Unidad 1. Números Reales

Competencia específica: Aplica las propiedades de los números
reales, desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita, así
como desigualdades con valor absoluto para representar las soluciones
en forma gráfica y analítica.
1.1 Los números reales.
1.2 Axiomas de los números reales.
1.3 Intervalos y su representación gráfica.
1.4 Valor absoluto y sus propiedades.
1.5 Propiedades de las desigualdades.
1.6 Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con
una incógnita
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto
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UNIDAD 1: NÚMEROS REALES
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1.1
Los números reales.
Los conocimientos de las Matemáticas han tenido una influencia determinante en
las Ciencias Naturales, Exactas, Sociales, Económico Administrativas y en los
avances científicos y Tecnológicos; cuando el ser humano se hizo sedentario, surgió
la necesidad de contar sus bienes; para esto pudo utilizar “Piedritas” o “Rayitas”,
para simbolizar alguna cosa u objeto de su propiedad.
Definición:
Un número natural, es aquel que sirve para designar la cantidad de elementos que
tiene un cierto conjunto, se denota por la letra “N”, los integrantes de este conjunto
son:
N  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,...
Este conjunto de números se divide en conjuntos más pequeños como los
siguientes:
1. Conjunto de números perfectos; son los números naturales que son
iguales a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse el mismo.
Ejemplos de estos son:
2. Conjunto de números triangulares; que son de la forma
n2  n
, donde n
2
es un numero natural. Ejemplo de estos números son:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
3. Conjunto de números primos; que son los números naturales mayores que
1 y que tienen únicamente dos divisores, él mismo número y el 1. Ejemplos
de estos números son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79…
4. Conjunto de números pitagóricos; que son números primos de la forma
4n + 1. El conjunto de los números primos pitagóricos es exactamente el
conjunto de los números primos que pueden ser la longitud de la hipotenusa
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de un triángulo rectángulo de lados enteros. Algunos números pitagóricos
son:
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …
Definición:
El conjunto de los números enteros, está formado por todos los números naturales
agregándoles los números negativos y el cero, se denotan por la letra Z, algunos
representantes de los números enteros son:
Z  ..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5,...
Algunos subconjuntos importantes de los números enteros son:
1. Conjunto de números pares: es un numero entero que se puede escribir de
la forma: 2k, donde k es un numero entero (los números pares son los
múltiplos del número 2). Ejemplos de estos números son:
-100, -50, -20, -10, -2, 0, 2, 4, 8, 200
2. Conjunto de números impares: son los números enteros que se pueden
escribir de la forma: 2k + 1, donde k es un entero. Ejemplos de estos números
son:
-137, -33, -19, -11, -3, -1, 1, 2, 23, 201
Definición:
El conjunto de los números racionales, denotados por Q, incluyen todos los números
que pueden expresarse en forma de cociente (fracción de quebrado), a/b en donde
a y b son números enteros y en donde b deberá ser diferente de cero (b  0) . Cabe
hacer notar que el conjunto de los números racionales incluyen al conjunto de los
números enteros; también pueden ser positivos y negativos.


Q  ..., 1 , 3 , 8 ,  1 ,  2 ,  3 ,...
4 5 10
20
30
50
En un número real con una cantidad infinita de decimales, decimos que contiene un
periodo de repetición o simplemente periodos, si a partir de cierta posición el
(los) número(s) se repiten(n) indefinidamente, este periodo es igual a la cantidad de
números que se repiten, por ejemplo:
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

F  ...,  , 5, 2,  3,  7,  10,...
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Definición.
Números irracionales, son los números que no se pueden expresar como cociente
de los números enteros; pueden ser positivos o negativos, se denotan por:
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Definición:
Números reales, el conjunto de los números reales están constituido por la unión de
los conjuntos de números racionales con los números irracionales, es decir:


