COMPUTACIÓN – C09052 Plan de estudios - Ingeniería de Ejecución en Mecánica PROFESOR: Alejandro Bezmalinovic C. ([email protected]) [email protected] CLASE #2 : AJUSTE DE CURVAS AJUSTE DE CURVAS La figura muestra tres intentos para ajustar una curva con cinco (5) puntos dados: a) REGRESIÓN (lineal) por “mínimos cuadrados”. b) INTERPOLACIÓN (lineal a tramos). c) INTERPOLACIÓN (polinomial o curvilínea). AJUSTE DE CURVAS – REGRESIÓN por mínimos cuadrados OBJETIVO: Obtener fc. que represente relación entre “x” e “y”. y x SE TIENE: Secuencia (“n+1” pares) de datos, en la forma, {xi, yi}. Fc. de “AJUSTE”: (se elige) polinomio de grado “m” en “x”, con m < n y n ≥ 1: min(Q) es equivalente a (m+1) FILOSOFÍA. Minimizar resíduo total, ecuaciones: Q: AJUSTE DE CURVAS – REGRESIÓN POLINOMIAL por mínimos cuadrados Caso “m = 1” – Regresión LINEAL y [M]: matriz de momentos. x AJUSTE DE CURVAS – REGRESIÓN POLINOMIAL por mínimos cuadrados Caso general (para polinomio ‘Pm’): AJUSTE DE CURVAS – REGRESIÓN por mínimos cuadrados EJEMPLO. Se tiene la siguiente secuencia de datos: ¡TAREA! Casos: m = 3, 4, 5 Se prueba, m = 1: SOL (m=1): a0 = 1.00833333; a1 = 1.94047619 Se prueba, m = 2: SOL (m = 2): a0 = 0.31666667; a1 = 2.63214286; a2 = -0.09880952 AJUSTE DE CURVAS – REGRESIÓN POLINOMIAL por mínimos cuadrados ESTIMACIÓN DEL ERROR – Coeficiente de correlación, R2: Ejercicio anterior. Para m=3: R2 = 0.9333 (m = 1) R2 = 0.9429 (m = 2) R2 = 0.9492 (m = 3) a0 = 0.76212121; a1 = 1.46547619; a2 = 0.34664502; a3 = -0.04242424 AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL OBJETIVO: Obtener polinomio que represente relación entre “x” e “y”. y x SE TIENE: Secuencia (“n+1” pares) de datos, en la forma, {xi, yi}. Fc. INTERPOLANTE: polinomio de grado “m”: FILOSOFÍA. Imponer que el polinomio “pase por los puntos”. “n+1” ecs. de restricción: Por lo tanto: n = m y se requiere resolver sistema de (n+1) ecuaciones. AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL de Lagrange [V]: Matriz de Vandermonde AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL de Lagrange EJEMPLO #1. Para los valores de la tabla siguiente, se pide determinar el polinomio de interpolación. SOL: a0 = 2.110; a1 = -0.570; a2 = 2.240 AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL de Lagrange EJEMPLO #2. Ídem ejemplo #1. Evalúe además el efecto de tomar, Y3 = 50.25. X 1.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Y 3.78 20.56 35.67 17.25 SOL (Y3 = 17.25): a0 = 801.755 a1 = -1507.136; a2 = 934.455; a3 = -256.058; a4 = 32.297; a5 = -1.532 32.3 7.0 3.58 SOL (Y3 = 50.25): a0 = -237.745; a1 = 460.489; a2 = -292.732; a3 = 84.255; a4 = -11.016; a5 = 0.530 AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL de Lagrange EJERCICIO PROPUESTO. HINT #1: Escriba la tabla anterior en función de volumen (V, en litros) de agua. Ojo con la condición inicial! V(t = 0). HINT #2: El caudal es, Q = dV/dt. COMPUTACIÓN – C09052 Plan de estudios - Ingeniería de Ejecución en Mecánica PROFESOR: Alejandro Bezmalinovic C. ([email protected]) CLASE #2 : AJUSTE DE CURVAS