismo para todos; por la media relativa a nosotros, esa cantidad que no es ni demasiado ni demasiado poco, y este no es el mismo para todos. Por ejemplo, sean 10 muchos y 2 pocos; entonces se toma la media con respecto a la cosa si se toma 6; ya que 10-6 = 6-2, y esta es la media según la proporción aritmética [progresión]. Pero no podemos llegar por este método a la media relativa a nosotros. Suponga que 10 libras de comida es una ración grande para cualquiera y 2 libras una pequeña: no se sigue que un entrenador prescriba 6 libras, porque quizás incluso esta sea una porción grande, o pequeña, para el atleta particular que lo va a recibir; es una pequeña porción para Milo, pero grande para un hombre que recién comienza a practicar atletismo ". (Cursiva agregada) Más adelante en el mismo capítulo escribe sobre la virtud ( Aristóteles 1994 , Libro II, Capítulo VI, p. 9): "La virtud, por lo tanto, es un estado mezquino en el sentido de que es capaz de golpearlo". Para él, la media en relación con nosotros era un ideal ético. De esta manera, Aristóteles extendió la noción de medio matemático a situaciones de la vida diaria, aunque su objetivo con él era diferente al que buscamos principalmente en la estadística. La descripción "ni demasiado ni demasiado poco" es una que los estudiantes utilizaron en los cinco experimentos de enseñanza. Cuando estos estudiantes explicaron sus estrategias, definieron “una caja promedio” en una cuadrícula como una caja en la que no había “ni muchos ni muy pocos” elefantes. Aunque podría referirse a "en el medio", equilibrio o compensación, esta expresión es vaga. Por tanto, es fundamental seguir haciendo preguntas. Preguntamos, por ejemplo, ¿qué pasaría si elegimos una caja con muy pocos elefantes? En la Sección 8 aparecen más preguntas de seguimiento . La media aritmética no era el único valor medio conocido por los griegos. En la época de Pitágoras, alrededor del 500 a. C., se conocían tres valores medios, a saber, la media armónica, geométrica y aritmética ( Heath 1981 ; Iamblichus 1991 ). Sólo unos 200 años después se habían definido al menos once valores medios diferentes ( Heath 1981 ). Para una fenomenología histórica es relevante estudiar los fenómenos que dieron origen a estos conceptos. Resulta que la teoría de los tres valores medios mencionados se desarrolló con referencia a la teoría musical, la geometría y la aritmética. Los ejemplos de los valores medios en la teoría musical y la geometría muestran que no siempre podemos simplemente traducir la historia en educación. Primero, considere las proporciones musicales 6: 8: 9: 12 en una cuerda. La proporción 6: 8 = 9:12 como intervalo musical se llama cuarta, 6: 9 = 8:12 es una quinta y 6:12 una octava. Todas estas proporciones forman intervalos consonantes. Además, 8 es la media armónica de 6 y 12, y 9 es su media aritmética. La proporción 8: 9 es un segundo, que es disonante. Este ejemplo muestra una relación histórica entre un fenómeno, los intervalos musicales en las cuerdas y los conceptos relacionados, a saber, proporciones y medios. También demuestra que lo que llega temprano en la historia no tiene por qué llegar temprano en la educación. En segundo lugar, un ejemplo de la geometría, a saber, un teorema de Pappus, muestra que los griegos estudiaron los valores medios de su belleza (ver Figura 2 ). Si en el ADC semicírculo con centro O uno tiene DB perpendicular a AC y BF perpendicular a DO, entonces DO es la media aritmética, DB la media geométrica y DF la media armónica de las magnitudes AB y BC ( Boyer 1991 ). Claramente, este teorema no pertenece a un curso de estadística en los niveles de secundaria. Estos ejemplos también demuestran que lo que podría parecer estadístico a partir del término "valor medio" no necesita ser estadístico en absoluto. Figura 2. Teorema de Pappus sobre media aritmética, geométrica y armónica. Algunos otros aspectos de estos valores medios, sin embargo, tienen importantes implicaciones didácticas. Las matemáticas griegas tenían una