Nota de clase. Precio de una acción

Ecuaciones en Diferencia.
Precio de una Acción
Rocı́o Morbidoni
Santiago Gramegna
Mayo 2020
Índice
1. PVI cuando el término independiente es una constante B
(a) Estructura
(b) Solución
2. PVI cuando el término independiente es una función F s
(a) Estructura
(b) Solución
3. Aplicación económica
(a) Determinación del precio de una acción
i. Expectativas adaptativas
ii. Expectativas racionales
(b) Shock no anticipado
1
1. PVI cuando el termino independiente es una constante B
(a) Estructura
Xt+1 = AXt + B
Xt0 = X0
(b) Solución
Xt = X0 + Bt
Xt = At−t0 (X0 − X ∗ ) + X ∗
Si A=1
Si A6= 1
Observación:
X∗ =
B
1−A
Denota el equilibrio de estado estacionario, el cual hace alusión a
aquellas trayectorias constantes tales que Xt+1 = Xt = X ∗ . Entonces, sobre una trayectoria de equilibrio de estado estacionario, el
sistema permanece en un punto que es invariante ante el paso del
tiempo.
2. PVI cuando el término independiente es una función
(a) Estructura
XS+1 = Fs + AXt
Xt0 = X0
(b) Solución
Xt = X0 At−t0 +
t−1
X
At−S−1 .Fs
S=t0
3. Aplicación económica
(a) Determinación del precio de una acción
Expectativas adaptativas

e
Pt+1
−Pt

+ Pdtt = r
Pt
PV I =
 e
Pt+1 = Pte + λ(Pt − Pte )
La hipótesis de expectativas adaptativas nos dice que las expectativas
para el precio de mañana son iguales a las expectativas que tenı́amos
ayer para el precio de hoy más el error de pronóstico.
2
Ejercicio 13
e

Pt+1
−Pt
+ Pdtt = r


Pt


e
Pt+1
= Pte + λ(Pt − Pte )




Pte0 = P0e
0<λ<1
a) Despejo Pt de la primer ecuación.
e
Pt .r = Pt+1
− Pt + d t
e
Pt .r + Pt = Pt+1
+ dt
e
(1 + r)Pt = Pt+1
+ dt
e
P
+ dt
Pt = t+1
(1 + r)
Lo reemplazo en la segunda ecuación.
e
Pt+1
+ dt
− Pte
(1 + r)
e
λP
λdt
t+1
+
− λPte
= Pte +
(1 + r) (1 + r)
λ
= (1 − λ)Pte +
dt
(1 + r)
λ
= (1 − λ)Pte +
dt
(1 + r)
λ
dt
= (1 − λ)Pte +
(1 + r)
1
(1 − λ)(1 + r) e λ(1 + r)
Pt +
dt
=
1+r−λ
(1 + r) (1 + r) − λ
e
Pt+1
= Pte + λ
e
Pt+1
λ
e
Pt+1
−
Pe
(1 + r) t+1
λ
1−
Pe
(1 + r) t+1
(1 + r) − λ
e
Pt+1
(1 + r)
e
Pt+1
Obtengo la estructura del PVI

e
e
Pt+1
= (1−λ)(1+r)
1+r−λ Pt +
PV I =

Pte0 = P0e
3
λ
1+r−λ dt
Donde
(1 − λ)(1 + r)
1+r−λ
A=
0<A<1
Fs =
λ
dt
1+r−λ
Por lo tanto, la solución es:
Pte
(1 − λ)(1 + r)
=
1+r−λ
t−t0
P0e +
t−s−1
t−1 X
(1 − λ)(1 + r)
λ
.
dt
1 + r − λ)
1+r−λ
S=t0
Caso particular: Polı́tica de dividendos constantes
Ahora:
dt = d¯
Por lo tanto, aplicamos la solución del PVI cuando el termino independiente es una constante. Esto es:
h
i

