BOLETÍN DE EJERCICIOS 2019-20

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Facultad de Ciencias Económicas
y Empresariales
Dpto. Economía
Aplicada III
“MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS”
PROGRAMA Y RELACIÓN DE EJERCICIOS
Grado: Economía.
Curso: Cuarto.
Cuatrimestre: Segundo.
Año académico: 2019/20
Profesorado:
Dolores Gómez Domínguez.
Victoriana Rubiales Caballero (coordinadora).
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Programa y bibliografía. Curso 2019/20
PLAN DOCENTE
A) CONTENIDOS Y DESARROLLO DE LA ASIGNATURA.
La materia que se imparte en esta asignatura es la que se recoge en los nueve temas que
contiene el programa adjunto. Tras un primer tema en el que se aborda una introducción a la
Matemática Financiera, se analizan los Sistemas Financieros de Capitalización y Descuento,
Simple y Compuesto, que constituyen el primer bloque de la asignatura. Posteriormente el
estudio se centra en la Teoría de Rentas Financieras que constituyen el segundo bloque, y es
la base para abordar, en los temas 7 y 8, las Operaciones de Amortización (tercer bloque). El
último bloque, que comprende el tema 9, está dedicado al estudio financiero de algunas
Operaciones con Títulos Valores.
El desarrollo de la materia se lleva a cabo a través de clases teóricas y prácticas, según los
horarios establecidos por el Centro, impartidas por los profesores de la asignatura. En las
primeras se exponen los principales contenidos teóricos, y en las segundas se plantean y
resuelven distintas operaciones financieras. Para el desarrollo de estas últimas es
fundamental la participación activa del alumno.
A lo largo del curso se realizarán cuatro actividades:
Actividad 1: Seminario “Liquidación de Cuentas Corrientes y de Crédito”. La asistencia y
participación se puntúa con 0,3 y la realización del trabajo individual correspondiente con un
máximo de 0,7 puntos.
Actividad 2: Consiste en una prueba escrita con cuestiones teórico-prácticas sobre los
contenidos de los dos primeros bloques de la asignatura. La puntuación máxima es de 4
puntos.
Actividad 3: Seminario “Operaciones con Deuda Pública”. La asistencia y participación se
puntúa con 0,3 y la realización del trabajo individual correspondiente con un máximo de 0,7
puntos.
Actividad 4: Consiste en una prueba escrita con cuestiones teórico-prácticas sobre los
contenidos de los bloques 3 y 4 de la asignatura. La puntuación máxima es de 4 puntos.
B) SISTEMA DE EVALUACIÓN.
Para la evaluación del alumno se tendrá en cuenta la participación activa del mismo en el
desarrollo de la asignatura, que se valorará mediante la realización de las actividades
propuestas.
Al final del cuatrimestre y en la fecha y horario establecido por el Centro se realizará un
examen global de la asignatura que constará de cuestiones teórico-prácticas y ejercicios.
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Programa y bibliografía. Curso 2019/20
Para superar la asignatura hay que obtener un mínimo de 5 puntos existiendo dos
posibilidades:
1.- Sumar al menos 5 puntos con las cuatro actividades, siendo necesario obtener un mínimo
de 1,6 puntos en la actividad 2 y un mínimo de 1,6 puntos en la actividad 4.
2.- Sumar al menos 5 puntos con las actividades 1 y 3 y con el examen que se realizará al final
del cuatrimestre, siendo necesario obtener un mínimo de 3,2 puntos en el examen.
C) EXÁMENES.
Calendario de exámenes aprobado por el centro:
Primera convocatoria ordinaria: 22/06/2020
Segunda convocatoria ordinaria: 15/09/2020
La hora y lugar de realización de cada examen se publicará en la correspondiente
convocatoria.
PROGRAMA
BLOQUE 1: Sistemas Financieros Clásicos de Capitalización y Descuento
TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA
1.- Concepto de capital financiero.
2.- Leyes financieras.
3.- Sistemas financieros.
TEMA 2: SISTEMA FINANCIERO CLÁSICO DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLE
1.- Sistema financiero de capitalización simple.
2.- Sistemas financieros de descuento simple comercial y racional.
3.- Equivalencia de capitales.
4.- Liquidación de cuentas corrientes.
TEMA 3: SISTEMA FINANCIERO CLÁSICO DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTO
1.- Sistema financiero de capitalización compuesta.
2.- Sistemas financieros de descuento compuesto comercial y racional.
3.- Equivalencia de capitales.
4.- Operaciones con deuda pública.
BLOQUE 2: Teoría de Rentas
TEMA 4: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS.
1.- Definición de renta financiera. Clasificación.
2.- Valoración de Rentas. Conceptos de valor actual y valor final.
TEMA 5: RENTAS DE TÉRMINOS CONSTANTES.
1.- Valoración de rentas temporales.
2.- Valoración de rentas perpetuas.
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Programa y bibliografía. Curso 2019/20
TEMA 6: RENTAS DE TÉRMINOS VARIABLES.
1.- Valoración de rentas con términos variables en progresión aritmética.
2.- Valoración de rentas con términos variables en progresión geométrica.
3.- Fraccionamiento de una renta variable. Valoración.
BLOQUE 3: Operaciones de Amortización de Préstamos
TEMA 7: OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN
1.- Conceptos generales sobre amortización de préstamos. Tantos efectivos.
2.- Definición de usufructo, nuda y plena propiedad.
3.- Amortización de préstamos mediante reembolso único.
4.- Amortización de préstamos con reembolso único y pago periódico de intereses.
TEMA 8: AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS MEDIANTE RENTA
1.- Valoración de préstamos que se amortizan mediante renta. Fórmulas de Makeham.
2.- Sistema de amortización francés.
3.- Sistema de amortización con términos variables.
4.- Sistema de amortización uniforme.
5.- Sistema de amortización americano.
6.- Sistema de amortización alemán.
BLOQUE 4: Valoración de Obligaciones, Bonos y Acciones
TEMA 9: VALORACIÓN DE OBLIGACIONES, BONOS Y ACCIONES.
1.- Empréstitos. Características generales y tipos.
2.- Valoración de bonos y obligaciones.
3.- Acciones. Efectivos de compra y venta. Rentabilidades.
4.- Ampliaciones de capital.
BIBLIOGRAFÍA
ALEGRE, P. y OTROS (2004): Ejercicios resueltos de Matemáticas de las Operaciones Financieras,
Ed. AC, Madrid
BAQUERO, M.J.; MAESTRO, M.L. (2003): Problemas Resueltos de Matemática de las Operaciones
Financieras, Ed. AC, Madrid.
BONILLA, M.; IVARS, A.; MOYA, I. (2006): Matemáticas de las operaciones financieras. Teoría y
práctica, Ed. Paraninfo.
BONILLA, M.; IVARS, A. (2000): Operaciones de Financiación: Enfoque teórico-práctico, Ed. AC,
Madrid.
CAMACHO, E y OTROS (1997): Problemas de Matemáticas Financieras, Ed. Pirámide, Madrid.
DE PABLO, A. (2002): Valoración Financiera, Ed. Centro de Estudios Ramón, Madrid.
DE PABLO, A. (2001): Manual Práctico de Matemática Comercial y Financiera. Ed. Centro de
Estudios Ramón, Madrid.
FANJUL, J.L. Y OTROS (2001): Análisis de las Operaciones Financieras, Ed. Civitas, Madrid.
MINER ARANZABAL, J. (2010): Curso de Matemática Financiera, Ed. McGraw-Hill, Madrid.
VÁZQUEZ CUETO, M.J. (2000): Curso de Matemática Financiera, Ed. Pirámide, Madrid.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
SISTEMAS FINANCIEROS
1.- Calcule el capital final o montante que obtendremos al invertir 18.000€ al 3,5% de
interés simple anual durante 10 meses. ¿Y si la inversión sólo dura 5 meses?
2.- ¿Qué capital debemos invertir hoy al 2,75% de interés simple anual para que al cabo
de 5 años el capital final sea de 40.000€?
3.- Calcule el interés que produjo un capital de 60.000€ invertido al 2,5% de interés
simple anual durante 8 meses.
4.- Un capital de 20.000€ colocado al 2% de interés simple anual alcanzó un montante
de 20.300€. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido?
