guia # 1 - JC Dataserver

UNIDAD I
CONCEPTOS BÁSICOS.
CONJUNTOS:
Es
la
agrupación,
colección,
p e r f e c t a m e n t e d e f i n i d o s . S e d e n o t a c o n l e t r a s m a yú s c u l a s .
reunión
de
elemento
ELEMENTOS: Son los que conforman, integran los conjuntos. Se denotan con
letras minúsculas o símbolos.
SUB-CONJUNTOS: Dado dos conjuntos A y B se dice que un conjunto A es
un subconjunto de B, si y solo si todo y cada uno de los elementos que integran el
conjunto A están incluido en el conjunto B.
PERTENENCIA: Se denota con el símbolo E, se dice que un elemento forma
parte de un conjunto determinado.
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS:
COMPRENSIÓN: Cuando se identifica la característica principal que permite
reconocer, cuantificar todo y cada uno de los elementos que integran el conjunto.
EXTENSIÓN: Un conjunto estará definido por extensión cuando se enuncia,
enumera todo y cada uno de los elementos que integran el conjunto.
CONJUNTOS NOTABLES:
a) CONJUNTO UNITARIO: Es aquel conjunto constituido por un solo
elemento.
b) CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene elementos se denota
con el símbolo .
c) CONJUNTO FINITO: Podemos decir intuitivamente un conjunto finito es
aquel que sus elementos lo podemos contar o enunciar perfectamente, es decir, su
proceso de contar puede acabar.
Ejemplo: números dígitos.
d) CONJUNTO INFINITO: Podemos decir intuitivamente que el conj unto
infinito es aquel que en sus elementos no podemos contar es que siempre existió un
n+1.
Ejemplo: el conjunto de los números naturales.
e ) C O N J U N T O S D I S J U N T O S : D a d o d o s c o n j u n t o s A y c o n j u n t o B s i n i n gú n
elemento del conjunto A está incluido en el c onjunto B y ningún elemento del
conjunto B está incluido en el conjunto A estaremos en presencia de conjuntos
disjuntos.
f) IGUALDAD DE CONJUNTOS: Si y solo si todo elemento del conjunto A
está incluido en el conjunto B y viceversa.
g) CARDINAL DE UN C ONJUNTO: Está dado por el número de elementos
que tenga el conjunto.
h) CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto que contiene la totalidad de
los elementos del tema de referencia.
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
a) UNIÓN DE CONJUNTO: Dado 2 conjuntos A y B, formaremos un nuevo
conjunto U con los elementos que pertenece al conjunto A más los elementos que
pertenece al conjunto B. Se denota con el símbolo  .
A  B = {x/x  A ^  B}
b) INTERSECCIÓN DE CONJUNTO: Dado 2 conjuntos A y B, formaremos
un nuevo conjunto con los elementos que simultáneamente pertenecen al conjunto A
y al conjunto B. Se denota con el símbolo  .
A  B = {x/x  A v x  B}
c) DIFERENCIA DE CONJUNTO: Dado 2 conjuntos, conjunto A y B
formaremos un nuevo conjunto con los elementos que distinguen a uno con respecto
al otro. Se denota con el signo negativo ( -)
A-B = {x/x  A ^ x  B}
d) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Dado 2 conjuntos A y B si y solo
si A es subconjunto de B, existe complemento. Si existiere formaremos un nuevo
conjunto con los elementos que le haga falta al conjunto A pasa a ser igual al
c o n j u n t o B . S e d e n o t a c o n e l s í m b o l o CBA y s e l e e c o m p l e m e n t o d e l c o n j u n t o A c o n
respecto al conjunto B.
CBA = { x / x  B ^ x  A  A c B }
SIMBOLOGÍA DE REFERENCIA.
Símbolo


U

CBA


/

^

(x,y)
{}


Significado
Pertenencia
No Pertenencia
Unión
Intersección
Diferencia, menos
Complemento de A con
Respecto a B
Si y solo si bicondicional
Implica
Tal que
Vacío
Y conjunción lógica
Es aproximado igual a
Coordenadas cartesianas
Llaves
Subconjunto o inclusión
No es subconjuntos
Símbolo
V
=


