EDICIONES MAFIQUI
Aplicaciones Económicas
Apuntes teóricos-prácticos
Contenidos
Oferta y Demanda
Ingreso, Beneficio y Costo
Punto de equilibrio del Mercado y de la producción
Costo, Ingreso y Beneficio Marginales
Elasticidad de la Demanda
Excedente del Productor y del Consumidor
1. Oferta y Demanda
Función Demanda
La función de demanda de un consumidor determinado para un bien concreto muestra la
relación existente entre la cantidad demandada de dicho bien y el precio de éste. La representación
gráfica de la función demanda es la curva de demanda, que evidencia la denominada ley de demanda.
La función demanda puede tomar cualquier formato matemático: lineal, cuadrático, polinómico,
racional, exponencial, logarítmico o combinaciones de ellos.
Para los bienes típicos la cantidad demandada disminuye al aumentar el precio (la función
demanda es decreciente)
Función Oferta
La función de oferta muestra la relación existente entre el precio de un bien y las cantidades que
un empresario desearía ofrecer de dicho bien. La curva de oferta es la representación gráfica de la
función de oferta y refleja el comportamiento de los productores, que se concreta en que éstos
aumentarán la cantidad lanzada al mercado si los precios aumentan.
Para los bienes típicos la cantidad ofertada aumenta al aumentar el precio (la función oferta es
creciente)
Representación gráfica de las funciones de demanda y de oferta
Por convención, en Economía, el precio (𝑝) se representa en el eje de ordenadas y tanto las
cantidades (𝑥), demandadas como ofrecidas, en el eje de abscisas. Los gráficos sólo tienen sentido en el
primer cuadrante.
Para la función demanda se tiene que 𝑝 = 𝐷(𝑥) mientras que para la oferta es 𝑝 = 𝑂(𝑥)
Punto de equilibrio del mercado
En la situación de equilibrio la cantidad demandada de un producto es igual a la cantidad
ofrecida del mismo.
El precio y la cantidad de equilibrio corresponden a las coordenadas del punto de intersección
de las curvas de oferta y la de demanda. Dicha intersección se calcula analíticamente resolviendo un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Eventualmente se puede pedir la resolución por el
método gráfico el cual consiste en graficar las curvas de demanda y oferta en un mismo sistema de ejes
cartesiano.
Un precio mayor al de equilibrio producirá un exceso de oferta, esto es, una situación en la cual
la cantidad ofrecida es superior a la demandada, mientras que si el precio es menor se generará un
exceso de demanda, es decir, una situación en la que la cantidad demandada es superior a la cantidad
ofrecida.
Ejercicio 1.- ¿Cuál es la ecuación de oferta, supuesta lineal de un artículo, si cuando el precio
es de $30 la disponibilidad es de 35, y cuando el precio es de $35, hay 50 disponibles en el
mercado? Graficar.
Como se supone una relación lineal la ecuación de la oferta tiene la forma de una ecuación
lineal:
𝑝 = 𝑚𝑥 + 𝑏. De acuerdo a los datos que proporciona el enunciado se tiene que
𝑝
$30
$35
Los datos son pares ordenados (35; 30) y
(50; 35) por lo que podemos usar la fórmula
para calcular la pendiente de la recta:
𝑝 −𝑝
𝑚 = 𝑥2 −𝑥1
𝑥
35
50
2
35−30
1
1
Por lo tanto, 𝑚 = 50−35 = 3
1
La ecuación va teniendo la forma 𝑝 = 3 𝑥 + 𝒃 (1).
Ahora tenemos que conocer el valor de la ordenada al origen: 𝒃. Para esto reemplazamos
cualquiera de los puntos dados en la ecuación (1)
1
𝟓𝟓
35 = 3 50 + 𝒃 de donde 𝒃 = 𝟑
1
Ahora ya tenemos la ecuación que buscábamos: 𝑝 = 𝑂(𝑥) = 3 𝑥 +
55
3
35
30
Precios
25
20
15
10
5
0
-5
5
15
25
35
45
Cantidades
Ejercicio 2.- Indicar el significado de los denominadores de la ecuación segmentaria de la
𝒙
𝒑
función 𝟑𝟎𝟎 + 𝟏𝟖 = 𝟏
𝑥
𝑦
La forma segmentaria de una recta tiene la forma 𝑎 + 𝑏 = 1
Donde “a” es la abscisa al origen (donde la recta corta al eje x) y “b” es la ordenada al origen (el
punto donde la recta corta al eje y)
La expresión segmentaria nos permite graficar fácilmente la función.