5.- Un capital de 100.000€ ha estado invertido durante 11 meses, obteniéndose un
montante de 102.842€. Determine el tanto de interés simple anual al que ha estado
invertido.
6.- Obtenga:
a) tanto trimestral equivalente al 3% anual de interés simple.
b) tanto trienal equivalente al 2,5% anual de interés simple.
c) tanto mensual equivalente al 0,5% trimestral de interés simple.
7.- Calcule el montante que se obtiene al invertir 50.000€ al 0,9% de interés simple
semestral durante 3 años y 3 meses.
8.- Una entidad financiera tiene la siguiente promoción:
Imposición a tres meses
Remuneración en especie en el momento de la imposición
Remuneración en efectivo en régimen de capitalización simple
Tasa anual equivalente en capitalización simple
¿Cuál es el valor monetario del cocedor?
1.950€
Cocedor de pastas
0,10% anual
3,48%
9.- Calcule el valor del descuento racional y comercial que resulta al aplicar un tanto del
6% simple anual a un capital de 2.000€ que vence dentro de 8 meses.
10.- Determine el tanto de descuento simple anual al que se ha descontado un capital
de 68.000€ disponible dentro de 7 meses, sabiendo que su valor efectivo ha sido de
66.215€. Determine asimismo el tanto de interés simple anual equivalente al de
descuento obtenido.
11.- Determine el día de vencimiento de una letra de 601€, sabiendo que se negoció
el día 7 de Diciembre, que su valor efectivo fue de 598,10€ y el tanto de descuento
simple anual aplicado fue el 5,85%.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
12.- Determine el valor del descuento racional y comercial, y el nominal de un efecto,
sabiendo que la diferencia de los descuentos es de 129,43€ y el tanto aplicado fue del
6% simple anual durante 9 meses.
13.- Cierta persona adquiere en bolsa un pagaré de Telefónica de 1.000€ con
vencimiento dentro de 6 meses, pagando por él 965€. Al cabo de 3 meses lo vende al
precio de 988,75€. Calcule las tasas de descuento practicados en las operaciones de
compra y de venta.
14.- Se descuenta un pagaré de 1.788€, que vence dentro de 38 días, a una tasa de
descuento del 6% anual, y además se aplica 0,25% de comisión y 0,2€ por gastos de
correspondencia. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento simple anual efectivamente
aplicado?
15.- Para hacer frente al pago de una deuda, el Sr. Pérez vende un pagaré de 6.000€
que había adquirido en el mercado secundario tres meses después de su emisión. Dicho
pagaré se emitió a un año, al 6% anual de descuento, y el Sr. Pérez lo adquirió al 95%. Si
la venta la realiza seis meses antes del vencimiento del pagaré, calcule:
a) Cuantía de la deuda, si la rentabilidad obtenida por el Sr. Pérez ha sido del 5%
simple anual.
b) Tanto de interés simple al que resulta la operación al primer poseedor del
pagaré.
c) El tanto de descuento anual aplicado en la venta realizada por el Sr. Pérez.
16.- Una persona adquirió en el momento de la emisión 6 letras de 1.000€ nominales
cada una. El tanto de interés simple de la emisión fue del 5%, siendo su vencimiento un
año. Posteriormente, cuando han transcurrido 5 meses desde la fecha de emisión, las
vende a un precio del 97% del nominal. Calcule:
a) Precio al que resultó la emisión.
b) Tanto de interés simple que obtiene esa persona, si tiene que pagar una
comisión del 0,3% del nominal al adquirirlas, y otra del mismo importe a la venta.
c) Tanto de interés que obtendrá el comprador si mantiene las letras hasta su
vencimiento, sabiendo que le aplica la misma comisión que al vendedor en la
operación de compra.
17.- El día 1 de Septiembre de 2019 el señor Y presta al señor X 3.000€ que éste le
devolverá el 26 de Febrero de 2020 junto con sus intereses al 2% simple trimestral. El día
20 de Septiembre de 2019, X le propuso a Y cancelar la deuda pendiente mediante cinco
abonos iguales a satisfacer el 15 de Octubre, 19 de Noviembre, 29 de Diciembre, 7 de
Febrero y 14 de Marzo siguientes. Si aceptó la operación fijando como tanto de
descuento el 6% simple, ¿de cuánto fue cada pago?
18.- Para cancelar una deuda de 1.500€ se hace una entrega en efectivo y se aceptan 5
letras cuyos nominales son iguales cada uno a la entrega inicial. Dichas letras se
descuentan al 5% y pago de una comisión del 0'10% sobre el nominal de cada letra
descontada. Determine la cantidad de la entrega sabiendo que los vencimientos se
escalonaron a partir de la misma de 30 en 30 días.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
Si pagadas las dos primeras letras, y al vencimiento de la tercera, decidimos
sustituir las tres letras restantes por una sola con vencimiento a los 90 días, ¿cuál será el
nominal de esta última letra si en la operación de sustitución se aplica un tanto de
interés del 6%?
19.- Un comerciante tiene pendiente tres letras de igual nominal con vencimiento el 15
de Junio, 15 de Agosto y 15 de Octubre respectivamente. El 1 de Mayo, de acuerdo con
el acreedor, decide cambiarlas por una entrega de 405,68€ el 20 de Mayo, y 172,27€ el
20 de Julio. ¿Cuál es el nominal de las tres letras, sabiendo que el tanto de interés
aplicado es del 5%?
Si llegado el 15 de Mayo el comerciante pide hacer un solo pago el 15 de
Septiembre, ¿de cuánto ha de ser éste para que el acreedor acepte, si en la operación de
sustitución se acuerda un 5% de descuento?
20.- Un establecimiento comercial realiza sus operaciones de venta al contado y a
plazos. Para las operaciones a plazos, recarga el precio de contado en un 10% y exige el
pago de este nuevo precio de la forma siguiente: al concertar la operación de venta el
20%, y el resto en 20 cuotas mensuales iguales consecutivas, pagaderas todas al final de
cada mes a partir de la fecha de concertada la operación. Calcule el tanto de descuento
simple anual que utiliza el propietario del establecimiento para las operaciones a plazos
para que le sea indiferente vender a plazos o al contado.
21.- Una entidad vende a crédito aplicando un recargo al precio de contado del 10% y
cobrando 10 plazos mensuales de igual importe, el primero en el momento de la venta.
Descuenta en un Banco los nueve efectos suscritos por el comprador a una tasa de
descuento del 6% anual y comisión del 3 por 1000. Determine el beneficio inmediato
que produce a la entidad esta operación en el supuesto de un artículo cuyo precio de
venta al contado es de 3.000€.
22.- Un comerciante vende aparatos de DVD y tiene fijado su precio al contado en 359€.
A la vista de que los compradores solicitan con frecuencia el pago a plazos, decide hacer
dos propuestas:
1) En 6 mensualidades.
2) En 12 mensualidades.
Si el tipo de descuento fijado para la negociación de letras es del 6,5% anual, ¿cuál será
la mensualidad que deba exigir en uno y otro caso para que la venta a plazos resulte
equivalente a la de contado?
23.- Compramos un automóvil a plazos bajo las siguientes condiciones: en el momento
de la firma del contrato, abonamos un 30% del precio de venta a plazos, siendo éste un
10% superior al precio de contado, y el resto en 15 letras iguales pagaderas en meses
sucesivos, la primera, un mes después de la compra. Si el comerciante descuenta las
letras en una entidad bancaria, ¿cuál sería el tanto por ciento anual de descuento
aplicado, si pretende que le sea indiferente vender a plazos o al contado?
24.- Determine el montante de un capital de 10.000€ invertido al 4% anual compuesto
durante 8 años. ¿Cuál sería el tipo de interés aplicado si el montante obtenido fuese de
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
13.585€? ¿Qué cuantía deberíamos haber invertido para que transcurridos 8 años el
montante obtenido hubiese sido de 15.000€ siendo el tanto de interés del 4%?
25.- ¿Durante cuánto tiempo debe invertirse un capital de 15.000€ al 3,5% compuesto
anual para que llegue a obtenerse un montante de 18.750€?
