Capitulo 2 german arevalo

CAPÍTULO 2
VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
22
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.1 VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD.
2.1.1 INTRODUCCIÓN A LAS VARIABLES ALEATORIAS
Se define como una variable aleatoria (también conocida como variable randómica) a aquella que se
emplea para representar numéricamente los eventos de un experimento aleatorio. Generalmente se
utilizan para su representación letras griegas como, 𝜉𝜉, 𝜓𝜓, 𝜃𝜃, 𝜎𝜎, 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝛾𝛾, etc. Para el efecto, generalmente
para cada evento de un experimento asociamos un número en el eje de los números reales. Un ejemplo
muy simple es el lanzamiento de un dado ya que este experimento genera seis eventos cada uno de ellos
con un distinto valor numérico: A1 = 1, A2 = 2, A3 = 3, A4 = 4, A5 = 5, A6 = 6. La probabilidad de que ocurra
cada evento es p = 1/6. Esto se ilustra en la Figura 2.1.
Figura 2.1:
Uso de una
variable aleatoria
para representar
numéricamente
los eventos del
lanzamiento de un
dado.
ξ
Lanzamiento de un dado
A1
A2
A3
A4
1
2
3
4
5
6
A5
A6
2.1.2 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Si una variable aleatoria, ξ, es la representación de un experimento que da como resultado un número
discreto de eventos, la variable aleatoria está caracterizada por:
•
•
Los posibles valores de sus eventos 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , …, 𝑥𝑥𝑁𝑁
Las probabilidades de los eventos 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 , …, 𝑝𝑝𝑁𝑁
Donde:
Ejemplo 2.1:
𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )
(2.1)
La transmisión de información binaria genera dos posibles valores (solo dos), un cero (0) o un uno (1).
Esto puede ser representado a través de una variable aleatoria discreta:
Figura 2.2
Ilustración de una fuente es simétrica
donde cada evento (uno o cero) tiene
igual probabilidad p = 1/2.
Tx de información
(fuente binaria simétrica)
A1
A2
ψ
0
1
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2.1.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Las variables aleatorias continuas se emplean para representar experimentos con un infinito número de
posibles resultados. Es así que la probabilidad de que la variable aleatoria sea exactamente igual a un
valor específico es nula (dado que equivalen a dividir un evento exitoso para un infinito número de
eventos posibles):
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 0
(2.2)
Pueden asumir valores no nulos la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté dentro de un
rango numérico específico, por ejemplo:
Ejemplo 2.2:
𝑃𝑃(𝑥𝑥1 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥2 ) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ]) ≠ 0
(2.3)
Sea 𝜉𝜉 una variable aleatoria que representa el voltaje, en voltios 𝑉𝑉, en un resistor (incluyendo el
ruido), entonces:
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 5.10234 𝑉𝑉) = 0
Pero, la probabilidad de que el voltaje se encuentre en un rango específico de valores no es nula:
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [4,6]𝑉𝑉) ≠ 0
2.1.4 FUNCIÓN ACUMULATIVA DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Dada una variable aleatoria continua, 𝜉𝜉, la Función Acumulativa de Probabilidad, denotada como CDF (del
Inglés: Cummulative Distribution Function), y representada como 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥), se define como la probabilidad
acumluada de que dicha variable resulte igual a cualquier número que va desde los valores más pequeños
posibles que dicha variable pueda asumir (i.e. para fines prácticos se utiliza como punto de partida el
menos infito “−∞”), hasta un determinado valor representado por una variable, generalmente
simbolizada por la letra “𝑥𝑥”. Se trata por tanto de una función monótona creciente cuyo dominio es el
intervalo de valores [−∞, 𝑥𝑥] (o un subconjunto de este) y su recorrido está conformado por todos los
posibles valores de probabilidad, es decir, el intervalo [0,1].
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [−∞, 𝑥𝑥])
Figura 2.3:
Representación gráfica del
intervalo de valores
correspondiente a la
probabilidad de una CDF.
(2.4)
𝜉𝜉 ∈ ]−∞, 𝑥𝑥]
−∞
𝑥𝑥
𝜉𝜉
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Propiedades de la CDF:
1. 𝐹𝐹𝜉𝜉 (+∞) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ +∞) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [−∞, +∞]) = 1
(2.5)
2. 𝐹𝐹𝜉𝜉 (−∞) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ −∞) = 0
(2.6)
3. 𝑃𝑃(𝑥𝑥1 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥2 ) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥2 ) − 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥1 ) = 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥2 ) − 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥1 )
Figura 2.4:
Ilustración de los
intervalos de
valores
correspondientes
a la propiedad
tres de una CDF.
𝜉𝜉 ∈ [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ]
(2.7)
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝜉𝜉
−∞
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝜉𝜉
−∞
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞
𝜉𝜉 ∈ ]−∞, 𝑥𝑥1 ]
𝜉𝜉 ∈ ]−∞, 𝑥𝑥2 ]
𝜉𝜉
4. La CDF es una función con monotonía creciente Si 𝑥𝑥2 > 𝑥𝑥1 , entonces 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥2 ) > 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥1 )
(2.8)
Demostración:
i. Se sabe que 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ]) ≥ 0 (toda probabilidad es positiva),
ii. Si 𝑥𝑥2 > 𝑥𝑥1 , entonces: 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥2 ) − 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥1 ) > 0, (tercera propiedad de una CDF) .
iii. Luego, 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥2 ) > 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥1 )
5. Si una variable aleatoria 𝜉𝜉 es contínua, entonces 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥), es una función continua con monotonía
estrictamente creciente; y si 𝜉𝜉 es discreta, entonces 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥), es una función no continua con
monotonía creciente. Asintóticamente, 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) se aproxima a 0 por la izquiera (en el límite hacia
-∞) y a uno por la derecha (en el límite hacia +∞).
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
1
Figura 2.5:
Ilustración de la
CDF de una variable
aleatoria continua
(arriba) y discreta
(abajo).
0
𝑥𝑥
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
1
0
𝑥𝑥
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2.1.5 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria, 𝜉𝜉, denotada por las letras pdf (del inglés:
probability density function), y representada como 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), se define como la derivada de la CDF:
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
𝑑𝑑
�𝐹𝐹 (𝑥𝑥)�
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜉𝜉
(2.9)
Esta segunda expresión clarifica el porque la pdf constituye en efecto una función de densidad: el valor
absoluto de la probabilidad corresponde al área contenida bajo su curva, como se observa en la Figura
2.6.
Figura 2.6:
Ilustración de la pdf
de una variable
aleatoria y su
relación con la CDF.
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
𝑥𝑥
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
-∞
𝑥𝑥
𝑥𝑥
0
Propiedades de la pdf:
1. 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) ≥ 0
(2.10)
Demostración:
La derivada de la CDF constituye la pendiente de la tangente bajo su curva. Al ser la CDF, una
funcion siempre creciente siempre se cumple que, 𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑[Fξ(x)] ≥ 0.
𝑥𝑥2
2. � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥2 ) − 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥1 ) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ])
𝑥𝑥1
Figura 2.7:
Ilustración de la
segunda propiedad
de una pdf.
−∞
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
𝑥𝑥2
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ]) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥1
𝑥𝑥1
+∞
3. �
(2.11)
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
0
𝑥𝑥2
𝑥𝑥
(el área bajo toda la pdf corresponde a la probabilidad total:1)
(2.12)
Demostración:
+∞
�
−∞
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [−∞, +∞]) = 𝐹𝐹𝜉𝜉 (+∞) − 𝐹𝐹𝜉𝜉 (−∞) = 1 − 0 = 1
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2.1.6 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe como está distribuida la
probabilidad de un experimento a lo largo del eje x. En el caso de variables continuas la pdf es la función
de distribución de probabilidad. Dependiendo del tipo de variable aleatoria (continua o discreta), se
tienen múltiples funciones de distribución de probabilidad.
Distribuciones de probabilidad discretas:
La función de distribución probabilidad de una variable aleatoria discreta define las probabilidades de
cada uno de los 𝑖𝑖 ∈ 𝑆𝑆 eventos posibles: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ), tal que:
� 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
(2.13)
Entre las distribuciones de probabilidad discretas más comunes están las siguientes:
1
•
Uniforme:
•
Hipergeométrica: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) =
•
Bernoulli:
•
Binomial:
•
Poisson:
𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 𝑁𝑁 , donde N es el número total de eventos
𝑘𝑘 𝐶𝐶 𝑟𝑟−𝑘𝑘
𝐶𝐶𝑛𝑛1
𝑛𝑛−𝑛𝑛1
𝐶𝐶𝑛𝑛𝑟𝑟
y, 𝑝𝑝1 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 1) = 𝑝𝑝
𝑝𝑝0 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 0) = 𝑞𝑞
𝑛𝑛
𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = � � 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑛𝑛−𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝑘𝑘!
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Distribuciones de probabilidad continuas:
La pdf, 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), de una variable aleatoria continua constituye su función de distribución de probabilidad ya
que define la distribución de las probabilidades de sus eventos a lo largo de todo el dominio de posibles
valores 𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆, tal que:
+∞
�
−∞
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
(2.19)
Entre las distribuciones de probabilidad continuas más comunes están las siguientes:
•
Uniforme:
•
Exponencial unilateral:
•
Normal:
1
,
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �𝑏𝑏−𝑎𝑎
0 ,
−𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �𝜆𝜆𝑒𝑒 ,
0 ,
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
2
(𝑥𝑥−𝜇𝜇)
1
−
𝑒𝑒 2𝜎𝜎2
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
𝑥𝑥 ≥ 0
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
(2.20)
(2.21)
(2.22)
Nótese que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos de una variable aleatoria discreta
o continua, es siempre igual a uno.