N
R
Significado
O disyunción lógica
Igual
Mayor o igual
Menor e igual
Números naturales
Números reales
Z
Q
I
//

M
(fog)
Dmf
Rgf
Lim f(x)
xc
Números enteros
Números Racionales
Números irracionales
Valor absoluto
Raíz cuadrada
Pendiente de una recta
Función compuesto de x
Dominio de una función
Rango de una función
Límite de una función cuando x
tiende a c
(a,b)

V
f(x)
Log
f-1
Intervalos
Existe
Para todo
oo
-oo
( )
Infinito
Menos infinito
Intervalo abierto
Función de x
Logaritmo
Función inversa
[ ]
( ]
[ )
Intervalo cerrado
Semi-Abierto o Semi-Cerrado
Semi-Abierto o Semi-Cerrado
NÚMEROS NATURALES: Es el conjunto numérico formado por los números
positivo que no tiene decimales. Se denota con la letra N.
NÚMEROS ENTEROS: Es el conjunto numérico formado por números
positivo y negativo que no tiene cifra decimal. Se denota con la letra Z.
NÚMEROS RACIONALES: Son números fraccionarios y su razón puede ser:
a) Entero.
b) Entero con decimales y su cifra decimal periódica.
c) Entero con decimal y su cifra decimal finita.
Este conjunto numérico se denota con la letra Q.
NÚMEROS IRRACIONALE S: Es el conjunto numérico formado por los
números enteros con decimales y su cifra decimal infinita y no periódica. Estos
números puede ser fracciones o raíces que no son cuadradas perfectas. Se denota
c o n l a l e t r a I.
EJEMPLOS DE CONJUNTOS:
A = {x/x = los dedos de las manos}
B = {4x = las vocales}
C = {x/x  Z –2  x  4}
D = { Lo s m e s e s d e l a ñ o }
Este conjunto ¿cómo están definidos?
Atendiendo el concepto de definición de conjunto están expresado por
c o m p r e n s i ó n ya q u e s o l a m e n t e n o e s t á n d a n d o l a c a r a c t e r í s t i c a q u e i d e n t i f i c a a l a
totalidad de los elementos que integran ese conjunto, es decir, no se está
enunciando, señalando a todos los elementos.
A = {pulgar, índice, medio, anular, meñique}
B = {a,e,i,o,u}
C = {-2,-1,0,1,2,3,4}
D = { E n e r o , F e b r e r o , M a r z o , A b r i l , M a yo , J u n i o , J u l i o , A g o s t o , S e p t i e m b r e ,
Octubre, Noviembre, Diciembre}
Cuando señalamos toda y cada una de los elementos que integran los conjuntos
estaremos expresando el conjunto por extensión.
F = {x/x = los estudiantes marciano de la UNERMB}
H = {x/x = el estudiante con el mejor promedio histórico de la UNERMB}
 = {x/x = comunidad estudiantil de la UNERMB}.
Este conjunto como comprendemos y entendemos cuales son los el ementos que
lo integra concluimos que están expresado por comprensión, para poder trabajar con
ellos necesitamos expresarlo por extensión.
F =  no existe un estudiante marciano en la universidad por lo tanto ese es
un conjunto vacío.
H = { J u a n P é r e z } E s t e e s u n c o n j u n t o u n i v e r s i t a r i o ya q u e s o l o e x i s t e u n
estudiante con el mejor promedio histórico.
 = {Son todo y cada uno de los estudiantes de la universidad} estaremos en
presencia del conjunto universal.
K = {x/x  Z – 6  x  4}
L = {x/x  Z – 8  x  6}
Estos conjuntos está expresado por comprensión para trabajar con ello, lo
llevaremos a extensión.
K = {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
L = {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
Si observamos todos los elementos que integran el conjunto K están incluido o
p e r t e n e c e a l c o n j u n t o L, e s d e c i r , q u e e l c o n j u n t o K e s u n s u b c o n j u n t o d e l c o n j u n t o
L.
KcL = {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
K c L s e l e e K e s s u b c o n j u n t o d e l c o n j u n t o L.
O P E R A C I O N E S FU N D A M E N T A L E S C O N C O N J U N T O S :
Ejemplo: dadas dos conjuntos A y B.
A = {x/x  Z – 4  x  6}
B = {x/x  Z – 8  x  7}
Operando con los conjuntos encontraremos:
a)
b)
c)
d)
Unión.
In t e r s e c c i ó n .
Diferencias.
Complementos.
Procedemos a expresar ambos conjuntos en extensión.
A = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
B = {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
Lu e g o a p l i c a m o s e l c o n c e p t o d e l a o p e r a c i ó n e n c u e s t i ó n .
UNIÓN DE CONJUNTO.