26.- Obtenga:
a) el tanto anual de interés compuesto equivalente al 2% semestral compuesto
b) el tanto quinquenal compuesto equivalente al 4% anual compuesto.
27.- Determine el montante de un capital de 12.000€ invertido durante 10 años al 3%
anual capitalizable por trimestre. ¿Cuál sería el montante si nos aplican un 3,25%
nominal cuatrimestral?
28.- ¿Qué capital tendremos que invertir durante 7 años y 8 meses al 3,5% nominal
cuatrimestral si al cabo de ese tiempo queremos disponer de 16.000€?
29.- Un capital de 11.000€ colocado al 3,5% anual compuesto por el convenio lineal se
convirtió en 12.743,80€ ¿Cuánto tiempo estuvo invertido? ¿Cuál hubiera sido el
montante si nos hubieran aplicado el convenio exponencial?
30.- Calcule los intereses generados por un capital de 13.000€ colocado durante 5 años
en una entidad que capitaliza al 1,5% semestral. Determínese asimismo el tanto efectivo
anual i que permite obtener el mismo resultado en el mismo periodo de tiempo, y el
tanto efectivo i' que permita duplicar los intereses obtenidos en el citado intervalo.
¿Cuál sería el i efectivo si el tanto aplicado fuese el 5% nominal semestral?
31.- Hace 14 años una entidad bancaria nos proporcionó dos formas de inversión, ambas
a plazo fijo y a un tanto nominal del 4,5%. Invertido un capital en ambas proposiciones,
observamos una diferencia de 438€. Calcule el capital invertido sabiendo que en la
primera forma de inversión el tanto nominal tenía una frecuencia semestral, y en la
segunda bianual.
Si en la primera forma de inversión colocamos 9.000€, ¿cuánto habremos de
colocar en la segunda para obtener el mismo montante?
32.- Una entidad bancaria realiza la siguiente promoción: por un depósito a plazo fijo de
3.000€ durante cuatro meses nos regalan en el momento de la imposición una cristalería
de 18 piezas. Si en la promoción, la remuneración en efectivo es del 0% y el TAE es del
3,25%, ¿qué valor monetario asigna el banco a la cristalería?
33.- Un banco paga el 4% nominal semestral. Un depositante, que tenía al principio del
año 20.000€ en su cuenta, nota que los intereses del año son 4€ más de lo que él
esperaba. Le informan en el banco que el aumento se debe a que ha sido variada la
frecuencia del tanto nominal. ¿Cuál fue esta variación?
34.- El señor X tiene un plan de ahorro consistente en ingresar en una entidad de
depósito los siguientes capitales:
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
5.000€ - 10-12-16
6.000€ - 09-07-17
7.000€ - 11-09-18
7.500€ - 01-06-20
Calcule el montante que obtendrá el 31 de diciembre de 2020 sabiendo que la
tasa de interés anual compuesta que ofrece dicha cantidad es del 3% desde el inicio de la
operación hasta el 31-12-17, el 3,5% entre esta fecha y el 31-12-18 y el 4% desde esta
última hasta el 31-12-20. Plantee la ecuación que determina el TAE de la operación.
35.- Un pagaré de 10.000€ vence dentro de 5 años y se descuenta hoy al 6,5%. Calcule el
descuento comercial y el descuento racional, ambos compuestos. Calcule el líquido en
los siguientes supuestos:
a) Se aplica una comisión del 0,1% sobre el nominal.
b) Se aplica una comisión del 0,1% sobre el efectivo.
36.- Un pagaré de nominal 6.000€ y vencimiento a los dos años y medio se presenta al
descuento, aplicándosele una tasa de descuento compuesto semestral del 3,15% y una
comisión del 0,15% sobre el nominal. Calcule el importe obtenido y el TAE de la
operación.
37.- Descontamos hoy una letra que vence dentro de 420 días al 6,5% de descuento
simple anual. Con el importe obtenido realizamos las siguientes operaciones:
- Invertimos la tercera parte al 4,5% de interés compuesto anual durante dos años y 4
meses.
- El resto lo invertimos al 2,4% de interés simple semestral durante 2 años y 4 meses.
Sabiendo que el montante total obtenido es de 10.986,60€, determine el nominal de la
letra.
38.- Calcule el momento en que deben sustituirse tres deudas de 10.000, 20.000 y
30.000€ que vencen dentro de 3, 5 y 7 años respectivamente, por un pago único,
sabiendo que el tanto de valoración es el 6% de interés compuesto anual y el pago único
que desea hacerse es de:
a) 55.000€.
b) 60.000€.
Suponiendo que el pago único se quiere realizar dentro de 6 años, determine la cuantía
de dicho pago.
39.- Deseamos sustituir dos deudas de 7.000 y 9.000€ que vencen dentro de 5 y 7 años
respectivamente por un único pago. Suponiendo que la valoración se realiza al 6,5%
nominal semestral, determine:
a) Vencimiento del pago único si éste es de 16.500€.
b) Vencimiento medio.
c) Cuantía del pago único si éste se realiza dentro de 10 años.
40.- Por tres préstamos contraídos con una entidad bancaria tenemos las siguientes
obligaciones:
1) Pago de 20.000€ dentro de 5 años.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
2) Pago de 30.000€ dentro de 10 años.
3) Pago de 50.000€ dentro de 15 años.
Si queremos efectuar una entrega única de 100.000€, ¿dentro de cuántos años debemos
de efectuar la entrega, si en la operación de sustitución se aplica un tanto de interés del
6% anual compuesto?
41.- El señor X tiene una deuda con una inmobiliaria a la que debe abonar los 4 últimos
pagos semestrales de cuantía 10.000€ cada uno, por la compra de una parcela. En este
momento, cuando faltan tres meses para efectuar el próximo pago, llega a un acuerdo
con la inmobiliaria para hacer efectiva la cuantía total de la deuda, abonando el capital
unificado en base al sistema de descuento compuesto con tanto anual del 6,75%. Calcule
la cuantía de dicho capital.
RENTAS FINANCIERAS
42.- Sean n pagos de cuantía "a" efectuados a finales de los años 1,2,...,n. Sea "A" su
valor actual, "S" su valor final e "i" la tasa de interés compuesta del periodo. Complete la
siguiente tabla.
A
a
n
i
S
¿
1.000
10
6%
¿
20.000
¿
15
5,5%
¿
20.000
2.131
12
¿
¿
20.000
2.085
¿
5,5%
¿
43.- Para saldar una deuda que hemos contraído en este momento decidimos hacer diez
pagos anuales de 1.200€ cada uno, el primero dentro de un año. Si en la operación nos
aplican un 6,8% anual, ¿cuál es el importe de la deuda?
44.- Abrimos una cuenta hoy en una entidad bancaria, en la que depositaremos 2.000€
anuales, realizando la primera imposición dentro de un año. ¿De qué capital
dispondremos dentro de 5 años si la remuneración es del 4,5%? ¿En cuánto tendríamos
que incrementar estas imposiciones para obtener un capital de 12.800€?
45.- Hemos obtenido un premio de 30.000€ que depositamos en una entidad financiera
que remunera al 3,90%. De este capital queremos percibir todos los años 1.800€,
retirándose la primera cuantía dentro de un año. ¿Cuántos reintegros de esta cuantía
podemos efectuar? Si no resulta un número entero, ¿en qué cantidad debemos
incrementar el último reintegro para poder liquidar la cuenta en dicho momento? ¿Qué
cuantía anual se podría retirar indefinidamente?
46.- Depositando en una entidad bancaria 15.000€ puedo retirar durante 20 años y al
final de cada uno 1.079€. Calcule el tipo de interés al que capitaliza la citada entidad.
47.- Calcule la cuantía que debemos depositar hoy en una entidad bancaria que nos
ofrece un 4,25% para retirar 6.000€ anuales, la primera cuantía dentro de 4 años, y a
partir de ese momento todos los años durante 15.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
48.- Para hacer frente a la educación de mi hijo que acaba de nacer, he abierto una
cuenta en el banco en la que he depositado 1.000€ que es la misma cuantía que
depositaré en años sucesivos hasta su mayoría de edad, depositando la última en su 17
cumpleaños. Si la remuneración de la cuenta joven es del 3,75%, ¿de qué capital
dispondrá en el momento de cumplir 18 años?