λ
e
Pt+1
= (1−λ)(1+r)
d¯
Pte + 1+r−λ
1+r−λ

Pte0 = P0e
Donde:
A=
(1 − λ)(1 + r)
1+r−λ
B=
λ
d¯
1+r−λ
Por lo tanto, calculo el equilibrio de estado estacionario y lo reemplazo en la ecuación correspondiente:
4
B
1−A
λ
1+r−λ
B
¯
=
d.
1−A
(1 + r − λ) (1 + r − λ) − (1 − λ)(1 + r)
B
λd¯
=
1−A
(1 + r − λ) − (1 − λ)(1 + r)
B
λd¯
=
1−A
(1 + r − λ) − (1 + r − λ − λr)
λd¯
B
=
1−A
1 + r − λ − 1 − r + λ + λr
B
λd¯
=
1−A
λr
d¯
X∗ =
r
X∗ =
Observación:
La solución de equilibrio estacionario:
∗
P∗ = Pe =
d¯
r
representa el valor presente de la corriente futura de dividendos esperados.
Entonces, reemplazando en la solución del PVI cuando el termino
independiente es una constante, obtengo:
Pt∗ =
(1 − λ)(1 + r)
1+r−λ
t−t0 d¯
d¯
P0e −
+
r
r
(b) Shock no anticipado:
Asumiendo que partimos de un equilibrio de estado estacionario, en
t1 aumenta d hasta d+∆d. Entonces, resolvemos para cada momento
del tiempo.
t ≤ t1 :
Pte =
(1 − λ)(1 + r)
1+r−λ
5
t−t0 d¯
d¯
P0e −
+
r
r
(1)
Al partir del equilibrio, la solucción es:
P∗ =
d¯
r
(2)
Dado que son expectativas adaptativas, los agentes no prevén que a
partir de t1 se van a modificar los dividendos, por lo que, incluso en
el momento de aplicación de la polı́tica, van a mantener la solución.
Esto es porque la expectativa para t1 se formó en el periodo anterior,
t1 − 1, cuando no existı́a ningún cambio.
t ≥ t1 + 1 :
Pte =
(1 − λ)(1 + r)
1+r−λ
Pte = P0e At−t0 +
t−t0
P0e +
t−s−1
t−1 X
(1 − λ)(1 + r)
λ
dt
.
1 + r − λ)
1+r−λ
S=t0
λ
[At−t0 −1 dt0 + At−t0 −2 dt0 +1 + ...
1+r−λ
+At−t1 −1 dt1 + At−t1 −2 dt1 +1 + ... + dt−1 ]
Reemplazando los dividendos por su valor en cada periodo resulta:
Pte = P0e At−t0 +
λ
[At−t0 −1 d¯ + At−t0 −2 d¯ + ...+
1+r−λ
¯ + At−t1 −2 (d¯ + ∆d)
¯ + ... + (d¯ + ∆d)]
¯
+At−t1 −1 (d¯ + ∆d)
Agrupando los d¯ por un lado y los ∆d¯ por el otro, se obtiene:
Pte = At−t0 +
λ
¯
(At−t0 −1 + At−t0 −2 + .. + 1)d+
1+r−λ
λ
(At−t1 −1 + At−t1 −2 + .. + 1)∆d¯
1+r−λ
El primer termino del lado derecho de la igualdad es igual a (1) ya
que no tiene en cuenta la variación. Resuelvo el segundo termino
Dado que la razón de la progresión geométrica es distinta de 1
(A 6= 1), se la puede escribir como:
λ
1 − At−t1
∆d¯
(3)
1+r−λ
1−A
6
Resuelvo (3):
λ
1+r−λ
"
1 − At−t1
#
(1+r−λ)−(1+r)(1−λ)
1+r−λ
∆d¯
#
"
λ
1 − At−t1
∆d¯
rλ
1+r−λ
1+r−λ
λ
1+r−λ
.
.[1 − At−t1 ].∆d¯
1+r−λ
rλ
Cancelando términos resulta:
∆d¯
.[1 − At−t1 ]
r
Ası́, la solución esta dada por:
d¯ t−t0 d¯ ∆d¯
Pte = P0e −
[1 − At−t1 ]
A
+ +
r
r
r
Que, al partir del equilibrio equivale a:
Pte =
Resumiendo:

Pte = 
d¯
r
+
d¯
r
∆d¯
r (1
d¯ ∆d¯
+
(1 − At−t1 )
r
r
Si
t0 ≤ t ≤ t1
− At−t1 ) Si
t ≥ t1 + 1
7
Problema de valores terminales:

∆Xt + aXt = Fs

Xt=T = XT
La hipótesis de expectativas racionales establece que los agentes conocen el modelo y las trayectorias pasadas, presentes y futuras de las
variables fundamentales. De esto deriva que las expectativas de los
agentes coinciden con la predicción de la teorı́a. Es decir, lo que
espero hoy para mañana es igual a lo que efectivamente va a haber
mañana.1
Resuelvo:
Xt+1 − Xt + aXt = Fs
Xt+1 − (1 − a)xt = Fs
Xt+1 = (1 − a)Xt + Fs
Solución de forma genérica:
Xt =
T
−1
X
Fs
XT
−
T
−t
(1 − a)
(1 − a)s+1−t
S=t
Observación: El primer componente de la igualdad hace referencia
a la burbuja especulativa y el segundo es la solución fundamental.
Como no se puede fijar arbitrariamente una condición inicial, el problema posee infinitas soluciones, por lo que sera necesario establecer
una condición terminal
XT
=0
T →+∞ (1 − a)T
lim
Esto nos permitirá descartar la burbuja especulativa para trabajar
solo con la solución fundamental.
1t
indica el presente y T el futuro
8
Aplicación económica:
e
 Pt+1
−Pt
+ Pdtt = 0


Pt


e
Pt+1
= Pt+1




PT = 0
Solución aplicada al problema de determinación del precio
de una acción:
Pt+1 − Pt + dt = rPt
Pt+1 = (1 + r)Pt − dt
Donde:
(1 − a) = (1 + r)
y
Fs = −dt
La solución es:
Pt =
T
−1
X
−ds
PT
−
T
−t
(1 + r)
(1 + r)S+1−t
S=t
Caso particular:
T →∞
ds = d¯
lim
T →∞
9
PT
=0
(1 + r)T
La solución esta dada por:
PT =
+∞
X
S=t
d¯
(1 + r)S+1−t
1
1
1
+
+
+
..
(1 + r)t+1−t
(1 + r)t+2−t
(1 + r)3
d¯
1
1
=
+
..
1+
+
(1 + r)
(1 + r) (1 + r)2
h
i∞ 

1
1
−
¯
1+r
d

i 
h
=
1
(1 + r)
1 − 1+r
h
i∞ 

1
d¯  1 − 1+r

=
1+r−1
(1 + r)
1+r
= d¯
d¯ 1 + r
(1 − 0)
1+r r
d¯
PT =
r
=
Shock no anticipado: En t1 aumenta d¯ a d¯ + ∆d¯
Buscamos la solución para cada periodo del tiempo:
t < t1 :
Pt =
d¯
r
t ≥ t1 :
Pt =
+∞
X
S=t1
Pt =
Resumiendo:
 ¯
Pt = 
d
r
Si
t < t1
¯
d+∆
d¯
r
Si
t ≥ t1
d¯ + ∆d¯
(1 + r)S+1−t
d¯ + ∆d¯
r
10