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Ejemplo 2.3:
Consideremos la siguiente distribución de probabilidad uniforme, cuya pdf es:
1
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ,
0 ,
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
Figura 2.8:
Gráfica de la pdf del
ejemplo 1.16 (incluye
un punto 𝑐𝑐 < 𝑎𝑎).
1
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
c
0
a
𝑥𝑥
b
Evaluemos la probabilidad 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑐𝑐), si 𝑐𝑐 < 𝑎𝑎, como el valor 𝑐𝑐, que se ve en la Figura 2.8:
𝑐𝑐
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [−∞, 𝑐𝑐]) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
−∞
Ahora evaluemos la probabilidad de un intervalo ∆ entre 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏, como en la Figura 2.9:
Figura 2.9:
La pdf del ejemplo 1.16 y
un intervalo [𝑐𝑐, 𝑐𝑐 + Δ]
dentro de ella.
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
1
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
0
a
𝑐𝑐+∆
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑐𝑐, 𝑐𝑐 + ∆]) = �
𝑐𝑐
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑐𝑐, 𝑐𝑐 + ∆]) =
c
𝑐𝑐+∆
𝑥𝑥
b
𝑐𝑐+∆
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
𝑐𝑐
1
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑐𝑐+∆
1
1
[𝑥𝑥]𝑐𝑐+∆
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑐𝑐
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑐𝑐
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑐𝑐, 𝑐𝑐 + ∆]) =
1
∆
[(𝑐𝑐 + ∆) − 𝑐𝑐] =
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
Nótese que el resultado de 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ∈ [𝑐𝑐, 𝑐𝑐 + ∆]) no depende de 𝑐𝑐. Esto es, todo intervalo dentro
de [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] tiene la misma probabilidad: ∆/(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎). Esto es característico de este tipo de
variables aleatorias, que se conoce como una “variable aleatoria uniforme” en [a,b].
De la definición de la pdf se puede deducir que a partir de esta se puede evaluar su respectiva CDF,
mediante:
𝑥𝑥
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑈𝑈) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
(2.23)
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Ejemplo 2.4:
Evaluemos la CDF de la pdf del ejemplo 1.14.
Para el efecto, resolveremos la integral en diferentes intervalos (dentro de cada intervalo
podremos emplear integrales indefinidas y resolver posteriormente las constantes a través de
las condiciones de frontera):
i.
𝑥𝑥 < 𝑎𝑎:
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶1
Pero sabemos que el área bajo la curva de 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) en el intervalo [−∞, 𝑎𝑎] es cero, por
lo tanto la CDF en ese intervalo debe ser igual a cero, por lo tanto: 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 = 0
ii. 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏:
1
1
1
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
Ahora bien, de las condiciones de frontera del intervalo anterior y actual debe
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
cumplirse que: 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑎𝑎 − ) = 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑎𝑎 + ) → 0 =
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
iii. 𝑥𝑥 > 𝑏𝑏:
1
𝑎𝑎
𝑏𝑏−𝑎𝑎
+ 𝐶𝐶2 → 𝐶𝐶2 = −
1
𝑎𝑎
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
𝑥𝑥 −
=
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏−𝑎𝑎
, y:
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶3
En este caso, por las condiciones de frontera que deben cumplirse, podemos evaluar:
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑏𝑏 − ) = 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑏𝑏 + ) →
(𝑏𝑏)−𝑎𝑎
𝑏𝑏−𝑎𝑎
= 𝐶𝐶3 → 𝐶𝐶3 = 1, y:
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝐶𝐶3 = 1
Finalmente, la CDF es:
0 ,
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
,
→ 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
1 ,
Figura 2.10:
Gráfica de la CDF
del ejemplo 1.17
𝑥𝑥 < 𝑎𝑎
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏
𝑥𝑥 ≥ 𝑏𝑏
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
1
0
a
b
𝑥𝑥
29
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CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.2 VARIABLES ALEATORIAS GAUSSIANAS.
2.2.1 VARIABLES ALEATORIAS GAUSSIANAS Y LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD, N(𝝁𝝁,𝝈𝝈)
Se trata de un variable aleatoria cuya función matemática fue desarrollada por Carl Friedrich Gauss (un
importante matemático del siglo XIX), que es ampliamente usada en aplicaciones en el campo de las
telecomunicaciones por sus interesantes características matemáticas, como lo veremos en las páginas de
esta sección y lo ampliaremos en capítulos posteriores. La variable aleatoria Gaussiana describe el
comportamiento de una distribución estadística denominada la “Distribución Normal”, la cual describe el
comportamiento estadístico de los resultados de un experimento aleatorio en el cual la mayoría de
resultados están ubicados alrededor de un valor esperado, llamado “la media” (también llamada
“promedio”) y se desvían de la media en proporción a un valor denominado “la varianza”.
A la media generalmente se le representa con la letra griega 𝜇𝜇 o la letra latina m, y a la varianza
generalmente se le representa con la letra griega sigma elevada al cuadrado: 𝜎𝜎 2 . A la raíz cuadrada de la
varianza se conoce como la “desviación estándar”: 𝜎𝜎. El comportamiento estadístico de una variable
Gaussiana depende fundamentalmente de eso dos parámetros, por ese motivo a una Distribución Normal
de probabilidad se simboliza como: N(𝜇𝜇,𝜎𝜎).
La expresión matemática de la pdf y su correspondiente gráfica (Figura 2.11) son las siguientes:
Figura 2.11:
Gráfica de una variable
aleatoria Gaussiana con
media 𝜇𝜇 y varianza 𝜎𝜎 2 .
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
1
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
𝑒𝑒
−
(𝑥𝑥−𝜇𝜇)2
2𝜎𝜎 2
(2.24)
𝜎𝜎
0
𝑥𝑥
𝜇𝜇
Nótese que la curva de la Figura 2.11 (conocida como la “campana de Gauss” debido a la forma geométrica
que esta tiene), asume valores en todo el eje de los números reales. Esto es, su dominio es el intervalo
ℝ: ] − ∞, +∞[. En la función Gaussiana existe una asíntota horizontal en 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 0, a donde se acerca la
función en el límite por la izquierda y por la derecha), y es simétrica con respecto a la media. El valor que
tenga la varianza hace que la campana sea más ancha (mayor valor de varianza) o más angosta (menor
valor de varianza), como se ejemplifica en la Figura 2.12.
Figura 2.12:
Gráficas de variables
aleatorias Gaussianas
con igual media y
distinta varianza.
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
0
𝜎𝜎1
𝜎𝜎2
𝜇𝜇
𝜎𝜎2 > 𝜎𝜎1
𝑥𝑥
30
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CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Ejemplo 2.5:
Un ejemplo sencillo de un grupo de datos con distribución normal es el siguiente:
Supongamos que una fábrica produce chips con un tiempo medio entre fallas (mean time
between failures – MTBF) de 4500 horas. Es decir, se espera que los chips no fallen sino hasta
4500 horas después de haber sido fabricados. Al tomar datos estadísticos de 100 chips
fabricados se encuentra que los chips han fallado luego de los tiempos especificados en la
siguiente tabla:
Tiempo de falla (horas):
No. De Chips:
3600
21
3900
45
4200
130
4500
450
4800
132
5100
43
5400
25
Figura 2.13:
Gráfica de
barras de los
datos del
ejemplo 1.18
(se observa
el perfil
gaussiano de
los mismos)
Tiempo de falla (horas)
Como se esperaba, la mayoría de los chips falló a las 4500 horas (o en un tiempo muy
aproximado a este número de horas) y un número un menor de dispositivos falló en un tiempo
un poco mayor o un poco menor al MTBF. Un número aún menor de dispositivos se encontró
que han fallado en valores apreciablemente más distantes al MTBF. La gráfica de la frecuencia
estadística de los tiempos de falla descritos en la tabla es claramente una campana de Gauss
dado que la distribución de los datos es del tipo Normal:
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
3600
3900
4200
4500
4800
5100
5400
Ejercicio con software 2.1:
Utilizando el software MatLab realice el siguiente ejercicio:
1. Implemente la función de una variable gaussiana, generando valores para el eje x, y eligiendo
valores adecuados para la media y la varianza. Grafique.
2. Usando la función randn() genere una cantidad adecuada de datos aleatorios enteros de hasta
cuatro cifras con distribución normal, cuya media sea distinta de cero. Grafique la secuencia de
datos, su pdf, su CDF y encuentre valores estadísticos como la media, la mediana y la moda;
Encuentre además la desviación estándar y la varianza. Presente un reporte con conclusiones
relevantes.
31
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CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.2.2 LA FUNCIÓN COMPLEMETARIA DE ERROR
Uno de los problemas de una variable aleatoria gaussiana es que su integral no tiene solución analítica,
por lo tanto, se puede resolver utilizando técnicas de integración numérica o, lo que es más común, se
utiliza una función especial denominada la Función Complementaria de Error, erfc (de la frase en inglés:
Error Complementary Function), la misma que se denota como 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) y se define así:
2
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) =
Figura 2.14:
Gráfica de la
función erfc.