49.- ¿Dentro de cuánto tiempo hemos de comenzar a percibir una renta de 1.000€
anuales durante 50 años, si hemos entregado hoy 18.000€ en una entidad bancaria que
remunera al 4% anual?
50.- Una ONG recibe anualmente una subvención de 4.000€. Calcule el valor actual de
esta corriente de capitales teniendo en cuenta que para la valoración se utiliza un 5%
anual los 5 primeros años, un 5,25% los cinco siguientes y un 5,5% a partir de ese
momento. Supóngase que la primera cuantía se recibe dentro de un año.
51.- En el momento actual un particular deposita en un banco 100.000€ para retirar
5.000€ durante los cinco próximos años y al final de cada uno, y durante los “n” años
siguientes 6.000€ al final de cada año. Los tantos de interés son 4% para los 5 primeros
años y 4,5% para los siguientes. Se pide:
a) Calcule “n”.
b) ¿Cuál será el valor de la última anualidad para que “n” resulte un número entero?
52.- Calcule el capital del que dispondremos dentro de 20 años con el siguiente plan de
ahorro: Entrega en una entidad bancaria de una cuantía anual, la primera en este
momento y las siguientes de año en año. Las cinco primeras son de 600€, las siete
siguientes son de 900€ y las ocho restantes de 1.000€. La remuneración ofrecida por la
entidad financiera es el 3,75% anual. ¿Cuál sería el capital formado si transcurridos diez
años el tipo de interés se revisa y pasa a ser del 3,10%?
53.- Con objeto de poder renovar su maquinaria agrícola una cooperativa ingresó al final
de cada uno de los años 2018 y 2019 una cuantía de 15.000€ en una entidad financiera
que capitalizaba al tanto anual del 3%. En el momento actual, principio de abril del año
2020, la cooperativa estima que el punto óptimo para la renovación es al finalizar el año
2024 y que en ese momento el coste será de 100.000€. Sabiendo que el nuevo tipo de
interés a partir de 2021 es el 3,5% anual determine la cuantía constante que tendrá que
ingresar la citada cooperativa al final de cada uno de los próximos cinco años para
conseguir su objetivo.
54.- Durante los próximos cinco años, vamos a recibir mensualmente 300€ en concepto
de atrasos salariales. La primera cuantía nos será entregada dentro de un mes.
Suponiendo un tanto de valoración del 2,5%, calcule el capital equivalente que
deberíamos recibir hoy. Si depositamos las cuantías recibidas en una entidad financiera
que capitaliza al 3,80% nominal, ¿de qué capital dispondríamos transcurridos 7 años?
55.- Realizamos un depósito de 35.000€ con una remuneración del 3,5% anual. De esta
cuantía se quieren ir retirando cantidades trimestrales indefinidamente, ¿de qué
importe será cada una?
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
56.- Hemos alquilado un local de nuestra propiedad en un centro comercial por un
periodo de 10 años. La renta se cobrará bianualmente y la cuantía de cada pago
asciende a 300.000€. Si vamos depositando las cantidades cobradas en una entidad
bancaria que nos ofrece un 3,75% anual, ¿de qué capital dispondremos al cabo de los 10
años?
57.- Considere tres rentas de duración n años, valoradas al tanto efectivo i, con las
siguientes características:
a) Renta pospagable mensual de 100 €.
b) Renta pospagable trimestral de 300 €.
c) Renta prepagable trimestral de 300 €.
Razone cuál de ellas resulta preferible financieramente.
58.- Sean n pagos de cuantía "ak" efectuados al final de los años k=1,2,...,n. Los pagos
crecen cada uno con respecto al anterior en 200€. Sea "A" su valor actual, "S" su valor
final e "i" la tasa de interés compuesta del periodo. Complete la siguiente tabla.
A
¿
20.000
a1
1.000
¿
n
10
15
i
6%
5,5%
S
¿
¿
59.- El valor al contado de un piso es de 240.000€ y nos proponemos adquirirlo
entregando 48.000€ en el momento de la compra y el resto en 20 pagos anuales, que
crecen cada uno con respecto al anterior en 1.000€, el primero al año de la compra. La
proposición es aceptada aplicando un 4,5% de interés compuesto. ¿Cuál es el importe de
la primera cuota? Si se depositasen estas anualidades en una entidad financiera que
ofrece el 3,5% los 12 primeros años y del 4% los restantes ¿de qué capital se dispondría
dentro de 25 años?
60.- Cierta persona concierta con una entidad financiera un plan de ahorro para formar
un capital de 72.000€ en 15 años. Si desea depositar cantidades crecientes en progresión
aritmética y la primera cuantía que ingresa hoy es de 2.500€, ¿en cuánto tendrán que
crecer los términos si la entidad financiera remunera al 4%? Si transcurridos 8 años la
entidad decide incrementar en un punto la remuneración de sus pasivos, y suponiendo
que no cambia la razón de variación de las anualidades, calcule la cuantía que obtendrá
al final del periodo.
61.- Sean n pagos de cuantía "ak" efectuados al final de los años k=1,2,...,n. Los pagos
crecen cada uno con respecto al anterior un 3%. Sea "A" su valor actual, "S" su valor final
e "i" la tasa de interés compuesta del periodo. Complete la siguiente tabla.
A
a1
n
i
S
¿
1.000
10
4%
¿
¿
1.000
10
3%
¿
13.461,50
¿
10
4,5%
¿
6.745,80
500
¿
4%
¿
12
Relación de ejercicios. Curso 2019/20
62.- Un propietario vende una finca valorada actualmente en 225.000€ debiendo
efectuar el cobro en 50 pagos que se entregaran al final de cada año con un crecimiento
anual acumulativo del 5%
1) Supuestos todos los valores colocados al 4% de interés compuesto anual, ¿de qué
cuantía tiene que ser el primer pago para que al propietario de la finca le resulte este
valor? ¿Y si el tanto de valoración es del 5%?
2) Supuesto que al terminar los 25 primeros años se modifica el contrato conviniéndose
en completar el pago en cuotas anuales constantes durante los 12 años siguientes, ¿qué
valor tendrá esta cuota? Tanto de valoración del 4%.
63.- Hemos recibido una herencia en metálico de 647.000€ que depositamos en una
entidad bancaria que nos ofrece una remuneración del 4,25% anual. De este capital
queremos retirar cada año durante los próximos 30 años una cuantía que crece cada año
con respecto al anterior un 3,25%. Calcule la cuantía del primer reintegro teniendo en
cuenta que la primera cantidad se retirará dentro de un año. ¿Cuál sería la primera
cuantía si queremos hacer 30 reintegros siendo el primero dentro de tres años? ¿Cuál
sería la primera cuantía si queremos comenzar a retirar dentro de un año pero
queremos que los reintegros se hagan indefinidamente?
64.- Cierta persona con derecho a percibir en los próximos 10 años una cuantía anual de
1.800€, la primera dentro de dos años, desea transformar esta corriente en otra con
periodicidad trimestral, la misma duración, cobro de la primera cuantía en este
momento y cuantías creciendo cada una con respecto a la anterior en 10€. Obtenga la
primera cuantía trimestral que se cobrará si en la operación de sustitución se aplica un
3% anual.
65.- Cierta persona con derecho a percibir pasados 3 años una cantidad constante
semestral de cuantía 1.000€ y con duración indefinida, solicita en el momento actual
sustituir esta corriente de pagos por otra de periodicidad trimestral, duración 20 años,
cuantías crecientes un 1,5% acumulativo y cobro del primer término en este mismo
momento. Calcule la cuantía de este término si en la operación de sustitución se aplica
2% semestral para los 10 primeros años y un 2,25% semestral para los restantes. ¿Y si se
aplicase un 1,5% trimestral durante todo el periodo?
66.- Con objeto de poder disponer de una furgoneta para su transporte interno, la
empresa Z se plantea dos alternativas:
1) Comprar el vehículo al contado a un precio de 21.078,17€.
2) Concertar una operación de leasing con otra sociedad por la que pagaría un alquiler
mensual en los próximos cinco años. El primer año de 200€ y los restantes, creciendo las
cuantías con respecto al anterior en 50€ y manteniéndose constantes en el año,
obligándose a la compra de la furgoneta transcurridos éstos a un precio de X €.
