ejercicios de razon 1

EJERCICIO 1
1) Formulación de hipótesis
H0 : σ2 ≤ 250
𝐻1 ∶ σ2 > 250
2) Nivel de significancia
𝛼 = 0.05
4 ) Determinación de la región de rechazo y no rechazo de
H0
De acuerdo a la distribución de probabilidad del estadístico de
prueba y el nivel de significancia según definiciones previas, la
región de rechazo de H0 es:
Reemplazando los correspondientes percentiles se tiene:
𝑅𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑅 = 𝑥 2 > 23.68
La región de no rechazo correspondiente es:
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 ≤ 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 ≤ 23.68
3) Estadístico de prueba : La
prueba de hipótesis, es respecto al
parámetro σ2 para el cual, el mejor
estimador es 𝑆 2
Por estas razones, el estadístico de
prueba adecuado es:
𝑥2 =
𝑛−1 𝑆 2
2
~𝑥
𝑛−1
2
𝜎
𝑅𝑁𝑅
𝑅𝑅
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 14, 0.95
5)
El estadístico calculado, reemplazando datos en el estadístico de prueba, es:
𝑛−1 𝑆 2
15−1 ×450
=
=
= 25.20
𝜎2
250
6) Decisión: :
Se observa que 𝑥𝑐2 e RR , por lo que , se rechaza la hipótesis nula H0
𝑥𝑐2
𝑹𝑵𝑹
𝑹𝑹
𝐱 𝐜𝟐 = 𝟐𝟓. 𝟐𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟑. 𝟔𝟖
7) Conclusión:
A un nivel de confianza del 95% la varianza poblacional es mayor que 250 (σ2 > 250 )
De esta forma , p – valor = 𝑃 𝑥 2 > 𝑥𝑐2 = 𝑃 𝑥 2 > 25.20 = 0.0326
𝑃− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 < 𝛼
0.0326 < 0.05
EJERCICIO 2
1) Formulación de hipótesis
H0 : σ2 ≤ 0.05
𝐻1 ∶ σ2 > 0.05
2) Nivel de significancia
𝛼 = 0.05
3) Estadístico de prueba : La
prueba de hipótesis, es respecto al
parámetro σ2 para el cual, el mejor
estimador es 𝑆 2
Por estas razones, el estadístico de
prueba adecuado es:
2
𝑥 =
𝑛−1 𝑆 2
2
~𝑥
𝑛−1
𝜎2
Tabla en Excel
Cantidades del total de proteína a (gramos por cada 100 ml) :
0.69
1.04
0.39
0.37
0.64
0.73
0.69
1.04
0.83
1
0.19
0.61
0.42
0.2
0.79
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la muestra
Curtosis
𝜂 = 15
𝑆 2 = 0.0787
0.642
0.072441766
0.69
0.69
0.280565755
0.078717143
-0.927220785
Coeficiente de asimetría
-0.160598442
Rango
Mínimo
Máximo
Suma
Cuenta
0.85
0.19
1.04
9.63
15
4 ) Determinación de la región de rechazo y no rechazo de H0
De acuerdo a la distribución de probabilidad del estadístico de prueba y el nivel de significancia según
definiciones previas, la región de rechazo de H0 es:
Reemplazando los correspondientes percentiles se tiene:
𝑅𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑅 = 𝑥 2 > 23.68
La región de no rechazo correspondiente es:
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 ≤ 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 ≤ 23.68
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 14, 0.95
5)
El estadístico calculado, reemplazando datos en el estadístico de prueba, es:
𝑛−1 𝑆 2
15−1 ×0.0787
=
=
= 22.04
𝜎2
0.05
6) Decisión: :
Se observa que 𝑥𝑐2 e RNR , por lo que , no se rechaza la hipótesis nula H0
𝑥𝑐2
𝑹𝑵𝑹
𝐱 𝐜𝟐
𝑹𝑹
= 𝟐𝟐. 𝟎𝟒
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟑. 𝟔𝟖
7) Conclusión:
A un nivel de confianza del 95% la varianza poblacional no es mayor que 0.05 (σ2 ≤ 0.05)