√𝜋𝜋
+∞
2
� 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥
(2.25)
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥)
2
1
𝑥𝑥
0
Las características matemáticas de la erfc son útiles para evaluar la integral de una variable aleatoria
gaussiana debido a la similitud que esta tiene con la integral de una variable aleatoria de ese tipo.
Recordemos que la integral de una pdf corresponde a su CDF y recordemos a su vez que una CDF es una
función monótona creciente, con dominio igual a todos los números reales y cuyo rango es el intervalo
[0,1]. Observando la gráfica de una erfc, vemos que es una función decreciente cuyo rango es [0,2], si
transponemos la variable 𝑥𝑥 (con el fin de que se torne creciente) y si normalizamos el valor de su recorrido,
al dividir la erfc para dos, se puede ver que esta adquiere las características de una CDF:
Figura 2.15:
Gráfica de la
función erfc
transpuesta
normalizada.
1
2
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑥𝑥)
1
1/2
𝑥𝑥
0
De modo que, haciendo un cambio de variable adecuado en la erfc, esta puede convertirse exactamente
en la integral de una variable gaussiana:
𝑥𝑥
2
𝑡𝑡−𝜇𝜇
1
𝜇𝜇 − 𝑥𝑥
1 2
−𝑑𝑑𝑑𝑑
−�
�
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�= ∙
� 𝑒𝑒 √2𝜎𝜎 �−
�
2
2 √𝜋𝜋
√2𝜎𝜎
√2𝜎𝜎
−∞
𝑥𝑥
2
(𝑡𝑡−𝜇𝜇)
1
𝜇𝜇 − 𝑥𝑥
1
−
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�=
� 𝑒𝑒 2𝜎𝜎2 𝑑𝑑𝑑𝑑
2
√2𝜎𝜎
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
−∞
(2.26)
(2.27)
32
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Por lo tanto, para toda pdf, 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), cuya función corresponda a una variable aleatoria gaussiana, al evaluar
la función 1/2 ∙ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 en un punto (𝜇𝜇 − 𝑎𝑎)/(√2 𝜎𝜎), corresponde a la evaluación de la CDF, 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥), en el
punto 𝑎𝑎:
𝑎𝑎
(𝑡𝑡−𝜇𝜇)2
1
𝜇𝜇 − 𝑎𝑎
1
−
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑎𝑎) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑎𝑎) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�=
� 𝑒𝑒 2𝜎𝜎2 𝑑𝑑𝑑𝑑
2
√2𝜎𝜎
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
Figura 2.16:
Cálculo de la
probabilidad
acumulada de una
variable gaussiana:
Como un área bajo
la curva de la pdf
(gráfica superior).
Evaluando la CDF a
través de la erfc
(gráfica inferior).
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑎𝑎) = �
𝑎𝑎
1
−∞ √2𝜋𝜋𝜎𝜎
𝑒𝑒
−
(𝑥𝑥−𝜇𝜇)2
2𝜎𝜎2 𝑑𝑑𝑑𝑑
1
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
0
1
2
𝜇𝜇−𝑎𝑎
√2𝜎𝜎
�
1
2
1
−
−∞
(𝑥𝑥−𝜇𝜇)2
2𝜎𝜎2
𝑥𝑥
a
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑎𝑎) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑎𝑎) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
𝑒𝑒
0
(2.28)
𝜇𝜇−𝑥𝑥
�
�2𝜎𝜎
𝑥𝑥
a
Además, la probabilidad correspondiente a un área finita bajo la curva de la pdf de una variable aleatoria
gaussiana se puede evaluar como la diferencia de dos funciones erfc:
Figura 2.17:
Ilustración del cálculo
de la probabilidad
correspondiente a un
área finita bajo la
curva de la variable
gaussiana.
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
a
1
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
0
𝑒𝑒
−
(𝑥𝑥−𝜇𝜇)2
2𝜎𝜎2
1
𝜇𝜇 − 𝑏𝑏
1
𝜇𝜇 − 𝑎𝑎
𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 𝑏𝑏) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�
2
2
√2𝜎𝜎
√2𝜎𝜎
𝑥𝑥
b
Debido a la simetría de la erfc, la probabilidad de un área a la derecha de la curva puede calcularse por su
diferencia con el complemento de la probabilidad total o por su correspondiente área a la izquierda:
Figura 2.18:
Cálculo de la
probabilidad
correspondiente a un
área hacia la derecha
bajo la curva de la
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
1
𝜇𝜇 − 𝑎𝑎
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑎𝑎) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�
2
√2𝜎𝜎
1
√2𝜋𝜋𝜎𝜎
d
a
0
𝑒𝑒
−
(𝑥𝑥−𝜇𝜇)2
2𝜎𝜎2
1
𝜇𝜇 − 𝑏𝑏
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≥ 𝑏𝑏) = 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 𝑷𝑷(𝝃𝝃 ≤ 𝒂𝒂)
2
√2𝜎𝜎
d
𝜇𝜇
b
𝑥𝑥
33
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
La erfc se puede evaluar numéricamente de las siguientes maneras:
1. Usando algún paquete de software o base datos especializada (MatLab, Octave, R, Python,
Mathematica, Geogebra, WolframAlpha, etc.).
2. Usando calculadoras de nueva generación (HP 50G, HP Prime, TI-Nspire, CASIO FX-991 EX, etc.).
3. Usando tablas de valores de la erfc (ver Anexo 1).
Ejemplo 2.6:
Dada una variable aleatoria gaussiana, 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), con media 𝜇𝜇 = 3 y desviacíon estándar 𝜎𝜎 = 2,
determine:
a.
b.
c.
d.
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 3)
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 1)
𝑃𝑃(2 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 3.5)
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≥ 4)
Desarrollo:
Para el cálculo de estas probabilidades utilizaremos la función erfc:
a. La probabidad 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 3) se puede evaluar directamente como:
1
𝜇𝜇 − 𝑥𝑥
1
3−3
1
1
1
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 3) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(0) = (1) =
2
2
2
2
2
√2𝜎𝜎
√2 ∙ 2
Nótese que el resultado anterior es evidente pues el punto de valuación (𝑥𝑥 = 3) es justamente
la media, y recordemos que la media es el eje central al respecto del cual la campana de Gauss
es simétrica, es decir, el área bajo la curva es igula a la izquierda que a la derecha de la media.
Entonces 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 3) corresponde a la mitad del área bajo la curva, es decir a la mitad de la
probabilidad total.
b. De igual manera, probabidad 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 1) se puede calcular así:
1
𝜇𝜇 − 𝑥𝑥
1
3−1
1
1
1
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 1) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � � = (0.31731) = 0.15866
2
2
2
2
√2𝜎𝜎
√2 ∙ 2
√2
c. La probabilidad 𝑃𝑃(2 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 3.5) corresponde a la difrencia de dos erfc:
3 − 3.5
1
3−2
1
−1
1
𝑃𝑃(2 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 3.5) = �𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�� = �𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�� = 0.29
2
2
4√2
2√2
√2 ∙ 2
√2 ∙ 2
d. La probabilidad 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≥ 4) corresponde a un área a la izquierda bajo la curva de la pdf, por lo
que el cálculo de esta probabilidad se puede hacer como:
1
3−4
1
−1
𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≥ 4) = 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
� = 0.3085
2
2
2√2
√2 ∙ 2
34
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Ejercicio con software 2.2:
1. Utilizando el software MatLab, comando erfc(), realice los cálculos del ejemplo 2.6. Verifique.
2. Repita le punto anterior empleando el emulador de la calculadora HP Prime (accesible al 01/10/2019
en: https://www.hpcalc.org/details/7468), usando el comando erfc(), como se ilustra en la Figura
2.19. Utilice también este emulador para realizar la gráfica de la variable aleatoria gaussiana (con los
datos del ejemplo 2.6), y emplee la herramienta “Signed area” para evaluar el valor del área bajo la
curva de una función (en el menú de la aplicación gráfica de la HP Prime vaya a: Menu→Fcn→Signed
area…) para comprobar los valores de probabilidad calculados, como se ve en la Figura 2.20.
Figura 2.19:
Cara frontal de la
Calculadora HP Prime
(se observan cálculos
de la erfc en la pantalla)
Figura 2.20:
Cálculo del área bajo la
curva de una función
gaussiana, utilizando la
calculadora HP Prime
35
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Ejercicios 2.1:
1. Dada la siguiente pdf, correspondiente a una variable aleatoria continua, 𝜉𝜉, grafique la función y
compruebe que el área bajo la curva es igual a uno. Calcule además, aproximadamente, la
probabilidad 𝑃𝑃(0.01 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 0.1). NOTA: utilice una calculadora científica o un software a su elección.
1
𝑥𝑥 2 −2
1
�1
−
�
� � ,
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �
2
2𝜋𝜋
0
,
− 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
2. Para un parámetro 𝛼𝛼 > 0 verifique que la siguiente es una CDF:
0,
𝑥𝑥 ≤ 0
⎧
1
⎪ 𝛼𝛼𝛼𝛼,
0 ≤ 𝑥𝑥 ≤
(𝑥𝑥)
𝐹𝐹𝜉𝜉
=
𝛼𝛼
⎨
1
⎪ 1,
𝑥𝑥 ≥
⎩
𝛼𝛼
1
Encuentre su respectiva pdf y evalúe la probabilidad: 𝑃𝑃 �𝜉𝜉 ≤ �
𝛼𝛼
3. El diámetro de un cable eléctrico se considera una variable aleatoria continua 𝜉𝜉, cuya función de
densidad de probabilidad es:
𝐶𝐶𝐶𝐶(1 − 𝑥𝑥),
0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
0 ,
•
•
•
Calcule el valor de 𝐶𝐶 y dibujar la pdf.