a) AuB = {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}, es decir, hemos reunido los
e l e m e n t o s q u e i n t e g r a n e l c o n j u n t o A m á s l o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o B . Lo s
elementos solamente los colocamos una sola vez.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
b) AnC = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} ==> solamente son los elementos que
simultáneamente se encuentran en ambos conjun tos.
DIFERENCIAS DE CONJUNTOS.
c) Ci B-A = {-8,-7,-6,-5,7}, estos son los elementos que tiene el conjunto B
que lo diferencia del conjunto A.
Cii A-B =  no existe un elemento del conjunto A lo diferencia del conjunto
B, es decir, el conjunto A está incluido en el conjunto B.
COMPLEMENTOS DE CONJUNTOS.
d ) CBA = { - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , 7 } , p r i m e r o r e v i s a m o s s i c u m p l e l a c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e y
necesaria de que el conjunto A sea subconjunto del conjunto B, como si cumple la
condición, entonces el complemento de A con respecto a B estará formado por los
elementos que le falt a al conjunto A para ser igual al conjunto B.
C AB =  ya q u e e l c o n j u n t o B n o c u m p l e l a c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e n e c e s a r i a d e
ser subconjunto de A por lo tanto no existe el complemento.
Ejemplo:
C = {x/x  Z – 8  x  2}
D = {x/x  Z – 2  x  6}
Estos ejemplos están expresado por comprensión para poder operarlos las
llevamos a extensión.
C = {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}
D = {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
i CuD = {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}; es decir, todo elemento del
conjunto C reunido con el conjunto D.
ii DnC = {-2,-1,0,1,2}; son los elementos que pertenece al conjunto C
simultáneamente al conjunto D.
iii D-C = {3,4,5,6} son los elementos que diferencia el conjunto D del
conjunto C.
iv C-D = {-8,-7,-6,-5,-4,-3}, son los elementos que hace distintos al conjunto
C del conjunto D.
v CCD =  = = > q u e e l c o n j u n t o D n o c u m p l e l a c o n d i c i ó n a n t e r i o r , e s d e c i r q u e
el conjunto D sea subconjunto del conjunto C.
Ejemplo:
i) Una empresa distribuidora de calzado, calcetines, franelas denominado
Vanessa, C.A.
ii) Una organización empresarial dedicada a la distribución de franelas,
gorros, calcetines, camisas, correas, calzado, llamado Angel, C.A.
Un inversionista regional decide comprar ambas empresas y tiene un conjunto
de alternativas.
a) Fusionar las empresas:
V = Empresa Vanessa C.A. = {calcetines, franelas, calzado}
A = Empresa Angel C.A. = {franelas, gorras, calcetines, camisas, correas,
calzado}
V u A = La n u e v a e m p r e s a u n i d a t e n d r á u n c o n j u n t o d e p r o d u c t o s a d i s t r i b u i r
VuA = {franela, gorras, calcetines, camisas, correas, calzados}
b) Comparar los esfuerzos de comercialización de sus empresas para
determinar si en un momento determinado puede distribuir el producto
simultáneamente de ambas empresas.
VnA = {Calzado, calcetines, franelas}, son los únicos productos que puede
distribuir simultáneamente.
c) Puede diferenciar los productos comercializado de la empresa Vanessa con
los de la empresa Angel C.A. y viciversa.
ci V-A =  no existe un producto de la empresa Vanessa que no está
d i s t r i b u ye n d o l a e m p r e s a A n g e l .
cii A-V = {Camisas, correas, gorras} estos son los productos que diferencia
a la empresa Angel C.A. de la empresa Vanessa C.A.
d) Puede complementar una empresa con la otra.
d i ) C VA = { C a m i s a , c o r r e a , g o r r a s } e s t o s s o n l o s p r o d u c t o s q u e l a e m p r e s a
Vanessa C.A. le falta para distribuir los mismos productos de la empresa Angel C.A.
d i i ) CVA =  l a e m p r e s a A n g e l C . A . n o l e h a c e f a l t a d i s t r i b u i r n i n g ú n
producto de la empresa Vanessa C.A.
OPERACIONES FUNDAMENTALES
DIAGRAMAS DE VENN EULER.
DE
CONJUNTOS
SEGÚN
LOS
UNIÓN: Es la reunión de los elementos del conjunto A más los elementos del
conjunto B.
No. 1
No. 2