Precios
Por lo tanto la función dada corta al eje x en 300 y al eje y en 18 (estos valores los marcamos en
sus respectivos ejes)
La función corta al eje x en el punto (300; 0) y al eje y en el punto (0; 18)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Cantidades
¿Es una curva de oferta o de demanda?
Ejercicio 3.- La curva de demanda para un artículo es 𝟒𝒙 + 𝒑 − 𝟒𝟎 = 𝟎, donde 𝒙 representa la
cantidad demandada y p el precio. Se pide: a) Calcular la cantidad demandada para 𝒑 = 𝟒 y
𝒑 = 𝟐𝟒; b) Hallar el precio si la cantidad demandada es 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟓; c) ¿Cuál es el mayor
precio que se pagaría por dicho artículo?; d) ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera
gratis?; e) Graficar la curva
La función de demanda está dada en forma implícita. Nos conviene escribirla en forma explícita
y segmentaria
Forma explícita
𝑝 = −4𝑥 + 40
Forma segmentaria
𝑥
𝑝
+
=1
10 40
a) Cantidad demanda para 𝑝 = 4 y 𝑝 = 24
¿Cómo se
calcula?
Precio
𝒑 = −𝟒𝒙 + 𝟒𝟎
Cantidad
demandada
4 = −4𝑥 + 40
𝑝=4
Despejamos 𝑥
𝑝 = 24
40 − 4
𝑥=
4
24 = −4𝑥 + 40
9
40 − 24
𝑥=
4
4
b) Hallar el precio si la cantidad demandada es 𝑥 = 1 y 𝑥 = 5
Cantidad
demandada
𝑥=1
𝑥=5
¿Cómo se
calcula?
𝒑 = −𝟒𝒙 + 𝟒𝟎
Precio
Evaluamos en x
𝑝 = −4.1 + 40
𝑝 = −4.5 + 40
36
20
c) ¿Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo?
El mayor precio que se pagaría por dicho artículo se da cuando la demanda es nula, valor que
coincide con la ordenada al origen. El precio es de $40.
d) ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis?
Si el artículo fuese gratis, es decir que su precio fuese nulo ($0), la demanda sería de 10
unidades que es la abscisa al origen.
e) Gráfica
Las intersecciones con el eje de ordenadas y el eje de abscisas son los puntos de coordenadas
(0; 10) y (40; 0) respectivamente
Precios
15
10
5
0
0
10
20
30
Cantidades
40
50
Ejercicio 4.- Determinar cuál es la ecuación de oferta y cuál la de demanda y determinar,
analítica y gráficamente, el precio de equilibrio del mercado dado el siguiente sistema:
{
𝑥 = 15 − 3𝑝
𝑥 = 2𝑝 − 3
a) Despejamos 𝑝 de ambas ecuaciones obtenemos:
1
𝑝 =− 𝑥+5
3
La pendiente es negativa.
Corresponde a la demanda.
1
3
𝑝= 𝑥+
2
2
La pendiente es positiva.
Corresponde a la oferta.
b) Punto de equilibrio del mercado
Si igualamos las x del sistema dado se tiene que
15 − 3𝑝 = 2𝑝 − 3 ⟹ 18 = 5𝑝
18
𝑝=
= 3,6
5
El precio de equilibrio es 𝑝𝑒𝑞 = 3,6
Para obtener la cantidad equilibrio reemplazamos 3,6 en cualquiera de las ecuaciones del
sistema
𝑥𝑒𝑞 = 15 − 3. (3,6) = 4,2
Entonces, el punto de equilibrio del mercado es 𝑃𝑒𝑞 = (4,2 ; 3,6)
6
5
(4,2 ; 3,6)
Precio
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
Cantidad
5
6
7
Ejercicio 5.- Determinar cuál es la ecuación de oferta y cuál la de demanda y hallar el punto de
equilibrio del mercado dado el siguiente sistema:
2𝑥 − 𝑝 + 20 = 0
{
𝑝 + 2𝑥 2 − 200 = 0
a) Para determinar cuál es la ecuación de oferta y cuál es la de demanda despejamos 𝑝 de
ambas ecuaciones
𝑝 = −2𝑥 2 + 200
Coeficiente principal negativo, la parábola
es decreciente. Es la ecuación de Demanda
𝑝 = 2𝑥 + 20
Pendiente positiva. Es la ecuación de
Oferta.
b) Punto de equilibrio del mercado
Para hallar el punto de equilibrio del mercado igualamos las 𝑝 del inciso anterior.
