C09052 COM Ajuste de curvas

COMPUTACIÓN – C09052
Plan de estudios - Ingeniería de Ejecución en Mecánica
PROFESOR: Alejandro Bezmalinovic C.
([email protected])
[email protected]
CLASE #2 : AJUSTE DE CURVAS
AJUSTE DE CURVAS
La figura muestra tres intentos para
ajustar una curva con cinco (5) puntos
dados:
a) REGRESIÓN (lineal) por “mínimos
cuadrados”.
b) INTERPOLACIÓN (lineal a tramos).
c) INTERPOLACIÓN (polinomial o
curvilínea).
AJUSTE DE CURVAS –
REGRESIÓN por mínimos cuadrados
OBJETIVO:
Obtener fc. que represente
relación entre “x” e “y”.
y
x
SE TIENE:
Secuencia (“n+1” pares) de
datos, en la forma, {xi, yi}.
Fc. de “AJUSTE”: (se elige) polinomio de grado “m” en “x”,
con m < n y n ≥ 1:
min(Q) es equivalente a (m+1)
FILOSOFÍA. Minimizar resíduo total,
ecuaciones:
Q:
AJUSTE DE CURVAS –
REGRESIÓN POLINOMIAL por mínimos cuadrados
Caso “m = 1” – Regresión LINEAL
y
[M]: matriz de
momentos.
x
AJUSTE DE CURVAS –
REGRESIÓN POLINOMIAL por mínimos cuadrados
Caso general
(para polinomio ‘Pm’):
AJUSTE DE CURVAS –
REGRESIÓN por mínimos cuadrados
EJEMPLO. Se tiene la siguiente secuencia de datos:
¡TAREA!
Casos:
m = 3, 4, 5
Se prueba, m = 1:
SOL (m=1):
a0 = 1.00833333; a1 = 1.94047619
Se prueba, m = 2:
SOL (m = 2):
a0 = 0.31666667;
a1 = 2.63214286;
a2 = -0.09880952
AJUSTE DE CURVAS –
REGRESIÓN POLINOMIAL por mínimos cuadrados
ESTIMACIÓN DEL ERROR – Coeficiente de correlación, R2:
Ejercicio anterior. Para m=3:
R2 = 0.9333 (m = 1)
R2 = 0.9429 (m = 2)
R2 = 0.9492 (m = 3)
a0 = 0.76212121;
a1 = 1.46547619;
a2 = 0.34664502;
a3 = -0.04242424
AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
OBJETIVO: Obtener polinomio
que represente relación entre
“x” e “y”.
y
x
SE TIENE:
Secuencia (“n+1” pares) de
datos, en la forma, {xi, yi}.
Fc. INTERPOLANTE: polinomio de grado “m”:
FILOSOFÍA. Imponer que el polinomio “pase por los puntos”.
“n+1” ecs. de restricción:
Por lo tanto: n = m y se requiere resolver sistema de (n+1) ecuaciones.
AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
de Lagrange
[V]: Matriz de
Vandermonde
AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
de Lagrange
EJEMPLO #1. Para los valores de la
tabla siguiente, se pide determinar
el polinomio de interpolación.
SOL:
a0 = 2.110;
a1 = -0.570;
a2 = 2.240
AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
de Lagrange
EJEMPLO #2. Ídem ejemplo #1. Evalúe además el efecto de
tomar, Y3 = 50.25. X
1.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Y
3.78
20.56
35.67
17.25
SOL (Y3 = 17.25):
a0 = 801.755
a1 = -1507.136;
a2 = 934.455;
a3 = -256.058;
a4 = 32.297;
a5 = -1.532
32.3
7.0
3.58
SOL (Y3 = 50.25):
a0 = -237.745;
a1 = 460.489;
a2 = -292.732;
a3 = 84.255;
a4 = -11.016;
a5 = 0.530
AJUSTE DE CURVAS – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
de Lagrange
EJERCICIO PROPUESTO.
HINT #1: Escriba la tabla anterior en función de volumen
(V, en litros) de agua. Ojo con la condición inicial! V(t = 0).
HINT #2: El caudal es, Q = dV/dt.
COMPUTACIÓN – C09052
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CLASE #2 : AJUSTE DE CURVAS