-4-esopdf

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 1. Números reales
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
Unidad 1. Números reales
SOLUCIONES PÁG. 21
1
Indica a qué conjunto o conjuntos numéricos pertenecen los siguientes
números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales):
5
0,344 4…
3
32
−
5,666…
4
3
−8
1,01001…
144
4,56
–8 287
2
1 829
3
15
Naturales: 1 829;
Enteros: 1 829;
5
5
32 = 2 ; 144 = 12
32 = 2 ;
3
−8 = −2 ; –8 287;
144 = 12
3
; –8 287; 4,56;
4
Irracionales: 2 = 1, 474 213 6... ; 3 15 = 2, 466 212 1... ; 1,010 01…
Reales: todos los números.
Racionales: 0,344 4…; 1 829; 5,666…;
2
32 ;
3
−8 = −2 ; −
144
Halla las siguientes distancias entre números reales, escribiendo los
números decimales en forma de fracción si fuera necesario:
2
a. 4,6 y
5
2

d  4,6 ;  = d ( 4,6 ;0, 4 ) = 4,6 − 0, 4 = 4,2
5

)
b. 3, 4 y 5,5
)
)
 31 55  55 31 55 ⋅ 9 − 31 ⋅ 10
d 3,4 ;5,5 = d 
;
=
−
=
=
2,05
≈ 2,06

90
 9 10  10 9
)
7
c. −
y 0,23
10
)
)
 7
 7 23 − 2 
 7 21  63 21 84
d −
;0,23  = d  −
;
;
+
=
= 0,93
 = d −
=
90 
90
 10

 10
 10 90  90 90
(
3
5
)
Representa y ordena los siguientes números reales en la recta real:
Se debe tener en cuenta que para representar raíces en una recta:
1.º Se expresa la raíz como suma de cuadrados.
2.º Se construye un rectángulo cuyos lados tengan el valor de los cuadrados
hallados en el paso anterior, y se traza la diagonal.
3.º La diagonal del rectángulo coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo
cuyos catetos son los cuadrados ya conocidos.
4.º Con el compás se traza un arco de circunferencia hasta cortar la recta con
centro en el punto 0 y con el radio del valor de la hipotenusa calculada en el
paso anterior.
a.
13
13 = 9 + 4 = 32 + 22
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
b.
17
17 = 16 + 1 = 42 + 12
4
3
Con origen en –1, se traza una semirrecta. Sobre ella se construyen tres
segmentos iguales y consecutivos. El último punto de la semirrecta se une con
el punto –2 y se trazan rectas paralelas en cada uno de los puntos de la
semirrecta.
c. −
d.
15
15 = 9 + ( 6 )2 = 32 + 22 + ( 2)2 = 32 + 22 + ( 12 + 12 )2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
e.
f.
3
5
Con origen en 0, se traza una semirrecta. Sobre ella se construyen cinco
segmentos iguales y consecutivos. El último punto de la semirrecta se une con
el punto 1 y se trazan rectas paralelas en cada uno de los puntos de la
semirrecta.
6
6 = 4 + 2 = 22 + ( 2)2 = 22 + ( 12 + 12 )2
Ordenados en la recta real:
4 3
− < < 6 < 13 < 15 < 17
3 5
4
Indica qué números reales están representados en las siguientes rectas:
Se halla el valor de los catetos e hipotenusa de los dos triángulos, siendo la
hipotenusa el valor que coincide con el del radio de la circunferencia trazada del
número real solicitado:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
a.
2
A = 12 + ( 32 + 22 )2 = 12 + 13 = 14
b.
2
B = 12 + ( 12 + 32 )2 = 12 + 10 = 11
5
Entre los números irracionales aparece el número áureo o número de oro, .
Dicho número está presente tanto en la naturaleza como en diversas
situaciones de la vida real. Investigad en grupos las aplicaciones en las que
aparece el número áureo y realizad una presentación.
Respuesta abierta.
6
Recorta una tira de papel. Mide con una regla su longitud. Une los extremos
de dicha tira de papel formando un círculo y mide su diámetro. Realiza la
división entre la longitud de la tira y el diámetro del círculo formado por ella.
¿Qué número resulta? ¿De qué número irracional se trata?
Al dividir el valor de la longitud de la circunferencia entre el diámetro se está realizando el cálculo:
longitud 2πr
=
=π
diámetro 2r
Luego la división da el número π.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
7
Dibujad en una hoja de papel varias líneas paralelas y equidistantes. Coged
un palillo cuya longitud coincida con la distancia entre las líneas. Dejad caer
el palillo sobre la hoja de papel y anotad el número de tiradas y el número de
veces que la aguja corta a una línea. Cuantas más veces tiremos el palillo,
más se aproximará al número el cociente del doble del número de tiradas
entre el número de veces que el palillo corta a una línea.
2 ⋅ n.º de tiradas
≈π
n.º de veces que el palillo corta a una línea
Copiad y completad la siguiente tabla en vuestro cuaderno con los
datos de vuestro experimento:
Tiradas
10
20
50
100
200
Veces que corta la línea
Valor aproximado de
Respuesta abierta. Tienen que observar que cuantas más tiradas se realicen, más
se aproximan al valor de π.
SOLUCIONES PÁG. 23
8
Expresa las siguientes representaciones en la recta real como intervalos y
como desigualdades:
a.
(– ∞ , –16); {x ∈ ℝ/ x < –16}
b.
[–1 , 5); {x ∈ ℝ/ –1 ≤ x < 5}
c.
[–19 , –16]; {x ∈ ℝ/ –19 ≤ x ≤ –16}
d.
[–23 , + ∞); {x ∈ ℝ/ –23 ≤ x}
e.
(–60 , –56); {x ∈ ℝ/ –60 < x < –56}
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
f.
(–∞ , 10]; {x ∈ ℝ/ x ≤ 10}
g.
(18 , +∞); {x ∈ ℝ/ x > 18}
h.
(–4 , 1]; {x ∈ ℝ/ –4 < x ≤ 1}
9
Representa los siguientes intervalos sobre la recta real y exprésalos como
desigualdades:
a. [–2 , 4]
{x ∈ ℝ/ –2 ≤ x ≤ 4}
b. [–10 , –8]
{x ∈ ℝ/ –10 ≤ x ≤ –8}
c. (–1 , +∞)
{x ∈ ℝ/ –1 < x}
d. [5 , +∞)
{x ∈ ℝ/ x ≥ 5}
e. (3 , 5)
{x ∈ ℝ/ 3 < x < 5}
f. (–5 , –1]
{x ∈ ℝ/ –5 < x ≤ –1}
g. (–∞, –6]
{x ∈ ℝ/ x ≤ –6}
h. (–∞ , 9)
{x ∈ ℝ/ x < 9}
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10 Representa estas desigualdades en la recta real y exprésalas en forma de
intervalo:
a. {x ∈ ℝ / x ≥ –3}
[–3 , + ∞)
b. {x ∈ ℝ / x < 12}
(–∞ , 12)
c. {x ∈ ℝ / x > 6}
(6 , +∞)
d. {x ∈ ℝ / x ≤ –9}
(–∞ , –9]
e. {x ∈ ℝ / 5 < x < 7}
(5 , 7)
f. {x ∈ ℝ / –5 < x ≤ 0}
(–5 , 0]
g. {x ∈ ℝ / –37 ≤ x < –33}
[–37 , –33)
h. {x ∈ ℝ / –24 ≤ x ≤ –20}
[–24 , –20]
11 Resuelve las siguientes operaciones con intervalos:
a. [–5 , 6) ∪ (4 , 8)
{x ∈ ℝ / –5 ≤ x < 8} ⇒ [–5 , 8)
b. (–∞ , 4] ∩ (–3 , 9]
{x ∈ ℝ / –3 < x ≤ 4} ⇒ (–3 , 4]
c. (6 , 12] ∪ [10 , +∞)
{x ∈ ℝ / 6 < x < +∞} ⇒ (6 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
d. [–23 , –9) ∩ [–15 , –10)
{x ∈ ℝ / –15 ≤ x < –10} ⇒ [–15 , –10)
12 Representa en la recta real los entornos y entornos reducidos propuestos y
exprésalos como intervalos.
a. E(–19 , 4) = (–19 – 4 , –19 + 4) = (–23 , –15)
b. E(–14 , 2) = (–14 –2 , –14 + 2) = (–16 , –12)
c. E*(26 , 5) = (26 – 5 , 26) ∪ (26 , 26 + 5) = (21 , 26) ∪ (26 , 31)
d. E(34 , 3) = (34 –3 , 34 + 3) = (31 , 37)
e. E*(3 , 6) = (3 – 6 , 3) ∪ (3, 3 + 6) = (–3 , 3) ∪ (3 , 9)
f. E*(50 , 5) = (50 – 5 , 50) ∪ (50, 50 + 5) = (45 , 50) ∪ (50 , 55)
13 Averigua el centro y el radio del entorno E(a , r) = (–4 , 8).
a − r = −4 
E(a , r) = (a – r , a + r) = (–4 , 8) ⟹
 a = 2;r = 6 ⟹ E (2 , 6)
a+r =8 
14 Calcula el radio, r, del entorno E(3 , r), teniendo en cuenta que
E(3 , r) ∩ [1 , 8] = [1 , 6).
E(3, r) ∩ [1 , 8] = (3 – r , 3 + r) ∩ [1 , 8] = [1 , 6) ⟹ 3 + r = 6; r = 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
SOLUCIONES PÁG. 25
15 El beneficio de una empresa ha disminuido un 5 % con respecto al beneficio
de hace 5 años. Se prevé que, en los siguientes 5 años, este beneficio
aumente a los 3 millones de euros, es decir, que se produzca un 6 % de
aumento sobre el beneficio actual.
a. ¿Qué beneficio se obtuvo hace 5 años?
Se plantean cuáles son los beneficios de cada año, sus aumentos y sus disminuciones porcentuales:
• El beneficio del año actual, B, es el de hace 5 años, A, con una disminución
del 5 %.
• El beneficio de dentro de 5 años, C, es de 3 000 000 €, e iguala al del año
actual, B, con un aumento del 6 %:
5 

B = A ⋅ 1 −

 100 
6 
3 000 000

C = B ⋅ 1 +
= 2 830 188,68 €
 = 3 000 000 € ⇒ B =
1,06
 100 
2830 188,68
⇒A=
= 2 979 145,98 €
0,95
Hace 5 años los beneficios, A, eran de 2 979 145,98 €.
b. ¿Y ahora?
Ahora hay beneficios, B, de 2 830 188,68 €.
16 En el pueblo de Miguel se han vacunado en lo que va de año 560 de las 4 600
personas que lo habitan.
a. ¿Qué porcentaje representan las personas que no se han
vacunado?

560 
1 −
 ⋅ 100 = 87,8%
4 600 

No se han vacunado el 87,8 %.
b. Si el año pasado por las mismas fechas se habían vacunado 780
personas, ¿cuánto ha disminuido el porcentaje de personas vacunadas
respecto al año anterior?
Se calcula el porcentaje de vacunados el año anterior, A.
780
A=
⋅ 100 = 16,9% ≈ 17%
4600
Se calcula el porcentaje de vacunados este año, que es B = 100 – 87,8 =
12,2 %.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
Se establece la relación de disminución entre los dos porcentajes:
x 
x 


B = A ⋅ 1 −
 ⇒ 12,2 = 17 ⋅  1 −
 ⇒ x = 28,2%
 100 
 100 
El porcentaje de disminución es de 28,2 %
17 Un artículo se pone a la venta por 34,50 €. Si dicho precio tenía aplicado un
21 % de IVA y el vendedor quería obtener el 10 % de beneficios, ¿cuál era el
precio inicial del artículo?
En primer lugar se calcula cuál es el precio antes de aplicar el porcentaje de
aumento del 21 % de IVA:
P
21 
34,5

P = P '(sin IVA) ⋅  1 +
=
= 28,51 €
⇒P'=
1,21 1,21
 100 
Después se calcula el precio inicial, antes de aplicar el porcentaje de aumento de
beneficio para el vendedor:
10 
P'
28,51

P ' = Pinicial ⋅  1 +
=
= 25,92 €
 ⇒ Pinicial =
100
1,10
1,10


El precio inicial de artículo era de 25,92 €.
18 Inés pide un crédito de 18 000 € para comprarse un coche. Si tiene que
devolver dicho dinero en 36 meses con un interés simple del 7 %, ¿cuánto
tendrá que pagar cada mes?
Se plantea la expresión del capital final que presta el banco con un interés simple
en meses:
r⋅t 
7 ⋅ 36 


CF = CI  1 +
 = 18 000 ⋅  1 +
 = 21780 €
 100 ⋅ 12 
 1200 
Es decir, tendría que pagar
21780
= 605 € al mes .
36
19 Halla el capital final y los intereses obtenidos al depositar 3 650 € en una
entidad bancaria con estas condiciones:
a. Durante 3 años con un interés del 4,5 % compuesto anual.
Se plantea la ecuación del interés compuesto, con C I = 3 650 €, r = 4,5 % y
t = 3 años:
t
3
r 
4,5 


CT = CI ⋅  1 +
 = 3 650 ⋅  1 +
 = 4 165,26 €
 100 
 100 
Los intereses se calculan restando al capital final el capital inicial:
I = CF – CI = 4 165,26 – 3 650 = 515,26 €.
Es decir, el capital final sería de 4 165,26 € y los intereses serían de 515,26 €.
b. Durante 4 años con un interés del 3,5 % simple anual y luego 2 años con
un interés del 4,2 % compuesto anual.
En primer lugar, se plantea la ecuación del capital final con un interés simple en
4 años del 3,5 %:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
r⋅t 
3,5 ⋅ 4 


CF = CI ·  1 +
 = 3650 ⋅  1 +
 = 4161 €
100 
 100 

I = CF – CI = 4 161 – 3 650 = 511 €.
En segundo lugar, se plantea la ecuación del interés compuesto, con CI = 4 161
€, r = 4,2 % y t = 2 años:
t
2
r 
4,2 


CT = CI ⋅  1 +
 = 4161 ⋅  1 +
 = 4 517,86 €
 100 
 100 
I = CF – CI = 4 517,86 – 4 161 = 356,86 €.
Los primeros cuatro años el interés sería de 511 € y el capital final de 4 161 €.
En los dos años siguientes el capital final sería de 4 517,86 €, y los intereses
de 356,86 €. Los intereses totales han sido de 511 + 356,86 = 867,86 €.
20 Para que un interés simple anual proporcione idénticos intereses que el
mismo interés pero compuesto, ¿durante cuántos años habría que dejar
depositado el capital en el banco?
Se comparan las ecuaciones del interés simple y del compuesto:
t
 CI ⋅ r  CI ⋅ r ⋅ t
 100  = 100 , se cumple si t = 1.


Para que los intereses sean los mismos, el valor debe ser t = 1, ya que si t > 1 los
intereses serían mayores en el interés compuesto que en el interés simple.
21 Calcula los intereses y el capital final obtenidos tras depositar 2 600 € al 5 %
simple anual durante:
a. 3 años.
C ⋅ r ⋅ t 2600 ⋅ 5 ⋅ 3
I= I
=
= 390 €
100
100
CF = CI + I = 2600 + 390 = 2 990 €.
b. 18 meses.
C ⋅ r ⋅ t 2600 ⋅ 5 ⋅ 18
I= I
=
= 195 €
100 ⋅ 12
100 ⋅ 12
CF = CI + I = 2 600 + 195 = 2 795 €.
c. 270 días.
C ⋅ r ⋅ 270 2600 ⋅ 5 ⋅ 270
I= I
=
= 97,5 €
100 ⋅ 360
100 ⋅ 360
CF = CI + I = 2 600 + 97,5 = 2 697,5 €.
22 Andrea tiene 5 000 € ahorrados y quiere depositarlos en un banco para que
le generen intereses. Tiene dos ofertas de sendos bancos:
• Oferta 1: el primer banco le ofrece un interés simple anual del 4 %.
• Oferta 2: el segundo banco le ofrece un interés compuesto anual del
3,5 %.
a. Si quiere liquidar el dinero a los 2 años, ¿cuál de las dos ofertas le saldrá
más rentable?
Se debe calcular el capital final que se obtiene con cada oferta:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
r⋅t 
4⋅2


Oferta 1: CF = CI  1 +
 = 5000 ⋅  1 +
 = 5 400 €
100 
 100 

t
2
r 
3,5 


Oferta 2: CT = CI ⋅  1 +
 = 5000 ⋅  1 +
 = 5356,13 €
 100 
 100 
Es más rentable la oferta 1.
b. ¿A partir de qué año le resultará la otra oferta más rentable? (Haz una
tabla con 3 años, 4 años… para hallarlo).
Se debe calcular el capital final de cada año, según las expresiones de capital
con interés simple o compuesto:
4⋅t 

CF = 5000 ⋅  1 +
 , donde t = 2, 3, 4, 5 …es decir, el año en que se calcula
 100 
el capital.
t
3,5 

CT = 5 000 ⋅  1 +
 , donde t = 2, 3, 4, 5… es decir, el año en que se calcula
 100 
el capital.
Años
Oferta 1
Oferta 2
2
5 400
5 356,13
3
5 600
5 543,59
4
5 800
5 737,62
5
6 000
5 938,43
6
6 200
6 146,28
7
6 400
6 361,40
8
6 600
6 584,05
9
6 800
6 814,49
Es más rentable a partir del octavo año la 2.ª oferta.
23 Determina el tiempo durante el cual se han depositado 5 000 € en cierta
entidad bancaria a un 6,5 % de interés simple anual si el dinero liquidado
asciende a 5 650 €.
Se toma la expresión del capital total con interés simple anual:
r⋅t 

CF = CI ⋅  1 +
 , donde CI = 5 000 €, r = 6,5 % y CF= 5 650 €, y se despeja el
 100 
tiempo, t:

CF 
5650 

− 100
 100 ⋅
 − 100  100 ⋅
C
5000 
I 


t=
=
=2
r
6,5
Durante dos años.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
24 Halla el capital que se ha depositado en un banco durante 2 años a un
interés del 3 % compuesto anual si al final ha resultado un capital de 4 550 €.
¿Y si en lugar de un interés compuesto fuera un interés simple?
• En el caso de que se haya depositado a un interés compuesto, el capital inicial
se halla de este modo:
t
r 

CT = CI ⋅  1 +
 ⇒ CI = CT
 100 
-t
•
-t
r 

⋅ 1 +
 , donde CT = 4 550 €, r = 3 %, t = 2, es
 100 
-2
r 
3 


decir, CI = CT ⋅  1 +
 = 4 550 ⋅  1 +
 = 4 288,81 €
 100 
 100 
En el caso de que se haya depositado a un interés simple:
CF
donde CF = 4 550 €, r = 3 % y t = 2 años, es decir,
CI =
r⋅t 

 1 + 100 


4 550
CI =
= 4 292, 45 €
3⋅2

 1 + 100 


SOLUCIONES PÁG. 27
25 Escribe los siguientes números en notación científica:
a. 45 000 000 = 4,5 · 107
b. 0,003 · 10–8 = 3 · 10–11
c. 0,000 042 = 4,2 · 10–5
d. 92 000 · 10–6 = 9,2 · 10–2
e. 89 928 · 104 = 8,992 8 · 108
f. 0,003 5 · 106 = 3,5 · 103
26 Expresa los siguientes números, escritos en notación científica, en notación
decimal:
a. 4,561 · 108 = 456 100 000
b. 7,222 · 10–6 = 0,000 007 222
c. 1,098 562 · 1012 = 1 098 562 000 000
d. 2,28 · 10–12 = 0,000 000 000 002 28
e. 9,284 · 109 = 9 284 000 000
f. 5,01 · 10–9 = 0,000 000 005 01
27 Busca en Internet estas medidas de forma aproximada y escríbelas en
notación científica. Realiza una comparación entre las medidas que
aparecen en cada uno de los apartados.
a. Masa de la Tierra, del Sol y de la Luna, en kilogramos.
mT = 5,974 · 1024 kg, mS = 1,989 · 1030 kg, mL = 7,348 · 1022 kg.
La masa de la Tierra es aproximadamente 81 veces la de la Luna y la del Sol
es unas 333 mil veces la de la Tierra.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
b. Distancia media del Sol a Mercurio, a la Tierra y a Júpiter, en kilómetros.
dS-M = 5,791 · 107 km, dS-T = 1,496 · 108 km, dS-J = 7,783 · 108 km.
La distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente 2,6 veces la de
Mercurio, y la de Júpiter es aproximadamente 5,2 veces la de la Tierra.
c. Masa de un electrón, de un protón y de un neutrón, en kilogramos.
me = 9,31 · 10–31 kg, mp = 1,672 6 · 10–27 kg, mn = 1,674 9 · 10–27 kg.
La masa del protón es unas 1 800 veces mayor que la del electrón y la del neutrón es aproximadamente 1,001 veces mayor que la del protón.
d. Tamaño de un espermatozoide y de un óvulo (diámetro), en metros.
te = 5,7 · 10–7 m, to = 1,4 · 10–4 m.
Un óvulo es aproximadamente 246 veces mayor que un espermatozoide.
e. Velocidad del sonido y velocidad de la luz, en metros por segundo.
vs = 3,4 · 102 m/s, vl = 3 · 108 m/s.
La velocidad de la luz es aproximadamente 882 000 veces mayor que la del sonido.
f. Unidad astronómica, años luz y pársec, en kilómetros.
UA = 1,5 · 108 km, año luz = 9,5 · 1012 km, pársec = 3,1 · 1013 km.
El año luz es unas 63 000 veces mayor que la unidad astronómica y el pársec
es unas 3,3 veces mayor que el año luz.
28 Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones, expresando el resultado
en notación científica:
a. (7,28 · 1083) · (6,2 · 10–57) = 4,513 6 · 1027
b. (1,985 · 1072) · (9,92 · 107) = 1,969 12 · 1080
c. (6,98 · 10–13) : (2,5 · 10–17) = 2,792 · 104
d. (9,27 · 1034) : (1,8 · 1065) = 5,15 · 10–31
29 Efectuad las sumas y restas propuestas, expresando el resultado en
notación científica; tú realízalas en un orden de magnitud y tu compañero en
el otro, y comprobad al final que el resultado coincide.
a. 6,76 · 1012 + 7,28 · 1013 = 7,956 · 1013
b. 4,562 · 10–34 – 5,72 · 10–33 = –5,263 8 ·10–33
c. 8,92 · 10–25 + 2,4 · 10–28 = 8,922 4 · 10–25
d. 6,56 · 1056 + 5,753 · 1055 = 7,135 3 · 1056
30 Calcula el valor de las siguientes operaciones combinadas, expresando el
resultado en notación científica:
a. (5,1 · 104 + 7,2 · 103)2 = 3,387 24 · 109
9,3 ⋅ 10 −6 + 8,1 ⋅ 10 −7
b.
= 9,6 · 10–2
1,2 ⋅ 10 −4 − 1,5 ⋅ 10 −5
c.
3,8 ⋅ 107 7,02 ⋅ 10 −6
= 1,39 · 103
⋅
4
−5
1,6 ⋅ 10
1,2 ⋅ 10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
SOLUCIONES PÁG. 29
31 Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla, efectuando las
aproximaciones por redondeo que se indican:
Unidades
Décimas
Centésimas
Milésimas
2
1
1,4
1,41
1,414
π
3
3,1
3,14
3,142
)
2,6
2
2,7
2,67
2,667

34,182
34
34,2
34,18
34,182
8
.
3
Mientras, tu compañero realizará la misma actividad, pero tomando 2,7 como
aproximación. Comparad los resultados obtenidos.
)
)
)
0,06
) = 2,5 % .
• En la aproximación a 2,6 el Ea = 2,6 − 2,6 = 0,06 y Er =
2,6
)
)
)
0,03
) = 1,25 %
• En la aproximación a 2,7 el Ea = 2,7 − 2,6 = 0,03 y Er =
2,6
Se comete menos error con la aproximación a 2,7.
32 Halla los errores absoluto y relativo al tomar 2,6 como aproximación de
33 Se tienen dos balanzas con una precisión de 0,01 g. Las masas que indican
dichas balanzas de un mismo objeto son 34,56 g y 34,58 g, respectivamente.
Calcula el error relativo cometido en cada una de las dos balanzas.
0,01
0,01
= 0,03% ; balanza 2: Er =
= 0,03%
Balanza 1: Er =
34,56
34,58
El error relativo cometido en las dos balanzas es el mismo.
34 Las aproximaciones realizadas mediante truncamiento ¿son por defecto o
por exceso? ¿Y las realizadas por redondeo? Justifica tu respuesta e
ilústrala con ejemplos.
Como en el truncamiento eliminamos las cifras decimales a partir de un orden dado, el número aproximado por este método siempre va a ser menor o igual que el
valor original, con lo que la aproximación realizada por truncamiento siempre será
por defecto.
Sin embargo, en una aproximación por redondeo, como dependiendo de la primera cifra eliminada sumamos o no una unidad a la cifra del orden a aproximar, si se
realiza dicha suma, la aproximación será por exceso, y si no se realiza, será por
defecto (como el truncamiento).
Por ejemplo:
• Por Truncamiento: 4,56 ≈ 4,5 < 4,56 → Por defecto siempre.
• Por redondeo: 4,56 ≈ 4,6 > 4,56 Exceso
4,52 ≈ 4,5 < 4,52 Defecto
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
35 Actividad resuelta.
36 Realiza las siguientes operaciones como la actividad anterior, con una
aproximación de tres cifras decimales:
)
a. 7 − 3 2 + 4,5
7
2
)
4,5
3 2
)
7 − 3 2 + 4,5
Exceso
2,646
1,415
4,245
4,556
2,557
Defecto
2,645
1,414
4,242
4,555
2,958
Redondeo
2,646
1,414
4,242
4,556
2,960
)

b. −2 ⋅ (78,94 − 56,896)
)

78,94
56,896
)

78,94 − 56,896
)

−2 ⋅ (78,94 − 56,896)
Exceso
78,945
56,897
22,048
–44,096
Defecto
78,944
56,896
22,048
– 44,096
Redondeo
78,944
56,897
22,047
– 44,094
37 Se quiere medir el largo de una habitación y para ello se toman cuatro
medidas: 4,535 m; 4,540 m; 4,537 m y 4,538 m. Calcula el valor real de la
medición (considera la media de las medidas tomadas), y obtén los valores
absolutos y relativos de cada una de las medidas.
• Se calcula la media de las medidas tomadas:
4,535 + 4,540 + 4,537 + 4,538
= 4,537 5 m
x=
4
• Se calcula el error absoluto de cada medida como Ea = |A – A’|, donde A es el
valor real y A’ el aproximado.
E
• Se calcula el error relativo de cada medida como Er = a .
A
Considerando como valor real del largo de la habitación de 4,537 m, los errores
son:
Medida
Ea
Er
4,535
0,002 5
0,000 6
4,540
0,002 5
0,000 6
4,537
0,000 5
0,000 1
4,538
0,000 5
0,000 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
SOLUCIONES PÁG. 31
38 Indica, sin resolverlos, cuántas raíces tienen los siguientes radicales y de
qué signo:
a.
4
564 → Como n es par y a es positivo, hay dos raíces reales opuestas.
b. 5 −750 → Como n es impar, hay una sola raíz del mismo signo que el
radicando.
−428 → Como n es par y a es negativo, no existe ninguna raíz real.
c.
d. 15 322 → Como n es impar, hay una sola raíz del mismo signo que el
radicando.
39 Escribe los siguientes radicales en forma de potencia y simplifica, utilizando
las propiedades de las potencias:
4
a.
b.
9
3
g. 32 33 = 3 2 ·3 2 = 3
54 = 5 9
1
5
1
=
32
=3
2
−
2
5
1
h.
x
35
1
=
1
113 = 117
d.
5
92 = 5 (32 )2 = 3
f.
11
2
5
23
1
=
12 4
i.
2⋅ 2⋅
= 12
4
−
1
5
=
2
3
5
= 2⋅2
−
3
5
4
11
k.
1−
=2
3
5
2
3
1+
j. 7 72 = 7·7 3 = 7
1211
2
3
x 9 = x 12 = x 4
12
4
= 35
=2
2
5
l.
x4
3
7
= 32
1
2
9
7
1
−
3
2
x2
3
c.
e.
=x
2+
x2
x ⋅
=
x4
2
= x4 · x
2
3
−
5
= 73
2
3
=x
4−
2
3
10
=x3
x3
1
2
10
x5
1
= x2 ·
x
5
10
= x2 · x
−
5
10
3
= x2
40 Escribe estas potencias de exponente fraccionario en forma de radical:
2
2
a. 6 7 = 7 62
b. 22
−
4
5
= 22
5
−4
=
x 3 = 3 x2
h.
x 5 = 5 x 7 = 5 x 5+2 = 5 x 7
i.
x
j.
x
7
1
5
g.
224
3
8
c. 17 = 8 173
6
d. 15 11 = 11 156
e. 17
f. 25
−
−
9
21
1
9
= 17
−
3
7
= 17
7
= 9 25−1 =
−3
1
9
25
=
=
−
−
3
13
1
2
=
173
1
9
5
−
3
4
1
2
x3x
l.
x −7 x 9 = x
3−
13
x3
1
=
=x
k.
6
2
1
x
1
7
1
= 13 x −3 =
x
3
4
−7 +
6
4
9
= x 4 = 4 x9
=x
−
19
3
= 3 x −19 =
1
3
x 19
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
41 Calcula las raíces exactas propuestas, expresándolas previamente en
forma de potencias de exponente fraccionario como en el ejemplo:
1
3
1
1
1
1
1
4
a.
4
625 = 625 4 = (5 4 ) 4 = 5 4 = 51 = 5
b.
5
243 = 243 5 = (3 5 ) 5 = 3 5 = 31 = 3
5
1
1
2
676 = 676 2 = (22 ⋅ 13 2 ) 2 = (2 ⋅ 13) 2 = (2 ⋅ 13)1 = 2 ⋅ 13 = 26
c.
1
d.
3
8 = 8 3 = (23 ) 3 = 2 3 = 21 = 2
3
1
9
512 = 512 3 = (29 ) 3 = (2) 3 = 23 = 8
3
3
6
2
2
6
493 = 49 2 = (7 2 ) 2 = 7 2 = 73 = 343
e.
f.
3
272 = 27 3 = (33 ) 3 = 3 3 = 3 2 = 9
g.
6
4096 = 4096 6 = (212 ) 6 = 2 6 = 22 = 4
h.
3
13312 = 13313 = (113 ) 3 = 113 = 112 = 121
i.
3
126 = 12 3 = 122 = 144
j.
5
1024 = 1024 5 = (210 ) 5 = 2 5 = 22 = 4
k.
4
6561 = 65614 = (38 ) 4 = 3 4 = 3 2 = 9
l.
6
3613 = 3616 = 3612 = 361 = 192 = 19
1
1
2
12
2
6
6
1
1
1
1
3
2
10
8
1
1
m. 4 92 = 9 4 = 9 2 = 9 = 3
6
x 6 = x 2 = x3
n.
ñ.
3
o.
4
x
21
=x
21
3
= x7
1
12
8
x 12 y 8 = ( x 12 y 8 ) 4 = x 4 y 4 = x 3 y 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
42 Efectúa las siguientes operaciones con radicales de radicales o potencias
de radicales:
a.
( )
3
4 3
b.
c.
(
9
d.
(
6
e.
9
2
27
3
2
)
3
g.
h.
(
10
3 4
8
= 3 3 = 3 38

  4 23⋅3
 =  12
 

 4 1
 =  12 2
 
 
1
1
  1 4
2
8
 =  12  = 12 = 8 12


 
3
2
2⋅3
2
6


=  125 9  = 125 9 = 125 3 = 3 1252 = 3 (53 )2 = 5 3 = 52 = 25


) =(
3
6
27
2
)
3
2⋅3
6
 2
=  27 6  = 27 6 = 27 6 = 27


3
144
812 =
5
2⋅4
3
1
 4 3 3    3  3
=  12 2  =  4  12 2 




  
3

1
⋅
5
=  (12)2 3


f.
4
= 9 3 = (3 2 ) 3 = 3
12
125
5
4
4
32
2
 5
2 
2

 =  12 3  =  5 12 3⋅2
 
 
 
 
5
(3 4 )2 = 3
5
) =(
3
278 =
10
3 4
5 2
(2 )
)
4⋅ 2
2
 5 1
 =  12 3
 
 
1
1
  1 5
 =  12 3  = 1215 = 15 12


 
= 5 34
3
 10 
=  210  = 23 = 8


3
3
24
6
(33 )8 = 3 4 = 3 3 = 32 = 9
1
225 =
3 3
i.
3 ⋅5 =
3 3
2
2
3 3
1
 1 3
3 ⋅ 5 = 15 =  15 3  = 15 9 = 9 15


3
1
3
SOLUCIONES PÁG. 32
43 Expresa los siguientes radicales como potencias
fraccionario e indica cuáles son equivalentes entre sí:
9
3
3
9
3
exponente
1
a.
3
5 =5 =5
b.
6
29 = 2 6 = 2 2
c.
4
64 = 4 26 = 2 4 = 2 2
d.
6
4 = 6 22 = 2 6 = 2 3
9
de
e.
3
2 = 23
3
6
f.
125 = 53 = 5 2
g.
8 = 23 = 2 2
3
3
2
5
1
h.
15
1
32 = 15 25 = 215 = 2 3
Son equivalentes entre sí:
6
29 = 4 64 = 8 y
6
4 = 3 2 = 15 32
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
44 Simplifica estos radicales:
5
35
1
7
a.
35
17 = 17
b.
27
−318 = −3 27 = −3 3 = 3 −32
c.
18
x 9 y 3 = x 18 y 18 = x 2 y 6 = ( x 3 y ) 6 = 6 x 3 y
d.
15
x 10 y 25 z 5 = x 15 y 15 z 15 = x 3 y 3 z 3 = ( x 2 y 5 z ) 3 = 3 x 2 y 5 z
5
= 17 = 7 17
2
18
9
3
1
1
10
25
5
1
2
5
1
1
45 Introduce los factores en los radicales.
a. 2 ⋅ 3 3 = 22 ⋅ 32 ⋅ 3 = 4 ⋅ 27 = 108
b. 3 x 4 5 =
4
c. 4 x 3 2 x =
(3x )
3
d. 5 xy 3 x =
4
⋅ 5 = 4 81x 4 ⋅ 5 = 4 405 x 4
( 4x )
3
⋅ 2 x = 3 64 x 3 ⋅ 2 x = 3 128 x 3 ⋅ x = 3 128 x 4
( 5 xy )
2
⋅ 3 x = 25 x 2 y 2 ⋅ 3 x = 75 x 3 y 2
SOLUCIONES PÁG. 33
46 Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales, simplificando
si es necesario:
a.
3
1323 = 33 · 72 = 3 · 7 3 = 21 3
b.
c.
4
19440 = 4 24 · 35 · 5 = 2 · 3 4 3 · 5 = 6 4 15
23040 = 29 · 32 · 5 = 24 · 3 2 · 5 = 48 10
d.
e.
2592 = 3 25 ·34 = 2·3 3 22 ·3 = 6 3 12
4
85683 = 4 3 · 134 = 13 4 3
3 · 55
52
3 · 5 25 15
9375
= 2
=
=
3
27436
2 · 19
2 · 19 19
38 19
f.
g.
5
31104 = 5 27 · 35 = 2 · 3 5 22 = 6 5 4
h.
3
3
3
2· 7 3
14 3
13 720 3 2 · 5 · 7
=
=
5=
5
3
1331
11
11
11
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
47 Extrae de estos radicales todos los factores posibles:
211· 35
223 · 310
=
517
58
a.
2
5
b.
6
55 6 4 2 55 3 2
5 34 · 22
=
5 ·2 = 4 5 ·2
724
74
7
c.
7
8
128
1258 · 102 12 7 2
2
=
12
·10
=
1535
155
155
12
d.
3
e.
4
5
27 · 6
=3
14 4 · 283
( 3 ) · ( 2 · 3)
( 2 · 7) · ( 2 · 7)
12
3
2
3
=3
)
22· 3 · ( 2 · 5) =
2
2
128 7 6 2 2
2 ·3 ·5
155
341 · 25
341
313
3
=
=
210 · 77
25 · 77 2 · 72
3
32
22· 7
508 · 607
=
1006
( 2 · 5 ) · ( 2 · 3 · 5)
(2 · 5 )
2
=4
8
2
2
2
5
a
a 46
= 12 4
60
24
b ·c
b ·c
=4
222 · 37 · 523 4 10 7 11
= 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 52 4 22 · 33 · 53
12
12
2 ·5
a
c4
5
a17 · b14 a8 · b7
= 5
c11
c
g.
7
6
9
f.
5
4
(
7
a
c
h.
9
a3 · b2
a 30 · b24
=
c 9 · d78
c · d8
i.
3
a 5 ·b
a 3 a2 ·b
=
c4
c
c
9
a3 · b6 a3 · b2
=
d6
c · d8
3
a · b2
d2
48 Copia las siguientes extracciones de factores en tu cuaderno y sustituye las
letras por números para que sean correctas:
a.
3
3
b.
A
4
3
2 A · B · 7 C = 70 3 98
A = 4

2 · B · 7 = 2·5·7 3 2·7 ⇒ 2 · B · 7 = 3 2 ·5 ·7 ⇒ B = 5
C = 5

3
A
C
2
a7 · c12 =a B · c3
7
12
1
a · c =a · c
3 4
C
3
A
3
C
4
3
5
a3
A = 4

a ⇒ B = 1
C = 4

3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
38 · 4 A
c.
10
34
54
B
=
34
54
2
5


 2A − B = 1 A = 5
38 · 4 5
⇒
⇒
⇒
B = 9  B = 9
10 9
38· 22A 
=
2y · 5B 

2
38 · 2
=
5
59
( )
A
38 · 22
38· 4A
=
B
10B
( 2 · 5)
d.
3
a A · bB
=
c C · d9
2
a·b
d
D
a · b2
dD
a2 · b
c2
A = 5
B = 7
a ·b 3 a ·b
a ·b
a ·b

3
3
=
⇒
=
⇒

9
2
C
9
c2
d9 · c 2
d
·
c
c ·d
C = 2
D = 3
2
3
3
5
7
A
B
5
7
49 En la siguiente operación de extracción de factores se ha cometido un error.
Identifícalo y corrígelo.
3
25 · 34 · 52 = 23 · 33 3 2 · 3 · 52
El error cometido es que al extraer los factores de la raíz no se ha eliminado el
exponente 3.
SOLUCIONES PÁG. 35
50 Indica cuáles de los factores propuestos son semejantes. Para ello, extrae
factores y/o simplifica resultados. Si no son semejantes, cámbialos para que
sí lo sean.
a.
3
2, 5 6 4, 2 3 2


5 6 4 = 5 6 22 = 5 3 2 

23 2

Los tres factores son semejantes o equivalentes porque su radical es el mismo.
3
2
b. −8 4 25, − 3 5, 2 7 125
−8 4 25 = −8 4 52 = −8 5 

−3 5


2 7 125 = 2 7 53

La única que no es semejante es 2 7 53 , si el índice de la raíz fuera 2, sí sería
semejante: 2 53 = 10 5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
c. 6 18, − 3 2, − 2 4 324



−3 2


4
2
4
2
4
−2 324 = −2 4 2 · 3 = −2 · 3 2 = −6 2 

6 18 = 6 2 · 32 = 6 · 3 2
Luego son semejantes.
d. −10 5 3, − 45 5 96,210 9


− 45 96 = −45 5 2 · 3 = −45· 2 3 = −90 3 

210 9 = 210 32 = 2 5 3

−10 5 3
5
5
5
5
Luego los tres factores son semejantes.
51 Efectúa estas sumas y restas con radicales:
a. 4 3 6 − 3 6 + 2 3 6 = 5 3 6
b.
(
) (
)
x − ( 7 x − 8 x ) = −3
12 − 3 12 − −5 12 = −2 12 + 5 12 = 3 12
x + 5 x = −25 x
c.
5
x − 45
d.
4
2
xy 2 − 2 4 xy 2 − 7 4 xy 2 = −8 4 xy
5
5
5
52 Calcula las siguientes sumas y restas con radicales, buscando los que sean
semejantes:
a. 5 3 2 000 − 6 3 686 + 2 3 432 =
= 5 3 24 · 53 − 6 3 2 · 73 + 2 3 24 · 33 = 5 · 2 · 5 3 2 − 6 · 7 3 2 + 2 · 2 · 3 3 2 =
= 50 3 2 − 42 3 2 + 12 3 2 = 20 3 2
b. 3 3 375 − 4 3 81 + 5 3 1029 =
= 3 3 3 · 53 − 4 3 34 + 5 3 3 · 73 = 3 · 5 3 3 − 4 · 3 3 3 + 5 · 7 3 3 =
= 15 3 3 − 12 3 3 + 35 3 3 = 38 3 3
c. 6 20 + 3 405 − 2 125 =
6 22· 5 + 3 34 ·5 − 2 53 = 6 · 2 5 + 3 · 32 5 − 2 · 5 5 =
= 12 5 + 27 5 − 10 5 = 29 5
d. −6 2 016 − 5 1 400
−6 25 · 32· 7 − 5 23 · 52· 7 = −6 · 22· 3 2 · 7 − 5 · 2 · 5 2 · 7 =
= −72 14 − 50 14 = −122 14
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
53 Reduce los siguientes radicales a índice común:
a.
3
14, 6 18, 4 21
Se calcula el m.c.m. de los índices de los radicales, con el fin de obtener el
radical equivalente.
 3 14 = 12 14 4


m.c.m. (3, 6, 4) = 12  6 18 = 12 182
4
12
3
 21 = 21
b.
5
70, − 3 45, 15
Se calcula el m.c.m. de los índices de los radicales, con el fin de obtener el
radical equivalente.
 5 70 = 30 706


m.c.m. (5, 3, 2) = 30 − 3 45 = −30 4510

30
15
 15 = 15
4
c.
b3
, 5 ab5 , 3
b5
c2
a 3b 2 c
Se calcula el m.c.m. de los índices de los radicales, con el fin de obtener el
radical equivalente.
15
 4 3
b3
b 45
 b
60
=
=
60
30
 3 2
a90b60c 30
a3 b2 c
 abc

12

= 60 a12b60
m.c.m. (2, 3, 4, 5) = 60  5 ab5 = 60 ab5

20
 b5
 b5 
b100
3
 2 = 60  2  = 60 40
c
 c
c 

(
(
d.
( )
)
)
5
a2
a 10 4
,
, c
3 4
6
bc
b3
Se calcula el m.c.m. de los índices de los radicales, con el fin de obtener el
radical equivalente.
5
6

2
2
12
 5 a = 30  a  = 30 a
3 4
 b3 c 4
b18c 24
b c 

 5 a
a6
a6
30
m.c.m. (5, 6, 10) = 30 
= 30
=
5
6 3
b15
b3
 b

10 4 30 4 3 30 12
= c
 c = c

( )
( )
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
54 Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales:
a. 3 8 ⋅ 2 3 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 2 3 ⋅ 27 = 3 23 ⋅ 2 3 ⋅ 33 = 3 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 3 =
= 6 2 ⋅6
10 ⋅ 125
3
b.
6
50
10 ⋅ 125
3
=
( 3)
6
50
3
=
2
= 36 ⋅ 3 2 = 108 2
2 ⋅ 5 ⋅ 53
2⋅5
6
2
=
3
2 ⋅ 3 5 ⋅5 5
6
2⋅ 5
3
= 6 2 ⋅5 5 =
= 5 6 2 ⋅ 5 = 5 6 2 ⋅ 5 = 5 6 250
6
12 ⋅ 4 3 10 ⋅ 5 8 = 4 22 ⋅ 3 ⋅ 4 3 2 ⋅ 5 ⋅ 5 23 = 460 ( 22 ⋅ 3 ) ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) ⋅ ( 23 )
15
4
c.
3
12
20
=
= 460 230 ⋅ 315 ⋅ 220 ⋅ 520 ⋅ 236 = 460 230 + 20 +36 ⋅ 315 ⋅ 520 =
= 460 286 ⋅ 315 ⋅ 520 = 460 260 +26 ⋅ 315 ⋅ 520 = 4 ⋅ 260 226 ⋅ 315 ⋅ 520 =
= 860 226 ⋅ 315 ⋅ 520
36 ⋅ 50 ⋅ 3 4
6
d.
3
6
=
45 ⋅ 18
6 2 ⋅ 2 ⋅ 5 2 ⋅ 3 22
3
32 ⋅ 5 ⋅ 32 ⋅ 2
3
=
23  5 
⋅
=
3 ⋅ 5  3 
3
3
=
3
6 ⋅ 22
2 ⋅ 52
⋅
=
32 ⋅ 5 32 ⋅ 2
23 ⋅ 5 3
=
5 ⋅ 34
3
3
3 ⋅ 2 ⋅ 22 5
⋅ =
32 ⋅ 5 3
23 ⋅ 52
34
55 Efectúa estas operaciones combinadas en las que aparecen radicales:
a.
=
(
(
)(
20 − 45 ⋅
)(
22 ⋅ 5 − 3 2 ⋅ 5 ⋅
(
)
)
250 − 3 432 =
3
3
) (
)(
)
2 ⋅ 53 − 3 2 4 ⋅ 33 = 2 5 − 3 5 ⋅ 5 3 2 − 6 3 2 =
= − 5 ⋅ − 3 2 = 6 53 ⋅ 22 = 6 500
3
b.
2160 − 3 1250 + 6400
( 4)
5
=
3
=
2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 5 − 3 2 ⋅ 5 4 + 28 ⋅ 5 2
( )
5
=
3
3
22
6 3 10 − 5 3 10 + 24 ⋅ 5
5
3
c.
26
1125 ⋅ 4 243
675
=
3
3 ⋅5
3
12
=
53 ⋅ 3 2 ⋅ 4 3 5
(3 )
2
4
12
2
3 3
3
3 27 =
+
3
3 33 =
+
5
26
=
25 2
3
12
2 ⋅ 3 3 2 ⋅ 5 − 5 3 2 ⋅ 5 + 24 ⋅ 5
10 + 80
+
⋅ 312 33
6
=
=
(3 3 )
5 3 32 ⋅ 3 4 3
3⋅5 3
4
(3 )
2
=
12
4
3
6
+ 3 3⋅3 3 =
⋅ 33
3
32 ⋅ 3 4 3
3 3
+33
3 =
+ 12 3 4 ⋅ 3 = 12 35 + 12 35 = 212 35
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
d.
363 − 4 432
3 4 80 + 2 4 405
=
=
3 ⋅ 112 − 4 24 ⋅ 33
3 2 ⋅5 + 2 3 ⋅5
4
8
2
120
= 120
3
6
=
4
12 4 5
3
=
f.
4
−37 4 3 2
5
e.
=
10
4
6
4
=
11 3 − 4 ⋅ 22 ⋅ 3 3
3 ⋅ 24 5 + 2 ⋅ 34 5
=
11 3 − 48 3
64 5 + 64 5
=
−37 3
12 4 5
=
−37 4 32
12 5
=
⋅ 23 24 2 =
58


 2
(
40
⋅ 120 2 3 2 4 2
)
60
= 120
(
88 120 60
⋅ 2 ⋅ 24 2
220
)
20
= 120
(23 )8 60 20 5
⋅2 ⋅2 ⋅2 =
220
224 60 20 5 120 24 + 60 + 20 + 5 −20 120 89
⋅2 ⋅2 ⋅2 = 2
= 2
220
(
+ 29 5
(2 ⋅ 5)
( )
22
)
3
=
2
+ 8 3 5 = 6 52 + 8 3 5 = 3 5 + 8 3 5 = 9 3 5
56 Si el área de un cuadrado mide 30 mm2, ¿cuál es el área del cuadrado
construido sobre su diagonal?
Como el cuadrado tiene un área de 30 mm2, se halla el valor del
lado de dicho cuadrado:
A = a2 = 30 ⟹ a = 30 mm
Se calcula el valor de la diagonal, según el teorema de Pitágoras:
a2 + a2 = d2; 30 + 30 = d2 ⟹ d = 60 = 2 15 ⇒ d = 2 15 mm
2
2
a
2
El área del cuadrado sobre la diagonal es: A = d = (2√15) = 60 mm .
57 Una finca rectangular tiene 3 100 hm de largo y 6 100 hm de ancho.
¿Cuántas hectáreas tiene de área?
Se reducen las dimensiones de la finca a radicales de índice igual:
A = 3 100 ⋅ 6 100 = 3 102 ⋅ 6 102 = 3 102 ⋅ 3 10 = 3 102 ⋅ 10 = 3 103 = 10
A = 10 ha
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
SOLUCIONES PÁG. 37
58 Racionaliza las siguientes expresiones con raíces cuadradas en el
denominador:
5
5 15
5 15
15
a. −
=−
=−
=−
2
15
3
15
15
(
b. −
c.
d.
e.
20
65
13
3 ⋅2
( 2)
(
13
)
3 2
=−
20 2
3
( 2)
2
=−
20 2
10
=−
2
3⋅2
3
18
2 =9 2
2
2
65 13
= 5 13
13
=
=
2
2
2− 8
(
=
)
2− 8 ⋅ 2
=
( 2)
3 + 2 ( 3 + 2 ) ⋅ 11 ( 3
=
=
11
11
( )
2
10
=
5 2 − 20 10
2
=
− 2 10
10
2
=
h.
=
20
(6 − 3 ) ⋅ 3 = (6 − 3 ) ⋅ 3 = 6 3 − 3 = 2 3 − 1
3
3
3
( 3)
5 − 20 ( 5 − 20 ) ⋅ 10
5 ⋅ 10 − 20 ⋅ 10
5 ⋅ 2 ⋅ 5 − 20
=
=
=
10
10
10
( 10 )
6− 3
f.
g.
2
65 13
=
=−
2
18 2
=
2
20
=−
18
18
)
2
2 − 16
= 1 − 2 = −1
2
11 + 22
2
)
11
59 Racionaliza las siguientes expresiones:
a.
15
3
b. −
c. −
10
=
55
4
11
69
5
15
13
3
(
10 ⋅
=−
3
(
3
2
10
)
2
=
15 3 100 3 3 100
=
10
2
( 11) = − 55 ⋅ ( 11)
11
11 ⋅ ( 11)
69 ( 13 )
69 13
⋅
=−
13
13 ( 13 )
55 ⋅
4
)
10
3
4
3
4
5
=−5
4
5
3
= −5 4 113 = −5 4 1331
4
5
4
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
d.
28
3
12
=
=
e.
28
3
3
12
12
2
2
=
(
28 3 2 14 3 2
⋅ 12 =
⋅ 2 ⋅3
12
6
)
2
=
14 3 4 2
⋅ 2 ⋅3 =
6
14 ⋅ 2 3
14 3
⋅ 2 ⋅ 32 =
⋅ 18
6
3
7− 3 4
3
12
⋅
3
12
(7 − 4 ) ⋅ (
=
12
(
3
3
)
12 )
3
12
3
2
2
(
2
3
7 3 122 − 3 4 ⋅ 3 122 7 2 ⋅ 3
=
=
12
)
2
(
− 3 2 2 ⋅ 3 22 ⋅ 3
)
2
12
=
7 3 24 ⋅ 32 − 3 22 ⋅ 24 ⋅ 32 7 ⋅ 2 3 2 ⋅ 32 − 22 3 32 14 3 18 − 4 3 9
=
=
=
12
12
12
7 3 18 − 2 3 9
=
6
=
5
f.
4
5 + 2 5 5 + 2 5 30
= 5
⋅
=
4
5
30
30 5 30
=
=
4
g.
3
45
30
4
4
5 ⋅ 304 + 2 5 30
=
=
30
5
5
6 4 5 304
+
6
15
=
=
h.
)
5 + 2 ⋅ 5 30
5 ⋅ 24 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 + 2 5 30 4 5 24 ⋅ 34 ⋅ 55 + 2 5 30 4 5 5 24 ⋅ 34 + 2 5 304
=
=
=
30
30
30
36
5 − 3 15
5
5
12 − 4 6
4
(
=
4
12 − 4 6
4
4
36
36
4
36
3
3
(
=
4
)
12 − 4 6 ⋅ 4 36
36
45
(
452
(
=
=
4
12 ⋅ 363 − 4 6 ⋅ 363
=
36
)
5 − 3 15 ⋅ 3 452
5 − 3 15 3 2
⋅
=
⋅ 45 =
=
3
45
45
452
3
2
3
5 ⋅ 3 452 − 3 15 ⋅ 3 452 5 ⋅ 3 ⋅ 5
=
=
45
=
3
124 ⋅ 33 − 4 67 12 4 27 − 6 4 63 4 27 4 216
=
=
−
36
36
3
6
5 − 3 15
3
⋅
4
)
2
(
− 3 3 ⋅ 5 ⋅ 32 ⋅ 5
45
)
2
=
5 ⋅ 3 34 ⋅ 52 − 3 35 ⋅ 53 5 ⋅ 3 3 3 ⋅ 52 − 3 ⋅ 5 3 32 15 3 75 − 15 3 9
=
=
=
45
45
45
3
75 − 3 9
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
60 Copia en tu cuaderno y une cada fracción con su expresión racionalizada.
4
a.
1. −2 2
8
−4
b.
2. 2
2− 8
c.
a.
b.
4
3. 2 + 2 2
2− 8
4
4
=
8
8
−4
=
2− 8
8
⋅
=
8
4⋅2 2
= 2 , luego le corresponde la respuesta 2.
8
(
−4 ⋅ 2 + 8
)
(2 − 8 ) ⋅ (2 + 8 )
=
−8 + 4 ⋅ 2 2
2 − 8
2
le corresponde la respuesta 3.
c.
4
4
=
2− 8
2− 8
⋅
2+ 8
2+ 8
=
4⋅
(
−8 + 8 2
−8 + 8 2
=−
= 2−2 2,
4−8
4
=
2
2+ 8
2
2
2 − 8
luego le corresponde la respuesta 1.
)=4
luego
2 + 4⋅2 2
4 2 +8 2
=−
= −2 2 ,
2−8
4
61 Racionaliza las siguientes expresiones con binomios con radicales en el
denominador:
a.
b.
c.
9
6 − 15
9
=
=
54 + 9 15
6 − 15
2
=
2
54 + 9 15 54 + 9 15 18 + 3 15
=
=
36 − 15
21
7
−5
−5
21 − 2 −105 + 5 2 −105 + 5 2 −105 + 5 2
=
⋅
=
=
=
2
441 − 2
439
21 + 2 21 + 2 21 − 2
212 − 2
12
4+ 8
=
12
1
18 + 14
13 + 2
13 − 2
⋅
4− 8
4+ 8 4− 8
=
=
e.
6 + 15
6 − 15 6 + 15
=6−
d.
⋅
=
=
=
48 − 12 8
4 − 8
2
2
=
48 − 12 8 48 − 12 8
=
=
16 − 8
8
3⋅2 2
=6−3 2
2
1
18 + 14
⋅
18 − 14
18 − 14
=
18 − 14
2
18 − 14
2
32 ⋅ 2 − 14
=
18 − 14
=
3 2 − 14
4
13 + 2
13 − 2
⋅
13 + 2
13 + 2
(
=
13 + 2
2
)
13 − 2
2
2
2
2
13 + 2 + 2 13 ⋅ 2
=
=
13 − 2
13 + 2 + 2 26 15 + 2 26
=
11
11
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
45 + 18
=
5+ 2
f.
=
=
45 + 18
5+ 2
3 5 +3 2
⋅
5−2
(
5− 2
⋅
5− 2
(
)(
32 ⋅ 5 + 32 ⋅ 2
=
2
5 − 2
)
5− 2 =
)
5+ 2 ⋅
2
3 5 +3 2
⋅
3
2
(
⋅
(
)
5− 2 =
)
5− 2 =
2
5 − 2 = 5 − 2 =5−3 =3
62 Efectúa las siguientes operaciones:
a.
10
10
=
−
3
7+ 5
=
2
=
( )
2
2
=
21 − 3 5 6 23 ⋅ 24
21 − 3 5 2 6 2
21 − 3 5 6
+
= 10 −
+
= 10 −
+ 2
49 − 5
2
44
2
44
= 10 −
b.
2
3
2
6 3
2 ⋅ 22
 3
7− 5
2 32
10 10 21 − 3 5
− 
⋅
=
−
+
 + 3 ⋅
2
2
10
2
2 32
72 + 5
7+ 5 7− 5 
10 10
10
+
3+ 5
2+8
−
=
3− 5
32
3+ 5
3− 5
⋅
3+ 5
3+ 5
2 +8
−
32
⋅
32
32
(
==
3+ 5
2
)
3 − 5
2
2
−
2 ⋅ 32 + 8 32
=
32
3 + 5 + 2 3⋅5
64 + 8 16 ⋅ 2 8 + 2 15 8 + 32 2
1
−
=
−
= −4 − 15 − − 2 =
3−5
32
−2
32
4
17
=−
− 15 − 2
4
=
c.
1− 8
1+ 8
−
3− 3
4
9
(
3
1− 8
1− 8 1− 8 3 − 3 4 9
=
⋅
− 4
⋅
=
3
4
1− 8
1+ 8 1− 8
9
9
)
2
3
3
34 9 − 3 ⋅ 4 9
−
=
9
2
=
1 + 8 − 2 8 3 4 36 − 3 ⋅ 4 36 1 + 8 − 2 8 3 ⋅ 3 4 32 3 4 32 ⋅ 3
−
=
−
+
=
−7
9
−7
9
9
2
9 4 2
3⋅ 3
9 4 2
2 4 2
− +
− 3+
=− +
− 3 + 1= − +
− 3
7
7
9
7
7
7
7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
2+ 6
d.
=
=
2− 3
+
2− 6
2+ 3
=
(2 + 6 ) ⋅ (2 + 3 ) + (2 − 6 ) ⋅ (2 − 3 ) =
(2 − 3 ) ⋅ (2 + 3 )
4 + 2 3 + 2 6 + 6⋅3 + 4 − 2 3 − 2 6 + 6⋅3
2 − 3
2
2
=
8 + 2 18
=
4−3
= 8 + 2⋅3 2 = 8 + 6 2
63 Halla el número resultante de sumar la inversa de la longitud de la diagonal
de un cuadrado de lado 4 cm y la inversa de la longitud de la diagonal de un
rectángulo cuyos lados miden 2 cm y 6 cm.
La diagonal del cuadrado se calcula mediante el Teorema de Pitágoras:
d2 = a2 + a2 ⟹ d = a 2 = 4 2
La diagonal del rectángulo es:
d’2 = b2 + c2 ⟹ d’ = 22 + 62 = 40 = 2 10
La suma de las inversas es:
1
4 2
+
1
2 10
=
2
10 5 2 + 2 10
+
=
8
20
40
64 En la siguiente página web puedes encontrar distintas actividades con las
que practicar tanto las operaciones con radicales como la racionalización:
http://conteni2.educarex.es/mats/12052/contenido/
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 39
65 Utilizando la definición, calcula los siguientes logaritmos:
a. log2 (32) = 5 ⟹ 25 = 32
b. log3 (27) = 3 ⟹ 33 = 27
625
1
1
c. log4 (0,062 5) = log4
= log4
= log4 4−2 = −2 ⇒ 4−2 =
10 000
16
16
4
1
1
= log5
= log5 5−2 = −2 ⇒ 5−2 =
100
25
25
e. log5 (625) = 4 ⟹ 54 = 625
d. log5 (0,04) = log5
−7
−7
 1
 1
f. log 1 (128) = log 1 2 = log 1   = −7 ⇒   = 128
2
2
2
2
2 
4
g. log (10 000) = log (10 ) = 4 · log (10) = 4 · 1 = 4
7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
h. log (0,000 1) = log (10–4) = –4 · log (10) = –4 · 1 = –4
625
1
1
i. log2 (0,062 5) = log2
= log2
= log2 2−4 = −4 ⇒ 2−4 =
10 000
16
16
66 Copia en tu cuaderno y encuentra el valor de las letras para completar las
siguientes igualdades:
a. log5 (A) = 3 ⟹ 53 = A ⟹ A = 125
b. log3 (B) = 5 ⟹ 35 = B ⟹ B = 243
c. log4 (C) = –2 ⟹ 4–2 = C ⟹ C = 0,062 5
d. logD (49) = 2 ⟹ D2 = 49 ⟹ D = 7
e. logE (1 296) = 4 ⟹ E4 = 1 296 ⟹ E = 6
f. log (F) = –5 ⟹ 10–5 = F ⟹ F = 0,000 01
g. log (G) = 3 ⟹ 103 = G ⟹ G = 1 000
h. log5 (H) = –3 ⟹ 5–3 = H ⟹ H = 0,008
i. logI (0,5) = –1 ⟹ I–1 = 0,5 ⟹ I = 2
67 Calcula, con ayuda de la calculadora, estos logaritmos, realizando
previamente un cambio de base:
log 7
a. log2 (7) =
= 2,807
log 2
b. log3 (0,5) =
log 0,5
= −0,631
log 3
c. log5 (350) =
log 350
= 3,640
log 5
d. log6 (120) =
log 120
= 2,672
log 6
e. log4 (1 000) =
log 1000
= 4,983
log 4
f. log3 (0,001) =
log 0,001
= −6,288
log 3
68 Sabiendo que log (2) = 0,301 y que log (3) = 0,477, calcula estas expresiones,
utilizando las propiedades de los logaritmos:
a. log (9) = log (32) = 2 · log (3) = 2 · 0,477 = 0,954
 1 1
1
2 = log  2 3  = ·log 2 = ·0,301 = 0,100 3
3
  3
c. log (18) = log (2 · 32) = log (2) + 2 · log (3) = 0,301 + 2 · 0,477 = 1,255
10
d. log (250) = log (2 · 53) = log (2) + 3 · log (5) = 0,301 + 3 · log
= 0,301 +
2
+ 3 · (log 10 – log 2) = 0,301 + 3 · (1 – 0,301) = 2,398
e. log (3,2) = log (32 · 10–1) = log (25 · 10–1) = 5 · log (2) – log (10) = 5 · 0,301 –1 =
= 0,505
f. log (30) = log (3 · 10) = log (3) + log (10) = 0,477 + 1 = 1,477
b. log
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
g. log (3,6) = log (3,6) = log (36 · 10–1) = log (32 · 22 · 10–1) = 2 · log (3) +
+ 2· log (2) – 1 = 2 · 0,477 + 2 · 0,301 – 1 = 0,556
i. log
( 9)
h. log
(
 1 1
1
2
2
= log  9 5  = ⋅ log ( 9 ) = ⋅ log 32 = ⋅ log ( 3 ) = ⋅ 0,477 = 0,191
5
5
5
  5
( )
5
6
12
)
 1 1
1
1
= log  12 6  = ⋅ log (12 ) = ⋅ log 22 ⋅ 3 = ⋅ ( 2 ⋅ log(2) + log(3)) =
6
6

 6
1
= ⋅ ( 2 ⋅ 0,301 + 0,477 ) = 0,180
6
(
)
69 Sabiendo que log2 (6) = 2,585, halla los siguientes logaritmos, haciendo uso
de sus propiedades:
log2 (6) 2,585
a. log4 (6) =
=
= 1,2925
log2 (4)
2
b. log6 (8) =
log2 (8)
3
=
= 1,1605
log2 (6) 2,585
6
c. log2 (3) = log2   = log2 ( 6 ) − log2 ( 2 ) = 2,585 − 1 = 1,585
2
d. log2 (36) = log2 (62) = 2 · log2 (6) = 2 · 2,585 = 5,17
log2 ( 6 )
+ log16 ( 4 ) =
e. log16 (24) = log16 ( 6 ⋅ 4 ) = log16 ( 6 ) + log16 ( 4 ) =
log2 (16 )
2,585 1
+ = 1,146 25
4
2
log2 ( 4 )
2
=
= 0,774
f. log6 (4) =
log2 ( 6 ) 2,585
=
70 Investiga en Internet qué son los logaritmos neperianos y a quién deben su
nombre. Realiza una presentación en PowerPoint o programa similar acerca
de la historia de los logaritmos.
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 41
1
¿Son todos los radicales números irracionales? ¿Y son todos números
reales?
No todos los radicales son números irracionales, porque las raíces exactas son
números enteros. Por ejemplo, 3 8 = 2
Todos los radicales son números reales siempre y cuando no se trate de
radicandos negativos con índice de la raíz par. Por ejemplo,
número real.
−3 no es un
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
2
3
4
5
¿Mediante qué subconjuntos es posible representar números reales en la
recta real? Explícalos.
Podemos representar números reales en la recta real mediante intervalos, semirrectas y entornos:
• Un intervalo es un segmento de la recta que contiene todos los números
comprendidos entre dos números llamados extremos.
Por ejemplo: [1 , 2] ⇒ {x ∈ ℜ / –1 ≤ x ≤ 2}
•
Una semirrecta es la parte de la recta que contiene todos los números mayores o menores que un número dado.
Por ejemplo: (–1 , +∞) ⇒ {x ∈ ℜ / x > –1 }
•
Un entorno de centro a y radio r, E(a, r), es el conjunto de los números
reales cuya distancia al centro a es menor que el radio r.
Por ejemplo: E(2, 3) = {x∈  / d(2, x) < 3} = (2 – 3, 2 + 3) = (– 1, 5)
¿Qué es la notación científica? ¿Por qué es útil a la hora de expresar las
cifras significativas?
La notación científica es un formato de notación matemática, en la que se escribe
una única cifra entera distinta de cero seguida o no de decimales y la potencia de
10 adecuada.
La notación científica es útil a la hora de expresar las cifras significativas.
Define error absoluto y error relativo. Ilustra las definiciones con ejemplos.
• El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el valor real y el valor
aproximado.
• El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
Por ejemplo, si aproximamos 5,38 a 5,4, el error absoluto sería:
Ea = |5,38 – 5,4| = 0,02
Y el error relativo sería:
0,02
= 0,004
Er =
5,38
¿Qué es un radical? ¿Cómo se puede expresar un radical en forma de
potencia?
Se llama radical de un número a la raíz indicada de dicho número.
Un radical se puede expresar como una potencia de exponente
fraccionario:
m
n
am = a n , con a > 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
6
Explica con ejemplos el modo de introducir factores en un radical y de
extraerlos.
Para introducir factores en un radical, elevamos dichos factores al índice de dicho
radical. Por ejemplo: 5 3 7 = 3 53 · 7
Para extraer factores de un radical, se realizará de la siguiente forma
m
a x ⋅ m + y = a x ⋅ m ay . Por ejemplo:
3
78 = 3 72 · 3+ 2 = 72 · 3 72
7
Explica mediante ejemplos cómo sumar, restar, multiplicar y dividir
radicales.
• Para sumar y restar radicales, han de ser semejantes, es decir, que el radicando y el índice sea el mismo. Por ejemplo: 7 2 − 4 2 = 3 2
• Para multiplicar y dividir radicales, estos han de tener el mismo índice. Se realim
a
a
zará de la siguiente forma: m a · m b = m a · b y m = m
b
b
En el caso de que el índice no sea el mismo, se hallan radicales equivalentes
para que sí lo sean.
8
¿En qué consiste la racionalización? Pon ejemplos.
La racionalización consiste en la eliminación de radicales en el denominador de
una fracción. Por ejemplo:
9
8
3
7
=
8
3
7
·
3
72
3
72
=
8 3 72
3
7 · 72
=
8 3 72
3
73
=
8 3 72
7
¿Qué es un logaritmo? ¿Por qué no existen logaritmos de números
negativos?
El logaritmo en base a, de un número positivo b es otro número x tal que la base a
elevada a dicho número x es igual al número b, siendo a un número positivo
distinto de la unidad: loga (b) = x ⇔ ax = b; a ∈ (0 , 1) ∪ (1 , +∞)
Fijándonos en la definición de logaritmo, la base tiene que ser siempre un número
mayor estrictamente que cero. Una base positiva, al elevarla a un exponente
cualquiera siempre resulta un número positivo, por lo que no se pueden realizar
logaritmos de números negativos porque no existen.
10 Prepara una presentación sobre los números reales para tus compañeros.
Puedes hacer un documento Power- Point, usar Glogster…
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
SOLUCIONES PÁG. 42
EL NÚMERO REAL
1
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla, indicando a qué
conjuntos numéricos pertenece cada número:
ℕ
ℤ
ℚ
−128 = –2
)
4 2
= = 0,6
6 6
No
Sí
Sí
No
No
No
Sí
No
3 = 1,200 937…
No
No
No
Sí
1331 = 11
Sí
Sí
Sí
No
No
No
Sí
No
7
6
3
0,006 66…
2
Representa en la recta real los números irracionales propuestos. ¿Qué
teorema has utilizado para ello?
Para representar números irracionales, se deben seguir estos pasos:
1.º Se expresa la raíz como suma de cuadrados.
2.º Se construye un rectángulo cuyos lados tengan el valor de los cuadrados
hallados en el paso anterior, y se traza la diagonal.
3.º La diagonal del rectángulo coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo
cuyos catetos son los cuadrados ya conocidos.
4º Con el compás se traza un arco de circunferencia hasta cortar la recta con
centro en el punto 0 y con el radio del valor de la hipotenusa calculada en el paso
anterior.
a.
20 = 42 + 22
Es decir, el número propuesto, 20 , tiene la misma longitud que la
diagonal de un rectángulo de lados de longitud 4 y 2 unidades:
b.
26 = 52 + 12
Es decir, el número propuesto, 26 , tiene la misma longitud que la diagonal de
un rectángulo de lados de longitud 1 y 5 unidades.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
38
c.
61 = 62 + 52
Es decir, el número propuesto, 61 , tiene la misma longitud que la diagonal de
un rectángulo de lados de longitud 5 y 6 unidades:
d.
24 = 42 +
( 8)
2
= 42 +
(
4+4
Es decir, el número propuesto,
)
2
= 42 +
22 + 22
)
2
24 , tiene la misma longitud que la diagonal de
un rectángulo de lados de longitud 4 y
3
(
22 + 22 unidades:
Halla las distancias entre los siguientes números reales:
a. 0,333… y 0,666…
)
)
)
) )
d ( 0,3;0,6 ) = 0,6 − 0,3 = 0,3 = 0,333...
b. 9,622 2… y 11,244…
)
)
)
)
)
d ( 9,62;11,24 ) = 9,62 − 11,24 = 1,62 = 1,622...
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39
TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL
4
Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla en la que aparecen
intervalos y semirrectas:
Intervalo
semirrecta
5
o
Representación
Desiguald
ad
[6 , 10)
6 ≤ x < 10
(10 , +∞)
x > 10
(–∞ , 4)
x<4
[0 , +∞)
x≥0
(–5 , –2]
–5 < x ≤ –2
(–∞ , –5]
x ≤ –5
[–20 , –18]
–20 ≤ x ≤ –18
(19 , 24)
19 < x < 24
Efectúa estas operaciones con intervalos:
a. (–8 , 3) ∪ (2 , 10)
(–8 , 10)
b. (6 , 12) ∩ (7 , 14)
(7 , 12)
6
Escribe en forma de intervalos los siguientes entornos:
a. E(8 , 6) = (8 – 6 , 8 + 6) = (2 , 14)
b. E(–3 , 4) = (–3 – 4 , –3 + 4) = (–7 , 1)
c. E*(–5 , 8) = (–5 – 8 , –5) ∪ (–5 , –5 + 8) = (–13 , –5) ∪ (–5 , 3)
APLICACIONES DE LOS NÚMEROS REALES
7 El número de alumnos matriculados en un centro ha aumentado un 30 % en
los últimos 4 años. Se prevé que en los siguientes 5 años dicho número
aumente en un 20 %. Si actualmente hay 390 alumnos matriculados,
¿cuántos había hace 4 años? ¿Y cuántos habrá dentro de 5 años?
Se plantean cuáles son los matriculados de cada año, sus aumentos y sus disminuciones porcentuales:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
40
•
•
8
Los matriculados en el año actual (A) son 390, lo que significa que, si ha habido
un aumento del 30 %, hace 4 años el alumnado (B) era de:
30 
A 390

A = B ⋅ 1 +
⇒B=
=
= 300

1,3 1,3
 100 
Eran 300 alumnos hace 4 años.
Los matriculados en el año actual (A) son 390, lo que significa que, si va a haber
un aumento del 20 %, dentro de 5 años el alumnado (C) será de:
20 

C = A ⋅ 1 +
 ⇒ C = 390 ⋅ 1,2 = 468
 100 
En 5 años habrá 468 alumnos.
Calcula los intereses producidos al depositar en un banco 6 000 € a los
siguientes intereses:
a. A un 5 % simple anual durante 10 meses.
r⋅t 

 5 ⋅ 10 
CF = CI  1 +
= 6000 ⋅  1 +

 = 6250 €
 100 ⋅ 12 
 1200 
I = CF – CI = 6 250 –6 000 = 250 €
b. A un 3 % simple anual durante 200 días.
r⋅t 

 3 ⋅ 200 
CF = CI  1 +
= 6000 ⋅  1 +

 = 6100 €
 100 ⋅ 360 
 36000 
I = CF – CI = 6 100 –6 000 = 100 €
c. A un 2,5 % compuesto anual durante 5 años.
t
5
r 
2,5 


CT = CI ⋅  1 +
= 6000 ⋅  1 +

 = 6 788, 45 €
 100 
 100 
I = CF – CI = 6 788,45 –6 000 = 788,45 €
9
Los beneficios de una empresa aumentan un 3 % por año. Si el año pasado
obtuvieron 3 000 000 € de beneficios, ¿cuánto habrán obtenido este año? ¿Y
cuáles serán los beneficios dentro de 10 años si sus ingresos siguen
manteniendo este ritmo de crecimiento?
Si se llama A a los beneficios del año pasado, B a los beneficios de este año y C a
los beneficios de dentro de 10 años, la relación de aumentos y disminuciones es:
3 

6
B = A ⋅ 1 +
 = 3 000 000 ⋅ 1,03 = 3,09 ⋅ 10 €
100


t
10
3 
3 


C = A ⋅ 1 +
= 3 000 000 ⋅  1 +

 = 4 031 749,14 €
 100 
 100 
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
41
NOTACIÓN CIENTÍFICA. OPERACIONES
10 Realiza las siguientes operaciones con números en notación científica:
a. 2,25 · 1034 + 9,35 · 1035 = (0,225 + 9,35) · 1035 = 9,575 · 1035
b. 1,78 · 10–15 – 3,67 · 10–16 = (1,78 – 0,367) · 10–15 = 1,413 · 10–15
c. (9,8 · 1012) · (6,8 · 10–21) = 9,8 · 6,8 · 1012 – 21 = 6,664 · 10-8
4,2
⋅ 109 −( −2) = 3,5 ⋅ 1011
d. (4,2 · 109) : (1,2 · 10–2) =
1,2
11 Efectúa estas operaciones, expresando el resultado en notación científica:
a.
( 8,9 ⋅ 10
−5
+ 7,6 ⋅ 10 −6 )
2
( ( 89 + 7,6 ) ⋅ 10 )
=
−6
( 5,3 + 330 ) ⋅ 10−8
5,3 ⋅ 10 −8 + 3,3 ⋅ 10 −6
=
2
=
96,62 ⋅ 10−6⋅2 96,62 ⋅ 10 −12
=
=
335,3 ⋅ 10−8
335,3 ⋅ 10 −8
9331,56
⋅ 10 −4 = 2,78 ⋅ 10 −3
335,3
0,921 − 7,81) ⋅ 10−6
9,21 ⋅ 10 −7 − 7,81 ⋅ 10−6
(
=
= −2,11 ⋅ 10 −6 −( −4) = −2,11⋅ 10−2
b.
−4
−5
−4
3,88 ⋅ 10 − 6,23 ⋅ 10
( 3,88 − 0,623 ) ⋅ 10
c.
4,6 ⋅ 102 10,8 ⋅ 10 −7
−
= 0,5 ⋅ 102−( −4) − 3 ⋅ 10−7 −( −13) = 5 ⋅ 105 − 3 ⋅ 106 = −2,5 ⋅ 106
9,2 ⋅ 10 −4 3,6 ⋅ 10 −13
d.
5,7 ⋅ 103
+ (1,7 ⋅ 10−4 )2 = 3 ⋅ 103 −11 + 2,89 ⋅ 10−4 ⋅ 2 = 3 ⋅ 10 −8 + 2,89 ⋅ 10−8 =
11
1,9 ⋅ 10
−8
−8
= (3 + 2,89) ⋅ 10
= 5,89 ⋅ 10
ESTIMACIONES, APROXIMACIONES Y ERRORES
12 Efectúa la operación 5 6 − 10 con dos cifras decimales por exceso, por
6 = 2, 449 49... y
defecto y por redondeo, sabiendo que
10 = 3,162 278...
5 6 − 10
6
5 6
10
Exceso
2,45
12,25
3,17
9,08
Defecto
2,44
12,20
3,16
9,04
Redondeo
2,45
12,25
3,16
9,09
13 Halla los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar el número 3,266 6…
con 3 cifras decimales por truncamiento y por redondeo.
Por truncamiento:
E
0,000 7
) = 0,02 % .
Ea = │3,266 6… – 3,266│= 0,000 7; Er = a =
A
3,26
Por redondeo:
Ea = │3,266 6… – 3,267│= 0,000 4; Er =
Ea 0,000 3
=
) = 0,01 % .
A
3,26
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
42
SOLUCIONES PÁG. 43
RADICALES Y OPERACIONES CON RADICALES
14 Introduce los siguientes factores en los radicales:
a. 3 ⋅ 5 ⋅ 2 4 2 = 4 34 ⋅ 54 ⋅ 2 ⋅ 24 = 4 34 ⋅ 54 ⋅ 25
b. 6 ⋅ 1015 24 = 15 615 ⋅ 1015 ⋅ 23 ⋅ 3 = 15 215 ⋅ 315 ⋅ 215 ⋅ 515 ⋅ 23 ⋅ 3 = 15 233 ⋅ 316 ⋅ 515
c. x 2 y 3 6 x 5 =
6
(x y )
2
3
6
x 5 = 6 x12 y 18 x 5 = 6 x17 y 18
15 Extrae todos los factores posibles de estos radicales:
a.
6
3 840 = 6 28 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 6 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 6 60
b.
4
6 875 = 4 54 ⋅ 11 = 5 4 11
c.
3
71344 = 3 24 ⋅ 73 ⋅ 13 = 7 ⋅ 2 3 2 ⋅ 13 = 14 3 26
722 000 = 24 ⋅ 53 ⋅ 192 = 22 ⋅ 5 ⋅ 19 5 = 380 5
d.
16 Efectúa las operaciones con radicales propuestas, simplificando el resultado
si es posible. Comprueba luego el resultado con la herramienta Wiris.
a. 3 175 − 2 343 + 5 567 =
= 3 52 ⋅ 7 − 2 73 + 5 34 ⋅ 7 = 3 ⋅ 5 7 − 2 ⋅ 7 7 + 5 ⋅ 32 7 = 15 7 − 14 7 + 45 7 =
= 46 7
3
b.
=
=
c.
320 − 3 135 + 3 6 655
=
490 + 2 1 440
3
26 ⋅ 5 − 3 33 ⋅ 5 + 3 5 ⋅ 113
2 ⋅ 5 ⋅ 72 + 2 25 ⋅ 32 ⋅ 5
=
4 3 5 − 3 3 5 + 113 5
7 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 22 ⋅ 3 2 ⋅ 5
=
12 3 5
7 10 + 24 10
=
12 3 5
31 10
=
12 6 52
12 6 52
12 6 1
12 6 1
=
=
=
3
3
3
3
31 10
31 2 ⋅ 5
31 2 ⋅ 5 31 40
(
3
72
)
3
⋅
(
6
320
= 72 ⋅ 3 320 ⋅
= 24 ⋅ 3 6
)
2
2
6
24
⋅
16
3
24
=
= 23 ⋅ 32 ⋅ 3 26 ⋅ 5 ⋅
2
6
2 ⋅3
3
= 2 ⋅ 3 2 ⋅ 22 3 ⋅5 ⋅
2
6
23 ⋅ 3
=
2
6
23 ⋅ 52
4 6 5 ⋅3
=
= 2 4 6 52 ⋅ 35 = 2 4 6 5 2 ⋅ 35
2
3
3
2 ⋅3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43
3
d.
=
15 ⋅ 12 300 ⋅ 16
6
3
120
=
3 ⋅ 5 ⋅ 12 22 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4
6
= 4 ⋅ 12
12
= 4⋅
23 ⋅ 3 ⋅ 5
34 ⋅ 54 ⋅ 12 22 ⋅ 3 ⋅ 52
12
26 ⋅ 32 ⋅ 5 2
== 4 ⋅ 12
34 ⋅ 54 ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 52
=
26 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2
33 ⋅ 54 12 224 ⋅ 33 ⋅ 54 12 20 3 4
=
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 212 28 ⋅ 33 ⋅ 54
24
24
RACIONALIZACIÓN
17 Racionaliza estas expresiones:
5 − 10
5 − 10 125
5 ⋅ 125 − 10 125
625 − 10 53
=
⋅
=
=
=
125
125
125
125
125
a.
=
4
b.
2−44
4
=
8
=
c.
d.
7− 35
3
35
=
2− 3
5 + 75
25 − 10 ⋅ 5 5 1 − 2 5
=
125
5
4
2−44
4
4
8
=
8
3
4
35
⋅
2− 3
3
35
3
35
⋅
2
( )
− 4 22 ⋅ 23
8
3
=
2
2
=
7 3 35 − 3 5 ⋅ 352 7 3 352 − 5 3 72 3 352 3 72
=
=
−
35
35
5
7
5 − 75
5 + 75 5 − 75
=−
3
2 ⋅ 29 − 4 22 ⋅ 29 4 210 − 4 211 22 2 − 22 4 23
2 − 4 23
=
=
=
8
8
8
2
7−35
3
( )
4 2 ⋅ 23
2 ⋅ 83 − 4 4 ⋅ 83
⋅
=
=
3
4
8
8
4
=
( 2 − 3 ) ⋅ (5 −
5 − 75
2
75
) = − 10 − 2
75 − 5 3 + 15
=
50
25 − 2 ⋅ 5 3 − 5 3
25 − 15 3 3 3 − 5
=−
=
50
50
10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
44
e.
7− 2
28 + 36
=
=−
=−
f.
7− 2
28 + 36
(7
⋅
28 − 36
28 − 36
=
=−
28 − 36
28 − 36
28 − 7 36 − 2 ⋅ 28 + 2 ⋅ 36
8
)=
)=
7 ⋅ 2 7 − 7 ⋅ 6 − 2 14 + 6 2 −7 7 + 21 + 14 − 3 2
=
8
4
8 − 10
15 + 20
8 − 10
=
⋅
=
15 − 20 15 + 20
15 − 20
=−
(7 − 2 ) ⋅ (
(
(
)(
8 − 10 ⋅
15 − 20
8 ⋅ 15 + 8 ⋅ 20 − 10 ⋅ 15 − 10 ⋅ 20
5
2 30 + 2
2
15 + 20
)=
)=
10 − 5 6 − 10 2
2 30 + 4 10 − 5 6 − 10 2
=−
5
5
LOGARITMOS
18 Calcula, mediante su definición, los siguientes logaritmos y comprueba los
resultados con Wiris:
a. log2 (1 024) = log2 (210) = 10 · log2 (2) = 10 · 1 = 10
b. log3 (729) = log3 (36) = 6 · log3 (3) = 6 · 1 = 6
c. log (0,000 01) = log (1 · 10–5) = –5 · log (10) = –5 · 1 = –5
 1 
 1
8
d. log2 
 = log2  8  = log2 (1) − log2 2 = 0 − 8 ⋅ log2 ( 2 ) = −8 ⋅ 1 = −8
256
2


 
e. log (1 000 000) = log (1 · 106) = 6 · log (10) = 6 · 1 = 6
( )
4
16
24
 1
f. log5 (0,001 6) = log5
= log5 4 = log5   = log5 5 −4 = −4
10000
10
5
19 Sabiendo que log (5) = 0,699 y log (3) = 0,477, calcula los logaritmos
propuestos aplicando sus propiedades. Puedes comprobar los resultados
con Wiris.
a. log (30) = log (3 · 10) = log (3) + log (10) = 0,477 + 1 = 1,477
 100 
2
b. log (20) = log 
 = log(100) − log(5) = log(10 ) − log(5) = 2 ⋅ 1 − 0,699 = 1,301
 5 
 81 
log 

4
log(0,81)
 100  = log(81) − log(100) = log(3 ) − log(100) =
c. log5 (0,81) =
=
log(5)
log(5)
log(5)
log(5)
=
4 ⋅ log(3) − 2 4 ⋅ 0,477 − 2
=
= −0,131
log(5)
0,699
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
45
 625 
log 
4
log ( 6,25 )
100  log ( 625 ) − log(100) log 5 − log(100)

=
=
=
=
d. log3 (6,25) =
log ( 3 )
log ( 3 )
log ( 3 )
log ( 3 )
( )
=
4 ⋅ log ( 5 ) − log(100)
log ( 3 )
=
4 ⋅ 0,699 − 2
= 1,669
0, 477
 1 1
1
1
e. log ( 5 15) = log  15 5  = ⋅ log (15 ) = ⋅ log ( 3 ⋅ 5 ) = ⋅ ( log(3) + log(5)) =
5
5
5


0, 477 + 0,699
=
= 0,235 2
5
3 4
3
3
3
3
f. log ( 3 10 125) = log ( 3 ⋅ 5 ) = log (3 ⋅ 5 3) = log(15 3) = log(15) + log( 3) =
1
= log(5) + log(3) + log( 3 3) = log(5) + log(3) + ⋅ log(3) =
3
1
= 0,699 + 0,477 + ⋅ 0,477 = 1,335
3
EVALUACIÓN
1
La intersección de los siguientes intervalos: [–6 , 12), (–2 , 15] y [–10 , 10), es
el intervalo:
a. (–2 , 10)
b. [–6 , 15]
c. [–2 , 10]
d. [–6 , 10]
[–6 , 12) ∩ (–2 , 15] ∩ [–10 , 10) = (–2 , 12) ∩ (–10 , 10) = (–2 , 10)
2
Los intereses que producen 4 500 € depositados a un interés compuesto
anual del 2 % durante 5 años son:
c. 3 197,44 €
a. 468,36 €
b. 4 968,36 €
d. 6 697,44 €
I = CT –CI = 4 968,36 –4 500 = 468,36 €.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
46
3
El resultado de la siguiente operación con números en notación científica
con una aproximación de 3 cifras significativas es:
(8,9 · 10–5 + 9,7 · 10–4) · 6 · 105
a. 63,5 · 10
b. 6,35 · 102
c. 1,11 · 10–1
d. 1,11 · 102
(8,9 · 10–5 + 9,7 · 10–4) · 6 · 105 = (0,89 · 10–4 + 9,7 · 10–4) 6 · 105 =
= 6 · 10,59 · 10–4 · 105 = 63,54 · 10 = 635,4 = 6,35 · 102
4
El error relativo cometido al aproximar
a. 0,003
b. 0,004
19
a 3,17 es:
6
c. 0,001
d. 0,002
19
− 3,17
Ea
6
=
= 0,001
Er =
19
A
6
3
5
El resultado simplificado de la expresión
a.
b.
3
60
15
6
216 ⋅ 58
180
180
= 30
es:
c.
15
3
2 ⋅ 54
d.
30
216 ⋅ 58
32
28 ⋅ 5 4
60 ⋅ 10 20
6
60 ⋅ 10 20
8
6010 ⋅ 203
(22 ⋅ 3 ⋅ 5)10 ⋅ (22 ⋅ 5)3 30 220 ⋅ 310 ⋅ 510 ⋅ 26 ⋅ 53
30
=
=
=
1805
(22 ⋅ 32 ⋅ 5)5
210 ⋅ 310 ⋅ 55
= 30 216 ⋅ 58 = 15 28 ⋅ 5 4
6
El valor de la expresión 4 3 17 280 − 5 3 33 750 es:
a. −513 10
c. 123 3 10
b. −27 3 10
d. −3 3 10
4 3 17 280 − 5 3 33 750 = 4 3 27 ⋅ 33 ⋅ 5 − 5 3 2 ⋅ 33 ⋅ 54 = 4 ⋅ 22 ⋅ 3 3 2 ⋅ 5 − 5 ⋅ 3 ⋅ 5 3 2 ⋅ 5 =
= 48 3 10 − 75 3 10 = −27 3 10
7
La expresión racionalizada de
a. −
b.
3+ 5
4
3− 5
7
3
3 − 15
es:
c. −
d.
3+ 5
2
3− 5
6
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
47
3
3 − 15
=−
8
=
3
⋅
3 + 15
3 − 15 3 + 15
=
(
3 ⋅ 3 + 15
3 − 15
2
) = −3
3 + 3 ⋅ 15
3 3 +3 5
=−
=
6
6
3+ 5
2
Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos, el resultado de
log 4 (32) es:
a. 2,5
b. 5
c. 2
d. 10
log4 (32) = log4 (25) = 5 · log4 (2) = 5 ·
1
= 2,5
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 2. Expresiones algebraicas.
Polinomios
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
Unidad 2. Expresiones algebraicas. Polinomios
SOLUCIONES PÁG. 47
1
Sean los polinomios A (x) = 2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7, B (x) = –5x3 + 3x2 + x – 4 y
C (x) = 3x4 – 2x3 + x – 1; realiza las siguientes operaciones y halla el grado
del polinomio resultante:
a. A (x) + B (x) = (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) + (–5x3 + 3x2 + x – 4) =
= 2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7 – 5x3 + 3x2 + x – 4 = 2x4 – x3 + 2x2 + 4x + 3
b. A (x) – B (x) = (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) – (–5x3 + 3x2 + x – 4) =
= 2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7 + 5x3 – 3x2 – x + 4 = 2x4 + 9x 3 – 4x2 + 2x + 11
c. C (x) – A (x) + B (x) = (3x4 – 2x3 + x – 1) – (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) +
+ (–5x3 + 3x2 + x – 4) = 3x4 – 2x3 + x – 1 – 2x4 – 4x3 + x2 – 3x – 7 – 5x3 + 3x2 + x – 4 =
= x4 – 11x3 + 4x2 – x – 12
d. A (x) · B (x) = (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) · (–5x3 + 3x2 + x – 4) =
= 2x4 · (–5x3 + 3x2 + x – 4) + 4x3 · (–5x3 + 3x2 + x – 4) – x2 · (–5x3 + 3x2 + x – 4) +
+ 3x · (–5x3 + 3x2 + x – 4) + 7 · (–5x3 + 3x2 + x – 4) = –10x7 + 6x6 + 2x5 – 8x4 –
– 20x6 + 12x5 +4x4 – 16x3 +5x5 – 3x4 – x3 + + 4x2 – 15x4 + 9x3 + 3x2 –12x – 35x3 +
+ 21x 2 +7x – 28 = –10x7 – 14x6 + 19x5 – 22x4 – 43x3 + 28x2 – 5x – 28
e. 2 · B (x) · C (x) = 2 · (–5x3 + 3x2 + x – 4) · (3x4 – 2x3 + x – 1) =
= (–10x3 + 6x2 + 2x – 8 ) · (3x4 – 2x3 + x – 1) = –10x3 · (3x4 – – 2x3 + x – 1) +
+ 6x2 · (3x4 – 2x3 + x – 1) + 2x · (3x4 – 2x3 + x – 1) – 8 · (3x4 – 2x3 + x – 1) =
= –30x7 + 20x6 – 10x4 +10x3 + 18x6 – 12x5 + 6x3 – 6x2 + 6x5 – 4x4 + 2x2 – 2x –
– 24x4 + 16x3 – 8x + 8 = –30x7 + 38x6 – 6x5 – 38x4 + 32x3 – 4x2 – 10x + 8
f. A (x) – B (x) · C (x) = (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) – [(–5x3 + 3x2 + x – 4) · (3x4 –
– 2x3 + x – 1)] = (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) – [(–5x3 + + 3x2 + x – 4) · (3x4 – 2x3 +
+ x – 1)] = (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) – [–5x3 · (3x4 – 2x3 + x – 1) + 3x2 · (3x4 –
– 2x3 + x – 1) + x · (3x4 – 2x3 + x – 1) – 4 · (3x4 – 2x3 + x – 1)] =
= (2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7) – [–15x7 + 10x6 – 5x4 +5x3 + 9x6 – 6x5 + 3x3 – 3x2 +
+ 3x5 – 2x4 + x2 – x – 12x4 + 8x3 – 4x + 4] = 2x 4 + 4x 3 – x2 + 3x + 7 – (–15x 7 +
+ 19x6 – 3x5 – 19x4 + 16x3 – 2x2 – 5x + 4) = 2x4 + 4x3 – x2 + 3x + 7 + 15x7 – 19x6 +
+ 3x5 + 19x4 –16x3 + 2x2 + 5x – 4 = 15x7 – 19x6 + 3x5 + 21x4 – 12x3 + + x2 + 8x + 3
2
Actividad resuelta.
3
Con los polinomios de la actividad resuelta anterior, comprueba que se
cumplen las propiedades conmutativa y asociativa para la multiplicación de
polinomios. ¿Se cumple la propiedad distributiva del producto respecto de
la suma?
•
Propiedad conmutativa y distributiva:
A (x) · B (x) = B (x) · A (x)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
A (x) · B (x) = (4x2 – 3x + 6) · (–5x2 + x) =
= 4x2 · (–5x2 + x) –3x · (–5x2 + x) + 6 · (–5x2 + x) =
= –20x4 + 4x3 +15x3 – 3x2 – 30x2 + 6x =
= –20x4 +19x3 – 33x2 + 6x
B (x) · A (x) = (–5x2 + x) · (4x2 – 3x + 6) =
= – 5x2 · (4x2 – 3x + 6) + x · (4x2 – 3x + 6) =
= –20x4 +15x3 – 30x2 + 4x3– 3x2 + 6x =
= –20x4 +19x3 – 33x2 + 6x
•
Propiedad asociativa y distributiva
A (x) · [B (x) · C (x)] = [A (x) · B (x)] · C (x)
A (x) · [B (x) · C (x)] = (4x2 – 3x + 6) · [(–5x2 + x) · (3x2 – 2)] =
= (4x2 – 3x + 6) · [–5x2 · (3x2 – 2) + x · (3x2 – 2)] =
= (4x2 – 3x + 6) · [–15x4 + 10x2 + 3x3 – 2x] =
= (4x2 – 3x + 6) · (–15x4 + 3x3 +10x2 – 2x) =
= 4x2 · (–15x4 + 3x3 + 10x2 – 2x) – 3x · (–15x4 + 3x3 + 10x2 –
– 2x) + 6 · (–15x4 + 3x3 + 10x2 – 2x) =
= – 60x6 + 12x5 + 40x4 – 8x3 + 45x5 – 9x4 – 30x3 + 6x2 –
– 90x4 + 18x3 + 60x2 – 12x = – 60x6+ 57x5 – 59x4 – 20x3 +
+ 66x2 –12x
[A (x) · B (x)] · C (x) = [(4x2 – 3x + 6) · (–5x2 + x)] · (3x2 – 2) =
= [4x2 · (–5x2 + x) – 3x · (–5x2 + x) + 6 · (–5x2 + x)] · (3x2 – 2) =
= (– 20x4 + 4x3 + 15x3 –3x2 – 30x2 + 6x) · (3x2 – 2) =
= (– 20x4 + 19x3 – 33x2 + 6x) · (3x2 – 2) =
= – 20x4 · (3x2 – 2) + 19x3 · (3x2 – 2) – 33x2 · (3x2 – 2) + 6x · (3x2 – 2) =
= – 60x6+ 40x4 + 57x5 – 38x3 – 99x4 + 66x2 + 18x3 – 12x =
= – 60x6 + 57x5 – 59x4 – 20x3 + 66x2 – 12x
Sí, se cumple la propiedad distributiva de la suma respecto del producto.
4
Efectúa las siguientes operaciones y reduce el resultado todo lo posible:
a. (3x3 + 5x2 – x) + (5x2 – 2x) – (7x3 – 3x) =
= 3x3 + 5x2 – x + 5x2 – 2x – 7x3 + 3x = – 4x3 + 10x2
b. (–4x2 + 1) · (3x + 2) + (10x3 + 8x2 – 3) =
= –4x2 · (3x + 2) + 1 · (3x + 2) + (10x3 + 8x2 – 3) =
= –12x3 – 8x2 + 3x + 2 + 10x3 + 8x2 – 3 = –2x3 + 3x – 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
c. (5x – 3) · (–x + 2) – (3x2 + 4x) · (x – 5) =
= 5x · (–x + 2) – 3 · (–x + 2) – [3x2· (x – 5) + 4x · (x – 5)]=
= –5x2 + 10x + 3x – 6 – (3x3 – 15x2 + 4x2 – 20x) =
= –5x2 + 10x + 3x – 6 – 3x3 + 15x2 – 4x2 + 20x =
= – 3x3+ 6x2 + 33x – 6
d. 4x2 · (2x3 – 6x2 – 3x) + 2x3 · (–x2 + 5x + 9) =
= 8x5 – 24x4 – 12x3 – 2x5 + 10x4 + 18x3 = 6x5 – 14x4 + 6x3
5
Calcula utilizando las identidades notables.
a. (x + 4)2 = x2 + 2 · 4 · x + 42 = x2 + 8x + 16
b. (5x2 – x)2 = (5x2)2 – 2 · 5x2 · x + x2 = 25x4 – 10x3 + x2
2
2
2
 4x 2 
 4 x 2 2x 
4x 2 2x  2x 
16 x 4 16 x 3 4 x 2
+
c. 
⋅
+
=
+
+
 =
 + 2⋅
3 
5
3  3 
25
15
9
 5
 5 
2
2
2
x 5 5
x 2 5 x 25
x 5
x
d.  −  =   − 2 ⋅ ⋅ +   =
−
+
3 2 2
9
3
4
3 2
3
e. (2x + 1) · (2x – 1) = (2x)2 – 12 = 4x2 – 1
2
4x
 2x
  2x
  2x 
− 32 =
+9
− 3 ⋅
+ 3 = 
f. 

25
 5
  5
  5 
6
2
Efectúa estas potencias:
a. (5x2 + 3x)3 = (5x2 + 3x)2 · (5x2 + 3x) = (25x4 + 30x3 + 9x2) · (5x2 + 3x) =
= 25x4 · (5x2 + 3x) + 30x3· (5x2 + 3x) + 9x2· (5x2 + 3x) =
= 125x6 + 75x5 + 150x5 + 90x4 + 45x4 + 27x3 =
= 125x6 + 225x5 + 135x4 + 27x3
b. (x2 – 2x + 3)2 = (x2 – 2x + 3) · (x2 – 2x + 3) =
= x2 · (x2 – 2x + 3) – 2x · (x2 – 2x + 3) + 3 · (x2 – 2x + 3) =
= x4 – 2x3 + 3x2 – 2x3 + 4x2 – 6x + 3x2 – 6x + 9 =
= x4 – 4x3 + 10x2 – 12x + 9
c. (3x4 + 5x2 – 1)3 = [(3x4 + 5x2 – 1) · (3x4 + 5x2 – 1)] · (3x4 + 5x2 – 1) =
= [3x4 · (3x4 + 5x2 – 1) + 5x2 · (3x4 + 5x2 – 1) – (3x4 + 5x2 – 1)] · · (3x4 + 5x2 – 1) =
= [9x8 + 15x6 – 3x4 + 15x6 + 25x4 – 5x2 – 3x4 – 5x2 + 1] · (3x4 + 5x2 – 1) =
= (9x8 + 30x6 – 19x4 – 10x2 + 1) · (3x4 + 5x2 – 1) = 9x8 · (3x4 + 5x2 – 1) + 30x6 ·
· (3x4 + 5x2 – 1) – 19x4 · (3x4 + 5x2 – 1) – 10x2 · (3x4 + 5x2 – 1)+ 3x4 + 5x2 – 1 =
= 27x12 + 45x10 – 9x8 + 90x10 + 150x8 – 30x6 + 57 x8 – 30x6 + 95x6 – 30x6 –19x4 –
– 50x4 + 3x4 + 10x2 + 5x2 –1 = 27x12 + 135x10 + 198x8 + 35x6 – 66x4 + 15x2 – 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
7
Opera y reduce al máximo las siguientes operaciones con polinomios:
a. (2x + 5)2 + (2x + 5) · (2x – 5) =
= [(2x)2 + 2 · 2x · 5 + 52] + (2x + 5) · (2x – 5) =
= 4x2 + 20x + 25 + 4x2 – 10x + 10x – 25 = 8x2 + 20x
b. (x + 1) · (x – 2)2 – (x – 2) · (x + 1)2 =
= (x + 1) · (x2 – 2 · x· 2 + 4) – (x – 2) · (x2 + 2x + 1) =
= (x + 1) · (x2 – 4x + 4) – (x – 2) · (x2 + 2x + 1) =
= (x3 – 4x2 + 4x + x2 – 4x + 4) – (x3 + 2x2 + x – 2x2 – 4x – 2) =
= x3 – 3x2 + 4 – x3 + 3x + 2 = – 3x2 + 3x + 6
c. (3x – 2) · (3x + 2) – 9 · (x – 4)2 =
= (3x)2 – 22 – 9 · (x2 – 8x + 16) = 9x2 – 4 – 9x2 + 72x – 144 = 72x – 148
8
Realiza las siguientes operaciones con polinomios y simplifica:
5
3 4 1 3 2 2
 1

x − x − x − 4x  +  x 4 − x 3 + x 2 − x  =
3
5
2
2
 2

a. 
=
3 4 1 3 2 2
1
5
17 3 3 2
x − x − x − 4x + x 4 − x 3 + x 2 − x = 2x 4 −
x + x − 5x
2
3
5
2
2
6
5
3 2
1
2
1
1 3 2 2 1
x + x − x +  −  x3 + x2 + x −  =
7
3
4 3
2
5
2
6
b. 
=
1 3 2 2 1
3 2
1
2
1
1
3 2 11
5
x + x − x + − x3 − x2 − x + = − x3 −
x −
x+
6
7
3
4 3
2
5
2
2
14
15
4
1 
1
1 2 2

x + x −  ⋅  x2 − x + 3 =
5
2 
2
3

c. 
1 2  2 1
1
1
 2 
 1 

x ⋅  x − x + 3  + x ⋅  x2 − x + 3 − ⋅  x2 − x + 3  =
3
2
2
2

 5 
 2 

1
1
2
2 2 6
1
1
3
x + x − x2 + x − =
= x4 − x3 + x2 + x3 −
3
6
5
10
5
2
4
2
1 4 7 3 3 2 29
3
= x +
x +
x +
x−
3
30
10
20
2
=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
9
Realiza estas operaciones y reduce el resultado:
a.
5 ⋅ ( x − 4) ( x + 1)2 2 x ⋅ (3 x − 1)
+
−
=
3
4
5
5 x − 20 x 2 + 2 x + 1 6 x 2 − 2 x
+
−
=
3
4
5
20 ⋅ (5 x − 20) + 15 ⋅ ( x 2 + 2 x + 1) − 12 ⋅ (6 x 2 − 2 x )
=
=
60
100 x − 400 + 15 x 2 + 30 x + 15 − 72 x 2 + 24 x ) −57 x 2 + 154 x − 5
=
=
=
60
60
19 2 77
77
x +
x−
=−
20
30
12
=
b.
( x 2 − 3) ⋅ ( x + 2) (3 x 2 − 1)2
−
=
12
4
x 3 + 2 x 2 − 3 x − 6 9 x 4 − 6 x 2 + 1 x 3 + 2 x 2 − 3 x − 6 − 27 x 4 + 18 x 2 − 3
−
=
=
12
4
12
−27 x 4 + x 3 + 20 x 2 − 3 x − 9
9
1 3 5 2 1
3
=
= − x4 +
x + x − x−
12
4
12
3
4
4
=
c.
4 x − 2 7 x 2 ⋅ ( x − 3) (2 x + 5) ⋅ (3 x 2 − 1)
⋅
−
=
3
6
15
4 x − 2 ) ⋅ 7 x 2 ⋅ ( x − 3) 6 x 3 − 2 x + 15 x 2 − 5
(
=
−
=
18
7 x ⋅ 4 x − 14 x + 6
2
(
2
) − 6x
15
+ 15 x 2 − 2x − 5
=
18
15
28 x 4 − 98 x 3 + 42 x 2 6 x 3 + 15 x 2 − 2 x − 5
=
−
=
18
15
14 4 49 3 7 2 2 3
2
1
x −
x + x − x − x2 +
x+ =
=
9
9
3
5
15
3
14 4 263 3 4 2 2
1
=
x −
x + x +
x+
9
45
3
15
3
=
d.
3
3x 2 − 5 x
+ ( x − 4) ⋅ ( x + 4) =
2
=
3x 2 − 5x
3 x 2 − 5 x 2 x 2 − 32 5 x 2 − 5 x − 32 5 2 5
+ x 2 − 42 =
+
=
= x − x − 16
2
2
2
2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
10 Halla la expresión algebraica del lado y del área de un rombo cuyas
diagonales miden (2x + 3) y (2x – 3).
Se halla el lado del rombo mediante el teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
D2 + d 2
D d 
D d 
l2 =   +   ⇒ l =   +   =
4
 2 2
 2 2
l=
=
(2 x + 3)2 + ( 2 x – 3 )
2
4
=
4 x 2 + 12 x + 9 + 4 x 2 − 12 x + 9
=
4
8 x + 18
9
= 2x 2 +
4
2
2
Se halla el área del rombo: A =
( 2x + 3 ) ⋅ ( 2x – 3 ) = 4 x 2 − 9 = 2x 2 − 9
D ⋅d
⇒A=
2
2
2
2
11 Con una cartulina rectangular de 40 cm × 50 cm se quiere construir una caja
sin tapa recortando cuatro cuadrados iguales en cada una de las esquinas.
Escribe la expresión algebraica de la superficie de la caja en función del lado
del cuadrado.
Se calcula el área de la caja restando al área
total las esquinas que se van a recortar:
A (x) = 40 · 50 – 4 · (x · x) = –4x2 + 2 000
12 Busca información sobre el triángulo de Tartaglia. ¿Qué relación tiene con
las potencias (a + b)n? Utilízalo para calcular las cinco primeras potencias de
(x + 2). ¿Con qué otro nombre es también conocido?
El triángulo de Tartaglia es una representación de los coeficientes de las
potencias del polinomio (a + b)n desde n = 0. En cada nivel del triángulo se
presentan dichos coeficientes ordenados de forma que cada coeficiente en el
triángulo es la suma de los dos que están situados inmediatamente encima de él.
La relación del triángulo de Tartaglia con los coeficientes de las potencias de un
polinomio es la siguiente:
(a + b)n = an + an–1b + an–2b2 + …+ bn
Para calcular (x + 2)5 usaremos los coeficientes 1, 5, 10, 10, 5, 1:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
(x + 2)5 = x5 + x4 · 2 + x3 · 22 + x2· 23 + x· 24 + 25 = x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
SOLUCIONES PÁG. 49
13 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:
a. (10x3 – x2 – 23x + 5) : (5x – 3)
10 x 3 – x 2 – 23 x + 5 5 x – 3
−10 x 3 + 6 x 2
2x 2 − x − 4
0 + 5 x 2 − 23 x + 5
− 5x 2 + 3x
0 − 20 x + 5
+ 20 x − 12
−7
b. (–3x4 + 11x3 – 25x2 + 17x – 7) : (x2 – 3x + 6)
–3 x 4 + 11x 3 – 25 x 2 + 17 x – 7 x 2 – 3 x + 6
+3 x 4 − 9 x 3 + 18 x 2
0 + 2x 3
− 3 x 2 + 2x − 1
− 7 x 2 + 17 x − 7
− 2x 3
+ 6 x 2 − 12 x
0
− x 2 + 5x − 7
+ x 2 − 3x + 6
2x − 1
c. (8x5 – 22x3 – 4x2 + 15x + 6) : (2x2 – 3)
8 x 5 – 22x 3 – 4 x 2 + 15 x + 6 2 x 2 – 3
−8 x 5 + 12 x 3
4x 3 − 5x − 2
0 − 10 x 3 – 4 x 2 + 15 x + 6
+ 10 x 3
0
− 15 x
+
6
4x 2 −
6
– 4x
2
0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
d. (–6x4 + 27x3 – 11x2 + 2x – 3) : (–2x2 + x)
–6 x 4 + 27 x 3 – 11x 2 + 2 x – 3 –2 x 2 + x
+6 x 4 − 3 x 3
3 x 2 − 12 x −
1
2
0 + 24 x 3 – 11x 2 + 2 x – 3
− 24 x 3 + 12 x 2
0
+ x 2 + 2x – 3
1
− x2 + x
2
5
0+ x −3
2
14 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:
a. (5x4 – 2x3 + x2 – 3x – 4) : (x – 2)
5 –2 1
–3 –4
10 16 34 62
5 8
17 31 58
4
3
2
(5x – 2x + x – 3x – 4) : (x – 2) = 5x3 + 8x2 +17x + 31; r (x) = 58
+2
b. (3x3 – 7x2 – 5) : (x – 1)
3 –7 0
–5
3
–4 –4
3 –4 –4 –9
3
(3x – 7x2 – 5) : (x – 1) = 3x2 – 4x – 4; r (x) = –9
1
c. (–4x5 + 2x3 + x – 6) : (x + 3)
–3
–4 0
+2
0
1
–6
12 –36 102 –306 915
–4 12 –34 102 –305 909
(–4x5 + 2x3 + x – 6) : (x + 3) = –4x4 + 12x3 – 34x2 +102x – 305; r (x) = 909
d. (x5 – 3x4 + x2 + 1) : (x – 4)
1 –3 0 1
0
+1
4
4
4 16 68 272
1 1
4 17 68 273
(x5 – 3x4 + x2 + 1) : (x – 4) = x4 + x3 + 4x2 + 17x + 68; r (x) = 273
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
SOLUCIONES PÁG. 51
15 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios en los valores
indicados:
a. P (x) = 4x2 – 3x + 5 para x = 4
P (4) = 4 · 42 – 3 · 4 + 5 = 57
b. P (x) = 5x3 + 2x2 – 1 para x = –1
P (–1) = 5 · (–1)3 + 2 · (–1)2 – 1 = –4
c. P (x) = –x4 + 5x2 + 7 para x = –2
P (–2) = – (–2)4 + 5 · (–2)2 + 7 = 11
16 Calcula para los siguientes valores, el valor numérico del polinomio:
A (x) = 2x4 – x3 + 5x2 – 2x + 1
a. x = –4
A (–4) = 2 · (–4)4 – (–4)3 + 5 · (–4)2 – 2 · (–4) + 1 = 665
b. x = −
1
2
4
3
2
1
7
 1
 1
 1
 1
A −  = 2 ⋅−  – −  + 5 ⋅−  + 2⋅ + 1=
2
2
2
2
2
2








c. x = –2
A (–2) = 2 · (–2)4 – (–2)3 + 5 · (–2)2 – 2 · (–2) + 1 = 65
d. x = −
2
3
4
3
 2
 2  2
 2
A −  = 2⋅−  – −  + 5⋅− 
 3
 3  3
 3
16 8 20 4
425
= 2⋅
+
+
+ + 1=
81 27 9 3
81
2
 2
− 2 ⋅ −  + 1=
 3
e. x = 0
A (0) = 2 · (0)4 – (0)3 + 5 · (0)2 – 2 · (0) + 1 = 1
f. x =
5
3
4
3
2
5
5 5
5
5
A   = 2⋅  –   + 5⋅  − 2⋅  + 1=
3
3 3
3
3
625 125 125 10
1811
= 2⋅
−
+
−
+1=
81
27
9
3
81
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
g. x = 3
A (3) = 2 · (3)4 – (3)3 + 5 · (3)2 – 2 · (3) + 1 = 175
h. x =
1
4
4
3
 1
 1  1
 1
A   = 2⋅  –   + 5 ⋅ 
4
4 4
4
1
1
5 2
103
= 2⋅
−
+
− +1=
256 64 16 4
128
2
 1
− 2⋅  + 1=
4
17 El valor numérico de un polinomio, P (x), en x = 3 es 5, y el cociente de su
división entre (x – 3) es 5x2 – 2x + 1. Averigua de qué polinomio se trata.
Según el teorema del resto, r (a) = P (a), luego si P (3) = 5 ⟹ r (x) = 5, es
decir, P (x) = (x – 3) · c (x) + 5 = (x – 3) · (5x2 – 2x + 1) + 5 ⟹
P (x) = 5x3 – 2x2 + x – 15x2 + 6x – 3 + 5 = 5x3 – 17x2 + 7x + 2
18 Halla el resto de las siguientes divisiones, aplicando el teorema del resto:
Si se aplica el teorema del resto, se observa que el resto es igual al valor
numérico del polinomio.
a. (3x4 – 5x2 – x + 1) : (x + 4)
P (–4) = 3 · (–4)4 – 5 · (–4)2 – (–4) + 1 = 693
b. (–3x5 + 2x3 – 11x) : (x + 3)
P (–3) = –3 · (–3)5 + 2 · (–3)3 – 11 · (–3) = 708
c. (x3 + 2x2 – 8) : (x – 5)
P (5) = 53 + 2 · 52 – 8 = 167
1

d. ( 6 x 2 – 5 x – 4 ) :  x − 
2

2
6 5
 1
 1
 1
P   = 6 ⋅   – 5 ⋅   − 4 = − − 4 = −5
4 2
2
2
2
19 Aplica el teorema del resto para hallar P (–6), P (–1) y P (2) para los
siguientes polinomios:
a. P (x) = –x3 – 3x2 + 4x
P (–6) = – (–6)3 – 3 · (–6)2 + 4· (–6) = 84
P (–1) = – (–1)3 – 3 · (–1)2 + 4· (–1) = –6
P (2) = – (2)3 – 3 · (2)2 + 4· (2) = –12
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
b. P (x) = x2 – 3x + 9
P (x) = x2 – 3x + 9
P (–6) = (–6)2 – 3 · (–6) + 9 = 63
P (–1) = (–1)2 – 3 · (–1) + 9 = 13
P (2) = (2)2 – 3 · (2) + 9 = 7
c. P (x ) =
1 3
2
5
x – x2 + x −
6
3
2
1
2
5
5
137
P ( − 6) = (−6)3 – (−6)2 + (−6) − = −36 − 24 − 6 − = −
6
3
2
2
2
1
2
5
1 2
5
13
P ( − 1) = (−1)3 – (−1)2 + (−1) − = − − − 1 − = −
6
3
2
6 3
2
3
1
2
5 8 8
5
11
P (2) = (2)3 – ⋅ (2)2 + (2) − = − + 2 − = −
6
3
2 6 3
2
6
20 Calcula el resto de la división, utilizando la regla de Ruffini y el teorema del
resto, y comprueba que obtienes el mismo resultado.
(–2x4 + 4x3 – 6x2 – 5x + 3) : (x – 2)
•
Mediante la regla de Ruffini:
2
–6 –5
3
–2 4
–4 0
–12 –34
–2 0
–6 –17 –31
(–2x4 + 4x3 – 6x2 – 5x + 3) : (x – 2) = –2x3 – 6x – 17; r (x) = –31
•
Mediante el teorema del resto:
P (2) = –2 · (2)4 + 4 · (2)3 – 6 · (2)2 – 5 · (2) + 3 = –31; r (x) = –31
21 Calcula el resto de las operaciones sin efectuar la división.
a. (x6 – 2x5 + 3x4 – 5x3 + 4x2) : (x + 1)
P (–1) = (–1)6 – 2 · (–1)5 + 3 · (–1)4 – 5 · (–1)3 + 4 · (–1)2 = 15
1
1  
2
3
x+
b.  x 3 −
:x + 
5
10
15
5

 
3
1  2 1
24
2
1
128
 2 3  2
P −  = ⋅−  –
⋅−  +
=−
+
+
=
5
5
5
10
5
15
625
50
15
1875






c. (5x2 – 2x + 1) : (x – 5)
P (5) = 5 · (5)2 – 2 · 5 + 1 = 116
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
22 Halla el resto de la división (x100 – 1) : (x + 1) por el método más adecuado.
Se aplica el teorema del resto: P (–1) = (–1)100 – 1 = 0
23 Determina el valor que tiene que tener m para que la división (–3x3 – 10x2 + 6x + m)
: : (x + 4) sea exacta.
Se aplica el teorema del resto, de modo que sea cero:
P (–4) = –3 · (–4)3 – 10 · (–4)2 + 6 · (–4) + m = 0 ⟹ 192 –160 – 24 + m = 0 ⟹ m = –8
24 Actividad resuelta.
25 Encuentra el valor de a y b para que el polinomio P (x) = x3 + 2x2 + ax + b
cumpla que P (–1) = 8 y P (3) = 40.
P (–1) = (–1)3 + 2 · (–1)2 + a · (–1) + b = 8 ⟹ –a + b = 7
P (3) = (3)3 + 2 · (3)2 + a · (3) + b = 40 ⟹ 3a + b = –5
Se resuelve el sistema de ecuaciones:
–a + b = 7  a − b = – 7

⇒

3a + b = – 5  3a + b = – 5 
4a = −12 ⇒ a = −3;b = 4
26 ¿Existe algún valor de m entero para el que el resto de la división (–2x3 + mx2
– – 4x + 1) : (x – 3) sea 4?
Se aplica el teorema del resto:
P (3) = 4 ⟹ –2 · (3)3 + m · (3)2 – 4 · (3) + 1 = 4
⟹ –54 + 9m – 12 + 1 = 4 ⟹ 9m = –69 ⟹ m =
69 23
=
9
3
El valor de m no es entero, luego no existe tal valor.
27 Formad grupos y calculad el valor numérico para x = 0, 1, 2, …, 10, del
polinomio de Shaw-Basho:
1
⋅ ( 42 x 5 − 305 x 4 + 1 100 x 3 − 895 x 2 + 1 018 x + 480 )
120
Restad a cada resultado el anterior y repetid este proceso seis veces. ¿Qué
números se obtienen? ¿Qué números se obtendrán si se repite de nuevo el
proceso?
Para x = 0:
1
⋅ ( 0 + 480) = 4
120
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
Para x = 1:
1
⋅ ( 42 − 305 + 1 100 − 895 + 1 018 + 480 ) = 12
120
Para x = 2:
1
⋅ 42 ⋅ 25 − 305 ⋅ 2 4 + 1 100 ⋅ 23 − 89 5 ⋅ 22 + 1 018 ⋅ 2 + 480 = 35
120
Para x = 3:
1
⋅ 42 ⋅ 35 − 305 ⋅ 3 4 + 1 100 ⋅ 3 3 − 89 5 ⋅ 3 2 + 1 018 ⋅ 3 + 480 = 89
120
Para x = 4:
1
⋅ 42 ⋅ 45 − 305 ⋅ 4 4 + 1 100 ⋅ 43 − 895 ⋅ 4 2 + 1 018 ⋅ 4 + 480 = 2 13
12 0
Para x = 5:
1
⋅ 42 ⋅ 55 − 305 ⋅ 5 4 + 1 100 ⋅ 53 − 895 ⋅ 5 2 + 1 018 ⋅ 5 + 480 = 511
120
Para x = 6:
1
⋅ 42 ⋅ 65 − 305 ⋅ 6 4 + 1 100 ⋅ 63 − 895 ⋅ 6 2 + 1 018 ⋅ 6 + 480 = 1194
120
Para x = 7:
1
⋅ 42 ⋅ 7 5 − 305 ⋅ 7 4 + 1 100 ⋅ 7 3 − 895 ⋅ 7 2 + 1 018 ⋅ 7 + 480 = 2622
120
Para x = 8:
1
⋅ 42 ⋅ 8 5 − 305 ⋅ 8 4 + 1 100 ⋅ 8 3 − 895 ⋅ 8 2 + 1 018 ⋅ 8 + 480 = 5346
120
Para x = 9:
1
⋅ 42 ⋅ 95 − 305 ⋅ 9 4 + 1 100 ⋅ 9 3 − 895 ⋅ 9 2 + 1 018 ⋅ 9 + 480 = 10150
120
Para x = 10:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
⋅ 42 ⋅ 10 5 − 305 ⋅ 10 4 + 1 100 ⋅ 103 − 895 ⋅ 10 2 + 1 018 ⋅ 10 + 480 = 18093
120
Es decir, la serie de valores numéricos es:
4, 12, 35, 89, 213, 511, 1 194, 2 622, 5 346, 10 150, 18 093
Paso 1: 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1 194, 2 622, 5 346, 10 150, 18 093
Paso 2: 8, 23, 54, 124, 298, 683, 1 428, 2 724, 4 084, 7 943
Paso 3: 15, 31, 70, 174, 385, 745, 1 296, 2 080, 3 139
Paso 4: 16, 39, 104, 211, 360, 551, 784, 1 059
Paso 5: 23, 65, 107, 149, 191, 233, 275
Paso 6: 42, 42, 42, 42, 42, 42
Paso 7: 0, 0, 0, 0, 0
Si se repite el proceso, siempre se van a obtener secuencias de ceros, es decir, la
serie se anula.
Una anécdota: este polinomio se ha utilizado en algunas series de televisión,
como parte de la trama, entre las más destacadas, la serie Perdidos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
28 Halla la expresión algebraica del área y del volumen de un prisma
cuadrangular cuya arista básica mide x cm y que tiene por altura (x + 5) cm.
Si x = 4 cm, ¿cuál es el valor del área y el volumen del prisma?
El área del prisma cuadrangular es:
A = Abases + Alateral
A (x) = 2x2 + 4x · (x + 5) = 2x2 + 4x2 + 20x = 6x2 + 20x
A (4) = 6· 42 + 20 · 4 = 176 cm2
El volumen del prisma cuadrangular es:
V = Abase · h
V (x) = x2 · (x + 5) = x3 + 5x2
V (4) = 43 + 5 · 42 = 144 cm3
29 Un móvil lleva un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado que tiene
1
por ecuación e (t ) = t 2 + 3t + 9
4
a. ¿Qué espacio habrá recorrido al cabo de 10 s?
e (10) =
1
⋅ 102 + 3 ⋅ 10 + 9 = 64 m
4
b. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 289 m?
1 2
1
t + 3t + 9 ⇒ t 2 + 3t − 280 = 0
4
4
1
−3 ± 32 + 4 ⋅ ⋅ 280
−3 ± 17
4
t=
=
= −6 ± 34
1
1
2⋅
4
2
298 =
De las dos soluciones posibles se toma t = 28 s
SOLUCIONES PÁG. 53
30 Indica cuál de los números –4, –2, 5 y 6, no puede ser raíz del polinomio P (x)
= = 3x4 – 5x3 + 2x – 12.
Para que un número entero, a, distinto de cero, sea raíz de un polinomio con
coeficientes enteros y con término independiente distinto de cero, es necesario
que sea un divisor de su término independiente.
Por ese motivo 5 no puede ser raíz del polinomio, al no ser divisor de –12.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
31 Comprueba si los números –3, 0, 1 y
2
son raíces del polinomio A (x) = 5x3 +
5
+ 8x2 – 19x + 6.
A (–3) =5 · (–3)3 + 8 · (–3)2 –19 · (–3) + 6 = –135 + 72 + 57 + 6 = 0
A (0) =5 · (0)3 + 8 · (0)2 –19 · (0) + 6 = 6
A (1) =5 · (1)3 + 8 · (1)2 –19 · (1) + 6 = 5 + 8 – 19 + 6 = 0
3
2
8
32 38
2
2
2
2
A   = 5·   + 8 ·   – 19·   + 6 =
+
−
+6 = 0
25 25 5
5
5
5
5
Son raíces –3, 1 y
2
5
32 ¿Cuántas raíces tiene el polinomio A (x) = 3x3 + 4x2 – 9x – 10? ¿Son todas
enteras? Halla todas sus raíces enteras.
•
Según el teorema fundamental del álgebra un polinomio de grado n tiene
exactamente n raíces:
Como el polinomio A (x) es de grado 3, debe tener 3 raíces reales.
•
Las raíces enteras del polinomio tienen que ser divisores de su término
independiente, luego las raíces enteras del polinomio A (x) deben ser divisores
de –10. Las raíces posibles son, entonces D ( –10 ) = {±1, ± 2, ± 5} . Se aplica el
teorema del resto para ver cuál de estas posibles raíces lo son realmente:
3 4 –9 –10
1
3
7
–2
3 7 –2 –12 P (1) = –12
Luego x = 1 no es raíz de A (x)
3
–1
4 –9
–10
–3 –1
10
3 1
–10
0 P (–1) = 0
Luego x = –1 es raíz de A (x)
3 4
–9
–10
6
20
–22
3 10 –11 –32 P (2) = –32
2
Luego x = 2 no es raíz de A (x)
3
–2
4 –9 –10
–6 4
10
3 –2 –5
0 P (0) = 16
Luego x = –2 es raíz de A (x)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
3
4 –9 –10
15 95 430
3 19 86 420 P (5) = 430
5
Luego x = 5 no es raíz de A (x)
3
–5
4 –9
–10
–15 55 –230
3 –11 46 –240 P (5) = –240
Luego x = –5 no es raíz de A (x)
Es decir, las raíces enteras de A (x) = 3x3 + 4x2 – 9x – 10 son x = –1 y x = –2
33 Determina las raíces enteras de los siguientes polinomios:
Las raíces enteras del polinomio tienen que ser divisores de su término
independiente:
a. A (x) = x2 + 4x + 3
A (x) = x2 + 4x + 3 tiene como posibles raíces enteras D ( 3 ) = {±1, ± 3} .
A (1) = 12 + 4 · (1) + 3 = 8 ⟹ x = 1 no es raíz de A (x)
A (–1) = (–1)2 + 4 · (–1) + 3 = 0 ⟹ x = –1 es raíz de A (x)
A (3) = 32 + 4 · (3) + 3 = 24 ⟹ x = 3 no es raíz de A (x)
A (–3) = (–3)2 + 4 · (–3) + 3 = 0 ⟹ x = –3 es raíz de A (x)
b. B (x) = x3 – x2 – 9x + 9
B (x) = x3 – x2 – 9x + 9 tiene como posibles raíces enteras D ( 9 ) = {±1, ± 3, ±9} .
B (1) = 13 – (1)2 – 9 · (1) + 9 = 0 ⟹ x = 1 es raíz de B (x)
B (–1) = (–1)3 – (–1)2 – 9 · (–1) + 9 = 16 ⟹ x = –1 no es raíz de B (x)
B (3) = 33 – (3)2 – 9 · (3) + 9 = 0 ⟹ x = 3 es raíz de B (x)
B (–3) = (–3)3 – (–3)2 – 9 · (–3) + 9 = 0 ⟹ x = –3 es raíz de B (x)
B (9) = (9)3 – (9)2 – 9 · (9) + 9 = 576 ⟹ x = 9 no es raíz de B (x)
B (–9) = (–9)3 – (–9)2 – 9 · (–9) + 9 = –720 ⟹ x = –9 no es raíz de B (x)
c. C (x) = 2x3 – x2 – 8x + 4
C (x) = 2x3 – x2 – 8x + 4 tiene como posibles raíces enteras D ( 4 ) = {±1, ± 2, ±4} .
C (1) = 2 · (1)3 – (1)2 – 8 · (1) + 4 = –3 ⟹ x = 1 no es raíz de C (x)
C (–1) = 2 · (–1)3 – (–1)2 – 8 · (–1) + 4 = 9 ⟹ x = –1 no es raíz de C (x)
C (2) = 2 · (2)3 – (2)2 – 8 · (2) + 4 = 0 ⟹ x = 2 es raíz de C (x)
C (2) = 2 · (–2)3 – (–2)2 – 8 · (–2) + 4 = 0 ⟹ x = –2 es raíz de C (x)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
C (4) = 2 · (4)3 – (4)2 – 8 · (4) + 4 = 84 ⟹ x = 4 no es raíz de C (x)
C (–4) = 2 · (–4)3 – (–4)2 – 8 · (–4) + 4 = –108 ⟹ x = –4 no es raíz de C (x)
d. D (x) = 4x3 + 8x2 – x – 2
D (x) = 4x3 + 8x2 – x – 2 tiene como posibles raíces enteras D ( 4 ) = {±1, ± 2} .
D (1) = 4 · (1)3 + 8 · (1)2 – (1) – 2 = 9 ⟹ x = 1 no es raíz de D (x)
D (–1) = 4 · (–1)3 + 8 · (–1)2 – (–1) – 2 = 3 ⟹ x = –1 no es raíz de D (x)
D (2) = 4 · (2)3 + 8 · (2)2 – (2) – 2 = 60 ⟹ x = 2 no es raíz de D (x)
D (–2) = 4 · (–2)3 + 8 · (–2)2 – (–2) – 2 = 0 ⟹ x = –2 es raíz de D (x)
34 Obtén un polinomio, P (x), de grado 3 que tenga como raíces:
Según el teorema del factor, un polinomio A (x) se puede expresar como el
producto de sus factores. El polinomio de grado 3 es el producto de los tres
factores del polinomio.
a. x = 1 y x = –1
(x – 1) · (x + 1) · P (x) = (x2 – 1) · P (x), donde P(x) es un polinomio de grado 1.
b. x = –4 y x = 0
(x + 4) · (x) · Q (x) = (x2 + 4x) · Q (x), siendo Q (x) un polinomio de grado 1.
c. x = –5, x = –3 y x = 5
(x + 5) · (x + 3) · (x – 5) = (x2 – 25) · (x + 3) = x3 + 3x2 – 25x – 75
d. x = 0, x = 1 y x = 2
x · (x – 1) · (x – 2) = x3 – 3x2 + 2x
35 Averigua si los siguientes binomios son factores del polinomio P (x) = x4 – x3 –
– 16x2 + 4x + 48:
P(x) tiene como factor (x – a) si x = a es una raíz del polinomio P (x).
a. x + 3
Si el factor es x + 3, la raíz es x = –3 ⟹
P (–3) = (–3)4 – (–3)3 –16 · (–3)2 + 4 · (–3) + 48 = 81 + 27 – 144 –12 + 48 = 0
x + 3 es un factor de P (x).
b. x + 2
Si el factor es x + 2, la raíz es x = –2 ⟹
P (–2) = (–2)4 – (–2)3 –16 · (–2)2 + 4 · (–2) + 48 = 16 + 8 – 64 – 8 + 48 = 0
x + 2 es un factor de P (x).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
c. x + 4
Si el factor es x + 4, la raíz es x = –4 ⟹
P (–4) = (–4)4 – (–4)3 –16 · (–4)2 + 4 · (–4) + 48 = 256 + 64 – 64 – 16 + 48 = 288
x + 4 no es un factor de P (x).
d. x – 4
Si el factor es x – 4, la raíz es x = 4 ⟹
P(4) = 44 – 43 –16 · 42 + 4 · 4 + 48 = 256 – 64 – 256 + 16 + 48 = 0
x – 4 es un factor de P (x).
36 Halla el valor de k en los siguientes casos:
a. x + 2 es factor de A (x) = x3 – 7x + k
Se aplica Ruffini al polinomio:
1
–2
1
0
–2
–2
–7
4
–3
k
6
k+6
Luego k + 6 = 0 ⟹ k = – 6
b. x = 6 es una raíz de C (x) = x3 + kx2 – 6x
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio:
1
6
1
k
6
k+6
–6
6k + 36
6k + 30
Luego 6k + 30 = 0 ⟹ k = – 5
37 Di cuáles son las raíces de los polinomios representados a continuación:
a.
Las raíces de un polinomio son los valores de las abscisas de los puntos de
corte con el eje X de la función y = P (x). Así, la raíz es x = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
b.
Las raíces de un polinomio son los valores de las abscisas de los puntos de
corte con el eje X de la función y = P (x). Como corta por dos puntos al eje de
abscisas, tiene dos raíces: x = –1; x = 3
SOLUCIONES PÁG. 55
38 Factoriza los siguientes polinomios, indicando sus raíces reales:
a. x3 + 6x2 + 11x + 6
1
–1
1
1
–2
1
6
–1
5
5
–2
3
11
–5
6
6
–6
0
6
–6
0
Los factores son:
(x + 1) · (x + 2) · (x + 3) ⟹ raíces: x = –1; x = –3, x = –2
b. x3 – 13x + 12
1
1
1
3
1
0
1
1
3
4
–13
1
–12
12
0
12
–12
0
Los factores son:
(x – 1) · (x – 3) · (x + 4) ⟹ raíces: x = 1, x = 3, x = –4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
c. x3 – 5x2 + x – 5
1
5
1
–5
5
0
1
0
1
–5
5
0
Los factores son:
(x – 5) · (x2 + 1) ⟹ raíz: x = 5
d. x4 – 5x3 + 6x2
1
2
1
–5
2
–3
6
–6
0
Los factores son:
x2 · (x – 2) · (x – 3) ⟹ raíces: x = 0, x = 2, x = 3
e. x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
1
1
1
1
1
–2
1
2 –3 –4 4
1 3
0 –4
3 0 –4 0
1
4 4
4
4 0
–2 –4
2
0
Los factores son:
(x –1)2 · (x + 2)2 ⟹ raíces: x = 1, x = –2
f. 2x3 – 5x2 – 8x + 20
2 –5
2
4
–8
–2 –20
2 –1 –10
–2
20
–4
10
2 –5
0
0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
Los factores son:
(x + 2) · (x –2) · (2x – 5) = (x + 2) · (x –2) · (x – 5/2) ⟹ raíces: x = 2, x = –2,
5
2
x=
g. x3 – 3x2 + 3x – 1
1
1
1
1
1
–3
1
–2
1
–1
3
–2
1
–1
0
–1
1
0
Los factores son:
(x – 1) · (x – 1) · (x – 1) = (x – 1)3 ⟹ raíces: x = 1
h. x3 – 4x – 15
1
3
1
0
3
3
–4
9
5
–15
15
0
Los factores son:
(x – 3) · (x2 + 3x + 5) ⟹ raíces reales: x = 3
i. 6x3 – 13x2 + 4x + 3
6
1
6
–13
6
–7
4
–7
–3
3
–3
0
(x – 1) · (6x2 – 7x –3)
Se calculan las raíces del polinomio de grado 2:
7 ± 7 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 3 7 ± 11
3
1
=
⇒ x1 = ; x 2 = −
2⋅6
12
2
3