2𝑥 + 20 = −2𝑥 2 + 200
Obtenemos una cuadrática igualada a cero
2𝑥 2 + 2𝑥 − 180 = 0
Aplicamos la fórmula resolvente
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −2 ± √22 − 4.2. (−180) −2 ± √1444
𝑥1,2 =
=
=
⟹ 𝑥1 = −10 ∨ 𝑥2 = 9
2𝑎
2.2
4
El valor negativo no tiene sentido económico por lo que el único valor solución del problema es
𝑥2 = 9
Reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas para obtener el precio de
equilibrio.
𝑝 = 2.9 + 20 = 38
El punto de equilibrio es 𝑃𝑒𝑞 = (9; 38)
Precios
200
150
100
(9; 38)
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cantidades
10 11 12 13 14 15
2. Costo, Ingreso y Beneficio
Función
Expresión
Función de Costo
𝑪(𝒙) = 𝒄𝒗 + 𝒄𝒇
Función de Costo
Medio
̅ (𝒙) =
𝑪
𝑪(𝒙)
𝒙
Función de Ingreso
𝑰(𝒙) = 𝒑. 𝒙
Función de Ingreso
Medio
𝑰̅(𝒙) =
Función Beneficio o
Utilidad
Función de
Beneficio Medio
𝑰(𝒙)
𝒙
𝑩(𝒙) = 𝑰(𝒙) − 𝑪(𝒙)
̅ (𝒙) =
𝑩
𝑩(𝒙)
𝒙
Observaciones
El costo total es la suma del costo
unitario variable (𝒄𝒗 ) y el costo fijo (𝒄𝒇 ),
que es el costo cuando no hay
producción, es decir 𝑪(𝟎)
El costo medio es el costo por unidad de
producción; informa al productor cuánto
cuesta producir una unidad
promedio 𝑪(𝒙)
Se llama Ingreso total al producto (p) del
precio unitario por las unidades
demandadas (𝒙)
Es el precio del bien producido
Diferencia entre los ingresos totales y
los costos totales. Un valor positivo
indica ganancia y uno negativo, pérdida.
Ganancia por unidad producida
Cuándo es rentable producir?
Si 𝑰(𝒙) > 𝑪(𝒙), la empresa obtiene beneficios
Si 𝑰(𝒙) = 𝑪(𝒙), la empresa no obtiene beneficios ni genera pérdidas
Si 𝑰(𝒙) < 𝑪(𝒙), la empresa tiene pérdidas
Ejercicio 6.- En una fábrica cuyo costo es lineal, el costo fijo es de $800. Se sabe, además, que
para producir 100 unidades el costo total es de $1400.
Se pide:
a) Hallar las funciones de costo total y costo medio
b) Hallar costo total y costo medio para 200 y 1000 unidades
c) Si el productor vende el producto a un precio unitario de $10, ¿para qué nivel de
producción cubre los costos totales suponiendo que venda todo lo que produce?
d) Graficar es un mismo sistema cartesiano las funciones de ingreso, costo y beneficio.
Sacar conclusiones.
a) La función de costo total es lineal, por lo tanto, su expresión es
𝑪(𝒙) = 𝒄𝒗 . 𝒙 + 𝒄𝒇
donde 𝑪(𝒙) es el costo total de producción de “x” unidades, 𝒄𝒗 costo unitario variable y 𝒄𝒇 el
costo fijo.
Nos informan que el costo fijo es de 800 pesos, entonces podemos escribir
𝑪(𝒙) = 𝒄𝒗 . 𝒙 + 𝟖𝟎𝟎
Además, si para producir 100 unidades el costo es de 1400 pesos, podemos plantear
𝟏𝟒𝟎𝟎 = 𝒄𝒗 . (𝟏𝟎𝟎) + 𝟖𝟎𝟎
Así podremos despejar el parámetro costo variable unitario (que es la pendiente de la recta)
para poder escribir la función costo total.
