ANÁLISIS DE REDES Teoría de gráfica: Conjunto de puntos “nodos

ANÁLISIS DE REDES
Teoría de gráfica:
Conjunto de puntos “nodos” que están interconectados por ramas.
Red:
Es una gráfica con un flujo a lo largo de sus ramas.
Cadena:
Secuencia de ramas que conectan 2 nodos a la red. Ejemplo (1,2), (2,4), (4,5), (5,6).
2
4
1
5
3
6
Ciclo:
Cadena que conecta a un nodo consigo mismo.
Se dice que una gráfica está conectada si todos sus nodos están interconectados; es decir
a cada nodo llega una rama.
Grafica de árbol:
Es una gráfica conectada sin ciclos.
Ejemplo de nodos
NODOS
INTERSECCIONES
AEROPUERTO
COMPUTADORAS
EST. DE COMBUSTIBLE
RAMA
CALLES
RUTAS
CABLES
TUBERIA
FLUJO
CARROS
AVIONES
INFORMACION
COMBUSTIBLE
ÁRBOL DE PESO MÍNIMO
Este problema consiste en conectar todos los nodos de una red, minimizando la
distancia total para lograr esta conexión, por ejemplo: para conectar teléfonos
minimizando la longitud total de cable. Los pasos a seguir de esta técnica son los
siguientes.
1.- Seleccionar cualesquier nodo en la red.
2.- Conectar este nodo en el nodo más cercano.
3.- Considerando todos los nodos que estén conectados, encontrar y conectar el nodo
más cercano que no esté conectado.
4.- Repetir el paso 3 hasta que todos los nodos estén conectados.
5.- Si existe un empate en el paso 3 y dos o más nodos que no están conectados están a
igual distancia, seleccionar uno arbitrariamente y continuar, un empate sugiere que
puede haber más de una solución óptima.
Ejemplo # 1
Una compañía tiene un proyecto de construcción de una red de agua y energía eléctrica
de un fraccionamiento, las ubicaciones y distancia en cientos de metros entre cada
predio del fraccionamiento están dadas por:
PREDIO
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,3)
(2,5)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(3,7)
(4,6)
(5,7)
(6,8)
(7,8)
DISTANCIA
3
2
5
3
3
2
5
3
7
6
4
1
2
2
5
1
7
3
6
8
4
0
(1,2)=3
(1,3)=2
(1,4)=5
2
(1,2)=5
(1,4)=7
(3,2)=5
(3,4)=4
(3,5)=7
(3,6)=5
(3,7)=9
4
(1,2)=7
(3,2)=7
(3,5)=9
(3,6)=7
(3,7)=11
(4,6)=10
7
(2,5)=10
(3,5)=12
(3,6)=10
(3,7)=14
(4,6)=13
10
(3,6)=13
(3,7)=17
(4,6)=16
(5,7)=14
13
(3,7)=20
(5,7)=17
(6,8)=14
La distancia mínima para conectar la red es de 16 kilómetros.
14
(3,7)=21
(5,7)=18
(8,7)=16
NODO
(1,2)
(1,3)
(1,6)
(2,4)
(2,6)
(3,6)
(3,7)
(4,5)
(4,9)
(5,6)
(6,7)
(6,8)
(7,8)
(7,9)
(8,9)
2
DISTANCIA
3
2
5
4
4
4
3
3
7
3
2
4
5
8
1
4
5
6
1
9
8
3
7
1
(1,2)=3
(1,3)=2
(1,6)=5
2
(1,2)=5
(1,6)=7
(3,6)=6
(3,7)=5
5
(1,6)=10
(2,4)=9
(2,6)=9
(3,6)=9
(3,7)=8
La solución es de 21 kilómetros
8
(1,6)=13
(2,4)=12
(2,6)=12
(3,6)=12
(7,6)=10
(7,8)=13
(7,9)=16
10
(2,4)=14
(6,5)=13
(6,8)=14
(7,8)=15
(7,9)=18
13
(2,4)=17
(5,4)=16
(6,8)=17
(7,8)=18
(7,9)=21
16
(4,9)=23
(6,8)=20
(7,8)=21
(7,9)=29
20
(4,9)=27
(7,9)=28
(8,9)=21
PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO
Este problema se refiere a la determinación de la cantidad máxima del material que
puede fluir a través de una red, puede usarse, por ejemplo para encontrar el número
máximo de vehículos que puede fluir a lo largo de un sistema de carreteras, suponiendo
que existe un punto de origen y un punto destino. Los pasos para resolver un problema
de ese tipo son:
1.- Llamemos “f” al flujo total que queremos maximizar y hagamos f=0.
2.- Seleccionar una trayectoria del origen al destino con capacidad de flujo positivo, si
no existe ninguna, quiere decir que el flujo total f actualmente asignado es el máximo,
esto constituye una solución óptima.
3.- Buscar en la trayectoria seleccionada la rama con capacidad de flujo menor,
denotar este flujo con la letra “c” e incrementar el flujo total en esta cantidad; esto
significa hacer f=f+c.
4.- Decrementar en la cantidad “c” la capacidad de flujo de cada rama en la trayectoria
seleccionada e incrementar en la misma cantidad “c” la capacidad de flujo de cada rama
en la dirección opuesta de la trayectoria y regresar al paso 2.