3 
1
3
1
Los factores son: ( x − 1) ⋅  x −  ⋅  x +  (x –1) ⟹ raíces: x = 1, x = , x = −
2 
3
2
3

j. 3x4 – 7x3 – 18x2 – 8x
3x4 – 7x3 – 18x2 – 8x = x · (3x3 – 7x2 – 18x – 8)
3
–1
3
–7
–3
–10
–18
10
–8
–8
8
0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
3
4
3
–10
12
2
–8
8
0
Los factores son:
( x + 1) · ( x – 4 ) · ( 3 x + 2 ) = ( x + 1) · ( x – 4 ) ·
raíces: x = –1, x = 4, x = −
2

x +  ⟹
3

2
3
39 Se dispone de una tela rectangular cuyas dimensiones son (x2 + 4) · (x2 + x – 6) cm.
Se desea cortar en cuadraditos de (x – 2) cm sin que sobre tela. ¿Se puede
saber si esto es posible sin necesidad de cortar la tela previamente?
Justifica tu respuesta.
Para que sea posible, (x + 2) debería ser un divisor común de los polinomios (x2 + 4) y
(x2 + x – 6), pero:
1
2
1
0
2
2
4
4
8
(x2 + 4) no es divisible entre (x – 2), luego no es posible.
40 Teniendo en cuenta las identidades notables, descompón en factores los
siguientes polinomios:
a. 9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2
(
)(
b. x2 – 7 = x + 7 ⋅ x − 7
)
1
3
9 1
3
c. x 2 − x + =  x − 
4
2
4 2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
41 Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de estos polinomios:
a. P (x) = x2 · (x + 1)2 y Q (x) = x3 · (x + 1)
Los polinomios están factorizados, luego se calculan directamente el m.c.m y el
m.c.d.:
m.c.m. [P (x), Q (x)] = x3 · (x + 1)2
m.c.d. [P (x), Q (x)] = x2 · (x + 1)
b. P (x) = x3 + 6x2 + 9x y Q (x) = x3 + 4x2 + 3x
Se factorizan los polinomios:
P (x) = x3 + 6x2 + 9x = x · (x2 + 6x + 9) = x · (x + 3) · (x + 3) = x · (x + 3)2
Q (x) = x3 + 4x2 + 3x = x · (x2 + 4x + 3) = x · (x + 3) · (x + 1)
Se calculan el m.c.m. y el m.c.d.:
m.c.m. [P (x), Q (x)] = x · (x + 3)2 · (x + 1)
m.c.d. [P (x), Q (x)] = x · (x + 3)
c. P (x) = x3 + 2x2 – 7x + 4 y Q (x) = x3 – 6x2 + 9x – 4
Se factorizan los polinomios:
P (x) = x3 + 2x2 – 7x + 4 = (x – 1)2 · (x + 4)
Q (x) = x3 – 6x2 + 9x – 4 = (x – 1)2 · (x – 4)
Se calculan el m.c.m. y el m.c.d.:
m.c.m. [P (x), Q (x)] = (x – 1)2 · (x + 4) · (x – 4)
m.c.d. [P (x), Q (x)] = (x – 1)2
42 Descompón los siguientes polinomios realizando una doble extracción de
factor común:
a. xz + xt – yz – yt = x · (z + t) – y · (z + t) = (x – y) · (z + t)
b. xy + 2x – 3y – 6 = x · (y + 2) – 3 · (y + 2) = (x – 3) · (y – 2)
c. x2 + 2xy – xz – 2yz = x · (x – z) – 2xy – 2yz = x · (x – z) – 2y · (x – z) =
= (x – z) · (x –2y)
2
d. 3x – xy – 12x + 4y = x · (3x – y) – 4 · (3x – y) = (3x – y) · (x – 4)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
SOLUCIONES PÁG. 57
43 Comprueba si los pares de fracciones son equivalentes:
x +2
( x + 2)
y 2
x −1
x + x −2
2
a.
Sí son equivalentes:
(
)
( x + 2 ) ⋅ x 2 + x − 2 = ( x − 1) ⋅ ( x + 2 )2

2
( x + 2 ) ⇒  x 3 + x 2 − 2x + 2x 2 + 2x − 4 = ( x − 1) ⋅ x 2 + 4 x + 4
x+2
= 2

x −1 x + x − 2
x3 + 3x 2 − 4 = x 3 + 4x 2 + 4x − x 2 − 4x − 4

 x 3 + 3 x 2 − 4 = x 3 + 3 x 2 − 4
b.
(
)
3
x +1
y 2
x −5
x − 5x
No son equivalentes:
(
)
3 ⋅ x 2 − 5 x = ( x − 5 ) ⋅ ( x + 1)

3
x +1

= 2
⇒ 3 x 2 − 15 x = x 2 + 1 − 5 x − 5
x − 5 x − 5x
 2
2
3 x − 15 x ≠ x − 5 x − 4
c.
2x + 1
x2
y
2x 2 + 3 x
x −1
3
No son equivalentes:
(
) (
)
 x 2 ⋅ 2 x 2 + 3 x = x 3 − 1 ⋅ ( 2x + 1)
x2
2x + 1
=
⇒
x 3 − 1 2x 2 + 3x
2x 4 + 3 x 3 ≠ 2x 4 + x 3 − 2 x − 1
d.
x +1
x2 + 5x + 4
y 2
x +4
x + 8 x + 16
Sí son equivalentes:
(
)
(
)
( x + 1) ⋅ x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4 ) ⋅ x 2 + 5 x + 4

x + 1 x + 5x + 4

= 2
⇒  x 3 + 8 x 2 + 16 x + x 2 + 8 x + 16 = x 3 + 5 x 2 + 4 x + 4 x 2 + 20 x + 16
x + 4 x + 8 x + 16
 3
2
3
2
 x + 9 x + 24 x + 16 = x + 9 x + 24 x + 16
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
44 Halla el polinomio P (x) para que las fracciones propuestas sean
equivalentes.
a.
P( x )
x +3
=
x − 4x + 4 x − 2
2
(
)
P ( x ) ⋅ ( x − 2 ) = x 2 − 4 x + 4 ⋅ ( x + 3 )

P ( x ) ⋅ ( x − 2 ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x 2 − 12x + 4 x + 12
x + 3)
(
P( x )

=
⇒
2
P ( x ) ⋅ ( x − 2 ) = x 3 − x 2 − 8 x + 12
x −2
x − 4x + 4


x 3 − x 2 − 8 x + 12
= x2 + x − 6
P ( x ) =
x −2

b.
7x2
x3 + 4x2
=
2
x + 5x + 4 P (x )
P

P

7x 2
x3 + 4x 2

=
⇒
2
x + 5x + 4 P (x )
P


P

(
(x) ⋅ ( x
) (
) = 7x
)
(x ) ⋅ x3 + 4x2 = x2 + 5x + 4 ⋅ 7x2
3
+ 4x2
4
+ 35 x 3 + 28 x 2
7 x 4 + 35 x 3 + 28 x 2 x 2 7 x 2 + 35 x + 28
= 2⋅
x+4
x3 + 4x 2
x
2
7 x + 35 x + 28
(x) =
= 7x + 7
x+4
(x) =
45 Encuentra una fracción algebraica equivalente a
2x + 1
que tenga:
5x2
a. Como numerador un polinomio de grado 3.
Respuesta abierta. Por ejemplo, se multiplica por x2 al mumerador y al
denominador:
2 x + 1 x 2 2x 3 + x 2
2x + 1 2 x 3 + x 2
·
=
⇒
=
⇒
5x 2 x2
5x 4
5x 2
5x 4
⇒ (2 x + 1)·5 x 4 = (2 x 3 + x 2 )·5 x 2 ⇒ 10 x 5 + 5 x 4 = 10 x 5 + 5 x 4
b. Como denominador un polinomio de grado 5.
Respuesta abierta. Por ejemplo, se multiplica por x3 al numerador y al
denominador:
2x + 1 x 3 2x 4 + x 3
2x + 1 2x 4 + x 3
·
=
⇒
=
⇒
5x 2 x3
5x5
5x 2
5x5
⇒ (2 x + 1)·5 x 5 = (2 x 4 + x 3 )·5 x 2 ⇒ 10 x 6 + 5 x 5 = 10 x 6 + 5 x 5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
46 Calcula
el
valor
numérico
de
las
fracciones
algebraicas
3x 2
x −4
y
6x 3 − 9x 2
para x = –2. A partir del resultado obtenido, ¿podrías asegurar
2 x 3 − 11x + 12
que las fracciones son equivalentes?
3 ⋅ ( −2 )
3x 2
12
para x = –2 es
=−
= −2
x−4
−2 − 4
6
2
6 ⋅ ( −2 ) − 9 ⋅ ( −2 )
84
14
6x3 − 9x 2
=−
=−
para x = –2 es
3
3
18
3
2 x − 11x + 12
2 ⋅ ( −2 ) − 11⋅ ( −2 ) + 12
3
2
Según su definición, estas fracciones no son equivalentes, ya que no toman el
mismo valor en x = –2.
47 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a.
b.
( x − 2) ⋅ ( x − 3) x − 2
=
2
x −3
( x − 3)
5 ⋅ ( x + 1)
( x + 1)
3
4
= 5 ⋅ ( x + 1)
( x − 4)
( x + 4) ⋅ ( x − 4)
c.
=
2
x
x ⋅ ( x + 4)
2
2
2 x 4 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 5 )
4
d.
2 x 3 ⋅ ( x − 5 ) ⋅ ( x − 1)
3
=
2
x ⋅ ( x − 1)
( x − 5)
3
2
48 Descompón estas fracciones algebraicas aplicando las identidades notables
y simplifica:
a.
( x + 5) ⋅ ( x − 5)
x 2 − 25
=
= x −5
x +5
x+5
b.
( x + 1)2
x +1
x 2 + 2x + 1
=
=
x2 − 1
( x + 1) ⋅ ( x − 1) x − 1
( x − 3) = x − 3
x 2 − 6x + 9
c.
=
x ⋅ ( x − 3)
x ⋅ ( x − 3)
x
2
d.
( x − 3) ⋅ ( x − 2)
( x − 3) ⋅ ( x − 2) ( x − 3) ⋅ ( x − 2)
x −3
=
=
=
3
2
2
2
x − 4x + 4x
x ⋅ ( x − 2)
x ⋅ x − 4x + 4
x ⋅ ( x − 2)
(
)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
e.
1
x 2 ⋅ ( x − 2)
x −2
2x 2 − 4 x
= ⋅
=
=
2
4 x − 8x
x 2 ⋅ ( 2 x − 4 ) 2 ⋅ ( x − 2) 2
f.
1
x2 − 4
x2 − 4
=
= 2
4
2
2
x − 16
x +4
x +4 ⋅ x −4
(
)(
)
49 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
( x + 1) = 1
x 2 + 2x + 1
=
a. 3
2
3
x + 3x + 3x + 1
( x + 1) x + 1
2
(
(
)
)
(
(
)
)
( x − 2) ⋅ x 2 + x + 6 ( x − 2) ⋅ x 2 + x + 6
x 3 − x 2 − 8 x + 12
b. 3
=
=
=
x + 4 x 2 − 3 x − 18
( x + 3) ⋅ x 2 + x − 6 ( x + 3) ⋅ x2 + x − 6
( x − 2) ⋅ ( x + 3) = x − 2
=
( x + 3) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 2) x + 3
2
c.
x 3 − x 2 + x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x 2 + 1)
=
= x2 + 1
x −1
x −1
d.
( x − 3 ) ⋅ ( 2x − 6 ) =
x 2 2 x 2 − 12 x + 18
2 x 4 − 12 x 3 + 18 x 2
=
⋅ 2
= x⋅
3
2
3 x − 18 x + 27 x
x 3 x − 18 x + 27
( x − 3) ⋅ (3x − 9)
=
2 ( x − 3) ⋅ ( x − 3) 2
x⋅
= x
3 ( x − 3) ⋅ ( x − 3) 3
e.
x 2 x 2 + 8 x + 16 x ⋅ ( x + 4 ) ⋅ ( x − 4 ) x ⋅ ( x − 4 )
x 4 + 8 x 3 + 16 x 2
=
⋅
=
=
x 3 − x 2 − 20 x
x x 2 − x − 20
x −5
( x − 5) ⋅ ( x + 4)
f.
1 ( x − 5 ) ⋅ ( x + 1) 1 ( x + 5 ) ⋅ ( x − 1)
x2 + 4x − 5
= ⋅
= ⋅
3
2
x − 4 x − 5 x x ( x − 5 ) ⋅ ( x + 1) x ( x − 5 ) ⋅ ( x + 1)
La fracción es irreductible.
(
)
( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ x 2 + 4 x 2 + 4
x 4 + 3x 2 − 4
g. 3
=
=
x − 2x 2 − x + 2
( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1) x − 2
x 3 ⋅ ( x − 2)
x4 x − 2
x 5 − 2x 4
h.
=
⋅
=
x3 − x
x x 2 − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
50 Si
P (x )
R (x )
y
son dos fracciones algebraicas equivalentes, demuestra
Q (x )
S (x )
que las fracciones
P (x )
P (x) + R (x)
son también equivalentes. ¿Qué
y
Q (x )
Q (x ) + S (x )
condición se debe cumplir para que las fracciones
P (x )
P (x ) ⋅ R (x )
sean
y
Q (x ) Q (x ) ⋅ S (x )
equivalentes?
Deberían cumplir la propiedad de los productos cruzados:
P(x) · [Q(x) + S(x)] = Q(x) · [P(x) + R(x)]
Luego:
P(x) · Q(x) + P(x) · S(x) = Q(x) · P(x) + Q(x) · R(x)
Eliminando P(x) · Q(x) de los dos miembros de la igualdad:
P(x) · S(x) = Q(x) · R(x)
Y esta igualdad es cierta, pues las fracciones
P (x) R (x)
=
son equivalentes.
Q (x) S (x)
SOLUCIONES PÁG. 59
51 Reduce a común denominador estas fracciones:
a.
4x
x +2
y
2
x −3
( x − 3)
m.c.m. ( x − 3), ( x − 3)2  = ( x − 3)2
4 x ⋅ ( x − 3 ) 4 x 2 − 12 x
4x
=
= 2
2
x −3
x − 6x + 9
( x − 3)
x+2
( x − 3)
b.
2
=
x+2
x − 6x + 9
2
x −5
2
y 3
2
x + 2x
x + 3x 2
m.c.m. ( x 2 + 2x ), ( x 3 + 3 x 2 ) = m.c.m.  x ⋅ ( x + 2), x 2 ( x + 3) =
= x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 3)
x −5
x −5
x x − 5 ( x + 3) x ⋅ ( x − 5 ) ⋅ ( x + 3 )
=
= 2⋅
⋅
=
2
x + 2x x ⋅ ( x + 2) x ( x + 2) ( x + 3) x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 3)
2
1
2
2 ⋅ ( x + 2)
=
⋅
=
x 3 + 3x 2 x 2 x + 3 x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 3)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
c.
5
−x + 4
y 2
x +1
x − 2x − 3
m.c.m. ( x + 1), ( x 2 − 2 x − 3) = m.c.m. ( x + 1) , ( x + 1) ⋅ ( x − 3 )  = ( x + 1) ⋅ ( x − 3)
−x + 4 −x + 4 x − 3 ( −x + 4) ⋅ ( x − 3)
=
⋅
=
x +1
x +1 x − 3
( x + 1) ⋅ ( x − 3)
5
5
=
2
x − 2 x − 3 ( x + 1) ⋅ ( x − 3)
d.
4x + 1
3
y 2
2
x − 3x
x + 3x + 2
m.c.m. ( x 2 − 3x ), ( x 2 + 3 x + 2) = m.c.m.  x ⋅ ( x − 3 ) , ( x + 1) ⋅ ( x + 2)  =
= x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
( 4x + 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
4x + 1
=
2
x − 3x x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
3 ⋅ x ⋅ ( x − 3)
3
3
=
=
x + 3 x + 2 ( x + 1) ⋅ ( x + 2) x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
2
52 Realiza las siguientes sumas y restas:
a.
( x + 1)
=
b.
(
2x
2
)
2
3 x − 4 2 x + ( 3 x − 4 ) ⋅ ( x + 1) 2 x + 3 x + 3 x − 4 x − 4
=
=
=
+
2
2
x +1
( x + 1)
( x + 1)
3x 2 + x − 4
( x + 1)
2
=
3x 2 + x − 4
x 2 + 2x + 1
x +1
3x
− 2
x − 5 x x − 25
2
x +1
3x
1 x +1
3x
− 2
= ⋅
−
x − 5 x x − 25 x x − 5 ( x − 5 ) ⋅ ( x + 5 )
2
m.c.m. ( x ⋅ ( x − 5)) , ( x − 5 ) ⋅ ( x + 5 )  = x ⋅ ( x − 5 ) ⋅ ( x + 5 )
( x + 1) ⋅ ( x + 5) − 3 x ⋅ x x 2 + 5 x + x + 5 − 3 x 2
x +1
3x
−
=
=
=
x 2 − 5 x x 2 − 25
x ⋅ ( x − 5) ⋅ ( x + 5)
x ⋅ ( x − 5) ⋅ ( x + 5)
=
−2 x 2 + 6 x + 5
x 3 − 25 x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
c.
5 − 2x
7
− 2
3
x
x −x
5 − 2x
7
1  5 − 2x
7 
− 2
= ⋅
−
3
2
x − 1 
x
x −x x  x
( )
m.c.m.  x 2 , ( x − 1)  = x 2 ⋅ ( x − 1)


(
)
2
2 
2

1  5 − 2x
7  1  ( 5 − 2x ) ⋅ ( x − 1) − 7 x  1  5 x − 5 − 2x + 2 x − 7 x 
⋅
−
= ⋅
=
= ⋅



x  x 2
x − 1  x 
x 2 ⋅ ( x − 1)
x 2 ⋅ ( x − 1)
 x 

=
d.
−9 x 2 + 7 x − 5
x4 − x3
x − 2 4x + 1 3 − 5x
−
+
x
x2
x3
m.c.m.  x, x 2 , x 3  = x 3
( x − 2) ⋅ x 2 − ( 4x + 1) ⋅ x + ( 3 − 5x ) ( x 3 − 2x 2 ) − ( 4x 2 + x ) + ( 3 − 5x )
=
x3
x 3 − 2x 2 − 4 x 2 − x + 3 − 5 x x 3 − 6 x 2 − 6 x + 3
=
x3
x3
e.
x3
=
6x
5
3− x
+ 2
−
x +2 x −4 x −2
m.c.m.  x + 2, x 2 − 4, x − 2 = m.c.m.  x + 2, ( x + 2) ⋅ ( x − 2 ) , x − 2 = ( x + 2) ⋅ ( x − 2)
6x
5
3 − x 6 x ⋅ ( x − 2) + 5 − ( 3 − x ) ⋅ ( x + 2 )
+ 2
−
=
=
x +2 x −4 x −2
( x + 2) ⋅ ( x − 2)
=
=
(
6 x 2 − 12x + 5 − 3 x + 6 − x 2 − 2x
( x + 2) ⋅ ( x − 2)
) = 6x
2
+ x 2 − 12x + 2x − 3 x + 5 − 6
=
( x + 2) ⋅ ( x − 2)
7 x − 13 x − 1 7x 2 − 13x − 1
=
x2 − 4
( x + 2) ⋅ ( x − 2)
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
53 Efectúa estas multiplicaciones y divisiones.
a.
−3 x ⋅ ( 5 x − 10 ) −3 ⋅ 5 ⋅ ( x − 2 ) −15
−3 x 5 x − 10
⋅
=
=
=
2
x −2
x
x ⋅ ( x − 2)
x
x 2 ⋅ ( x − 2) ⋅
b.
( x − 4) ⋅ ( x − 3) : x − 4 = ( x − 4) ⋅ ( x − 3) ⋅ x + 1 =
x 2 − 7 x + 12 x − 4
=
:
2
x − 3x
x +1
x ⋅ ( x − 3)
x +1
x ⋅ ( x − 3)
x−4
=
c.
( x − 4 ) ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1) = x + 1
x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 4)
x
x ⋅ ( x − 4 ) ⋅ 2x
x 2 − 4 x 2x
x
x
:
:
⋅
=
=
2
x + 3 x − 4 ( x + 3)
( x + 3 ) ⋅ ( x − 4 ) ( x + 3 )2
2x 2 ⋅ ( x + 3 )
2x 2 ( x + 3 )
=
⋅
=
= 2x ⋅ ( x + 3 ) = 2 x 2 + 6 x
x
x
( x + 3)
2
d.
=
=
x +1
4
2x 2 + 2x
x + 1 x + 5 2x 2 + 2x
:
:
=
⋅
:
=
x 2 + 25 x + 5
x −5
x −5
4
x 2 − 25
( x + 1) ⋅ ( x + 5 ) ⋅ ( x − 5 ) = ( x + 5 ) ⋅ ( x − 5 ) =
x +1 x + 5
x −5
⋅
⋅ 2
= 2
4
x − 25
2x + 2x
x − 25 ⋅ 4 ⋅ 2 x ⋅ ( x + 1)
x 2 − 25 ⋅ 8 x
(
2
(x
(x
2
2
− 25
)
)
− 25 ⋅ 8 x
=
)
(
)
1
8x
54 Opera y simplifica todo lo posible.
a.
x +1
x −2
5x
( x − 2) ⋅ 5x
x +1
x +1
5
+
⋅ 2
=
+
=
+
2
x − 2x
x
x − 4 x + 4 x ⋅ ( x − 2 ) x ⋅ ( x − 2)
x ⋅ ( x − 2) ( x − 2)
2
m.c.m.[ x, x − 2] = x ⋅ ( x − 2 ) ⇒
( x + 1) + 5 x 6 x + 1
x +1
5
+
=
= 2
x ⋅ ( x − 2) ( x − 2)
x ⋅ ( x − 2)
x − 2x
x + 3 x −1 
x
x + 3  x − 1 x − ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1) x − 1
 x
=
−
=
⋅
=
−
b.  2
⋅
⋅
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
x
 x −1 x +1 x
 ( x + 1) ⋅ ( x − 1) x + 1  x
=
x − ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1)
( x + 1) ⋅ x
=
x − ( x 2 − x + 3x − 3)
( x + 1) ⋅ x
=
x − x 2 + x − 3x + 3 −x 2 − 3x + 3
=
x2 + x
x2 + x
x + 2   9x
−4 x 2 + ( x + 2) ⋅ ( x − 5) 9 x − 3 x ⋅ ( x − 5 )
 −4

:
3
x
=
:
=
+
−
c. 
 

x2   x − 5
x −5
( x − 5) ⋅ x2
 x −5

=
( x − 5)
−4 x 2 + x 2 − 5 x + 2 x − 10
−3 x 2 − 3 x − 10
1
⋅
=
⋅
=
2
2
9
x
−
3
x
⋅
x
−
5
9
x
−
3
x
⋅ ( x − 5)
x
−
5
⋅
x
x
(
)
(
)
−3 x 2 − 3 x − 10
−3 x 2 − 3 x − 10 3 x 2 + 3 x + 10
=
=
9 x 3 − 3 x 4 + 15 x 3
−3 x 4 + 24 x 3
3 x 4 − 24 x 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
 2x + 1 x − 4 3 + x  x + 2
−
+
d. 
:
3
x2
x  x3
 x
m.c.m.  x 3 , x 2 , x  = x 3
2
 2 x + 1 x − 4 3 + x  x + 2 ( 2 x + 1) − ( x − 4 ) ⋅ x + ( 3 + x ) x x + 2
−
+
:
=
: 3 =
 3
x  x 3
x2
x3
x
 x
2
3
( 2x + 1) − ( x − 4 ) ⋅ x + ( 3 + x ) ⋅ x ⋅ x = ( 2x + 1) − ( x − 4 ) ⋅ x + ( 3 + x ) ⋅ x 2 =
x3
x +2
x+2
2
2
3
3
2
2x + 1 − x + 4 x + 3 x + x
x + 2x + 6 x + 1
=
x +2
x+2
2
5x  ( x + 3)  x3

 x +3  x
5x
: 2− 2
e. 
+
−
 +
 =
=
2
x
x
x
x
x
2
4
4
−
−
4x

 

 2 x − 8 x ⋅ ( x − 4) 
2
=
( x + 3)
2
2
4x 2
+
1
x3
5
⋅
−
=
2 ( x − 4 ) ( x − 4)
m.c.m. 4 x 2 ,2 ⋅ ( x − 4 ) , x − 4 = 4 ⋅ x 2 ⋅ ( x − 4)
( x + 3)
4x2
=
(x
2
2
( x + 3 ) ⋅ ( x − 4) + x 3 ⋅ 2x 2 − 5 ⋅ 4x 2
x3
5
−
=
=
2x − 8 ( x − 4)
4 x 2 ⋅ ( x − 4)
2
+
)
+ 6 x + 9 ⋅ ( x − 4 ) + 2x 5 − 20 x 2
4 x 3 − 16 x 2
2x 5 + x 3 − 18 x 2 − 15 x − 36
=
4 x 3 − 16 x 2
=
x 3 − 4 x 2 + 6 x 2 − 24 x + 9 x − 36 + 2x 5 − 20 x 2
4 x 3 − 16 x 2
SOLUCIONES PÁG. 61
1
¿Cumple la suma de polinomios las propiedades conmutativa y asociativa?
Justifica tu respuesta con un ejemplo.
Sí, cumple las dos propiedades.
Si dos polinomios, A (x) = x – 2 y B (x) = x2 + 2 se suman, resulta:
A (x) + B (x) = x – 2 + x2 + 2 = x2 + x + 4
B (x) + A (x) = x2 + 2 + x – 2 = x2 + x + 4
Se cumple la propiedad conmutativa.
Si C (x) = –x2 – 2 y se realizan estas operaciones:
A (x) + [B (x) + C (x)] = x – 2 + [x2 + 2 – x2 – 2] = x – 2 + [0] = x – 2
[A (x) + B (x)] + C (x) = [x – 2 + x2 + 2] – x2 – 2 =
= x – 2 + x2 + 2 – x2 – 2 = x – 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
2
Demuestra con un ejemplo que la multiplicación de polinomios cumple la
propiedad distributiva respecto de la suma de polinomios.
Sí, la cumple. Ver actividad 3 de la página 47.
3
En una división, ¿cómo ha de ser el divisor para que se pueda aplicar la
regla de Ruffini?
Debe ser un binomio de la forma (x – a) o (x + a)
4
Si el resto de la división de un polinomio entre x – 2 es 7, ¿cuál es el valor
numérico del polinomio para x = 2? ¿Existe algún teorema que justifique
esto?
P (2) = 7. El teorema del resto, según el cual el resto de la división del polinomio P (x)
entre un binomio de la forma (x – a) es el valor numérico de dicho polinomio para
el valor x = a, es decir, r = P (a).
5
Sin hacer ningún cálculo, ¿podrías decir si x = 0 es raíz de un polinomio sin
término independiente? Justifica tu respuesta.
Sí lo es, pues se puede sacar factor común a x, luego: x = (x – 0) es un factor y 0
una raíz.
6
¿Cuántas raíces puede tener un polinomio de grado 4? ¿Son todas enteras?
Puede tener 4 raíces. No todas tienen por qué ser enteras, depende del polinomio.
7
¿Qué condición debe cumplir un número, a, para ser una raíz de un
polinomio?
Debe ser divisor del término independiente.
8
Según el teorema del factor, ¿cuál es la relación entre las raíces y los
factores de un polinomio?
Si x = a es raíz de un polinomio, entonces x – a es un factor, y viceversa.
9
¿En qué consiste la factorización de polinomios?
Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo en producto de polinomios
(factores) irreducibles.
10 ¿Cuándo es irreducible un polinomio? Escribe un polinomio de grado 2 que
sea irreducible.
Un polinomio es irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al
suyo. Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
11 Describe el procedimiento para hallar el m.c.m. y el m.c.d. de varios
polinomios.
Para calcular el m.c.m. y el m.c.d. de los polinomios P (x) y Q (x), se factorizan los
dos polinomios.
Para hallarlos:
• m.c.m. [P (x), Q (x)]: se toman los factores comunes y no comunes elevados al
mayor exponente.
• m.c.d. [P (x), Q (x)]: se toman los factores comunes elevados al menor exponente.
12 Define el concepto de fracción algebraica.
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios
P (x)
Q( x )
13 ¿Cuándo son equivalentes dos fracciones?
Dos fracciones son equivalentes si toman el mismo valor numérico para cualquier
valor de sus variables que no anule el denominador.
14 ¿En qué consiste la simplificación de fracciones algebraicas? Describe el
proceso que se sigue para simplificar una fracción.
Simplificación: si dividimos el numerador y el denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica obtenida es
equivalente a ella. Para simplificar una fracción algebraica se siguen estos pasos:
• Se factorizan el numerador y el denominador.
• Se eliminan todos los factores comunes.
15 Define fracción inversa de una fracción algebraica.
La inversa de la fracción,
P (x)
Q (x)
, es la fracción,
, es decir, la fracción que
Q( x )
P( x )
resulta de intercambiar el numerador y el denominador de la fracción.
16 Prepara una presentación digital para tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Gloster…
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
SOLUCIONES PÁG. 62 – REPASO FINAL
SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
1
Realiza las operaciones propuestas con los siguientes polinomios.
Comprueba tus resultados con Wiris.
A (x) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1
B (x) = 6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5
C (x) = –4x4 + 3x2 + 5x – 2
a. A (x) + B (x) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 + 6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5 =
= 8x4 – 3x3 – x2 + 8x + 6
b. A (x) – B (x) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – (6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5) =
= 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – 6x4 + 4x3 – 2x2 – 7x – 5 = –4x4 + 5x3 – 5x2 – 6x – 4
c. A (x) + C (x) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – 4x4 + 3x2 + 5x – 2 = –2x4 + x3 + 6x – 1
d. C (x) – A (x) = – 4x4 + 3x2 + 5x – 2 – (2x4 + x3 – 3x2 + x + 1) = –4x4 + 3x2 + 5x –
– 2 – 2x4 – x3 + 3x2 – x – 1= –6x4 – x3 + 6x2 + 4x – 3
e. A (x) + B (x) + C (x) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 + 6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5 – 4x4 +
+ 3x2 + 5x – 2 = 4x4 – 3x3 + 2x2 + 13x + 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
f. C (x) – B (x) + A (x) = – 4x4 + 3x2 + 5x – 2 – (6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5) +
+ 2x4 + x3 – 3x2 + x – 1= –2x4 + x3 + 6x + 1 – 6x4 + 4x3 – 2x2 – 7x – 5 =
= –8x4 + 5x3 – 2x2 – x – 6
g. A (x) – B (x) – C (x) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – (6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5) – (– 4x4
+ 3x2 + 5x – 2) = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – 6x4 + 4x3 – 2x2 – 7x – 5 + 4x4 – 3x2 –
– 5x + 2 = 5x3 – 8x2 – 11x – 2
h. A (x) – [B (x) + C (x)] = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – [6x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 5 – 4x4 +
+ 3x2 + 5x – 2] = 2x4 + x3 – 3x2 + x + 1 – [2x4 – 4x3 + 5x2 + 12x + 3] =
= 5x3 – 8x2 – 11x – 2
2
Efectúa las siguientes operaciones y reduce el resultado todo lo posible:
a. (4x2 + 3x) + (2x2 – x) – (7x2 + 2x) = 6x2 + 2x – 7x2 – 2x = –x2
b. (–x3 + 8) + (3x – 3) + (–3x3 + x2 – 4x – 1) = –x3 + 8 + 3x – 3 – 3x3 + x2 – 4x – 1 =
= –4x3 + x2 – x + 4
c. (5x – 3x2) – (2x – 1) – (–3x2 + 6) + (x + 3) = 5x – 3x2 – 2x + 1 + 3x2 – 6 + x + 3 =
= 4x – 2
d. –2x5 + (3x4 – x2 + 2x) + 4x3 + (–x5 + 5x4 + 3x) = –2x5 + 3x4 – x2 + 2x + 4x3 + –x5 +
+ 5x4 + 3x = –3x5 + 8x4 + 4x3 – x2 + 5x
3
Sean los polinomios A (x) = x2 + 2x + 3, B (x) = –2x3 + 4x – 1 y C (x) = 4x2 – 5;
calcula y comprueba con Wiris los resultados de las operaciones
propuestas.
a. A (x) · B (x) = (x2 + 2x + 3) · (–2x3 + 4x – 1) = –2x5 + 4x3 – x2 – 4x4 + 8x2 – 2x –
– 6x3 + 12x – 3 = –2x5 – 4x4 – 2x3 + 7x2 + 10x – 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
38
b. B (x) · C (x) = (–2x3 + 4x – 1) · (4x2 – 5) = –8x5 + 10x3 + 16x3 – 20x – 4x2 + 5 =
= –8x5 + 26x3 – 4x2 – 20x + 5
c. A (x) · C (x) = (x2 + 2x + 3) · (4x2 – 5) = 4x4 – 5x2 + 8x3 – 10x + 12x2 – 15 =
= 4x4 + 8x3 + 7x2 – 10x – 15
d. –3 · A (x) · C (x)2 = –3 · (x2 + 2x + 3) · (4x2 – 5)2 = – (3x2 + 6x + 9) · (16x4 –40x2 +
+ 25) = – (48x6 – 120x4 + 75x2 + 96x5 – 240x3 + 150x + 144x4 – 360x2 + 225) =
= –(48x6 + 96x5 + 24x4 – 240x3 – 285x2 + 150x + 225) = –48x6 – 96x5 – 24x4 +
+ 240x3 + 285x2 – 150x – 225
e. [A (x) – C (x)]2 = [(x2 + 2x + 3) – (4x2 – 5)]2 = [x2 + 2x + 3 – 4x2 + 5)]2 =
= [–3x2 + 2x + 8]2 = (–3x2 + 2x + 8) · (–3x2 + 2x + 8) = 9x4 – 6x3 – 24x2 – 6x3 +
+ 4x2 + 16x – 24x2 + 16x + 64 = 9x4 – 12x3 – 44x2 + 32x + 64
f. A (x) · B (x)2 + C (x) = (x2 + 2x + 3) · (–2x3 + 4x – 1)2 + 4x2 – 5 =
= (x2 + 2x + 3) · (–2x3 + 4x – 1) · (–2x3 + 4x – 1) + 4x2 – 5 =
= (x2 + 2x + 3) · (4x6 – 8x4 + 2x3 – 8x4 + 16x2 – 4x + 2x3 – 4x + 1) + 4x2 – 5 =
= (x2 + 2x + 3) · (4x6 – 16x4 – 4x3 + 16x2 – 8x + 1) + 4x2 – 5 =
= 4x8 +8x7 +12x6 –16x6 – 32x5 – 48x4 + 4x5 +8x4 +12x3 +16x4 +32x3 +48x2 –8x3 –
– 16x2 –24x +x2 +2x +3 + 4x2 – 5 = 4x8 + 8x7 – 4x6 – 28x5 – 24x4 + 36x3 + 37x2 –
– 22x – 2
4
Halla las siguientes identidades notables:
a. (x – 3)2 = x2 – 6x + 9
b. (x3 + 4x) · (x3 – 4x) = x6 – 16x2
2
x2
x
x 2 12
x

+ 2 ⋅ ⋅ 6 + 36 =
+
x + 36
c.  + 6  =
25
5
25 5
5

d. (4x2 + 5)2 = 16x4 + 40x2 + 25
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39
2

 3x 2 x 
9x 4
3x 2 x x 2 9x 4 3x3 x 2 1  9x 4
− 2⋅
⋅ +
=
−
+
= ⋅
− 3x3 + x 2 
e. 
−  =
4
2
16
4 2 4
16
4
4 4  4



x2 1
 x 1  x 1
f.  −  ⋅  +  =
−
4 9
 2 3  2 3
5
Efectúa las siguientes potencias:
a. (x + 2)3
Se puede calcular directamente con los coeficientes del triángulo de Tartaglia o
bien practicando el cuadrado de un polinomio y luego multiplicando de nuevo
por el mismo polinomio.
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 3 · 22· x+ 23 = x3 + 6x2 + 12 x+ 8
b. (3x2 – 5x – 1)2 = (3x2 – 5x – 1) · (3x2 – 5x – 1) = 9x4 – 15x3 – 3x2 – 15x3 + 25x2 +
+ 5x – 3x2 + 5x + 1 = 9x4 – 30x3 + 19x2 + 10x + 1
c. (x2 + x + 4)3 = (x2 + x + 4) · (x2 + x + 4) · (x2 + x + 4) =
= (x4 + x3 + 4x2 + x3 +x2 + 4x + 4x2 + 4x + 16) · (x2 + x + 4) =
= (x4 + 2x3 + 9x2 + 8x + 16) · (x2 + x + 4) =
= x6 + x5 + 4x4 + 2x5 + 2x4 + 8x3 + 9x4 + 9x3 + 36x2 + 8x3 + 8x2 + 32x + 16x2 + 16x +
+ 64 = x6 + 3x5 + 15x4 + 25x3 + 60x2 + 48x + 64
6
Realiza y simplifica estas operaciones:
a. (x – 4) · (x + 4) – (x – 4)2 = x2 – 16 – x2 – (8x + 16) = 8x – 32
b. (4x + 3)2 – 4 · (x – 2)2 + 3x2 = 16x2 + 24x + 9 – 4 · (x2 – 4x + 4) + 3x2 =
= 19x2 + 24x + 9 – 4x2 + 16x – 16 = 15x2 + 40x – 7
c. (5 + 2x)2 + (2x – 5)2 + 2 · (2x + 5) · (2x – 5) = 25 + 20x + 4x2 + 4x2 – 20x + 25 +
+ 8x2 – 50 = 16x2
d. (x – 1)3 – (x – 1)2 · (x + 1) = x3 – 3x2 + 3x – 1 – (x2 –1) · (x – 1) =
= x3 – 3x2 + 3x – 1 – (x3 – x2 – x + 1) = x3 – 3x2 + 3x – 1 – x3 + x2 + x – 1 =
= – 2 x2 + 4 x – 2
7
Calcula y simplifica.
a. (x + 4) · (x2 – 3x) + (3x4 – 2x2 + 5x) = x3 – 3x2 + 4x2 – 12x + 3x4 – 2x2 + 5x = 3x4 +
+ x3 – x2 – 7 x
b. (3x – 2)2 – 5 · (4x2 + x – 2) = 9x2 –12x + 4 – 20x2 – 5x + 10 = –11x2 – 17x + 14
c. (x2 + 1) · (x – 2) + 2x3 · (7x – 3) = x3 – 2x2 + x – 2 + 14x4 – 6x3 = 14x4 – 5x3 –
– 2x2 +x – 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
40
d. (x2 – x – 6) · (x – 3) – x · (x – 2) = x3 – 3x2 – x2 + 3x – 6x + 18 – x2 + 2x =
= x3 – 5x2 – x + 18
8
Opera y reduce al máximo. Comprueba los resultados con Wiris.
1
7
1
7

 
a.  5 x 3 − x 2 + 2 x + 4  +  − x 3 + x 2 − 6 x −  = 4 x 3 + 2x 2 − 4 x −
3
3
2
2

 

5
3 5
3
7
9 
1
3
29
33
1
x+
b.  x 3 − x +  −  x 3 + x 2 + x −  = − x 3 − x 2 −
3
2
4
6
4
3
10
2
4
6
20

 

2 
2
8
2


c.  −4 x 2 + x −  ⋅  5 x 2 − x + 1 = −20 x 4 + x 3 − 4 x 2 + 5 x 3 − x 2 + x − 2 x 2 +
5 
3
3
3


+
4
2
23 3 20 2 19
2
x − = −20 x 4 +
x −
x +
x−
15
5
3
3
15
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
41
9
Se dispone de un cubo de (x + 2) cm de arista.
a. Expresa mediante un polinomio el área de una cara y el área total del
cubo.
Acara (x) = (x + 2) · (x + 2) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
Atotal (x) = 6 · Acara (x) = 6 · (x2 + 4x + 4) = 6x2 + 24x + 24
b. Expresa mediante un polinomio el volumen del cubo.
V (x) = Acara (base) (x) · h = (x2 + 4x + 4) · (x + 2) = x3 + 6x2 + 12x + 8
c. Si se introduce dentro de él otro cubo sólido de x cm de arista, ¿cuál será
el volumen del cubo grande que queda vacío?
Vgrande = x3 + 6x2 + 12x + 8
Vpequeño = x · x · x = x3
V (x) = Vgrande – Vpequeño = 6x2 + 12x + 8
x+2
x
10 Halla la expresión algebraica del área coloreada.
Acoloreada (x) = (x + 8) · x + (20 – (x + 8)) · (14 – x) = x2 + 8x + (12 – x) · (14 – x) =
= x2 + 8x + 168 – 12x – 14x + x2 = 2x2 – 18x + 168
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
42
DIVISIÓN DE POLINOMIOS. REGLA DE RUFFINI
11 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios.
Comprueba tus resultados con Wiris.
a. (–4x3 + 8x2 – 5x + 3) : (2x – 3)
–4 x 3 + 8 x 2 – 5 x + 3 2 x – 3
+4 x 3 − 6 x 2
− 2x 2 + x − 1
0 + 2x 2 – 5 x + 3
− 2x 2 + 3 x
0 − 2x + 3
+ 2x − 3
0
b. (4x4 – 3x3 – 18x2 + 15x – 3) : (x2 – 5)
4 x 4 – 3 x 3 – 18 x 2 + 15 x – 3 x 2 – 5
−4 x 4
+ 20 x 2
4x 2 − 3x + 2
– 3 x 3 + 2 x 2 + 15 x – 3
+ 3x3
− 15 x
+ 2x – 3
2
− 2 x 2 + 10
7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43
c. (–3x5 + 2x3 + 4x – 2) : (x2 – 3x + 1)
–3 x 5 + 2 x 3 + 4 x – 2 x 2 – 3 x + 1
3x5 − 9x 4 + 3x3
− 3 x 3 − 9 x 2 − 22x − 57
− 9x 4 + 5x3 +
4x – 2
9 x − 27 x + 9 x
4
3
2
− 22 x 3 + 9 x 2 + 4 x − 2
22x 3 − 66 x 2 + 22 x
− 57 x 2 + 26 x − 2
57 x 2 − 171x + 57
− 145 x + 55
d. (3x4 + 2x3 – 5x2 + x – 4) : (3x2 – x)
3 x 4 + 2x 3 – 5 x 2 + x – 4 3 x 2 – x
−3 x 4 + x 3
x2 + x −
4
3
3x3 – 5x 2 + x – 4
− 3x 3 + x 2
− 4x2 + x – 4
4x2 −
−
4
x
3
1
x– 4
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
44
e. (–10x5 + 4x4 + 20x3 – 13x2 + 2x – 6) : (2x3 – 4x + 1)
–10 x 5 + 4 x 4 + 20 x 3 – 13 x 2 + 2x – 6 2 x 3 – 4 x + 1
+10 x 2
− 20 x 3 + 5 x 2
+ 4x 4
− 5 x 2 + 2x
− 8 x 2 + 2x – 6
− 4 x 4 + 8 x 2 − 2x
– 6
f. (3x4 – 23x3 + 15x2 + 31x – 10) : (x2 – 7x + 2)
3 x 4 – 23 x 3 + 15 x 2 + 31x – 10 x 2 – 7 x + 2
−3 x 4 + 21x 3 − 6 x 2
3 x 2 − 2x − 5
− 2 x 3 + 9 x 2 + 31x – 10
2x 3 − 14 x 2 + 4 x
− 5 x 2 + 35 x − 10
5 x 2 − 35 x + 10
0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
45
SOLUCIONES PÁG. 63
12 Encuentra un polinomio cuya división entre x2 – 3 dé como cociente –2x + 4
y como resto –11x + 15.
El producto de cociente por divisor más el resto es el polinomio solicitado:
P (x) = (x2 – 3) · (–2x + 4) – 11x +15 = –2x3 + 4x2 + 6x – 12 – 11x + 15 =
= –2x3 + 4x2 –5x + 3
13 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini e indica el
cociente y el resto:
a. (x3 – 10x2 + 26x – 5) : (x – 5)
1
–10
5
–5
5
1
26
–25
1
–5
5
0
(x3 – 10x2 + 26x – 5) : (x – 5) = x2 – 5x + 1; r(x) = 0
b. (6x4 + 4x3 + x2 + x – 1) : (x + 1)
6
4
–6
–2
–1
6
1
2
3
1
–3
–2
–1
2
1
(6x4 + 4x3 + x2 + x – 1) : (x + 1) = 6x3 – 2x2 + 4x – 2; r(x) = 1
c. (x7 + 1) : (x – 1)
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
2
(x7 + 1) : (x – 1) = x6 + x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1; r(x) = 2
d. (4x5 – 3x3 + x – 1) : (x + 2)
4
–2
4
0
–8
–8
–3
16
13
0
–26
–26
1
52
53
–1
–106
–107
(4x5 – 3x3 + x – 1) : (x + 2) = 4x4 – 8x3 + 13x2 – 26x + 53 ; r(x) = –107
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
46
2

e. ( 3 x 3 – 11x 2 + 12 x + 4 ) :  x − 
3

3
–11
2
12
–6
4
4
3
–9
6
8
2
3
( 3x
3
2

– 11x 2 + 12x + 4 :  x −  = 3 x 2 − 9 x + 6; r ( x ) = 8
3


)
14 Averigua el valor de k para que:
a. El resto de la división (x4 – 10x3 + kx2 – 7x + 11) : (x – 6) sea 5.
(x4 – 10x3 + kx2 – 7x + 11) : (x – 6)
1
–10
6
–4
6
1
k
–24
–24 + k
–7
–144 + 6k
–151 + 6k
11
–906 + 36k
11 – 906 + 36k
Como el resto es igual a 5,
r (x) = 5 = 11 – 906 + 36k ⟹ 36k = 900 ⟹ k = 25
b. La división (x3 – x2 + kx + 4) : (x + 4) sea exacta.
1
–4
1
–1
–4
–5
k
4
20
–4k – 80
k
+ –4k –76
20
Como el resto es igual a 0,
r (x) = 0 = –4k –76 ⟹ 4k = –76 ⟹ k = –19
15 Halla el valor de a y b para que la siguiente división dé un resultado exacto:
(x3 + ax2 + bx + 8) : (x2 – 3x + 2)
x 3 + ax 2 + b x + 8
x 2 – 3x + 2
− x 3 + 3 x 2 − 2x
x + (3 + a )
(3 + a )x 2 + ( −2 + b )x + 8
− (3 + a) x 2 + 3 ⋅ (3 + a )x + 2 ⋅ (3 + a )
(7 + b + 3a )x + 14 + 2a
Si el resultado es exacto significa que el resto r (x) = 0, por tanto:
3a + b + 7 = 0
2 – 2a = 0 ⟹ a = 1; b = –10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
47
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL RESTO
16 Determina el valor numérico de los siguientes polinomios en los valores
indicados:
a. P (x) = –8x3 + 3x2 – 2x + 7 para x = 0
P (0) = –8 · 03 + 3 · 02 – 2 · 0 + 7 = 7
b. P (x) = x3 + 4x2 – 9x – 2 para x = –5
P (–5) = –53 + 4 ·(–5)2 – 9 · (–5) – 2 = 18
c. P (x) = –2x4 + x3 – 3x2 + 5 para x = 3
P (3) = –2 · 34 + 33 – 3 · 32 + 5 = –157
d. P (x) = –3x5 + 2x4 – 8x2 + 4x para x = –1
P (–1) = –3 · (–1)5 + 2 ·(–1)4 – 8 · (–1)2 + 4 · (–1) = –7
e. P (x) = 16x3 – 20x2 + 10x – 1 para x =
3
3
4
2
3
3
3
3
P   = 16 ⋅   – 20 ⋅   + 10 ⋅ – 1 = 2
4
4
4
 4
17 El valor numérico de un polinomio, P (x), en x = –2 vale –7, y el cociente de
su división entre x + 2 es x3 – 5x2 + 4. Averigua cuál es dicho polinomio.
El valor numérico P (–2), coincide con el valor del resto cuando se divide P (x) por
el factor x + 2:
P (–2) = –7 = r (x)
P (x) = (x3 – 5x2 + 4) · (x + 2) + r (x) = x4 + 2x3 – 5x3 – 10x2 + 4x + 8 – 7 =
P (x) = x4 – 3x3 – 10x2 + 4x + 1
18 Halla el resto de las siguientes divisiones sin efectuar la división:
El valor numérico P (a), coincide con el valor del resto cuando se divide P (x) entre
el factor x – a.
a. (2x3 + 5x2 – 7) : (x – 1)
P (1) = 2 · (1)3 + 5 · (1)2 – 7 = 0
b. (x4 – 3x2 – 1) : (x + 7)
P (–7) = (–7)4 – 3 · (–7)2 – 1 = 2 253
c. (–x3 + 20x + 14) : (x – 6)
P (6) = –(6)3 + 20 · 6 + 14 = –82
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
48
1

d. ( 9 x 2 − x + 3 ) :  x − 
3

2
11
 1
 1  1
P  = 9 ⋅   −   + 3 =
3
3
3 3
19 Utilizando la regla de Ruffini y el teorema del resto, comprueba que obtienes
el mismo resultado, al calcular el resto de la división (x5 – 3x4 + 2x3 – x2 + 5) :
: (x + 1).
Según la regla de Ruffini:
1
–1
1
–3
–1
–4
2
4
6
–1
–6
–7
º
7
7
5
–7
–2
(x5 – 3x4 + 2x3 – x2 + 5) : (x + 1) = x4 – 4x3 + 6x2 – 7x + 7; r(x) = –2
Según el teorema del resto:
P (–1) = (–1)5 – 3 · (–1)4 + 2 · (–1)3 – (–1)2 + 5 = –2
Se obtiene el mismo resultado.
20 Sin hacer la división, halla el valor de m sabiendo que el cociente (–5x3 – 12x2 +
+ mx – 6) : (x + 3) tiene como resto –9.
Se aplica el teorema del resto para x = –3 y se despeja m:
P (–3) = –5 · (–3)3 – 12 · (–3)2 + m · (–3) – 6 = –9 ⟹ 21 – 3m = –9 ⟹ m = 10
21 Dado el polinomio P (x) = = x4 – 2x3 + 4x2 + ax + b, encuentra el valor de a y b
para que P (–2) = 42 y P (2) = 6.
Se aplica el teorema del resto para x = –2 y x = 2.
P (–2) = = (–2)4 – 2 · (–2)3 + 4· (–2)2 + a· (–2) + b = 42 ⟹ 2a – b = 6
P (2) = = (2)4 – 2 · (2)3 + 4· (2)2 + a· (2) + b = 6 ⟹ 2a + b = –10
Se resuelve el sistema de ecuaciones:
 a = −1
⇒
2a + b = –10 b = −8
2a – b = 6
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
49
22 Sea el polinomio A (x) = 2x3 + kx2 – 3x + 2:
a. Calcula el valor de k para que A (–2) = –20.
A (–2) = 2 · (–2)3 + k· (–2)2 – 3· (–2) + 2 = –20 ⟹ 4k = –12 ⟹ k = –3
b. Descompón el polinomio en un producto de factores para el valor de k
hallado.
Se buscan las raíces del polinomio según la regla de Ruffini, y sabiendo que
tales raíces deben ser divisoras del término independiente, 2
2
2
–3
–2
–5
–3
5
2
2
4
–1
–2
0
–1
2
2
–2
0
El producto de factores es:
A (x) = (x + 1) · (x – 2) · (2x – 1) = 2 · (x + 1) · (x – 2) · (x –
1
)
2
c. Indica cuáles son las raíces del polinomio.
Las raíces son: x = –1; x = 2 y x =
1
2
23 Una fotografía rectangular está colocada en un marco de 3 cm de ancho. Si
la foto tiene 5 cm más de largo que de ancho, halla:
a. La expresión del área de la fotografía.
Afoto (x) = x · (5 + x) = x2 + 5x
b. La expresión que da el área del marco.
Amarco = [(6 + 5 + x) · 3] · 2 + (x · 3) · 2 = 12x + 66
c. El valor de ambas áreas si el ancho de la fotografía es de 13 cm.
Afoto (13) = 132 + 5 · 13 = 234 cm2
Amarco = 12 · 13 + 66 = 222 cm2
(6 + 5 + x) cm
5+x
x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
50
RAÍCES DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL FACTOR
24 Di cuáles son los divisores del término independiente del polinomio A (x) =
= 5x3 + 4x2 – 31x + 6. ¿Cuál de estos números es raíz del polinomio?
Son divisores D (6) = {±1, ±2, ±3, ±6}.
Para que un número sea raíz de un polinomio es necesario que sea un divisor de
su término independiente. En este caso se comprueba cuáles de esos divisores
son raíces:
5
4
10
14
2
5
–31
28
–3
6
–6
0
x = 2 es una raíz.
5
14
–15
–1
–3
5
–3
3
0
x = –3 es otra raíz.
25 Comprueba si los números –2, 0, 3 y
3
son raíces del polinomio A (x) = 2x3 +
2
+ x2 – 6x.
A (–2) = 2 · (–2)3 + (–2)2 – 6 · (–2) = 0
A (0) = 2 · 03 + 02 – 6 · 0 = 0
A (3) = 2 · 33 + 32 – 6 · 3 = 45
3
2
3 27 9 12 24
3
3 3
A   = 2·   +   − 2· =
+ −
=
=6
2 4 4 4
4
2
2 2
Son raíces x = –2, x = 0, x =
3
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
51
26 Para el polinomio A (x) = 2x4 – 7x3 – 6x2 + 7x + 4, ¿cuántas raíces tiene? ¿Son
todas enteras? Halla todas sus raíces enteras.
El polinomio es de grado 4, luego tiene 4 raíces reales.
Las raíces enteras de A (x) deben ser divisores del término independiente,
D (4) = {±1, ±2, ±4}. Se comprueba cuáles de estos divisores son raíz del
polinomio:
A (1) = 2 · 14 – 7 · 13 – 6 · 12 + 7 · 1 + 4 = 0
A (–1) = 2 · (–1)4 – 7 · (–1)3 – 6 · (–1)2 + 7 · (–1) + 4 = 0
A (2) = 2 · 24 – 7 · 23 – 6 · 22 + 7 · 2 + 4 = –30
A (–2) = 2 · (–2)4 – 7 · (–2)3 – 6 · (–2)2 + 7 · (–2) + 4 = 54
A (4) = 2 · 44 – 7 · 43 – 6 · 42 + 7 · 4 + 4 = 0
A (–4) = 2 · (–4)4 – 7 · (–4)3 – 6 · (–4)2 + 7 · (–4) + 4 = 840
Las raíces enteras resultan ser x = –1, x = 1, x = 4, por tanto, una de las cuatro
raíces de A (x) no es entera.
27 Establece las raíces enteras de los siguientes polinomios. Comprueba tus
resultados con Wiris.
a. x2 – 5x – 6
Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente:
D (–6) = {±1, ±2, ±3, ±6}.
P (1) = 12 – 5 · 1 – 6 = –10 ⟹ x = 1 no es una raíz del polinomio.
P (–1) = (–1)2 – 5 · (–1) – 6 = 0 ⟹ x = –1 es una raíz del polinomio.
P (2) = 22 – 5 · 2 – 6 = –12 ⟹ x = 2 no es una raíz del polinomio.
P (–2) = (–2)2 – 5 · (–2) – 6 = 8 ⟹ x = –2 no es una raíz del polinomio.
P (3) = 32 – 5 · 3 – 6 = –12 ⟹ x = 3 no es una raíz del polinomio.
P (–3) = (–3)2 – 5 · (–3) – 6 = 18 ⟹ x = –3 no es una raíz del polinomio.
P (6) = 62 – 5 · 6 – 6 = 0 ⟹ x = 0 es una raíz del polinomio.
P (–6) = (–6)2 – 5 · (–6) – 6 = 60 ⟹ x = –6 no es una raíz del polinomio.
Las raíces enteras son x = –1 y x = 6
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
52
b. x3 + 3x2 – 4x – 12
Son divisores del término independiente D (–12) = {±1, ±2, ±3, ±4 ±6, ±12}.
P (1) = 13 + 3 · 12 – 4 · 1 – 12 = –12 ⟹ x = 1 no es una raíz del polinomio.
P (–1) = (–1)3 + 3 · (–1)2 – 4 · (–1) – 12 = –6 ⟹ x = –1 no es una raíz del
polinomio.
P (2) = 23 + 3 · 22 – 4 · 2 – 12 = 0 ⟹ x = 2 es una raíz del polinomio.
P (–2) = (–2)3 + 3 · (–2)2 – 4 · (–2) – 12 = 0 ⟹ x = –2 es una raíz del polinomio.
P (3) = 33 + 3 · 32 – 4 · 3 – 12 = 30 ⟹ x = 3 no es una raíz del polinomio.
P (–3) = (–3)3 + 3 · (–3)2 – 4 · (–3) – 12 = 0 ⟹ x = –3 no es una raíz del
polinomio.
También se puede comprobar cuál de los divisores enteros del término independiente es raíz del polinomio también mediante el teorema del resto de esta
forma (con el divisor x = 1, por ejemplo):
1
1
1
3
1
4
–4
4
0
–12
0
P(1) = –12
Las raíces enteras son x = 2, x = –2 y x = –3. No hace falta buscar más porque
el polinomio es de grado 3, y solo tiene 3 raíces enteras.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
53
c. –5x3 – 8x2 + 27x + 18
Son divisores del término independiente D (18) = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}.
P (1) = –5 · 13 – 8 · 12 + 27 · 1 + 18 = 32 ⟹ x = 1 no es una raíz del polinomio.
P (–1) = –5 · (–1)3 – 8 · (–1)2 + 27 · (–1) + 18 = –12 ⟹ x = –1 no es una raíz del
polinomio.
P (2) = –5 · 23 – 8 · 22 + 27 · 2 + 18 = 0 ⟹ x = 2 es una raíz del polinomio.
P (–2) = –5 · (–2)3 – 8 · (–2)2 + 27 · (–2) + 18 = –28 ⟹ x = –2 no es una raíz del
polinomio.
P (3) = –5 · 33 – 8 · 32 + 27 · 3 + 18 = –144 ⟹ x = 3 no es una raíz del
polinomio.
P (–3) = –5 · (–3)3 – 8 · (–3)2 + 27 · (–3) + 18 = 0 ⟹ x = –3 es una raíz del
polinomio.
P (6) = –5 · 63 – 8 · 62 + 27 · 6 + 18 = –1188 ⟹ x = 6 no es una raíz del
polinomio.
P (–6) = –5 · (–6)3 – 8 · (–6)2 + 27 · (–6) + 18 = 648 ⟹ x = –6 no es una raíz del
polinomio.
P (9) = –5 · 93 – 8 · 92 + 27 · 9 + 18 = –4 032 ⟹ x = 9 no es una raíz del
polinomio.
P (–9) = –5 · (–9)3 – 8 · (–9)2 + 27 · (–9) + 18 = 2 762 ⟹ x = –9 no es una raíz
del polinomio.
P (18) = –5 · 183 – 8 · 182 + 27 · 18 + 18 = –31248 ⟹ x = 18 no es una raíz del
polinomio.
P (–18) = –5 · (–18)3 – 8 · (–18)2 + 27 · (–18) + 18 = 26 100 ⟹ x = –18 no es
una raíz del polinomio.
Las raíces enteras son x = 2 y x = –3. La tercera raíz no es entera.
d. 6x3 – 7x2 – x + 2
Son divisores del término independiente D (2) = {±1, ±2}.
P (1) = 6 · 13 – 7 · 12 – 1 + 2 = 0 ⟹ x = 1 es una raíz del polinomio.
P (–1) = 6 · (–1)3 – 7 · (–1)2 – (–1) + 2 = –10 ⟹ x = –1 no es una raíz del
polinomio.
P (2) = 6 · 23 – 7 · 22 – 2 + 2 = 20 ⟹ x = 2 no es una raíz del polinomio.
P (–2) = 6 · (–2)3 – 7 · (–2)2 – (–2) + 2 = –72 ⟹ x = –2 no es una raíz del
polinomio.
La raíz entera es x = 1. Las otras dos raíces no son enteras.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
54
e. x3 + 2x2 – 3x – 6
Son divisores del término independiente D (2) = {±1, ±2, ±3, ±6}.
P (1) = 13 + 2 · 12 – 3 · 1 – 6 = –6 ⟹ x = 1 no es una raíz del polinomio.
P (–1) = (–1)3 + 2 · (–1)2 – 3 · (–1) – 6 = –2 ⟹ x = –1 no es una raíz del
polinomio.
P (2) = 23 + 2 · 22 – 3 · 2 – 6 = 4 ⟹ x = 2 no es una raíz del polinomio.
P (–2) = (–2)3 + 2 · (–2)2 – 3 · (–2) – 6 = 0 ⟹ x = –2 es una raíz del polinomio.
P (3) = 33 + 2 · 32 – 3 · 3 – 6 = 30 ⟹ x = 3 no es una raíz del polinomio.
P (–3) = (–3)3 + 2 · (–3)2 – 3 · (–3) – 6 = –6 ⟹ x = –3 no es una raíz del
polinomio.
P (6) = 63 + 2 · 62 – 3 · 6 – 6 = 264 ⟹ x = 6 no es una raíz del polinomio.
P (–6) = (–6)3 + 2 · (–6)2 – 3 · (–6) – 6 = –132 ⟹ x = –6 no es una raíz del
polinomio.
La raíz entera es x = –2. Las otras dos raíces no son enteras.
f. x4 – 3x3 + x2 – 15x – 20
Son divisores del término independiente D (–20) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20}.
P (1) = 14 – 3 · 13 + 12 – 15 · 1 – 20 = –38 ⟹ x = 1 no es una raíz del polinomio.
P (–1) = (–1)4 – 3 · (–1)3 + (–1)2 – 15 · (–1) – 20 = 0 ⟹ x = –1 es una raíz del
polinomio.
P (2) = 24 – 3 · 23 + 22 – 15 · 2 – 20 = –54 ⟹ x = 2 no es una raíz del polinomio.
P (–2) = (–2)4 – 3 · (–2)3 + (–2)2 – 15 · (–2) – 20 = 54 ⟹ x = –2 no es una raíz
del polinomio.
P (4) = 44 – 3 · 43 + 42 – 15 · 4 – 20 = 0 ⟹ x = 4 es una raíz del polinomio.
P (–4) = (–4)4 – 3 · (–4)3 + (–4)2 – 15 · (–4) – 20 = 504 ⟹ x = –4 no es una raíz
del polinomio.
P (5) = 54 – 3 · 53 + 52 – 15 · 5 – 20 = 430 ⟹ x = 5 no es una raíz del polinomio.
P (–5) = (–5)4 – 3 · (–5)3 + (–5)2 – 15 · (–5) – 20 = 830 ⟹ x = –5 no es una raíz
del polinomio.
P (10) = 104 – 3 · 103 + 102 – 15 · 10 – 20 = 6 930 ⟹ x = 10 no es una raíz del
polinomio.
P (–10) = (–10)4 – 3 · (–10)3 + (–10)2 – 15 · (–10) – 20 = 14 130 ⟹ x = –10 no
es una raíz del polinomio.
P (20) = 204 – 3 · 203 + 202 – 15 · 20 – 20 = 136 080 ⟹ x = 20 no es una raíz
del polinomio.
P (–20) = (–20)4 – 3 · (–20)3 + (–20)2 – 15 · (–20) – 20 = 184 680⟹ x = –20 no
es una raíz del polinomio.
Las raíces enteras son x = –1 y x = 4. Las otras dos raíces no son enteras.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
55
g. x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1
Son divisores del término independiente D (1) = {±1}.
P (1) = 14 – 4 · 13 + 6 · 12 – 4 · 1 + 1 = 0 ⟹ x = 1 es una raíz del polinomio.
P (–1) = (–1)4 – 4 · (–1)3 + 6 · (–1)2 – 4 · (–1) + 1 = 16 ⟹ x = –1 no es una raíz
del polinomio.
La raíz entera es x = 1.
h. 12x3 + 4x2 – 3x – 1
Son divisores del término independiente D (–1) = {±1}.
P (1) = 12 · 13 + 4 · 12 – 3 · 1 – 1 = 12 ⟹ x = 1 no es una raíz del polinomio.
P (–1) = 12 · (–1)3 + 4 · (–1)2 – 3 · (–1) – 1 = –6 ⟹ x = –1 no es una raíz del
polinomio.
No tiene raíces enteras.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
56
28 Averigua si los siguientes binomios son factores del polinomio
P (x) = x3 + + 7x2 + 7x – 15:
Se aplica la regla de Ruffini:
a. x + 1
1
7
–1
6
–1
1
7
–6
1
–15
–1
P(–1) = –16
No es factor.
b. x – 1
1
1
1
7
1
8
7
8
15
–15
15
P(–1) = 0
7
–3
4
7
–12
–5
–15
15
P(–3) = 0
Sí es factor.
c. x + 3
1
–3
1
Sí es factor.
d. x + 5
1
–5
1
7
–5
2
7
–10
–3
–15
15
P(–5) = 0
Sí es factor.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
57
SOLUCIONES PÁG. 64
29 Determina cuáles son las raíces de los siguientes polinomios representados:
Gráficamente, las raíces de un polinomio, P (x), son los valores de las abscisas de
los puntos de corte con el eje X de la función y = P (x).
a.
Los puntos de corte en el eje de abscisas son x = –1 y x = 1, luego esas son las
raíces del polinomio.
b.
Los puntos de corte en el eje de abscisas son x = –2, x = 0 y x = 2, luego esas son
las raíces del polinomio.
30 Para el polinomio A (x) = x · (x – 4) · (x + 2) · (x + 7), ¿cuáles son sus raíces?
Un polinomio, P (x), tiene como factor (x – a) si x = a es una raíz del polinomio P (x),
es decir, las raíces son x = 0, x = 4, x = –2 y x = –7.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
58
31 Obtén, en cada caso, un polinomio, P (x), tal que:
a. Sea de grado dos y tenga como raíces –2 y 5.
Si las raíces son x = –2 y x = 5 y el polinomio es de grado 2 significa que P (x) =
= (x + 2) · (x – 5) = x2 –3x –10
b. Tenga tres raíces enteras.
Respuesta abierta. Por ejemplo: (x + 1) · (x – 1) · (x – 2) = x3 – 2x2 – x + 2
c. Sea de grado cuatro y tenga como raíces 0 y 4 (ambas raíces dobles).
Si las raíces son x = 0 y x = 4 dobles significa que:
P (x) = x · x · (x – 4) · (x – 4) = x2 · (x – 4)2 = x2 · (x2 – 8x + 16) = x4 – 8x3 + 16x2
d. Sea de grado dos y no tenga raíces reales.
Respuesta abierta. Por ejemplo: x2 + 1
e. Tenga como factores x – 1 y x + 3.
Respuesta abierta, porque puede tener más factores además de los indicados.
Si los factores son solamente x – 1 y x + 3 dobles significa que:
P (x) = (x – 1) · (x + 3) = x2 + 3x – x – 3 = x2 + 2x – 3
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
32 ¿Cuáles son los factores que dividen al polinomio A (x) = (x + 3)4?
Los divisores son x + 3, (x + 3)2, (x + 3)3 y (x + 3)4.
33 Halla el valor numérico de P (x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 para x = –4 y x = 1. ¿Es
divisible entre x + 4? ¿Y entre x – 1?
P (–4) = (–4)3 – 3 · (–4)2 – 6 · (–4) + 8 = –80
P (1) = 13 – 3 · 12 – 6 · 1 + 8 = 0
No es divisible entre (x + 4), pero sí lo es entre (x – 1) pues el valor numérico en x =
= 1 es 0.
34 Factoriza los siguientes polinomios utilizando las identidades notables:
a. x2 – 12x + 36 = (x – 6)2
b. 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2
c. 16x4 – 25 = (4x2 – 5) · (4x2 + 5) = (2x +
d. x2 – 3 = (x –
3 ) · (x +
5 ) · (2x –
5 ) · (4x2 + 5)
3)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
59
35 Factoriza los polinomios propuestos e indica sus raíces. Comprueba los resultados con Wiris.
a. x3 – 3x2 – 6x + 8
1
–3
1
–2
1
1
–6
–2
–8
8
–8
0
x = 1 es una raíz.
1
4
1
–2
4
2
–8
8
0
x = 4 es otra raíz.
(x + 2) es un factor, es decir, x = –2 es la tercera raíz.
Finalmente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) = (x – 1) · (x – 4) · (x + 2)
b. x4 – 6x3 + 3x2 + 10x
Se extrae factor común a x:
x4 – 6x3 + 3x2 + 10x = x · (x3 – 6x2 + 3x + 10)
x = 0 es una de las raíces.
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 3 y se buscan las demás
raíces:
1
–1
1
–6
–1
–7
3
7
10
10
–10
0
x = –1 es una raíz.
1
5
1
–7
5
–2
10
–10
0
x = 5 es otra raíz.
(x – 2) es un factor, luego x = 2 es la raíz que faltaba.
Finalmente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) = x · (x + 1) · (x – 5) · (x – 2)
c. x4 – 9x2
En primer lugar, se extrae factor común a x2:
x4 – 9x2 = x2 · (x2 – 9) = x2 · (x + 3) · (x – 3)
Las raíces son x = 0, x = –3 y x = 3.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
60
d.
4x3 + 7x2 + 2x – 1
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 3 y se buscan las raíces:
4
7
–4
3
–1
4
2
–3
–1
–1
1
0
x = –1 es una raíz.
Se calculan las dos raíces del polinomio 4x2 + 3x – 1:
x=
−3 ± 32 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 −3 ± 25 −3 ± 5
=
=
2⋅4
8
8
Las otras dos raíces son x = −
1
y x = –1 (raíz doble)
4
Finalmente, el polinomio queda factorizado así:
1
2 
P ( x ) = ( x – 1) ⋅  x + 
4

e. –6x3 – 7x2 + 9x – 2
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 3 y se buscan las raíces:
–6
–2
–6
–7
12
5
9
–10
–1
–2
2
0
x = –2 es una raíz.
Se calculan las dos raíces del polinomio –6x2 + 5x – 1:
x=
−5 ± 52 − 4 ⋅ 6 ⋅ 1 5 ± 1 5 ± 1
=
=
−2 ⋅ 6
12
12
Las otras dos raíces son x =
1
1
y x=
2
3
Finamente, el polinomio queda factorizado así:
1 
1

P ( x ) = ( x + 2) ⋅  x –  ⋅  x − 
2 
3

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
61
f.
x3 + x2 – 3x – 3
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 3 y se buscan las raíces:
1
1
–1
0
–1
1
–3
0
–3
–3
3
0
x = –1 es una raíz.
Se calculan las dos raíces del polinomio x2 – 3, que, utilizando identidades
notables queda así:
x2 – 3 = (x +
x=
3 ) · (x –
3)
3 y x = – 3 son las otras dos raíces.
Finalmente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) = (x + 1) · (x +
3 ) · (x –
3)
g. x5 – 2x4 + 9x3 – 18x2
Se extrae factor común a x2:
x5 – 2x4 + 9x3 – 18x2 = x2 · (x3 – 2x2 + 9x – 18)
x = 0 es una raíz doble.
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 5 y se buscan las demás
raíces:
1
2
1
–2
2
0
9
0
9
–18
18
0
x = 2 es otra raíz.
No hay más raíces reales, pues el polinomio que queda es x2 + 9.
Finamente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) = x2 · (x – 2) · (x2 + 9)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
62
h.
x5 + x4 – 16x – 16
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 5 y se buscan las raíces:
1
1
–1
0
–1
1
0
0
0
0
0
0
–16
0
–16
–16
16
0
x = –1 es una raíz.
Se buscan las raíces del polinomio que queda, x4 – 16:
1
0
2
2
0
4
4
0
8
8
2
–2
0
4
0
4
8
–8
0
2
1
–16
16
0
x = 2 es otra raíz.
1
–2
1
x = –2 es otra raíz.
El polinomio que queda, x2 + 4, no tiene raíces reales.
Finalmente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) = (x + 1) · (x + 2) · (x – 2) · (x2 + 4)
i. 3x3 + 13x2 – 28x + 12
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 3 y se buscan las raíces:
3
1
3
13
3
16
–28
16
–12
12
–12
0
x = 1 es una raíz.
Se calculan las dos raíces del polinomio 3x2 + 16x – 12:
−16 ± 162 + 4 ⋅ 3 ⋅ 12 −16 ± 400 −16 ± 20
=
=
2⋅3
6
6
Las otras dos raíces son x =
2
y x = –6
3
Finalmente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) =
(x
2

– 1) ·  x −  ⋅ ( x + 6 )
3

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
63
j. x4 – 7x3 + 15x2 – 13x + 4
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 4 y se buscan las raíces:
1
1
1
–7
1
–6
15
–6
9
–13
9
–4
4
–4
0
x = 1 es una raíz.
1
4
1
–6
4
–2
9
–8
1
–2
1
–1
1
–1
0
–4
4
0
x = 4 es otra raíz.
1
1
1
x = 1 es una raíz triple, pues se ha encontrado una al aplicar Ruffini al
polinomio de grado 4 y otras dos al aplicar Ruffini después.
Finamente, el polinomio queda factorizado así:
P (x) = (x + 1)3 · (x – 4)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
64
36 Obtén la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica
cuántas raíces reales tienen:
a. 2x3 + 4x2 – 4x – 8
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 3 y se buscan las raíces
reales:
2
4
–4
0
–2
2
–4
0
–4
–8
8
0
x = –2 es una raíz,
El polinomio que queda es 2x2 – 4, cuyas raíces son:
2x2 – 4 = 0 ⟹ x2 = 2 ⟹ x = ± 2
La descomposición factorial del polinomio es:
P (x) = (x + 2) · (x +
2 ) · (x –
2)
P (x) tiene tres raíces reales, x = –2, x =
2 yx=– 2.
b. x4 – 15x2 – 16
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 4 y se buscan las raíces
reales:
1
4
1
0
4
4
–15
16
1
0
4
4
–16
16
0
x = 4 es una raíz.
1
–4
1
4
–4
0
1
0
1
4
–4
0
x = –4 es otra raíz.
El polinomio que queda es x2 + 1, cuyas raíces no son reales.
La descomposición factorial del polinomio es:
P (x) = (x – 4) · (x + 4) · (x2 + 1)
P (x) tiene dos raíces reales, x = 4 y x = –4.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
65
c. x4 – 16
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 4 y se buscan las raíces
reales:
1
0
2
2
2
1
0
4
4
0
8
8
4
0
4
8
–8
0
–16
16
0
x = 2 es una raíz.
1
–2
1
2
–2
0
x = –2 es otra raíz.
El polinomio que queda es x2 + 4, cuyas raíces no son reales.
La descomposición factorial del polinomio es:
P (x) = (x – 2) · (x + 2) · (x2 + 4)
P (x) tiene dos raíces reales, x = 2 y x = –2.
d. 4x4 + 20x3 + 13x2 – 30x + 9
Se aplica la regla de Ruffini al polinomio de grado 4 y se buscan las raíces
reales:
4
–3
4
20
–12
8
13
–24
–11
–30
33
3
9
–9
0
x = –3 es una raíz.
4
–3
4
8
–12
–4
–11
12
1
3
–3
0
x = –3 es una raíz doble.
El polinomio que queda es 4x2 – 4x + 1, cuyas raíces son:
x=
4 ± 42 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 4 ± 0 1
=
=
2⋅4
8
2
x=
1
es una raíz doble.
2
La descomposición factorial del polinomio es:
P (x) =
1
2
( x + 3 ) ·  x − 
2

2
P (x) tiene cuatro raíces reales, x = –3 (doble) y x =
1
(doble).
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
66
37 Comprueba que el polinomio A (x) = 3x4 + 7x2 + 4 no es divisible por un factor x – a para ningún valor de a entero.
Se aplica el teorema de resto para averiguar si alguno de los divisores del término
independiente, D (4) = {±1, ±2, ±4}, son raíz del polinomio:
A (1) = 3 · 14 + 7 · 12 + 4 = 14 ≠ 0 ⟹ x = 1 no es raíz de P (x).
A (–1) = 3 · (–1)4 + 7 · (–1)2 + 4 = 14 ≠ 0 ⟹ x = –1 no es raíz de P (x).
A (2) = 3 · 24 + 7 · 22 + 4 = 80 ≠ 0 ⟹ x = 2 no es raíz de P (x).
A (–2) = 3 · (–2)4 + 7 · (–2)2 + 4 = 80 ≠ 0 ⟹ x = –2 no es raíz de P (x).
A (4) = 3 · 44 + 7 · 42 + 4 = 884 ≠ 0 ⟹ x = 4 no es raíz de P (x).
A (–4) = 3 · (–4)4 + 7 · (–4)2 + 4 = 884 ≠ 0 ⟹ x = –4 no es raíz de P (x).
Es decir, de los posibles valores de a = {±1, ±2, ±4}, con ninguno de ellos se
obtiene resto cero en la división A (x) : (x – a).
38 ¿Es divisible el polinomio xn – 1 entre x + 1 para cualquier valor de n par? ¿Y
para un valor de n impar? Justifica ambas respuestas.
Si el polinomio xn – 1 es divisible entre x + 1 significa que x = –1 es una raíz de xn – 1
y que, por tanto, su resto debe ser cero:
•
Para n par: (–1n) – 1 = 1 – 1 = 0 ⟹ Siempre es divisible pues el resto es
cero.
•
Para n impar: (–1)n – 1 = –1 – 1 = –2 ⟹ No es divisible, pues el resto es
distinto de cero.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
67
39 Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de estos polinomios:
a. P (x) = (x + 2)2 · (x – 3) y Q (x) = (x + 2) · (x – 3)3
m.c.m. [(x + 2)2 · (x – 3), (x + 2) · (x – 3)3] = (x + 2)2 · (x – 3)3
m.c.d. [(x + 2)2 · (x – 3), (x + 2) · (x – 3)3] = (x – 3) · (x + 2)
b. P (x) = x · (x – 5) y Q (x) = x2 · (x + 4)
m.c.m. [x · (x – 5), x2 · (x + 4)] = x2 · (x + 4) · (x – 5)
m.c.d. [x · (x – 5), x2 · (x + 4)] = x
c. P (x) = x2 – 4x + 3 y Q (x) = x3 – 4x2 + x + 6
Se factorizan los polinomios:
P (x) = x2 – 4x + 3 = (x – 3) · (x – 1)
Q (x) = x3 – 4x2 + x + 6
1
–4
–1
–5
–1
1
1
5
6
6
–6
0
x + 1 es un factor.
1
2
1
–5
2
–3
6
–6
0
x – 2 es otro factor.
x – 3 es otro factor.
Q (x) = x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1) · (x – 2) · (x – 3)
m.c.m. [(x – 3) · (x – 1), (x + 1) · (x – 2) · (x – 3)] = (x – 3) · (x – 1) · (x + 1) · (x – 2)
m.c.d. [(x – 3) · (x – 1), (x + 1) · (x – 2) · (x – 3)] = x – 3
d. P (x) = x3 – 4x2 + 5x – 2 y Q (x) = x3 – 3x2 + 2x
Se factorizan los polinomios:
P (x) = x3 – 4x2 + 5x – 2
1
1
1
–4
1
–3
5
–3
2
–3
2
–1
2
–2
0
–2
2
0
x – 1 es un factor.
1
2
1
x – 2 es otro factor.
x – 1 es otro factor.
P (x) = x3 – 4x2 + 5x – 2 = (x – 1)2 · (x – 2)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
68
Q (x) = x3 – 3x2 + 2x = x · (x2 – 3x + 2)
x es un factor. Se aplica la regla de Ruffini para encontrar los demás:
1
1
1
–3
1
–2
2
–2
0
x – 1 es otro factor.
x – 2 es otro factor.
Q (x) = x · (x – 1) · (x – 2)
m.c.m. [(x – 1)2 · (x – 2), x · (x – 1) · (x – 2)] = x · (x – 1)2 · (x – 2)
m.c.d. [(x – 1)2 · (x – 2), x · (x – 1) · (x – 2)] = (x – 1) · (x – 2)
40 El área de un círculo de radio r (x) viene determinada por
la expresión A (x) = 9x2 – 6x + .
a. Encuentra la expresión algebraica de r (x).
El área de una circunferencia es A = r2
A (x) = [r (x)]2 = 9x2 – 6x +
A ( x ) = π[r( x )]2 = 9 x 2 π – 6 x π + π ⇒
r (x) =
9x 2π – 6xπ + π
= 9x 2 – 6x + 1 =
π
( 3 x − 1)
2
= 3x − 1
b. Halla r (5).
r (5) = 3 · 5 – 1 = 14
FRACCIONES ALGEBRAICAS
41 Halla el polinomio P (x) para que las fracciones sean equivalentes.
a.
P (x )
4x
= 2
x + 10 x + 25 x + 5 x
2
P (x)
4x
= 2
⇒
x + 10 x + 25 x + 5 x
2
4 ⋅ ( x + 5)
4x
4 x 2 + 40 x + 100 ( 2x + 10 )
P (x) = 2
⋅ x 2 + 10 x + 25 =
=
=
=
x + 5x
x+5
x+5
x +5
= 4 ⋅ ( x + 5 ) = 4 x + 20
(
)
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
69
b.
6x 2 − 2x
3x − 1
=
2
10 x − 8 x
P (x )
6 x 2 − 2x
3x − 1
=
⇒
2
10 x − 8 x
P (x)
(10 x − 8 x ) ⋅ ( 3 x − 1) = (10 − 8 x ) ⋅ ( 3 x − 1) = 2 ⋅ ( 5 − 4 x ) ⋅ ( 3 x − 1) = 5 − 4 x
2
P (x) =
2 ⋅ ( 3 x − 1)
6x − 2
6 x 2 − 2x
42 Simplifica sacando factor común y aplicando las identidades notables.
a.
( 2 x − 1) = 2 x − 1
4x2 − 4x + 1
=
2x − 1
2x − 1
b.
x 2 + 4x
x 2 + 4x
x+4
x
x3 + 4x2
=
=
= x⋅
=
3
2
2
2
2
x + 8 x + 16 x
x + 8 x + 16 ( x + 4 )
( x + 4) x + 4
c.
3 ⋅ ( x + 5 ) ⋅ ( x − 5 ) 3 ⋅ ( x + 5 ) 3 x + 15
3 x 2 − 75
=
=
=
2
x − 10 x + 25
x −5
( x − 5)
( x − 5)
2
2
SOLUCIONES PÁG. 65
43 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a.
x+4
x+4
1
x2 + 4x
= 2
=
=
x 3 + x 2 − 12 x
x + x − 12 ( x − 3 ) ⋅ ( x + 4 ) x − 3
b.
( x − 1) = x − 1
x 2 − 2x + 1
=
2
3x − 3x
3 x ⋅ ( x − 1)
3x
2
( x + 3 ) ⋅ ( x + 1) = x + 3
x 3 + 7 x 2 + 15 x + 9
c.
=
3
2
2
x + 5 x + 7x + 3
( x + 3 ) ⋅ ( x + 1) x + 1
2
(
)
5x ⋅ x2 + 4
5 x 2 + 20
5x
5 x 3 + 20 x
=x⋅
=
=
d. 3
2
2
2
x + 2x + 4x + 8
( x + 2) ⋅ x + 4 ( x + 2) ⋅ x + 4 x + 2
(
(
)
(
)
)
e.
2
x3 ⋅ x 2 − 4x + 4
x5 − 4x 4 + 4x3
( x − 2) = x ⋅ x − 2
=
=
x
⋅
(
)
x 3 − 2x2
x2 ⋅ ( x − 2)
x −2
f.
2x ⋅ ( x + 6 )
x ⋅ ( x + 6)
2 x 2 + 12 x
x
=
=
=
2
2
2
2 x + 24 x + 72
x+6
2 ⋅ x + 12 x + 36
( x + 6)
(
)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
70
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
44 Realiza las siguientes operaciones:
a.
3 x − 1 2 − 4x
+
−
2x 3 x 2
5x3
m.c.m. [2x, 3x2,5x3] = 2x · 3x2 · 5x3 = 30x6
2
3
3
2
3 x − 1 2 − 4 x 3 ⋅ 3 x ⋅ 5 x + ( x − 1) ⋅ 2x ⋅ 5 x − ( 2 − 4 x ) ⋅ 2 x ⋅ 3 x
+
−
=
=
2x 3 x 2
5x 3
30 x 6
45 x 5 + ( x − 1) ⋅ 10 x 4 − ( 2 − 4 x ) ⋅ 6 x 3 45 x 5 + 10 x 5 − 10 x 4 − 12x 3 + 24 x 4
=
=
=
30 x 6
30 x 6
55 x 5 + 14 x 4 − 12 x 3
=
30 x 6
b.
x
6x 2
−
( x − 2)2 x − 2
m.c.m. [x – 2, (x – 2)2] = (x – 2)2
6x2
x
6 x 2 − x ⋅ ( x − 2) 6 x 2 − x 2 + 2 x
5 x 2 + 2x
−
=
=
=
( x − 2)2 x − 2
( x − 2)2
( x − 2)2
x 2 − 4x + 4
c.
2
3x
x2 − 4x
−
+
x x + 1 ( x + 1)2
m.c.m. [x, x + 1, (x + 1)2] = x · (x + 1)2
(
)
2
2
2 3x
x 2 − 4 x 2 ⋅ ( x + 1) − 3 x ⋅ x ⋅ ( x + 1) + x − 4 x ⋅ x
−
+
=
=
x x + 1 ( x + 1)2
x ⋅ ( x + 1)2
=
d.
2 x 2 + 4 x + 2 − 3 x 3 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 2 −2 x 3 − 5 x 2 + 4 x + 2
=
x ⋅ ( x 2 + 2x + 1)
x 3 + 2x 2 + x
2x
−1 − x
+
x +3 x −3
m.c.m. [x + 3, x – 1] = (x + 3) · (x – 1)
( −1− x ) ⋅ ( x − 3) + 2x ⋅ ( x + 3) − x + 3 − x 2 + 3x + 2x 2 + 6x x 2 + 8x + 3
−1− x
2x
+
=
=
=
x +3 x −3
x2 − 9
x2 − 9
( x + 3) ⋅ ( x − 3)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
71
45 Lleva a cabo estas operaciones y comprueba tus resultados con Wiris:
a.
8x
x −1
8x
x −1
+ 2
=
+
x − 3x x − 5 x + 6
x ⋅ ( x − 3 ) ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2)
2
m.c.m. [x · (x – 3), (x – 3) · (x – 2)] = x · (x – 3) · (x – 2)
8 x ⋅ ( x − 2 ) + ( x − 1) ⋅ x 8 x 2 − 16 x + x 2 − x
8x
x −1
+
=
=
=
x ⋅ ( x − 3 ) ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2)
x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2)
x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2)
=
9 x 2 − 17 x
9 x − 17
9 x − 17
= 2
= 2
x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2) x − 2x − 3 x + 6 x − 5 x + 6
2
2x + 4
2
2x 3 + 4
=
− 3
−
2
5
3
x −1 x − x
( x − 1) ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
3
b.
m.c.m. [(x – 1) · (x + 1), x3 · (x – 1) · (x + 1)] = x3 · (x – 1) · (x + 1)
(
)
2x 3 − 2x 3 + 4
2
2x 3 + 4
2x 3 − 2 x 3 − 4
− 3
= 3
= 3
=
( x − 1) ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
=−
4
−4
= 5
x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x − x 3
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
72
c.
3x + 2
5
1
+ 2+
4
2x
x −2
m.c.m [4, 2x2, x – 2] = 22 · x2 · (x – 2) = 4x2 · (x – 2)
( 3 x + 2) ⋅ x 2 ⋅ ( x − 2) + 5 ⋅ 2 ⋅ ( x − 2) + 4 x 2
3x + 2
5
1
+ 2+
=
=
4
x −2
2x
4 x 2 ⋅ ( x − 2)
=
d.
3 x 4 − 4 x 3 − 4 x 2 + 10 x − 20 + 4 x 2 3 x 4 − 4 x 3 + 10 x − 20
=
4x3 − 8x 2
4x 3 − 8 x 2
4
−5 x 1 − x
+ 2 +
x +2
x
x −2
−5 x ⋅ x 2 ⋅ ( x − 2 ) + (1 − x ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 ) + 4 ⋅ ( x + 2 ) ⋅ x 2
−5 x 1 − x
4
+ 2 +
=
=
x+2
x
x −2
( x + 2) ⋅ x 2 ⋅ ( x − 2)
=
−5 x 4 + 13 x 3 + 9 x 2 + 4 x − 4
(
x2 ⋅ x2 − 4
)
=
−5 x 4 + 13 x 3 + 9 x 2 + 4 x − 4
x 4 − 4x 2
46 Efectúa las multiplicaciones y divisiones indicadas. Comprueba tus resultados con Wiris.
a.
x 2 + x − 12 5 x − 5
( x − 3) ⋅ ( x + 4) ⋅ 5 ⋅ ( x − 1)
⋅
=
= 5 ⋅ ( x − 3) = 5 x − 15
x −1
x+4
( x − 1) ⋅ ( x + 4)
b.
( x + 2) ⋅ ( x + 5 )
x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 5 )
x 3 + 2x 2
x +5
=
= 2
=
⋅
2
4
2
2
2
2
x − 5 x − 4x
x −5 ⋅x ⋅ x −4
x − 5 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2)
(
=
)
(
) (
)
x+5
x − 2 x 2 − 5 x + 10
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
73
c.
3x ⋅ x ⋅ ( x − 3 )
3x
x 2 − 3x
3x 2
3x
x +3
=
⋅
=
=
:
( x − 3)2 x 2 − 3 x
( x − 3)2 x + 3
( x − 3)2 ⋅ ( x + 3 ) ( x − 3) ⋅ ( x + 3 )
=
d.
3x 2
( x 2 − 9)
−3 x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) −3 x 2 + 3 x
x + 1  −3 x 
1
x + 1  −3x 
=
⋅
⋅
x
−
1
=
=
:
⋅
(
)
x 2 + 1  x + 1  x − 1 x 2 + 1  x + 1
x2 + 1
x 2 + 1 ⋅ ( x + 1)
(
)
47 Opera y simplifica todo lo posible. Comprueba tus resultados con Wiris.
a.
2x x − 4
3x − 5
2x 2 − 8x
3x − 5
⋅
− 2
=
−
=
x − 3 x + 1 x − 2 x − 3 ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1) x 2 − 2 x − 3
=
b.
2x 2 − 8x
3x − 5
2 x 2 − 8 x − 3 x + 5 2x 2 − 11x + 5
−
=
= 2
x 2 − 2x − 3 x 2 − 2x − 3
x 2 − 2x − 3
x − 2x − 3
4x
1 
−5  3 − x
:
⋅
+ 2
x +2  x
x − 1 x − 1 
m.c.m. [x, (x +1) · (x – 1)] = x · (x +1) · (x – 1)
−5  3 − x
−5  3 − x
−5  3 − x 4x 
4x
1 
4x ⋅ ( x − 1) 
⋅
+ 2
:
⋅
+
⋅
+
=
=
=
x+2  x
x − 1 x − 1 x + 2  x
( x − 1) ⋅ ( x + 1)  x + 2  x
x + 1
−5  (3 − x ) ⋅ ( x + 1) + 4x 2 
−5  3x + 3 − x 2 − x + 4x 2 
−5 3x 2 + 2x + 3
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
2
x +2 
x ⋅ ( x + 1)
x + x)
x2 + x
 x+2 
 x+2
=
−15x 2 − 10x − 15
x 3 + 3 x 2 + 2x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
74
48 Simplifica las expresiones y comprueba tus resultados con Wiris.
a. x −
1
1−
=x−
1
1+
1
x
1
1
1−
x +1
x
=x−
1
x
1−
x +1
=x−
1
1
=x−
=
( x + 1) − x
1
x +1
x +1
= x − ( x + 1) = −1
( x + 1) ⋅ ( x − 1) − ( x − 1)
x 2 − 1 x 2 − 2x + 1
−
( x + 1)
( x − 1) ( x − 1) − ( x − 1)
x −1
b. x + 1
=
=
=
x
1
2x + 1
x + ( x + 1)
+
x2 − 1 x − 1
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
2
=
0
0
=
=0
2x + 1
2
x
( + 1)
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
75
49 Visita esta página de Internet y realiza las actividades propuestas para repasar los conceptos estudiados en la unidad:
http://conteni2.educarex.es/mats/11823/contenido
Respuesta abierta.
EVALUACIÓN
1
Al dividir 4x5 – 2x4 + x2 – 5x + 6 entre 2x2 – x + 3, el cociente y el resto resultantes son:
a. c (x) = –2x3 + 3x + 1 y r (x) = –3x – 9
b. c (x) = 2x3 – 3x – 1 y r (x) = 3x + 9
c. c (x) = 2x3 + 2x2 – 3x2 + x y r (x) = 3x + 9
d. c (x) = –2x3 + 3x + 1 y r (x) = 3x + 9
4x 5 – 2x 4
+
x 2 – 5x + 6 2x 2 – x + 3
−4 x 5 + 2 x 4 − 6 x 3
2x 3 − 3x − 1
− 6x3 + x 2 – 5x + 6
+ 6x3 − 3x 2 + 9x
− 2x 2 + 4 x + 6
2x 2 − x + 3
3x + 9
2
El resto de la división (–3x4 + 7x2 – x + 10) : (x + 2) es:
a. –8
b. –12
c. 24
d. –128
Se aplica el teorema del resto a la raíz x = –2
P (–2) = –3 · (–2)4 + 7· (–2)2 – (–2) + 10 = –8
3
Del polinomio P (x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 8x, el número que no es una de sus raíces es:
a. –2
b. –1
c. 0
d. 4
P (–1) = (–1)4 – 3 · (–1)3 – 6· (–1)2 + 8· (–1) = –10, es decir, x = –1 no es una raíz
del polinomio.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
76
4
La factorización del polinomio 2x5 – 3x4 – 8x3 – 3x2 es:
1

a. x 2 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 1) ⋅  x + 
2

c. 2x 2 ⋅ ( x − 3) ⋅ (x + 1) ⋅ ( x + 2)
1

b. ( x − 3) ⋅ ( x + 1) ⋅  x + 
2

1

2
d. 2x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 1) ⋅  x + 
2

2x5 – 3x4 – 8x3 – 3x2 = x2 · (2x3 – 3x2 – 8x – 3) = x2 ·
Se debe factorizar el polinomio 2x3 – 3x2 – 8x – 3:
Sus raíces deben ser divisoras del término independiente, –3
2
–1
2
–3
–2
–5
–8
5
–3
–3
3
0
Una de las raíces es x = –1
2
3
2
–5
6
1
–3
3
0
Otra raíz es x = 3
El producto de factores es: x2 · (x + 1) · (x – 3) · (2x + 1) =
= 2x2 · (x + 1) · (x – 3) · (x +
5
1
)
2
La simplificación de la fracción
a.
x −2
x +2
b. x
c.
x 4 − 4x2
es:
x3 + 4x2 + 4x
x 2 − 2x
x+2
d.
x −2
x 2 + 2x
x 4 − 4x 2
x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) x ⋅ ( x − 2) x 2 − 2 x
=
=
=
=
2
( x + 2)
( x + 2)
x + 4x + 4x
x ⋅ ( x 2 + 4 x + 4)
x ⋅ ( x + 2)2
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
77
6
Considera esta operación:
4x
2x − 6
1
:
+ 2
. El resultado es:
x − 2x − 3 x + 1 x − 6x + 9
2
a.
2x + 1
x − 6x + 9
c.
8 x 3 − 48 x 2 + 73 x + 1
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
b.
x 2 − 6x + 9
2x + 1
d.
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
8 x 3 − 48 x 2 + 73 x + 1
2
4 x ⋅ ( x + 1)
4x
2x − 6
1
1
:
+ 2
=
+ 2
=
2
x − 2x − 3 x + 1 x − 6 x + 9 2 ⋅ x − 2x − 3 ⋅ ( x − 3 ) x − 6 x + 9
(
2
=
=
4 x ⋅ ( x + 1)
2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x − 3 )
(4 x + 2)
2 ⋅ ( x − 3)
2
=
2 ⋅ (2x + 1)
2 ⋅ ( x − 3)
2
+
=
1
( x − 3)
2x + 1
( x − 3)
2
2
=
=
)
4 x ⋅ ( x + 1) + 2 ⋅ ( x + 1)
2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3 )
2
=
2x + 1
x − 6x + 9
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 3. Ecuaciones e inecuaciones
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
Unidad 3. Ecuaciones e inecuaciones
SOLUCIONES PÁG. 69
1
Resuelve estas ecuaciones:
a. 2x – 3 + 7x + 1 = –4x + 5 + 6x
2x + 7x + 4x – 6x = 5 + 3 – 1 ⟹ 7x = 7 ⟹ x = 1
b. –4x + 11 + x – 2 + 3x – 6 + 3x = 0
–4x + x + 3x + 3x = 0 – 11 + 2 + 6 ⟹ 3x = –3 ⟹ x = –1
c. 6 + 3x – 2 + 5x = 1 + 8x – 7
3x + 5x – 8x = 1 – 7 – 6 + 2 ⟹ 0 ≠ –10 ⟹ Sin solución.
d. 5x + 9 – 3x – 7 + x = –3x + 2 + 6x
5x – 3x + x + 3x – 6x = 2 + 7 – 9 ⟹ 0 = 0 ⟹ Infinitas soluciones.
2
Halla la solución de las siguientes ecuaciones:
a. 2 · (x – 3) + 5 · (–4 + 3x) = – (6x + 3)
2x – 6 – 20 + 15x = – 6x – 3
2x + 15x + 6x = – 3 + 6 + 20
23x = 23 ⟹ x = 1
b. –2 + 4 · (–2x + 5) = –2x + 18 – 6x
–2 – 8x + 20 = –2x + 18 – 6x
–2 + 20 – 18 = –2x – 6x + 8x
0 = 0 ⟹ Infinitas soluciones.
c. 4x – (x – 7) + (–2x – 1) = 3 · (5x + 2)
4x – x + 7 – 2x – 1 = 15x + 6
4x – x – 2x – 15x = 6 – 7 + 1
–14x = 0 ⟹ x = 0
d. –5 · (3x – 4) + 6 · (8 – x) – (–3x + 2) = 0
–15x + 20 + 48 – 6x + 3x – 2 = 0
–18x = –66 ⟹ x =
−66 11
=
−18 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
e. 7 – [5x + 2 · (–4x + 8)] = 3 · (–10 – x)
7 – 5x + 8x – 16 = –30 – 3x
– 5x + 8x + 3x = –30 – 7 + 16
6x = –21 ⟹ x =
3
−21
7
=−
6
2
Calcula la solución de estas ecuaciones:
a.
5x
7x 3
−1=
+
9
6 8
5
7
3
x − x = +1
9
6
8
11
11
18
9
− x=
⇒x=−
=−
18
8
8
4
b.
x − 2 x + 3 2x − 7
−
=
10
4
8
2 x − 4 − 5 x − 15 2 x − 7
=
20
8
−3
19 1
7
x−
= x−
20
20 4
8
−3
1
7 19
x− x=− +
20
4
8 20
−2
3
15
3
x=
⇒x=−
=−
5
40
80
16
x
1
c. 2 ⋅  −  = 5 − 3 ⋅ ( 2 x + 4 )
 3 4
2x 1
− = 5 − 6 x − 12
3 2
2
1
x + 6 x = −7 +
3
2
20
13
39
x=−
⇒x=−
3
2
40
d. 2 x −
3 ⋅ ( 5 x − 1)
10
=
x +4 1
−
5
3
15 x − 3 x 4 1
= + −
10
5 5 3
3
1
7
3
2x − x − x =
−
2
5
15 10
3
1
5
x= ⇒x=
10
6
9
2x −
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
e.
5 ⋅ (2x + 3)
−5 x 3 ⋅ ( x + 3 )
−
=x+
6
4
15
−5
3 x + 9 15 x + 10 x + 15
x−
=
6
4
15
9 25
−19
x− =
x +1
12
4 15
19
5
9
− x − x = 1+
12
3
4
13
13
− x=
⇒ x = −1
4
4
f. −3 x +
−3 x +
5
4
⋅ ( x − 2) = ⋅ (10 − 5 x ) + 1
2
5
5
40 20
−
x −5 =
x +1
2
5
5
1
− x − 5 = 8 − 4x + 1
2
7
x = 14 ⇒ x = 4
2
SOLUCIONES PÁG. 71
4
Indica el número de soluciones reales de las siguientes ecuaciones sin
resolverlas:
Se debe comprobar el signo del discriminante de la ecuación ax2 + bx +c,
∆ = b2 – 4ac:
•
Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
•
Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real doble.
•
Si ∆ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
a. –x2 + 2x + 15 = 0
∆ = 22 – 4 · (–1) · 15 = 64 > 0 ⟹ Dos soluciones reales distintas.
b. 3x2 – 6x + 3 = 0
∆ = 62 – 4 · 3 · 3 = 0 ⟹ Una solución real doble.
c. 4x2 + 5x + 7 = 0
∆ = 52 – 4 · 4 · 7 = –87 < 0 ⟹ Ninguna solución real.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
d. 9x2 + 30x + 25 = 0
∆ = 302 – 4 · 9 · 25 = 0 ⟹ Una solución real doble.
e. –2x2 + 6x – 9 = 0
∆ = 62 – 4 · (–2) · (–9) = –36 < 0 ⟹ Ninguna solución real.
f. 4x2 + 16x + 15 = 0
∆ = 162 – 4 · 4 · 15 = 16 > 0 ⟹ Dos soluciones reales distintas.
g. –2x2 – 7x + 4 = 0
∆ = (–7)2 – 4 · (–2) · 4 = 81 > 0 ⟹ Dos soluciones reales distintas.
h. –x2 – x – 5 = 0
∆ = (–1)2 – 4 · (–1) · (–5) = –19 < 0 ⟹ Ninguna solución real.
5
Resuelve las ecuaciones de la actividad anterior y comprueba que el número
de soluciones coincide en ambas actividades.
a. –x2 + 2x + 15 = 0
x=
−2 ± 2 2 + 4 ⋅ 1⋅ 15 −2 ± 64 2 ± 8
=
=
−2 ⋅ 1
−2
2
x1 = –3, x2 = 5 ⇒ Dos soluciones reales distintas.
b. 3x2 – 6x + 3 = 0
x=
6 ± 62 – 4 · 3 · 3 6 ± 0
=
=1
2⋅3
6
x = 1 ⇒ Una solución real doble.
c. 4x2 + 5x + 7 = 0
x=
−5 ± 5 2 – 4 · 4 · 7 −5 ± –87
=
2⋅4
8
Sin solución.
d. 9x2 + 30x + 25 = 0
x=
−30 ± 30 2 – 4 · 9 · 25 −30 ± 0 −5
=
=
2⋅9
18
3
x=
−5
⇒ Una solución real doble.
3
e. –2x2 + 6x – 9 = 0
x=
−6 ± 6 2 − 4 · 2 · 9 6 ± −36
⇒ Sin solución.
=
−2 ⋅ 2
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
f. 4x2 + 16x + 15 = 0
−16 ± 162 – 4 · 4 · 15 −16 ± 16 −16 ± 4
=
=
2⋅4
8
8
−3
−5
x 1=
; x 2=
⇒ Dos soluciones reales distintas.
2
2
x=
g. –2x2 – 7x + 4 = 0
7 ± ( −7)2 + 4 · 2 ⋅ 4 7 ± 49 + 32 −7 ± 81 −7 ± 9
=
=
=
−2 ⋅ 2
−4
4
4
1
x 1= ; x 2 = −4 ⇒ Dos soluciones reales distintas.
2
x=
h. –x2 – x – 5 = 0
x=
1 ± ( −1)2 − 4 · 1⋅ 5 1 ± −19
=
2 ⋅ ( −1)
−2
Sin solución.
6
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. –5x2 + x = 0
 x1 = 0

x · (–5x + 1) = 0 ⟹ 
1
 –5 x + 1 = 0 ⇒ x2 = 5

b. x2 – 4 = 0
x2 = 4 ⟹ x = ± 4 ⟹ x1 = 2; x2 = –2
c. x2 – 7 = 0
x2 – 7 = 0
x2 = 7 ⟹ x = ± 7 ⟹ x1 =
7 ; x2 = – 7
2
d. 9x = 1
9x2 = 1
x2 =
1
1
1
1
⇒x=±
⇒ x1 = ; x 2 = −
9
9
3
3
e. 5x · (5x – 2) = 4 – 10x
5x · (5x – 2) = 4 – 10x
25x2 – 10x = 4 – 10x
25x2 = 4 ⟹ x 2 =
4
4
2
2
⇒x=±
⇒ x1 = ; x 2 = −
25
25
5
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
f. 4 · (x + 2) · (x – 1) = 2x2 – 4x + 6
4 · (x + 2) · (x – 1) = 2x2 – 4x + 6
(4x + 8) · (x – 1) = 2x2 – 4x + 6
4x2 – 4x + 8x – 8 = 2x2 – 4x + 6
2x2 + 8x – 14 = 0
x=
−8 ± 8 2 + 4 · 2 · 14 −8 ± 176 −8 ± 22 11
=
=
= −2 ± 11
2⋅2
4
4
x1 = –2 + 11 ; x2 = –2 –
11
g. (x + 1)2 = x + 1
(x + 1)2 = x + 1
x2 + 2x + 1 = x + 1
x2 + x = 0
 x1 = 0
x · (x + 1) ⟹ 
 x + 1 = 0 ⇒ x2 = – 1
h. 4x2 + 2x = 5x
4x2 + 2x = 5x
4x2 – 3x = 0
 x1 = 0

x · (4x – 3) = 0 ⟹ 
3
 4 x – 3 = 0 ⇒ x2 =

4
7
Indica una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean:
La suma, S, de las soluciones de la ecuación, x1 + x2, es igual a
−b
.
a
El producto, P, de las soluciones de la ecuación, x1 + x2, es igual a
c
.
a
Se plantean este par de ecuaciones para hallar los coeficientes de cada ecuación:
−b

 x1 + x2 = a

x ⋅ x = c
 1 2 a
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
a. 3 y 5
−b
−b

3 + 5 = a ⇒ 8 = a ; 8a = −b

3 ⋅ 5 = c ⇒ 15 = c ; 15a = c

a
a
Si a = 1 ⟹ b = –8; c = 15
La ecuación es: x2 – 8x + 15 = 0
b. –2 y 7
−b
−b

−2 + 7 = a ⇒ 5 = a ; 5a = −b

−2 ⋅ 7 = c ⇒ −14 = c ; − 14a = c

a
a
Si a = 1 ⟹ b = –5; c = 14
La ecuación es: x2 – 5x –14 = 0
c.
1
y –4
3
−b
11
1
 3 − 4 = a ⇒ − 3 =

 1 ⋅ ( −4 ) = c ⇒ − 4 =
 3
a
3
−b 11
; a=b
a 3
c
4
;− a=c
a 3
Si a = 3 ⟹ b = 11; c = –4
La ecuación es: 3x2 + 11x – 4 = 0
d.
−2 2
y
5
5
b
 2 2 −b
− 5 + 5 = a ⇒ 0 = a ; b = 0

− 2 ⋅ 2 = c ⇒ − 4 = c ; − 4 a = c
 5 5 a
25 a 25
Si a = 25 ⟹ b = 0; c = –4
La ecuación es: 25x2 – 4 = 0
8
Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación 3x2 + bx + c = 0,
sabiendo que sus soluciones son –2 y 4.
−b
−b

−2 + 4 = a ⇒ 2 = a ; 2a = −b

−2 ⋅ 4 = c ⇒ −8 = c ; 8a = −c

a
a
Si a = 3 ⟹ b = –6, c = –24
La ecuación es: 3x2 – 6x – 24 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
9
Busca información en Internet sobre la clasificación de las ecuaciones de
segundo grado establecida por el matemático Al-Khwarizmi en el siglo VIII d. C.
Respuesta abierta.
10 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. (4x + 3) · (6x – 3) – 1 = (2x + 1)2 – 5
24x2 – 12x + 18x – 9 – 1 = 4x2 + 4x + 1 – 5
20x2 + 2x – 6= 0
x=
−2 ± 22 − 4·20·( −6) −2 ± 484 −2 ± 22
=
=
2· 20
40
40
3
1
x1 = − , x2 =
5
2
b. (6x – 1)2 – (5x – 2)2 = 16
36x2 – 12x + 1 – (25x2 – 20x + 4) = 16
11x2 + 8x – 19 = 0
x=
−8 ± 8 2 + 4 · 11 · 19 −8 ± 900 −8 ± 30
=
=
2 ⋅ 11
22
22
x1 = 1; x2 =
−19
11
c. (x + 4)2 = 8x + (2x – 1)2
x2 + 8x + 16 = 8x + 4x2 – 4x + 1
3x2 – 4x – 15 = 0
x=
4 ± 4 2 + 4 · 3 · 15 4 ± 196 4 ± 14
=
=
2⋅3
6
6
x1 = 3; x2 =
−5
3
11 Encuentra las soluciones de estas ecuaciones:
a.
3 ⋅ ( x 2 − 11) 2 ⋅ ( x 2 − 60)
−
=0
5
7
3 x 2 − 33 2 x 2 − 120 21x 2 − 231 − 10 x 2 + 600 11x 2 + 369
−
=
=
= 0 ⇒ 11x 2 + 369 = 0
5
7
35
35
No tiene solución real.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
b.
2x 2 − 1 x − 1 1− x
−
=
2
3
6
6 x 2 − 3 − 2x + 2 1 − x
=
6
6
2
6 x − 2x − 1 = 1 − x
6x 2 − x − 2 = 0
x=
1 ± 12 + 4 ⋅ 6 ⋅ 2 1 ± 49 1 ± 7
=
=
2⋅6
12
12
2
1
x1 = ; x2 = −
3
2
c.
( x − 2) ⋅ ( x + 2) ( x − 3)2 x ⋅ (11 − x )
−
=
4
3
6
x 2 − 4 x 2 − 6 x + 9 11x − x 2
−
=
4
3
6
2
2
3 x − 12 − 4 x + 24 x − 36 22 x − 2 x 2
=
12
12
2
2
− x + 24 x − 48 = −2 x + 22 x
x 2 + 2 x − 48 = 0
x=
−2 ± 22 + 4 ⋅ 1⋅ 48 −2 ± 196 −2 ± 14
=
=
= −1 ± 7
2 ⋅1
2
2
x1 = 6; x2 = –8
d.
( x − 1)2 (1 + 2 x )2
(2 x − 1) ⋅ (2 x + 1)
−
= −2 −
2
3
3
x 2 − 2x + 1 1 + 4x + 4x 2
4x 2 − 1
−
= −2 −
2
3
3
3 x 2 − 6 x + 3 − 2 − 8 x − 8 x 2 −12 − 8 x 2 + 2
=
6
6
2
2
−5 x − 14 x + 1 = −10 − 8 x
3 x 2 − 14 x + 11 = 0
x=
x1 =
14 ± 142 − 4 ⋅ 3 ⋅ 11 14 ± 64 14 ± 8
=
=
2⋅3
6
6
11
; x2 = 1
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
SOLUCIONES PÁG. 73
12 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
• Se hace el cambio de variable, x2 = t
• Se resuelve la ecuación de segundo grado
• Se deshace el cambio de variable, x = ± t
a. x4 – 29x2 + 100 = 0
t2 – 29t + 100 = 0
t=
29 ± 29 2 − 4 ⋅ 1⋅ 100 29 ± 441 29 ± 21 t1 = 25
=
=