forma y un objetivo diferentes a las matemáticas modernas, porque eran muy geométricas y visuales: por ejemplo, se usaban líneas para representar números y magnitudes (véanse las Figuras 2 y 3 ). Esta diferencia entre las matemáticas griegas y modernas también se puede ilustrar con la diferencia en las definiciones de la media aritmética. La definición griega, como vimos en la cita de Aristóteles es el siguiente: el número del medio b de una y c se llama la media aritmética si y sólo si un - b = b - c. Tenga en cuenta que esta definición difiere de la moderna, ( a + c ) / 2 , y que se refiere solo a dos valores. La versión griega muestra que la media está entre los dos extremos y es difícil de generalizar, mientras que la versión moderna destaca el cálculo y es fácil de generalizar. Teniendo en cuenta la educación, es importante señalar que la definición griega muestra otros aspectos cualitativos además de la moderna cuantitativa. Por ejemplo, podemos ver inmediatamente en la definición griega que la media está a medio camino entre los otros dos valores. ¿Cómo podemos beneficiarnos de la representación griega y la generalización de la definición moderna? En las siguientes secciones sigue una respuesta. __________ UN segundo _______________ ____________________ C Figura 3. B como la media aritmética de A y C, en la forma en que los números se representan en los Elementos de Euclides alrededor del 300 aC ( Euclides 1956 ). 6. Representaciones de barra Muchos estudiantes olvidan este aspecto de intermediación si calculan la media y en ocasiones obtienen una respuesta fuera del rango, como se ilustra con una de las entrevistas exploratorias. Los estudiantes tenían un gráfico de barras y una tabla de temperaturas medias mensuales frente a ellos. Entrevistador Jennifer Entrevistador Lisa Entrevistador Lisa ¿Cómo calcularía la temperatura media anual en los Países Bajos a partir de este gráfico o tabla? Agrega todo. ¿Y entonces? Dividir por 2. ¿Por qué dividir por 2? Porque ese es el promedio. Llegaron a 55 grados centígrados y no se dieron cuenta de que hacía mucho calor. Cuando volví a preguntarle cuál era la temperatura media, Jennifer volvió a dividir entre 2 aproximadamente; "25", dijo. Si los estudiantes desarrollan un método de estimación visual con más de dos, este tipo de división por dos probablemente ocurrirá con menos frecuencia. Las barras demostraron ser representaciones útiles al desarrollar la comprensión de la media. Cuando se les pidió que estimaran la temperatura media anual en los Países Bajos a partir de un gráfico de barras, algunos estudiantes entrevistados idearon espontáneamente una estrategia de compensación. Ellos dijeron: “Me importa un poco de julio a enero de agosto a febrero y así sucesivamente." El maestro y yo usamos este ‘nivelar’ la idea con éxito en los experimentos de enseñanza subsiguientes Una herramienta simple ordenador, llamado. Minitool 1 , diseñado de Gravemeijer, Cobb y sus colegas ( Cobb 1999 ) crearon el andamiaje de este proceso de reinvención. Una actividad que surge de sus experimentos de enseñanza trata sobre la vida útil de las baterías. Los estudiantes tenían que decidir cuál de las dos marcas de baterías era la mejor opción, utilizando Minitool 1. Los estudiantes utilizaron diferentes argumentos como "La marca K tenía valores más altos", "La marca K tiene valores atípicos", "La marca D es más confiable" y "La marca D tiene una media más alta". En los experimentos holandeses, los estudiantes desarrollaron una estrategia de estimación de medias con la denominada barra de valor (ver Figura 4 ). Los estudiantes usan su imaginación para "mover" las piezas que sobresalen a la derecha de la barra de valor a las barras más cortas a la izquierda de la barra de valor. En respuesta a la pregunta de cómo beneficiarse de la representación griega y la generalización de la definición moderna, podemos concluir que podríamos usar la representación de barras griegas pero con más de dos valores. Figura 4. Estrategia de compensación en el problema de la batería (Marca D a la izquierda, Marca K a la derecha). 