Apuntes de Calculo diferencial 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Intervalos Los intervalos se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualdades en una variable. El conjunto de soluciones de tal desigualdad es el conjunto de todos los números que satisfacen la misma. Intervalo abierto Sean y dos números tales que . El conjunto de todos los números comprendidos entre y recibe el nombre de intervalo abierto de a y se escribe . Se trata entonces del conjunto de todos los números que cumplen la desigualdad , que son todos los puntos que se encuentran a la derecha de y a la izquierda de en la recta numérica. Los puntos y reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos. En la figura de la derecha observamos el intervalo abierto en forma gráfica. Todos los puntos en línea gruesa se incluyen dentro del conjunto y los círculos “abiertos” (solo la circunferencia) denotan que el punto dado no se incluye dentro del conjunto. Intervalo cerrado Sean y dos números tales que . El conjunto de todos los números comprendidos entre y y que incluyen a y recibe el nombre de intervalo cerrado de a y se escribe . Se trata entonces del conjunto de todos los números que cumplen la desigualdad , que son todos los puntos que se encuentran a la derecha de y a la izquierda de en la recta numérica incluyendo a y . Los puntos y reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo cerrado contiene a sus extremos. En la figura de la derecha observamos el intervalo cerrado en forma gráfica. Dr. Juan M. Camacho 1 Apuntes de Calculo diferencial 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Todos los puntos en línea gruesa se incluyen dentro del conjunto y los círculos “cerrados” (circunferencia y círculo) denotan que los puntos dados se incluyen dentro del conjunto. Intervalo semi‐abierto por la izquierda Es el conjunto de todos los números comprendidos entre y y que el extremo izquierdo no es incluido y se escribe . Se trata entonces del conjunto de todos los números que cumplen la desigualdad , que son todos los puntos que se encuentran a la derecha de y a la izquierda de en la recta numérica incluyendo únicamente a . En la figura de la derecha observamos el intervalo semi‐abierto por la izquierda en forma gráfica. Todos los puntos en línea gruesa se incluyen dentro del conjunto, el círculo “cerrado” (circunferencia y círculo) denota que el punto se incluye dentro del conjunto y el círculo “abierto” (solo la circunferencia) denota que el punto no se incluye dentro del conjunto. Intervalo semi‐abierto por la derecha Es el conjunto de todos los números comprendidos entre y y que el extremo derecho no es incluido y se escribe . Se trata entonces del conjunto de todos los números que cumplen la desigualdad , que son todos los puntos que se encuentran a la derecha de y a la izquierda de en la recta numérica incluyendo únicamente a . En la figura de la derecha observamos el intervalo semi‐abierto por la derecha en forma gráfica. Todos los puntos en línea gruesa se incluyen dentro del conjunto, el círculo “cerrado” (circunferencia y círculo) denota que el punto se incluye dentro del conjunto y el círculo “abierto” (solo la circunferencia) denota que el punto no se incluye dentro del conjunto. Dr. Juan M. Camacho 2 Apuntes de Calculo diferencial 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Intervalos infinitos Es el conjunto de todos los números restringidos por una condición, ésta condición define el único extremo y puede ser abierto o cerrado. El siguiente es un intervalo limitado por la condición , se trata de todos los puntos que se encuentran a la derecha de en la recta numérica sin incluir a . En la figura de la derecha observamos el intervalo infinito en forma gráfica. Otros ejemplos se pueden observar en las gráficas de abajo. Dr. Juan M. Camacho 3 Apuntes de Calculo diferencial 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Ejemplos. Enunciar y dibujar los siguientes intervalos: Notación en forma de intervalo Notación en forma de Desigualdad (‐1, 3) ‐1 < x < 3 [‐1, 3] ‐1 ≤ x ≤ 3 [‐1, 3) ‐1 ≤ x < 3 (‐1, 3] ‐1 < x ≤ 3 (‐1,∞) x > ‐1 [‐1,∞) x ≥ ‐1 (‐∞, 3) x<3 (‐∞, 3] x (‐∞,∞) Gráfico 3 ‐∞ < x < ∞ Dr. Juan M. Camacho 4 Apuntes de Calculo diferencial 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Ejercicios: 1. Enunciar y dibujar los siguientes intervalos definidos por las desigualdades: a) 4 6 d) 1 b) 3 8 e) 2 c) 5 0 2. Completa la siguiente tabla: Notación en forma de intervalo Notación en forma de Desigualdad Gráfico ‐4≤ x < 3 (2, 7] (‐2, 2.5) x≤4 (4,∞) x ≥ ‐4 Dr. Juan M. Camacho 5 Apuntes de Calculo diferencial 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Dr. Juan M. Camacho 6
