ESTRUCTURAS I ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS: METODO DE LOS 3 MOMENTOS Daniel Abudinen I.C. M.Sc. Estructuras estáticamente indeterminadas Vigas estáticamente determinadas: Son aquellas vigas que por las ecuaciones de la estática se pueden resolver, quiere decir que el número de ecuaciones es igual al número de reacciones que se generan en la estructura. Vigas estáticamente indeterminadas (hiperestáticas): Son aquellas vigas que por las ecuaciones de la estática no se pueden resolver ya que existen mayor número de reacciones que ecuaciones. 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑥 = 0 𝑀 = 0 } No son suficientes las ecuaciones para resolver el sistema Daniel Abudinen I.C M.Sc Estructuras estáticamente indeterminadas Para resolver vigas hiperestáticas habrá que recurrir a otras metodologías como los son: • • • • • • • • Método de la doble integración Método de área de momentos Método de superposición Método de la Viga Conjugada Método de la Ecuación de Tres Momentos Método de Cross Método de Kanni Métodos matriciales Daniel Abudinen I.C M.Sc Método de los tres momentos La ecuación de los tres momentos como su nombre lo indica es demostrada a partir de 3 puntos de la viga donde se le determina el momento y su relación con las deflexiones que tiene. La ecuación presentada a continuación se encuentra de forma simplificada y expresada para determinarse con ayuda de tablas: 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Estructuras estáticamente indeterminadas 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Estructuras estáticamente indeterminadas EJEMPLO DE USO 1 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 ) = −6𝛼1 − 6𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Estructuras estáticamente indeterminadas EJEMPLO DE USO 2 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Estructuras estáticamente indeterminadas EJEMPLO DE USO 2 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 2𝑀2 𝐿1 + 𝐿2 + 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Estructuras estáticamente indeterminadas EJEMPLO DE USO 3 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 2𝑀2 𝐿2 = −6𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Método de la ecuación de tres momentos Pasos a seguir para el desarrollo del método de tres momentos: 1. Identificar que la viga es estáticamente indeterminada. 2. Identificar los momentos en los extremos (apoyo simple empotrado o voladizo) y las vigas de 3 apoyos en que se va a aplicar la ecuación de 3 momentos 3. Calcular los valores de 𝛼1 y 𝛼2 respectivamente para cada tramo (ecuaciones de tablas). 4. Establecer las ecuaciones de 3 momentos y resolver el sistema de ecuaciones para calcular los momentos en los apoyos. 5. Resolver las vigas simples con estática y los momentos calculados. 6. Sumar las reacciones en los apoyos comunes para obtener las reacciones en los apoyos en la viga completa 7. Calcular diagrama de cortante y de momento Daniel Abudinen I.C M.Sc Ejercicio 1 Calcular por el método de los 3 momentos las reacciones en los apoyos y los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada. Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 1. Indeterminación Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 2. Momentos en los extremos Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 4. Ecuación de los 3 Momentos 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 𝛼1 =26.66 𝛼2 =26.66 𝛼1 =14.06 𝛼2 =14.06 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 5. Resolver vigas simples Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 6. Suma de reacciones comunes 𝑅𝐴𝑦 =15.63 kN 𝑅𝐵𝑦 =24.36 kN 𝑅𝐵𝑦 =18.316 kN 𝑅𝐶𝑦 =6.68 kN Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 7. Diagrama de cortante y momento Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 7. Diagrama de cortante y momento Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 7. Diagrama de cortante y momento Daniel Abudinen I.C M.Sc Ejercicio 2 Calcular por el método de los 3 momentos las reacciones en los apoyos y los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada. Daniel Abudinen I.C M.Sc Ejercicio 3 Calcular por el método de los 3 momentos las reacciones en los apoyos y los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada. Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 1. Indeterminación Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 2. Momentos en los extremos Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 2. Momentos en los extremos Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 3. Calculo de 𝛼1 y 𝛼2 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 4. Ecuación de los 3 Momentos 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 𝑀1 = 𝑀𝐴 =60 kN·m 𝑉𝐴 =50 kN 𝛼1 =67.5 𝛼2 =67.5 𝛼1 =64 + 𝛼1 =78.75 𝛼2 =101.25 𝛼2 =56 𝛼1 =146.25 𝛼2 =169 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 4. Ecuación de los 3 Momentos 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 𝛼1 =64 𝛼2 =56 𝛼1 =104.167 𝛼2 =104.167 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 4. Ecuación de los 3 Momentos 𝑀1 𝐿1 + 2𝑀2 (𝐿1 + 𝐿2 )+ 𝑀3 𝐿2 = −6𝛼1 − 6𝛼2 𝛼1 =64 𝛼2 =56 𝛼1 =104.167 𝛼2 =104.167 1 22𝑀𝐵 + 5𝑀𝐶 = −1038 (2) 5𝑀𝐵 + 20𝑀𝐶 = −961 Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 5. Resolver vigas simples Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 5. Resolver vigas simples Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 6. Suma de reacciones comunes Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 7. Diagrama de cortante y momento Daniel Abudinen I.C M.Sc Paso 7. Diagrama de cortante y momento Daniel Abudinen I.C M.Sc