7. Participación justa, rango medio y generalización en valores n Las observaciones en el aula antes mencionadas sobre la compensación tienen sus contrapartes en la historia. El promedio tiene que ver con la participación justa en contextos comerciales y de seguros, y tomando la media de solo dos valores extremos, el rango medio, fue un predecesor de la media aritmética de más de dos valores en el contexto de la astronomía. Estos son los temas de esta sección. En el primer milenio antes de Cristo, hubo un intenso comercio marítimo en el Mediterráneo ( Plön y Kreutziger 1965 ). Pequeñas embarcaciones navegaban con mercancías valiosas de puerto en puerto, transportando, por ejemplo, grano, aceite, vino, condimentos, ánforas, telas, obeliscos de Egipto, esclavos e incluso animales para el circo como elefantes y leones. Los capitanes de estos barcos se encontraron con muchos peligros, como tormentas eléctricas repentinas, acantilados, piratería, bancos de arena y carga de mercancías en botes más pequeños para llevarlas a la costa. El peligro de volcar a veces les obligaba a cortar el mástil. Durante una tormenta, el capitán a veces decidió arrojar algo de carga por la borda para salvar el resto de la carga. Este acto de arrojar se conoció como "desecho" de la carga. Aproximadamente desde el 700 a. C., los comerciantes y transportistas acordaron que los daños a la carga y al barco debían repartirse por igual entre ellos. Lo que tenía que pagar un comerciante se llamaba contribución. El conjunto de reglas se convirtió en derecho consuetudinario, ahora conocido como Ley del Mar de Rhodian ( Ashburner 1909 ). Para el siglo VII o VIII d.C., había un texto griego con muchas reglas sobre lo que se debía hacer en diferentes situaciones. Por ejemplo, la regla 9 de 47 en la parte III dice lo siguiente: “9. Si el capitán está deliberando sobre el abandono, que pregunte a los pasajeros que tienen mercancías a bordo; y que voten lo que se va a hacer. Que se pongan en contribución los bienes ... ”( Ashburner 1909 , p. 87) El emperador romano Justiniano I (483 - 565) se hizo famoso por su orden de recopilar todas las leyes disponibles, la codificación del derecho romano en 534, ahora conocida como el Digesto de Justiniano. Una parte se conoció como la "lex Rhodia de iactu", la ley de Rodas sobre la evasión. El principio básico del Recopilación XIV.2.1 es: “La ley de Rodas decreta que si para aligerar la mercancía del barco se tira por la borda, lo que se ha dado para todos debe ser reemplazado por la contribución de todos”. ( Lowndes y Rudolf 1975 , p. 3) El resto del texto explica qué se debe hacer en situaciones específicas y plantea preguntas como, "¿En qué proporción se debe pagar?" En el Recopilación XIV.2.2.4, está escrito que la porción igualada debe tener en cuenta cuál fue el valor de la carga ahorrada y perdida. Para el precio de la carga perdida, se debe calcular el precio de compra, pero para la carga ahorrada, se debe estimar el precio de venta. Esto implica que los cálculos de la participación justa deben haber sido complicados, si las contribuciones no se hubieran estimado simplemente. Los ejemplos de números en los textos latinos son extremadamente simples y poco explícitos. Por ejemplo, en Digest XIV.2.4.2 leemos: “Si por ejemplo, por ejemplo, dos personas tuvieran cada una mercancía valorada en 20.000 sestercios y una perdió 10.000 por daños por agua, el que tenga la mercadería salvada debería contribuir según sus 20.000, pero el otro sobre la base de los 10.000”. ( Spruit 1996 ; traducción AB) Podemos encontrar ejemplos más realistas en libros del siglo XIX que dicen cómo calcular promedios (ver, por ejemplo, van der Hoeven 1854 ; Hopkins 1859 ). Estos promedios fueron calculados por un llamado "ajustador de promedios", que era una especie de contador. Debe haber sido una profesión seria, porque incluso hubo una Asociación de Ajustadores Promedio en el siglo XIX y principios