Determínese la cuantía X para que ambas operaciones resulten indiferentes desde el
punto de vista financiero, tomando como tanto de valoración el 5,75%.
67.- El señor X posee un inmueble cuyo alquiler le proporciona este año unos ingresos al
principio de cada mes de 600€ y unos gastos al final de cada semestre de 360€. Tanto el
ingreso como el gasto tiene un crecimiento anual acumulativo del 3%. Además, para la
13
Relación de ejercicios. Curso 2019/20
conservación del inmueble, cada 3 años hay que realizar diversos arreglos con un coste
estimado de 1.500 €, el próximo dentro de tres años, y estimando un incremento en esta
cuantía de 500€ en cada uno de los sucesivos vencimientos. Se desea conocer el valor
financiero del citado inmueble aplicando un interés del 3,5% anual.
68.- Calcule con fecha 1 de enero, el valor actual de los ingresos que pueden obtenerse
por la explotación de un kiosco de venta de helados durante los próximos 10 años, si se
estima que los ingresos ascenderán a 2.400 € al final de cada mes durante los meses de
mayo a septiembre en que permanece abierto, utilizando para su valoración un tanto
constante anual del 3,5%. ¿Cuál sería el valor actual si estos ingresos fuesen los del
primer año y esta cuantía creciese de un año en otro en 300€? ¿y si fuese un crecimiento
anual acumulativo del 3,5%?
69.- Determine a fecha 1 de enero el valor de los dividendos que percibirá el señor X
durante los próximos 15 años bajo la hipótesis siguiente: el primer año los dividendos de
periodicidad trimestral (finales de marzo, junio, septiembre y diciembre) ascenderán a
3.000€ cada trimestre, estimándose un incremento anual acumulativo del 8% para los 10
próximos años y suponiendo que permanecerá constante la cuantía a percibir (la misma
que en el año 10) en los 5 años restantes. Para la valoración se utiliza un nominal
trimestral del 3% los cinco primeros años, 3,5% los cinco siguientes y 3,75% los
restantes.
70.- Calcule el valor actual de los ingresos de la empresa Z en los próximos 5 años,
teniendo en cuenta los siguientes datos: Dicha empresa se dedica a la fabricación de
calzados, ascendiendo su producción mensual en el presente año a 2.000 pares, los
meses de enero a mayo y de octubre a diciembre; en los meses junio, julio y septiembre
se produce la mitad y en agosto nada, pues la fábrica permanece cerrada. Se estima que
cada año la producción de los meses de enero a mayo y de octubre a diciembre se
incrementará en 100 pares y la de los meses de junio, julio y septiembre en 50 pares. Los
ingresos por cada par de zapatos se estiman en 13€.
Repetir los cálculos para el caso en que, de esta producción, un 40% se dedique a la
exportación y un 60% se comercialice en el mercado interior y los ingresos por cada par
de zapatos se estimen en 12 € en el exterior y 14 en el mercado interior.
Tanto de valoración para ambos supuestos 3,25% anual.
71.- Con fecha 1-1-2020 el señor X es beneficiario de una herencia compuesta por:
a) Una finca rústica que le proporcionará unos beneficios netos anuales de 12.000€
contabilizados a final de año.
b) Un apartamento cuyo alquiler ascienden a 1.000€ mensuales en este año, con gastos
de comunidad a cargo del propietario de 600€ al trimestre. Se prevé que ambas partidas
experimenten un incremento anual acumulativo del 4% durante 20 años, al cabo de los
cuales el valor estimado del inmueble es de 600.000€.
c) 5000 acciones de nominal 1,20€ que devengan intereses del 2,5% semestral
pagaderos el 31-3 y 30-9 respectivamente.
d) Por otra parte, debe hacer frente al pago de 6 letras trimestrales de 360€, la primera
de las cuales venció el 1-4-2019 y que restan para terminar de pagar un coche adquirido
por el causante cuyo valor a 1-7-2021 se supone que ascenderá a 9.000€.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
Si además recibe 18.000€ en metálico al hacerse cargo de la herencia (1-1-2020),
determine el valor de dicha herencia en el momento de recibirla aplicando como tanto
de valoración el 3,5% anual compuesto.
72.- Cierta persona dedicada a la fabricación de turrones, se plantea el lanzamiento de
un nuevo producto cuya fabricación generaría los siguientes costes:
- Coste inicial de nuevas instalaciones 300.000€.
- Gastos de mano de obra, y materias primas 30.000€ mensuales el primer año,
que aumentan anualmente a una tasa del 3% acumulativa anual.
- Por revisión de las instalaciones se esperan unos costes anuales de 60.000€ y en
años sucesivos creciendo en progresión aritmética un 10% de esta cantidad.
Las ventas del citado producto se concentran básicamente en los meses de octubre,
noviembre y diciembre, estimándose que del total de unidades producidas anualmente
(300.000), las ventas se repartirían de la siguiente forma: 10.000 unidades cada uno de
los meses de enero a septiembre, 55.000 en octubre y noviembre y 100.000 en
diciembre. Se estima que el precio de venta no podría superar los 2,30€ por unidad
durante los tres años de vida previstos para las instalaciones, con valor residual nulo.
¿Cuál sería el beneficio actualizado neto si se toma como tanto de valoración el 4%
efectivo anual? ¿Cuál sería el precio necesario para que, con el mismo tanto de
valoración, el beneficio actualizado neto fuera un 5% mayor?
Nota: Contabilizar el coste inicial a 1 de enero, comenzándose la producción y venta en
ese mismo mes. Todos los demás costes e ingresos se contabilizan a final de su periodo
de imputación.
OPERACIONES DE AMORTIZACION
PRÉSTAMOS
73.- Nos conceden un préstamo de 15.000€ al 6,5% de interés para amortizar dentro
de 7 años con sus intereses acumulados.
a) ¿Cuánto tendremos que pagar transcurridos 7 años para devolver la deuda
contraída?
b) Si transcurridos 5 años desde la concesión del préstamo, decidimos cancelar
totalmente la deuda ¿cuál será el importe que debemos abonar si el tanto de
mercado en este momento es del 5%?
74.- Un préstamo de 90.000€ debe amortizarse a los 20 años con intereses acumulados
al 6%. A los 9 años el deudor propone hacer una entrega parcial de 10.000€ y el
acreedor acepta a condición de no salir perjudicado, ya que el tanto de interés en
dicho momento es del 5%. Obtenga la cuantía del saldo que quedará después del
reintegro y la cantidad a pagar por el deudor a los 20 años.
75.- Un préstamo de 75.000€ al 6% de interés debe devolverse en 10 años a través de
un pago único. A los 4 años se entregan 12.000€, siendo el tanto de mercado en ese
momento del 4,25%. Y a los 8 años se cancela el préstamo.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
a) ¿qué cantidad deberá entregarse en el momento de la cancelación para
amortizar el préstamo si el tanto de mercado en ese momento es del 4,5%?
b) Plantee la ecuación que permita obtener el TAE al que ha resultado la
operación para el deudor.
c) Obtenga el usufructo y la nuda propiedad del préstamo a los 5 años de iniciarse
la operación, siendo el tanto de valoración del 4%.
76.- Se concede un préstamo de 90.000€ al 7% nominal semestral, amortizable en 10
años mediante reembolso único con pago semestral de intereses. Inmediatamente
después de pagados los intereses del sexto año, el deudor quiere cancelarlo. ¿Qué
cantidad debe entregar si en dicho momento el tanto de mercado es del 5%? Plantee
la ecuación que permite obtener el TAE del prestatario.
77.- Si por un préstamo de 70.000€, amortizable a los 12 años mediante reembolso
único con pago anual de intereses al 6%, el deudor decide hacer una entrega de
35.000€ al principio del quinto año, ¿cuál será el saldo que quedará pendiente después
de la entrega realizada, si el interés de mercado en dicho momento es del 5,5%?
Calcule el valor y el usufructo del préstamo al principio del cuarto año si el tanto de
valoración es del 4,5%.
78.- Se concede un préstamo de 40.000€ para amortizar en seis años con abono de
intereses semestrales al 6,5% nominal. Calcule la cantidad que cancela el préstamo al
término de la operación en los siguientes supuestos:
1) A los 4 años se realiza una cancelación parcial de 12.000€, siendo el tanto de
mercado del 4,04% anual.