Determine la CDF y grafíquela.
Calcule las siguientes probabilidades: 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 1/3), 𝑃𝑃(1/4 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 1/2)).
4. Encuentre la pdf de la más pequeña de entre K variables aleatorias independientes (Y=min{ 𝜉𝜉1 , 𝜉𝜉2 , 𝜉𝜉3 ,
…, 𝜉𝜉𝐾𝐾 }), si todas la variables están distribuidas según una función de densidad de probabilidad de tipo
exponencial unilateral con parámetro λ: 𝑓𝑓𝜉𝜉𝑖𝑖 (𝑥𝑥) = 𝜆𝜆𝜆𝜆 −𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 ≥ 0 y 𝑓𝑓𝜉𝜉𝑖𝑖 (𝑥𝑥) = 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 < 0.
5. El tiempo en minutos que una persona espera el autobús es una variable aleatoria cuya distribución
de probabilidad es ½ para 0<t<1, ¼ para 1≤t<2 y cero (0) para todos los demás valores de t. Dibuje la
pdf y encuentre la CDF. Evalúe también la probabilidad de que una persona espere: a) más de un
minuto, b) más de tres minutos.
6. La vida útil de un dispositivo electrónico está dada por la pdf:
𝑡𝑡 ≥ 0
0.5𝑒𝑒 −0.5𝑡𝑡 ,
𝑓𝑓𝜏𝜏 (𝑥𝑥) = �
0 ,
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑡𝑡
Donde t es el tiempo y 𝜏𝜏 la variable aleatoria. Determine la probabilidad de que un dispositivo dure
más de 3 horas si ya ha estado en uso más de 2 horas.
7. Dada una variable aleatoria gaussiana, 𝜉𝜉, con media 𝜇𝜇 = 0.5 y varianza 𝜎𝜎 2 = 0.0625, grafique la pdf
y CDF (emplee un software a su elección para el efecto), se sugiere que para la gráfica de la CDF
emplee la función erfc con el cambio de variable correspondiente. Además, evalúe las siguientes
probabilidades: 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 0.125), 𝑃𝑃(0.2 ≤ 𝜉𝜉 ≤ 0.625), 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≥ 0.45).
36
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.3 MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.3.1 LA FUNCIÓN RAMPA UNITARIA
La función rampa es empleada para el modelamiento de señales u ondas tipo diente de sierra y en otras
aplicaciones del procesamiento de señales. También sirve para representar la respuesta lineal de un
sistema. La “función rampa unitaria” (Figura 2.21), se denota como 𝑟𝑟(𝑥𝑥), y se define como:
𝑟𝑟(𝑥𝑥) = �
Figura 2.21:
Ilustración de una
función rampa 𝑟𝑟(𝑥𝑥).
𝑥𝑥,
0,
𝑟𝑟(𝑥𝑥)
𝑥𝑥 ≥ 0
𝑥𝑥 < 0
(2.29)
1
0
𝑥𝑥
1
La función 𝑟𝑟(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es una rampa desplazada al punto 𝑎𝑎 (ecuación 2.30). A su vez, 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥) es una función
rampa escalada en una magnitud 𝐾𝐾 (ecuación 2.31). Estas versiones de rampa se ilustran en la Figura 2.22:
𝑟𝑟(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = �
Figura 2.22:
Rampas: desplazada a
un punto 𝑎𝑎 (izquierda) y
escalada en un valor 𝐾𝐾
(gráfica a la derecha).
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥) = �
𝑟𝑟(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎,
0,
𝐾𝐾𝐾𝐾,
0,
𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎
𝑥𝑥 < 𝑎𝑎
𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎
𝑥𝑥 < 𝑎𝑎
(2.31)
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥)
1
0
(2.30)
𝐾𝐾
𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑎𝑎+1
𝑥𝑥
1
0
Esta función al no ser simétrica cambia su sentido gráficamente al transponerla (la transpuesta de una
función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es la función 𝑓𝑓(−𝑥𝑥)), como se detalla en la ecuación 2.32 y en la Figura 2.23.
Figura 2.23:
Rampa transpuesta
(gráfica a la izquierda) y
rampa transpuesta y
desplazada a un punto
𝑎𝑎 (gráfica a la derecha).
−𝑥𝑥,
𝑟𝑟(−𝑥𝑥) = �
0,
𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎
𝑥𝑥 < 𝑎𝑎
𝑟𝑟(−𝑥𝑥)
(2.32)
𝑟𝑟(−𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
1
1
-1
0
𝑥𝑥
-𝑎𝑎-1
-𝑎𝑎
0
𝑥𝑥
2.3.2 LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
La “función escalón” (también denominada “función paso”), representada en la Figura 2.24, se denota
como 𝜇𝜇(𝑥𝑥), y se define como:
37
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
𝜇𝜇(𝑥𝑥) = �
Figura 2.24:
Ilustración de una función
escalón 𝜇𝜇(𝑥𝑥) de magnitud
unitaria, ubicada en el origen.
1,
0,
𝜇𝜇(𝑥𝑥)
1
𝑥𝑥 ≥ 0
𝑥𝑥 < 0
(2.33)
𝑥𝑥
0
La función 𝐾𝐾𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es una función paso escalada a una magnitud 𝐾𝐾 y desplazada al punto 𝑎𝑎:
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = �
𝐾𝐾,
0,
𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎
𝑥𝑥 < 𝑎𝑎
(2.34)
Además, esta función al no ser simétrica tiene un comportamiento diferente al transponerla (la
transpuesta de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es la función 𝑓𝑓(−𝑥𝑥)). Estas variaciones se observan en la Figura 2.25.
3𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1)
Figura 2.25:
Ilustración de dos
funciones escalón
desplazadas y
escaladas (gráficos
superiores) y de dos
funciones escalón
transpuestas
(gráficos inferiores).
−2𝜇𝜇(𝑥𝑥 + 2.5)
3
−2.5
𝑥𝑥
0 1
𝜇𝜇(−𝑥𝑥)
1
𝑥𝑥
−2𝜇𝜇(−2.5 − 𝑥𝑥)
−2.5
𝑥𝑥
0
−2
−2
𝑥𝑥
NOTA: A la función escalón se le denomina también función paso dado que, si esta se multiplica por otra
función, la misma “dejaría pasar” solamente un parte de ella, como se ejemplifica a continuación.
Ejemplo 2.7:
Observe la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) de la gráfica, y el resultado al multiplicarla por la función paso 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1).
Figura 2.26:
Ejemplo del
producto de
una función
genérica por
una función
escalón.
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
−3 − 2 − 1
0
1
𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1)
1
2
3
0 1
𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1)
𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1)
−3 − 2 − 1
𝑥𝑥
0
𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1) = �
1
2
𝑔𝑔(𝑥𝑥),
0 ,
3
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ≥ 1
𝑥𝑥 < 1
La función rampa unitaria se relaciona con la función escalón unitaria por:
𝜇𝜇(𝑥𝑥) =
𝑑𝑑
𝑟𝑟(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑑𝑑
↔
𝑥𝑥
𝑟𝑟(𝑥𝑥) = � 𝜇𝜇(𝑈𝑈) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
(2.35)
38
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.3.3 LA FUNCIÓN COMPUERTA UNITARIA
Una función compuerta unitaria de ancho 𝑇𝑇 se representa como 𝑔𝑔𝑇𝑇 (𝑥𝑥) (la letra 𝑔𝑔 hace referencia a la
palabra “compuerta” en inglés: gate) y se define como:
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑔𝑔𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = �1, − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2
0, 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
(2.36)
𝑔𝑔𝑇𝑇 (𝑥𝑥)
Figura 2.27:
Función compuerta
de amplitud unitaria
de ancho 𝑇𝑇.
1
−
𝑥𝑥
𝑇𝑇
2
𝑇𝑇
2
Una función compuerta puede ser representada como la suma de dos funciones paso:
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑔𝑔𝑇𝑇 (𝑥𝑥) = 𝜇𝜇 �𝑥𝑥 + � − 𝜇𝜇 �𝑥𝑥 − �
2
2
(2.37)
Al igual que con la función escalón, se puede escalar y desplazar este tipo de funciones, sin embargo, al
ser simétrica con respecto a su eje central, su transposición no tiene efectos realmente útiles.
3𝑔𝑔5 (𝑥𝑥 − 2.5)
Figura 2.28:
Ilustración de
dos funciones
compuerta
desplazadas y
escaladas.
−2𝑔𝑔6 (𝑥𝑥 + 2)
3
−5
0
5
2.5
1
−2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
−2
NOTA: La función escalón sirve para modelar distintos tipos de señales y sistemas, como un bit (un uno),
un filtro pasa banda o una función de densidad de probabilidad uniforme (si el área bajo su curva es uno).