A
B
No. 3

A

B
B
A  B = lo rayado
A
A  B = lo rayado
Figura No. 1: Representamos gráficamente los conjuntos A y el conjunto B.
Figura No. 2: Representamos la unión al conjunto A y el conjunto B.
Figura No. 3: Representamos al igual que en la Figura No. 2 la unión, pero
nótese en este caso que el conjunto B es subconjunto del conjunto A.
INTERSECCIÓN: Son los elementos que simultáneamente se encuentran en
ambos conjuntos.
No. 1
No. 2
No. 3

C

D
C

D
C
C  D = lo rayado
D
C  D = lo rayado
Figura No. 1: Representamos gráficamente los conjuntos C y D.
Figura No. 2: Representamos la intersección del conjunto C y el conjunto D.
Figura No. 3: Representamos la intersección al igual que la figura si y solo si
C está incluido en el conjunto D.
DIFERENCIAS
No. 1
No. 2
No. 3

A

B
A

B
E
H
A
H-E = lo rayado
E-H = lo rayado
Figura No. 1: Representación gráfica de los conjuntos E y H.
Figura No. 2: Representa los elementos que están en el conjunto E pero no en
el conjunto, es decir la difere ncia E-H.
Figura No. 3: Representa los elementos que están en el conjunto H pero no en
el conjunto E, es decir, la diferencia H -E.
COMPLEMENTO
No. 1
No. 2

L

M
L
M
Figura No. 1: Representamos gráficamente al conjunto L y al conjunto M.
Figura No. 2: Representamos al complemento del conjunto L con respecto al
conjunto M ya L cumple con la condición de ser subconjunto del conjunto M, en
consecuencia lo rayado se representa los elementos que le falta a L para ser igual
al conjunto M.
CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES.
El conjunto de los números reales está formado por los núm eros naturales,
enteros, racional y irracionales.
R = NCZ < QUI
CONJUNTO DE NÚMEROS
Números
Complejos
Números
Racionales
Números
Reales
Números
Irracionales
Números
Enteros
Enteros
Negativos
Números
Naturales
Cero
Números
Primos
NÚMEROS NATURALES: Cuando hablamos de este conjunto numérico
hablamos de los números que nos sirve para contar. Este conjunto se caracteriza por
t e n e r u n p r i m e r e l e m e n t o q u e e s e l n ú m e r o u n o ( 1 ) . Lo s n ú m e r o s n a t u r a l e s e s u n a
sucesión de números infinitos. Se denota con la l etra N.
N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 n+1  N
Representación gráfica de un número natural.
Trazamos la recta real.
1  N
4