2 ⋅1
2
2
t 2 = 4
•
t1 = 25
x1 =+ t1 = + 25 = 5
x2 =– t1 = – 25 = –5
•
t2 = 4
x3 =+ t 2 = + 4 = 2
x4 =– t 2 = – 4 = –2
b. 9x4 – 8x2 = 1
9t2 – 8t – 1 = 0
t=
8 ± 8 2 + 4 ⋅ 9 ⋅ 1 8 ± 100 8 ± 10
=
=
2⋅9
18
18
•
t1 = 1
x1 =+ t1 = + 1 = 1
x2 =– t1 = – 1 = –1
•
t2 = −
1
⟹No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
9
c. x4 + 14x2 + 45 = 0
t2 + 14t + 45 = 0
t=
−14 ± 14 2 − 4 ⋅ 1⋅ 45 −14 ± 16 −14 ± 4
=
=
2 ⋅1
2
2
t1 = –5, t2 = –9
No hay soluciones reales de x =± t , pues los dos valores de t son negativos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
d. –9x4 + 148x2 – 64 = 0
–9t2 + 148t – 64 = 0
t=
•
−148 ± 148 2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 64 148 ± 19600 148 ± 140
=
=
−2 ⋅ 9
18
18
t1 = 16
x1 =+ t1 = + 16 = 4
x2 =– t1 = – 16 = –4
t2 =
•
4
9
x3 = t2 =
2
3
x4 = − t 2 = −
2
3
e. 9x2 – 68 = –2x4
2x4 + 9x2 – 68 = 0 ⟹ 2t2 + 9t – 68 = 0
t=
−9 ± 9 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 68 −9 ± 625 −9 ± 25
=
=
2⋅2
4
4
•
t1 = 4
x1 =+ t1 = + 4 = 2
x2 =– t1 = – 4 = –2
•
t2 = –17
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
4
f. –x + 48x2 + 49 = 0
–t2 + 48t + 49 = 0
t=
−48 ± 482 + 4 ⋅ 1⋅ 49 48 ± 2500 48 ± 50
=
=
2 ⋅ ( −1)
2
2
•
t1 = 49
x1 =+ t1 = + 49 = 7
x2 =– t1 = – 49 = –7
•
t2 = –1
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
g. 36x4 = 13x2 – 1
36x4 – 13x2 + 1 = 0 ⟹ 36t2 – 13t + 1 = 0
t=
13 ± 132 − 4 ⋅ 36 ⋅ 1 13 ± 25 13 ± 5
=
=
2 ⋅ 36
72
72
•
t1 =
•
1
4
x1 = +
1 1
=
4 2
x2 = −
1
1
=−
4
2
t2 =
1
9
x3 = +
1 1
=
9 3
x4 = −
1
1
=−
9
3
h. x4 – x2 – 12 = 0
t2 – t – 12 = 0
t=
1 ± 12 + 4 ⋅ 1⋅ 12 1 ± 49 1 ± 7
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 4
x1 =+ t1 = + 4 = 2
x2 =– t1 = – 4 = –2
•
t2 = –3
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
i. –4x4 + 13x2 – 3 = 0
–4t2 + 13t – 3 = 0
t=
−13 ± 132 − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 −13 ± 121 13 ± 11
=
=
2 ⋅ ( −4)
−8
8
•
t1 = 3
x1 =+ t1 = + 3
x2 =– t1 = – 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
•
t2 =
1
⟹
4
x3 = +
1 1
=
4 2
x4 = −
1
1
=−
4
2
j. x4 –7x2 + 10 = 0
t2 – 7t + 10 = 0
t=
7 ± 7 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 7 ± 9 7 ± 3
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 5
x1 =+ t1 = + 5
x2 =– t1 = – 5
•
t2 = 2
x3 =+ t 2 = + 2
x4 =– t 2 = – 2
13 Actividad resuelta.
14 Aplica un cambio de variable y resuelve la ecuación bicuadrada 2x4 – 162 = 0.
¿Podrías resolverla sin necesidad de hacer un cambio de variable? En caso
afirmativo, explica el procedimiento empleado.
2x4 – 162 = 0 ⟹ x2 = t ⟹ 2t2 – 162 = 0
2t2 = 162 ⇒ t 2 =
162
= 81 ⇒ t = ±9
2
Se deshace el cambio de variable, x1 = + 9 = 3; x2 = – 9 = –3
Para resolverla sin hacer un cambio de variable, se despeja la x directamente:
2x4 = 162 ⟹ x = ± 4 81 ⟹ x1 = +3, x2 = –3.
15 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a. x4 – 16 = 0
x4 = 16 ⟹ x = ± 4 16 ⟹ x1 = 2, x2 = –2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
b. 49x4 – 36x2 = 0
x2 · (49x2 – 36) = 0 ⟹ x1 = 0
49x2 – 36 = 0 ⟹ 49x2 = 36; x 2 =
36
36
6
6
⇒x=±
; x 2 = ; x3 = −
49
49
7
7
c. 3x4 + 3 = 0
3x4 = –3; x4 = –1 ⟹ Sin solución.
d. –4x4 + 121x2 = 0
x2 · (–4x2 + 121) = 0 ⟹ x1 = 0
–4x2 + 121 = 0 ⟹ 4x2 = 121; x 2 =
121
121
11
11
⇒x=±
; x 2 = ; x3 = −
4
4
2
2
e. –18x4 = –10x2
–18x4 + 10x2 = 0;
x2 · (–18x2 + 10) = 0 ⟹ x1 = 0
–18x2 + 10 = 0 ⟹ 18x2 = 10; x 2 =
10
10
5
5
⇒x=±
; x2 =
; x3 = −
18
18
3
3
f. 16x4 – 1 = 0
16x4 = 1; x 4 =
1
1
1
1
⇒ x = ±4
; x1 = ; x 2 = −
16
16
2
2
g. –2x4 – 1 250 = 0
2x4 = –1 250; x4 = –625 ⟹ Sin solución.
h. x4 – x2 = 0
x4 – x2 = 0
x2 · (x2 – 1) = 0 ⟹ x1 = 0
x2 – 1 = 0 ⟹ x2 = 1; x = ± 1 ⟹ x2 = 1; x3 = –1
i. 81x4 = –25
x4 = −
25
⟹ Sin solución.
81
j. –5x4 + 10 = 0
5x4 = 10; x 4 =
10
= 2; x = ± 4 2 ⇒ x1 = 4 2; x2 = − 4 2
5
16 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones:
• Si es necesario, se hace el cambio de variable, xn = t
• Se resuelve la ecuación con la nueva variable, t.
• Se deshace el cambio de variable, x = ± n t
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
a. x6 – 7x3 – 8 = 0
x3 = t ⟹ t2 – 7t – 8 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
t=
7 ± 7 2 + 4 ⋅ 1⋅ 8 7 ± 81 7 ± 9
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 8
x1 =
•
3
t1 =
3
8 =2
3
−1 = –1
t2 = –1
x2 =
3
t2 =
b. x6 – 28x3 + 27 = 0
x3 = t ⟹ t2 – 28t + 27 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
t=
28 ± 28 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 27 28 ± 676 28 ± 26
=
=
= 14 ± 13
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 27
x1 =
•
3
t1 =
3
27 = 3
t2 = 1
x2 =
3
t2 = 3 1 = 1
c. –8x6 + 63x3 = –8
–8x6 + 63x3 + 8 = 0
x3 = t ⟹ –8t2 + 63t + 8 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
t=
−63 ± 632 + 4 ⋅ 8 ⋅ 8 −63 ± 4225 63 ± 65
=
=
2 ⋅ ( −8)
−16
16
•
t1 = 8
x1 =
•
3
t1 =
t2 = −
1
8
x2 =
3
3
8 =2
t2 = 3 −
1
1
=−
8
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
d. –27x6 – 26x3 + 1 = 0
x3 = t ⟹ –27t2 – 26t + 1 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
t=
26 ± 262 + 4 ⋅ 27 ⋅ 1 26 ± 784 26 ± 28
=
=
−54
−54
2 ⋅ ( −27)
•
t1 = –1
•
3
t2 =
1
27
x2 =
3
−1 = –1
3
1
1
=
27 3
t1 =
x1 =
3
t2 =
e. x8 – 17x4 + 16 = 0
x4 = t ⟹ t2 – 17t + 16 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
t=
17 ± 17 2 − 4 ⋅ 1⋅ 16 17 ± 225 17 ± 15
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 16
x1 = + 4 t1 = + 4 16 = 2
x2 = – 4 t1 = – 4 16 = –2
•
t2 = 1
x3 = + 4 t 2 = + 4 1 = 1
x4 = – 4 t 2 = – 4 1 = –1
f. x10 = 33x5 – 32
x5 = t ⟹ x10 – 33x5 + 32 = 0 ⟹ t2 – 33t + 32 = 0
t=
33 ± 33 2 − 4 ⋅ 1⋅ 32 33 ± 961 33 ± 31
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 32
x1 =
•
5
t1 =
5
32 = 2
t2 = 1
x2 =
5
t2 = 5 1 = 1
g. x6 + 8x3 = 0
x3 · (x3 + 8) = 0 ⟹ x1 = 0
x3 + 8 = 0 ⟹ x3 = –8; x2 =
3
−8 = –2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
h. –2x6 + 128 = 0
2x6 = 128 ⟹ x 6 =
128
= 64 ⇒ x = ± 6 64 = ±2
2
x1 = 2, x2 = –2
i. –3x8 + 243x4 = 0
x4 = t ⟹ –3t2 + 243t = 0
t · (–3t + 243) = 0 ⟹ t1 = 0 ⇒ x1 = 0
–3t + 243 = 0 ⟹ t2 = 81
x2 = + 4 t 2 = + 4 81 = 3
x3 = – 4 t 2 = – 4 81 = –3
j. 5x6 + 10 = 0
x3 = t ⟹ t2 + 10 = 0; t2 = –10 ⟹ Sin solución.
17 Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones sean:
Se toman las raíces y se expresa la ecuación como producto de factores:
a. ±2 y ±5
(x + 2) · (x – 2) · (x + 5) · (x – 5) = 0
(x2 – 4) · (x2 – 25) = 0
x4 – 25x2 – 4x2 + 100 = 0
x4 – 29x + 100 = 0
b. ±3
(x + 3)2 · (x – 3)2 = 0
(x2 + 6x + 9) · (x2 – 6x + 9) = 0
x4 – 18x2 + 81 = 0
c. ± 5 y ± 7
(x +
5 ) · (x –
5 ) · (x +
7 ) · (x –
7)=0
(x2 – 5) · (x2 – 7) = 0
x4 – 7x2 – 5x2 + 35 = 0
x4 – 12x2 + 35 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
d. ±
1
4
2
2
1 
1

x +  ⋅x −  = 0
4 
4

1 2 1
1
 2 1
x + x +
·  x − x +  = 0
2
16  
2
16 

1
1
1 2 1 3 1 2 1
1 2 1
x 4 − x3 +
x + x − x +
x +
x −
x +
=0
2
16
2
4
32
16
32
256
1
1
=0
x4 − x2 +
8
256
18 Responde a las preguntas propuestas a continuación, razonando tu
respuesta.
a. ¿Existe alguna ecuación bicuadrada cuyas únicas soluciones sean 0 y 2? En
caso afirmativo, pon un ejemplo.
Si las únicas raíces de la ecuación bicuadrada fuesen 0 y 2 las posibilidades
para formar una ecuación de grado 4 serían:
• x · (x – 2)3 = 0; es decir, x4 – 6x3 + 12x2 – 8x = 0, que no es una ecuación
bicuadrada.
• x2 · (x – 2)2 = 0; es decir x4 – 4x3 + 4x2 = 0, que tampoco es bicuadrada.
• x3 · (x – 2) = 0; es decir x4 – 2x3 = 0, que tampoco es bicuadrada.
Por tanto, no existe ninguna ecuación bicuadrada con esas dos únicas raíces.
b. ¿Y alguna en la que al menos dos de sus soluciones sean 0 y 2? Si es
posible, pon un ejemplo.
Si las raíces de la ecuación bicuadrada fuesen 0 y 2 y alguna más, por ejemplo,
–2 se podría formar una ecuación bicuadrada de esta forma:
x2 · (x – 2) · (x + 2) = 0;
x4 – 4x2 = 0, cuyas soluciones son 0, 2 y – 2.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
19 Encuentra las soluciones de estas ecuaciones:
a. (x2 + 2) · (x2 – 2) – 5x2 = 32
x4 – 4 – 5x2 = 32
x4 – 5x2 – 36 = 0
x2 = t ⟹ t2 – 5t – 36 = 0 ⟹
t=
5 ± 5 2 + 4 ⋅ 1⋅ 36 5 ± 169 5 ± 13
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 9
x1 =+ t1 = + 9 = 3
x2 =– t1 = – 9 = –3
•
t2 = –4
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
b. 4x · (3x2 + 2x) – 1 = (3x2 + 5x) · (3x2 – x) + 3x2
12x3 + 8x2 – 1 = 9x4 – 3x3 + 15x3 – 5x2 + 3x2
9x4 – 10x2 + 1 = 0
x2 = t ⟹ 9t2 – 10t + 1 = 0 ⟹
t=
10 ± 10 2 − 4 ⋅ 9 10 ± 64 10 ± 8
=
=
2⋅9
18
18
•
t1 = 1
x1 =+ t1 = + 1 = 1
x2 =– t1 = – 1 = –1
•
t2 =
1
9
x3 =+ t 2 = +
1 1
=
9 3
x4 =– t 2 = –
1
1
=−
9
3
c. –5x2 · (x2 – 1) = 2x2 · (3 – 2x2) + 8
–5x4 + 5x2 = 6x2 – 4x4 + 8
x4 + x2 + 8 = 0
x2 = t ⟹ t 2 + t + 8 = 0
t=
−1 ± 12 − 4 ⋅ 8 −1 ± −31
⟹ Sin solución.
=
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
d. (x2 – 3)2 – 5 = 4 · [(x2 + 1) · (x2 – 1) – 4x2]
x4 – 6x2 + 9 – 5 = 4x4 – 4 – 16x2
3x4 – 10x2 – 8 = 0
x2 = t ⟹ 3t2 – 10t – 8 = 0
t=
10 ± 10 2 + 4 ⋅ 3 ⋅ 8 10 ± 196 10 ± 14
=
=
2⋅3
6
6
•
t1 = 4
x1 =+ t1 = + 4 = 2
x2 =– t1 = – 4 = –2
•
t2 = −
2
3
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
e. 2x2 · (x + 1)2 = 4 · (x3 – 2x2)
2x2 · (x2 + 2x + 1) = 4x3 – 8x2
2x4 + 4x3 + 2x2 = 4x3 – 8x2
2x4 + 10x2 = 0
2x4 + 10x2 = 0
x2 = t ⟹ 2t2 + 10t = 0 ⟹ 2t · (t + 5) = 0
t 1 = 0 ⟹ x1 = 0
t2 = –5 ⟹ No existe solución para x.
20 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a.
( x 2 + 2) ⋅ ( x 2 − 2 )
2
−2 =
5
5
x4 − 4 2
= +2
5
5
4
x
2 + 10 + 4
=
5
5
x 4 = 16 ⇒ x = ± 4 16 = ±2
x1 = –2, x2 = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
b.
3 ⋅ ( x 2 + 5 ) (2 x 2 − 1)2 35
−
=
2
4
2
3 x 2 + 15 4 x 4 − 2x 2 + 1 35
−
−
=0
2
4
2
41
− x 4 + 2x 2 −
=0
4
Se hace el cambio de variable a x2 = t para resolver una ecuación de segundo
grado:
–t 2 + 2t −
c.
41
 41
= 0 ⇒ 42 − 4 ⋅ ( −1) ⋅  −  < 0 ⇒ Sin solución real.
2
 2
( x + 1) ⋅ ( x − 1) 1 ( x 2 + 3) ⋅ ( x 2 − 3)
− =
2
3
6
x2 − 1 1 x4 − 9
− =
2
3
6
2
4
3x − 3 − 2 − x + 9
=0
6
− x 4 + 3x 2 + 4 = 0
Se hace el cambio de variable a x2 = t para resolver una ecuación de segundo
grado:
–t2 + 3t + 4 = 0
t=
−3 ± 32 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 4 −3 ± 9 + 16 −3 ± 25 −3 ± 5
=
=
=
−2
−2
−2
−2
•
t1 = 4
x1 =+ t1 = + 4 = 2
x2 =– t1 = – 4 = –2
•
t2 = –1
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
d.
(2 x 2 − 3)2 −19 x 2 + 16
=
5
9
4 x 4 − 12 x 2 + 9 19 x 2 − 16
+
=0
5
9
36 x 4 − 13 x 2 + 1
=0
45
36 x 4 − 13 x 2 + 1 = 0
Se hace el cambio de variable a x2 = t para resolver una ecuación de segundo
grado:
36t2 – 13t + 1 = 0
t=
13 ± 132 − 4 ⋅ 36 ⋅ 1 13 ± 25 13 ± 5
=
=
2 ⋅ 36
72
72
•
t1 =
•
e.
1
4
x1 =+ t1 = +
1
1
=
4
2
x2 =– t1 = –
1
1
=–
4
2
t2 =
1
9
x3 =+ t 2 = +
1 1
=
9 3
x4 =– t 2 = –
1
1
=−
9
3
(3 x 2 + 2) ⋅ (3 x 2 − 2) (3 x 2 − 1)2 3 ⋅ ( x 2 − 1)
−
=
5
4
2
9x 4 − 4 9x 4 − 6x 2 + 1 3x 2 − 3
−
=
5
4
2
36 x 4 − 16 − 45 x 4 + 30 x 2 − 5 − 30 x 2 + 30
=0
20
−9 x 4 + 9 = 0
x 4 = 1 ⇒ x1 = 1; x2 = −1
f.
2 x 2 ⋅ (3 x 2 − 5 )
− x 4 = x 2 ⋅ ( −25 + x 2 )
3
6 x 4 − 10 x 2 − 3 x 4 −75 x 2 + 3 x 4
=
3
3
4
2
4
2
6 x − 10 x − 3 x + 75 x − 3 x 4 = 0
65 x 2 = 0 ⇒ x = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
21 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas en función de los
parámetros a y b con a ≠ 0 y b ≠ 0:
a. x4 + 4abx2 – (a2 – b2)2 = 0
Se hace un cambio de variable a x2 = t:
(a
t 2 + 4abt –
t=
2
– b2
( 4ab )
−4ab ±
)
2
= 0
(
2
+ 4 ⋅ 1⋅ a 2 – b 2
)
2
=
2
−4ab ± 16a2b2 + 4a4 – 8a2b2 + 4b4
=
2
=
−4ab ± 16a b + 4a4 – 8a2b2 + 4b4 −4ab ± 4a4 + 4b4 + 8a2b2
=
=
2
2
=
−4ab ± 4(a2 + b2 )2 −4ab ± 2(a2 +b2 )
=
= −2ab ± (a2 +b2 )
2
2
2
•
2
t1 = –2ab + a2 + b2 = (a – b)2
x = t1 = (a − b )2 = ±(a − b )
•
t2 = –2ab – a2 – b2 = –(a + b)2
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
2 2 4
b. a b x – (a4 + b4)x2 + a2b2 = 0
Se hace un cambio de variable a x2 = t
a 2b 2 t 2 –
t=
(a
(a
=
=
(a
4
4
(a
4
)
+ b 4 t + a 2b 2 = 0
) (a
+ b4 ±
4
+ b4
2
− 4 ⋅ a 2b 2 ⋅ a 2b 2
2 ⋅ a 2b 2
)
+ b4 ± a8 + b8 + 2a4b4 − 4 ⋅ a4b4
2
4
)
2a b
)
2
+ b4 ± (a4 − b4 )2
2
2
=
(a
4
=
(a
=
4
)
)
+ b4 ± a8 + b8 − 2a4b4
2a2b2
=
+ b4 ± (a4 − b 4 )
2a b
2a2b2
a4 + b4 + a 4 − b4 a2
a
a
t1 =
= 2 ⇒ x1 = + ; x2 = −
2 2
2a b
b
b
b
4
4
4
4
2
a + b −a +b
b
b
b
t2 =
= 2 ⇒ x3 = + ; x 4 = −
a
a
2a2b2
a
22 Determina el valor de m en la ecuación x4 – 3x2 + m = 0 sabiendo que dos de
sus soluciones son 2 y –2.
Se hace un cambio de variable a x2 = t ⟹ Si x1 = 2, entonces t = 4
t2 – 3t + m = 0;
42 – 3 · 4 + m = 0;
16 – 12 = m ⟹ m = –4
Se comprueba con la otra solución, x = –2:
(–2)4 – 3 · (–2)2 – 4 = 0 ⟹ 16 – 12 – 4 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
23 Sea la ecuación ax4 – 10x2 + 1 = 0, ¿existe algún valor de a para el que la
ecuación tenga únicamente dos soluciones reales? ¿Y para que no tenga
solución real? En el caso de que existan, determina las soluciones.
Para que la ecuación tenga únicamente dos soluciones reales:
• Se hace el cambio de variable x2 = t ⟹ at2 – 10t + 1 = 0
• Se observa el signo del discriminante de la ecuación de segundo grado, de
modo que cumpla la condición de una única solución real, de modo que la
ecuación de cuarto grado tenga dos soluciones reales: las dos raíces de esa
única solución real de la ecuación de segundo grado.
b2 – 4ac = 0
102 – 4 · a · 1 = 0 ⟹ 4a = 100; a = 25
• Se hallan las soluciones:
25t2 – 10t + 1 = 0 ⟹
t=
10 ± 102 − 4 ⋅ 25 10 1
=
=
2 ⋅ 25
50 5
t=
1
1
5
1
5
; x2 = −
⇒ x1 =
=
=−
5
5
5
5
5
Para que no tenga ninguna solución real, el discriminante de la ecuación con la
variable en t, at2 – 10t + 1 = 0, debe cumplir la condición:
∆ = b2 – 4ac < 0
∆ = 102 – 4 ·a · 1 < 0
∆ = 100 – 4a < 0 ⟹ a > 25.
SOLUCIONES PÁG. 75
24 Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones:
Como las ecuaciones están factorizadas, las raíces se obtienen igualando a cero
cada uno de sus factores:
a. x2 · (3x – 6) · (2x2 – 18) = 0
•
x2 = 0 ⟹ x1 = 0
•
3x – 6 = 0 ⟹ x2 = 2
•
2x2 – 18 = 0; x2 = 9 ⟹ x3 = 3; x4 = –3
b. (–5x + 3) · (4x2 + 10x) · (x2 + 1) = 0
• –5x + 3 = 0 ⟹ x1 =
3
5
• 4x2 + 10x = 0 ⟹ x2 = 0; x3 =
−10
5
=−
4
2
• x2 + 1 = 0 ⟹ Sin solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
25 Resuelve las siguientes ecuaciones:
Se descompone el polinomio en factores y se hallan las raíces:
a. x3 – 5x2 – x + 5 = 0
Se utiliza la regla de Ruffini para encontrar factores:
1
–5
5
–1
0
5
–5
1
0
–1
0
5
(x – 5) es un factor.
1
1
1
0
–1
1
1
1
0
(x – 1) es otro factor.
(x + 1) es otro factor.
Luego x3 – 5x2 – x + 5 = (x – 5) · (x – 1) · (x + 1) = 0.
De modo que las raíces son x1 = 5; x2 = 1; x3 = –1
b. 3x3 + 7x2 – 22x – 8 = 0
Se utiliza la regla de Ruffini para encontrar factores:
3
7
6
–22
26
–8
8
3
13
4
0
2
(x – 2) es un factor.
3
13
–12
4
–4
3
1
0
–4
(x + 4) es un factor.
(3x + 1) es un factor.
Luego 3x3 + 7x2 – 22x – 8 = (x – 2) · (x + 4) · (3x + 1) = 0.
De modo que las raíces son x1 = 2; x2 = –4; x3 = −
1
3
c. 5x3 + 13x2 – 6x = 0
x · (5x2 + 13x – 6) = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
−13 ± 13 2 + 4 ⋅ 5 ⋅ 6 −13 ± 289 −13 ± 17
=
=
2⋅5
10
10
2
x1 = 0; x2 = ; x3 = −3
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
26 Resuelve estas ecuaciones:
a.
1
4x
2
+
=
x −3 x +2 x
m.c.m. ( x − 3, x + 2, x ) = x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 2 )
x ⋅ ( x + 2) + 4x 2 ⋅ ( x − 3 ) − 2 ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 2)
1
4x
2
+
= ⇒
=0
x −3 x +2 x
x ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 2)
x2 + 2x + 4x3 – 12x2 – 2x2 + 2x + 12 = 0
4x3 – 13x2 + 4x + 12 = 0
Se factoriza la ecuación para hallar las raíces:
4
–13
8
4
–5
8
4
3
2
2
4
–10
12
–12
–6 0
6
0
(x – 2) es un factor doble.
(4x + 3) es un factor.
Luego 4x3 – 13x2 + 4x + 12 = (x – 2)2 · (4x + 3) = 0.
De modo que las raíces son x1 = 2; x2 = −
b.
3
4
3 1 12 4
−
−
+
=0
x x2 x3 x4
3 x 3 − x 2 − 12x + 4
= 0 ⇒ 3 x 3 − x 2 − 12 x + 4 = 0
x4
Se utiliza la regla de Ruffini para encontrar factores:
3
2
3
–1
–12
4
6
10
–4
5
–2
0
(x – 2) es un factor.
3
–2
3
5
–2
–6
2
–1
0
(x + 2) es un factor.
(3x – 1) es un factor.
Luego 3x3 – x2 + 12x + 4 = (x – 2) · (x + 2) · (3x – 1) = 0.
De modo que las raíces son x1 = 2; x2 = –2; x3 =
1
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
c.
1
3x
x −4
−
=
x −1 x +1 x +1
2
m.c.m. (x2 – 1, x + 1) = m.c.m. ((x + 1) · (x – 1), x + 1) = (x + 1) · (x – 1)
1 − 3 x ⋅ ( x − 1) − ( x − 4) ⋅ ( x − 1)
1
3x
x −4
−4 x 2 + 8 x − 3
−
=
⇒
=
0
⇒
=0
x2 − 1 x + 1 x + 1
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
–4x2 + 8x – 3 = 0
−8 ± 82 − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 8 ± 16 8 ± 4
=
=
−2 ⋅ 4
8
8
3
1
x1 = ; x2 =
2
2
x=
d.
3x
x
x +1
+1=
−
x − 4 x2
x 2 − 4x
m.c.m. (x2 – 4x, x – 4, x2) = x2 · (x – 4)
2
2
3
3x
x
x + 1 3 x + x ⋅ ( x − 4 ) − x + ( x + 1) ⋅ ( x − 4 )
+
1
=
−
⇒
=0
x−4
x 2 − 4x
x2
x 2 ⋅ ( x − 4)
3x 2 + x 3 − 4x 2 − x 3 + x 2 − 3x − 4 = 0
4
−3 x − 4 = 0 ⇒ x = −
3
SOLUCIONES PÁG. 77
27 Resuelve las siguientes ecuaciones:
5x + 1 = 7 − x
a.
(
)
5x + 1
x=
2
= ( 7 − x ) ⇒ 5 x + 1 = 49 + x 2 − 14 x ⇒ x 2 − 19 x + 48 = 0
2
19 ± 192 − 4 ⋅ 1⋅ 48 19 ± 169 19 ± 13
=
=
2 ⋅1
2
2
x1 = 16; x2 = 3. Solo cumple la ecuación inicial x2 = 3.
2
b. x = 3x − 4x
x2 =
(
3x2 − 4x
)
2
⇒ x 2 = 3 x 2 − 4 x ⇒ 2 x 2 − 4 x = 0 ⇒ x ⋅ (2 x − 4) = 0
x1 = 0; x2= 2. Las dos soluciones cumplen la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
x 2 + 5 + 6 = 3 − 3x
c.
x 2 + 5 = 3 − 3 x − 6 ⇒ x 2 + 5 = −3 x − 3 = −3 ⋅ ( x + 1) ⇒
(
x2 + 5
)
2
= 9 ⋅ ( x + 1)2 ⇒
⇒ x 2 + 5 = 9 ⋅ ( x 2 + 2 x + 1) ⇒ 8 x 2 + 18 x + 4 = 0 ⇒ 4 x 2 + 9 x + 2 = 0
x=
−9 ± 92 − 4 ⋅ 4 ⋅ 2 −9 ± 49 −9 ± 7
=
=
8
8
8
1
x1 = − ; x2= –2. Solo cumple la ecuación inicial x2 = –2.
4
d. 2 x − x − 3 = 7
2x − 7 = x − 3 ⇒ ( 2x − 7 ) =
2
(
x −3
)
2
⇒ 4 x 2 − 28 x + 49 = x − 3
4 x 2 − 29 x + 52 = 0
x=
29 ± 292 − 4 ⋅ 4 ⋅ 52 29 ± 9 29 ± 3
=
=
2⋅4
8
8
x1 = 4; x2 =
13
. Solo cumple la ecuación inicial x1 = 4.
4
2x 2 − 1 = x2
e.
(
)
2x 2 − 1
2
= x 4 ⇒ 2x 2 − 1 = x 4 ⇒ − x 4 + 2x 2 − 1 = 0
Se hace cambio de variable: x2 = t ⟹ –t2 +2t – 1 = 0
t=
−2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ± 0
=
= 1 ⟹ x = ±1.
−2
2
x1 = 1; x2 = –1. Las dos soluciones cumplen la ecuación inicial.
f.
4 x + 5 + 2 x = −3
4 x + 5 = −(2 x + 3) ⇒
(
4x + 5
)
2
= [ −(2 x + 3)] ⇒ 4 x + 5 = 4 x 2 + 12x + 9 ⇒
2
⇒ 4x 2 + 8x + 4 = 0
x=
−8 ± 82 − 4 ⋅ 4 ⋅ 4 −8 ± 0
=
= −1
2⋅4
8
x = –1 no cumple la ecuación inicial, luego no tiene solución.
g. 3 x − 2 x + 5 = 15 − 3 x
(
3 x = 2 x − 5 + 15 − 3 x ⇒ 3 x = − x + 10 ⇒ 3 x
)
2
= ( − x + 10 ) ⇒
2
⇒ 9 x = x 2 − 20 x + 100 ⇒ x 2 − 29 x + 100 = 0
x=
29 ± 292 − 4 ⋅ 1⋅ 100 29 ± 441 29 ± 21
=
=
2 ⋅1
2
2
x1 = 25; x2 = 4. Solo cumple la ecuación inicial x2 = 4.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
h. 1 − 8 − x = 2 x
1 − 2 x = 8 − x ⇒ (1 − 2 x ) =
2
(
8−x
)
2
⇒ 1+ 4x 2 − 4x = 8 − x ⇒ 4x 2 − 3x − 7 = 0
3 ± 32 + 4 ⋅ 4 ⋅ 7 3 ± 121 3 ± 11
=
=
2⋅4
8
8
7
x1 = ; x2 = −1
4
x=
Solo cumple la ecuación inicial la solución x2 = –1.
28 Halla las soluciones de estas ecuaciones:
−x + 6 = −x 2 + 4 x
a.
(
−x + 6
x=
) =(
2
)
−x 2 + 4x
2
⇒ −x + 6 = − x 2 + 4x ⇒ x 2 − 5x + 6 = 0
5 ± 5 2 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 ± 1 5 ± 1
=
=
2
2
2
x1 = 3; x2 = 2. Las dos soluciones cumplen la ecuación inicial.
b. 2 4 x − 3 = 8 x − 2
(2
4x − 3
) =(
2
8x − 2
⇒ 8 x − 10 = 0 ⇒ x =
)
2
⇒ 4 ⋅ ( 4 x − 3 ) = 8 x − 2 ⇒ 16 x − 12 = 8 x − 2 ⇒
10 5
=
8
4
La solución cumple la ecuación inicial.
x −1 = x + 3 + 2
c.
(
) =(
x −1
2
x +3 +2
⇒ x + 3 = −2 ⇒
(
)
2
⇒ x −1= x + 3 + 4 x + 3 + 4 ⇒ 4 x + 3 + 8 = 0 ⇒
x +3
)
2
= 4 ⇒ x +3 = 4 ⇒ x =1
La solución no cumple la ecuación inicial, luego no existe solución.
2 x − 1 − 5 x = −2
d.
(
2x − 1 − 5 x
⇒ (7x − 5) = 2
)
(
2
= 4 ⇒ 2x − 1 + 5 x − 2
)
(
)
2x − 1 ⋅ 5 x = 4 ⇒
5 x ⋅ ( 2 x − 1) = 2 10 x 2 − 5 x ⇒ ( 7 x − 5 ) = 4
(
2
)
(
10 x 2 − 5 x
)
2
⇒
⇒ 49 x 2 − 70 x + 25 = 4 ⋅ 10 x 2 − 5 x ⇒ 49 x 2 − 70 x + 25 = 40 x 2 − 20 x ⇒
⇒ 9 x − 50 x + 25 = 0
2
x=
50 ± 502 − 4 ⋅ 9 ⋅ 25 50 ± 1600 50 ± 40
=
=
2⋅9
18
18
x1 = 5; x2 =
5
. Solo cumple la ecuación inicial la solución x1 = 5.
9
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
x + 5 + 3x + 4 = 7
e.
x + 5 + 3x + 4 = 7 ⇒
(
x + 5 + 3x + 4
)
2
= 49 ⇒
⇒ x + 5 + 3 x + 4 + 2 ⋅ x + 5 ⋅ 3 x + 4 = 49 ⇒ 4 x + 9 + 2 3 x 2 + 19 x + 20 = 49 ⇒
(
⇒ 2 3 x 2 + 19 x + 20 = 40 − 4 x ⇒ 2 3 x 2 + 19 x + 20
(
)
)
2
= ( 40 − 4 x ) ⇒
2
⇒ 4 ⋅ 3 x 2 + 19 x + 20 = 1600 − 320 x + 16 x 2 ⇒
⇒ 12 x 2 + 76 x + 80 = 1600 − 320 x + 16 x 2 ⇒ 4 x 2 − 396 x + 1520 = 0
x=
396 ± 3962 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1520 396 ± 364
=
2
2
x1 = 4; x2 =
189
. Solo cumple la ecuación inicial la solución x1 = 4.
2
x 4 + 8 − 2x 2 + 7 = 0
f.
x 4 + 8 = 2x 2 + 7 ⇒
(
x4 + 8
) =(
2
2x 2 + 7
)
2
⇒ x 4 + 8 = 2x 2 + 7 ⇒
⇒ x 4 − 2x 2 + 1 = 0
Se cambia la variable x2 = t ⟹ t2 – 2t + 1 = 0
t=
x=
2 ± 22 − 4 ⋅ 1⋅ 1 2 ± 0
=
=1
2 ⋅1
2
t ; x1 = 1; x2 = –1. Las dos soluciones cumplen la ecuación inicial.
1 − x + 3 x + 10 = 0
g.
1 − x = − 3 x + 10 ⇒
⇒ 4 x = −9; x = −
(
1− x
) = (−
2
3 x + 10
)
2
⇒ 1 − x = 3 x + 10 ⇒
9
4
La solución no cumple la ecuación inicial, luego no existe solución.
h.
3
(
5x + 2 = x − 2
3
5x + 2
)
3
= ( x − 2 ) ⇒ 5 x + 2 = x 3 − 6 x 2 + 12x − 8 ⇒
3
⇒ x 3 − 6 x 2 + 7 x − 10 = 0
Se utiliza la regla de Ruffini para encontrar las raíces del polinomio:
1
5
1
–6
7
–10
5
–5
10
–1
2
0
x = 5 es una raíz. El polinomio no se puede factorizar más:
(x – 5) · (x2 – x + 2) = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
El factor de segundo grado no tiene soluciones reales, pues su discriminante es
negativo.
Se comprueba que la raíz x = 5 cumple con la ecuación inicial, de manera que
x = 5 es solución de dicha ecuación.
SOLUCIONES PÁG. 78
29 Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa el resultado en forma de
intervalo:
a. x – 5 > 9
x>9+5
x > 14 ⟹ (14 , +∞)
b. 5x ≤ –3 + 4x
5x – 4x ≤ –3
x ≤ –3 ⟹ (–∞ , –3]
c. –2x ≤ 7
2x ≥ –7
x≥−
7
 7

⟹ − , + ∞ 
2
2


d. 6 – x < 1
6–1<x
5 < x ⟹ (5 , +∞)
e. –2x + 5 ≥ –3x – 9
–2x + 3x ≥ – 9 – 5
x ≥ – 14 ⟹ [–14 , +∞)
f. 3 · (x + 2) ≤ 12
3x + 6 ≤ 12
3x ≤ 12 – 6
3x ≤ 6
x ≤ 2 ⟹ (–∞ , 2]
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
30 Comprueba si los siguientes números son solución de la inecuación:
2 ⋅ ( x − 4) + 7 ≤
3x + 1
5
a. x = 5
2 ⋅ (5 − 4) + 7 = 9
3⋅5 +1
= 3,2
5
9 > 3,2
x = 5 no es solución.
b. x = –1
2 ⋅ ( −1 − 4) + 7 = −3
3 ⋅ ( −1) + 1
5
−3 < 0,4
= 0,4
x = –1 sí es solución.
c. x = 2
2 ⋅ (2 − 4) + 7 = 5
3⋅2 +1
= 1,4
5
5 > 1,4
x = 2 no es solución.
d. x =
5
2
5

2 ⋅  − 4 + 7 = 4
2


5
3⋅ +1
2
= 1,7
5
4 > 1,7
x=
5
no es solución.
2
También se puede resolver la inecuación y ver si las soluciones propuestas
pertenecen o no al intervalo solución:
3x + 1
3x + 1
⇒ 2x − 8 + 7 ≤
⇒ 10 x − 5 ≤ 3 x + 1 ⇒ 7 x ≤ 6 ⇒
5
5
6
6

⇒ x ≤ ⇒  −∞ , 
7
7


2 ⋅ ( x − 4) + 7 ≤
Se comprueba que la única solución que pertenece a este intervalo es la b: x = –2.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
SOLUCIONES PÁG. 79
31 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. 3x + 1 – x – 7 > 5x + 3
1 – 7 – 3 > 5x – 2x
– 9 > 3x ⟹ –3 < x ⟹ (–∞ , –3)
b. –4 + 6x < 2x – (x + 1)
6x – 2x + x < – 1 + 4
5x < 3 ⟹ x <
3
3

⟹  −∞ , 
5
5

c. –5 · (2 – 3x) + 4x ≥ –7x + 2
–10 + 15x + 4x ≥ –7x + 2
15x + 4x + 7x ≥ 10 + 2
26x ≥ 12 ⟹ x ≥
12 6
6

=
⟹  ,+ ∞
26 13
13

d. –x + 2 · (7 – 3x) – (x + 4) ≤ 11 – 5 · (x + 2)
–x + 14 – 6x – x – 4 ≤ 11 – 5x – 10
–11 + 10 + 14 – 4 ≤ x + 6x + x – 5x
9 ≤ 3x ⟹ 3 ≤ x ⟹ [3 , +∞)
e. 4 · [2 · (x – 3) – 5x] < –6 · (x – 2)
4 · [2x – 6 – 5x] < –6x + 12
8x – 24 – 20x < –6x + 12
–24 – 12< –6x + 20x – 8x
– 6 < 6x ⟹ –6 < x ⟹ (–6 , +∞)
32 Resuelve estas inecuaciones:
a.
7x
5x
−4≤
+1
3
6
7 x − 12 5 x + 6
30 10
10 

≤
⇒ 14 x − 24 ≤ 5 x + 6 ⇒ 9 x ≤ 30 ⇒ x ≤
=
⇒  −∞ , 
3
6
9
3
3

b.
− x + 6 3x − 1 x
≤
+
12
8
6
−2x + 12 9 x − 3 + 4 x
≤
⇒ −2x + 12 ≤ 9 x − 3 + 4 x ⇒ 15 ≤ 15 x ⇒ 1 ≤ x ⇒ [1, + ∞ )
24
24
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
c.
11x 2 ⋅ ( x − 5) x + 1
−
+
>0
9
4
6
44 x 9 ⋅ 2 ⋅ ( x − 5) 6 ⋅ ( x + 1)
−
+
> 0 ⇒ 44 x − 18 x + 90 + 6x + 6 > 0
36
36
36
32x > −96 ⇒ x > −3 ⇒ ( −3 , + ∞ )
SOLUCIONES PÁG. 80
33 Comprueba, sin resolver la inecuación, si los pares (–4 , –1); (–1 , 2); (0 , 0) y
(6 , 1) son su solución:
5y + 1
> 3 ⋅ ( x − 4)
2
Se sustituyen los pares en la ecuación y se comprueba si la cumple o no:
•
(–4 , –1); x = –4; y = –1
5 ⋅ ( −1) + 1
> 3 ⋅ ( −4 − 4);
2
2 > −24
Sí, el par (–4 , –1) es solución.
•
(–1 , 2); x = –1; y = 2
5⋅2 +1
> 3 ⋅ ( −1 − 4);
2
11
> −15
2
Sí, el par (–1 , 2) es solución.
•
(0 , 0) ; x = 0; y = 0
5⋅0 +1
> 3 ⋅ (0 − 4);
2
1
> −12
2
Sí, el par (0 , 0) es solución.
•
(6 , 1); x = 6; y = 1
5 ⋅1+ 1
> 3 ⋅ (6 − 4);
2
3
6
No, el par (6 , 1) no es solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
34 Resuelve estas inecuaciones:
a. 5x – y ≤ 10
y ≤ 5x – 10
•
Se representa la recta y = 5x – 10, que divide al plano en dos
semiplanos.
•
Se toma un punto que no pertenezca a esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de ver si este punto está dentro o
fuera del semiplano solución de la inecuación:
5 · 0 – 0 ≤ 10 ⟹ 0 ≤ 10. El punto (0 , 0) pertenece al plano solución.
b. 7 – 2 · (4x – 3) < –5y
5y – 8x < –13
y<
•
8 x − 13
5
Se representa la recta
y=
8x − 13
, que divide al plano en dos
5
semiplanos.
•
Se toma un punto que no pertenezca a esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de ver si este punto está dentro o
fuera del semiplano solución de la inecuación:
7 – 8 · 0 + 6 < –5 · 0
1
0 ⟹ El punto (0 , 0) no pertenece al plano solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
c. 4x > 3y + 15
4x – 15 > 3y
y<
4x – 15
3
•
Se representa la recta y =
4x – 15
, que divide al plano en dos
3
semiplanos.
•
Se toma un punto que no pertenezca a esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de ver si este punto está dentro o
fuera del semiplano solución de la inecuación:
4 ·0 > 3 · 0 + 15; 0
solución.
15 ⟹ El punto (0 , 0) no pertenece al plano
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
38
d. 4 · (x – y) ≥ 3x – 4y – 1
4x – 4y ≥ 3x – 4y – 1
4x – 3x – 4y + 4y ≥ – 1
x≥–1
•
Se representa la recta x = –1, que divide al plano en dos
semiplanos y se toma el semiplano que cumple la condición x ≥ –
1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39
e. 3 · (x + 1) – y > 5x + 6
3 · (x + 1) – y > 5x + 6
3x + 3 – y > 5x + 6
y < –2x – 3
•
Se representa la recta y = –2x – 3, que divide al plano en dos
semiplanos.
•
Se toma un punto que no pertenezca a esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de ver si este punto está dentro o
fuera del semiplano solución de la inecuación:
3 · (0 + 1) – 0 > 5 · 0 + 6; 3
solución.
6 ⟹ El punto (0 , 0) no pertenece al plano
f. –7 · (x + 1) ≤ 10 · (y + 1)
–7x – 7 ≤ 10y + 10
–7x – 17≤ 10y
y≥
•
−7x − 17
10
Se representa la recta y =
−7x − 17
, que divide al plano en dos
10
semiplanos.
•
Se toma un punto que no pertenezca a esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de ver si este punto está dentro o
fuera del semiplano solución de la inecuación:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
40
–7 · (0 + 1) ≤ 10 · (0 + 1); –7 ≤ 10 ⟹ El punto (0 , 0) pertenece al plano
solución.
SOLUCIONES PÁG. 81
35 Resuelve estas inecuaciones:
a. x2 – 5x + 6 < 0
Se factoriza el polinomio:
x=
5 ± 5 2 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 ± 1 5 ± 1
=
=
2 ⋅1
2
2
x1 = 3; x2 = 2 ⟹ (x – 3) · (x – 2) < 0
Se representan las raíces obtenidas en una recta numérica y se divide la
misma en los intervalos que marcan esas raíces:
Se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se comprueba el signo de la
inecuación en ese intervalo:
• En (–∞ , 3) se comprueba, por ejemplo, con el punto x = 1:
(1 – 3) · (1 – 2) = (–2) · (–1) = 2 > 0 ⟹ la ecuación factorizada es positiva en
este intervalo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
41
• En (2 , 3) se comprueba, por ejemplo, con el punto x =
5
:
2
1 1
1
5
 5

=−
< 0 ⟹ la ecuación factorizada es
 – 3 ·  – 2 = − ·
2 2
4
2
 2

negativa en este intervalo.
• En (3 , ∞) se comprueba, por ejemplo, con el punto x = 4:
(4 – 3) · (4 – 2) = 1 · 2 = 2 > 0 ⟹ la ecuación factorizada es positiva en este
intervalo.
Como la inecuación es (x – 3) · (x – 2) < 0 las soluciones válidas son las del
intervalo (2 , 3), que es el que produce números negativos.
b. x3 + 2x2 – 9x – 18 > 0
Se factoriza el polinomio:
1 2 –9 –18
3
3 15 18
1 5 6
0
(x – 3) es un factor.
–2
1 5
6
–2 –6
1 3
0
(x + 2) es un factor y (x + 3) otro factor.
La inecuación factorizada queda así:
(x – 3) · (x + 2) · (x + 3) > 0
Se representan las raíces obtenidas en una recta numérica y se divide la
misma en los intervalos que marcan esas raíces:
Se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se comprueba el signo de la
inecuación en ese intervalo:
•
•
•
•
En (–∞ , –3) la ecuación factorizada es < 0.
En (–3 , –2) la ecuación factorizada es > 0.
En (–2 , 3) la ecuación factorizada es < 0.
En (3 , +∞) la ecuación factorizada es > 0.
Como la inecuación es (x – 3) · (x + 2) · (x + 3) > 0, las soluciones válidas son
las del intervalo (–3 , –2) ∪ (3 , +∞), que son los que producen números
positivos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
42
36 Resuelve estas inecuaciones:
a. –4x2 + x – 3 ≥ 0
Se buscan las raíces del polinomio:
–4x2 + x – 3 = 0
x=
−1 ± 12 − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 1 ± −47
=
−2 ⋅ 4
8
No tiene raíces reales, lo que significa que no hay ningún intervalo que pueda
cumplir la inecuación.
b. x4 – 5x2 + 4 ≤ 0
Se buscan las raíces del polinomio haciendo un cambio de variable: x2 = t.
t2 – 5t + 4 = 0 t =
•
5 ± 52 − 4 ⋅ 4 5 ± 9 5 ± 3
=
=
2
2
2
t1 = 1
x1 =+ t1 = + 1 = 1
x2 =– t1 = – 1 = –1
•
t2 = 4
x3 = + t2 = 2
x4 = − t2 = −2
La inecuación factorizada queda así:
(x – 1) · (x + 1) · (x – 2) · (x + 2) ≤ 0
Se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se comprueba el signo de la
inecuación en ese intervalo:
•
•
•
•
•
En (–∞ , –2) la ecuación factorizada es > 0.
En (–2 , –1) la ecuación factorizada es < 0.
En (–1 , 1) la ecuación factorizada es > 0.
En (1 , 2) la ecuación factorizada es < 0.
En (2 , +∞) la ecuación factorizada es > 0.
Como la inecuación es (x – 1) · (x + 1) · (x – 2) · (x + 2) ≤ 0, las soluciones
válidas son las del intervalo [–2 , –1] ∪ [1 , 2], que son las que producen
números menores o iguales que cero.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43
SOLUCIONES PÁG. 85
37 Un agricultor tiene 4 días para arar su terreno. El primer día labra la tercera
parte del terreno y el resto de días la mitad del terreno que trabajó el día
anterior. Si tras el cuarto día le faltan aún 18 m2 por arar, ¿cuántos metros
cuadrados tiene el terreno?
Se identifica como x el área del terreno.
El primer día el agricultor ara
El segundo día ara
1
x
3
1 1  1
⋅ x = x
2 3  6
El tercer día ara
1 1  1
⋅ x  =
x
2  6  12
El cuarto día ara
1  1  1
⋅ x =
x
2  12  24
Después de 4 días de trabajo faltan 18 m2 por arar, eso significa que la suma del
terreno arado durante esos días más lo que falta es el área total del terreno:
1
1
1
1
x+ x+
x+
x + 18
3
6
12
24
1 1 1
1
x ⋅ (1 − − −
− ) = 18
3 6 12 24
3
x = 18 ⇒ x = 48
8
x=
El terreno tiene 48 m2.
38 El área de un trapecio de 6 cm de altura es de 69 cm2. Si las bases se
diferencian en 7 cm, ¿cuánto miden las dos bases?
Se establece el área del trapecio: A =
B+b
⋅h
2
Se asigna la incógnita x a la longitud de la base mayor, B:
B=x
B–b=7⟹b=x–7
Se sustituyen los valores del área y la altura y la relación entre las bases en la
expresión del área:
A=
2x − 7
x + ( x − 7)
x + ( x − 7)
⋅ h = 69 ⇒
⋅ 6 = 69 ⇒
⋅ 6 = 69 ⇒ 2 x − 7 = 23 ⇒ x = 15
2
2
2
La base mayor, B, mide 15 cm
La base menor, b = 15 – 7 = 8 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
44
39 Se desea vallar un terreno rectangular con 1 200 m de cerca. Por uno de los
lados del terreno discurre un río, por lo que no es necesario vallarlo. Si el
área del terreno es de 160 000 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?
Se establece la ecuación del perímetro a
llar y del área del terreno:
x
va-
P = 2x + y = 1 200
A = x · y = 160 000
y
Se resuelve el sistema de ecuaciones:
y = 1 200 – 2x
x · (1 200 – 2x) = 160 000
–2x2 + 1 200x – 160 000 = 0
–x2 + 600x – 80 000 = 0;
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
x=
−600 ± 600 2 − 4 ⋅ 80000 −600 ± 40000 600 ± 200
=
=
−2
−2
2
x1 = 400 m ⟹ y1 = 1200 – 800 = 400 m
x2 = 200 m ⟹ y2 = 1200 – 400 = 800 m
Hay, por tanto, dos soluciones:
400 × 400 m
200 × 800 m
40 La tercera parte del cuadrado de un número menos la cuarta parte del
cuadrado de su consecutivo es mayor que
13
. ¿Qué valores puede tener
12
ese número?
Se plantea la inecuación:
1 2 1
13
x − ( x + 1)2 >
3
4
12
Se intenta factorizar la inecuación, resolviendo la ecuación:
1 2 1
13
4 x 2 − 3 ⋅ ( x + 1)2 13
x − ( x + 1)2 =
⇒
=
⇒ 4 x 2 − 3 ⋅ ( x 2 + 2 x + 1) = 13
3
4
12
12
12
4 x 2 − 3 x 2 − 6 x − 3 = 13 ⇒ x 2 − 6 x − 16 = 0
x=
6 ± 62 + 4 ⋅ 16 6 ± 100 6 ± 10
=
=
2
2
2
x1= 8; x2 = –2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
45
Es decir, la inecuación en factores es: (x – 8) · (x + 2) > 0.
Se representan en la recta numérica los intervalos que pueden cumplir la
inecuación y se comprueba cuál de ellos es solución:
Se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se comprueba el signo de la
inecuación en ese intervalo:
•
•
•
En (–∞ , –2) la ecuación factorizada es > 0.
En (–2 , 8) la ecuación factorizada es < 0.
En (8 , +∞) la ecuación factorizada es > 0.
Cualquier valor que pertenezca a (–∞, –2) ∪ (8 , +∞) es solución de la inecuación.
41 La raíz cuadrada del triple de un número, aumentada en 6 unidades, es igual
al cuádruple del número disminuido en 9 unidades. ¿Cuál es ese número?
Se establece la incógnita, x y la ecuación que cumple:
3x + 6 = 4 ⋅ ( x − 9 )
Se resuelve la ecuación irracional:
3x + 6 = 4 ⋅ ( x − 9)
3 x + 6 = 4 x − 36
3 x = 4 x − 42
(
3x
)
2
= ( 4 x − 42 )
2
3 x = 16 x 2 − 336 x + 1764
16 x 2 − 339 x + 1764 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
339 ± 3392 − 4 ⋅ 16 ⋅ 1764 339 ± 2025
=
2 ⋅ 16
32
339 ± 45
x=
32
x=
x1 = 12; x2 =
147
. Solo cumple la ecuación inicial la solución x1 = 12.
16
El número es 12.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
46
42 La suma de las edades de 3 hermanos es menor que 53. Si el mediano es 5
años mayor que el pequeño, y el mayor tiene el doble de años que el
pequeño, ¿qué edad puede tener el hermano menor?
Se plantea la incógnita, la edad del hermano menor, x.
Se establece la relación de la incógnita con los datos que ofrece el problema:
Edad del hermano menor: x
Edad del hermano mediano: x + 5
Edad del hermano mayor: 2x
La suma de las edades de los hermanos es:
x + (x + 5) + 2x < 53
4x + 5 < 53
4x < 48 ⟹ x < 12
El hermano menor tiene menos de 12 años.
43 Una empresa de alquiler de vehículos cobra, por una furgoneta, 50 € fijos
más 5 € por cada hora de alquiler y, si es un turismo, 90 € más 3 € por hora.
¿A partir de cuántas horas de alquiler sale más económico decidirse por una
furgoneta?
Se plantea la incógnita, x, que es el número de horas de alquiler.
Se establece la relación de la incógnita con los datos del problema:
• El alquiler de la furgoneta cuesta: 50 + 5x
• El alquiler del turismo cuesta: 90 + 3x
• La furgoneta sale más económica si su precio es menor que el del turismo, es
decir:
50 + 5x < 90 + 3x
2x < 40 ⟹ x < 20 horas
Es más económico alquilar la furgoneta si se alquila menos de 20 horas.
44 Una perfumería dispone de dos tipos de perfume: uno a 5 €/L y otro a 7 €/L.
Con ambas variedades quiere hacer una mezcla de 70 L que no cueste más
de 6 €/L. ¿Qué cantidad de litros de cada tipo podrá mezclar?
Se denomina x a los litros del perfume de 5€/L e y al perfume de 7€/L.
Se establece la relación entre incógnitas y datos del problema:
La cantidad de la mezcla de perfumes es: x + y = 70
El precio de la mezcla de perfumes, para la cantidad que se quiere producir es:
x · 5 + y · 7 < 6 · 70 ⟹ 5x + 7y < 420
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
47
Se resuelve el sistema:
 x + y = 70

5 x + 7 y < 420
x = 70 – y
5 · (70 – y) + 7y < 420
350 – 5y + 7y < 420
2y = 70 ⟹ y < 35 L; x < 35 L
La cantidad de perfume del primero debe ser menor o igual a 35 L.
SOLUCIONES PÁG. 87
1
¿Cuántas soluciones reales puede tener una ecuación de segundo grado
completa? ¿De qué depende el número de soluciones?
Puede tener dos soluciones reales distintas, una solución real doble o no tener solución. El número de soluciones depende del valor del discriminante.
El discriminante de la ecuación ax2 + bx +c, es ∆ = b2 – 4ac:
• Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
• Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real doble.
• Si ∆ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
2
Explica cuál es el procedimiento seguido para resolver una ecuación
bicuadrada.
Respuesta abierta.
3
¿Puede carecer de solución una ecuación bicuadrada? Justifica tu
respuesta mediante un ejemplo.
Sí ver actividad 23 de la página 73. Respuesta abierta.
4
¿En qué tipo de ecuación es necesario comprobar las soluciones, dado que
pueden obtenerse valores que no cumplen la ecuación?
En las ecuaciones con fracciones algebraicas y en las irracionales.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
48
5
¿Cuántas soluciones reales puede tener como máximo una ecuación
polinómica de grado n?
Puede tener n soluciones como máximo.
6
Al resolver una inecuación de primer grado con dos incógnitas, ax + by < c,
se representa gráficamente la recta ax + by = c, que divide al plano en dos
semiplanos. ¿Cómo podemos averiguar cuál de los dos semiplanos es la
solución de la inecuación?
Se elige un punto de uno de los dos semiplanos y se sustituye en la desigualdad.
Si la desigualdad es cierta, la solución es ese semiplano; si no, es el otro semiplano.
7
Explica el procedimiento utilizado para resolver una inecuación de segundo
grado con una incógnita.
Respuesta abierta.
8
¿Cuántas soluciones reales puede tener una ecuación de primer grado con
una incógnita? ¿Y una inecuación de primer grado con una incógnita?
Una ecuación de primer grado con una incógnita puede tener una solución, infinitas soluciones (todos los números reales) o no tener solución.
Una inecuación de primer grado con una incógnita puede tener como solución un
intervalo, todos los números reales o no tener solución.
9 Prepara una presentación digital para tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 88 - REPASO FINAL
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. –4x + 5 – x = 8x + 3 – 11
5 – 3 + 11 = 8x + 4x + x
13 = 13x ⟹ x = 1
b. x – 2 + 6x + 5 = 3x – 1 + 4x
x + 6x – 3x – 4x = –1 + 2 – 5
0 ≠ –4 ⟹ No tiene solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
49
c. 3 – 2x + 7 = x – 2 – 9x + 4
9x – 2x – x = –2 + 4 – 3 – 7
6x = –8 ⟹ x = −
8
4
=−
6
3
d. –x – 4x + 6 = –1 – 3x + 13 + x
–x – 4x + 3x – x = –1 + 13 – 6
–3x = 6 ⟹ x = –2
e. –1 + 6x – 4 + x = 2x + 5 – 10 + 5x
6x + x – 5x – 2x = 5 – 10 + 1 + 4
0x = 0 ⟹ Tiene infinitas soluciones.
f. 8x – 4 + 5x = 1 + 2x – x
8x + 5x – 2x + x = 1 + 4
12x = 5 ⟹ x =
2
5
12
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. 3 – (x + 4) + 5x = 8 + (1 – 6x)
3 – x – 4 + 5x = 8 + 1 – 6x
–x + 5x + 6x = 8 + 1 – 3 + 4
10x = 10 ⟹ x = 1
b. 5 · (3x + 2) – 7x = 2x – 4
15x + 10 – 7x = 2x – 4
15x – 7x – 2x = –4 – 10
6x = –14 ⟹ x = −
14
7
=−
6
3
c. –3 · (–x – 5) – 2x – 6 = 4 · (3 + x)
3x + 15 – 2x – 6 = 12 + 4x
3x – 2x – 4x = 12 – 15 + 6
–3x = 3 ⟹ x = –1
d. –(2 – 4x) + 5 · (x + 1) = 6 · (2x + 3)
–2 + 4x + 5x + 5 = 12x + 18
4x + 5x – 12x = 18 – 5 + 2
–3x = 15 ⟹ x = –5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
50
e. –4 · (x + 3) + 2 · (x – 1) = 5 – 2 · (x – 4)
–4x – 12 + 2x – 2 = 5 – 2x + 8
–4x + 2x + 2x = 5 + 8 + 12 + 2
0 ≠ 27 ⟹ No tiene solución.
f. 2 + 7 · (1 – 2x) = 3 – 6 · (3x + 2)
2 + 7 – 14x = 3 – 18x – 12
18x – 14x = 3 – 12 – 2 – 7
4x = –18 ⟹ x = −
3
18
9
=−
4
2
Resuelve estas ecuaciones:
a.
3x 1
x
+ =2−
5 6
10
18 x + 5 60 − 3 x
=
30
30
18 x + 5 = 60 − 3 x
21x = 55 ⇒ x =
b. 4 x −
55
21
5
7x
= −3 +
8
4
32x − 5 −24 + 14 x
=
8
8
32 x − 5 = −24 + 14 x
18 x = −19 ⇒ x = −
c.
19
18
x 3x 5x
−
+
= 14
2
4
6
6 x − 9 x + 10 x 168
=
12
12
6 x − 9 x + 10 x = 168
7 x = 168 ⇒ x = 24
d.
3x − 5 4x − 7
=
9
12
12 x − 20 12 x − 21
=
36
36
12 x − 20 = 12 x − 21
0 ≠ −1
No tiene solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
51
e. −5 x + 2 =
−3 x − 9
4
−20 x + 8 = −3 x − 9
−17 x = −17 ⇒ x = 1
f.
x + 3 1− 2x 5x
−
=
8
6
12
3 x + 9 − 4 + 8 x 10 x
=
24
24
3 x + 9 − 4 + 8 x = 10 x
x = −5
g. −1 +
x + 4 5x + 2 1
=
−
3
6
4
−12 + 4 x + 16 10 x + 4 − 3
=
12
12
−12 + 4 x + 16 = 10 x + 4 − 3
6x = 3 ⇒ x =
h.
3 1
=
6 2
2x + 1 x − 2 3x − 5
+
=
7
4
14
8 x + 4 + 7 x − 14 6 x − 10
=
28
28
8 x + 4 + 7 x − 14 = 6 x − 10
9x = 0 ⇒ x = 0
4
Calcula las siguientes ecuaciones:
a. 5 −
2 ⋅ (1 − x ) 2 ⋅ ( x − 1)
=
3
4
60 − 8 + 8 x 6 x − 6
=
12
12
60 − 8 + 8 x = 6 x − 6
2 x = −58 ⇒ x = −29
b.
3 ⋅ (2 x + 1)
3x − 1 7 − x
−x =
+
5
4
2
6x + 3 − 5x 3x − 1 7 − x
=
+
5
4
2
24 x + 12 − 20 x 15 x − 5 + 70 − 10 x
=
20
20
24 x + 12 − 20 x = 15 x − 5 + 70 − 10 x
x = −53
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
52
c. 3 x +
2 ⋅ ( x − 4) 5 ⋅ (1 − 2 x ) 3 x
=
+
9
6
2
27 x + 2 x − 8 5 − 10 x + 9 x
=
9
6
29 x − 8 5 − x
=
9
6
116 x − 32 30 − 6 x
=
36
36
116 x − 32 = 30 − 6 x
62 31
=
122 x = 62 ⇒ x =
122 61
d.
5 ⋅ ( x − 2) 4 ⋅ (2 x + 3)
2x − 1
−
= −2 −
8
3
6
5 x − 10 8 x + 12
−2 x + 1
−
= −2 +
8
3
6
15 x − 30 − 64 x − 96 −48 − 8 x + 4
=
24
24
15 x − 30 − 64 x − 96 = −44 − 8 x
−41x = 82 ⇒ x = −2
e.
−( x + 2) 3 x − 7 3 ⋅ ( x − 2) x
+
=
+
10
5
4
15
−x − 2 3x − 7 3x − 6 x
+
=
+
10
5
4
15
−6 x − 12 + 36 x − 84 45 x − 90 + 4 x
=
60
60
−6 x − 12 + 36 x − 84 = 45 x − 90 + 4 x
19 x = −6 ⇒ x = −
6
19
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
5
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. 3x2 – 12 = 0
3x2 = 12 ⟹ x = ± 4 = ±2
x1 = 2; x2 = –2
b. –5x2 + 6x = 0
x · (–5x + 6) = 0 ⟹ x1 = 0
–5x + 6 = 0 ⟹ x 2 =
6
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
53
c. –3x2 + 6 = 0
3x2 = 6 ⟹ x = ± 2
x1 =
2 ; x2 = – 2
d. 18x2 = 2
x2 =
2 1
=
18 9
1
1
=± ;
9
3
1
1
x1 = ; x2 = −
3
3
x=±
e. 2x · (x + 1) = 2 · (x – 5)
2x2 + 2x = 2x – 10
2x2 = – 10 ⟹ x =
−5 ⇒ No tiene solución real.
f. –3 · (x + 2)2 = –2 · (x + 6)
–3 · (x2 + 4x + 4) = –2x – 12
–3x2 – 12x – 12 = –2x – 12
–3x2 – 10x = 0
x · (–3x – 10) = 0 ⟹ x1 = 0
–3x – 10 = 0 ⟹ x2 = −
6
10
3
Resuelve estas ecuaciones:
a. x2 – 4x – 5 = 0
x=
4 ± 42 + 4 ⋅ 1⋅ 5 4 ± 36 4 ± 6
=
=
2
2
2
x1 = 5; x2 = –1
b. –x2 + 7x – 12 = 0
x=
−7 ± 72 − 4 ⋅ 1⋅ 12 7 ± 1
=
−2
2
x1 = 4; x2 = 3
c. x2 + 10x + 25 = 0
x=
−10 ± 102 − 4 ⋅ 1⋅ 25 −10 ± 0 −10
=
=
= −5
2
2
2
d. 3x2 – 4x + 8 = 0
x=
4 ± 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 8 4 ± −80
⇒ No tiene solución real.
=
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
54
e. –2x2 + x + 6 = 0
x=
−1 ± 12 + 4 ⋅ 2 ⋅ 6 1 ± 49 1 ± 7
=
=
−2 ⋅ 2
4
4
x1 = 2; x2 = −
6
3
=−
4
2
f. 6x2 – 5x + 1 = 0
5 ± 52 − 4 ⋅ 6 ⋅ 1 5 ± 1 5 ± 1
=
=
2⋅6
12
12
1
1
x1 = ; x2 =
2
3
x=
g. 9x2 – 30x + 25 = 0
x=
30 ± 30 2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 25 30 ± 0 5
=
=
2⋅9
18
3
h. –2x2 + x – 3 = 0
x=
7
−1 ± 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 −1 ± −23
⇒ No tiene solución real.
=
−2 ⋅ 2
−4
Calcula las siguientes ecuaciones e indica cuáles son de primer o segundo
grado:
a. 5 · (x + 3)2 – 4 · (x + 2)2 + 11 = 0
5 · (x2 + 6x + 9) – 4 · (x2 + 4x + 4) + 11 = 0
5x2 + 30x + 45 – 4x2 – 16x – 16 + 11 = 0
x2 + 14x + 40 = 0
x=
−14 ± 142 − 4 ⋅ 1⋅ 40 −14 ± 36 −14 ± 6
=
=
2
2
2
x1 = –4, x2 = –10. Ecuación de 2.º grado.
b. (x + 1)2 + 12 = (x – 1)2
x2 + 2x + 1 + 12 = x2 – 2x + 1
4x = 12 ⟹ x = –3. Ecuación de 1.er grado.
c. 9 · (x + 3)2 – 6x2 = 3x2 – 5 · (2x – 1)
9 · (x2 + 6x + 9) – 6x2 = 3x2 – 10x + 5
9x2 + 54x + 81 – 6x2 = 3x2 – 10x + 5
64x = – 76 ⟹ x = −
76
19
=−
64
16
Ecuación de 1.er grado.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
55
d. x · (3x + 2) – 5x · (–4 – 7x) = (x + 3) · (x – 3)
3x2 + 2x + 20x + 35x2 = x2 – 9
37x2 + 22x + 9 = 0
x=
−22 ± 222 − 4 ⋅ 37 ⋅ 9 −22 ± −848
⇒No tiene solución real.
=
2 ⋅ 37
74
Ecuación de 2.º grado.
8
Encuentra las soluciones de estas ecuaciones:
a.
7 x + 1 x 2 + 5 (2 x + 5) ⋅ (3 x − 1)
=
+
6
2
3
7 x + 1 3 x 2 + 15 2 ⋅ (2 x + 5) ⋅ (3 x − 1)
=
+
⇒ 7 x + 1 = 3 x 2 + 15 + 12 x 2 + 26 x − 10 ⇒
6
6
6
⇒ 15 x 2 + 19 x + 4 = 0
−19 ± 192 − 4 ⋅ 15 ⋅ 4 −19 ± 121 −19 ± 11
=
=
2 ⋅ 15
30
30
4
x1 = − ; x2 = −1
15
x=
2
2x − 1
 x −2
b. 3 ⋅ 
 +x =
3
 5 
x2 − 4x + 4
2x − 1 3 x 2 − 12x + 12
2x − 1
+x =
⇒
+x=
⇒
25
3
25
3
9 x 2 − 36 x + 36 + 75 x 50 x − 25
⇒
=
⇒ 9 x 2 − 36 x + 36 + 75 x = 50 x − 25 ⇒
75
75
⇒ 9 x 2 − 11x + 61 = 0
3⋅
x=
11 ± 112 − 4 ⋅ 9 ⋅ 61 11 ± −2075
=
2 ⋅ 18
2 ⋅ 18
No tiene solución real
c.
−4 x 2 − x 2 x + 1 7 x
−
=
+2
5
6
3
−24 x 2 − 6 x − 10 x − 5 70 x + 60
=
⇒ −24 x 2 − 6 x − 10 x − 5 = 70 x + 60 ⇒
30
30
⇒ 24 x 2 + 86 x + 65 = 0
−86 ± 862 − 4 ⋅ 24 ⋅ 65 −86 ± 1156
=
2 ⋅ 24
48
−86 ± 34
x=
48
13
5
x1 = − ; x 2 = −
12
2
x=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
56
d.
( x + 1)2 4 ⋅ ( x − 1)2 + 2 x
=
10
5
x 2 + 2 x + 1 4 ⋅ ( x 2 − 2 x + 1) + 2 x
x 2 + 2x + 1 4 x 2 − 8 x + 4 + 2 x
=
⇒
=
⇒
10
5
10
5
x 2 + 2x + 1
4x 2 − 6x + 4
x 2 + 2 x + 1 8 x 2 − 12 x + 8
⇒
= 2⋅
⇒
=
⇒
10
10
10
10
⇒ x 2 + 2 x + 1 = 8 x 2 − 12 x + 8 ⇒ 7 x 2 − 14 x + 7 = 0
x=
e.
14 ± 14 2 − 4 ⋅ 7 ⋅ 7
14
=x=
=1
2⋅7
14
x 2 − 7 x − 3 5 ⋅ ( x + 1)
−
−
=0
3
2
6
2 x 2 − 14 − 3 x + 9 − 5 x − 5
= 0 ⇒ 2x 2 − 8 x − 10 = 0
6
8 ± 82 + 4 ⋅ 2 ⋅ 10 8 ± 144
=
2⋅2
4
8 ± 12
x=
4
x=
x1 = 5; x2 = –1
9
Determina una ecuación de segundo grado cuyas soluciones tengan como
suma y producto:
La suma, S, de las soluciones de la ecuación, x1 + x2, es igual a
−b
.
a
El producto, P, de las soluciones de la ecuación, x1 + x2, es igual a
c
.
a
Se deben plantear este par de ecuaciones para hallar los coeficientes de cada
ecuación:
−b
a
c
x1 ⋅ x2 =
a
x1 + x2 =
a. S = –3, P = –10
−b
= 3 ⇒ b = −3a
a
c
x1 ⋅ x2 = = −10 ⇒ c = −10a
a
x1 + x2 =
Si a = 1 ⟹ b = 3; c = –10 ⟹ x2 + 3x – 10 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
57
b. S = 11, P = 24
−b
= 11 ⇒ b = −11a
a
c
x1 ⋅ x2 = = 24 ⇒ c = 24a
a
x1 + x2 =
Si a = 1 ⟹ b = –11; c = 24 ⟹ x2 – 11x + 24 = 0
c. S = –9, P = 20
−b
= −9 ⇒ b = 9a
a
c
x1 ⋅ x2 = = 20 ⇒ c = 20a
a
x1 + x2 =
Si a = 1 ⟹ b = 9; c = 20 ⟹ x2 + 9x + 20 = 0
10 Halla una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean –3 y 5 y que
cumplan estas condiciones:
a. El coeficiente de x2 es 1.
Si las soluciones son x1 = –3 y x2 = 5, la ecuación factorizada es:
(x + 3) · (x – 5) = 0
x2 + 3x – 5x – 15 = 0 ⟹ x2 – 2x – 15 = 0, que cumple que el coeficiente de x2 es
1; si no lo cumpliese, habría que reducir los coeficientes de la ecuación.
b. El coeficiente de x2 es 2.
La ecuación factorizada es la misma del apartado a.:
(x + 3) · (x – 5) = 0
x2 + 3x – 5x – 15 = 0 ⟹ x2 – 2x – 15 = 0
Como el coeficiente de x2 es 2, se multiplican por 2 todos los términos de la
ecuación:
2 · (x2 – 2x – 15) = 2x2 – 4x – 30 = 0
c. El coeficiente de x es 6.
Se parte de la ecuación factorizada, (x + 3) · (x – 5) = 0 y se opera con los
coeficientes para que cumplan la condición indicada, en este caso basta con
multiplicar todos los coeficientes por –3:
–3 · (x2 – 2x – 15) = –3x2 + 6x + 45 = 0
d. El término independiente es 60.
En este caso, al igual que antes, se opera para conseguir que el término
independiente sea 60, multiplicando por –4:
4 · (x2 – 2x – 15) = –4x2 + 8x + 60 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
58
SOLUCIONES PÁG. 89
11 Calcula el valor del coeficiente c de la ecuación 5x2 + 12x + c = 0, una de
cuyas soluciones es –2. ¿Cuál es la otra solución?
Se sustituye x = –2 en la ecuación:
P (–2) = 5 · (–2)2 + 12 · (–2) + c = 0 ⟹ c = 4
La ecuación es, entonces 5x2 + 12x + 4 = 0.
La ecuación factorizada es:
(x + 2) · (x – a) = 5x2 + 12x + 4
x2 – ax + 2x – 2a
x2 + (2 – a)x – 2a
5 · [x2 + (2 – a)x – 2a] = 5x2 + 5 · (2 – a)x – 10a = 5x2 + 12x + 4
Para hallar a se iguala alguno de los términos de igual coeficiente, por ejemplo, el
término en x:
5 · (2 – a) = 12 ⟹ 10 – 5a = 12; a = −
2
5
Se comprueba que igualando el término independiente se obtiene el mismo
resultado:
–10a = 4 ⟹ a = −
4
2
=−
10
5
También se puede hallar la otra raíz resolviendo la ecuación directamente:
5x2 + 12x + 4
−12 ± 122 − 4 ⋅ 5 ⋅ 4 −12 ± 8
=
2⋅5
10
4
2
x1 = −2; x2 = −
=−
10
5
x=
12 Halla el valor de m para que la ecuación 2x2 – 4x + m = 0 tenga una raíz
doble.
Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real doble:
∆ = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 · 2 · m = 0 ⟹ 16 – 8m = 0; m = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
59
ECUACIONES BICUADRADAS
13 Busca una ecuación bicuadrada cuyas soluciones sean:
Se toman las raíces y se expresa la ecuación como el producto de
factores.
a. ±4
Respuesta abierta. Por ejemplo:
(x + 4)2 · (x – 4)2 = 0
(x2 + 8x + 16) · (x2 – 8x + 16) = 0
x4 – 8x3 + 16x2 + 8x3 – 64x2 + 128x + 16x2 – 128x + 256 = 0
x4 – 32x2 + 256 = 0
b. ±1 y ±
2
3
Respuesta abierta. Por ejemplo:
2 
2

( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅  x +  ⋅  x −  = 0
3 
3

4

( x 2 − 1) ⋅  x 2 −  = 0
9

4
4
x4 − x2 − x2 + = 0
9
9
13 2 4
x4 −
x + =0
9
9
c. ± 2 y ± 3
Respuesta abierta. Por ejemplo:
( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 3) = 0
( x 2 − 2) ⋅ ( x 2 − 3) = 0
x 4 − 3x 2 − 2x 2 + 6 = 0
x 4 − 5x 2 + 6 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
60
14 Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:
•
Se hace el cambio de variable, x2 = t
•
Se resuelve la ecuación de segundo grado
•
Se deshace el cambio de variable, x = ± t
a. x4 – 13x2 + 36 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0 ⟹ t2 – 13t + 36 = 0
t=
13 ± 13 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 36 13 ± 25 13 ± 5
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 9
x1 =+ t1 = + 9 = 3
x2 =– t1 = – 9 = –3
•
t2 = 4
x3 =+ t 2 = + 4 = 2
x4 =– t 2 = – 4 = –2
b. 25x4 – 26x2 + 1 = 0
25x4 – 26x2 + 1 = 0 ⟹ 25t2 – 26t + 1 = 0
t=
26 ± 26 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ 1 26 ± 576 26 ± 24
=
=
2 ⋅ 25
50
50
•
t1 = 1
x1 =+ t1 = + 1 = 1
x2 =– t1 = – 1 = –1
•
t2 =
1
25
x3 = t 2 =
1
1
=
25 5
x4 = − t 2 = −
1
1
=−
25
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
61
c. 2x4 – 29x2 – 48 = 0
2x4 – 29x2 – 48 = 0 ⟹ 2t2 – 29t – 48 = 0
t=
29 ± 29 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 48 29 ± 1225 29 ± 35
=
=
2⋅2
4
4
•
t1 = 16
x1 =+ t1 = + 16 = 4
x2 =– t1 = – 16 = –4
•
t2 = −
3
2
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
d. x4 – 7x2 + 12 = 0
x4 – 7x2 + 12 = 0 ⟹ t2 – 7t + 12 = 0
t=
7 ± 7 2 − 4 ⋅ 1⋅ 12 7 ± 1
=
2
2
•
t1 = 4
x1 =+ t1 = + 4 = 2
x2 =– t1 = – 4 = –2
•
t2 = 3
x3 = + t 2 = 3
x4 = − t 2 = − 3
e. x4 + 10x2 + 9 = 0
x4 + 10x2 + 9 = 0 ⟹ t2 + 10t + 9 = 0
t=
−10 ± 10 2 − 4 ⋅ 1⋅ 9 −10 ± 64 −10 ± 8
=
=
2
2
2
t1 = –9, t2 = –1 ⟹ No hay soluciones de x reales.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
62
f. 64x4 – 20x2 + 1 = 0
64x4 – 20x2 + 1 = 0 ⟹ 64t2 – 20t + 1 = 0
t=
20 ± 20 2 − 4 ⋅ 64 ⋅ 1 20 ± 144 20 ± 12
=
=
2 ⋅ 64
128
128
•
t1 =
1
4
x1 = + t1 =
1 1
=
4 2
1
1
=−
4
2
x2 = − t1 = −
•
t2 =
1
16
x3 = + t 2 =
1
1
=
16 4
x4 = − t2 = −
1
1
=−
16
4
g. –9x4 – 5x2 + 4 = 0
–9x4 – 5x2 + 4 = 0 ⟹ –9t2 – 5t + 4 = 0
t=
5 ± 5 2 + 4 ⋅ 9 ⋅ 4 5 ± 169 5 ± 13
=
=
−2 ⋅ 9
−18
−18
•
t1 =
•
4
9
x1 =+ t1 = +
4
2
=
9
3
x2 =– t1 = –
4
2
=–
9
3
t2 = –1
No hay soluciones reales de t2 pues es negativo.
h. x4 – 2x2 + 1 = 0
x4 – 2x2 + 1 = 0 ⟹ t2 – 2t + 1 = 0
t=
2 ± 22 − 4 ⋅ 1⋅ 1 2 ± 0
=
= 1 ⟹ Solo hay dos raíces reales.
2 ⋅1
2
x1 =+ t1 = + 1 = 1
x2 =– t1 = – 1 = –1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
63
i. x4 – 53x2 + 196 = 0
x4 – 53x2 + 196 = 0 ⟹ t2 – 53t + 196 = 0
t=
53 ± 53 2 − 4 ⋅ 1⋅ 196 53 ± 2025 53 ± 45
=
=
2 ⋅1
2
2
•
t1 = 49
x1 =+ t1 = + 49 = 7
x2 =– t1 = – 49 = –7
•
t2 = 4
x3 =+ t 2 = + 4 = 2
x4 =– t 2 = – 4 = –2
j. 16x4 – 17x2 + 1 = 0
16x4 – 17x2 + 1 = 0 ⟹ 16t2 – 17t + 1 = 0
t=
17 ± 17 2 − 4 ⋅ 16 ⋅ 1 17 ± 225 17 ± 15
=
=
2 ⋅ 16
32
32
•
t1 = 1
x1 =+ t1 = + 1 = 1
x2 =– t1 = – 1 = –1
•
t2 =
1
16
x3 = + t 2 =
x4 = − t2 = −
1
1
=
16 4
1
1
=−
16
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
64
15 Resuelve las siguientes ecuaciones:
Se descompone el polinomio en factores y se hallan las raíces:
a. 2x4 + 18x2 = 0
x2 · (2x2 + 18) = 0 ⟹ x = 0 es la única raíz que cumple la ecuación.
b. –3x4 = –12
x = ± 4 4 = ± 2 ; x1 =
2 ; x2 = – 2
c. x4 – 9x2 = 0
x2 · (x2 – 9) = 0 ⟹ x1 = 0;
x2 = 9 ⟹ x2 = 3; x3 = –3
d. 5x2 = 20x4
x2 · (20x2 – 5) = 0 ⟹ x1 = 0;
20x2 – 5 = 0 ⟹ x2 =
5
=
20
1 1
5
1
1
= ; x3 = −
=−
=−
4 2
20
4
2
e. –2x4 + 6 = 0
x = ± 4 3 ; x1 =
4
3 ; x2 = – 4 3
f. 3x4 = 75x2
x2 · (3x2 – 75) = 0 ⟹ x1 = 0;
3x2 – 75 = 0 ⟹ x = ± 25 ; x2 = 5; x3 = –5
g. 0 = 2x4 – 2
x4 = 1 ⟹ x = ± 4 1 ; x1 = 1; x2 = –1
h. –4x4 – 16x2 = 0
x2 · (–4x2 – 16) = 0 ⟹ x1 = 0;
–4x2 – 16 = 0 ⟹ x = ± −4 ⟹ No tiene raíz real.
i. 100 = 4x4
x = ± 4 25 = ± 5 ; x1 =
5 ; x2 = – 5
j. 81x4 = 1
x = ±
4
1
1
1
1
= ± ; x1 =
;x2 = −
81
3
3
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
65
16 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. x6 – 9x3 + 8 = 0
Se hace el cambio de variable a x3 = t para resolver una ecuación de segundo
grado:
t2 – 9t + 8 = 0
t=
9 ± 92 − 4 ⋅ 1⋅ 8 9 ± 49 9 ± 7
⟹ t1 = 8; t2 = 1
=
=
2
2
2
3
x1 =
3
t1 =
x2 =
3
t2 = 3 1 = 1
8 =2
b. 27x6 – 28x3 + 1 = 0
x3 = t ⟹ 27t2 – 28t + 1 = 0
t=
1
28 ± 28 2 − 4 ⋅ 27 ⋅ 1 28 ± 676 28 ± 26
⟹ t1 = 1; t 2 =
=
=
2 ⋅ 27
54
54
27
x1 =
3
t1 = 3 1 = 1
x2 = 3 t 2 =
1
1
=
27
3
3
c. x6 – 7x3 = 8
x3 = t ⟹ t2 – 7t – 8 = 0
t=
7 ± 72 + 4 ⋅ 1⋅ 8 7 ± 81 7 ± 9
⟹ t1 = 8; t2 = –1
=
=
2
2
2
x1 =
3
t1 =
3
8 =2
x2 =
3
t2 =
3
−1 = –1
d. 8x6 + 215x3 – 27 = 0
x3 = t ⟹ 8t2 + 215t – 27 = 0
t=
2
1
−215 ± 215 2 + 4 ⋅ 8 ⋅ 27 −215 ± 217
⟹ t1 = –27; t 2 =
=
=
2⋅8
16
16 8
x1 =
3
3
t1 =
x2 = 3 t 2 =
3
−27 = –3
1
1
=
8
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
66
e. x8 – 17x4 + 16 = 0
Se hace el cambio de variable a x4 = t para resolver una ecuación de segundo
grado:
x4 = t ⟹ t2 – 17t + 16 = 0
t=
17 ± 17 2 − 4 ⋅ 1⋅ 16 17 ± 15
⟹ t1 = 16; t2 = 1
=
2
2
x = ± 4 t1 = ± 4 16 = ±2 ; x1 = 2; x2 = –2
x = ± 4 t2 = ± 4 1 = ±1; x1 = 1; x2 = –1
f. 32x10 + 33x5 + 1= 0
Se hace el cambio de variable a x5 = t para resolver una ecuación de segundo
grado:
x5 = t ⟹ 32t2 + 33t + 1 = 0
t=
−33 ± 332 − 4 ⋅ 32 ⋅ 1 −33 ± 31
1
=
⇒ t1 = − ; t2 = −1
2 ⋅ 32
64
32
x1 = 5 t1 = 5 −
1
1
=−
32
2
x2 = 5 t2 = 5 −1 = −1
g. x8 = x4
x8 – x4 = 0
x4 (x4 – 1) = 0 ⟹ x1 = 0;
x4 – 1 = 0 ⟹x = ± 4 1 = ±1 ; x2 = 1; x3 = –1
h. x6 – 64 = 0
x6 = 64 ⟹ x = 6 64 = ±2 ; x1 = 2; x2 = –2
17 Encuentra las soluciones de estas ecuaciones:
a. (x + 1)2 · (x – 1)2 – 4 · (x2 – 1) = 0
(x2 – 1)2 – 4x2 + 4 = 0
x4 – 2x2 + 1 – 4x2 + 4 = 0
x4 – 6x2 + 5 = 0
Se hace un cambio de variable x2 = t ⟹ t2 – 6t + 5 = 0
t=
6 ± 6 2 − 4 ⋅ 1⋅ 5 6 ± 4
⟹ t1 = 5; t2 = 1
=
2
2
x = ± t1 = ± 5; x1 = 5; x2 = − 5
x = ± t 2 = ± 1; x3 = 1; x4 = −1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
67
b. 5x2 · (2x2 – 3) – 10x2 = 5x2 · (x2 – 1)
10x4 – 15x2 – 10x2 = 5x4 – 5x2
5x4 – 20x2 = 0
5x2 · (x2 – 4) = 0 ⟹ x1 = 0
x2 – 4 = 0 ⟹ x2 = 2; x3 = –2
c. 3x · (x – 1)2 = (x2 + 2) · (2x2 – 1) + 3x · (x2 + 1) – 3
3x · (x2 – 2x + 1) = 2x4 – x2 + 4x2 – 2 + 3x3 + 3x – 3
3x3 – 6x2 + 3x = 2x4 + 3x3 + 3x2 + 3x – 5
2x4 + 9x2 – 5 = 0
Se hace un cambio de variable x2 = t ⟹ 2t2 + 9t – 5 = 0
t=
1
−9 ± 9 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 5 −9 ± 11
⟹ t1 = –5; t 2 =
⟹ Solo hay dos raíces
=
2⋅2
4
2
reales.
x = ± t2 = ±
x1 =
1
2
=±
2
2
2
2
; x2 = −
2
2
d. x2 · (x + 1)2 = x2 · (x2 – 3)
x2 · (x2 + 2x + 1) = x4 – 3x2
x4 + 2x3 + x2 = x4 – 3x2
2x3 + 4x2 = 0
x2 · (2x + 4) = 0 ⟹ x1 = 0
2x + 4 = 0 ⟹ x2 = –2
18 Sabiendo que el parámetro m es un número natural, averigua los valores que
debe tomar para que la ecuación x4 + 4x2 + m = 0 tenga solo dos soluciones
reales.
Se hace un cambio de variable, x2 = t ⟹ t2 + 4t + m = 0
Para que la ecuación inicial tenga solo dos soluciones reales el discriminante de la
ecuación de segundo grado ha de ser:
∆ = 42 – 4 · 1 · m = 0 ⟹ 16 – 4m = 0 ⇒ m = 4
En ese caso la solución de la ecuación con variable t es:
t=
−4 ± 0
= −2 que en realidad no ofrece soluciones reales, pues x =
2
−2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
68
19 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. −4 x 2 =
(2 x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 3) (3 x 2 − 1) ⋅ ( x 2 + 3)
−
3
4
−48 x 2 4 ⋅ (2 x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 3) 3 ⋅ (3 x 2 − 1) ⋅ ( x 2 + 3)
=
−
12
12
12
2
2
2
2
−48 x = 4 ⋅ (2 x + 1) ⋅ ( x − 3) − 3 ⋅ (3 x − 1) ⋅ ( x 2 + 3)
−48 x 2 = (8 x 2 + 4) ⋅ ( x 2 − 3) − (9 x 2 − 3) ⋅ ( x 2 + 3)
−48 x 2 = 8 x 4 − 24 x 2 + 4 x 2 − 12 − 9 x 4 − 27 x 2 + 3 x 2 + 9
−48 x 2 = −24 x 2 + 4 x 2 − 12 − 27 x 2 + 3 x 2 + 9
x 4 − 4 x 2 + 3 = 0; x 2 = t ⇒ t 2 − 4t + 3 = 0
t=
4 ± 42 − 4 ⋅ 1⋅ 3 4 ± 4 4 ± 2
=
=
2
2
2
t1 = 3; t2 = 1
x = ± t ; x1 =
b.
3 ; x2 = – 3 ; x3 = 1; x4 = –1
3 x 2 ⋅ ( x + 2)2 − 7 x 3 x 2 ⋅ ( x + 1)2
=
5
2
3 x 2 ⋅ ( x 2 + 4 x + 4) − 7 x 3 x 2 ⋅ ( x 2 + 2x + 1)
=
5
2
3 x 4 + 12 x 3 + 12 x 2 − 7 x 3 x 4 + 2 x 3 + x 2
=
5
2
4
3
2
3
4
6 x + 24 x + 24 x − 14 x = 5 x + 10 x 3 + 5 x 2
x 4 + 19 x 2 = 0
x 2 ⋅ ( x 2 + 19) = 0 ⇒ x = 0
c. 3 ⋅ ( x 2 − 5) =
( x 2 + 3) ⋅ ( x 2 − 3)
4
12 ⋅ ( x 2 − 5) = x 4 − 9
12 x 2 − 60 = x 4 − 9
x 4 − 12 x 2 + 51 = 0
x 4 − 12 x 2 + 51 = 0; x 2 = t ⇒ t 2 − 12t + 51 = 0
t=
12 ± 122 − 4 ⋅ 1⋅ 51 12 ± −60
=
2
2
No tiene solución real.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
69
d.
x 4 − 5 x 2 x 2 ⋅ ( x 2 − 4)
=
8
6
6 x 4 − 30 x 2 = 8 x 2 ⋅ ( x 2 − 4)
6 x 4 − 30 x 2 = 8 x 4 − 32 x 2
2 x 4 − 2x 2 = 0
2 x 2 ⋅ ( x 2 − 1) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 1 = 1; x3 = − 1 = −1
ECUACIONES FACTORIZADAS Y POLINÓMICAS. ECUACIONES
CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
20 Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. (x + 5) · (x + 1) · (x – 3) = 0
x1 = –5; x2 = –1; x3 = 3
b. x · (2x + 8) · (x2 – 1) = 0
x1 = 0;
2x + 8 = 0 ⟹ x2 = 4;
x2 – 1 = 0 ⟹ x3 =
1 = 1; x4 = – 1 = –1
c. 3x2 · (–x + 2) · (–2x2 + 50) · (x2 – 3x) = 0
3x2 = 0 ⟹ x1 = 0;
–x + 2 = 0 ⟹ x2 = 2;
–2x2 + 50 ⟹ x3 =
25 = 5; x4 = – 25 = –5
x2 – 3x = 0 ⟹ x · (x – 3) = 0; x – 3 = 0; x5 = 3
d. (x2 – 4x + 4) · (–x2 + 2) = 0
x2 – 4x + 4 = 0; x =
4 ± 4 2 − 4 ⋅ 1⋅ 4
= 2 ; x1 = 2
2
–x2 + 2 = 0 ⟹ x2 =
2 ; x3 = – 2
e. (x3 + 1) · (3x + 2) · (x4 – 1) = 0
x3 + 1 = 0 ⟹ x1=
3
−1 = –1
3x + 2 = 0 ⟹ x2 = −
2
3
x4 – 1 = 0 ⟹ x3= + 4 1 = 1 (doble); x4 = – 4 1 = –1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
70
21 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. x3 + 2x2 – 3x = 0
x · (x2 + 2x – 3) = 0 ⟹ x1 = 0;
x2 + 2x – 3 = 0 ⟹ x =
−2 ± 22 + 4 ⋅ 3 −2 ± 4
⟹ x2 = –3; x3 = 1
=
2
2
b. x3 – 4x2 + x + 6 = 0
Se aplica la regla de Ruffini:
1 –4 1 6
–1 5 –6
1 –5 6 0
–1
x1 = –1
3
1 –5 6
3
–6
1 –2 0
x2 = 3
x3 = 2
c. x3 – 3x = 0
x · (x2 – 3) = 0 ⟹ x1 = 0; x2 =
3 ; x3 = – 3
d. 3x5 – 5x4 + 2x3 = 0
x3· (3x2 – 5x + 2) = 0
x1 = 0
3x2 – 5x + 2 = 0 ⟹ x =
2
5 ± 52 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 ± 1
; x2 = 1; x3 =
=
6
6
3
e. x3 + 2x2 + 4x + 8 = 0
Se aplica la regla de Ruffini:
–2
1 2
4 8
–2 0 –8
1 0
4 0
x1 = –2
(x2 + 4) = 0 ⇒ No tiene solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
71
f. 6x4 + 7x3 – 4x2 = 7x + 2
6x4 + 7x3 – 4x2 – 7x – 2 = 0
Se aplica la regla de Ruffini:
6 7
–4 –7 –2
1
6
13 9
2
6 13 9
2
0
x1 = 1
6 13 9
2
–6 –7 –2
6 7
2
0
–1
x2 = –1
Se resuelve la ecuación de segundo grado 6x2 + 7x + 2 = 0:
−7 ± 72 − 4 ⋅ 6 ⋅ 2 −7 ± 1
=
12
12
2
1
x3 = − ; x 4 = −
3
2
x=
g. x3 – 2x2 – 4x + 8 = 0
Se aplica la regla de Ruffini:
2
1 –2 –4 8
2
0
–8
1 0
–4 0
x1 = 2
x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 2 y x3 = –2.
h. 2x5 – 10x4 – 2x3 = 10x2
2x5 – 10x4 – 2x3 – 10x2 = 0
x2 · (2x3 – 10x2 – 2x – 10) = 0 ⟹ x1 = 0
Al aplicar la regla del Ruffini a la ecuación 2x3 – 10x2 – 2x – 10 = 0 no se
localizan raíces enteras.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
72
22 Halla la solución de estas ecuaciones:
a.
1
5
1
−
=
x 2 12 3 x
12 − 5 x 2
1
=
2
12x
3x
(12 − 5x ) ⋅ 3x = 12x
2
2
36 x − 15 x 3 − 12 x 2 = 0
( −15 x 2 − 12 x + 36) ⋅ x = 0 ⇒ x1 = 0
−15 x 2 − 12 x + 36 = −5 x 2 − 4 x + 12 = 0
x=
4 ± 42 + 4 ⋅ 5 ⋅ 12 4 ± 16
=
−10
−10
x2 = –2; x3 =
6
5
Se comprueba que las soluciones cumplen con la ecuación inicial:
x1 = 0 no la cumple, de modo que las soluciones son x2 = –2; x3 =
b.
6
5
2x
x
+
=3
x +1 x −1
2x ⋅ ( x − 1) + x ⋅ ( x + 1)
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
=3
2 x 2 − 2 x + x 2 + x = 3 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1)
(
)
3x2 − x = 3 ⋅ x 2 − 1
3x − x = 3x − 3 ⇒ x = 3
2
2
Se comprueba que la solución x = 3 cumple con la ecuación inicial.
c.
2− x x −2
=
x −5 x +5
( 2 − x ) ⋅ ( x + 5) = ( x − 2) ⋅ ( x − 5)
2 x + 10 − x 2 − 5 x = x 2 − 5 x − 2 x + 10
2x 2 − 4x = 0
x ⋅ (2 x − 4) = 0
x1 = 0; x2 = 2
Se comprueba que las soluciones cumplen con la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
73
d.
2− x x +1
=
−3
x
x −1
2 − x x + 1− 3x + 3
=
x
x −1
( 2 − x ) ⋅ ( x − 1) = ( −2 x + 4 ) ⋅ x
2 x − 2 − x 2 + x = −2 x 2 + 4 x
x2 − x − 2 = 0
x=
1 ± 12 + 4 ⋅ 2 1 ± 3
=
2
2
x1 = 2; x2 = –1
Se comprueba que las soluciones cumplen con la ecuación inicial.
e.
x
x +1
3
+
=− 2
x +6
x
x
x ⋅ x + ( x + 1) ⋅ ( x + 6 )
( x + 6) ⋅ x
=−
3
x2
3
x + x 2 + 6x + x + 6
=− 2
x
( x + 6) ⋅ x
2
( 2x
2
)
+ 7 x + 6 ⋅ x 2 = −3 ⋅ ( x + 6 ) ⋅ x
2 x 4 + 7 x 3 + 9 x 2 + 18 x = 0 ⇒ x1 = 0
2 x 3 + 7 x 2 + 9 x + 18 = 0
Se buscan más raíces con la regla de Ruffini:
–3
9
18
2 7
–6 –3 –18
2 1
6
0
x2 = –3 es otra raíz.
No existen más raíces reales porque la ecuación del polinomio que queda, 2x2
+ x +6 = 0 tiene discriminante negativo.
Se comprueba que las raíces cumplan con la ecuación inicial. En este caso
solamente la raíz x2 = –3 la cumple.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
74
f.
x −1 3 − x
2
=
−
x − 2 x + 2 x2 + 4
(
)
2
x − 1 ( 3 − x ) ⋅ x + 4 − 2 ⋅ ( x + 2)
x − 1 3 x 2 + 12 − x 3 − 4 x − 2 x − 4
=
⇒
=
⇒
x −2
x −2
( x + 2) ⋅ x 2 + 4
( x + 2) ⋅ x 2 + 4
⇒
(
)
(
)
x − 1 3x 2 − x 3 − 6x + 8
=
⇒
x − 2 ( x + 2) ⋅ x 2 + 4
(
)
(
) (
⇒ ( x + 2x − x − 2) ⋅ ( x + 4) = 3x
)
⇒ ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ x 2 + 4 = 3 x 2 − x 3 − 6 x + 8 ⋅ ( x − 2 ) ⇒
2
2
3
− x 4 − 6 x 2 + 12 x − 6 x 2 + 2 x 3 + 8 x − 16 ⇒
⇒ x 4 + 2x 3 − x 3 − 2 x 2 + 4 x 2 + 8 x − 4 x − 8 = − x 4 + 5 x 3 − 12 x 2 + 20 x − 16 ⇒
⇒ x 4 + x 3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = − x 4 + 5 x 3 − 12x 2 + 20 x − 16 ⇒
⇒ 2 x 4 − 4 x 3 + 14 x 2 − 24 x + 8 = 0
Se aplica Ruffini y se observa que no tiene raíces enteras.
g. 5 ⋅ ( x + 1) =
10
x −1
(
)
5 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) = 10 ⇒ 5 ⋅ x 2 − 1 = 10 ⇒
⇒ 5 x 2 − 5 − 10 = 0; 5 x 2 − 15 = 0 ⇒ x = ±
15
=± 3
5
Se comprueba que las dos raíces, x1 =
ecuación inicial.
h.
3 y x2 = – 3 cumplen con la
2 − 3x
x +3
x −3
+ 2
= 2
2
x −1 x + x x − x
( 2 − 3 x ) ⋅ x + ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1) ( x − 3 )
2 − 3x
x +3
x −3
+
=
⇒
=
x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
x ⋅ ( x − 1)
( x − 1) ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x − 1)
2x − 3x 2 + x 2 − x + 3x − 3
= x − 3 ⇒ −2 x 2 + 4 x − 3 = ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1) ⇒
x +1
⇒ −2 x 2 + 4 x − 3 = x 2 + x − 3 x − 3 ⇒ −3 x 2 + 6 x = 0
x ⋅ (6 − 3 x ) = 0 ⇒ x = 0; x = 2
⇒
Se comprueba que solo la raíz, x = 2 cumple con la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
75
ECUACIONES IRRACIONALES
23 Comprueba si los números –1, 0,
3
y 7 son solución de esta ecuación sin
5
resolverla:
5 x + 1 + 2 x = 3 ⋅ ( x − 1) + 2
Se comprueba si los números son raíces de la ecuación:
•
5 ⋅ (−1) + 1 + 2 ⋅ (−1) = 3 ⋅ (−1− 1) + 2 . No existe número real que cumpla esta
relación.
•
5 ⋅ 0 + 1 + 2 ⋅ 0 = 3 ⋅ (0 − 1) + 2; 1 ≠ −1. No cumple con la ecuación.
•
5⋅
•
5 ⋅ 7 + 1 + 2 ⋅ 7 = 3 ⋅ (7 − 1) + 2; 20 = 20
3
3
3
16 4
+ 1 + 2 ⋅ = 3 ⋅ ( − 1) + 2;
≠ . No cumple con la ecuación.
5
5
5
5
5
Es solución x = 7
SOLUCIONES PÁG. 90
24 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. 10 − x = x + 2
(10 − x )
2
= x+2
100 − 20 x + x 2 = x + 2
x 2 − 21x + 98 = 0
x=
21 ± 212 − 4 ⋅ 98 21 ± 7
=
2
2
x1 =14; x2 = 7
Se comprueba que solo la raíz, x2 = 7 cumple con la ecuación inicial.
b. 2 x + 4 − 4 = −4 x
2 x + 4 = −4 x + 4
4 ⋅ ( x + 4 ) = ( −4 x + 4 )
2
4 x + 16 = 16 x 2 − 32 x + 16
16 x 2 − 36 x = 0 ⇒ x1 = 0
16 x − 36 = 0 ⇒ x2 =
9
4
Se comprueba que solo la raíz, x1 = 0 cumple con la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
76
c. 3 x − 2 = x + x + 2
2x − 2 = x + 2
4 ⋅ ( x − 1)2 = x + 2
4x 2 − 8x + 4 = x + 2
4x 2 − 9x + 2 = 0
x=
9 ± 92 − 4 ⋅ 4 ⋅ 2 9 ± 7
=
2⋅4
8
x1 =2; x 2 =
1
4
Se comprueba que solo la raíz, x1 = 2 cumple con la ecuación inicial.
d.
x
=4
x +2
x
= 16
x+2
x = 16 ⋅ ( x + 2)
x = 16 x + 32
x=−
32
15
Se comprueba que la raíz cumple con la ecuación inicial.
e.
x 2 − 5x + 7 − 2x + 5 = x − 3
x 2 − 5x + 7 = 2x − 5 + x − 3 ⇒ x 2 − 5x + 7 = 3x − 8 ⇒ x 2 − 5x + 7 = ( 3x − 8) ⇒
2
⇒ x 2 − 5 x + 7 = 9 x 2 − 48 x + 64 ⇒ 8 x 2 − 43 x + 57 = 0
x=
43 ± 432 − 4 ⋅ 8 ⋅ 57 43 ± 5
=
16
16
x1 = 3; x2 =
19
8
Se comprueba que solo la raíz, x1 = 3 cumple con la ecuación inicial.
f. x − 1 − 2 x − 1 = − x
2 x − 1 = 2x − 1 ⇒ ( 2 x − 1) =
2
(
)
2x − 1
2
⇒ 4 x 2 − 4 x + 1 = 2x − 1 ⇒
⇒ 4x 2 − 6x + 2 = 0
x=
6 ± 62 − 4 ⋅ 4 ⋅ 2 6 ± 2
=
2⋅4
8
x1 = 1; x 2 =
1
2
Se comprueba que las dos raíces cumplen con la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
77
g.
3
(
2x 2 − 5x = x
3
2x 2 − 5 x
)
3
= x 3 ⇒ 2x 2 − 5 x = x 3 ⇒ x ⋅ ( − x 2 + 2x − 5) = 0 ⇒ x1 = 0
− x 2 + 2x − 5 = 0
x=
−2 ± 22 − 4 ⋅ 1⋅ 5
⇒ no tiene solución real.
−2
La única solución es x1 = 0
x
x −1
=x−
2
4
h.
(
2 x 4x − x + 1
=
⇒ 2 x = 3x + 1 ⇒ 2 x
4
4
⇒ 9 x 2 + 2x + 1 = 0
x=
)
2
= ( 3 x + 1) ⇒ 4 x = 9 x 2 + 6 x + 1 ⇒
2
−2 ± 22 − 4 ⋅ 9 ⋅ 1
⇒ no tiene solución real.
2⋅9
25 Halla las soluciones de estas ecuaciones:
2x + 7 = x 2 + 8
a.
(
2x + 7
x=
) =(
2
x2 + 8
)
2
⇒ 2x + 7 = x 2 + 8 ⇒ x 2 − 2x + 1 = 0
2 ± 22 − 4 ⋅ 1⋅ 1 2 ± 0
=
=1
2
2
Se comprueba que la raíz, x1 = 1 cumple con la ecuación inicial.
2x + 4 + 5x + 9 = 5
b.
(
2x + 4 + 5 x + 9
2x + 4 + 5 x + 9 + 2
)
2
= 25
( 2x + 4 ) ⋅ ( 5 x + 9 ) = 25
7 x − 12 + 2 10 x 2 + 19 x + 20 x + 36 = 0
7 x − 12 = −2 10 x 2 + 39 x + 36
( 7 x − 12)
2
(
= 4 ⋅ 10 x 2 + 39 x + 36
)
49 x − 168 x + 144 = 40 x + 156 x + 144
2
2
9 x 2 − 324 x = 0
x ⋅ (9 x − 324) = 0 ⇒ x1 = 0
9 x − 324 = 0 ⇒ x2 = 36
Se comprueba que solo la raíz, x1 = 0 cumple con la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
78
x −3 =
c.
(
x −3
x +4
) =(
2
x +4
)
2
⇒ −64 x = 361 ⇒ x =
⇒ x − 3 = x + 8 x + 16 ⇒ −8 x = 19 ⇒
361
64
Se comprueba que la solución no cumple con la ecuación inicial, luego no
existe solución.
x + 3x − 2 = 2
d.
(
x + 3x − 2
)
2
= 4 ⇒ x + 3 x − 2 + 2 x ⋅ (3 x − 2) = 4 ⇒ 4 x − 6 = −2 x ⋅ (3 x − 2) ⇒
⇒ ( 4 x − 6 ) = 4 x ⋅ (3 x − 2) ⇒ 16 x 2 − 48 x + 36 = 12 x 2 − 8 x ⇒ 4 x 2 − 40 x + 36 = 0 ⇒
2
⇒ x 2 − 10 x + 9 = 0
x=
10 ± 102 − 4 ⋅ 1⋅ 9 10 ± 8
=
2
2
x1 = 9; x2 = 1;
Se comprueba que solo la raíz, x2 = 1 cumple con la ecuación inicial.
x +3 − x =
e.
(
x −3
x +3 − x −3
) =( x)
2
2
⇒ x +3+ x −3−2
(
( x + 3) ⋅ ( x − 3) = x ⇒
)
⇒ x = 2 x 2 − 9 ⇒ x 2 = 4 ⋅ x 2 − 9 ⇒ x 2 = 4 x 2 − 36 ⇒ 3 x 2 − 36 = 0 ⇒ x1 = 12
Se comprueba que la raíz, x1 = √12 cumple con la ecuación inicial.
f.
3x − 9 = 2x − 5 − x
3 x − 9 = 2x − 5 − x ⇒
⇒ 3x − 9 = 2x − 5 + x − 2
(
)
(
3x − 9
) =(
2
2x − 5 − x
)
2
⇒
( 2x − 5 ) ⋅ x ⇒ 4 = 2 ( 2x 2 − 5 x ) ⇒
⇒ 16 = 4 ⋅ 2 x 2 − 5 x ⇒ 4 = 2 x 2 − 5 x ⇒ 2 x 2 − 5 x − 4 = 0
x=
5 ± 52 + 4 ⋅ 2 ⋅ 4 5 ± 57
=
2⋅2
4
Al sustituir en la ecuación inicial se comprueba que no tiene solución.
INECUACIONES
26 Comprueba, sin resolver la inecuación, si alguno de los resultados
propuestos es su solución.
1+
x −5
> −3 ⋅ ( x + 2)
4
Se sustituye el valor solución en los dos miembros de la inecuación y se
comprueba si la cumple:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
79
a. x = –4
−4 − 5 13
=
4
4
−3 ⋅ ( −4 + 2) = 6
1+
13
6
4
No la cumple, pues
b. x = –3
−3 − 5
= −1
4
−3 ⋅ ( −3 + 2) = 3
1+
No la cumple, pues 1 3
c. x = 1
1− 5
=0
4
−3 ⋅ (1 + 2) = −9
1+
Sí la cumple, pues 0 > –9
d. x =
13
4
13 − 5
9
4
=
4
16
13
63
−3 ⋅ ( + 2) = −
4
4
1+
Sí la cumple, pues
9
63
>−
16
4
27 Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa el resultado en forma de
intervalo:
a. x + 3 ≤ –1
x ≤ –4 ⟹ (–∞ , –4]
b. 2x > 5 + x
x > 5 ⟹ (5 , +∞)
c. 3x < –2
x<−
2
2
⟹  −∞ , − 
3
3

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
80
d.
2x
≤ –4
5
4 ⋅5
2
x ≤ 10 ⇒ ( −∞ , 10 ]
x≤
e. 7 + x ≥ 2
x ≥ –5 ⟹ [–5 , +∞)
f. 4x – 1 ≥ 5x + 6
–7 ≥ x; x ≤ –7 ⟹ (–∞ , –7]
g. –2 · (x – 4) > –10
–2x + 8 > –10; –x > –9
x < 9 ⟹ (–∞ , 9)
h.
x
+2<5
3
x + 6 < 15
x < 9 ⇒ ( −∞ , 9 )
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
28 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. –4x + 5 + 6x – 3 < x + 3x – 7 – 1
2 + 2x < 4x –8
10 < 2x; x > 5 ⟹ (5 , +∞)
b. 3 – 2x + 3x – 9 + x ≥ –1 + 4x – 3
2x – 6 ≥ 4x – 4
– 2 ≥ 2x; –1 ≥ x ⟹ (–∞ , –1]
c. 4 + (5x – 3) – 2 > 7x – (1 – 5x) + 8
4 + 5x – 3 – 2 > 7x – 1 + 5x + 8
5x – 1 > 12x + 7
–8 > 7x ⟹ x < −
8
8
⟹  −∞ , − 
7
7

d. 3 · (x – 2) – 8x ≤ 2 – x + 5 · (3 – x)
3x – 6 – 8x ≤ 2 – x + 15 – 5x
– 6 – 5x ≤ – 6x + 17
x ≤ 23 ⟹ (–∞ , 23]
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
81
e. 1 – 2 · (3x – 6) > 7 – 3 · (4 + 5x)
1 – 6x + 12 > 7 – 12 – 15x
9x > –18; x > –2 ⟹ (–2 , ∞)
f. –5 · (3 + 2x) + 3 · (–x + 2) ≤ 0
–15 – 10x – 3x + 6 ≤ 0
–9 ≤ 13x; x ≥ −
9
 9

⇒ −
, + ∞
13
 13

g. 4x – 1 + 7 · (x – 2) < 11x – 3
4x – 1 + 7x – 14 < 11x – 3
11x – 15 < 11x – 3; 0x < 12 ⟹ (–∞ , +∞)
29 Resuelve estas inecuaciones:
a. 2 x −
5 2x
>
−3
3
4
6 x − 5 2 x − 12
>
3
4
24 x − 20 > 6 x − 36
18 x > −16; x > −
b.
8
 8

⇒ − , + ∞
9
 9

−2 x + 5
x −9
≥ 1+
8
10
−2 x + 5 10 + x − 9
≥
8
10
−20 x + 50 ≥ 8 + 8 x
42 ≥ 28 x; x ≤
c.
3
3

⇒  −∞ , 
2
2

2 ⋅ (4 x − 1) 3 ⋅ ( x − 2) −5 ⋅ (−1 − x )
−
>
5
2
3
4 ⋅ (4 x − 1) − 15 ⋅ ( x − 2) −5 ⋅ ( −1 − x )
>
10
3
3 ⋅ 4 ⋅ (4 x − 1) − 3 ⋅ 15 ⋅ ( x − 2) > −5 ⋅ 10 ⋅ ( −1 − x )
48 x − 12 − 45 x + 90 > 50 + 50 x
−47 x > −28; 47 x < 28; x <
28
28 

⇒  −∞ ,
47
47 

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
82
30 Dada la inecuación 5 x − 4 ≥
3x
+ m , halla el valor de m si la solución de la
2
20
inecuación es  , + ∞ 
7

3x
+m
2
10 x − 8 ≥ 3 x + 2m
2m + 8
7 x ≥ 2m + 8; x ≥
7
5x − 4 ≥
20
es un extremo del intervalo,
7
20 2m + 8
12
x≥
=
⇒ 2m + 8 = 20; m =
=6
7
7
2
Como el valor
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
31 Escribe la inecuación cuya solución se corresponde con el semiplano
sombreado.
a.
La recta que limita los dos semiplanos es y = 2
El semiplano solución es y > 2
b.
La recta que limita los dos semiplanos es y = 2 · (1 – x)
El semiplano solución es el que incluye al punto (0 ,0) es decir, y ≤ –2x + 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
83
32 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. 2x + y ≤ 4
• Se representa la recta, y = 4 – 2x que divide al
plano en dos semiplanos.
• Se toma un punto que no pertenezca a esa recta,
por ejemplo, (0 , 0) y se sustituye en la
inecuación con el fin de ver si este punto está
dentro o fuera del semiplano solución de la
inecuación:
0 ≤ 4 ⟹ El punto (0 , 0) pertenece al plano solución.
b. x – 2y > 7
• Se representa la recta, y =
x −7
que divide al
2
plano en dos semiplanos.
• Se toma un punto que no pertenezca a esa
recta, por ejemplo, (0 , 0) y se sustituye en la
inecuación con el fin de ver si este punto está
dentro o fuera del semiplano solución de la
inecuación:
0
7 ⟹ El punto (0 , 0) no pertenece al plano solución.
c. 3x – 1 < –2y + 2
• Se representa la recta, y =
3 − 3x
que divide al
2
plano en dos semiplanos.
• Se toma un punto que no pertenezca a esa recta,
por ejemplo, (0 , 0) y se sustituye en la inecuación
con el fin de ver si este punto está dentro o fuera
del semiplano solución de la inecuación:
–1 < 2 ⟹ El punto (0 , 0) pertenece al plano solución.
d.
x y
≤
4 3
• Se representa la recta, y =
3x
que divide al
4
plano en dos semiplanos.
• Se toma un punto que no pertenezca a esa
recta, por ejemplo, (1 , 0) y se sustituye en
la inecuación con el fin de ver si este punto
está dentro o fuera del semiplano solución
de la inecuación:
1
≥ 0 ⟹ El punto (1 , 0) no pertenece al plano solución.
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
84
e. 2 · (x – 1) ≥ 3 · (y + 1)
• Se representa la recta, y =
2x − 5
que
3
divide al plano en dos semiplanos.
• Se toma un punto que no pertenezca a
esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de
ver si este punto está dentro o fuera
del
semiplano
solución
de
la
inecuación:
–2 ≤ 3 ⟹ El punto (0 , 0) no pertenece al plano
solución.
f. –1 – (x – 2y) > –x + 3
• Se representa la recta, –1 – (x – 2y) = –x + 3,
que es y = 2 y que divide al plano en dos
semiplanos.
• Se observa cuál es el semiplano solución de la
inecuación y > 2.
g. –3 · (2y + 4) + x ≤ –6y –10
•
Se representa la recta,
–3 · (2y + 4) + x = –6y –10, que es x = 2 y
que divide al plano en dos semiplanos.
•
h.
Se observa cuál es el semiplano solución
de la inecuación x ≤ 2.
5 ⋅ (x − y )
3 ⋅ (y − x )
< 1+
2
4
•
Se representa la recta,
5 ⋅ (x − y )
3 ⋅ (y − x)
= 1+
2
4
5 x − 5y 4 + 3y − 3 x
=
2
4
20 x − 20 y = 8 + 6 y − 6 x
26 x − 8
4
y=
=x−
26
13
que divide al plano en dos semiplanos.
•
Se toma un punto que no pertenezca a esa recta, por ejemplo, (0 , 0) y se
sustituye en la inecuación con el fin de ver si este punto está dentro o
fuera del semiplano solución de la inecuación:
0 < 1 ⟹ El punto (0 , 0) pertenece al plano solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
85
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
33 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. 2x2 ≤ 8
Se resuelve la ecuación 2x2 = 8x2; x2 = 4 ⟹ x = ±2
Se observa qué intervalos cumplen la inecuación:
•
En el intervalo (–∞ , –2) la inecuación no se cumple, pues 2x2 ≥ 8.
•
En el intervalo [–2 , 2] la inecuación se cumple, pues 2x2 ≥ 8.
•
En el intervalo (2, +∞) la inecuación no se cumple, pues 2x2 ≥ 8.
La solución es [–2 , 2]
b. (2 – x)2 ≤ 0
Se resuelve la ecuación x2 – 4x + 4 = 0
x=
Se
4 ± 4 2 − 4 ⋅ 1⋅ 4
=2
2
observa
qué
intervalos
cumplen
la
inecuación:
• En el intervalo (–∞ , 2) la inecuación no se cumple, pues (2 – x)2 ≥ 0.
• En el intervalo (2 , ∞) la inecuación no se cumple, pues (2 – x)2 ≤ 0.
• La inecuación solo se cumple en el punto x = 2.
c. 2x2 + 5x – 3 ≥ 0
Se resuelve la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0
−5 ± 5 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 3 −5 ± 7
=
2⋅2
4
1
x1 = ; x2 = 6
2
x=
Se observa qué intervalos cumplen la inecuación:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
86
•
En el intervalo (–∞ , –3] la inecuación se cumple.
•
En el intervalo
1

 −3 , 2 


la inecuación no se cumple.
•
En el intervalo
1

2 , + ∞


la inecuación se cumple.
La solución es (–∞ , –3] ∪
1
.
2 , + ∞


d. (x + 1) · (x –1) < x + 1
Se resuelve la ecuación x2 – 1 = x +1
x2 – x – 2 = 0
1 ± 12 + 4 ⋅ 1⋅ 2 1 ± 3
=
2
2
x1 = 2; x2 = −1
x=
Se observa qué intervalos cumplen la inecuación:
•
En el intervalo (–∞ , –1) la inecuación no se cumple.
•
En el intervalo (–1 , 2) la inecuación se cumple.
•
En el intervalo (2 , +∞) la inecuación no se cumple.
La solución es (–1 , 2).
e. x · (x – 2) < –2 · (3 + x)
Se resuelve la ecuación x · (x – 2) < –2 · (3 + x)
x2 – 2x = –6 – 2x
x2 = –6 ⟹ no tiene solución real.
f. x · (x – 2) · (x – 5) ≤ 0
Se resuelve la ecuación x · (x2 – 7x + 10) = 0⟹ x1 = 0
x2 – 7x + 10 = 0
7 ± 72 − 4 ⋅ 1⋅ 10 7 ± 3
=
2
2
x2 = 5; x3 = 2
x=
• En el intervalo (–∞ , 0] la inecuación se cumple.
• En el intervalo (0 , 2) la inecuación no se cumple.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
87
• En el intervalo [2 , 5] la inecuación se cumple.
• En el intervalo (5 , +∞] la inecuación no se cumple.
La solución es (–∞ , 0] ∪ [2, 5].
g. x4 + 10x2 + 9 ≥ 0
Se observa que cualquier número real cumplirá la ecuación, de modo que la
solución es (–∞ , +∞).
h. 3x3 – 10x2 – 8x < 0
Se resuelve la ecuación x · (3x2 – 10x – 8) = 0 ⟹ x1 = 0
3x2 – 10x – 8 = 0
10 ± 102 + 4 ⋅ 3 ⋅ 8 10 ± 14
=
2⋅3
6
x2 = 4
x=
x3 = −
2
3
• En el intervalo  −∞ , − 2  la inecuación se cumple.

3
• En el intervalo  − 2 , 0  la inecuación no se cumple.
 3

• En el intervalo (0, 4) la inecuación se cumple.
• En el intervalo (4 , +∞] la inecuación no se cumple.
La solución es  −∞ , − 2  ∪ (0, 4).

3
i. 4x3 – 12x2 + 16 > 0
Se resuelve la ecuación 4x3 – 12x2 + 16 = 0
–1
4 –12 0
16
–4
16 –16
4 –16 16 0
x1 = –1
2
4 –16 16
8
–16
4 –8
0
x2 = 2
La inecuación factorizada es (x + 1) · (x – 2)2 > 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
88
• En el intervalo (–∞ , –1 ) la inecuación no se cumple.
• En el intervalo (–1 , 2 ) la inecuación se cumple.
• En el intervalo (2, +∞) la inecuación se cumple.
La solución es (–1 , 2 ) ∪ (2, +∞)
j. x4 – 16x2 + 15 < 0
Se resuelve la ecuación t2 – 16t + 15 = 0
16 ± 162 − 4 ⋅ 1⋅ 15 16 ± 14
=
2 ⋅1
2
t1 = 15; t 2 = 1 ⇒
t=
x = ± 15; x = 1
(–∞, –√15)
•
•
•
•
•
(–√15 , –1)
(–1 , 1)
(1, √15)
En el intervalo (–∞, – 15 ) la inecuación no se cumple.
En el intervalo (– 15 , –1) la inecuación se cumple.
En el intervalo (–1 , 1) la inecuación no se cumple.
En el intervalo (1, 15 ) la inecuación se cumple.
En el intervalo ( 15 , +∞) la inecuación no se cumple.
La solución es (– 15 , –1) ∪ (1, √15)
34 Visita esta página de Internet y realiza las actividades propuestas para
repasar las inecuaciones:
http://conteni2.educarex.es/mats/11825/contenido
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 91
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE PROBLEMAS
35 Félix ha comprado en la frutería naranjas a 0,80 €/kg y manzanas a 1,20 €/kg.
En total ha adquirido 7 kg de fruta, por los que ha pagado 7,20 €. ¿Cuántos
kilos de cada tipo de fruta se ha llevado?
Se llama x a la cantidad en kilogramos de naranjas e y a la cantidad en kilogramos
de manzanas, y se plantean las ecuaciones con los datos del problema:
Lo que ha pagado en euros en total: 0,8x + 1,2y = 7,2
La cantidad en kilogramos que ha comprado en total: x + y = 7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
(√15 , +∞)
89
Se resuelve el sistema:
0,8 x + 1,2y = 7,2 0,8 x + 1,2y = 7,2 0,8 ⋅ ( 7 − y ) + 1,2y = 7,2



 x = 7 − y
x + y = 7
x = 7 − y
5,6 − 0,8 y + 1,2y = 7,2
0,4 y = 1,6 ⇒ y = 4 ; x = 3
Se ha llevado 4 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.
36 Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área se incrementa en 104
cm2. Calcula el perímetro y el área del cuadrado inicial.
El lado del cuadrado es x, y por tanto su área es A1 = x2.
Si aumenta su lado, x + 4, entonces el área es A2 = A1 + 104 = (x + 4)2.
A1 + 104 = (x + 4)2
x2+ 104 = (x + 4)2 ⟹ x2+ 104 = x2 + 8x + 16; 8x = 88; x = 11 cm
El perímetro inicial es:
P = 4 · 11 = 44 cm
El área inicial es:
A1 = x2 = 112 = 121 cm2
37 Halla los tres lados del siguiente triángulo rectángulo:
Se aplica el teorema de Pitágoras a los lados del triángulo rectángulo:
(x2)2 + (x2 – 1)2 = (x2 + 1)2
x4 + x4 – 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1
x4 – 4x2 = 0 ⟹ x2· (x2 – 4) = 0; x2 = 4
Los lados miden:
x2 = 4 cm
x2 – 1 = 3 cm
x2 + 1 = 5 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
90
38 Calcula un número que, sumado al doble de su raíz cuadrada, dé 35.
Se plantea la ecuación y se resuelve:
x + 2 x = 35
x – 35 = – 2 x
(x – 35)2 = (– 2 x )2
x2 + 1 225 – 70x = 4x
x2– 74x + 1 225 = 0
74 ± 742 − 4 ⋅ 1⋅ 1225 74 ± 24
=
2
2
x1 = 49 ; x2 = 25
x=
Se comprueba que solo el valor x2 = 25 cumple con la ecuación inicial.
39 El producto del cuadrado de un número por el anterior del cuadrado de
dicho número es igual a 72. ¿De qué número se trata?
Se plantea la ecuación y se resuelve:
x2 · (x2 – 1) = 72
x4 – x2 – 72 = 0
Se hace el cambio de variable a x2 = t
t2 – t – 72 = 0
1 ± 12 + 4 ⋅ 72 1 ± 17
=
2
2
t1 = 9; t 2 = −8 ⇒
t=
x1 = ± t1 = ± 9 = ±3
No existen más soluciones reales.
Se comprueba que las dos soluciones encontradas, x = 3 y x = –3, son válidas.
40 El cociente entre dos números cuya diferencia es 10 es
5
. Determina el
3
valor de los dos números.
Se plantean las ecuaciones y se resuelve el sistema:
x − y = 10 
se sustotuye en la 2.ª ecuación
→
 x = y + 10 
x 5

 3 x = 5 y ⇒ 3 ⋅ ( y + 10) = 5 y ⇒
=
3x = 5y


y 3

⇒ 3 y + 30 = 5 y ⇒ 2y = 30 ⇒ y = 15; x = 15 + 10 = 25
Los números son 25 y 15.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
91
41 El área de un círculo es 36π cm2. Halla la longitud de la circunferencia.
Se plantea la ecuación del área de un círculo y se halla el valor del radio de la
circunferencia:
A = π · r2 = 36π
π · r2 = 36π ⟹ r =
36 = 6 cm
La longitud de la circunferencia es L = 2π· r = 2π · 6 = 12π cm
42 El producto de tres números consecutivos es 60. Halla dichos números.
Se plantean los tres números consecutivos, por ejemplo:
x, x + 1, x + 2
Se plantea la condición que cumplen y se resuelve la ecuación:
x · (x + 1) · (x + 2) = 60
x · (x2 + 3x + 2) = 60
x3 + 3x2 + 2x – 60 = 0
Se aplica la regla de Ruffini:
–60
1 3 2
3
3 18 60
1 6 20 0
x=3
No existen más raíces reales pues en la ecuación restante, x2 + 6x + 20 = 0, el
discriminante es negativo.
La solución es, entonces, x = 3; x + 1 = 4; x + 2 = 5
43 La suma de la raíz cuadrada de un número más la raíz cuadrada de su
cuádruple es 15. ¿Cuál es el número?
Se plantea la ecuación y se resuelve:
x + 4 x = 15
( x + 4 x )2 = 152
x + 4 x + 2 4 x ⋅ x = 225
5 x + 4 x = 225
9 x = 225 ⇒ x = 25
Se comprueba que el valor x = 25 cumple con la ecuación inicial.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
92
44 Las edades de una madre y su hija son 37 y 12 años, respectivamente.
¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre exceda en
más de 4 años al doble de la edad de la hija?
Se plantea la inecuación:
Edad de la madre dentro de x años: 37 + x
Edad de la hija dentro de x años: 12 + x
(37 + x) > 2 · (12 + x) + 4
37 + x > 24 + 2x + 4
37 > 28 + x ⟹ x < 9
Han de transcurrir menos de 9 años.
45 Calcula el menor valor que puede tomar la diagonal mayor de un rombo para
que el área del rombo no sea inferior a 35 cm2, sabiendo que sus diagonales
difieren en 3 cm.
El área de un rombo es: A =
D⋅d
2
D
d
Se plantea el sistema, con esta asignación de datos:
D=x;d=y
El área del rombo no es menor que 35 cm2: A =
x⋅y
≥ 35
2
Las diagonales difieren en 3 cm: x – y = 3
x⋅y

≥ 35  x ⋅ y ≥ 70  ( 3 + y ) ⋅ y ≥ 70 
2



x = 3 + y x = 3 + y

x – y = 3 
3 y + y 2 ≥ 70
y 2 + 3 y − 70 ≥ 0
Se resuelve la ecuación y2 + 3y – 70 = 0 y se estudia si la solución cumple
la inecuación:
y 2 + 3 y – 70 = 0
−3 ± 32 + 4 ⋅ 70 −3 ± 17
=
2
2
y 1 = 7; y 2 = −10
y=
Se elige la solución coherente, y = 7 cm, con lo que x = 3 + 7 = 10 cm
El menor valor que puede tomar la diagonal mayor es 10 cm.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
93
46 Para reponer su tienda de material de natación, un empresario tiene que
comprar gorros y gafas. Si el precio de cada gorro es de 2 € y el de cada
gafa de 5 €, ¿cuántas unidades podrá adquirir de cada artículo si desea
gastarse menos de 400 €?
Se plantea la inecuación, llamando x a los gorros e y a las gafas:
2x + 5y < 400
Se representa la recta y =
400 − 2x
y se estudia
5
qué semiplano es solución:
Los pares de soluciones son aquellos que están en el semiplano señalado, por
ejemplo, x = 50 gafas; y = 50 gorros.
EVALUACIÓN
1
De las siguientes ecuaciones de segundo grado la que no tiene como
soluciones –2 y 5 es:
a. x2 – 3x – 10 = 0
b. 5x · (x + 1) – 4x2 = 8x + 10
c. (x + 2)2 = x + 10
d. x2 + 3x = 2x · (x – 5)
Se sustituye el valor de las soluciones dadas en cada ecuación y se comprueba si
cumple con ella:
a. 22 + 3 · 2 – 10 = 0
52 – 3 · 5 – 10 = 0.
b. 5 · (–2) · (–2 + 1) – 4 · 22 = 8 · (–2) + 10; –6 = –6
5 · 5 · (5 + 1) – 4 · 52 = 8 · 5 + 10; 50 = 50
c. (–2 + 2)2 = –2 + 10; 0 ≠ 8
(5 + 2)2 = 5 + 10; 49 ≠ 15
d. (–2)2 + 3 · (–2) = 2 · (–2) · (–2 – 5); –2 ≠ 28
52 + 3 · 5 = 2 · 5 · (5 – 5); 40 ≠ 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
94
2
Las soluciones reales de la ecuación x4 – 5x2 – 36 = 0 son:
a. –3, –2, 2 y 3
b. –3 y 3
c. –2 y 2
d. No tiene.
Se hace un cambio de variable, x2 = t y se resuelve la ecuación de segundo grado
t4 – 5t – 36 = 0:
t=
5 ± 5 2 + 4 ⋅ 1⋅ 36 5 ± 169 5 ± 13
⟹ t1 = 9; t2 = –4. Solo tiene dos raíces
=
=
2
2
2
reales:
x = ± t ; x1 =
3
t1 = 3; x2 = – t1 = –3
El número de soluciones de la siguiente ecuación es:
3 x 2 + 4 − 7 = 2 ⋅ ( x − 3) + 1
a. 2
b. 1
c. 3
d. Ninguna.
3 x 2 + 4 − 7 = 2 ⋅ ( x − 3) + 1 ⇒ 3 x 2 + 4 = 2 ⋅ ( x − 3) + 8 ⇒
⇒ 3 x 2 + 4 = 2x + 2 = 2 ⋅ ( x + 1) ⇒
(
3x 2 + 4
)
2
= ( 2 ⋅ ( x + 1)) ⇒
2
⇒ 3 x 2 + 4 = 4 ⋅ ( x 2 + 2 x + 1) ⇒ x 2 + 8 x = 0
x ⋅ ( x + 8) = 0 ⇒ x1 = 0
x + 8 = 0 ⇒ x2 = −8
Se comprueba si las dos soluciones cumplen la ecuación inicial:
3 ⋅ 02 + 4 − 7 = 2 ⋅ (0 − 3) + 1; − 5 = −5
3 ⋅ ( −8)2 + 4 − 7 = 2 ⋅ ( −8 − 3) + 1; 7 ≠ −21
La solución x1 = 0 es la única que cumple la ecuación inicial.
4
Las soluciones reales de la ecuación x4 + 2x3 – x2 – 2x = 0 son:
a. –2, –1 y 1
b. –1 y 1
c. –2, –1, 0 y 1
d. –1, 0 y 1
Se factoriza la ecuación:
x4 + 2x3 – x2 – 2x = 0
x · (x3 + 2x2 – x – 2) = 0 ⟹ x = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
95
Se aplica la regla de Ruffini para seguir factorizando:
1
1 2 –1 –2
1 3
2
1 3 2
0
–1
1 3
2
–1 –2
1 2
0
–2
1 2
–2
1 0
x=1
x = –1
x = –2
Las raíces son x1 = 0; x2 = 1; x3 = –1; x4 = –2
5
La inecuación 4 · (2x + 3) – 6x ≤ 1 – (7 – 3x) tiene como solución:
a. (– ∞, 18]
b. (– ∞, 18)
c. (18 , + ∞)
d. [18 , + ∞)
4 · (2x + 3) – 6x ≤ 1 – (7 – 3x)
8x + 12 – 6x ≤ 1 – 7 + 3x
18 ≤ x ⟹ El intervalo solución es [18 , +∞)
6
La solución de la inecuación 2x2 – x – 15 > 0 es:
−5 

a.  −∞ ,
∪ (3 , + ∞ )
2 

 5

b.  − , 3 
 2

c.
5

 −∞ , −  ∪ [3 , ∞ )
2

d.
 5

− 2 , 3


Se hallan las soluciones de la ecuación 2x2 – x – 15 = 0 y se estudia por intervalos
qué soluciones cumplen la inecuación:
2x2 – x – 15 = 0
x=
1 ± 12 + 4 ⋅ 2 ⋅ 15 1 ± 121 1 ± 11
=
=
2⋅2
4
4
x1 = 3; x2 = −
5
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
96
•
•
•
5



 5 
En  − , 3  la ecuación factorizada es < 0.
 2 
En  −∞ , −  la ecuación factorizada es > 0.
2
En (3 , +∞) la ecuación factorizada es > 0.