del XX ( Lowndes y Rudolf 1975 ). A partir de los ejemplos de esta sección, vemos que el promedio en este sentido originalmente tenía que ver con la participación justa y el seguro, pero ¿cómo llegó el término "promedio" a significar también la media aritmética? El Oxford English Dictionary ( Simpson y Weiner 1989 ) escribe que uno de los significados de "promedio" en el derecho marítimo es "la distribución equitativa de gastos o pérdidas, cuando de incidencia general, entre todas las partes interesadas, en proporción a sus diversos intereses ”. En su uso transferido pasó a significar la media: “La distribución de las desigualdades agregadas (en cantidad, calidad, intensidad, etc.) de una serie de cosas entre todos los miembros de la serie, a fin de igualarlas y constatar su cantidad común o media, etc. " y "la aritmética así obtenida". El origen etimológico exacto de la media es incierto ( Simpson y Weiner 1989 ). Algunos autores piensan que la media en última instancia proviene del árabe "awariyah" - bienes dañados (verSchwartzman 1994 ), pero Heck (1889) sostiene que esto no es muy probable. Este origen del promedio en combinación con la intuición de los niños sobre la equidad implica que la participación equitativa también podría ser un contexto educativo adecuado (ver, por ejemplo , Boswinkel, et al. 1997 ). Otro posible precursor de la media aritmética es el rango medio , que es la media de los dos valores extremos, utilizado por ejemplo en la astronomía árabe de los siglos IX al XI, pero también en la metalurgia y la navegación ( Eisenhart 1974 ). Hoy en día sabemos que muchas observaciones y errores en esos contextos siguen la distribución normal. Por lo tanto, el rango medio probablemente fue un valor sensato para tomar en esas situaciones. Hasta el siglo XVI no se reconoció que la media aritmética podía extenderse a n casos: ( a + a + ... + a ) / n . 1 2 n Székely (1997)supone que la invención del sistema decimal por Stevin en 1585 facilitó tales cálculos de división. Los astrónomos querían saber un valor real, como la posición de un planeta o el diámetro de la luna, pero siempre hay errores de medición. Usando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores se suman a un número relativamente pequeño en comparación con el total de todos los valores medidos. El método de tomar la media para reducir los errores de observación se desarrolló principalmente en astronomía ( Plackett 1970 ). Desde finales del siglo XVI en adelante, gradualmente se convirtió en un método común utilizar la media aritmética para reducir errores también en otras áreas ( Plackett 1970 ; Eisenhart 1974). Esto implica que la medición repetida también podría ser una actividad de instrucción útil para desarrollar la comprensión de la media y la distribución. En la Sección 5 , apareció la pregunta de cómo beneficiarse de la representación griega y la definición general moderna. Hasta ahora hemos visto ingredientes para una respuesta. La entrevista en la que los estudiantes dividen por 2 en lugar de 12 y observaciones similares indican que puede ser mejor comenzar con más de dos valores. Esto es posible porque los estudiantes hoy en día ya conocen el sistema decimal y las técnicas de cálculo para encontrar la media de más de dos barras de valor. Debemos aprender de la historia, como con las representaciones de barras, pero no seguir la historia literalmente, porque los estudiantes ahora saben cosas que la gente del pasado no sabía. 