𝟏𝟒𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝟎
= 𝒄𝒗 ⟹ 𝒄𝒗 = 𝟔
𝟏𝟎𝟎
La ecuación del costo total es
𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙 + 𝟖𝟎𝟎
Para determinar la ecuación de Costo medio sabemos que
𝑪(𝒙)
̅ (𝒙) =
𝑪
𝒙
Por lo tanto,
̅ (𝒙) =
𝑪
La función de costo medio es
𝟔𝒙 + 𝟖𝟎𝟎
𝟖𝟎𝟎
=𝟔+
𝒙
𝒙
̅ (𝒙) = 𝟔 +
𝑪
𝟖𝟎𝟎
𝒙
b) Hallar el costo total y el costo medio para 200 y 1000 unidades
Unidades producidas
Costo Total
𝒙
𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙 + 𝟖𝟎𝟎
200
1000
2000
6800
Costo Medio
𝟖𝟎𝟎
̅ (𝒙) = 𝟔 +
𝑪
𝒙
10
6,80
c) Se trata de determinar cuál será el nivel de unidades que deben venderse para cubrir los
costos cuando se coloca el producto en el mercado a $10 por unidad, es decir cuando el
Ingreso sea igual al Costo Total.
La ecuación de Ingreso viene dada por
𝑰(𝒙) = 𝒑. 𝒙
Para un precio unitario de $10 tenemos que el Ingreso es 𝑰(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙
Igualamos las ecuaciones de Ingreso y Costo total
𝟏𝟎𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟖𝟎𝟎 ⟹ 𝟒𝒙 = 𝟖𝟎𝟎
⟹ 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎
Deben venderse 200 unidades para poder cubrir los costos de producción.
d) Gráficos de Ingreso, Costo y Beneficio
3500
3000
2500
2000
Ingreso
1500
Costo
1000
Beneficio
500
0
0
50
100
150
200
250
300
350
-500
-1000
Conclusiones: De acuerdo a las condiciones planteadas en el problema, para un nivel de
producción inferior a las 200 unidades el negocio da pérdidas, en un nivel de producción de 200
unidades no se obtiene ganancia ni se tienen pérdidas y para niveles superiores a las 200
unidades se tendrán ganancias.
𝟏
Ejercicio 7.- Sea un producto cuya ley de costo total está dada por 𝑪(𝒙) = 𝟏𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 +
𝟔𝟎𝟎. Si la ley de demanda es 𝒙 = −𝟏𝟎𝒑 + 𝟔𝟎𝟎, se pide:
a) Hallar la ley de beneficio total
b) Hallar la ley de beneficio medio
c) Hallar el beneficio medio para una demanda de 200 unidades
1
a) Si despejamos "𝒑" la ley de demanda resulta 𝑝(𝑥) = − 10 𝑥 + 60
Para calcular el beneficio tenemos en cuenta la ecuación 𝑩(𝒙) = 𝑰(𝒙) − 𝑪(𝒙)
1
1
1
𝑩(𝒙) = 𝑥𝑝(𝑥) − [ 𝑥 2 − 10𝑥 + 600] = 𝑥 (− 𝑥 + 60) − [ 𝑥 2 − 10𝑥 + 600] =
10
10
10
1 2
1 2
1 2
= − 𝑥 + 60𝑥 −
𝑥 + 10𝑥 − 600 = − 𝑥 + 70𝑥 − 600
10
10
5
La función de Beneficio Total es
𝟏
𝑩(𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝟕𝟎𝒙 − 𝟔𝟎𝟎
𝟓
̅ (𝒙) = 𝑩(𝒙)
b) La ley de beneficio medio viene dada por la ecuación 𝑩
𝒙
1
− 𝑥 2 + 70𝑥 − 600
600
̅ (𝒙) = 5
𝑩
= −0,2𝑥 + 70 −
𝑥
𝑥
La función Beneficio Medio es
̅ (𝒙) = −𝟎, 𝟐𝒙 + 𝟕𝟎 −
𝑩
𝟔𝟎𝟎
𝒙
c) Para hallar el beneficio medio si la demanda es de 200 unidades, evaluamos en la
ecuación calculada en el inciso anterior
600
𝐵̅ (200) = −0,2(200) + 70 − 200 = 27 ⟹
𝐵̅ (200) = 27
Ejercicio 8.- Los costos de producción (en centenares de pesos) para una compañía se
describen con la ecuación 𝑪(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟕𝟎𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝒙 , donde 𝒙 es el número de unidades
producidas. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de la empresa?
Los costos fijos son los costos totales para una producción nula, esto es 𝐶(0). Así,
𝐶(0) = 100 − 70𝑒 −0.02(0) = 100 − 70𝑒 0 = 100 − 70 ⟹ 𝑪(𝟎) = 𝟑𝟎
Los costos fijos de la empresa ascienden a $30 centenares de pesos, o sea a $3.000
3. Análisis Marginal.
Costo, Ingreso y Beneficio Marginales
Costo Marginal: Se define como el aumento del costo total ligado a la producción de
una unidad adicional del bien.