R  ...,  , 6,12 , 3, 3 , 4 ,1, 1 ,  1 ,  2,  7 ,...
5
2 5
4
20
4
Es necesario aclarar que los números racionales pueden expresarse como fracción
decimal que se repite infinitamente (también se le denomina Decimal periódico); o
finita.
Un número irracional no es una fracción decimal que se repita infinitamente, es decir
que su representación decimal no es periódica.
Cantidad
Tipo
7
 1.75
4
Decimal finito
2
 0.181818
11
Decimal
periódico
infinito
Numero
racional
irracional
Numero racional
o
o Numero racional
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2
 0.66666
3
2  1.414213562
infinito
o Numero racional
infinito
no Numero irracional
infinito
no Numero irracional
Tabla comparativa de las diferentes clases de números.
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  3.141592654
Decimal
periódico
Decimal
periódico
Decimal
periódico
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Axiomas de los números reales.
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1.2
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1.3
Intervalos y su representación gráfica.
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Un intervalo es un segmento de la recta numérica comprendido entre dos valores
extremos a y b.
Intervalos en los Reales (IR)
La Expresión: {x IR / a < x < b} se conoce como Intervalo, representa al conjunto de
todos los números reales que están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este
caso x no puede ser ni “a” ni “b”.
Tipos de Intervalos:
 Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, sin incluirlos, se simboliza
por: ()
 Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b, incluidos ambos. Se
simboliza por: [ ]
 Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye
a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [ )
 Intervalo Semiabierto por Izquierda: ( ]
Notación de intervalo
La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.
Intervalo Descripción
Cerrado
Abierto
[a, b]
Conjunto
números x tales
que a ≤ x ≤ b
Dibujo
Ejemplo
de
[0, 10]
(incluye
puntos
extremos)
(a, b)
Conjunto
números x tales
a<x<b
de
(-1, 5)
que (excluye
puntos
extremos)
Semiabierto (a, b]
Conjunto
números x tales
a<x≤b
de
que
(-3, 1]
[a, b)
Conjunto
números x tales
a≤x<b
de
que
[-4, -1)
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Infinito
[a, +∞)
Conjunto
números x tales
a≤x
de
que
[0, +∞)
(a, +∞)
Conjunto
números x tales
a<x
de
que
(-3, +∞)
(-∞, b]
Conjunto
números x tales
x≤b
de
que
(-∞, 0]
(-∞, b)
Conjunto
números x tales
x<b
de
que
(-∞, 8)
(-∞, +∞)
Conjunto de todos números
reales
(-∞, +∞)
Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos
extremos. Intervalos abiertos no tienen puntos extremos, y cada intervalo
semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto
extremo.
Representación GRAFICA de intervalos:
[-3,6]
-3< x < 6
(4,9)
4<x<9
(1,+ ∞) 1 < x < + ∞
La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación
gráfica de algunos intervalos acotados:
La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación
gráfica de algunos intervalos no acotados:
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1.4
Valor absoluto y sus propiedades.
Ejemplos:
Propiedades de Valor Absoluto
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Propiedades de las desigualdades.
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1.5
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1.6
Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una
incógnita
Desigualdades de primer grado con una incógnita
Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera
similar que las ecuaciones lineales. Es decir, se puede despejar la incógnita
utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad. Como veremos
en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues
cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la
desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa.
Desigualdades de segundo grado con una incógnita
De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si
la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando.
Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en
la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raíz
cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos.
El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación
sobre la recta numérica.
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero
cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son:
 > (mayor que)
 < (menor que)
  (mayor o igual que)
  (menor o igual que)
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Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para
resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes
desigualdades:
Problema 1: Resolver: 3 > x - 8.
3>x-8
3+8>x-8+8
11 > x
x < 11
El conjunto solución es: (-∞, 11).
Problema 2: Resolver: 2x-5 < 7
Solución:
2x-5 < 7
desigualdad original
2x-5+5 < 7+5
sumar 5 a ambos miembros
2x < 12
simplificar
½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½
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x<6
simplificar
El conjunto solución es: (-∞, 6).
Problema 3: Resolver 3x 14  7 x  2
Solución:
3 x  7 x  14  2
4 x  12
12
x
4
x  3
El conjunto solución es: (-∞, -3).
Problema 4: Resolver
x3
4
x


3
x2 3
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Solución:
( x  3)( x  2)  4(3)  x( x  2)
x 2  5 x  6  12  x 2  2 x
x2  5x  x2  2 x  6
3x  6
6
3
x2
El conjunto solución es: (2,∞).
x
Problema 5:
Nota: Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un
número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Problema 6: Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12
Solución:
-3 ≤ 2-5x ≤ 12
-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2
Desigualdad original
restar 2
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Simplificar
Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e
.
Simplificar
Problema 7: Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones
de primer grado:
4(x +1) > 2 − 3(2x + 6)
Solución.
4x + 4 > 2 − 6x −18
4x + 6x > 2 −18 − 4
10x > −20
x > −2
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-5 ≤ -5x ≤ 10
- (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10)
invertir ambas
desigualdades.
1 ≥ x ≥ -2
El conjunto solución es [-2,1].
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Observación
En los casos en que se pueda identificar rápidamente donde cambia de signo el
denominador, podemos dividir la desigualdad en dos casos (dividendo el intervalo
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justo donde el denominador cambia de signo), y resolver cada uno de ellos por
separado, la solución será la unión de ambas soluciones.
Problema 8: Resolver
2x 1
3
x3
Solución:
2x 1
2x 1
2 x  1  3x  9
x  8
x8
 3
3 0
0
0
0
x3
x3
x3
x3
x3
Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y el
denominador de la expresión anterior:
x  8  0  x  8
x  3  0  x  3
Este valor nunca lo podrá tomar x pues algo partido por 0 no existe
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:
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
-8
+ no sirve

