ANÁLISIS DE REDES Teoría de gráfica: Conjunto de puntos “nodos” que están interconectados por ramas. Red: Es una gráfica con un flujo a lo largo de sus ramas. Cadena: Secuencia de ramas que conectan 2 nodos a la red. Ejemplo (1,2), (2,4), (4,5), (5,6). 2 4 1 5 3 6 Ciclo: Cadena que conecta a un nodo consigo mismo. Se dice que una gráfica está conectada si todos sus nodos están interconectados; es decir a cada nodo llega una rama. Grafica de árbol: Es una gráfica conectada sin ciclos. Ejemplo de nodos NODOS INTERSECCIONES AEROPUERTO COMPUTADORAS EST. DE COMBUSTIBLE RAMA CALLES RUTAS CABLES TUBERIA FLUJO CARROS AVIONES INFORMACION COMBUSTIBLE ÁRBOL DE PESO MÍNIMO Este problema consiste en conectar todos los nodos de una red, minimizando la distancia total para lograr esta conexión, por ejemplo: para conectar teléfonos minimizando la longitud total de cable. Los pasos a seguir de esta técnica son los siguientes. 1.- Seleccionar cualesquier nodo en la red. 2.- Conectar este nodo en el nodo más cercano. 3.- Considerando todos los nodos que estén conectados, encontrar y conectar el nodo más cercano que no esté conectado. 4.- Repetir el paso 3 hasta que todos los nodos estén conectados. 5.- Si existe un empate en el paso 3 y dos o más nodos que no están conectados están a igual distancia, seleccionar uno arbitrariamente y continuar, un empate sugiere que puede haber más de una solución óptima. Ejemplo # 1 Una compañía tiene un proyecto de construcción de una red de agua y energía eléctrica de un fraccionamiento, las ubicaciones y distancia en cientos de metros entre cada predio del fraccionamiento están dadas por: PREDIO (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,5) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,6) (5,7) (6,8) (7,8) DISTANCIA 3 2 5 3 3 2 5 3 7 6 4 1 2 2 5 1 7 3 6 8 4 0 (1,2)=3 (1,3)=2 (1,4)=5 2 (1,2)=5 (1,4)=7 (3,2)=5 (3,4)=4 (3,5)=7 (3,6)=5 (3,7)=9 4 (1,2)=7 (3,2)=7 (3,5)=9 (3,6)=7 (3,7)=11 (4,6)=10 7 (2,5)=10 (3,5)=12 (3,6)=10 (3,7)=14 (4,6)=13 10 (3,6)=13 (3,7)=17 (4,6)=16 (5,7)=14 13 (3,7)=20 (5,7)=17 (6,8)=14 La distancia mínima para conectar la red es de 16 kilómetros. 14 (3,7)=21 (5,7)=18 (8,7)=16 NODO (1,2) (1,3) (1,6) (2,4) (2,6) (3,6) (3,7) (4,5) (4,9) (5,6) (6,7) (6,8) (7,8) (7,9) (8,9) 2 DISTANCIA 3 2 5 4 4 4 3 3 7 3 2 4 5 8 1 4 5 6 1 9 8 3 7 1 (1,2)=3 (1,3)=2 (1,6)=5 2 (1,2)=5 (1,6)=7 (3,6)=6 (3,7)=5 5 (1,6)=10 (2,4)=9 (2,6)=9 (3,6)=9 (3,7)=8 La solución es de 21 kilómetros 8 (1,6)=13 (2,4)=12 (2,6)=12 (3,6)=12 (7,6)=10 (7,8)=13 (7,9)=16 10 (2,4)=14 (6,5)=13 (6,8)=14 (7,8)=15 (7,9)=18 13 (2,4)=17 (5,4)=16 (6,8)=17 (7,8)=18 (7,9)=21 16 (4,9)=23 (6,8)=20 (7,8)=21 (7,9)=29 20 (4,9)=27 (7,9)=28 (8,9)=21 PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO Este problema se refiere a la determinación de la cantidad máxima del material que puede fluir a través de una red, puede usarse, por ejemplo para encontrar el número máximo de vehículos que puede fluir a lo largo de un sistema de carreteras, suponiendo que existe un punto de origen y un punto destino. Los pasos para resolver un problema de ese tipo son: 1.- Llamemos “f” al flujo total que queremos maximizar y hagamos f=0. 2.- Seleccionar una trayectoria del origen al destino con capacidad de flujo positivo, si no existe ninguna, quiere decir que el flujo total f actualmente asignado es el máximo, esto constituye una solución óptima. 3.- Buscar en la trayectoria seleccionada la rama con capacidad de flujo menor, denotar este flujo con la letra “c” e incrementar el flujo total en esta cantidad; esto significa hacer f=f+c. 4.