Ejemplo: Si el costo total de producir 1 tonelada de trigo para un determinada empresa agrícola
es de $67500 y el costo total para producir 2 toneladas es de $80000, entonces el costo
marginal o adicional ligado a la producción dela segunda tonelada es de $12500.
Matemáticamente, el costo marginal es la derivada primera, con respecto a la producción, de la
función costo total.
ΔC
= 𝐶 ′ (𝑥)
Δ𝑥→0 Δx
𝐶𝑚𝑎𝑟𝑔 = lim
Ingreso Marginal: se define como el cambio del ingreso total que ocurre cuando se
altera en una unidad la cantidad producida.
Toda empresa que trata de maximizar su beneficio lanzará al mercado aquella cantidad de
producto para la que se cumple la siguiente condición:
𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 𝒎𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒎𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍
La empresa maximiza su beneficio total en el punto en el cual no es posible obtener ningún
beneficio adicional incrementando la producción, y esto ocurre cuando la última unidad
producida añade lo mismo al ingreso total que al costo total.
Matemáticamente, el ingreso marginal es la derivada primera, con respecto a la producción, del
ingreso total.
ΔI
= 𝐼 ′ (𝑥)
Δ𝑥→0 Δx
𝐼𝑚𝑎𝑟𝑔 = lim
Beneficio Marginal: el beneficio marginal de un bien o servicio es el cambio en la
utilidad total generado por el consumo de una unidad adicional de ese bien o servicio.
La curva de utilidad marginal tiene, generalmente, pendiente negativa. Es decir, el consumo de
la mayoría de los bienes y servicios está sujeto a una utilidad marginal decreciente.
La idea básica que hay detrás del principio de la utilidad marginal decreciente es que la
satisfacción adicional que consigue un consumidor por una unidad más de un bien o servicio
disminuye conforme aumenta la cantidad consumida de dicho bien o servicio.
Matemáticamente, el beneficio marginal es la derivada primera, con respecto a la producción,
del beneficio total.
ΔB
= 𝐵 ′ (𝑥)
Δ𝑥→0 Δx
𝐵𝑚𝑎𝑟𝑔 = lim
Ejercicio 9.- Dada la función beneficio 𝑩(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟓)𝒆𝒙
marginal y su valor cuando se venden 5 unidades
𝟐 −𝟓𝒙
. Calcular la función beneficio
La función beneficio marginal resulta de derivar la función beneficio. Al ser un producto de dos
funciones se aplica la derivada de un producto
2
2
𝐵 ′ (𝑥) = (𝑥 2 + 5)′ . 𝑒 𝑥 −5𝑥 + (𝑥 2 + 5). (𝑒 𝑥 −5𝑥 )′
2
2
𝐵 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 −5𝑥 + (𝑥 2 + 5)𝑒 𝑥 −5𝑥 . (2𝑥 − 5)
Al extraer factor común se tiene que
2
𝐵 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 −5𝑥 [2𝑥 + (𝑥 2 + 5)(2𝑥 − 5)]
𝐵 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥
2 −5𝑥
[2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 12𝑥 − 25]
Ahora determinamos el valor de la función en 𝑥 = 5 para lo cual calculamos 𝐵𝑚𝑎𝑟𝑔 (5)
𝑩𝒎𝒂𝒓𝒈 (𝟓) = 𝟏𝟔𝟎
𝟏𝟎
Ejercicio 10.- La función demanda para cierto producto es 𝒑 = 𝑫(𝒒) = 𝑳𝒏 (𝟕𝒒+𝟑). Hallar el
ingreso marginal para 𝒒 = 𝟏
El ingreso marginal es la derivada primera de la función ingreso. Primero hallaremos dicha
función
10
𝐼(𝑥) = 𝑞. 𝑝 = 𝑞. 𝐿𝑛 (
)
7𝑞 + 3
Por la derivada de un producto obtenemos
𝐼 ′ (𝑥) = 𝐿𝑛 (
10
) + 𝑞.
7𝑞 + 3
1
10
(−
).7
10
(7𝑞 + 3)2
7𝑞 + 3
10
7𝑞
𝐼 ′ (𝑥) = 𝐿𝑛 (
)−
7𝑞 + 3
7𝑞 + 3
Finalmente, evaluamos el ingreso marginal para 𝑞 = 1
𝑰′ (𝟏) = −𝟎, 𝟕
El ingreso marginal resulta negativo. Esto quiere decir que la demanda es inelástica.