+
+
+ no sirve
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X+8
X+3
x8
0
x3
S  {xe / 8  x  3}  (8, 3)
-3
+
-no sirve
2x 1
3
x
2x 1
2x 1
2 x  1  3x
 x 1
x 1
 3
3 0
0
0
0
x
x
x
x
x
Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y denominador
de la expresión anterior:
x  1  0  x  1
Problema 9: Resolver
x0
S  {x  / x  1  0  x}  (, 1)  (0, )
Ejercicios propuestos:
Instrucción I: Solución de inecuaciones de primer grado con una incógnita
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l)
x x
 5
2 3
m) 4  2x  3  4
x2
0
n)
x4
x3
2
o)
x2
x4
0
p)
x2
2 x
0
q)
2x  6
2 x  3 3x  7

x2
r) x  2
2 x  8
0
s)
3x  7
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a) 8x – 1 > 6x + 4
b) 5x – 7 < 3x + 2
c) 3x  5  5x 15
1
1
d) x   2 x  1
3
2
e) x + 6 < 4 – 3x
f) x  5  7
g) 4  2x  3x 1
h) 4 > 3x + 5
i) 6x + 3 < x – 9
j) x – 5 < 2x – 6
k) ( x  1)2  7  ( x  2)2
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Consideremos ahora un ejemplo donde se tienen dos radicales en una misma
desigualdad.
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Observación
En la mayoría de los casos y debido a que las raíces tiene restricciones, es fácil y
suficiente, realizar un análisis de los valores que cumplen la desigualdad, sin realizar
todos los cálculos.
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Se pueden despreciar los factores cuadráticos que no cambian de signo, siempre y
cuando se considere lo siguiente:
 Si se despreció un factor cuadrático que es siempre negativo, a los intervalos
finales se les debe cambiar de signo.
 Se debe analizar si existen un valor de la variable que hace cero al factor, y
quitarlo de la desigualdad si ésta es estricta.
Desigualdades Cuadráticas
Problema 1: Resolver: x2 < x+6
Solución:
x2 < x + 6
Desigualdad original
2
x -x-6<0
Escribir en forma usual
(x – 3)(x + 2) < 0
Factorizar
El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos
prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).
La solución de la desigualdad original es (-2, 3).
Problema 2: Resolver la siguiente inecuación
x2  9  0
Solución:
x2  9
x 9
x  3
Los intervalos solución pueden ser (− ∞, −3), (−3, 3) y (3, ∞)
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Problema 3: resolver la siguiente inecuación x 2  4  0
Solución:
x2  4
x 2
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x  2
Los intervalos solución pueden ser (− ∞, −2), (−2,2) y (2, ∞)
Problema 4: Resolver la siguiente inecuación 2 x 2  4 x  30
Solución:
2 x 2  4 x  30  0
2 x 2 4 x 30

 0
2
2
2
2
x  2 x  15  0
x 2  2 x  15  0
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( x  5)( x  3)  0
x  5  0  x  5
x3  0  x  3
Los intervalos solución pueden ser (, 5],[5,3],[3, )
Problema 5: Resolver la siguiente inecuación x 2  3 x  4
x 2  3x  4  0
( x  1)( x  4)  0
x1  1
x2  4
Ejercicios propuestos:
Instrucción I: Solución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita
a) 4 x 2  x  5  0
b) 5 x 2  9  6 x 2  7 x
1
2
c) 11x  x  1
5
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1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto
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Desigualdades que envuelven dos posibles soluciones (valor absoluto)
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra
negativa.
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Problema 1: Resolver 10 x  2  9
Solución:
10 x  2  9
10 x  2  2  9  2
10 x  7
7
x
10
Problema 2: Resolver: x  3  2
Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores
absolutos, puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.
x 3  2
2  x  3  2
2  3  x  3  3  2  3
1 x  5
El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].
Problema 3: Resuelva 2 x  5  9
Solución:
2 x 4
x 2
x  2
Problema 4: Resuelva x  2  3
Solución:
x  2  3  x  1
x2 3 x 5
Problema 5: Resuelva 4  7 x  8
Solución.
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Nunca el valor absoluto es negativo. Por lo tanto esta ecuación no tiene solución. El
conjunto solución es cero.
Problema 6: Resuelva 2 x  3  x  5
Solución:
2x  3  x  5 o
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x 3  5 o
x 8 o
2 x  3  ( x  5)
2x  3  x  5
x
2
3
Problema 7: Resuelva 3x  2  4
Solución:
4  3 x  2  4
2
 x2
3
Problema 8: Resuelva 8  4 x  5
Solución:
5  8  4 x  5
  13  4 x  3
13
3
3
13
x

x
4
4
4
4
Problema 9: Resuelva 6 x  4  4
Solución:
4  6 x  4  4
0 x
4
3
Problema 10: Resuelva 12  3x  5
Solución:
5  12  3x  5
7
17
x
3
3
Ejercicios propuestos
a) x  4  7
d)
6  2x  7
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2x  5  3
e)
2x  5  3
c)
3x  4  2
f)
8  4x  5
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b)
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