Universidad de Panamá
Facultad de Informática, Electrónica y Comunicación
Licenciatura en Informática Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías
Protección de la Información
Cifrado Asimétrico con Mochilas
Prof. de la Cátedra:
Ing. Jenny Ríos
Profesor Asistente:
Ing. José A. Murillo
Participante
Abraham García
8-926-1592
Alvaro Núñez
8-961-174
Fabiana Navarro
8-944-523
Idelka Morris
10-710-1599
Luis Navarro
8-703-552
Panamá, 28 de octubre de 2020
Contenido
Introducción ........................................................................................................................... 3
Sistemas de Cifrado Asimétrico .............................................................................................. 4
Cifrado Asimétrico de Mochilas.............................................................................................. 5
Problema de la Mochila .......................................................................................................... 6
Criptosistema de Merkle-Hellman ......................................................................................... 8
Diseño Mochila de Merkle y Hellman .................................................................................. 10
Parámetros para el Diseño de Mochilas ............................................................................... 11
Criptosistema asimétrico basado en mochilas M-H ............................................................. 12
(MerkleHellman)................................................................................................................... 12
Propiedades que deben cumplir las mochilas Secreta y Publica M-H ................................. 13
y los parámetros a / p ........................................................................................................... 13
Bibliográficas......................................................................................................................... 15
Conclusión ............................................................................................................................ 16
Introducción
La criptografía es la ciencia que se encarga de proteger información para almacenarla y
transmitirla por canales inseguros mientras que por criptoanálisis nos referimos al estudio
del nivel de seguridad que presenta un sistema criptográfico con respecto a posibles
ataques.
Sistemas de Cifrado Asimétrico
También son llamados sistemas de cifrado de clave pública. Este sistema de cifrado usa
dos claves diferentes. Una es la clave pública y se puede enviar a cualquier persona y otra
que se llama clave privada, que debe guardarse para que nadie tenga acceso a ella.
Los algoritmos asimétricos encriptan y desencriptan con diferentes llaves. Los datos se
encriptan con una llave pública y se desencriptan con una privada, siendo ésta su principal
ventaja. Los algoritmos asimétricos, también conocidos como algoritmos de llave pública,
necesitan al menos una llave de 3.000 bits para alcanzar un nivel de seguridad similar al de
uno simétrico de 128 bits.
Cifrado Asimétrico de Mochilas
El problema de la mochila simple, también llamado problema de la mochila
supercreciente, es un tipo de problema de la mochila (problema NP-completo) al que le
aplican una serie de condiciones que hacen que pueda ser planteado como un problema
de la suma de subconjuntos (problema NP-completo) que, si tiene solución, esta será
única.
Problema de la Mochila
En algoritmia, el problema de la mochila, comúnmente abreviado por KP (del inglés
Knapsack problem) es un problema de optimización combinatoria, es decir, que busca la
mejor solución entre un conjunto de posibles soluciones a un problema. Modela una
situación análoga al llenar una mochila, incapaz de soportar más de un peso determinado,
con todo o parte de un conjunto de objetos, cada uno con un peso y valor específicos. Los
objetos colocados en la mochila deben maximizar el valor total sin exceder el peso
máximo.
El problema de la mochila es uno de los 21 problemas NP-completos de Richard Karp,
establecidos por el informático teórico en un famoso artículo de 1972. Ha sido
intensamente estudiado desde mediados del siglo XX y se hace referencia a él en el año
1897, en un artículo de George Mathews Ballard.
Si bien la formulación del problema es sencilla, su resolución es más compleja, la
estructura única del problema, y el hecho de que se presente como un subproblema de
otros problemas más generales, lo convierten en un problema frecuente en la
investigación.
El problema matemático de la mochila, referido ahora a números y no a los elementos
físicos que puedan entrar en ella, se plantea como sigue:
Solución al problema de la mochila
Tenemos la mochila S = {20, 5, 7, 36, 13, 2} con m = 6 y el valor T = 35. Se pide encontrar
una solución, si es que ésta existe. En este momento no importa que los valores de la
mochila no estén ordenados.