Si hubiera sido positivo la demanda es elástica.
4. Elasticidad
La elasticidad precio de la demanda mide el grado en que la cantidad demandada responde a
las variaciones del precio de mercado
𝐸𝑝 =
cambio porcentual en la cantidad demandada
cambio porcentual en el precio
La ley de demanda dice que la curva de demanda es decreciente. En términos estrictamente
matemáticos es un número negativo (si el precio aumenta, esto es, un cambio porcentual
positivo en el precio, la cantidad demandada cae, esto es, un cambio porcentual negativo).
Cuando los economistas hablan sobre la elasticidad precio de la demanda, normalmente
omiten el signo menos y escriben el valor absoluto de la elasticidad.
Con la derivada primera de la función demanda obtenemos la expresión que permite calcular la
elasticidad de la demanda:
𝐸𝑥
𝑝
𝜂=| |=|
𝑓′(𝑝)|
𝐸𝑝
𝑓(𝑝)
Clasificación de la demanda según la elasticidad respecto del precio
Tipo de demanda
Perfectamente
inelástica
Valor de 𝜼
Inelástica
0< 𝜂 < 1
Unitaria
𝜂=1
𝜂 =0
Significado
El precio no tiene efectos sobre la cantidad
demandada (curva de demanda vertical)
Un aumento en el precio incrementa el
ingreso total. La demanda varía en menor
proporción que el precio. (Productos de
primera necesidad)
Los cambios en el precio no tienen efectos
sobre el ingreso total
Elástica
𝜂>1
Perfectamente
elástica
𝜂=∞
Un aumento en el precio reduce el ingreso
total. La demanda varía en mayor proporción
que el precio (productos de lujo)
Un aumento en el precio hace que la cantidad
demandada sea cero. Una caída en el precio
provoca un aumento infinito en la cantidad
demandada (curva de demanda horizontal)
La elasticidad-ingreso de la demanda mide la respuesta de la demanda a los cambios
del ingreso. Los bienes normales son aquellos cuya elasticidad-ingreso es positiva,
mientras que los bienes inferiores tienen una elasticidad-ingreso negativa. Según la
elasticidad-ingreso sea mayor o menor que la unidad, los bienes se consideran de lujo
(elasticidad ingreso mayor que 1) o de primera necesidad (elasticidad ingreso entre 0 y
1)
Elasticidad Ingreso de la Demanda. Ante un aumento del ingreso de los consumidores,
usualmente éstos aumentan su cantidad consumida, y viceversa. La elasticidad ingreso de la
demanda mide la proporción del aumento en el consumo de un producto ante un cambio
proporcional en el ingreso.
La elasticidad de la oferta mide la capacidad de reacción de los productos ante
alteraciones en el precio, y se expresa como la variación porcentual de la cantidad
ofrecida en respuesta a la variación porcentual del precio. Los valores dependen de las
características del proceso productivo, de la necesidad o no de emplear factores
específicos para la producción del bien y del plazo considerado.
Ejercicio 11.- La demanda para un producto es 𝑫(𝒑) = 𝟏𝟓√𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝒑 determinar
a) El dominio de la función demanda para que tenga sentido económico
b) La elasticidad de la demanda con respecto al precio
c) El intervalo del dominio para el cual la demanda es inelástica
a) La función demanda es irracional de índice par por lo que debemos pedir que el
radicando sea mayor o igual a cero.
300 − 2𝑝 ≥ 0 ⟹ 𝑝 ≤ 150
Por lo tanto el dominio económico es 𝐷𝑚 = [0; 150]
𝑝
b) Aplicando la expresión 𝜂 = |𝑓(𝑝) 𝑓′(𝑝)| calculamos la fórmula que nos permite calcular
la elasticidad de la demanda con respecto al precio
𝜂=
𝑝
𝑝
′
15√300 − 2𝑝
𝜂=
(15√300 − 2𝑝) =
𝑝
15
15√300 − 2𝑝 2√300 − 2𝑝
−1
.
.