N
N
3  N
8

N
n+1 = N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Podemos representar cualquier número natural en la recta real.
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES.
a) CONMUTATIVO:
a + b + c = d => 18 +
a + c + b = d => 18 +
b + c + a = d => 20 +
El
20
15
15
orden de los sumandos no altera el resultado.
+ 15 = 53
+ 20 = 53
+ 18 = 53
b) PROPIEDAD UNIFORME: Si se suma miembro a miembro dos o más
igualdades se obtiene otra igualdad.
a = b ==>
8 + 2 + 3 =
6 + 1 + 6
c = d ==> 4 + 2 + 5 =
3 + 6 + 2
e = f ==> 7 + 4 + 1 =
10 + 2
Entonces se suma todos los del primer miembro, más todo los del segundo
miembro.
a + c + e = b + d + f
a
c
e
b
d
f
8+2+3 + 4+2+5 + 7+4+1 = 6+1+6 + 3+6+2 + 10+2
c ) P R O P I E D A D A S O C I A T I V A : D a d o 2 o m á s s u m a n d o s , s i s e s u s t i t u ye u n o
d e l o s s u m a n d o s p o r s u s u m a ya e f e c t u a d a n o s e a l t e r a e l r e s u l t a d o .
Ejemplo:
a + b + c = d => 6 + 4 + 10 = 20
a + (b + c) = d => 6 + (4 + 10) = 20
(a + b) + c = d => (6 + 4) + 10 = 20
Entonces
==>
(a + b) + c = a + (b + c)
(6 + 4) + 10 = 6 + (4 + 10)
10 + 10 = 6 + 24
20 = 20
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
SUMA O ADICIÓN: Dado un número natural a y b la suma de ello será otro
número natural c.
a + b = c
Donde a,b son los sumandos, c es igual a la suma o resultado.
3 + 6 = 9
1240 + 1855 = 3095
L O S N Ú M E R O S E N T E R O S : La e v o l u c i ó n d e l a s o c i e d a d o r i g i n a l a n e c e s i d a d
de ampliar los números naturales que no se tenía respuesta cuando el minuendo es
menor en término absoluto que el sustraendo, es decir 6 – 8 = -2 nose este conjunto
numérico que comprende positivo y negativo. Se denota con la letra Z.
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
7
6
5
-6
-2
4
6




