1-Cálculo diferencial

MATEMÁTICAS PARA LA
ECONOMÍA. CÁLCULO
Tema 1: Funciones de una variable.
Parte 1: cálculo diferencial
M. Josune Urien
INTRODUCCIÓN







La variable y es función de x cuando depende de ella a través
de una ley de correspondencia.
Variable independiente: x
Variable dependiente: y
Ejemplo: y= 2x3+3/x +1
Dominio de definición o campo de existencia: valores que
puede tomar la variable independiente.
Recorrido o rango: valores que puede tomar la variable
dependiente.
Ejemplo: y= x3 +7
 Dominio: (-∞,∞)
 Rango: (-∞,∞)
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Ejemplo:


Dominio o campo de existencia:
x+8⩾0 ⇒ x ⩾ -8 luego el dominio es [-8,∞)
Recorrido: [0,∞)
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1. Ejemplo
Función compuesta y función inversa

Función compuesta: función de otra función.
 (f∘g)(x)=f[g(x)]
 Ejemplo: f(x)=3x2-1 ; g(x)=2/x
f[g(x)]=f(2/x)=3(2/x)2-1= 12/x2 – 1
g[f(x)]=g(3x2-1) = 2/(3x2-1)

Función inversa f-1(x) : cumple f[f-1(x)]=f-1[f(x)]=x
 Se intercambian x⟷y
 Se despeja la nueva y.
 Ejemplo: f(x)= 3x+4
○ y=3x+4 ⟷ x=3y+4
○ y=(x-4)/3
○ f-1(x)= (x-4)/3
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2. Límite de una función
2.a.Límite finito
Piensa en esta otra función: f(x)=1/(x-2)2
Intenta aplicar la definición para hallar el límite finito de la función(si lo tiene)
en x=2:
Ayuda gráfica:
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2. Límite de una función
2.b.Límite por la derecha y por la izquierda
2.c Límite finito en el infinito
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3. Cálculo de límites. Operaciones
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4. Infinitésimos

Se dice que f(x) es un infinitésimo para x⟶a ó x ⟶∞ si:

Infinitésimos equivalentes: f(x) y g(x) son infinitésimos
equivalentes para x⟶a sii:
Análogamente para x ⟶∞

En el cálculo de límites se puede sustituir un infinitésimo por
su equivalente, siempre que esté multiplicando o dividiendo:
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Tabla de infinitésimos equivalentes
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Ejemplos
Errores comunes:
𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒊𝒏𝒙 ≠ 𝐥𝐢𝐦 𝒙
𝒙→∞
𝒙→∞
𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏) ≠ 𝐥𝐢𝐦 (𝟐𝒙 + 𝟏)
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
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𝐥𝐢𝐦 𝐱 − 𝐬𝐢𝐧𝐱 ≠ 𝐥𝐢𝐦 (𝒙 − 𝒙)
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
Otros casos relevantes:

Se debe calcular el límite por la izquierda y por la derecha y
ver si ambos coinciden.
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
Se factorizan numerador y denominador, y se simplifican:
Ejemplo:
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5. Continuidad

Y=f(x) es continua en x=a si:
 Existe f(a), es decir a 𝟄 Dom(f)
 Existe
○ A menudo deberán calcularse los límites laterales.
 Ambos valores son iguales.
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Ejemplos


La función f(x)=1/x no es continua en x=0, ya que no
existe en ese punto.
La función:
Está compuesta por polinomios, luego sólo posee un
punto susceptible de ser una discontinuidad: x=1
Luego la función f(x) es continua en
x=1, y por tanto, en todo ℝ
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Debemos estudiar la continuidad en x=-1 y en x=2.
Para x=1 encontramos una discontinuidad de primera especie:
Para x=2:
La función f(x) es continua ∀x 𝟄 ℝ -{-1}
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
Tipos de discontinuidad:
 De primera especie: los límites laterales existen pero no
coinciden.
 De segunda especie: no existe alguno de los límites
laterales o ambos.
 Discontinuidad evitable: existe el límite
pero no
coincide con f(a), o ésta no existe.
La discontinuidad puede evitarse
haciendo:
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Teorema de Bolzano
Sea f(x)
1) continua en el intervalo [a,b]
2) f(a)·f(b)<0
Entonces:
∃ x0 𝟄 (a,b) tal que f(x0)=0.
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7. Derivadas

Definición de derivada de f(x) en un punto:

Interpretación geométrica:
m= f’(x0)
Recta tangente f(x) en (x0, y0):
y= y0 + m ·(x-x0)
por tanto:
y= y0 + f’(x0) ·(x-x0)
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
Reglas de derivación (tabla).

Regla de la cadena. Ejemplo:
 y= sen2(3x+1)
 y= sen(3x+1)2

 y’=2·sen(3x+1)·cos(3x+1)·3
 y’= cos(3x+1)2 · 2(3x+1)·3
Ejemplo: halla la ecuación de la recta tangente a la curva
y=x3-4x en el punto de abcisa x=-1.500
Coordenada y del punto: y0= (-1.5)3 – 4·(-1.5)= 2.625
Pendiente de la recta: m= f’(-1.5)
f’(x)=3x2-4  m= 3·(-1.5)2 – 4 =2.75
Ecuación de la recta tangente en el punto (-1.500, 2.625):
y= 2.625 + 2.75 (x- (-1.5))
y= 2.75x + 6.75
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8. Teoremas

Teorema de Rolle: sea f(x)
 continua en [a,b]

derivable en (a,b)
 f(a)= f(b)
∃ x0 𝟄 (a,b tal que f’ x0)=0

Teorema de Lagrange o del valor medio: sea f(x)
 continua en [a,b]
 derivable en (a,b)
f(b)
∃ x0 𝟄 (a,b) tal que
f(a)
a
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x0
b
9. Regla de L’Hopital

Sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables en un
entorno de x=a y sea el límite:
Por el teorema de Cauchy puede demostrarse que :
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
Otras indeterminaciones mediante la regla de L’Hopital:
 0·∞
 ∞-∞
 1∞
𝒍𝒏𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏
𝒙→∞
= 𝐥𝐢𝐦
𝐱→∞
𝒙
𝟏+𝒙
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦 𝒙. 𝒍𝒏
𝒙→∞
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝐱→∞
𝟏+𝒙
−𝒙
𝒙
= −𝟏 → 𝐥𝐢𝐦
𝐱→∞ 𝟏 + 𝒙
𝟏+𝒙
𝒙
𝒍𝒏
𝒙+𝟏 𝟏+𝒙−𝒙
𝒙
𝟏
.
𝟐
𝒙
𝟏
+
𝒙
𝟏 + 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦 𝟏 + 𝒙 =
𝟏
−𝟏
𝟏
𝒙→∞
𝐱→∞
−
𝟐
𝒙
𝒙
𝒙
= 𝒆−𝟏
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10. Elasticidad

Tipos de elasticidad:
 Unitaria: |Ex f(x)|= 1
 Inelástica : |Ex f(x)|< 1
 Elástica: |Ex f(x)|> 1

Ejemplo:
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