Sin hacer ningún cálculo mental, podemos recorrer todos los valores (se puede descartar
el elemento S4 pues es mayor que el objetivo T) de la mochila S, bien de izquierda a
derecha o al revés (da igual el sentido elegido) y restaremos el elemento i-ésimo si es
menor o igual que el objetivo T en esa etapa del algoritmo y termina cuando T = 0, como
se indica:
S = {S1, S2, S3, S4, S5, S6} = {20, 5, 7, 36, 13, 2}; T = 35
S1=20 ¿Es menor que objetivo T=35? Sí Þ T = 35-20 = 15
S2=5 ¿Es menor que objetivo T=15? Sí Þ T = 15-5 = 10
S3=7 ¿Es menor que objetivo T=10? Sí Þ T = 10-7 = 3
S4=36 ¿Es menor que objetivo T=3? No Þ T = 3
S5=13 ¿Es menor que objetivo T=3? No Þ T = 3
S6=2 ¿Es menor que objetivo T=3? Sí Þ T = 3-2 = 1 ¹ 0
Se ha recorrido toda la mochila y no se ha encontrado solución.
En cambio sí existe una solución:
Criptosistema de Merkle-Hellman
En 1978 Ralph Merkle y Martin Hellman proponen un sistema de cifra de clave pública
denominado Mochila con Trampa de Merkle y Hellman.
El algoritmo se basa en crear una mochila difícil a partir de una mochila simple de forma
que el cifrado se haga con la mochila difícil y el descifrado con la mochila simple o fácil. Se
puede pasar fácilmente de la mochila simple a la difícil o viceversa usando una trampa.
Diseño Mochila de Merkle y Hellman
Parámetros para el Diseño de Mochilas
Criptosistema asimétrico basado en mochilas M-H
(MerkleHellman)
Cada entidad que desea comunicarse debe disponer de dos
mochilas o claves una secreta y otra que se hace pública.
Supongamos que un emisor desea enviar un mensaje cifrado (o
criptograma) a un receptor. Los pasos a seguir son:
1) El receptor dispone de una mochila o clave secreta MS de longitud “n” formada por un
conjunto de “n” valores: MS=(s1,s2,s3, . , sn)
2) El receptor elige en secreto el módulo “p” de la aritmética modular finita “p” debe ser
mayor que la suma de todos los elementos de la mochila secreta.
3) El receptor crea una mochila pública MP multiplicando en secreto en aritmética módulo
“p” cada valor de la mochila secreta por un valor secreto “a” que tenga inverso, a⋅a^(-1)=1
mod p, MP= =a⋅s1 mod p,a⋅s2 mod p,., a⋅sn mod p
4) Si un emisor desea enviar al receptor anterior un mensaje de “n” bits expresado en
binario cifrado, M=(10101 . . .101) deberá realizar el producto interno de M con la mochila
pública de receptor en cuestión MP: C = M*MP
5) Por su parte el receptor para descifrar el criptograma recibido C y obtener el mensaje
original M deberá realizar el producto: M=C⋅a^(-1) mod p y comparando con su mochila
secreta MS extraer el mensaje binario M.
Propiedades que deben cumplir las mochilas Secreta y Publica M-H
y los parámetros a / p
1) La mochila secreta, MS=(b1, b2, . .., bn) debe ser super-creciente, es decir cada término
debe ser mayor que la suma de los anteriores, esto es, bi>(bi-1+...+b1) con i=1,2,.,n, (dicho
de otra forma, debe estar formada por valores crecientes y cada valor no debe obtenerse
sumando una combinación de los anteriores). Por ejemplo la mochila secreta:
MS1=(3,6,11,30,50,105) no es super-creciente, 50=3+6+11+30 La mochila secreta:
MS2=(7,9,21,121,1,750) tampoco es super-creciente pues los valores no son crecientes.