8. Definición de media, mediana, moda y rango medio En la Sección 5 Quedó claro que aclarar un "cuadro medio" en la tarea de los elefantes como uno con "ni muy pocos ni demasiados elefantes" es un punto de partida que requiere una elaboración. En esta sección, veremos cómo los estudiantes se volvieron más explícitos y precisos y qué tiene esto que ver con el desarrollo histórico. Cuando se les pidió que explicaran con más detalle lo que querían decir, algunos estudiantes sugirieron contar el cuadro más vacío y el más completo y calcular la media de estos dos, o el rango medio. Esto es un poco más preciso que "en algún lugar en el medio", que dijeron algunos estudiantes. Pero con contraejemplos, otros estudiantes señalaron que este método no es confiable. Una niña dijo: "Pero si tienes uno que es 100 y el resto [ de los números] son 1, entonces no tomaría 50, lo harías? Un niño enfatizó que hay que mirar cómo el resto de los números se encuentran entre el número más bajo y el más alto. En otras palabras, empezaron a analizar cómo se distribuían los datos. Este último paso se puede ver como un paso lejos del rango medio y un paso hacia la idea de que la media representa todos los datos del conjunto de datos. Nuestro siguiente paso en la secuencia de instrucción fue crear situaciones en las que las variantes intuitivas del centro crearían conflictos cognitivos y pedirían definiciones más claras. El maestro preguntó: "Supongamos que no hubiéramos estimado elefantes sino algo más, ¿cuál habría sido una" caja promedio "aquí en la Figura 5 ?" Esto puede sonar extraño dado que los números ya están ahí, pero esta pregunta estaba destinada a permitir a los estudiantes explicar lo que querían decir con un cuadro promedio. Los estudiantes no tuvieron problemas con esta pregunta hipotética; la actividad similar a un juego llamó su atención y evocó un razonamiento estadístico. 35 58 91 93 83 89 98 97 68 76 82 11 Figura 5. ¿Qué hubiera sido una “caja promedio”? Esta matriz con una distribución asimétrica de números ayudó a más estudiantes a ver que tomar el rango medio puede ser un método pobre para estimar el número total. Algunos estudiantes propusieron mirar un número con seis números debajo y seis arriba; reinventaron la mediana. Algunos estudiantes dijeron que miraron "donde estaba la mayoría". Esto podría verse como una clase modal ( Konold, et al. 2002 ). Otros usaron una media estimada, porque sintieron la necesidad de tener en cuenta las desviaciones; las desviaciones en De esta manera, un campo que alguna vez fue "fluido" de conceptos similares comenzó a tener bordes más nítidos. El maestro escribió los diferentes métodos en la pizarra y enseñó los nombres estadísticos modernos después de que se discutieron los diferentes métodos de los estudiantes. Freudenthal (1991)llamaría a esto "reinvención guiada". Es decir, los estudiantes reinventan conceptos existentes bajo la guía del maestro y con la ayuda de ciertas actividades instructivas. En este sentido, es interesante discutir el origen de la palabra "definición". El latín "finis" significa "fin, frontera, límite". Schwartzman (1994, p. 68) : “Cuando defines algo, 'pones límites' en torno a lo que puede significar. Una buena definición pone fin a la confusión sobre lo que significa un término ". Esto implica que los estudiantes primero deben explorar el área temática antes de poder apreciar y comprender definiciones claras. La mayoría de los libros de texto toman la dirección opuesta. Definen media, mediana y moda, y luego permiten que los estudiantes practiquen los procedimientos y aplicaciones. Además, en la mayoría de los libros de texto escolares, se evita el rango medio porque no es una medida sólida de tendencia central. En nuestro caso, sin embargo, la discusión sobre el rango medio constituyó un paso intermedio hacia la comprensión significativa de otras nociones estadísticas como media, mediana y distribución. Sin el estudio histórico, probablemente no habría pensado en el rango medio como un precursor de la media o en permitir el rango medio como estrategia inicial. El enfoque de la reinvención guiada está en consonancia con el desarrollo histórico de los conceptos estadísticos. Por ejemplo, la mediana y la moda se usaron implícitamente mucho antes de que obtuvieran sus nombres y definiciones actuales en el siglo XIX ( Walker 1931 ; David 1995 , 1998). Es sorprendente que la mediana solo ganó importancia cuando las distribuciones sesgadas se convirtieron en tema de estudio en el siglo XIX. En ese sentido, es sorprendente que la mayoría de