5
El intervalo solución es  −∞ , −  ∪ (3 , +∞)
2
7

De las siguientes gráficas, la que representa la solución de la
inecuación x – 2y > 3 es:
a.
b.
c.
d.
La inecuación es x – 2y – 3 > 0
Se representa la recta x – 2y – 3 = 0, que es y =
x −3
2
Se elige un punto que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (0 , 0) para ver cuál de
los dos semiplanos cumple con la inecuación. En este caso el punto elegido, (0 , 0)
no es parte del plano solución, pues 0 – 2 · 0 – 3 0.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
1
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones y de
inecuaciones
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
UNIDAD 4. SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES
SOLUCIONES PÁG. 95
1
Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante los métodos de
sustitución, igualación y reducción:
 x – 3y = 2
a. 
2 x + 4 y = 14
Si utilizamos el método de sustitución, por ejemplo, se puede despejar la
incógnita x de la primera ecuación:
x = 2 + 3y
2 (2 + 3y) + 4y = 14 ⇒ 4 + 6y + 4y = 14 ⇒ 4 + 10y = 14 ⇒ 10y = 14 – 4 = 10 ⇒
⇒y=
10
=1
10
x=2+3·1=2+3=5
La solución es: x = 5, y = 1
 x + 2 y = 11
b. 
 x – 5 y = 17
Si utilizamos el método de igualación:
 x + 2y = 11 ⇒ x = 11 – 2y

 x – 5 y = – 17 ⇒ x = – 17 + 5 y
11 – 2y = –17 + 5y ⇒ – 2y – 5y = –17 –11 ⇒ –7y = –28 ⇒ y =
–28
=4
–7
x = 11 – 2 · 4 = 11 – 8 = 3
La solución es: x = 3, y = 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
 –6 x + 2 y = 0
c. 
5 x – y = – 8
Si utilizamos el método de reducción, multiplicamos la segunda ecuación por 2:
5x – y = –8 ⇒ 10x – 2y = –16
Entonces,
 –6 x + 2 y = 0

10 x – 2y = – 16
4x
x=
= –16
–16
= –4
4
5 · (–4) – y = –8 ⇒ –20 – y = –8 ⇒ -y = –8 + 20 = 12 ⇒ y = –12
La solución es: x = –4, y = –12
4 x – 5y = – 1
d. 
 –3 x – y = – 4
Si utilizamos el método de sustitución, por ejemplo, se puede despejar la
incógnita y de la segunda ecuación:
–y = –4 + 3x ⇒ y = 4 – 3x
4x – 5 (4 – 3x) = –1 ⇒ 4x – 20 + 15x = –1 ⇒ 19x = –1 + 20 = +19 ⇒ x =
19
=
19
1
y = 4 – 3x= 4 – 3 · 1 = 4 –3 = 1
La solución es: x = 1, y = 1
 –3 x + 4 y = 2
e. 
5 x – 3 y = 4
Si utilizamos el método de igualación:
2 –4y

 x = –3
2 –4y 4 + 3y
⇒
=

4
+
3
y
–3
5
x =

5
5 · (2 – 4y) = (4 + 3y) · (–3) ⇒ 10 – 20y = –12 – 9y ⇒ –20y + 9y = –12 – 10 ⇒
⇒ –11y = –22 ⇒ y =
x=
–22
=2
–11
2 –4y
2 – 4·2
2 –8
–6
=
=
=
=2
–3
–3
–3
–3
La solución es: x = 2, y = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
2 x + 3 y = 11
f. 
 –7 x + 2 y = –1
Si utilizamos el método de reducción, por ejemplo, se pueden multiplicar la
primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por (–3):
 4 x + 6 y = 22

21x – 6 y = 3
25x
x=
= 25
25
=1
25
2 · 1 + 3y = 11 ⇒ 2 + 3y = 11 ⇒ 3y = 11 – 2 = 9 ⇒ y =
9
=3
3
La solución es: x = 1, y = 3
2
Encuentra la solución de los siguientes sistemas utilizando el método más
adecuado:
 4 x – 8 + 3 · ( y + 5 ) = 4
a. 
6 x + 2 – 5 y + 15 = 22
 4 x – 8 + 3 y + 15 = 4 ⇒ 4 x + 3 y = 4 + 8 – 15 ⇒ 4 x + 3 y = – 3

6 x – 5 y = 22 – 2 – 15 ⇒ 6 x – 5 y = 5
Se puede resolver por el método de reducción, por ejemplo, multiplicando la
primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 3:
4x + 3y = –3 ⇒ 20x + 15y = –15
6x – 5y = 5 ⇒ 18x – 15y = 15
20x + 15y = –15
18x – 15y = 15
38x
x=
=0
0
=0
38
4 · 0 + 3y = –3 ⇒ 0 + 3y = –3 ⇒ y =
–3
= –1
3
La solución es: x = 0, y = –1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
 x –3 y + 1
 2 – 4 = 0
b. 
 5 x + 2 + y = 19
 3
6 2
 2x – 6 – y – 1 = 0 ⇒ 2x – y – 7 = 0 ⇒ 2x – y = 7

 10 x + 4 + y = 57 ⇒ 10 x + y = 57 – 4 ⇒⇒ 10 x + y = 53
Se puede resolver por el método de reducción:
2 x – y = 7

10 x + y = 53
12x
x=
= 60
60
=5
12
2 · 5 – y = 7 ⇒ 10 – y = 7 ⇒ –y = 7 – 10 = –3 ⇒ y = 3
La solución es: x = 5, y = 3
SOLUCIONES PÁG. 97
3
Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:
2 x + y – 3z = – 1

a.  –4 x + 5 z = 1
 x + 2y + z = 2

Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la tercera ecuación y se sustituye en
las otras ecuaciones para resolverlas:
x = 2 – 2y – z
2 · (2 – 2y – z) + y – 3z = –1 ⇒ 4 – 4y – 2z + y – 3z = –1 ⇒ – 3y – 5z = –1 – 4 ⇒
⇒ – 3y – 5z = –5
–4 · (2 – 2y – z) + 5z = 1 ⇒ –8 + 8y + 4z + 5z = 1 ⇒ 8y + 9z = 1 + 8 ⇒ 8y + 9z = 9
La ecuación –3y – 5z = –5 se multiplica por 8 y la ecuación 8y + 9z = 9 por 3:
 –24 y – 40 z = – 40

24 y + 27z = 27
–13z = –13
z=1
– 3y – 5 · 1 = –5 ⇒ – 3y – 5 = –5 ⇒ – 3y = –5 + 5 = 0 ⇒ y = 0
x + 2y + z = 2 ⇒ x + 2 · 0 + 1 = 2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 2 – 1 = 1
La solución es: x = 1, y = 0, z = 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
 –7 x + 2 y + 4 z = – 6

b.  x – 2 y – 3z = – 3
 5 x + y – 6z = – 10

Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la segunda ecuación y se sustituye
en las otras ecuaciones para resolverlas:
x = –3 + 2y + 3z
–7 · (–3 + 2y + 3z) + 2y + 4z = –6 ⇒ 21 – 14y – 21z + 2y + 4z = 6 ⇒ –12y – 17z = –
27
5 · (–3 + 2y + 3z) + y – 6z = –10 ⇒ –15 – 10y + 15z + y – 6z = –10 ⇒ 11y + 9z = 5
–27 + 17 z

 y =
–27 + 17 z 5 – 9 z
–12
⇒
=
⇒ 11 · ( –27 + 17 z ) = – 12 · ( 5 – 9 z )

5
–
9
z
–12
11
y =

11
⇒ –297 + 187z = –60 + 297 ⇒79z = 237 ⇒ z = 3
y=
5 – 9 z 5 – 9· 3 5 – 27 – 22
=
=
=
= –2
11
11
11
11
x = –3 + 2y + 3z = –3 + 2 · (–2) + 3 · 3 = –3 – 4 + 9 = –7 + 9 = 2
La solución es: x = 2, y = –2, z = 3
3 x – 2 y – z = 11

c. 2 x – 3 z = – 4
4 x + y + z = 1

Se despeja, por ejemplo, la incógnita z de la tercera ecuación y se sustituye en
las otras ecuaciones para resolverlas:
z = 1 – 4x – y
3x – 2y – (1 – 4x – y) = 11 ⇒ 3x – 2y – 1 + 4x + y = 11 ⇒ 7x – y = 12
2x – 3 · (1 – 4x – y) = –4 ⇒ 2x – 3 + 12x + 3y = –4 ⇒ 14x + 3y = –1
Se multiplica la ecuación 7x – y = 12 por 3:
21x – 3 y = 36

14 x + 3 y = – 1
35x
= 35
x=1
2x – 3z = –4 ⇒ 2 – 3z = –4 ⇒ – 3z = –6 ⇒ z = 2
4x + y + z = 1 ⇒ 4 + y + 2 = 1 ⇒ y + 6 = 1 ⇒ y = –5
La solución es: x = 1, y = –5, z = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
 – x + 3y – 5z = 0

d. 6 x – y + 2z = 0
4 x – 4y + z = 0

Se despeja, por ejemplo, la incógnita z de la tercera ecuación y se sustituye en
las otras ecuaciones para resolverlas:
z = –4x + 4y
–x + 3y – 5 · (–4x + 4y) = 0 ⇒ –x + 3y + 20x – 20y = 0 ⇒ –19x – 17y = 0
6x – y + 2 · (–4x + 4y) = 0 ⇒ 6x – y – 8x + 8y = 0 ⇒ –2x + 7y = 0
Se multiplica la ecuación –19x – 17y = 0 por 2 y la ecuación –2x + 7y = 0 por
19:
 –38 x – 34 y = 0

38 x + 133 y = 0
99x = 0
x=0
–2 · 0 + 7y = 0 ⇒ 7y = 0 ⇒ y = 0
z = –4x + 4y ⇒ z = –4 · 0 + 4 · 0 ⇒ z = 0
La solución es: x = 0, y = 0, z = 0
4
Halla la solución de los siguientes sistemas aplicando el método de
igualación:
 x + 3 y – 8z = – 2

a. 5 x – y – z = 13
2 x – 5 y + 4 z = 5


 x = – 3 y + 8z – 2

y + z + 13

x =
5


5 y – 4z + 5
 x =
2
–3y + 8z – 2 =
y + z + 13
⇒ –15y + 40z –10 = y + z + 13 ⇒ –16y + 39z = 23
5
–3y + 8z – 2 =
5 y – 4z + 5
⇒ –6y + 16z –4 = 5y – 4z + 5 ⇒ –11y + 20z = 9
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
Se multiplica la ecuación –16y + 39z = 23 por (–11) y la ecuación –11y + 20z =
= 9 por 16:
176 y – 429z = – 253

 –176 y + 320z = 144
–109z = –109
z=1
–11y + 20z = 9 ⇒ –11y + 20 = 9 ⇒ –11y = 9 –20 ⇒ –11y = –11 ⇒ y = 1
x = –3y + 8z – 2 ⇒ x = –3 + 8 – 2 = 3
La solución es: x = 3, y = 1, z = 1
 – x + 4 y + z = 10

b.  3 x – 5 y – z = – 16
 –2 x + y + 2z = 6


 z = x – 4 y + 10

 z = 3 x – 5 y + 16

2x – y + 6
z =

2
x – 4y + 10 = 3x – 5y + 16 ⇒ –2x + y = 6
x – 4y + 10 =
2x – y + 6
⇒ 2x – 8y + 20 = 2x – y + 6 ⇒ –7y = –14 ⇒ y = 2
2
–2x + y = 6 ⇒ –2x + 2 = 6 ⇒ –2x = 6 – 2 = 4 ⇒ x = –2
z = x – 4y + 10 ⇒ z = –2 – 4 · 2 + 10 = –2 – 8 + 10 = 0
La solución es: x = –2, y = 2, z = 0
5 y – 3 z = – 4

c.  4 x + 9z = – 1
2 x – 3 y = – 17

–5 y − 4

 z =
−3
⇒ 9 · ( –5 y – 4 ) = – 3 · (–4 x – 1) ⇒

–4
−1
x
z =

9
⇒ –45 y – 36 = 12 x + 3 ⇒ –12 x – 45 y = 3 + 36 ⇒ –12 x – 45 y = 39
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
Resolvemos ahora estas dos ecuaciones:
2 x – 3 y = – 17

 –12 x – 45 y = 39
Se multiplica la primera ecuación por 6:
12 x – 18 y = – 102

 –12 x – 45 y = 39
–63y = –63
y=1
2x – 3y = –17 ⇒ 2x – 3 = –17 ⇒ 2x = –17 + 3 ⇒ 2x = –14 ⇒ x = –7
z=
–5 y − 4
–5 − 4
–9
⇒z=
=
=3
−3
−3
–3
La solución es: x = –7, y = 1, z = 3
2 x – 6 y + z = 10

d.  x + 2 y + 4 z = 9
 x – 3 y + 5 z = 23

6y − z + 10

x =
2

 x = – 2y – 4z + 9
 x = 3y – 5z + 23


–2y – 4z + 9 =
6 y − z + 10
⇒ –4y – 8z + 18 = 6y – z + 10 ⇒
2
⇒ –4y – 6y – 8z + z =10 –18 ⇒ –10y – 7z = –8
–2y – 4z + 9 = 3y – 5z + 23 ⇒ –2y – 3y – 4z + 5z = 23 – 9 ⇒ –5y + z = 14
Se resuelven estas dos ecuaciones:
 –10 y – 7z = –8

 –5 y + z = 14
Se multiplica la segunda ecuación por (–2):
–10y – 7z = –8
10y – 2z = –28
–9z = –36
z=4
–5y + z = 14 ⇒ –5y + 4 = 14 ⇒ –5y = 14 – 4 ⇒ –5y = 10 ⇒ y = –2
x = –2y – 4z + 9 ⇒ x = –2 · (–2) – 4 · 4 + 9 ⇒ x = 4 – 16 + 9 ⇒ x = –3
La solución es: x = –3, y = –2, z = 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
5
¿Tienen todos los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
homogéneos como solución la terna (0, 0, 0)? En caso afirmativo, ¿es
siempre única esta solución? Justifica tu respuesta y pon un ejemplo.
Sí, todos los sistemas homogéneos tienen como solución (0, 0, 0). Esta solución
no es única cuando las ecuaciones son proporcionales; en este caso el sistema
tiene infinitas soluciones.
6
Determina la solución de estos sistemas por el método de reducción:
3 x + 2 y – 2z = 5

a.  x – 4 y + z = – 3
 x + 5 y + 3z = 6

Formamos dos sistemas de ecuaciones y aplicamos el método de reducción:
3 x + 2 y – 2 z = 5

 x – 4y + z = – 3
 x – 4y + z = – 3

 x + 5 y + 3z = 6
↓ Se multiplica la segunda ecuación por (–3)
3 x + 2 y – 2 z = 5

 –3 x + 12y – 3z = 9
14y – 5z = 14
↓
Se multiplica la primera ecuación por (–
1)
– x + 4y – z = 3

 x + 5 y + 3z = 6
9y + 2z = 9
Se resuelve el sistema con estas dos ecuaciones:
14 y – 5z = 14

9 y + 2 z = 9
La primera ecuación se multiplica por 2 y la segunda ecuación por 5:
28 y – 10z = 28

 45 y + 10z = 45
73y
= 73
y=1
9y + 2z = 9 ⇒ 9 + 2z = 9 ⇒ 2z = 9 – 9 ⇒ 2z = 0 ⇒ z = 0
x – 4y + z = –3 ⇒ x = 4y – z –3 ⇒ x = 4 – 0 –3 ⇒ x = 1
La solución es: x = 1, y = 1, z = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
2 x + y – 7z = – 4

b.  4 x – y – 3z = 12
 –3 x + y + 4 z = – 8

Formamos dos sistemas de ecuaciones:
2 x + y – 7 z = – 4

 4 x – y – 3 z = 12
 4 x – y – 3z = 12

 –3 x + y + 4z = – 8
↓ Se aplica el método de reducción:
↓ Se aplica el método de reducción:
2 x + y – 7 z = – 4

 4 x – y – 3 z = 12
 4 x – y – 3z = 12

 –3 x + y + 4z = – 8
6x
x
– 10z = 8
+z=4
Se resuelve el sistema con estas dos ecuaciones:
6 x – 10z = 8

x + z = 4 ⇒ x = – z + 4
6 · (–z + 4) – 10z = 8 ⇒ –6z + 24 – 10z = 8 ⇒ –16z = 8 –24 ⇒ –16z = –16 ⇒ z = 1
x = –z + 4 ⇒ x = –1 + 4 = 3
2x + y – 7z = –4 ⇒ 2 · 3 + y – 7 = –4 ⇒ ⇒ 6 + y – 7 = –4 ⇒ y = –4 – 6 + 7 = –3
La solución es: x = 3, y = –3, z = 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
 x + y – 5z = 3

c.  –2 x + 3z = – 7
 4 x – 8 y = 40

Formamos dos sistemas de ecuaciones:
 x + y – 5z = 3

 –2 x + 3z = – 7
 x + y – 5z = 3

 4 x – 8 y = 40
↓ Se multiplica la primera ecuación por 2
2 x + 2y – 10z = 6

+ 3z = – 7
 –2 x
2y – 7z = –1
↓ Se multiplica la primera ecuación por (–4)
 –4 x – 4 y + 20z = – 12

= 40
4 x – 8y
–12y + 20z = 28
Se resuelve el sistema con estas dos ecuaciones:
2 y – 7 z = – 1

 –12y + 20z = 28
La primera ecuación se multiplica por 6:
12y – 42z = – 6

 –12y + 20z = 28
–22z = 22
z = –1
2y – 7z = –1 ⇒ 2y – 7 · (–1) = –1 ⇒ 2y + 7 = –1 ⇒ 2y = –1 – 7 ⇒2y = –8 ⇒ y = –4
x + y – 5z = 3 ⇒ x = –y + 5z + 3 ⇒ x = – (–4) + 5 · (–1) + 3 ⇒ 4 – 5 + 3 = 2
La solución es: x = 2, y = –4, z = –1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
x – y + z = 3

d. 2 x – 3 y + z = 1
 – x + 4y – 5z = 5

Formamos dos sistemas de ecuaciones:
x – y + z = 3

2 x – 3 y + z = 1
x – y + z = 3

 – x + 4 y – 5z = 5
↓ Se multiplica la primera ecuación por (–2)
↓ Se suman las dos ecuaciones
 –2 x + 2y – 2z = – 6

2 x – 3 y + z = 1
x – y + z = 3

 – x + 4 y – 5z = 5
–y – z = –5
3y – 4z = 8
↓ Se multiplica por (–1)
y+z=5
Se resuelve el sistema con estas dos ecuaciones:
y + z = 15 ⇒ y = 5 – z
3y – 4z = 8 ⇒ 3 · (5 – z) – 4z = 8 ⇒ 15 – 3z – 4z = 8 ⇒ 15 – 7z = 8 ⇒ – 7z = 8 –15
⇒ – 7z = –7 ⇒ z = 1
y=5–z⇒y=5–1⇒y=4
x–y+z=3⇒x=y–z+3⇒x=4–1+3⇒x=6
La solución es: x = 6, y = 4, z = 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
7
Encuentra la solución de los siguientes sistemas aplicando, en cada caso, el
método más adecuado:
 6 · ( x – y ) = 3 · ( z – 1)

a.  2 x + 4 · ( y + 3 ) = 6z – 4

 – x + 5 y = – ( –2 + z )
6 x – 6 y = 3z – 3 ⇒ 6 x – 6 y – 3z = – 3 ⇒ 2 x – 2 y – z = – 1

2 x + 4 y + 12 = 6z – 4 ⇒ 2 x + 4 y – 6z = – 16 ⇒ x + 2y – 3z = – 8

 – x + 5y = 2 – z ⇒ – x + 5y + z = 2
Vamos a utilizar el método de reducción. Formamos dos sistemas de
ecuaciones:
2 x – 2y – z = – 1

 x + 2y – 3z = – 8
 x + 2y – 3z = – 8

– x + 5y + z = 2
↓ Se multiplica la segunda ecuación por (–2)
7y – 2z = –6
2 x – 2 y – z = – 1

 –2 x – 4 y + 6z = 16
–6y + 5z = 15
Se resuelve el sistema con estas dos ecuaciones:
 –6 y + 5 z = 15

7 y – 2 z = – 6
La primera ecuación se multiplica por 2 y la segunda ecuación por 5:
 –12y + 10z = 30

35 y – 10z = – 30
23y
=0
y=0
–6y + 5z = 15 ⇒ –6 · 0y + 5z = 15 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3
x + 2y – 3z = –8 ⇒ x = –2y + 3z – 8 ⇒ x = –2 · 0 + 3 · 3 – 8 ⇒ x = 9 – 8 ⇒ x = 1
La solución es: x = 1, y = 0, z = 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
3 · ( x + 2 ) – 4 · ( y + 1) – 2 · ( z + 3 ) = 0

b.  – ( x + 4 ) + 2 · ( y – 2) + 5 · ( z + 2 ) = 0

2 · ( x – 1) – 3 · ( y + 2 ) – ( z – 5 ) = 0
3 x + 6 – 4 y – 4 – 2 z – 6 = 0 ⇒ 3 x – 4 y – 2 z = 4

 – x – 4 + 2y – 4 + 5z + 10 = 0 ⇒ – x + 2y + 5z = – 2
2 x – 2 – 3 y – 6 – z + 5 = 0 ⇒ 2 x – 3 y – z = 3

Vamos a utilizar el método de sustitución. Despejamos la incógnita x en la
segunda ecuación y sustituimos su valor en las otras dos ecuaciones:
x = 2y + 5z +2
3·( 2 y + 5 z + 2 ) – 4 y – 2z = 4 ⇒ 6 y + 15 z + 6 – 4 y – 2z = 4 ⇒ 2 y + 13 z = –2

2·( 2 y + 5 z + 2 ) – 3 y – z = 3 ⇒ 4 y + 10 z + 4 – 3 y – z = 3 ⇒ y = –1 – 9 z
2y + 13z = –2 ⇒ 2 · (–1 – 9z) + 13z = –2 ⇒ –2 – 18z + 13z = –2 ⇒ –5z = 0 ⇒ z = 0
y = –1 – 9z ⇒ y = –1 – 9 · 0 ⇒ y = –1
x = 2y + 5z +2 ⇒ x = 2 · (–1) + 5 · 0 +2 ⇒ x = 0
La solución es: x = 0, y = –1, z = 0
2 · ( x + 3 y ) – 5 · ( 2 y + 1) = – 4 z – 1

c.  x – 3 y – ( y + 2 z ) = – 4
z + y = x

2 x + 6 y – 10 y – 5 = – 4 z – 1 ⇒ 2 x – 4 y + 4 z = 4

 x – 2 y + 2z = 2
 x – 3 y – y – 2z = – 4 ⇒ x – 4 y – 2z = – 4

Vamos a utilizar el método de igualación. Despejamos la incógnita x en todas
las ecuaciones:
 x = 2 y – 2z + 2

 x = 4 y + 2z – 4
x = y + z

2y – 2z + 2 = y + z ⇒ 2y – 2z – y – z = –2 ⇒ y – 3z = –2 ⇒ y = –2 + 3z
4y + 2z – 4 = y + z ⇒ 4y + 2z – y – z = 4 ⇒ 3y + z = 4 ⇒ 3 · (–2 + 3z) + z = 4 ⇒
⇒ –6 + 9z + z = 4 ⇒ –6 + 10z = 4 ⇒ 10z = 4 + 6 ⇒ 10z = 10 ⇒ z = 1
y = –2 + 3z = –2 + 3 · 1 = –2 + 3 = 1
x=y+z=1+1=2
La solución es: x = 2, y = 1, z = 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
SOLUCIONES PÁG. 99
8
Resuelve estos sistemas por el método de Gauss:
 x + 3y + 4z = 6

a. 2 x – y – 7z = – 1
5 x + 2 y – z = – 1

 x + 3 y + 4z = 6

2 x – y – 7z = – 1
↓ Se multiplica la primera ecuación por (–2)
 –2 x – 6 y – 8z = – 12

2 x – y – 7z = – 1
–7y – 15z = –13
 x + 3 y + 4z = 6

5 x + 2 y – z = – 1
↓ Se multiplica la primera ecuación por (–5)
 –5 x – 15 y – 20z = – 30

5 x + 2 y – z = – 1
–13y – 21z = –31
Se obtiene el sistema equivalente:
 x + 3y + 4z = 6

 –7 y – 15z = – 13
 –13 y – 21z = – 31

Eliminamos la incógnita y.
 –7 y – 15z = – 13

 –13 y – 21z = – 31
↓ Se multiplica la primera ecuación por 13 y la segunda por (–7)
 –91y – 195z = – 169

91y + 147z = + 217
– 48z = 48
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
El sistema final es el sistema escalonado:
 x + 3y + 4z = 6

 –7 y – 15z = – 13
 – 48 z = 48

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
– 48z = 48 ⇒ z = –1
–7y – 15z = –13 ⇒ –7y – 15 · (–1) = –13 ⇒ –7y +15 = –13 ⇒ –7y = –28 ⇒ y = 4
x + 3y + 4z = 6 ⇒ x = 6 – 3y – 4z ⇒ x = 6 – 3 · 4 – 4 · (–1) ⇒ x = 6 – 12 + 4 ⇒ x = –
2
La solución es: x = –2, y = 4, z = –1
6 x – 2 y – 3z = – 9

b.  –3 x + 4 y + z = – 7
 x – 5 y – 2z = 5

 x – 5 y – 2z = 5

⇒  –3 x + 4 y + z = – 7
6 x – 2 y – 3 z = – 9

 x – 5 y – 2z = 5

 –3 x + 4 y + z = – 7
↓ Se multiplica la primera ecuación por 3
3 x – 15 y – 6 z = 15

 –3 x + 4 y + z = – 7
–11y – 5z = 8
 x – 5 y – 2z = 5

6 x – 2 y – 3 z = – 9
↓ Se multiplica la primera ecuación por (–6)
 –6 x – 30 y – 12z = – 30

6 x – 2y – 3z = – 9
28y + 9z = –39
Se obtiene el sistema equivalente:
 x – 5 y – 2z = 5

 –11y – 5z = 8
28 y + 9z = – 39

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
Eliminamos la incógnita y.
 –11y – 5z = 8

28 y + 9z = – 39
↓ Se multiplica la primera ecuación por 28 y la segunda por 11
 –308 y – 140z = 224

308 y + 99 z = – 429
– 41z = –205
El sistema final es el sistema escalonado:
 x – 5 y – 2z = 5

 –11y – 5z = 8 Se calcula el valor de las tres incógnitas:
 – 41z = – 205

– 41z = –205 ⇒ z =5
–11y – 5z = 8 ⇒ –11y – 5 · 5 = 8 ⇒ –11y – 25 = 8 ⇒ –11y = 33 ⇒ y = –3
x – 5y – 2z = 5 ⇒ x = 5y + 2z + 5 ⇒ x = 5 · (–3) + 2 · 5 + 5 ⇒ x = –15 + 10 + 5 ⇒
x=0
La solución es: x = 0, y = –3, z = 5
9
El método de Gauss recibe su nombre del matemático alemán Carl Friedrich
Gauss. Busca información biográfica sobre él en Internet y averigua cuáles
han sido algunas de sus numerosas contribuciones a las matemáticas.
Respuesta abierta.
10 Halla las soluciones de los siguientes sistemas utilizando la representación
matricial:
 x − 2 y + 3z = 12

a.  − x + 4 y − z = −10
3 x + 5 y + 2z = 11

 1 −2 3 M 12 
 1 −2 3 M 12 



 E3 =2E3 −11· E2
E2 =E2 +E1
→  0 2 2 M 2  
→
E3 =E3 − 3 · E1
 −1 4 −1 M −10  
 3 5 2 M 11 
 0 11 −7 M −25 




 1 −2 3 M 12   x − 2y + 3z = 12


 
2 M 2  ⇒ 2 y + 2 z = 2
 ⇒ z = 2, y = −1, x = 4
0 2

 0 0 −36 M −72  −36z = −72

 

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
 x − 2 y − 3z = 0

b.  −2 x − 5 z = −5
 4 x − y − 8z = 11

 1 −2 −3 M 0 
 1 −2 −3 M 0 

 E2 =E2 + 2·E1 
 E3 = 4·E3 +7·E2
→  0 −4 −1 M −5  →
E3 =E3 − 4·E1
 −2 0 5 M −5  
 4 −1 −8 M 11 
 0 7 4 M 11 




 1 −2 −3 M 0   x − 2y − 3z = 0 


 
 0 −4 −1 M −5  ⇒ −4 y − z = −5  ⇒ z = 1, y = 1, x = 5


 
 0 0 9 M 9  9z = 9

4 x − 5y + z = 0

c.  −7 x + 2 y + 3z = −2
3 x − 2 y + 4 z = 5

 4 −5 1 M 0 
 4 −5 1 M 0 

 E2 = 4·E2 +7·E1 
 E3 = 27·E3 +7·E2
→
E3 = 4·E3 − 3·E1
 −7 2 3 M −2  →
 0 −27 19 M −8  
 3 −2 4 M 5 
 0 7 13 M 20 




1 M 0  4 x − 5y + z = 0 
 4 −5


 
 0 −27 19 M −8  ⇒ −27 y + 19z = −8  ⇒ z = 1, y = 1, x = 1

0 0
484 M 484  484z = 484


d.
 2 x − 5 y − 3 z = −1

 4 x + 2 y + z = 19
 −2 x − 3 y = −5

 2 −5 −3 M −1
 2 −5 −3 M −1

 E2 = E2 −2·E1 
 E3 =12·E3 +8·E2
→  0 12 7 M 21 
→
E3 = E3 +E1
 4 2 1 M 19  
 −2 −3 0 M −8 
 0 −8 −3 M −9 




 2 −5 −3 M −1 2 x − 5 y − 3z = −1


 
 ⇒ z = 3, y = 0, x = 4
 0 12 7 M 21 ⇒ 12y + 7z = 21


 0 0 20 M 60 

 20z = 60

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
SOLUCIONES PÁG. 101
11 Resuelve los siguientes sistemas no lineales por el método de sustitución:
x2 – y 2 = – 3
a. 
 –2 x + y = 0
Se despeja la incógnita y en la segunda ecuación: y = 2x, y se sustituye en la
primera:
x2 – y2 = –3 ⇒ x2 – (2x)2 = –3 ⇒ x2 – 4x2 = –3 ⇒ – 3x2 = –3 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = √1 ⇒
⇒ x = ±1
•
Si x = 1 ⇒ y = 2 · 1 ⇒ y = 2
•
Si x = –1 ⇒ y = 2 · (–1) ⇒ y = –2
Las soluciones obtenidas son: (1 , 2), (–1 , –2)
5 x – 3 y = – 8
b. 
 x · y = 12
Se despeja la incógnita y en la segunda ecuación: y =
12
, y se sustituye en la
x
primera:
5x – 3 ·
⇒x=
12
36
= –8 ⇒ 5x –
= –8 ⇒ 5x2 – 36 = –8x ⇒ 5x2 + 8x – 36 = 0 ⇒
x
x
–8 ± 64 – 4 · 5 · ( –36 )
2 ·5
•
Si x1 = 2 ⇒ y1 =
•
Si x2 =
–8 + 28

x1 =
=2

–8 ± 784 –8 ± 28 
10
=
=
⇒
10
10
 x = –8 – 28 = −18
 2
10
5
12
=6
2
12
–18
12 · 5
60
10
⇒ y2 =
=
= –
= –
–18
5
–18
18
3
5
Las soluciones obtenidas son: (2 , 6), ( –
18
10
, –
)
5
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
x + y = – 1
c.  2
2
x + y + 3x = 4
Se despeja la incógnita y en la primera ecuación: y = –1 – x, y se sustituye en
la segunda:
x2 + (–1 – x)2 + 3x = 4 ⇒ x2 + 12 + x2 + 2x + 3x – 4 = 0 ⇒
⇒ 2x2 + 5x – 3 = 0
x
=
–5 + 7 2 1

x
=
= =
1

–5 ± 25 – 4 · 2 · ( –3) –5 ± 25 + 24 –5 ± 49 
4
4 2
=
=
⇒
–5
–
7
–12
2 ·2
4
4
x =
=
= –3
2

4
4
1
1
3
⇒ y1 = –1 –
=–
2
2
2
•
Si x1 =
•
Si x2 = –3⇒ y1 = –1 – (–3) = 2
Las soluciones obtenidas son: (
1
3
, – ), (–3 , 2)
2
2
4 x – 5y = 1
d. 
2
x – y = – 5
Se despeja la incógnita x en la segunda ecuación: x = –5 + y2, y se sustituye en
la primera:
4 · (–5 + y2) – 5y = 1 ⇒ –20 + 4y2 – 5y – 1 = 0 ⇒ 4y2 – 5y – 21 = 0
y=
5 ± 25 – 4 · 4 · ( –21)
=
2 ·4
5 + 19 24

 y1 = 8 = 8 = 3
⇒
 y = 5 –19 = –14 = – 7
 2
8
8
4
5 ± 25 + 336 5 ± 361 5 ± 19
=
=
⇒
8
8
8
•
Si y1 = 3 ⇒ x1 = –5 + 32 = 4
•
7
Si y2 = – ⇒ x2 = –5 +
4
2
49
–80 + 49 –31
 7
=
=
 –  = –5 +
16
16
16
 4
Las soluciones obtenidas son: (4 , 3), (–
31 7
,– )
16 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
12 Halla las soluciones de estos sistemas utilizando el método de igualación:
x2 + y = 2
a. 
3 x + y = 4
x2 + y = 2
y = 2 – x 2
⇒
⇒ 2 – x 2 = 4 – 3x


3 x + y = 4  y = 4 – 3 x
2 – x2 = 4 – 3x ⇒ 4 – 3x – 2 +x2 = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0
x=
3 ± 9 – 4 · 2 3 ±1
3 +1 4
3 –1 2
⇒ x1 =
=
= = 2 ; x2 =
= =1
2
2
2
2
2
2
•
Si x1 = 2 ⇒ y1 = 4 – 3 · 2 = 4 – 6 = –2
•
Si x2 = 1 ⇒ y2 = 4 – 3 · 1 = 4 – 3 = 1
Las soluciones obtenidas son: (2 , –2), (1 , 1)
 y 2 = 4 x – 3
b.  2
 y = 3 + 2 x
 y 2 = 4 x – 3
⇒ 4 x – 3 = 3 + 2x ⇒ 4 x – 2x = 3 + 3 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
 2
 y = 3 + 2 x
y2 = 3 + 2x ⇒ y2 = 3 + 2 · 3 ⇒ y2 = 3 + 6 ⇒ y2 = 9 ⇒ y =
9 = ±3
Las soluciones obtenidas son: (3 , 3), (3 , –3)
 x + 5y = 1
c. 
2
4 x + 5y = 4
 x = 1– 5 y
 x + 5y = 1

⇒

4 – 5y 2
2
 4 x + 5y = 4  x =

4
2
4 – 5y
1– 5 y =
⇒ 4 – 20 y = 4 – 5 y 2 ⇒ 5 y 2 – 20 y = 0 ⇒ y (5 y – 20) = 0 ⇒
4
 y1 = 0
⇒
 5 y 2 = 20 ⇒ y 2 = 4
•
Si y1 = 0 ⇒ x = 1 – 5y ⇒ x = 1
•
Si y2 = 4 ⇒ x = 1 – 5 · 4 ⇒ x = 1 –20 = –19
Las soluciones obtenidas son: (1 , 0), (–19 , 4)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
13 Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el
método de reducción:
2
2
 x – y = 9
a.  2
2
3 x – 4 y = 11
Se multiplica por –3 a la primera ecuación ⇒ –3x2 + 3y2 = –27 y se suman:
 –3 x 2 + 3 y 2 = – 27
 2
2
3 x – 4 y = 11
– y2 = –16
y2 = 16 ⇒ y =
16 = ±4
•
Si y1 = 4 ⇒ x2 – 42 = 9 ⇒ x2 = 9 + 16 ⇒ x2 = 9 + 16 = 25 ⇒ x =
•
Si y2 = –4 ⇒ x2 – (–4)2 = 9 ⇒ x2 – 16 = 9 ⇒ x2 = 9 + 16 = 25 ⇒ x =
25 = ±5
25 = ±5
Las soluciones obtenidas son: (5 , 4), (–5 , 4), (5 , –4), (–5 , –4)
 x − y = −5
b. 
2 x + y = 17
Se multiplica por –2 a la primera ecuación y se suman:
−2 x + 2 y = 10

2 x + y = 17
3 y = 27
Si y = 81 ⇒
x – 81 = –5 ⇒ x = –5 + 81 ⇒ x = –5 + 9 = 4 ⇒ x = 42 = 16
La solución obtenida es: (16 , 81)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
 x 2 + 3 y 2 + 2 xy = 17
c.  2
2
 x – 3y – 2 xy = –15
Se suman las dos ecuaciones:
 x 2 + 3 y 2 + 2 xy = 17
 2
2
 x – 3 y – 2 xy = –15
2x 2
=2
x2 = 1 ⇒ x = ±1
•
Si x1 = 1 ⇒ 12 + 3y2 + 2y = 17 ⇒ 3y2 + 2y – 16 = 0
y=
–2 ± 4 – 4 · 3 · ( –16 )
=
–2 ± 4 + 192 –2 ± 196 –2 ±14
=
=
⇒
6
6
6
2 ·3
–2 + 14 12

 y1 = 6 = 6 = 2
⇒
 y = –2 –14 = –16 = – 8
 2
6
6
3
•
Si x1 = –1 ⇒ (–1)2 + 3y2 – 2y = 17 ⇒ 1 + 3y2 – 2y = 17 ⇒ 3y2 – 2y – 16 = 0
y=
2 ± 4 – 4 · 3 · ( –16 )
=
2 ·3
2 + 14 16 8

y
=
=
=
3

6
6 3
⇒
 y = 2 –14 = −12 = −2
 4
6
6
2 ± 4 +192 2 ± 196 2 ±14
=
=
⇒
6
6
6
8
3
Las soluciones obtenidas son: (1 , 2), (1 , – ), (–1 ,
8
), (–1 , –2)
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
 4 x 2 + y 2 = 1
d.  2
 – x + 3 y = 5
Se multiplica la segunda ecuación por 4 y se suman las dos ecuaciones:
2
2
4 x + y = 1

2
 –4 x + 12y = 20
y 2 + 12y = 21
y 2 + 12y – 21 = 0
y=
=
•
–12 ± 122 – 4 ·1 · ( –21)
2
=
–12 ± 144 + 84 –12 ± 228
=
=
2
2
–12 ± 2 57
 y = –6 + 57
= –6 ± 57 ⇒  1
2
 y2 = –6 − 57
Si y1 = –6 +
57 ⇒ –x2 + 3 · (–6 +
⇒ –x2 = 23 – 3 57 ⇒x =
57 ) = 5 ⇒ –x2 – 18 + 3 57 = 5 ⇒
–23 + 3 57 = 0,59i
No tiene solución en los números reales.
14 Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales
e indica su solución:
x2 + y = 7
a. 
 x·y = 6
x1 = –3, y1 = –2; x2 = 1, y2 = 6; x3 = 2, y3 = 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
x + y = 2
b.  2
 x + 2y = 3
x = 1, y = 1
 x + 2y = 0

c. 
−2
 y = x
x1 = –2, y1 = 1; x2 = 2, y2 = –1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
15 Resuelve estos sistemas utilizando el método más adecuado:
 x 2 – 4 xy = –35
a. 
x – y = 2
Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución.
Se despeja la x de la segunda ecuación, x = 2 + y, y se sustituye en la primera:
x2 – 4xy = –35 ⇒ (2 + y)2 – 4 · (2 + y) · y = –35 ⇒ 4 + y2 + 4y – 8y – 4y2 = –35 ⇒
⇒ –3y2 – 4y + 39 = 0 ⇒ 3y2 + 4y – 39 = 0
y=
–4 ± 42 – 4 · 3 · ( –39 )
=
–4 ± 16 + 468 –4 ± 484 –4 ± 22
=
=
⇒
6
6
6
2 ·3
–4 + 22 18

 y1 = 6 = 6 = 3
⇒
 y = –4 – 22 = –26 = – 13
 2
6
6
3
•
Si y1 = 3 ⇒ x1 = 2 + y1 = 2 + 3 = 5
•
Si y2 = –
13
13 6 –13 – 7
⇒ x2 = 2 + y2 = 2 –
=
=
3
3
3
3
Las soluciones obtenidas son: (5 , 3), ( –
7
13
, – )
3
3
 x + 1 + y = 1
b. 
2 x + y = 5
Se va a resolver por reducción.
Se multiplica por –1 a la segunda ecuación, –2x – y = –5, y se suman:
 x + 1 + y = 1

−2 x − y = − 5
x + 1 – 2x = –4
x + 1 = 2x – 4
(
x +1
)
2
= (2x – 4)2
x + 1 = 4x2 + 16 – 2 · 2x · 4
x + 1 = 4x2 + 16 – 16x
4x2 + 16 – 16x – x – 1 = 0
4x2 – 17x + 15 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
17 ± 17 2 – 4· 4·15 17 ± 289 – 240 17 ± 49 17 ± 7
=
=
=
⇒
2· 4
8
8
8
24

=
=3
x
1

8
⇒
 x = 10 = 5
 2 8 4
x=
–2x – y = –5 ⇒ y = 5 – 2x
•
Si x1 = 3 ⇒ y1 = 5 – 2 · 3 = 5 – 6 = –1
•
Si x2 =
5
5
10 20 –10 10 5
⇒ y1 = 5 – 2 ·
=5–
=
=
=
4
4
4
4
4
2
Se comprueba en el sistema inicial:
•
 x + 1 + y = 1 ⇒ 3 + 1 − 1 = 1 ⇒ 2 − 1 = 1 ⇒ 1 = 1
(3 , –1) ⇒ 
2 x + y = 5 ⇒ 2·3 − 1 = 5 ⇒ 6 − 1 = 5 ⇒ 5 = 5
•

5
5
5+4 5
3 5
x + 1 + y = 1⇒
+ 1 + = 1⇒
+ = 1⇒ + = 1⇒ 4 ≠ 1

5 5 
4
2
4
2
2 2
 , ⇒
4 2 
5 5
10 5
20
2 x + y = 5 ⇒ 2· + = 5 ⇒
+ =5⇒
=5⇒5=5

4 2
4 2
4
Por tanto, la solución es: (3 , –1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
 x 2 + y 2 = 26
c. 
2
 ( x – y ) = 16
Se desarrolla el cuadrado perfecto de la segunda ecuación y se multiplica por –1,
–x2 – y2 + 2xy = –16. Luego se resuelve por sustitución.
2
2
 x + y = 26
 2
2
 – x – y + 2 xy = –16
2xy = 10
xy =
5
10
=5⇒x=
2
y
Se sustituye en la segunda ecuación del sistema inicial:
2
5

(x – y) = 16 ⇒  − y  = 16 ⇒
y

2
•
Si
2
5

5
 – y  = 16 ⇒ − y = ±4
y
y

5
5 − y2
− y = 4⇒
= 4 ⇒ 5 – y2 = 4y ⇒ y2 + 4y – 5 = 0
y
y
–4 ± 42 + 4·1· 5 –4 ± 16 + 20 –4 ± 36 –4 ± 6
=
=
=
⇒
2
2
2
2
–4 + 6 2

 y1 = 2 = 2 = 1

 y = –4 – 6 = –10 = −5
 2
2
2
y=
•
Si
5
5 − y2
− y = −4 ⇒
= −4 ⇒ 5 – y2 = –4y ⇒ y2 – 4y – 5 = 0
y
y
4 ± 4 2 + 4·1· 5 4 ± 16 + 20 4 ± 36 4 ± 6
y=
=
=
=
⇒
2
2
2
2
4 + 6 10

 y3 = 2 = 2 = 5

 y = 4 – 6 = –2 = −1
 4
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
•
Si y1 = 1 ⇒ x1 =
5
5
=
=5
y
1
•
Si y2 = –5 ⇒ x2 =
5
= –1
–5
•
Si y3 = 5 ⇒ x3 =
•
Si y4 = –1 ⇒ x3 =
5
=1
5
5
= –5
–1
Las soluciones obtenidas son: (5 , 1), (–1 , –5), (1 , 5), (–5 , –1)
 x y 10
 + =
3
d.  y x
 x · y = 12

 x 2 + y 2 10
 x 2 + y 2 10
=
=
 x y 10


3
3
 + =
 x ·y
 x ·y
3
⇒
⇒
y
x



 x · y = 12
 x = 12
 x = 12



y
y
Se sustituye la segunda ecuación en la primera:
120
x 2 + y 2 10
x 2 + y 2 10
=
⇒
=
⇒ x2 + y 2 =
⇒ x 2 + y 2 = 40
12
3
12
3
3
·y
y
2
 12 
2
  + y = 40
y
 
144
+ y2 = 40
y2
y4 – 40y2 + 144 = 0
Se hace un cambio de variable al ser una bicuadrada: y2 = t
t2 – 40t + 144 = 0
40 ± 402 – 4·1·144 40 ± 1600 – 576 40 ± 1024 40 ± 32
=
=
=
⇒
2
2
2
2
40 + 32 72

=
= 36
t1 =
2
2

t = 40 − 32 = 8 = 4
 2
2
2
t=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
Se deshace el cambio:
•
y2 = t1 ⇒ y2 = 36 ⇒ y =
•
y2 = t 2 ⇒ y2 = 4 ⇒ y =
36 ⇒ y = ±6
4 ⇒ y = ±2
Se calcula la otra incógnita:
•
Si y1 = +6 ⇒ x1 =
12
=2
6
•
Si y2 = –6 ⇒ x2 =
12
= –2
–6
•
Si y3 = +2 ⇒ x3 =
12
=6
2
•
Si y4 = –2 ⇒ x4 =
12
= –6
–2
Se comprueba en el sistema inicial:
•
(2 , 6) ⇒
 x y 10
 2 6 10
 2 + 18 10
 20 10
10 10
=
=
 + =
 + =


 =
3
y
x
⇒
⇒
⇒
⇒
3
3
3

6 2 3
 6
6
3
 x · y = 12
2· 6 = 12
12 = 12
12 = 12
12 = 12

Solución válida.
•
(–2 , –6)
 x y 10
 −2 −6 10
 2 + 18 10
 20 10
10 10
+
=
=
=
 + =



 =
y
x
3
⇒
⇒
⇒
⇒
3
3
3

 −6 −2 3
 6
6
3
 x · y = 12
( −2)·( −6) = 12 12 = 12
12 = 12
12 = 12

Solución válida.
•
(6 , 2)
 x y 10
 6 2 10
18 + 2 10
 20 10
10 10
=
=
 + =
 + =


 =
3 ⇒ 2 6 3 ⇒  6
3 ⇒ 6
3 ⇒3
3
y x
 x · y = 12
6·2 = 12
12 = 12
12 = 12
12 = 12

Solución válida.
•
(–6 , –2)
 x y 10
 ( −6) ( −2) 10
18 + 2 10
 20 10
10 10
+
=
=
=
 + =



 =
3 ⇒  ( −2) ( −6) 3 ⇒  6
3 ⇒ 6
3 ⇒3
3
y x
 x · y = 12
( −6)·( −2) = 12
12 = 12
12 = 12
12 = 12


Solución válida.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
 x 2 + y 2 – 4 x – 3 y + 3 = 0
e.  2
2
 x + y + 6 x – 3 y + 7 = 0
Se multiplica la primera ecuación por –1, –x2 – y2 + 4x + 3y – 3 = 0, y se suman:
2
2
 – x – y + 4 x + 3 y – 3 = 0
 2
2
 x + y + 6 x – 3 y + 7 = 0
10x + 4 = 0
10x = – 4 ⇒ x =
–4
–2
=
10
5
2
4
8
 –2 
 –2 
2
+ y2 +
– 3y + 3 = 0 ⇒
  + y – 4 ·   – 3y + 3 = 0 ⇒
25
5
 5 
 5 
⇒ y2 – 3y +
y=
119
= 0 ⇒ 25y2 – 75y + 119 = 0
25
75 ± 752 – 4· 25·119 75 ± 5 625 – 11900 75 ± –6 275
=
=
2· 25
50
50
No tiene solución en los números reales.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
 x + y = 9
f. 
 x + y = 41
(
 x + y = 9  x + y
⇒

 x + y = 41
 x = 41 − y
)
2
= 92
 x + y + 2 x · y = 81
⇒
 x = 41 − y
Se sustituye la segunda ecuación en la primera:
41 – y + y + 2 41 – y
(
( 41 – y ) y )
2
y = 81 ⇒
( 41 – y ) y =
81 –41
⇒
2
= 202 ⇒ 41 y – y 2 = 400 ⇒ y 2 – 41y + 400 = 0
41 ± 412 – 4· 400 41 ± 1681 – 1600 41 ± 81 41 ± 9
=
=
=
⇒
2
2
2
2
41 + 9 50

 y1 = 2 = 2 = 25

 y = 41 – 9 = 32 = 16
 2
2
2
y=
•
Si y1 = 25 ⇒ x1 = 41 – y1 = 41 – 25 = 16
•
Si y2 = 16 ⇒ x2 = 41 – y2 = 41 – 16 = 25
Se comprueban en el sistema inicial:
•
(16 , 25)
 x + y = 9  16 + 25 = 9 4 + 5 = 9 9 = 9
⇒
⇒
⇒

41 = 41
41 = 41
16 + 25 = 41
 x + y = 41
Solución válida.
•
(25 , 16)
 x + y = 9  25 + 16 = 9 5 + 4 = 9 9 = 9
⇒
⇒
⇒

41 = 41
41 = 41
25 + 16 = 41
 x + y = 41
Solución válida.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
1
 1
 x 2 + y 2 = 10

g. 
 1 − 1 = −8
2
y2
 x
1
1
1
1
 x 2 + y 2 = 10
 x 2 = 10 – y 2


⇒

 1 − 1 = −8  1 = –8 + 1
2
 x 2
y2
y2
 x
Se igualan ambas ecuaciones:
10 –
1
1
10 y 2 –1 –8 y 2 +1
=
–8
+
⇒
⇒ 10y2 –1 = –8y2 +1 ⇒
=
y2
y2
y2
y2
⇒ 10y2 + 8y2 –1 – 1 = 0 ⇒ 18y2 – 2 = 0 ⇒ y2 =
2 1
= ⇒y=
18 9
1
1
=±
9
3
1
1
1
1
=10 – =10 – 9 =1 ⇒ 1 = x 2 ⇒ x = 1 = ±1
⇒ 2 = 10 –
2
1
x
3
1
 
9
 3
•
Si y =
•
Si y = –
1
1
1
1
=10 – =10 – 9 =1 ⇒ 1 = x 2 ⇒ x = 1 = ±1
⇒ 2 = 10 –
2
1
x
3
 1
–
 
9
 3
Se comprueban en el sistema inicial:
•
1
1
+ 2
2

y
 1
x
 1,  ⇒  1
 3
 − 1
 x 2 y 2
1
1
= 10
2
12 +
1



= 10
3

1 + 9 = 10
10 = 10
 
⇒
⇒
⇒
1
1
1 − 9 = −8 −8 = −8
= −8  2 −
= −8 
2
1  1 

3
 

Solución válida.
•
1
1
+ 2
2

y
1

x
 −1,  ⇒  1
3

 − 1
 x 2 y 2
1
 1
= 10
2
 ( −1)2 +
1



= 10
3

1 + 9 = 10
10 = 10
 
⇒
⇒
⇒
1
1
1 − 9 = −8 −8 = −8
= −8 
−
= −8 
 ( −1)2  1 2

3
 

Solución válida.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
•
1
1
+ 2
2

1
y

x
 1, −  ⇒  1
3

 − 1
 x 2 y 2
1
1
= 10
2
12 +
 1

= 10
− 

1 + 9 = 10
10 = 10
 3
⇒
⇒
⇒
1
1
1 − 9 = −8 −8 = −8
= −8  2 −
= −8 
2
1  1 

− 3



Solución válida.
•
1

 −1, −  ⇒
3

1
 1
= 10
2
 ( −1)2 +
1



= 10
− 

1 + 9 = 10
10 = 10
 3
⇒
⇒
⇒
1
1
1 − 9 = −8 −8 = −8
= −8 
−
= −8 
2
2
 ( −1)
 1

− 3



1
1
 x2 + y 2


1 − 1
2
y2
 x
Solución válida.
 x = 1 − 4y
h.  2
 x + y = 10
Se sustituye la primera ecuación en la segunda:
(1 – 4y)2 + y = 10 ⇒ 1 + 16y2 – 2 · 4y + y – 10 = 0 ⇒ 1 + 16y2 – 2 · 4y + y – 10 = 0 ⇒
⇒ 16y2 – 7y – 9 = 0
7 ± 7 2 + 4·16· 9 7 ± 49 + 576 7 ± 625 7 ± 25
y=
=
=
=
⇒
2·16
32
32
32
7 + 25 32

 y1 = 32 = 32 = 1

 y = 7 – 25 = –18 = – 9
 2
32
32
16
•
Si y1 = 1 ⇒ x1 = 1 – 4y = 1 – 4 · 1 = –3
•
Si y2 = –
9
⇒ x2 = 1 – 4 y = 1 – 4 ·
16
36 16 + 36
52 13
 9
=
=
=
–  = 1 +
16
16
16
4
 16 
Las soluciones obtenidas son: (–3 , 1), (
13
9
, –
)
4
16
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
SOLUCIONES PÁG. 103
16 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
3 – 2 x < 5 x – 4
a. 
6 x + 2 – x > 2 x – 4
3 – 2x < 5 x – 4
 –2x – 5 x < –4 – 3 ⇒ – 7 x < –7 ⇒ x > 1
⇒

6 x + 2 – x > 2x – 4 6 x – x – 2x > –4 – 2 ⇒ 3 x > –6 ⇒ x > –2
La solución del sistema es: (1 , +∞)
 4 x – 1 ≥ –2 x + 5
b. 
 –2 – 5 x > 12 + 2 x
4 x – 1 ≥ –2x + 5
4 x + 2 x ≥ 5 + 1 ⇒ 6 x ≥ 6 ⇒ x ≥ 1
⇒

 –2 – 5 x > 12 + 2x
 –5 x – 2 x > 12 + 2 ⇒ –7 x > 14 ⇒ x < –2
Este sistema no tiene solución: no hay intersección entre las dos soluciones
anteriores.
 x + 3 ≤ 9x + 2 – 3
c. 
 –2 x + 4 < x – 8
−4
1

x – 9 x ≤ 2 – 3 – 3 ⇒ –8 x ≤ –4 ⇒ x ≥
⇒x≥

x
+
3
≤
9
x
+
2
–
3


−8
2
⇒

 –2 x + 4 < x – 8
 –2 x – x < –8 – 4 ⇒ –3 x < –12 ⇒ x > −12 ⇒ x > 4

−3
La solución del sistema es: (4 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
 x + 5 x – 3 > 2x + 1
d. 
 –5 x – 3 > 1 + 4 x
 x + 5 x – 3 > 2x + 1 ⇒ x + 5 x – 2x > 1 + 3 ⇒ 4 x > 4 ⇒ x > 1

4

 –5 x – 3 > 1 + 4 x ⇒ –5 x – 4 x > 1 + 3 ⇒ –9 x > 4 ⇒ x < − 9
Este sistema no tiene solución: no hay intersección entre las dos soluciones
anteriores.
4 x + 3 – 7 ≥ 2 – 2x
e. 
 –7 x + 2 > –3 x – 6
4 x + 3 – 7 ≥ 2 – 2 x ⇒ 4 x + 2x ≥ 2 – 3 + 7 ⇒ 6 x ≥ 6 ⇒ x ≥ 1

 –7 x + 2 > –3 x – 6 ⇒ –7 x + 3 x > –6 – 2 ⇒ –4 x > –8 ⇒ x < 2
La solución del sistema es: [1 , 2)
8 x – 5 – 3 x ≤ –5 + 6 x
f. 
 –3 x – 1 ≥ 4 x – 2
8 x – 5 – 3 x ≤ –5 + 6 x ⇒ 8 x – 3 x – 6 x ≤ –5 + 5 ⇒ – x ≤ 0 ⇒ x ≥ 0


1
 –3 x – 1 ≥ 4 x – 2 ⇒ –3 x – 4 x ≥ –2 + 1 ⇒ –7 x ≥ –1 ⇒ x ≤ 7
 1
La solución del sistema es: 0, 
 7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
38
17 Determina las soluciones de estos sistemas de inecuaciones:
7 – ( 4 x – 5 ) ≥ 0
a. 
0 < 3·( 2 – x ) + 5 x
7 – ( 4 x – 5 ) ≥ 0 ⇒ 7 – 4 x + 5 ≥ 0 ⇒ –4 x ≥ –12 ⇒ x ≤ 3

0 < 3·( 2 – x ) + 5 x ⇒ 0 < 6 – 3 x + 5 x ⇒ –6 < 2 x ⇒ x > −3
La solución del sistema es: (–3 , 3]
3·( x + 4 ) < x + 2
b. 
5 x > 2·(1 – x )
3·( x + 4 ) < x + 2 ⇒ 3 x + 12 < x + 2 ⇒ 3 x – x < 2 – 12 ⇒ 2 x < –10 ⇒ x < –5


2
5 x > 2·(1– x ) ⇒ 5 x > 2 – 2 x ⇒ 5 x + 2 x > 2 ⇒ 7 x > 2 ⇒ x >
7

Este sistema no tiene solución: no hay intersección entre las dos soluciones
anteriores.
6· ( 2 x + 3 ) < 4· ( x – 5 )
c. 
 –2· ( x – 1) ≥ 3· ( x – 4 )
6· ( 2 x + 3 ) < 4· ( x – 5 ) ⇒ 12 x + 18 < 4 x – 20 ⇒ 12 x – 4 x < –20 – 18
⇒

 –2· ( x – 1) ≥ 3· ( x – 4 ) ⇒ –2 x + 2 ≥ 3 x – 12 ⇒ –2 x – 3 x ≥ –12 – 2
19

8 x < –38 ⇒ x < − 4
⇒
 –5 x ≥ –14 ⇒ x ≤ 14

5
19 

La solución del sistema es:  −∞ , − 
4 

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39
 – ( 4 x + 5 ) + ( x – 6 ) ≥ 2· ( x – 3 )
d. 
3· ( 5 x + 1) ≥ –4· ( 2 – x )
 – ( 4 x + 5 ) + ( x – 6 ) ≥ 2· ( x – 3 ) ⇒ –4 x – 5 + x – 6 ≥ 2 x – 6

3· ( 5 x + 1) ≥ –4· ( 2 – x ) ⇒ 15 x + 3 ≥ –8 + 4 x ⇒ 15 x – 4 x ≥ –8 – 3
 –4 x + x – 2 x ≥ –6 + 5 + 6 ⇒ –5 x ≥ 5 ⇒ x ≤ –1
⇒
11x ≥ –11 ⇒ x ≥ –1
La solución del sistema es: x = –1
18 Halla la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:
2x
x
a.  –1 >
5
3
2x
x – 3 2x
x
 3 –1 > 5 ⇒ 3 > 5 ⇒ 5·( x – 3 ) > 6 x ⇒ 5 x – 15 > 6 x ⇒ 5 x – 6 x > 15

 3 x < –4 x + 17 ⇒ 3 x < –8 x + 17 ⇒ 18 x < –16 x + 34 ⇒ 18 x + 16 x < 34
 2
3
6
2
6
 – x > 15 ⇒ x < –15
⇒
34 x < 34 ⇒ x < 1
La solución del sistema es: (–∞ , –15)
 –5 x – 3
 9 ≥ 3
b. 
 3·( x + 1) > x

5
2
30
 –5 x – 3
 9 ≥ 3 ⇒ –5 x – 3 ≥ 27 ⇒ –5 x ≥ 27 + 3 ⇒ x ≤ – 5 ⇒ x ≤ –6

 3·( x + 1) > x ⇒ 6 x + 6 > 5 x ⇒ 6 x – 5 x > –6 ⇒ x > – 6

5
2
Este sistema no tiene solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
40
 x+ 3 x–1
 4 ≥ 6 ⇒
c. 
 5· ( x – 2 ) > 2x + 1

3
 x + 3 x –1
 4 ≥ 6 ⇒ 6 x + 18 ≥ 4 x – 4 ⇒ 6 x – 4 x ≥ –4 – 18

 5· ( x – 2 ) > 2x + 1 ⇒ 5· ( x – 2 ) > 6 x + 3 ⇒ 5 x – 10 > 6 x + 3
3

2 x ≥ –22 ⇒ x ≥ –11
⇒
5 x – 6 x > 3 + 10 ⇒ – x > 13 ⇒ x < –13
Este sistema no tiene solución.
 2· ( 3 x – 4 ) 3· ( x + 7 )
≤

d. 
5
10
2 x – ( 5 x – 3 ) > 4 · (1 – 2 x )

 2· ( 3 x – 4 ) 3· ( x + 7 )
≤
⇒ 20· ( 3 x – 4 ) ≤ 15· ( x + 7 ) ⇒ 60 x – 80 ≤ 15 x + 105

5
10

2 x – ( 5 x – 3 ) > 4 · (1– 2 x ) ⇒ 2 x – 5 x + 3 > 4 – 8 x ⇒ 2 x – 5 x + 8 x > 4 – 3

185
37

60 x – 15 x ≤ 105 + 80 ⇒ 45 x ≤ 185 ⇒ x ≤ 45 ⇒ x ≤ 9
⇒
5 x > 1 ⇒ x > 1

5
 1 37 
,
 5 9 
La solución del sistema es: 
19 Actividad resuelta.
20 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. |x + 4| < 9
–9 < (x + 4) < 9
x + 4 < 9 ⇒ x < 9 – 4 ⇒ x < 5

 –9 < x + 4 ⇒ –9 – 4 < x ⇒ x > –13
La solución es: (–13 , 5)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
41
b. |2x + 6| ≤ 4
–4 ≤ (2x + 6) ≤ 4
2 x + 6 ≤ 4 ⇒ 2 x ≤ 4 – 6 ⇒ 2 x ≤ –2 ⇒ x ≤ –1

 –4 ≤ 2 x + 6 ⇒ –4 – 6 ≤ 2x ⇒ –10 ≤ 2x ⇒ x ≥ –5
La solución es: [–5 , –1]
c. |x – 2| < 8
–8 < (x – 2) < 8
( x – 2 ) < 8 ⇒ x < 8 + 2 ⇒ x < 10

 –8 < ( x – 2 ) ⇒ –8 + 2 < x ⇒ x > –6
La solución es: (–6 , 10)
21 Actividad resuelta.
22 Encuentra el valor de la solución de las siguientes inecuaciones:
a. |x – 6| ≥ 10
–10 ≥ (x – 6) ≥ 10
( x – 6 ) ≥ 10 ⇒ x ≥ 10 + 6 ⇒ x ≥ 16 ⇒ [16, +∞ )

 –10 ≥ ( x – 6 ) ⇒ –10 + 6 ≥ x ⇒ x ≤ –4 ⇒ ( – ∞ , –4]
La solución es: (–∞ , –4] U [16 , +∞)
b. |–3x + 12| > 7
–7 > (–3x + 12) > 7
5

 –3 x + 12 > 7 ⇒ –3 x > 7 – 12 ⇒ –3 x > –5 ⇒ x < 3

 –7 > –3 x + 12 ⇒ –7 – 12 > –3 x ⇒ –19 > –3 x ⇒ 19 < x

3
5

La solución es:  −∞ ,
3

  19

U  3 ,+ ∞ 
 

c. |4x – 14| ≥ 2
–2 ≥ (4x – 14) ≥ 2
 4 x – 14 ≥ 2 ⇒ 4 x ≥ 2 + 14 ⇒ 4 x ≥ 16 ⇒ x ≥ 4 ⇒ [ 4, +∞ )

 –2 ≥ 4 x – 14 ⇒ –2 + 14 ≥ 4 x ⇒ 12 ≥ 4 x ⇒ x ≤ 3 ⇒ (– ∞ , 3]
La solución es: (–∞ , 3] U [4 , +∞)
23 Actividad resuelta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
42
24 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a.
–x+4
<0
3 x –9
Para que una fracción sea negativa, puede ocurrir que:
• El numerador sea negativo y el denominador positivo.
 – x + 4 < 0 ⇒ – x < –4 ⇒ x > 4 ⇒ ( 4 , +∞ )

3 x – 9 > 0 ⇒ 3 x > 9 ⇒ x > 3 ⇒ ( 3 , +∞ )
Es decir, x es un número del intervalo (4 , +∞)
• El numerador sea positivo y el denominador negativo.
 – x + 4 > 0 ⇒ – x > –4 ⇒ x < 4 ⇒ ( – ∞ , 4 )

3 x – 9 < 0 ⇒ 3 x < 9 ⇒ x < 3 ⇒ ( – ∞ , 3 )
Es decir, x es un número del intervalo (–∞ , 3)
Por tanto, la solución es (–∞ , 3) U (4 , +∞).
b.
5 x + 10
≥0
2 x –8
Para que una fracción sea positiva, puede ocurrir que:
• El numerador y el denominador sean positivos y el denominador distinto de
0.
5 x + 10 ≥ 0 ⇒ 5 x ≥ –10 ⇒ x ≥ –2 ⇒ [ –2 , +∞ )

2 x – 8 > 0 ⇒ 2 x > 8 ⇒ x > 4 ⇒ ( 4 , +∞ )
Es decir, x es un número del intervalo (4 , +∞)
• El numerador y el denominador sean negativos y el denominador distinto de 0.
5 x + 10 ≤ 0 ⇒ 5 x ≤ –10 ⇒ x ≤ –2 ⇒ ( – ∞ , −2]

2 x – 8 < 0 ⇒ 2 x < 8 ⇒ x < 4 ⇒ ( – ∞ , 4 )
Es decir, x es un número del intervalo (–∞ , –2]
Por tanto, la solución es (–∞ , –2] U (4 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43
c.
–7 x –14
≤0
3x+ 6
Para que una fracción sea negativa, puede ocurrir que:
• El numerador sea negativo y el denominador positivo y distinto de 0.
 –7 x – 14 ≤ 0 ⇒ –7 x ≤ 14 ⇒ x ≥ –2 ⇒ [ –2 , +∞ )

3 x + 6 > 0 ⇒ 3 x > –6 ⇒ x > –2 ⇒ (–2 , +∞ )
Es decir, x es un número del intervalo (–2 , +∞)
• El numerador sea positivo y el denominador negativo y distinto de 0.
 –7 x – 14 ≥ 0 ⇒ –7 x ≥ 14 ⇒ x ≤ –2 ⇒ (– ∞ , –2]

3 x + 6 < 0 ⇒ 3 x < –6 ⇒ x < –2 ⇒ (– ∞ , –2)
Es decir, x es un número del intervalo (–∞ , –2)
Por tanto, la solución es (–∞ , –2) U (–2 , +∞)
d.
1 –3 x
>0
4x+ 8
Para que una fracción sea positiva, puede ocurrir que:
• El numerador y el denominador sean positivos.

1 
1
1– 3 x > 0 ⇒ –3 x > –1 ⇒ x < ⇒  −∞ , 
3
3


 4 x + 8 > 0 ⇒ 4 x > –8 ⇒ x > –2 ⇒ ( –2 , +∞ )

Es decir, x es un número del intervalo (–2 ,
1
)
3
• El numerador y el denominador sean negativos.

1 1

1– 3 x < 0 ⇒ –3 x < –1 ⇒ x > ⇒  , + ∞ 
3
3



4 x + 8 < 0 ⇒ 4 x < –8 ⇒ x < –2 ⇒ (– ∞ , –2)

En este caso no hay intersección en las soluciones.
Por tanto, la solución es (–2 ,
1
)
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
44
SOLUCIONES PÁG. 105
25 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones:
x + y ≥ 5
a. 
x – y < 2
• Para representar la inecuación x + y ≥ 5, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x+y≥5⇒x+y=5⇒y=5+x
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x+y≥5⇒0+0 ≥ 5
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≥.
• Para representar la inecuación x – y < 2, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x–y<2⇒x–y=2⇒y=x–2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
45
x–y<2⇒0–0<2
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
5 x + 2 y ≤ 1
b. 
 x + 3y ≤ 0
• Para representar la inecuación 5x + 2y ≤ 1, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
5x + 2y ≤ 1 ⇒ 5x + 2y = 1 ⇒ y =
1 − 5x
2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
5x + 2y ≤ 1 ⇒ 0 + 0 ≤ 1
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
46
• Para representar la inecuación x + 3y ≤ 0, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x + 3y ≤ 0 ⇒ x + 3y = 0 ⇒ y = −
x
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (5 , 5), y se sustituye en la inecuación
inicial:
5 + 3 · 5 ≤ 0 ⇒ 20 ≤ 0
Como no se cumple la desigualdad, la solución no es el semiplano que
contiene al punto (5 , 5), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
47
 −3 x + y < 2
c. 
 y > −3
• Para representar la inecuación –3x + y < 2, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–3x + y < 2 ⇒ –3x + y = 2 ⇒ y = 2 + 3x
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–3x + y < 2 ⇒ 0 + 0 < 2
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación y > –3, se cambia el signo de la desigualdad
por el de igualdad y se representa la recta:
y > –3 ⇒ y = –3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
y > –3 ⇒ 0 > –3
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
48
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
49
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
2· ( x − 1) + 3 y ≤ 5
d. 
 4· ( x + 2) + 2· (3 y + 1) ≥ 3
• Para representar la inecuación 2 · (x – 1) + 3y ≤ 5, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2 · (x – 1) + 3y ≤ 5 ⇒ 2 · (x – 1) + 3y = 5 ⇒ y =
−2 x + 7
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2 · (x – 1) + 3y ≤ 5 ⇒ 2 · (0 – 1) + 3 · 0 ≤ 5 ⇒ –2 ≤ 5
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
• Para representar la inecuación 4 · (x + 2) + 2 · (3y + 1) ≥ 3, se cambia el
signo de la desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
4 · (x + 2) + 2 · (3y + 1) ≥ 3 ⇒ 4 · (x + 2) + 2 · (3y + 1) = 3 ⇒ y =
−7 − 4 x
6
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
50
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
4 · (x + 2) + 2 · (3y + 1) ≥ 3 ⇒ 4 · (0 + 2) + 2 · (3 · 0 + 1) ≥ 3 ⇒ 10 ≥ 3
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≥.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
x+ y
 2 < 1
e. 
x + y >1
 3 2
x+y
< 1 , se cambia el signo de la
2
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
• Para representar la inecuación
x+y
x+y
< 1⇒
= 1⇒ y = 2 − x
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
51
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x+y
0+0
< 1⇒
< 1⇒ 0 < 1
2
2
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
x y
+ > 1 , se cambia el signo de la
3 2
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
• Para representar la inecuación
x y
x y
6 − 2x
+ > 1⇒ + = 1⇒ y =
3 2
3 2
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x y
+ > 1⇒ 0 >1
3 2
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
52
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
 –5 x – 3 y > 3
f. 
 –3· ( y + 1) < 5 x – 4
• Para representar la inecuación –5x – 3y > 3, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–5x – 3y > 3 ⇒ –5x – 3y = 3 ⇒ y =
−5 x − 3
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–5x – 3y > 3 ⇒ 0 > 3
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
• Para representar la inecuación –3 · (y + 1) < 5x – 4, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–3 · (y + 1) < 5x – 4 ⇒ –3 · (y + 1) = 5x – 4 ⇒ y =
−5 x + 1
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
53
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–3 · (y + 1) < 5x – 4 ⇒ –3 < –4
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
El sistema no tiene solución, pues los semiplanos no tienen elementos en
común.
26 Entre tu compañero y tú plantead un sistema de cuatro inecuaciones con
dos incógnitas y resolvedlo gráficamente. A partir de la solución gráfica,
determinad cinco puntos que pertenezcan a la solución.
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
54
27 Encuentra la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:
x > 0

a.  y > 0
x + y < 3

Se representa la inecuación x > 0:
Se representa la inecuación y > 0:
Se representa la inecuación x + y < 3:
La solución del sistema es la intersección de los tres semiplanos:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
55
x − y ≥ 0

b.  x + y ≤ 0
y ≥ 2

Se representa la inecuación x – y ≥ 0:
Se representa la inecuación x + y ≤ 0:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
56
Se representa la inecuación y ≥ 2:
La solución del sistema es la intersección de los tres semiplanos:
El sistema no tiene solución, pues los semiplanos no tienen elementos en
común.
2 x − 5 y < 3

c. 3· ( x + 1) + y ≥ 2
 − x + 2y ≤ 1

Se representa la inecuación 2x – 5y < 3:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
57
Se representa la inecuación 3 · (x + 1) + y ≥ 2:
Se representa la inecuación –x + 2y ≤ 1:
La solución del sistema es la intersección de los tres semiplanos:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
58
SOLUCIONES PÁG. 107
28 Un jardín botánico está compuesto de 122 especies distintas, entre plantas y
árboles. Si el triple de árboles son 14 más que el total de plantas, ¿cuántas
plantas y árboles tiene el jardín?
•
Se identifican las incógnitas: x = plantas, y = árboles
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
 x + y = 122

3 y = x + 14
Se utiliza el método de sustitución. Se despeja en la primera ecuación la
incógnita x, x = 122 – y, y se sustituye en la segunda ecuación:
3y = 122 – y + 14 ⇒ 3y + y = 122 + 14 ⇒ 4y = 136 ⇒ y =
136
⇒ y = 34
4
x = 122 – y = 122 –34 = 88
•
Se comprueba e interpreta la solución: hay 88 plantas y 34 árboles.
29 La suma de dos números es 32, y la diferencia de sus cuadrados, 64. Halla el
valor de dichos números.
•
Se identifican las incógnitas: x e y son los dos números que hay que hallar.
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
 x + y = 32
 2
2
 x − y = 64
Se utiliza el método de sustitución. Se despeja en la primera ecuación la
incógnita x, x = 32 – y, y se sustituye en la segunda ecuación:
(32 – y)2 – y2 = 64 ⇒ 322 + y2 – 2 · 32y – y2 = 64 ⇒ 1 024 + y2 – 64y – y2 = 64 ⇒
⇒ 1 024 – 64y = 64 ⇒ 1 024 – 64 = 64y ⇒ y =
960
= 15
64
x = 32 – y = 32 – 15 = 17
•
Se comprueba e interpreta la solución: los números son 15 y 17
30 Tres hermanos tienen en total 48 años. El mayor tiene ocho años menos que
la suma de las edades de los otros dos hermanos, mientras que la edad del
menor es la tercera parte de la suma de las de sus dos hermanos. Averigua
cuántos años tiene cada hermano.
•
Se identifican las incógnitas: x = edad del hermano mayor, y = edad del
hermano mediano, z = edad del hermano pequeño
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
59

 x + y + z = 48  x + y + z = 48


 x + 8 = y + z ⇒  x − y − z = −8

 x + y − 3z = 0
x+y

z =
3

Se utiliza el método de reducción:
 x + y + z = 48

 x – y – z = –8
2x = 40
x = 20
 x – y – z = –8

 x + y – 3z = 0
2x – 4z = –8
Se sustituye el valor de x hallado:
2 · 20 – 4z = –8 ⇒ 40 – 4z = –8 ⇒ 40 + 8 = 4z ⇒ z =
48
= 12
4
Se sustituyen los valores de x y z para hallar y:
x + y + z = 48 ⇒ y = 48 – x – z ⇒ y = 48 – 20 – 12 ⇒ y = 16
•
Se comprueba e interpreta la solución: el hermano mayor tiene 20 años, el
mediano 16 y el pequeño 12 años.
31 Calcula dos números naturales cuyo producto sea 80 y cuyo cociente dé
4
como resultado .
5
•
Se identifican las incógnitas: los números naturales son x e y.
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
80

 x · y = 80  x =
y


⇒
x 4
y = 5
 x = 4y

5

Se resuelve por igualación:
80 4 y
=
⇒ 400 = 4 y 2 ⇒ y 2 = 100 ⇒ y = ±10
y
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
60
Como son números naturales, la solución negativa no es válida.
x=
•
80 80
=
=8
y
10
Se comprueba e interpreta la solución: los números naturales son 8 y 10.
32 Una empresa de telefonía móvil ofrece un contrato que estipula un precio de
0,10 € por el establecimiento de llamada más 0,30 € por minuto. ¿Cuántos
minutos se puede hablar de modo que el precio por llamada esté
comprendido entre los 0,70 € y los 2,50 €?
•
Se identifica la incógnita: x = minutos que se puede hablar
•
Se plantea el sistema de inecuaciones y se resuelve:
0,10 + 0,30 x > 0,70 0,30 x > 0,70 − 0,10  x > 2
⇒
⇒

0,10 + 0,30 x < 2,50 0,30 x < 2,50 − 0,10  x < 8
•
Se comprueba e interpreta la solución: el número de minutos será cualquier
número del intervalo (2 , 8).
33 Una fábrica textil confecciona camisas y camisetas, para lo que utiliza dos
tipos de hilo: fino y grueso. Cada camisa necesita 2 m de hilo fino y 4 m de
hilo grueso, y cada camiseta, 3 m de hilo fino y 1 m de hilo grueso. Si se
dispone de 40 m de hilo fino y 30 m de hilo grueso:
a. ¿Cuántas camisas y camisetas se pueden confeccionar?
• Se identifican las incógnitas: x = números de camisas, y = número de
camisetas
• Se plantea el sistema de inecuaciones y se resuelve:
2x + 3y ≤ 40

4 x + y ≤ 30
• Se interpreta la solución: el conjunto de soluciones está formado por todos
los pares, (x , y), de la región del plano sombreado en la gráfica.
b. ¿Es posible realizar 8 camisas y 12 camisetas?
No es posible, pues el punto (8, 12) no pertenece a la región factible.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
61
SOLUCIONES PÁG. 109
1
¿Cuántas soluciones reales puede tener un sistema de dos ecuaciones
lineales? ¿Cuál es la representación gráfica de la solución?
Puede tener una solución formada por un par de valores, infinitas soluciones o no
tener solución.
La representación gráfica de la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales
es el punto o puntos de corte de las dos rectas que forman el sistema.
2
Clasifica un sistema de ecuaciones según el número de soluciones que
tenga.
Dependiendo del número de soluciones, un sistema de ecuaciones puede ser:
3
•
Compatible determinado: el sistema tiene una única solución.
•
Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.
•
Incompatible: el sistema no tiene solución.
¿Cómo se denomina un sistema
independientes son todos nulos?
de
ecuaciones
cuyos
términos
Sistema homogéneo.
4
¿Un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene como
solución, al menos, la terna (0 , 0 , 0)?
Sí, la terna (0 , 0 , 0) es siempre solución pero no tiene por qué ser la única.
5
¿Tiene un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
siempre como solución un intervalo?
No, también puede no tener solución o tener solo un valor como única solución.
6
Explica en qué consiste el método de Gauss para la resolución de sistemas
de ecuaciones con tres ecuaciones lineales.
Respuesta abierta.
7
Explica el procedimiento que se sigue para resolver un sistema de
inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Respuesta abierta.
8
¿Es un intervalo la solución de un sistema de inecuaciones de primer grado
con dos incógnitas? Justifica tu respuesta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
62
No, es una región del plano.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
63
9
¿Cómo se llama la solución de un sistema de inecuaciones de primer grado
con dos incógnitas?
Región factible.
10 Prepara una presentación digital para tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 110 – REPASO FINAL
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
1
Comprueba si (x , y) = (–1 , 2) es solución de los siguientes sistemas:
 −4 x + y = 6
a. 
 x − 2y = 3
−4 x + y = 6 −4·( −1) + 2 = 6 4 + 2 = 6
⇒
⇒

 x − 2y = 3
−1 − 2 ·2 = 3
 –1 – 4 = 3 ⇒ –5 ≠ 3
No es solución.
3 x + 2 y = 1
b. 
 –3 x + y = 5
3 x + 2y = 1 ⇒ 3· ( –1) + 2· 2 = 1 ⇒ –3 + 4 = 1 ⇒ 1 = 1

−3 x + y = 5 ⇒ –3· ( –1) + 2 = 5 ⇒ 3 + 2 = 5 ⇒ 5 = 5
Sí es solución.
2· ( x – 1) – 3 y = –10
c. 
 x – 5· ( y – 2 ) = –1
2· ( x – 1) – 3 y = –10 ⇒ 2· ( –1– 1) – 3· 2 = –10 ⇒ –4 – 6 = –10 ⇒ –10 = –10

 x – 5· ( y – 2 ) = –1 ⇒ –1– 5· ( 2 – 2 ) = –1 ⇒ –1 = –1
Sí es solución.
x y −1
=0
 +
d.  2
2
 −2 x = − (4 − 3 y )
−1 2 − 1
−1 1
x y −1
=0⇒
+
=0⇒
+ =0⇒0=0
 +
⇒ Sí es solución.
2
2
2
2 2
2
 −2 x = −(4 − 3 y ) ⇒ −2·( −1) = −(4 − 3· 2) ⇒ 2 = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
64
2
Resuelve mediante el método de sustitución:
2 x + y = 6
a. 
 –5 x + 6y = 2
Se despeja la incógnita y de la primera ecuación, y = 6 – 2x, y se sustituye en
la segunda:
–5x + 6 · (6 – 2x) = 2 ⇒ –5x + 36 – 12x = 2 ⇒ –17x = 2 – 36 ⇒ –17x = –34 ⇒
⇒x=
–34
=2
–17
y = 6 – 2x ⇒ 6 – 2 · 2 ⇒ 6 – 4 = 2
La solución es x = 2, y = 2
3 x + 2 y = – 11
b. 
x – y = 3
Se despeja la incógnita x de la segunda ecuación, x = 3 +y, y se sustituye en la
primera:
3 · (3 + y) + 2y = –11 ⇒ 9 + 3y + 2y = –11 ⇒ 5y = –11 – 9 ⇒ 5y = –20 ⇒ y = –4
x = 3 + y ⇒ x = 3 – 4 ⇒ –1
La solución es x = –1, y = –4
 4 x – 2y = 1
c. 
 y = 7 · ( x + 3 ) – 5 x
Se despeja la incógnita y de la segunda ecuación, y = 7x + 21 – 5x ⇒ y = 2x + 21,
y se sustituye en la primera:
4x – 2y = 1 ⇒ 4x – 2 · (2x + 21) = 1 ⇒ 4x – 4x – 42 = 1 ⇒ – 42 ≠ 1
No tiene solución.
x y
 2 + 4 = 2
d. 
 3x − y = − 1
 10 5
5
Se despeja la incógnita y de la primera ecuación,
2x + y
= 2 ⇒ 2x + y = 8 ⇒ y = 8 – 2x,
4
y se sustituye en la segunda:
3x y
1
3x – 2 y
1
– =– ⇒
= – ⇒ 5 · (3x – 2y) = –10 ⇒ 15x – 10y = –10 ⇒
10 5
5
10
5
⇒ 3x – 2y = –2 ⇒ 3x – 2 · (8 – 2x) = –2 ⇒ 3x – 16 + 4x = –2 ⇒ 7x = –2 + 16 ⇒
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
65
7x = 14 ⇒ x = 2
y = 8 – 2x ⇒ y = 8 – 2 · 2 = ⇒ y = 8 – 4 = ⇒ y = 4
La solución es x = 2, y = 4
3
Halla la solución de los siguientes sistemas utilizando el método de
igualación:
 –3 x + 4 y = 1
a. 
2 x + 5 y = 3
Se despeja la incógnita x en las dos ecuaciones y se igualan:
1 − 4y

 –3 x + 4y = 1 ⇒ x = −3

2 x + 5 y = 3 ⇒ x = 3 − 5 y

2
1 – 4 y 3 –5 y
⇒ 2 · (1 – 4y) = –3 · (3 – 5y) ⇒ 2 – 8y = –9 + 15y ⇒
=
–3
2
⇒ 2 + 9 = 15y + 8y ⇒ 11 = 23y ⇒ y =
x=
1 –4 y
=
–3
11
23
11
44 23 – 44 – 21
1–
23 = 23 = 23 = 23 = –21 = 7
–3
–3
–3
–3 23 · ( –3) 23
1 – 4·
La solución es x =
7
11
,y=
23
23
 x + 7y = – 4
b. 
 x – 8y = 11
Se despeja la incógnita x en las dos ecuaciones y se igualan:
 x + 7y = −4 ⇒ x = −4 − 7 y

 x – 8y = 11 ⇒ x = 11 + 8y
–4 – 7y = 11 + 8y ⇒ –4 – 11 = 8y + 7y ⇒ –15 = 15y ⇒ y = –1
x = –4 – 7y = –4 – 7 · (–1) = –4 + 7 = 3
La solución es x = 3, y = –1
5 · ( x + 2 ) – y = – 1
c. 
 4 x + 3 · ( y + 1) = – 2
Se despeja la incógnita y en las dos ecuaciones y se igualan:
5· ( x + 2 ) – y = –1 ⇒ 5 x + 10 – y = –1 ⇒ 5 x + 10 + 1 = y ⇒ y = 5 x + 11


–5 – 4 x
 4 x + 3· ( y + 1) = –2 ⇒ 4 x + 3 y + 3 = –2 ⇒ 3 y = –2 – 3 – 4 x ⇒ y =
3

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
66
5x + 11 =
⇒x=
–5 – 4 x
⇒ 15x + 33 = –5 – 4x ⇒ 15x + 4x = –5 – 33 ⇒ 19x = –38 ⇒
3
–38
= –2
19
y = 5x + 11 = 5 · (–2) + 11 = –10 + 11 = 1
La solución es x = –2, y = 1
2 x – y = 3

d.  x y
3
 – 5 + 10 = – 10
Se despeja la incógnita y en las dos ecuaciones y se igualan:
2 x – y = 3 ⇒ y = 2 x – 3

 x y
3
–2 x + y
3
 – 5 + 10 = – 10 ⇒ 10 = – 10 ⇒ –2 x + y = –3 ⇒ y = –3 + 2 x
2x – 3 = –3 + 2x ⇒ 2x – 2x = –3 + 3 ⇒ 0x = 0
Tiene infinitas soluciones.
4
Determina la solución de estos sistemas de ecuaciones mediante el método
de reducción:
2 x + 3y = 10
a. 
 –5 x + y = 9
Se multiplica por –3 a la segunda ecuación, 15x – 3y = –27, y se suman:
2x + 3y = 10
15x – 3y = –27
17x = –17
x = –1
–5x + y = 9 ⇒ –5 · (–1) + y = 9 ⇒ 5 + y = 9 ⇒ y = 9 – 5 ⇒ y = 4
La solución es x = –1, y = 4
6 x – 7 y = 5
b. 
 –6 x + 3 y = – 1
Se suman las dos ecuaciones:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
67
6x – 7y = 5
–6x + 3y = –1
–4y = 4
y = –1
6x – 7y = 5 ⇒ 6x – 7 · (–1) = 5 ⇒ 6x + 7 = 5 ⇒ 6x = 5 – 7 ⇒ 6x = –2 ⇒ x =
–
–2
=
6
1
3
1
3
La solución es x = – , y = –1
4 x + 5y = – 2
c. 
3 x + 2 y = 2
Se multiplica por 3 a la primera ecuación, 12x + 15y = –6, y por –4 a la segunda
ecuación, y se suman: –12x – 8y = –8
12x + 15y = –6
–12x – 8y = –8
7y = –14
y = –2
4x + 5y = –2 ⇒ 4x + 5 · (–2) = –2 ⇒ 4x –10 = –2 ⇒ 4x = –2 + 10 ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2
La solución es x = 2, y = –2
 –2 · ( x + 1) = 3 · ( y – 4 )
d. 
 6 · ( 1 + y ) = – 4 · ( 3 + x )
Se operan las dos ecuaciones para reducirlas:
 –2· ( x + 1) = 3· ( y – 4 ) ⇒ –2 x – 2 = 3 y – 12 ⇒ –2 x – 3 y = –10

6· (1 + y ) = −4· ( 3 + x ) ⇒ 6 + 6 y = –12 – 4 x ⇒ 4 x + 6 y = –18
Se multiplica por 2 a la primera ecuación y se suman:
–4x – 6y = –12
4x + 6y = –18
0x + 0y = –30
No tiene solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
68
5
Resuelve los sistemas propuestos utilizando el método más adecuado.
Comprueba la solución utilizando Wiris.
 x + 6y = 3

a.  6 x − 1
 7 = 3· ( x − 3)
Se utiliza el método de sustitución. Se despeja la incógnita x de la primera
ecuación, x = 3 – 6y, y se sustituye en la segunda:
6 x –1
= 3·( y –1) ⇒ 6x – 1 = 21y – 21 ⇒ 6x – 21y = –21+ 1 ⇒ 6x – 21y = –20 ⇒
7
⇒ 6 · (3 – 6y) – 21y = –20 ⇒ 18 – 36y – 21y = –20 ⇒ –57y = –20 – 18 ⇒
⇒ –57y = –38 ⇒ y =
–38 2
=
–57 3
x = 3 – 6y ⇒ x = 3 – 6 ·
2
= 3 – 4= –1
3
La solución es x = –1, y =
2
3
 y –3 2 x + 1
=

6
b.  8
3 y – 6 = 8 · ( x – 3 )

Se operan las dos ecuaciones para reducirlas:
 y – 3 2x + 1
=
⇒ 6· ( y – 3 ) = 8· ( 2 x + 1) ⇒ 6 y – 18 = 16 x + 8 ⇒ 16 x − 6 y = −36

6
 8
3 y – 6 = 8· ( x – 3 ) ⇒ 3 y – 6 = 8 x – 24 ⇒ –6 + 24 = 8 x – 3 y ⇒ 8 x – 3 y = 18

Se multiplica por –2 a la segunda ecuación, –16x + 6y = –36, y se suman:
16x – 6y = –26
–16x + 6y = –36
0x + 0y = –62
No tiene solución.
3 · ( x – 4 ) = 2 · ( 1 – y )
c. 
 – ( y + 1) = 5 · ( x – 3 )
Se operan las dos ecuaciones para reducirlas:
3· ( x – 4 ) = 2· (1 – y ) ⇒ 3 x – 12 = 2 – 2 y ⇒ 3 x + 2y = 2 + 12 ⇒ 3 x + 2y = 14

 – ( y + 1) = 5· ( x – 3 ) ⇒ – y – 1 = 5 x – 15 ⇒ – y – 5 x = –15 + 1 ⇒ –5 x – y = –14
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
69
Se multiplica por 2 a la segunda ecuación, –10x – 2y = –28, y se suman:
3x + 2y = 14
–10x – 2y = –28
–7x = –14
x=2
–5x – y = –14 ⇒ –5 · 2 – y = –14 ⇒ –10 + 14 = y ⇒ y = 4
La solución es x = 2, y = 4
2 x + 3 · ( y – 1) = 17 – x

d.  x + 1 y + 3
–
= –3

5
 3
Se operan las dos ecuaciones para reducirlas:
2 x + 3·( y – 1) = 17 – x ⇒ 2 x + 3 y + x = 17 + 3 ⇒ 3 x + 3 y = 20

x +1 y + 3
5· ( x + 1)
3·( y + 3 )
–
–
= –3 ⇒
= –45 ⇒ 5 x – 3 y = –41

5
15
15
 3
Se suman ambas ecuaciones:
3x + 3y = 20
5x – 3y = –41
8x = –21
x=
–21
8
–63
63
 –21 
 + 3y = 20 ⇒ 8 + 3y = 20 ⇒ 3y = 20 + 8 ⇒
 8 
3x + 3y = 20 ⇒ 3 · 
3y =
20 · 8 + 63
160 + 63
223
⇒y=
⇒y=
8
8 ·3
24
La solución es x =
–21
223
,y=
8
24
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
70
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS
6
Comprueba si (x , y , z) = (–3 , 0 , –4) es solución de alguno de estos
sistemas, sin resolverlos:
 x – 2y + z = – 1

a.  –4 x + y – 5 z = 8
3 x – y + 4 z = – 7

 x − 2y + z = −1
−3 − 0 − 4 = −1
−7 ≠ −1



−4 x + y − 5z = 8 ⇒ 12 + 0 + 20 = 8 ⇒ 32 ≠ 8
3 x – y + 4z = −7 −9 – 0 − 16 = −7 −25 ≠ −7



No es solución.
5 x + 3 y – 2z = 6

b.  – x – y + 2z = 0
4 x + y – z = 1

5 x + 3y – 2z = 6 −15 + 0 + 8 = 6 −7 ≠ 6



 – x – y + 2z = 0 ⇒ 3 – 0 − 8 = 0 ⇒ −5 ≠ 0
4 x + y – z = 1
−12 + 0 + 4 = 1
−8 ≠ 1



No es solución.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
71
7
Encuentra la solución mediante el método de sustitución:
x + y + z = 5

a. 6 x – 2 y + 3z = 3
 –2 x + 3 y + z = 8

Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la primera ecuación, x = 5 – y – z, y
se sustituye en las otras ecuaciones:
6· ( 5 – y – z ) – 2y + 3z = 3 ⇒ 30 – 6 y – 6z – 2y + 3z = 3 ⇒ –8 y – 3z = –27

 –2· ( 5 – y – z ) + 3 y + z = 8 ⇒ –10 + 2y + 2z + 3 y + z = 8 ⇒ 5 y + 3z = 18
Se suman para eliminar la incógnita z:
–8y – 3z = –27
5y + 3z = 18
–3y = –9
y=3
5y + 3z = 18 ⇒ 5 · 3 + 3z = 18 ⇒ 3z = 18 – 15 ⇒ 3z = 3 ⇒ z = 1
x=5–y–z⇒x=5–3–1⇒x=1
La solución es x = 1, y = 3, z = 1
2 x + y – 4 z = – 6

b.  x + 5 y – 7z = – 17
 –3 x + 2 y + z = – 3

Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la segunda ecuación, x = –17 – 5y +
7z, y se sustituye en las otras ecuaciones:
2 x + y – 4z = –6 ⇒ 2· ( –17 – 5 y + 7z ) + y – 4z = –6 ⇒

 –3 x + 2y + z = –3 ⇒ –3· ( –17 – 5 y + 7z ) + 2y + z = –3 ⇒
 –34 – 10 y + 14z + y – 4z = –6 ⇒ –9 y + 10z = –6 + 34 ⇒ –9 y + 10z = 28

51 + 15 y – 21z + 2y + z = –3 ⇒ 17 y – 20z = –3 – 51 ⇒ 17 y – 20z = –54
Se multiplica por 2 a la primera ecuación resultante, –18y + 20z = 56 y se
suman:
–18y + 20z = 56
17y – 20z = –54
–y = 2
y = –2
–9y + 10z = 28 ⇒ –9 · (–2) + 10z = 28 ⇒ 18 + 10z = 28 ⇒ 10z = 28 – 18 ⇒
⇒ 10z = 10 ⇒ z = 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
72
x = –17 – 5y + 7z ⇒ x = –17 – 5 · (–2) + 7 · 1 ⇒ x = –17 + 10 + 7 ⇒ 0
La solución es x = 0, y = –2, z = 1
2 x – 3 y – 2z = 0

c.  4 x + y – z = 3
 x + 2 y – 3z = – 2

Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la tercera ecuación, x = –2 – 2y + 3z,
y se sustituye en las otras ecuaciones:
2·( –2 – 2y + 3z ) – 3 y – 2z = 0 ⇒ –4 – 4 y + 6z – 3 y – 2z = 0 ⇒ –7 y + 4z = 4
4·( –2 – 2y + 3z ) + y – z = 3 ⇒ –8 – 8 y + 12z + y – z = 3 ⇒ –7 y + 11z = 11
Se multiplica por –1 a la primera ecuación resultante, 7y – 4z = –4, y se suman:
7y – 4z = –4
–7y + 11z = 11
7z = 7
z=1
–7y + 4z = 4 ⇒ 7y + 4 = 4 ⇒ 7y = 0 ⇒ y = 0
x = –2 – 2y + 3z ⇒ x = –2 – 2 · 0 + 3 · 1 ⇒ x = –2 + 3 ⇒ x = 1
La solución es x = 1, y = 0, z = 1
3 x + y + 2z = 1

d.  – x – y + 4 z = – 3
 –2 x + 3 y + z = 2

Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la segunda ecuación, x = 3 – y + 4z,
y se sustituye en las otras ecuaciones:
3 x + y + 2z = 1 ⇒ 3· ( 3 – y + 4z ) + y + 2z = 1 ⇒ 9 – 3 y + 12z + y + 2z = 1 ⇒

 –2 x + 3 y + z = 2 ⇒ –2· ( 3 – y + 4z ) + 3 y + z = 2 ⇒ –6 + 2y – 8z + 3 y + z = 2 ⇒
 –2y + 14z = –8 ⇒ – y + 7z = –4

5 y – 7z = 8
Se suman las dos ecuaciones resultantes:
–y + 7z = –4
5y – 7z = 8
4y = 4
y=1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
73
–y + 7z = –4 ⇒ –1 + 7z = –4 ⇒ 7z = –4 + 1 ⇒ 7z = –3 ⇒ z =
–3
7
12
7 · 2 –12
2
 –3 
⇒x=
 ⇒x=2– 7 ⇒x=
7
7
 7 
x = 3 – y + 4z ⇒ x = 3 – 1 + 4 · 
La solución es x =
8
2
–3
, y = 1, z =
7
7
Soluciona los sistemas por el método de igualación:
2 x + 3 y – z = 7

a.  –3 x + 7z = – 18
 4 x – 5 y + 2z = – 20

Se despeja la z de las tres ecuaciones:

z = 2 x + 3 y – 7
2 x + 3 y – z = 7

3 x – 18


⇒ z =
 –3 x + 7z = – 18
7
 4 x – 5 y + 2z = – 20 


−4 x + 5 y – 20
 z =
2
Se igualan dos a dos:
2x + 3y – 7 =
3 x – 18
⇒ 14x + 21y – 49 = 3x –18 ⇒ 14x – 3x + 21y = –18 + 49 ⇒
7
⇒11x + 21y = 31
2x + 3y – 7 =
−4 x + 5 y – 20
⇒ 4x + 6y – 14 = –4x + 5y – 20 ⇒
2
4x + 4x + 6y – 5y = –20 + 14 ⇒ 8x + y = –6 ⇒ y = –6 – 8x
Se sustituye la incógnita y obtenida en la segunda ecuación en la primera
ecuación y se resuelve:
11x + 21y = 31 ⇒ 11x + 21 · (–6 – 8x) = 31 ⇒ 11x – 126 – 168x = 31 ⇒
–157x = 157 ⇒ x = –1
y = –6 – 8x ⇒ y = –6 – 8 · (–1) ⇒ y = –6 + 8 ⇒ y = 2
z = 2x + 3y – 7 ⇒ z = 2 · (–1) + 3 · 2 – 7 ⇒ z = –2 + 6 – 7 ⇒ z = –3
La solución es x = –1, y = 2, z = –3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
74
b.
 x + 3y – z = – 2

 – x – 2 y + 3z = – 1
2 x + y – 4 z = 3

Se despeja la incógnita x en las tres ecuaciones:

 x = – 2 – 3y + z
x
+
3
y
–
z
=
–
2



 – x – 2y + 3z = – 1 ⇒  x = 1 – 2y + 3z
2 x + y – 4z = 3

3 – y + 4z

x =
2

Se igualan dos a dos:
–2 – 3y + z = 1 – 2y + 3z ⇒ – 3y + 2y + z – 3z = 1 + 2 ⇒ –y – 2z = 3 ⇒
⇒ y + 2z = –3 ⇒ y = –3 – 2z
1 – 2y + 3z =
3 – y + 4z
⇒ 2 – 4y + 6z = 3 – y + 4z ⇒ 2 – 4y + 6z = 3 – y + 4z ⇒
2
⇒ – 4y + 6z + y – 4z = 3 – 2 ⇒ –3y + 2z = 1 ⇒
Se sustituye la incógnita y obtenida en la segunda ecuación en la primera
ecuación y se resuelve:
⇒ –3 · (–3 – 2z) + 2z = 1 ⇒ 9 + 6z + 2z = 1 ⇒ 8z = 1 – 9 ⇒ 8z = –8 ⇒ z = –1
y = –3 – 2z ⇒ y = –3 – 2 · (–1) ⇒ y = –3 + 2 ⇒ y = –1
x = 1 – 2y + 3z ⇒ x = 1 – 2 · (–1) + 3 · (–1) ⇒ x = 1 + 2 –3 ⇒ x = 0
La solución es x = 0, y = –1, z = –1
 –4 x + 3 y = – 5

c. 3 x + 2 y – z = – 3
5 x – z = 5

Se despeja la z de la segunda y tercera ecuación y se igualan:
 z = 3 x + 2y + 3

z = 5 x – 5
3x + 2y + 3 = 5x – 5 ⇒ 3x – 5x + 2y = –5 – 3 ⇒ –2x + 2y = –8 ⇒ –x + y = –4
–x + y = –4 ⇒ Se multiplica por –4 ⇒
4x – 4y = 16
–4x + 3y = –5
–4x + 3y = –5
–y = 11
y = –11
–x + y = –4 ⇒ –x –11 = –4 ⇒ x = –7
z = 5x – 5 ⇒ z = 5 · (–7) – 5 ⇒ z = –35 – 5 ⇒ z = –40
La solución es x = –7, y = –11, z = –40
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
75
 –2 x + y – 4 z = 2

d. 7 x – 3 y + z = 4
 4 x – 2 y + 3z = – 1

Se despeja la incógnita y en las tres ecuaciones:

 y = 2 x + 4z + 2
 –2 x + y – 4z = 2

–7 x – z + 4


⇒ y =
7 x – 3 y + z = 4
–3
 4 x – 2y + 3z = – 1 


–4 x – 3 z –1
 y =
–2
Se igualan dos a dos:
2x + 4z + 2 =
–7 x – z + 4
⇒ –6x – 12z –6 = –7x – z + 4 ⇒ –6x + 7x – 12z + z =
–3
= 4 + 6 ⇒ x – 11z = 10
2x + 4z + 2 =
=3⇒z= –
–4 x – 3 z –1
⇒ –4x – 8z – 4 + 4x + 3z = –1 ⇒ –5z = –1 + 4 ⇒ –5z =
–2
3
5
 3
 5
x – 11z = 10 ⇒ x = 10 + 11z ⇒ x = 10 + 11 ·  –  ⇒ x = 10 –
33
⇒x =
5
50 – 33
17
⇒x=
5
5
y = 2x + 4z + 2 ⇒ y = 2 ·
17
34
12
 3
+ 4 · –  + 2 ⇒ y =
–
+ 2 ⇒y =
5
5
5
 5
34 –12 + 10
32
⇒y=
5
5
La solución es x =
9
17
32
3
,y=
,z= –
5
5
5
Halla estos sistemas por el método de reducción:
 x + y + 3z = 2

a. 2 x – y + 5 z = 2
3 x + y – 2z = 15

Se multiplica por –1 a la primera ecuación, –x – y – 3z = –2, y se suma con la
tercera ecuación:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
76
 – x – y – 3z = – 23

 x + y – 2z = 15
2x – 5z = 13
Se suman la primera y segunda ecuaciones:
x + y + 3z = 2
2x – y + 5z = 2
3x + 8z = 4
Se multiplica por –3 a la primera ecuación obtenida, –6x + 15z = –39, y por 2 a
la segunda ecuación obtenida, 6x + 16z = 8, y se suman:
–6x + 15z = –39
6x + 16z = 8
31z = –31
z = –1
2x – 5z = 13 ⇒ 2x – 5 · (–1) = 13 ⇒ 2x + 5 = 13 ⇒ 2x = 13 – 5 ⇒ x = ⇒ x = 4
x + y + 3z = 2 ⇒ y = 2 – x – 3z ⇒ y = 2 – 4 – 3 · (–1) ⇒ y = 2 – 4 + 3 ⇒ y = 1
La solución es x = 4, y = 1, z = –1
2 x + 3 y – z = – 4

b.  –4 x + 3 y = 1
5 x – 6 y + z = 3

Se multiplica por 2 a la primera ecuación, 4x + 6y – 2z = –8, y se suma con la
tercera:
4x + 6y – 2z = –8
5x – 6y + z = 3
9x – z = –5
Se multiplica por –1 a la primera ecuación, –2x – 3y + z = 4, y se suma con la
segunda:
–2x – 3y + z = 4
–4x + 3y = 1
–6x + z = 5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
77
Se suman las dos ecuaciones obtenidas:
9x – z = –5
–6x + z = 5
3x = 0
x=0
9x – z = –5 ⇒ z = 5
–4x + 3y = 1 ⇒ 3y = 1 ⇒ y =
La solución es x = 0, y =
1
,z=5
3
 x + 2 y – 3z = 1

c. 2 x + 4 y – 6 z = 2
 –3 x – 6 y + 9z = – 3

Se observa que la segunda ecuación es la primera multiplicada por 2 y la
tercera ecuación es la primera multiplicada por –3. Este sistema está formado
por ecuaciones equivalentes, es decir, se reduce a una ecuación con tres
incógnitas, por lo que tiene infinitas soluciones.
 4 y + 5z = 3

d.  x + 8 y – z = 15
2 x – y + 2z = – 8

Se multiplica por 4 a la 3.ª ecuación, 8x – 4y + 8z = –32, y se suma con la 1.ª:
4y + 5z = 3
8x – 4y + 8z = –32
8x + 13z = –29
Se multiplica por –2 a la 1.ª ecuación, –8y – 10z = –6, y se suma con la 2.ª
ecuación:
–8y – 10z = –6
x + 8y – z = 15
x – 11z = 9
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
78
Se multiplica por –8 a la 2.ª ecuación resultante, –8x + 88z = –72, y se suma
con la 1.ª ecuación obtenida:
8x + 13z = –29
–8x + 88z = –72
101z = –101
z = –1
x – 11z = 9 ⇒ x = 9 + 11z ⇒ x = 9 + 11 · (–1) ⇒ x = 9 – 11 x = –2
4y + 5z = 3 ⇒ 4y = 3 – 5z ⇒ 4y = 3 – 5 · (–1) ⇒ 4y = 3 + 5 ⇒ 4y = 8 ⇒ y = 2
La solución es x = –2, y = 2, z = –1
10 Resuelve estos sistemas aplicando el método más adecuado y comprueba
luego las soluciones con Wiris:
2 x – 3 y = 4 · (z – 1)

a.  – ( x + y ) + 3z = 4

3 · ( x + 2 y – z ) = 0
Se va a resolver por reducción. Se operan las ecuaciones para reducirlas:
2 x – 3y = 4 · ( z – 1)
2 x – 3 y = 4z – 4 ⇒ 2 x – 3 y – 4z = – 4


 – ( x + y ) + 3z = 4 ⇒  – x – y + 3 z = 4


3 · ( x + 2y – z ) = 0 3 x + 6 y – 3z = 0 ⇒ x + 2y – z = 0
Se multiplica por 2 a la 2.ª ecuación, –2x – 2y + 6z = 8, y se suma con la 1.ª:
2x – 3y – 4z = –4
–2x – 2y + 6z = 8
– 5y + 2z = 4
Se suman la segunda y tercera ecuaciones:
–x – y + 3z = 4
x + 2y – z = 0
y + 2z = 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
79
Se multiplica por –1 a la 2.ª ecuación obtenida, –y – 2z = –4, y se suma con la
1.ª obtenida:
– 5y + 2z = 4
–y – 2z = –4
–6y = 0
y=0
y + 2z = 4 ⇒ 0 + 2z = 4 ⇒ z = 2
x + 2y – z = 0 ⇒ x = –2y + z ⇒ x = –2 · 0 + 2 ⇒ x = 2
La solución es x = 2, y = 0, z = 2
2 · ( x + 3 ) – 3 · ( y – 1) – ( z + 2 ) = – 9

b. 5 · ( 2 x – 4 ) + 2 · ( y – 3 ) = – 5 · ( 1 + z )
 x + 2y = z

Se va a resolver por igualación. Se opera con las ecuaciones para reducirlas:
2· ( x + 3 ) – 3· ( y – 1) – ( z + 2 ) = –9 2 x + 6 – 3 y + 3 – z − 2 = –9


5· ( 2 x – 4 ) + 2· ( y – 3 ) = –5· (1 + z ) ⇒ 10 x − 20 + 2y − 6 = –5 − 5 z ⇒

 x + 2y = z

 x + 2y = z
2 x – 3 y – z = – 16

⇒ 10 x + 2 y + 5z = 21
 x + 2y = z

Para ello se despeja la incógnita z de las tres ecuaciones:
 z = 2 x − 3 y + 16
2 x – 3 y – z = – 16

−10 x − 2 y + 21


10 x + 2y + 5z = 21 ⇒  z =
5
 x + 2y = z


 x + 2y = z
Se igualan dos a dos:
2 x – 3 y + 16 = x + 2y ⇒ 2 x – 3 y – x – 2y = –16 ⇒ x – 5 y = –16

 −10 x − 2y + 21
= x + 2y ⇒ −10 x − 2y − 5 x − 10 y = −21 ⇒ −15 x − 10 y = −21

5
Se despeja x de la primera ecuación obtenida, x = 5y – 16, y se sustituye en la
segunda ecuación obtenida:
15x + 12y = 21 ⇒ 15 · (5y – 16) + 12y = 21 ⇒ 75y – 240 + 12y = 21 ⇒
⇒ 87y = 21 + 240 ⇒ 87y = 261 ⇒ y = 3
x = 5y – 16 ⇒ x = 5 · 3 – 16 ⇒ x = 15 – 16 ⇒ x = –1
x + 2y = z ⇒ –1 + 2 · 3 = z ⇒ z = 5
La solución es x = –1, y = 3, z = 5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
80
SOLUCIONES PÁG. 111
MÉTODO DE GAUSS
11 Resuelve estos sistemas por el método de Gauss. Comprueba las
soluciones con Wiris.
 x – 2 y + 4 z = 14

a. 2 x + 3 y – 2z = – 10
 – x + 5 y – z = – 23

 x – 2y + 4z = 14

2x + 3y – 2z = – 10
↓ Se multiplica la primera ecuación por (–2)
 –2 x + 4y – 8z = – 28

2x + 3y – 2z = – 10
7y – 10z = –38
 x – 2y + 4z = 14

 – x + 5y – z = – 23
3y + 3z = –9 ⇒ y + z = –3
Se obtiene el sistema equivalente:
 x – 2y + 4z = 14

7 y – 10z = – 38
y + z = – 3

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
81
Se elimina la incógnita y.
7 y – 10z = – 38

y + z = – 3
↓ Se multiplica la segunda ecuación por –7
7y – 10z = –38
–7y – 7z = 21
–17z = –17
El sistema final es el sistema escalonado:
 x – 2y + 4z = 14

7 y – 10z = – 38
 –17z = – 17

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
–17z = –17 ⇒ z = 1
7y – 10z = –38 ⇒ 7y – 10 = –38 ⇒ 7y = –38 + 10 ⇒ 7y = –28 ⇒ y = –4
x = 14 + 2y – 4z ⇒ x = 14 + 2 · (–4) – 4 · 1 ⇒ x = 14 – 8 – 4 ⇒ x = 2
La solución es: x = 2, y = –4, z = 1
3 x + y – 5z = 12

b.  x – 6 y + z = – 4
 4 x – 2 y – 3z = 5

3 x + y – 5z = 12

 x – 6y + z = – 4
↓ Se multiplica la segunda ecuación por (–3)
3x + y – 5z = 12
–3x + 18y – 3z = 12
19y – 8z = 24
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
82
 x – 6y + z = – 4

 4 x – 2y – 3z = 5
↓ Se multiplica la primera ecuación por –4.
–4x + 24y – 4z = 16
4x – 2y – 3z = 5
22y – 7z = 21
Se obtiene el sistema equivalente:
 x – 6y + z = – 4

19 y – 8z = 24
22y – 7z = 21

Se elimina la incógnita z.
19y – 8z = 24

22y – 7z = 21
↓ Se multiplica la primera ecuación por 7 y la segunda por –8.
133 y – 56z = 168

 –176y + 56z = – 168
–43y = 0
El sistema final es el sistema escalonado:
 x – 6y + z = – 4

19 y – 8z = 24
 –43 y = 0

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
–43y = 0 ⇒ y = 0
19y – 8z = 24 ⇒ – 8z = 24 ⇒ ⇒ z = –3
x – 6y + z = –4 ⇒ x = –4 + 6y – z ⇒ x = –4 + 6 · 0 – (–3) ⇒ x = –1
La solución es: x = –1, y = 0, z = –3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
83
7 x + y + 2z = 1

c.  –4 x + 2 y – 5 z = 20
 x + y – 4 z = 19

7 x + y + 2z = 1

 –4 x + 2y – 5z = 20
↓ Se multiplica la primera ecuación por –2.
 –14 x + – 2y – 4z = – 2

 –4 x + 2y – 5z = 20
–18x – 9z = 18 ⇒ –2x – z = 2
 –4 x + 2y – 5z = 20

 x + y – 4z = 19
↓ Se multiplica la segunda ecuación por –2.
 –4 x + 2y – 5z = 20

 –2x – 2y + 8z = – 38
–6x + 3z = –18 ⇒ –2x + z = –6
Se obtiene el sistema equivalente:
 x + y – 4z = 19

 –2x – z = 2
 –2x + z = – 6

Eliminamos la incógnita z.
 –2x – z = 2

 –2x + z = – 6
–4x = –4
El sistema final es el sistema escalonado:
 x + y – 4z = 19

 –2x – z = 2
 –4 x = – 4

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
–4x = –4 ⇒ x = 1
–2x – z = 2 ⇒ –2 · 1 – z = 2 ⇒ –z = 2 + 2 ⇒ –z = 4 ⇒ z = –4
x + y – 4z = 19 ⇒ y = 19 – x + 4z ⇒ y = 19 – 1 + 4 · (–4) ⇒ y = 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
84
La solución es: x = 1, y = 2, z = –4
2 x + y – z = – 3

d. 3 x – 2 y + 9z = – 1
 4 x + y – 3z = – 9

2 x + y – z = – 3

3 x – 2 y + 9 z = – 1
↓ Se multiplica la primera ecuación por 2.
 4 x + 2 y – 2z = – 6

3 x – 2y + 9z = – 1
7x + 7z = –7 ⇒ x + z = –1
2 x + y – z = – 3

 4 x + y – 3z = – 9
↓ Se multiplica la primera ecuación por –1.
 –2x – y + z = 3

 4 x + y – 3z = – 9
2x – 2z = –6 ⇒ x – z = –3
Se obtiene el sistema equivalente:
2 x + y – z = – 3

x + z = – 1
x – z = – 3

Eliminamos la incógnita z.
x + z = – 1

x – z = – 3
2x = –4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
85
El sistema final es el sistema escalonado:
2 x + y – z = – 3

x + z = – 1
2 x = – 4

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
2x = –4 ⇒ x = –2
x + z = –1 ⇒ –2 + z = –1 ⇒ z = 1
2x + y – z = –3 ⇒ y = –3 – 2x + z ⇒ y = –3 – 2 · (–2) + 1 ⇒ y = –3 + 4 + 1 ⇒ y =
2
La solución es: x = –2, y = 2, z = 1
 –3 x + 5 y – 2z = – 8

e.  x + 2 y + 3z = – 6
6 x – 3 y + 2z = – 7

 –3 x + 5 y – 2z = – 8

 x + 2y + 3z = – 6
↓ Se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2
 –9 x + 15y – 6z = – 24

2x + 4 y + 6z = – 12
–7x + 19y = –36
 –3 x + 5 y – 2z = – 8

6 x – 3y + 2z = – 7
3x + 2y = –15
Se obtiene el sistema equivalente:
 x + 2y + 3z = – 6

 –7 x + 19 y = – 36
3 x + 2y = – 15

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
86
Eliminamos la incógnita x.
 –7 x + 19y = – 36

3 x + 2y = – 15
↓ Se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 7
 –21x + 57y = – 108

21x + 14y = – 105
71y = –213
El sistema final es el sistema escalonado:
 x + 2y + 3z = – 6

 –7 x + 19 y = – 36
71y = – 213

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
71y = –213 ⇒ y = –3
–7x + 19y = –36 ⇒ –7x + 19 · (–3) = –36 ⇒ –7x – 57 = –36 ⇒ –7x + = –36 + 57
⇒ –7x = 21 ⇒ x = –3
x + 2y + 3z = –6 ⇒ 3z = –6 – x – 2y ⇒ 3z = –6 – (–3) – 2 · (–3) ⇒ 3z = –6 + 3 + 6
⇒z=1
La solución es: x = –3, y = –3, z = 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
87
f.
 –4 x – 3y – 5z = 1

2 x + 4 y + z = – 8
7 x – 4 y + 2z = 26

 –4 x – 3y – 5z = 1

2 x + 4 y + z = – 8
↓ Se multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 3
 –16 x – 12y – 20z = 4

6 x + 12y + 3z = – 24
–10x – 17z = –20
2 x + 4 y + z = – 8

7 x – 4y + 2z = 26
9x + 3z = 18 ⇒ 3x + z = 6
Se obtiene el sistema equivalente:
2 x + 4 y + z = – 8

 –10 x – 17z = – 20
3 x + z = 6

Eliminamos la incógnita z.
 –10 x – 17z = – 20

3 x + z = 6
↓ Se multiplica la segunda ecuación por 17
 –10 x – 17z = – 20

51x + 17z = 102
41x = 82
El sistema final es el sistema escalonado:
2 x + 4 y + z = – 8

3 x + z = 6
41x = 82

Se calcula el valor de las tres incógnitas:
41x = 82 ⇒ x = 2
3x + z = 6 ⇒ 3 · 2 + z = 6 ⇒ z = 6 – 6 ⇒ z = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
88
2x + 4y + z = –8 ⇒ 4y = –8 – 2x – z ⇒ 4y = –8 – 2 · 2 – 0 ⇒ 4y = –8 – 2 · 2 – 0
⇒
⇒ 4y = –8 – 4 ⇒ 4y = –12 ⇒ y = –3
La solución es: x = 2, y = –3, z = 0
12 Halla las soluciones de los siguientes sistemas utilizando matrices en el
método de Gauss:
 x – 3 y – 2z = – 2

a. 3 x – y – z = 12
 –2 x – 2 y + 3z = – 6

 1 −3 −2 M −2 
 1 −3 −2 M −2 

 E2 =E2 −3·E1 
 E3 =E3 +E2
→  0 8 5 M 18  →
E3 =E3 + 2 · E1
 3 −1 −1 M 12  
 −2 −2 3 M −6 
 0 −8 −1 M −10 




 1 −3 −2 M −2   x − 3y − 2z = −2


 
 ⇒ z = 2, y = 1, x = 5
 0 8 5 M 18  ⇒ 8y + 5z = 18

 0 0 4 M 8   4z = 8

 

 – x + 2 y + 3z = 10

b.  x – 4 y – 2z = – 4
5 x + 3 y – z = – 7

 −1 2 3 M 10 
 −1 2 3 M 10 



 E3 =2·E3 +13·E2
E2 =E2 + E1
→  0 −2 1 M 6  
→
E3 =E3 + 5 · E1
 1 −4 −2 M −4  
 5 3 −1 M −7 
 0 13 14 M 43 




 −1 2 3 M 10  − x + 2y + 3z = 10 


 
 ⇒ z = 4, y = −1, x = 0
 0 −2 1 M 6  ⇒ −2y + z = 6


 
 0 0 41 M 164  41z = 164

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
89
2 x – 7z = 3

c. 3 x – 4 y + 2 z = – 12
 x – y – 2z = – 1

 2 0 −7 M 3 
 1 −1 −2 M −1 

 E1 ⇔E3 

→  3 −4 2 M −12 
 3 −4 2 M −12  
 1 −1 −2 M −1 
 2 0 −7 M 3 




 1 −1 −2 M −1

 E3 =E3 +2·E2
→  0 −1 8 M −9  
→
 0 2 −3 M 5 


 1 −1 −2 M −1   x − y − 2z = −1


 
 0 −1 8 M −9  ⇒ − y + 8z = −9  ⇒ z = −1, y = 1, x = −2

 0 0 13 M −13  13z = −13

 

E2 =E2 − 3· E1
E3 =E3 − 2 · E1
 –5 x + 3 y – 2z = – 10

d.  y – 4 z = – 5
2 x – 2 y + z = 5

 −5 3 −2 M −10 
 −5 3 −2 M −10 



 E3 =E3 +4·E2
→ 0
→
1 −4 M −5  
E3 = 5·E3 + 2 · E1
 0 1 −4 M −5  
 2 −2 1 M 5 
 0 −4 1 M 5 




 −5 3 −2 M −10  −5 x + 3y − 2z = −10 


 
 ⇒ z = 1, y = −1, x = 1
 0 1 −4 M −5  ⇒  y − 4z = −5

 0 0 −15 M −15  −15z = −15

 

e.
 4 x – 7z = – 2

2 x – 3 y = 9
 –5 y + 6 z = 17

 4 0 −7 M −2 
 4 0 −7 M −2 

 E2 =2·E2 − E1 
 E3 =6·E3 −5·E2
→  0 −6 7 M 20  →
 2 −3 0 M 9  
 0 −5 6 M 17 
 0 −5 6 M 17 




 4 0 −7 M −2  4 x − 7z = −2 


 
 0 −6 7 M 20  ⇒ −6 y + 7z = 20  ⇒ z = 2, y = −1, x = 3

0 0
1 M 2  z = 2


© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
90
 x + 9 y – 5z = 1

f.  –3 x + 6 y + 9 z = – 9
2 x – 3 y – 8z = 4

 1 9 −5 M 1 
 1 9 −5 M 1 

 E2 = E2 +3· E1 
 E3 =3·E3 +E2
→  0 33 −6 M −6  
→
E3 =E3 − 2·E1
 −3 6 9 M −9  
 2 −3 −8 M 4 
 0 −21 2 M 2 




 1 9 −5 M 1   x + 9 y − 5z = 1


 
 0 33 −6 M −6  ⇒ 33 y − 6z = −6  ⇒ y = 0, z = 1, x = 6

 0 −30 0 M 0  −30 y = 0

 

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
13 Resuelve los siguientes sistemas no lineales por el método de sustitución:
 x – 3y = – 3
a.  2
2
 x + y = 13
Se despeja la incógnita x en la primera ecuación, x = 3y – 3, y se sustituye en
la segunda:
(3y – 3)2 + y2 = 13 ⇒ (3y)2 + 32 – 2 · 3y · 3 + y2 = 13 ⇒ 9y2 + 9 – 18y + y2 –13 = 0 ⇒
⇒ 10y2 – 18y – 4 = 0 ⇒ 5y2 – 9y – 2 = 0
9 ± 92 + 4 · 5 · 2 9 ± 81 + 40 9 ± 121 9 ± 11
=
=
=
⇒
2 ·5
10
10
10
y =  y = 9 + 11 = 20 = 2
 1
10
10

 y = 9 –11 = –2 = –1
 2
10
10 5
y=
•
Si y1 = 2 ⇒ x1 = 3y1 – 3 ⇒ x1 = 3 · 2 – 3 ⇒ x1 = 6 – 3 ⇒ x1 = 3
•
Si y2 =
x2 =
–1
 –1 
 –3 
⇒ x2 = 3 · y2 – 3 ⇒ x2 = 3 · 
 – 3 ⇒ x2 =   – 3 ⇒
5
 5 
 5 
–3 –15
–18
⇒ x2 =
5
5
Las soluciones son: x1 = 3, y1 = 2, x2 = –
18
1
, y2 = – .
5
5
2
2 x + y = – 4
b.  2
2
 x – 3 y = 4
Se despeja y2 en la 1.ª ecuación, y2 = –4 – 2x, y se sustituye en la 2.ª:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
91
x2 – 3 · (–4 – 2x) = 4 ⇒ x2 + 12 + 6x – 4 = 0 ⇒ x2 + 6x + 8 = 0
–6 ± 62 − 4 · 8 –6 ± 36 − 32 –6 ± 4 –6 ± 2
=
=
=
⇒
2
2
2
2
–6 + 2 –4

x
=
=
= −2
1

2
2

 x = –6 – 2 = –8 = −4
 2
2
2
x=
•
Si x1 = –2 ⇒ y12 = –4 – 2x1 ⇒ y12 = –4 – 2 · (–2) ⇒ y12 = –4 + 4 ⇒ y12 = 0 ⇒ y1 = 0
• Si x2 = –4 ⇒ y22 = –4 – 2x2 ⇒ y22 = –4 – 2 · (–4) ⇒ y22 = –4 + 8 ⇒ y22 = 4 ⇒
⇒ y2 =
4 ⇒ y2 = ±2
Las soluciones son: x1 = –2, y1 = 0, x2 = –4, y2 = 2, x3 = –4, y3 = –2.
 x·y = 8
c. 
 x – 5y = – 6
Se despeja la incógnita x de la 2.ª ecuación, x = –6 + 5y, y se sustituye en la
1.ª:
(–6 + 5y) · y = 8 ⇒ –6y + 5y2 – 8 = 0 ⇒ 5y2 – 6y – 8 = 0
6 ± 62 + 4 · 5 · 8 6 ± 36 + 160 6 ± 196 6 ±14
=
=
=
⇒
2 ·5
10
10
10
6 + 14 20

 y1 = 10 = 10 = 2

 y = 6 –14 = – 8 = – 4
 2
10
10
5
y=
• Si y1 = 2 ⇒ x1 = –6 + 5y1 ⇒ x1 = –6 + 5 · 2 = –6 + 10 = 4
• Si y2 = –
4
⇒ x2 = –6 + 5y2 ⇒ x1 = –6 + 5 ·
5
20
–50
 4
=
= –10
 –  = –6 –
5
5
 5
Las soluciones son: x1 = 4, y1 = 2, x2 = –10, y2 = –
4
5
5 x – 2 y = 3
d. 
2
4 x – y = 3
Se despeja y en la 2.ª ecuación, y =
4 x – 3 , y se sustituye en la 1.ª:
5x – 2y = 3 ⇒ 5x – 2 4 x – 3 = 3 ⇒ –2 ·
4 x – 3 = 3 – 5x ⇒
4x –3 =
3 –5x
–2
⇒
⇒
(
4x –3
)
2
2
9 + 25 x 2 – 2 · 3 · 5 x
 3 –5x 
⇒
4x
–
3
=
⇒

4
 –2 
=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
92
⇒ 16x – 12 = 9 + 25x2 – 30x ⇒ 9 + 25x2 – 30x – 16x + 12 = 0 ⇒ 25x2 – 46x + 21 = 0
46 ± 46 2 − 4 · 25 · 21 46 ± 2116 − 2100 46 ± 16 46 ± 4
=
=
=
⇒
2 · 25
50
50
50
46 + 4 50

 x1 = 50 = 50 = 1

 x = 46 – 4 = 42 = 21
 2
50
50 25
x=
• Si x1 = 1 ⇒ y1 =
4 x1 – 3 =
4·1 – 3 =
4 x2 – 3 =
4·
1 = ±1 (Solo consideramos el
resultado positivo.)
• Si x2 =
21
⇒ y2 =
25
Las soluciones son: x1 = 1, y1 = 1, x2 =
21
–3 =
25
84
–3 =
25
9
3
=
25
5
21
3
, y2 =
25
5
14 Encuentra las soluciones de estos sistemas utilizando el método de
igualación:
3 x 2 + y = 0
a. 
2
 –2 x – y = 1
3 x 2 + y = 0
 y = −3 x 2
⇒

2
2
 –2 x – y = 1  y = −2 x − 1
–3x2 = –2x2 – 1 ⇒ –3x2 + 2x2 = –1 ⇒ –x2 = –1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x =
•
Si x1 = 1 ⇒ y1 = –3x2 ⇒ y1 = –3
•
Si x2 = –1 ⇒ y2 = –3x2 ⇒ y2 = –3
1 = ±1
Las soluciones son: x1 = 1, y1 = –3, x2 = –1, y2 = –3.
 x· y = 12
b. 
 x – 2y = – 10
12

 x·y = 12
x =
⇒
y

 x – 2y = −10  x = −10 + 2y

12
= –10 + 2y ⇒ 12 = –10y + 2y2 ⇒ 2y2– 10y – 12 = 0 ⇒ y2– 5y – 6 = 0
y
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
93
5 ± 52 + 4 · 6 5 ± 25 + 24 5 ± 49 5 ± 7
=
=
=
⇒
2
2
2
2
5+7

y
=
=6
1

2

 y = 5 − 7 = −1
 2
2
y=
• Si y1 = 6 ⇒ x1 =
12
12
⇒ x1 =
=2
y
6
• Si y2 = –1 ⇒ x2 =
12
12
⇒ x2 =
= –12
y
–1
Las soluciones son: x1 = 2, y1 = 6, x2 = –12, y2 = –1.
3 x + y = – 4
c. 
2
 x + y = 6
3 x + y = −4  y = −4 − 3 x
⇒
 2
2
 x + y = 6
 y = 6 − x
–4 – 3x = 6 – x2 ⇒ x2 – 3x – 10 = 0
3 ± 32 + 4 ·10 3 ± 9 + 40 3 ± 49 3 ± 7
x=
=
=
=
⇒
2
2
2
2
3+ 7

 x1 = 2 = 5

 x = 3 − 7 = −2
 2
2
• Si x1 = 5 ⇒
y1 = –4 – 3x1 = –4 – 3 · 5 = –19 ⇒ y1 =
–19
No tiene solución en los números reales.
• Si x2 = –2 ⇒
y2 = –4 – 3x2 = –4 – 3 · (–2) = –4 + 6 = 2 ⇒
(
y2
)
2
= 22 ⇒ y2 = 4
La solución es: x = –2, y = 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
94
15 Resuelve los sistemas por el método de reducción:
5 x 2 – 3 y 2 = – 7
a.  2
2
2 x – 5 y = – 37
5 x 2 – 3 y 2 = – 7
 2
2
2x – 5 y = – 37
↓
Se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por –
5
2
2
10 x – 6 y = – 14

2
2
 –10 x + 25 y = 185
19y2 = 171
y2 =
171
=9⇒y=
19
9 = ±3
• Si y1 = 3 ⇒ 5x12 – 3y12 = –7 ⇒ 5x12 – 3 · 32 = –7 ⇒ 5x12 – 27 = –7 ⇒ 5x12 = –7 + 27 ⇒
⇒ x12 =
20
= 4 ⇒ x1 =
5
4 = ±2 ⇒ x1 = 2; x2 = –2;
• Si y3 = –3 ⇒ 5x32 – 3y32 = –7 ⇒ 5x32 – 3 · (–3)2 = –7 ⇒ 5x32 – 27 = –7 ⇒ 5x32 = –7 + 27 ⇒
⇒ x32 =
20
= 4 ⇒ x3 =
5
4 = ±2 ⇒ x3 = 2; x4 = –2;
Las soluciones son: x1 = 2, y1 = 3, x2 = –2, y2 = 3, x3 = 2, y3 = –3, x4 = –2, y4 = –
3
b.
2 x + y = 12

3 x − 4 y = 7
Se multiplica por 4 a la primera ecuación, 8 x + 4 y = 48, y se suman:
8 x + 4 y = 48

3 x − 4 y = 7
8 x + 4 y = 48

3 x – 4 y = 7
11 x = 55
x =
55
=5⇒
11
2 x +
( x)
2
= 52 ⇒ x = 25
y = 12 ⇒ 2 25 +
y = 12 ⇒ 2 · 5 +
y = 12 ⇒
y = 12 –10 = 2
⇒
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
95
⇒
( y)
2
= 22 ⇒ y = 4
La solución es: x = 25, y = 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
96
2 x 2 – 3 y = – 7
c.  2
5 x – 7y = – 15
Se multiplica por 5 a la primera ecuación y por –2 a la segunda:
10x2 – 15y = –35
–10x2 + 14y = 30
–y = –5
y=5
2x2 – 3y = –7 ⇒ 2x2 – 3 · 5 = –7 ⇒ 2x2 = –7 + 15 = 8 ⇒ x2 =
8
= 4 ⇒x =
2
4 = ±2
Las soluciones son: x1 = 2, y1 = 5, x2 = –2, y2 = 5.
 x 2 + y 2 – 3 xy = – 1
d. 
2
2
 –2 x – 3 y + 6 xy = – 23
Se multiplica por 2 a la 2.ª ecuación y se suman:
2 x 2 + 2y 2 – 6 xy = – 2

2
2
 –2 x – 3 y + 6 xy = – 23
–y2 = –25
y2 = 25 ⇒ y = ±5
•
Si y = 5 ⇒ x2 + y2 – 3xy = –1 ⇒ x2 + 52 – 3x · 5 = –1 ⇒ x2 + 25 – 15x + 1= 0
⇒
⇒ x2 – 15x + 26= 0
15 ± 152 − 4 · 26 15 ± 225 −104 15 ± 225 −104 15 ± 121
=
=
=
=
2
2
2
2
15 + 11

x =
= 13
15 ± 11  1
2
=
⇒
2
 x = 15 −11 = 2
 2
2
x=
• Si y = –5 ⇒ x2 + y2 – 3xy = –1 ⇒ x2 + (–5)2 – 3x · (–5) = –1 ⇒ x2 + 25 + 15x + 1= 0 ⇒
⇒ x2 + 15x + 26= 0
−15 +11

x1 =
= −2

–15 ± 15 − 4 · 26 −15 ± 121 –15 ±11 
2
x=
=
=
⇒
2
2
2
 x = –15 −11 = −13
 2
2
2
Las soluciones son: x1 = 13, y1 = 5, x2 = 2, y2 = 5, x3 = –2, y3 = –5, x4 = –13, y4 = –5.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
97
16 Representa gráficamente los sistemas de ecuaciones no lineales propuestos
e indica sus soluciones.
x2 + y = 5
a.  2
2 x + y = 9
Se representan las parábolas calculando el vértice y los puntos de corte con los
ejes de coordenadas.
La solución del sistema son los puntos de corte de las dos funciones:
x1 = –2, y1 = 1, x2 = 2, y2 = 1
3 x – y = – 8
b. 
2
 –3 x + y = 2
Se representa la recta y la parábola, calculando los puntos de corte con los
ejes y además, de la parábola, el vértice.
La solución del sistema son los puntos de corte de las dos funciones:
x1 = –1, y1 = 5, x2 = 2, y2 = 14
x + y = – 2
c. 
 xy = – 8
Se representa la recta y la hipérbola, calculando los puntos de corte con los
ejes.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
98
La solución del sistema son los puntos de corte de las dos funciones:
x1 = –4, y1 = 2, x2 = 2, y2 = –4
17 Resuelve estos sistemas utilizando el método más adecuado y comprueba
los resultados con Wiris:
 xy + 2 = 4 x
a. 
y – x = 1
Se despeja la incógnita y de la segunda ecuación, y = 1 + x, y se sustituye en la
segunda ecuación. Se utiliza el método de sustitución.
x · (1 + x) + 2 = 4x ⇒ x + x2 + 2 – 4x = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0
3 +1

x1 =
=2

3 ± 3 − 4 · 2 3 ± 9 − 8 3 ±1 
2
x=
=
=
⇒
2
2
2
 x = 3 −1 = 1
 2
2
2
•
Si x1 = 2 ⇒ y1 = 1 + x1 = 1 + 2 = 3
•
Si x2 = 1 ⇒ y2 = 1 + x2 = 1 + 1 = 2
Las soluciones son: x1 = 2, y1 = 3, x2 = 1, y2 = 2
 x 2 – xy = 2
b. 
 x – 5y = 6
Se despeja la incógnita x de la primera ecuación, x = 6 + 5y, y se sustituye en
la primera ecuación. Se utiliza el método de sustitución.
x2 – xy = 2 ⇒ (6 + 5y)2 – (6 + 5y) · y = 2 ⇒ 36 + 25y2 + 2 · 6 · 5y – 6y – 5y2 – 2 = 0 ⇒
⇒ 20y2 + 54y + 34 = 0 ⇒ 10y2 + 27y + 17 = 0
–27 ± 27 2 − 4 ·10 ·17 –27 ± 729 − 680 –27 ± 49 –27 ± 7
=
=
=
⇒
2 ·10
20
20
20
–27 + 7

 y1 = 20 = −1
⇒
 y = –27 − 7 = –34 = – 17
 2
20
20
10
y=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
99
•
Si y1 = –1 ⇒ x1 = 6 + 5y1 = 6 + 5 (–1) = 6 – 5 = 1
•
Si y2 = –
17
⇒ x2 = 6 + 5y2 = 6 + 5 ·
10
5 ·17
5
 17 
=−
–  = 6 –
10
2
 10 
Las soluciones son: x1 = 1, y1 = –1, x2 = –
5
17
, y2 = –
2
10
 540
 x = y
c. 
 540 = y + 3
 x − 6
Se despeja la incógnita y de la 2.ª ecuación,
540
–3 = y , y se igualan las dos
x −6
ecuaciones. Se utiliza el método de igualación.
540 540 − 3· ( x − 6 )
540 540
540 540 − 3x + 18
=
⇒
⇒
=
–3 ⇒
=
x
x −6
x
x−6
x
x−6
⇒ 540 · (x – 6) = x · (540 – 3x + 18) ⇒ 540x – 3 240 = 540x – 3x2 + 18x ⇒
⇒ 540x – 3 240 – 540x + 3x2 – 18x = 0 ⇒ 3x2 – 18x – 3 240 = 0 ⇒ x2 – 6x – 1 080 = 0
6 ± 6 2 + 4 ·1080 6 ± 36 + 4 320 6 ± 4 356 6 ± 66
x=
⇒
=
=
=
2
2
2
2
6 + 66

 x1 = 2 = 36
⇒
 x = 6 − 66 = −30
 2
2
540 540
=
= 15
x
36
•
Si x1 = 36 ⇒ y1 =
•
Si x2 = –30 ⇒ y2 =
540
540
=−
= −18
x
30
Las soluciones son: x1 = 36, y1 = 15, x2 = –30, y2 = –18
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
100
 x + y = 3
d. 
 x + 3 + y = 4
Se despeja la incógnita y en las dos ecuaciones y se igualan. Se utiliza el
método de igualación.
 x + y = 3
 y = 3 − x
⇒

 x + 3 + y = 4  y = 4 − x + 3
3–
x = 4 − x + 3 ⇒ 3 – 4 = x − x + 3 ⇒ –1 – x = − x + 3 ⇒
1+
x =
(
) (
2
x + 3 ⇒ 1+ x =
x+3
)
2
1+x+2 x –x–3=0⇒2 x –2=0⇒
y=3–
⇒ 1+
( x)
x =
2
+2 x = x+3 ⇒
2
=1⇒x=1
2
x = 3 – 1= 2
La solución es: x = 1, y = 2
 x 2 + y 2 = ( x + 2 )2 + 1
e. 
 x – 2 y = – 5
Se opera la 1.ª ecuación para reducirla:
x2 + y2 = x2 + 4 + 4x + 1 ⇒ y2 = 5 + 4x ⇒ y2 – 4x = 5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
101
Se utiliza el método de reducción.
y 2 – 4 x = 5

 x – 2y = – 5
↓ Se multiplica la segunda ecuación por 4
y 2 – 4x = 5
4 x – 8y = – 20
y2 – 8y = –15
y2 – 8y + 15 = 0
8+ 2

y1 =
=5

8 ± 64 − 4 ·15 8 ± 4 8 ± 2

2
y=
=
=
⇒
2
2
2
y = 8− 2 = 3
 2
2
•
Si y1 = 5 ⇒ x1 – 2 y1= –5 ⇒ x1 – 2 · 5 = –5 ⇒ x1 = –5 + 10 = 5
•
Si y2 = 3 ⇒ x2 – 2 y2= –5 ⇒ x2 – 2 · 3 = –5 ⇒ x2 = –5 + 6 = 1
Las soluciones son: x1 = 5, y1 = 5, x2 = 1, y2 = 3.
 x 2 + 4 y 2 – 3 xy = 4
f. 
2 x = 7 – y
Se despeja la incógnita x de la 2.ª ecuación, x =
7− y
, y se sustituye en la 1.ª.
2
Se utiliza el método de sustitución.
 7− y 
 7− y 
2

 + 4y – 3y · 
 =4
 2 
 2 
2
49 + y 2 − 14 y + 16 y 2 − 42 y + 6 y 2
=4
4
49 + y 2 − 14 y + 16 y 2 − 42 y + 6 y 2 = 16
49 + y2 – 14y + 16y2 – 42y + 6y2 = 16
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
102
23y2 – 56y + 33 = 0
56 ± 3136 − 4 · 23·33 56 ± 3136 − 3 036 56 ± 100 56 ± 10
=
=
=
⇒
2 · 23
46
46
46
56 + 10 33

 y1 = 46 = 23
⇒
 y = 56 –10 = 1
 2
46
y=
•
7− y
23
Si y1 =
⇒ x1 =
=
33
2
•
Si y2 = 1 ⇒ x2 =
33 161 − 133 128
128 128 64
23 =
23
= 23 =
=
=
2
2
2
23 · 2 46 23
7−
7 − y 7 −1 6
=
= =3
2
2
2
Las soluciones son: x1 =
64
33
, y1 =
, x2 = 3, y2 = 1
23
23
15
 3
 x –4 + y + 1 = 0

g. 
6 − 4 = 0
 x y − 2
Se operan las dos ecuaciones para reducirlas:
15
 3
 x –4 + y + 1 = 0 ⇒ 3· ( y + 1) + 15· ( x – 4 ) = 0 ⇒ 3 y + 3 + 15 x – 60 = 0


 6 − 4 = 0 ⇒ 6· ( y – 2) – 4 x = 0 ⇒ 6 y – 12 – 4 x = 0
 x y − 2
15 x + 3 y – 57 = 0
⇒
 –2 x + 3 y – 6 = 0
Se resuelve el sistema por el método de reducción.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
103
15 x + 3 y – 57 = 0

 –2x + 3y – 6 = 0
↓ Se multiplica la primera ecuación por –1.
 –15 x – 3 y + 57 = 0

 –2 x + 3 y – 6 = 0
–17x + 51 = 0
x=
–51
=3
–17
–2x + 3y – 6 = 0 ⇒ –2 · 3 + 3y – 6 = 0 ⇒ 3y – 12 = 0 ⇒ y =
12
=4
3
La solución es: x = 3, y = 4
( x – 1)2 – y 2 = 0
h. 
2
2
 – x + ( y + 5 ) = 0
Se operan las dos ecuaciones para reducirlas:
( x – 1)2 – y 2 = 0 ⇒ x 2 + 1 – 2 x – y 2 = 0

