Límite de una Función-Parte 1
De forma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punto como el valor al que se
aproxima la función f(x) cuando la variable independiente x se acerca al punto.
Esta idea intuitiva se formaliza en la siguiente
Definición: Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a xo es el número real L, y se representa
lim f ( x)= L ,
x→ x 0
si para cada ε > 0 que fijemos, se puede encontrar algún δ > 0 verificando que x→ xo (“x tiende a xo “) para
todo x ∈ Df (Dominio f(x) ) que cumpla 0 < |x − xo| < δ se verifica |f (x ) − L| < ε
Ejemplo 1. Hallar el límite de la función f(x)=x+1 cuando x tiende a 2 (x➙2) .
lim f ( x)= lim x + 1=2+ 1 ⤇
x→ x0
x→2
lim x + 1=3
x→ 2
2
Ejemplo 2. Hallar el límite de la función f(x)=x +2x cuando x tiende a 3.
lim f ( x)= lim x2 + 2 x=32 + 2 • 3=9+ 6 ⤇
x→ x 0
x→ 3
lim x2 + 2 x=15
x→ 3
Ejemplo 3. Hallar el límite de la función f(α)=cos (α)+sen(α) cuando α tiende a π.
lim f ( α )= lim cos ( α) + sen( α )=cos (π )+ sen ( π )=1+ 0⤇
α → α0
α→ π
lim cos( α)+ sen(α )=1
α→ π
Límites Laterales
Al estudiar el valor al que tiende una función cuando x se aproxima a un punto xo, a veces es conveniente
considerar por separado los valores próximos a xo que sean menores y los que sean mayores que L. Esto da
lugar a los límites laterales que se definen a continuación.
• Se dice que L1 es el límite por la derecha de f y se representa como
lim f ( x)= L 1 si la función se
¿
x → x+
0
aproxima a este valor al acercarse x a xo+ siendo x > xo+.
• Se dice que L2 es el límite por la izquierda de f y se representa como
se aproxima a este valor al acercarse x a xo-siendo x <xo-.
Ejemplo 4: La función a trozos
{
f ( x)= 1 si x ≤ 0 cuya gráfica es
x si x> 0
lim f ( x)= L1 si la función
¿
x → x−
0
cumple que
lim f ( x)⤇
lim f ( x)= lim 1=1 y
x→ 0− ¿
x→ 0− ¿
x → 0− ¿
lim f ( x)⤇
x→ 0+ ¿
lim f ( x)= lim x=0
x→ 0−¿
según se ve en el dibujo.
x → 0+ ¿
Cuando existen los dos límites laterales se verifica la siguiente equivalencia:
lim f ( x)= lim f ( x)= L
¿
x → x+
0
¿
x → x−
0
Una consecuencia inmediata de esta equivalencia es que si los límites laterales cuando x→ x0 son
distintos, el límite de la función cuando x→ x0 no existe, es decir
lim f ( x) ≠ lim f ( x) ⤇ L∄
¿
x → x+
0
Así, como en el ejemplo 4 el
lim f ( x)=1 es diferente del
x → 0− ¿
Límite por la izquierda
{
f ( x)=
lim f ( x)= 9
x→ 3+ ¿
lim f ( x)= 9
x→ 3− ¿
Como los dos límites son iguales el límite L de la función es
lim f ( x)= lim f ( x)= L= 9
x→ 3+ ¿
x→ 3− ¿
x→ 0+ ¿
f ( x)= 1 si x ≤ 0 No existe L ∄
x si x> 0
Ejemplo 5: Determine el límite de la función a trozos
Límite por la derecha
lim f ( x)=0
x→ 0− ¿
lim f ( x)≠ lim f ( x) ⤇ el límite de
x→ 0+ ¿
¿
x → x−
0
{
3 x si x > 3
cuya gráfica es
x2 si x ≤3
Ejemplo 6: Determine los límites laterales x➙0 de la función f ( x)=
1
x
cuya gráfica es
+
Si los valores de x se aproximan a 0 por la derecha el valor de la función
crece indefinidamente, es decir, Límite por la derecha
lim f ( x)= +∞
x→ 0+ ¿
-
Si los valores de x se aproximan a 0 por la izquierda el valor de la función
crece indefinidamente, es decir, Límite por la izquierda
lim f ( x)=−∞
x→ 0− ¿
Como los dos límites son diferentes el límite L de la función NO existe
lim f ( x)≠ lim f ( x)= L∄
x → 0− ¿
x→ 0+ ¿
Propiedades de los límites
1. El límite de una función, si existe, es único.
2.
3.
4.