2) A los 2 años se realiza una cancelación parcial de 6.000€, siendo el tanto de
mercado en este momento del 4% anual y a los 3 años, cuando el tanto de mercado es
del 4,04%, se hace una cancelación total. Plantee la ecuación que permite obtener el
TAE del deudor.
79.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 85.000€, amortizable en
cuatro años mediante anualidades constantes al 4,5% de interés anual.
80.- Una entidad bancaria concede un préstamo de 120.000€ para ser amortizado en
15 años mediante anualidades constantes. Si el tanto de interés concertado es el 3,5%,
determine:
a) Cuantía de las anualidades constantes.
b) Cuota de amortización del sexto período.
c) Cuota de interés del décimo año.
d) Capital amortizado en los 7 primeros años.
e) Capital vivo al principio del año 15.
f) Valor, usufructo y nuda propiedad al principio del octavo año sabiendo que el
tanto de valoración es el 3%.
81.- De un préstamo contratado para ser amortizado en cinco años por el sistema de
amortización francés se conoce la anualidad que asciende a 2.230,52€ y la última cuota
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
de amortización que es de 2.149,90€. ¿Cuál es el tanto de interés y cuál es el importe
del préstamo?
82.- Se desea amortizar un préstamo de 250.000€ mediante 25 anualidades de igual
cuantía, siendo el tipo de interés del 3,5% para los primeros 10 años, del 3,75% para
los 10 años siguientes y del 4% para los restantes. Se pide:
a) Anualidad constante que amortiza el préstamo.
b) Saldo al principio del año 8.
c) Cuota de interés y de amortización del año 15.
d) Tanto de interés efectivo para el prestamista.
e) Valor y nuda propiedad del préstamo al final del año 16, si el tanto de
valoración es el 3%.
83.- Una persona cobra durante 15 años 1.535,52€ al principio de cada uno de ellos y
los deposita en una entidad financiera que capitaliza al 1,5%. Al finalizar el año 15,
retira el depósito, y presta la cantidad retirada a un comerciante que se compromete a
reembolsar el préstamo en 10 años mediante semestralidades constantes, que
empezará a pagar un año después de constituirse el préstamo a un tanto de interés del
4% nominal.
Se desea conocer:
a) El importe de la semestralidad que deberá abonar el comerciante.
b) El importe de la deuda del comerciante después del pago de la séptima
semestralidad.
84.- Una persona solicita un préstamo de 80.000€ que se compromete a amortizar en
10 años mediante el sistema de amortización francés al 3,75%. Al final del quinto año
se encuentra que no dispone de efectivo para hacer frente al pago correspondiente a
ese momento y conviene con su acreedor en abonar solamente los intereses vencidos.
Al final del séptimo año comienza de nuevo a pagar anualmente una cantidad
constante hasta amortizar completamente el préstamo al final del año diez. Se pide:
a) Anualidad correspondiente a los cuatro primeros años.
b) El abono hecho en concepto de intereses el quinto y sexto año.
c) Anualidad de los últimos cuatro años.
85.- Un préstamo de 90.000€ es concedido en las siguientes condiciones: tipo de
interés 4% anual, duración 15 años, amortización con anualidades constantes
abonándose la primera a los cuatro años de concertada la operación. Si el prestatario
tiene unos gastos iniciales de 540€ y el sistema impositivo le detrae al prestamista el
1% de las anualidades:
a) Plantee las ecuaciones que permiten obtener el tanto efectivo para el
prestamista y para el prestatario.
b) En el supuesto de que el préstamo fuera cancelado inmediatamente después
de hacer el quinto pago y la cancelación llevase una penalización del 1% sobre
la deuda pendiente, plantee la ecuación que permite obtener el tanto efectivo
del prestatario.
c) Calcule el usufructo al final del sexto año siendo el tanto de valoración del 2%.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
86.- Nos conceden un préstamo de 56.000€ para ser amortizado en 6 años mediante
anualidades constantes, cobrándonos al inicio de la operación una comisión de estudio
del 0,75 por mil (mínimo 30 €). Nos ofrecen para los dos primeros años un tanto de
interés del 2,25% y para el resto el EURIBOR + 0,75 con revisiones bianuales. Si en la
primera revisión el EURIBOR ha sido del 1,6%, y en la segunda del 2%, plantee la
ecuación que permite obtener el TAE de la operación para el prestatario.
Obtenga el valor del préstamo a principio del cuarto año si el tanto de valoración es
2,15%.
87.- Se solicita un préstamo de 68.000€ para amortizarlo en 20 años con
mensualidades constantes. Nos ofrecen un tanto nominal mensual del 2,5% los seis
primeros meses y para el resto un nominal mensual del EURIBOR + 0,5 puntos con
revisiones anuales.
a) Calcule el importe de las seis primeras mensualidades y de la mensualidad tras la
primera revisión si en ese momento el EURIBOR se sitúa en el 2,2%.
b) Plantee la ecuación que permite calcular el TAE de la operación si en la segunda
revisión el EURIBOR se sitúa en el 2,5% y permanece constante para el resto de la
operación.
c) Calcule el valor, el usufructo y la nuda propiedad del préstamo una vez satisfecha la
mensualidad número 30, si el tanto de valoración es del 3%.
88.- Hace 5 años que tengo concedido un préstamo de 90.000€ y 10 años de duración
que estoy pagando con mensualidades constantes al 3,6% de interés nominal. Si me
cambio a otro banco que opera al 2% efectivo anual tendré que pedir prestado al
nuevo banco el saldo pendiente, la cantidad necesaria para pagar una comisión de
cancelación del 1 por mil sobre el saldo pendiente a mi banco actual, y 1.500€ más
para los gastos de la nueva hipoteca. Si en este nuevo banco se amortiza el préstamo
con anualidades constantes, ¿me conviene cambiar?
89.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 55.000€ amortizable en 4
años al 6,75% de interés anual con anualidades variables en progresión aritmética de
razón 650€.
90.- En un préstamo de 90.000€ amortizable en 12 años con anualidades variables en
progresión aritmética de razón 600€, y tanto de interés del 6,5%, determine:
a) Primera anualidad
b) Saldo pendiente al principio del tercer año.
c) Cuota de amortización del sexto año.
d) Total amortizado al final del noveno año.
e) Valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del noveno año si el
tanto de valoración es el 5%.
91.- Un particular solicita un préstamo de 75.000€ para amortizar en 6 años mediante
semestralidades crecientes en progresión aritmética de razón 520€. Le ofrecen un
4,5% nominal para el primer año y para el resto EURIBOR + 0,5 con revisiones
bianuales. Si en la primera revisión el EURIBOR es del 3,9%, calcule:
a) Cuantía de la primera y quinta semestralidad.
18
Relación de ejercicios. Curso 2019/20
b) Cantidad que cancela el préstamo a los tres años de inicia la operación.
c) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE deudor teniendo en cuenta que se
efectúa la cancelación total y que la comisión por cancelación anticipada es del 0,5%.
92.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 75.000€ amortizable en 3
años al 6,5% de interés anual, con semestralidades variables en progresión geométrica
de razón q=1,005.
93.- Un préstamo de 60.000€, se amortiza en 5 años con anualidades que aumentan
cada una con respecto a la anterior en un 20%, siendo el tanto de interés del 6%.
Determine la primera anualidad, el total amortizado al final del año 3, así como el
valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo en ese momento si el tanto de
valoración es del 4,5%.0
Çli7e
94.- Una industria recibe de una entidad bancaria un préstamo de 155.000€
reembolsable en 15 años con anualidades variables en progresión geométrica de razón
1,07. El tipo de interés aplicable es del 6% para los cinco primeros años, 6,5% para los
cinco siguientes y del 7% para los restantes. Se pide:
a) Calcule la primera anualidad.
b) Determine el saldo pendiente al final del décimo año.
c) Calcule el usufructo al principio del décimo año si el tanto de valoración es del 5%.