los libros de texto presenten media, mediana y moda como una trinidad. Como vimos en secciones anteriores, la media tiene una larga historia con muchas aplicaciones, la moda aparece implícitamente en algunas situaciones, pero la mediana es un concepto reciente. No estoy afirmando que debido a que apareció tarde en la historia, la mediana es más difícil de captar que la media. Solo quiero enfatizar que la mediana tiene dificultades que a menudo se pasan por alto, a saber, su estrecha relación con la distribución y los valores atípicos. La mayoría de los estudiantes aún no han desarrollado un sentido de distribución sesgada y valores atípicos, pero lo necesitan para decidir entre la media y la mediana ( Zawojewski y Shaughnessy 2000). 9. Caras de la media Una de las dificultades de instrucción con el medio es que tiene muchas caras. El estudio histórico nos ayuda a desentrañar algunos aspectos sutiles y definir diferencias en el aspecto de representatividad para el diseño instruccional. Los ejemplos históricos hasta aproximadamente el siglo XIX siempre tuvieron que ver con encontrar un valor real, por ejemplo el número de hojas en una rama o el diámetro de la luna. En todos los ejemplos más antiguos, la media se utilizó como un medio para un fin. Pasó mucho tiempo antes de que la media se utilizara como valor representativo o sustituto como una entidad por sí misma. El estadístico belga Quetelet (1796-1874), famoso por ser el inventor de l'homme moyen, el hombre medio, fue uno de los primeros científicos en utilizar la media como valor representativo de un aspecto de una población. Esta transición del valor real en astronomía al valor representativo de Quetelet, que es una construcción estadística en las ciencias sociales, supuso un importante cambio conceptual. Por lo tanto, existen varios niveles de comprensión de la media como valor representativo. El siguiente ejemplo de las entrevistas puede ilustrar esto. Los estudiantes tienen pocos problemas para ver a un holandés promedio como un holandés típico, pero tienen dificultades con construcciones artificiales como el tamaño promedio de una familia. Cuando se les pidió que explicaran que las familias tienen un promedio de 2,5 personas, varios estudiantes pensaron que se trataba de dos adultos y un niño. Este es un ejemplo de dónde el proceso de aprendizaje histórico necesita revisión. Los estudiantes ya conocen la palabra "promedio" en su uso común, que significa "típico", pero todavía no la ven como una construcción representativa en el sentido técnico. Además, el aspecto de representatividad ya estaba presente implícitamente en las tareas de estimación, pues al encontrar un total con un promedio, este promedio podría verse como representativo. En el caso del número de hojas, el promedio fue el número de hojas en una rama típica. En el caso de los elefantes, la caja promedio fue representativa de una caja con un número típico de elefantes. En estos ejemplos, el promedio se usó como un multiplicando para encontrar un total. El promedio también puede tener un papel diferente, es decir, encontrar un número en lugar de un total. Para aclarar esto, menciono tres componentes del cálculo de la media: el número de valores n , la suma o total y la media . Estos componentes pueden tener diferentes roles y es útil para el diseño instruccional categorizar las tres posibilidades n = , /n= y / =n. 1. La estimación a menudo tiene que ver con encontrar el número total: n = . El hecho de que se utilice una especie de valor medio a menudo queda implícito porque el foco está en el total. De esta manera, los estudiantes pueden desarrollar una comprensión de muchos aspectos de la media sin usarla explícitamente. En la Sección 4 vimos un ejemplo de esto: la actividad de estimar el número de elefantes. 