Ejemplo 2.8:
Consideremos la función de distribución de probabilidad uniforme del ejemplo 2.3 (Figura 2.8) y
representémosla como una función compuerta:
1
,
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �𝑏𝑏−𝑎𝑎
0 ,
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
1
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
𝑏𝑏−𝑎𝑎
0
𝑎𝑎
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
2
𝑏𝑏
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
𝑥𝑥
1
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑔𝑔(𝑏𝑏−𝑎𝑎) �𝑥𝑥 −
�
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
2
39
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.3.4 LA FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO
Considere la función de distribución de probabilidad uniforme de la Figura 2.29. Al ser una pdf, sabemos
que el área bajo su curva debe ser igual a 1. Ahora bien, si aumentamos la amplitud a de la función
tenemos que, para mantener un área bajo la curva igual a la unidad, el ancho de la misma decrece. Si
continuamos incrementando la amplitud la función se vuelve cada vez más angosta, como se ejemplifica
en la figura 2.30, hasta que en el límite cuando la amplitud sea infinita el ancho de la misma sería cero
(ecuación 2.38). Haciendo esto tenemos el modelo de un impulso perfecto. A esta función se le denomina
“función impulso” o “función delta” (el segundo nombre se debe a que se utiliza para su representación
la letra griega delta: 𝛿𝛿) y se representa gráficamente como se muestra en la Figura 2.31 (el número 1 que
se acota en la amplitud de su representación gráfica hace relación a que se trata de un impulso unitario).
Figura 2.29:
Función de distribución
uniforme 𝑓𝑓(𝑥𝑥) de amplitud
𝑎𝑎 (el área total bajo su
curva es igual a 1)
Figura 2.30:
Incremento de la
amplitud de la función
de distribución uniforme
(su ancho se decrementa
proporcionalmente tal
que el área es siempre 1)
Figura 2.31:
Representación gráfica
de una función impulso
(ubicada en el origen del
eje de coordenadas 𝑥𝑥)
Propiedades:
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∞
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
−∞
𝑎𝑎
−
1
2𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
1
2𝑎𝑎
𝑥𝑥
4𝑎𝑎
2𝑎𝑎
𝑎𝑎
1
−
2𝑎𝑎
1 1
8𝑎𝑎 4𝑎𝑎
1
1
−
−
4𝑎𝑎 8𝑎𝑎
𝛿𝛿(𝑥𝑥) = lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑎𝑎→∞
∞,
0,
𝛿𝛿(𝑥𝑥)
1
2𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 0
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
(2.38)
1
0
𝑥𝑥
1. 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es un impulso de magnitud 𝐾𝐾 en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y cero en cualquier otra 𝑥𝑥.
(2.39)
40
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Figura 2.32:
Ilustración de la
propiedad 1 de la
función impulso.
2𝛿𝛿(𝑥𝑥)
2
1
-3
0
−0.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 + 3)
∞
2. � 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
1.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2)
𝑥𝑥
2
(2.40)
−∞
3. Sea g(x) una función continua, entonces: 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(0) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥)
Figura 2.33:
Ilustración de la
propiedad 3 de la
función impulso.
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
1 𝛿𝛿(𝑥𝑥)
0
En general:
Figura 2.34:
Ilustración de la
generalización de
la propiedad 3.
1
𝑔𝑔(𝑎𝑎)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
0
𝑔𝑔(0) = 𝑘𝑘
𝑥𝑥
(2.41)
𝑔𝑔(0)𝛿𝛿(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝛿𝛿(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(0)𝛿𝛿(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 𝑔𝑔(𝑎𝑎) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥)
𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑎𝑎
𝑥𝑥
(2.42)
𝑔𝑔(𝑎𝑎)𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑔𝑔(𝑎𝑎)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 𝑔𝑔(𝑎𝑎)𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑥𝑥
0
0
𝑎𝑎
𝑥𝑥
NOTA: Esta propiedad indica que la una función impulso 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) toma una muestra de la otra
función en el punto 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. De modo que, con la cantidad apropiada de funciones impulso se puede
tomar una muestra muy cercana de una función (una versión discreta de la misma), como se ilustra
en la Figura 2.35.
Figura 2.35:
Ilustración del
muestreo de una
función a través
de un tren de
impulsos.
∞
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
4. � 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔(𝑎𝑎)
−∞
0
𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
0
𝑥𝑥
(2.43)
41
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Demostración:
∞
∞
∞
� 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔(𝑎𝑎) ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔(𝑎𝑎) � 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔(𝑎𝑎)
−∞
−∞
−∞
Ejemplo 2.9:
(2.44)
=1
2
1
Dada la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = , ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ − {0}, evalúe: ∫1 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥
2
2
2
1
1
1 2
𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥
3 1
1 3
� 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
1
2
1
Sin embargo, la integral ∫1 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑑𝑑 es igual a cero dado que se trata de una integración
en un intervalo dentro del cual no se encuentra el impulso:
Figura 2.36:
Ejemplo una función
impulso y un intervalo
de integración fuera
de su dominio
Intervalo de
integración
0
Por lo tanto:
1
𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)
2
2
� 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑑𝑑 =
1
3
𝑥𝑥
1
∙0=0
3
4. La derivada de una función escalón es igual a la función impulso:
𝑥𝑥
𝑑𝑑
[𝜇𝜇(𝑥𝑥)] = 𝛿𝛿(𝑥𝑥) → � 𝛿𝛿(𝑈𝑈) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
Figura 2.37:
Derivada de una
función paso
𝜇𝜇(𝑥𝑥)
1
0
𝑥𝑥
𝑑𝑑
[𝜇𝜇(𝑥𝑥)]
𝑑𝑑𝑑𝑑
(2.45)
𝜇𝜇′(𝑥𝑥)
1 𝛿𝛿(𝑥𝑥)
0
𝑥𝑥
En general, para todo valor escalar de magnitud 𝐾𝐾 de la función paso, y para todo valor 𝑎𝑎 de
desplazamiento de la misma en el eje x:
𝑥𝑥
𝑑𝑑
[𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)] = 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) → � 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑈𝑈 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
(2.46)
Esta propiedad permite definir que la derivada de la discontinuidad de una función, en un punto 𝑎𝑎, resulta
en un impulso en ese punto que tiene la misma magnitud que la discontinuidad de origen. Esto se ilustra
en la Figura 2.38 y en el ejemplo 2.10.
42
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 1) − 2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 8)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑔𝑔7 (𝑥𝑥 − 4.5)
Figura 2.38:
Derivada de
una función
compuerta.
2
Ejemplo 2.10:
1
𝑑𝑑
[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥
8
2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 1)
0
1
8
−2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 8)
𝑥𝑥
Determine la derivada de la función detallada en la Figura 2.39:
Figura 2.39:
Función
definida por
intervalos.
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
3.5
2
−1.5
1
−2
0 ,
4
𝑥𝑥 + 2 ,
3
2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7)
2 ,
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
3.5
,
⎨
𝑥𝑥
1 ,
⎪
7
⎪ 2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7),
⎩
0 ,
⎧
⎪
⎪
2.5
5
𝑥𝑥 < −1.5
− 1.5 ≤ 𝑥𝑥 < 0
0 ≤ 𝑥𝑥 < 2.5
2.5 ≤ 𝑥𝑥 < 5
5 ≤ 𝑥𝑥 < 7
𝑥𝑥 = 7
𝑥𝑥 > 7
La derivada de la función se puede hacer por intervalos, tomando en cuenta que en las
discontinuidades se tendrán impulsos de igual magnitud que la discontinuidad existente:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
⎧
⎪
⎪
4
3
0 ,
𝑥𝑥 + 2 ,
2 ,
3.5 ,
⎨
1 ,
⎪
⎪2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7),
⎩
0 ,
Figura 2.40:
Derivada de
la función
descrita en la
Figura 2.39.