 2
2
2
2
 – x + ( y + 5 ) = 0 ⇒ – x + y + 25 + 10y = 0
Se resuelve por el método de reducción.
 x 2 + 1 – 2 x – y 2 = 0
 2
2
 – x + y + 25 + 10 y = 0
–2x + 10y + 26 = 0 ⇒ –x + 5y = –13 ⇒ x = 5y + 13
(x – 1)2 – y2 = 0 ⇒ (5y + 13 – 1)2 – y2 = 0 ⇒ (5y + 12)2 – y2 = 0 ⇒
⇒ 25y2 + 144 + 120y – y2 = 0 ⇒ 24y2 + 120y + 144 = 0 ⇒ y2 + 5y + 6 = 0
–5 + 1 –4

y1 =
=
= −2

–5 ± 25 − 24 –5 ±1 
2
2
y=
=
⇒
2
2
 y = –5 –1 = –6 = −3
 2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
104
•
Si y1 = –2 ⇒ x1 = 5 y1 + 13 ⇒ x1 = 5 · (–2) + 13 = –10 + 13 = 3
•
Si y2 = –3 ⇒ x2 = 5 y2 + 13 ⇒ x2 = 5 · (–3) + 13 = –15 + 13 = –2
Las soluciones son: x1 = 3, y1 = –2, x2 = –2, y2 = –3
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
18 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
 x + 5 < 3x + 1
a. 
 –2 x – 4 ≤ – 6 x + 7
 x – 3 x < 1– 5 ⇒ –2 x < –4 ⇒ x > 2 ⇒ Solución: ( 2 , + ∞ )


11
11

 –2 x + 6 x ≤ 7 + 4 ⇒ 4 x ≤ 11 ⇒ x ≤ ⇒ Solución:  −∞ , 
4
4


La solución del sistema es (2 ,
11
].
4
4 x ≥ – x + 5 + 7 x
b. 
3 x – 1 ≥ 2 x – 3

5
4 x ≥ – x + 5 + 7 x ⇒ 4 x + x − 7 x ≥ 5 ⇒ −2 x ≥ 5 ⇒ x ≤ − ⇒ Solución:
2

3 x – 1 ≥ 2x – 3 ⇒ 3 x − 2x ≥ −3 + 1 ⇒ x ≥ −2 ⇒ Solución:[ −2, + ∞ )

5

 −∞ , − 2 


Este sistema no tiene solución porque no hay intersección entre los elementos
de cada inecuación.
 –3 – 5 x – 2 > – x – 4
c. 
9 x – 2 < 5 x – 6

1 
1
 –3 – 5 x – 2 > – x – 4 ⇒ −5 x + x > −4 + 3 + 2 ⇒ −4 x > 1 ⇒ x < − ⇒  −∞, − 
4
4


9 x – 2 < 5 x – 6 ⇒ 9 x − 5 x < −6 + 2 ⇒ 4 x < −4 ⇒ x < −1 ⇒ ( −∞, −1)

La solución del sistema es (–∞ , –1).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
105
– x + 5x – 4 > 9
d. 
2 + 3 x ≥ x – 1

13
 13

 – x + 5 x – 4 > 9 ⇒ − x + 5 x > 9 + 4 ⇒ 4 x > 13 ⇒ x > 4 ⇒  4 , + ∞ 




2 + 3 x ≥ x – 1 ⇒ 3 x − x ≥ −1 − 2 ⇒ 2 x ≥ −3 ⇒ x ≥ − 3 ⇒  − 3 , + ∞ 

 2
2



La solución del sistema es (
13
, +∞).
4
8 x – 5 ≤ –2 + 4 x – 5
e. 
2 x + 3 > 5 x + 1

1 
1
8 x – 5 ≤ –2 + 4 x – 5 ⇒ 8 x − 4 x ≤ −2 − 5 + 5 ⇒ 4 x ≤ −2 ⇒ x ≤ − 2 ⇒  −∞ , − 2 




2 x + 3 > 5 x + 1 ⇒ 2 x − 5 x > 1 − 3 ⇒ −3 x > −2 ⇒ x < 2 ⇒  −∞ , 2 


3
3 

La solución del sistema es (–∞ , –
1
].
2
3·( x – 1) > 2·( x – 4 )
f. 
 – ( x + 2 ) > 3 x + 1
3·( x – 1) > 2·( x – 4 ) ⇒ 3 x − 3 > 2 x − 8 ⇒ x > −5 ⇒ ( −5, +∞ )


3
 3

 – ( x + 2 ) > 3 x + 1 ⇒ − x − 2 > 3 x + 1 ⇒ −4 x > 3 ⇒ x > − ⇒  − , + ∞ 
4
4



La solución del sistema es (–5 , –
3
).
4
 –2·( x + 3 ) ≤ –5·2 x
g. 
 –4 x + 1 > – x + 4

3
3

 –2·( x + 3 ) ≤ –5·2 x ⇒ −2 x − 6 ≤ −10 x ⇒ 8 x ≤ 6 ⇒ x ≤ ⇒  −∞ , 
4
4


 –4 x + 1 > – x + 4 ⇒ −4 x + x > 4 − 1 ⇒ −3 x > 3 ⇒ x < −1 ⇒ ( −∞ , − 1)

La solución del sistema es (–∞ , –1)
 4·( 1 − 3x + 8 ) ≥ 0
h. 
 x – 6 < 3·( x – 2 )
4·(1 − 3x + 8 ) ≥ 0 ⇒ 4 − 12 x + 32 ≥ 0 ⇒ −12 x ≥ −36 ⇒ x ≤ 3 ⇒ ( −∞ ,3 ]

 x – 6 < 3·( x – 2 ) ⇒ x − 6 < 3 x − 6 ⇒ −2 x < 0 ⇒ x > 0 ⇒ ( 0, + ∞ )
La solución del sistema es (0 , 3].
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
106
 3·( 1 – x ) > 2·( – x + 1)
i. 
 2·( 2 + 5 x ) ≥ 6·( x – 3 )
3·(1– x ) > 2·( – x + 1) ⇒ 3 − 3 x > −2 x + 2 ⇒ − x > −1 ⇒ x < 1 ⇒ ( −∞ ,1)


−11  −11

⇒
,+ ∞
2·( 2 + 5 x ) ≥ 6·( x – 3 ) ⇒ 4 + 10 x ≥ 6 x − 18 ⇒ x ≥
2
 2


La solución del sistema es [
–11
, 1)
2
 – ( 4 x – 2 ) < –2·( x + 1)
j. 
2·( 5 x + 3 ) ≤ – x + 2
 – ( 4 x – 2 ) < –2·( x + 1) ⇒ −4 x + 2 < −2 x − 2 ⇒ −2 x < −4 ⇒ x > 2 ⇒ ( 2, + ∞ )


4
4

2·( 5 x + 3 ) ≤ – x + 2 ⇒ 10 x + 6 ≤ − x + 2 ⇒ 11x ≤ −4 ⇒ x ≤ − ⇒  −∞ , − 
11 
11

Este sistema no tiene solución.
SOLUCIONES PÁG. 112
19 Halla el respectivo valor de m y n, sabiendo que son positivos, para que:
5 x – 1 < 2 x + m
sea [1 , 3).
a. La solución del sistema 
6 – 3 x ≤ x + n
•
Para x = 1 ⇒ 5 · 1 – 1 < 2 · 1 + m ⇒ 2 < m
•
Para x = 3 ⇒ 6 – 3 · 3 ≤ 3 + n ⇒ –6 ≤ n
Tienen que ser m y n positivos, por tanto, esta no es la solución.
Probamos ahora con:
•
Para x = 3 ⇒ 5 · 3 – 1 < 2 · 3 + m ⇒ 8 < m
•
Para x = 1 ⇒ 6 – 3 · 1 ≤ 1+ n ⇒ 2 ≤ n
Comprobamos:
•
Para m = 8 ⇒ 5x – 1 < 2x + 8 ⇒ 3x < 9 ⇒ x < 3
•
Para n = 2 ⇒ 6 – 3x ≤ x + 2 ⇒ 1 ≤ x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
107
 – x + 3 ≥ mx – 7
b. La solución del sistema 
sea [–4 , 2].
nx ≤ 7 x + 8
•
Para x = –4 ⇒ 4 + 3 ≥ –4m – 7 ⇒ 7 + 7 ≥ –4m ⇒ m ≥ −
14
7
⇒m≥−
4
2
Como m < 0, la solución no es válida.
•
Para x = 2 ⇒ –2 + 3 ≥ 2m – 7 ⇒ 1 + 7 ≥ 2m ⇒ 4 ≥ m
•
Para x = –4 ⇒ –4n ≤ –28 + 8 ⇒ –4n ≤ –20 ⇒ n ≥ 5
Se comprueba que para esos valores de m y n se cumple:
 – x + 3 ≥ 4 x – 7 ⇒ 3 + 7 ≥ 4 x + x ⇒ 10 ≥ 5 x ⇒ x ≤ 2

5 x ≤ 7 x + 8 ⇒ 5 x − 7 x ≤ 8 ⇒ −2x ≤ 8 ⇒ x ≥ −4
La solución del sistema es [–4 , 2], luego m = 4 y n = 5
20 Comprueba, sin resolver los siguientes sistemas, si x = –4 es una de sus
soluciones:
3 x + 3 ≤ –5 x + 6
a. 
 –2 x + 1 > 4 x – 7
3 x + 3 ≤ −5 x + 6 ⇒ 3·( −4) ≤ −5·( −4) + 6 ⇒ −12 ≤ 26

−2 x + 1 > 4 x – 7 ⇒ −2·( −4) + 1 > 4·( −4) − 7 ⇒ 9 > −23
Sí es solución.
 2· ( x – 4 ) ≥ 1 − 5· ( x + 3 )
b. 
 – ( x – 2 ) ≥ 3 x + 5
2· ( x – 4 ) ≥ 1 − 5· ( x + 3 ) ⇒ 2·( −4 − 4) ≥ 1 − 5·( −4 + 3) ⇒ −16 ≥ 6

 – ( x – 2 ) ≥ 3 x + 5 ⇒ −( −4 − 2) ≥ 3·( −4) + 5 ⇒ 6 ≥ −7
No es solución.
21 Actividad resuelta.
22 Soluciona estas inecuaciones con valor absoluto:
a. |x – 4| > 6
–6 > (x – 4) > 6
(x – 4) > 6 ⇒ x > 6 + 4 ⇒ x > 10 ⇒ (10 , +∞)
–6 > (x – 4) ⇒ –6 + 4 > x ⇒ –2 > x ⇒ (–∞ , –2)
La solución es: (–∞ , –2) U (10 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
108
b. |2x + 10| ≤ 1
–1 ≤ (2x + 10) ≤ 1
2x + 10 ≤ 1 ⇒ 2x ≤ –9 ⇒ x ≤ –
–1 ≤ 2x + 10 ⇒ –11 ≤ 2x ⇒ –
La solución es: [ –
9
9
⇒ (–∞ , – ]
2
2
11
11
≤ x ⇒ [–
, +∞)
2
2
11
9
, – ]
2
2
c. |–3x + 9| ≥ –12
12 ≥ (–3x + 9) ≥ –12
–3x + 9 ≥ –12 ⇒ –3x ≥ –12 – 9 ⇒ x ≤
–21
⇒ x ≤ 7 ⇒ (–∞ , 7]
–3
12 ≥ –3x + 9 ⇒ 12 – 9 ≥ –3x ⇒ –1 ≤ x ⇒ [–1 , +∞)
La solución es: [–1 , 7]
23 Resuelve estas inecuaciones con fracciones algebraicas:
a.
x +3
>0
2x – 4
Para que una fracción sea positiva, puede ocurrir que:
•
El numerador y el denominador sean positivos.
x + 3 > 0 ⇒ x > –3 ⇒ (–3 , +∞)
2x – 4 > 0 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2 ⇒ (2 , +∞)
La solución es el intervalo (2 , +∞).
•
El numerador y el denominador sean negativos.
x + 3 < 0 ⇒ x < –3 ⇒ (–∞ , –3)
2x – 4 < 0 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2 ⇒ (–∞ , 2)
La solución es el intervalo (–∞ , –3)
Por tanto, la solución es (–∞ , –3) U (2 , +∞).
b.
–3 x –6
<0
x +1
Para que una fracción sea negativa, puede ocurrir que:
•
El numerador sea negativo y el denominador positivo.
–3x – 6 < 0 ⇒ –3x < 6 ⇒ x > –2 ⇒ (–2 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
109
x + 1 > 0 ⇒ x > –1 ⇒ (–1 , +∞)
La solución es el intervalo (–1 , +∞)
•
El numerador sea positivo y el denominador negativo.
–3x – 6 > 0 ⇒ –3x > 6 ⇒ x < –2 ⇒ (–∞ , –2)
x + 1 < 0 ⇒ x < –1 ⇒ (–∞ , –1)
La solución es el intervalo (–∞ , –2)
Por tanto, la solución es (–∞ , –2) U (–1 , +∞).
c.
4 x –2
≥0
3x − 6
Para que una fracción sea positiva, puede ocurrir que:
•
El numerador y el denominador sean positivos y el denominador distinto de 0.
4x – 2 ≥ 0 ⇒ 4x ≥ 2 ⇒ x ≥
1
1
⇒ [ , +∞)
2
2
3x – 6 > 0 ⇒ 3x > 6 ⇒ x > 2 ⇒ (2 , +∞)
La solución es el intervalo (2 , +∞)
El numerador y el denominador sean negativos y el denominador distinto de 0.
4x – 2 ≤ 0 ⇒ 4x ≤ 2 ⇒ x ≤
1
1
⇒ (–∞ , ]
2
2
3x – 6 < 0 ⇒ 3x < 6 ⇒ x < 2 ⇒ (–∞ , 2)
La solución es el intervalo (–∞ ,
Por tanto, la solución es (–∞ ,
d.
1
]
2
1
] U (2 , +∞)
2
– x –5
≤0
x
Para que una fracción sea negativa, puede ocurrir que:
•
El numerador sea negativo y el denominador positivo y distinto de 0.
–x – 5 ≤ 0 ⇒ –x ≤ 5 ⇒ x ≥ –5 ⇒ [–5 , +∞)
x > 0 ⇒ (0 , +∞)
La solución es el intervalo (0 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
110
•
El numerador sea positivo y el denominador negativo y distinto de 0.
–x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≤ –5 ⇒ (–∞ , –5]
x < 0 ⇒ (–∞ , 0)
La solución es el intervalo (–∞ , –5]
Por tanto, la solución es (–∞ , –5] U (0 , +∞).
e.
5 x + 15
<0
–4 x + 8
Para que una fracción sea negativa, puede ocurrir que:
•
El numerador sea negativo y el denominador positivo.
5x + 15 < 0 ⇒ 5x < –15 ⇒ x < –3 ⇒ (–∞ , –3)
–4x + 8 > 0 ⇒ –4x > –8 ⇒ x < 2 ⇒ (–∞ , 2)
La solución es el intervalo (–∞ , –3).
•
El numerador sea positivo y el denominador negativo.
5x + 15 > 0 ⇒ 5x > –15 ⇒ x > –3 ⇒ (–3 , +∞)
–4x + 8 < 0 ⇒ –4x < –8 ⇒ x > 2 ⇒ (2 , +∞)
La solución es el intervalo (2 , +∞).
Por tanto, la solución es (–∞ , –3) U (2 , +∞).
f.
−x
≤0
−x + 2
Para que una fracción sea negativa, puede ocurrir que:
•
El numerador sea negativo y el denominador positivo y distinto de 0.
–x ≤ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ [0 , +∞)
–x + 2 > 0 ⇒ –x > –2 ⇒ x < 2 ⇒ (–∞ , 2)
La solución es el intervalo [0 , 2).
•
El numerador sea positivo y el denominador negativo y distinto de 0.
–x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 ⇒ (–∞ , 0]
–x + 2 < 0 ⇒ –x < –2 ⇒ x > 2 ⇒ (2 , +∞)
En este caso no hay intersección en las soluciones.
Por tanto, la solución es [0 , 2).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
111
24 Resuelve las siguientes inecuaciones no lineales:
 x 2 ≥ 1
a.  2
 x ≤ 4
Se resuelve la primera inecuación:
x2 – 1 ≥ 0 ⇒ (x + 1) · (x – 1) ≥ 0
x + 1 = 0 ⇒ x = –1
x–1=0⇒x=1
Se coge un número de los intervalos (–∞ , –1), (–1 , 1), (1 , +∞) y se comprueba
en cuál de ellos se cumple la inecuación. En este caso se cumple en (–∞ , –1]
U [1 , +∞).
Se resuelve la segunda inecuación:
x2 – 4 ≤ 0 ⇒ x2 – 22 ≤ 0 ⇒ (x + 2) · (x – 2) ≤ 0 ⇒
x+2=0⇒x=–2
x–2=0⇒x=2
Se coge un número de los intervalos (–∞ ,–2), (–2 , 2), (2 , +∞) y se comprueba
en cuál de ellos se cumple la inecuación. En este caso se cumple en [–2 , 2].
La solución es la intersección de las dos soluciones: [–2 , –1] U [1 , 2].
x2 – 5x + 6 > 0
b.  2
x – 4x + 4 ≤ 0
Se resuelve la primera inecuación:
x2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x =
5 ± 25 − 24
5 ±1
5 +1
5 −1
=
⇒ x1 =
= 3; x2 =
=2
2
2
2
2
(x – 3) · (x – 2) > 0
Se coge un número de los intervalos (–∞ ,2), (2 , 3), (3 , +∞) y se comprueba
en cuál de ellos se cumple la inecuación. En este caso se cumple en (–∞ , 2) U (3 ,
+∞).
Se resuelve la segunda inecuación:
x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ x =
4 ± 16 − 16
4±0
=
=2
2
2
(x – 2) (x – 2) ≤ 0 ⇒ Esta inecuación no tiene solución. Por tanto, tampoco lo
tiene el sistema.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
112
 x · ( x + 3 ) < 2· ( x + 1)
c. 
5 x + 4 > 3 x + 2
Se resuelve la primera inecuación:
x · (x + 3) < 2 · (x + 1) ⇒ x2 + 3x < 2x + 2 ⇒ x2 + x – 2 < 0
x2 + x – 2 = 0 ⇒ x =
–1± 1+ 8 –1 ± 9 –1 ± 3
–1 + 3
–1 – 3
=
=
⇒ x1 =
= 1; x2 =
= –2
2
2
2
2
2
(x – 1) · (x + 2) < 0
Se coge un número de los intervalos (–∞ , 1), (1 , 2), (2 , +∞) y se comprueba
en cuál de ellos se cumple la inecuación. En este caso se cumple en (–∞ , 1).
Se resuelve la segunda inecuación:
5x + 4 > 3x + 2 ⇒ 2x + 2 > 0
2x + 2 = 0 ⇒ x = –1
Se coge un número de los intervalos (–∞ , –1), (–1 , +∞) y se comprueba en
cuál de ellos se cumple la inecuación. En este caso se cumple en (–1 , +∞).
La solución es la intersección de las dos soluciones: (–1 , 1).
 x 2 – 3· ( x – 1) ≥ 1
d. 
2· ( 2 + x ) > 6· ( x – 3 )
Se resuelve la primera inecuación:
x2 – 3 · (x – 1) ≥ 1 ⇒ x2 – 3x + 2 ≥ 0
x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x =
3± 9−8
3 ±1
3 +1
3 −1
=
⇒ x1 =
= 2; x2 =
=1
2
2
2
2
(x – 2) · (x – 1) ≥ 0
Se coge un número de los intervalos (–∞ , 1), (1 , 2), (2 , +∞) y se comprueba
en cuál de ellos se cumple la inecuación. En este caso se cumple en (–∞ , 1) U (2 ,
+∞).
Se resuelve la segunda inecuación:
2 · (2 + x) > 6 · (x – 3) ⇒ 4 + 2x > 6x – 18 ⇒ –4x + 22 > 0 ⇒ –2x + 11 > 0 ⇒ x <
11
2
11

La inecuación se cumple en  −∞ ,  .
2

 11 
La solución es la intersección de las dos soluciones: (–∞ , 1) U  2,  .
 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
113
SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
25 Halla estos sistemas con dos incógnitas:
 x + 2y < 1
a. 
2 x + y < 1
• Para representar la inecuación x + 2y < 1, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x + 2y < 1 ⇒ x + 2y = 1 ⇒ y =
1− x
2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x + 2y < 1 ⇒ 0 + 2 · 0 < 1 ⇒ 0 < 1
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación 2x + y < 1, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2x + y < 1 ⇒ 2x + y = 1 ⇒ y = 1 – 2x
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2x + y < 1 ⇒ 0 + 2 · 0 < 1 ⇒ 0 < 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
114
Como sí se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene
al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
3 x – y ≥ 2
b. 
2 x + 5 y ≤ 4
• Para representar la inecuación 3x – y ≥ 2, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
3x – y ≥ 2 ⇒ 3x – y = 2 ⇒ y = 3x – 2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
3x – y ≥ 2 ⇒ 3 · 0 – 0 ≥ 2 ⇒ 0 ≥ 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
115
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≥.
• Para representar la inecuación 2x + 5y ≤ 4, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2x + 5y ≤ 4 ⇒ 2x + 5y = 4 ⇒ y =
4 − 2x
5
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2x + 5y ≤ 4 ⇒ 2 · 0 + 5 · 0 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 4
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
116
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
117
 –4 x + 5 y < –3
c. 
y > 0
• Para representar la inecuación –4x + 5y < –3, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–4x + 5y < –3 ⇒ –4x + 5y = –3 ⇒ y =
−3 + 4 x
5
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–4x + 5y < –3 ⇒ –4 · 0 + 5 · 0 < –3 ⇒ 0 < –3
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación y > 0, se cambia el signo de la desigualdad
por el de igualdad y se representa la recta:
y>0⇒y=0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
118
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (5 , 10), y se sustituye en la inecuación
inicial:
y > 0 ⇒ 10 > 0
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (5 , 10), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
x ≤ 3
d. 
5 x – 3 y ≥ 0
• Para representar la inecuación x ≤ 3, se cambia el signo de la desigualdad
por el de igualdad y se representa la recta:
x≤3⇒x=3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (5 , 10), y se sustituye en la inecuación
inicial:
5 ≤ 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
119
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (5 , 10), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
120
• Para representar la inecuación 5x – 3y ≥ 0, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
5x – 3y ≥ 0 ⇒ 5x – 3y = 0 ⇒ y =
5x
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
5x – 3y ≥ 0 ⇒ 5 · 0 – 3 · 0 ≥ 0 ⇒ 0 ≥ 0
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≥.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
121
2 x – 2 y > – 1
e. 
x + y < 2
• Para representar la inecuación 2x – 2y > –1, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2x – 2y > –1 ⇒ 2x – 2y = –1⇒ y =
1 + 2x
2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2x – 2y > –1 ⇒ 2 · 0 – 2 · 0 > –1 ⇒ 0 > –1
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
• Para representar la inecuación x + y < 2, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x+y<2⇒x+y=2⇒y=2–x
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x+y<2⇒0+0<2⇒0<2
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
122
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
123
 – x + 4y ≤ 5
f. 
3 x – y > 1
• Para representar la inecuación –x + 4y ≤ 5, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–x + 4y ≤ 5 ⇒ –x + 4y = 5 ⇒ y =
5+ x
4
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–x + 4y ≤ 5 ⇒ –0 + 4 · 0 ≤ 5 ⇒ 0 ≤ 5
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
• Para representar la inecuación 3x – y > 1, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
3x – y > 1 ⇒ 3x – y = 1 ⇒ y = 3x – 1
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
3x – y > 1 ⇒ 3 · 0 – 0 > 1 ⇒ 0 > 1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
124
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
26 Soluciona de forma gráfica los siguientes sistemas de inecuaciones:
3 · ( 2 – x ) < 5 y
a. 
2 · ( x – 1) > 4 · ( y – 5 )
Se operan las inecuaciones para reducirlas:
3· ( 2 – x ) < 5 y ⇒ 6 − 3 x < 5 y ⇒ −3 x − 5 y < −6

2· ( x – 1) > 4· ( y – 5 ) ⇒ 2 x − 2 > 4 y − 20 ⇒ 2 x − 4 y > −18
• Para representar la inecuación –3x – 5y < –6, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–3x – 5y < –6 ⇒ –3x – 5y = –6 ⇒ y =
6 − 3x
5
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–3x – 5y < –6 ⇒ –3 · 0 – 5 · 0 < –6 ⇒ 0 < –6
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
125
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación 2x – 4y > –18, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2x – 4y > –18 ⇒ 2x – 4y = –18⇒ y =
18 + 2 x
4
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2x – 4y > –18 ⇒ 2 · 0 – 4 · 0 > –18 ⇒ 0 > –18
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
126
 x – 3 ≥ 2y
b. 
2 · ( 1 – 3 y ) ≤ –3 x + 4
Se operan las inecuaciones para reducirlas:
 x – 3 ≥ 2y ⇒ x − 2 y ≥ 3

2 · (1– 3 y ) ≤ –3 x + 4 ⇒ 2 − 6y ≤ −3 x + 4 ⇒ 3 x − 6y ≤ 2
• Para representar la inecuación x – 2y ≥ 3, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x – 2y ≥ 3 ⇒ x – 2y = 3 ⇒ y =
x −3
2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x – 2y ≥ 3 ⇒ 0 – 2 · 0 ≥ 3 ⇒ 0 ≥ 3
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≥.
• Para representar la inecuación 3x – 6y ≤ 2, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
3x – 6y ≤ 2 ⇒ 3x – 6y = 2 ⇒ y =
3x − 2
6
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
3x – 6y ≤ 2 ⇒ 3 · 0 – 6 · 0 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 2
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
127
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
Como no interseccionan los dos semiplanos, el sistema no tiene solución.
 –4· ( 2 + 3 x ) ≤ y
c. 
2 x – 1 ≤ 3· ( y – 2 )
Se operan las inecuaciones para reducirlas:
 –4· ( 2 + 3 x ) ≤ y ⇒ −8 − 12 x ≤ y ⇒ −12 x − y ≤ 8

2 x – 1 ≤ 3 · ( y – 2 ) ⇒ 2 x − 1 ≤ 3 y − 6 ⇒ 2 x − 3 y ≤ −5
• Para representar la inecuación –12x – y ≤ 8, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–12x – y ≤ 8 ⇒ –12x – y = 8 ⇒ y = –12x – 8
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–12x – y ≤ 8 ⇒ –12 · 0 – 0 ≤ 8 ⇒ 0 ≤ 8
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
128
• Para representar la inecuación 2x – 3y ≤ –5, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2x – 3y ≤ –5 ⇒ 2x – 3y = –5 ⇒ y =
2x + 5
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2x – 3y ≤ –5 ⇒ 2 · 0 – 3 · 0 ≤ –5 ⇒ 0 ≤ –5
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≤.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
129
5· ( x – y ) < 2 x
d. 
1 > – ( 3 x – y )
Se operan las inecuaciones para reducir el sistema:
5· ( x – y ) < 2 x ⇒ 5 x − 5 y < 2 x ⇒ 3 x − 5 y < 0

1 > – ( 3 x – y ) ⇒ 1 > −3 x + y
• Para representar la inecuación 3x – 5y < 0, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
3x – 5y < 0 ⇒ 3x – 5y = 0 ⇒ y =
−3 x
5
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (10 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
3x – 5y < 0 ⇒ 3 · 10 – 5 · 0 < 0 ⇒ 30 < 0
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (10 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo
<.
• Para representar la inecuación 1 > –3x + y, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
1 > –3x + y ⇒ 1 = –3x + y ⇒ y = 3x + 1
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
1 > –3x + y ⇒ 1 > –3 · 0 + 0 ⇒ 1 > 0
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
130
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
x y
 2 − 5 < 1
e. 
 x − y > −1
 5 2
Se operan las inecuaciones para reducir el sistema:
x y
 2 − 5 < 1 ⇒ 5 x − 2y < 10

 x − y > −1 ⇒ 2 x − 5 y > −10
 5 2
• Para representar la inecuación 5x – 2y < 10, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
5x – 2y < 10 ⇒ 5x – 2y = 10 ⇒ y =
5 x − 10
2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
5x – 2y < 10 ⇒ 5 · 0 – 2 · 0 < 10 ⇒ 0 < 10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
131
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación 2x – 5y > –10, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
2x – 5y > –10 ⇒ 2x – 5y = –10 ⇒ y =
2 x + 10
5
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
2x – 5y > –10 ⇒ 2 · 0 – 5 · 0 > –10 ⇒ 0 > –10
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
132
y < 3
f. 
– (3x + 2) > y
Se operan las inecuaciones para reducirlas:
y < 3

 – ( 3 x + 2 ) > y ⇒ −3 x − 2 > y ⇒ −3 x − y > 2
• Para representar la inecuación y < 3, se cambia el signo de la desigualdad
por el de igualdad y se representa la recta:
y<3⇒y=3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
0<3
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación –3x – y > 2, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
–3x – y > 2 ⇒ –3x – y = 2 ⇒ y = –3x – 2
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
–3x – y > 2 ⇒ –3 · 0 – 0 > 2 ⇒ 0 > 2
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo >.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
133
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
 x ≥ −4
g. 
 4 x < 3· ( y – 1)
Se operan las inecuaciones para reducir el sistema:
 x ≥ −4

4 x < 3 · ( y – 1) ⇒ 4 x < 3 y − 3 ⇒ 4 x − 3 y < −3
El semiplano x ≥ –4 es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
134
• Para representar la inecuación 4x – 3y < –3, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
4x – 3y < –3 ⇒ 4x – 3y = –3⇒ y =
4x + 3
3
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
4x – 3y < –3 ⇒ 4 · 0 – 3 · 0 < –3 ⇒ 0 < –3
Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al
punto (0 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
x < y
h. 
3· ( x – 2 ) ≥ – ( y + 3 )
Se operan las inecuaciones para reducir el sistema:
x < y ⇒ x − y < 0

3· ( x – 2 ) ≥ – ( y + 3 ) ⇒ 3 x − 6 ≥ − y − 3 ⇒ 3 x + y ≥ 3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
135
• Para representar la inecuación x – y < 0, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
x–y<0⇒x–y=0⇒y=x
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (5 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
x–y<0⇒5–0<0⇒5 < 0
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (5 , 0), no incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo <.
• Para representar la inecuación 3x + y ≥ 3, se cambia el signo de la
desigualdad por el de igualdad y se representa la recta:
3x + y ≥ 3 ⇒ 3x + y = 3 ⇒ y = 3 – 3x
La recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar cuál de los dos
es la solución, se elige un punto de uno de los semiplanos que no
pertenezca a la recta, por ejemplo (0 , 0), y se sustituye en la inecuación
inicial:
3x + y ≥ 3 ⇒ 3 · 0 + 0 ≥ 3 ⇒ 0 ≥ 3
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que no
contiene al punto (0 , 0), incluida la recta, por ser una desigualdad del tipo ≥.
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de ambas inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
136
27 Resuelve estos sistemas de inecuaciones:
x ≥ 0

a.  y ≥ 0
2 x – 3 y < 4

Se representa la inecuación x ≥ 0:
Se representa la inecuación y ≥ 0:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
137
Se representa la inecuación 2x – 3y < 4:
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de las tres inecuaciones.
x ≤ 5

b.  x + y ≥ –2
x – y ≤ 2

Se representa la inecuación x ≤ 5:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
138
Se representa la inecuación x + y ≥ –2
Se representa la inecuación x – y ≤ 2:
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de las tres inecuaciones.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
139
3 x – 5 y ≥ –4
 – x + 3y ≤ 6

c. 
 x > –2
 y > –1
Se representa la inecuación 3x – 5y ≥ –4:
Se representa la inecuación –x + 3y ≤ 6:
Se representa la inecuación x > –2:
Se representa la inecuación y > –1:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
140
La solución del sistema es la región del plano obtenida al intersecarse los
semiplanos soluciones de las cuatro inecuaciones.
28 Visita esta página de Internet y realiza las actividades propuestas para
repasar los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
http://conteni2.educarex.es/mats/12078/contenido
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 113
29 Al comprar un televisor de 450 €, Esteban ha pagado con 15 billetes, unos de
20 € y otros de 50 €. ¿Cuántos billetes de cada tipo entregó al dependiente?
•
Se identifican las incógnitas: x = número de billetes de 20 €, y = número de
billete de 50 €.
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
 x + y = 15

20 x + 50y = 450
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
141
Se utiliza el método de sustitución. Se despeja en la primera ecuación la
incógnita x, x = 15 – y, y se sustituye en la segunda ecuación:
20 · (15 – y) + 50y = 450 ⇒ 300 – 20y + 50y = 450 ⇒ 300 – 20y + 50y = 450 ⇒
y=
150
=5
30
x = 15 – y = 15 – 5 = 10
•
Se comprueba e interpreta la solución: entregó 10 billetes de 20 € y 5 billetes de 50
€.
30 Una granja dedicada a la cría de vacas, cerdos y gallinas tiene un total de
350 animales. El número de cerdos es 10 unidades inferior al doble del de
vacas y gallinas juntas, y el número de gallinas, aumentado en 10 unidades,
es la tercera parte de la suma del de vacas y cerdos. Averigua cuántas
vacas, cerdos y gallinas hay en la granja.
• Se identifican las incógnitas: x = número de vacas, y = número de cerdos,
z = número de gallinas
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:

 x + y + z = 350
 x + y + z = 350


 y = 2 · ( x + z ) – 10 ⇒ 2 x – y + 2z = 10


 x + y – 3z = 30
 z + 10 = x + y

3
Se resuelve por reducción.
 x + y + z = 350

 x + y – 3z = 30
↓ Se multiplica por –1 a la 1.ª
 x + y + z = 350

2x – y + 2z = 10
 – x – y – z = – 350

 x + y – 3z = 30
3x + 3z = 360
–4z = –320
z = 80
Se sustituye el valor obtenido en la primera ecuación para calcular la incógnita x:
3x + 3 · 80 = 360 ⇒ 3x = 120 ⇒ x = 40
x + y + z = 350 ⇒ 40 + y + 80 = 350 ⇒ y = 230
•
Se comprueba e interpreta la solución: hay 40 vacas, 230 cerdos y 80 gallinas.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
142
31 Unos ultramarinos ofrecen a sus clientes tres tipos de oferta. La primera
contiene 3 kg de lentejas, 2 kg de judías y 5 kg de garbanzos y cuesta 19 €;
la segunda incluye 2 kg de lentejas, 1 kg de judías y 4 kg de garbanzos por
un importe de 13 €, mientras que la tercera ofrece 1 kg de lentejas, 2 kg de
judías y 4 kg de garbanzos por un total de 14 €. ¿Cuál es el precio del kilo de
cada tipo de legumbre?
•
Se identifican las incógnitas: x = precio del kilo de lentejas, y = precio del kilo
de judías, z = precio del kilo de garbanzos
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
3 x + 2y + 5z = 19

2x + y + 4z = 13
 x + 2y + 4z = 14

3 x + 2y + 5z = 19

 x + 2y + 4z = 14
2x + y + 4z = 13

 x + 2y + 4z = 14
↓ Se multiplica por –1 a la 2.ª
↓ Se multiplica por –2 a la 1.ª
3 x + 2y + 5z = 19

 – x – 2y – 4z = – 14
 –4 x – 2y – 8z = – 26

 x + 2y + 4z = 14
2x + z = 5
–3x – 4z = –12
z = 5 – 2x
–3x – 4 · (5 – 2x) = –12 ⇒ –3x – 20 + 8x = –12 ⇒ 5x = 8 ⇒ x =
8
= 1,60
5
z = 5 – 2x = 5 – 2 · 1,60 = 1,80
y = 13 – 2x – 4z = 13 – 2 · 1,60 – 4 · 1, 80 = 2,60
•
Se comprueba e interpreta la solución: el kilo de lentejas cuesta 1,60 €, el de
judías 2,60 € y el de garbanzos 1,80 €.
32 La suma de las edades de un padre y su hija es de 48 años. Además, se sabe
que el cuadrado de la edad de la hija equivale al cuádruple de la edad del
padre. ¿Qué edad tienen ambos?
•
Se identifican las incógnitas: x = edad de la hija, y = edad del padre
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
 x + y = 48 ⇒ y = 48 – x
 2
2
2
2
 x = 4 y ⇒ x = 4 · ( 48 – x ) ⇒ x = 192 – 4 x ⇒ x + 4 x – 192 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
143
–4 + 28

=
= 12
x
1
–4 ± –4 + 768 –4 ± 16 + 768 –4 ± 28 
2
=
=
⇒
x=
2
2
2
 x = –4 – 28 = −16
 2
2
Se deshecha la solución negativa porque se están calculando edades.
y = 48 – x = 48 – 12 = 36
• Se comprueba e interpreta la solución: la hija tiene 12 años y el padre 36 años.
33 La altura y la base de un rectángulo se diferencian en 8 cm. Si la altura se
aumenta en 4 cm y la base se reduce en 2 cm, el área se incrementa en 48
cm2. Halla las dimensiones del rectángulo inicial.
•
Se identifican las incógnitas: x = base, y = altura
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
 x = y + 8

( x – 2 ) · ( y + 4 ) = xy + 48
Se sustituye la 1.ª ecuación en la 2.ª:
(y + 8 – 2) · (y + 4) = (y + 8) · y + 48 ⇒ (y + 6) · (y + 4) = y2 + 8y + 48 ⇒
⇒ y2 + 6y + 4y + 24 – y2 – 8y – 48 = 0 ⇒ 2y – 24 = 0 ⇒ y – 12 = 0 ⇒ y = 12
x = y + 8 ⇒ x = 12 + 8 = 20
•
Se comprueba e interpreta la solución: la base mide 20 cm y la altura 12 cm.
34 Un grupo de alumnos paga 140 € para celebrar la fiesta de fin de curso. Si
hubieran asistido 7 alumnos más, cada uno de ellos habría pagado 1 €
menos. ¿Cuántos alumnos acudieron a la fiesta? ¿Cuánto pagó cada uno de
ellos?
•
Se identifican las incógnitas: x = número de alumnos, y = cantidad que paga
cada alumno
•
Se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve:
140

 xy = 140 ⇒ x = y

( x + 7 ) · ( y – 1) = 140 ⇒ xy + 7 y − x − 7 − 140 = 0

Se sustituye la 1.ª ecuación en la 2.ª:
140
140
· y + 7y –
– 7 – 140 = 0 ⇒ 140y + 7y2 – 140 – 7y – 140y = 0 ⇒
y
y
⇒ 7y2 – 7y – 140 = 0 ⇒ y2 – y – 20 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
144
y=
1± 1+ 80
1± 9
1+ 9
1− 9
=
⇒ y1 =
= 5; y2 =
= –4
2
2
2
2
x=
140 140
=
= 28
y
5
• Se comprueba e interpreta la solución: asistieron 28 alumnos y cada uno pagó 5
€.
35 Para irse de vacaciones, Penélope alquila una autocaravana por la que le
cobran un fijo de 200 € más 150 € diarios. Si su presupuesto oscila entre los
1 700 € y los 2 300 €, ¿cuántos días podrá alquilar la autocaravana?
• Se identifica la incógnita: x = número de días de alquiler
• Se plantea el sistema de inecuaciones y se resuelve:
1 700 ≤ 200 + 150 x ⇒ 1 700 – 200 ≤ 150 x ⇒ 1 500 ≤ 150 x ⇒ x ≥ 10

200 + 150 x ≤ 2 300 ⇒ 150 x ≤ 2 300 – 200 ⇒ x ≤ 14
La solución de este sistema es [10 , 14]
• Se comprueba e interpreta la solución: puede alquilar la caravana 10, 11, 12, 13 o
14 días.
36 Halla la altura de un rectángulo cuyo perímetro es mayor que 35 cm y menor
que 60 cm y cuya base mide 10 cm más que la altura.
• Se identifican las incógnitas: base: x + 10; altura: x
• Se plantea el sistema de inecuaciones y se resuelve:
35 < 4 x + 20 ⇒ 35 – 20 < 4 x ⇒ 15 < 4 x ⇒ x > 3,75

4 x + 20 < 60 ⇒ 4 x < 60 – 20 ⇒ 4 x < 40 ⇒ x < 10
La solución de este sistema es (3,75 ; 10)
• Se comprueba e interpreta la solución: la altura puede tomar cualquier valor del
intervalo (3,75 ; 10).
37 Dos amigos quieren crear una empresa dedicada a la venta de videojuegos,
que pueden adquirir a dos precios: 30 € y 40 €. Si solo disponen de 10 000 €
para invertir en su empresa y, por cuestiones de espacio, solo pueden
almacenar 300 videojuegos, ¿cuántos videojuegos podrán comprar?
• Se identifican las incógnitas: x = número de videojuegos de 30 €, y =
número de videojuegos de 40 €
• Se plantea el sistema de inecuaciones y se resuelve:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
145
30 x + 40 y ≤ 10 000
 x + y ≤ 300


x ≥ 0
 y ≥ 0
Se representa cada una de las inecuaciones:
La solución es cualquier par de valores enteros (x , y) de la zona sombreada.
Evaluación
1
La solución del siguiente
4 x – 5y = 1

 –2· ( 2 x – 1) = – ( 3 + 5 y )
a. (1 , –1)
sistema
b. (0 , –1)
de
ecuaciones
c. No tiene solución.
lineales
es:
d. (4 , 3)
4 x – 5 y = 1

 –2· ( 2x – 1) = – ( 3 + 5 y ) ⇒ –4 x – 2 = –3 – 5 y ⇒ –4 x + 5y = –3 + 2 ⇒ –4 x + 5y = –1
No tiene solución porque son ecuaciones equivalentes.
2
 –2 x + y – 4 z = 9

El sistema 7 x – 3y + z = – 4
tiene por solución:
 4 x – 2 y + 3z = – 8

a. (–1 , 1 , 0)
b. (–1 , 1 , –1)
c. (0 , 2 , –2)
d. (1 , 3, –2)
 –2x + y – 4z = 9

7 x – 3y + z = – 4
 4 x – 2y + 3z = – 8

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
146
 –2 x + y – 4z = 9

7 x – 3y + z = – 4
↓Se
 –2x + y – 4z = 9

 4 x – 2y + 3z = – 8
↓
multiplica por 3 a la
Se multiplica por 2 a la
1.ª
1.ª
 –6 x + 3 y – 12z = 27

7 x – 3y + z = – 4
 –4 x + 2y – 8z = 18

 4 x – 2y + 3z = – 8
x – 11z = 23
–5z = 10
z = –2
x – 11z = 23 ⇒ x – 11 · (–2) = 23 ⇒ x + 22 = 23 ⇒ x = 1
–2x + y – 4z = 9 ⇒ y = 9 + 2x + 4z ⇒ y = 9 + 2 + 4 · (–2) = 3
La solución es x = 1, y = 3, z = –2
3
3 x 2 – y 2 = 2
son:
Las soluciones del sistema no lineal 
 x + 2y = – 7
19
29
)
,–
11
11
a. (3 , –5)
c. (3 , –5) y ( –
b. (3 , –5) y (3 , 5)
d. No tiene solución.
3 x 2 – y 2 = 2

 x + 2y = –7 ⇒ x = –7 – 2y
Se sustituye la 2.ª ecuación en la 1.ª:
3 · (–7 – 2y)2 – y2 = 2 ⇒ 3 · (49 + 4y2 + 28y) – y2 – 2 = 0 ⇒
⇒ 147 + 12y2 + 84y – y2 – 2 = 0 ⇒ 11y2 + 84y + 145 = 0
−84 + 26
29

y =
=−
−84 ± 7 056 – 6 380 −84 ± 26  1
22
11
=
⇒
y= y=
2 ·11
22
 y = −84 − 26 = −5
 2
22
•
Si y1 = –5 ⇒ x1 = –7 – 2 · y1 = –7 + 10 = 3
•
Si y2 = −
29
58
–77 + 58
–19
⇒ x2 = –7 – 2 · y2 = –7 +
=
=
11
11
11
11
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
147
4
 4 · ( x – 2) + 5 ≤ 3 · ( 1 + 2 x )
El sistema de inecuaciones 
tiene como
 –(5 x – 3) > – 2 x + 1
solución:
a. (–∞ , –3]
b. [–3 ,
2
)
3
c. [–3 , +∞)
d. (
2
, + ∞)
3
4· ( x – 2) + 5 ≤ 3· (1 + 2 x ) ⇒ 4 x − 8 + 5 ≤ 3 + 6 x ⇒ −6 ≤ 2 x ⇒ −3 ≤ x


2
 –(5 x – 3 ) > –2 x + 1 ⇒ −5 x + 3 > −2 x + 1 ⇒ 2 > 3 x ⇒ > x
3

La solución del sistema es [–3 ,
5
2
).
3
De las siguientes gráficas la que representa la solución del sistema de
2 x ≤ − 1
inecuaciones 
es:
3 x – 5 y ≥ 2
a.
c.
b.
d.
1

2 x ≤ −1 ⇒ x ≤ −
2

3 x – 5 y ≥ 2
Se sustituye un punto que no pertenezca a la recta 3x – 5y = 2, por ejemplo el (0 , 0),
en la inecuación 3x – 5y ≥ 2 ⇒ 3 · 0 – 5 · 0 ≥ 2 ⇒ 0 ≥ 2, por lo que es el semiplano
que no contiene al punto (0 , 0).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 5. Perímetros, longitudes, áreas
y volúmenes
2
Unidad 5. Perímetros, longitudes, áreas y volúmenes
SOLUCIONES PÁG. 127
1
Determina el área de las siguientes figuras planas:
a.
Aromboide = b · h ⇒ Aromboide = 9·7 = 63 ⇒ Aromboide = 63 cm2
b.
Atrapecio =
(B + b )· h
(12 + 3)· 6
⇒ Atrapecio =
= 45 ⇒ Atrapecio = 45 cm 2
2
2
2
Actividad resuelta.
3
Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado mide 11 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema del hexágono:
112 = ap 2 + 5,5 2 ⇒ ap = 112 − 5,5 2 = 90,75 = 9,53 ⇒ ap = 9,53 cm
P · ap
6 ·11·9,53
Ahexágono =
⇒ Ahexágono =
= 314, 49 ⇒ Ahexágono = 314, 49 cm 2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
4
Halla el perímetro y el área de los siguientes polígonos:
a.
P = 5 · 5 = 25 ⇒ P = 25 cm
P · ap
5 ·5· 4,33
Apentágono =
⇒ Apentágono =
= 54,13 ⇒ Apentágono = 54,13 cm 2
2
2
b.
P = 6 · 8 = 48 ⇒ P = 48 cm
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema del hexágono:
8 2 = ap 2 + 4 2 ⇒ ap = 82 − 42 = 48 = 6,93 ⇒ ap = 6,93 cm
P · ap
6 · 8· 6,93
Ahexágono =
⇒ Ahexágono =
= 166,32 ⇒ Ahexágono = 166,32 cm2
2
2
5
El dibujo muestra el plano de una habitación en la que todas sus paredes
contiguas forman ángulos múltiplos de 45º. ¿Cuál es el área de la
habitación?
Ahabitación = 3a · (b – a)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
6
Calcula el perímetro y el área de un heptágono regular de 12 cm de lado y
12,46 cm de apotema.
P = 7 · 12 = 84 ⇒ P = 84 cm
P · ap
7 ·12·12, 46
Aheptágono =
⇒ Aheptágono =
= 523,32 ⇒ Aheptágono = 523,32 cm2
2
2
7
Averigua el perímetro y el área de un pentágono regular cuyo lado mide 9 cm
y que tiene un radio de 7,66 cm.
P = 5 · 9 = 45 ⇒ P = 45 cm
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema del hexágono:
7,66 2 = ap 2 + 4,5 2 ⇒ ap = 7,66 2 − 4,5 2 = 38, 43 = 6,2 ⇒ ap = 6,2 cm
Apentágono =
8
5 ·9· 6,2
P · ap
⇒ Apentágono =
= 139,5 ⇒ Apentágono = 139,5 cm2
2
2
Se dice que un polígono recubre el plano cuando no deja huecos, es decir,
cuando se puede colocar alrededor de uno de los vértices del polígono un
número exacto de polígonos iguales hasta completar justamente una vuelta
íntegra.
Formad grupos de alumnos e investigad cuáles son los polígonos regulares
que pueden recubrir el plano.
Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana
son: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. En cada vértice la
suma de ángulos es de 360º, para que no queden espacios.
SOLUCIONES PÁG. 129
9
Halla el área de estas coronas circulares:
a.
Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(72 − 42 ) = 103,62
Acorona circular = 103,62 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
b.
Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(92 − 72 ) = 100, 48
Acorona circular = 100, 48 cm2
10 Calcula el área de los sectores circulares de estas circunferencias de 8 cm
de radio:
a.
Asector circular =
π · r 2 · Aˆ
3,14·82 ·130º
⇒ Asector circular =
= 72,57 ⇒ Asector circular = 72,57 cm2
360º
360º
b.
Asector circular =
π · r 2 · Aˆ
3,14·82 ·50º
⇒ Asector circular =
= 27,91 ⇒ Asector circular = 27,91 cm2
360º
360º
11 Determina el área de los segmentos circulares de estas circunferencias de
10 cm de radio:
a.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo:
10 2 = h 2 + 7,66 2 ⇒ h = 10 2 − 7,66 2 = 41,32 = 6,43 ⇒ h = 6, 43 cm
π · r 2 · Aˆ b · h
Asegmento circular = Asector circular − Atriángulo ⇒ Asegmento circular =
−
360º
2
2
3,14·10 ·100º 15,32·6, 43
Asegmento circular =
−
= 87,22 − 49,25 = 37,97
360º
2
Asegmento circular = 37,97 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
b.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo:
10 2 = h 2 + 5,742 ⇒ h = 10 2 − 5,74 2 = 67,05 = 8,19 ⇒ h = 8,19 cm
π · r 2 · Aˆ b · h
Asegmento circular = Asector circular − Atriángulo ⇒ Asegmento circular =
−
360º
2
2
3,14·10 ·70º 11,47·8,19
Asegmento circular =
−
= 61,06 − 46,97 = 14,09
360º
2
Asegmento circular = 14,09 cm2
12 Averigua el área de estos trapecios circulares:
a.
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
3,14·(202 − 102 )·150º
⇒ Atrapecio circular =
= 392,5
360º
360º
= 392,5 cm2
Atrapecio circular =
Atrapecio circular
b.
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
3,14·(182 − 162 )·55º
⇒ Atrapecio circular =
= 32,62
360º
360º
= 32,62 cm2
Atrapecio circular =
Atrapecio circular
13 En un zoo hay una región circular de 5 m de diámetro que alberga a diversos
animales. Se ha rodeado exteriormente por un paseo de baldosas de 1 m de
ancho para el tránsito de visitantes.
a. Halla el área que ocupa la región circular.
A = π · r 2 ⇒ A = 3,14· 2,52 = 19,63 ⇒ A = 19,63 m2
b. Calcula el área que ocupa el paseo exterior.
Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(3,52 − 2,52 ) = 18,84
Acorona circular = 18,84 m2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
c. Se van a instalar unas cristaleras en el perímetro de la región circular que
abarquen 120º de la misma. ¿Qué longitud de cristaleras se necesita?
Larco =
2· π · r · Aˆ
2·3,14· 2,5·120º
⇒ Larco =
= 5,23 ⇒ Larco = 5,23 m
360º
360º
14 Investiga el funcionamiento del cuentakilómetros de una bicicleta. Toma las
medidas necesarias en tu bicicleta y calcula la distancia que recorrerías al
dar 100 vueltas.
Cada vuelta recorre L = 2 · π· r, siendo r el radio de la rueda de la bicicleta.
Midiendo ese radio y multiplicando por 100 se obtiene la distancia recorrida.
15 Averigua el área de las siguientes figuras circulares:
a.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo:
82 = h 2 + 42 ⇒ h = 82 − 42 = 48 = 6,93 ⇒ h = 6,93 cm
Asegmento circular = Asector circular − Atriángulo ⇒ Asegmento circular =
π · r 2 · Aˆ b · h
−
360º
2
3,14·82 ·60º 8· 6,93
−
= 33, 49 − 27,72 = 5,77
360º
2
= 5,77 cm2
Asegmento circular =
Asegmento circular
b.
π · r 2 · Aˆ
3,14·72 ·290º
⇒ Asector circular =
= 123,94
360º
360º
= 123,94 cm2
Asector circular =
Asector circular
c.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo:
5 2 = h 2 + 4,53 2 ⇒ h = 5 2 − 4,53 2 = 4,48 = 2,12 ⇒ h = 2,12 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
Asegmento circular = Asector circular + Atriángulo ⇒ Asegmento circular =
π · r 2 · Aˆ b · h
+
360º
2
3,14·52 ·230º 9,06·2,12
+
= 50,15 + 9,6 = 59,75
360º
2
= 59,75 cm2
Asegmento circular =
Asegmento circular
d.
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
3,14·(92 − 52 )·170º
⇒ Atrapecio circular =
= 83,04
360º
360º
= 83,04 cm2
Atrapecio circular =
Atrapecio circular
16 Determina el área de la región coloreada en el interior de estos cuadrados de
10 cm de lado:
a.
El área de la región coloreada es la diferencia entre el área del cuadrado y
cuatro veces la del círculo.
Acuadrado = l 2 ⇒ Acuadrado = 102 = 100 ⇒ Acuadrado = 100 cm2
Acírculo = π· r 2 ⇒ Acírculo = 3,14·2,52 = 19,63 ⇒ Acírculo = 19,63 cm2
Aregión = Acuadrado – 4 · Acírculo = 100 – 4 · 19,63 = 21,48 cm2
b.
El área de la región coloreada es la mitad de la diferencia entre el área del
cuadrado y el área del círculo.
Acuadrado = l 2 ⇒ Acuadrado = 102 = 100 ⇒ Acuadrado = 100 cm2
Acírculo = π· r 2 ⇒ Acírculo = 3,14·52 = 78,5 ⇒ Acírculo = 78,5 cm2
Aregión coloreada =
Acuadrado − Acírculo 100 − 78,5
=
= 10,75 cm 2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
17 Calcula el área de la región coloreada.
a.
El área de la región coloreada es la diferencia entre el área del círculo y el área
del pentágono.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el radio del pentágono:
r 2 = 3,442 + 2,52 ⇒ r = 18,08 = 4,25 ⇒ r = 4,25 cm
Acírculo = π· r 2 ⇒ Acírculo = 3,14·4,252 = 56,72 ⇒ Acírculo = 56,72 cm2
P · ap
5 ·5·3, 44
⇒ Apentágono =
= 43 ⇒ Apentágono = 43 cm2
2
2
Aregión = Acírculo – Apentágono = 56,72 – 43 = 13,72 cm2
Apentágono =
b.
El área de la región coloreada es la diferencia entre el área del círculo y el área
del hexágono.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el radio la apotema del
hexágono:
5 2 = ap 2 + 2,5 2 ⇒ ap = 5 2 − 2,5 2 = 18,75 = 4,33 ⇒ ap = 4,33 cm
Acírculo = π· r 2 ⇒ Acírculo = 3,14·52 = 78,5 ⇒ Acírculo = 78,5 cm2
P · ap
6 ·5· 4,33
⇒ Ahexágono =
= 64,95 ⇒ Ahexágono = 64,95 cm 2
2
2
Aregión = Acírculo – Ahexágono = 78,5 – 64,95 = 13,55 cm2
Ahexágono =
18 Halla el área de las siguientes figuras circulares:
a.
Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(62 − 42 ) = 62,8
Acorona circular = 62,8 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
b.
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
3,14·(32 − 22 )·70º
⇒ Atrapecio circular =
= 3,05
360º
360º
= 3,05 cm2
Atrapecio circular =
Atrapecio circular
19 Un cuadrado de 8 cm de lado está inscrito en una circunferencia. Halla la
longitud de la circunferencia y el área del círculo.
La diagonal del cuadrado es el diámetro de la circunferencia.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal del cuadrado:
d 2 = 82 + 82 ⇒ d = 128 = 11,31 ⇒ d = 11,31 cm
Lcircunferencia = 2 · π · r ⇒ L = 2 · 3,14 · 5,66 = 35,54 cm
Acírculo = π · r2 ⇒ Acírculo = 3,14 · 5,662 = 100,59 cm2
20 La luz de un faro barre un ángulo plano de 150°. Si el alcance de la luz del
faro es de 9 millas náuticas, ¿cuál es la longitud, en metros, del arco barrido
por la luz del faro?
Dato: 1 milla náutica = 1,852 km.
Larco =
2· π · r · x º
2·3,14·(9·1852)·150º
⇒ Larco =
= 43 614,6 ⇒ Larco = 43 614,6 m
360º
360º
SOLUCIONES PÁG. 131
21 Actividad resuelta.
22 Determina el área total y el volumen de estas figuras:
a.
Atotal = 2· Abase + Alateral ⇒ Atotal = 2·
P · ap
+ P ·h
2
5·5·3, 44
+ 5·5·8 = 86 + 200 = 286 ⇒ Atotal = 286 cm2
2
5·5·3, 44
= Abase · h ⇒ Vprisma =
· 8 = 344 cm3
2
Atotal = 2·
Vprisma
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
b.
ap + ap '
5+3
⇒ Apirámide = 7· 2,89·
= 80,92 Apirámide = 80,92 cm2
2
2
1
1 7· 2,89·3
= · Abase · h ⇒ Vpirámide = ·
· 4 = 40, 46 ⇒ Vpirámide = 40, 46 cm3
3
3
2
Apirámide = P ·
Vpirámide
23 Halla el volumen de las siguientes figuras:
a.
Se aplica la semejanza de triángulos a la pirámide inicial para calcular su
altura.
x
x+6
=
⇒ 4 x = 2,5·( x + 6) ⇒ x = 10 cm
2,5
4
La altura inicial de la pirámide es 10 + 6 = 16 cm.
Vtronco de pirámide = Vpirámide grande − Vpirámide pequeña
1
1
Vpirámide grande = · Abase · h ⇒ Vpirámide grande = ·82 ·16 = 341,33
3
3
3
Vpirámide grande = 341,33 cm
1
1
Vpirámide pequeña = · Abase · h ⇒ Vpirámide pequeña = ·52 ·10 = 83, 33
3
3
Vpirámide grande = 83,33 cm3
Vtronco de pirámide = 341,33 − 83,33 = 258 cm3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
b.
Se aplica la semejanza de triángulos a la pirámide inicial para calcular su
altura.
x
x +7
=
⇒ 5 x = 2,5·( x + 7) ⇒ x = 7 cm
2,5
5
La altura inicial de la pirámide es 7 + 7 = 14 cm.
Vtronco de pirámide = Vpirámide grande − Vpirámide pequeña
1
1
Vpirámide grande = · Abase · h ⇒ Vpirámide grande = ·10·8·14 = 373,33
3
3
3
Vpirámide grande = 373,33 cm
1
1
Vpirámide pequeña = · Abase · h ⇒ Vpirámide pequeña = ·5· 4·7 = 46,67
3
3
3
Vpirámide grande = 46,67 cm
Vtronco de pirámide = 373,33 − 46,67 = 326,66 cm3
24 Una caja de zapatos mide de largo igual que de alto, mientras que de ancho
mide el doble que de largo.
Si la diagonal de una de las caras más grandes del paralelepípedo mide 20 cm,
halla la cantidad necesaria de cartón para fabricar la caja de zapatos.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el valor de x:
400
D 2 = x 2 + x 2 + (2 x )2 ⇒ 202 = 6 x 2 ⇒ x =
= 66,67 = 8,17 ⇒ x = 8,17 cm
6
El área total es:
A = 2 · x2 + 4 · x · 2x = 2x2 + 8x2 = 10x2 ⇒ A = 10 · 8,172 = 10 · 66,75 = 667,5
A = 667,5 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
25 Determina el área total que tiene a la vista este monolito si las bases de sus
piezas son cuadrados de 3 m, 2 m y 1 m de lado, respectivamente, y sus
alturas miden 6 dm, 15 dm y 60 dm, también respectivamente.
El área total de la base inferior:
Atotal base inferior = 4·0,6·3 + 2·3·3 = 25,2 ⇒ Atotal base inferior = 25,2 m2
El área lateral de la base intermedia:
Alateral base intermedia = 4·1,5·2 = 12 ⇒ Alateral base intermedia = 12 m2
El área lateral de la base superior:
Alateral base superior = 4·1·6 = 24 ⇒ Alateral base superior = 24 m2
Afigura = 25,2 + 12 + 24 = 61,2 m2
SOLUCIONES PÁG 133
26 Calcula el área total y el volumen de las siguientes figuras:
a.
Acilindro = 2· π· r ·(r + h) ⇒ Acilindro = 2·3,14·5·(5 + 5) = 314 ⇒ Acilindro = 314 cm2
Vcilindro = π· r 2 · h ⇒ Vcilindro = 3,14·52 ·5 = 392,5 ⇒ Vcilindro = 392,5 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
b.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la generatriz:
g 2 = h 2 + r 2 ⇒ g = h 2 + r 2 ⇒ g = 9 2 + 8 2 = 145 = 12,04 ⇒ g = 12,04 cm
Acono = π· r ·(g + r ) ⇒ Acono = 3,14·8·(12,04 + 8) = 503,4 ⇒ Acono = 503,4 cm2
Vcono =
1
1
· π · r 2 · h ⇒ Vcono = ·3,14·8 2 ·9 = 602,88 ⇒ Vcono = 602,88 cm3
3
3
27 Halla el área total y el volumen de las figuras propuestas.
a.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la generatriz:
g 2 = h 2 + (R − r )2 ⇒ g = h 2 + (R − r )2 ⇒ g = 72 + (13 − 10)2 = 58 = 7,62
g = 7,62 cm
Atronco de cono = π · R 2 + π · r 2 + π · g ·(R + r )
Atronco de cono = 3,14·132 + 3,14·102 + 3,14·7,62·(13 + 10) = 1 394,98
Atronco de cono = 1 394,98 cm2
Para calcular el volumen del tronco de cono se aplica el teorema de Tales:
x
x+7
=
⇒ 13 x = 10·( x + 7) ⇒ x = 2 3,33 cm
10
13
La altura inicial del cono es de 7 + 23,33 = 30,33 cm.
Vtronco de cono = Vcono grande – Vcono pequeño
1
1
Vcono grande = · π · r 2 · h ⇒ Vcono grande = ·3,14·132 ·30,33 = 5 364,97
3
3
3
Vcono grande = 5 364,97 cm
1
1
· π · r 2 · h ⇒ Vcono pequeño = ·3,14·102 ·23,33 = 2 441,87
3
3
3
= 2 441,87 cm
Vcono pequeño =
Vcono pequeño
Vtronco de cono = 5364,97 − 2 441,87 = 2923,1 ⇒ Vtronco de cono = 2923,1 cm3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
b.
Aesfera = 4· π· r 2 ⇒ Aesfera = 4·3,14·112 = 1519,76 ⇒ Aesfera = 1519,76 cm2
Vesfera =
4
4
· π · r 3 ⇒ Vesfera = ·3,14·113 = 5 572, 45 ⇒ Vesfera = 5 572, 45 cm3
3
3
28 Un plano corta una esfera pasando por su centro y produce una sección de
706,86 dm2 de área. Halla el volumen y la superficie de la esfera.
Se halla el radio de la esfera:
A
706,86
A = π· r 2 ⇒ r =
⇒r =
= 225,11 = 15 ⇒ r = 15 dm
π
3,14
Aesfera = 4· π· r 2 ⇒ Aesfera = 4·3,14·152 = 2826 ⇒ Aesfera = 2826 dm2
Vesfera =
4
4
· π · r 3 ⇒ Vesfera = ·3,14·153 = 14130 ⇒ Vesfera = 14130 dm3
3
3
29 Un teorema atribuido a Arquímedes afirma que el volumen de una esfera
equivale a los dos tercios del volumen del cilindro circunscrito. Pruébalo.
4
4

· π · r3
· π· r 3
V
4
 Vesfera
3
⇒ esfera =
=
3

3
Vcilindro 6
V
= π · r 2 · h = π · r 2 ·2r = 2· π · r 3  cilindro 2· π · r
Vesfera =
Vcilindro
Vesfera 2
2
= ⇒ Vesfera = Vcilindro
Vcilindro 3
3
30 Halla el volumen de estos cuerpos en función de π:
a. Un cilindro de 9 cm de radio y 9 cm de altura.
Vcilindro = π· r 2 · h ⇒ Vcilindro = π·92 ·9 = 729π ⇒ Vcilindro = 729π cm2
b. Un cono de 9 cm de radio y 9 cm de altura.
Vcono =
1
1
· π · r 2 · h ⇒ Vcono = · π ·9 2 ·9 = 243 π ⇒ Vcono = 243 π cm3
3
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
c.
Una esfera de 9 cm de radio.
Vesfera =
4
4
· π · r 3 ⇒ Vesfera = · π ·93 = 972π ⇒ Vesfera = 972π cm3
3
3
Comprueba que se verifica: Vesfera = Vcilindro + Vcono
Se verifica que Vesfera = Vcilindro + Vcono ⇒ 972π = 729π + 243π ⇒ 972π = 972π
31 Actividad resuelta.
32 Averigua el área de las esferas que cumplen las siguientes condiciones:
a. Un plano la corta pasando por su centro y produce una sección que tiene
un borde de 44 dm de longitud.
Se averigua el radio de la esfera:
L
44
Lcircunferencia = 2· π · r ⇒ r = circunferencia ⇒ r =
= 7 ⇒ r = 7 dm
2· π
2·3,14
Aesfera = 4· π· r 2 ⇒ Aesfera = 4·3,14·72 = 615,44 ⇒ Aesfera = 615,44 dm2
b. Un plano la corta a una distancia de 8 dm de su centro y produce una
sección de 179,07 dm2 de área.
Se averigua el radio de la sección:
Asección
179,07
Asección = π · r 2 ⇒ r =
⇒r =
= 57,03 = 7,55 ⇒ r = 7,55 dm
π
3,14
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar el radio de la esfera:
R = 8 2 + 7,55 2 = 121 = 11 ⇒ R = 11 dm
Aesfera = 4· π· r 2 ⇒ Aesfera = 4·3,14·112 = 1 519,76 ⇒ Aesfera = 1 519,76 dm2
33 Determina el volumen y la superficie de las esferas inscrita y circunscrita en
un cubo de 1 m de arista.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal del cuadrado:
D = l 2 + l 2 ⇒ D = 2·12 = 2 = 1, 41 ⇒ D = 1, 41 m
Por lo tanto, el radio de la circunferencia circunscrita mide 0,71 m.
Aesfera inscrita = 4· π· r 2 ⇒ A = 4·3,14·0,52 = 3,14 ⇒ Aesfera inscrita = 3,14 m2
Vesfera inscrita =
4
4
· π · r 3 ⇒ V = ·3,14·0,53 = 0,52 ⇒ Vesfera inscrita = 0,52 m3
3
3
Aesfera circunscrita = 4· π· r 2 ⇒ A = 4·3,14·0,712 = 6,33 ⇒ Aesfera circunscrita = 6,33 m2
Vesfera circunscrita =
4
4
· π · r 3 ⇒ V = ·3,14·0,713 = 1,5 ⇒ Vesfera cinrcuscrita 1,5 m3
3
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
SOLUCIONES PÁG. 135
1
2
Describe cada una de las figuras planas.
• El triángulo es el polígono de menor número de lados, tres.
• El cuadrado es un polígono con 4 lados iguales y 4 ángulos iguales y rectos.
• El rectángulo tiene cuatro ángulos iguales y rectos, y lados paralelos dos a
dos.
• El romboide tiene lados y ángulos iguales dos a dos, y lados paralelos dos a
dos.
• El rombo tiene los cuatro lados iguales paralelos dos a dos y los ángulos
iguales dos a dos.
• El trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos.
• El polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Define cada uno de los elementos de un polígono regular.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3
El lado es cada segmento de la línea poligonal que conforma el polígono.
El vértice es el punto de intersección entre dos lados consecutivos.
La diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
El ángulo interior es el formado por dos lados consecutivos.
El ángulo exterior es el formado por un lado y la prolongación de su
adyacente.
El centro es el punto que equidista de todos los vértices, y coincide con el
centro de la circunferencia que circunscribe al polígono.
La apotema es el segmento que une el centro con la mitad de un lado.
El radio es el segmento que une el centro con un vértice.
El ángulo central es el formado por dos radios consecutivos.
¿Cuántos y cuáles son los poliedros regulares que existen?
Son cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
4
Indica los elementos de un cilindro.
Las bases, el radio, la altura y la generatriz.
5
Describe cada una de las figuras circulares.
•
•
•
•
•
6
El círculo es la región encerrada dentro de una circunferencia.
El sector circular es la zona del círculo encerrada entre dos radios y el arco
que forman.
El segmento circular es la zona del círculo encerrada entre una cuerda y el
arco que forman.
La corona circular es la zona encerrada entre dos circunferencias
concéntricas.
El trapecio circular es la zona de una corona circular encerrada entre dos
radios.
¿Qué elementos de un cono forman un triángulo rectángulo? Escribe el
teorema de Pitágoras que verifican.
El radio, la altura y la generatriz: g2 = r2 + h2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
7
Realiza una presentación digital a tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, utilizar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 136 - REPASO FINAL
PERÍMETRO Y ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS
1
Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas:
a.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado oblicuo:
a = 22 + 22 ⇒ a = 2· 4 = 8 = 2,83 ⇒ a = 2,83 cm
P = 4 + 2,83 + 4 + 2,83 + 4 + 4 + 12 + 4 = 37,66 cm
El área de la figura es la suma del área del rectángulo más el área del
romboide:
Arectángulo = b · h ⇒ Arectángulo = 12· 4 = 48 ⇒ Arectángulo = 48 cm2
Aromboide = b · h ⇒ Aromboide = 4·2 = 8 ⇒ Aromboide = 8 cm2
Atotal = 48 + 8 = 56 cm2
b.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado oblicuo:
a = 22 + 22 ⇒ a = 2· 4 = 8 = 2,83 ⇒ a = 2,83 cm
P = 12 + 2,83 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,83 = 29,66 cm
El área de la figura es la suma del área del trapecio más el área del cuadrado:
(B + b )· h
(12 + 8)· 2
Atrapecio =
⇒ Atrapecio =
= 20 ⇒ Atrapecio = 20 cm 2
2
2
Acuadrado = l 2 ⇒ Acuadrado = 22 = 4 ⇒ Acuadrado = 4 cm2
Atotal = 20 + 4 = 24 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
c.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado oblicuo más
largo:
a = 42 + 32 ⇒ a = 25 = 5 ⇒ a = 5 cm
P = 2 + 5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 5 = 24 cm
El área de la figura es cinco veces el área del rombo:
Afigura = 5· Arombo ⇒ Afigura = 5·
4·3
D·d
⇒ Afigura = 5·
= 30 ⇒ Afigura = 30 cm2
2
2
d.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular l1:
l1 = 4 2 + 3 2 ⇒ l1 = 25 = 5 ⇒ l1 = 5 cm
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular l2:
l 2 = 22 + 3 2 ⇒ l 2 = 13 = 3,61 ⇒ l 2 = 3,61 cm
P = 4 + 6 + 5 + 2 + 3,61 = 20,61 cm
El área de la figura es la suma del área del trapecio más el área del triángulo:
(B + b )· h
(3 + 6)· 4
Atrapecio =
⇒ Atrapecio =
= 18 ⇒ Atrapecio = 18 cm2
2
2
b· h
3· 2
Atriángulo =
⇒ Atriángulo =
= 3 ⇒ Atriángulo = 3 cm2
2
2
Atotal = 18 + 3 = 21 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
2
Calcula el área de un octógono regular de 17 dm de lado y 19,6 dm de radio.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la apotema
ap = 19,6 2 − 8,5 2 ⇒ ap = 384,16 − 72,25 = 311,91 = 17,66 ⇒ ap = 17,66 dm
P · ap
17·8·17, 66
Aoctógono =
⇒ Aoctógono =
= 1 200,88 ⇒ Aoctógono = 1 200,88 dm 2
2
2
3
Si se aumenta un 10 % la longitud de dos de los lados opuestos de un
rectángulo y se disminuye en un 10 % la de los otros dos lados, se forma un
nuevo rectángulo:
a. ¿Varía el área del nuevo rectángulo?
A=b·h
A = 1,1b · 0,9h = 0,99b · h
Sí, varía el área del nuevo rectángulo.
b. En caso afirmativo, ¿qué porcentaje del área original mide la nueva área?
1,1a · 0,9b = 0,99ab, mide el 99 %
LONGITUDES Y ÁREAS DE LAS FIGURAS CIRCULARES
4
Averigua el área de las siguientes figuras circulares:
a.
Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(72 − 12 ) = 150,72
Acorona circular = 150,72 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
b.
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
3,14·(102 − 82 )·30º
⇒ Atrapecio circular =
= 9, 42
360º
360º
= 9, 42 cm2
Atrapecio circular =
Atrapecio circular
c.
π · r 2 · Aˆ
3,14·52 ·130º
⇒ Asector circular =
= 28,35
360º
360º
= 28,35 cm2
Asector circular =
Asector circular
d.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo:
6 2 = h 2 + 4,922 ⇒ h = 6 2 − 4,922 = 11,79 = 3, 43 ⇒ h = 3,43 cm
Asegmento circular = Asector circular − Atriángulo ⇒ Asegmento circular =
π · r 2 · Aˆ b · h
−
360º
2
3,14· 62 ·110º 9,83·3, 43
−
= 34,54 − 16,86 = 17,68
360º
2
= 17,68 cm2
Asegmento circular =
Asegmento circular
5
Determina el área de estas figuras:
a.
El área total es la suma del área de los tres cuartos de círculo más el área del
triángulo isósceles.
3
3
Afigura circular = · π · r 2 ⇒ Afigura circular = ·3,14· 22 = 9, 42 ⇒ Afigura circular = 9, 42 cm2
4
4
b· h
2· 2
Atriángulo =
⇒ Atriángulo =
= 2 ⇒ Atriángulo = 2 cm2
2
2
Atotal = 9,42 + 2 = 11,42 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
b.
El área de la figura es el área del rectángulo más el área del triángulo menos el
área de medio círculo:
Arectángulo = b · h ⇒ Arectángulo = 14 · 12 = 168 ⇒ Arectángulo = 168 cm2
π· r 2
3,14· 62
Asemicírculo =
⇒ Asemicírculo =
= 56,52 ⇒ Asemicírculo = 56,52 cm2
2
2
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la base del triángulo:
132 = b 2 + 122 ⇒ b = 132 − 122 = 25 = 5 ⇒ b = 5 cm
b·h
5·12
Atriángulo =
⇒ Atriángulo =
= 30 ⇒ Atriángulo = 30 cm2
2
2
Atotal = 168 – 56,52 + 30 = 141,48 cm2
6
Una circunferencia tiene un sector circular de 154° de amplitud y 71,6 cm2 de
área. ¿Cuál será el radio de la circunferencia?
Asector circular =
π · r 2 · Aˆ
⇒r =
360º
Asector circular ·360º
71,6·360º
⇒r =
= 53,3 = 7,3
3,14·154º
π · Aˆ
r = 7,3 cm
7
Un jardín circular de 6 m de diámetro está rodeado por una zona de gravilla
blanca que tiene 80 cm de ancho.
a. ¿Qué área ocupa la gravilla?
Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(3,82 − 32 ) = 17,08
Acorona circular = 17,08 cm2
b. Se pretende vallar la zona de gravilla por la parte exterior. ¿Qué longitud
tendrá que tener la valla?
L = 2 · π · r ⇒ L = 2 · 3,14 · 3,8 = 23,86 ⇒ L = 23,86 cm
c. ¿Cuál será la longitud de la valla para un sector del jardín con una
amplitud de 70°?
Larco =
2· π · r · Aˆ
2·3,14·3,8·70º
⇒ Larco =
= 4,64 ⇒ Larco = 4,64 cm
360º
360º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
8
Calcula la distancia que recorre un ciclista al dar 30 vueltas a un circuito
como el de la figura.
Se calcula la longitud de una vuelta:
L = 50 · 2 + 3,14 · 18 = 156,52 ⇒ L = 156,52 m
30 vueltas ·
9
156,52 m
= 4 695,6 m
1 vuelta
Halla el área de las zonas coloreadas si los radios de las circunferencias son
4 cm y 3 cm, respectivamente.
a.
π · r 2 · Aˆ
3,14·32 ·280º
⇒ Asector circular =
= 21,98
360º
360º
Asector circular = 21,98 cm2
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
3,14·(42 − 32 )·80º
Anaranja = Atrapecio circular =
⇒ Atrapecio circular =
= 4,88
360º
360º
Atrapecio circular = 4,88 cm2
Aazul = Asector circular =
b.
π · r 2 · Aˆ
3,14·32 ·180º
⇒ Asector circular =
= 14,13
360º
360º
= 14,13 cm2
Anaranja = Asector circular =
Asector circular
Aamarilla = Acorona circular = π ·(R 2 − r 2 ) ⇒ Acorona circular = 3,14·(42 − 32 ) = 21,98
Acorona circular = 21,98 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
c.
π · r 2 · Aˆ
3,14·3 2 · 210º
⇒ Asector circular =
= 16, 49
360º
360º
Asector circular = 16,49 cm2
3,14·(42 − 32 )·150º
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
⇒ Atrapecio circular =
= 9,16
Averde = Atrapecio circular =
360º
360º
Atrapecio circular = 9,16 cm2
Aazul = Asector circular =
d.
Acírculo = π · r2 ⇒ Acírculo = 3,14 · 32 = 28,26 ⇒ Acírculo = 28,26 cm2
3
3
• Aazul = Acírculo = · 28,26 = 21,20 cm2
4
4
• Arosa = Acírculo − Aazul ⇒ Arosa = 28,26 − 21,20 = 7,06 cm2
3
3
Acorona circular = · 21,98 = 16, 49 cm 2
4
4
•
Acrema =
•
Averde = Acorona circular − Averde ⇒ Averde = 21,98 − 16,49 = 5,49 cm2
10 Si el área de un círculo, cuya circunferencia mide 24π dm, es kπ dm2,
¿cuánto vale k?
Se calcula el radio de la circunferencia:
L = d · π ⇒ 24π = d · π ⇒ d = 24. Por lo tanto, el radio mide 12 dm.
Se igualan las expresiones del área de un círculo:
π · r 2 = k π ⇒ π ·122 = k π ⇒ k = 144
11 Averigua el área de las zonas coloreadas si el círculo tiene 6 cm de radio.
a.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la apotema del hexágono:
ap = 6 2 − 3 2 = 27 = 5,2 ⇒ ap = 5,2 cm
Se calcula el área de un segmento circular:
Asegmento circular = Asector circular − Atriángulo ⇒ Asegmento circular =
π · r 2 · Aˆ b · h
−
360º
2
3,14· 62 · 60º 6·5,2
−
= 18,84 − 15,6 = 3,24
360º
2
= 3,24 cm2
Asegmento circular =
Asegmento circular
El área de la zona coloreada es:
3 · 3,24 cm2 = 9,72 cm2
b.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar el lado del cuadrado:
144
122 = l 2 + l 2 ⇒ l =
= 72 = 8,49 ⇒ l = 8, 49 cm
2
El área de la zona coloreada es la cuarta parte de la diferencia del área del
círculo y el área del cuadrado:
A
− Acuadrado
A = círculo
4
π· r 2 − l 2
3,14· 62 − 8, 492 113,04 − 72,08
A=
⇒A=
=
= 10,24 ⇒ A = 10,24 cm2
4
4
4
SOLUCIONES PÁG. 137
ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS
12 Halla el área total y el volumen de los siguientes poliedros:
a.
Aprisma = 2· Abase + Alateral ⇒ Aprisma = 2·
P · ap
+ P·h
2
8·6·7,24
+ 8· 6·6 = 347,52 + 288 = 635,52 ⇒ Aprisma = 635,52 cm2
2
P · ap
8·6·7,24
= Abase · h ⇒ Vprisma =
· h ⇒ Vprisma =
·6 = 1042,56
2
2
= 1042,56 cm3
Aprisma = 2·
Vprisma
Vprisma
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
b.
ap + ap '
6 + 4,82
⇒ Apirámide = 5·7·
= 189,35 ⇒ Apirámide = 189,35 cm 2
2
2
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura de la pirámide:
Apirámide = P ·
h = ap 2 − ap '2 ⇒ h = 6 2 − 4,822 = 12,77 = 3,57 ⇒ h = 3,57 cm
1
1 7 ·5· 4,82
Vpirámide = · Abase · h ⇒ Vpirámide = ·
· 3,57 = 100,38
3
3
2
Vpirámide = 100,38 cm3
13 Calcula el volumen de estos poliedros:
a.
Se aplica la semejanza de triángulos a la pirámide inicial para calcular su
altura.
x
x+4
=
⇒ 3,5 x = 2,5·( x + 4) ⇒ x = 10 cm
2,5
3,5
La altura inicial de la pirámide es 4 + 10 = 14 cm.
Vtronco de pirámide = Vpirámide grande − Vpirámide pequeña
1
1
Vpirámide grande = · Abase · h ⇒ Vpirámide grande = ·72 ·14 = 228,67
3
3
3
Vpirámide grande = 228,67 cm
1
1
Vpirámide pequeña = · Abase · h ⇒ Vpirámide pequeña = ·52 ·10 = 83, 33
3
3
3
Vpirámide grande = 83,33 cm
Vtronco de pirámide = 228,67 − 83,33 = 145,34 cm3
b.
Vprisma = Abase · h ⇒ Vprisma = 8· 4· 6 = 192 ⇒ Vprisma = 192 cm3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN
14 Determina el volumen de estos cuerpos.
a.
π ·(R 2 − r 2 )
·h
2
3,14·(6,52 − 1,52 )
V=
·2 = 125,6 ⇒ V = 125,6 cm3
2
V = Abase · h ⇒ V =
b.
V = 2·Vcilindro de mayor radio + Vcilindro de menor radio = 2· π · R 2 · h + π · r 2 · h '
V = 2·3,14· 42 ·2 + 3,14·12 ·5 = 216,66 cm3
c.
4
· π· r 3
Vesfera
1
V=
+ Vcono ⇒ V = 3
+ · π· r 2 · h
2
2
3
4
·3,14·73
1
3
V=
+ ·3,14·72 ·10 = 718,01 + 512,87 = 1230,88 ⇒ V = 1230,88 cm3
2
3
d.
V = Vcubo + Vtronco de pirámide ⇒ V = a3 + (Vpirámide grande − Vpirámide pequeña )
V = a3 +
Abase pirámide grande · hpirámide grande
3
−
Abase pirámide pequeña · hpirámide pequeña
3
2
9 ·12 Abase pirámide pequeña ·3
−
3
3
Se aplica la semejanza de triángulos al tronco de pirámide para calcular el lado
de la base de la pirámide pequeña:
V = 93 +
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
3 9
= ⇒ x = 3 cm
x 9
El lado de la pirámide pequeña mide 3 cm.
92 ·12 32 ·3
V = 93 +
−
= 729 + 324 − 9 = 1044 ⇒ V = 1044 cm3
3
3
15 Calcula el volumen que queda entre los siguientes cuerpos.
a.
El volumen que queda entre los cuerpos es la diferencia entre el volumen del
cubo menos el volumen del tronco de pirámide.
V = Vcubo − Vtronco de pirámide ⇒ V = a 3 − (Vpirámide grande − Vpirámide pequeña )
 Abase pirámide grande · hpirámide grande Abase pirámide pequeña · hpirámide pequeña 
V = a3 − 
−

3
3


Se aplica la semejanza de triángulos al tronco de pirámide para calcular la
altura de la pirámide grande:
x x+6
=
⇒ 6 x = 2·( x + 6) ⇒ x = 3 cm
2
6
La altura inicial de la pirámide es 6 + 3 = 9 cm.
 62 ·9 22 ·3 
3
V = 63 − 
−
 = 216 − (108 − 4) = 112 ⇒ V = 112 cm
3
3


b.
El volumen que queda entre los cuerpos es la diferencia entre el volumen del
cubo menos el volumen del cono.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
1
V = Vcubo − Vcono ⇒ V = a 3 − · π · r 2 · h
3
1
V = 63 − ·3,14·32 ·6 = 216 − 56,52 = 159, 48 ⇒ V = 159, 48 cm3
3
c.
El volumen que queda entre los cuerpos es la diferencia entre el volumen del
cubo menos el volumen de la esfera.
4
V = Vcubo − Vesfera ⇒ V = a 3 − · π · r 3
3
4
V = 83 − ·3,14· 43 = 512 − 267,95 = 244,05 ⇒ V = 244,05 cm3
3
d.
El volumen que queda entre los cuerpos es la diferencia entre el volumen del
cilindro grande menos la suma del volumen del cilindro pequeño y el volumen
del cono.
1


V = Vcilindro grande − (Vcilindro pequeño + Vcono ) ⇒ V = π · r 2 · h −  π · r 2 · h + · π · r 2 · h 
3


1


V = 3,14· 62 ·12 −  3,14·32 ·6 + ·3,14·32 · 6  = 1356, 48 − (169,56 + 56,52)
3


V = 1356,48 − 226,08 = 1130, 4 ⇒ V = 1130, 4 cm3
EVALUACIÓN
1
El área, en centímetros cuadrados, de un pentágono regular de 16 cm de
lado y que tiene un radio de 13,61 cm es:
a. 120,75
b. 180
c. 440,42
d. 290,23
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la apotema del pentágono:
ap = 13,612 − 82 = 185,23 − 64 = 121,23 = 11,01 ⇒ ap = 11,01 cm
Apentágono =
P · ap
5 ·16·11,01
⇒ Apentágono =
= 440, 4 ⇒ Apentágono = 440, 4 cm 2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
2
El área, en decímetros cuadrados, de un sector circular de 100º de amplitud
y 6 dm de radio es:
a. π
b. 10π
Asector circular =
3
c. 20π
d. 30π
π · r 2 · Aˆ
π ·62 ·100º
⇒ Asector circular =
= 10π ⇒ Asector circular = 10π dm2
360º
360º
El área, en metros cuadrados, de un trapecio circular de 90º de amplitud y
cuyos radios miden 5 m y 3 m, respectivamente, es:
a. π
b. 2π
c. 3π
d. 4π
π ·(R 2 − r 2 )· Aˆ
π ·(52 − 32 )·90º
⇒ Atrapecio circular =
= 4π
360º
360º
= 4 π m2
Atrapecio circular =
Atrapecio circular
4
El área, en centímetros cuadrados, de un prisma heptagonal regular de 10 cm
de arista básica, 10,38 cm de apotema básica y 7 cm de altura es:
a. 1 120,44
b. 1 216,6
c. 620,01
Atotal = 2· Abase + Alateral ⇒ Atotal = 2·
Atotal = 2·
5
d. 820,93
P · ap
+ P ·h
2
7·10·10,38
+ 7·10·7 = 726,6 + 490 = 1216,6 ⇒ Atotal = 1216,6 cm2
2
El volumen, en centímetros cúbicos, de una pirámide cuadrangular regular
de 4 cm de arista básica y 12 cm de apotema es:
a. 63,1
b. 79,8
c. 46,2
d. 82,5
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura de la pirámide:
h = 122 − 22 = 140 = 11,83 ⇒ h = 11,83 cm
1
1
Vpirámide = · Abase · h ⇒ Vpirámide = · 4 2 · 11,83 = 63,09 ⇒ Vpirámide = 63,09 cm3
3
3
6
El área, en centímetros cuadrados, de una esfera de 20 cm de diámetro es:
a. 100π
b. 200π
c. 400π
d. 800π
Aesfera = 4· π· r 2 ⇒ Aesfera = 4· π·102 = 400π ⇒ Aesfera = 400π cm2
7
El área, en metros cuadrados, de un cilindro de 1 m de radio y 3 m de altura es:
a. 5π
b. 8π
c. 10π
d. 12π
Acilindro = 2· π· r ·(r + h) ⇒ Acilindro = 2· π·1·(1 + 3) = 8π ⇒ Acilindro = 8π m2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
8
El volumen de la siguiente figura es:
a. 124,27 cm3
b. 34,25 cm3
c. 39,58 cm3
d. 42,87 cm3
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la altura del cono:
h = 5 2 − 1,5 2 = 22,75 = 4,77 ⇒ h = 4,77 cm
4
· π· r 3
Vesfera
1
3
V=
+ Vcilindro + Vcono ⇒ V =
+ π· r 2 · h + · π· r 2 · h
2
2
3
4
·3,14·33
1
V= 3
+ 3,14·1,52 ·8 + ·3,14·1,52 · 4,77
2
3
V = 56,52 + 56,52 + 11,23 = 124,27 ⇒ V = 124,27 cm3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 6. Semejanza
2
Unidad 6. Semejanza
SOLUCIONES PÁG. 141
1
Halla las longitudes desconocidas en las siguientes figuras aplicando el
teorema de Tales:
a.
1,12 1,06
=
⇒ x = 1,5 ⇒ x = 1,5 cm
x
1, 42
b.
1
x
=
⇒ x = 1,95 cm
0,93 1,81
1,95 2,63
=
⇒ y = 2,44 cm
1,81
y
0,93 1,81
=
⇒ z = 0,88 cm
z
1,72
c.
1,5 1,5 + 4,5
1,5
6
=
⇒
=
⇒ x = 3 cm
1
1+ x
1 1+ x
1,5 6
= ⇒ y = 2, 4 cm
0,6 y
1,5 1,5 + 4,5 + 3
1,5
9
=
⇒
=
⇒ z = 2 cm
1
1+ 3 + z
1 4+z
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
2
Determina el cuarto proporcional a los siguientes segmentos:
a. 2, 3, 5
2 5
15
= ⇒x=
= 7,5
3 x
2
b. 10, 9, 15
10 15
135 27
=
⇒x=
=
= 13,5
9
x
10
2
c. 5, 6, 6
5 6
36
= ⇒x=
= 7,2
6 x
5
d. 50, 12, 30
50 30
360 36
=
⇒x=
=
= 7,2
12
x
50
5
3
Utilizando el teorema de Tales, construye el cuarto proporcional a los
segmentos de longitudes 4 cm, 10 cm y 5 cm.
4 5
10·5
= ⇒x=
⇒ x = 12,5
10 x
4
4
Divide el segmento AB , de 30 cm de longitud, en tres segmentos
proporcionales a los segmentos que tienen por longitud 2 cm, 4 cm y 5 cm,
respectivamente.
30
=
11
30
=
11
30
=
11
x
30·2
⇒x=
⇒ x = 5,45
2
11
y
30· 4
⇒y =
⇒ y = 10,91
4
11
z
30·5
⇒z=
⇒ z = 13,64
5
11
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
5
Aplicando el teorema de Tales, divide el segmento AB de 10 cm de longitud
en cinco partes iguales.
1. Situamos el segmento AB de longitud 10 cm y una semirrecta que concurra
con dicho segmento en el punto A.
2. Se dibujan 5 segmentos iguales en la semirrecta, uniendo el extremo del último
segmento con el punto B.
3. Se trazan paralelas para obtener las 5 divisiones en el segmento AB .
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
6
Si dibujas un triángulo y trazas una paralela a uno de los lados que corte
dicho triángulo, ¿cómo son los lados del nuevo triángulo respecto al
triángulo original? Justifica tu respuesta una vez dibujada dicha situación.
Al trazar una paralela a uno de los lados del triángulo ABC se obtiene otro
triángulo ADE
Por el teorema de Tales dos rectas que cortan a rectas paralelas delimitan
segmentos proporcionales, por lo que el triángulo ADE es proporcional al
triángulo original ABC , cumpliéndose que:
AB BC AC
=
=
AD DE AE
7
Calcula los lados desconocidos de la siguiente figura:
Los tres triángulos formados son semejantes.
u = 6 cm, ya que es igual a DE .
w = 5,1 cm, ya que es igual a BD .
y
8
8·6
=
⇒y=
= 4,8 ⇒ y = 4,8 cm
6 6+4
10
z = 8 – 4,8 = 3,2 ⇒ z = 3,2 cm
x = 6 + 4 = 10 ⇒ x = 10 cm
v 5,1 + v
=
⇒ 10v = 6·(5,1 + v ) ⇒ v = 7,65 cm
6
6+4
8
Visualiza el siguiente vídeo en clase, en el que el conjunto musical Les
Luthiers explica el teorema de Tales cantando. Después de verlo, comentad
en grupos qué elementos matemáticos aparecen en el vídeo aparte del
citado teorema.
https://www.youtube.com/watch?v=Q8F538tA-jI
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
SOLUCIONES PÁG. 143
9
Indica si las siguientes figuras son o no semejantes:
a.
Sí son semejantes.
b.
Son semejantes el triángulo de la izquierda y el de la derecha.
10 Mide las figuras semejantes de la actividad anterior e indica su razón de
semejanza.
a.
r=
1,5 15
=
= 1,36
1,1 11
b.
r=
5
= 1,25
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
11 Construye dos figuras semejantes a la siguiente, con razones de semejanza
r = 0,5 y r’ = 1,5, respectivamente, mediante el método de proyección.
•
Con r = 0,5
•
Con r = 1,5
12 Un dibujo cuyas medidas son 10 × 8 cm se reduce al 60 % en una
fotocopiadora.
a. ¿Será el dibujo resultante semejante? ¿Cuáles serán sus dimensiones
finales? ¿Y la razón de semejanza?
Sí será semejante, porque el dibujo será igual pero de distinto tamaño. Al
reducir un 60 %, las nuevas dimensiones serían de 6 cm × 4,8 cm. La razón de
semejanza es r = 0,6.
b. Contesta a las preguntas del apartado anterior considerando que en lugar
de una reducción se ha realizado una ampliación del 112 %.
En este caso, al ampliar al 112 %, las dimensiones del dibujo ampliado serían
de 11,2 cm × 8,96 cm. La razón de semejanza es r = 1,12.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
13 El plano de esta habitación está realizado a escala 1:60. Calcula las medidas
reales de la habitación.
1
60
1
60
1
60
1
60
1
60
3
⇒ x = 180 cm = 1,8 m
x
8
= ⇒ x = 480 cm = 4,8 m
x
10
=
⇒ x = 600 cm = 6 m
x
5
= ⇒ x = 300 cm = 3 m
x
7
= ⇒ x = 420 cm = 4,2 m
x
=
14 Contesta a las siguientes preguntas:
a. ¿Son todos los círculos figuras semejantes? ¿Cómo se calcula su razón
de semejanza?
Sí, todos los círculos son figuras semejantes al tener la misma forma y su razón
de semejanza es la razón entre los radios.
b. ¿Qué condición necesaria ha de cumplirse para que un polígono regular
sea semejante a otro?
Para que un polígono regular sea semejante a otro tienen que tener el mismo
número de lados.
SOLUCIONES PÁG 145
15 Indica si los siguientes triángulos son semejantes. Si no lo son, corrige los
datos para que lo sean.
a. Un triángulo que tiene lados de 4 cm, 6 cm y 8 cm y otro triángulo que
tiene lados de 10 cm, 15 cm y 20 cm.
Sí son semejantes, ya que
10 15 20
=
=
= 2,5
4
6
8
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
b. Un triángulo con ángulos de 45° y 60° y otro triángulo con ángulos de 45° y
85°.
No son semejantes, ya que los ángulos del primer triángulo son 45°, 60° y
180° – (45° + 60°) = 75°, y los del segundo son 45°, 85° y 180° – (45° + 85°) = 50°.
Para que fueran semejantes los triángulos tendrían que tener los ángulos
iguales entre sí.
c. Un triángulo con dos lados de 8 cm y 6 cm que forman un ángulo de 30° y
otro triángulo dos de cuyos lados miden 9 cm y 8 cm y que también
forman un ángulo de 30°.
No son semejantes porque, aunque el ángulo es igual, los lados no son
semejantes.
d. Un triángulo con un ángulo de 78° y otro de 34° y otro triángulo con un
ángulo de 68° y otro de 34°.
Sí son semejantes ya que tienen los mismos ángulos: 78°, 34° y 68°.
e. Un triángulo cuyos lados miden 9 cm, 12 cm y 30 cm y otro triángulo que
tiene lados de 10 cm, 18 cm y 45 cm.
No son semejantes porque:
45 18
10
=
= 1,5 ≠
= 1,1
30 12
9
f. Un triángulo con lados de 2 cm, 3 cm y 5 cm y otro triángulo cuyos lados
4
cm.
miden 50 cm, 3 2 cm y
2
Sí son semejantes porque:
50 = 5 2 
5 2 3 2 2 2
=
=
= 2 , siendo r =

4
3
2
=2 2  5
2

2 .
16 Dibuja en tu cuaderno los siguientes triángulos colocándolos en posición de
Tales y calcula los lados que son desconocidos:
⇒
3,5 x 4
=
=
7,7 11 y
3,5 x
=
⇒ x = 5 cm
7,7 11
3,5 4
= ⇒ y = 8,8 cm
7,7 y
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
17 Indica por qué los siguientes triángulos son semejantes y halla las medidas
desconocidas:
Son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales.
7,5 8,8 2,2
=
=
4,5
y
x
7,5 8,8
⇒ y = 5,28 cm
=
4,5
y
7,5 2,2
=
⇒ x = 1,32 cm
4,5
x
18 Investiga en Internet cómo solucionó Tales el siguiente problema y prepara,
junto con tu compañero, una presentación en la que expliquéis dicha
resolución.
Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por
los barcos enemigos, el ejército recurrió a Tales, ya que necesitaba saber a
qué distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.
Respuesta abierta.
19 Una torre proyecta una sombra de 30 m. Si a la misma hora un árbol de 2 m
de altura arroja una sombra de 60 cm, ¿qué altura tiene la torre?
0,6 2
60
= ⇒x=
= 100
30 x
0,6
La torre tiene una altura de 100 m.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
20 Daniel se sitúa a 90 cm del borde de un acantilado. Desde ahí, su visual une
dicho borde con la posición de un barco que se encuentra a 100 m del
acantilado. Si Daniel mide 1,35 m, ¿qué altura tiene el acantilado?
1,35 0,9
135
=
⇒x=
= 150
x
100
0,9
El acantilado tiene una altura de 150 m.
SOLUCIONES PÁG. 147
21 Calcula las medidas desconocidas de los siguientes triángulos, utilizando
los teoremas del cateto, de la altura y de Pitágoras:
a.
m = a – n ⇒ m = 15 – 3 = 12 ⇒ m = 12 cm
h2 = m · n ⇒ h = m·n ⇒ h = 12·3 = 6 ⇒ h = 6 cm
c 2 = a · n ⇒ c = a · n ⇒ c = 15 · 3 = 6,71 ⇒ c = 6,71 cm
b2 = a · m ⇒ b = a · m ⇒ b = 15 · 12 = 13,42 ⇒ b = 13,42 cm
b.
h2 = c 2 − n2 ⇒ h = c 2 − n2 ⇒ h = 52 − 42 = 3 ⇒ h = 3 cm
c2
52
c2 = a · n ⇒ a =
⇒a =
= 6,25 ⇒ a = 6,25 cm
n
4
m = a – n ⇒ m = 6,25 – 4 = 2,25 ⇒ m = 2,25 cm
b2 = a · m ⇒ b = a · m ⇒ b = 6,25 · 2,25 = 3,75 ⇒ b = 3,75 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
c.
a2 = b2 + c 2 ⇒ a = 82 + 62 ⇒ a = 10 ⇒ a = 10 cm
c2
62
c2 = a · n ⇒ n =
⇒n =
= 3,6 ⇒ n = 3,6 cm
a
10
b2
82
b2 = a · m ⇒ m =
⇒m =
= 6, 4 ⇒ m = 6,4 cm
a
10
h2 = m · n ⇒ h = m·n ⇒ h = 6,4·3,6 = 4,8 ⇒ h = 4,8 cm
22 Un triángulo rectángulo de 60 cm2 de área tiene un cateto que mide 8 cm.
¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?
Se calcula la longitud del lado b:
Atriángulo ·2
b·c
60· 2
Atriángulo =
⇒b=
⇒b=
= 15 ⇒ b = 15 cm
2
c
8
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa:
a2 = b2 + c 2 ⇒ a = 152 + 82 ⇒ a = 17 ⇒ a = 17 cm
Se calcula el valor de n:
c2
82
c2 = a · n ⇒ n =
⇒n =
= 3,76 ⇒ n = 3,76 cm ⇒ n = 3,76 cm
a
17
m= a – n ⇒ m = 17 – 3,76 = 13,24 ⇒ m = 13,24 cm
Por último, se halla la altura sobre la hipotenusa:
h2 = m · n ⇒ h = m·n ⇒ h = 13,24·3,76 = 49,78 = 7,06
La altura sobre la hipotenusa mide 7,06 cm.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
23 Halla el perímetro y el área de la siguiente figura, utilizando los teoremas del
cateto y de la altura:
c2 = a · n ⇒ c =
a· n⇒c=
15 · 5,4 = 9 ⇒ c = 9 cm
b = a · m ⇒ b = a · m ⇒ b = 15 · 9,6 = 12 ⇒ b = 12 cm
P = 2 · b + 2 · c ⇒ P = 2 · 12 + 2 · 9 = 42 ⇒ P = 42 cm
Arectángulo = b · c ⇒ Arectángulo = 12·9 = 108 ⇒ Arectángulo = 108 cm2
2
SOLUCIONES PÁG. 149
24 Un hexágono regular de 2 cm de lado y 1,73 cm de apotema es semejante a
otro hexágono regular de 41,52 cm2 de área.
a. ¿Cuál es la razón de semejanza?
Se halla el área del hexágono semejante, A’:
P · ap
6· 2·1,73
A 'hexágono =
⇒ A 'hexágono =
= 10,38 ⇒ A 'hexágono = 10,38 cm2
2
2
La razón de semejanza entre las áreas de figuras semejantes es el cuadrado
de la razón de semejanza:
A'
10,38
1
1
= r2 ⇒
= r2 ⇒ = r2 ⇒ r =
A
41,52
4
2
b. ¿Cuál es el lado de la segunda figura?
La razón de semejanza entre los lados coincide con la razón de semejanza:
l'
l'
2
= r ⇒ l = ⇒ l = = 4 ⇒ l = 4 cm
1
l
r
2
c. Halla el perímetro de las dos figuras, comprobando su relación de
semejanza.
P = 6· 4 = 24  P ' 12 1
=
= =r

P ' = 6·2 = 12 P 24 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
25 Un ortoedro cuyas aristas miden 5 cm, 10 cm y 15 dm, respectivamente, es
semejante a otro ortoedro de 24,576 m3 de volumen. ¿Cuáles son las
dimensiones de este segundo ortoedro?
Se halla el volumen del ortoedro semejante, V’:
V 'ortoedro = 1,5·0,1·0,05 = 0,0075 m3
La razón de semejanza entre los volúmenes de figuras semejantes es el cubo de
la razón de semejanza:
V'
V'
0,007 5 3
= r3 ⇒ r = 3
⇒r =3
= 0,0003 = 0,067 ⇒ r = 0,067
V
V
24,576
a' b' c'
0,05 0,1 1,5
=
= =r ⇒
=
=
= 0,067
a
b
c
a
b
c
0,05
= 0,067 ⇒ a = 0,75 m
a
0,1
= 0,067 ⇒ b = 1, 49 m
b
1,5
= 0,067 ⇒ c = 22,39 m
c
26 Un prisma pentagonal tiene una base de 60 cm2 de área. Dicho prisma es
semejante a otro de 12 cm de altura y 6,48 dm3 de volumen. ¿Cuál es el
volumen del primer prisma? ¿Qué altura tiene dicho prisma?
Se calcula el área del prisma inicial, A:
V
6 480
V = Abase · h ⇒ Abase = ⇒ Abase =
= 540 ⇒ Abase = 540 cm2
h
12
La razón de semejanza entre las áreas de figuras semejantes es el cuadrado de la
razón de semejanza:
A'
60
1
1
= r2 ⇒
= r2 ⇒ = r2 ⇒ r =
A
540
9
3
La razón de semejanza entre los volúmenes de figuras semejantes es el cubo de
la razón de semejanza:
3
V'
 1
= r 3 ⇒ V ' = V · r 3 ⇒ V ' = 6 480·   = 240 ⇒ V’ = 240 cm3 = 0,24 dm3
V
3
La razón de semejanza entre las alturas coincide con la razón de semejanza:
h'
1
= r ⇒ h ' = r · h ⇒ h ' = ·12 = 4 ⇒ h = 4 cm = 0,4 dm
h
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
27 La siguiente figura es semejante a otra de 2,24 dm3 de volumen.
Sabiendo que el ortoedro de la segunda figura tiene un volumen de 1,6 dm3:
a. ¿Cuál es la razón de semejanza?
Se halla el volumen del ortoedro de la figura:
V 'ortoedro = a · b · c ⇒ V 'ortoedro = 10· 4·5 = 200 ⇒ V 'ortoedro = 200 cm3 = 0,2 dm3
V 'ortoedro
V'
0,2 3
= r 3 ⇒ r = 3 ortoedro ⇒ r = 3
= 0,125 = 0,5 ⇒ r = 0,5
Vortoedro
Vortoedro
1,6
b. ¿Cuál es el volumen de la primera figura?
V'
= r 3 ⇒ V ' = V · r 3 ⇒ V ' = 2,24·0,53 = 0,28 ⇒ V ' = 0,28 dm3
V
c. ¿Cuál es el volumen de ambas pirámides?
Vpirámide = Vfigura – Vortoedro ⇒ Vpirámide = 2,24 – 1,6 = 0,64 ⇒ Vpirámide = 0,64 dm3
V 'pirámide
Vpirámide
= r 3 ⇒ V 'pirámide = r 3 ·Vpirámide ⇒ V 'pirámide = 0,53 ·0,64 = 0,08
V 'pirámide = 0,08 dm3
28 Una figura de 56 cm2 de área es semejante a otra de 207,2 cm2.
a. ¿Cuál es la razón entre las áreas?
A'
56
10
=
=
A 207,2 37
b. ¿Es igual dicha razón que la razón de semejanza entre ambas figuras?
¿Cuál es esta razón de semejanza?
A'
56
10
= r2 ⇒
= r2 ⇒ r =
= 0,27 = 0,52 ⇒ r = 0,52
A
207,2
37
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
SOLUCIONES PÁG. 135
1
Explica en qué consiste el teorema de Tales.
El teorema de Tales afirma que si dos rectas r y s se cortan por un sistema de
paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una
de ellas son proporcionales a los determinados por los segmentos
correspondientes en la otra.
2
¿Qué condiciones tienen que darse para que dos figuras sean semejantes?
Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y los lados
homólogos proporcionales.
3
¿Qué significa que dos triángulos están en posición de Tales? ¿Qué
consecuencia tiene que estén en dicha posición?
Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común, α, y los
lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Si dos triángulos están en posición
de Tales, entonces son semejantes.
4
Enuncia el teorema del cateto e indica qué teorema puede ser demostrado a
partir de él.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su
hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa:
b2 = a · m
5
c2 = a · n
Aplica el teorema del cateto para obtener los catetos de un triángulo
rectángulo cuyas proyecciones sobre la hipotenusa son de 8 cm y 4,5 cm.
b2 = a · m ⇒ b = 12,5 · 8 ⇒ b = 10 cm
c 2 = a · n ⇒ c = 12,5 · 4,5 ⇒ c = 56,25 = 7,5 ⇒ c = 7,5 cm
6
Enuncia el teorema de la altura y aplícalo para calcular la altura de un
triángulo las proyecciones de cuyos catetos sobre la hipotenusa son de 8 cm y
10 cm.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotensa es igual al
producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa:
h2 = m · n ⇒ h = m·n ⇒ h =
8·10 = 80 = 8,94 ⇒ h = 8,94 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
7
¿Puede ser un triángulo rectángulo semejante a un triángulo isósceles? ¿Y a
un triángulo equilátero?
Un triángulo rectángulo puede ser semejante a un triángulo isósceles si los
ángulos iguales son de 45º. Pero no puede ser semejante a un triángulo equilátero
porque este tiene todos sus ángulos iguales a 60º.
8
1
, ¿cómo
2
es su perímetro? ¿Y su área? ¿Y si la razón de semejanza fuera r = 2?
Si una figura es semejante a otra con una razón de semejanza r =
1
, el perímetro sería la mitad y su área un cuarto del área del original. Si r = 2,
2
el perímetro sería el doble y su área sería cuatro veces más grande que el área
del original.
Si r =
9
Prepara una presentación digital para tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Glogster...
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 152 - REPASO FINAL
TEOREMA DE TALES
1
Averigua el cuarto proporcional de los siguientes números:
a. 5, 7, 6
5 6
42
= ⇒x=
= 8, 4
7 x
5
b. 12, 8, 4
12 4
32
= ⇒x=
= 2,67
8 x
12
c. 20, 72, 5
20 5
360
= ⇒x=
= 18
72 x
20
d. 93, 57, 31
93 31
1767
=
⇒x=
= 19
57 x
93
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
2
Construye el cuarto proporcional a los números 5, 8 y 10 utilizando el
teorema de Tales.
5 10
8·10
=
⇒x=
⇒ x = 16
8 x
5
3
Calcula, mediante el teorema de Tales, las medidas que se desconocen de la
siguiente figura:
4 6
= ⇒ x = 9 cm
6 x
4 y
=
⇒ y = 8 cm
6 12
FIGURAS SEMEJANTES
4
Es característico de los rectángulos áureos que, si se corta el cuadrado de
su lado menor, se obtiene otro rectángulo semejante. ¿Cuál es la razón entre
las longitudes de un rectángulo áureo?
Nota: puedes utilizar un rectángulo cuyo lado pequeño mida 1 m de longitud.
El rectángulo ABCD es áureo y sus dimensiones son x de ancho e y de largo.
Se corta el cuadrado de su lado menor y se obtiene el rectángulo EBCF, que es
semejante a él.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
La razón de semejanza es:
y
x
=
⇒ y ·( y − x ) = x 2 ⇒ y 2 − xy − x 2 = 0
x y−x
y=
−( − x ) ± ( − x )2 − 4·1·( − x 2 ) x ± x 2 + 4 x 2
−b ± b 2 − 4ac
⇒y =
=
=
2a
2·1
2
x ± 5x2 x ± x 5
=
2
2
Se toma la solución positiva, al tratarse de una distancia, con lo que la razón de
semejanza es:
=
r=
5
x
x
2x
2
, que es la inversa del número de oro.
=
⇒r =
=
y x±x 5
1+ 5
x · 1+ 5
2
(
)
Una ciudad, A, está separada 15 cm en un mapa de otra ciudad, B. Si en la
realidad distan entre sí 210 km, ¿cuál es la escala del mapa?
15
1
=
21 000 000 1 400 000
La escala es 1 : 1 400 000
6
La maqueta de un bloque de edificios tiene unas dimensiones de
10 cm × 15 cm × 40 cm. Si dicha maqueta está realizada a escala 1:2 000,
¿cuáles son las dimensiones reales de dicho bloque de edificios?
1
10
=
⇒ x = 20 000 cm = 200 m
2 000 x
1
15
=
⇒ x = 30 000 cm = 300 m
2 000 x
1
40
=
⇒ x = 80 000 cm = 800 m
2 000
x
Las dimensiones reales son 200 m × 300 m × 800 m
7
Observa las siguientes fotografías e indica si son semejantes entre sí:
Sí son semejantes, con r = 0,48
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
8
Indica si los siguientes pares de triángulos son semejantes y señala el
criterio de semejanza de triángulos utilizado:
a. Uno cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 10 cm y otro que tiene lados de 26 cm,
31,2 cm y 13 cm.
Sí son semejantes porque todos los lados del segundo triángulo son
proporcionales a los lados del primer triángulo, con razón de semejanza r = 2,6:
31,2 26 13
=
=
= 2,6
12
10 5
Criterio 1: dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.
b. Uno con ángulos de 62° y 56° y otro con ángulos de 62° y 62°.
Sí son semejantes porque los ángulos de los dos triángulos son iguales, siendo
sus amplitudes 62º, 56º, 62º.
Criterio 2: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son
iguales.
c. Uno con un lado de 5 cm y otro de 6 cm que forman un ángulo de 30° y
otro con un lado de 16 cm y otro de 19 cm que forman el mismo ángulo.
No son semejantes ya que los lados que tienen el ángulo común no son
proporcionales:
16 19
≠
5
6
Criterio 3: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados
que forman dicho ángulo son proporcionales.
9
Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras:
a.
3 4 a c
= =
=
b c 10 d
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el lado a:
a2 = 42 + 32 ⇒ a = 25 ⇒ a = 5 cm
3 a
3 5
=
⇒ =
⇒ b = 6 cm
b 10
b 10
3 4
3 4
= ⇒ = ⇒ c = 8 cm
b c
6 c
5 c
5 8
= ⇒
= ⇒ d = 16 cm
10 d
10 d
P = 3 + 16 + (3 + 6) + 10 + 4 = 42 cm
El área total es la suma del área del rectángulo y del triángulo:
Arectángulo = b · h ⇒ A = 16 · 3 = 48
b· h
8· 6
Atriángulo =
⇒ Atriángulo =
= 24
2
2
Atotal = 48 + 24 = 72 cm2
b.
9 y x
= =
3 4 z
9 y
36
= ⇒y =
= 12 cm
3 4
3
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa, z:
z 2 = 42 + 32 ⇒ z = 25 ⇒ z = 5 cm
9 x
9 x
45
= ⇒ = ⇒x=
= 15 cm
3 z
3 5
3
P = 15 + 12 + 3 + 5 + 4 + 9 = 48 cm
El área total es la suma del área de los dos triángulos:
b·h
9·12
Atriángulo superior =
⇒ Atriángulo superior =
= 54
2
2
b· h
3· 4
Atriángulo inferior =
⇒ Atriángulo inferior =
=6
2
2
Atotal = 54 + 6 = 60 cm2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
10 Ana se sitúa a 1,2 m del borde de la piscina de sus padres, de modo que su
visual desde una altura de 0,9 m une el borde de la piscina con la línea del
fondo del lado contrario. Si la piscina tiene 4 m de ancho, ¿cuánto tendrá de
profundidad?
0,9 1,2
3,6
=
⇒x=
=3
x
4
1,2
La profundidad de la piscina es de 3 m.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
11 Indica si son semejantes los siguientes triángulos rectángulos:
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa del triángulo mayor:
a2 = 13,82 + 18,42 ⇒ a = 190,44 + 338,56 = 529 ⇒ a = 23
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar el cateto menor del triángulo
pequeño:
102 = 82 + c 2 ⇒ c = 102 − 82 = 36 ⇒ c = 6
Se aplica la relación de semejanza:
13,8 18, 4 23
=
=
6
8
10
Sí son semejantes, ya que sus lados son proporcionales.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
SOLUCIONES PÁG. 153
12 Fíjate en el triángulo rectángulo y halla los datos que faltan en los siguientes
casos:
a. Los catetos miden c = 15 cm y b = 20 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa, a:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a = b 2 + c 2 ⇒ a = 152 + 202 = 25 ⇒ a = 25 cm
Se aplica el teorema del cateto para hallar el valor de m:
b2
202
b2 = a · m ⇒ m =
⇒m =
= 16 ⇒ m = 16 cm
a
25
Se averigua el valor de n:
n = a – m ⇒ n = 25 – 16 = 9 ⇒ n = 9 cm
Se aplica el teorema de la altura para hallar la altura, h:
h2 = m·n ⇒ h = 16·9 = 12 ⇒ h = 12 cm
b. La hipotenusa mide a = 30 cm, y la proyección de uno de sus catetos, m = 10,8 cm.
Se averigua el valor de n:
n = a – m ⇒ n = 30 – 10,8 = 19,2 ⇒ n = 19,2 cm
Se aplica el teorema de la altura para hallar la altura, h:
h2 = m·n ⇒ h = 10,8·19,2 = 207,36 = 14,4 ⇒ h = 14, 4 cm
Se aplica el teorema del cateto para hallar los valores de b y c:
b2 = a · m ⇒ b = a · m ⇒ b = 30 · 10,8 = 18 ⇒ b = 18 cm
c2 = a · n ⇒ c =
a· n⇒c =
30 · 19,2 = 24 ⇒ c = 24 cm
c. Un cateto mide c = 10,5 cm, y la proyección de dicho cateto sobre la
hipotenusa, n = 6,3 cm.
Se aplica el teorema del cateto para hallar la hipotenusa, a:
c2
10,52
c2 = a · n ⇒ a =
⇒a=
= 17,5 ⇒ a = 17,5 cm
n
6,3
Se averigua el valor de m:
m = a – n ⇒ m = 17,5 – 6,3 = 11,2 ⇒ m = 11,2 cm
Se aplica el teorema del cateto para hallar b:
b2 = a · m ⇒ b = a · m ⇒ b = 17,5 · 11,2 = 14 ⇒ b = 14 cm
Se aplica el teorema de la altura para hallar la altura, h:
h2 = m·n ⇒ h = 11,2· 6,3 = 70,56 = 8, 4 ⇒ h = 8,4 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
d. La altura mide h = 5,04 cm, y una de las proyecciones de los catetos, 3,78 cm.
Consideramos que n = 3,78 cm.
Se aplica el teorema de la altura para hallar la otra proyección, m:
h2
5,042
h2 = m·n ⇒ m =
⇒m=
= 6,72 ⇒ m = 6,72 cm
n
3,78
La hipotenusa, a, mide:
a = m + n ⇒ a = 6,72 + 3,78 = 10,5 ⇒ a = 10,5 cm
Se aplica el teorema del cateto para hallar los valores de b y c:
b2 = a · m ⇒ b = a · m ⇒ b = 10,5 · 6,72 = 70,56 = 8, 4 ⇒ b = 8, 4 cm
c2 = a · n ⇒ c =
a· n⇒c =
10,5 · 3,78 = 39,69 = 6,3 ⇒ c = 6,3 cm
RELACIÓN ENTRE PERÍIMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
SEMEJANTES
13 La siguiente figura es semejante a otra que tiene un área de 474 dm2:
a. ¿Cuál es la razón de semejanza?
Se halla el área de esta figura. Para ello, se averiguan los valores de a y c en el
triángulo.
Se aplica el teorema del cateto para hallar a:
b2
92
b2 = a · m ⇒ a =
⇒a=
= 15 ⇒ a = 15 cm
m
5,4
Se aplica el teorema de Pitágoras para averiguar el valor del cateto c:
a2 = b2 + c 2 ⇒ c = a2 − b2 ⇒ c = 152 − 92 = 12 ⇒ c = 12 cm
Se averigua el valor de d aplicando el teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = d2 + c 2 ⇒ d = hipotenusa2 − c 2 ⇒ d = 372 − 122 = 35
d = 35 cm
El área de la figura es la suma del área del rectángulo:
b·c
9 · 12
A 'total = Arectángulo + Atriángulo ⇒ A 'total = d·c +
⇒ A 'total = 35·12 +
= 474
2
2
A 'total = 474 cm2 = 4,74 dm2
La razón de semejanza entre las áreas de figuras semejantes es el cuadrado
de la razón de semejanza:
A'
4,74
1
1
= r2 ⇒
= r2 ⇒
= r2 ⇒ r =
A
474
100
10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
b. ¿Cuál sería el perímetro de ambas figuras?
P’ = d + a + b + d + c ⇒ P’ = 35 + 15 + 9 + 35 + 12 = 106 ⇒ P’ = 106 cm
La razón de semejanza entre los perímetros coincide con la razón de
semejanza:
P'
P'
106
=r ⇒P =
⇒P =
= 1 060 ⇒ P = 1 060 cm
1
P
r
10
14 Un prisma hexagonal cuya base tiene un área de 60 cm2 es semejante a otro
prisma hexagonal con un volumen de V = 1 320 cm3.
a. Si la razón de semejanza es r = 2, ¿cuál es el área de la base del segundo
prisma?
La razón de semejanza entre las áreas de figuras semejantes es el cuadrado
de la razón de semejanza:
A'
A'
60
= r 2 ⇒ A = 2 ⇒ A = 2 = 15 ⇒ A = 15 cm2
A
r
2
b. ¿Cuál es la altura del segundo prisma?
Vprisma = Abase · h ⇒ h =
Vprisma
Abase
⇒h=
1320
= 88 ⇒ h = 88 cm
15
c. Halla el volumen del primer prisma.
V'
= r 3 ⇒ V ' = V · r 3 ⇒ V ' = 1 320·23 = 10 560 ⇒ V ' = 10 560 cm3
V
EVALUACIÓN
1
Las medidas que faltan en la siguiente figura son:
a. x = 7,07 cm; y = 2,16 cm
b. x = 5,11 cm; y = 11 cm
c. x = 7,07 cm; y = 11 cm
d. x = 5,11 cm; y = 2,16 cm
x
4,87
y
=
=
6,01 5,73 2,54
x
4,87
=
⇒ x = 5,11 m
6,01 5,73
4,87
y
⇒ y = 2,16 m
=
5,73 2,54
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
2
Un triángulo con lados de 8 cm, 15 cm y 17 cm es semejante a otro triángulo
que es la mitad de un rectángulo de 22,5 cm de largo. La razón de semejanza es:
a. r = 2
b. r = 0,67
c. r = 1,5
d. r = 2,5
En el triángulo, el lado de 15 cm sería semejante al largo de dicho rectángulo, por
lo que:
l'
15
=r ⇒r =
= 0,67
l
22,5
3
Si un árbol de 4,5 m de altura proyecta una sombra de 6 m, la longitud de la
sombra que arroja a la misma hora otro árbol que mide 18 m es:
a. 13,5 m
b. 24 m
c. 1 m
d. 10 m
4,5 18
=
⇒ x = 24 m
6
x
4
Se quiere medir la distancia entre dos acantilados. Considerando las
siguientes medidas, dicha distancia es:
a. 96,4 m
b. 124 m
c. 1,205 km
d. 2,3 km
400 1000
=
⇒ x = 1205 m = 1,205 km
482
x
5
Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo son de 7,2 cm y 12,8 cm, respectivamente. La longitud de la
altura sobre la hipotenusa es:
a. 9,6 cm b. 4,8 cm
c. 92,16 cm
d. 46,08 cm
h2 = m·n ⇒ h = 12,8·7,2 = 92,16 = 9,6 ⇒ h = 9,6 cm
6
Dos romboides semejantes tienen una razón r = 2,5. Si el primero tiene una
base de 4,6 cm y una altura de 3,5 cm, el área del segundo romboide es:
a. 40,25 cm2
b. 6,44 cm2
c. 50,312 5 cm2
d. 100,625 cm2
A = b · h ⇒ A = 4,6·3,5 = 16,1 ⇒ A = 16,1 cm2
La razón de semejanza es 2,5, por lo que el área del segundo romboide es:
A'
= r 2 ⇒ A ' = r 2 · A ⇒ A ' = 2,52 ·16,1 = 100,625 ⇒ A ' = 100,625 cm2
A
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 7. Trigonometría
2
Unidad 7. Trigonometría
SOLUCIONES PÁG. 156
1
Indica cuántos grados equivalen a los siguientes radianes:
a.
2π
rad
5
2π
180º
rad ·
= 72º
5
π rad
b. 3,5 rad
3,5 rad ·
c.
180º
= 200,54º
π rad
2π
rad
3
2π
180º
rad ·
= 120º
3
π rad
d. 1,5 rad
1,5 rad ·
2
180º
= 85,94º
π rad
Expresa en radianes estos ángulos:
a. 20º
20º·
π rad π
= rad
180º 9
b. 135º
135º·
π rad 3π
=
rad
180º
4
c. 210º
210º·
π rad 7π
=
rad
180º
6
d. 570º
570º·
3
π rad 19 π
=
rad
180º
6
¿Cuántos grados sexagesimales equivalen a un radián? ¿Cuántos radianes
son un grado sexagesimal?
π rad
3,1416 rad 1 rad
⇒
=
⇒ x = 57,3º . Un radian equivale a 57,3º.
180º
180º
x
π rad
3,1416 rad x rad
⇒
=
⇒ x = 0,02 rad . Un grado equivale a 0,02 rad.
180º
180º
1º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
4
¿Qué es mayor: un grado sexagesimal o un radián?
3,1416 rad 1 rad
=
⇒ x = 57,3º
180º
x
Un radian equivale a 57,3º, por lo tanto es mayor un radián que un grado
sexagesimal.
5
Dos de los ángulos de un triángulo miden 60° y 0,2π rad, respectivamente.
Halla el ángulo desconocido e indica la medida de los tres ángulos de este
triángulo tanto en grados sexagesimales como en radianes.
180º
= 36º
π rad
El tercer ángulo mide: 180º – (60º + 36º) = 84º
0,2π rad ·
Los tres ángulos en grados sexagesimales miden 60º, 36º y 84º, y en radianes
miden:
π rad π
60º·
= rad
180º 3
0,2π rad
π rad 7π
84º·
=
rad
180º 15
6
Investigad en Internet quién fue Hiparco de Nicea y haced una presentación
en grupo sobre las aportaciones que realizó en el campo de la trigonometría.
Respuesta abierta.
7
Calcula el ángulo interior de un hexágono, en grados y en radianes.
En un hexágono regular, el ángulo central mide
mide el doble, 120º =
360º
= 60º . El ángulo interior
6
2π
rad.
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
SOLUCIONES PÁG. 157
8
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos pertenecientes a
los triángulos rectángulos de los que se conocen los siguientes datos:
a. Tiene un cateto contiguo de 10,5 cm y una hipotenusa de 37,5 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b = a 2 − c 2 ⇒ b = 37,52 − 10,52 ⇒ b = 36 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
36
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,96
hipotenusa
37,5
cateto contiguo
10,5
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,28
hipotenusa
37,5
cateto opuesto
36
• tg α =
⇒ tg α =
= 3,43
cateto contiguo
10,5
1
hipotenusa
37,5
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
= 1,04
sen α
cateto opuesto
36
1
hipotenusa
37,5
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 3,57
cos α
cateto contiguo 10,5
1
cateto contiguo 10,5
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 0,29
tg α
cateto opuesto
36
b. Tiene un cateto contiguo de 4,5 cm y un cateto opuesto de 20 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a = b 2 + c 2 ⇒ a = 202 + 4,52 = 20,5 ⇒ a = 20,5 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
Para el ángulo α:
cateto opuesto
20
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,98
hipotenusa
20,5
cateto contiguo
4,5
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,22
hipotenusa
20,5
cateto opuesto
20
• tg α =
⇒ tg α =
= 4, 44
cateto contiguo
4,5
1
hipotenusa
20,5
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
= 1,03
sen α
cateto opuesto
20
1
hipotenusa
20,5
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 4,56
cos α
cateto contiguo 4,5
1
cateto contiguo 4,5
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 0,23
tg α
cateto opuesto 20
c. Tiene un cateto opuesto de 5 cm y una hipotenusa de 7,25 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b = a 2 − c 2 ⇒ b = 7,252 − 52 = 27,56 ⇒ b = 5,25 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
5
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,69
hipotenusa
7,25
cateto contiguo
5,25
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,72
hipotenusa
7,25
cateto opuesto
5
• tg α =
⇒ tg α =
= 0,95
cateto contiguo
5,25
1
hipotenusa
7,25
⇒ cosec α =
=
= 1, 45
• cosec α =
sen α
cateto opuesto
5
1
hipotenusa
7,25
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,38
cos α
cateto contiguo 5,25
1
cateto contiguo 5,25
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 1,05
tg α
cateto opuesto
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
9
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 12 cm y cuya hipotenusa mide 13 cm.
Para el ángulo α:
cateto opuesto
5
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,38
hipotenusa
13
cateto contiguo
12
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,92
hipotenusa
13
cateto opuesto
5
• tg α =
⇒ tg α =
= 0, 42
cateto contiguo
12
1
hipotenusa
13
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
= 2,6
sen α
cateto opuesto 5
1
hipotenusa
13
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,08
cos α
cateto contiguo 12
1
cateto contiguo 12
⇒ cotg α =
=
= 2,4
• cotg α =
tg α
cateto opuesto
5
Para el ángulo β:
cateto opuesto
12
• sen β =
⇒ sen β =
= 0,92
hipotenusa
13
cateto contiguo
5
• cos β =
⇒ cos β =
= 0,38
hipotenusa
13
cateto opuesto
12
• tg β =
⇒ tg β =
= 2, 4
cateto contiguo
5
1
hipotenusa
13
⇒ cosec β =
=
= 1,08
• cosec β =
sen β
cateto opuesto 12
1
hipotenusa
13
• sec β =
⇒ sec β =
=
= 2,6
cos β
cateto contiguo 5
1
cateto contiguo 5
• cotg β =
⇒ cotg β =
=
= 0, 42
tg β
cateto opuesto 12
10 Demuestra, a partir de la figura, que si se construyen otros triángulos
semejantes al dado, se deduce que las razones trigonométricas de un
ángulo son independientes de las longitudes de sus lados.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
Al ser triángulos semejantes, se cumple que:
 AB' = r· AB

AB' AC' B'C'
=
=
= r ⇒  AC' = r · AC
AB AC BC

B'C' = r ·BC
B'C' r ·BC BC
sen α =
=
=
AB' r · AB AB
cos α =
tg α =
AC' r · AC AC
=
=
AB' r · AB AB
BC' r ·BC BC
=
=
AC' r · AC AC
SOLUCIONES PÁG. 159
11 Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno y en grupo, buscad
alguna regla nemotécnica que os permita recordarla.
Ángulo
30º
45º
60º
Seno
1
2
2
2
3
2
Coseno
3
2
Tangente
3
3
3
1
1
2
3
12 Un cuadrado tiene 6 cm de lado. Halla la diagonal de dicho cuadrado
aplicando las razones trigonométricas; mientras tanto, tu compañero lo
averiguará con ayuda del teorema de Pitágoras. Finalmente, comprobad que
los resultados coinciden.
Aplicando las razones trigonométricas:
2

2  6 = 2 ⇒ d = 12 = 8,49 cm

2
6 d
2
cos 45º =

d 
cos 45º =
Aplicando el teorema de Pitágoras:
d2 = 62 + 62 = 72 = 8, 49 ⇒ d = 8,49 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
13 Un globo aerostático está sujeto con una cuerda tensada de 100 m. ¿A qué
altura del suelo se encontraría el globo si la cuerda formara un ángulo de 30°
con la horizontal del suelo? ¿Y si el ángulo fuera de 45°? ¿Y de 60°?
cateto opuesto
h
1
⇒ sen 30º =
⇒ h = 100·sen 30º = 100· = 50
hipotenusa
100
2
Si forma un ángulo de 30º estará a 50 m.
sen α =
cateto opuesto
h
2
⇒ sen 45º =
⇒ h = 100· sen 45º = 100·
= 70,71
hipotenusa
100
2
Si forma un ángulo de 45º estará a 70,71 m.
sen α =
cateto opuesto
h
3
⇒ sen 60º =
⇒ h = 100· sen 60º = 100·
= 86,60
hipotenusa
100
2
Si forma un ángulo de 60º estará a 86,60 m.
sen α =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
14 Halla el valor de las siguientes expresiones:
a. sen 60° + cos 45° + tg 30° + sec 45°
3
2
3
2
3
2
3
2· 2
3
2
3
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+ 2=
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2· 2
=
3 3 +3 2+2 3 +6 2 5 3 +9 2
=
6
6
b. cos 45° · sen 30° + tg 30° · cotg 30°
2 1
3 3
2 1
3 3 3
2
3
· +
·
=
· +
·
=
+
· 3=
2 2
3
2 2
3
4
3
3
3 3
=
2 3 3 2 + 12 3 ·( 2 + 4)
+ =
=
=
4
3
12
3 ·4
2+4
4
15 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,5 cm, y la hipotenusa, 9 cm.
a. ¿Cuánto miden los ángulos agudos de dicho triángulo?
cos α =
cateto contiguo
4,5 1
⇒ cos α =
= ⇒ α = 60º
hipotenusa
9
2
β = 180º – 90º – 60º = 30º
b. Calcula el valor del otro cateto a partir de las razones trigonométricas del
triángulo.
sen α =
cateto opuesto
x
3
⇒ sen 60º = ⇒ x = 9·
⇒ x = 7,79 cm
hipotenusa
9
2
SOLUCIONES PÁG. 161
16 Indica los signos que tendrán las razones trigonométricas de los ángulos
propuestos, señalando también en qué cuadrante se sitúan.
a. 198º
sen (–), cos (–), tg (+), 3.er cuadrante
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
b.
2π
rad
3
sen (+), cos (–), tg (–), 2.o cuadrante
c. 45º
sen (+), cos (+), tg (+), 1.er cuadrante
d. 294º
sen (–), cos (+), tg (–), 4.o cuadrante
e. 95º
sen (+), cos (–), tg (–), 2.o cuadrante
f.
π
rad
5
sen (+), cos (+), tg (+), 1.er cuadrante
g. 5 rad
sen (–), cos (+), tg (–), 4.o cuadrante
h.
5π
rad
4
sen (–), cos (–), tg (+), 3.er cuadrante
17 Identifica en qué cuadrante se encuentra cada uno de estos ángulos:
a. sen α = 0,8 y cos α = 0,6
Seno y coseno positivos, está en el 1.er cuadrante.
b. sen α = –0,91 y tg α = 2,14
Seno negativo y tangente positiva, está en el 3.er cuadrante.
c. cos α = –0,94 y tg α = 0,36
Coseno negativo y tangente positiva, está en el 3.er cuadrante.
d. sen α = –0,9 y tg α = –2,1
Seno negativo y tangente negativa, está en el 4.o cuadrante.
18 Actividad resuelta.
19 Representa gráficamente estos ángulos en un papel milimetrado y halla sus
razones trigonométricas:
a. 48º
sen 48º = 0,74; cos 48º = 0,67; tg 48º = 1,1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
b. 300º
sen 300º = –0,87; cos 300º = 0,5; tg 300º = –1,73
c. 210º
sen 210º = –0,5; cos 210º = –0,87; tg 210º = 0,58
d. 130º
sen 130º = 0,77; cos 130º = –0,64; tg 130º = –1,19
20 Construye dos circunferencias concéntricas, una de 2 cm de radio y otra de
5 cm de radio. Dibuja un ángulo de 40° en cada una de ellas y determina sus
razones trigonométricas. ¿Qué es lo que ocurre? ¿Qué teorema explica esta
situación?