2. La participación justa tiene que ver con encontrar la media: / n = . Este cálculo responde a la pregunta de cuánto obtendrían todos después de una redistribución justa ( Sección 7 ). La media también es útil como medida para una comparación justa, por ejemplo, si necesitamos compensar el número de valores en diferentes grupos. Luego usamos partes por millón, un porcentaje, producto nacional bruto per cápita, etcétera. Cortina, Saldanha y Thompson (1999) llaman a esto la media como medida. Vea también los ejemplos históricos de Stigler sobre pruebas de monedas del siglo XII y medidas con una varilla de 16 pies de 1535 ( Stigler 1999 ). 3. La tercera combinación de los tres componentes es / = n . Esta es una variante de la primera posibilidad y también podría aparecer en tareas de estimación. Por ejemplo, "¿Cuántos estudiantes de 12 años podrían entrar en la canasta de un globo aerostático si normalmente se permiten ocho adultos?" Los estudiantes primero calcularon los pesos de los adultos para un peso total , y luego su propio peso promedio , y calcularon el número n haciendo / = n . La actividad del globo pide implícitamente un promedio, es decir, el peso estimado de estudiantes y adultos. Algunos estudiantes preguntaron a un "niño de aspecto normal" cuánto pesaba; otros preguntaron a algunos estudiantes y tomaron un valor en algún lugar intermedio. Una niña incluso pasó una hoja de papel para recoger los pesos de otras personas. En el caso de un “niño de apariencia normal”, el promedio intuitivo está conectado con el aspecto cualitativo de la representatividad. Este ejemplo también plantea la cuestión del muestreo de forma natural, ya que los estudiantes ya tomaron pequeñas muestras al preguntar a los estudiantes de su clase. Para decirlo aún más fuerte, me di cuenta de las entrevistas que los estudiantes deberían desarrollar cierto sentido de muestreo desde el principio, porque el muestreo también está relacionado con la representatividad. Mokros y Russell (1995) encontraron que el aspecto o la representatividad es difícil de desarrollar para los estudiantes. Aconsejan posponer los aspectos de cálculo de la media hasta finales de los grados intermedios, “mucho después de que los estudiantes hayan desarrollado una base sólida de la idea de representatividad” (p. 38). Los hallazgos de este artículo respaldan su punto de vista y proporcionan formas de enseñar valores promedio de una manera más cualitativa. Esta sección también mostró que incluso un aspecto de la media, como la representatividad, podría tener diferentes capas de usos más fáciles y más difíciles. 10. Conclusiones Este artículo trata sobre la relación entre el proceso de aprendizaje histórico e individual para valores medios. Los conocimientos resultantes se utilizaron para desarrollar una versión revisada y mejorada del proceso de aprendizaje histórico que el joven aprendiz podría recapitular. Los ejemplos de este artículo muestran que hay muchos paralelos, pero también diferencias importantes entre los procesos de aprendizaje históricos e individuales. Los primeros ejemplos históricos de razonamiento estadístico tenían que ver con la estimación. Paralelamente, también resultó útil comenzar con estimaciones en la enseñanza de experimentos. Durante las actividades de estimación, los estudiantes reinventaron las medidas del centro y luego aprendieron los nombres estadísticos correspondientes. En la historia, el rango medio puede verse como un predecesor del medio. Paralelo a esto, los estudiantes utilizaron un método que tomaba el rango medio al estimar los números totales. La definición históricamente tardía de la media de más de dos valores y su aplicación históricamente tardía, en combinación con argumentos didácticos, apoyan la opinión de que los estudiantes solo deben aprender el algoritmo de la media en los grados intermedios posteriores. Si los estudiantes ya conocen el cálculo de la media, las actividades diseñadas también se pueden utilizar para conectar el sentido del promedio de la vida diaria de los estudiantes con el procedimiento algorítmico. La forma griega de definir los valores medios era visual y geométrica. La representación con una herramienta informática mencionada en la Sección 6 , se acerca