95.- Si en un préstamo de 96.000€ concedido al 6,5% anual con 2 años de carencia y
pago de diez anualidades, cada una de ella inferior a la anterior en un 6%,
pretendemos hacer una cancelación anticipada, justo después de haber pagado la
tercera anualidad, ¿qué cantidad debemos entregar? Escriba la ecuación que permita
calcular el TAE de la operación.
96.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 78.000€ amortizable en 5
años al 3% de interés anual mediante cuotas de amortización constantes.
97.- Un préstamo de 50.000€ se otorga en las siguientes condiciones:
- Tipo de interés anual 3,75%
- Duración de la operación 10 años.
- Amortización con cuotas de amortización constantes.
Obtenga:
a) La cuantía del primer término amortizativo.
b) Capital pendiente de amortización al principio del octavo año.
c) Capital total amortizado al final del sexto año.
d) Cuota de intereses del quinto año.
e) Valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del cuarto año, siendo
el tanto de valoración del 2,5%.
98.- Una entidad bancaria concede un préstamo de 80.000€ para ser amortizado en 8
años mediante pagos trimestrales constantes a un interés del 4,5% nominal.
Transcurridos cinco años se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del
19
Relación de ejercicios. Curso 2019/20
préstamo pasando a ser amortizado con cuotas de amortización trimestrales
constantes al 4% de interés nominal. Se pide:
a) Cuantía trimestral con que se inicia la devolución del préstamo.
b) Cuantía de la primera trimestralidad que se abona tras el cambio de
condiciones.
c) Si a los cinco años y medio, tras el cambio de condiciones, se decide cancelar el
préstamo, ¿cuál es la cantidad que se debe abonar en el momento de la
cancelación si la comisión por cancelación anticipada es del 0,5%?
d) TAE del prestatario, teniendo en cuenta la cancelación anticipada del apartado
anterior, y sabiendo que por el cambio de condiciones la entidad bancaria
cobra el 1% del saldo pendiente.
e) Valor del préstamo al principio del sexto año a un tanto de valoración del 3,6%.
99.- Una empresa recibe de una entidad bancaria un préstamo de 69.000€
reembolsable mediante cuotas de amortización semestrales constantes en 15 años. El
tipo de interés aplicable es del 3% nominal para los tres primeros años, del 4% nominal
para los cinco siguientes y del 4,6% nominal para los restantes. Se pide:
a) Calcule la cuota de amortización.
b) Obtenga los términos amortizativos que se hacen efectivos al final del primer,
quinto y noveno año.
c) Calcule el usufructo al final del quinto año utilizando un tanto de valoración del
2,01%.
100.- Nos conceden un préstamo de 60.000€ con una duración de 10 años y
amortización mediante cuotas de amortización constantes, nos cobran al inicio de la
operación una comisión del estudio del 1 por mil (mínimo 45 €). Nos ofrecen para el
primer año un tanto de interés de 2,75% y para el resto el EURIBOR + 0,60 con
revisiones anuales. Si en los años del segundo al sexto, ambos inclusive el EURIBOR ha
sido del 2,15%, y los cuatro últimos años del 2,65%, plantee la ecuación para el cálculo
del TAE de la operación para el prestatario.
101.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 44.000€ a amortizar en
cuatro años, por el sistema americano de amortización. El tanto del fondo en el que se
entregan las cantidades anuales constantes es del 3,5% y el tanto del préstamo es el
6% anual. Calcule el TAE deudor y el TAE acreedor.
102.- Una sociedad contrata un préstamo con una entidad bancaria con arreglo a las
siguientes condiciones:
- Capital prestado 110.000€
- Amortización mediante el sistema americano.
- Tanto anual del préstamo 5,5%
- Duración 10 años.
Por otra parte, constituye un fondo en otro banco en el cual se realiza
imposiciones semestrales para conseguir el montante que extinga la deuda. El fondo
tiene un interés del 4,6% nominal capitalizable por semestres.
Calcule:
a) Cuota de interés del préstamo del sexto año.
20
Relación de ejercicios. Curso 2019/20
b) Cuantía constante que hay que imponer en el fondo.
c) Tanto efectivo al que resulta la operación.
d) Usufructo, valor y nuda propiedad del préstamo al principio del tercer año si el
tanto de valoración es del 4%.
103.- Solicitamos un préstamo de 20.000€ para amortizar en 5 años al 5,7% anual. El
prestamista ofrece dos posibilidades: a) amortizar mediante anualidades constantes,
b) pago anual de los intereses y constitución de un fondo, para amortizar la deuda al
vencimiento, en el que se hacen entregas semestrales y se remunera al 4,8% anual.
¿Qué opción interesa más al deudor? ¿Y al acreedor?
104.- Hemos solicitado un préstamo de 50.000€ que vamos a amortizar en 6 años por
el sistema de amortización americano. La comisión de apertura es del 1%, el interés del
préstamo del 4,25% anual y el interés del fondo del 5,2% anual.
Deseamos que las cantidades destinadas al fondo sean semestrales, abonando la
primera en el momento de concertada la operación. Calcule:
a) Cantidad destinada al fondo de amortización.
b) Interés efectivo del deudor e interés efectivo del acreedor.
c) ¿Por cuánto puede vender el acreedor la nuda propiedad a los tres años de
concertada la operación, si el tanto de valoración es del 2,9% semestral?
105.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 120.000€ que se
amortiza en cinco años mediante anualidades constantes, a un tipo de interés anual
anticipado del 5,5%.
106.- Se concede un préstamo de 75.000€ para amortizar en 10 años mediante
anualidades constantes a un tipo de interés anual anticipado del 7%. Se pide:
a) Anualidad que amortiza el préstamo.
b) Saldo al principio del cuarto año.
c) Cuota de amortización del sexto período
d) Capital total amortizado al finalizar el octavo año.
e) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE del deudor.
f) Valor y usufructo del préstamo al final del tercer año, siendo el tanto de
valoración 5,5%.
107.- Un préstamo de 25.000€ se solicita para ser amortizado en 8 años a un tanto de
interés semestral anticipado del 4,1% con semestralidades constantes. En el momento
de la concesión del préstamo se paga una comisión de apertura del 1%. Transcurridos
3 años se cancela el préstamo pagando una comisión del 1% sobre el importe
cancelado. Plantee la ecuación que permita calcular el TAE de la operación.
108.- Una sociedad cooperativa agrícola quiere efectuar mejoras en sus instalaciones
siendo necesario para ello realizar una inversión de 180.000€. Para la financiación de
esta inversión solicita un préstamo amortizable por el sistema alemán en quince años
con anualidades constantes. El tipo de interés anticipado fijado para la operación es
del 5,5% para los diez primeros años y el 6% para los cinco últimos. Determine:
a) La anualidad.
21
Relación de ejercicios. Curso 2019/20
b) Cuota de interés pagadera al principio del undécimo año.
c) Nuda propiedad al principio del décimo año, siendo el tanto de valoración del
4,3%.
d) Ecuación que permite obtener el tanto efectivo al que ha resultado la
operación.
109.- Una empresa tiene concertado tres préstamos con una institución financiera:
- Uno de 95.000€ que solicitó hace 5 años para amortizar mediante 15 cuotas
anuales constantes pagándose la primera al final del primer año y siendo el tipo de
interés del 6,5%.
- Otro de 95.000€ que solicitó hace 8 años para amortizar mediante 20
anualidades constantes pagándose la primera a los cuatro años de concertado el
préstamo, al 6,5% de interés anual.
- Un tercero de 80.000€ que solicitó hace dos años al 5,5% de interés anticipado
para amortizar mediante 12 anualidades constantes.
a) Hoy la empresa quiere saber cuánto ha de pagar en concepto de intereses y cuanto
de amortización.
b) ¿Qué capital obtendrá la institución si vende los préstamos a una entidad bancaria
que trabaja al 4% nominal semestral?
110.- Un préstamo de 73.000€ se amortiza en 32 trimestres a un tanto de interés
trimestral anticipado del 1,5% con cuotas de amortización constantes. Se pide:
a) La primera trimestralidad.
b) La cuota de interés correspondiente a la quinta trimestralidad.
c) El valor del préstamo al final del tercer trimestre, siendo el tanto de valoración
del 4% anual.