2


2
 El seno tiene el mismo valor.
2 2
2
Si r = 4 ⇒ sen 45º =
=
4
2 
Si r = 2 ⇒ sen 45º =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12

2


2
 El coseno tiene el mismo valor.
2 2
2
Si r = 4 ⇒ cos 45º =
=
4
2 
Sus razones trigonométricas son las mismas porque se corresponden con el
mismo ángulo, al ser un ángulo agudo de dos triángulos rectángulos semejantes.
Esta situación la explica el teorema de Tales.
Si r = 2 ⇒ cos 45º =
21 ¿Por qué no existe la tangente de 90°? ¿Ocurre lo mismo en el caso del
ángulo de 270°?
La tangente de un ángulo es por definición el cociente del cateto opuesto entre el
1
cateto contiguo. Para el ángulo de 90º, tg 90º = ; como no es posible dividir
0
entre 0, la tangente de 90º no existe. Del mismo modo ocurre con la tangente de
−1
.
270º, ya que tg 270º =
0
22 Los siguientes dibujos se corresponden con los signos de las razones
trigonométricas del seno, el coseno y la tangente, según el cuadrante en el
que se encuentre el ángulo. Identifica cada dibujo con su razón
trigonométrica e indica el que no corresponde a ninguna de ellas.
a.
No se corresponde con ninguna razón trigonométrica porque el signo negativo
del 1.er cuadrante no existe para ninguna razón trigonométrica.
b.
Se corresponde con la tangente.
c.
Se corresponde con el seno.
d.
Se corresponde con el coseno.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
SOLUCIONES PÁG. 163
23 Calcula las razones trigonométricas que faltan en los siguientes ángulos,
sabiendo que son menores de 90°:
a. sen α = 0,71
• cos 2 α + sen 2 α
•
= 1 ⇒ cos 2 α + ( 0, 71) = 1 ⇒ cos 2 α + 0, 5041 = 1 ⇒
2
⇒ cos 2 α = 1 − 0, 5041 ⇒ cos 2 α = 0, 4959 ⇒ cos α =
se n α
0, 71
tg α =
=
= 1, 01
cos α
0, 7 0
0, 4959 = 0, 70
b. tg α = 2,52
•
1 + tg 2 α =
•
tg α =
c. cos α =
•
•
•
•
1
= 0, 37
7, 3504
sen α
sen α
⇒ 2,52 =
⇒ sen α = 2,52 · 0,37 ⇒ sen α = 0,93
cos α
0,37
2
5
1 + tg 2 α =
tg α =
d. cos α =
1
1
1
2
⇒ 1 + ( 2, 52 ) =
⇒ 7, 3504 =
⇒ cos α =
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
1
1
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ 1 + tg 2 α = 6, 25 ⇒ tg α =
2
2
cos α
2
5
 
5, 25 = 2, 29
sen α
sen α
2
⇒ 2, 29 =
⇒ sen α = · 2, 29 ⇒ sen α = 0, 92
2
cos α
5
5
2
3
1 + tg 2 α =
tg α =
1
1
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ 1 + tg 2 α = 2, 25 ⇒ tg α = 1, 25 = 1,12
2
cos 2 α
2
3
 
sen α
sen α
2
⇒ 1,12 =
⇒ sen α = · 1,12 ⇒ sen α = 0, 75
2
cos α
3
3
e. sen α = 0,18
•
cos 2 α + sen 2 α = 1 ⇒ cos 2 α + ( 0,18 ) = 1 ⇒ cos 2 α + 0, 0324 = 1 ⇒
•
⇒ cos 2 α = 1 − 0, 0324 ⇒ cos 2 α = 0, 9676 ⇒ cos α =
sen α
0,18
tg α =
=
= 0,18
cos α
0, 98
2
0, 9676 = 0, 98
f. cos α = 0,2
•
1 + tg 2 α =
•
tg α =
1
1
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ 1 + tg 2 α = 25 ⇒ tg α =
2
cos 2 α
( 0, 2 )
24 = 4, 90
sen α
sen α
⇒ 4,9 =
⇒ sen α = 0,2 · 4,9 ⇒ sen α = 0,98
cos α
0, 2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
g. tg α = 0,61
•
•
1
1
1
⇒ 1 + (0,61)2 =
⇒ cos 2 α =
⇒ cos α = 0,7288 = 0,85
1,3721
cos 2 α
cos 2 α
sen α
sen α
tg α =
⇒ 0, 61 =
⇒ sen α = 0,61· 0,85 ⇒ sen α = 0,52
cos α
0,85
1 + tg2 α =
2
5
h. sen α =
2
•
 2
2
2
cos α + sen α = 1 ⇒ cos α + 
= 1 ⇒ cos 2 α +
= 1 ⇒ cos 2 α = 1 −
⇒
 5 
25
25


2
2
2
23
23
23
⇒ cos α =
=
= 0, 96
25
25
5
2
sen α
46
5
=
=
= 0, 29
tg α =
cos α
23
23
5
⇒ cos 2 α =
•
i. tg α =
•
•
5
( )
2
1
1
1
1
6
⇒ 1+ 5 =
⇒6=
⇒ cos α =
=
= 0, 41
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
6
6
sen α
sen α
6
30
tg α =
⇒ 5 =
⇒ sen α = 5 ·
⇒ sen α =
= 0,91
cos α
6
6
6
6
1 + tg 2 α =
24 Calcula el seno, el coseno y la tangente del ángulo α, que cumple las
siguientes condiciones:
Primero calculamos las razones trigonométricas sin tener en cuenta los signos, y
luego indicamos los signos.
a. cotg α =
•
•
•
1
, con 180° < α < 270°
2
1
⇒ tg α = 2
2
1
1
1
1
5
1 + tg 2 α =
⇒ 1 + 22 =
⇒5=
⇒ cos α =
=
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
5
5
sen α
sen α
5
2 5
tg α =
⇒2=
⇒ sen α = 2 ·
⇒ sen α =
cos α
5
5
5
5
cotg α =
Como el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, las razones
trigonométricas son:
2 5
5
sen α = −
, cos α = −
, tg α = 2
5
5
b. sec α = −
•
5
, con 90° < α < 180°
4
sec α =
5
4
⇒ cos α =
4
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
•
•
1
1
25
25
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ tg 2 α =
− 1 ⇒ tg α =
2
cos 2 α
16
16
4
 
5
sen α
3 sen α
3 4
3
tg α =
⇒
=
⇒ sen α = · ⇒ sen α =
4
cos α
4
4 5
5
5
1 + tg 2 α =
9
3
=
16
4
Como el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, las razones
trigonométricas son:
3
4
3
sen α = , cos α = − , tg α = −
5
5
4
c. cosec α = −
5 3
, con 270° < α < 360°
3
5 3
3
⇒ sen α =
3
5
•
cosec α =
•
 3
3
3
cos 2 α + sen 2 α = 1 ⇒ cos 2 α + 
= 1 ⇒ cos 2 α +
= 1 ⇒ cos 2 α = 1 −
⇒
 5 
25
25


2
⇒ cos 2 α =
•
22
⇒ cos α =
25
sen α
=
tg α =
cos α
3
5 =
22
5
22
=
25
3
=
22
22
5
66
22
Como el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, las razones
trigonométricas son:
3
22
66
sen α = −
, cos α =
, tg α = −
5
5
22
d. cotg α =
4
, con 180° < α < 270°
3
•
cotg α =
•
1 + tg 2 α =
•
4
3
⇒ tg α =
3
4
2
1
1
25
1
3
⇒ 1+   =
⇒
=
⇒ cos α =
cos 2 α
cos 2 α
16
cos 2 α
4
sen α
3 sen α
3 4
3
tg α =
⇒
=
⇒ sen α = · ⇒ sen α =
4
cos α
4
4 5
5
5
16
4
=
25
5
Como el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, las razones
trigonométricas son:
3
4
3
sen α = − , cos α = − , tg α =
5
5
4
e. cosec α =
7
, con 0° < α < 90°
2
7
2
⇒ sen α =
2
7
•
cosec α =
•
4
4
2
cos 2 α + sen 2 α = 1 ⇒ cos 2 α +   = 1 ⇒ cos 2 α +
= 1 ⇒ cos 2 α = 1 −
⇒
49
49
7
2
⇒ cos 2 α =
45
⇒ cos α =
49
45 3 5
=
49
7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
•
2
sen α
2
2 5
= 7 =
=
tg α =
cos α
15
3 5
3 5
7
Como el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, las razones
trigonométricas son:
2
3 5
2 5
sen α = , cos α =
, tg α =
7
7
15
7
, con 270° < α < 360°
3
7
3
sec α = ⇒ cos α =
3
7
1
1
49
1 + tg2 α =
⇒ 1 + tg2 α =
⇒ 1 + tg2 α =
⇒ tg α =
2
2
cos α
9
3
7
 
f. sec α =
•
•
40 2 10
=
9
3
sen α
2 10 sen α
2 10 3
2 10
⇒
=
⇒ sen α =
· ⇒ sen α =
3
cos α
3
3
7
7
7
Como el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, las razones
trigonométricas son:
2 10
3
2 10
sen α = −
, cos α = , tg α =
7
7
3
•
tg α =
g. cotg α =
•
•
3
, con 180° < α < 270°
3
3
⇒ tg α = 3
3
1
1 + tg2 α =
⇒ 1+ 3
cos2 α
cotg α =
( )
2
=
1
1
⇒4=
⇒ cos α =
2
cos α
cos2 α
1 1
=
4 2
sen α
sen α
1
3
⇒ 3=
⇒ sen α = 3 · ⇒ sen α =
1
cos α
2
2
2
Como el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, las razones
trigonométricas son:
3
1
sen α = −
, cos α = − , tg α = 3
2
2
•
tg α =
5
, con 90° < α < 180°
3
5
3
cosec α = ⇒ sen α =
3
5
h. cosec α =
•
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
2
9
9
3
cos2 α + sen2 α = 1 ⇒ cos2 α +   = 1 ⇒ cos2 α +
= 1 ⇒ cos2 α = 1 −
⇒
25
25
5
•
16
16 4
⇒ cos α =
=
25
25 5
3
sen α 5 3
= =
• tg α =
cos α 4 4
5
Como el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, las razones
trigonométricas son:
3
4
3
sen α = , cos α = − , tg α = −
5
5
4
⇒ cos2 α =
25 Estudia si existen ángulos menores de 90° que cumplan las siguientes
condiciones y, si es así, calcula las razones que faltan:
a. Ángulo α cuyo coseno sea 0,3 y cuyo seno sea el doble que el coseno.
No es posible que exista un ángulo α cuyo coseno sea 0,3 y su seno sea el
doble que el coseno:
cos2 α + sen2 α = 0,32 + 0,62 = 0,09 + 0,36 = 0,45 ≠ 1
b. Ángulo α en el que el seno sea el doble que la tangente.
Supongamos que la tangente sea x y su seno sea, por tanto, 2x, entonces:
sen α
x
2x
⇒ 2x =
⇒ cos α =
x
cos α
cos α
Aquí consideramos dos casos:
2x
•
Si x ≠ 0, cos α =
= 2 que es imposible, ya que el coseno es un número
x
entre –1 y 1.
•
Si x = 0, habría que encontrar un ángulo α < 90º tal que sen α = 0, y tg α = 0,
que es el ángulo α = 0º.
tg α =
c. Ángulo α en el que la tangente sea 0,5 y el coseno sea el doble que el
seno.
1
1
1
1
5
1
1 + tg2 α =
⇒ 1 + 0,52 =
⇒ 1+ =
⇒ =
⇒
2
2
2
cos α
cos α
4 cos α
4 cos2 α
4 2 5
=
5
5
Como el coseno es el doble, el seno valdrá la mitad del coseno, por lo que
⇒ cos α =
2
2
2 5  5
4 1
cos α + sen α = 
+
= + =1
 5   5 
5 5

 

Como se cumple la relación fundamental de la trigonometría, sí es cierto.
2
2
d. Ángulo α en el que el seno sea 0,48 y su coseno sea 0,95.
cos2 α + sen2 α = 0,952 + 0,482 = 0,9025 + 0,2304 ≠ 1
Con lo que no puede ser posible.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
26 Aplicando las relaciones entre las razones trigonométricas, comprueba si
las siguientes expresiones son o no ciertas:
a.
1
= sen2 α · cos2 α
sec2 α
1
No es cierto, ya que
= cos2 α ≠ sen2 α · cos2 α
2
sec α
b. tg α + cotg α = sec α · cosec α
Sí es cierto, ya que:
sen α cos α sen2 α + cos2 α
1
tg α + cotg α =
+
=
=
=
cos α sen α
cos α · sen α
cos α · sen α
=
1
1
·
= sec α · cosec α
cos α sen α
c. cotg α · sec α = cosec α
Sí es cierto, ya que:
cos α
1
1
cotg α · sec α =
·
=
= cosec α
sen α cos α sen α
d.
1
1
1
+
=
2
2
2
sen α cos α sen α · cos2 α
Sí es cierto, ya que:
1
1
cos2 α + sen2 α
1
+
=
=
2
2
2
2
2
sen α cos α sen α · cos α sen α · cos2 α
e. tg α · cosec α = sen α
Es cierto, ya que:
sen α
1
1
tg α · cosec α =
·
=
= sec α
cos α sen α cos α
f.
g.
1
= cos2 α
1 + cotg2 α
No es cierto, ya que:
1
1
1
1
=
=
=
= sen2 α ≠ cos2 α
2
2
2
2
1
1 + cotg α
cos α sen α + cos α
1+
sen2 α
sen2 α
sen2 α
1
= sen2 α
1
1+ 2
tg α
Sí es cierto, ya que
1
1
1
1
=
=
=
= sen2 α
2
2
2
1
1
cos
α
sen
α
+
cos
α
1+ 2
1+
tg α
sen2 α
sen2 α
sen2 α
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
SOLUCIONES PÁG. 165
27 Reduce al primer cuadrante las siguientes razones trigonométricas:
a. sen 135º
sen 135º = sen (180º – 45º) = sen 45º =
2
2
b. tg 150º
tg 150º = tg (180º – 30º) = –tg 30º = −
3
3
c. cos 315º
2
2
cos 315º = cos (–45º) = cos 45º =
d. tg 300º
tg 300º = tg (–60º) = –tg 60º = − 3
e. cos225º
cos 225º = cos (180º + 45º) = –cos 45º = −
2
2
f. sen 330º
sen 330º = sen (–30º) = –sen 30º = −
1
2
g. cos 210º
cos 210º = cos (180º + 30º) = –sen 30º= −
1
2
h. sen 120º
sen 120º = sen (180º – 60º) = sen 60º =
3
2
i. tg 240º
tg 240º = tg (180º + 60º) = –tg 60º = − 3
28 Sabiendo que α es un ángulo del tercer cuadrante y que su coseno vale –0,8,
indica el valor de las siguientes razones trigonométricas:
•
•
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen2 α + ( 0,8 ) = 1 ⇒ sen2 α + 0,64 = 1 ⇒ sen2 α = 1 − 0,64 ⇒
2
⇒ sen2 α = 0,36 ⇒ sen α = 0,36 = 0,6
sen α 0,8
tg α =
=
= 1,33
cos α 0,6
a. sen α
sen α = –0,6
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
b. tg α
tg α = 1,33
c. cos (180° – α)
cos (180º – α) = 0,8
d. cos (180° + α)
cos (180º + α) = 0,8
e. cos (–α)
cos (–α) = –0,8
f. tg (180° + α)
tg (180º + α) = 1,33
29 Si tg α =
15 y 0° < α < 90°, contesta a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuáles son el seno y el coseno del ángulo α?
2
1
1
1
1
1
1 + tg2 α =
⇒ 1 + 15 =
⇒ 16 =
⇒ cos α =
=
2
2
2
cos
α
cos
α
cos
α
16
4
•
(
)
2
•
1
1
 1
sen α + cos α = 1 ⇒ sen α +   = 1 ⇒ sen2 α +
= 1 ⇒ sen2 α = 1 −
⇒
16
16
4
2
⇒ sen2 α =
2
2
15
15
15
⇒ sen α =
=
16
16
4
b. Halla las razones trigonométricas de su ángulo complementario, su
ángulo suplementario y su ángulo opuesto.
Razones trigonométricas del ángulo complementario:
1
sen (90º – α) = cos α =
4
15
cos (90º – α) = sen α =
4
15
tg (90º – α) =
15
Razones trigonométricas del ángulo suplementario:
15
sen (180º – α) = sen α =
4
1
cos (180º – α) = –cos α = −
4
tg (180º – α) = –tg α = − 15
Razones trigonométricas del ángulo opuesto:
15
sen (–α) = –sen α = −
4
1
cos (–α) = cos α =
4
tg (–α) = –tg α = − 15
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
30 Si sen α = –0,2, ¿en qué cuadrante o cuadrantes se puede encontrar dicho
ángulo α?
Si el seno es negativo puede encontrarse en el tercer o en el cuarto cuadrante.
31 Con respecto a la actividad anterior, considera tú uno de los cuadrantes
posibles y tu compañero el otro y calculad las siguientes razones
trigonométricas:
a. cos α
En el tercer cuadrante:
2
1
1
 1
sen α + cos α = 1 ⇒  −  + cos2 α = 1 ⇒
+ cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 1 −
⇒
25
25
 5
2
⇒ cos2 α =
2
24
24
2 6
⇒ cos α = −
=−
25
25
5
En el cuarto cuadrante:
2
1
1
 1
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒  −  + cos2 α = 1 ⇒
+ cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 1 −
⇒
25
25
 5
⇒ cos2 α =
24
24 2 6
⇒ cos α =
=
25
25
5
b. tg α
En el tercer cuadrante:
1
−
sen α
5 = 1 = 6
=
tg α =
cos α
2 6 2 6 12
−
5
En el cuarto cuadrante:
1
−
sen α
1
6
tg α =
= 5 =−
=−
cos α 2 6
12
2 6
5
c. sen (180° – α)
En el tercer cuadrante:
sen (180° – α) = sen α = −
1
5
En el cuarto cuadrante:
sen (180° – α) = sen α = −
1
5
d. tg (180° + α)
En el tercer cuadrante:
sen α
=
tg (180º + α ) = tg α =
cos α
1
5 = 1 = 6
2 6 2 6 12
−
5
−
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
En el cuarto cuadrante:
1
−
sen α
1
6
= 5 =−
=−
tg (180º + α ) = tg α =
cos α 2 6
12
2 6
5
e. sen (–α)
En el tercer cuadrante:
1
sen (–α) = –sen α =
5
En el cuarto cuadrante:
1
sen (–α) = –sen α =
5
f. cos (–α)
En el tercer cuadrante:
2 6
cos (–α) = cos α = −
5
En el cuarto cuadrante:
2 6
cos (–α) = cos α =
5
32 Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla, considerando que tg α = 2 y
luego que tg α = 3, y teniendo en cuenta que α es un ángulo del primer
cuadrante:
Si la tg α = 2:
1
1
1
1
5
1 + tg2 α =
⇒ 1 + 22 =
⇒5=
⇒ cos α =
=
cos2 α
cos2 α
cos2 α
5
5
2
 5
5
5
sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 
= 1 ⇒ sen2 α +
= 1 ⇒ sen2 α = 1 −
⇒
 5 
25
25


2
⇒ sen2 α =
2
2
20
⇒ sen α =
25
20 2 5
=
25
5
sen (180º + α ) = −sen α = −
2 5
5
cos (180º – α) = –cos α = −
5
5
tg (90º − α ) =
1
1
=
tg α 2
sen (–α) = –sen α = −
2 5
5
cos (90º – α) = sen α =
2 5
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
Si la tg α = 3:
1 + tg2 α =
1
1
1
1
10
⇒ 1 + 32 =
⇒ 10 =
⇒ cos α =
=
2
2
2
cos α
cos α
cos α
10
10
2
 10 
10
10
sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 
= 1 ⇒ sen2 α +
= 1 ⇒ sen2 α = 1 −
⇒
 10 
100
100


2
2
⇒ sen2 α =
2
90
90
3 10
⇒ sen α =
=
100
100
10
sen (180º + α ) = −sen α = −
3 10
10
cos (180º – α) = –cos α = −
10
10
tg (90º − α ) =
1
1
=
tg α 3
sen (–α) = –sen α = −
3 10
10
cos (90º – α) = sen α =
sen α
cos α
sen (180º + α)
cos (180º – α)
tg (90º – α)
sen (–α)
cos (90º – α)
3 10
10
tg α = 2
2 5
5
5
5
2 5
−
5
5
−
5
1
2
2 5
−
5
2 5
5
tg α = 3
3 10
10
10
10
3 10
−
10
10
−
10
1
3
3 10
−
10
3 10
10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
SOLUCIONES PÁG. 167
33 Halla el área de los siguientes polígonos regulares, utilizando las razones
trigonométricas:
a. Un triángulo equilátero de 6 cm de lado.
3

2  h = 3 ⇒ h = 6 3 = 3 3 ⇒ h = 3 3 cm

2
2
h 6
cos 30º =
6 
cos 30º =
A=
b.
b· h
6·3 3
⇒A=
= 9 3 = 15,59 ⇒ A = 15,59 cm2
2
2
Un hexágono de 8 cm de lado.
Un hexágono consta de 6 triángulos equiláteros:
3

2  h = 3 ⇒ h = 8 3 = 4 3 ⇒ h = 4 3 cm

2
2
h 8
cos 30º =
8 
cos 30º =
A = 6·
b·h
8· 4 3
⇒ A = 6·
= 96 3 = 166,28 ⇒ A = 166,28 cm2
2
2
34 Para calcular la altura de un edificio, se han tomado las siguientes medidas
con un teodolito. Halla dicha altura.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
h
h


1=

x + 42,3 
x + 42,3 


h
h


tg 60º =
3 =
x
x


tg 45º =
De la segunda ecuación se deduce que: h = 3 x , y sustituyendo en la primera
ecuación:
h
3x
1=
⇒1 =
⇒ x + 42,3 = 3 x ⇒ x · 1 − 3 = −42,3 ⇒
x + 42,3
x + 42,3
⇒ x · (1 − 1,73 ) = −42,3 ⇒ −0,73 x = −42,3 ⇒ x = 57,95 m
(
)
La altura del edificio es:
h = 3x ⇒ h = 1,73·57,95 = 100,25 ⇒ h = 100,25 m
35 Determina el área y el perímetro de la siguiente figura, aplicando las razones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras:
3

2  3 = h ⇒ h = 10 3 = 5 3 ⇒ h = 5 3 m

2
h  2 10
cos 30º =
10 
cos 30º =
1
1 5 3
2  1 h
⇒ c = 10 3 m
 = ⇒ =
h 2 c
2
c
cos 60º = 
c 
cos 60º =
1 
10
2  1 x
⇒x=
=5⇒ x =5 m
 =
x  2 10
2
sen 30º =
10 
sen 30º =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
3
2

2  3 = y ⇒ 3 = y ⇒ y = 10· 3 = 15 ⇒ y = 15 m

c
2 10 3
2
y  2
sen 60º =

c 
sen 60º =
b = B – (x + y) = 30 – (5 + 15) ⇒ b = 10 m
P = 10 + 10 + 10 3 + 30 = 50 + 10 3 = 67,32 ⇒ P = 67,32 m
A=
(B + b )· h
(30 + 10)·5 3
⇒A=
= 100 3 = 173,21 ⇒ A = 173,21 m
2
2
36 Ana vive enfrente de su amiga Paula. Si Ana se coloca a la entrada de su
portal, visualiza la ventana de Paula con una inclinación de 60°, pero desde
su ventana, que está a 10 m del suelo, lo hace con una inclinación de 30°. ¿A
qué altura está la ventana de Paula?

x
 3
x
=

 3

a
a


10 + x 
10 + x 
tg 60º =
3 =
a 
a 
tg 30º =
Se despeja x de la primera ecuación y se sustituye en la segunda:
3
x
a 3
= ⇒x=
3
a
3
a 3
10 +
3 ⇒ a 3 = 10 + a 3 ⇒ 3a 3 = 30 + a 3 ⇒ 2a 3 = 30 ⇒ a = 30
3 =
a
3
2 3
Se sustituye este valor de a en la primera ecuación:
30
3
2 3
x=
=5
3
Está a 5 m de la ventana de Ana, y a 15 m del suelo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
37 Eusebio posee una finca y quiere calcular cuántas hectáreas tiene. Ha
realizado las siguientes mediciones. ¿Cuál es el área de su finca? ¿Cuántos
metros de valla necesitará para cercarla?
Las longitudes del triángulo superior son:
h' 
sen 60º =
3
7 3
7  h '
⇒ h' =
hm
 =
2
2
3 7
sen 60º =
2 
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el valor de z:
z = 142 − 72 ⇒ z = 147 = 7 3
El área del triángulo es:
7 3
14·
b·h
2 = 49 3 ⇒ A = 49 3 hm2
A1 =
⇒ A1 =
1
2
2
2
2
Las dimensiones del triángulo inferior derecha son:
3
tg 30º =

3  3 = 4 ⇒ h = 12 = 4 3 ⇒ h = 4 3 hm

h
3
4  3
tg 30º =
h 
1
2  1 4
 = ⇒ y = 8 ⇒ y = 8 hm
4 2 y
sen 30º = 
y 
sen 30º =
El área del triángulo es:
b·h
4· 4 3
A2 =
⇒ A2 =
= 8 3 ⇒ A2 = 8 3 hm2
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
El área del rectángulo es:
A3 = b · h ⇒ A3 = 10 · 4 3 ⇒ A3 = 40 3 hm2
Con lo que el área total es:
49 3
(49 + 16 + 80) 3 145 3
+ 8 3 + 40 3 =
=
hm2
A1 + A2 + A3 =
2
2
2
La longitud de valla que necesita es;
P = 7 + 7 3 + 8 + 10 + 4 3 = 25 + 11 3 hm = 44,05 hm
SOLUCIONES PÁG. 169
1
Indica qué unidades de medida se utilizan para medir ángulos. ¿Cuáles son
las que vamos a utilizar? ¿Qué equivalencia existe entre dichas unidades de
medida?
Para medir ángulos se utilizan los grados sexagesimales y los radianes, de modo
que π rad equivalen a 180º.
2
¿Cuáles son las razones trigonométricas de un ángulo agudo de un
triángulo rectángulo? ¿Y sus razones inversas?
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son el
seno, el coseno y la tangente, siendo sus inversas la cosecante, la secante y la
cotangente, respectivamente.
3
4
Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno:
Seno
0º
0
90º
1
180º
0
270º
1
30º
1
2
Coseno
1
0
–1
0
Tangente
0
-
0
-
Cosecante
-
1
-
1
3
2
3
3
2
Secante
1
-
–1
-
Cotangente
-
0
-
0
2 3
3
3
60º
3
2
1
2
3
45º
2
2
2
2
1
2 3
3
2
2
3
3
1
Indica si estas afirmaciones son o no ciertas:
a. El seno de un ángulo puede ser mayor que 1.
Falso, está entre –1 y 1.
b. La tangente de un ángulo nunca puede ser mayor que 1.
Falso, sí puede.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
29
c. La cosecante de un ángulo puede ser mayor que 1.
Verdadero.
d. El coseno de un ángulo está comprendido entre –1 y 1.
Verdadero.
e. La suma del seno más el coseno es siempre 1.
Falso, la suma de sus cuadrados es igual a la unidad.
5
Dibuja una circunferencia goniométrica, sitúa en ella los cuatro cuadrantes e
indica el signo de las distintas razones trigonométricas en los diferentes
cuadrantes.
6
¿Cuál es la relación fundamental de la trigonometría? ¿Qué otras relaciones
importantes se utilizan para realizar cálculos en los que intervengan razones
trigonométricas?
La relación fundamental de la trigonometría es:
cos2 α + sen2 α = 1
Otras relaciones importantes son:
sen α
1
tg α =
1 + tg2 α =
cos α
cos2 α
7
1 + cotg α =
1
sen2 α
Indica cómo reducir las razones trigonométricas de un ángulo del segundo
cuadrante a un ángulo del primer cuadrante.
sen (180° – α) = sen α
cos (180° – α) = –cos α
tg (180° – α) = –tg α
8
¿Qué equivalencia tienen las razones trigonométricas del tercer cuadrante
con las del primer cuadrante?
sen (180° + α) = –sen α
cos (180° + α) = –cos α
tg (180° + α) = tg α
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
9
Indica qué ocurre con las razones trigonométricas de dos ángulos
complementarios.
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α
1
tg (90º − α ) =
tg α
10 ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de un ángulo y su
ángulo opuesto?
sen (–α) = –sen α
cos (–α) = cos α
tg (–α) = –tg α
11 Prepara una presentación digital para tus compañeros sobre el origen de la
trigonometría y su evolución a lo largo de la historia. Puedes hacer un
documento Power-Point, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 170 - REPASO FINAL
MEDIDAS DE ÁNGULOS: EL RADIÁN
1
Indica a cuántos grados equivalen los siguientes ángulos expresados en
radianes:
a.
2π
rad
6
2π
180º
rad ·
= 60º
6
π rad
b. 4,5 rad
4,5 rad ·
c.
180º
= 257,83º
π rad
3π
rad
5
3π
180º
rad ·
= 108º
5
π rad
d. 2,6 rad
2,6 rad ·
180º
= 148,97º
π rad
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
e.
3π
rad
4
3π
180º
rad ·
= 135º
4
π rad
f. 2,5π rad
2,5 rad ·
g.
180º
= 143,24º
π rad
3π
rad
2
3π
180º
rad ·
= 270º
2
π rad
f. 1,2π rad
1,2 rad ·
2
180º
= 68,75º
π rad
Expresa en radianes estos ángulos:
a. 35º
35º·
π rad 7π
rad
=
180º 36
b. 70º
70º·
π rad 7π
=
rad
180º 18
c. 260º
260º·
π rad 13 π
rad
=
180º
9
d. 190º
190º·
π rad 19π
=
rad
180º
18
e. 200º
200º·
π rad 10 π
=
rad
180º
9
f. 100º
100º·
π rad 5π
=
rad
180º
9
g. 450º
450º·
π rad 5π
=
rad
180º
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
h. 290º
290º·
3
π rad 29π
rad
=
180º
18
2π
rad, respectivamente.
5
Indica cuáles son las medidas de sus tres ángulos tanto en radianes como
en grados sexagesimales.
Dos de los ángulos de un triángulo miden 20º y
180º – (20º + 72º) = 88º
Los tres ángulos en grados sexagesimales miden 20º, 72º y 88º, respectivamente.
π 2π
22π
Los tres ángulos en radianes son ,
y
respectivamente.
9 5
45
4
Halla el ángulo central de los siguientes polígonos regulares, expresando el
resultado en grados sexagesimales y en radianes:
a. Un heptágono.
360º
= 51, 43º
7
π rad
51, 43º·
= 0,29 π rad
180º
b. Un octógono.
360º
= 45º
8
π rad π
45º·
= rad
180º 4
c. Un hexágono.
360º
= 60º
6
π rad π
60º·
= rad
180º 3
d. Un eneágono.
360º
= 40º
9
π rad 2π
40º·
=
rad
180º
9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
5
Actividad resuelta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
6
Halla con la calculadora el valor de los ángulos que tienen las siguientes
razones trigonométricas, tanto en grados como en radianes:
a. sen α = 0,98
α = arc sen 0,98 = 78º 31’ 17,97’’ = 1,37 rad
b. cos α = 0,94
α = arccos 0,94 = 19º 56’ 54,4’’ = 0,35 rad
c. tg α = 0,27
α = arc tg 0,27 = 15º 6’ 34,47’’ = 0,26 rad
d. sen α = 0,34
α = arc sen 0,34 = 19º 52’ 36,75’’ = 0,35 rad
e. cos α = 0,64
α = arccos 0,64 = 50º 12’ 29,45’’ = 0,88 rad
f. tg α = 2,75
α = arc tg 2,75 = 70º 1’ 0,82’’ = 1,22 rad
7
Calcula las siguientes razones trigonométricas con ayuda de la calculadora
y redondea los resultados a las centésimas:
a. sen (87º) = 1,00
b. cos (32º 45’ 6’’) = 0,84
c. sen (78º 55’) = 0,98
d. tg (1,1 rad) = tg (63º 1’ 31,29’’) = 1,94
e. sen (0,3 rad) = sen (17º 11’ 19,44’’) = 0,30
f. tg (1,2 rad) = tg (68º 45’ 17,77’’) = 2,57
g. cos (7º 54’’) = 0,99
h. tg (76º 34’ 45’’) = 4,19
i. cos (56º 25’’) = 0,56
8
Utilizando su definición, halla las razones trigonométricas de los siguientes
ángulos pertenecientes a triángulos rectángulos de los que se conocen los
siguientes datos:
a. Tiene un cateto contiguo de 14,5 cm y una hipotenusa de 210,5 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b = a 2 − c 2 ⇒ b = 210,52 − 14,52 ⇒ b = 210 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
Para el ángulo α:
cateto opuesto
210
• sen α =
⇒ sen α =
=1
hipotenusa
210,5
cateto contiguo
14,5
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,069
hipotenusa
210,5
cateto opuesto
210
• tg α =
⇒ tg α =
= 14, 48
cateto contiguo
14,5
1
hipotenusa
210,5
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
=1
sen α
cateto opuesto
210
1
hipotenusa
210,5
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 14,52
cos α
cateto contiguo 14,5
1
cateto contiguo 14,5
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 0,07
tg α
cateto opuesto 210
b. Tiene un cateto contiguo de 8 cm y un cateto opuesto de 1,8 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a = b 2 + c 2 ⇒ a = 1,82 + 82 = 67,24 = 8,2 ⇒ a = 8,2 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
1,8
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,22
hipotenusa
8,2
cateto contiguo
8
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,98
hipotenusa
8,2
cateto opuesto
1,8
• tg α =
⇒ tg α =
= 0,23
cateto contiguo
8
1
hipotenusa
8,2
⇒ cosec α =
=
= 4,56
• cosec α =
sen α
cateto opuesto 1,8
1
hipotenusa
8,2
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,03
cos α
cateto contiguo
8
1
cateto contiguo
8
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 4, 44
tg α
cateto opuesto 1,8
c. Tiene un cateto opuesto de 4 cm y una hipotenusa de 20,2 cm.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b = a 2 − c 2 ⇒ b = 20,22 − 42 = 392,04 ⇒ b = 19,8 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
4
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,2
hipotenusa
20,2
cateto contiguo
19,8
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,98
hipotenusa
20,2
cateto opuesto
4
• tg α =
⇒ tg α =
= 0,2
cateto contiguo
19,8
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
•
•
•
9
1
hipotenusa
20,2
⇒ cosec α =
=
= 5,05
sen α
cateto opuesto
4
1
hipotenusa
20,2
sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,02
cos α
cateto contiguo 19,8
1
cateto contiguo 19,8
cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 4,95
tg α
cateto opuesto
4
cosec α =
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes
triángulos rectángulos, hallando con la calculadora su valor en grados
sexagesimales:
a.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a = b 2 + c 2 ⇒ a = 4,82 + 22 = 27,04 = 5,2 ⇒ a = 5,2 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
2
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,38
hipotenusa
5,2
cateto contiguo
4,8
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,92
hipotenusa
5,2
cateto opuesto
2
• tg α =
⇒ tg α =
= 0,42
cateto contiguo
4,8
1
hipotenusa
5,2
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
= 2,6
sen α
cateto opuesto
2
1
hipotenusa
5,2
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,08
cos α
cateto contiguo 4,8
1
cateto contiguo 4,8
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 2, 4
tg α
cateto opuesto
2
Para el ángulo β:
cateto opuesto
4,8
• sen β =
⇒ sen β =
= 0,92
hipotenusa
5,2
cateto contiguo
2
• cos β =
⇒ cos β =
= 0,38
hipotenusa
5,2
cateto opuesto
4,8
• tg β =
⇒ tg β =
= 2, 4
cateto contiguo
2
1
hipotenusa
5,2
• cosec β =
⇒ cosec β =
=
= 1,08
sen α
cateto opuesto 4,8
1
hipotenusa
5,2
⇒ sec β =
=
= 2,6
• sec β =
cos β
cateto contiguo
2
1
cateto contiguo
2
⇒ cotg β =
=
= 0, 42
• cotg β =
tg β
cateto opuesto 4,8
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
b.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c = a 2 − b 2 ⇒ c = 2,52 − 22 = 2,25 = 1,5 ⇒ c = 1,5 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
1,5
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,75
hipotenusa
2
cateto contiguo
2
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,8
hipotenusa
2,5
cateto opuesto
1,5
• tg α =
⇒ tg α =
= 0,75
cateto contiguo
2
1
hipotenusa
2,5
⇒ cosec α =
=
= 1,67
• cosec α =
sen α
cateto opuesto 1,5
1
hipotenusa
2,5
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,25
cos α
cateto contiguo
2
1
cateto contiguo
2
⇒ cotg α =
=
= 1,33
• cotg α =
tg α
cateto opuesto 1,5
Para el ángulo β:
cateto opuesto
2
• sen β =
⇒ sen β =
= 0,8
hipotenusa
2,5
cateto contiguo
1,5
• cos β =
⇒ cos β =
= 0,6
hipotenusa
2,5
cateto opuesto
2
• tg β =
⇒ tg β =
= 1,33
cateto contiguo
1,5
1
hipotenusa
2,5
• cosec β =
⇒ cosec β =
=
= 1,25
sen α
cateto opuesto
2
1
hipotenusa
2,5
⇒ sec β =
=
= 1,67
• sec β =
cos β
cateto contiguo 1,5
1
cateto contiguo 1,5
• cotg β =
⇒ cotg β =
=
= 0,75
tg β
cateto opuesto
2
c.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c = a 2 − b 2 ⇒ c = 9,252 − 8,752 = 9 = 3 ⇒ c = 3 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
Para el ángulo α:
cateto opuesto
3
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,32
hipotenusa
9,25
cateto contiguo
8,75
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,95
hipotenusa
9,25
cateto opuesto
3
• tg α =
⇒ tg α =
= 0,34
cateto contiguo
8,75
1
hipotenusa
9,25
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
= 3,08
sen α
cateto opuesto
3
1
hipotenusa
3
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 0,32
cos α
cateto contiguo 9,25
1
cateto contiguo 8,75
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 2,92
tg α
cateto opuesto
3
Para el ángulo β:
cateto opuesto
8,75
• sen β =
⇒ sen β =
= 0,95
hipotenusa
9,25
cateto contiguo
3
• cos β =
⇒ cos β =
= 0,32
hipotenusa
9,25
cateto opuesto
8,75
• tg β =
⇒ tg β =
= 2,92
cateto contiguo
3
1
hipotenusa
2,5
⇒ cosec β =
=
= 1,25
• cosec β =
sen α
cateto opuesto
2
1
hipotenusa
9,25
• sec β =
⇒ sec β =
=
= 3,08
cos β
cateto contiguo
3
1
cateto contiguo
3
• cotg β =
⇒ cotg β =
=
= 0,34
tg β
cateto opuesto 8,75
d.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a = b 2 + c 2 ⇒ a = 4,22 + 42 = 33,64 = 5,8 ⇒ a = 5,8 cm
Para el ángulo α:
cateto opuesto
4
• sen α =
⇒ sen α =
= 0,69
hipotenusa
5,8
cateto contiguo
4,2
• cos α =
⇒ cos α =
= 0,72
hipotenusa
5,8
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
38
cateto opuesto
4
⇒ tg α =
= 0,95
cateto contiguo
4,2
1
hipotenusa
5,8
• cosec α =
⇒ cosec α =
=
= 1, 45
sen α
cateto opuesto
4
1
hipotenusa
5,8
• sec α =
⇒ sec α =
=
= 1,38
cos α
cateto contiguo 4,2
1
cateto contiguo 4,2
• cotg α =
⇒ cotg α =
=
= 1,05
tg α
cateto opuesto
4
Para el ángulo β:
cateto opuesto
4,2
• sen β =
⇒ sen β =
= 0,72
hipotenusa
5,8
cateto contiguo
4
• cos β =
⇒ cos β =
= 0,69
hipotenusa
5,8
cateto opuesto
4,2
• tg β =
⇒ tg β =
= 1,05
cateto contiguo
4
1
hipotenusa
5,8
⇒ cosec β =
=
= 1,38
• cosec β =
sen α
cateto opuesto 4,2
1
hipotenusa
5,8
⇒ sec β =
=
= 1,45
• sec β =
cos β
cateto contiguo
4
1
cateto contiguo
4
• cotg β =
⇒ cotg β =
=
= 0,95
tg β
cateto opuesto 4,2
•
tg α =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS
10 Calcula la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm.
cos α =
ap =
ap
⇒ ap = cos α ·hipotenusa ⇒ ap = cos 30·6
hipotenusa
3
·6 = 3 3 = 5,2 cm
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39
11 En un triángulo rectángulo, el cateto contiguo a un ángulo de 30º mide 4,5 cm.
¿Cuánto medirá la hipotenusa? ¿Y el otro cateto?
tg 30º =
x
⇒ x = tg 30º·cateto contiguo
cateto contiguo
x=
3
· 4,5 = 2,6 ⇒ x = 2,6 cm
3
y=
4,5 2 + 2, 6 2 = 27,01 = 5, 2 ⇒ y = 5, 2 cm
SOLUCIONES PÁG. 171
12 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4 cm, y su hipotenusa,
32 cm.
a.
¿Cuánto miden los ángulos agudos de dicho triángulo rectángulo?
Se aplica el teorema de Pitágoras:
(
32
)
2
= 42 + x 2 ⇒ 32 = 16 + x 2 ⇒ x = 4 cm
Los dos ángulos agudos miden 45º porque los dos catetos miden lo mismo.
b.
Halla el valor del cateto desconocido a partir de las razones
trigonométricas.
cateto opuesto
x
sen β =
⇒ sen 45º =
⇒ x = sen 45º· 32
hipotenusa
32
x=
2
64
· 32 ⇒ x =
=4
2
2
13 ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo rectángulo si sabemos que el
lado opuesto al ángulo de 60º mide 6 cm?
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
40
6
6
6
⇒x=
=
= 3, 46 ⇒ x = 3, 46 cm
x
tg 60º
3
Uno de los catetos mide 6 cm y el otro cateto mide 3,46 cm.
tg 60º =
14 Un rectángulo tiene una longitud de 8 cm. Si dividimos dicho rectángulo
mediante su diagonal, resultan dos triángulos rectángulos iguales. Si el
largo de 8 cm es el cateto opuesto a un ángulo de 60º, halla, aplicando las
razones trigonométricas:
a. La diagonal del rectángulo.
8
8
8
sen 60º = ⇒ d =
=
= 9,24 ⇒ d = 9,24 cm
d
sen 60º
3
2
b. El ancho del rectángulo.
a
cos 60º =
⇒ a = cos 60º·9,24 = 4,62 ⇒ a = 4,62 cm
9,24
c. El área y el perímetro de dicho rectángulo.
A = b · h ⇒ A = 8· 4, 62 = 36,96 ⇒ A = 36,96 cm 2
P = 8·2 + 4,62·2 = 25,24 ⇒ P = 25,24 cm
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
15 Dibuja estos ángulos y utiliza la regla para calcular sus razones
trigonométricas:
a. 160º
sen 160º = 0,34; cos 160º = –0,94; tg 160º = –0,36
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
41
b. 80º
sen 80º = 0,98; cos 80º = 0,17; tg 80º = 5,67
c. 310º
sen 310º = –0,77; cos 310º = 0,64; tg 310º = –1,19
d. 220º
sen 220º = –0,64; cos 220º = –0,77; tg 220º = 0,84
16 Fíjate en los cuatro ángulos dibujados.
1.
3.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
42
2.
4.
a. Halla sus razones trigonométricas.
1.
Hipotenusa
Seno
Coseno
Tangente
a = 2,142 + 3,392
sen α =
3,39
4,01
sen α = 0,85
cos α =
2,14
4,01
cos α = 0,53
tg α =
1,52
4,01
sen α = 0,38
cos α =
a = 4,58 + 11,49
a = 16,07 = 4,01
2.
a = ( −3,71)2 + 1,522
a = 13,76 + 2,31
a = 16,07 = 4,01
3.
a = ( −3,85)2 + ( −1,1)2
a = 14,82 + 1,21
a = 16,03 = 4
4.
a = 3,042 + ( −2,6)2
a = 9,24 + 6,76
a = 16 = 4
sen α =
−3,85
4
sen α = −0,96
sen α =
−2,6
4
sen α = −0,65
sen α =
−3,71
4,01
cos α = −0,93
−1,1
4
cos α = −0,28
3,39
2,14
tg α = 1,58
0,38
−0,93
tg α = −0, 41
tg α =
−3,85
−1,1
tg α = 3,5
cos α =
tg α =
3,04
4
cos α = 0,76
tg α =
cos α =
−2,6
3,04
tg α = −0,86
b. Con ayuda de la calculadora, determina cada uno de los ángulos.
1.
2.
3.
4.
Ángulo
α = arctg 1,58 = 57,67º
α = arctg (–0,41) = 157,71º
α = arctg 3,5 = 254,05º
α = arctg (–0,86) = 319,3º
17 Indica en qué cuadrante se sitúan los siguientes ángulos y qué signos
tendrán sus razones trigonométricas:
a. 256º
Se encuentra en el tercer cuadrante: seno (–), coseno (–), tangente (+)
b. 5,2 rad
180º
= 297º 56 '
π rad
Se encuentra en el cuarto cuadrante: seno (–), coseno (+), tangente (–)
5,2 rad ·
c. 24º
Se encuentra en el primer cuadrante: seno (+), coseno (+), tangente (+)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43
d. 1,3 rad
180º
= 74º 29 '
π rad
Se encuentra en el primer cuadrante: seno (+), coseno (+), tangente (+)
1,3 rad ·
e. 202º
Se encuentra en el tercer cuadrante: seno (–), coseno (–), tangente (+)
f. 4,1 rad
180º
= 234º 54 '
π rad
Se encuentra en el tercer cuadrante: seno (–), coseno (–), tangente (+)
4,1 rad ·
g. 105º
Se encuentra en el segundo cuadrante: seno (+), coseno (–), tangente (–)
h. 2,8 rad
180º
= 160º 25 '
π rad
Se encuentra en el segundo cuadrante: seno (+), coseno (–), tangente (–)
2,8 rad ·
18 Identifica en qué cuadrante o cuadrantes se encuentran los ángulos que
tienen las siguientes razones trigonométricas:
a. sen α = 0,42
En el primero o segundo.
b. tg α = –0,75
En el segundo o cuarto.
c. cos α = –0,19
En el segundo o tercero.
d. tg α = 4,52
En el primero o tercero.
e. cos α = 0,67
En el primero o cuarto.
f. sec α = –1,2
En el segundo o tercero.
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICA
19 A partir de las siguientes razones trigonométricas, halla las restantes,
sabiendo que los ángulos pertenecen al primer cuadrante:
a. cos α = 0,55
•
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen2 α + 0,552 = 1
sen α = 1 − 0,3 = 0,84 ⇒ sen α = 0,84
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
44
•
•
•
•
sen α
0,84
⇒ tg α =
= 1,53 ⇒ tg α = 1,53
cos α
0,55
1
1
cosec α =
⇒ cosec α =
= 1,19 ⇒ cosec α = 1,19
sen α
0,84
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 1,82 ⇒ sec α = 1,82
cos α
0,55
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 0,65 ⇒ cotg α = 0,65
tg α
1,53
tg α =
b. sen α = 0,92
•
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ 0,922 + cos2 α = 1
•
•
•
•
cos α = 1 − 0,85 = 0,39 ⇒ cos α = 0,39
sen α
0,92
tg α =
⇒ tg α =
= 2,36 ⇒ tg α = 2,36
cos α
0,39
1
1
cosec α =
⇒ cosec α =
= 1,09 ⇒ cosec α = 1,09
sen α
0,92
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 2,56 ⇒ sec α = 2,56
cos α
0,39
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 0, 42 ⇒ cotg α = 0, 42
tg α
2,36
c. tg α =
•
•
•
•
•
6
5
2
1 + tg 2 α =
1
1
61
1
6
⇒ 1+   =
⇒
=
25 cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
5
cos α =
25 5 61
=
= 0, 64 ⇒ cos α = 0, 64
61
61
sen α
6 sen α
6 5 61
6 61
⇒ =
⇒ sen α = ·
⇒ sen α =
= 0, 77 ⇒
cos α
5
5
61
61
5 61
61
⇒ sen α = 0, 77
tg α =
1
1
⇒ cosec α =
= 1,3 ⇒ cosec α = 1,3
sen α
0,77
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 1,56 ⇒ sec α = 1,56
cos α
0,64
1
1
cotg α =
⇒ cotg α = = 0,83 ⇒ cotg α = 0,83
6
tg α
5
cosec α =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
45
1
3
d. sen α =
2
•
 1
sen α + cos α = 1 ⇒   + cos2 α = 1
3
2
2
1
8
2 2
=
⇒ cos α =
= 0,94 ⇒ cos α = 0,94
9
9
3
1
sen α
2
⇒ tg α = 3 =
= 0,35 ⇒ tg α = 0,35
tg α =
cos α
4
2 2
3
1
1
cosec α =
⇒ cosec α = = 3 ⇒ cosec α = 3
1
sen α
3
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 1,06 ⇒ sec α = 1,06
cos α
2 2
3
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 2,86 ⇒ cotg α = 2,86
tg α
0,35
cos α = 1 −
•
•
•
•
e. tg α = 2,42
•
•
•
•
•
1 + tg2 α =
1
1
1
⇒ 1 + 2, 42 2 =
⇒ 6,86 =
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
cos α =
1
5 14
=
= 0,38 ⇒ cos α = 0,38
6,86
49
tg α =
sen α
sen α
5 14
⇒ 2, 42 =
⇒ sen α = 2, 42 ·
= 0,92 ⇒ sen α = 0, 92
cos α
49
5 14
49
1
1
⇒ cosec α =
= 1,09 ⇒ cosec α = 1,09
sen α
0,92
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 2,63 ⇒ sec α = 2,63
cos α
0,38
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 0, 41 ⇒ cotg α = 0, 41
tg α
2, 42
cosec α =
f. cos α = 0,25
•
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen2 α + 0,252 = 1
1
15
=
= 0,97 ⇒ sen α = 0,97
16
4
sen α
0,97
tg α =
⇒ tg α =
= 3,88 ⇒ tg α = 3,88
cos α
0,25
1
1
cosec α =
⇒ cosec α =
= 1,03 ⇒ cosec α = 1,03
sen α
0,97
sen α = 1 −
•
•
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
46
•
•
1
1
⇒ sec α =
= 4 ⇒ sec α = 4
cos α
0,25
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 0,26 ⇒ cotg α = 0,26
tg α
3,88
sec α =
g. tg α = 0,58
•
1 + tg 2 α =
1
1
1
⇒ 1 + 0,58 2 =
⇒ 1, 34 =
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
cos α =
1
5 134
=
= 0,86 ⇒ cos α = 0,86
1,34
67
• tg α = sen α ⇒ 0, 58 = sen α ⇒ sen α = 0,58 · 5 134 = 0, 50 ⇒ sen α = 0, 50
cos α
•
•
•
67
5 134
67
1
1
⇒ cosec α =
= 2 ⇒ cosec α = 2
sen α
0,50
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 1,16 ⇒ sec α = 1,16
cos α
0,86
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 1,72 ⇒ cotg α = 1,72
tg α
0,58
cosec α =
2
9
h. cos α =
2
•
 2
sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + 
=1
 9 


2
2
sen α = 1 −
•
•
•
•
2
2
79
=
= 0,99 ⇒ sen α = 0,99
81
9
79
9 = 6,28 ⇒ tg α = 6,28
2
9
1
1
cosec α =
⇒ cosec α =
= 1,01 ⇒ cosec α = 1,01
sen α
0,99
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 6,25 ⇒ sec α = 6,25
cos α
0,16
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 0,16 ⇒ cotg α = 0,16
tg α
6,28
sen α
tg α =
⇒ tg α =
cos α
3
5
i. sen α =
2
•
 3
sen α + cos α = 1 ⇒ 
+ cos2 α = 1
 5 


2
2
cos α = 1 −
3
22
22
=
=
= 0,94 ⇒ cos α = 0,94
25
25
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
47
•
•
•
•
3
5 = 66 = 0,37 ⇒ tg α = 0,37
22
22
5
1
1
cosec α =
⇒ cosec α =
= 2,89 ⇒ cosec α = 2,89
sen α
3
5
1
1
sec α =
⇒ sec α =
= 1,07 ⇒ sec α = 1,07
cos α
22
5
1
1
cotg α =
⇒ cotg α =
= 2,70 ⇒ cotg α = 2,70
tg α
0,37
sen α
tg α =
⇒ tg α =
cos α
20 Calcula el seno, el coseno y la tangente de los ángulos que tienen estas
razones trigonométricas:
Primero calculamos las razones trigonométricas sin tener en cuenta los signos, y
luego indicamos los signos.
a. cosec α = –2 2 , con 180º < α < 270º
2
4
•
cosec α = 2 2 ⇒ sen α =
•
 2
2
2
cos 2 α + sen 2 α = 1 ⇒ cos 2 α + 
= 1 ⇒ cos 2 α +
= 1 ⇒ cos 2 α = 1 −
⇒
 4 
16
16


2
⇒ cos 2 α =
•
14
⇒ cos α =
16
sen α
tg α =
=
cos α
14
=
16
14
4
2
4 = 7
7
14
4
Como el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, las razones
trigonométricas son:
2
14
7
sen α = −
= −0,35 , cos α = −
= −0,94 , tg α =
= 0,38
4
4
7
b.
cotg α = −
•
•
•
1
, con 270º < α < 360º
4
1
⇒ tg α = 4
4
1
1
1
1
17
1 + tg 2 α =
⇒ 1 + 42 =
⇒ 17 =
⇒ cos α =
=
= 0, 24
2
2
2
cos α
cos α
cos α
17
17
sen α
sen α
17
4 17
tg α =
⇒4=
⇒ sen α = 4 ·
⇒ sen α =
= 0, 97
cos α
17
17
17
17
cotg α =
Como el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, las razones
trigonométricas son:
4 17
17
sen α = −
= −0,97 , cos α =
= 0,24 , tg α = −4
17
17
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
48
c. sec α = −
•
sec α =
•
41
4
⇒ cos α =
= 0,098
4
41
1 + tg 2 α =
⇒ tg α =
•
tg α =
41
, con 90º < α < 180º
4
1
1
1681
1681
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ tg 2 α =
− 1⇒
2
cos 2 α
16
16
 4 
 41 


1665 3 185
=
= 10, 20
16
4
sen α
3 185
sen α
3 185 4
3 185
⇒
=
⇒ sen α =
·
⇒ sen α =
= 0, 995
4
cos α
4
4
41
41
41
Como el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, las razones
trigonométricas son:
3 185
4
3 185
sen α =
= 0,995 , cos α = −
= −0,098 , tg α = −
= −10,20
41
41
4
d. cotg α = 1, con 180º < α < 270º
•
cotg α = 1 ⇒ tg α = 1
•
1 + tg 2 α =
1
1
1
1
2
⇒ 1 + 12 =
⇒2=
⇒ cos α =
=
= 0, 71
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
2
2
sen α
sen α
2
2
tg α =
⇒ 1=
⇒ sen α = 1·
⇒ sen α =
= 0,71
cos α
2
2
2
2
•
Como el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, las razones
trigonométricas son:
2
2
sen α = −
= −0,71 , cos α = −
= −0,71, tg α = 1
2
2
e. cosec α = –2, con 270º < α < 360º
•
cosec α = 2 ⇒ sen α =
•
1
1
 1
cos 2 α + sen 2 α = 1 ⇒ cos 2 α +   = 1 ⇒ cos 2 α + = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − ⇒
4
4
2
1
= 0, 5
2
2
3
3
3
⇒ cos α =
=
= 0,87
4
4
2
1
sen α
3
2
tg α =
=
=
= 0, 58
cos α
3
3
2
⇒ cos 2 α =
•
Como el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, las razones
trigonométricas son:
1
3
3
sen α = − = −0,5 , cos α =
= 0,87 , tg α =
= −0,58
2
2
3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
49
f.
sec α = −
•
•
sec α =
5
, con 90º < α < 180º
2
5
2
⇒ cos α = = 0, 4
2
5
1 + tg 2 α =
1
1
25
25
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ 1 + tg 2 α =
⇒ tg 2 α =
− 1⇒
2
2
cos α
4
4
2
5
 
21
=
4
sen α
tg α =
⇒
cos α
⇒ tg α =
•
21
= 2, 29
2
21 sen α
=
⇒ sen α =
2
2
5
21 2
· ⇒ sen α =
2
5
21
= 0, 92
5
Como el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, las razones
trigonométricas son:
21
2
21
= 0,92 , cos α = − = −0, 4 , tg α = −
= −2,29
sen α =
5
5
2
21 Simplifica las expresiones utilizando las distintas relaciones entre las
razones trigonométricas.
a.
tg2 α − sec 2 α
1 + cotg2 α
sen2 α
1
sen2 α − 1 −( −sen2 α + 1)
−
2
2
2
tg α − sec α
cos2 α
= cos α cos α = cos α =
=
2
1
1
1
1 + cotg α
sen2 α
sen2 α
sen2 α
− cos2 α
2
− cos2 α ·sen2 α
= cos α =
= −sen2 α
2
1
cos α
sen2 α
2
b.
2
cos α − sec α
cos α + sec α
cos2 α − 1
1
2
2
cos α − sec α
cos α = cos α = −( − cos α + 1) = −sen α
=
cos α + sec α cos α + 1
cos2 α + 1
cos2 α + 1
cos2 α + 1
cos α
cos α
cos α −
c.
cos2 α
1 − sen α
cos2 α
1 − sen2 α (1 + sen α ) · (1 − sen α )
=
=
= 1 + sen α
1 − sen α 1 − sen α
1 − sen α
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
50
d.
tg2 α + 1
cotg2 α + 1
1
2
tg2 α + 1
cos2 α = sen α = tg2 α
=
1
cotg2 α + 1
cos2 α
2
sen α
e. 1 −
sen α · cotg α
cosec α · tg α
cos α
sen α ·cotg α
sen α
1−
= 1−
= 1 − cos2 α = sen2 α
cosec α · tg α
1
sen α
·
sen α cos α
sen α ·
f. sen3 α + sen α · cos2 α
sen3 α + sen α· cos 2 α = sen α ·(sen 2 α + cos 2 α ) = sen α ·1 = sen α
SOLUCIONES PÁG. 172
22 Comprueba si las igualdades propuestas son o no ciertas, aplicando las
relaciones existentes entre las razones trigonométricas.
a.
1
= cosec 2 α
(1 + cos α) · (1 − cos α)
1
1
= cosec 2 α ⇒
= cosec 2 α ⇒
(1 + cos α ) · (1 − cos α )
1 − cos2 α
⇒
b.
c.
1
= cosec 2 α ⇒ cosec 2 α = cosec 2 α ⇒ Sí es cierta.
sen2 α
cos2 α
= 1 + sen α
1 − sen α
cos2 α
1 − sen2 α
= 1 + sen α ⇒
= 1 + sen α ⇒
1 − sen α
1 − sen α
(1 + sen α )· (1 − sen α )
⇒
= 1 + sen α ⇒ 1 + sen α ⇒ Sí es cierta.
1 − sen α
sen α
= cotg2 α
2
1 + tg α
sen α
sen α
= cotg2 α ⇒
= cotg2 α ⇒
2
1
1 + tg α
cos2 α
cos2 α
⇒ sen α ·cos2 α ≠
⇒ No es cierta.
sen2 α
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
51
1
sen α
1
1
 sen α cos α 
cos α ·(tg α + cotg α ) =
⇒ cos α · 
+
=
⇒

sen α
sen α
 cos α sen α 
d. cos α · (tg α + cotg α) =


 sen2 α + cos2 α 
1
1
1
⇒ cos α · 
⇒ cos α · 
⇒
=
=
sen α
sen α
 cos α ·sen α 
 cos α ·sen α 
1
1
⇒
=
⇒ Sí es cierta.
sen α
sen α
23 Actividad resuelta.
24 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
1
= sen2 α
2
1
1
1
cos2 α − = sen2 α ⇒ cos2 α − sen2 α = ⇒ 1 − sen2 α − sen2 α = ⇒
2
2
2
1
1
1
1
⇒ −2sen2 α = − 1 ⇒ −2sen2 α = − ⇒ sen2 α = ⇒ sen α = ±
2
2
4
2
a. cos2 α −
•
•
b.
 α = 30º +360º k
1
1
⇒ α = arcsen ⇒ 
2
2
 α = 150º +360º k
para cualquier valor entero de k.
 α = 330º +360º k
1
 1
sen α = − ⇒ α = arcsen  −  ⇒ 
2
 2
 α = 220º +360º k
para cualquier valor entero de k.
sen α =
cos2 α
= 1 − sen α
3
cos2 α
= 1 − sen α ⇒ cos2 α = 3 − 3sen α ⇒ 1 − sen2 α − 3 + 3sen α = 0 ⇒
3
⇒ −sen2 α + 3sen α − 2 = 0 ⇒ sen2 α − 3sen α + 2 = 0
Se hace el cambio x = sen α:
sen2 α − 3sen α + 2 = 0 ⇒ x 2 − 3 x + 2 = 0
3 +1

x1 =
=2

2
−( −3) ± ( −3) − 4·1·2 3 ± 9 − 8 3 ± 1 
=
=
=
x=
2·1
2
2
x = 3 − 1 = 1
 2
2
2
•
•
sen α = 2, no existe ningún ángulo que tenga ese seno, porque el seno es
un número que puede tomar valores entre –1 y 1.
sen α = 1 ⇒ α = arcsen (1) = 90° + 360° k, para cualquier valor de k.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
52
c. 2 cos α = 3 tg α
sen α
⇒ 2 cos2 α = 3sen α ⇒
cos α
⇒ 2 (1 − sen2 α ) = 3sen α ⇒ 2·sen2 α + 3sen α − 2 = 0
Se hace el cambio x = sen α:
2·sen2 α + 3sen α − 2 = 0 ⇒ 2 x 2 + 3 x − 2 = 0
2 cos α = 3 tg α ⇒ 2 cos α = 3
−3 + 5 1

x1 =
=

−3 ± 3 − 4· 2·( −2) −3 ± 9 + 16 −3 ± 5 
4
2
x=
=
=
=
2·2
4
4
 x2 = −3 − 5 = −2

4
2
•
•
α = 30º + 360º k
1
1
, para cualquier entero k.
⇒ α = arcsen ⇒ 
2
2
α = 150º + 360º k
sen α = –2, no existe ningún ángulo que tenga ese seno, porque el seno de
un ángulo toma valores comprendidos en el interval –1 y 1.
sen α =
d. 3 cos2 α + 5 = 5 sen α
3 cos2 α + 5 = 5 sen α ⇒ 3·(1 − sen2 α ) + 5 − 5sen α = 0 ⇒
⇒ 3sen2 α + 5sen α − 8 = 0
Se hace el cambio x = sen α:
3sen2 α + 5sen α − 8 = 0 ⇒ 3 x 2 + 5 x − 8 = 0
−5 + 11

x1 =
=1

−5 ± 5 − 4·3·( −8) −5 ± 25 + 96 −5 ± 11 
6
=
=
=
x=
2· 3
6
6
 x2 = −5 − 11 = − 8

6
3
2
•
sen α = 1 ⇒ α = arcsen 1 = 90º + 360ºk, para cualquier entero k.
•
8
, no existe ningún ángulo que tenga ese seno, porque el seno
3
de un ángulo toma valores comprendidos en el interval –1 y 1.
sen α = −
e. 2 tg α – 3 cotg α = 1
2 tg α – 3 cotgα = 1 ⇒ 2 tg α – 3
1
2 tg2 α − 3
= 1⇒
= 1⇒
tg α
tg α
⇒ 2 tg2 α − 3 = tg α ⇒ 2 tg2 α − tg α − 3 = 0
Se hace el cambio x = tg α:
2
2 tg α − tg α − 3 = 0 ⇒ 2 x 2 − x − 3 = 0
1+ 5 3

x1 =
=

−( −1) ± ( −1) − 4· 2·( −3) 1 ± 1 + 24 1 ± 5

4
2
x=
=
=
⇒
2· 2
4
4
 x = 1 − 5 = −1
 2
4
3
3
• tg α = ⇒ α = arctg = 56,31º +180º k , para cualquier entero k.
2
2
• tg α = –1 ⇒ α = arctg (–1) = 135º + 180ºk, para cualquier entero k.
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
53
f. sen2 α + cos α = 1
sen2 α + cos α = 1 ⇒ 1 − cos2 α + cos α = 1 ⇒ cos2 α − cos α = 0
⇒ cos α ·(cos α − 1) = 0 ⇒
α = 90º + 360º k 
⇒ {cos α = 0 ⇒ α = arcos 0 ⇒ 
 ⇒ α = 90º +180º k
α = 270º + 360º k 
⇒ cos α − 1 = 0 ⇒ cos α = 1 ⇒ α = arcos 1 = 0º + 360º k
Para cualquier entero k.
REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS AL PRIMER CUADRANTE
25 Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas, expresándolas
primero en función de un ángulo del primer cuadrante:
a. tg 420º
tg 420º = tg (360º + 60º) = tg 60º =
b. tg (–60º)
tg (–60º) = –tg 60º = –
3
3
c. sen 1 200º
sen 1 200º = sen (360º · 3 + 120º) = sen 120º = sen (180º – 60º) =
3
= sen 60º =
2
d. cos 450º
cos 450º = cos (360º + 90º) = cos 90º = 0
e. tg 225º
tg 225º = tg (180º + 45º) = tg 45º = 1
f. sen 315º
sen 315º = sen (–45º) = –sen 45º = –
2
2
26 Con ayuda de la calculadora, halla las razones trigonométricas de los
siguientes ángulos:
α = 16º α = 74º
a. ¿Qué tienen en común dichas razones trigonométricas obtenidas?
El seno de 16º es el mismo que el coseno de 74º. El coseno de 16º coincide
con el seno de 74º. La tangente de 16º es la inversa de la tangente de 74º.
b. ¿Por qué ocurre eso?
Esto ocurre porque 16º y 74º son ángulos complementarios, es decir, suman
90º.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
54
27 Si cos α = 0,6 y α pertenece al primer cuadrante, determina las siguientes
razones trigonométricas sin utilizar la calculadora:
a. sen α
sen α = 1 − cos2 α = 1 − 0,62 = 0,64 = 0,8
b. tg (–α)
tg (–α) = –tg α = –
)
0,8
4
= − = −1,3
0,6
3
c. cos (180º – α)
cos (180º – α) = –cos α = –0,6
d. sen (180º – α)
sen (180º – α) = sen α = 0,8
e. cos (180º + α)
cos (180º + α) = –cos α = –0,6
f. cos (90º – α)
cos (90º – α) = sen α = 0,8
28 Si el ángulo α se sitúa en el tercer cuadrante y tg α = 2, establece las
siguientes razones trigonométricas sin utilizar la calculadora:
a. cos α
1 + tg 2 α =
1
1
1
⇒ 1 + 22 =
⇒5=
⇒ cos α =
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α
Como está en el tercer cuadrante, cos α = −
1
5
1
5
b. sen α
2
sen α + cos α = 1 ⇒ sen α =
2
2
1 − cos α ⇒ sen α =
2
Como está en el tercer cuadrante, sen α = −
 1
1
1− 
= 1− =
 5 
5


4
5
c. tg (180º + α)
tg (180º + α) = tg α = 2
d. cos (180º + α)
cos (180º + α) = –cos α =
1
5
e. sen (180º + α)
sen (180º + α) = –sen α =
4
5
f. tg (–α)
tg (–α) = –tg α = –2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
5
55
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
29 Halla el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 12 cm y
forman un ángulo de 40º.
h 
 h
= 0,94 ⇒ h = 11,28 cm
12 
12

cos 20º = 0,94 
cos 20º =
x 
 x
= 0,34 ⇒ x = 4,08 cm
12 
12

sen 20º = 0,34 
sen 20º =
A=
b· h
2x · h
2· 4,08·11,28
⇒A=
⇒A=
= 46,02 ⇒ A = 46,02 cm2
2
2
2
30 Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 12 cm, respectivamente.
a. Calcula su perímetro y su área.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado:
a = 42 + 62 = 52 = 7,21 ⇒ a = 7,21 cm
P = 4 · 7,21 = 28,84 cm
D·d
12·8
A=
⇒A=
= 48 ⇒ A = 48 cm2
2
2
b. ¿Cuál es la abertura de sus ángulos?
6
tg α = = 1,5 ⇒ α = arctg1,5 = 56,31º
4
4
tg β = = 0,67 ⇒ β = arctg 0,67 = 33,82º
6
Con lo que los ángulos son 2 · 56,31º = 112,62º y 2 · 33,82º = 67,64º.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
56
31 Halla la longitud de una circunferencia sabiendo que a un ángulo central de
50º le corresponde una cuerda de 7 cm.
El radio de la circunferencia es:
sen 25º = 0,42
3,5
3,5

⇒r =
= 8,33 ⇒ r = 8,33 cm
3,5  0,42 =
r
0,42
sen 25º =

r 
La longitud de la circunferencia es:
L = 2 · π · r ⇒ L = 2 · 3,14 · 8,33 = 52,31 ⇒ L = 52,31 cm
32 Un pintor utiliza una escalera de tijera que tiene una abertura de 70º. Si con
dicha escalera se alcanzan 2,5 m de altura, ¿cuánto miden sus brazos?
cos 35º = 0,82
2,5
2,5

⇒x=
= 3,05
2,5  0,82 =
x
0,82
cos 35º =

x 
Cada brazo mide 3,05 m.
SOLUCIONS PÁG. 173
33 ¿A qué distancia se encuentra un satélite artificial desde el que se ve de la
Tierra bajo un ángulo de 100º?
La distancia del centro de la Tierra al satélite es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
57
sen 50º = 0,77

Rtierra
6 366

⇒ 0,77 =
⇒
Rtierra
R
 0,77 =
sen 50º =
= tierra 
D
D
Rtierra + d
D 
6 366
= 8267,53 ⇒ D = 8267,53 km
0,77
La distancia del satélite a la Tierra será:
d = D – R = 8 267,53 – 6 366 = 1 901,53 km
⇒D=
34 Un avión que se acerca a la pista de aterrizaje de un aeropuerto se encuentra
a 2 km de la torre de control. ¿A qué altura vuela el avión si es observado
con un ángulo de 25º desde la torre de control, que mide 50 m?
sen 25º = 0,42 
h'

⇒ h ' = 2 000·0,42 = 840
h '  0, 42 =
sen 25º =
2 000

2000 
Con lo que el avión lleva una altura de: h = h’ + 50 = 840 + 50 = 890 m
35 Calcula el ángulo que forma la diagonal de un cubo de 8 cm de arista con la
diagonal de la base.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de la base, d:
d = 82 + 82 = 128 = 11,31 ⇒ d = 11,31 cm
El ángulo pedido es:
8
8
tg α = ⇒ tg α =
= 0,71 ⇒ α = 35,37º
d
11,31
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
58
36 Un vigilante está en una torre vigía. Desde allí observa un coche aparcado
con un ángulo de visión de 20º. En el lado opuesto, puede ver a un
compañero suyo bajo un ángulo de visión de 30º.
Si entre el coche y su compañero hay 115,5 m de distancia, ¿qué altura tiene
la torre vigía?
x

⇒ x = 0,36· h

h

y 115,5 − x
115,5 − x 
tg 30º = =
⇒h=
h
h
0,58 
Sustituimos la primera ecuación en la segunda:
115,5 − x
115,5 − 0,36· h
h=
⇒h=
⇒ 0,58· h = 115,5 − 0,36· h ⇒
0,58
0,58
115,5
⇒h=
= 122,87 m
0,94
La torre tiene 122,87 m de altura.
tg 20º =
EVALUACIÓN
1
Un ángulo de 0,5 rad equivale a otro de:
a. 8,7º
0,5 rad ·
2
c. 90º
b. 28,6º
d. 1,6º
180º
180º
= 0,5 rad ·
= 28,6º
π rad
3,14 rad
Un ángulo de 80º equivale a otro de:
9π
rad
b. 0,44 rad
4
π rad 4π
80º ·
=
rad
180º
9
a.
c.
4π
rad
9
d. 7,07 rad
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
59
3
De un triángulo rectángulo cuyas medidas son 3 cm, 4 cm y 5 cm el seno de
uno de los ángulos agudos no puede medir:
a. 0,8 cm
b. 0,75 cm
c. 0,6 cm
d.
6
cm
10
3
= 0,6 cm
5
4
sen β = = 0,8 cm
5
sen α =
4
El valor de la expresión tg 30° · sen 60° + sen 45° es:
a.
1+ 2
2
b.
3+ 2
2
tg 30° · sen 60° + sen 45° =
5
c.
3
2
+
6
2
d.
3+ 2
2
3 3
2 3
2 1+ 2
·
+
= +
=
3 2
2
6
2
2
Si de un ángulo agudo el cos α = 0,5, el valor del sen α es:
a. 0,75
b. 0,25
c. 0,55
d. 0,87
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen α = 1 − cos2 α ⇒ sen α = 1 − 0,52 = 0,87
6
Si de un ángulo agudo la tg α = 2,2, el valor del cos α es:
a. 0,17
1 + tg2 α =
7
b. 0,26
c. 0,41
d. 0,51
1
1
1
⇒ 1 + 2, 2 2 =
⇒ 5,84 =
⇒ cos α =
2
2
cos α
cos α
cos 2 α
La expresión simplificada de
a. sen2 α
1
=
5, 84
0,17 = 0, 41
sen3 α + sen α · cos2 α
es:
cos α
b. cos α
d. tg α
c. cotg α
sen3 α + sen α · cos2 α sen α ·(sen2 α + cos2 α )
=
= tg α
cos α
cos α
8
El coseno de 1 475º es igual al coseno de:
a. 215º
b. 325º
c. 55º
d. 145º
1 475º = 4 · 360º + 35º
cos 35º = cos (360º – 35º) = cos 325º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
60
9
El área del siguiente triángulo es:
a. 25,41 cm2
b. 13,86 cm2
c. 15,39 cm2
d. 8,46 cm2
Se calcula la altura:
h
sen 25º =
⇒ h = 11·0, 42 = 4,62 cm
11
b· h
6· 4,62
A=
⇒A=
= 13,86 ⇒ A = 13,86 cm2
2
2
10 Un árbol tiene una altura de 15 m. Si Pedro se acerca a él 10 m, lo ve bajo un
ángulo de 40º. El ángulo bajo el cual veía el árbol desde su posición inicial es:
a. 28,3º
b. 25,3º
c. 30º
d. 24º
15
15
⇒x=
= 17,86
x
0,84
15
15
tg α =
⇒ tg α =
⇒ tg α = 0,54 ⇒ α = 28,3º
x + 10
17,86 + 10
tg 40º =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 8. Resolución de triángulos
2
Unidad 8. Resolución de triángulos
SOLUCIONES PÁG. 177
1
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
a.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa:
a = b 2 + c 2 ⇒ a = 82 + 152 = 17 ⇒ a = 17 cm
Se halla el ángulo α:
c
c
 15 
sen α = ⇒ α = arcsen   ⇒ α = arcsen   ⇒ α = 61,93º
a
a
 17 
Se halla el otro ángulo:
β = 90° – 61,93° = 28,07° ⇒ β = 28,07°
b.
Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:
c = a 2 − b 2 ⇒ c = 20 2 − 8,9 2 = 320,79 = 17,91 ⇒ a = 17,91 cm
Se halla el ángulo β:
b
b
 8,9 
sen β = ⇒ β = arcsen   ⇒ β = arcsen 
 ⇒ β = 26, 42º
a
a
 20 
Se halla el otro ángulo:
α = 90° – 26,42° = 63,58°
c.
Se halla el ángulo β:
β = 90° – 30º = 60º ⇒ β = 60º
Se hallan los catetos:
c
sen 30º =
⇒ c = 11,8· sen 30º = 5,9 ⇒ c = 5,9 cm
11,8
b
cos 30º =
⇒ b = 11,8·cos 30º = 10,22 ⇒ b = 10,22 cm
11,8
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
d.
Se halla el ángulo β:
β = 90° – 52,4º = 37,6º ⇒ β = 37,6º
Se halla la hipotenusa:
37,6
37,6
cos 37,6º =
⇒a=
= 47, 46 ⇒ a = 47,46 cm
a
cos 37,6º
Se halla el otro cateto:
b
cos 52, 4º =
⇒ b = 47,59·cos 52, 4º = 28,96 ⇒ b = 28,96 cm
47,59
2
Ana está en la calle mirando hacia la ventana de María. Teniendo en cuenta
que la ve con un ángulo de 25° y que se encuentra a 50 m del bloque de
pisos donde vive su amiga, contesta a las siguientes preguntas:
a. ¿Con qué ángulo ve María a Ana?
β = 90º – 25º = 65º
El ángulo con el que ve María a Ana es de 65°.
b. ¿A qué altura está la ventana de María?
h
tg 25º =
⇒ h = 50· tg 25º = 23,5 ⇒ h = 23,32 cm
50
3
Un equipo de multiaventura monta una tirolina que une los dos extremos de
un desfiladero. La altura a un lado del desfiladero con respecto al otro difiere
en 3° en relación con la horizontal, como se indica en el dibujo. Si hay 100 m
de distancia entre los extremos del desfiladero, calcula la longitud de la
tirolina y la diferencia de altura que hay entre un extremo del desfiladero y el otro.
100
100
⇒d =
= 100,14 m . La longitud de la tirolina es de 100,14 m.
d
cos 3º
h
tg 3º =
⇒ h = 100· tg 3º = 5,24 ⇒ h = 5,24 m . La diferencia de altura entre un
100
extremo y otro es de 5,24 m.
cos 3º =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
SOLUCIONES PÁG 179
4
Resuelve el triángulo que tiene dos ángulos de 35° y 61°, respectivamente, y
en el que el lado opuesto al ángulo de 61° mide 12 cm.
γ = 180º − ( 35º + 61º ) = 84º
a
b
12
b
12 · sen 35º
=
⇒
=
⇒b=
= 7,72 cm
sen α sen β
sen 61º sen 35º
sen 61º
a
c
12
c
12 · sen 84º
⇒
=
⇒c =
= 11,93 cm
=
sen α sen γ
sen 61º sen 84º
sen 61º
5
Calcula el área y el perímetro de un triángulo dos de cuyos lados miden 11
cm y 15 cm, respectivamente, y en el que el ángulo opuesto al lado de 15 cm
mide 65°.
a
b
15
11
11· sen 65º
=
⇒
=
⇒ sen β =
⇒ β = 41,65º
sen α sen β
sen 65º sen β
15
γ = 180º − ( 65º + 41,65º ) = 73,35º
a
c
15
c
15 · sen 73,35º
=
⇒
=
⇒c=
= 15,86 cm
sen α sen γ
sen 65º sen 73,35º
sen 65º
a
b
c
a
15
=
=
= d = 2r ⇒ r =
=
= 8,28 cm
sen α sen β sen γ
2·sen α 2· sen 65º
P = a + b + c = 15 + 11 + 15,86 = 41,86 cm
A=
a · b · c 15 · 11· 15,86
=
= 79,01cm2
4r
4 · 8,28
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
6
Halla la longitud de una circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles
cuyo lado desigual mide 15 cm y en el que el ángulo opuesto a dicho lado
vale 20°.
a
b
c
b
15
=
=
=d ⇒d =
=
= 43,86 cm ⇒ d = 43,86 cm
sen α sen β sen γ
sen β sen 20º
L = πd = π · 43,86 = 137,79 cm
7
Una circunferencia de 4 cm de radio tiene inscrito un triángulo dos de cuyos
lados miden 7,1 cm y 7,4 cm, respectivamente.
a. ¿Cuánto miden los elementos desconocidos del triángulo?
Se halla el ángulo α con el teorema del seno:
a
7,1
7,1
2r =
⇒ 2· 4 =
⇒ sen α =
⇒ α = 62,56º
sen α
sen α
8
Se halla el ángulo β con el teorema del seno:
b
7, 4
7,4
2r =
⇒ 2· 4 =
⇒ sen β =
⇒ β = 67,67º
sen β
sen β
8
Se calcula el ángulo que queda:
γ = 180º − ( 62,56º + 67,67º ) = 49,77º
Se halla el lado c con el teorema del seno:
a
c
7,1
c
7,1· sen 49,77º
=
⇒
=
⇒c =
= 6,11cm
sen α sen γ
sen 62,56º sen 49,77º
sen 62,56º
b. ¿Cuál es su perímetro? ¿Y su área?
P = a + b + c = 7,1 + 7,4 + 6,11 = 20,61cm
a · b · c 7,1· 7,4 · 6,11
A=
=
= 20,06 cm2
4r
4· 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
SOLUCIONES PÁG. 181
8
Resuelve los siguientes triángulos:
a.
Se aplica el teorema del coseno para hallar el lado c:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos γ ⇒ c 2 = 10,32 + 52 − 2 · 10,3 · 5 · cos 29,05º ⇒
⇒ c = 41,05 = 6,41 ⇒ c = 6, 41 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
b2 = a 2 + c 2 − 2ac · cos β ⇒ 52 = 10,32 + 6, 412 − 2 · 10,3 · 6, 41· cos β ⇒
52 − 10,32 − 6,412
⇒ β = 22,29º
−2 · 10,3 · 6,41
Se halla el otro ángulo:
α = 180º − ( 29,05º + 22,29º ) = 128,66º
⇒ cos β =
b.
Se aplica el teorema del coseno para hallar el lado c:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos γ ⇒ c 2 = 5,12 + 5,832 − 2 · 5,1· 5,83 · cos 42,27º ⇒
⇒ c = 15,99 = 4 ⇒ c = 4 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
b2 = a2 + c 2 − 2ac · cos β ⇒ 5,832 = 5,12 + 42 − 2 · 5,1· 4 · cos β ⇒
⇒ 33,99 = 42,01 − 40,8 · cos β ⇒ β = 78,66º
Se halla el otro ángulo:
α = 180º − ( 78,7º + 42,27º ) = 59,03º
9
Indica, mediante el teorema de Pitágoras generalizado, qué tipo de
triángulos son los siguientes según sus ángulos:
a. Triángulo cuyos lados miden 4,92 cm, 7 cm y 9,9 cm.
Se utiliza el teorema de Pitágoras generalizando:
a 2 = 9,92 = 98,01cm2

⇒ a2 > b 2 + c 2
2
2
2
2
2
b + c = 4,92 + 7 = 73,21cm 
Triángulo obtusángulo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
b. Triángulo cuyos lados miden 8,6 cm, 9,62 cm y 5,83 cm.
Se utiliza el teorema de Pitágoras generalizando:
a 2 = 9,622 = 92,54 cm2

⇒ a2 < b 2 + c 2
2
2
2
2
2
b + c = 8,6 + 5,83 = 107,95 cm 
Triángulo acutángulo.
10 Considera el romboide de la figura.
a. ¿Cuál es su perímetro?
Se aplica el teorema del coseno para hallar el lado a:
a 2 = b 2 + d 2 − 2bd · cos α ⇒ a 2 = 302 + 202 − 2 · 30 · 20 · cos 40º ⇒
⇒ a = 380,75 = 19,51 ⇒ a = 19,51cm
El perímetro es:
P = 2a + 2b = 2 · 19,51 + 2 · 30 = 99,02 cm
b. ¿Cuánto miden sus ángulos?
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
b2 = a 2 + d 2 − 2ad · cos β ⇒ 302 = 19,512 + 202 − 2 · 19,51· 20 · cos β ⇒
⇒ 900 = 780,64 − 780, 4 · cos β ⇒ β = 98,80º
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo γ:
d 2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ ⇒ 202 = 19,512 + 302 − 2 · 19,51· 30 · cos γ ⇒
⇒ 400 = 1280,64 − 1170,6 · cos γ ⇒ γ = 41,21º
Los ángulos del romboide son γ = 41,21º y α + β = 138,8º.
11 Un triángulo tiene un ángulo de 50°, y los lados que forman dicho ángulo
miden 12 cm y 16 cm, respectivamente. ¿Cuánto miden los ángulos y el lado
restante?
Se aplica el teorema de coseno para hallar el otro lado:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos γ ⇒ c 2 = 122 + 162 − 2 · 12 · 16 · cos 50º = 153,17 ⇒
⇒ c = 153,17 = 12,38 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo α:
a 2 = b2 + c 2 − 2bc · cos α ⇒ 122 = 162 + 12,382 − 2 · 16 · 12,38 · cos α ⇒
⇒ 144 = 409,26 − 396,16·cos α ⇒ α = 47,96º
Se halla el otro ángulo:
β = 180º − ( 50º + 47,95º ) = 82,05º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
SOLUCIONES PÁG 183
12 Calcula los ángulos de los triángulos que tienen los siguientes lados:
a. a = 3,48 cm, b = 3,03 cm, c = 4,41 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo α:
b2 + c 2 − a2
3,03 2 + 4, 412 − 3, 48 2
α = arc cos
= arc cos
= 51,82º ⇒ α = 51,82º
2bc
2 · 3,03 · 4, 41
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
a2 + c 2 − b2
3, 48 2 + 4, 412 − 3,03 2
β = arc cos
= arc cos
= 43,19º ⇒ β = 43,19º
2ac
2 · 3,48 · 4, 41
Se halla el otro ángulo:
γ = 180º − ( α + β ) = 180º − ( 51,82º + 43,19º ) = 84,99º
b. a = 2,67 cm, b = 5,77 cm, c = 3,98 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo α:
b2 + c 2 − a2
5,77 2 + 3,98 2 − 2,67 2
α = arc cos
= arc cos
= 23,86º ⇒ α = 23,86º
2bc
2 · 5,77 · 3,98
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
a2 + c 2 − b2
2,67 2 + 3,98 2 − 5,77 2
β = arc cos
= arc cos
= 119,06º ⇒ β = 119,06º
2ac
2 · 2,67 · 3,98
Se halla el otro ángulo:
γ = 180º − ( α + β ) = 180º − ( 23,86º +119,06º ) = 37,08º
c. a = 2,73 cm, b = 2,6 cm, c = 1,43 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo α:
b2 + c 2 − a2
1, 43 2 + 2,6 2 − 2,73 2
α = arc cos
= arc cos
= 79,52º ⇒ α = 79,52º
2bc
2 · 1,43 · 2,6
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
a2 + c 2 − b2
2,73 2 + 2,62 − 1, 43 2
β = arc cos
= arc cos
= 31º ⇒ β = 31º
2ac
2 · 2,73 · 2,6
Se halla el otro ángulo:
γ = 180º − ( α + β ) = 180º − ( 79,52º + 31º ) = 69,48º
d. a = 1,67 cm, b = 4,56 cm, c = 3,08 cm
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo α:
b2 + c 2 − a2
4,56 2 + 3,08 2 − 1,67 2
α = arc cos
= arc cos
= 11,85º ⇒ α = 11,85º
2bc
2 · 4,56 · 3,08
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
a2 + c 2 − b2
1,672 + 3,08 2 − 4,56 2
β = arc cos
= arc cos
= 145,9º ⇒ β = 145,9º
2ac
2 · 1,67 · 3,08
Se halla el otro ángulo:
γ = 180º − ( α + β ) = 180º − (11,85º + 145,9º ) = 22,25º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
13 Halla los datos desconocidos de los siguientes triángulos, de los que se
conoce un lado y dos ángulos:
a.
Se halla el otro ángulo:
α = 180º − ( γ + β ) = 180º − ( 29,07º + 124,81º ) = 26,12º
Se aplica el teorema del seno para hallar el lado b:
a sen β 1, 46 · sen 124,81º
b=
=
= 2,72 cm
sen α
sen 26,12º
Se aplica el teorema del seno para hallar el lado c:
a sen γ 1, 46 · sen 29,07º
c=
=
= 1,61cm
sen α
sen 26,12º
b.
Se halla el otro ángulo:
β = 180º − ( γ + α ) = 180º − ( 28,07º + 77,79º ) = 74,14º
Se aplica el teorema del seno para hallar el lado a:
c sen α 1,1· sen 77,79º
a=
=
= 2,28 cm
sen γ
sen 28,07º
Se aplica el teorema del seno para hallar el lado b:
c sen β 1,1· sen 74,14º
b=
=
= 2,25 cm
sen γ
sen 28,07º
14 Actividad resuelta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
15 Halla los ángulos y/o los lados desconocidos de los triángulos que tienen
los siguientes elementos:
a. a = 1,61 cm, b = 1,99 cm, y el ángulo comprendido entre ambos: γ = 56,17°
Se aplica el teorema del coseno para hallar el lado c:
c = a2 + b2 − 2ab · cos γ = 1,612 + 1,992 − 2 · 1,61· 1,99 · cos56,17º = 1,73 cm
Se aplica el teorema del seno para hallar el ángulo β:
b · sen γ
1,99 · sen 56,17º
β = arcsen
= arcsen
= 72,85º
c
1,73
Se halla el otro ángulo:
γ = 180º − ( 56,17º + 72,85º ) = 50,98º
b. b = 2,93 cm, c = 1,96 cm, y el ángulo opuesto al lado c: γ = 3,98 cm
Se aplica el teorema del seno para hallar el ángulo β:
b · sen γ
2,93 · sen 41,08º
β = arcsen
= arcsen
= 79,21º
c
1,96
Se halla el otro ángulo:
α = 180º − ( γ + β ) = 180º − ( 41,08º + 79,21º ) = 59,71º
Se aplica el teorema del coseno para hallar el lado a:
c sen α 1,96 · sen 59,71º
a=
=
= 2,58 cm
sen γ
sen 41,08º
c. a = 1,92 cm, c = 3,1 cm, y el ángulo comprendido entre ambos: β = 39,72°
Se aplica el teorema del coseno para hallar el lado b:
b = a 2 + c 2 − 2ac · cos β = 1,922 + 3,12 − 2 · 1,92 · 3,1· cos39,72º = 2,03 cm
Se aplica el teorema del seno para hallar el ángulo α:
a · sen β
1,92 · sen 39,72º
α = arcsen
= arcsen
= 37,19º
b
2,03
Se calcula el otro ángulo:
γ = 180º − ( 37,19º + 39,72º ) = 103,09º
16 Resuelve los siguientes triángulos aplicando los teoremas estudiados
anteriormente:
a.
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo α:
b2 + c 2 − a2
5,622 + 4,74 2 − 5,83 2
α = arc cos
= arc cos
= 67,88º
2bc
2 · 5,62 · 4,74
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
Se aplica el teorema del coseno para hallar el ángulo β:
a2 + c 2 − b2
5,832 + 4,74 2 − 5,622
β = arc cos
= arc cos
= 63,25º
2ac
2 · 5,83 · 4,74
Se halla el otro ángulo:
γ = 180º − ( α + β ) = 180º − ( 67,88º + 63,25º ) = 48,87º
b.
γ = 180º − ( α + β ) = 180º − ( 23,81º + 48,16º ) = 108,03º
a sen β 3,76 · sen 48,16º
=
= 6,94 cm
sen α
sen 23,81º
a sen γ 3,76 · sen 108,03º
c=
=
= 8,86 cm
sen α
sen 23,81º
b=
c.
c = a2 + b2 − 2ab · cos γ = 3,462 + 4,22 − 2 · 3,46 · 4,2 · cos 28,42º = 2,01cm
b · sen γ
4,2 · sen 28, 42º
= arcsen
= 83,98º
c
2,01
α = 180º − ( 28, 42º + 83,98º ) = 67,6º
β = arcsen
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
d.
c · sen β
1,88 · sen 88,05º
= arcsen
= 30,79º
b
3,67
α = 180º − ( γ + β ) = 180º − ( 30,79º + 88,05º ) = 61,16º
γ = arcsen
a=
b sen α 3,67 · sen 61,16º
=
= 3,22 cm
sen β
sen 88,05º
SOLUCIONES PÁG. 185
17 Una persona está en lo alto de un acantilado, que se alza 560 m sobre el
nivel del mar. Desde allí visualiza un velero bajo un ángulo de 32°. ¿A qué
distancia se encuentra el barco del acantilado?
tg 32º =
d
⇒ d = 560 · tg 32º = 349,93 m
560
18 Un castillo está rodeado por un foso con agua. Una persona situada en el
borde del foso ve la parte alta del castillo con un ángulo de 56,31°, mientras
que, si se separa 100 m del foso, el ángulo pasa a ser de 36,87°.
¿Qué longitud tiene que tener el puente del portón de entrada para sortear
dicho foso?
β = 180º − 56,31º = 123,69º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
α = 180º − (123,69º + 36,87º ) = 19, 44º
a
100
100 · sen 36,87º
=
⇒a=
= 180,28 m
sen 36,87º sen 19, 44º
sen 19, 44º
d
cos 56,31º = ⇒ d = 180,28 · cos 56,31º = 100 m
a
19 Un barco navega 120 km hacia el oeste y luego 160 km hacia el noroeste con
un ángulo de 40°. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?
α = 180º −40º = 140º
d = 1602 + 120 2 − 2 · 160 · 120 cos140º = 263, 47 km
20 Dos cables fijados al suelo están sujetos a sendos puntos de un poste: uno
en el extremo superior del poste y otro situado 5 m más abajo. Los cables
miden 24,88 m y 22 m, respectivamente. ¿Cuál es la altura del poste?
222 = 52 + 24,882 − 2 · 5 · 24,88 cos α ⇒ α = 49,97º
h
cos 49,97º =
⇒ h = 16 m
24,88
El poste tiene 16 metros.
21 Calcula la distancia que hay entre dos cabañas situadas a un lado de un
acantilado a partir de los siguientes ángulos tomados desde el otro lado del
acantilado:
α = 180º − ( 56,9º + 64,4º ) = 58,7º β = 180º − ( 28,5º + 115,3º ) = 36,2º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
a
200
=
⇒ a = 211,09 m
sen 64, 4º sen 58,7º
b
200
⇒ b = 306,15 m
=
sen 115,3º sen 36,2º
d = a 2 + b 2 − 2ab · cos 28, 4º =
= 211,092 + 306,152 − 2 · 211,09 · 306,15 · cos 28, 4º = 156,86 m
SOLUCIONES PÁG. 187
1
¿Qué utilizarías para resolver un triángulo rectángulo conociendo dos de
sus lados?
Con ayuda de las razones trigonométricas (seno, coseno o tangente) se hallan el
resto de ángulos.
El otro lado se hallaría o con el teorema de Pitágoras o con razones
trigonométricas.
2
¿Qué utilizarías para resolver un triángulo rectángulo conociendo dos de
sus lados?
El otro ángulo se hallaría restando el conocido a 90º. Con las razones
trigonométricas se calcularían los lados que faltan.
3
Contesta a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos elementos de un triángulo debes conocer como mínimo para
resolverlo?
Se debe conocer como mínimo tres datos.
b. ¿Y si se trata de un triángulo rectángulo? ¿Por qué?
Solo dos, ya que se sabe que un ángulo mide 90º.
4
¿Qué relación existe entre los elementos de un triángulo y su circunferencia
circunscrita?
La razón entre uno cualquiera de los lados de un triángulo y el seno de su ángulo
opuesto (teorema del seno) es igual al diámetro de su circunferencia circunscrita.
5
Indica cómo saber si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo a
partir de la longitud de sus lados.
Mediante el teorema del coseno, si a, b y c son los lados del triángulo,
siendo a el lado mayor:
• Si a2 = b2 + c2, entonces el triángulo es rectángulo.
• Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo.
• Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo.
6
Indica cómo hallar los elementos desconocidos de un triángulo del que
conocemos:
a. Sus tres lados.
Mediante el teorema del coseno y mediante la relación que indica que los
ángulos de un triángulo suman 180º, se hallan los ángulos desconocidos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
b. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Mediante el teorema del coseno, se halla el lado que falta. Los ángulos que
faltan se hallan por el teorema del seno o el del coseno y/o con la suma de los
ángulos igualada a 180º.
c. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Con el teorema del seno se halla el ángulo opuesto al otro lado, y el ángulo
restante con la relación de la suma de los ángulos de un triángulo. El otro lado
se halla con el teorema del seno o el del coseno.
7
Prepara una presentación digital para tus compañeros sobre posibles
aplicaciones de la resolución de triángulos. Puedes hacer un documento
PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 188 - REPASO FINAL
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
a. Sus lados miden 20 cm, 21 cm y 29 cm.
20
α = arcsen
= 43,6º
29
β = 90º − 43,6º = 46, 4º
b. Tiene un cateto de 3 cm y un ángulo de 20º.
β = 90º − 20º = 70º
Solución 1: se considera que el lado de 3 cm es el opuesto al ángulo de 20º y se
calcula la hipotenusa:
3
3
sen 20º = ⇒ a =
= 8,77 cm
a
sen 20º
Se halla el otro cateto utilizando el teorema Pitágoras:
c = 8,77 2 − 3 2 = 8,24 cm
Solución 2: Se considera que el lado de 3 cm es el opuesto al ángulo de 70º y
se calcula la hipotenusa:
3
3
sen 70º = ⇒ a =
= 3,19 cm
a
sen 70º
Se halla el otro cateto utilizando el teorema de Pitágoras:
c = 3,19 2 − 3 2 = 1,08 cm
c. Tiene una hipotenusa de 10 cm y un ángulo de 50º.
β = 90º −50º = 40º
b
sen 50º =
⇒ b = 10·sen 50º = 7,66 cm
10
c = 10 2 − 7,66 2 = 6,43 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
2
Elena vive en la calle Estrella, y Pilar, en la calle Planeta. Las dos calles
tienen una disposición perpendicular, como puede verse en la figura.
a. ¿Cuántos metros debe recorrer Elena para llegar a casa de Pilar?
200
200
sen 35º =
⇒c =
= 348,69 m
c
sen 35º
a = 348,69 2 − 200 2 = 285,63 m
285,63 + 200 = 485,63 m recorrería Elena para llegar a casa de Pilar.
b. ¿Cuántos recorrería si pudiera ir en línea recta de su casa a la de su
amiga?
Si fuera en línea recta recorrería 348,69 m
c. ¿Cuánto tiempo tardaría en ambos casos si caminase a una velocidad de
5 km/h?
En el primer caso, tardaría:
1h
485,63 m
= 0,097126 h = 5 min 49,65 s
5 000 m
Y en el segundo caso:
1h
348,69 m
= 0,069 738 h = 4 min 11,06 s
5 000 m
TEOREMA DEL SENO
3
Halla la longitud del lado b en los siguientes triángulos:
a.
10
b
10 · sen 55,3º
=
⇒b=
= 8,25 cm
sen 85,6º sen 55,3º
sen 85,6º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
b.
3,8
b
3,8 ·sen 106,8º
=
⇒b=
= 8,98 cm
sen 23,9º sen 106,8º
sen 23,9º
4
Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo que tiene un
lado de 12 cm cuyo ángulo opuesto tiene una apertura de 75º.
12
12
= 2r ⇒ r =
= 6,21cm
sen 75º
2 · sen 75º
5
El radio de la circunferencia circunscrita de un triángulo mide 6 cm.
a. ¿Cuánto miden sus lados si el ángulo opuesto a uno de ellos es de 25º y
otro de los ángulos mide 40º?
γ = 180º − ( 25º + 40º ) = 115º
a
= 2 · 6 ⇒ a = 12· sen 25º = 5,07 cm
sen 25º
b
= 12 ⇒ b = 12· sen 40º = 7,71cm
sen 40º
c
= 12 ⇒ c = 12 ·sen 115º = 10,88 cm
sen 115º
b. ¿Y qué apertura tiene el otro ángulo?
115º
TEOREMA DEL COSENO
6
Calcula la longitud del lado a en los siguientes triángulos:
a.
a = 6,8 2 + 7, 4 2 − 2 · 6,8 · 7, 4 ·cos 59,5º = 7,07 cm
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
b.
a = 5 2 + 5,3 2 − 2 · 5 · 5,3 · cos118, 4º = 8,85 cm
7
Indica cómo son según sus ángulos los triángulos que tienen los siguientes
lados:
a. a = 5 cm, b = 16 cm y c = 15 cm

b 2 = 162 = 256 cm2
⇒ b 2 > a2 + c 2
2
2
2
2
2
a + c = 5 + 15 = 250 cm 
Por tanto, el triángulo es obtusángulo.
b. a = 22 cm, b = 20 cm y c = 26 cm
c 2 = 262 = 676 cm2

⇒ c 2 < a2 + b2
2
2
2
2
2
a + b = 22 + 20 = 884 cm 
Por tanto, el triángulo es acutángulo.
c. a = 77 cm, b = 85 cm y c = 36 cm

b 2 = 852 = 7225 cm2
⇒ b2 = a 2 + c 2

2
2
2
2
2
a + c = 77 + 36 = 7225 cm 
Por tanto, el triángulo es rectángulo.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
8
Resuelve estos triángulos:
a.
89, 45 − 44,89
⇒ α = 57,16º
82,16
107,3 − 27,04
5,22 = 6,72 + 7,92 − 2 · 6,7 · 7,9 cos β ⇒ cos β =
⇒ β = 40,7º
105,86
γ = 180º − ( 57,16º + 40,7º ) = 82,14º
6,72 = 5,22 + 7,92 − 2 · 5,2 · 7,9 cos α ⇒ cos α =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
b.
9,7
6,7
9,7· sen 40,8º
=
⇒ β = arcsen
= 71,08º
sen β sen 40,8º
6,7
α = 180º − ( 40,8º + 71,08º ) = 68,12º
a
6,7
=
⇒ a = 9,52 cm
sen 68,12º sen 40,8º
c.
α = 180º − (138,3º + 20,6º ) = 21,1º
b
12,1
=
⇒ b = 6, 4 cm
sen 20,6º sen 138,3º
a
12,1
=
⇒ a = 6,55 cm
sen 21,1º sen 138,3º
d.
a = 7,12 + 8 2 − 2 · 7,1· 8 ·cos 64,9º = 8,14 cm
8,14
7,1
7,1· sen 64,9º
=
⇒ β = arcsen
= 52,17º
sen 64,9º sen β
8,14
γ = 180º − ( 64,9º + 52,17º ) = 62,93º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
APLICACIONES
9
Desde la orilla de un río se ve un árbol en lo alto de una pared de piedra.
Calcula la altura del árbol con los datos del siguiente dibujo:
a
⇒ a = 7,2 m
8
12º + 42º = 54º
h + 7,2
tg 54º =
⇒ h = 8 · tg 54º − 7,2 = 3,81m
8
tg 42º =
SOLUCIONES PÁG. 189
10 En un mapa se representan las siguientes poblaciones:
a. ¿Qué distancia hay en el mapa entre la población 1 y las poblaciones 2 y 3?
γ = 180º − ( 35º +58º ) = 87º
a
22
=
⇒ a = 18,68 cm
sen 58º sen 87º
b
22
=
⇒ b = 12,64 cm
sen 35º sen 87º
b. Si el mapa está realizado a escala 1:9 000, ¿cuál es la distancia real entre
las tres poblaciones?
La escala 1:9 000 significa que cada cm del mapa equivale a 9 000 cm de la
realidad, con lo que las distancias son:
De la población 1 a la 2:
18,68 · 9000 = 168120 cm = 1,68 km
De la población 2 a la 3:
22 · 9000 = 198000 cm = 1,98 km
De la población 3 a la 1:
12,64 · 9000 = 113760 cm = 1,14 km
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
11 Halla el perímetro y el área de la figura propuesta.
α = 180º − (42º + 34º + 24º ) = 80º
β = 180º − (34º + 24º + 21º ) = 101º
42º + 34º = 76º
24º + 21º = 45º
a
80
=
⇒ a = 33,04 cm
sen 24º sen 80º
e
80
=
⇒ e = 45,57 cm
sen 34º sen 101º
c
80
=
⇒ c = 57,63 cm
sen 45º sen 101º
h
sen 76º =
⇒ h = 32,06 cm
33,04
b = 33,04 2 + 57,632 − 2 · 33,04 · 57,63 · cos 42º = 39,78 cm
P = a + b + e + 80 = 33,04 + 39,78 + 45,57 + 80 = 198,39 cm
A=
80 + b
80 + 39,78
·h=
·32,06 = 1920,07 cm2
2
2
12 A las manos de Felipe ha llegado el mapa de un tesoro escondido. Si en
lugar de recorrer el camino indicado en el mapa pudiera ir en línea recta
desde el punto A al punto B, ¿cuántos metros recorrería?
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
α = 180º −60º = 120º
a = 6 2 + 5 2 − 2 · 6 · 5 ·cos120º = 9,54 m
5
9,54
⇒ β = 26,99º
=
sen β sen 120º
γ = 180º − ( 30º +26,99º ) = 123,01º
d = 42 + 9,54 2 − 2 · 4 · 9,54· cos123,01º = 12,19 m
En línea recta tendría que recorrer 12,19 m.
13 Miguel es propietario de una parcela de tierra de forma circular de 20 hm de
diámetro. Quiere plantar pinos que ocupen un triángulo como el de la figura.
a. ¿Qué área tendrá el pinar?
14,8
= 20 ⇒ γ = 47,73º
sen γ
α = 180º − ( 70º + 47,73º ) = 62,27º
b
= 20 ⇒ b = 18,79 cm
sen 70º
a
= 20 ⇒ a = 17,7 cm
sen 62,27º
El área del triángulo será:
14,8 · b · a 14,8 · 18,79 · 17,7
At =
=
= 123,06 ha
4r
40
El área de la parcela era de:
Ac = πr 2 = π · 102 = 314,16 ha
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
b. ¿Qué área permanecerá sin plantar?
Ac − At = 314,16 − 123,06 = 191,1ha
14 Las casas de cuatro amigas están separadas como se indica en la figura.
Calcula la distancia que hay entre las viviendas de cada una de las amigas.
α = 180º − (114,2º + 40, 4º ) = 25,4º
102
a
=
⇒ a = 67,51m
sen 40, 4º sen 25,4º
b = 1442 + 109 2 − 2 · 144 · 109 ·cos 38, 4º = 89,53 m
38,4º + 40,4º = 78,8º
c = 67,512 + 109 2 − 2 · 67,51· 109 ·cos 78,8º = 116,53 m
EVALUACIÓN
1
La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene un ángulo
agudo de 33,7º cuyo lado opuesto mide 12 cm es:
a. 10 cm
b. 18 cm
c. 6,7 cm
d. 21,6 cm
El lado de 12 cm es un cateto, con lo que la hipotenusa es:
12
a=
= 21,63 cm
sen 33,7º
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
2
Dos de los lados de un triángulo miden 6 cm y 8 cm, y el ángulo opuesto al
lado de 6 cm es de 35º. La longitud del lado restante es:
a. 12,11 cm
b. 10,42 cm
c. 8,33 cm
d. 23,66 cm
6
8
=
⇒ α = 49,89º
sen 35º sen α
β = 180º − (35º + 49,89º ) = 95,11º
6
b
=
⇒ b = 10,42 cm
sen 35º sen 95,11º
3
Un triángulo tiene un lado de 6 cm y otro de 8 cm. Si el triángulo es
obtusángulo, la medida del tercer lado es:
a. 5 cm
b. 10 cm
c. 7 cm
d. 9 cm
a. El triángulo es obtusángulo:

82 = 64
⇒ 64 > 61

62 + 52 = 61 
b. El triángulo es rectángulo:
102 = 100

 ⇒ 100 = 100
2
2
6 + 8 = 100 
c. El triángulo es acutángulo:

82 = 64
 ⇒ 64 < 85
62 + 72 = 85 
d. El triángulo es acutángulo:
92 = 81

 ⇒ 81 < 100
2
2
6 + 8 = 100 
4
La medida del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos
lados miden 14 cm, 12 cm y 7 cm es:
a. 10 cm
b. 8 cm
c. 9 cm
142 = 122 + 72 − 2 · 12 · 7 · cos α ⇒ α = arccos
d. 7 cm
193 − 196
= 91,02º
168
14
14
= 2r ⇒ r =
= 7 cm
sen 91,02º
2 ·sen 91,02º
5
De un triángulo se conocen dos de sus lados, uno de 8 cm y otro 9 cm, y el
ángulo comprendido entre ellos, de 50º. El lado desconocido mide:
a. 7,24 cm
b. 15,44 cm
c. 15,92 cm
d. 6,92cm
c = 8 2 + 9 2 − 2 · 8 · 9· cos 50º = 7,24 m
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
6
Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 50º, cuyo lado opuesto mide 10 cm.
Los lados iguales miden:
a. 9 cm
b. 8,56 cm
2α + 50º = 180º ⇒ α =
c. 11,83 cm
d. 12 cm
180º − 50º
= 65º
2
10
a
=
⇒ a = 11,83 cm
sen 50º sen 65º
7
La cima de una montaña se ve desde cierta distancia con un ángulo de 60º.
Si nos alejamos 10 m más, se ve con un ángulo de 45º. La altura de la
montaña es:
a. 34,55 m
tg 60º = 3 =
⇒h=
8
10 3
3 −1
b. 23,66 m
c. 13,27 m
d. 20,66 m
h
⇒ h = x 3 ⇒ h = ( h − 10 ) 3 ⇒ h = 3h − 10 3 ⇒
x
= 23,66 m
El área de un triángulo obtusángulo que tiene un ángulo de 105º y otro de 20º, y
cuyo lado mayor mide 15 cm es:
a. 32,62 cm2
b. 50,73 cm2 c. 71,23 cm2 d. 65,24 cm2
α = 180º − (105º + 20º ) = 55º
a
15
=
⇒ a = 12,72 cm
sen 105º sen 55º
b
15
=
⇒ b = 5,31cm
sen 105º sen 20º
15
= 2r ⇒ 2r = 15,53 cm
sen 105º
At =
9
a · b · c 12,72 · 5,31· 15
=
= 32,62 cm2
4r
31,06
El tercer lado de un triángulo que tiene un lado de 3 cm y un segundo lado
de 8 cm cuyo ángulo opuesto es de 30º mide:
a. 10,46 cm
b. 13,66 cm
c. 15,99 cm
d. 18,45 cm
8
c
=
⇒ c = 10, 46 cm
sen 30º sen 139,19º
10 El número de triángulos con ángulos de 65º, 37º y 78º es:
a. Ninguno.
b. Infinitos.
c. Dos.
d. Uno.
65º + 37º + 78º = 180º . Existen infinitos triángulos con dichos ángulos, al poder
dibujar infinitos triángulos semejantes.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 9. Geometría analítica
2
Unidad 9. Geometría analítica
SOLUCIONES PÁG. 193
1
Escribe las coordenadas de los vectores propuestos, cuyo primer punto es
el origen, y cuyo segundo punto es el extremo. Represéntalos gráficamente
y halla su módulo y su argumento.
a. A (2 , 3) y B (4 , 5)
uuur
AB = (4 − 2 , 5 − 3) = ( 2 , 2 )
uuur
AB = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 = 2 2
α = arctg
2
= arctg 1 = 45º
2
b. Cuuur
(6 , 5) y D (5 , 3)
CD = ( 5 − 6 , 3 − 5 ) = ( −1, − 2 )
uuur
2
2
CD = ( −1) + ( −2 ) = 1 + 4 = 5
α = arctg
2
= arctg 2 = 63, 43º ⇒ α = 180º + 63,43º = 243, 43º
1
c. E (1 , 1) y F (–2 , 3)
uuur
EF = ( −2 − 1, 3 − 1) = ( −3 , 2 )
uuur
2
EF = ( −3 ) + 22 = 9 + 4 = 13
α = arctg
2
= 33,69º ⇒ α = 180º − 33,69º = 146,31º
3
d. G (–4 , 1) y H (1 , –1)
uuur
GH = (1 − ( −4 ) , − 1 − 1) = ( 5 , − 2 )
uuur
2
GH = 5 2 + ( −2 ) = 25 + 4 = 29
α = arctg
2
= 21,8º ⇒ α = 360º − 21,8º = 338,2º
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
2
Indica las componentes y los puntos origen y extremo de los vectores que
se representan a continuación. Halla también su módulo y su argumento.
Vector
r
t = ( 4 , 1)
r
u = ( 3 , − 1)
r
v = ( −1, 2)
r
w = ( −4 , − 2)
r
z = (1 , − 3 )
Origen
(– 3 , 1)
Extremo
(1 , 2)
(– 6 , 4)
(– 3 , 3)
(– 2 , – 3)
(– 3 , – 1)
(5 , – 1)
(1 , – 3)
(2 , 4)
(3 , 1)
Para calcular los argumentos, tendremos en cuenta los signos de las
componentes de los vectores.
3
Vector
r
t = ( 4 , 1)
Módulo
Argumento
17 = 4,12
arctg
r
u = ( 3 , − 1)
10 = 3,16
arctg
r
v = ( −1, 2)
5 = 2,24
arctg
r
w = ( −4 , − 2)
20 = 4,47
arctg
r
z = (1 , − 3 )
10 = 3,16
arctg
1
= 14,04º
4
−1
= 360º − 18,43º = 341,57º
3
2
= 180º − 63, 43º = 116,57º
−1
−2
= 180º + 26,57º = 206,57º
−4
−3
= 360º − 71,57º = 288, 43º
1
Contesta a las siguientes preguntas:
a. ¿Cómo tiene que ser el argumento de dos vectores para que sean
equipolentes?
El argumento debe ser el mismo.
b. ¿Y para que tengan la misma dirección, pero sentido contrario? ¿Cómo
se llamarían ambos vectores?
Para que dos vectores tengan la misma dirección, pero sentido contrario, su
argumento tiene que diferir en 180°, llamándose dichos vectores, vectores
opuestos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
c. ¿Y para que tengan la misma dirección? ¿Cómo serían sus coordenadas?
Para que dos vectores tengan la misma dirección su argumento tiene que
diferir en 0°, llamándose dichos vectores, vectores paralelos. Sus coordenadas
serían proporcionales.
4
r
Dibuja un vector no nulo, u , y, a continuación:
r
r
a. Un vector, v , que sea equipolente al vector u .
r
r
b. Un vector, w , opuesto a u .
r
c. Un vector, z , que tenga la misma dirección y sentido, pero distinto
módulo.
r
r
d. Un vector, t , que esté ligado a u .
5
Un cuadrilátero está formado por los puntos A (–3 , 3), B (2 , 5), C (3 , 2) y
D (–1 , –2). Dibuja dicho cuadrilátero y halla las dimensiones de sus lados.
Para hallar las dimensiones de sus lados, calculamos los módulos de los vectores
que los forman:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
uuur
uuur
AB = ( 5 , 2 ) ⇒ AB = 5 2 + 22 = 25 + 4 = 29 ≈ 5,39
uuur
uuur
2
BC = (1 , − 3 ) ⇒ BC = 12 + ( −3 ) = 1 + 9 = 10 ≈ 3,16
uuur
uuur
2
2
CD = ( −4 , − 4 ) ⇒ CD = ( −4 ) + ( −4 ) = 32 ≈ 5,66
uuur
uuur
2
DA = ( −2 , 5 ) ⇒ DA = ( −2 ) + 5 2 = 4 + 25 = 29 ≈ 5,39
SOLUCIONES PÁG. 195
6
Realiza gráficamente las operaciones pedidas con los siguientes vectores:
r
r
a. u + v
r
r
b. u – v
r
r
c. v + w
r
r
d. u – w
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
r
r
r
e. u + v + w
r
r
r
f. – u – v – w
7
Dados los puntos A (–4 , 8), B (10 , 12), C (–3 , –2) y D (12 , 8), efectúa las
siguientes operaciones:
uuur uuur
a. AB + BC
uuur uuur
AB + BC = (14 , 4 ) + ( −13 , − 14 ) = (1 , − 10 )
uuur uuur
b. BD − AC
uuur uuur
BD − AC = ( 2 , − 4 ) − (1 , − 10 ) = (1 , 6 )
uuur uuur uuur
c. AB − BD − CD
uuur uuur uuur
AB − BD − CD = (14 , 4 ) − ( 2 , − 4 ) − (15 , 10 ) = ( −3 , − 2 )
uuur uuur uuur
d. DB + CA − BC
uuur uuur uuur
DB + CA − BC = ( −2 , 4 ) + ( −1, 10 ) − ( −13 , − 14 ) = (10 , 28 )
8
Efectúa las operaciones indicadas con los siguientes vectores:
r
r
r
r
u = (8 , –12), v = (–9 , –2), w = (7 , 3), t = (11 , –20)
r
r
r
a. u + v + w
r r r
u + v + w = ( 8 , −12) + ( −9 , −2) + ( 7 , 3 ) = ( 6 , −11)
r
r
r
b. v + w – t
r r r
v + w − t = ( −9 , −2 ) + ( 7 , 3 ) − (11, −20 ) = ( −13 , 21)
r
r
r
r
c. ( u + v ) – ( w + t )
r r
r r
( u + v ) − w + t = ( 8 , −12) + ( −9 , −2) − ( 7 , 3 ) + (11, −20 )  =
(
)
= ( −1, −14 ) − (18 , −17 ) = ( −19 , 3 )
r
r
r
r
d. u – v + w – t
r
r r r
u − v + w − t = ( 8 , −12) − ( −9 , −2) + ( 7 , 3 ) − (11, −20 ) = (13 ,13 )
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
r
r
r
e. –( w + t ) + u
r
r
r
− w + t + u = − ( 7 , 3 ) + (11, −20 )  + ( 8 , −12 ) = − (18 , −17 ) + ( 8 , −12 ) = ( −10 , 5 )
(
)
r
r
r
r
f. u – ( v + w + t )
r r r r
u − v + w + t = ( 8 , −12 ) − ( −9 , −2 ) + ( 7 , 3 ) + (11, −20 )  =
(
)
= ( 8 , −12 ) − ( 9 , −19 ) = ( −1,7 )
r
r
r
r
r
g. t – u – w + ( t – v )
r r r
r r
t − u − w + t − v = (11, −20 ) − ( 8, −12 ) − ( 7 , 3 ) + (11, −20 ) − ( −9 , −2 )  =
(
)
= ( −4 , −11) + ( 20 , −18 ) = (16 , −29 )
r
r
r
r
h. ( u – t ) – ( v – w )
r
r
r r
u − t − ( v − w ) = ( 8 , −12 ) − (11, −20 )  − ( −9 , −2 ) − ( 7 , 3 )  =
(
)
= ( −3 , 8 ) − ( −16 , −5 ) = (13 , 13 )
9
r
r
Considerando los vectores u = (3 , –2) y v = (4 , 7), realiza la siguiente
r
r
r
r
operación: u – v , mientras tu compañero efectúa esta otra: v – u . ¿Qué
conclusiones obtenéis?
r r
u − v = ( 3 , −2 ) − ( 4 ,7 ) = ( −1, −9 )
r r
v − u = ( 4 ,7 ) − ( 3 , −2 ) = (1,9 )
r r
r r
La resta de vectores no es conmutativa y se cumple que u − v = − (v − u) , es
r r
decir, el vector resultante de la resta u − v es igual al opuesto del vector resultante
r r
de la resta v − u .
r
r
10 Dados los vectores u = (–1 , 7) y v = (3 , 4), halla los vectores que se indican
para que se verifiquen las condiciones pedidas:
r
r
r
r
a. w tal que u + v = w
r r
r
u + v = ( −1 , 7 ) + ( 3 , 4 ) = ( 2 ,11) ⇒ w = ( 2 ,11)
r
r
r
r
b. z tal que u – v = z
r r
r
u − v = ( −1,7 ) − ( 3 ,4 ) = ( −4 ,3 ) ⇒ z = ( −4 ,3 )
r
r
r
r
c. s tal que – u – v = s
r
r r
−u − v = − ( −1,7 ) − ( 3 ,4 ) = ( −2 , −11) ⇒ s = ( −2 , −11)
r
r r
r
d. t tal que – u + v = t
r
r r
−u + v = − ( −1,7 ) + ( 3 ,4 ) = ( 4 , −3 ) ⇒ t = ( 4 , −3 )
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
11 En la siguiente figura están representadas diferentes operaciones con
vectores. Si el vector resultante es el de color verde, indica qué tipo de
operaciones son y realízalas analíticamente.
a.
r r r
w = u + v = ( −2 ,1) + ( −2 , −2) = ( −4 , −1)
b.
r r r
w = u − v = ( −2 ,1) − ( −5 , −2) = ( 3 , 3 )
SOLUCIONES PÁG. 197
r
r
r
r
12 Halla 5 · u , –2 · u y 10 · u sabiendo que u = (–2 , 3).
r
5·u = 5· ( −2, 3 ) = ( −10,15 )
r
−2·u = −2· ( −2, 3 ) = ( 4, − 6 )
r
10·u = 10· ( −2, 3 ) = ( −20, 30 )
13 Considerando los vectores de la figura:
r
r
a. Calcula u · w utilizando el ángulo que forman ambos vectores.
r
r
Las componentes de los vectores son: u = ( 2 , 4 ) y w = ( 3 ,1)
r r r r
2
u · w = u · w · cos θ = 22 + 42 · 32 + 12 · cos 45º = 20 · 10 ·
=
2
400
= 10
2
b. Que tu compañero calcule el mismo producto escalar utilizando las
coordenadas de ambos vectores.
r r
u · w = ( 2 , 4 ) · ( 3 ,1) = 2 · 3 + 4 · 1 = 6 + 4 = 10
Comprobad que el resultado coincide.
El resultado es el mismo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
r
r
r
r
14 Considerando los vectores u = (10 , 4), v = (–3 , –1), w = (6 , –2), z = (12 , –6) y
r
t = (2 , –1) y efectúa las operaciones siguientes:
r
r
r
a. u – 2 · v + 3 · w
r
r
r
u − 2·v + 3· w = (10 , 4 ) − 2· ( −3 , −1) + 3· ( 6 , −2) = ( 34 ,0 )
r
r
r
b. u – w + 10 · z
r r
r
u − w + 10·z = (10 , 4 ) − ( 6 , −2) + 10· (12 , −6 ) = (124 , −54 )
r r
c. u · v
r r
u · v = (10 , 4 ) · ( −3 , −1) = −30 − 4 = −34
r r
d. u · w
r r
u · w = (10 , 4 ) · ( 6 , −2) = 60 − 8 = 52
r r
e. v · w
r r
v · w = ( −3 , −1) · ( 6 , −2) = −18 + 2 = −16
r r
f. z · u
r r
z · u = (12 , −6 ) · (10 ,4 ) = 120 − 24 = 96
r
r
r
g. –5 · u + 6 · v – 3 · z
r
r
r
−5·u + 6·v − 3· z = −5· (10 , 4 ) + 6· ( −3 , −1) − 3· (12 , −6 ) = ( −104 , −8 )
r r
h. z · t
r r
z · t = (12 , −6 ) · ( 2 , −1) = 24 + 6 = 30
r
r
r
i. 7 · u – 5 · t – 3 · w
r
r
r
7·u − 5· t − 3· w = 7· (10 , 4 ) − 5· ( 2 , −1) − 3· ( 6 , −2 ) = ( 42, 39 )
15 De entre los siguientes vectores, indica cuáles son perpendiculares:
r
r
a. u = (6 , –3), v = (–7 , 10)
r r
u · v = ( 6 , − 3 ) · ( −7 ,10 ) = −42 − 30 = −72
No son perpendiculares porque el producto escalar de vectores no es 0.
r
r
b. u = (5 , 3), v = (–9 , 15)
r r
u · v = ( 5 , 3 ) · ( −9 ,15 ) = −45 + 45 = 0
Sí son perpendiculares porque el producto escalar de vectores es 0.
r
r
c. u = (–2 , –12), v = (6 , 1)
r r
u · v = ( −2 , − 12) · ( 6 ,1) = −12 − 12 = −24
No son perpendiculares porque el producto escalar de vectores no es 0.
r
r
d. u = (12 , 9), v = (–3 , 4)
r r
u · v = (12 , 9 ) · ( −3 , 4 ) = −36 + 36 = 0
Sí son perpendiculares porque el producto escalar de vectores es 0.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
r
r
e. u = (5 , 7), v = (–14 , 10)
r r
u · v = ( 5 , 7 ) · ( −14 ,10 ) = −70 + 70 = 0
Sí son perpendiculares porque el producto escalar de vectores es 0.
r
r
f. u = (6 , 9), v = (12 , –8)
r r
u · v = ( 6, 9 ) · (12 , − 8 ) = 72 − 72 = 0
Sí son perpendiculares porque el producto escalar de vectores es 0.
16 Actividad resuelta.
17 Halla el ángulo que forman los siguientes vectores:
r
r
a. u = (12 , –15), v = (–10 , 9)
r r
u · v = (12 , − 15 ) · ( −10 , 9 ) = −120 − 135 = −255
r r
2
2
u · v = 122 + ( −15 ) · ( −10 ) + 9 2 ·cos θ = 66 789 ·cos θ
−255 = 66789 ·cos θ ⇒ θ = arccos
−255
66789
= 170,65º
r
r
b. u = (–2 , –3), v = (5 , 9)
r r
u · v = ( −2 , − 3 ) · ( 5 , 9 ) = −10 − 27 = −37
r r
2
2
u · v = ( −2 ) + ( −3 ) · 5 2 + 9 2 ·cos θ = 1378 ·cos θ
−37 = 1378 ·cos θ ⇒ θ = arccos
−37
1378
= 175,36º
r
r
c. u = (–15 , 30), v = (–8 , –4)
r r
u · v = ( −15, 30 ) · ( −8, − 4 ) = 120 − 120 = 0
Como el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares, por lo que
forman un ángulo de 90º.
r
r
d. u = (18 , 30), v = (12 , 2)
r r
u · v = (18 , 30 ) · (12 , 2) = 216 + 60 = 276
r r
u · v = 182 + 302 · 122 + 22 ·cos θ = 181152 ·cos θ
276 = 181152 ·cos θ ⇒ θ = arccos
276
181152
= 49,57º
18 Encuentra un vector perpendicular a los vectores dados. Representa ambos
vectores y comprueba gráficamente que son perpendiculares.
r
r
r
Dado un vector u = ( u1 , u2 ) , el vector v = ( −u2 , u1 ) y el vector w = ( u2 , − u1 ) son
r
perpendiculares a u . Con lo que los vectores perpendiculares a los dados son:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
r
a. u = (5 , 3)
r
r
v = (–3 , 5) y w = (3 , − 5)
r
b. v = (–1 , 2)
r
r
u = (2 , 1) y w = ( − 2 , − 1)
r
c. w = (–4 , –2)
r
r
u = (–2 , 4) y v = (2 , − 4)
r
d. z = (5 , –3)
r
r
u = (3 , 5) y v = ( − 3 , − 5)
19 En las siguientes páginas de Internet se proponen diversas actividades con
vectores. Accede a dichas páginas y realiza las actividades indicadas.
http://conteni2.educarex.es/mats/12090/contenido/
http://conteni2.educarex.es/mats/12091/contenido/
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
SOLUCIONES PÁG. 199
20 Halla las coordenadas desconocidas de los siguientes vectores para que
sean linealmente dependientes:
r
r
a. u = (–10 , a), v = (15 , 9)
−10 a
= ⇒ a = −6
15
9
r
r
b. u = (b , –36), v = (9 , 12)
b −36
=
⇒ b = −27
9 12
21 Actividad resuelta.
22 Representa los siguientes puntos en el plano cartesiano e indica sus
vectores de posición:
a. A (–4 , 5)
r
u = ( −4,5)
b. B (–1 , –3)
r
v = ( −1, − 3)
c. C (3 , 4)
r
w = (3, 4)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
r
23 Escribe el vector w = (12 , 19) como combinación lineal de los vectores
r
r
u = (4 , –3) y v = (12 , 5).
r
r
r
12 = 4a + 12b
w = au + bv ⇒ (12,19) = a(4, − 3) + b(12,5) ⇒ 
19 = −3a + 5b
Se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene que a = –3 y b = 2. Con lo que:
r
r
r
w = −3u + 2v .
24 Actividad resuelta.
25 Indica cuáles de los siguientes vectores pueden formar una base en el
plano:
Para que dos vectores formen base, tienen que ser linealmente independiente, es
decir, no pueden ser ni nulos no paralelos.
r
r
a. u = (15 , 7), v = (4 , 3)
15 7
≠ ⇒ Sí pueden formar base.
4 3
r
r
b. u = (10 , 17), v = (1 , 2)
10 17
⇒ Sí pueden formar base.
≠
1
2
SOLUCIONES PÁG 201
26 Halla la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r, que
pasa por los puntos P (–6 , 2) y Q (5 , 8), y de la recta s, cuyo vector director
r
es u = (2 , –7) y que pasa por el punto R (3 , –8).
• Ecuaciones de la recta r.
r
El vector director es u = (5 – (–6) , 8 – 2) = (11 , 6). La ecuación vectorial de
la recta es:
(x , y) = (–6 , 2) + k · (11 , 6), k ∈ ℝ
Las ecuaciones paramétricas son:
 x = −6 + 11k
,k∈ℝ

 y = 2 + 6k
• Ecuaciones de la recta s.
La ecuación vectorial de la recta es:
(x , y) = (3 , –8) + k · (2 , –7), k ∈ ℝ
Las ecuaciones paramétricas son:
 x = 3 + 2k
,k∈ℝ

 y = −8 − 7k
27 Halla la ecuación de la recta r, que es paralela a la recta t: 4x + y = 0 y que
pasa por el punto P (–3 , 5), y de la recta s, que es perpendicular a la recta
u: 5x – 3y – 6 = 0 y que pasa por el punto Q (4 , –2).
• Ecuación de la recta r.
Al ser paralela a la recta t, su vector director es el mismo. Se sustituye el
punto:
4 (–3) + 5 + C = 0 ⇒ C = 7
r: 4x + y + 7 = 0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
•
Ecuación de la recta s.
Al ser perpendicular a la recta u, su vector director es (5 , –3). Se sustituye el
punto:
x−4 y +2
=
⇒ −3·( x − 4) = 5·( y + 2) ⇒ −3 x + 12 = 5 y + 10 ⇒ 3 x + 5 y − 2 = 0
5
−3
SOLUCIONES PÁG. 203
28 Indica cuál es la posición relativa de las siguientes rectas y señala el punto
de corte en el caso de rectas secantes:
a.
r : 2x − y + 4 = 0

s :5x − y − 3 = 0 
2 −1
≠
, las rectas son secantes.
5 −1
Se resuelve el sistema:
2x − y + 4 = 0 y = 2x + 4
7
⇒ 2x + 4 = 5 x − 3 ⇒ x =
⇒
5 x − y − 3 = 0  y = 5 x − 3
3
Se sustituye el valor de x obtenido en la recta r:
7
26
2· − y + 4 = 0 ⇒ y =
3
3
 7 26 
El punto de corte es P  ,  .
3 3 
Como
b.
r : 3 x + 7y + 4 = 0 

s :6 x + 14 y + 8 = 0 
Como
c.
3 7 4
=
= , las rectas son coincidentes.
6 14 8
r : 12 x − 10y + 4 = 0 

s : − 6 x − 5y + 2 = 0 
12 −10
≠
, las rectas son secantes.
−6
−5
Se resuelve el sistema:
12x + 4

y=
12x − 10y + 4 = 0  
12x + 4 −6 x + 2
10
⇒
=
⇒x =0
⇒
−6 x − 5y + 2 = 0  
−6 x + 2
10
5
y=