- Decrementar en la cantidad “c” la capacidad de flujo de cada rama en la trayectoria seleccionada e incrementar en la misma cantidad “c” la capacidad de flujo de cada rama en la dirección opuesta de la trayectoria y regresar al paso 2. Ejemplo: En una ciudad se tiene el proyecto de desarrollar un sistema de avenidas que permita aumentar el flujo de vehículos que atraviesa la ciudad de occidente a oriente. Los planeadores de la ciudad tienen trazada la siguiente red, con los flujos estimados entre cada pareja de nodos indicados en cientos de vehículos por hora. Rama Capacidad de flujo Capacidad de flujo inverso (1,2) 3 1 (1,3) 10 0 (1,4) 2 0 (2,4) 1 1 (2,6) 2 2 (3,4) 3 1 (3,5) 2 1 (4,6) 1 1 (5,6) 6 0 2 2 1 1 3 origen 2 1 2 0 1 1 6 1 4 10 0 1 3 0 1 2 3 F=0 Seleccionamos 1-2-6 F=F+C C=2 F=0+2 F=2 Seleccionamos 1-4-6 F=2 C=1 F=2+1 F=3 Seleccionamos 1-2-4-3-5-6 F=3 C=1 F=3+1 F=4 Seleccionamos1-3-5-6 F=4 C=1 F=4+1 F=5*100=500 Flujo maximo es de 500 vehiculos * hora. 6 5 destino gasolinera (1,2 (1,3) (1,4) (2,5) (3,5) (3,6) (4,6) (4,8) (5,7) (6,8) (7,8) Capacidad de flujo 2 5 1 2 2 2 3 4 2 4 2 2 Flujo inverso 0 0 1 2 1 2 0 0 2 0 2 5 1 7 3 4 F=0 Seleccionamos 1-4-8 F=F+C C=1 F=0+1 F=1 Seleccionamos 1-3-6-8 F=F+C C=2 F=1+2 F=3 Seleccionamos 1-3-5-7-8 F=F+C C=2 F=3+2 F=5*1000=5000 Solución Flujo maximo =5000 litros de combustible * hora 6 8 Rama (1,2) (1,3) (1,5) (2,4) (2,5) (3,6) (4,5) (5,6) (5,8) (6,7) (6,8) (7,8) Capacidad de flujo 5 4 2 4 3 2 1 3 2 3 2 4 Flujo inverso 3 3 5 2 2 1 3 1 3 0 2 1 2 1 F=0 Seleccionamos 1-5-8 F=0 C=2 F=0+2 F=2 Seleccionamos 1-3-6-8 F=2 C=2 F=2+2 F=4 Seleccionamos 1-2-5-6-7-8 F=4 C=3 F=4+3 F=7 Flujo máximo = 7 8 5 3 Solución 4 6 7 RUTA MAS CORTA Problema de la ruta más corta este problema trata de encontrar como una persona o un objeto puede viajar de un punto a otro minimizando la distancia total viajada. En otras palabras se trata de encontrar la ruta más corta desde un origen a un destino. Los pasos a seguir son: 1.- Encontrar el nodo más cercano al origen. Anotar la distancia a un lado del nodo seleccionado. 2.- encontrar el siguiente nodo más cercano al origen, y anotar la distancia acumulada a un lado de este nodo. En algunos casos se deben revisar, varias trayectorias para encontrar el siguiente nodo más cercano. 3.- Repetir este proceso hasta que se haya recorrido toda la red. La distancia acumulada en el nodo destino será la distancia de la ruta más corta. Ejemplo: Una empresa de mudanza desea determinar la ruta más corta para transportar el mobiliario de un cliente que se está mudando de una ciudad a otra. La red que representa las carreteras posibles, con sus correspondientes distancias en kilómetros, entre nodos es la siguiente. carretera (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5) (4,6) (5,6) Distancia 100 200 50 200 100 40 150 100 100 200 2 100 100 50 1 4 100 150 6 200 40 3 100 5 Distancia nodo 1 2 3 4 5 6 100 150 190 290 Conexiones (1,2)=100;(1,3)=200 (2,1)=100;(2,3)=50;(2,4)=200;(2,5)=100 (3,1)=200; (3,2)=50;(3,5)=40 (4,2)=200;(4,5)=150;(4,6)=100 (5,2)=100;(5,3.)=40;(5,4)=150;(5,6)=100 (6,4)=100;(6,5)=100 La ruta más corta es: 6-5-3-2-1 1-2-3-5-6 La distancia mínima es 290 kilómetros. CARRETERA (1,2) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) DISTANCIA 18 32 12 28 17 32 4 17 11 2 12 3 32 18 28 1 17 6 32 17 4 Distancia 18 30 32 36 47 La ruta más corta es: 1-4-5-6 6-5-4-1 nodo 1 2 3 4 5 6 4 11 5 conexiones (1,2)=18;(1,4)=32 (2,1)=18; (2,3)=12;(2,4)=28 (3,2)=12;(3,4)=17;(3,6)=32 (4,1)=32;(4,2)=28;(4,3)=17;(4,5)=4;(4,6)=17 (5,4)=4;(5,6)=11 (6,3)=32;(6,4)=17;(6,5)=11 La distancia mínima es 47 kilómetros.