5.
lim ( f + g) ( x)= lim f (x )+ lim g( x) excepto si
x → x0
x→ x 0
x → x0
lim f ( x)=±∞ y
x→ x0
lim g( x)=±∞
x→ x 0
lim k • f (x) =k • lim f ( x) donde k es un npumero real cualquiera, k∈ℝ
x → x0
x→ x 0
lim ( f • g)( x)= lim f ( x) • lim g( x) excepto si
x → x0
x→ x0
f
lim ( )( x)=
x→ x 0 g
x → x0
lim f ( x)=0 y
x→ x 0
lim g( x)=±∞ o viceversa
x→ x 0
lim f ( x)
x → x0
con
lim g( x)
lim g( x)≠ 0 excepto si
x→ x 0
lim f ( x)= lim g( x)=0 o
x→ x 0
x → x0
x → x0
lim f ( x)= lim g( x)=±∞ en cuyos casos el
x→ x 0
6.
lim ( f ( x)
x→ x 0
y
x → x0
g(x)
) = lim
lim g( x)=0 o
x→ x 0
x → x0
f
lim ( ) ( x) ∄
x→ x 0 g
lim g ( x )
f ( x)
x→ x0
lim f ( x)=1
x→ x 0
excepto si
lim f ( x)= lim g( x)=0 o
x→ x0
x → x0
lim f ( x)=±∞
x→ x 0
lim g( x)=±∞
x→ x 0
7. Si es f (x) una función acotada en un entorno de x0, es decir, si por ejmplo, si x1 < x0 < x2 entoces
f (x1) < f (x) < f (x2) y
lim g( x)=0 entonces
x→ x 0
Ejercicios. Calcular los siguientes límites
lim ( f • g)( x)=0
x→ x 0
lim ( x2 + e x )=0
a)
x→ 0
b)
lim 5 x⋅ln( x)
x→ 1
x3+ 2
x→ 3 x−1
c)
lim
lim ( x−1)
d)
2
3
x→ 0
e)
1
x→ +∞ x + 3
f)
1
lim x⋅sen( )
x
x→ 0
lim
3
En los casos en los que la aplicación directa de estas propiedades no permite calcular el límite (ver las
excepciones que aparecen en las propiedades de los límites), se dice que hay una indeterminación y es
necesario calcular el límite de otra manera.
Utilizando notación simbólica las indeterminaciones son:
00 ,
+ ∞−∞ ,
0⋅(±∞ ), 0 ±∞ ,
0
,
0
±∞
,
±∞
1± ∞
Ejemplo 7: Calcular los siguientes límites:
x 3−27
a) lim 2
Esta indeterminación se resuelve factorizando los polinomios con objeto de simplificar el
x→ 3 x −9
factor x – 3 común al numerador y al denominador, ya que al sustituir x = 3 anula a ambos
3
3
3
x −27 3 −3 0
lim 2
= 2 2 = . Aquí usamos los métodos de factorización de la diferencia de cubos y
3 −3 0
x→ 3 x −9
cuadrados, es decir, a 3− b3 =(a− b)( a2 + ab+ b 2) y (a 2−b 2)=( a−b) (a + b) luego
( x−3)( x 2 + 3 x+ 32 )
x 3−27
x 3−33
lim 2
= lim 2 2 = lim
⤇
( x− 3) ( x+ 3)
x→ 3 x −9
x → 3 x −3
x→3
3
2
2
2
2
2
2
x −27
x + 3 x + 3 3 + 3⋅3 + 3 9+ 9 + 9 3 + 3⋅3+ 3 27
lim 2
= lim
=
=
=
= ⤇
x+ 3
3+ 3
6
3+ 3
6
x→ 3 x −9
x→3
x 3− 27 9
lim 2
= :
2
x→ 3 x −9
x−2
0
= Esta indeterminación se resuelve multiplicando numerador y denominador por el
x→ 2 1− √ ( x−1) 0
conjugado del denominador, El conjugado de un binomio (a+b) es (a-b), de (a-b) es (a+b), esto se hace cada
vez que se tengan rraíces en denominador, el nuerados o en ambos.
Por lo tanto,
b) lim
( x−2)( 1+ √ ( x−1))
( x−2)(1+ √ ( x−1))
x−2
= lim
= lim
⤇
2
2
x→ 2 1− √ (x−1) x → 2 (1− √ (x−1)) (1+ √ ( x−1)) x → 2
1 −( √ ( x−1))
lim
( x−2)( 1+ √ ( x−1) )
( x−2)( 1+ √ ( x−1))
x−2
= lim
= lim
=−(1+ √ (2−1) )⤇
1−( x−1)
−(x−2)
x→ 2 1− √ (x−1) x → 2
x→2
lim
lim
x→ 2
x−2
1− √ ( x−1)
=−2
4
c)
4
x +5
+∞
x +5
+∞
Usando la propiedad 5, reenemos lim
=
=
⤇
4
4
+∞
x→ +∞ 2 x −3
x→ +∞ 2 x −3 +∞
lim
x4 + 5
lim
=+ ∞⤇
4
x→ +∞ 2 x −3
