1 Matemáticas Secundaria º 1. UNICIDAD DE TRIÁNGULOS. Qué vamos a aprender: Análisis de la existencia de unicidad en la construcción de triángulos Materiales: libretas, lápiz, regla, popotes o tiras de madera o tiras de cartón, hojas recicladas, compas. (1 semana) Del 9 al 13 de noviembre 2020. Te explico Tanto los triángulos como cuadriláteros poseen características propias que definen su construcción, forma y dimensiones. En el caso de los triángulos, estos poseen tres lados que forman tres ángulos que, aunque pueden ser diferentes, su suma es siempre de 180°. Dicho de otra manera la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 1800 La unicidad es una característica de los triángulos en la que, dadas unas medidas específicas, sólo se podrá construir un triángulo, respetando las propiedades de estos. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS. Recuerda que los triángulos son figuras geométricas formadas por tres lados y tres ángulos. Por lo tanto los triángulos se pueden clasificar según sus lados y según sus ángulos. Según sus lados son: Equilátero, isósceles y escaleno. Según sus ángulos son: Acutángulo, rectángulo y obtusángulo. 1 Matemáticas º Secundaria Observa la siguiente ilustración para entender mejor la clasificación de los triángulos. La unicidad triangular es la propiedad que tienen los triángulos que me permite saber, si se pueden construir o no dichos triángulos. Para empezar. Cuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones a veces es posible hacerlo y a veces no. Por ejemplo. ¿Crees que es posible trazar un triángulo cuyos lados midan 10 cm. 1 cm. y 1 cm? ; ¿Por qué? Este es el tipo de reflexiones que realizarás en este tema, es importante que hagas tus suposiciones y luego trates de comprobarlas. Consideremos lo siguiente. Recorten popotes, tiras de madera o tiras de cartón de las siguientes medidas. 2 cm. 3 cm. 4 cm. 5 cm. 6 cm. 8 cm. 1 Matemáticas Secundaria º Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos del material que cortaste. Verifica la siguiente tabla, formando los triángulos que aparecen en ella, y observa porque algunos si se pudieron trazar y otros no. Medidas de las tiras para formar el triángulo. ¿Es posible trazar el triángulo? 8 cm, 3 cm, 2 cm. NO 8 cm, 6 cm, 4 cm. SI 8 cm, 4 cm, 2 cm. NO 6 cm, 4 cm, 3 cm. SI 6 cm, 3 cm, 2 cm. NO Si construiste los triángulos con las tiras que cortaste de acuerdo a las medidas que aparecen en la tabla, te darás cuenta que solo dos triángulos se pueden construir y tres no. ¿Por qué pasa esto? Esto se debe a cierta propiedad que guardan los lados del triángulo. Esta propiedad nos dice: Para poder construir un triángulo, la suma de la medida de dos de sus lados debe ser mayor a la medida del tercer lado. Tomemos como ejemplos dos medidas de los lados de un triángulo que aparecen en la tabla. Ejemplo 1. Medidas: 8 cm, 3 cm, 2 cm. Lo que haremos es sumar dos de sus lados y comparar el resultado con el tercer lado, en todos los casos la suma debe ser mayor que la medida del tercer lado. 8 + 3 = 11, 8 + 2 = 10, 3 + 2 = 5, 11 es mayor que 2, que es la medida del tercer lado 10 es mayor que 3, que es la medida del segundo lado. 5 es menor que 8, que es la medida del primer lado. Como puedes observar, no todas las sumas de dos de los lados son mayores que la del tercer lado. En el último caso la suma fue menor, por lo tanto, el triángulo con las medidas mencionadas, NO SE PUEDE CONTRUIR. 1 Matemáticas º Secundaria Ejemplo 2. Medidas: 8 cm, 6 cm, 4 cm. Repetimos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior. 8 + 6 = 14, 8 + 4 = 12, 6 + 4 = 10, 14 es mayor que 4. 12 es mayor que 6. 10 es mayor que 8. Como puedes observar, en todos los casos, la suma de las medidas de dos de los lados es mayor que la medida del tercer lado, por lo tanto, el triángulo con las medidas mencionadas, SI SE PUEDE CONSTRUIR. De esta forma puedes saber, cuando es posible o no construir un triángulo dadas sus tres medidas. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación. 