operacionesenelconjuntodelosnumerosracionales-190226184458

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
PRESENTADO POR:
WINDY VANESSA NAZARIT GOMEZ. CODIGO BANNER: 100054955
CRISTIAN ANDRES PARAMO:
CORPORACIÓN UNIVERCITARIA IBEROAMERICANA
FACULTAD DE PSICOLOGÍA VIRTUAL
2019
El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la
estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en
matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que
toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero
si de manera intuitiva. Similarmente sucede con el término elemento.
La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que tiene un
objeto de estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con
otras teorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas
tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia,
estructura y relaciones mutuas entre ellos. Es decir, que el resto de la
matemática puede expresarse en términos de conjuntos.
Se define como conjunto
a toda agrupación,
colección o reunión de
individuos (cosas,
animales, personas o
números) bien definidos
que cumplen una
propiedad determinada. A
los objetos del conjunto se
denominan “elementos”.
Los conjuntos numéricos permiten representar diversas
situaciones del entorno, tales como:
1: la cantidad de elementos que tiene un conjunto (los naturales),
2: las partes de una unidad (los racionales),
3: la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1(los
irracionales)
4: o diversas cantidades o entes físicos que están compuestos por
una parte real y otra imaginaria (los complejos).
Los conjuntos numéricos utilizados en las
matemáticas básicas son:
•
•
•
•
•
•
•
Naturales (ℕ),
enteros (ℤ),
racionales (ℚ),
irracionales (ℚ, ),
reales (ℝ)
complejos (ℂ).
Son utilizados en diversas situaciones, por
todas las ramas del conocimiento.
• Los números naturales N comienzan con el
número 1 (uno) y generalmente se utilizan
para contar. Como conjunto se representa
de la siguiente manera:
ℕ = {1,2,3,...}
El conjunto de los números enteros ℤ,
se forma al incluir el 0 (cero) y los
negativos de los números naturales.
Este conjunto, amplía las posibilidades
de representar diversas situaciones.
Se representa de la siguiente forma:
ℤ= {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
• Los números reales ℝ Existe un conjunto más
amplio que incluye a los números racionales e
irracionales. Este es el de los números
decimales, que se pueden clasificar en
decimales periódicos y decimales no
periódicos.
• Los números complejos C El conjunto de los
complejos ℂ= {a + b i : a, b ∈ ℝ}, incluye a los
números reales. Cada número complejo está
conformado por una parte real y otra imaginaria
llamada i que se define como i = 𝜋𝑟 2 − 1 . Si c
∈, ℂ existen a, b ∈ ℝ tales que c = a + b i, en el que
a es la parte real y b la parte compleja o
imaginaria.
• Los números irracionales ℚ, son
números que no se pueden escribir
como el cociente de dos enteros, y que
a sus cifras decimales no se les puede
determinar un período y su número de
cifras decimales es indefinido.
• un numero racional es el cociente de dos
numero enteros el segundo de los cuales no
puede ser 0. por
𝑎 lo tanto, un numero racional
es de forma , siendo a el numerador y b en
𝑏
denominador de la fracción. El conjunto de
todos los números racionales se indica como ℚ.
si la división es exacta tendremos un numero
entero por lo que se puede decir que el
conjunto de los números enteros es un
subconjunto del conjunto de los números
racionales. Falcón Santana,S. Pg 28, (2014)
•
EJEMPLO
• Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los
números se pueden escribir como fracción, es decir:
ℚ=
𝑎
𝑏
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
a : numerador
B: denominador
2; 17; 0; 6; - 45; -
1 14 2
; ; ;
8 3 7
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
0,489; 2,18; -0,647
Todo número entero es racional
Por ejemplo:
• 3 es Natural (3 ∈IN),
• 3 es Cardina l (3 ∈ I 𝑁0 ),
• 3 es Entero (3 ∈ Z),
y como 3 =
•
3
1
, 3 es racional (3 ∈ Q).
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
Propiedades de los racionales
Las fracciones se pueden clasificar en:
* Fracción propia, donde el numerador es menor que el
denominador.
* Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el
denominador.
• Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de
otra fraccionaria.
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
Amplificar y simplificar fracciones
Amplificar una fracción, significa multiplicar,
tanto el numerador como el denominador
por un mismo número.
Ejemplo:
2
2 .
Al amplificar la fracción por 6 resulta:
6
6
=
12
18
3
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
3 .
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven
para representar medidas. Debido a que es más conveniente
expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal
exacto o periódico, puesto a la gran cantidad de decimales que se
podrían obtener.
los números racionales hacen presencia permanente en la vida
del hombre ya que son múltiples los casos cotidianos a los que el
hombre se enfrenta donde de una u otra manera estos son
empleados. Eje dividir una pizza en un numero determinado de
personas.