Z
Z
Z
Z
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Entonces podemos concluir que todo número natural será siempre un número
entero.
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS
SUMA: Es el proceso mediante el cual agregamos las unidades del primero al
segundo tomado en cuenta su signo.
-8 + 4 = 12
(-8) + 4 = -4
PROPIEDADES PARA LA ADICIÓN:
i) Asociativo:
(a + b) + c = a + (b + c)
(-4 + 5) + (-2) = (-4) + (5-2)
(4 + 8) + 6 = 4 + (8 + 6)
1 – 2 = -4 + 3
12 + 6 = 4 + 14
-1 = -1
18 = 18
ii) Elemento Neutro: Este es un número que sumado a otro número entero no
altera la suma a + o = a
-6 + 0 = -6 ; 8 + 0 = 8 ; 102.468 + 0 = 102.468
iii) Conmutativo:
a + b = b + a
(125400) + 180302 = 180302 + ( -125400)
- (8) + 10 = 10 + (8)
54902 = 54902
2 = 2
DIFERENCIA: Es el proceso mediante el cual al minuendo de un número
entero lo restado el opuesto del sustraendo.
(+18400) – (+15200) = (+18400) + (-15200)
3200 = 3200
(+8) – (+2) = (+8) + (-2)
6 = 6
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA
La diferencia no tiene la propiedad asociativa y conmutativa.
ELEMENTO NEUTRO: Para la diferencia de entero el elemento neutro es el
cero (0).
8 – 0 = 8
-8 – 0 = -8
MULTIPLICACIÓN: Es el proceso mediante el cual sumamos un número
tantas veces diga el segundo, el resultado lo llamaremos producto.
3.4
12
=
; 6.8 = 48 ; 1874 x 1942 = 3639308
Factores
Producto
P R O P I E D A D E S P A R A L A M U L T I PL I C A C I Ó N :
i) Conmutativa:
(a.b) = (b.a)
[(18245. (-302)] = [(-302).18245)]
[(-7).6] = [6.(-7)]
-5540190 = -5540190
-42 = -42
ii) Asociativa:
(a.b).c = a(b.c)
[(-8).6].10 = (-8)[6.10] ; [(-182).(-12)].18 = (-182) [(-12).(18)]
(-48).(10) = (-8) (60)
(2184).(18) = ( -182) (-216)
-480 = -480
39312 = 39312
iii) Producto por Cero: El producto de todo número entero por cer o siempre su
resultado es cero (0).
(182).(0) = 182 ; (182460).(0) = 182460
PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA
DE
LA
RESPECTO A UNA SUMA ALGEBRAICA.
MULTIPLICACIÓN
CON
Es el proceso mediante el cual se multiplica una suma algebraica por un
número entero, es decir, se multiplica cada uno del sumando por el número entero
(respetando la ley de signo) y posteriormente sumamos los resultados.
i) a (b + c) = (ab) + (ac)
ii) (a + b) (c + d) = (a + b).c + (a + b) d
i) 2 [(-4)+6] = (2(-4)) + (2.6)
= -8 + 12
= 4
ii) (18 + 15) (-20 + 12) = [(18 + 15).( -20)] + [18 + 15] (12)]
= [(33) (-20)] + [(33).(12)]
= -660 + 396
= -264
NÚMEROS RACIONALES: Cuando hablamos de los números racionales nos
referimos a los números fraccionarios o quebrados . Se denota con la letra Q.
Este conjunto numérico se representa de la siguiente forma a/b donde a es
numerador y b es el denominador. Este conjunto numérico se puede decir que
razón de 2 números enteros en consecuencia todo número entero será un racional .
característica principal que identifica los racionales está en la periodicidad de
cifra decimal, no obstante podemos definir los racionales según la razón de ellos
dos (2) categorías:
el
la
La
su
en
1) Cuando su razón es un entero con decimal 4, su cifr a decimal en período es
cero 00
6/3 = 2,00 -8/2 = -4,00 5/2 = 2,500
2) Cuando su razón es un entero con decimales y cifra decimal es periódica =
de cero (0)
29/12 = 2,416 ; 29/7 = 2,1428571 ; -10/3 = -3,3 ; 39/11 = 3,54
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RACIONALES.
6/3  Q
-24/12 = 2
-8 -7 -6
-5 -4
-3 -2 -1 0
-5/2 = 2,5
1
2
3
4
5
6
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONAL
SUMA: Se presenta de dos formas:
ad + bc
a/b + c/d =
bd
(3.4) + (5.6)
3/5 + 6/4 =
42
=
bd
20
En los denominadores son iguales, procedemos:
c
a + c
a/b +
=
b
b
10
6/3 + 4/3 =
sumamos los denominadores
3
PROPIEDADES PARA LA SUMA:
Asociativa:
(a/b + c/d) + 1/9 = a/b + (c/d + 1/4)
(6/3 + 4/5) + 3/2 = 6/3 + (4/5 + 3/2)
30 + 12
(8 + 15)
+ 3/2 = 6/3 +
15
10
42
23
+ 3/2 = 6/3 +
15
10
84 + 45
60 + 69
=
30
30
129
129
=
30
30
Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
a/b + c/d = c/d + a/b
6/8 + 8/5 = 8/5 + 6/8
30 + 64
64 + 30
=
40