0,
𝑥𝑥 < −1.5
⎧ 4
− 1.5 ≤ 𝑥𝑥 < 0
𝑥𝑥 < −1.5
⎪ 3,
4
⎫
,
− 1.5 ≤ 𝑥𝑥 < 0
⎪ 0,
0 ≤ 𝑥𝑥 < 2.5
⎧
3
− 1.5 ≤ 𝑥𝑥 < 0 ⎪
⎪
⎪
⎪ 1.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2.5), 𝑥𝑥 = 2.5
⎪ 1.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2.5), 𝑥𝑥 = 2.5
0 ≤ 𝑥𝑥 < 2.5 ⎪
0,
2.5
<
𝑥𝑥
<
5
=
= −2.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 5), 𝑥𝑥 = 5
2.5 ≤ 𝑥𝑥 < 5
⎨ −3𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7), 𝑥𝑥 = 7
⎬
⎨ −2.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 5),
𝑥𝑥 = 5
5 ≤ 𝑥𝑥 < 7
⎪
⎪
⎪ 0,
5 < 𝑥𝑥 < 7
⎪ 2𝛿𝛿′(𝑥𝑥 − 7), 𝑥𝑥 = 7
⎪
𝑥𝑥 = 7
⎪ −3𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7),
𝑥𝑥 = 7
⎩
0, 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥
⎪
⎭
𝑥𝑥 > 7
⎪ 2𝛿𝛿′(𝑥𝑥 − 7),
𝑥𝑥 = 7
⎩ 0,
𝑥𝑥 > 7
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
4
−1.5
3
1.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2.5)
2.5
5
2𝛿𝛿′(𝑥𝑥 − 7)
7
𝑥𝑥
−2.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 5)
−3𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7)
Alternativamente, la función 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) puede expresarse como:
𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =
4
𝑔𝑔 (𝑥𝑥 + 0.75) + 1.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2.5) − 2.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 5) − 3𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7) + 2𝛿𝛿′(𝑥𝑥 − 7)
3 1.5
NOTA: Como se observa en el ejemplo, la derivada de un impulso se expresa simplemente como el impulso
derivado:
𝑑𝑑
𝑑𝑑
(2.47)
[2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7)] = 2 [𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 7)] = 2𝛿𝛿′(𝑥𝑥 − 7)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
43
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.4 FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
2.4.1 PDF DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
La función de densidad de probabilidad, pdf, de una variable aleatoria discreta 𝜉𝜉, que puede asumir
valores dentro del espacio muestral 𝑆𝑆 = {𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑁𝑁 }, cuya función de distribución de probabilidad
es 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ), se define como:
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 )
(2.48)
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
Esto es, la pdf se expresa matemática a través de la suma de una serie de funciones impulso, ubicadas en
el lugar numérico que representa a cada evento, cuya amplitud es igual a la probabilidad de que ocurra el
respectivo evento:
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝1 ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ) + 𝑝𝑝2 ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 ) + 𝑝𝑝3 ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3 ) + ⋯ + 𝑝𝑝𝑁𝑁 ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑁𝑁 )
Figura 2.41:
Diagrama de la pdf
de una variable
aleatoria discreta
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
𝑝𝑝3 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3 )
𝑝𝑝1 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 )
𝑝𝑝2 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 )
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑝𝑝4 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥4 )
0
𝑥𝑥3
𝑥𝑥4
Al ser una pdf, debe cumplirse la siguiente propiedad:
…
…
𝑝𝑝𝑁𝑁 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑁𝑁 )
𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑁𝑁
∞
Demostración:
(2.50)
� 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
−∞
∞
∞
∞
� 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �� 𝑝𝑝𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 )� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 � � 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 � = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 1
−∞
−∞
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
(2.49)
−∞
2.4.2 CDF DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
(2.51)
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
=1
La función acumulativa de probabilidad, CDF, de una variable aleatoria discreta se puede determinar a
partir de su pdf como:
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑈𝑈) 𝑑𝑑𝑑𝑑
(2.52)
−∞
Y, dado que ∫−∞ 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑈𝑈 − 𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎), entonces:
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = � � 𝑝𝑝𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿(𝑈𝑈 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 � 𝛿𝛿(𝑈𝑈 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 )
−∞ 𝑖𝑖∈𝑆𝑆
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
−∞
(2.53)
𝑖𝑖∈𝑆𝑆
Esto es, la CDF de una variable discreta está gráfica y matemáticamente constituida por la suma de una
serie de funciones escalón.
44
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝑝𝑝1 ∙ 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ) + 𝑝𝑝2 ∙ 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 ) + 𝑝𝑝3 ∙ 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3 ) + ⋯ + 𝑝𝑝𝑁𝑁 ∙ 𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑁𝑁 )
(2.54)
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
Figura 2.42:
Ilustración de la
forma gráfica típica
de la CDF de una
variable aleatoria
discreta.
1
⋮
𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + 𝑝𝑝3 + 𝑝𝑝4
𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + 𝑝𝑝3
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2
𝑥𝑥3
0
𝑝𝑝1
𝑥𝑥4
…
𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑁𝑁
Es evidente que la CDF de una variable aleatoria discreta, que tiene la forma presentada en la Figura 2.42,
es una función creciente cuyo rango de valores corresponde al intervalo [0, 1].
Ejemplo 2.11:
Determine la DCF y pdf del experimento aleatorio: lanzamiento de una moneda.
Definamos una variable aleatoria, 𝜉𝜉, a través de la cual podemos representar los dos posibles
los eventos de este experimento: Sale Cara: 𝑥𝑥1 = −1 y, Sale Cruz: 𝑥𝑥2 = +1.
1
𝑁𝑁
La distribución de probabilidad de este experimento es uniforme, 𝑝𝑝𝑖𝑖 = , (N= 2 eventos):
1
2
2 � → � 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 = 1 + 1 = 1
𝑖𝑖
1
2
1
2 2
𝑖𝑖=1
𝑝𝑝2 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = +1) =
2
𝑝𝑝1 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = −1) =
Luego, la CDF es:
Figura 2.43:
Gráfica de la
CDF del
experimento:
lanzamiento de
una moneda.
Y, la pdf, es:
Figura 2.44:
Gráfica de la
pdf del
experimento:
lanzamiento de
una moneda.
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
1
0.5
−1
1
𝛿𝛿(𝑥𝑥 + 1)
2
−1
0
1
𝑥𝑥
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
0
1
𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 1)
2
1
0,
𝑥𝑥 ≤ −1
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = �0.5, − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1
1,
𝑥𝑥 ≥ 1
𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 0.5𝜇𝜇(𝑥𝑥 + 1) + 0.5𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1)
𝑑𝑑
𝐹𝐹 (𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜉𝜉
𝑑𝑑
[0.5𝜇𝜇(𝑥𝑥 + 1) + 0.5𝜇𝜇(𝑥𝑥 − 1)]
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
𝑥𝑥
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 0.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 + 1) + 0.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 1)
De igual manera, para una variable aleatoria discreta, se cumple que la pdf es la derivada de la CDF:
45
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
Ejercicios 2.2:
𝑑𝑑
�𝐹𝐹 (𝑥𝑥)�
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜉𝜉
(2.55)
1. Exprese las siguientes funciones como una suma de funciones paso:
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
1.5
−4
4
0
−1.5
1
−1
𝑥𝑥
1
2
𝑥𝑥
−2
2. Exprese el siguiente tren de bits como una suma de tres funciones compuerta.
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
5
0
1
4
3
5
5
𝑥𝑥
6
3. Dadas las funciones que observan a continuación, determine ∫−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑.
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
2𝛿𝛿(𝑥𝑥 + 1)
4
3
2
−1
1
−1
−2
1
3
4 5
7
𝑥𝑥
−1
0
1.5𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2)
2
4
6
𝑥𝑥
−2𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 6)
−3𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 4)
4. Determine la primera y segunda derivada de la función que se observa en la figura a continuación.
Grafique y especifique su expresión matemática como una suma de funciones compuerta e impulso
(según sea el caso).
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
3
−3
0
3
𝑥𝑥
46
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.5 TRANSFORMACIONES Y MOMENTOS DE ORDEN N.
2.5.1 TRANSFORMACIÓN GENERAL DE VARIABLES ALEATORIAS
Consideremos una variable aleatoria 𝜉𝜉 que representa los resultados de un experimento. Si existe una
función 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) tal que 𝜂𝜂 = 𝑔𝑔(𝜉𝜉), entonces 𝜂𝜂 constituye una nueva variable aleatoria correspondiente
a la transformación de 𝜉𝜉, a través de la función 𝑔𝑔.
Figura 2.45:
Transformación de
una variable aleatoria
𝜉𝜉
𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝜂𝜂 = 𝑔𝑔(𝜉𝜉)
De modo que, la CDF de la variable aleatoria transformada se puede evaluar de la siguiente manera:
𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝜂𝜂 < 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑔𝑔(𝜉𝜉) < 𝑦𝑦)
(2.56)
𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃�𝜉𝜉 ∈ 𝐷𝐷𝑦𝑦 � = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
(2.57)
Sea 𝐷𝐷𝑦𝑦 la región para la cual se cumple que 𝑔𝑔(𝜉𝜉) < 𝑦𝑦, como se muestra en la Figura 2.46, entonces:
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
Figura 2.46:
Definición gráfica de la
CDF de una variable
transformada por una
función g(x)
𝐷𝐷𝑦𝑦
𝑦𝑦
0
𝐷𝐷𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝐷𝐷𝑦𝑦
En la presente sección estudiaremos las transformaciones de variables aleatorias más comunes
especialmente en lo que respecta a su uso en aplicaciones en sistemas de transmisión de información.
2.5.2 TRANSFORMACIÓN LINEAL DE VARIABLES ALEATORIAS
Una transformación lineal está definida por la función del tipo 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, donde 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 son constantes.
El comportamiento estadístico de la transformación de una variable aleatoria está determinado por la
función de densidad (o distribución) de probabilidad de la variable transformada, 𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦), la cual puede ser
evaluada a partir de la pdf de la variable aleatoria de ingreso, 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥). Para el efecto se puede comenzar
analizando la CDF de la variable transformada:
𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝜂𝜂 ≤ 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑎𝑎𝜉𝜉 + 𝑏𝑏 < 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑎𝑎𝜉𝜉 < 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)
Si 𝑎𝑎 > 0: 𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃 �𝜉𝜉 <
Si 𝑎𝑎 < 0: 𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃 �𝜉𝜉 >
𝑦𝑦−𝑏𝑏
�
𝑎𝑎
𝑦𝑦−𝑏𝑏
�
𝑎𝑎
𝑦𝑦−𝑏𝑏
�
𝑎𝑎
= 𝐹𝐹𝜉𝜉 �
=1
𝑦𝑦−𝑏𝑏
− 𝐹𝐹𝜉𝜉 � 𝑎𝑎 �
CDF de 𝜂𝜂
(2.58)
(2.59)
47
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
A partir de la CDF de 𝜂𝜂 podemos evaluar su pdf:
Para 𝑎𝑎 > 0:
Para 𝑎𝑎 < 0:
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
𝑑𝑑
𝑦𝑦−𝑏𝑏
�𝐹𝐹 � 𝑎𝑎 ��
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜉𝜉
𝑑𝑑
𝐹𝐹 (𝑦𝑦)
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜂𝜂
𝑦𝑦−𝑏𝑏
1
�∙
𝑎𝑎
𝑎𝑎
= 𝑓𝑓𝜉𝜉 �
𝑑𝑑
𝑦𝑦−𝑏𝑏
�1 − 𝐹𝐹𝜉𝜉 � 𝑎𝑎 ��
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
(2.60)
pdf de 𝜂𝜂
𝑦𝑦−𝑏𝑏
1
−𝑓𝑓𝜉𝜉 � 𝑎𝑎 � ∙ 𝑎𝑎
(2.61)
De modo que la pdf de la transformación lineal de una variable aleatoria se puede expresar como:
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
Ejemplo 2.12:
1
𝑦𝑦 − 𝑏𝑏
𝑓𝑓 �
�
|𝑎𝑎| 𝜉𝜉
𝑎𝑎
(2.62)
Dada una variable aleatoria gaussiana 𝜉𝜉 con media 𝜇𝜇𝜉𝜉 y varianza 𝜎𝜎𝜉𝜉 2 :
Determine la pdf de 𝜂𝜂 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏.