5
Se sustituye el valor de x obtenido en la recta r:
2
12·0 − 10 y + 4 = 0 ⇒ y =
5
 2
El punto de corte es P  0,  .
 5
Como
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
d.
r : 3x + 5y + 4 = 0 

s : −6 x − 10 y + 8 = 0 
Como
3
5
4
=
≠ , las rectas son paralelas.
−6 −10 8
29 Estudia las posiciones relativas de las rectas propuestas. En el caso de que
sean secantes, halla el punto de intersección de las rectas.
a.
b.
y = 2x + 3

y = 2x + 5
Las rectas son paralelas porque tienen la misma pendiente y distinta ordenada
en el origen.
y = 7x + 3 

y = −4 x + 2 
Las rectas son secantes porque tienen distinta pendiente, 7 y –4,
respectivamente. Se halla el punto de corte:
y = 7x + 3 
−1
 7 x + 3 = −4 x + 2 ⇒ x =
y = −4 x + 2
11
Se sustituye el valor de x obtenido en la primera recta:
26
 1
y = 7·  −  + 3 ⇒ y =
11
 11 
 1 26 
El punto de corte es P  − ,  .
 11 11 
30 Determina el punto de intersección de las siguientes rectas: r: y – 5 = 2 · (x – 9)
y s: y + 9 = –3 · (x – 2)
Se despeja la variable y en las dos ecuaciones y se igualan:
y − 5 = 2·( x − 9)   y = 2 x − 13
⇒ 2x − 13 = −3 x − 3 ⇒ x = 2
⇒
y + 9 = −3·( x − 2)  y = −3 x − 3
Se sustituye el valor de x obtenido en la recta r:
y = 2 · 2 – 13 ⇒ y = –4
El punto de corte es P (2 , –4).
31 Expresa cuál es la posición relativa de estas rectas en el plano e indica el
punto de intersección en el caso de que las rectas sean secantes:
 x = 3 + 4k
x −2 y −1
;s : 
,k ∈
=
5
2
y = 4 − k
Se expresan ambas ecuaciones en la forma implícita:
x − 2 y −1

=
⇒ 2x − 5y + 1 = 0

5
2


 x = 3 + 4k
s:
, k ∈ ⇒ − x − 4y + 19 = 0 

y = 4 − k
a. r :
Como
2 −5
≠
, las restas son secantes.
−1 −4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
Se resuelve el sistema:
2x + 1

y=

2x − 5 y + 1 = 0  
2x + 1 − x + 19
5
⇒
=
⇒x =7
⇒
5
4
− x − 4y + 19 = 0  
− x + 19
y=

4
Se sustituye el valor de x obtenido en la recta r:
2 · 7 – 5y + 1 = 0 ⇒ y = 3
El punto de corte es P (7 , 3).
x −3 y +5
; s : 3x + 4y − 2 = 0
=
8
−6
Se expresa la ecuación de la recta r en forma implícita:
x −3 y +5

=
⇒ 6 x + 8 y + 22 = 0 
8
−6


3x + 4y − 2 = 0
6 8 22
, las rectas son paralelas.
Como = ≠
3 4 2
b. r :
x +3 y −2
; s : 5 x − 4 y + 23 = 0
=
4
5
Se expresa la ecuación de la recta r en forma implícita:
x +3 y −2

=
⇒ 5 x − 4 y + 23 = 0 
4
5


5 x − 4 y + 23 = 0
5 −4 23
=
Como =
, las rectas son coincidentes.
5 −4 23
c. r :
32 ¿Cuánto tiene que valer m para que las rectas r: y = mx y s:
x −5 y +2
=
2
3
sean paralelas?
Para que sean paralelas deben tener la misma pendiente pero no tener ningún
punto en común.
3
3
La pendiente de la recta s es , por tanto m = .
2
2
33 Halla el valor de C para que las rectas r: 3x – 2y + C = 0 y s:
x −5 y +2
=
2
3
sean coincidentes?
Para que sean coincidentes deben tener la misma pendiente y un punto en
común. Se sustituye el punto de la recta s, P (5 , –2), en la recta r:
3 · 5 – 2 · (–2) + C = 0 ⇒ C = –19
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
SOLUCIONES PÁG. 205
34 Calcula las coordenadas del punto medio de los segmentos formados por
los siguientes puntos:
a. A (3 , 7), B (9 , 5)
3+9 7+5
,
= ( 6,6 )
( xm , y m ) = 
2 
 2
Las coordenadas del punto medio son M (6 , 6).
b. A (1 , 9), B (–3 , –2)
1 + ( −3) 9 + ( −2)  
7
,
=  −1, 
( xm , y m ) = 

2
2
 2
 
7

Las coordenadas del punto medio son M  −1,  .
2

c. A (–5 , 8), B (7 , –7)
( −5) + 7 8 + ( −7)   1 
,
( xm , y m ) = 
 = 1 , 
2
2

  2
 1
Las coordenadas del punto medio son M  1 ,  .
 2
d. A (2 , –3), B (–1 , –6)
2 + ( −1) −3 + ( −6)   1 −9 
,
( xm , y m ) = 
= ,

2
 2
 2 2 
 1 −9 
Las coordenadas del punto medio son M  ,
.
2 2 
35. Actividad resuelta.
36. Halla las coordenadas del punto simétrico del punto A respecto del punto P
en los siguientes casos:
a. A (2 , 1), P (–2 , 0)
Las coordenadas del punto P son iguales a la semisuma de las coordenadas
de los puntos A y A’:
2 + x1 
−2 =
2  ⇒ −4 = 2 + x1  ⇒ x1 = −6 



1 + y 1  0 = 1 + y 1  y 1 = −1 
0=

2
Las coordenadas del punto simétrico son A’ (–6 , –1).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
b.
A (0 , –7), P (1 , 1)
Las coordenadas del punto P son iguales a la semisuma de las coordenadas
de los puntos A y A’:
0 + x1 
1=
 2 = 0 + x1  x1 = 2 
2
⇒
⇒

−7 + y1  2 = −7 + y1  y1 = 9 
1=
2 
Las coordenadas del punto simétrico son A’ (2 , 9).
c. A (– 4 , 9), P (2 , –2)
Las coordenadas del punto P son iguales a la semisuma de las coordenadas
de los puntos A y A’:
−4 + x1 
2=
2  ⇒ 4 = −4 + x1  ⇒ x1 = 8 



9 + y1  −4 = 9 + y1  y1 = −13 
−2 =
2 
Las coordenadas del punto simétrico son A’ (8 , –13).
d. A (–3 , –3), P (6 , 2)
Las coordenadas del punto P son iguales a la semisuma de las coordenadas
de los puntos A y A’:
−3 + x1 
6=
2  ⇒ 12 = −3 + x1  ⇒ x1 = 15 



−3 + y 1  4 = −3 + y1  y1 = 7 
2=
2 
Las coordenadas del punto simétrico son A’ (15 , 7).
37 Indica si los siguientes puntos están alineados:
a. A (2 , 5), B (3 , 10), C (5 , 20)
uuur
uuur uuur
AB = (3 − 2 , 10 − 5) = (1 , 5) 
1 5
⇒ AB BC
uuur
⇒ =
2 10
BC = (5 − 3,20 − 10) = (2 ,10)
Como los vectores son paralelos, por ser sus coordenadas proporcionales, los
puntos A, B y C, están alineados.
b. A (–3 , 4), B (12, –15), C (6 , –3)
uuur
AB = (12 − ( −3) , ( −15) − 4) = (15 , − 19) 15 −19
≠
uuur
⇒
−6 12
BC = (6 − 12 , − 3 − ( −15)) = ( −6 ,12) 
Como los vectores no son paralelos, por no ser sus coordenadas
proporcionales, los puntos A, B y C, no están alineados.
38 Halla el valor de x1, para que los puntos A (–8 , 3), B (x1 , 2) y C (4 , 9) estén
alineados.
x1 − ( −8) 4 − x1
x + 8 4 − x1
=
⇒ 1
=
⇒ x1 = −10
2−3
9−2
−1
7
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
39 ¿Qué relación tiene que haber entre x1 e y1 para que los puntos A (x1 , y1),
B (0 , 5) y C (3 , 2) estén alineados?
0 − x1 3 − 0
− x1
− x1
3
=
⇒
=
⇒
= −1 ⇒ x1 = 5 − y1
5 − y1 2 − 5
5 − y1 −3
5 − y1
40 Un cuadrilátero es un paralelogramo si cumple que sus diagonales se cortan
en su punto medio. Utilizando esta propiedad, determina si el cuadrilátero
determinado por sus vértices, A (2 , 3), B (7 , 3), C (9 , 1) y D (4 , 1), es un
paralelogramo.
Se halla el punto medio de la diagonal formada por los puntos A y C:
2 + 9 3 + 1   11 
,
=
, 2
( xm , y m ) = 
2   2
 2

Se halla el punto medio de la diagonal formada por los puntos B y D:
7 + 4 3 + 1   11 
,
=
, 2
( xm , y m ) = 
2   2
 2

Como los puntos medios coinciden, sí se trata de un paralelogramo.
41 Dibuja en tu cuaderno las siguientes situaciones:
a. Un haz de rectas que pasan por el punto P (3 , 5).
b. Un haz de rectas paralelas a la recta r: 3x – 2y – 5 = 0.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
42 Los puntos P (–2 , 1) y Q (3 , –2) son dos puntos opuestos de un rectángulo.
¿Cuánto mide su diagonal? ¿Cuáles son las coordenadas de su centro?
La longitud de la diagonal es el módulo del vector formado por los dos puntos.
uuur
PQ = (3 − ( −2),( −2) − 1) = (5, − 3)
uuur
PQ = 52 + ( −3)2 = 34
La diagonal mide 34 .
Las coordenadas de su centro son las coordenadas del punto medio de los puntos
P y Q.
−2 + 3 1 + ( −2)   1 −1 
,
=
,
( xm , y m ) = 
2   2 2 
 2
 1 −1 
Las coordenadas del punto medio es P  ,
.
2 2 
43 Si unimos los puntos A (2 , 6), B (5 , 4) y C (11 , 0), ¿podemos obtener un
triángulo? ¿Por qué?
Se comprueba si los tres puntos están alineados:
5 − 2 11 − 5
3
6
=
⇒
=
4−6 0−4
−2 −4
Los puntos A, B y C están alineados. Por ello, no se puede formar un triángulo si
unimos los tres puntos.
SOLUCIONES PÁG. 207
44 Establece la distancia entre los siguientes puntos:
a. P (2 , –1), Q (7 , –3)
uuur
d (P , Q) = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 = (7 − 2)2 + ( −3 − ( −1))2 = 25 + 4 = 29
b. P (17 , 3), Q (–8 , –6)
uuur
d (P , Q) = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 = ( −8 − 17)2 + ( −6 − 3)2 = 706
c. P (–20 , 18), Q (11 , 15)
uuur
d (P , Q) = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 = (11 − ( −20))2 + (15 − 18)2 = 970
d. P (9 , –6), Q (12 , 14)
uuur
d (P , Q) = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 = (12 − 9)2 + (14 − ( −6))2 = 409
45 Calcula la distancia existente entre un punto y una recta en los siguientes
casos:
a. P (–5 , 1), r: 3x + 2y – 12 = 0
Ax1 + By1 + C 3·( −5) + 2·1 − 12
25
25 13
=
=
=
d (P , r ) =
2
2
2
2
13
13
A +B
3 +2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
b. P (–25 , –30), r: 15x – 12y – 55 = 0
Ax1 + By1 + C 15·( −25) + ( −12)·( −30) − 55
70
70 41
d (P , r ) =
=
=
=
2
2
2
2
123
3 41
A +B
15 + ( −12)
c. P (50 , 20), r: 8x + 9y – 18 = 0
Ax1 + By1 + C 8·50 + 9·20 − 18
562
562 145
d (P , r ) =
=
=
=
2
2
2
2
145
145
A +B
8 +9
d. P (33, –17), r: –12x – 19y + 78 = 0
Ax1 + By1 + C
( −12)·33 + ( −19)·( −17) + 78
5
505
d (P , r ) =
=
=
=
101
505
A 2 + B2
( −12)2 + ( −19)2
46 Un cuadrilátero está formado por los puntos A (–4 , 3), B (1 , 6), C (2 , –1)
y D (–1 , 0). Halla el perímetro de dicho cuadrilátero.
Se halla la distancia entre los puntos A-B, B-C, C-D y D-A.
uuur
d (A , B) = AB = (1 − ( −4))2 + (6 − 3)2 = 25 + 9 = 34 = 5,83
uuur
d (B , C) = BC = (2 − 1)2 + (( −1) − 6)2 = 1 + 49 = 50 = 7,07
uuur
d (C , D) = CD = (( −1) − 2)2 + (0 − ( −1))2 = 9 + 1 = 10 = 3,16
uuur
d (D , A) = DA = (( −1) − ( −4))2 + (0 − ( −4))2 = 9 + 16 = 25 = 5
El perímetro es la suma de todas las distancias:
P = 5,83 + 7,07 + 3,16 + 5 = 21,06 u
47 Calcula el perímetro del cuadrilátero formado por los puntos A (–1 , 2), B (2 , 5),
C (6 , 1) y D (2, –1).
Se halla la distancia entre los puntos A-B, B-C, C-D y D-A.
uuur
d (A , B) = AB = (2 − ( −1))2 + (5 − 2)2 = 9 + 9 = 18 = 3 2
uuur
d (B , C) = BC = (6 − 2)2 + (1 − 5)2 = 16 + 16 = 32 = 4 2
uuur
d (C , D) = CD = (2 − 6)2 + (( −1) − 1)2 = 16 + 4 = 20 = 2 5
uuur
d (D , A) = DA = ( −1 − 2)2 + (2 − ( −1))2 = 9 + 9 = 18 = 3 2
El perímetro es la suma de todas las distancias:
P = 3 2 + 4 2 + 2 5 + 3 2 = 10 2 + 2 5 u
48 Halla la ecuación de las siguientes rectas y calcula su distancia al punto
P (–8 , 5):
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
•
Ecuación de la recta r.
Dos puntos de la recta r son, por ejemplo, P (9 , 7) y Q (4 , 5).
Se
uuurhalla el vector director formado por esos dos puntos:
PQ = (4 − 9,5 − 7) = ( −5, − 2)
Con el punto P y el vector se forma la ecuación de la recta r. Se calcula el
valor de C sustituyendo en la ecuación en forma general:
−2·9 + 5·7 + C = 0 ⇒ C = −17
La ecuación de la recta r es: −2 x + 5 y − 17 = 0
La distancia de r a P es:
( −2)·( −8) + 5·5 − 17
24
24 29
d (P , r ) =
=
=
2
2
29
29
( −2) + 5
•
Ecuación de la recta s.
Dos puntos de la recta s son, por ejemplo, P (8 , 5) y Q (5 , 3).
Se halla el vector director formado por esos dos puntos:
uuur
PQ = (5 − 8,3 − 5) = ( −3, − 2)
Con el punto P y el vector se forma la ecuación de la recta s. Se calcula el
valor de C sustituyendo en la ecuación en forma general:
−2·8 + 3·5 + C = 0 ⇒ C = 1
La ecuación de la recta s es: −2 x + 3 y + 1 = 0
La distancia de s a P es:
( −2)·( −8) + 3·5 + 1
32
32 13
=
=
d (P , s ) =
2
2
13
13
( −2) + 3
•
Ecuación de la recta t.
Dos puntos de la recta t son, por ejemplo, P (2 , 2) y Q (7 , 1).
Se halla el vector director formado por esos dos puntos:
uuur
PQ = (7 − 2 ,1 − 2) = (5, − 1)
Con el punto P y el vector se forma la ecuación de la recta t. Se calcula el
valor de C sustituyendo en la ecuación en forma general:
−1·2 + ( −5)· 2 + C = 0 ⇒ C = 12
La ecuación de la recta t es: − x − 5 y + 12 = 0
La distancia de t a P es:
( −1)·( −8) + ( −5)·5 + 12
5
5 26
d (P , t ) =
=
=
26
26
( −1)2 + ( −5)2
49 Determina la distancia existente entre las siguientes rectas paralelas:
a. r: 8x + 5y – 12 = 0 y s: 8x + 5y + 10 = 0
C' − C
10 − ( −12)
22
22 89
d (r , s ) =
=
=
=
2
2
2
2
89
89
A +B
8 +5
b. r: –x – y + 9 = 0 y s: –x – y – 2 = 0
C' − C
−2 − 9)
11 11 2
d (r , s ) =
=
=
=
2
2
2
2
2
2
A +B
( −1) + ( −1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
c.
r: 7x – 3y + 20 = 0 y s: 7x – 3y – 4 = 0
C' − C
−4 − 20)
24
12 58
d (r , s ) =
=
=
=
2
2
2
2
29
58
A +B
7 + ( −3)
d. r: –6x + 3y – 8 = 0 y s: –6x + 3y + 11 = 0
C' − C
11 − ( −8)
19
19 5
d (r , s ) =
=
=
=
2
2
2
2
15
45
A +B
( −6) + 3
e. r: 2x – y – 1 = 0 y s: 2x – y + 1 = 0
C' − C
1 − ( −1)
2
2 5
d (r , s ) =
=
=
=
2
2
2
2
5
5
A +B
2 + ( −1)
SOLUIONES PÁG. 209
1
Indica qué es un vector y cuáles son sus elementos.
r
Un vector fijo u = (u1 , u2) de origen A (x1 , y1) y extremo B (x2 , y2), es el
uuur
segmento orientado AB y se representa por AB .
El
módulo
de
un
vector
es
la
longitud
del
segmento
r uuur
2
2
2
2
AB = u = AB = ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) = u1 + u2
La dirección de un vector viene determinada por la posición de la recta que
contiene a dicho vector. De este modo, todos los vectores que son paralelos
tienen la misma dirección.
El sentido de un vector viene determinado por la orientación de dicho vector, de
uuur
modo que si tenemos un vector AB , el sentido es la orientación del origen A al
extremo B.
El argumento de un vector es el ángulo que forma con la horizontal y se calcula
con la arcotangente de sus coordenadas:
y − y1
u
α = arctg 2
= arctg 2
x2 − x1
u1
2
Expón cómo saber si dos vectores son paralelos. ¿Y si son o no
perpendiculares? ¿Cómo se puede establecer qué ángulo forman dos
vectores?
Dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales.
Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es 0, ya que
cos 90° = 1.
El ángulo que forman dos vectores se puede calcular con su producto escalar.
3
¿Qué diferencia existe entre vectores linealmente dependientes y
linealmente independientes?
Dos o más vectores son linealmente dependientes si existe una combinación
lineal de ellos que es igual al vector cero sin que sean cero todos los coeficientes
de la combinación lineal.
Dos o más vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede
expresarse como una combinación lineal del resto de vectores, es decir, si no son
dependientes.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
4
¿Qué elementos se necesitan para definir una recta?
Para definir una recta se necesitan:
• Dos puntos.
• Un punto y su vector director.
5
¿Qué es una base del espacio vectorial?
Una base del espacio vectorial es la formada por dos vectores linealmente
independientes.
6
Indica las expresiones de las diferentes ecuaciones en que se puede
expresar una recta a partir de uno de sus puntos, P (x1 , y1), y de su vector
r
director, u = (u1 , u2).
Vectorial
Paramétricas
Continua
7
8
( x , y ) = ( x1 , y1 ) + k · ( v1, v 2 ) , k ∈
 x = x1 + k · v1
,k∈

 y = y1 + k · v 2
x − x1 y − y 1
=
v1
v2
Ax + By + C = 0 con A = v 2 , B = −v1, C = v1 · y1 − v 2 · x1
General
y = mx + n
Explícita
y − y 1 = m ( x − x1 )
Punto-pendiente
¿Qué posiciones relativas puede haber entre dos rectas?
Son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, coincidentes cuando son
comunes todos sus puntos y secantes cuando se cortan en un punto.
Escribe las expresiones necesarias para calcular la distancia existente entre
dos puntos, entre un punto y una recta y entre dos rectas paralelas.
Distancia entre dos puntos: d (P , Q) =
( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2
Distancia entre un punto y una recta: d (P , r) =
Distancia entre dos rectas paralelas: d (r , s) =
9
Ax1 + By1 + C
A 2 + B2
C' − C
A 2 + B2
Prepara una presentación para tus compañeros sobre los vectores, las
rectas y las relaciones métricas. Puedes hacer un documento PowerPoint,
usar Glogster…
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
SOLUCIONES PÁG. 210 - REPASO FINAL
VECTORES EN EL PLANO
1
Representa los siguientes vectores y dibuja su vector opuesto y un vector
equipolente:
r
a. u = (–6 , 5)
r
b. v = (2 , 4)
r
c. w = (–3, –5)
2
Dados los puntos A (–5 , 12), B (15 , 20),
C (19
(–4
, 29),
uuur
uuur, –3),
uuur D uuu
r , –18)
uuur yuuuEr (23uuur
halla las coordenadas de los vectores AB , CD , ED , AE , DB , BC y AC y
calcula sus respectivos módulos y argumentos. Representa dichos vectores
con GeoGebra.
uuur
• AB = (15 − ( −5) , 20 − 12) = ( 20 , 8 )
uuur
AB = 20 2 + 82 = 400 + 64 = 4 29
α = arctg
8
= 21,8º
20
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
•
uuur
CD = (( −4) − 19 , ( −18) − ( −3)) = ( −23 , − 15 )
uuur
CD = ( −23)2 + ( −15)2 = 529 + 225 = 754
−15
α = arctg
= 213,11º
−
23
uuur
• ED = (( −4) − 23 , ( −18) − 29) = ( −27 , − 47 )
uuur
ED = ( −27)2 + ( −47)2 = 729 + 2 209 = 2 938
−47
α = arctg
= 240,12º
−27
uuur
• AE = (23 − ( −5) , 29 − 12) = ( 28 ,17 )
uuur
AE = 28 2 + 17 2 = 784 + 289 = 1073
17
α = arctg
= 31,26º
28
uuur
• DB = (15 − ( −4) , 20 − ( −18)) = (19 , 38 )
uuur
DB = 19 2 + 38 2 = 361 + 1444 = 19 5
38
α = arctg
= 63, 43º
19
uuur
• BC = (19 − 15 , ( −3) − 20) = ( 4 , − 23 )
uuur
BC = 4 2 + ( −23)2 = 16 + 529 = 545
−23
α = arctg
= 279,87º
4
uuur
• AC = (19 − ( −5) , ( −3) − 12) = ( 24 , − 15 )
uuur
AC = 24 2 + ( −15)2 = 576 + 225 = 3 89
α = arctg
−15
= 327,99º
24
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
OPERACIONES CON VECTORES
3
r
r
A partir de los vectores u = (3 , –1) y v = (4 , –5), realiza gráficamente las
siguientes operaciones:
r r
a. u + v
r
r
b. u – v
r r
c. v – u
4
r
Efectúa las operaciones indicadas con los siguientes vectores u = (–3 , 8),
r
r
r
v = (7 , 2), w = (–4 , –6) y t = (1 , –10):
r
r
r
r
a. 3 u – 2 v + 5 w – 6 t
r
r
r
r
3u − 2v + 5w − 6t = ( −9 , 24) − (14 , 4 ) + ( −20 , − 30 ) − ( 6 , − 60 ) = ( −49 , 50 )
r
r
r
r
b. 2( v + w ) – ( u – t )
(
)
r r
r r
2 ( v + w ) − u − t = 2· ( 3 , −4 ) − ( −4 , 18 ) = ( 6 , −8 ) − ( −4 , 18 ) = (10 , −26 )
r
r
r
r
c. –4( u – w – t ) + 3 v
(
)
r r r
r
−4 u − w − t + 3v = −4· ( 0 , 24 ) + ( 21, 6 ) = ( 0 , − 96 ) + ( 21, 6 ) = ( 21, − 90 )
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
r
r
r
r
r
r
d. ( u – v ) – ( v – w ) – ( t – u )
( u − v ) − ( v − w ) − ( t − u) = ( −10 , 6 ) − (11, 8 ) − ( 4 , − 18 ) = ( −25 , 16 )
r
5
r
r
r
r
r
Calcula el producto escalar de los siguientes vectores:
r
r
a. u = (–15 , 20), v = (2 , –4)
r r
u · v = u1 · v 1 + u2 · v 2 = −15·2 + 20·( −4) = −110
r
r
b. u = (–17 , 22), v = (1 , –9)
r r
u · v = u1 · v1 + u2 · v 2 = −17·1 + 22·( −9) = −215
6
De entre los siguientes vectores, indica cuáles son perpendiculares y cuáles
son paralelos. Determina el ángulo que forman los que no pertenezcan a
ninguno de los dos tipos:
r
r
a. u = (4 , 2), v = (6 , 3)
Los vectores son paralelos porque sus componentes son proporcionales:
4 2
=
6 3
r
r
b. u = (1 , 3), v = (–2 , 5)
No sonrparalelos
ni perpendiculares, por lo que hallamos el ángulo que forman:
r
u· v
−2 + 15
13
13
cos θ = r r =
=
=
⇒ θ = 40º14 '11''
2
2
2
2
u·v
10
·
29
290
1 + 3 · ( −2 ) + 5
r
r
c. u = (10 , –6), v = (–35 , 21)
Los vectores son paralelos porque sus componentes son proporcionales:
10
−6
2
=
=−
−35 21
7
r
r
d. u = (–3 , 2), v = (–10 , 15)
No sonrparalelos
ni perpendiculares, por lo que hallamos el ángulo que forman:
r
u· v
30 + 30
60
60
cos θ = r r =
=
=
⇒ θ = 22º 37 '12''
2
2
2
2
u·v
13 · 325 65
( −3) + 2 · ( −10 ) + 15
VECTORES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.
VECTORIAL. SISTEMA DE REFERENCIA
7
BASE
DEL
ESPACIO
Halla el valor de a y b para que los siguientes vectores sean linealmente
dependientes:
r
r
a. u = (13 , –18) y v = (–39 , a)
−39 · ( −18 )
13
−18
−39
=
a
⇒a=
13
= 54 ⇒ a = 54
r
r
b. u = (b , 451) y v = (12 , 11)
b
451
451· 12
=
⇒b=
= 492 ⇒ b = 492
12 11
11
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
8
9
r
Escribe el vector w = (–24 , 17) como combinación lineal de los vectores
r
r
u = (–2 , 8) y v = (9 , 3).
r
r
r
 −24 = −2a + 9b
w = au + bv ⇒ ( −24,17) = a( − 2,8) + b(9,3) ⇒ 
17 = 8a + 3b
−79
75
Se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene que a =
yb=
. Con lo
39
26
r − 79 r 75 r
que w =
u+
v.
39
26
r
r
¿Pueden los vectores u = (12 , –5) y v = (3 , –1) formar una base en el
r
r
plano? ¿Y los vectores u = (4 , 6) y v = (6 , 9)?
r
r
Los vectores u = (12 , –5) y v = (3 , –1) sí pueden formar una base, al ser
linealmente independientes ya que sus componentes no son proporcionales:
12 −5
≠
3
−1
r
r
Los vectores u = (4 , 6) y v = (6 , 9) no pueden formar una base, al ser
linealmente dependientes ya que sus componentes son proporcionales: 4 = 6 = 2
6
9
3
r
10 Halla las coordenadas del vector u = (4 , –10) respecto de la base B = {(–2 , 1),
(–6 , –1)}.
 − 2a − 6b = 4
 a − b = − 10
( 4 , − 10 ) = a ( −2 , 1) + b ( −6 , − 1) ⇒ 
Se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene que a = –8 y b = 2. Con lo que
r
u' = ( −8,2) .
11 Considera un sistema de referencia y realiza una traslación para obtener un
nuevo sistema de referencia, de modo que el punto P (4 , 5) se transforme en
el punto P' (2 , 1). Contesta después a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el vector de traslación?
r
u = (2 , 4)
b. ¿Cuáles son las coordenadas del origen en el nuevo sistema de
referencia respecto al sistema de referencia inicial?
(2 , 4)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
c. Indica las coordenadas en el nuevo sistema de referencia de los puntos
Q (–3 , 4) y R (3 , 1).
Q’ (-5 , 0) y R’ (1 , –3)
ECUACIONES DE LA RECTA
12 Escribe los distintos tipos de ecuaciones de la recta para la recta r que pasa
por los puntos P (–3 , 2) y Q (8 , 4), y para la recta s que pasa por el punto
r
R (–1 , –4) y cuyo vector director es u = (9 , 5).
Recta
Vector director
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
Ecuación general
Ecuación punto-pendiente
Ecuación explícita
Recta
Vector director
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
Ecuación general
Ecuación punto-pendiente
Ecuación explícita
r
r
u = (11, 2 )
( x , y ) = ( −3 , 2 ) + k · (11, 2 ) , k ∈
 x = −3 + 11k
,k∈

 y = 2 + 2k
x+3 y −2
=
11
2
2 x − 11y + 28 = 0
2
( x + 3)
11
2
28
y= x+
11
11
y −2=
s
r
u = (9 , 5)
( x , y ) = ( −1, − 4 ) + k· ( 9 , 5 ) , k ∈
 x = −1 + 9k
,k∈

 y = −4 + 5k
x +1 y + 4
=
9
5
5 x − 9 y − 31 = 0
5
( x + 1)
9
5
31
y= x−
9
9
y +4=
13 Indica la ecuación general de la recta de los ejes coordenados y de las
bisectrices de los cuadrantes.
Eje de abscisas
Eje de ordenadas
Bisectriz del primer cuadrante
Bisectriz del segundo cuadrante
y=0
x=0
x–y=0
x+y=0
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
14 Escribe las siguientes rectas en el resto de las distintas formas en que se
puede expresar:
 x = 2 + 7k
,k ∈
a. r : 
 y = −5 − 8k
Recta r
 x = 2 + 7k
r :
,k ∈
 y = −5 − 8k
Ecuación vectorial
Ecuación continua
( x , y ) = ( 2 , − 5 ) + k ( 7 , −8 ) , k ∈
x−2 y +5
=
7
−8
8 x + 7 y + 19 = 0
Ecuación general
Pendiente
m=−
Ecuación punto-pendiente
y +5= −
Ecuación explícita
b. s :
8
7
8
( x − 2)
7
8
19
y =− x−
7
7
x −5 y +6
=
3
2
Recta s
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación general
Ecuación punto-pendiente
Ecuación explícita
x −5 y +6
=
3
2
( x , y ) = ( 5 , − 6 ) + k ( 3 , 2) , k ∈
 x = 5 + 3k
,k ∈

 y = −6 + 2k
2 x − 3 y − 28 = 0
2
( x + 5)
3
2
8
y= x−
3
3
y +6=
c. t: y – 9 = 2 · (x + 8)
Recta t
Ecuación explícita
Ecuación general
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
y − 9 = 2 ( x + 8)
y = 2 x + 25
2 x − y + 25 = 0
( x , y ) = ( −8 , 9 ) + k (1 , 2 ) , k ∈
 x = −8 + k
,k∈

 y = 9 + 2k
y −9
x +8=
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
SOLUCIONES PÁG. 211
15 Halla la ecuación de la recta que es paralela a la recta r: –x – 3y – 8 = 0 y
pasa por el punto P (12 , 7).
Como la recta es paralela a la dada, sus vectores directores tienen que ser
proporcionales. Con lo que la nueva recta será de la forma –x – 3y + C = 0.
Como dicha recta pasa por el punto P (12 , 7), sustituimos sus coordenadas en la
recta para hallar el valor de C.
–12 – 3 · 7+ C = 0 ⇒ C = 33
Y la recta pedida es entonces: –x – 3y + 33 = 0.
16 Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta r: 9x + 8y + 3 = 0
y pasa por el punto P (–3 , –2).
Como las rectas son perpendiculares, hallando el vector director de la recta dada,
r
r
u = (u1 ,u2 ) , calculamos el de la recta pedida mediante la expresión v = ( −u2 ,u1 ) .
r
r
Entonces u = ( −8,9) , con lo que v = ( −9 , − 8) . De este modo la expresión de la
recta pedida es de la forma 8x – 9y + C = 0. Sustituyendo el punto dado,
obtenemos el valor de C.
8 · (–3) – 9 · (–2) + C = 0 ⇒ C = 6
Y la recta pedida es entonces: 8x – 9y + 6 = 0.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
17 Expresa la posición relativa de las siguientes rectas en el plano, indicando el
punto de intersección en el caso de que las rectas sean secantes:
 x = 8 − 5k
x +4 y −8
,k ∈
y s:
=
−2
−5
 y = 3 + 10k
−2 −5
≠
, las rectas son secantes.
Como
−5 10
Se resuelve el sistema:
5 x + 36

−5 x + 2y − 36 = 0   y =
5 x + 36
2
⇒
= −2x + 19 ⇒ x =
2
⇒
2 x + y − 19 = 0  
2
9
 y = −2 x + 19
Se sustituye el valor de x obtenido en la recta r:
2
167
−5· + 2y − 36 = 0 ⇒ y =
9
9
 2 167 
El punto de corte es P  ,
.
9 9 
x −4 y −7
b. r :
y s: 5x + 3y – 2 = 0
=
10
−6
La ecuación r en forma general es: 10x + 6y – 82 = 0.
10 5 −82
= ≠
, las rectas son paralelas.
Como
6 3 −2
a. r :
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
x = 6 − k
x = 8 − k '
,k ∈
c. r : 
y s:
 y = 12 + 5k
 y = 12 − 5k '
El vector director de la recta r es (–1 , 5) y el de la recta s es (–1 , –5). Como no
son proporcionales, las rectas son secantes.
Se halla el punto de intersección. Se igualan las coordenadas y se calcula k y k’.
6 −k = 8 −k'
 −k + k ' = 2  −5k + 5k ' = 10  k ' = 1 
⇒
⇒
⇒

12 + 5k = 12 − 5k ' 5k + 5k ' = 0  5k + 5k ' = 0  k = −1
Se sustituye k o k’ en su recta correspondiente, y se obtiene el punto de
intersección P (7 , 7).
18 Halla el punto de intersección de estas rectas.
r : 5 x − 2 y + 14 = 0 

a.
5

s:y = x +7

2
5 x − 2 y + 14 = 0 

5

 ⇒ 5 x − 2  x + 7  + 14 = 0 ⇒ 5 x − 5 x − 14 + 14 = 0 ⇒ 0 = 0
5
y = x+7 
2

2

Con lo que las soluciones son infinitas, las rectas son coincidentes, de modo
que todos los puntos coinciden.
b.
r : 5 x + 9y − 8 = 0 

s : − x − 4y + 5 = 0
5x + 9y − 8 = 0 
5 x + 9y − 8 = 0 
17
13
⇒x=−
⇒
⇒ y =
− x − 4y + 5 = 0 
−5 x − 20 y + 25 = 0 
11
11
 13 17 
Con lo que el punto de intersección es P  − , 
 11 11 
RELACIONES MÉTRICAS
19 Calcula las coordenadas del punto medio de los segmentos formados por
los puntos indicados a continuación. Halla también la distancia entre dichos
puntos y comprueba los resultados con GeoGebra.
a. A (12 , 15), B (–20, 35)
12 + ( −20) 15 + 35 
,
= ( −4, 25 )
( xm , y m ) = 
2
2 

uuur
d (A , B) = AB = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 = ( −20 − 12)2 + (35 − 15)2 = 37,74
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
b.
A (–18 , –24), B (2 , 8)
( −18) + 2 ( −24) + 8 
,
( xm , y m ) = 
 = ( −8, − 8 )
2
2


uuur
d (A , B) = AB = ( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 = (2 − ( −18))2 + (8 − ( −24))2 = 37,74
20 Halla las coordenadas del punto simétrico del punto A (–3 , 7) respecto del
punto P (4 , –5).
Las coordenadas del punto P son iguales a la semisuma de las coordenadas de
los puntos A y A’:
−3 + x1 
4=
2  ⇒ 8 = −3 + x1  ⇒ x1 = 11 



7 + y1  −10 = 7 + y1  y1 = −17 
−5 =
2 
Las coordenadas del punto simétrico son A’ (11 , –17).
21 Indica si los puntos propuestos están alineados y comprueba el resultado
con GeoGebra.
a. A (6 , –5), B (–3 , 9), C (–1 , –4)
uuur
AB = ( −3 − 6 , 9 − ( −5)) = ( −9 , 14) 
−9 14
≠
uuur
⇒
2
−13
BC = ( −1 − ( −3), − 4 − 9) = (2 , − 13)
Como los vectores no son paralelos, los puntos A, B y C, no están alineados.
b. A (–2 , 4), B (4 , 6), C (10 , 8)
uuur
uuur uuur
AB = (4 − ( −2) , 6 − 4) = (6 , 2)
6 6
uuur
 ⇒ = ⇒ AB BC
2 2
BC = (10 − 4,8 − 6) = (6 ,2) 
Como los vectores son paralelos, por ser sus coordenadas proporcionales, los
puntos A, B y C, están alineados.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
22 Halla la distancia entre los siguientes elementos y verifica luego el resultado
con GeoGebra:
a. P (3 , –12) y r: –x + 5y + 9 = 0
Ax1 + By1 + C
−1·3 + 5·( −12) + 9
54
27 26
d (P , r ) =
=
=
=
= 10,59
2
2
2
2
13
26
A +B
( −1) + 5
b. r: 6x – 2y + 5 = 0 y s: 6x – 2y – 4 = 0
C' − C
−4 − 5
9
9 10
d (r , s ) =
=
=
=
= 1, 42
20
40
A 2 + B2
62 + ( −2)2
EVALUACIÓN
1
uuur
Sean los puntos A (6 , –10) y B (4 , 6) las coordenadas del vector AB son:
a. (10 , – 4)
b. (2 , –16)
c. (– 4 , 10)
uuur
AB = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) = (4 − 6,6 − ( −10)) = ( −2,16)
2
d. (–2 , 16)
El punto medio del segmento formado por los puntos de la actividad anterior es:
a. (5 , –2)
b. (1 , –8)
c. (–2 , 5)
d. (–1 , 8)
 x1 + x2 y1 + y 2   6 + 4 −10 + 6 
,
,
( xm , y m ) = 
 = ( 5, − 2 )
2   2
2

 2
3
r
r
r
Dados u = (1 , –1), v = (3 , –5) y w = (2 , –9), el resultado de la operación
r
r
r
r
4 · ( u – 3 · v ) + 9 · w – u es:
a. (15 , –18)
b. (20 , –18)
c. (–15 , –24)
d. (–24 , 18)
r
r
r
r
4 · ( u – 3 · v ) + 9 · w – u = 4 · [(1 , –1) – 3 · (3 , –5)] + 9 · (2 , –9) – (1 , 1) =
= 4 · (–8 , 14) + (18 , –81) – (1 , –1) = (–15 , –24)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
4
r
r
El producto escalar de los vectores u = (10 , –12) y v = (24 , 15) es:
a. 438
b. 60
c. 41
r r
u· v = u1 · v 1 + u2 · v 2 = 10·24 + ( −12)·15 = 60
5
d. 100
r
Las coordenadas del vector u = (13 , 33) en la base B = {(–1 , 9), (–8 , –3)}
son:
a. (5 , –3)
b. (2 , –1)
c. (–3 , 1)
d. (3 , –2)
 − a − 8b = 13
(13 , 33 ) = a ( −1, 9 ) + b ( −8 , − 3 ) ⇒ 
9a − 3b = 33
Se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene que a = 3 y b = –2. Con lo que
r
u' = (3 , − 2) .
6
El vector director y el vector normal de la recta r: 3x – 4y + 10 = 0, son
respectivamente:
r
r
a. u = (–3 , –4) y n = (3 , 4)
r
r
b. u = (3 , –4) y n = (3 , 4)
r
r
c. u = (4 , 3) y n = (3 , –4)
r
r
d. u = (–3 , –4) y n = (–3 , 4)
r
r
El vector director de la recta dada, u = (u1 ,u2 ) , u = (B , − A) , por lo que
r
r
r
u = ( −4, − 3) = (4,3) . El vector perpendicular es n = (A , B) , por lo que n = (3 , − 4) .
7
El punto de intersección de las siguientes rectas es:
 x = 16 − 3k
r :
,k ∈
 y = 2 − 6k
a. (–5 , 8)
 x = 3 − 4k '
s:
,k ∈
 y = 1 + 12k '
b. (4 , –3)
c. (–2 , 6)
d. (8 , –14)
16 − 3k = 3 − 4k ' 
8
⇒k = 
2 − 6k = 1 + 12k ' 
3
Se sustituye k en la primera ecuación:
8
x = 16 − 3· = 8
3
8
y = 2 − 6· = −14
3
8
La distancia entre el punto P (9 , 2) y la recta r: –3x + 2y – 7 = 0 es:
a. 8,32
d (P , r ) =
b. 3,25
Ax1 + By1 + C
A +B
2
2
=
c. –8,32
−3·9 + 2·2 − 7
( −3) + 2
2
2
d. 9,53
=
30
13
= 8,32
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
1
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 10. Características globales de
las funciones
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
Unidad 10. Características globales de las funciones
SOLUCIONES PÁG. 223
1
Indica cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función:
a.
Sí es función, porque la relación entre las variables x e y es de forma que a
cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la
variable dependiente, y.
b.
No es función, porque la relación entre las variables x e y es de forma que a
cada valor de la variable independiente, x, le corresponde varios valores de la
variable dependiente, y.
2
Halla la expresión algebraica correspondiente a las siguientes funciones
definidas mediante un enunciado:
a. A cada número se le asigna el cuadrado de su consecutivo.
f (x) = (x + 1)2
b. El volumen de una esfera de radio r.
4
f (r) = πr 3
3
c. El espacio recorrido en un tiempo, t, por un móvil que circula a 60 km/h.
f (t) = 60t
d. El área de un triángulo equilátero de lado l.
3 2
l
f (l) =
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
3
Expresa de todas las maneras posibles la función que asocia:
a. A cada número su triple disminuido en cuatro unidades.
Mediante una expresión algebraica: f (x) = 3x – 4
Mediante una tabla de valores:
Mediante una gráfica:
b. A la arista de un cubo su área.
Mediante una expresión algebraica: f (x) = 6x2
Mediante una tabla de valores:
Mediante una gráfica:
c. Al número de minutos que dura una llamada telefónica el coste de la
llamada, sabiendo que el establecimiento de llamada es de 0,15 € y que
cada minuto cuesta 0,10 €.
Mediante una expresión algebraica: f (x) = 0,10x + 0,15
Mediante una tabla de valores:
Mediante una gráfica:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
4
5
3x
x −1
Mediante un enunciado: a cada número se le asocia el cociente de su triple entre
su anterior.
Mediante una tabla de valores:
Expresa, mediante un enunciado y una tabla de valores, la función: f (x) =
Halla las imágenes, si existen, de los valores x = –2, x = −
2
,x=0yx=3
3
para las siguientes funciones:
a. f (x) = 3x2 + 6x
f (–2) = 0
8
 2
f −  = −
3
 3
f (0) = 0
f (3) = 45
4x
b. f (x) =
3x + 2
f (–2) = 2
 2
No existe f  − 
 3
f (0) = 0
12
f (3) =
11
c. f (x) = 4 x + 3
No existe f (–2)
3
 2
f −  =
3
 3
f (0) =
3
15
5
d. f (x) = 2
x −9
f (–2) = –1
45
 2
f −  = −
77
 3
5
f (0) = −
9
No existe f (3)
f (3) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
6
A partir de esta tabla de valores, obtén su expresión algebraica y dibuja su
representación gráfica:
f (x) = 4x – 3
7
Elabora una tabla de valores que se corresponda con la siguiente gráfica:
SOLUCIONES PÁG. 224
8
Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
a.
D (f) = [–4 , 4]; R (f) = [–3 , 2]
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
b.
D (f) = [–5 , –1) ∪ [1 , 3]; R (f) = [–4 , 5)
9
Comprueba si los valores x = –2, x = 0 y x = 3 pertenecen al dominio de las
siguientes funciones:
a. f (x) = 2x3 – 4
Se sustituyen los valores de x en la función.
f (–2) = 2 · (–2)3 – 4 = 2 · (–8) – 4 = –20 ⇒ Sí pertenece al dominio.
f (0) = 2 · 03 – 4 = –4 ⇒ Sí pertenece al dominio.
f (3) = 2 · 33 – 4 = 54 – 4 = 50 ⇒ Sí pertenece al dominio.
b. f (x) = 2 x – 5
f (–2) = 2·( −2) − 5 = −9 ⇒ Como la raíz es negativa, x = 2 no pertenece al
dominio.
f (0) = 2·0 − 5 = −5 ⇒ Como la raíz es negativa, x = 0 no pertenece al
dominio.
f (3) = 2·3 − 5 = 1 = ±1 ⇒ Como la raíz es positiva, x = 3, sí pertenece al
dominio.
10 Determina el dominio de estas funciones:
a. f (x) = 3x2 + 5x – 1
La expresión algebraica de la función es un polinomio. Por lo tanto, es dominio
son todos los números reales. D (f) = ℝ
2x
b. f (x) =
3x − 1
2x
Como la expresión algebraica de la función, f( x ) =
, tiene x en el
3x − 1
denominador, la función no está definida cuando el denominador se anula.
Para determinar los valores de x en los que se anula el denominador, se iguala
a cero el denominador y se resuelve la ecuación:
1
3x – 1 = 0 ⇒ x =
3
Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de los números reales menos
1
1
. D (f) = ℝ –  
3
3 
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
c. f (x) =
3 − 6x
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = 3 − 6x , tiene x bajo un
radical de índice par, la función solo está definida si el radicando es positivo o
nulo. Para determinar los valores de x que hacen que el radicando sea positivo
o nulo, se resuelve la inecuación:
1
3 – 6x ≥ 0 ⇒ x ≤
2
Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de los números reales
1
1

menores o iguales que . D (f) =  −∞ , 
2
2

−1
d. f (x) =
4x2 + 4
−1
Como la expresión algebraica de la función, f (x) =
, tiene x en el
4x 2 + 4
denominador, la función no está definida cuando el denominador se anula.
Para determinar los valores de x en los que se anula el denominador, se iguala
a cero el denominador y se resuelve la ecuación:
4x2 + 4 = 0 ⇒ x = ± −1
Como el denominador no se anula, el dominio de la función son todos los
números reales. D (f) = ℝ
Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de los números reales menos
1
1
. D (f) = ℝ –  
3
3 
SOLUCIONES PÁG. 225
11 Determina, para estas funciones, el dominio, el recorrido y los puntos de
corte con los ejes.
a.
D (f) = (–1 , 6]; R (f) = [–4 , 5]
Puntos de corte con los ejes:
• Con el eje X: (3 , 0) y (5 , 0)
• Con el eje Y: (0 , 2)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
b.
D (f) = [–5 , 2) ∪ (2 , 3]; R (f) = [–1 , 4)
Puntos de corte con los ejes:
• Con el eje X: (–3 , 0) y (3 , 0)
• Con el eje Y: (0 , –1)
12 Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
a. f (x) = –5x + 2
• Con el eje X:
2
Como y = f (x) = 0 ⇒ –5x + 2 = 0 ⇒ x = . Por lo tanto, la función tiene un
5
2 
punto de corte con el eje X:  ,0 
5 
• Con el eje Y:
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = –5 · 0 + 2 = 2. Luego, el punto de corte con el
eje Y es (0 , 2)
b. f (x) = x2 – 4
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒ x2 – 4 = 0 ⇒ x = ±2. Por lo tanto, la función tiene dos
puntos de corte con el eje X: (–2 , 0) y (2 , 0)
• Con el eje Y:
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = 02 – 4 = –4. Luego, el punto de corte con el
eje Y es (0 , –4)
−5
c. f (x) =
2x + 6
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒ La función no tiene ningún punto de corte con el eje X.
• Con el eje Y:
−5
−5
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y =
=
. Luego, el punto de corte con el
2·0 + 6 6
 −5 
eje Y es  0, 
 6 
x −3
d. f (x) =
x +1
• Con el eje X:
x −3
= 0 ⇒ x – 3 = 0 ⇒ x = 3. Por lo tanto, la función
x +1
tiene un punto de corte con el eje X: (3 , 0)
Con el eje Y:
0−3
= −3 . Luego, el punto de corte con el
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y =
0 +1
eje Y es (0 , –3)
Como y = f (x) = 0 ⇒
•
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
e. f (x) = 3 x + 4
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒
3x + 4 = 0 ⇒ 3x + 4 = 0 ⇒ x =
−4
. Por lo tanto, la
3
 −4 
función tiene un punto de corte con el eje X:  ,0 
 3 
• Con el eje Y:
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = 3·0 + 4 = 4 = 2 . Luego, el punto de corte
con el eje Y es (0 , 2)
3x
f. f (x) = 2
x +9
• Con el eje X:
3x
= 0 ⇒ 3x = 0 ⇒ x = 0. Por lo tanto, la función
Como y = f (x) = 0 ⇒ 2
x +9
tiene un punto de corte con el eje X: (0 , 0)
• Con el eje Y:
3·0
= 0 . Luego, el punto de corte con el
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = 2
0 +9
eje Y es (0 , 0)
g. f (x) = x3 – 6x2 + 9x
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒ x3 – 6x2 + 9x = 0 ⇒ x = 0 y x = 3. Por lo tanto, la
función tiene dos puntos de corte con el eje X: (0 , 0) y (3 , 0)
• Con el eje Y:
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = 0. Luego, el punto de corte con el eje Y es (0 , 0)
2
h. f (x) =
x
• Con el eje X:
2
= 0 ⇒ Por lo tanto, la función no tiene ningún
Como y = f (x) = 0 ⇒
x
punto de corte con el eje X.
• Con el eje Y:
2
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = . Luego, la función no tiene ningún punto de
0
corte con el eje Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
SOLUCIONES PÁG. 227
13 Señala los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indica el
tipo de discontinuidad que presentan dichos puntos:
a.
En x = –1, discontinuidad inevitable de tipo salto finito y en x = 2, discontinuidad
evitable pues no existe la función.
b.
En x = –4, discontinuidad evitable pues el punto está desplazado y en x = 3,
discontinuidad inevitable de tipo salto infinito.
14 Para la función propuesta determina:
a. El dominio y el recorrido.
D (f) = (–∞ , –1) ∪ (–1 , 2) ∪ (2 , 5]
R (f) = ℝ
b. Las imágenes, si existen, f (–1), f (2) y f (3).
Al fijarse en la gráfica de la función, se observa que no existe f (–1) ni f (2).
Para f (3) = –2
c. Los puntos de corte con los ejes y los de discontinuidad.
Los puntos de corte con los ejes son, con el eje X: (4 , 0); con el eje Y: (0 , –2).
En x = –1 hay una discontinuidad de tipo salto infinito, en x = 2 no existe la
función y en x = 3, de tipo salto finito.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
15 Dibuja una función que tenga las siguientes características: Su dominio de
definición es D (f) = [–5 , –2) ∪ (–2 , 2) ∪ (2 , 5] y R (f) = [– 4 , + ∞ ); sus puntos
de corte con los ejes son (–3 , 0), (0 , 0) y (3 , 0), y presenta una
discontinuidad de tipo salto infinito en x = –2, mientras que en x = 2 no está
definida la función.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
16 Actividad resuelta.
17 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
x2
si
a. f (x ) = 
 x − 1 si
•
x <2
x ≥2
La representación gráfica de f1 = x2 es una parábola; así pues, la función es
continua en el intervalo (–∞ , 2).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
•
La representación gráfica de f2 = x – 1 es una recta; así pues, la función es
continua en el intervalo [2 , +∞).
El único punto donde la función no es continua es el punto de paso de una
expresión a otra, es decir, en x = 2.
Si se observa la imagen de x = 2, por la derecha y por la izquierda se tiene que:
f1 (2) = 4, f2 (2) = 1. Como ambos valores son distintos, la función es
discontinua en x = 2. Por tanto, la función es continua en ℝ – {2}.
si x < −1
3
b. f (x ) = 
 4 + x si x > −1
•
La representación gráfica de f1 = 3 es una recta; así pues, la función es
continua en el intervalo (–∞ , –1).
• La representación gráfica de f2 = 4 + x es también una recta; así pues, la
función es continua en el intervalo (–1 , +∞).
El único punto donde la función no es continua es el punto de paso de una
expresión a otra, es decir, en x = –1.
Si se observa la imagen de x = –1, por la derecha y por la izquierda se tiene
que:
f1 (–1) = 3, f2 (–1) = 3. Ambos valores son iguales, pero en x = –1, la función no
existe. Por tanto, la función es continua en ℝ – {–1}.
SOLUCIONES PÁG. 229
18 Determina el crecimiento de estas funciones e indica cuáles son sus puntos
extremos:
a.
Creciente: (0 , 3)
Decreciente:(–2 , 0) ∪ (3 , 4)
Constante: (–4 , –2)
Mínimo relativo (0 , –2)
Máximo relativo no tiene.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
b.
Creciente: (–∞ , –3) ∪ (–1 , 1) ∪ (4 , 5)
Decreciente: (–3 , –1) ∪ (1 , 4)
Mínimos relativos: (–1 , –3) y (4 , –2)
Mínimo absoluto: (–1 , –3)
Máximo relativo: (1 , 4)
19 Averigua cuál es la relación que existe entre la TVM y la velocidad media de
un móvil. Escribe la expresión algebraica de la velocidad media.
La velocidad media es la tasa de variación media para la función velocidad, es
decir, el cociente entre la variación del espacio entre la variación del tiempo.
∆
e − ei
La expresión algebraica es Vm = e = f
, siendo ei el espacio inicial y ef el
∆t
tf − t i
espacio final; y ti el tiempo inicial y tf el tiempo final.
20 Halla la TVM de las siguientes funciones en los intervalos [–2 , –1] y [–1 , 1]:
a.
En la gráfica se observa que f (–2) = 4, f (–1) = 6 y f (1) = 4.
f (b) − f (a)
:
Se sustituye en la expresión: TVM[a , b] =
b−a
f ( −1) − f ( −2 ) 6 − 4
=
=2
TVM [–2 , –1] =
−1 + 2
1
f (1) − f ( −1) 4 − 6
=
= –1
TVM [–1 , 1] =
1 − ( −1)
2
b.
En la gráfica se observa que f (–2) = 7, f (–1) = 2 y f (1) = –2.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
Se sustituye en la expresión: TVM[a , b] =
f ( −1) − f ( −2 )
f (b) − f (a)
b−a
2−7
= –5
−1 + 2
1
f (1) − f ( −1) −2 − 2
=
= = –2
TVM [–1 , 1] =
1 − ( −1)
2
TVM [–2 , –1] =
=
21 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los
intervalos indicados:
a. f (x) = 2x + 3, en [1 , 4]
Se calculan las imágenes de x = 1 y x = 4 y se sustituye en la expresión para el
cálculo de la TVM.
f ( 4 ) − f (1) 2· 4 + 3 − (2·1 + 3) 6
=
= =2
TVM [1 , 4] =
4 −1
3
3
b. f (x) = x2 – 5, en [–2 , 3]
Se calculan las imágenes de x = –2 y x = 3 y se sustituye en la expresión para
el cálculo de la TVM.
f ( 3 ) − f ( −2 ) ( −3)2 − 5 − [( −2)2 − 5] 5
=
= == 1
TVM [–2 , 3] =
3+2
5
5
SOLUCIONES PÁG. 231
22 Estudia la curvatura de las siguientes funciones y halla, si existen, sus
puntos de inflexión:
a.
Cóncava: (–∞ , 0); convexa: (0 , +∞); punto de inflexión: (0 , 0)
b.
Cóncava: (–∞ , 1); convexa: (1 , 4); punto de inflexión: (1 , 1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
c.
Cóncava: (–4 , –2) ∪ (2 , 4); convexa: (–2 , 2); puntos de inflexión: (–2 , 0) y (2 , 0)
d.
Cóncava: (–∞ , 2); convexa: (2 , +∞); puntos de inflexión: no tiene.
23 Para las funciones de la actividad anterior, halla:
a. El dominio y el recorrido.
a. D (f) = ℝ; R (f) = ℝ
b. D (f) = (–∞ , 4]; R (f) = (–∞ , 5]
c. D (f) = [–4 , 4]; R (f) = [–3 , 3]
d. D (f) = ℝ – {2}; R (f) = ℝ
b. El crecimiento y el decrecimiento.
a. Creciente: ℝ
b. Creciente: (–∞ , –1) ∪ (2 , 4); decreciente: (–1 , 2)
c. Creciente: (0 , 4); decreciente: (–4 , 0)
d. Creciente: (–∞ , 0); decreciente: (0 , 2) ∪ (2 , +∞)
c. Los máximos y mínimos relativos y absolutos.
a. No tiene ni máximos ni mínimos.
b. Máximo relativo y absoluto: (–1 , 5) y (4 , 5); mínimo relativo: (2 , 0)
c. Mínimo relativo y absoluto: (0 , –3); máximo absoluto: (–4 , 3) y (4 , 3)
d. Máximo relativo: (0 , 2)
24 Determina para la función propuesta:
a. El dominio y el recorrido.
D (f) = [–5 , –1) ∪ (–1 , 3]; R (f) = [–4 , 3]
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
b. La continuidad.
Tiene una discontinuad evitable en x = –1, pues no existe f (–1).
c. La monotonía y los puntos extremos.
Creciente: (–1 , 0); decreciente: (–5 , –1) ∪ (0 , 3); máximo relativo: (0 , 0);
máximo absoluto: (–5 , 3); mínimo absoluto: (3 , –4)
d. La curvatura y los puntos de inflexión.
Cóncava: (–5 , –1) ∪ (–1 , 3); no tiene puntos de inflexión.
e. Los puntos de corte con los ejes.
Con el eje X: (–2 , 0) y (0 , 0); con el eje Y: (0 , 0)
25 Representa la gráfica de una función continua que tenga las siguientes
características:
• D (f) = [–5 , 5] y R (f) = [–3 , 4]
• En (–3 , 0) ∪ (0 , 3) es cóncava y en (–5 , –3) ∪ (3 , 5) es convexa.
• Sus puntos de inflexión son (–3 , 0) y (3 , 0).
Respuesta abierta.
26 Dibuja una función continua en ℝ – {–3}, que sea cóncava en (–3 , +∞) y
convexa en (–∞, –3). ¿Tiene la función un punto de inflexión en x = –3?
Justifica tu respuesta.
Respuesta abierta. No tiene un punto de inflexión en x = –3, pues en él la función
no está definida.
27 ¿Todas las funciones convexas en todo su dominio tienen un mínimo? ¿Y
todas las cóncavas, un máximo? Razona tus respuestas.
No todas las funciones convexas tienen un mínimo. Por ejemplo, la siguiente
función es convexa en todo su dominio pero no tiene ningún mínimo.
No todas las funciones cóncavas tienen un máximo. Por ejemplo, la siguiente
función es cóncava en todo su dominio pero no tiene ningún máximo.
28 ¿Es posible que un punto de una función sea un máximo y a la vez un punto
de inflexión? ¿Y si es un mínimo? Justifica ambas respuestas y, en caso
afirmativo, dibuja una función con esas características.
Ambas respuestas son afirmativas. Por ejemplo, en la siguiente función, el punto
A es un mínimo relativo y absoluto y también es un punto de inflexión. Además, el
punto B es un máximo relativo y absoluto y un punto de inflexión.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
29 Determina para las funciones propuestas:
1.
a. El dominio y el recorrido.
D (f) = ℝ; R (f) = [–1,7 ; +∞)
b. Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
Convexa: (–∞ , 0) ∪ (1 , +∞); cóncava: (0 , 1); puntos de inflexión: (0 , 0) y (1 , –1)
c. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y
mínimos relativos y absolutos.
Creciente: (1,5 ; +∞); decreciente: (–∞ ; 1,5); mínimo relativo y absoluto: (1,5 ; 1,7)
2.
a. El dominio y el recorrido.
D (f) = ℝ; R (f) = ℝ
b. Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
Cóncava: (–∞ , 1); convexa: (1 , +∞); punto de inflexión: (1 , –2)
c. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y
mínimos relativos y absolutos.
Creciente en ℝ; no tiene máximos ni mínimos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
30 Observa la siguiente gráfica de una función y determina:
a. El dominio y el recorrido.
D (f) = [–6 , –2) ∪ (–2 , +∞); R (f) = [–2 , +∞)
b. Los puntos de discontinuidad y el tipo de discontinuidad que presentan.
En x = –2, tiene una discontinuidad evitable pues no existe f (–2) y en x = 1,
una discontinuidad inevitable de tipo salto finito.
c. La monotonía y la curvatura.
Creciente: (–6 , –4) ∪ (1 , +∞); decreciente: (–4 , –2); constante: (–2 , 1);
cóncava: (–6 , –2); convexa: (1 , +∞)
d. Los puntos extremos y los puntos de inflexión.
Máximo relativo: (–4 , 3); mínimos absolutos: todos los puntos de la forma (x , –2)
con x ∈ (–2 , 1]; no tiene puntos de inflexión.
31 En grupos de cuatro alumnos, elaborad una presentación con imágenes o
fotografías de objetos presentes en vuestro entorno cotidiano que tengan
forma cóncava o convexa.
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 232
32 Determina si estas funciones son simétricas y, si lo son, indica el tipo de
simetría que presentan:
a.
Simétrica impar porque f (–x) = – f (x).
b.
Simétrica par porque f (–x) = f (x).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
33 Comprueba si las siguientes funciones son simétricas:
a. f (x) = 2x5 – 3x2
Se calcula f (–x):
f (–x) = 2(–x)5 – 3(–x)2 = –2x5 – 3x2
Como f (–x) ≠ f (x), la función no tiene simetría par.
Se calcula –f (x):
–f (x) = –(2x5 – 3x2) = –2x5 + 3x2
Como –f (–x) ≠ f (–x), la función no tiene simetría impar.
−3 x
b. f (x) = 3
x − 5x
Se calcula f (–x):
−3·( − x )
3x
f (–x) =
=
3
3
( − x ) − 5·( − x ) − x + 5 x
Como f (–x) ≠ f (x), la función no tiene simetría par.
Se calcula –f (x):
−3 x
−3 x
= 3
–f (x) = − 3
x − 5x − x + 5x
Como –f (–x) = f (–x), la función tiene simetría impar.
c. f (x) = 2x
Se calcula f (–x):
1
f (–x) = 2–x = x
2
Como f (–x) ≠ f (x), la función no tiene simetría par.
Se calcula –f (x):
–f (x) = –2x
Como –f (–x) ≠ f (–x), la función no tiene simetría impar.
d. f (x) = |x|
Se calcula f (–x):
f (–x) = − x = x
Como f (–x) = f (x), la función tiene simetría par.
34 Representa una función, f (x), continua y simétrica impar con D (f) = ℝ que
sea creciente en (–∞ , –4) U (4 , +∞), decreciente en (– 4, –1) U (1 , 4) y
constante en (–1 , 1).
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
SOLUCIONES PÁG. 233
35 Paula se ha comprado por 18 000 € un coche cuyo precio se devalúa
anualmente un 25 %.
a. Construye una tabla de valores que recoja el precio del coche en los
próximos años, representa la gráfica de la función y determina su
expresión algebraica.
Sea x = número de años, y = precio del coche
y = f (x) = 18 000 · (0,75)x
b. ¿Cuál es la tendencia a medida que pasan los años?
Al transcurrir los años el precio del coche tiende a 0 €.
36 Representa una función con D (f) = [–5 , +∞) y R (f) = [–3 , 5], que sea
creciente en (–5 , 0) y decreciente en (0 , +∞), y que tienda a 1 cuando la
variable x tiende a +∞.
Respuesta abierta.
37 Dibuja una función continua cuyo recorrido sea [–4 , 4] y que sea periódica
de periodo 5.
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 235
38 Dadas las funciones f (x) = 2x – 3, g (x) = –x2 + 5x y h (x) =
x +2
, realiza
x −3
estas operaciones:
a. (f + g) (x) = (2x – 3) + (–x2 + 5x) = –x2 + 7x – 3
b. (g – f) (x) = (–x2 + 5x) – (2x – 3) = –x2 + 3x + 3
f
2x –3
c.   (x) =
– x 2 + 5x
g
d. (f · g) (x) = (2x – 3) · (–x2 + 5x) = –2x3 + 13x2 – 15x
( x − 3) ⋅ − x 2 + 5x + ( x + 2)
x+2
2
e. (g + h) (x) = –x + 5x +
=
=
x −3
x −3
(
)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
=
− x 3 + 5 x 2 + 3 x 2 − 15 x + x + 2
− x 3 + 8 x 2 − 14 x + 2
=
x −3
x −3
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
( x + 2 ) − ( − x 2 + 5 x ) ⋅ ( x − 3 ) 
x+2
– (–x2 + 5x) =
=
x −3
x −3
( x + 2 ) − ( − x 3 + 3 x 2 + 5 x 2 − 15 x ) x + 2 + x 3 − 3 x 2 − 5 x 2 + 15 x
=
=
=
x −3
x −3
x 3 − 8 x 2 + 16 x + 2
=
x −3
– x 2 + 5x )⋅ x + 2
(
x+2
– x 3 + 5 x 2 – 2 x 2 + 10 x
2
=
g. (g · h) (x) = –x + 5x ·
=
=
x −3
x −3
x −3
– x 3 + 3 x 2 + 10 x
=
x −3
h. 4 · f (x) = 4 · (2x – 3) = 8x – 12
x+2
x+2
x+2
x+2
h
: 2x – 3 =
=
=
i.   (x) =
2
2
2x – 3 ( x − 3)
x −3
2x – 6x − 3x + 9
2x – 9x + 9
f
f. (h – g) (x) =
39 Las operaciones de suma, resta y multiplicación de funciones ¿cumplen la
propiedad conmutativa? ¿Y la división? ¿Y la composición de funciones?
La suma y la multiplicación de funciones sí cumplen la propiedad conmutativa. La
división y la composición de funciones no cumplen la propiedad conmutativa,
salvo la composición de una función con su inversa.
40 Actividad resuelta.
41 Halla, para las funciones de la actividad 38:
a. (g ◦ f) (x) = g [f (x)] = –(2x – 3)2 + 5 · (2x – 3) = –(4x2 + 9 – 2 · 2x · 3) + 10x –15 =
= –4x2 – 9 + 12x + 10x –15 = –4x2 + 22x – 24
b. (f ◦ g) (x) = –x2 + 10x – 3
2x − 3 + 2
3
c. (h ◦ f) (2) =
=–
2x − 3 − 3
2
2x + 4
2x + 4 − 3x + 9
− x + 13
x
+
2


–3=
d. (f ◦ h) (x) = 2 · 
=
 –3=
x −3
x −3
x −3
 x −3
2
−x + 5x + 2
e. (h ◦ g) (x) =
−x 2 + 5x − 3
2
21
 x + 2
 x +2
f. (g ◦ h) (–1) = − 
 + 5· 
=−
16
 x −3
 x −3
42 Halla la función inversa de las siguientes funciones:
a. f (x) = –4x + 2
y −2
−y + 2
−x + 2
f (x) = –4x + 2 ⇒ y = –4x + 2 ⇒ x =
⇒x=
⇒ f-1 (x) =
−4
4
4
b. g (x) = 2 x − 7
y2 + 7
x2 + 7
g (x) = 2 x − 7 ⇒ y = 2 x − 7 ⇒ y2 = 2 x − 7 ⇒ x =
⇒ g-1 (x) =
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
x
x+4
x
x
h (x) =
⇒y=
⇒ yx + 4y = x ⇒ 4y = x – yx ⇒ 4y = x (1– y) ⇒
x+4
x+4
4y
4x
x=
⇒ h-1 (x) =
1− y
1− x
c. h (x) =
4−x
4 − x ⇒ y = 3 4 − x ⇒ y3 = 4 − x ⇒ x = 4 – y3 ⇒ i-1 (x) = 4 – x3
x
e. j (x) = − + 3
5
x
x
x
j (x) = − + 3 ⇒ y = − + 3 ⇒ y – 3 = − ⇒ 5y – 15 = –x ⇒ x = 15 – 5y ⇒
5
5
5
j-1 (x) =15 – 5y
f. k (x) = 2x5 + 1
y −1
x −1
⇒ j-1 (x) = 5
k (x) = 2x5 + 1 ⇒ y = 2x5 + 1 ⇒ y – 1 = 2x5 ⇒ x = 5
2
2
d. i (x) =
i (x) =
3
3
x
:
x −1
a. Averigua cuál es su función inversa.
x
x −1 1
x
y=
=
⇒ f–1 (x) =
⇒ y (x – 1) = x ⇒
y
x −1
x
x −1
b. ¿Con qué función coincide su inversa?
Coincide con la función f (x).
c. Comprueba que se cumple que (f–1 ◦ f) (x) = x y (f ◦ f–1) (x) = x
x
x
–1
–1
x
−
x
− 1 = x ( x − 1) = x
1
(f ◦ f) (x) = (f ◦ f) (x) =
=
x
x − x +1
x −1
−1
x −1
x −1
Se cumplen ambas composiciones.
43 En el caso de la función f (x) =
44 Comprueba, en cada caso, si los siguientes pares de funciones son
inversas:
a. f (x) = x3 + 1 y g (x) = 3 x − 1
Sí son inversas: y = x3 + 1 ⇒ x = 3 y − 1 ⇒ f–1 (x) = 3 x − 1
x
x
y g (x) =
x +2
2−x
x
2y
2x
No son inversas. y =
⇒ yx + 2y = x ⇒
⇒ f–1 (x) =
1− y
x+2
1− x
4x
c. f (x) = – 4x –1 y g (x) =
x +1
y +1
x +1
No son inversas. y = – 4x –1 ⇒ x =
⇒ f–1 (x) =
−4
−4
b. f (x) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
2 · ( x + 1)
x −2
y g (x) =
x +2
x −1
x −2
No son inversas. y =
⇒ y (x + 2) = x – 2 ⇒ yx + 2y = x – 2 ⇒
x+2
2y – 2
2x – 2
2y – 2 = x – yx ⇒ 2y – 2 = x (1 – y) ⇒
⇒ f–1 (x) =
1 –y
1 –x
d. f (x) =
45 ¿Existe para la función f (x) = x2 – 1 su inversa para cualquier valor de x del
dominio de f (x)? Justifica tu respuesta.
Solo existe función inversa para el dominio de valores comprendido en el intervalo
[–1 , +∞).
f (x) = x2 – 1 ⇒ y = x2 – 1
x=
y +1
SOLUCIONES PÁG. 237
46 La siguiente gráfica muestra la altura a la que se encuentra un alpinista a lo
largo de una mañana de escalada en la montaña:
a. Determina el dominio y el recorrido de esta función.
D (f) = [8 , 15]; R (f) = [500 , 1 700]
b. ¿En qué intervalos de tiempo el alpinista asciende en la montaña? ¿Y en
qué intervalos desciende?
Asciende en (8 , 10) ∪ (12 , 13); desciende en (10 , 11) ∪ (13 , 15)
c. ¿Cuáles son los máximos relativos y absolutos de la función?
Máximos relativos: (10 , 1 500) y (13 , 1 700); máximo absoluto: (13 , 1 700)
d. El alpinista hizo una parada para descansar. ¿Entre qué horas se produjo
dicha parada?
Entre las 11:00 h y las 12:00 h.
e. ¿A qué altitud se encontraba a las 10 h de la mañana?
A 1 500 m de altitud.
f. ¿En qué momento de la mañana estuvo a 900 m de altitud?
A las 9:00 h y a las 14:30 h.
g. Describe brevemente el recorrido del alpinista durante la mañana según la
altitud a la que estaba.
El alpinista comienza a las 08:00 h su ascenso partiendo de 500 m de altitud,
para ascender a 1 500 m en dos horas. Después, desciende en una hora a 1
300 m y hace un descanso de una hora, para seguir ascendiendo hasta
alcanzar la altura máxima de 1 700 m a las 13:00 h. A partir de esa hora,
comienza a descender hasta llegar al punto de partida a las 15:00 h.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
47 La siguiente gráfica muestra la amplitud de una onda de sonido a lo largo
del tiempo:
a. Halla el recorrido de la función.
R (f) = [–5 , 5]
b. ¿En qué puntos alcanza la función el máximo y el mínimo absolutos?
Los máximos absolutos se alcanzan en los puntos (5 , 5), (25 , 5), (45 , 5), ...,
(20k + 5 , 5) con k ∈ {0, 1, 2, …}; los mínimos absolutos se alcanzan en los
puntos (15 , –5), (35 , –5), (55 , –5), ..., (20k + 15 , –5) con k ∈ {0, 1, 2, …}.
c. ¿En qué intervalos es la función creciente? ¿Y decreciente?
Es creciente en (0 , 5) ∪ (15 , 25) ∪ (35 , 45) ...; decreciente en (5 , 15) ∪ (25 ,
35) ∪ (45 , 55) ...
d. ¿Se trata de una función periódica? En caso afirmativo, ¿cuál es el
periodo?
Sí, de periodo 20 cm.
e. ¿Es una función simétrica?
No es simétrica.
f. Halla la amplitud de onda cuando la longitud de onda es de 30 cm, 45 cm
y 60 cm. Justifica tu respuesta.
f (30) = f (10 + 20) = f (10) = 0
f (45) = f (5 + 2 · 20) = f (5) = 5
f (60) = f (0 + 3 · 20) = f (0) = 0
48 Un grupo de investigadores está trabajando en un nuevo antibiótico. La
siguiente gráfica muestra la evolución a lo largo del tiempo del número de
bacterias expuestas a los efectos del fármaco:
a. Indica el recorrido de la función.
R (f) = (0 , 120 000]
b. ¿Cuál era el número inicial de bacterias sobre el que se estaba
trabajando?
El número inicial era de 100 000 bacterias.
c. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Creciente: (0 , 1); decreciente: (1 , 3) ∪ (4 , +∞)
d. ¿Hubo algún momento en el que el número de bacterias se mantuviese
constante? En caso afirmativo, ¿cuántas bacterias había?
Sí, en el intervalo de tiempo (3 , 4). Había 80 000 bacterias.
e. ¿Cuál fue el mayor número de bacterias registrado?
El mayor número de bacterias era de 120 000.
f. Determina la curvatura de la función y halla, si existen, los puntos de
inflexión.
Cóncava: (0 , 3); convexa: (4 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
g. Indica cuál es la tendencia de la función a medida que pasan los días.
La función tiende a cero a medida que pasan los días.
49 La siguiente gráfica muestra el precio de cada acción en bolsa de una
empresa de telecomunicaciones durante su primer semestre de cotización:
a. Halla el dominio y el recorrido de la función.
D (f) = [0 , 6]; R (f) = [10 , 12]
b. ¿A qué precio salió a bolsa cada acción?
El precio de salida a bolsa fue de 11 €.
c. Si hubiéramos invertido en esta empresa nada más salir a bolsa,
¿habríamos hecho una buena inversión? Justifica la respuesta.
Sí, pues habríamos comprado cada acción a 11 € y tras los seis primeros
meses habríamos ganado 0,50 € por cada acción.
d. ¿En qué mes fue el precio de la acción máximo y en cuál mínimo? Indica
el precio en cada uno de los dos casos.
El precio fue máximo a los 2 meses de salir a bolsa con un valor de 12 € por
acción, y mínimo a los 4 meses, con un valor de 10 € cada acción.
SOLUCIONES PÁG. 239
1
¿Cuántas imágenes, como máximo, puede tener cualquier valor de la
variable independiente en una función?
Como máximo solo puede tener una.
2
¿Cuántos puntos de corte con cada uno de los dos ejes de coordenadas
puede tener una función?
Con el eje X puede tener infinitos puntos de corte, con el eje Y solo puede tener
uno.
3
Indica qué tienen en común todos los puntos de corte de una función con el
eje de abscisas.
La variable dependiente de todos ellos es cero.
4
Explica cuándo es una función continua en un punto de su dominio.
Una función es continua en un punto x = a si al aproximarnos al valor x = a por su
derecha y por su izquierda, las imágenes se acercan a f (a).
5
Una función discontinua en x = a ¿puede tener en ese valor una
discontinuidad de tipo salto finito y a la vez no estar definida en él? Justifica
tu respuesta
Sí puede. Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
6
¿Puede una función tener extremos relativos y al mismo tiempo carecer de
extremos absolutos? Justifica tu respuesta.
Sí, pues los extremos relativos lo son en un entorno de x y no en toda la función, y
la función puede no alcanzar su valor mayor o menor, porque estos tiendan a +∞ o
–∞, respectivamente.
7
¿Es posible que una función continua tenga un mínimo relativo en el punto (1 , 5)
y un máximo relativo en (–1 , –5)?
Sí es posible.
8
Define punto de inflexión. ¿Tienen todas las funciones continuas puntos de
inflexión?
Una función tiene un punto de inflexión en x = a si es continua en a y en ese punto
de inflexión cambia de curvatura, es decir, pasa de ser cóncava a convexa o
viceversa. No todas las funciones continuas tienen puntos de inflexión.
9
¿Son todas las funciones simétricas pares o impares?
No, una función puede no ser simétrica, es decir, no se simétrica par ni impar.
10 En una función periódica ¿cómo se llama al intervalo de la variable
independiente para el que se repite la gráfica de la función?
Se llama periodo.
11 Dadas las expresiones algebraicas de dos funciones, f y g, ¿cómo se puede
saber si son inversas? ¿Y a partir de sus representaciones gráficas?
Se puede saber si son inversas a partir de sus expresiones algebraicas, si al
hacer f –1 ∘ f y f ∘ f –1, se obtiene la función identidad.
A partir de sus representaciones gráficas, si las funciones son simétricas respecto
de la recta y = x.
12 Prepara una presentación digital para tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 240 - REPASO FINAL
FUNCIONES
1
Halla las imágenes, si existen, de los valores x = –3, x = 0 y x =
1
para las
5
siguientes funciones:
a. f (x) = 5x – 3
f (–3) = –18
f (0) = –3
 1
f   = –2
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
5
−2 x − 6
No existe f (–3)
5
f (0) = –
6
25
 1
f   =–
32
5
2
c. f (x) = 5x + x – 2
f (–3) = 40
f (0) = –2
8
 1
f   =–
5
5
 
b. f (x) =
d. f (x) = 4 − 2x
(–3) = 10
f (0) = 2
18
 1
f   =
5
5
2
Las diagonales de un rombo difieren en 5 cm. Halla la expresión algebraica
de la función que relaciona la diagonal menor y el área del rombo. A partir de
ella, haz una tabla de valores y representa gráficamente la función.
Sea x = diagonal menor; x + 5 = diagonal mayor
x · ( x + 5)
f ( x) =
2
3
Visita esta página de Internet para repasar las formas de presentar una
función: http://conteni2.educarex.es/mats/12068/contenido
Respuesta abierta
DOMINIO Y RECORRIDO
4
Halla el dominio y el recorrido de estas funciones:
a. f (x) = 2x
D (f) = ℝ; R (f) = ℝ
b. f (x) = 3x2
D (f) = ℝ; R (f) = [0 , +∞)
c. f (x) = |x|
D (f) = ℝ; R (f) = [0 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
1
x
D (f) = ℝ – {0}; R (f) = ℝ – {0}
d. f (x) =
5
Determina el dominio de las siguientes funciones:
a. f (x) = 2x3 – 4x2 – 6x + 8
La expresión algebraica de la función es un polinomio. Por lo tanto, es dominio
son todos los números reales. D (f) = ℝ
−2 x
b. f (x) =
5x − 4
2x
Como la expresión algebraica de la función, f( x ) =
, tiene x en el
5x − 4
denominador, la función no está definida cuando el denominador se anula.
Para determinar los valores de x en los que se anula el denominador, se iguala
a cero el denominador y se resuelve la ecuación:
4
5x – 4 = 0 ⇒ x =
5
c. f (x) =
x2 − 1
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = x 2 − 1 , tiene x bajo un
radical de índice par, la función solo está definida si el radicando es positivo o
nulo. Para determinar los valores de x que hacen que el radicando sea positivo
o nulo, se resuelve la ecuación:
x2 – 1 = 0 ⇒ x = ± 1
Se forman intervalos con esos números y se coge un número de cada intervalo
para sustituirlo en la función:
(–∞ , –1) (–1 , 1) (1 , +∞)
f (–2) =
( −2)2 − 1 = 3 > 0
f (0) =
02 − 1 = −1 < 0
f (2) =
22 − 1 = 3 > 0
Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de los números reales que se
encuentran en el intervalo (–∞ , –1] ∪ [ 1 , +∞). D (f) = (–∞ , –1] ∪ [ 1 , +∞)
x +1
d. f (x) =
3x 2 − 6
x +1
Como la expresión algebraica de la función, f (x) =
, tiene x en el
3x 2 − 6
denominador, la función no está definida cuando el denominador se anula.
Para determinar los valores de x en los que se anula el denominador, se iguala
a cero el denominador y se resuelve la ecuación:
3x2 – 6 = 0 ⇒ x = ± 2 . D (f) = ℝ – { ± 2 }
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
6
Indica los puntos de corte de estas funciones con los ejes de coordenadas:
a.
Con el eje X: (–2 , 0), (0 , 0) y (1 , 0); con el eje Y: (0 , 0)
b.
 −2 
Con el eje X: (–3 , 0),  ,0  y (2 , 0); con el eje Y: (0 , –2)
 3 
7
Halla los puntos de corte con los ejes de estas funciones:
a. f (x) = 3x2 + 2x – 5
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒ 3x2 + 2x – 5 ⇒
x = 1
−b ± b 2 − 4ac −2 ± 4 + 60 −2 ± 8  1
x=
=
=
=
5
2a
6
6
 x2 = − 3

 5 
Por lo tanto, la función tiene dos puntos de corte con el eje X:  − ,0  y (1 ,
 3 
0).
• Con el eje Y:
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = 3 · 02 + 2 · 0 – 5 = –5. Luego, el punto de
corte con el eje Y es (0 , –5).
1
b. f (x) =
−2 x + 8
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒ La función no tiene ningún punto de corte con el eje X.
• Con el eje Y:
1
1
1
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y =
=
= . Luego, el punto de
−2 x + 8 −2·0 + 8 8
 1
corte con el eje Y es  0,  .
 8
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
c. f (x) = x 2 + 2 x + 1
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒
x 2 + 2x + 1 = 0
−b ± b 2 − 4ac −2 ± 4 − 4
=
= −1 . Por lo tanto, la función tiene un
2a
2
punto de corte con el eje X: (–1 , 0).
Con el eje Y:
x=
•
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = x 2 + 2x + 1 = 02 + 2·0 + 1 = 1 . Luego, el
punto de corte con el eje Y es (0 , 1).
d. f (x) = (x – 4)2
• Con el eje X:
Como y = f (x) = 0 ⇒ (x – 4)2 = 0 ⇒ x – 4 = 0 ⇒ x = 4. Por lo tanto, la función
tiene un punto de corte con el eje X: (4 , 0).
• Con el eje Y:
Como x = 0 ⇒ y = f (0) ⇒ y = (0 – 4)2 = 16. Luego, el punto de corte con el
eje Y es (0 , 16).
CONTINUIDAD
8
Determina, para la función propuesta, el dominio, el recorrido, los puntos de
corte con los ejes, los puntos de discontinuidad y los tipos de
discontinuidad.
D (f) = [–5 , –1) ∪ (–1 , 2) ∪ (2 , +∞); R (f) = ℝ
Puntos de corte con el eje X: (–4 , 0), y con el eje Y: (0 , –2)
La función presenta una discontinua evitable en x = –1, en cuyo valor no existe la
función, en x = 1 presenta una discontinuidad evitable de tipo punto desplazado y
en x = 2, inevitable de tipo salto infinito.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
MONOTONÍA Y PUNTOS EXTREMOS
9
Indica, para la función siguiente, el dominio, el recorrido, la monotonía y los
puntos extremos.
D (f) = [–5 , +∞); R (f) = (–∞ , 4]
Es creciente en (–5 , –4) ∪ (–2 , 0) ∪ (3 , 4) y decreciente en (–4 , –2) ∪ (0 , 3) ∪ (4 , +∞)
Tiene máximos relativos en: (–4 , 3), (0 , 4) y (4 , 3), máximo absoluto en (0 , 4),
mínimos relativos en (–2 , 0) y (3 , –1) y mínimo absoluto no tiene.
10 Halla la TVM de las siguientes funciones en los intervalos indicados:
a. f (x) = –x2 + 3x en [–2 , 5]
Se calculan las imágenes de x = –2 y x = 5 y se sustituye en la expresión para
el cálculo de la TVM.
f ( 5 ) − f ( −2 ) −52 + 3·5 − [ −( −2)2 + 3·( −2)] −10 + 10
=
=
=0
TVM [–2 , 5] =
5 − ( −2)
7
7
b. f (x) = 3x + 1 en [0 , 2]
Se calculan las imágenes de x = 0 y x = 2 y se sustituye en la expresión para el
cálculo de la TVM.
f ( 2 ) − f ( 0 ) 32+1 − 30+1 27 − 3
=
=
= 12
TVM [0 , 2] =
2−0
2
2
c. f (x) = x − 4 en [5 , 13]
Se calculan las imágenes de x = 5 y x = 13 y se sustituye en la expresión para
el cálculo de la TVM.
f (13 ) − f ( 5 )
13 − 4 − 5 − 4 3 − 1 1
=
=
=
TVM [0 , 2] =
13 − 5
8
8
4
11 En una función cuya TVM en el intervalo [a , b] es negativa, ¿qué es
mayor: f (a) o f (b)?
Es mayor f (a).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
12 Halla para la función propuesta, la monotonía, los puntos extremos, la
curvatura y los puntos de inflexión.
La función es creciente en (–6 , 0) ∪ (4 , 7), decreciente en (–8 , –6) ∪ (0 , 2) y
constante en (2 , 4). Tiene un máximo relativo y absoluto en (0 , 5) y un mínimo
relativo y absoluto en (–6 , –4). Es cóncava en (–4 , 2) y convexa en (–8 , –4) ∪ (4 , 7)
y presenta un punto de inflexión en (–4 , 0).
SOLUCIONES PÁG. 241
SIMETRÍA
13 Estudia si las siguientes funciones son simétricas:
a. f (x) = –x3 – 5x
Se calcula f (–x):
f (–x) = –(–x)3 – 5 · (–x) = x3 + 5x
Como f (–x) ≠ f (x), la función no tiene simetría par.
Se calcula –f (x):
–f (x) = –(–x3 – 5x) = x3 + 5x
Como –f (–x) = f (–x), la función tiene simetría impar.
b. f (x) = 2x2
Se calcula f (–x):
2
2
f (–x) = 2( − x ) = 2 x
Como f (–x) = f (x), la función tiene simetría par.
c. f (x) = 5x3 – 3x2
Se calcula f (–x):
f (–x) = 5 · (–x)3 – 3 · (–x)2 = –5x3 – 3x2
Como f (–x) ≠ f (x), la función no tiene simetría par.
Se calcula –f (x):
–f (x) = –(5x3 – 3x2) = –5x3 + 3x2
Como –f (–x) = f (–x), la función tiene simetría impar.
x2
d. f (x) = 2
x +1
Se calcula f (–x):
( − x )2
x2
=
f (–x) =
( − x )2 + 1 x 2 + 1
Como f (–x) = f (x), la función tiene simetría par.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
14 Dibuja una función continua, f (x), con D (f) = ℝ, simétrica impar y con un
mínimo absoluto en (3 , –4). ¿Tiene máximo absoluto? En caso afirmativo,
¿qué punto es?
Respuesta abierta.
TENDENCIA Y PERIODICIDAD
15 Representa, en cada caso, una función que:
a. Sea periódica, de periodo 5.
Respuesta abierta.
b. Tienda a 3 y a –2 al tender x a +∞ y a –∞, respectivamente.
Respuesta abierta.
OPERACIONES CON FUNCIONES
16 Dadas las funciones f (x) = –4x + 3, g (x) = 2x2 + 5x y h (x) =
x −2
, calcula:
1− 5x
x − 2 x − 2 + (1 − 5 x )·( −4 x + 3 )
=
=
1 − 5x
1 − 5x
x − 2 − 4 x + 3 + 20 x 2 − 15 x −18 x + 1 + 20 x 2
=
=
1 − 5x
1 − 5x
b. (3g – 2f) (x) =3 (2x2 + 5x) – 2 (–4x + 3) = 6x2 + 15x + 8x – 6 = 6x2 + 23x – 6
a. (f + h) (x) = (–4x + 3) +
y −3
x −3
⇒ f –1 =
−4
−4
3
2
x−2
2 x − 4 x + 5 x 2 − 10 x 2 x 3 + x 2 − 10 x
d. (g · h) (x) = (2x2 + 5x) ·
=
=
1 − 5x
1 − 5x
1 − 5x
c. (f – 1) (x) ⇒ y = –4x + 3 ⇒ x =
e. (g ◦ f) (x) = 2 · (–4x + 3)2 + 5 · (–4x + 3) = 2 (16x2 + 9 – 24x) – 20x + 15 =
= 32x2 + 18 – 48x – 20x + 15 = 32x2 – 68x + 33
( –4x + 3 ) − 2 = –4 x + 1
f. (h ◦ f) (x) =
1 − 5 ( –4 x + 3 ) 20 x − 14
x −2
y +2
⇒ y ( 1 − 5x ) = x − 2 ⇒ y – 5xy + 2 = x ⇒ x =
⇒
1 + 5y
1 − 5x
x+2
⇒ h –1=
1 + 5x
(f · g) (x) = (–4x + 3) · (2x2 + 5x) = –8x3 – 20x2 + 6x2 + 15x = –8x3 – 14x2 + 15x
−2 ( 2 x 2 + 5 x )
−4 x 2 − 10 x
 −2g 
(
x
)
=
=


–4 x + 3
–4 x + 3
 f 
2
(f + 4 · g) (x) = –4x + 3 + 4 · (2x + 5x) = –4x + 3 + 8x2 + 20x = 8x2 + 16x + 3
−4 x + 8 + 3 − 15 x
−19 x + 11
 x −2 
(f ◦ h) (x) = –4 · 
=
 +3=
1 − 5x
1 − 5x
 1− 5x 
x −2
x −2
x−2
h
: –4x + 3 =
=
  (x) =
2
2
1 − 5x
−4 x + 3 + 20 x − 15 x
20 x − 19 x + 3
f
g. (h – 1) (x) ⇒ y =
h.
i.
j.
k.
l.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES
17 Un delfín salta hasta que alcanza cierta altura y vuelve a zambullirse en el
agua. La función que relaciona la altura alcanzada en cada salto, en metros,
con el tiempo, en segundos, es f (x) = –2x2 + 8x.
a. Haz una tabla de valores para el primer salto y representa la función.
b. Si el delfín salta una y otra vez, ¿es la función periódica? En caso
afirmativo, indica cuál es el periodo.
Sí, de periodo 4.
c. ¿Cuál es la altura alcanzada por el delfín a los 21 s? ¿Y a los 28 s?
f (21) = f (1 + 5 · 4) = f (1) = 6 m
f (28) = f (0 + 7 · 4) = f (0) = 0 m
d. ¿En qué puntos alcanza el delfín la altura máxima?
En los puntos (2 , 8), (6 , 8), (10 , 8), ..., (2 + 4k , 8) con k ∈ {0, 1, 2, …}.
e. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Creciente: (0 , 2) ∪ (4 , 6) ∪ (8 , 10) ∪ ... ∪ (4k , 4k + 2) con k ∈ {0, 1, 2, …};
decreciente: (2 , 4) ∪ (6 , 8) ∪ ... ∪ (4k + 2 , 4 · (k + 1)) con k ∈ {0, 1, 2, …}.
EVALUACIÓN
1
Dada la siguiente función, su dominio y su recorrido es:
a.
b.
c.
d.
D (f) = (–∞ , 4] y R (f) = [–3 , +∞)
D (f) = (–∞, 1) ∪ (1 , 4] y R (f) = (–3 , +∞)
D (f) = ℝ – {1} y R (f) = (–3 , +∞)
D (f) = (–∞ , 1) ∪ (1 , 4] y R (f) = [–3 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
2
Los puntos de corte de la función f (x) = 2x2 – x – 3 con los ejes de
coordenadas son:
3 
a. (–1 , 0),  ,0  y (0 , –3)
2 
3
b. (0 , –1), (0, ) y (–3 , 0)
2
c. (–1 , 0), (3 , 0) y (0 , –3)
d. (0 , –1), (0 , 3) y (–3 , 0)
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = –3
Puntos de corte con el eje X:
3

1 ± 1 + 24
1 ± 5  x1 =
x=
=
=
2
4
4
 x = −1
 2
3
La función representada en la actividad 1 es:
a. Creciente en (–3 , –2) U (1 , 4).
b. Creciente en (–3 , –2) U (1 , 4) y decreciente en (–∞ , 1).
c. Decreciente en (–∞ , –3] U [–2 , 1).
d. Decreciente en ℝ.
4
La función g ◦ f, donde f (x) = x + 3 y g (x) = 3x2 – 2, es:
a. 3x2 + 1
c. 3x2 + 25
b. 3x2 + 18x + 25
d. 9x2 + 54x + 79
3 · (x + 3)2 – 2 = 3 · (x2+ 9 + 6x) – 2 = 3x2 + 27 + 18x – 2 = 3x2 + 18x + 25
5
La función inversa de f (x) =
a. f – 1 (x) = 3x + 3
5
b. f – 1 (x) =
3x
y=
4
es:
3x − 1
c. f – 1 (x) = –3x + 5
x+4
d. f – 1 (x) =
3x
4
4+y
4+x
⇒ y ( 3 x − 1 ) = 4 ⇒ 3xy − y = 4 ⇒ x =
⇒ f–1 (x) =
3y
3x − 1
3x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
1
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
3.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 11. Estudio de algunas
funciones
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
Unidad 11. Estudio de algunas funciones
SOLUCIONES PÁG. 245
1
Representa las siguientes funciones:
2
a. y = 2x
b. y = –x
c. y = x
3
d. y = –
1
x
4
2
Actividad resuelta.
3
Halla, en cada caso, la expresión algebraica de la función lineal que pasa por
el punto:
En cada caso las funciones son lineales, por lo que pasan por el origen de
coordenadas. Se hallará la pendiente y se sustituye en la expresión y = mx.
a. P (2 , –4)
−4
m=
= −2 ⇒ y = –2x
2
b. Q (–1 , –3)
−3
m=
= 3 ⇒ y = 3x
−1
c. R (6 , 3)
3 1
1
m= = ⇒y= x
6 2
2
d. S (–2 , 5)
5
5
5
m=
=− ⇒y=– x
−2
2
2
4
Halla la expresión algebraica de estas rectas:
Se elige un punto cualquiera de la recta y se sustituye en la expresión de la
función y = mx, ya que todas las funciones son lineales.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
a. Se coge el punto (1 , 2).
2
m = = 2 ⇒ y = 2x
1
b. Se coge el punto (–1 , 4).
4
m=
= −4 ⇒ y = –4x
−1
c. Se coge el punto (–6 , 3).
3
1
1
m=
=− ⇒y=– x
−6
2
2
d. Se coge el punto (–6 , –2).
−2 1
1
m=
= ⇒y=– x
−6 3
3
5
Representa las funciones propuestas.
a. y = 3x + 1
c. y = –4x – 2
1
d. y = 5
b. y = – x + 3
2
e. y = –3
1
f. y = – 2
5
6
Actividad resuelta.
7
Halla, en cada caso, la expresión algebraica correspondiente a una función
afín que cumple estas condiciones:
a. Pasa por los puntos P (–3 , 1) y Q (6 , 4).
Se halla la pendiente:
4 −1
1
m=
=
6+3
3
Se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión y = mx + n para
averiguar n:
1
1 = (–3) + n ⇒ n = 2
3
1
La función es: y = x + 2
3
b. Pasa por el punto R (2 , –1), y su pendiente es –3.
Se sustituye la pendiente y el punto en la expresión general de la función:
y = mx + n ⇒ –1 = –3 · 2 + n ⇒ n = 5
La función es: y = –3x + 5
c. Pasa por el punto S (–2 , 4) y es paralela a y = 5x.
Por ser una recta paralela, la pendiente es la misma, m = 5. Por tanto, se
sustituye la pendiente y el punto en la expresión general de la función:
y = mx + n ⇒ 4 = 5 · (–2) + n ⇒ n = 14
La función es: y = 5x + 14
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
8
Determina la expresión de las siguientes funciones:
Se eligen dos puntos cualesquiera de la recta y se sustituye en la expresión de la
función y = mx + n
a. La recta a es paralela al eje de X, por lo tanto, es de la forma y = n. La función
es: y = –2
b. Se eligen como puntos P (–1 , 1) y Q (–3 , –3). Se calcula la pendiente:
−3 − 1
=2
m=
−3 + 1
Para hallar n, se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión
general de la función:
y = mx + n ⇒ 1 = 2 · (–1) + n ⇒ n = 3
En consecuencia, la función es: y = 2x + 3
c. Se eligen como puntos P (–2 , 1) y Q (–4 , 2). Se calcula la pendiente:
2 −1
1
=−
m=
−4 + 2
2
Para hallar n, se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión
general de la función:
 1
y = mx + n ⇒ 2 =  −  · (–4) + n ⇒ n = 0
 2
1
En consecuencia, la función es: y = − x
2
d. Se eligen como puntos P (1 , 2) y Q (–1 , –1). Se calcula la pendiente:
−1 − 2 3
=
m=
−1 − 1 2
Para hallar n, se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión
general de la función:
3
1
y = mx + n ⇒ –1 = · (–1) + n ⇒ n =
2
2
3
1
En consecuencia, la función es: y = x +
2
2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
9
Una empresa suministradora de electricidad cobra 25 € mensuales por
mantenimiento y 0,15 € por cada kilovatio hora. ¿A cuánto asciende la
factura de este mes de Sebastián si ha consumido 310 kWh? Escribe la
expresión algebraica de la función y dibújala.
Este mes la factura asciende a:
310 · 0,15 + 25 = 71,50 €
La expresión algebraica es: f (x) = 0,15x + 25
SOLUCIONES PÁG. 247
10 Representa la gráfica de estas funciones, hallando su vértice y los puntos de
corte con los ejes, y, a partir de ella, estudia el dominio, el recorrido y la
monotonía de la función:
a. f (x) = x2 – 2x – 8
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b 2
= =1
xv =
2a 2
 –b 
yv = f 
= f (1) = 12 − 2·1 − 8 = −9

 2a 
Puntos de corte con el eje X:
−b ± b 2 − 4ac 2 ± 4 + 32 2 ± 6  x1 = 4 ⇒ (4,0)
x=
=
=
=
2a
2
2
 x2 = −2 ⇒ ( −2,0)
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = –8 ⇒ (0 , –8)
D (f) = ℝ, R (f) = [–9 , +∞)
Creciente: (1 , +∞), decreciente: (–∞ , 1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
b. f (x) = x2 + 6x + 9
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b −6
=
= −3
xv =
2a 2
 –b 
yv = f 
= f ( − 3) = ( −3)2 + 6·( −3) + 9 = 0

 2a 
Puntos de corte con el eje X:
−b ± b 2 − 4ac −6 ± 36 − 36 −6
=
=
= −3 ⇒ ( −3,0)
2a
2
2
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = 9 ⇒ (0 , 9)
x=
D (f) = ℝ, R (f) = [0 , +∞)
Creciente: (–3 , +∞), decreciente: (–∞ , –3)
c. f (x) = 2x2 + 4x – 1
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b −4
xv =
=
= −1
2a 2· 2
 –b 
yv = f 
= f ( − 1) = 2·( −1)2 + 4·( −1) − 1 = −3

 2a 
Puntos de corte con el eje X:
x=
−b ± b 2 − 4ac −4 ± 16 + 8 −4 ± 24
=
=
=
2a
2·2
4

 −2 + 6 
−2 + 6
⇒ 
,0 
 x1 =
2
2
−4 ± 2 6 


=
=
4
 −2 − 6 
−2 − 6

⇒ 
, 0 
 x2 =
2
2



Punto de corte con el eje Y:
f (0) = –1 ⇒ (0 , –1)
D (f) = ℝ, R (f) = [–3 , +∞)
Creciente: (–1 , +∞), decreciente: (–∞ , –1)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
d. f (x)= x2 + 3
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b
0
xv =
=
=0
2a 2·1
 –b 
2
yv = f 
 = f (0) = 0 + 3 = 3
2a


Puntos de corte con el eje X:
x 2 + 3 = 0 ⇒ x = ± −3 ⇒ No corta al eje X.
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = 3 ⇒ (0 , 3)
D (f) = ℝ, R (f) = [3 , +∞)
Creciente: (0 , +∞), decreciente: (–∞ , 0)
e. f (x) = –3x2 + 6x
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b
−6
xv =
=
=1
2a 2·( −3)
 –b 
2
yv = f 
 = f (1) = − 3·1 + 6·1 = 3
 2a 
Puntos de corte con el eje X:
 x = 0 ⇒ (0,0)
−3 x 2 + 6 x = 0 ⇒ x ·( −3 x + 6) = 0 ⇒  1
 x2 = 2 ⇒ (2,0)
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = 0 ⇒ (0 , 0)
D (f) = ℝ, R (f) = (–∞ , 3]
Creciente: (–∞ , 1), decreciente: (1 , +∞)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
f. f (x) = –2x2 + 8
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b
0
xv =
=
=0
2a 2·( −2)
 –b 
2
yv = f 
 = f (0) = − 2·0 + 8 = 8
2a


Puntos de corte con el eje X:
 x = 2 ⇒ (2,0)
−2 x 2 + 8 = 0 ⇒ x = ±2 ⇒  1
 x2 = −2 ⇒ ( −2,0)
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = 8 ⇒ (0 , 8)
D (f) = ℝ, R (f) = (–∞ , 8]
Creciente: (–∞ , 0), decreciente: (0 , +∞)
11 Asocia, de forma razonada, cada una de estas parábolas con su expresión
algebraica:
a. f (x) = x2 + 6x + 9
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2. Se trata de la parábola x2 desplazada 3 unidades a la
izquierda. Por lo tanto, es la gráfica d.
b. f (x) = –x2 + 3x – 2
Como a < 0, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. Corta al eje de
ordenadas en x = –2. Por lo tanto, es la gráfica b.
c. f (x) = –x2 + 2
Como a < 0, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. Tiene como
coeficiente b nulo, por lo que su vértice está sobre el eje de ordenadas. Es la
gráfica a.
d. f (x) = x2 – 2x
x2 – 2x = x · (x – 2). Tiene como coeficiente c nulo. Por lo tanto, corta al origen
de coordenadas. Es la gráfica c.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
12 Representa la función f (x) = –x2 + 1. A partir de ella traza las siguientes
funciones:
a. g (x) = –x2 – 2
c. k (x) = –(x – 3)2 – 2
2
b. h (x) = –(x – 3) + 1 d. j (x) = –x2 + 4
13 Actividad resuelta.
14 Halla la función cuadrática que pasa por los puntos P (–3 , 2), Q (–1 , 0) y R (1 ,
6), e indica las coordenadas del vértice.
Los tres son puntos de la parábola, por lo tanto, se sustituye cada uno de ellos en
la expresión general de la función cuadrática y = ax2 + bx + c
9a − 3b + c = 2  Se despeja a de la segunda ecuación
 y se sustituye en la primera y en la tercera 9·(b − c) − 3b + c = 2  6b − 8c = 2 
a − b + c = 0  
→


b−c+ b +c = 6
 b+ b = 6 

a + b+c =6 
De la segunda ecuación se obtiene que b = 3
Se sustituye en la primera ecuación:
6·3–8·c=2⇒c=2
Por último, se averigua a de la segunda ecuación del sistema inicial:
a=b–c⇒a=3–2=1
La función es f (x) = x2 + 3x + 2
SOLUCIONES PÁG. 248
15 Representa gráficamente las siguientes funciones:
a. f (x) = x4
b. f (x) = x5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
c. f (x) = x6
d. f (x) = x7
16 Halla el dominio de las funciones propuestas, represéntalas y di, en cada
caso, cuál es el recorrido. ¿Son simétricas?
a. f (x) = 3 x − 2
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = 3 x − 2 , tiene x bajo un
radical de índice impar, la función está definida para todos los números reales:
D (f) = ℝ.
R (f) = ℝ, no es simétrica.
b. f (x) = 3 x − 6
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = 3 x − 6 , tiene x bajo un
radical de índice par, la función solo está definida si el radicando es positivo o
nulo. Para determinar los valores de x que hacen que el radicando sea positivo
o nulo, se resuelve la inecuación:
3x – 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de los números reales
mayores o iguales que 2. D (f) = [2 , +∞)
R (f) = [0 , +∞), no es simétrica.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11
c. f (x) = 5 x + 4
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = 5 x + 4 , tiene x bajo un
radical de índice impar, la función está definida para todos los números reales:
D (f) = ℝ.
R (f) = ℝ, no es simétrica.
17 En los grupos habituales, representad las siguientes funciones y
determinad, de forma razonada, cómo se puede obtener la gráfica de cada
una de ellas a partir de la gráfica de la función f (x) = x
a. f (x) = x
b. f (x) = – x
Se obtiene haciendo la simétrica respecto del eje X.
c. f (x) = − x
Se obtiene haciendo la simétrica respecto del eje Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
d. f (x) = 2
x
Se obtiene multiplicando las imágenes de los puntos por 2.
e. f (x) = x + 2
Se obtiene desplazando la gráfica 2 unidades hacia la izquierda.
f. f (x) = x + 2
Se obtiene desplazando la gráfica 2 unidades hacia arriba.
SOLUCIONES PÁG. 249
18 Representa las siguientes funciones definidas a trozos:
si x < 2
4
a. f ( x ) = 
 − x + 3 si 2 ≤ x < 6
•
•
La función constante f1 (x) = 4 está definida en el intervalo (–∞ , 2). Es una
recta paralela al eje de abscisas. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = 2, es f1 (2) = 4, Así, el extremo será el punto (2 , 4) y se
representa hueco al no pertenecer x = 2 al intervalo (–∞ , 2).
La función afín f2 (x) = –x + 3 está definida en el intervalo [2 , 6). Su
representación es una recta. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = 2, es f 2 (2) = –2 + 3 = 1; luego el extremo es el punto (2 , 1) y
será un punto relleno, pues x = 2 pertenece al intervalo [2 , 6). El valor de
la función en el extremo del intervalo, x = 6, es f 2 (6) = –6 + 3 = –3; luego
el extremo es el punto (6 , –3) y será un punto hueco, pues x = 6 no
pertenece al intervalo [2 , 6).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
si x < −3
 −2 x − 5

si − 3 ≤ x ≤ 1
b. f ( x ) =  x + 4
5 − x
si 1 < x

• La función afín f1 (x) = –2x – 5 está definida en el intervalo (–∞ , –3). El valor
de la función en el extremo del intervalo, x = –3, es f1 (–3) = –2 · (–3) – 5 = 1, Así, el
extremo será el punto (–3 , 1) y se representa hueco al no pertenecer x = –
3 al intervalo (–∞ , –3).
• La función afín f2 (x) = x + 4 está definida en el intervalo [–3 , 1]. Su
representación es una recta. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = –3, es f 2 (–3) = –3 + 4 = 1; luego el extremo es el punto (–3 ,
1) y será un punto relleno, pues x = –3 pertenece al intervalo [–3 , 1]. El
valor de la función en el extremo del intervalo, x = 1, es f 2 (1) = 1 + 4 =
5; luego el extremo es el punto (1 , 5) y será un punto relleno, pues x = 1
pertenece al intervalo [–3 , 1].
• La función afín f3 (x) = 5 – x está definida en el intervalo (1 , +∞). El valor de
la función en el extremo del intervalo, x = 1, es f3 (1) = 5 – 1 = 4, Así, el
extremo será el punto (1 , 4) y se representa hueco al no pertenecer x = 1 al
intervalo (1 , +∞).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
19 Representa la función propuesta y, a partir de su gráfica, estudia el dominio,
el recorrido, los puntos de corte con los ejes y los puntos de discontinuidad.
− x 2 + 1
si x < 0

f ( x ) = 2
si 0 < x < 3
 −2 x + 4
si 3 ≤ x

•
•
•
La función cuadrática f1 (x) = –x2 + 1 está definida en el intervalo (–∞ , 0). Su
representación gráfica es una parábola cuyas ramas apuntan hacia abajo. Se
halla su vértice:
–b
0
xv =
=
=0
2a 2·( −1)
 –b 
yv = f 
= f (0) = − 0 2 + 1 = 1

 2a 
Como el vértice (0 , 1) tiene como abscisa x = 0, el punto se representa hueco,
pues no pertenece al intervalo (–∞ , 0).
La función constante f2 (x) = 2 está definida en el intervalo (0 , 3). Es una recta
paralela al eje de abscisas. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = 0, es f2 (0) = 2. Así, el extremo será el punto (0 , 2) y se
representa hueco al no pertenecer x = 0 al intervalo (0 , 3). El valor de la
función en el extremo del intervalo, x = 3, es f2 (3) = 2. Así, el extremo será el
punto (3 , 2) y se representa hueco al no pertenecer x = 3 al intervalo (0 , 3).
La función afín f3 (x) = –2x + 4 está definida en el intervalo [3 , +∞). Su
representación es una recta. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = 3, es f3 (3) = –2 · 3 + 4 = –2; luego el extremo es el punto (3 , –2) y
será un punto relleno, pues x = 3 pertenece al intervalo [3 , +∞).
Al observar su gráfica se obtiene que:
D (f) = ℝ – {0}
R (f) = (–∞ , 1) ∪ {2}
Puntos de corte con los ejes: con el eje X, (–1 , 0), con el eje Y no tiene.
En x = 0 existe una discontinuidad inevitable de tipo salto finito y ese valor de x no
pertenece al dominio de la función.
En x = 3 existe una discontinuidad inevitable de tipo salto finito, y ese valor de x
pertenece al dominio, por tanto, la función es discontinua en este punto.
Creciente en (–∞ , 0), decreciente en (3 , +∞) y constante en (0 , 3).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
SOLUCIONES PÁG. 250
20 Expresa como función definida a trozos las siguientes funciones y
represéntalas:
a. f (x) = |x + 2|
La función definida a trozos es:
si x + 2 ≥ 0
x + 2
f (x) = x + 2 = 
−( x + 2) si x + 2 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión x + 2 es positiva y negativa:
x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ –2
Por tanto, la función es:
si x ≥ −2
x + 2
f (x) = x + 2 = 
− x − 2 si x < −2
Su representación gráfica es:
b. f (x) = |–x – 5|
La función definida a trozos es:
si − x − 5 ≥ 0
− x − 5
f ( x ) = −x − 5 = 
−( − x − 5) si − x − 5 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión –x – 5 es positiva y negativa:
–x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≤ –5
Por tanto, la función es:
− x − 5 si x ≤ −5
f (x ) = −x − 5 = 
si x > −5
x + 5
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
c. f (x) = |x2 – 1|
La función definida a trozos es:
2
si x 2 − 1 ≥ 0
 x − 1
f (x) = x2 − 1 = 
2
2
 −( x − 1) si x − 1 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión x2 – 1 es positiva y negativa:
x2 – 1 ≥ 0 ⇒ (x + 1) · (x – 1) ≥ 0
Por tanto, la función es:
x 2 − 1
si x ≤ −1
 2
2
f ( x ) = x − 1 = − x + 1
si − 1 < x < +1
 2
si 1 ≤ x
x − 1
Su representación gráfica es:
d. f (x) = |–3x + 1|
La función definida a trozos es:
si − 3 x + 1 ≥ 0
−3 x + 1
f ( x ) = −3 x + 1 = 
−( −3 x + 1) si − 3 x + 1 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión –3x + 1 es positiva y negativa:
1
–3x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥
3
Por tanto, la función es:
1

si x ≤
 −3 x + 1
3
f ( x ) = −3 x + 1 = 
1
3 x − 1
si x >

3
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
e. f (x) = |5x – 10|
La función definida a trozos es:
si 5 x − 10 ≥ 0
5 x − 10
f ( x ) = 5 x − 10 = 
−(5 x − 10) si 5 x − 10 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión 5x – 10 es positiva y negativa:
5x – 10 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Por tanto, la función es:
si x ≥ 2
5 x − 10
f ( x ) = 5 x − 10 = 
si x < 2
−5 x + 10
Su representación gráfica es:
f. f (x) = |–x2 + x + 6|
La función definida a trozos es:
2
si − x 2 + x + 6 ≥ 0
 − x + x + 6
f (x) = −x2 + x + 6 = 
2
2
 −( − x + x + 6) si − x + x + 6 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión –x2 + x + 6 es positiva y
negativa:
–x2 + x + 6 ≥ 0 ⇒ (x + 2) · (x – 3) ≥ 0
Por tanto, la función es:
x2 − x − 6
si x < −2
 2
2
f ( x ) = − x + x + 6 = − x + x + 6
si 2 ≤ x ≤ 3
 2
si x > 3
x − x − 6
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
21 Halla la expresión algebraica de esta función:
Se eligen como puntos P (–2 , 2) y Q (0 , 4). Se calcula la pendiente:
4−2
2
m=
= =1
0 − ( −2 ) 2
Para hallar n, se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión
general de la función:
y = mx + n ⇒ 2 = 1 · (–2) + n ⇒ n = 4
En consecuencia, la función es: y = x + 4.
Al ser la gráfica de una función valor absoluto, la expresión algebraica es: f (x) = |x + 4|
SOLUCIONES PÁG. 251
22 Representa las funciones:
3
a. f (x) =
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k > 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer y tercer
cuadrante y la función es decreciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
x
y
1
3
3
1
–1
–3
–3
–1
La representación gráfica de la función f (x) =
3
es:
x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
5
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k < 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el segundo y
cuarto cuadrante y la función es creciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
b. f (x) = −
x
y
1
–5
5
–1
–1
5
–5
1
La representación gráfica de la función f (x) = −
5
es:
x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
4
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k > 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer y tercer
cuadrante y la función es decreciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
c. f (x) =
x
y
1
4
4
1
–1
–4
–4
–1
La representación gráfica de la función f (x) =
4
es:
x
8
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k < 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el segundo y
cuarto cuadrante y la función es creciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
d. f (x) = –
x
y
1
–8
8
–1
–1
8
–8
1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
La representación gráfica de la función f (x) = −
23 A partir de la gráfica de la función f (x) =
h (x) =
8
es:
x
4
4
,
, representa las funciones g (x) =
x
x −1
4
4
–3 .
– 3 e i (x) =
x
x −1
La gráfica de la función
La función g (x) =
la función
4
es la siguiente:
x
4
está trasladada 1 unidad hacia la derecha con respecto a
x −1
4
, porque q = 1. Su representación gráfica es:
x
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
La función h (x) =
función
4
– 3 está trasladada 3 unidades hacia abajo con respecto a la
x
4
, porque p = –3. Su representación gráfica es:
x
La función i (x) =
4
– 3 está trasladada 1 unidad hacia la derecha con respecto
x −1
4
, porque q = 1 y 3 unidades hacia abajo, porque p = –3. Su
x
representación gráfica es:
a la función
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
SOLUCIONES PÁG. 253
24 Indica, sin representar la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes
o decrecientes:
a. f (x) = 3x
Como a > 1, la función es creciente.
b. f (x) = 0,6x
Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
x
2
c. f (x) =  
5
Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
d. f (x) =
( 2)
x
Como a > 1, la función es creciente.
x
4
e. f (x) =  
3
Como a > 1, la función es creciente.
f. f (x) = ex
Como a > 1, la función es creciente.
25 Representa estas funciones exponenciales:
a. f (x) = 5x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 5)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0 1 2
1
y
1 5 25
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
Su representación gráfica es:
b. f (x) = 0,2x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 0,2)
• Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0 1
2
y 5 1 0,2 0,04
Su representación gráfica es:
x
 1
c. f (x) =  
4
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 0,25)
• Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0
1
2
y 4 1 0,25 0,0625
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
d. f (x) =
( 3)
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 ; 1,73)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0
1
2
y 0,58 1 1,73 3
Su representación gráfica es:
e. f (x) = 10x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 10)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0 1
2
y 0,1 1 10 100
Su representación gráfica es:
f. f (x) = ex
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 ; 2,72)
• Como a > 1, la función es creciente.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
Se construye una tabla de valores:
x –1 0
1
2
y 0,34 1 2,72 7,39
Su representación gráfica es:
26 Determina la expresión algebraica de las funciones representadas a
continuación:
a.
La función es creciente, por lo que a > 0. Para hallar el valor de a, hay que
fijarse en la ordenada de x = 1. En este caso y = 4. Por consiguiente, la
expresión algebraica de la función es: f (x) = 4x.
b.
La función es decreciente, por lo que 0 < a < 1. Para hallar el valor de a, hay
que fijarse en la ordenada de x = –1. En este caso y = 5. Por consiguiente, la
x
 1
expresión algebraica de la función es: f (x) =   .
5
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
c.
La función es creciente, por lo que a > 0. Para hallar el valor de a, hay que
fijarse en la ordenada de x = 1. En este caso y = 3. Por consiguiente, la
expresión algebraica de la función es: f (x) = 3x.
d.
La función es decreciente, por lo que 0 < a < 1. Para hallar el valor de a, hay
que fijarse en la ordenada de x = –1. En este caso y = 4. Por consiguiente, la
x
 1
expresión algebraica de la función es: f (x) =   .
 4
27 Representa la función f (x) = 3x. A partir de su gráfica, y sin hacer cálculos,
representa estas otras funciones:
a. f (x) = 3–x
Las dos funciones son simétricas con respecto al eje Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
b. f (x) = 3x + 1
La función 3x + 1 está desplazada una unidad a la izquierda con respecto a 3x
x
 1
c. f (x) =  
3
Las dos funciones son simétricas con respecto al eje Y.
d. f (x) = 3x – 2
La función 3x – 2 está desplazada dos unidades hacia abajo con respecto a 3x
e. f (x) = 3x + 1 – 2
La función 3x + 1 – 2 está desplazada una unidad a la izquierda con respecto a
3x y dos unidades hacia abajo
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
29
f. f (x) = –(3x)
La función –(3x) opuesta con respecto a 3x
28 Encuentra la expresión algebraica de una función exponencial de la forma
f (x) = ax que pase, en cada caso, por el punto:
a. P (1 , 6)
Se sustituye el punto en la expresión de la función exponencial:
x1 = 6 ⇒ x = 6 ⇒ f (x) = 6x
1 

b. Q  3 ,

 125 
Se sustituye el punto en la expresión de la función exponencial:
1
1
 1
x =
⇒x=
⇒ f (x) =  
125
5
5
x
3
29 El tamaño de un cultivo de bacterias se duplica cada 10 min. Si inicialmente
el cultivo tenía 5 000 bacterias:
a. Halla la expresión de la función que relaciona el número de bacterias del
cultivo a lo largo del tiempo.
x
f (x) = 5 000 · 2 10 , siendo x el tiempo medido en minutos.
b. ¿Cuántas bacterias habrá transcurridas 2 h?
Como 2 horas son 12 periodos de tiempo:
f (12) = 5 000 · 212 = 5 000 · 4 096 = 20 480 000 bacterias.
30 Busca información sobre cómo se calcula el interés compuesto anual que
ofrecen los bancos.
a. Escribe la función que expresa el capital final obtenido en relación con el
tiempo que permanece un capital, C, en el banco.
r
CF = C · (1 + i)t siendo t el tiempo en años e i =
con r el rédito.
100
b. Escribe la expresión de la función si se ingresan en el banco 10 000 € al 8 %
de interés anual.
CF = 10 000 · (1 + 0,08)t = 10 000 · (1,08)t
c. Si se invierte el dinero del apartado anterior durante 4 años, ¿de cuánto
se dispondrá al finalizar ese periodo de tiempo?
CF = 10 000 · (1,08)4 = 13 604,89 €
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30
31 Una población de aves cuenta en un primer momento con 80 individuos y
crece anualmente un 5 %. Encuentra la expresión algebraica de la función
que relaciona el número de aves con el tiempo transcurrido. ¿Cuántas aves
habrá al cabo de 10 años?
La expresión algebraica de la función es f (x) = 80 · (1,05)x siendo x el tiempo en
años.
El número de aves que habrá al cabo de 10 años es: f (10) = 80 · (1,05)10 = 130 aves.
32 Un cohete lanzado al espacio asciende cada segundo la mitad de los que
ascendió en el segundo anterior.
a. Si durante el primer segundo se eleva 200 m, determina la función que
expresa la distancia que alcanza el cohete en cada segundo de ascenso.
x −1
 1
F (x) = 200 ·   , siendo x el tiempo en segundos.
2
b. ¿Cuántos metros se eleva en su tercer segundo de ascenso?
2
 1
f (3) = 200 ·   = 50 m
2
SOLUCIONES PÁG. 255
33 Indica, sin representar la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes
o decrecientes:
a. f (x) = log6 (x)
La función es creciente porque a = 6 > 1
b. f (x) = log0,4 (x)
La función es decreciente porque a = 0,4 < 1
c. f (x) = log 1 ( x )
5
La función es decreciente porque a =
1
<1
5
d. f (x) = log 2 ( x )
La función es creciente porque a = 2 > 1
e. f (x) = log3,1 (x)
La función es creciente porque a = 3,1 > 1
f. f (x) = log 3 ( x )
2
La función es creciente porque a =
3
>1
2
34 Determina la expresión algebraica
representadas a continuación:
a.
de
las
funciones
logarítmicas
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31
La función es creciente, por lo que a > 1. Para hallar el valor de a, hay que
fijarse en la abscisa de y = 1. En este caso x = 6. Por consiguiente, la expresión
algebraica de la función es: f (x) = log6 (x).
b.
La función es decreciente, por lo que 0 < a < 1. Para hallar el valor de a, hay
que fijarse en la abscisa de y = –1. En este caso x = 5. Por consiguiente, la
expresión algebraica de la función es: f (x) = log 1 ( x )
5
c.
La función es decreciente, por lo que 0 < a < 1. Para hallar el valor de a, hay
que fijarse en la abscisa de y = –1. En este caso x = 4. Por consiguiente, la
expresión algebraica de la función es: f (x) = log 1 ( x ) .
4
d.
La función es creciente, por lo que a > 1. Para hallar el valor de a, hay que
fijarse en la abscisa de y = 1. En este caso x = 3. Por consiguiente, la expresión
algebraica de la función es: f (x) = log3 (x).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
32
35 Representa estas funciones logarítmicas:
a. f (x) = log4 (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (4 , 1)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x 1 4 16 64
y 0 1 2
3
Su representación gráfica es:
b. f (x) = ln (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (2,72 ; 1)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x 1 2,72 7,39
y 0
1
2
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33
c. f (x) = log 1 ( x )
4
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (0,25; 1)
• Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
x 0,0625 0,25 1 4
y
2
1
0 –1
Su representación gráfica es:
d. f (x) = log0,1 (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (0,1; 1)
• Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
x 0,1 1 10
y 1 0 –1
Su representación gráfica es:
e. f (x) = log (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (10 , 1)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
34
x 1 10 100
y 0 1
2
Su representación gráfica es:
f. f (x) = log5 (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (5 ; 1)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x 1 5 25
y 0 1 2
Su representación gráfica es:
36 Representa la función f (x) = log0,2 (x). A partir de ella, representa la
función g (x) = (0,2)x.
La función logarítmica, f (x) = log 0,2 (x), es la inversa de la función exponencial,
g (x) = (0,2)x, y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta bisectriz
del primer y tercer cuadrante, y = x.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
35
37 Representa la función f (x) = log3 (x). A partir de su gráfica, y sin hacer
cálculos, representa las funciones:
a. g (x) = log 1 ( x )
3
Las gráficas de las funciones f (x) = log3 (x) y g (x) = log 1 ( x ) son simétricas con
3
respecto al eje X.
b. g (x) = –log3 (x)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
36
c. g (x) = log3 (–x)
d. g (x) = 1 + log3 (x)
38 La fuerza de los terremotos se mide usando la escala de Richter, que es una
escala logarítmica en base 10. De este modo, un terremoto de magnitud 2 en
dicha escala es 10 veces más fuerte que uno de magnitud 1.
a. Halla la expresión algebraica que relaciona la magnitud de un terremoto
en función del número de veces que es mayor la amplitud de la onda
sísmica con respecto a la amplitud de la onda en situación normal.
f (x) = log10 (x), siendo x el aumento de la amplitud de onda sísmica con
respecto a la onda en situación normal.
b. Si la amplitud de una onda sísmica es un millón de veces superior a la
onda normal, ¿cuál es la magnitud del seísmo?
f (1 000 000) = log10 (1 000 000) = log10 (106) = 6, luego la magnitud del seísmo es 6.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37
SOLUCIONES PÁG. 259
39 Representa las funciones trigonométricas siguientes:
a. f (x) = sen (2x)
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = [–1 , 1]
• La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
• Es una función periódica de periodo π radianes.
Se construye una tabla de valores:
x –π
y
−
0
3π
4
1
π
2
0
−
π
4
–1
−
0
0
π
4
1
π
2
0
3π
4
–1
π
0
Su representación gráfica es:
b. f (x) = cos (2x)
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = [–1 , 1]
• La función es simétrica respecto del eje de ordenadas.
• Es una función periódica de periodo π radianes.
Se construye una tabla de valores:
x –π
y
1
−
3π
4
0
π
2
–1
−
π
4
0
−
0
1
π
4
0
π
2
–1
3π
4
0
π
1
Su representación gráfica es:
c. f (x) = tg (2x)
Se estudian sus características:
π
π
• D (f) = ℝ –  + k  y R (f) = ℝ
2
4
• La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
38
•
Es una función periódica de periodo
π
radianes.
2
Se construye una tabla de valores:
x –π
y
0
5π
8
–1
−
π
2
0
−
−
3π
8
1
0
0
3π
8
1
π
2
0
5π
8
–1
π
0
Su representación gráfica es:
40 Representa las funciones:
x
a. f (x) = sen  
2
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = [–1 , 1]
• La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
• Es una función periódica de periodo 4π radianes.
Se construye una tabla de valores:
x –2π
y
0
−π
–1
0
0
π
1
2π
0
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39
x
b. f (x) = cos  
2
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = [–1 , 1]
• La función es simétrica respecto del eje de ordenadas.
• Es una función periódica de periodo 4π radianes.
Se construye una tabla de valores:
x –2π
y –1
−π
0
0
1
π
0
2π
–1
Su representación gráfica es:
41 Sean las funciones trigonométricas f (x) = cosec (x), g (x) = sec (x) y h (x) = cotg (x):
a. Indica cuál es el dominio de cada una de ellas.
D (f) = ℝ – {kπ, k ∈ ℤ}
π