1 Matemáticas Secundaria º Lo mismo ocurre con los triángulos. Dos triángulos son congruentes cuando sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Sin importar la posición u orientación en la que se encuentren. Los triángulos anteriores son congruentes ya que tienen las mismas medidas aunque no conserven la misma posición. El símbolo utilizado para señalar congruencia es el siguiente. Los criterios de congruencia de triángulos más usuales son tres. 1.- Criterio LLL (Lado, lado, lado) 2.- Criterio ALA (Ángulo, lado, ángulo) 3.- Criterio LAL. (Lado, ángulo, lado) 1 Matemáticas Secundaria º Observa los siguientes ejemplos, en ellos te podrás dar cuenta si existe o no congruencia y de que criterio se trata. Ejemplo 1. En este caso los lados correspondientes de ambos triángulos tienen las mismas medidas, por lo tanto podemos decir que existe congruencia por el criterio LLL (Lado, lado, lado). Ejemplo 2. 1 Matemáticas º Secundaria Los triángulos son congruentes, porque tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. Criterio ALA (ángulo, lado, ángulo). Ejemplo 3. Como te puedes dar cuenta, en este caso ambos triángulos tienen los lados correspondientes iguales y el ángulo comprendido entre ellos tambien es igual, por lo tanto podemos decir que existe congruencia por el criterio ALA (lado, ángulo, lado). PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. Perímetro es la medida obtenida como resultado de la suma de los lados de una figura geométrica plana. Es decir, el perímetro es lo que mide el contorno de la figura. El perímetro es, por tanto, una medida de longitud, por lo que vendrá en centímetros, metros, pulgadas… en general, en unidades lineales. Para calcular el perímetro de una figura, basta con sumar todos sus lados, sin embargo, existen fórmulas que nos pueden llevar a calcularlo de una manera más sencilla. 1 Matemáticas º Secundaria ÁREA DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS. El área o superficie de una figura plana hace referencia a la cantidad de espacio que se encuentra delimitado dentro de una figura plana. Sin embargo a diferencia del perímetro en donde para calcularlo solo necesitábamos sumar sus lados en este caso se utilizan diversas fórmulas y procesos para poder encontrar el área de una figura plana. Dependiendo cuantos lados tenga esta y si es regular o irregular. El área o superficie además es una magnitud de dos dimensiones es decir involucra siempre el largo y el ancho de una figura por lo que la unidad de medida que utilicemos debe ser expresada siempre al cuadrado. Ejemplo cm2, m2, km2, etc. En este caso calcularas áreas de triángulos y cuadriláteros, por lo que es conveniente recordar que son los cuadriláteros y como se clasifican. No se te olvide, que al inicio de la ficha, mencionamos como se clasifican los triángulos según sus lados y según sus ángulos, igual mencionamos cuanto suman sus angulos interiores. Un cuadrilátero, en matemáticas es un polígono que cuenta con cuatro ángulos y cuatro lados. La suma de sus ángulos interiores es de 3600. Los cuadriláteros se clasifican de la siguiente manera. Es necesario mencionar que en la primaria aprendiste a calcular áreas y perímetros de figuras geométricas, incluyendo la longitud de la circunferencia y el área del círculo. 1 Matemáticas º Secundaria Para ayudarte a recordar, puedes apoyarte en el siguiente formulario de perímetros y áreas, que aparece a continuación. A continuación algunos ejemplos de perímetros y áreas de figuras geométricas. Triángulo isósceles. 1 Matemáticas º Secundaria Rectángulo. Cuadrado. Recuerda que elevar un número a la segunda potencia o al cuadrado, consiste en multiplicar el número por sí mismo (1.20)2 = 1.20 x 1.20 = 1.44 Rombo. 1 Matemáticas º Secundaria En este caso para hallar el perímetro, tambien se puede multiplicar la medida de un lado por el número de lados, ya que el rombo tiene sus cuatro lados iguales. P = 4 x 5 = 20 cm Trapecio. Romboide. 