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
1
√2𝜋𝜋𝜎𝜎𝜉𝜉
𝑒𝑒
−
(𝑥𝑥−𝜇𝜇𝜉𝜉 )2
2𝜎𝜎𝜉𝜉 2
Realicemos la trasformación de la variable empleando la fórmula general de la transformación
lineal de una variable aleatoria:
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
1
1
𝑒𝑒
|𝑎𝑎| √2𝜋𝜋𝜎𝜎𝜉𝜉
1
√2𝜋𝜋|𝑎𝑎|𝜎𝜎𝜉𝜉
1
√2𝜋𝜋�|𝑎𝑎|𝜎𝜎𝜉𝜉 �
𝑒𝑒
2
𝑦𝑦−𝑏𝑏
−𝜇𝜇𝜉𝜉 �
𝑎𝑎
−
2𝜎𝜎𝜉𝜉 2
−
𝑒𝑒
�
2
�𝑦𝑦−𝑏𝑏−𝑎𝑎𝜇𝜇𝜉𝜉 �
2𝑎𝑎2 𝜎𝜎𝜉𝜉 2
−
�𝑦𝑦−�𝑎𝑎𝜇𝜇𝜉𝜉 +𝑏𝑏��
2
2�𝑎𝑎𝜎𝜎𝜉𝜉 �
2
Nótese que si la variable de ingreso, 𝜉𝜉, es gaussiana el resultado de la transformación lineal de
la variable, a través de una función 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, da como resultado una variable 𝜂𝜂 que es
también gaussiana, con media 𝜇𝜇𝜂𝜂 = 𝑎𝑎𝜇𝜇𝜉𝜉 + 𝑏𝑏 y varianza 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝑎𝑎2 𝜎𝜎𝜉𝜉 2.
2.5.3 TRANSFORMACIÓN CUADRÁTICA DE VARIABLES ALEATORIAS
Una transformación cuadrática de una variable aleatoria 𝜉𝜉, cuya pdf es 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), está definida por la función
𝜂𝜂 = 𝜉𝜉 2 , cuya CDF se define como:
𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝜂𝜂 ≤ 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 2 < 𝑦𝑦)
(2.63)
48
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
La región 𝐷𝐷𝑦𝑦 para la cual se cumple que 𝜉𝜉 2 < 𝑦𝑦 corresponde al rango de valores �−�𝑦𝑦, �𝑦𝑦 �, como se
observa en la Figura 2.47.
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2
Figura 2.47:
Gráfica de la función
cuadrática de una variable
aleatoria. Se observa la
zona 𝐷𝐷𝑦𝑦 correspondiente
𝑦𝑦
a la CDF: 𝑃𝑃(𝜉𝜉 2 < 𝑦𝑦)
0
𝐷𝐷𝑦𝑦
−�𝑦𝑦
𝑥𝑥
�𝑦𝑦
De modo que, la CDF de la transformación cuadrática de la variable es:
√𝑦𝑦
𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) = 𝑃𝑃�𝜉𝜉 ∈ 𝐷𝐷𝑦𝑦 � = � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
Y, la pdf es:
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
𝐷𝐷𝑦𝑦
−√𝑦𝑦
√𝑦𝑦
−√𝑦𝑦
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹𝜉𝜉 (𝑥𝑥)�
= 𝐹𝐹𝜉𝜉 ��𝑦𝑦� − 𝐹𝐹𝜉𝜉 (−�𝑦𝑦)
𝑑𝑑
𝑑𝑑
1
−1
𝐹𝐹𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
�𝐹𝐹𝜉𝜉 ��𝑦𝑦� − 𝐹𝐹𝜉𝜉 (−�𝑦𝑦)� = 𝑓𝑓𝜉𝜉 ��𝑦𝑦� �
� − 𝑓𝑓𝜉𝜉 (−�𝑦𝑦) �
�
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
2�𝑦𝑦
2�𝑦𝑦
→ 𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑦𝑦) =
1
2�𝑦𝑦
�𝑓𝑓𝜉𝜉 ��𝑦𝑦� + 𝑓𝑓𝜉𝜉 (−�𝑦𝑦)�
(2.64)
(2.65)
(2.66)
2.5.4 MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
La “media” de una variable aleatoria, también denominada “promedio” o “valor esperado” tiene dos
definiciones, dependiendo si se trata de una variable discreta o continua:
Media de una variable aleatoria discreta:
Dada una variable aleatoria discreta 𝜉𝜉, misma que puede asumir valores (resultados del experimento)
dentro del espacio muestral 𝑆𝑆 = {𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑁𝑁 }, cada uno de ellos respectivamente con probabilidad
{𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 , 𝑝𝑝3 , … , 𝑝𝑝𝑁𝑁 } cuyos valores obedecen a su función de distribución de probabilidad 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ),
entonces, su media o valor esperado se denota como 𝜇𝜇 o como 𝐸𝐸[𝜉𝜉], y se define como:
𝑁𝑁
𝐸𝐸[𝜉𝜉] = � 𝑥𝑥 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖
(2.67)
𝑖𝑖=1
Un caso particular de la media es cuando la función de distribución de probabilidad es una distribución
1
𝑁𝑁
uniforme: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = . En tal caso la fórmula de la media se simplifica a:
𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖=1
∑𝑁𝑁
1
1
𝑖𝑖=1 𝑥𝑥
𝐸𝐸[𝜉𝜉] = � 𝑥𝑥 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖 = � 𝑥𝑥 ∙ = � 𝑥𝑥 =
𝑁𝑁 𝑁𝑁
𝑁𝑁
(2.68)
49
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Ejemplo 2.13:
Un mesero puede ganar distintas cantidades de dinero en propinas cada día con cierta probabilidad,
como se indica a continuación:
Ganancia ($) Probabilidad
0
0.1
10
0.4
20
0.3
30
0.2
Determine la ganancia promedio por día en propinas de este mesero.
Utilicemos la fórmula de la media para el efecto:
4
𝐸𝐸[𝜉𝜉] = � 𝑥𝑥 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 0 ∙ 0.1 + 10 ∙ 0.4 + 20 ∙ 0.3 + 30 ∙ 0.2 = 16
𝑖𝑖=1
El resultado nos dice que en promedio este mesero gana cada día $16 en propinas.
Media de una variable aleatoria continua:
Dada una variable aleatoria continua 𝜉𝜉, misma que puede asumir valores (resultados del experimento)
dentro del espacio muestral 𝑆𝑆, cuya función de densidad de probabilidad es 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), entonces, su media o
valor esperado se denota como 𝜇𝜇 o como 𝐸𝐸[𝜉𝜉], y se define como:
∞
𝐸𝐸[𝜉𝜉] = � 𝑥𝑥 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
(2.69)
−∞
Ejemplo 2.14:
Determine la media de la variable aleatoria uniforme cuya pdf se detalla en la siguiente gráfica:
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
Figura 2.48:
Gráfica de una
variable aleatoria
uniforme
∞
1
𝑏𝑏−𝑎𝑎
0
𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑎𝑎)
1 𝑥𝑥 2
1
𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2
1
1
𝐸𝐸[𝜉𝜉] = � 𝑥𝑥 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
� � =
∙
=
∙
2
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
2
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
−∞
𝑎𝑎
→ 𝐸𝐸[𝜉𝜉] =
𝑏𝑏 + 𝑎𝑎
2
𝑎𝑎
𝑏𝑏+𝑎𝑎
2
𝑏𝑏
𝑥𝑥
50
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
2.5.5 TEOREMA DEL VALOR ESPERADO
Sea 𝜂𝜂 la transformada de la variable 𝜉𝜉, tal que 𝜂𝜂 = 𝑔𝑔(𝜉𝜉), entonces la media (o valor esperado) de 𝜂𝜂 se
puede evaluar a través del teorema del valor esperado, mismo que está definido como:
∞
𝐸𝐸[𝜂𝜂] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝜉𝜉)] = � 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
(2.70)
−∞
Nòtese que el teorema del valor esperado permite evaluar la media de la variable aleatoria transformada,
𝜂𝜂, a partir de la la pdf de la variable original, 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥), evitando la necesidad de econtrar primero la pdf de la
transformada (proceso que en muchos casos podría resultar extremadamente complicado).
Ejemplo 2.15:
Considere una variable aleatoria 𝜉𝜉, uniformemente distribuida en [−1,1]. Determine el valor esperado
de la variable aleatoria 𝜂𝜂 = 3𝜉𝜉 4 .