40
94
94
=
30
30
ELEMENTO NEUTRO: Cuando un número racional se le suma sin alterar la
suma.
a
24 + 0
+ o/c ==> 3/2 + 0/8 =
b
24
=
16
8 + 0
4/3 + 0/2 =
= 3/2
16
4
=
6
3
EXISTENCIA DEL OPUESTO: Todo número racional tiene un opuesto que
hace cero (0) su suma radar.
0
a/b + (-a/b) ==> 6/2 + (-6/2) =
2
a/b
UNIFORME: Es proceso mediante el cual la suma miembro a miembro de 2
números racionales para la misma.
a/b = c/d
f/g = h/i
a/b + 1/9 = c/d + h/i ==>
2/4 = 6/12
10
5/3 =
6
6 + 20
2/4 + 5/3 = 6/12 +
==>
12
26
36 + 120
=
==>
72
156
=
12
72
DIFERENCIA: Se denomina diferencia de números racionales a la suma del
minuendo con el opuesto del sustraendo.
𝑎
𝑐
𝑎.𝑑
6
2
– 𝑑 = 𝑏.𝑐 = 3 − 5
𝑏
(6.3) – (3.2)
18 – 6
=
12
=
(3.5)
15
15
Podemos concentrar en otro caso:
-2
-3
2
-
3
=
4
6
+
12 + 12
=
4
-24
=
6
24
= 1
24
MULTIPLICACIÓN: El producto de números racionales es otro número
r a c i o n a l , e s t á i n t e gr a d o e l n u m e r a d o r p o r e l p r o d u c t o d e t o d o s l o s n u m e r a d o r e s , e l
denominador entero integrado por el producto de todos los nominadores.
a
c
ac
.
=
==> la ley de los paralelos
b
d
bd
6
8
48
.
=
8
5
40
-7
4
-28
.
2
=
3
6
P R O P I E D A D E S P A R A L A M U L T I PL I C A C I Ó N .
Cumple todas las propiedades de los números enteros:
UNIFORME: El producto de todo número racional no depende de las
fracciones elegidas.
ASOCIATIVA: Es un producto de números racionales puede sustituirse dps de
los factores por el prod ucto efectuado.
CONMUTATIVO: El orden de los factores no alteran el producto.
ELEMENTO NEUTRO: Se multiplica un número racional por de la siguiente
forma a/a siempre dará el mismo resultado del primero.
c
a/b .
8
==>
c
1
.
3
8
=
1
3
ELEMENTO INVERSO: Es el que multiplicado por un número racional hace
que su producto es el elemento neutro.
a
a/b . b/a =
==>
a
18
6/3 . 3/6 =
= 1
18
PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA
DE
LA
RESPECTO A LA SUMA ALGEBRAICA:
MULTIPLICACIÓN
CON
Es el proceso mediante el cual el factor se multiplica por cada término de la
suma algebraica, tomando en cuenta la ley de los signos, luego se suma los t érminos
planteados.
a
c
i)
.
+ 1/9 = (a/b c/d) + (a/b 1/9)
b
d
a
ii)
+ c/d
(e/r + g/h) = (a/b + c/d) (e/f) + (a/b + c/d) (g/h)
b
-42
i) –6/4 (7/5 + 8/2) =
-336 – 960
48
-
==>
20
-1296
=
8
160
116
Simplificando:
324
==>
29
ii) (-3/2+4/3) (5/4+2/5) = ( -3/2+4/3).(5/4) + (-3/2+4/3) (2/5)
-9 + 8
==>
-9 + 8
. (5/4) +
. (2/5
6
6
-1
-1
==>
. (5/4) +
6
6
-5
==>
-2
+
24
-198
==>
720
-150 – 48
720
(2/5)
-150 - 4
. =
30
720
-198
720
COCIENTE DE NÚMEROS RACIONALES: Es el proceso mediante el cual el
primer número racional por el inverso del segundo.
ad
a/b  c/d =
bd
(-8.5)
-8/3  6/3 =
-40
=
(3.6)
18
NÚMEROS RACIONALES: Es el conjunto numérico formado por los que no
son números cuadrado perfecto, es decir, su cifra decimal es infinita y no periódica.
Ejemplo:
0 , 2 = 1,4142135... ==> que su cifra decimal es infinita y no periódica.
3 = 1,7320508
 = 3,1415...
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
El presente cuadro lo realizaremos siempre que manejemos y apliquemos los
conceptos de los números naturales, números enteros, números racionales y números
irracionales.
Valores Reales
Conjuntos numéricos
2
2
2
3
 125
 16
26/7

18/2
-4
-
2
4
N









Z









Q









I









R









2. 2
a)
2
b)
2
=
2
=
2
= 1; como es positivo es natural.
2
 125 = - 5 ; c o m o e s n e g a t i v o e s e n t e r o .
c )  16 = n o e x i s t e s o l u c i ó n e n l o s n ú m e r o s r e a l e s ya q u e e s t e e s u n n ú m e r o
complejo o imaginarios.
d) 26/7 = 3,714285; como es un entero con decimal y su cifra decimal es
periódico, es un número racional.
e)  = 3,141592654... la cifra decimal es infinita y no periódica por lo tanto
será un número irracional.
f) 18/2 = 9 este es un número natural porque es entero positivo.
g) -4 = es un entero negativo.
h) - 2 = -1,414213562... la cifra decimal es infinita y no periódico por lo
tanto es un número irracional.
i)
4 = 2 es un número natural.