1 Matemáticas º Secundaria Polígono regular (Pentágono). Longitud de la circunferencia y área del círculo. Longitud de la circunferencia = perímetro. Para aprender más Como sugerencia y si cuentas con los medios necesarios puedes apoyarte en los siguientes videos. Video. UNICIDAD DE TRIANGULOS https://www.youtube.com/watch?v=9SHUf5K2ESk Video. CONGRUENCIA Súper fácil congruencia para principiantes https://www.youtube.com/watch?v=Y37rNwZ_aGc Video. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Súper fácil https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4&t=50s Video. Perímetros y áreas de figuras. https://www.youtube.com/watch?v=s4l-jE3RhVg 1 Matemáticas º Secundaria Manos a la obra Resuelve. 1.- Recuerda que en la primaria aprendiste a trazar triángulos con escuadra y compas. Si no te acuerdas fíjate bien en las imágenes. Te servirán de apoyo para las actividades siguientes. 2.- Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar los siguientes triángulos cuyos lados midan. a) 8 cm, 9 cm, 7 cm. b) 9 cm, 5 cm, 6 cm. c) 6 cm, 3 cm, 2cm. 3.- Respondan las preguntas. a).- ¿Pudieron trazar los tres triángulos? ________________ b).- ¿Cuál no fue posible trazar? ____________________ c).- Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo. _________________ d).- Tracen triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm, y escribe cuanto midió el tercer lado. _________________ e).- Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero, ¿Cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y 3cm? _________________ 4.- Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazar un triángulo. a).- ¿Cuáles son esas medidas? ____________, ____________, ____________ b).- Tracen el triángulo y verifiquen sí pudieron trazarlo; si no pudieron intenten con otras medidas y escríbanlas. 1 Matemáticas º Secundaria 5.- Sin hacer trazos, escriban SI a los triángulos que se pueden trazar y NO a los que no se pueden trazar. Medidas de los lados del triángulo. ¿Es posible trazar el triángulo? 10 cm, 5 cm, 5 cm. 8 cm, 9 cm, 2 cm. 1 cm, 0.5 cm, 2 cm. 2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm. 4.5 cm, 3.5 cm, 9 cm. 6.- Analiza los siguientes triángulos y con base en la información, determina si son o no congruentes y por qué criterio. 580 2cm 1 2 1010 3 cm 3 2cm 4 cm cmc mcm Escribe tu respuesta: cmc 7.- Encuentra el perímetro de las siguientes mcm figuras geométricas. a).- Un cuadrado que mide 16.4 cm, de lado. b).- Un rectángulo que mide 35. 5 cm, de largo y 23.7 cm, de ancho. c).- La longitud de la circunferencia que tiene un radio de 3 cm. 3 cm 210 1 Matemáticas º Secundaria 8.- Encuentra el área de los siguientes polígonos. a).- Un triángulo que tiene de base 16.4 cm, y una altura de 12.6 cm. b).- Un hexágono regular que mide 8.5 cm, por lado y de apotema 6 cm. c).- Un romboide de 15.3 cm, de base y 9.7 cm, de altura. d).- Un rombo, cuya diagonal mayor es de 13.2 cm, y diagonal menor 10.4 cm e).- Un trapecio de base mayor 18 cm, base menor 11 cm, y altura 9 cm. Repaso y practico Resuelve los siguientes problemas. 1.- Antonio realiza su entrenamiento diario, corriendo alrededor de un parque de forma rectangular que mide 56 m, de largo y 43 m, de ancho, si en el entrenamiento de hoy Antonio dio 12 vueltas al parque ¿Cuántos metros y cuántos kilómetros recorrió? 2.- Una persona quiere colocar triple cerca de alambre alrededor de un terreno en forma de pentágono regular que mide 45 m, por lado ¿Cuánto gastará en alambre, si el metro cuesta $21.50? 3.- Calcula el número de mosaicos cuadrados que hay en un salón rectangular de 6 m de largo y 4,5 m de ancho, si cada mosaico mide 30 cm de lado. 4.- Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el m2 de tela cuesta $98.5 5.- Calcula lo que costará sembrar césped en un jardín de forma circular que mide 3 m, de radio, si el metro cuadrado de césped plantado cuesta $53.5 Lo que aprendí Rellene los círculos si observa que su hijo(a) logró lo siguiente. o Identifica cuando un triángulo se puede o no se puede trazar. o Entendió los criterios de congruencia de triángulos. o Comprende como se clasifican los triángulos por sus lados y por sus ángulos. o Utiliza las fórmulas de perímetros y áreas para resolver problemas. o Resolvió los ejercicios de la ficha con ayuda.