La pdf de 𝜉𝜉 correspode a la función de densidad uniforme que se ilustra a en la Figura 2.49:
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
Figura 2.49:
Gráfica de la pdf de una variable
aleatoria 𝜉𝜉 con distribución
uniforme en 𝑥𝑥 ∈ [−1,1]
0.5
−1
0
1
𝑥𝑥
De modo que, utilizando el teorema del valor esperado, se puede evaluar:
1
∞
𝐸𝐸[𝜂𝜂] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝜉𝜉)] = � 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 3𝑥𝑥 4 ∙
−∞
−1
1
1
3 𝑥𝑥 5
3 5
6
(1 − (−1)5 ) =
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � =
2
2 5 −1 10
10
2.5.6 MOMENTOS DE ORDEN-n DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Un “momento de orden 𝑛𝑛” de una variable aleatoria se define como:
Para variables aleatorias discretas:
Para variables aleatorias continuas:
𝐸𝐸[𝜉𝜉
𝑛𝑛 ]
𝑁𝑁
= � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖
(2.71)
𝑖𝑖=1
∞
𝐸𝐸[𝜉𝜉 𝑛𝑛 ] = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
(2.72)
51
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Particularmente, el momento de orden uno (𝑛𝑛 = 1) constituye la “media” (𝜇𝜇) o “valor esperado” (𝐸𝐸[𝜉𝜉])
de una variable (que fue estudiada en detalle en la sección 2.5.4), y al momento de orden dos (𝑛𝑛 = 2) se
le conoce como la “media cuadrática” o “valor esperado cuadrático” (𝐸𝐸[𝜉𝜉 2 ]).
2.5.7 MOMENTOS CENTRALES DE ORDEN-n DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Un “momento central de orden 𝑛𝑛” de una variable aleatoria se define como:
Para variables aleatorias discretas:
𝑛𝑛 ]
𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝜇𝜇)
Para variables aleatorias continuas:
𝑛𝑛 ]
= 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝐸𝐸[𝜉𝜉])
𝑁𝑁
= �(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖
(2.73)
𝑖𝑖=1
∞
𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝜇𝜇)𝑛𝑛 ] = 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝐸𝐸[𝜉𝜉])𝑛𝑛 ] = � (𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)𝑛𝑛 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
(2.74)
Donde, 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸[𝜉𝜉] es la media o valor esperado (el momento central de orden 1) de la variable alealtoria.
Particularmente, al momento central de orden dos 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝜇𝜇)2 ] se le conoce como la varianza (𝜎𝜎 2 ) de la
variable aleatoria, misma que fue ya mencionada en la sección 2.2.1 como un parámetro característico de
una variable aleatoria gaussiana, aunque como se está indicando aquí, es un parámetro evaluable en
cualquier tipo de variable aleatoria.
2
2]
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝜇𝜇)
2]
= 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝐸𝐸[𝜉𝜉])
𝑁𝑁
= �(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)2 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
∞
𝜎𝜎 2 = 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝜇𝜇)2 ] = 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝐸𝐸[𝜉𝜉])2 ] = � (𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)2 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
(2.75)
(2.76)
Ejemplo 2.16:
Calcule la varianza de una variable aleatoria 𝜉𝜉, uniformemente distribuida en [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎].
La pdf de 𝜉𝜉 correspode a la función de densidad uniforme que se muestra en la Figura 2.50:
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥)
Figura 2.50:
Gráfica de la pdf de una variable
aleatoria 𝜉𝜉 con distribución
uniforme en 𝑥𝑥 ∈ [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎]
1
2𝑎𝑎
−𝑎𝑎
De modo que su varianza es:
∞
𝑎𝑎
0
𝜎𝜎 2 = � (𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)2 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � (𝑥𝑥 − 0)2
−∞
−𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑎𝑎
1
1 𝑥𝑥 3
1 3
𝑎𝑎2
(𝑎𝑎 − (−𝑎𝑎3 )) =
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
� � =
2𝑎𝑎
2𝑎𝑎 3 −𝑎𝑎 6𝑎𝑎
3
52
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
A su vez, un caso particular del cálculo de la varianza se presenta para una variable aleatoria discreta con
1
𝑁𝑁
función de distribución de probabilidad uniforme: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = . En tal caso la fórmula de la
varianza se simplifica a:
2
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝜇𝜇)
2]
𝑁𝑁
2
1 ∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)
= �(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)
=
𝑁𝑁
𝑁𝑁
2
𝑖𝑖=1
(2.77)
2.5.8 ANALISIS DE LINEALIDAD DEL OPERADOR “VALOR ESPERADO” Y DEL OPERADOR “VARIANZA”.
El operador de un momento de orden 1 es lineal, esto lo podemos encontrar relacionando el valor
esperado de la transformación lineal de una variable, 𝜂𝜂 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, con el valor esperado de la variable
origen 𝜉𝜉:
∞
𝐸𝐸[𝜂𝜂] = 𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏] = � (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
∞
(2.78)
∞
→ 𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏] = � 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑏𝑏 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞
−∞
∞
∞
(2.79)
→ 𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏] = 𝑎𝑎 � 𝜉𝜉 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 � 𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
(2.80)
→ 𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏] = 𝑎𝑎𝐸𝐸[𝜉𝜉] + 𝑏𝑏
(2.81)
−∞
= 𝐸𝐸[𝜉𝜉]
−∞
=1
Por otro lado, el operador varianza, aplicado a la transformación lineal de una variable (𝜂𝜂 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) da
como resultado:
2
𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝐸𝐸[(𝜂𝜂 − 𝐸𝐸[𝜂𝜂])2 ] = 𝐸𝐸 ��(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏]� �
(2.82)
→ 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝐸𝐸[(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝐸𝐸[𝜉𝜉] − 𝑏𝑏)2 ]
(2.84)
→ 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝐸𝐸[𝑎𝑎2 (𝜉𝜉 − 𝐸𝐸[𝜉𝜉])2 ]
(2.86)
→ 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝑎𝑎2 𝜎𝜎𝜉𝜉 2
(2.88)
2
→ 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝐸𝐸 ��(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − (𝑎𝑎𝐸𝐸[𝜉𝜉] + 𝑏𝑏)� �
(2.83)
→ 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝐸𝐸[(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝐸𝐸[𝜉𝜉])2 ]
(2.85)
→ 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝑎𝑎2 𝐸𝐸[(𝜉𝜉 − 𝐸𝐸[𝜉𝜉])2 ]
(2.87)
Este resultado se coincide con el resultado de la transformación lineal de una variable aleatoria gaussiana
realizada en el ejemplo 1.24, donde se puede comprobar que la varianza de la variable transformada
resulta ser efectivamente: 𝜎𝜎𝜂𝜂 2 = 𝑎𝑎2 𝜎𝜎𝜉𝜉 2.
53
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS, CON APLICACIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES
CAPÍTULO 2: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELAMIENTO DE SEÑALES
Ejercicios 2.3
1. Dada la siguiente pdf del tipo exponencial unilateral:
𝑓𝑓𝜂𝜂 (𝑥𝑥) = �
a.
b.
c.
d.
0 ,
𝐾𝐾𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 ,
𝑥𝑥 < 0
𝑥𝑥 ≥ 0
Determine el valor de K.
Encuentre la CDF y grafique.
Evalue su valor esperado 𝐸𝐸[𝜂𝜂].
Evalue su valor cuadrático esperado 𝐸𝐸[𝜂𝜂2 ].
2. Sea 𝜂𝜂 una variable aleatoria gaussiana con media 4 y varianza 2, evalúe 𝑃𝑃(𝜂𝜂 < 4) usando la 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 y
usando la siguiente aproximación:
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) ≅
𝑒𝑒 −𝑥𝑥
2
√𝜋𝜋𝑥𝑥
3. Determine la varianza de una variable aleatoria uniformemente distribuida en [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], 𝑏𝑏 > 𝑎𝑎 > 0.
4. Para cada una de las siguientes funciones:
i.
fξ ( x) = 2δ ( x + 1) − δ ( x − 2.5)
ii.
 0 for x < 0
fξ ( x ) = 
−2x
for x ≥ 0
2 ⋅ e
iii.
fξ ( x ) = e
− x −1
a. Determine si son realmente la pdf de una variable aleatoria (explique su respuesta).
b. Para cada función que sea realmente una pdf, evalúe: P(ξ ∈ [2,3]) , P(ξ ∉ [2,3])
5. Una variable aleatoria tiene una pdf del tipo:
𝐶𝐶
+1
a. Evalúe la constante 𝐶𝐶 de modo que cumpla con las propiedades de una pdf.
b. Determine la CDF
c. Evalúe la probabilidad de que 𝜉𝜉 asuma valores entre 0 y 1.
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 2
6. La variable aleatoria 𝜂𝜂 es enviada a un dispositivo no lineal que la transforma en la variable 𝛾𝛾 = 5𝜂𝜂 2
a. Evalúe la media de 𝛾𝛾
b. Evalúe la variaza de 𝛾𝛾
c. Determine las siguientes probabilidades: 𝑃𝑃(𝛾𝛾 < 0), 𝑃𝑃(𝛾𝛾 < 1)
7. La variable aleatoria ξ tiene la siguiente pdf, denominada “exponencial bilateral”:
a. Evalúe el valor de la constante A
b. Haga un gráfico cualitativo de fξ (x)
𝑓𝑓𝜉𝜉 (𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑒𝑒−|𝑥𝑥|
c. Evalúe las siguientes probabilidades: P(ξ ≤ 2 ) , P(ξ ≤ 2 ) .
54