Funciones de Interpolacin para Termmetros Digitales - Andy Barrientos

Funciones de
Interpolación para
Termómetros Digitales
Andy Barrientos A.
Laboratorio de Termometría
Perú, calidad que deja huella
Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales
01. Introducción.
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Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales
La presentación propone considerar funciones
interpoladoras del tipo polinomial; así mismo de un
criterio experimental para verificar si dicha función es la
adecuada para representar el comportamiento de las
correcciones de un termómetro digital.
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02. FUNDAMENTO TEÓRICO
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- Funciones Interpoladores
- Mínimos Cuadrados
- Calidad de Ajuste
* Incertidumbre de la curva de ajuste
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Funciones Interpoladores
Muchas veces se recurre a funciones interpoladores para representar el comportamiento
de las correcciones; errores; valores; etc; de un instrumento determinado (termómetros;
manómetros; etc.)
Definición.- Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de
abscisas x0,x1,..xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio pm(x) de
grado menor o igual a m, cumpliendo:
𝑝𝑚 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 , ∀𝑘 = 0,1, … , 𝑚
A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f
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Elección de una función Interpoladora
Los criterios de selección del tipo de curva y grado de polinomio son diversos:
• Experiencia, propia o de otros laboratorios, usuarios o fabricantes;
• Modelo, empírico o teórico del fenómeno;
• Análisis de consistencia gráfica de los residuos, que requiere que la distribución de los
residuos respecto a la curva ajustada sea aleatorio (idealmente distribución normal), la
dispersión de los residuos debe mantenerse a lo largo de la curva de regresión;
• Análisis estadístico, en el cual se aumenta el grado del polinomio hasta encontrar la
máxima potencia que cumpla:
𝑎𝑚
≥ 𝑡95,5%(𝜐)
𝑢𝑎𝑚
donde:
am es el coeficiente de la potencia
uam es la incertidumbre (desviación estándar experimental de la media o del error)
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El grado del polinomio queda entonces como m.
El número de grados de libertad para la t de Student es igual al número de puntos menos el
grado del polinomio menos 1.
𝜈 =𝑁−𝑚−1
En ocasiones es posible usar la regresión lineal, lineal múltiple o polinómica haciendo
cambios de variable, por ejemplo, si se tiene un comportamiento exponencial cambiar a
logaritmos permite aplicar una regresión lineal.
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Mínimos cuadrados
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de
la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados y una familia
de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se
aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error
cuadrático.
En su forma más simple, intenta minimizar la suma
de cuadrados de las diferencias en las
ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos
generados por la función elegida y los
correspondientes
valores
en
los
datos.
Específicamente, se llama mínimos cuadrados
promedio (LMS) cuando el número de datos
medidos es 1 y se usa el método de descenso por
gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se
puede demostrar que LMS minimiza el residuo
cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones
(por iteración), pero requiere un gran número de
iteraciones para converger.
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Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos
cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria.
El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que
el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es
importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables
que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados
ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas
de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o
maximizando la entropía.
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Criterio de Mínimos Cuadrados
Este método está basado en minimizar la variación entre el ajuste y los datos
tomados; es objetivo es encontrar los parámetros aj que minimicen el error debido a
la función interpoladora.
𝑁
𝑦𝑖 − 𝑎1 + 𝑎2 𝑡1 + ⋯ 𝑎𝑚 𝑡𝑖 𝑚
𝑄=
2
𝑖
Al minimizar la función Q, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑦 = 𝑎
𝑇
𝑋
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Criterio de Mínimos Cuadrados
donde
𝑇
𝑦 =
𝑦,
𝑦𝑥,
𝑦𝑥 2 …
𝑦𝑥 2
Al minimizar la función Q, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑎 = 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚
𝑇
además:
 N

 x
[ x]   x 2
...
 m
x
x
x 2
...
x 2
x 3
...
x 3
...
x 4
...
...
...
x m1
x m 2
...
x m 
m 1 
x

x m 2 

...

m m

x
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Criterio de Mínimos Cuadrados
Cálculo de Coeficientes
𝑎 = 𝑦
Donde:
𝐶 = 𝑋
𝑇
𝐶
−1
además:
𝐶𝑖,𝑗 𝑐𝑜𝑛 𝑖, 𝑗 =0,1,…,m
Un caso particular es con m = 3:
 a1   N
  
 a 2   x
a    2
 3   x
 a   x 3
 4 
x
x 2
x 2
x 3
x 3
x 4
x 4
x 5
x 3 
x 4 

x 5 
x 6 
1
 y 


 yx 
 yx 2 


 yx 3 


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Calidad de Ajuste
Incertidumbre de la curva de Ajuste (Interpolación)
 y
s

2
N
i
 (a1  a2ti  ..amtim )
i
N m
donde:
N: Número de Puntos medidos
m: grado del polinomio
Si los residuos parecen comportarse de forma aleatoria, es un indicativo que el modelo
podría ajustarse bien los datos. Por otro lado, si fuera una estructura no aleatoria evidente
en los residuos, seria una señal de que el modelo ajusta mal los datos.
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- 03. CRITERIO DE ANÁLISIS
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Criterio de la coherencia en base a la
incertidumbre combinada de la diferencia
Considerando el suficiente número de puntos para realizar un ajuste adecuado; un punto
intermedio (no considerado en el ajuste) será coherente con la curva inicial cuando la
diferencia entre este nuevo punto y la curva de interpolación inicial sea menor que la
incertidumbre combinada del ajuste de la curva inicial y la debida a las componentes
aleatorias.
𝑌 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖 ) ≤
2
2
𝑢𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒
+ 𝑢𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠
Donde la componente de la aleatoriedad es debida a la aleatoriedad de los puntos
considerados en el ajuste y a la aleatoriedad del nuevo punto en análisis; la cual es debida a la
resolución del termómetro a calibrar.
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Entonces:
𝑌 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖
≤
𝑠2 + 2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙.
2
2 3
Esta prueba también puede aplicarse a puntos considerados sospechosos al realizar la
calibración o cuando se reciba un certificado.
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- 04. EJEMPLOS
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EJEMPLO 1
Temperatura
Indicada, °C
T.C.V.
°C
50
100
110
130
135
49,91
99,51
109,22
128,95
133,91
Correcciones Incertidumbre
°C
°C
-0,09
-0,49
-0,78
-1,05
-1,09
0,14
0,14
0,14
0,15
0,16
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EJEMPLO 2
Resultados Obtenidos
Temperatura
Indicada, °C
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
T.C.V
°C
0,01
9,99
20,03
29,97
39,97
49,99
Corrección
°C
0,01
-0,01
0,03
-0,03
-0,03
-0,01
Incertidumbres
°C
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
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EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A
DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO
Resultados Obtenidos
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EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A
DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO
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EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A
DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO
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EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A
DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO
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- 05. ERRORES COMUNES AL
REALIZAR INTERPOLACIONES
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Aglomeración de Puntos
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Insuficientes puntos
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Confiar en r²=1
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- 05. CONCLUSIONES
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CONCLUSIONES
EL CRITERIO DE LA COHERENCIA DE LA INCERTIDUMBRE DE LA DIFERENCIA, es un buena
herramienta para garantizar si los resultados medidos u obtenidos en una calibración
son consistentes.
El criterio propuesto ayuda a decidir en la distribución de puntos para tener una buena
interpolación.
Teniendo una buena distribución de puntos se pueden reducir costos.
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Gracias
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