Ejemplo:
En una ciudad se tiene el proyecto de desarrollar un sistema de avenidas que permita
aumentar el flujo de vehículos que atraviesa la ciudad de occidente a oriente. Los
planeadores de la ciudad tienen trazada la siguiente red, con los flujos estimados entre
cada pareja de nodos indicados en cientos de vehículos por hora.
Rama
Capacidad de flujo
Capacidad de flujo inverso
(1,2)
3
1
(1,3)
10
0
(1,4)
2
0
(2,4)
1
1
(2,6)
2
2
(3,4)
3
1
(3,5)
2
1
(4,6)
1
1
(5,6)
6
0
2
2
1
1
3
origen
2
1
2
0
1
1
6
1
4
10
0
1
3
0
1
2
3
F=0
Seleccionamos 1-2-6
F=F+C
C=2
F=0+2
F=2
Seleccionamos 1-4-6
F=2
C=1
F=2+1
F=3
Seleccionamos 1-2-4-3-5-6
F=3
C=1
F=3+1
F=4
Seleccionamos1-3-5-6
F=4
C=1
F=4+1
F=5*100=500
Flujo maximo es de 500 vehiculos * hora.
6
5
destino
gasolinera
(1,2
(1,3)
(1,4)
(2,5)
(3,5)
(3,6)
(4,6)
(4,8)
(5,7)
(6,8)
(7,8)
Capacidad de flujo
2
5
1
2
2
2
3
4
2
4
2
2
Flujo inverso
0
0
1
2
1
2
0
0
2
0
2
5
1
7
3
4
F=0
Seleccionamos 1-4-8
F=F+C
C=1
F=0+1
F=1
Seleccionamos 1-3-6-8
F=F+C
C=2
F=1+2
F=3
Seleccionamos 1-3-5-7-8
F=F+C
C=2
F=3+2
F=5*1000=5000
Solución
Flujo maximo =5000 litros de combustible * hora
6
8
Rama
(1,2)
(1,3)
(1,5)
(2,4)
(2,5)
(3,6)
(4,5)
(5,6)
(5,8)
(6,7)
(6,8)
(7,8)
Capacidad de flujo
5
4
2
4
3
2
1
3
2
3
2
4
Flujo inverso
3
3
5
2
2
1
3
1
3
0
2
1
2
1
F=0
Seleccionamos 1-5-8
F=0
C=2
F=0+2
F=2
Seleccionamos 1-3-6-8
F=2
C=2
F=2+2
F=4
Seleccionamos 1-2-5-6-7-8
F=4
C=3
F=4+3
F=7
Flujo máximo = 7
8
5
3
Solución
4
6
7
RUTA MAS CORTA
Problema de la ruta más corta este problema trata de encontrar como una persona o un
objeto puede viajar de un punto a otro minimizando la distancia total viajada. En otras
palabras se trata de encontrar la ruta más corta desde un origen a un destino. Los pasos a
seguir son:
1.- Encontrar el nodo más cercano al origen. Anotar la distancia a un lado del nodo
seleccionado.
2.- encontrar el siguiente nodo más cercano al origen, y anotar la distancia acumulada a
un lado de este nodo. En algunos casos se deben revisar, varias trayectorias para
encontrar el siguiente nodo más cercano.
3.- Repetir este proceso hasta que se haya recorrido toda la red. La distancia acumulada
en el nodo destino será la distancia de la ruta más corta.
Ejemplo:
Una empresa de mudanza desea determinar la ruta más corta para transportar el
mobiliario de un cliente que se está mudando de una ciudad a otra.
La red que representa las carreteras posibles, con sus correspondientes distancias en
kilómetros, entre nodos es la siguiente.
carretera
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(4,6)
(5,6)
Distancia
100
200
50
200
100
40
150
100
100
200
2
100
100
50
1
4
100
150
6
200
40
3
100
5
Distancia
nodo
1
2
3
4
5
6
100
150
190
290
Conexiones
(1,2)=100;(1,3)=200
(2,1)=100;(2,3)=50;(2,4)=200;(2,5)=100
(3,1)=200; (3,2)=50;(3,5)=40
(4,2)=200;(4,5)=150;(4,6)=100
(5,2)=100;(5,3.)=40;(5,4)=150;(5,6)=100
(6,4)=100;(6,5)=100
La ruta más corta es: 6-5-3-2-1
1-2-3-5-6
La distancia mínima es 290 kilómetros.
CARRETERA
(1,2)
(1,4)
(2,3)
(2,4)
(3,4)
(3,6)
(4,5)
(4,6)
(5,6)
DISTANCIA
18
32
12
28
17
32
4
17
11
2
12
3
32
18
28
1
17
6
32
17
4
Distancia
18
30
32
36
47
La ruta más corta es: 1-4-5-6
6-5-4-1
nodo
1
2
3
4
5
6
4
11
5
conexiones
(1,2)=18;(1,4)=32
(2,1)=18; (2,3)=12;(2,4)=28
(3,2)=12;(3,4)=17;(3,6)=32
(4,1)=32;(4,2)=28;(4,3)=17;(4,5)=4;(4,6)=17
(5,4)=4;(5,6)=11
(6,3)=32;(6,4)=17;(6,5)=11
La distancia mínima es 47 kilómetros.