a la representación griega. Esta representación de barras ayudó a los estudiantes a reinventar el método de compensar y encontrar o representar la media visualmente sin cálculos. Vieron, presumiblemente mejor que con los cálculos, que la media está en algún lugar en el medio de los datos y que está fuertemente influenciada por valores atípicos. Esta estrategia de compensación está relacionada con la palabra "promedio", que tiene su origen en la equidad y el seguro en el derecho marítimo. En la historia, vimos que la media se usaba para encontrar un número total y aproximar un valor real; no fue hasta el siglo XIX que se usó como un constructo por sí mismo, que representa un aspecto específico de una población. Asimismo, también existen capas instruccionales en el aspecto de representatividad. El análisis histórico ayudó a detectar tales capas. Una diferencia importante entre los fenómenos históricos y los contextos de instrucción útiles es que las cuestiones históricas generalmente no son muy interesantes para los estudiantes. La mayoría de los contextos históricos, por lo tanto, necesitan una traducción moderna si el diseñador quiere usarlos con estudiantes jóvenes sin conocimiento de esos contextos históricos. Otra diferencia entre el proceso de aprendizaje histórico e individual es que los estudiantes hoy en día saben cosas que la gente del pasado no sabía. Por ejemplo, la mayoría de los estudiantes de séptimo grado saben cuál es el promedio en su sentido diario. Sería un desperdicio seguir la historia de manera demasiado estricta y no utilizar sus conocimientos culturales. Una fenomenología histórica como la entiende Freudenthal (1983a, p. 32) debería producir muchos fenómenos que “piden ser organizados” por ciertos conceptos, además de un análisis de cómo estos fenómenos dieron lugar a estos conceptos. El punto esencial de la fenomenología didáctica es traducir estos fenómenos en problemas que sean significativos para los estudiantes y que aún tengan el poder potencial de pedir organización mediante un método estadístico particular. Conocer el desarrollo histórico de ciertos conceptos puede ayudar a anticipar dicho aprendizaje en un proceso de reinvención guiada. Es un gran problema para los diseñadores saber tanto y les cuesta olvidar sus conocimientos. Lo que parece un paso menor para ellos podría haber tardado siglos en desarrollarse en la historia y también podría ser difícil para los estudiantes. Un estudio histórico puede ayudar a distinguir más aspectos, problemas, nociones relacionadas y etapas intermedias del desarrollo de determinadas nociones. En otras palabras, puede ayudarnos a mirar a través de los ojos de los estudiantes. Expresiones de gratitud Este trabajo fue apoyado por la Organización Holandesa para la Investigación Científica, con el número de concesión 575-36-003B. Las opiniones expresadas no reflejan necesariamente los puntos de vista de la Fundación. El autor agradece a Koeno Gravemeijer, Cliff Konold, Jan van Maanen, Rob Kooijman y Viola Heutger por las útiles discusiones. Fotografías utilizadas con permiso de Encyclopaedia Britannica . Referencias Aristóteles (1994), Nichomachean Ethics , Cambridge, MA: Harvard University Press. Ashburner, W. (1909), Nomos Rhodioon Nautikos; The Rhodian Sea-Law , Oxford: Clarendon Press. Boswinkel, N., Niehaus, J., Gravemeijer, KPE, Middleton, JA, Spence, MS, Burrill, G. y Milinkovic, J. (1997), Picturing Numbers , Chicago: Encyclopaedia Britannica Educational Corporation. Boyer, CB (1991), A History of Mathematics (edición revisada por UC Merzbach), Nueva York: John Wiley and Sons, Inc. Cobb, P. 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Arthur Bakker Freudenthal Institute, Utrecht University 3506 GK Utrecht Países Bajos [email protected] Volumen 11 (2003) | Archivo | Índice | Archivo de datos | Servicio de información | Junta Editorial | Directrices para los autores | Directrices para contribuyentes de datos | Página de inicio | Póngase en contacto con JSE | Publicaciones de ASA