De esta forma , p – valor = 𝑃 𝑥 2 > 𝑥𝑐2 = 𝑃 𝑥 2 > 22.04 = = 0.0778
𝑃− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ≥ 𝛼 = 0.0778 ≥ 0.05
EJERCICIO 3
1) Formulación de hipótesis
H0 : σ2 ≤ 4
𝐻1 : σ2 > 4
2) Nivel de significancia
𝛼 = 0.05
4 ) Determinación de la región de rechazo y no rechazo de H0
De acuerdo a la distribución de probabilidad del estadístico de prueba
y el nivel de significancia según definiciones previas, la región de
rechazo de H0 es:
Reemplazando los correspondientes percentiles se tiene:
𝑅𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑅 = 𝑥 2 > 30.14
La región de no rechazo correspondiente es:
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 ≤ 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 ≤ 30.14
3) Estadístico de prueba : La
prueba de hipótesis, es respecto al
parámetro σ2 para el cual, el mejor
estimador es 𝑆 2
Por estas razones, el estadístico de
prueba adecuado es:
𝑥2
=
𝑛−1 𝑆 2
2
~𝑥
𝑛−1
𝜎2
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 19, 0.95
5)
El estadístico calculado, reemplazando datos en el estadístico de prueba, es:
𝑥𝑐2
=
𝑛−1 𝑆 2
𝜎2
=
20−1 ×5
4
= 23.75
6) Decisión: :
Se observa que 𝑥𝑐2 e RNR , por lo que , no se rechaza la hipótesis nula H0
𝑹𝑵𝑹
𝑹𝑹
𝐱 𝐜𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟕𝟓
𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎. 𝟏𝟒
7) Conclusión:
A un nivel de confianza del 95% la varianza poblacional no es mayor que 4 (σ2 ≤ 4)
De esta forma , p – valor = 𝑃 𝑥 2 > 𝑥𝑐2 = 𝑃 𝑥 2 > 23.75 = = 0.206
𝑃− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ≥ 𝛼 = 0.206 ≥ 0.05
EJERCICIO 4
1) Formulación de hipótesis
H0 : σ2 ≤ 25
𝐻1 : σ2 > 25
4 ) Determinación de la región de rechazo y no rechazo de H0
2) Nivel de significancia
𝛼 = 0.05
Reemplazando los correspondientes percentiles se tiene:
𝑅𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑅 = 𝑥 2 > 36.42
De acuerdo a la distribución de probabilidad del estadístico de prueba
y el nivel de significancia según definiciones previas, la región de
rechazo de H0 es:
La región de no rechazo correspondiente es:
3) Estadístico de prueba : La
prueba de hipótesis, es respecto al
parámetro σ2 para el cual, el mejor
estimador es 𝑆 2
Por estas razones, el estadístico de
prueba adecuado es:
𝑥2
=
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 𝑥 2 ≤ 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑅𝑁𝑅 = 𝑥 2 ≤ 36.42
𝑛−1 𝑆 2
2
~𝑥
𝑛−1
𝜎2
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 𝑛 − 1, 1 − 𝛼
𝑥 2 𝑥 2 > 𝑋 2 24, 0.95
5)
El estadístico calculado, reemplazando datos en el estadístico de prueba, es:
𝑥𝑐2
=
𝑛−1 𝑆 2
𝜎2
=
25−1 ×30
25
= 28.80
6) Decisión: :
Se observa que 𝑥𝑐2 e RNR , por lo que , no se rechaza la hipótesis nula H0
𝑹𝑵𝑹
𝑹𝑹
𝐱 𝐜𝟐 = 𝟐𝟖. 𝟖𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟔. 𝟒𝟔
7) Conclusión:
A un nivel de confianza del 95% la varianza poblacional no es mayor que 25 (σ2 ≤ 25)
De esta forma , p – valor = 𝑃 𝑥 2 > 𝑥𝑐2 = 1 − 𝑃 𝑥 2 > 28.80 = 1−0.772
𝑃− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ≥ 𝛼 = 0.228
≥
0.05