D (g) = ℝ –  + kπ,k ∈ 
2

D (h) = ℝ – {kπ, k ∈ ℤ}
b. Halla el recorrido de las tres funciones.
R (f) = (–∞ , –1] ∪ [1 , +∞)
R (g) = (–∞ , –1] ∪ [1 , +∞)
R (h) = ℝ
c. ¿Son simétricas? En caso afirmativo, indica qué tipo de simetría
presentan.
f (x) tiene simetría impar.
g (x) tiene simetría par.
h (x) tiene simetría impar.
d. ¿Son periódicas? En caso afirmativo, halla el periodo.
f (x) es periódica de periodo 2π.
g (x) es periódica de periodo 2π.
h (x) es periódica de periodo π.
e. Determina los puntos de corte con los ejes.
f (x) no tiene puntos de corte con los ejes.
g (x) corta al eje Y en el punto (0 , 1).
π

h (x) corta al eje X en los puntos  + kπ, 0  , k ∈ ℤ.
2


© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
40
42 Establece si las siguientes igualdades son ciertas:
π

a. tg  x +  = cotg (x)
2

π

Falsa, pues tg  x +  = –cotg (x)
2

3π 

b. tg  x +
 = –cotg (x)
2 

Cierta.
43 A partir de la gráfica de la función f (x) = sen (x), y sin hacer cálculos,
representa gráficamente las funciones:
a. g (x) = sen (–x)
b. g (x) = –sen (x)
c. g (x) = sen (x + π)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
41
d. g (x) = sen (x) + 1
44 A partir de la gráfica de la función f (x) = cos (x), y sin hacer cálculos,
representa gráficamente las funciones:
a. g (x) = cos (–x)
b. g (x) = –cos (x)
c. g (x) = cos (x + π)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
42
d. g (x) = cos (x) + 1
45 Indica, razonando cada uno de los casos, si las siguientes funciones son
iguales:
a. f (x) = sen (x) y g (x) = sen (π – x)
sen (π – x) = sen (x)
b. f (x) = cos (x) y g (x) = cos (π – x)
cos (π – x) = – cos (x)
c. f (x) = sen (x) y g (x) = sen (π + x)
sen (π + x) = – sen (x)
d. f (x) = cos (x) y g (x) = cos (π + x)
cos (π + x) = – cos (x)
e. f (x) = sen (x) y g (x) = sen (2π – x)
sen (2π – x) = –sen (x)
f. f (x) = cos (x) y g (x) = cos (2π – x)
cos (2π – x) = cos (x)
SOLUCIONES PÁG. 261
1
¿Cuál es el dominio y el recorrido de todas las funciones polinómicas de
grado uno?
El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.
2
¿Cuántos puntos de corte con los ejes puede tener una función cuadrática?
Con el eje Y siempre tiene un punto de corte y con el eje X, puede tener dos, uno
o ninguno.
3
Indica cómo se halla el vértice de la parábola cuya expresión es f (x) = ax2 +
bx + c.
b
 b 
V = (xV , yV) ⇒ xV = −
, yV = f  − 
2a
 2a 
4
¿Las funciones de la forma f (x) = n x son simétricas? ¿De qué tipo?
Si n es par, la función no es simétrica, y si n es impar, es simétrica impar.
5
Las funciones de proporcionalidad inversa, f (x) =
k
, tienen dos asíntotas.
x
Indica cuál es la asíntota vertical y la horizontal.
La asíntota vertical es x = 0 y la horizontal, y = 0.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43
6
¿Cuál es el dominio y el recorrido de las funciones exponenciales cuya
expresión es f (x) = ax? ¿Y el de las funciones logarítmicas, f (x) = loga (x)?
Para f (x) = ax, D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞); para f (x) = loga x, D (f) = (0 , +∞) y R (f) = ℝ.
7
¿Cuándo es creciente una función exponencial? ¿Y decreciente? ¿Y una
función logarítmica?
Ambas funciones son crecientes si la base, a, es a > 1, y decrecientes si 0 < a < 1.
8
¿Qué relación existe entre la función f (x) = ax y g (x) = loga (x)?
Las funciones son inversas.
9
¿Son las funciones trigonométricas periódicas? Indica, en el caso de que lo
sean, cuál es el periodo.
Las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π y la función tangente,
de periodo π. La función seno y tangente son simétricas impares y la función
coseno, simétrica par.
10 Prepara una presentación digital para tus compañeros. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 262 – REPASO FINAL
FUNCIONES AFÍN, CONSTANTE Y LINEAL
1
Representa las funciones:
a. y = 2x + 3
b. y = 4
2
2
x
3
1
d. y = – x – 1
2
c. y =
Halla, en cada caso, la expresión algebraica correspondiente a una función
afín que cumple estas condiciones:
a. Pasa por los puntos P (–1 , –3) y Q (3 , 5).
Se halla la pendiente:
5 − ( −3) 8
m=
= =2
3 −( −1) 4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
44
Se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión y = mx + n para
averiguar n:
–3 = 2 · (–1) + n ⇒ n = –1
La función es: y = 2x – 1
b. Pasa por el punto R (–3 , 0) y es paralela a la recta y = –x.
Por ser una recta paralela, la pendiente es la misma, m = –1. Por tanto, se
sustituye la pendiente y el punto en la expresión general de la función:
y = mx + n ⇒ 0 = –1 · (–3) + n ⇒ n = –3
La función es: y = –x – 3
FUNCIÓN CUADRÁTICA
3
Representa la gráfica de estas funciones y halla el vértice, el eje de simetría
y los puntos de corte con los ejes. A partir de dicha gráfica, estudia el
dominio, el recorrido y la monotonía de la función.
a. f (x) = –x2 + 3x + 4
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
xv =
–b
−3
3
=
=
2a 2·( −1) 2
2
3
25
 –b 
3
3
= f   = −   + 3· + 4 =
yv = f 

2
4
 2a 
2
2
3
Eje de simetría: x =
2
Puntos de corte con el eje X:
−b ± b 2 − 4ac −3 ± 9 + 16 −3 ± 5  x1 = −1 ⇒ ( −1,0)
=
=
=
2a
−2
−2
 x2 = 4 ⇒ (4,0)
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = 4 ⇒ (0 , 4)
x=
25 

D (f) = ℝ, R (f) =  −∞ , 
4 

3

3

Creciente:  −∞ ,  , decreciente:  , + ∞ 
2

2

© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
45
b. f (x) = x2 – 4x
Se halla el vértice: V = (xv , yv)
–b 4
= =2
xv =
2a 2
 –b 
yv = f 
= f (2) = 22 − 4· 2 = −4

 2a 
Eje de simetría: x = 2
Puntos de corte con el eje X:
 x = 0 ⇒ (0,0)
x 2 − 4 x = 0 ⇒ x ·( x − 4) = 0 ⇒  1
 x2 = 4 ⇒ (4,0)
Punto de corte con el eje Y:
f (0) = 0 ⇒ (0 , 0)
D (f) = ℝ, R (f) = [–4 , +∞)
Creciente: (2 , +∞), decreciente: (–∞ , 2)
4
Halla, en cada caso, una función cuadrática de la que se conoce:
a. El vértice V (–2 , –1), y el punto P (0 , 3).
La expresión algebraica será de la forma f (x) = ax2 + bx + c; luego hay que
hallar el valor de a, b y c.
• Como el punto pertenece a la parábola:
P (0 , 3) ⇒ c = 3
• Como el vértice es V (–2 , –1):
–b
xv =
= –2 ⇒ b = 4a
2a
yv = f (xv) ⇒ –1 = a · (–2)2 + b · (–2) + 3 ⇒ –1 = 4a – 2b + 3 ⇒
⇒ –1 = 4a – 2 · (4a) + 3 ⇒ –4 = –4a ⇒ a = 1
Y por lo tanto: b = 4a ⇒ b = 4
Por consiguiente, la función es: f (x) = x2 + 4x + 3
b. Que pasa por los puntos P (–1 , –1), Q (1 , –1) y R (2 , –7).
Los tres son puntos de la parábola, por lo tanto, se sustituye cada uno de ellos
en la expresión general de la función cuadrática y = ax2 + bx + c
a − b + c = −1
Se despeja a de
la segunda ecuación
y se sustituye
 en
( −1 − b − c) − b + c = −1

 y enlalaprimera
tercera
a + b + c = −1  
→
⇒
4·( − 1 − b − c) + 2b + c = −7 

4a + 2b + c = −7 
−2b = 0
 ⇒ b = 0
⇒


− 2b − 3c = −3  ⇒ c = 1 
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
46
Se sustituyen ambos valores en la primera ecuación del sistema inicial para hallar a:
a = –1 – b – c ⇒ a = –1 – 0 – 1 ⇒ a = –2
La función es f (x) = –2x2 + 1
FUNCIONES xn Y
5
n
x
Representa las funciones f (x) = x4 y g (x) = x5. Indica cuál es su dominio y
cuál su recorrido. ¿Son simétricas?
f (x) = x4: D (f) = ℝ, R (f) = ℝ, es simétrica par.
g (x) = x5: D (f) = ℝ, R (f) = ℝ, es simétrica impar.
6
Estudia el dominio de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:
a. f (x) = 3 1 − x
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = 3 1 − x , tiene x bajo un
radical de índice impar, la función está definida para todos los números reales: D
(f) = ℝ.
b. f (x) = 4 −2 x + 6
Como la expresión algebraica de la función, f (x) = 4 −2 x + 6 , tiene x bajo un
radical de índice par, la función solo está definida si el radicando es positivo o
nulo. Para determinar los valores de x que hacen que el radicando sea positivo
o nulo, se resuelve la inecuación:
–2x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≤ 3
Por tanto, el dominio de la función es el conjunto de los números reales
menores o iguales que 3. D (f) = (–∞ , 3]
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
47
FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS
7
Representa las siguientes funciones propuestas. Estudia su continuidad e
indica los puntos de discontinuidad.
2 x + 3 si x < −1
a. f( x ) =  2
 x − 1 si − 1 ≤ x
•
La función afín f1 (x) = 2x + 3 está definida en el intervalo (–∞ , –1). Su
representación es una recta. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = –1, es f 1 (–1) = 2 · (–1) + 3 = 1; luego el extremo es el punto
(–1 , 1) y será un punto hueco, pues x = –1 no pertenece al intervalo (–∞ , –
1).
• La función cuadrática f2 (x) = x2 – 1 está definida en el intervalo (–1 , +∞).
Su representación gráfica es una parábola cuyas ramas apuntan hacia
arriba. Se halla su vértice:
–b
0
xv =
=
=0
2a 2·1
•
 –b 
yv = f 
= f (0) = 0 2 − 1 = −1

 2a 
Como el vértice (0 , –1) tiene como abscisa x = 0, el punto se representa,
pues pertenece al intervalo (–1 , +∞).
El valor de la función en el extremo del intervalo, x = –1, es f2 (–1) = (–1)2 – 1 = 0;
luego el extremo es el punto (–1 , 0) y será un punto relleno, pues x = –1
pertenece al intervalo (–1 , +∞).
Es continua en ℝ – {–1}. En x = –1 tiene una discontinuidad inevitable de tipo
salto finito.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
48
1
si x < 0
x

b. f( x ) =  x 2
si 0 ≤ x < 2
 − x + 6 si 2 ≤ x


1
está definida en el
x
intervalo (–∞ , 0). Su representación es una hipérbola. El valor de la
función en el extremo del intervalo, x = 0, no existe ya que se trata de
una asíntota vertical y no pertenece al intervalo (–∞ , 0).
• La función cuadrática f2 (x) = x2 está definida en el intervalo [0 , 2). Su
representación gráfica es una parábola cuyas ramas apuntan hacia arriba.
Se halla su vértice:
–b
0
xv =
=
=0
2a 2·1
•
•
La función de proporcionalidad inversa f1 (x) =
 –b 
yv = f 
= f (0) = 0 2 = 0

 2a 
Como el vértice (0 , 0) tiene como abscisa x = 0, el punto se representa,
pues pertenece al intervalo [0 , 2). El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = 2, es f2 (2) = 22 = 4; luego el extremo es el punto (2 , 4) y será
un punto hueco, pues x = 2 no pertenece al intervalo [0 , 2).
La función lineal f3 = –x + 6 está definida en el intervalo [2 , +∞). Su
representación es una recta. El valor de la función en el extremo del
intervalo, x = 2, es f3 = –2 + 6 = 4; luego el extremo es el punto (2 , 4) y será
un punto relleno, pues x = 2 pertenece al intervalo [2 , +∞).
Es continua en ℝ – {0}. En x = 0 tiene una discontinuidad inevitable de tipo salto
infinito.
8
Halla la expresión de la función que se corresponde con la gráfica
representada.
Se trata de una función definida en tres trozos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
49
• La función f1 es una función lineal. Se eligen como puntos P (–3 , 7) y Q (–2 ,
4). Se calcula la pendiente:
4−7
−3
m=
=
= −3
−2 − ( −3)
1
Para hallar n, se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión
general de la función:
y = mx + n ⇒ 4 = –3 · (–2) + n ⇒ n = –2
En consecuencia, la función f1 es: y = –3x – 2, siendo su dominio de definición
el intervalo (–∞ , –2).
• La función f2 es una función constante paralela al eje de abscisas. Como corta
al eje Y en la ordenada y = 4, la función f2 es: y = 4, siendo su dominio de
definición el intervalo [–2 , 2].
• La función f3 es una función lineal. Se eligen como puntos R (2 , 2) y S (4 , 0).
Se calcula la pendiente:
0 − 2 −2
=
= −1
m=
4−2 2
Para hallar n, se sustituye el valor de m y uno de los puntos en la expresión
general de la función:
y = mx + n ⇒ 0 = –1 · 4 + n ⇒ n = 4
En consecuencia, la función f1 es: y = –x + 4, siendo su dominio de definición el
intervalo (2 , +∞).
Así, la función representada es:
−3 x − 2 si x < −2

f ( x ) = 4
si − 2 ≤ x ≤ 2
− x + 4 si 2 < x

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
9
Representa gráficamente las siguientes funciones:
a. f (x) = |x – 3|
Se expresa la función f (x) = |x – 3| como una función definida a trozos:
si x − 3 ≥ 0
x − 3
f (x) = x − 3 = 
−( x − 3) si x − 3 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión x – 3 es positiva y negativa:
x–3≥0⇒x≥3
Por tanto, la función es:
si x ≥ 3
x − 3
f (x) = x − 3 = 
− x + 3 si x < 3
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
50
b. f (x) = |log2 (x)|
Se expresa la función f (x) = |log2 (x)| como una función definida a trozos:
si 0 < log2 ( x ) ≤ 1
log ( x )
f ( x ) = log2 ( x ) =  2
− log2 ( x ) si log2 ( x ) > 1
Se determinan los intervalos donde la expresión log2 (x) es positiva y negativa:
log2 (x) > 0 ⇒ 0 < x ≤ 1
log2 (x) < 0 ⇒ x > 1
Por tanto, la función es:
si 0 < x ≤ 1
log ( x )
f ( x ) = log2 ( x ) =  2
− log2 ( x ) si x > 1
Su representación gráfica es:
c. f (x) = |x2 – 4|
La función definida a trozos es:
2
si x 2 − 4 ≥ 0
 x − 4
f (x) = x2 − 4 = 
2
2
 −( x − 4) si x − 4 < 0
Se determinan los intervalos donde la expresión x2 – 4 es positiva y negativa:
x2 – 4 ≥ 0 ⇒ (x + 2) · (x – 2) ≥ 0
Por tanto, la función es:
x 2 − 4
si x ≤ −2
 2
2
f ( x ) = x − 4 = − x + 4
si − 2 < x < 2
 2
si 2 ≤ x
x − 4
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
51
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
10 Representa las funciones:
1
a. f (x) = –
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k < 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el segundo y
cuarto cuadrante y la función es creciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
x
y
1
–1
2
–0,5
–1
1
–2
0,5
Su representación gráfica es:
4
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k > 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer y tercer
cuadrante y la función es decreciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
b. f (x) =
x
y
1
4
4
1
–1
–4
–4
–1
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
52
6
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Como k < 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el segundo y
cuarto cuadrante y la función es creciente.
• Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
c. f (x) = –
x
y
1
–6
6
–1
–1
6
–6
1
Su representación gráfica es:
10
x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ – {0}, ya que no está definida en x = 0 por ser el valor que anula el
denominador.
• R (f) = ℝ – {0}
• Presenta una discontinuidad inevitable de tipo salto infinito en x = 0. En ese
valor de x, la función tiene una asíntota vertical.
• La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
• La gráfica no tiene puntos de corte con los ejes de coordenadas.
d. f (x) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
53
•
•
Como k > 0, las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer y tercer
cuadrante y la función es decreciente.
Se realiza una tabla para obtener algunos puntos:
x
y
1
10
10
1
–1
–10
–10
–1
Su representación gráfica es:
11 Asocia a cada gráfica su expresión algebraica correspondiente.
3
−3
a. f (x) = –
c. f (x) =
+2
x
x
−3
−3
b. f (x) =
d. f (x) =
+2
x +2
x +2
I.
III.
II.
IV.
•
La función a. tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.
Por tanto, se corresponde con la función III.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
54
•
•
•
La función b. es la función a. trasladada 2 unidades a la izquierda, porque q = 2.
Por tanto, se corresponde con la función I.
La función c. es la función a. trasladada 2 unidades hacia arriba, porque p = 2.
Por tanto, se corresponde con la función II.
La función d. es la función a. trasladada 2 unidades hacia arriba, porque p = 2,
y 2 unidades a la izquierda, porque q = 2. Por tanto, se corresponde con la
función IV.
•
SOLUCIONES PÁG. 263
FUNCIÓN EXPONENCIAL
12 Representa estas funciones exponenciales:
a. f (x) = 4x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
• La función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 4)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0 1 2
1
y
1 4 16
4
Su representación gráfica es:
x
 1
b. f (x) =  
3
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
 1
La función pasa por los puntos (0 , 1) y  1, 
 3
• Como a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
x –1 0 1 2
1 1
y 3 1
3 9
•
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
55
Su representación gráfica es:
c. f (x) = 0,1x
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = (0 , +∞)
 1 
La función pasa por los puntos (0 , 1) y  1, 
 10 
• Como a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
•
x –1 0
y 10 1
1
1
10
2
1
100
13 Representa la función f (x) = 2x. A partir de su gráfica, y sin hacer cálculos,
representa estas otras funciones:
x
 1
a. g (x) =  
2
Las funciones f (x) y g (x) son simétricas respecto al eje Y, pues
x
 1
g ( x ) =   = a− x = f ( − x ) . Así, la representación gráfica de ambas funciones
a
es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
56
b. h (x) = 2x – 1
La función h (x) es la función f (x) trasladada 1 unidad a la derecha.
c. i (x) = 2x + 1
La función i (x) es la función f (x) trasladada 1 unidad hacia arriba.
14 Repasa las distintas funciones en esta dirección
http://conteni2.educarex.es/mats/11824/contenido/
Respuesta abierta.
de
Internet:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
57
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
15 Representa las siguientes funciones:
a. f (x) = log3 (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (3 , 1)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x 1 3 9 27
y 0 1 2 3
Su representación gráfica es:
b. f (x) = log 1 ( x )
5
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (0,20; 1)
• Como 0 < a < 1, la función es decreciente.
Se construye una tabla de valores:
x 0,04 0,20 1 5
y
2
1
0 –1
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
58
c. f (x) = log5 (x)
Se estudian sus características:
• D (f) = (0 , +∞)y R (f) = ℝ
• La función pasa por los puntos (1 , 0) y (5 , 1)
• Como a > 1, la función es creciente.
Se construye una tabla de valores:
x 1 5 25 125
y 0 1 2
3
Su representación gráfica es:
16 Asocia cada una de las funciones con su gráfica correspondiente.
a. f (x) = x2
c. f (x) = 2x
d. f (x) = log2 (x)
b. f (x) = x
I.
III.
II.
IV.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
59
•
•
•
•
La función a. es la expresión de una función cuadrática. Por lo tanto, es la
función II.
La función b. es la expresión de una función de tipo raíz de índice par. Por
lo tanto, se corresponde con la función III.
La función c. es la expresión de una función exponencial creciente, porque
a > 1. Por lo tanto, se corresponde con la función IV.
La función d. es la expresión de una función logarítmica creciente, porque
a > 1. Por lo tanto, se corresponde con la función I.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
17 Representa las funciones trigonométricas:
a. f (x) = sen (3x)
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = [–1 , 1]
• La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
2
• Es una función periódica de periodo π radianes.
3
Se construye una tabla de valores:
x –π
y
0
5π
6
–1
−
−
2π
3
0
π
2
1
−
π
3
0
−
π
6
–1
−
0
0
π
6
1
π
3
0
π
2
–1
2π
3
0
5π
6
1
2π
3
1
5π
6
0
π
0
Su representación gráfica es:
b.
f (x) = cos (3x)
Se estudian sus características:
• D (f) = ℝ y R (f) = [–1 , 1]
• La función es simétrica respecto del eje de ordenadas.
2
• Es una función periódica de periodo π radianes.
3
Se construye una tabla de valores:
x –π
y –1
−
5π
6
0
−
2π
3
1
π
2
0
−
π
3
–1
−
π
6
0
−
0
1
π
6
0
π
3
–1
π
2
0
π
–1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
60
Su representación gráfica es:
c. f (x) = tg (3x)
Se estudian sus características:
π
π
• D (f) = ℝ –  + k  y R (f) = ℝ
6
3


• La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
π
• Es una función periódica de periodo
radianes.
3
Se construye una tabla de valores:
x –2π
−π
y
0
0
3π
4
–1
−
π
4
1
−
π
4
0 –1
0
3π
4
1
π
2π
0
0
Su representación gráfica es:
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
61
EVALUACIÓN
1
El vértice de la parábola f(x) = 3x2 – 2x – 1 es:
a. (1 , –4)
 1 
c.  − ,0 
 3 
b. (1 , 0)
1 4
d.  , − 
3 3
2
V = (xv,yv) ⇒ xv =
2
La representación gráfica de la siguiente función es:
 2 − x si x ≤ −2

f( x ) =  x − 1
si − 2 < x < 1
 x 2 1 si 1 x
<
 −
a.
c.
b.
3
1 2
4
 1
 1
 1
–b
2
1
=
= , yv = f   = 3·   − 2·   − 1 = − − 1 = −
3 3
3
2a 2·3 3
3
3
3
d.
El punto x = –2 existe en el intervalo (–∞ , –2], por lo que tendrá que ser un punto
relleno. La únicas que cumplen esa condición es a. y d.
Si se sustituye el valor x = –4 en la función f1 = −2 − ( −4) = 2 > 0 . Por lo tanto, la
representación gráfica de f1 es positiva.
x
 1
x
Las funciones f (x) = a y g (x) =   son simétricas respecto:
a
a. Del eje X.
c. Del eje Y.
b. De la bisectriz y = x.
d. Del origen de coordenadas.
La función exponencial en base a y su inversa, son simétricas respecto al eje Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
62
4
De las siguientes afirmaciones sobre la función f (x) = |2x – 8| no es cierta:
a. Su dominio es ℝ.
c. Es simétrica par.
b. Su recorrido es [0 , +∞)
d. Es continua.
5
Las funciones f (x) = ax y g (x) = loga (x) son decrecientes:
a. Siempre.
c. Nunca.
b. Si 0 < a < 1.
d. Si a > 1.
6 De las siguientes afirmaciones sobre la función f (x) = sen (x) es cierta:
a. Su recorrido es ℝ.
c. Es periódica de periodo π.
b. Es simétrica impar.
d. Corta al eje Y en el punto (0 , 1).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 12. Estadística
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
Unidad 12. Estadística
SOLUCIONES PÁG. 267
1
Las emisiones de gases de efecto invernadero por habitante, en toneladas
de CO2, en diferentes países europeos han sido las siguientes:
22,6; 14,5; 12,8; 12,5; 11,5; 11,3; 10,7; 10,5; 9,3; 7,0; 6,6; 24,7; 24,0; 7,5; 21,3;
18,7; 19,4; 5,9; 12,6; 5,2; 13,1; 16,6; 8,8; 20,3.
Realiza una tabla estadística agrupando los datos en intervalos.
2
Elabora una tabla estadística con los siguientes datos:
82 81 83 82 81 80 83 84 82 83 81 84 82
84 81 82 83 84 82 82 81 82 83 80 82 82
3
Realiza las actividades de esta página de Internet:
http://www.ine.es/explica/explica_pasos_primera_encuesta.htm
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 269
4
En una encuesta realizada para conocer la edad media a la que se casan las
parejas se han obtenido estos resultados:
30, 29, 31, 30, 29, 33, 31, 32, 30, 31, 29, 32, 30, 31, 30, 32, 29, 30, 31, 32, 30, 30,
29, 30, 31, 33, 30, 30, 29, 31, 29, 32, 30, 31, 30.
Realiza una tabla de frecuencias y calcula:
a. Los parámetros estadísticos de centralización.
Los parámetros de centralización son:
Mo = 30, porque es el valor de la variable que más se repite.
⋯
̅
30,49
Me = 30 porque
17,5 y el primer valor de Ni que lo supera es 20 que se
corresponde con Xi = 30
b. Los parámetros estadísticos de dispersión.
Los parámetros de dispersión son:
R = Xmax – Xmin = 33 – 29 = 4
⋅
V (x) =
S (x) =
CV =
"
̅
!
V !=1
=
,#$
̅2 =
– (30,49)2 = 930,657 – 929,64 = 1,02
= 0,033 ⇒ CV = 3,3%
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 271
5
En un hospital se registra la temperatura (X), en grados Celsius, y el número
de pulsaciones (Y) a un grupo de 13 pacientes. Los resultados obtenidos
son los siguientes: (36 , 75) (36,5 , 90) (36 , 85) (37 , 90) (37 , 80) (36,5 , 85)
(36,5 , 75) (37,5 , 90) (38 , 90) (37 , 80) (36,5 , 85) (37 , 90) (36,5 , 75)
a. Expresa los valores que toma cada una de las dos variables en una tabla
simple.
b. Indica los valores que adopta cada una de las dos variables en una tabla
de doble entrada.
c. ¿Cuántas pulsaciones tienen los pacientes que han tenido una
temperatura de 37,5º?
El único paciente que ha tenido una temperatura de 37,5 ºC tiene 90 pulsaciones.
d. Establece la distribución marginal de las variables X e Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
En el marco de un estudio sobre educación se ha realizado una prueba a 24
personas para relacionar el número de faltas de ortografía cometidas en un
dictado (X) y los años de estudio realizados (Y): (4 , 8) (6 , 9) (5 , 11) (5 , 10)
(7 , 7) (4 , 12) (3 , 12) (5 , 9) (6 , 7) (7 , 7) (4 , 11) (3 , 12) (6 , 8) (3 , 11) (4 , 11)
(5 , 9) (6 , 7) (7 , 8) (5 , 10) (3 , 12) (5 , 9) (4 , 11) (6 , 8) (5 , 9)
a. Registra los valores que toma cada una de las dos variables en una tabla
simple.
b. Expresa los valores de cada una de las dos variables en una tabla de
doble entrada.
c. Determina la distribución marginal de las variables X e Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 273
7
En el estudio de una variable bidimensional se han recogido los siguientes
datos:
(6 , 3), (6 , 2), (5 , 1), (7 , 3), (7 , 0), (8 , 2) (9 , 4), (6 , 3), (8 , 1), (7 , 2), (10 , 4),
(8 , 4) (6 , 3), (10 , 2), (6 , 3), (5 , 2), (6 , 4), (7 , 1) (5 , 3), (9 , 2), (5 , 4), (8 , 0),
(6 , 1), (5 , 3)
a. Construye una tabla simple con los datos.
b. Elabora una tabla de doble entrada con los datos.
c. Representa la nube de puntos.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
Un centro escolar planea adquirir una fotocopiadora y ha comparado el
precio en nueve modelos por cada mil fotocopias en blanco y negro y en
color. La comparativa de las fotocopiadoras se muestra en la siguiente tabla:
a. Elabora una tabla de doble entrada de los datos.
b. Representa la nube de puntos.
c. Halla la distribución marginal de las variables X e Y.
Y
Frecuencia
5
6
1
1
7
8
9
3
3
1
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
Sobre una muestra de 20 hogares se ha realizado un estudio acerca del
número de residentes que hay en la vivienda y la cantidad de residuos
generados mensualmente, en kilogramos:
(5 , 200) (4 , 220) (3 , 190) (5 , 250) (4 , 180) (3 , 150) (3 , 195) (2 , 150) (5 , 250)
(4 , 300) (4 , 230) (4 , 220) (3 , 150) (5 , 300), (2 , 140) (5 , 270) (2 , 100) (4 , 310)
(5 , 280), (4 , 230)
a. Elabora una tabla de doble entrada agrupando los datos de los residuos
en intervalos.
b. Representa la nube de puntos.
c. Halla la distribución marginal de las variables X e Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10 Las calificaciones obtenidas por 28 alumnos en las materias de Música y de
Matemáticas, en este orden, han sido las siguientes: (7 , 9) (6 , 4) (8 , 10)
(8 , 5) (6 , 5) (9 , 8) (4 , 2) (8 , 8) (5 , 4) (7 , 5) (8 , 9) (5 , 3) (6 , 7) (6 , 9) (7 , 6)
(9 , 9) (6 , 8) (10 , 9) (3 , 4) (8 , 6) (5 , 6) (3 , 2) (2 , 4) (5 , 5) (4 , 5) (4 , 4) (9 , 7)
(4 , 3)
Representa el diagrama de dispersión de estos datos.
11 En un centro escolar se ha realizado un recuento del número de
nacionalidades diferentes que hay en cada clase (X) y la calificación media
de la clase en la materia de Inglés (Y). Los resultados son:
a. Agrupa los datos en una tabla simple.
b. Representa gráficamente los puntos en un diagrama de dispersión.
c. ¿En cuántas clases hay 5 nacionalidades?
En tres clases.
d. ¿En cuántas clases la nota media en Inglés es de un 9?
En tres clases.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12 El porcentaje del presupuesto de la Seguridad Social de varios países que
se distribuye a personas jubiladas y a personas con incapacidad
permanente es el siguiente:
a. Agrupa los datos en una tabla simple.
b. Representa gráficamente los puntos en un diagrama de dispersión.
c. ¿Cuántos países destinan un 60 % del presupuesto de la Seguridad Social
a los jubilados?
Tres países.
d. ¿Cuántos países dedican más de un 9 % del presupuesto de la Seguridad
Social a las personas con incapacidad permanente?
Siete países.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13 Se ha preguntado a diversos matrimonios por el número de años que llevan
casados y el número de hijos que han tenido desde que contrajeron
matrimonio:
a. Elabora una tabla simple de los datos.
b. Representa la nube de puntos.
c. ¿Cuántos matrimonios han tenido menos de 2 hijos?
Tres matrimonios.
d. ¿Cuántos años llevan casados los matrimonios que han tenido tres hijos?
Ocho y dieciséis.
e. ¿Qué matrimonios han tenido mayor número de hijos: los que llevan
casados más de 10 años o los que llevan menos de 10 años?
En ambos casos el número de hijos es el mismo.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 275
14 Observa la siguiente distribución de esta variable bidimensional:
a. Dibuja la nube de puntos correspondiente.
b. Clasifica el tipo de dependencia que existe entre las variables
unidimensionales.
Mantienen una dependencia aleatoria.
15 Se cree que el consumo de leche en la dieta de los países desarrollados está
relacionado con la renta per cápita de cada uno. Analiza si esto se cumple y
si existe algún tipo de relación entre estas variables a tenor de los
siguientes resultados:
Existe una dependencia aleatoria o estadística entre las variables y, por tanto, una
cierta influencia entre ellas.
16 Indica el tipo de dependencia que crees que puede existir en las siguientes
variables bidimensionales:
a. El cambio de divisas entre libras esterlinas y euros.
Dependencia funcional.
b. Las horas de estudio y la calificación obtenida en una materia.
Dependencia aleatoria.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17 Realiza el siguiente trabajo en grupo en clase: pregunta a tus compañeros la
calificación obtenida en el último examen de Matemáticas (X) y el número de
horas dedicadas a la preparación de la prueba durante la última semana (Y).
Representa los datos en una nube de puntos y analiza el tipo de
dependencia existente entre ambas variables.
Respuesta abierta.
18 Se ha comparado el precio y el número de kilos de naranjas que han
adquirido los integrantes de un grupo de vecinos:
a. Representa gráficamente los datos mediante una nube de puntos.
b. Indica si existe dependencia entre los valores de las variables, y, en caso
afirmativo, di de qué tipo es.
Sí, existe una dependencia de tipo funcional ya que los valores de la variable X
determinan exactamente los de la Y.
19 Fíjate en estos pares de variables bidimensionales y razona cuáles de ellos
están integrados por variables unidimensionales que guardan una relación
de dependencia y señala de qué tipo es:
a. El plato preferido de una persona y su peso.
Independencia.
b. El número de horas dedicado a preparar una prueba de atletismo y la
marca obtenida.
Dependencia aleatoria.
c. La modalidad de bachillerato elegida y el sexo del estudiante.
Independencia.
d. La fuerza con que una carga puntual fija atrae o repele a otras cargas
colocadas a una distancia fija.
Dependencia funcional.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20 Un estudio intenta determinar si existe alguna relación entre las siguientes
variables: número de horas semanales dedicadas a jugar a videojuegos (X) y
edad del jugador (Y). Ha arrojado los siguientes resultados:
a. Representa gráficamente los datos mediante un diagrama de dispersión.
b. ¿Qué conclusiones puedes extraer sobre la dependencia de ambas
variables?
Las variables mantienen una dependencia aleatoria. Parecen seguir un rastro
curvilíneo.
21 Indica dos ejemplos de variables bidimensionales para cada uno de estos
tipos de dependencia:
a. Dependencia aleatoria.
Respuesta abierta, por ejemplo: Altura de una persona y tamaño del pie.
b. Dependencia funcional.
Respuesta abierta, por ejemplo: Grados Celsius y grados Kelvin.
c. Independencia.
Respuesta abierta, por ejemplo: Peso de un alumno y calificación en matemáticas.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22 En la siguiente tabla se reflejan los datos recogidos en un estudio
comparativo entre la variable precio del móvil de una persona (variable X) y
sus ingresos medios mensuales (variable Y):
a. Representa gráficamente los datos mediante un diagrama de dispersión.
b. A la vista de la nube de puntos obtenida, ¿qué puedes indicar sobre la
dependencia de ambas variables?
Son independientes.
c. Elabora una tabla con unos nuevos valores que establezcan una
dependencia diferente a la obtenida con la tabla actual.
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 277
23 Un grupo de atletas de decatlón ha realizado sus dos últimas pruebas, salto
de longitud y 100 metros lisos, con los siguientes registros:
Representa el diagrama de dispersión de los puntos e indica el tipo de
correlación que hay entre las variables.
Hay una correlación lineal y negativa.
24 Actividad resuelta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25 Halla la covarianza
bidimensional:
en
la
xi
yi
xi · yi
3
3
6
8
18
24
5
2
3
4
3
3
12
5
9
8
11
3
60
10
27
32
33
9
4
9
36
30
71
249
̅
Sxy =
⋯
/
*,+
$
= 3,33; &' =
)*+ ∙ -* ∙ .*
̅ ∙ &' =
(
#$
$
siguiente
⋯ (
$
distribución
de
una
variable
= 7,89;
– (3,33 · 7,89) = 1,39
26 Escribe un ejemplo de la distribución de una variable cuya covarianza sea
nula.
Respuesta abierta.
27 Clasifica los siguientes diagramas de dispersión en función del tipo de
correlación que existe entre las variables:
a.
b.
Correlación curvilínea.
Correlación negativa.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28 Para mejorar el plan de absentismo escolar en un centro educativo, se ha
realizado un estudio con el objetivo de determinar la relación entre el
número de días de ausencias semanales en el centro y la edad de los
alumnos. Los resultados obtenidos son:
a. Realiza la representación gráfica en una nube de puntos.
b. Determina el tipo de correlación que mantienen las variables.
La correlación es nula.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 279
29 Durante el viaje de estudios de fin de etapa, un grupo de alumnos realizó un
cambio de divisas, de euros a libras esterlinas, en una oficina bancaria:
Halla el coeficiente de correlación de los datos y razona de qué tipo de
correlación se trata en función del valor obtenido.
xi
12
24
18
30
6
yi
10
20
15
25
5
xi · yi
120
480
270
750
30
36
30
126
105
⋯
̅
1
,0
Sxy =
V (x) =
V (y) =
r=
"-.
"- ∙ ".
100
400
225
625
25
1 080
1 296
900
2 730
3 276
2 275
(
̅ ∙ &' =
⋅
( ⋅
̅2 =
&'2 =
2 ,
, # ∙ 2,
yi 2
144
576
324
900
36
= 21; &'
0∙- ∙ .
xi 2
⋯ (
= 17,5
– (21 · 17,5) = 87,5
– 212 = 105; S (x) = 10,24
– 17,52 = 72,91; S (y) = 8,53
=1
Por tanto, tienen una correlación funcional lineal positiva.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30 La masa y la altura de un grupo de personas es:
a. Halla su coeficiente de correlación.
xi
80
75
70
78
72
yi
185
170
165
171
168
xi · yi
14 800
12 750
11 550
13 338
12 096
xi 2
6 400
5 625
4 900
6 084
5 184
yi 2
34 225
28 900
27 225
29 241
28 224
375
859
64 534
28 193
147 815
⋯
̅
= 75; &'
1
0∙- ∙ .
,0
Sxy =
⋅
V (x) =
( ⋅
V (y) =
r=
"-.
"- ∙ ".
=
,2
, ∙ ,$
(
⋯ (
̅ ∙ &' =
̅2 =
2 $
&'2 =
# 2
#
2 $
#
= 171,8
– (75· 171,8) = 21,8
– 752 = 13,6; S (x) = 3,6
– 171,82 = 47,76; S (y) = 6,91
= 0,87
b. Representa gráficamente los datos en una nube de puntos.
c. Describe el tipo de correlación existente entre las variables.
La correlación es positiva y fuerte.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
31 Representa los siguientes datos mediante una nube de puntos e indica cuál
de estos valores te parece más apropiado para el coeficiente de correlación:
0,9
0,1
–0,8 –0,6
El más apropiado es r = 0,1.
32 Calcula el coeficiente de correlación del siguiente conjunto de datos e
interprétalo:
xi
1
2
3
4
5
6
7
yi
17
15
14
12
9
9
6
xi · yi
17
30
42
48
45
54
42
xi 2
1
4
9
16
25
36
49
yi 2
289
225
196
144
81
81
36
28
82
278
140
1 052
⋯
̅
2
1
0∙- ∙ .
,0
Sxy =
⋅
V (x) =
( ⋅
V (y) =
r=
"-.
"- ∙ ".
=
– ,
∙ ,
(
= 4; &'
̅ ∙ &'
̅2 =
#
&' =
⋯ (
2
=
2
= 11,71
– (4 · 11,71) = –7,12
– 42 = 4; S (x) = 2
– 11,712 = 13,16; S (y) = 3,62
= –0,98
La distribución tiene coeficiente de correlación muy cercano a 1 en valor absoluto,
lo cual indica que está muy próximo a tener una dependencia funcional negativa.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
33 Se ha llevado a cabo un estudio sobre los tiempos realizados por unos
nadadores en la prueba de 100 metros estilo libre y su estatura y se ha
comprobado que no existe ninguna relación entre ambas variables.
Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
a. ¿Cuál crees que es el valor del coeficiente de correlación lineal?
Cercano a 0.
b. Inventa una nube de puntos que represente la distribución de este
conjunto de datos.
Respuesta abierta.
34 Explica el significado de los siguientes coeficientes de correlación en una
distribución bidimensional:
a. r = 1
Hay una correlación funcional y positiva.
b. r = –0,1
La correlación es muy débil.
c. r = 0,25
Hay una correlación aleatoria leve y positiva.
d. r = 0,92
Hay una correlación aleatoria fuerte y positiva.
e. r = 0
La correlación es nula.
f. r = –1
Hay una correlación funcional y negativa.
35 Se conoce el coeficiente de correlación de dos variables bidimensionales
cuyos valores son r1 = –0,7 y r2 = 0,1.
a. ¿En cuál de las dos distribuciones se ajustarán mejor los datos a una
función lineal?
En la primera distribución, pues su coeficiente de correlación es más cercano al
valor absoluto de 1.
b. Utilizando un diagrama de dispersión, representa gráficamente, de forma
aproximada, cada conjunto de valores definido por los coeficientes de
correlación anteriores.
Respuesta abierta.
36 En el caso de que entre los elementos de una variable estadística
bidimensional haya independencia estadística, cabe concluir que la
covarianza es nula. Sin embargo, ¿se puede afirmar el proceso contrario? Es
decir, ¿implica el hecho de que la covarianza de las variables sea cero que
haya una independencia estadística entre dichas variables?
Una covarianza nula no implica independencia, sino falta de relación lineal.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
37 Interpreta el valor del coeficiente de correlación de:
xi
yi
xi · yi
xi 2
yi 2
1
2
–1
–4
–1
–8
1
4
1
16
4
6
–10
–16
–40
–96
16
36
100
256
7
9
–19
–25
–133
–225
49
81
361
625
10
–28
–280
100
784
39
–103
–783
287
2 143
$
⋯
̅
1
0∙- ∙ .
,0
Sxy =
( ⋅
V (y) =
r=
"-.
"- ∙ ".
̅ ∙ &' =
⋅
V (x) =
=
(
= 5,57; &'
̅2
&'2 =
– $,2$
,2 ∙ $,#
2
4 2
⋯ (
4
= –14,71
– (5,57 · (–14,71)) = –29,89
– 5,572 = 8,28; S (x) = 2,87
#
– (–14,71)2 = 89,75; S (y) = 9,47
= –1,09
Correlación negativa y lineal, dependencia funcional, los puntos se ajustan a una
recta de pendiente negativa, r = –1.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 281
38 El Ministerio de Medio Ambiente ha llevado a cabo un estudio sobre el
número de incendios forestales que han tenido lugar en una comunidad y
las temperaturas medias ambientales registradas durante esos días:
a. Halla el coeficiente de correlación lineal.
xi
2
6
9
5
3
1
6
yi
30
35
39
34
32
29
36
xi · yi
60
210
351
170
96
29
216
xi 2
4
36
81
25
9
1
36
yi 2
900
1 225
1 521
1 156
1 024
841
1 296
32
235
1 132
192
7 963
⋯
̅
1
0∙- ∙ .
,0
Sxy =
⋅
V (x) =
( ⋅
V (y) =
r=
"-.
(
= 4,57; &'
"- ∙ ".
=
,
2,
∙ ,
̅ ∙ &' =
̅2 =
$
&'2 =
$
⋯ (
=
= 33,57
– (4,57 · 33,57) = 8,3
– 4,572 = 6,54; S (x) = 2,56
– 33,572 = 10,63; S (y) = 3,26
= 0,99
b. Calcula la recta de regresión de y sobre x.
"-.
2,
& &'
5
̅ !; & 33,57
5
4,57!; &
&
1,27
"-
27,78
,
33,57
1,27
5,79;
c. Si se produjeran 12 incendios, ¿qué previsión de temperatura media se
podría realizar?
y = 1,27 · 12 + 27,78; y = 43,02
La previsión sería de 43,02 ºC
d. ¿Es la previsión fiable? Razona la respuesta.
Es bastante fiable, ya que el coeficiente de correlación lineal se aproxima mucho a
1.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
39 Dos conjuntos de datos tienen un coeficiente de correlación lineal de r1 = 0,6
y r2 = –0,8, respectivamente. ¿En cuál de ellos será mejor el ajuste de la recta
de regresión? Razona tu respuesta.
La estimación será más fiable en el segundo caso porque el coeficiente de
correlación es más cercano, en valor absoluto a 1.
40 En los siguientes apartados se da un coeficiente de correlación lineal; indica
en cuáles tiene sentido calcular la recta de regresión.
a. r = 0,9
b. r = 0
c. r = –0,1
d. r = –1
Únicamente tiene sentido calcular la recta de regresión tanto en el apartado a.
como en el apartado d., ya que en ambos casos es un valor cercano o igual a 1 en
valor absoluto. Sin embargo, en los otros dos apartados, el coeficiente de
correlación es igual o está muy cercano al 0.
41 Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
a. ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión de una variable
bidimensional?
( ̅ , &'), pues es el centro de gravedad de la nube de puntos.
b. Si el valor absoluto del coeficiente de correlación lineal se aproxima a 1,
¿a qué tienden las rectas de regresión de una variable bidimensional?
A que su ángulo de corte sea nulo, a que se igualen ambas rectas.
SOLUCIONES PÁG. 283
1
Explica la regla para agrupar en intervalos dentro de una tabla de
frecuencias los valores de una variable cuantitativa continua.
El número de intervalos se aproxima a √N. La amplitud de los intervalos se calcula
>
4>?*B
como: ).º?@A
E)FGHIJKLM
2
Enuncia las etapas que tienen lugar en el proceso de elaboración de un
estudio estadístico.
1. Elección de la población y del carácter a estudiar.
2. Diseño de la encuesta a realizar y del proceso de recogida de los datos.
3. Elección de la muestra, de forma que sea representativa de la población.
4. Recuento de los datos obtenidos y su organización en tablas.
5. Representación gráfica de la información obtenida.
6. Cálculo de los parámetros estadísticos.
7. Análisis de la información obtenida.
3
¿Cuánto suman las frecuencias relativas de todos los valores de una
variable unidimensional?
Suman la unidad.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
Explica la diferencia entre los parámetros de centralización y los parámetros
de dispersión de una variable estadística unidimensional.
Los parámetros de centralización son valores alrededor de los cuales se
distribuyen los datos y su labor es representar de forma global a toda la población,
mientras que los parámetros de dispersión indican el grado de concentración de
los datos en torno a los parámetros de centralización.
5
¿En cuál de los parámetros estadísticos no influyen todos los datos?
El rango o recorrido, pues solo depende de los valores extremos.
6
¿En cuál de los parámetros de centralización influye el orden de los datos?
En la mediana.
7
¿Cuál es la diferencia entre una dependencia aleatoria y una dependencia
funcional en una variable estadística bidimensional?
En la dependencia aleatoria entre los valores de las variables existe una cierta
influencia, pero los valores de la variable X no determinan los valores
correspondientes de la variable Y. Mientras que en la funcional la influencia es
absoluta y sí determinan los valores correspondientes de la otra variable.
8
¿Qué se debe cumplir en la correlación de una variable estadística
bidimensional para que esta sea positiva?
Se debe cumplir que a medida que aumentan los valores de una variable,
aumenten los valores de la otra variable.
9
¿Qué determina el coeficiente de correlación lineal de una variable
estadística bidimensional?
El grado de correlación entre las variables.
10 Prepara una presentación digital para tus compañeros sobre el origen de la
estadística y su evolución a lo largo de la historia. Puedes hacer un
documento PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 284
ETAPAS DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO
1
Se desea extraer una muestra de 20 personas de un conjunto de 60
individuos en el que hay 3 grupos de edades: 12 niños, 30 adultos y 18
ancianos. Indica como realizarías la muestra si el tipo de muestreo fuera:
a. Aleatorio sistemático.
Se calcula k =
= 3. Se elige al azar un número entre el 1 al 3, por
)
ejemplo, el 2. Entonces las personas que integrarán la muestra serán los
correspondientes a los números 2, 5, 8, 11, …, 59.
b. Aleatorio estratificado.
El tamaño muestral de cada estrato, niños, adultos y ancianos deberá ser
proporcional a la presencia del mismo en la población:
=
= 4 niños
2
=
=
(
N
& = 10 adultos
O = 6 ancianos
ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
2
La hora a la que amanece en diferentes ciudades es:
07:32
07:45
07:06
07:52
07:27
07:39
07:38
07:43
07:35
07:54
07:23
07:30
07:04
07:00
07:47
07:39
07:26
07:55
a. Organiza los datos en una tabla estadística con cuatro intervalos de 15
min de amplitud.
b. Represéntalos en un histograma.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
En la siguiente tabla se registran las cifras de automóviles matriculados en
cierta comunidad en función del año:
a. Elabora dos diagramas de barras: uno que se ajuste a la regla de los tres
cuartos y otro que la incumpla.
b. Describe la diferencia de información que se transmite en una primera
impresión.
Respuesta abierta.
4
La altura media de 6 alumnos es de 1,80 m, y la de 8 alumnas, de 1,74 m.
Halla:
a. La suma de las alturas de todos los alumnos.
1 ⋯
P
Como '
1,80
∑ S = 6 · 1,80 = 10,8 m
Q
b. La suma de las alturas de todas las alumnas.
1 ⋯
P
1,74
∑ S = 8 · 1,74 = 13,92 m
Como '
Q
c. La altura media de los 14 estudiantes.
'
1
⋯
Q
P
10,8 13,92
6 8
= 1,77 m
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
Se ha contabilizado el número de centros educativos operativos en 30
localidades y se han obtenido estos datos:
3 4 5 2 4 5 3 6 8 4 7 4 5 6 8 6 5 4 5 7
a. Elabora una tabla estadística con estos datos.
b. Represéntalos en un diagrama de sectores.
c. Halla los parámetros estadísticos.
Mo = 4 y 5 porque son los valores que más se repiten de la variable;
⋯
∙
∙ #∙
∙
∙
∙ 2∙
̅
5,05;
Me = 5 porque = 10 y el valor que supera 10 en la columna de Ni se
corresponde con el Xi = 5;
R = Xmax – Xmin = 8 – 10 = 6;
V(x) =
Sx =
⋅
̅2 =
∙
V ! = 1,6; CV =
∙
"
̅
!
# ∙
=
,
,
∙
∙
∙
2 ∙
– (5,05)2 = 2,55
= 0,32
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
6
La temperatura media anual y la latitud de algunas ciudades europeas es, de
forma aproximada: (13º , 51º) (16º , 49º) (17º , 47º) (17º , 48º) (16º , 47º)
(18º , 47º) (14º , 49º) (18º , 46º) (16º , 48º) (16º , 49º) (15º , 49º) (14º , 48º)
a. Recoge los valores en una tabla de doble entrada.
b. Halla la distribución marginal de las variables X e Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
Para comprobar el ahorro que se puede hacer en la compra diaria, se ha
registrado el precio de una barra de pan y de un litro de leche, en céntimos
de euro, en diferentes supermercados de una ciudad:
(45 , 79) (40 , 77) (40 , 78) (45 , 77) (50 , 79) (35 , 77) (55 , 75) (45 , 76) (45 , 79)
(40 , 75) (50 , 75) (45 , 76) (45 , 79) (35 , 78) (55 , 79)
a. Recoge los valores en una tabla de doble entrada.
b. Representa el diagrama de dispersión de los puntos.
c. Halla la distribución marginal de las variables X e Y.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
DEPENDENCIA ALEATORIA Y FUNCIONAL
8
El número de veces que un grupo de individuos de una muestra acude
mensualmente al teatro y sale a cenar fuera de casa es:
Dibuja la nube de puntos correspondiente y clasifica el tipo de dependencia
que existe entre las variables.
Hay una dependencia aleatoria fuerte entre las variables.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES
9
Se ha analizado en varias casas el porcentaje del sueldo que se destina al
gasto de la vivienda (gas, agua, luz…) y al de ocio y espectáculos:
a. Halla la covarianza de esta distribución.
xi
30
yi
6
xi · yi
180
31
30
7
7
217
210
32
28
5
9
160
252
31
33
6
5
186
165
215
45
1 370
̅
Sxy =
⋯
1
,0
30,71; &'
0∙- ∙ .
̅ ∙ &' =
(
⋯ (
#
6,43
30,71 ∙ 6,43! = –1,75
b. Representa el diagrama de dispersión de los puntos e indica el tipo de
correlación entre las variables.
Hay una dependencia aleatoria fuerte y negativa.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 285
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL. INTERPRETACIÓN
10 En el marco de un estudio sobre el fomento del aprendizaje del idioma inglés
se ha relacionado el promedio de horas que un grupo de alumnos dedican a
ver diariamente los programas de televisión en versión original con la
calificación que obtienen en la materia de Inglés:
a. Halla su coeficiente de correlación lineal.
xi
yi
xi · yi
xi 2
yi 2
1
7
7
1
49
2
9
18
4
81
2
8
16
4
64
1
5
5
1
25
3
10
30
9
100
1
6
6
1
36
2
7
14
4
49
0
4
0
0
16
2
8
16
4
64
14
64
112
28
484
#
$
⋯
̅
1
0∙- ∙ .
,0
Sxy =
⋅
V (x) =
( ⋅
V (y) =
r=
"-.
"- ∙ ".
=
(
= 1,56; &'
,
,2 ∙ ,2
̅ ∙ &' =
̅2 =
&'2 =
2
$
$
⋯ (
=
#
$
= 7,11
– (1,56 · 7,11) = 1,35
– 1,562 = 0,68; S (x) = 0,82
#2#
$
– 7,112 = 3,23; S (y) = 1,80
= 0,91
b. Representa los datos en una nube de puntos y describe el tipo de
correlación entre las variables.
Existe una dependencia aleatoria fuerte y positiva.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
11 Los datos de la tabla indican el PIB per cápita anual, (variable X), y la
esperanza de vida general, (variable Y), en cada uno de los países indicados:
a. Halla el coeficiente de correlación de estas dos variables.
xi
83
82
76
79
71
78,1
52,7
53
yi
42 344
87 600
12 500
41 100
1 215
5 112
538
408
xi · yi
3 514 552
7 183 200
950 000
3 246 900
86 265
399 247,2
283 52,6
21 624
xi 2
6 889
6 724
5 776
6 241
5 041
6 099,61
2 777,29
2 809
yi 2
1 793 014 336
7 673 760 000
156 250 000
1 689 210 000
1 476 225
26 132 544
289 444
166 464
574,8
190 817
15 430 140,8
42 356,9
11 340 299 013
⋯
̅
1
,0
Sxy =
#,2
2
(
̅ ∙ &'
#
0∙- ∙ .
⋅
V (x) =
= 71,85; &'
( ⋅
̅2 =
#
2
#
,$
2
# ,2
=
$ 2
2
= 23 852,12
– (71,85 · 23 852,12) = 214 992,42
– 71,852 = 132,19; S (x) = 11,50
$$
V (y) =
&'2 =
2
S (y) = 29 130,9
"
# $$ ,#
r = " -.
= , ∙ $ ,$ = 0,64
∙ "
-
⋯ (
– 23 852,122 = 848 613 748,1;
.
b. Representa los datos en un diagrama de puntos e indica el tipo de
correlación existente entre las variables.
Correlación positiva y débil.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
REGRESIÓN LINEAL. RECTAS DE REGRESIÓN
12 Enrique quiere comprarse una raqueta y ha hecho un pequeño estudio de
mercado que tiene en cuenta la masa, en gramos, y el precio, en euros, de
varios modelos de raqueta:
Halla el coeficiente de correlación lineal y las dos rectas de regresión.
xi
yi
xi · yi
xi 2
yi 2
330
180
59 400
108 900
32 400
320
200
64 000
102 400
40 000
330
170
56 100
108 900
28 900
340
150
51 000
115 600
22 500
330
190
62 700
108 900
36 100
1 650
890
293 200
544 700
159 900
⋯
̅
1
0∙- ∙ .
,0
Sxy =
V
( ⋅
V (y) =
"-.
&
=
"- ∙ W.
M-.
̅
&'
̅ 2=
M.
M-.
M-
,
–
· &
·
&'2 =
∙
,
##
=
2$
= 178
– (330 · 178) = –100
– 3302 = 40; S (x) = 6,32
$$
– 1782 = 296; S (y) = 17,20
= –0,92
'''
&!
'''!
⋯ (
$
̅ ∙ &' =
⋅
V (x) =
r=
(
= 330; &'
&
330 =
–
178 =
–
$
#
∙ &
178!
∙ &
330!
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
EVALUACIÓN
1
El muestreo de tipo probabilístico es:
a. Casual.
b. Aleatorio simple.
c. De selección.
d. De bola de nieve.
Solución b.
2
La media de estos datos es:
a. 6,2
⋯
X
̅
3
b. 16
c. 7,27
=
= 16
d. 18
Solución b.
El tipo de dependencia que mantienen las variables según su diagrama de
dispersión es:
a. Positiva.
b. Funcional.
c. Independiente.
d. Negativa.
Solución d.
4
La covarianza de la distribución de esta variable bidimensional es:
a. –0,57
xi
1
2
3
5
6
7
8
32
̅=
b. 0,57
yi
4
1
2
1
2
1
3
14
⋯
1
Sxy = ,0
Solución b.
c. –0,82
xi 2
1
4
9
25
36
49
64
188
xi · yi
4
2
6
5
12
7
24
60
= 4,57; &'
0∙- ∙ .
̅ ∙ &' =
d. 0,82
(
⋯ (
yi 2
16
1
4
1
4
1
9
36
=
#
= 2;
– (4,58 · 2) = 0,57
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
El coeficiente de correlación lineal de la distribución de esta variable
bidimensional es:
a. 0,12
xi
1
2
3
5
6
7
8
32
b. 0,85
⋯
̅
yi
4
2
1
3
1
1
2
14
0∙- ∙ .
,0
V
"-.
W- ∙ ".
⋅
̅ ∙ &' =
V
̅2 =
V
&'2 =
( ⋅
V (y) =
=
(
= 4,57; &'
=
V (x) =
r=
xi · yi
4
4
3
15
6
7
16
55
1
Sxy =
c. –0,49
– , 2
,##∙ ,
22
xi 2
1
4
9
25
36
49
64
188
⋯ (
=
#
d. –0,68
yi 2
16
4
1
9
1
1
4
36
= 2;
– (4,57 · 2) = –1,28
– 4,572 = 5,98; S (x) = 2,44
– 22 = 1,14; S (y) = 1,06
= –0,49
Solución c.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 13. Combinatoria
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
Unidad 13. Combinatoria
SOLUCIONES PÁG. 289
1
Se quiere introducir 4 canicas iguales en 3 botes distintos, de modo que
no se descarta que alguno de ellos quede vacío. ¿De cuántas formas se
puede realizar esto? Representa en un diagrama de árbol las posibles
soluciones.
2
Jaime desea regalar un cuadro de su colección a cada uno de sus tres
hijos. Si la colección consta de 18 cuadros, de los cuales cinco los ha
pintado él mismo:
a. ¿De cuántas formas distintas puede hacer el regalo?
18 · 17 · 16 = 4 896 ⇒ Puede hacer el regalo de 4 896 formas diferentes.
b. ¿Y si de los tres cuadros que quiere regalar exactamente uno debe ser de
los pintados por él?
3 · 5 · 13 · 12 = 2 340 ⇒ Puede hacer el regalo de 2 340 formas diferentes.
3
Se lanzan 2 dados y se suman los resultados obtenidos en las caras
superiores. ¿De cuántas formas se puede obtener un resultado que sea
múltiplo de 2? ¿Y menor de 4?
Los múltiplos de dos son 6 · 3 = 18 ⇒ Se puede obtener de 18 formas. Los
menores de cuatro son 3 resultados: (1 , 1) , (1 , 2) y (2 , 1)
4
Se lanzan dos dados distintos, uno rojo y otro verde. Indica de cuántas
formas diferentes se puede obtener:
a. Una suma de 7 u 11.
Hay 8 resultados: (1 , 6), (2 , 5), (3 , 4), (4 , 3), (5 , 2), (6 , 1), (5 , 6), (6 , 5)
b. Que únicamente salga un 2.
Hay 10 resultados: (2 , 1), (2 , 3), (2 , 4), (2 , 5), (2 , 6), (1 , 2), (3 , 2), (4 , 2),
(5 , 2), (6 , 2)
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
Silvia quiere visitar a cinco familiares que están en sus respectivas casas,
pero no puede pasar dos veces por ninguna de ellas. De cuántas formas
diferentes puede realizar las visitas si:
a. Tiene que empezar y terminar en la misma casa.
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 ⇒ 24 formas.
b. No puede visitar al familiar cinco hasta no haber realizado la visita al
familiar dos o al tres.
4 · 2! + 4 · 3! + 2 · 4! = 80 ⇒ 80 formas.
1
2
3
4
3!
3!
2
3
2
1
3
4
5
3
4!
1
2
4
5
4!
2
4
1
2
3
6
2!
2!
3
3!
3!
2!
2!
En el hotel en el que se aloja Carmen ofrecen un desayuno completo
compuesto por un producto de bollería a elegir entre croissant, una tostada
o cereales; un zumo que puede ser de naranja, piña o manzana, y,
finalmente, café o cacao. ¿De cuántas formas diferentes puede combinar
Carmen su desayuno?
3 · 3 · 2 = 18 ⇒ 18 desayunos distintos.
7
Inés se está preparando para realizar el entrenamiento diario y debe elegir
su ropa deportiva entre 3 pares de deportivas, 2 camisetas, 3 pantalones
cortos y 4 mallas. ¿De cuántas formas distintas puede vestirse Inés si no
puede llevar pantalón corto y mallas a la vez?
3 · 2 · 3 + 3 · 2 · 4 = 42 ⇒ 42 formas de vestirse.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
En una reunión de viejos amigos se han dado cita 5 parejas. Al presentarse,
cada amigo se saluda dando un abrazo a los demás, exceptuando a su
respectiva pareja.
a. ¿Cuántos abrazos se han dado en total en ese encuentro?
10 · = 40 ⇒ 40 abrazos.
b. Si se hubieran dado 84 abrazos, ¿cuántas parejas habrían asistido?
x · (x – 2) = 2 · 84 ⇒ x2 – 2x = 168 ⇒ x = 14, tomando únicamente el valor
positivo. Por lo tanto, se obtiene que habrían asistido 7 parejas.
9
A la hora de formalizar la matrícula en una escuela de turismo, Esther debe
elegir dos materias entre las cinco que se ofertan. ¿De cuántas formas
podría escoger Esther las dos optativas?
1
2
2
3
4
5
3
4
5
3
4
5
4
5
Puede escoger las dos optativas de diez formas distintas.
10 Considerando los vértices de un hexágono, ¿cuántos segmentos se pueden
dibujar con extremos en sus vértices? ¿Y cuántas diagonales se pueden
trazar en el hexágono?
Se pueden trazar 15 segmentos con extremos en sus vértices. Se pueden trazar 9
diagonales.
SOLUCIONES PÁG. 291
11 Calcula las siguientes permutaciones:
a. P5 = 5! = 120
b. P8 = 8! = 40 320
c. PR62, 2, 2 =
!
!∙ !∙ !
=
!
!∙ !∙ !
=
= 90
d. P7 = 7! = 5 040
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12 Una familia formada por los dos padres y sus tres hijos ha comprado
entradas para el cine y deben sentarse en cinco butacas consecutivas.
a. ¿De cuántas maneras distintas pueden acomodarse?
P5 = 5! = 120
b. ¿Y si los padres deciden sentarse en los extremos?
2 · P3 = 2 · 3! = 12
13 Con las letras de la palabra PRENSA:
a. ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer?
P6 = 6! = 720
b. ¿Cuántas empiezan por N?
P5 = 5! = 120
c. ¿Cuántas empiezan por N y acaban por A?
P4 = 4! = 24
14 En una urna hay dos bolas verdes, cinco azules y tres rojas. ¿De cuántas
maneras distintas pueden extraerse las bolas de la urna una a una?
PR102, 5, 3 =
!
!∙ !∙ !
!
!∙ !∙ !
=
= 2 520
15 Calcula mentalmente las siguientes permutaciones:
a. P3 = 3! = 6
b. P4 = 4! = 24
c. PR53, 2 =
!
!∙ !
=
!
!∙ !
= 10
d. PR42, 2 =
!
!∙ !
=
!
!∙ !
=6
16 Jimena tiene una estantería con ocho libros. Indica de cuántas formas puede
colocarlos si:
a. Es posible cualquier ordenación.
P8 = 8! = 40 320
b. Dos libros concretos deben estar juntos.
7 · P2 · P6 = 7 · 2! · 6! = 10 080
c. Dos libros determinados deben ocupar los extremos.
2 · P6 = 2 · 6! = 1 440
17 Actividad resuelta
18 ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar cinco personas alrededor de
una mesa circular?
PC5 = (n – 1)! = 4! = 24
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 293
19 Calcula las siguientes variaciones:
a. V9, 3 =
!
(
)!
=
!
=
!
504
b. VR5, 3 = 53 = 125
!
c. V8, 4 = (
)!
=
!
=
!
1 680
d. VR4, 5 = 45 = 1 024
20 En una asociación de montañismo hay 75 afiliados. Anualmente hay que
renovar los cargos del presidente, el secretario y el tesorero. Indica de
cuántas formas se pueden cubrir los cargos si los actuales:
a. No pueden volver a presentarse.
!
!
V72, 3 = (
= ! = 357 840
)!
b. Pueden volver a renovar el cargo o cambiar a otro.
!
!
V75, 3 = (
= ! = 405 150
)!
21 En la final de una prueba de natación compiten ocho nadadores por lograr
un puesto en el pódium. ¿De cuántas formas diferentes pueden obtener las
medallas de oro, plata y bronce?
V8, 3 = (
!
)!
=
!
=
!
336
22 Calcula mentalmente:
a. V6, 2 = (
!
)!
=
!
=
!
30
!
=
!
336
b. VR4, 3 = 43 = 64
c. V8, 3 = (
!
)!
=
d. VR2, 5 = 25 = 32
23 El alfabeto morse utiliza un punto y una raya para codificar cualquier letra o
número. Utilizando como máximo cuatro veces en cada ocasión estos
signos:
a. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden formar?
2 + 4 + VR2, 3 + VR2, 4 = 2 + 4 + 23 + 24 = 30
b. ¿Cuántas palabras con tres puntos y dos rayas se pueden crear?
!
!
PR53, 2 = ! ∙ ! = ! ∙ ! = 10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24 En cierto instituto se reparten al final de curso los premios al mejor
expediente, al mejor deportista y al más solidario y este año han recaído
todos en una misma clase de 25 alumnos. De cuántas formas se puede
hacer el reparto si:
a. Los premios no son acumulativos.
!
!
V25, 3 = (
= ! = 13 800
)!
b. Un alumno puede recibir más de un premio.
VR25, 3 = 253 =15 625
25 Con los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9:
a. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar?
!
!
V5, 4 = (
= ! = 120
)!
b. ¿Y si se pueden repetir las cifras?
VR5, 4 = 54 = 625
26 ¿Cuántos números capicúas se pueden formar con seis cifras?
Los números capicúa son de la forma abccba. La forma de elegir los números abc,
pero con a distinto de cero, son VR10, 3 – VR10, 2 = 103 – 102 = 900.
27 El sistema de matriculación europeo, por el que se rigen las matrículas de
los vehículos en España, consiste en dos grupos de caracteres, el primero
de los cuales es un número de cuatro cifras, mientras que el segundo está
constituido por tres letras. El número se forma con los dígitos del 0 al 9 y las
letras se escogen de entre 20, las que constituyen nuestro alfabeto
exceptuando las vocales y la CH, la LL, la Ñ y la Q a fin de evitar
combinaciones malsonantes y confusiones con otras letras.
a. ¿Cuántas matrículas se pueden formar en total?
VR10, 4 · VR20, 3 = 104 · 203 = 80 000 000
b. ¿Cuántas matrículas empiezan por 0?
VR10, 3 · VR20, 3 = 103 · 203 = 8 000 000
c. ¿Cuántas tendrán una única B?
VR10, 4 · 3 · VR19, 2 = 104 · 3 · 192 = 10 830 000
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28 Se desea dibujar banderas que estén formadas por tres columnas verticales
del mismo tamaño. Cada una de las columnas se pinta de un color diferente,
para lo que se dispone de nueve colores:
a. ¿Cuántas banderas distintas se pueden realizar?
!
!
V9, 3 =
= = 504
(
)!
!
b. Si el rojo tuviera que estar en la columna central, ¿cuántas banderas
diferentes se pueden componer?
!
!
V8, 2 = (
= ! = 56
)!
c. ¿Cuántas banderas pueden pintarse si siempre ha de estar presente el
color negro?
!
!
3 · V8, 2 = 3 · (
= 3 · ! = 168
)!
d. ¿Y si tuviera que aparecer el negro, pero no el verde?
!
!
3 · V7, 2 = 3 · (
= 3 · ! = 126
)!
SOLUCIONES PÁG. 295
29 Calcula los siguientes números combinatorios:
=
a.
!
!∙ !
= 15
b.
=
!
!∙ !
= 55
c.
=
!
!∙ !
= 120
d.
!
"
=
#
!
!∙ !
= 70
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
30 Demuestra las propiedades de los números combinatorios aplicando su
expresión.
Propiedad 1
n
!
= ! ∙(
= n!
)!
1
Propiedad 2
n
!
= ! ∙(
n
)!
=1
Propiedad 3
n
!
= ! ∙(
=
)!
1
Propiedad 4
n
= (
n−1
!∙(
(
!
)! ∙ !
)!
)!
=n
=n
Propiedad 5
n
n
Si n ≥ k,
=
k
n− k
!
'!∙ (
( )!
Propiedad 6
n
n
n+1
Si n > k,
+
=
k+ 1
k
k+1
!((* )!
((* )!∙ ( ()!
+ ((*
!( * )
((* )!∙ ( ()!
= ((*
!( ()!
)!∙ ( ()!
'!∙ (
!
( * )!
)!∙ ( ()!
+ ('*
!((* *
((* )!∙ (
= ((*
( * )!
)!∙ ( ()!
( )!
)!∙ (
()!
()!
!
)!
(
( * )!
)!∙ ( ()!
= ('*
( * )!
)!∙ ( ()!
= ((*
( * )!
( * )!
=
((* )!∙ ( ()! ((* )!∙ ( ()!
31 Para los valores n = 7 y k = 5, comprueba las propiedades
+
+
+
+
++
=
y
+
=
,+
,
+− ,
,
,+
7
5
7
2
7
5
8
6
=
=
!∙ (
!∙ (
!
!
)!
)!
= 21
= 21
7
= (
!∙
6
!
= !∙ ! = 28
+
!
)!
+
!∙ (
!
)!
=
!
!∙ !
+
!
!∙ !
= 21 + 7 = 28
32 Demuestra la siguiente expresión aplicando la fórmula del número
combinatorio:
+
+
+ ∙
= n2
n
n
+2∙
=
1
2
!∙ (
!
)!
+2
!∙ (
!
)!
=
(
!
)!
+
(
!
)!
=
!*(
(
)∙ !
)!
=
!∙( *
(
)!
= n · n = n2
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
)
=
33 Calcula los elementos del triángulo de Pascal-Tartaglia hasta la fila diez.
10
=1
0
10
= 210
4
10
= 45
8
10
= 10
1
10
= 252
5
10
= 10
9
10
= 45
2
10
= 210
6
10
=1
10
10
= 120
3
10
= 120
7
1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1
34 Desarrolla las potencias de los siguientes binomios:
a. (2 + x)2 = 4 + x2 + 4x
b. (x + 3y)3 = x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
c. (2x + 4y)4 = 16x4 + 128x3y + 384x2y2 + 512xy3 + 256y4
d. (x2 + 3)2 = x4 + 9 + 6x2
35 Calcula el desarrollo de las potencias de binomios negativos, (a – b),
aplicando el binomio de Newton al caso general [a + (–b)].
a. (a – 1)2 = a2 + 1 – 2a
b. (2a – b)2 = 4a2 + b2 – 4ab
c. (x – 2y)2 = x2 + 4y2 – 4xy
d. (5a – 3y)3 = 125a3 – 225a2y + 135ay2 – 27y3
e. (–x + 4)3 = 64 – 48x + 12x2 – x3
f. (–x2 + 3y)3 = –x6 + 3x4y – 9x2y2 + 27y3
36 Desarrolla las potencias de los siguientes binomios:
a. 5 +
b.
c.
d.
6
+
#
8
= a2 + + a
7
=
−6
=
;
−
<
=
+ b2 + b
9
=
+ −
>9
:
+ 4e − de
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
SOLUCIONES PÁG. 297
37 Calcula las siguientes combinaciones:
a. C7, 2 =
b. C10, 5 =
7
=
2
!
!∙ !
10
=
5
= 21
!
!∙ !
= 252
c. C5, 4 =
5
=
4
!
!∙ !
=5
d. C6, 3 =
6
=
3
!
!∙ !
= 20
38 En el aula de informática de 4.° de ESO de cierto instituto, los alumnos se
agrupan por parejas para trabajar en cada uno de los ordenadores
disponibles. Si hay 30 alumnos en clase y el aula dispone de 15
ordenadores, ¿cuántas parejas diferentes se pueden formar?
C30, 2 =
30
=
2
!∙
!
!
= 435
39 David quiere regalar a Sergio dos CD de música y los va a elegir de entre los
17 que integran su colección de música clásica. ¿De cuántas formas puede
hacerlo?
C17, 2 =
17
=
2
!∙
!
!
= 136
40 ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices de un heptágono
regular?
C7, 3 =
7
=
3
!
!∙ !
= 35
41 Un equipo de baloncesto dispone de 12 jugadores para jugar un partido este
fin de semana.
a. ¿Cuántas alineaciones de 5 jugadores podrá formar?
!
12
C12, 5 =
= ! ∙ ! = 792
5
b. Si deja siempre en pista al máximo anotador del equipo, ¿cuántas
alineaciones son posibles?
!
11
C11, 4 =
= ! ∙ ! = 330
4
42 En un juego de azar dan dos opciones, acertar un número elegido al azar
entre 100 o acertar dos números elegidos al azar entre 15. ¿Con cuál crees
que es más fácil acertar?
100
=
1
el primero.
C100, 1 =
!∙
!
!
= 100; C15, 2 =
15
=
2
!∙
!
!
= 105. Es más fácil acertar con
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
43 En el supermercado hay 15 tipos diferentes de yogures. Espe quiere elegir
solamente dos tipos; ¿de cuántas formas distintas puede hacerlo?
C15, 2 =
15
=
2
!∙
!
!
= 105
44 Un grupo de siete amigos ha resultado ganador en una rifa organizada para
ayudar en la construcción de un orfanato. Si el premio han sido dos
jamones, ¿de cuántas formas se los pueden repartir?
C7, 2 =
7
=
2
!
!∙ !
= 28
45 Un grupo de ocho niños participantes en un concurso de TV ha sido
premiado con un viaje para dos personas. ¿De cuántas formas pueden
organizarse para ir al viaje?
C8, 2 =
8
=
2
!
!∙ !
= 28
46 Cosme II de Medici, duque de Toscana, era un jugador habitual de dados y
observó que, al sumar los puntos obtenidos en el lanzamiento de tres dados,
era más frecuente que diese 10 que 9. No entendía por qué, ya que pensaba
que ambas sumas se obtenían de seis maneras, con combinaciones de tres
números. Pero Galileo lo sacó del error. Investiga cuál fue la solución que le
dio el sabio italiano y calcula las posibilidades de cada caso.
Cosme II creía que los dos resultados, 9 y 10, se producían con el mismo número
de casos, 6:
Para el 9: (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3).
Para el 10: (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4).
Galileo le sacó del error al demostrarle que cada uno de estos casos, dan lugar a
varios al tener que considerar sus permutaciones. Así:
Para el 9: P3 + P3 + PR32, 1 + PR32, 1 + P3 + 1 = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25
Para el 10: P3 + P3 + PR32, 1 + P3 + PR32, 1 + PR32, 1 = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27
Por tanto, es más ventajoso apostar al resultado 10 que al 9.
47 A la inauguración de una feria internacional del automóvil acuden 1 500
asistentes, de los cuales 1 100 son europeos y 400 asiáticos. ¿Cuántos tríos
pueden formarse con personas del mismo continente?
!
1 100
400
+
=
+
!∙
!
3
3
= 221 228 700 + 10 586 800 = 231 815 500
C1 100, 3 + C400, 3 =
!∙
!
!
=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
48 Manuel ha utilizado para las diferentes materias del curso en total cinco
cuadernos de tamaño A4 y dos de tamaño A5. Si se cogen tres cuadernos al
azar:
a. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir?
!
7
C7, 3 =
= ! ∙ ! = 35
3
b. ¿En cuántos de esos grupos habrá un solo cuaderno de tamaño A5?
!
5
2 · C5, 2 = 2 ·
= 2 · ! ∙ ! = 20
2
49 La jefa de recursos humanos de cierta empresa debe seleccionar a tres
personas de entre los 30 candidatos que se han presentado para cubrir una
oferta de empleo. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección?
C30, 3 =
30
=
3
!∙
!
!
= 4 060
50 En la elaboración de un batido de frutas se quiere utilizar cuatro tipos
diferentes de fruta. Si se dispone de nueve frutas distintas:
a. ¿Cuántos batidos distintos se pueden preparar?
!
9
C9, 4 =
= ! ∙ ! = 126
4
b. Si se desea que la fresa esté presente en todos los batidos, ¿cuántos se
podrán elaborar?
!
8
C8, 3 =
= ! ∙ ! =56
3
51 En la biblioteca de un centro educativo hay ocho cuentos distintos de inglés
y cuatro de francés. Alicia quiere coger dos de cada. ¿De cuántas maneras
podrá hacerlo?
C8, 2 · C4, 2 =
8
4
·
=
2
2
!
·
!∙ !
!
!∙ !
=168
52 Como parte del plan para fomentar el uso del transporte público y reducir la
contaminación provocada por los turismos, el Ayuntamiento de una
localidad ha aumentado el número de trenes de cercanías. Aun así, el que
coge Arturo va bastante lleno y solo quedan cinco asientos libres para las 20
personas que acaban de subir.
a. ¿De cuántas formas se pueden distribuir los asientos?
!
20
C20, 5 =
= ! ∙ ! = 15 504
5
b. Si uno de ellos está reservado para una persona minusválida que acaba
de subir, ¿cómo se distribuirá el resto de los asientos?
!
19
C19, 4 =
= ! ∙ ! = 3 876
4
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
53 En la sala de espera de un odontólogo han dejado cinco revistas iguales
para que los pacientes se entretengan hasta que son atendidos. Si hay 12
personas aguardando a pasar consulta, ¿de cuántas formas se podrían
repartir las revistas?
C12, 5 =
12
=
5
!
!∙ !
=792
54 ¿Cuántas aleaciones distintas se pueden formar con cuatro metales
diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales.
C4, 2 + C4, 3 + 1 =
4
4
+
+1=
2
3
!
+
!∙ !
!
+
!∙ !
1 = 6 + 4 + 1 = 11
SOLUCIONES PÁG. 299
1
¿Por qué se caracteriza el principio de multiplicación?
Se caracteriza porque el recuento de las posibilidades totales se obtiene al
multiplicar el número de posibilidades de cada uno de los casos independientes
en que se descompone una acción.
2
Escribe el desarrollo de la potencia (a + b)3.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3
En las permutaciones sin repetición de n elementos, ¿en qué se diferencia
cada uno de los grupos que se forman?
En el orden de los elementos.
4
¿A qué permutación sin repetición equivale la permutación circular de 6
elementos?
Equivale a P5.
5
¿El orden de colocación de los elementos es una característica determinante
para distinguir los diferentes grupos que se forman en las combinaciones
sin repetición de n elementos tomados de k en k?
No, solamente son distintos los grupos si difieren en alguno de los elementos.
6
Escribe la diferencia entre las permutaciones sin repetición y las variaciones
sin repetición.
Las permutaciones son un caso especial de variaciones en las que el número de
elementos diferentes que se toman coincide con el número de elementos de todos
los posibles que se pueden tomar, p = n.
7
Escribe la diferencia entre permutaciones y combinaciones.
En las permutaciones influye el orden y en las combinaciones no.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
Pon un ejemplo de una permutación de 4 elementos.
Respuesta abierta. Por ejemplo, en una liga de 4 equipos de baloncesto, ¿de
cuántas maneras pueden acabar la competición?
9
Pon un ejemplo de una variación sin repetición de 5 elementos tomados de 3
en 3.
Respuesta abierta. Por ejemplo, en una carrera de 5 participantes, ¿de cuántas
maneras pueden formar los puestos del pódium?
10 Pon un ejemplo de una combinación sin repetición de 5 elementos tomados
de 3 en 3.
Respuesta abierta. Por ejemplo, si Juan dispone de 5 CD de música, pero
solamente puede llevarse 3 para un viaje en coche, ¿de cuántas formas puede
hacerlo?
11 ¿Con qué coeficientes coinciden los elementos del triángulo?
Coinciden con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio.
12 Prepara una presentación digital para tus compañeros sobre las distintas
formas de recuento. Puedes hacer un documento PowerPoint, usar
Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 300
TÉCNICAS DE RECUENTO
1
Daniel sale apresurado todos los días al trabajo porque siempre se demora
en decidir qué se pone. Si cuenta con 6 pantalones, 10 camisas y 2
cinturones distintos, ¿de cuántas formas diferentes se puede vestir?
6 · 10 · 2 = 120 ⇒ Hay 120 formas de combinar pantalón, camisa y cinturón.
2
Se lanza una moneda y, si sale cara, se vuelve a lanzar, pero, si sale cruz, se
lanza un dado. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden dar? Realiza una
representación gráfica con un diagrama de árbol.
Hay ocho resultados diferentes.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
Tomás tiene dos monedas de 1 €, dos de 2 € y dos de 50 cts. Tomando tres
de las seis monedas, ¿cuántas sumas distintas puede hacer? Utiliza el
diagrama de árbol para representar las diferentes posibilidades.
Puede hacer 7 sumas distintas
4
César tiene 10 € y decide participar en un juego de azar que consiste en
lanzar una moneda 4 veces, apostando 10 € en cada una de las tiradas: si
sale cruz, pierde lo apostado, pero, si sale cara, recupera lo apostado más
10 € de beneficio. Escribe todos los resultados posibles teniendo en cuenta
que el juego finaliza en el momento en que César pierda todo su dinero.
Hay 8 posibles resultados:
X, CCCC, CCCX, CCXC, CCXX, CXCC, CXCX, CXX
PERMUTACIONES
5
Calcula las siguientes permutaciones:
a. P7 = 7!
5 040
b. P9 = 9! = 362 880
c. PR62, 2, 2 =
!
!∙ !∙ !
!
!∙ !∙ !
= 90
d. PC5 = P4 = 4! = 24
6
Escribe como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:
a. 9 · 8 · 7 · 6 =
!
!
b. n · (n – 1) · (n – 2) =
c. (n + 2) · (n + 1) · n =
d. 13 · 12 · 11 =
!
*
!
!
!
!
!
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
Indica de cuántas formas diferentes se puede sentar un grupo de 5 personas
si:
a. Lo hacen en 5 sillas alineadas en una fila.
P5 = 5! = 120 formas
b. Lo hacen alrededor de una mesa redonda de 5 plazas.
PC5 = P4 = 4! = 24 formas
8
Dadas las cifras 1, 2, 3 y 4, calcula cuántas ordenaciones se podrían hacer
con la condición de que tanto las cifras pares como las impares estén
siempre separadas.
Las posiciones de las cifras pares, por ejemplo, deben ser:
X_X_o_X_X
Sobre estas posiciones los pares pueden permutar, P2, y también las cifras
impares, P2. Por tanto, habrá 2 · P2 · P2 = 8 posiciones.
9
Tres amigos tienen que elegir un número del 1 al 3 ambos inclusive. Si
deben evitar seleccionar el mismo número, ¿de cuántas formas podrán
hacerlo?
P3 = 3! = 6 ⇒ 6 formas
VARIACIONES
10 Calcula las siguientes variaciones:
a. V4, 3 = (
!
)!
=
!
= 24
!
b. VR3, 5 = 35 = 243
c. VR5, 3 = 53 = 125
d. V6, 4 = (
!
)!
=
!
= 360
!
11 Con los dígitos del 1 al 9, ambos inclusive, indica cuántos números de cinco
cifras distintas se pueden formar, teniendo en cuenta las siguientes
condiciones:
a. Debe ser un número par.
B!
!
4 · V8, 4 = 4 · (B C) ! = 4 · ! = 6 720 números
b. Ha de ser menor de 30 000.
B!
!
2 · V8, 4 = 2 · (B C) ! = 2 · ! = 3 360 números
c. Tiene que ser mayor o igual a 50 000.
B!
!
5 · V8, 4 = 5 · (B C) ! = 5 · ! = 8 400 números
d. Debe ser múltiplo de 5.
B!
!
V8, 4 = (B C) ! = ! = 1 680 números
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12 Con las letras de la palabra LAPICERO:
a. ¿Cuántas palabras, con o sin significado, se pueden formar?
P8 = 8! = 40 320 palabras
b. ¿Cuántas de ellas comienzan por vocal?
4 · P7 = 4 · 7! = 20 160 palabras
c. ¿Cuántas comienzan y terminan por consonante?
!
V4, 2 · P6 = ! · 6! = 8 640 palabras
13 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. Vx, 2 = 20 ⇒ x · (x – 1) = 20 ⇒ x = –4 (no es válida), x = 5
b. Vx, 2 – VRx, 2 = 4 ⇒ x · (x – 1) – x2 = 4 ⇒ x = –4 (no es válida).
c. Vx – 1, 2 = x – 2 ⇒ (x – 1) · (x – 2) = (x – 2) ⇒ x = 2
d. VRx, 3 + VRx, 2 = 2x ⇒ x3 + x2 = 2x ⇒ x = 0, x = –1 (no es válida), x = 2
14 Diez amigos se van de acampada a la montaña. Si realizan el viaje en dos
coches:
a. ¿De cuántas formas pueden distribuirse en los asientos del coche si
todos tienen carnet de conducir?
P10 = 10! = 3 628 800 formas
b. ¿De cuántas formas pueden ir si solo cuatro de ellos tienen carnet de
conducir?
!
V4, 2 · P8 = ! · 8! = 483 840 formas
NÚMEROS COMBINATORIOS. TRIÁNGULO DE PASCAL-TARTAGLIA. BINOMIO
DE NEWTON
15 Calcula los siguientes números combinatorios:
a.
b.
c.
d.
!
=
6
#
=
!
!∙ !
!
!∙ !
= 35
= 15
6
=
"
!
!∙ !
= 1 287
=
!
!∙ !
= 792
!
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16 Desarrolla las potencias de estos binomios:
a. D +
= x2 + + x
#
6
b. 6D +
c. #D +
d.
= 9x2+
< 6
D
E #
+
6
#
=
+ 8x
= 64x3 + 120x2 + 75x +
FG
+
FHI
+
F 9I9
+
FI H
+
IG
17 Escribe los coeficientes de los términos de los siguientes desarrollos:
a. (x + y)6 = x6+ 6x5y+ 15x4y2+ 20x3y3+ 15x2y4+ 6xy5+ y6 ⇒ 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
b. (x + y)8 = x8+ 8x7y+ 28x6y2+ 56x5y3+ 70x4y4+ 56x3y5+ 28x2y6+ 8xy7+ y8
⇒ 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
18 Escribe el tercer término de estos desarrollos:
a. (2a + 3b4)4 ⇒ 6 · 4a2 · 9b8 = 216a2b8
b. (x3 + 2y2)7 ⇒ 21· x15 · 4y4 = 84x15y4
COMBINACIONES
19 Calcula las siguientes combinaciones:
a. C7, 3 =
7
3
!
!∙ !
= 35
b. C9, 2 =
9
=
2
!
!∙ !
= 36
c. C11, 4 =
11
=
4
!
!∙ !
= 330
d. C10, 5 =
10
=
5
!
!∙ !
= 252
20 En un estudio llevado a cabo para comprobar si se cumple la normativa en
materia de protección a los menores en los programas emitidos en
televisión en horario infantil, se han elegido dos programas al azar de los 18
emitidos en dicha franja horaria. ¿Cuántas posibilidades de elección de los
dos programas hay?
C18, 2 =
18
=
2
!∙
!
!
=153 posibilidades.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21 Al final de una clase de baile de salón, los alumnos deben bailar canciones
del estilo que se ha ensayado en esa sesión. Si son 14 alumnos, ¿de cuántas
maneras se podría formar una pareja de baile?
C14, 2 =
14
2
!
!∙
!
= 91 maneras.
22 En el juego de la lotería primitiva se marcan seis números sobre una tabla de
49 números encasillados del 1 al 49. ¿De cuántas formas diferentes se
pueden marcar los seis números?
C49, 6 =
49
=
6
!∙
!
!
=13 983 816 formas.
23 Un pastor que tiene un rebaño de 30 ovejas y que dispone de cuatro perros
pastores se va a presentar al concurso de perros de pastoreo, para lo que
tiene que inscribir a 12 ovejas y dos perros. ¿De cuántas formas puede
elegir el equipo que va a participar?
C4, 2 · C30, 12 =
4
30
·
=
2
12
!
·
!∙ !
!∙
!
!
= 6 · 86 493 225 = 518 959 350 formas.
24 Los alumnos de una clase de pádel van a organizar un equipo para disputar
un torneo. Se deben inscribir cinco jugadores y un entrenador, que se han
de elegir de entre un grupo de 11 jugadores y tres entrenadores. ¿Cuántos
equipos distintos se pueden formar?
3 · C11, 5 = 3 ·
11
=3 ·
5
!
!∙ !
= 3 · 462 = 1 386 equipos.
25 De una baraja de 40 cartas se extraen seis. Determina los diferentes
resultados que se pueden obtener, si la extracción de las cartas se realiza:
a. Cogiendo a la vez las seis cartas.
!
40
C40, 6 =
= ! ∙ ! = 3 838 380 resultados
6
b. Sacándolas de una en una.
!
V40, 6 =
= 2 763 633 600 resultados
!
c. Sacándolas de una en una y con reemplazamiento.
VR40, 6 = 406 = 4 096 · 106 resultados
EVALUACIÓN
1
Al lanzar dos dados y una moneda, el número de resultados posibles es:
a. 12
b. 72
c. 38
d. 40
2 · 6 · 6 = 72
Solución b.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
En un programa de radio intervienen cuatro tertulianos. Si dos de ellos
tienen que entrevistar en directo a un político, el número de formas distintas
para elegir a los tertulianos que realizarán la entrevista es:
a. 6
b. 24
c. 16
d. 12
C4,2 =
3
4
2
!
!∙ !
!
!
= 720 Solución c.
Con los dígitos 1, 2, 3 y 4, la cantidad de números de tres cifras distintas que
se pueden formar es:
a. 24
b. 64
c. 4
d. 64
P4 = 4! = 24
6
Solución d.
Dolores fue este domingo a la hípica. En la carrera principal competían 10
caballos, y Dolores eligió tres de ellos para el primero, segundo y tercer
puesto. El número de elecciones diferentes que debería haber hecho para
tener la absoluta certeza de que acertaría es:
a. 120
b. 240
c. 720
d. 980
V10,3 =
5
Solución a.
El número de formas distintas que pueden llegar a la meta siete atletas en
una carrera de 110 metros vallas es:
a. 2 500
b. 3 800
c. 4 050
d. 5 040
P7 = 7! = 5 040
4
=6
Solución a.
El valor de la operación
a.
!
b.
!
9
9
+
es:
6
7
c.
n
n
n+1
9+1
10
+
=
=
=
k+1
k
k+1
6+1
7
7
"
Solución b.
Un comité de empresa formado por seis personas se ha reunido en la sala
de conferencias de su sede alrededor de una mesa circular con espacio para
seis puestos. El número de formas diferentes en que se pueden sentar es:
a. 6
b. 36
c. 120
d. 240
PC6 = 5! = 120
8
d.
Solución c.
Un equipo de balonmano está decidiendo el color de su equipamiento;
pueden optar entre cuatro colores para la camiseta, tres colores para el
pantalón y tres colores para los calcetines. El número de formas distintas
para elegir su equipamiento es:
a. 36
b. 10
c. 30
d. 100
4 · 3 · 3 = 36
Solución a.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
1
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
4.º ESO
somoslink
SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO
Unidad 14. Probabilidad
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
2
Unidad 14. Probabilidad
SOLUCIONES PÁG. 305
1
En una urna hay siete bolas numeradas del 1 al 7. Se extrae una bola al azar
y se anota su número. Escribe los elementos que componen:
a. El espacio muestral.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b. A = {obtener un número mayor que 3}
A = {4, 5, 6, 7}
c. B = {obtener un número compuesto}
B = {4, 6}
d. C = {obtener un número primo}
C = {2, 3, 5, 7}
e. D = {no obtener un divisor de 4}
D = {3, 5, 6, 7}
2
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado cúbico indica de
qué tipo son los siguientes sucesos:
a. A = {obtener un número menor que 2}
Suceso elemental.
b. B = {obtener un número múltiplo de 7}
Suceso imposible.
c. C = {obtener un 3}
Suceso elemental.
d. D = {obtener un número impar}
Suceso compuesto.
e. F = {obtener un número divisor de 6} y G = {obtener un número cuadrado
perfecto}
Sucesos compatibles.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
3
3
Se hace girar una ruleta como la de la figura y se apunta el número en el que
se detiene.
a. ¿Es aleatorio este experimento?
Sí, es aleatorio.
b. Escribe su espacio muestral.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
c. Escribe el suceso contrario de A = {1, 3, 5}.
Ac = {2, 4, 6, 7, 8}
d. Indica un suceso compatible con B = {1, 4, 7}.
Respuesta abierta. Por ejemplo: D = {6, 7, 8}
e. Escribe un suceso incompatible con C = {salir un número múltiplo de 3}.
Respuesta abierta. Por ejemplo: F = {1, 2, 4, 5, 7, 8}
4
En una urna hay cinco bolas de distintos colores: roja, azul, verde, negra y
morada. Se considera el experimento consistente en extraer una bola al azar
de la urna y anotar su color. Si los sucesos elementales se nombran con las
letras iniciales de sus colores, describe estos sucesos con operaciones e
indica sus elementos:
a. A = {sacar una bola que no sea morada}
A = Mc = {roja, azul, verde, negra}
b. B = {sacar una bola verde o negra}
B = V ∪ N = {verde, negra}
c. C = {no sacar una bola roja ni una azul}
C = Rc ∩ Ac = {verde, negra, morada}
d. D = {no sacar una bola negra o una azul}
D = (N ∪ A)c = {roja, verde, morada}
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
4
5
En una urna hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Se realiza el experimento
aleatorio consistente en extraer una bola de la urna y anotar el número.
Considera los sucesos A = {sacar un número par}, B = {sacar un número
divisor de 6} y C = {sacar un número menor que 4}; escribe los elementos
que componen los siguientes sucesos y descríbelos con operaciones entre
los sucesos A, B y C:
a. D = {sacar un número par o un número divisor de 6}
D = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
b. F = {no sacar un número menor de 4 y que sea par}
F = Cc ∩ A = {6, 8}
c. G = {no sacar un número divisor de 6 ni un número par}
D = Bc ∩ Ac = {5, 7, 9}
6
Comprueba que se cumplen las propiedades de las operaciones con
sucesos para el experimento aleatorio de lanzar un dado y registrar el
resultado, teniendo en cuenta los siguientes sucesos: A = {1, 2, 3} y
B = {sacar un número impar}
A U Ac = {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6} = E
A ∩ Ac = {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = ∅
(Ac)c = ({4, 5, 6})c = {1, 2, 3} = A
(A ∪ B)c = ({1, 2, 3, 5})c = {4, 6};
Ac ∩ Bc = {4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6} = {4, 6} ⇒ (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = ({1, 3})c = {2, 4, 5, 6};
Ac ∪ Bc = {4, 5, 6} ∪ {2, 4, 6} = {2, 4, 5, 6} ⇒ (A ∩ B)c = Ac U Bc
7
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y pon un
ejemplo que corrobore tu respuesta:
a. Si dos sucesos son compatibles, entonces sus sucesos contrarios
también lo son.
Falso. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado: A = {1, 2}, B = {2, 3, 4, 5, 6}
b. Si dos sucesos son incompatibles, entonces sus sucesos contrarios
también los son.
Falso. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado: A = {1, 2, 3}, B = {6}
c. Dos sucesos que sean contrarios pueden ser incompatibles.
Cierto. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado: A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}
d. Dos sucesos que sean contrarios pueden ser compatibles.
Falso. Los sucesos contrarios son incompatibles por definición.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
5
8
Considera el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una
baraja de 40 naipes y los sucesos A = {obtener figura}, B = {obtener bastos}
y C = {obtener as}. Expresa con operaciones los siguientes sucesos:
a. F = {extraer figura y bastos}
A∩B
b. G = {no sacar bastos o sacar un as}
Bc ∪ C
c. H = {no extraer un as ni una figura
Cc ∩ Ac
d. I = {sacar el as de bastos}
B∩C
9
Se lanza un dado dodecaédrico y se anota el número de la cara superior.
Escribe los elementos de los sucesos:
a. A = {obtener un número impar} y B = {obtener un número primo}
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} y B = {2, 3, 5, 7, 11}
b. A ∪ B y A ∩ B
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}; A ∩ B = {3, 5, 7, 11}
c. Ac ∩ B y A ∪ Bc
Ac ∩ B = {2}; A ∪ Bc = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
d. (A ∩ B)c y (A ∪ B)c
(A ∩ B)c = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12}; (A ∪ B)c = {4, 6, 8, 10, 12}
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
6
SOLUCIONES PÁG. 307
10 Se ha lanzado 500 veces un dado tetraédrico con sus caras numeradas del 1
al 4 y se han anotado los resultados obtenidos en esta tabla:
a. Halla la frecuencia relativa de cada número e indica su probabilidad
experimental.
fi (1) =
0,252;
fi (2) =
0,25
0,246;
fi (4) =
0,252
fi (3) =
Y se asigna cada valor de la frecuencia relativa a su probabilidad experimental.
b. ¿Pertenecen todas las probabilidades al intervalo [0 , 1]?
Sí, todas pertenecen a [0 , 1]
c. Comprueba que las probabilidades de los sucesos elementales suman 1.
P (1) + P (2) + P (3) + P (4) = 0,252 + 0,25 + 0,246 + 0,252 = 1
d. Halla la suma de la probabilidad de obtener 2 y la probabilidad de no
obtener 2.
P (2) + P (no 2) = 0,25 + 0,75 = 1
11 En un dado trucado en el que los sucesos elementales no son
equiprobables, la probabilidad de obtener cada uno de los números impares
es igual, y también lo es la de obtener cada uno de los números pares; sin
embargo, hay el doble probabilidades de obtener un número par que uno
impar. Halla la probabilidad de:
a. Obtener un 5.
P (1) = P (3) = P (5) = x
P (2) = P (4) = P (6) = 2x
P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1 ⇒ 9x = 1 ⇒ x =
P (5) =
b. Obtener un 2.
P (2) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
7
12 Se consideran dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, de los
cuales se conoce que P (Ac) = 0,25, P (A ∩ B) = 0,45 y P (A ∪ B) = 0,80.
Calcula P (A) y P (B).
P (A) = 1 – P (Ac) = 1 – 0,25 = 0,75
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) ⇒
⇒ P (B) = P (A ∪ B) – P (A) + P (A ∩ B) = 0,80 – 0,75 + 0,45 = 0,50
13 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B de un
experimento aleatorio, sabiendo que P (A) = , P (B) = y P (A ∪ B) = .
Los sucesos A y B son incompatibles si se verifica que P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Como no es así, pues ≠ + , entonces son compatibles.
14 Usando la representación con diagramas de Venn demuestra las siguientes
operaciones con sucesos:
a. A ∪ B
A ∩B
La igualdad es cierta.
b. A ∩ B
A ∪B
La igualdad es cierta. Observar que en la segunda parte de la igualdad se
considera la unión y no la intersección como en el apartado a.
15 Indica si es verdadera o falsa la siguiente afirmación, razonando tu
respuesta: «Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es menor
que , la suma por separado de las probabilidades de ambos sucesos no
puede ser mayor de ».
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) ⇒
⇒ P (A) + P (B) = P (A ∪ B) + P (A ∩ B) < 1 + = , pues P (A ∪ B) ≤ 1.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
8
SOLUCIONES PÁG. 309
16 En una urna hay nueve bolas de distintos colores: dos bolas de color verde,
tres de color amarillo y cuatro de color azul. Si se extrae una bola al azar:
a. Halla la probabilidad de que sea verde.
P (verde) =
b. Indica cuál es la probabilidad de que sea amarilla.
P (amarillo) = =
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea azul?
P (no azul) =
17 En una alacena se guardan 14 platos llanos grandes, 11 platos llanos
pequeños y 13 platos hondos. Si se coge un plato al azar, cuál es la
probabilidad de que el plato sea:
a. Hondo.
P (hondo) =
b. Llano pequeño.
P (llano pequeño) =
c. Llano.
P (llano) =
18 En un aparato de música están presintonizadas 10 emisoras de radio; de
ellas, 3 son divulgativas, 5 son musicales, y 2 son deportivas. Si se
selecciona al azar uno de los 10 botones con los que se sintonizan estas
emisoras, halla la probabilidad de que la emisora sintonizada:
a. Sea una emisora musical.
P (emisora musical) = =
b. Sea una emisora divulgativa.
P (emisora divulgativa) =
c. No sea una emisora deportiva.
P (no emisora deportiva) = =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
9
19 Se extrae una carta de una baraja española de 40 naipes. Halla la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a. A = {sacar un basto}
P (sacar un basto) = =
b. B = {sacar una sota}
P (sacar una sota) = =
c. A ∩ B
P (A ∩ B) =
d. Ac ∪ B
P (Ac ∪ B) =
20 Con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6 se forman números de tres cifras distintas. Halla
la probabilidad de que, al elegir uno al azar:
a. Acabe en 36.
P (acabe en 36) =
=
=
,
b. Empiece por la cifra 4.
P (empiece por 4) = , = =
,
21 Se escriben en una tarjeta cada una de las letras de las palabras
COCODRILO y LIBRO y se introducen en una urna. Se considera el
experimento aleatorio consistente en extraer una papeleta de la urna y
apuntar la letra que contiene.
a. ¿Qué es más probable: que salga una vocal o que salga una consonante?
¿Cuál es la probabilidad de cada opción?
Es más probable que salga consonante,
, antes que vocal,
.
b. ¿Qué letra tiene menor probabilidad de salir? ¿Y cuál mayor? ¿Cuál es la
probabilidad de cada letra?
P (salir letra C) = =
P (salir letra O) =
=
P (salir letra D) =
P (salir letra R) =
=
P (salir letra I) =
=
P (salir letra L) =
=
P (salir letra B) =
Las letras con menor probabilidad de salir son la D y la B con una probabilidad de
. Y la que más, la O, con una probabilidad de
.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
10
22 Se forman claves de cuatro letras con las vocales, que pueden repetirse.
Halla la probabilidad de que al elegir una de las claves al azar comience por
U.
,
P (comience en U) =
,
=
=
=
23 Con los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9 se forman números de tres cifras, que pueden
repetirse. Halla la probabilidad de que, al elegir un número al azar:
a. Sea múltiplo de 5.
,
P (múltiplo de 5) =
,
=
=
b. Sea par.
P (par) =
∙
,
∙
=
,
c. Sea capicúa.
∙
P (capicúa) =
=
=
,
=
=
24 Sofía se prepara todas las mañanas un zumo natural compuesto por varias
frutas. Para el zumo de hoy va a mezclar tres frutas diferentes de las seis de
que dispone. ¿Cuál es la probabilidad de que el zumo tenga naranja si
estaba entre las seis frutas disponibles?
P (naranja) =
,
!,
=
!
!∙ !
!!
!∙ !
=
=
25 En las quinielas de fútbol hay que acertar el resultado de 15 partidos. Si
gana el equipo local, se marca 1; si gana el equipo visitante, se marca 2, y si
empatan, se pone X. Calcula la probabilidad de hacer un pleno al 15, es
decir, acertar los 15 resultados de la quiniela.
P (ganar) =
,#
=
#
= 0,000 000 069
26 Guillermo está jugando con su hermano con una baraja de 40 cartas. Extrae
una carta del mazo y, si resulta ser una copa o una figura, gana la partida.
¿Cuál es la probabilidad de que Guillermo gane la partida al sacar la primera
carta?
P (copa ∪ figura) = P (copa) + P (figura) – P (copa ∩ figura) =
+
–
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
=
11
27 En el juego de cartas de las siete y media, los jugadores van acumulando
cartas y sumando los valores de cada una para aproximarse lo máximo
posible a la puntuación de siete y media, pero sin sobrepasarla, pues en tal
caso el jugador es eliminado. El valor de cada carta es el que indica su
número, y las figuras valen medio punto. Si un jugador ya tiene dos cartas
que suman tres y media y pide una carta más, halla la probabilidad de:
a. Conseguir exactamente las siete y media.
Obtener un 4 de cualquiera de los palos.
P (7 y media) = =
b. Pasarse de las siete y media.
Obtener la carta 5, 6 o 7 de cualquiera de los palos, por tanto 12 cartas.
12
P (sobrepasar 7 y media) = 38 =
28 Si se toma un número al azar de entre todos los comprendidos entre el 4 000
y el 9 000, ambos inclusive, ¿cuál es la probabilidad de que sea capicúa?
Los casos favorables son los que empiezan y terminan por 4, que serán 10 y lo
mismo con 5, 6, 7 y 8: 5 · 10 = 50 capicúas. Los casos posibles son 5 001
números.
P (capicúa) =
29 Dos amigos están jugando a pensar un número cada uno del 1 al 5 para ver
si coinciden en su elección. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos piensen
el mismo número?
P (piensen en el mismo número) =
SOLUCIONES PÁG. 311
30 Se extraen sucesivamente dos bolas de una urna que contiene ocho bolas
blancas y seis negras. Después de cada extracción se anota el color y se
vuelve a introducir la bola en la urna. Halla la probabilidad de:
a. Sacar las dos bolas blancas.
P (BB) = · =
=
b. Sacar una bola de cada color.
P (BN) + P (NB) = · + · =
31 Se lanzan dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y se suman los
números obtenidos en la cara superior. Halla la probabilidad de que el
resultado de la suma sea 11.
Para que sumen 11 tiene que salir 5 en un dado y en el otro 6.
P (11) = =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
12
32 Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabilidad de:
a. Obtener una cara.
P (CXX) + P (XCX) + P (XXC) = + + =
b. Obtener dos caras.
P (CCX) + P (CXC) + P (XCC) = + + =
c. No obtener ninguna cara.
P (XXX) =
d. Obtener al menos una cara.
1 – P (ninguna cara) = 1 – =
33 Los caballos que participan en esta carrera avanzan hacia la meta mediante
el siguiente procedimiento: se lanzan dos dados, se restan los números
obtenidos en ambos (siempre el mayor menos el menor) y el resultado
obtenido indica el caballo que debe avanzar una casilla. ¿Tienen todos las
mismas probabilidades de vencer? Investigad la probabilidad de todos los
resultados.
Si representamos los resultados de la resta en esta tabla:
Se aprecia que de los 36 casos que pueden producirse, el resultado 1 es el más
frecuente con 10 veces y el 2 el segundo con 8 veces. Por tanto, apostaríamos
por el caballo 1. Nótese que el caballo 6 no podrá moverse nunca al no poder
darse ese resultado.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
13
34 En un centro de acogida de animales hay 25 perros y 12 gatos. Si se eligen
dos animales al azar, halla la probabilidad de que:
a. Los dos sean gatos.
P (GG) = · =
=
b. Uno sea un perro y otro un gato.
P (PG) + P (GP) = · + · =
=
35 Se extraen tres bolas sucesivamente de una bolsa que contiene nueve bolas
azules y seis bolas naranjas, se anota el color en cada extracción y se
vuelve a introducir la bola en la urna. Halla la probabilidad de que:
a. Las tres bolas sean azules.
P (AAA) = · · =
b. Alguna bola sea naranja.
P (alguna naranja) = 1 – P (no naranja) = 1 –
=
36 A Chus le han regalado tres cachorros de pastor alemán. Halla la
probabilidad de que los tres sean perros machos.
P (M ∩ M ∩ M) = ·
·
=
37 Luismi tiene dos tipos de fruta: 12 manzanas y ocho peras. De las manzanas
hay tres picadas, mientras que entre las peras dos están estropeadas. Si
elige al azar una de las frutas, ¿cuál es la probabilidad de que esté en mal
estado?
P (manzana picada) + P (pera estropeada) =
·
+
·
=
=
38 En un cajón hay 10 pares de calcetines negros y seis de calcetines blancos.
Si se extraen dos pares de calcetines aleatoriamente, halla la probabilidad
de que:
a. Los dos pares sean de distinto color.
P (NB) + P (BN) = · + · =
b. Los dos pares sean negros.
P (NN) = · =
=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
14
39 El mejor alero de un equipo de baloncesto tiene un gran acierto en el
lanzamiento de tres puntos, con una probabilidad de anotar un triple de 0,8.
Si en el primer cuarto del partido realizara dos lanzamientos de triple:
a. ¿Qué probabilidad tendría de encestar los dos triples?
P (TT) = 0,8 · 0,8 = 0,64
b. ¿Qué probabilidad tendría de encestar alguno de los dos lanzamientos?
P (algún T) = 1 – P (no T) = 1 – (0,2 · 0,2) = 1 – 0,04 = 0,96
40 En el desplazamiento a su lugar de trabajo, Silvia debe tomar tres medios de
transporte público. Las probabilidades de que cada uno de los tres medios
sea puntual y cumpla el horario previsto son de 0,9, 0,75 y 0,8,
respectivamente. Halla la probabilidad de que:
a. Los tres medios de transporte lleguen a la hora prevista.
P (ABC) = 0,9 · 0,75 · 0,8 = 0,54
b. Silvia llegue tarde al trabajo porque los tres medios han llegado con
retraso.
P (AcBcCc) = 0,1 · 0,25 · 0,2 = 0,005
c. Al menos uno de ellos cumpla con el horario previsto.
P (alguno puntual) = 1 – P(AcBcCc) = 1 – 0,005 = 0,995
d. Al menos dos lleguen puntuales.
P (ABCc) + P (ABcC) + P (AcBC) + P (ABC) =
= 0,9 · 0,75 · 0,2 + 0,9 · 0,25 · 0,8 + 0,1 · 0,75 · 0,8 + 0,9 · 0,75 · 0,8 =
= 0,135 + 0,18 + 0,06 + 0,54 = 0,915
41 Sea el experimento de lanzar dos dados y sumar los números obtenidos en
la cara superior. Dos sucesos posibles son obtener 7 u 8, ya que ambos se
pueden conseguir con tres parejas de números. Pero la probabilidad de
obtener 7 es mayor que la de obtener 8. ¿Por qué?
La suma 7 se obtiene con (1 , 6), (2 , 5), (3 , 4) que se obtienen de 2 formas
distintas cada una. La suma 8 se obtiene con (2 , 6), (3 , 5), (4 , 4) que se obtienen
de 2 formas distintas las dos primeras y de una sola la última.
y P (8) = .
Por tanto, P (7) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
15
SOLUCIONES PÁG. 313
42 A unas pruebas de natación se presentan 34 candidatos. Recorren la
distancia exigida en menos de 2 min 12 de las mujeres y 16 de los hombres.
Si el total de mujeres presentadas es de 14, elabora una tabla de
contingencia y halla las probabilidades de que, al elegir un participante al
azar:
a. Sea un hombre.
P (hombre) = =
b. Sea una mujer y tarde al menos 2 min.
P (mujer ∩ más de 2 min) = =
c. Tarde menos de 2 min y sea hombre.
P (hombre ∩ menos de 2 min) = =
43 En un centro escolar hay 400 estudiantes, cada uno de los cuales estudia un
único idioma a elegir entre inglés y chino. Se sabe que 112 alumnas y 81
alumnos estudian chino. Si en total hay 250 alumnos:
a. ¿Qué porcentaje de estudiantes cursan inglés?
= 0,52 ⇒ 52 %
b. ¿Qué porcentaje de alumnas estudian chino?
= 0,75 ⇒ 75 %
c. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no
estudie inglés?
P (no inglés) =
= 0,48 ⇒ 48 %
d. ¿Y de que sea una alumna que estudie inglés?
P (alumna ∩ inglés) =
= 0,09 ⇒ 9 %
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
16
44 En la campaña para las elecciones a las Cortes Generales se ha organizado
un debate electoral que ha reunido a los tres candidatos con mayor
intención de voto. Se ha preguntado quién fue el ganador del debate (A, B,
C, ninguno) a 1 000 personas entrevistadas divididas en dos rangos de
edad: menores de 50 años y mayores de 50 años. Se ha entrevistado a 350
personas menores de 50 años. El candidato B ha sido el ganador del debate
para 150 personas mayores de 50 años y para 21 menores de 50 años. De las
30 personas a las que no les ha parecido que ninguno destacara por encima
de los demás, 19 son menores de 50. El candidato C ha sido el ganador del
debate para 55 personas mayores de 50 años, así como para 137 menores de
50 años. Si se elige un encuestado al azar, calcula la probabilidad de que:
a. Considere ganador al candidato A.
P (gane A) =
b. Considere ganador al candidato C y sea una persona menor de 50.
P (gane C ∩ <50) =
c. Considere que no ha habido ningún ganador.
P (ninguno) =
d. No sea una persona menor de 50 años.
P (≥ 50) =
e. Considere que el candidato A no ha ganado.
P (no ha ganado A) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
17
45 Un club de tenis cuenta con 60 socios. Actualmente, 30 de ellos juegan al
tenis; 25, al pádel, y siete, a las dos modalidades deportivas. Elegido un
socio al azar, calcula la probabilidad de que:
a. No juegue al tenis.
P (no tenis) = =
b. Juegue solo al pádel.
P (solo pádel) = =
c. No juegue a nada por lesión.
P (ni tenis ni pádel) = =
46 Se ha realizado una encuesta con objeto de conocer si los habitantes de una
ciudad usan el transporte público o el privado para ir a trabajar y si lo hacen
por la mañana o por la tarde. Se ha encuestado a 500 personas, y de las 180
personas que se desplazan en transporte público, 130 van por la mañana.
También se ha registrado que hay 100 personas que acuden por la tarde que
usan el transporte privado. Si se elige una de las personas encuestadas al
azar, calcula la probabilidad de que:
a. Use el transporte privado.
P (T. privado) =
=
b. Vaya por la tarde al trabajo en transporte público.
P (tarde ∩ T. público) =
=
c. Vaya a trabajar por la mañana.
P (mañana) =
= =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
18
47 A una conferencia sobre cambio climático asisten 54 jóvenes menores de 30
años y 36 cuyas edades oscilan entre 30 y 50 años. La tercera parte de los
integrantes del primer grupo de edad y la mitad de los del segundo no tienen
estudios superiores. Si se toma uno de los asistentes al azar, calcula la
probabilidad de que:
a. Tenga una edad de entre 30 y 50 años.
P (mayor) = =
b. Tenga estudios superiores.
P (con estudios superiores) = =
c. Sea un joven sin estudios superiores.
P (joven ∩ sin estudios superiores) = =
48 En una encuesta realizada a 80 jóvenes acerca de sus habilidades en las
tareas del hogar, 19 indican que saben cocinar, 67 contestan que no saben
planchar y 51 declaran que no son capaces de realizar ninguna de las dos
tareas. Si se elige a uno de los encuestados aleatoriamente, halla la
probabilidad de que:
a. Sepa cocinar y planchar.
P (C ∩ P) =
b. Sepa planchar, pero no cocine.
P (Cc ∩ P) = =
c. Solo sepa cocinar.
P (C) =
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
19
49 Visita esta página en Internet para repasar los contenidos y realiza las
actividades propuestas: http://conteni2.educarex.es/mats/11828/contenido/
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 314
50 Se considera el experimento aleatorio extraer una carta de una baraja
española de cuarenta cartas. Sean los sucesos: A = {obtener una figura}
B = {obtener una espada}. Razona cuál de las siguientes probabilidades es
menor: P (A/B) o P (B/A).
P (A/B) =
P (B/A) =
( )∩*)
((*)
P(A∩B)
P(A)
=
=
3
40
10
40
.
#
.
=
=
Es menor P (B/A)
51 Se extraen tres cartas sin reemplazamie
a. Obtener tres reyes.
P (las tres cartas son reyes) =
b. Obtener tres figuras.
P (las tres cartas son figuras) =
·
·
·
=
·
=
c. Obtener las tres cartas del mismo palo.
P (las tres cartas del mismo palo) = 4 · · ·
=
d. Obtener al menos un as.
P (al menos un as) = 1 – P (ningún as) = 1 –
·
·
=
SOLUCIONES PÁG. 315
52 En el mismo armario de Laura e Inés, dos hermanas mellizas que comparten
ropa, hay seis pantalones amarillos, ocho de cuadros y cinco cortos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Laura coja un pantalón de cuadros?
P (pantalón de cuadros) =
b. Si Laura sabe que su hermana ha cogido un pantalón de cuadros, ¿cuál
es la probabilidad de que el elegido por Laura sea también de cuadros?
P (pantalón de cuadros / pantalón de cuadros) = ·
=
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
20
53 Se consideran los sucesos A, B y C, que cumplen las siguientes
condiciones: P (A) = ; P (B) = ; P (C) = ; P(A ∩ B) =
; P (B/C) = ;
P (A ∩ C) = Indica, razonando tu respuesta, ¿qué parejas de sucesos son
independientes?
P (B) = P (B/C) = ⇒ B y C son independientes.
≠
P (A) · P (B) =
P (A) · P (C) =
= P (A ∩ B) ⇒ A y B no son independientes.
= P (A ∩ C) ⇒ A y C son independientes.
SOLUCIONES PÁG. 317
1
Indica la diferencia entre un experimento aleatorio y otro determinista.
Un experimento determinista es aquel que se puede predecir el resultado antes de
realizarlo, mientras que en un experimento aleatorio no se puede.
2
Explica la diferencia entre sucesos compatibles e incompatibles. Pon un
ejemplo de cada uno.
Dos sucesos son incompatibles si no tienen ningún elemento en común, en
cambio son compatibles cuando lo tienen. Por ejemplo, al lanzar un dado:
Sucesos compatibles: A = {sacar un par}; B = {sacar un número mayor que 3}
Sucesos incompatibles: A = {sacar impar}; B = {2, 4}
3
Señala las propiedades más importantes de las operaciones con sucesos.
Dos sucesos incompatibles A y B verifican que A ∩ B = ∅
A ∪ Ac = E
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
4
A ∩ Ac = Ø
(Ac)c = A
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Escribe la expresión para calcular la probabilidad de la unión de dos
sucesos, distinguiendo entre sucesos compatibles o incompatibles.
Para sucesos compatibles es: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Para sucesos incompatibles es: P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
5
¿Cuál es la probabilidad del espacio muestral? ¿Y del suceso imposible?
P (E) = 1 y P (∅) = 0
6
¿Cuánto suman la probabilidad de un suceso y la de su contrario?
Suman la unidad.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
21
7
¿Puede valer 1,2 la probabilidad de un suceso? ¿Por qué?
No, porque la probabilidad de cualquier suceso debe pertenecer al intervalo
cerrado [0 , 1].
8
Explica qué es una tabla de contingencia.
Una tabla de contingencia es una tabla de doble entrada que organiza la
información de un grupo de individuos mediante dos características, que a su vez
se dividen en varios tipos de modalidades.
9
El valor que hay en cada casilla de una tabla de contingencia corresponde a
una operación entre sucesos; ¿a qué tipo de operación?
A la intersección entre sucesos.
10 Explica qué es la probabilidad de un suceso condicionado a otro en un
experimento compuesto.
Es la probabilidad que tiene el suceso, toda vez que el suceso al que está
condicionado se haya verificado y haya podido cambiar las condiciones iniciales.
11 La expresión P (A ∩ B) = P (A) · P (B), ¿se corresponde con sucesos
dependientes o independientes?
Sucesos independientes.
12 Prepara una presentación digital para tus compañeros sobre probabilidad.
Puedes hacer un documento PowerPoint, usar Glogster…
Respuesta abierta.
SOLUCIONES PÁG. 318
SUCESOS: TIPOS Y OPERACIONES CON SUCESOS
1
Se realiza un experimento que consiste en sacar una bola de una bolsa que
contiene 9 bolas numeradas del 1 al 9 y anotar su número. Describe dos
sucesos incompatibles, A y B, cuya unión coincida con E. ¿Es necesario que
B sea el suceso contrario de A?
Consideramos los sucesos A = {sacar número par} y B = {sacar número impar}:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = E
A∩B=∅
Para que la unión de dos sucesos incompatibles sea el espacio muestral, los
sucesos han de ser contrarios.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
22
2
Celia tiene una baraja vieja de la que se han extraviado varias cartas, pero
con las restantes plantea un reto a sus amigos: si saca una carta al azar, la
probabilidad de que sea un as es P (as) = 0,16, la de que sea una espada es
P (espada) = 0,33, y la de que sea un as o una espada es
P (as o espada) = 0,45; ¿se puede asegurar que el as de espadas está entre
las cartas que quedan de la baraja?
A = {obtener as}, B = {obtener espada}
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) – P (A ∪ B) = 0,16 + 0,33 – 0,45 = 0,04
Como es ≥ 0 entonces el as de espadas está en la baraja.
PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS SIMPLES
3
Dos amigos lanzan un dado y juegan a sacar el número más alto. Si el
primero en lanzar ha obtenido un 4, calcula la probabilidad de que:
a. Gane el segundo jugador.
P (gane el 2.º) = =
b. Empaten ambos jugadores.
P (empaten) =
c. Gane el primer jugador.
P (gane el 1.º) = =
4
En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B, que cumplen
las condiciones: P (A) =
, P (B) =
y P (Ac ∩ Bc) =
¿Cumplen las
propiedades de una probabilidad?
P (Ac ∩ Bc) = = P [(A ∪ B)c] = 1 – P (A ∪ B) ⇒ P (A ∪ B) =
Por otra parte:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) ⇒ P (A ∩ B) = P (A) + P (B) – P (A ∪ B) =
1
= +
– = – 15
Pero no puede ser una probabilidad menor de 0, por lo que no es una
probabilidad.
5
Con objeto de financiar parte de su viaje de fin de curso, los alumnos de 4.º
de ESO de cierto instituto han vendido 200 papeletas para una rifa de dos
premios. Si Manu ha comprado 10 papeletas, ¿cuál es la probabilidad de que
consiga algún premio?
P (algún premio) = 1 – P (ningún premio) = 1 – P (no 1.º ∩ no 2.º) =
=1–
·
= 0,10
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
23
6
Se va a realizar una selección de candidatos para un puesto de trabajo en
una empresa. Se han presentado 24 candidatos, de los cuales 18 hablan
inglés y 12 alemán. ¿Cuál es la probabilidad de que salga elegida una
persona que hable los dos idiomas?
Hay 6 candidatos que hablan los dos idiomas.
P (A ∩ B) = = 0,25
7
En el cumpleaños de Luis, cuatro amigos se preguntan sobre la probabilidad
de que al menos dos de ellos celebren este año su cumpleaños el mismo día
de la semana. ¿Puedes calcular cuál es esa probabilidad?
Que al menos dos coincidan en el mismo día de la semana significa que haya
alguna coincidencia. Se fija un día para el primer amigo:
P (ninguna coincidencia) =
= 1 · P (2.º ≠ 1.º) · P (3.º ≠ 2.º y 1.º) · P (4.º ≠ 3.º y 2.º y 1.º) = 1 · · · = 0,35
P (alguna coincidencia) = 1 – P (ninguna coincidencia) = 1 – 0,35 = = 0,65
PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS
8
Ordena de mayor a menor los siguientes sucesos según la probabilidad que
tienen de ocurrir:
• Obtener un 6 como resultado de la suma de los números sacados al lanzar
un dado dos veces.
= 0,139
• Obtener dos fichas dobles al extraerlas sucesivamente de un juego de
dominó de 28 fichas.
· = 0,055
• Obtener dos caras al lanzar dos monedas.
= 0,25
Entonces el orden es: c > a > b
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
24
9
Se dispone de dos urnas, A y B. La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas
amarillas y 4 bolas rosas, y en la urna B hay 2 bolas verdes, 5 bolas
amarillas y 3 bolas rosas. Se lanza una moneda; si sale cruz, se extrae una
bola de la urna A, y si sale cara, una de la urna B. Halla la probabilidad de
obtener:
a. Cruz y bola verde.
P (cruz y bola verde) = ·
b. Bola amarilla.
P (bola amarilla) = ·
c. Bola verde.
P (bola verde) = ·
= 0,15
+ ·
+ ·
= 0,4
= 0,25
d. Bola no rosa.
P (bola no rosa) = 1 – P (rosa) = 1 – ( ∙
1 ∙
) = 0,65
10 Copia en tu cuaderno la tabla de contingencia propuesta y complétala con
las siguientes características: P (D/A) =
; P (B/C) =
; P (B/D) =
Nota:
las fracciones no están simplificadas.
11 Tres personas han ido de visita a casa de un amigo. Al entrar a su casa le
han dado sus abrigos para que los guardara. Al marcharse les ha entregado
los abrigos aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los
abrigos se hayan entregado correctamente?
P (entregados correctos) = P (bien 1.ª ∩ bien 2.ª ∩ bien 3.ª) =
·
=
PROBABILIDAD CONDICIONADA
12 A Enrique le han regalado dos cajas de bombones: una contiene ocho
bombones de chocolate negro y cuatro del blanco, y la otra contiene seis
bombones de cada tipo. Si Enrique toma una de las cajas al azar y coge un
bombón aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el bombón sea de
chocolate negro?
P (N) = P (C1) · P(N/C1) + P(C2) · P(N/C2) = ·
+ ·
=
= 0,58
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
25
SOLUCIONES PÁG. 319
13 A un concursante de un programa en el que se deben ir acertando preguntas
para conseguir el premio final le quedan dos preguntas por responder. La
fiabilidad del concursante, en tanto por uno, a la hora de dar una respuesta
correcta a las preguntas es de un 0,7. Halla la probabilidad de que:
a. Acierte las dos respuestas y consiga el premio.
P (acierte 1.ª ∩ acierte 2.ª) = P (acierte 1.ª) · P (acierte 2.ª/acierte 1.ª) =
= 0,7 · 0,7 = 0,49
b. Responda erróneamente a una de las preguntas y quede eliminado.
P (acierte 1.ª ∩ falle 2.ª) + P (falle 1.ª ∩ acierte 2.ª) = 0,7 · 0,3 + 0,3 · 0,7 = 0,42
14 Se ha extendido un virus mortal y ha afectado a un 25 % de cierta población.
Se ha conseguido elaborar una vacuna contra el virus, aunque todavía no es
completamente efectiva, pues solo cura al 80 % de los afectados, además de
infectar al 1 % de la población sana. Si se realiza una vacunación masiva de
toda la población, halla la probabilidad de que:
a. Una persona sane si anteriormente estaba infectada.
P (S/I) = 0,8
b. Una persona quede infectada si anteriormente estaba sana.
P (I/S) = 0,01
c. Una persona quede infectada si ya lo estaba.
P (I/I) = 0,2
d. Una persona permanezca sana si ya lo estaba.
P (S/S) = 0,99
e. Después de la vacunación una persona quede sanada.
P (S ∩ S) + P (I ∩ S) = 0,75 · 0,99 + 0,25 · 0,8 = 0,94
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
26
SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
15 En un experimento aleatorio se consideran dos sucesos, A y B, que cumplen
las siguientes condiciones: P (A) = 0,3, P (Bc) = 0,5 y P (Ac ∩ Bc) = 0,35.
a. ¿Son los sucesos A y B independientes? Razona tu respuesta.
0,35 = P (Ac ∩ Bc) = P ((A ∪ B)c) = 1 – P (A ∪ B) ⇒ P (A ∪ B) = 0,65
0,65 = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) ⇒ P (A ∩ B)
= 0,15
P (A) · P (B) = 0,3 · 0,5 = 0,15 ⇒ Son independientes.
0,3 + 0,5 – 0,65 =
b. Halla P (A/B).
P (A/B) =
,
,
= 0,3
16 Sea A un suceso tal que P (A) ϵ (0 , 1); responde a las siguientes cuestiones,
razonando tus respuestas:
a. ¿Es el suceso A independiente del suceso Ac?
P (A ∩ Ac) = 0, P (A) ≠ 0, y P (Ac) ≠ 0 por lo que P (A) · P (Ac) ≠ 0.
Así que P (A ∩ Ac) ≠ P (A) · P (Ac), y por ello A y Ac no son independientes.
b. Si B es un suceso tal que P (B) ϵ (0 , 1) y B C A, ¿pueden los sucesos A y
B ser independientes?
P (A ∩ B) = P (B)
Solamente será P (A) · P (B) = P (B) en los casos:
P (A) = 1
P (B) = 0
Pero ninguno puede ser por el enunciado, ya que P (A) y P (B) pertenecen a
(0 , 1).
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
27
EVALUACIÓN
1
Si A y B son dos sucesos independientes y se sabe que P (A ∩ B) =
y
P(A) = , la P (B) es:
2
5
a. 34
P (B) =
2
3
b. 2
7 (8∩9
7 8
= : =
2
c. 2
=
d. 6
Solución a.
Considera la siguiente urna:
Se extrae al azar una bola, y la probabilidad de que sea una A si la bola
extraída es amarilla es:
a. 0,2
b. 0,5
P (A/amarilla) =
3
d. 0,25
= 0,25
:
Solución d.
De una baraja de 40 naipes se extraen dos cartas al azar y sin
reemplazamiento. La probabilidad de obtener dos figuras es:
a. 0,97
P (2 figuras) =
4
( () ∩ :;:<=>>:)
( (:;:<=>>:)
c. 0,6
b. 0,08
·
= 0,08
c. 0,16
d. 0,76
Solución b.
En un grupo de personas, la probabilidad de tener más de 50 años es del
25 %, y la de ser aficionado al senderismo es del 45 %. La probabilidad de
que, elegida una persona al azar, tenga más de 50 años y le guste el
senderismo es:
a. 0,25
b. 0,33
c. 0,4
d. 0,11
P (+ de 50 ∩ sí senderismo) = P (+ de 50) · P (sí senderismo) = 0,25 · 0,45 =
= 0,11
Solución d.
5
En una urna se introducen papeletas con cada una de las letras de la palabra
VERANO. Si se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento las seis
papeletas de la urna, la probabilidad de formar la palabra VERANO es:
a. 0,012
b. 0,423
c. 0,001
P (formar VERANO) = @ @ @ @ =
d. 0,698
= 0,001
Solución c.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
28
6
En una caja hay siete bolas numeradas del 5 al 12. Si se saca una bola al
azar, dos sucesos incompatibles son:
a. {6, 9} y {8}
c. {5} y {5, 10}
b. {11} y {10, 11}
d. {6} y {par}
Porque no tienen elementos en común y no pueden darse a la vez.
Solución a.
7
En unas oposiciones, se eligen tres temas al azar de entre los 70 de que
consta el temario. Si un opositor tiene bien preparados 40 de los 70 temas, la
probabilidad de que se sepa al menos uno de los tres temas es:
a. 0,074
b. 0,400
c. 0,926
d. 0,700
P (al menos sepa uno) = 1 – P (no sepa ninguno) = 1 – A
= 1 – 0,074 = 0,926
Solución c.
∙
∙
B=1–
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba
© GRUPO EDELVIVES
=