https://1.bp.blogspot.com/-zVHw2Z395h0/WLG425KrvI/AAAAAAAAB2g/pKAuFXuCi2ooeSqGlcP276ZOpDCq9rJHACLcB/s1600/fracciones-equivalentes-5.png
• Para sumar y restar números racionales existen dos
casos diferentes con los cuales se puede tratar,
1:cuando poseen un denominador distinto entre los
sumandos,
2:cuando tienen un denominador de igual
En este caso se conserva el mismo denominador (que
es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción)
posteriormente se suma o restan los numeradores (en
la parte superior de la fracción) según sea el caso:
8
2
+
4
4
=
8+2
4
=
10
4
Cuando se tienen denominadores de distinto valor, lo que se hace es busca
una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los
denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y
formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación
realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado,
por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el
mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador:
Ejemplo
1
6
+
4
5
=
5
20
+
24
20
=
5+24
29
=
20
20
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
Si los denominadores son primos entre sí:
Si los denominadores son iguales:
4
10
+
10
10
2
5
7
2
+
1
5
+
2
2
1
+
4
5
+
4
2
4
2
+
12
12
3
+ 10 + 10 =
+
+
10
5
+
3
2
4
12
=
17
5
=
16
2
3
+ 12
4
7
=
+
18
10
4
3
+
2
4
+
1
4
+
5
3
+
6
3
+
6
10
+
10
10
13
12
5
7
3
4
+
4
7
+
3
7
3
6
+
=
16
7
2
6
2
+4 =
2
17
=
3
3
+ 10 +
5
10
10
6
6
5
6
+
+
8
4
=
=
31
10
15
6
4
7
4 ×8+7 ×5
32 + 35
67
+
=
=
=
5
8
40
40
40
Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
7
2 ×3+7 ×1
6+7
13
+
=
=
=
15 45
45
45
45
. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
5
7
5 ×3+7 ×2
15 + 14
29
+
=
=
=
12
18
36
36
36
En la resta se efectúa un proceso
similar a la suma a diferencia que
en este cado es restando
•
8
2
6
− =
2
2
2
9
6
3
−
=
3
3
3
35
17
18
−
=
8
8
8
7
2
5
−
=
5
5
5
35
9
26
−
=
7
7
7
25
4
−
10
3
14
5
−
5
2
=
20
4
−
6
2
=
40 −24
6
=
16
6
15
10
−
3
3
=
45 −30
13
=
15
13
14
3
−
8
2
=
28 −24
5
=
4
5
=
75 −40
12
28 −25
7
=
35
12
=
3
7
1:se multiplican los numeradores de todos los
factores y a continuación el producto resultante se
lo utiliza como numerador,
2:se multiplican los denominadores y al resultado
se lo ubica como denominador sin importar si el
valor es igual o distinto, de esta manera:
Eje:
4 5 1 4× 5×1
20
10 5
˟ ˟ =
= =
3 6 2 3× 6× 2
36
18 9
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES
.
• En la multiplicación también existe un
elemento inverso que da como resultado una
unidad, tomando en cuenta que los números
enteros también son números racionales si se
los expresa como fracción,
Eje:
1
1 3
˟3 ˟
3
3 1
=
3
3
= 1
:
2 8
16
× =
4 4
16
7 10
70
×
=
5 2
10
3 2
6
× =
6 6
36
7 6
42
× =
8 8
64
5 4
20
× =
3 2
6
8 4
32
× =
9 9
81
5 6
30
× =
7 7
49
9 6
54
× =
4 3
12
5 3
15
× =
9 9
81
2 9
18
× =
6 6
36
8 9
72
× =
5 7
35
4 7
28
× =
5 5
25
4
6
24
× =
10 3
30
8
3
24
×
=
40 5
200
En la división de los números racionales, se toma
1: el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador
de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador;
2: se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el
numerador de la segunda fracción, y a tal resultado se lo ubica como
denominador. Por lo tanto en el
caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado.
Ejemplo:
5
÷
4
2
3
=
5× 3
4 ×2
=
15
8
= 1
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
• para dividir los números
racionales, se debe multiplicar en
cruz, tomando en cuenta que el
numerador y el denominador de
la primera fracción no cambia de
orden, pero los de la segunda
fracción si lo hacen para lograr el
resultado final.
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
•
8
2
•
10
5
•
2
3
•
5
4
÷
÷
4
2
=
6
5
÷
6
3
÷
9
4
=
=
=
16
8
50
30
6
18
20
36
3
6
8
8
6
2
5
4
÷
5
6
=
18
30
8
9
÷
7
8
=
64
56
10
3
÷
10
3
÷
3
2
=
=
18
20
20
12
÷
12
2
13
4
3
4
÷
÷
÷
=
4
5
8
3
8
3
32
27
=
=
=
50
12
36
16
39
32
• De fracción a decimal: Se divide el numerador por el denominador.
Ejemplo:
7
4
= 1,57
• De decimal finito a fracción: El numerador corresponde al número
sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
Ejemplo: 1,57 =
175
100
=
25 .
25 .
7
4
=
7
4
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
• De un número decimal periódico a fracción:
Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.
1: El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la
coma, y la parte entera.
2: El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
235 −2
233
2, 35
=
99
0, 376 =
376 −0
999
99
=
376
999
• De un número decimal semi periódico a fracción: Se llama “ante período” a los
números que hay entre la coma decimal, y el período.
1.El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal
completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y
tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.
3,2 1 =
321 −32
90
=
289
90
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES.
.
Marín, I. C. (2001). LOS NÚMEROS RACIONALES
https://www.stls.cl/maipu/aula/aula%202017/8%20a%C3%B1o/matematica/PPT%20Racionales%20
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https://ebookcentral.proquest.com/lib/biblioiberoamericanasp/reader.action?docID=3227494&ppg
=29
https://repository.eafit.edu.co/bitstream/handle/10784/9652/taller_conjuntos_numericos.pdf?seq
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