En
cambio:
MS3=(3,8,12,25,50,121)
si
es
super-creciente.
Así
mismo:
MS4=(1,2,4,8,16,32,64,128,.,1024) es super-creciente.
2) El tamaño o longitud de la mochila secreta MS no debe ser múltiplo de 8 bits si se
trabaja en ASCII donde el número de bits de la representación ASCII de los mensajes vale
8. Si se trabaja con sextetos no debe ser múltiplo de seis, etc.
3) La longitud de la mochila MS debe ser grande para resistir ataques por fuerza bruta.
4) Los valores que forman la mochila MS deben ser suficientemente elevados para
dificultar ataques por fuerza bruta.
5) Para que la mochila sea mas segura, los dos primeros valores de la mochila pública MP
“s1” y “s2” deben cumplir: mcd (s1, p) distinto de mcd (s2, p) y a su vez distintos de la
unidad (es decir, el módulo “p” no debe tener factores comunes con s1 y s2; no se debe
cumplir la primalidad entre ellos) para evitar un ataque de Shamir-Zippel con lo cual la
mochila es mas segura.
6) Los valores “a” y “p” deben ser primos, es decir, se debe cumplir: mcd(a,p)=1 Es decir si
se elige, p=198=2⋅3^2⋅11 entonces el valor menor de “a” vale 5 y su cuadrado 25.
7) El mínimo valor de “p” se obtiene como el mínimo mayor de la suma de valores de la
mochila secreta MS, es decir, “p” igual a la suma de elementos de la mochila secreta más
una unidad.
Bibliográficas
https://docplayer.es/31786631-Capitulo-13-cifrado-asimetrico-con-mochilas.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_mochila_simple
https://www.lawebdelprogramador.com/pdf/13501-Capitulo-13-Cifrado-Asimetrico-conMochilas.html
https://fdocuments.es/document/seguridad-informatica-y-criptografia-cifradoasimetrico-con-mochilas.html
https://es.slideshare.net/juancarlosbroncanotorres/criptosistema-rabin
https://www.math.cinvestav.mx/publicaciones/tesis/maestria/pdf/DM-TM-2014-10-13JCDT.pdf
http://sidemasters.blogspot.com/2014/12/criptografia-cifrado-asimetrico-de.html
Conclusión
Podemos decir que la criptografía se ha visto en la necesidad de extenderse, una
necesidad que no existía en la época de las guerras cuando financiaban el estudio de la
criptografía, pero que hoy se conoce como la necesidad del derecho a la privacidad.
Abraham García
Cifrado asimétrico es un receptor genera clave pública y clave privada que le pasa la clave
pública al emisor, no es necesario que sea por otro canal. El emisor cifra utilizando clave
pública y algoritmo público y entonces el receptor, que tiene la clave privada, descifra el
mensaje codificado por el emisor.
Álvaro Núñez
El Cifrado asimétrico No necesita un nuevo canal por el que mandar la clave. Sin embargo
es más lento que los simétricos, también es vulnerable a ataques criptográficos si se usa
mucho, además de que hay que proteger la clave privada y llevarla para poder descifrar
(no es un pass).
Idelka Morris
El cifrado Asimétrico de mochila fue propuesto por Merkle y Hellman en 1977 el que fue
(probablemente) el primer sistema de cifrado de clave pública. Fue basado en el problema
subset-sum: Dada una lista de enteros positivos (a1, a2, ..., an) y un entero positivo s,
encontrar, si existe, una lista de enteros (xi, x2, ...,x7,) con xi E (QUI i n tales que ril_i xi • ai
= s. El problema es NP-completo y es llamado a menudo el problema de la mochila.
Luis Navarro
El único sistema criptográfico basado en el problema de la mochila para el que aún no se
conoce un ataque con éxito es el de ChorRivest, sin embargo el problema general subsetsum es NP-completo, pero el particular de la mochila derivada de una supercreciente no lo
es.
Fabiana Navarro