√300 − 2𝑝 √300 − 2𝑝
.=
. (−2)
−𝑝
𝑝
=
300 − 2𝑝 2𝑝 − 300
𝒑
𝜼=|
|
𝟐𝒑 − 𝟑𝟎𝟎
c) Para calcular el intervalo del dominio para el cual la demanda resulta inelástica
debemos tener en cuenta que debe cumplir la condición 0< 𝜂 < 1, o sea
𝟎<
𝒑
<𝟏
𝟐𝒑 − 𝟑𝟎𝟎
Como 2𝑝 − 300 es positivo (condición del dominio) podemos multiplicar todos los miembros
de esta desigualdad doble por 2𝑝 − 300 y resulta
0 < 𝑝 < 2𝑝 − 300 ⟹ 𝑝 > 0 ∧ 2𝑝 − 300 > 𝑝 ⟹ 𝑝 > 0 ∧ 𝑝 > 100
Condiciones que se resumen en
𝟏𝟎𝟎 < 𝒑 < 𝟏𝟓𝟎
Si el precio aumenta entre estos valores se incrementa el ingreso total. La demanda varía en
menor proporción que el precio.
Ejercicio 12.- Si la función ingreso es 𝑰(𝒒) = 𝟏𝟔𝒒𝟐 √𝟓𝒒, hallar la elasticidad del ingreso
respecto de 𝒒 para 𝒒 = 𝟓
𝜂=
𝑞 ′
𝑞
1 1
𝐼 (𝑞) =
(16√5𝑞 3 ) = = = 0,2
𝐼(𝑞)
𝑞 5
16𝑞 2 √5𝑞
Concluimos que para una cantidad de 5 unidades se trata de un bien normal (la elasticidad es
positiva) y, en particular, de un bien de primera necesidad (elasticidad menor que la unidad)
Aplicaciones de la Integral
5. Funciones económicas a partir de las correspondientes
funciones marginales
En estos problemas se trata de encontrar la función económica partiendo de la correspondiente
función marginal. Dado que las funciones marginales se obtienen derivando las funciones
económicas entonces cuando dispongamos de las primeras podremos determinar las últimas
recurriendo a las integración.
Si tenemos la
función
Calculamos las respectivas funciones económicas mediante la integral
de las funciones marginales
Costo Marginal
𝐶𝑚𝑎𝑟𝑔 = 𝐶 ′ (𝑥)
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)𝑑𝑥
El costo total es la integral del costo
marginal con respecto a la producción
Ingreso Marginal
𝐼𝑚𝑎𝑟𝑔 = 𝐼 ′ (𝑥)
𝐼(𝑥) = ∫ 𝐼 ′ (𝑥)𝑑𝑥
El ingreso total es la integral del ingreso
marginal con respecto a la producción
Beneficio Marginal
𝐵𝑚𝑎𝑟𝑔 = 𝐵 ′ (𝑥)
𝐵(𝑥) = ∫ 𝐵 ′ (𝑥)𝑑𝑥
El Beneficio total es la integral del beneficio
marginal con respecto a las producción
Ejercicio 13.- La función costo marginal está dada por 𝑪′ (𝒙) = −𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎𝟎 y los costos
fijos son de $10.000. Determinar la función de costo total y la de costo medio.
Calculamos la función costo total como la integral indefinida del costo marginal
𝐶(𝑥) = ∫(−6𝑥 2 + 2𝑥 + 200) 𝑑𝑥 = −2𝑥 3 + 𝑥 2 + 200𝑥 + 𝑘
Sabiendo que los costos fijos surgen de 𝐶(0) planteamos
𝐶(0) = −2(0)3 + (0)2 + 200(0) + 𝑘 = 10000 ⟹ 𝒌 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
La función de Costo total es:
𝐶(𝑥) = −2𝑥 3 + 𝑥 2 + 200𝑥 + 10000
Para hallar la expresión del costo medio
𝐶̅ (𝑥) =
𝐶(𝑥) −2𝑥 3 + 𝑥 2 + 200𝑥 + 10000
=
𝑥
𝑥
Luego,
𝐶̅ (𝑥) = −2𝑥 2 + 𝑥 + 200 +
10000
𝑥
6. Excedente del Consumidor y del Productor
El Excedente del Consumidor es la ganancia neta de un comprador individual por la compra de
un bien. Es igual a la diferencia entre la disposición a pagar y el precio pagado.
El Excedente del Productor es la ganancia neta de un vendedor por vender un bien. Es igual a la
diferencia entre el precio que recibe y el costo del vendedor.
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR: EL EXCEDENTE PRODUCTOR ES UN CONCEPTO BASADO EN LA
LEY DE LA OFERTA Y LA DEMANDA, Y ES EL BENEFICIO ADICIONAL QUE OBTIENEN POR LA
VENTA DE SUS PRODUCTOS, YA QUE SON CAPACES DE VENDERLOS A UN PRECIO MAYOR DEL
QUE ESTARÁN DISPUESTOS A COBRAR. EN OTRAS PALABRAS, LA DIFERENCIA ENTRE LA
CANTIDAD QUE UN PRODUCTOR RECIBE DE LA VENTA DE UN BIEN Y LA CANTIDAD MÁS BAJA
QUE EL PRODUCTOR ESTÁ DISPUESTO A ACEPTAR POR EL PRODUCTO. CUANTO MAYOR SEA LA
DIFERENCIA ENTRE LOS DOS PRECIOS, MAYOR ES EL BENEFICIO PARA EL PRODUCTOR.
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR: EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR ES UN CONCEPTO BASADO
EN LA LEY DE LA OFERTA Y LA DEMANDA, Y ES LA GANANCIA MONETARIA OBTENIDA POR LOS
CONSUMIDORES, YA QUE SON CAPACES DE COMPRAR UN PRODUCTO A UN PRECIO MENOR
DEL QUE ESTARÍAN DISPUESTOS A PAGAR. EN OTRAS PALABRAS, LA CANTIDAD DE DINERO EN
QUE LOS CONSUMIDORES VALORAN UN BIEN O SERVICIO POR ENCIMA DE SU PRECIO DE
COMPRA.
¿Cómo resolvemos un problema de excedente de productores y consumidores?
Dadas las ecuaciones de oferta y demanda de cierto artículo se calcula el punto de equilibrio del
mercado (igualando ambas ecuaciones). Este punto representa el precio que tanto vendedores
como compradores estarían dispuestos a vender o comprar esa cantidad de artículos.
Ocurre que en un mercado de libre competencia existen productores dispuestos a vender a un
precio menor que el de equilibrio de mercado, se genera así una utilidad adicional que los
beneficia a la que se denomina excedente del productor.
De modo similar, habrá algunos consumidores dispuestos a comprar el artículo a un precio
mayor que el de equilibrio de mercado, se genera así un ahorro que los beneficia al que se
denomina excedente del consumidor.
Aplicamos la fórmula del cálculo del área de una región limitada por dos curvas, una es la recta
horizontal 𝑝 = 𝑝𝑒𝑞 y las otras son las gráficas de la oferta y demanda. De esta manera,
calculamos el excedente del consumidor y del productor mediante las siguientes integrales
definidas:
𝒙𝟎
𝑬. 𝑪. = ∫ [𝑫(𝒙) − 𝒑𝒆𝒒 ]𝒅𝒙
𝒙𝟎
𝑬. 𝑷. = ∫ [𝒑𝒆𝒒 − 𝑶(𝒙)]𝒅𝒙
𝟎
𝟎
Ejercicio 14.- Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por:
𝑶(𝒙) = 𝟒𝟓 + 𝟐𝒙 y 𝑫(𝒙) = 𝟏𝟒𝟒 − 𝒙𝟐 . Determinar el superávit del consumidor y del
productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.
En primer lugar tenemos que calcular el punto del equilibrio del mercado (igualamos ambas
ecuaciones)
𝑂(𝑥) = 𝐷(𝑥) ⟹ 45 + 2𝑥 = 144 − 𝑥 2 ⟹ 𝑥 2 + 2𝑥 − 99 = 0
De donde 𝑥 = 9 ∨ 𝑥 = −11
La única solución aceptable económicamente es 𝑥 = 9
Por lo tanto, el precio de equilibrio es 𝑝𝑒𝑞 = 63
Aplicando las fórmulas resolvemos:
Excedente del consumidor:
9
9
𝐸. 𝐶. = ∫[(144 − 𝑥
2)
9
− 63]𝑑𝑥 = ∫(81 − 𝑥
0
2 )𝑑𝑥
0
𝑥3
= 81𝑥 − | =
3 0
93
03
𝐸. 𝐶. = (81.9 − ) − (81.0 − ) = 486
3
3
𝑬. 𝑪. = 𝟒𝟖𝟔
Excedente del productor:
9
9
9
0
𝐸. 𝑃. = ∫[63 − (45 + 2𝑥)]𝑑𝑥 = ∫(18 − 2𝑥)𝑑𝑥 = 18𝑥 − 𝑥 2 | =
0
0
𝐸. 𝑃. = (18.9 − 92 ) − (18.0 − 02 ) = 81
𝑬. 𝑷. = 𝟖𝟏
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