111.- Una entidad bancaria concede un préstamo de 24.000€ para ser amortizado en 6
años a un tanto de interés del 7% mediante una renta anual constante. Transcurridos
tres años se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del préstamo pasando
a ser el tanto del 6% anual anticipado y con cuotas de amortización constantes. Se
pide:
a) Anualidad con que se inicia el préstamo.
b) Razonar si le interesa al prestatario el cambio de condiciones.
c) Cuadro de amortización a partir del cambio de condiciones.
EMPRESTITOS
112.- Construya el cuadro de amortización de un empréstito formado por 100.000
obligaciones de 6€ nominales cada una, con cupón anual de 0,30€, y que se amortiza en
3 años mediante anualidades constantes. Si los gastos de emisión son de 10 céntimos
por obligación, plantee la ecuación que permite obtener el TAE del emisor y el del
conjunto de los suscriptores.
113.- Una empresa realiza la emisión de un empréstito con las siguientes características:
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
- Títulos emitidos: 500.000 títulos
- Nominal de cada título: 3€
- Cupón anual 0,21€
La amortización la realizará en 4 años mediante anualidades constantes. Construya el
cuadro de amortización. Plantee la ecuación que permite obtener el TAE de un
obligacionista que compra 1000 títulos que son amortizados de la siguiente forma, 100
en el primer sorteo, 180 en el segundo, 420 en el tercero y el resto en el cuarto.
114.- Se emite un empréstito formado por 150.000 títulos de 10€ de valor nominal cada
uno. La amortización se realizará en tres años, amortizando cada año el mismo número
de títulos, y pagando un cupón anual de 0,40€. Existen unos gastos de emisión del 0,5%
del volumen emitido y unos gastos de administración anuales del 0,25% de la anualidad,
ambos a cargo del emisor, unos gastos de suscripción de 5 céntimos por título a cargo
del suscriptor. Construya el cuadro de amortización. Plantee la ecuación del TAE para el
emisor y para el conjunto de los suscriptores.
115.- Cierta sociedad emite un empréstito de 100.000 obligaciones de nominal 10€
cada una. Las características son: duración 8 años; abono de cupones anuales del 3%
los dos primeros años, del 4,5% los tres años siguientes, y del 5% los últimos tres años.
Calcule la anualidad constante, el número de títulos que se amortizan en el cuarto
sorteo, y el TAE del conjunto de los suscriptores.
116.- Un empréstito formado por 150.000 obligaciones de 10€ nominales cada una, se
amortiza en 4 años mediante anualidades variables en progresión aritmética de razón
2000€, pagando un cupón anual de 0,50€. Determine el número de títulos amortizados
cada año. Si las anualidades crecieran un 10% acumulativo, ¿qué número de títulos se
deberán amortizar cada año en este caso?
117.- Una compañía industrial desea emitir un empréstito dividido en obligaciones de 5€
nominales cada una, con cupón de 0,20€, para amortizarlo mediante 75 anualidades de
15.835,88€ cada una. ¿Cuál será el volumen nominal y el número de títulos emitidos?
¿Cuál será el valor de emisión de los títulos para que resulte un tipo efectivo del 4,2% al
conjunto de los suscriptores?
118.- Se emite un empréstito con las siguientes características:
- Número de títulos emitidos: 20.000.
- Valor nominal: 20€
- Pago del cupón anual: 0,80€
- Duración de la amortización: 5 años.
- Los títulos se amortizarán con una prima de 3€.
a) Obtenga la anualidad constante que amortiza el empréstito.
b) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE de un suscriptor que compra dos
títulos que le son amortizados en el segundo año correspondiéndole premio a
uno de ellos.
c) Plantee también la ecuación que permite calcular el tanto de interés efectivo para
el emisor.
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
119.- Construya el cuadro amortización de un empréstito de 1.000 obligaciones de 6€
nominales cada una a reembolsar en 3 años pagando un cupón anual de 0,30€ y un lote
anual constante de 600€, a repartir entre las obligaciones que se amortizan cada año.
¿Cuál sería la anualidad que amortizaría el empréstito si el lote aumentase en 50€ cada
año?
120.- Se emite un empréstito con las siguientes características:
- Número de títulos emitidos: 50.000.
- Valor nominal: 20€
- Pago del cupón anual: 0,60€
- Duración de la amortización: 5 años.
- Los títulos se amortizarán con una prima de 2€.
- Entre los títulos amortizados cada año, se rifará 6 lotes de 180€ cada uno.
a) Obtenga la anualidad constante que amortiza el empréstito.
b) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE de un suscriptor que compra dos
títulos que le son amortizados en el segundo año correspondiéndole premio a
uno de ellos.
c) Plantee también la ecuación que permite calcular el tanto de interés efectivo para
el emisor.
121.- Se emite un empréstito con las siguientes características: número de títulos
emitidos 2.000, nominal de cada título 600€, cupón anual de 24€ por título, amortización
a la par, los títulos amortizados cada año pierden el derecho al cobro del último cupón,
duración 5 años. Calcule la anualidad constante que amortiza el empréstito y el cuadro
de amortización.
122.- Se emite un empréstito con las siguientes características: número de títulos
emitidos 5.000, nominal de cada título 300€, cupón anual de 14€ por título, amortización
al 110%, los títulos amortizados cada año pierden el derecho al cobro del último cupón,
duración 5 años, gastos de emisión del 0,25% del nominal emitido. Calcule la anualidad
constante que amortiza el empréstito y el cuadro de amortización. Plantee la ecuación
del TAE para el emisor y para el suscriptor de tres títulos que le son amortizados dos en
el tercer sorteo y el otro en el último sorteo.
123.- Una entidad emite un empréstito a 10 años de 40.000 obligaciones de 60€
nominales, a un tanto de interés del 3%. Sabiendo que todos los años se amortiza el
mismo número de títulos y que los títulos amortizados cada año pierden el derecho al
último cupón, determine: a) El nº de obligaciones vivas al finalizar el sexto año. b)
Ecuación del tanto de interés efectivo para un obligacionista poseedor de dos títulos
que le son amortizados el segundo y cuarto año respectivamente.
124.- Construya el cuadro de amortización de un empréstito de 200.000 obligaciones
de 12€ nominales cada una, emitidas y amortizadas a la par. Se amortizan con
anualidades constantes en 4 años, pagando un cupón anticipado de 0,60€. Si se decide
amortizar todos los años el mismo número de títulos, ¿cuál será la cuantía de las
anualidades que se deberán abonar cada año?
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
125.- Se han emitido 100.000 obligaciones de 60€ nominales cada una, al 3,25% de
interés anual anticipado, que deberán amortizarse en cinco años, mediante
anualidades constantes. Calcule la cuantía anual destinada al pago de un lote, a
repartir entre las seis primeras obligaciones amortizadas cada año, para que el tanto
efectivo emisor resulte ser del 4,5%.
126.- Sea un empréstito con las siguientes características: Títulos emitidos 50.000;
nominal de cada título 30€; duración de la emisión tres años; abono de intereses en el
momento de la amortización al 3,25% anual. Obtenga el tanto de interés efectivo para
el emisor en los siguientes supuestos: a) Las anualidades que amortizan el empréstito
son constantes. b) Todos los años se amortiza el mismo número de títulos.
127.- Cierta sociedad emite un empréstito de 100.000 obligaciones de nominal 10€
cada una. Las características son: duración 6 años; abono de cupones anuales del 3%;
los gastos de administración anuales, a cargo del emisor, son del 1% sobre el pago de
los cupones y del 1’5% sobre los valores de reembolso. Calcule la anualidad constante
y el TAE emisor y el del conjunto de los suscriptores.
128.- Determínese el valor financiero de una obligación y su descomposición en valor
financiero del usufructo y de la nuda propiedad, transcurridos cinco años de la vida de
un empréstito con las siguientes características: Nº de títulos emitidos 10.000, nominal
de cada título 15€, duración de la operación 8 años y tanto anual constante del 3’5%,
en los siguientes casos: a) anualidad constante. b) Se amortizan el mismo número de
títulos cada año. El tanto de valoración es del 3% anual.
VALORES MOBILIARIOS
129.- Calcule la cantidad que tenemos que pagar al adquirir 225 obligaciones de 60 €
cada una, que cotizan al 115%, sabiendo que nos cobran el 0,2% de corretaje sobre el
efectivo de la compra.
130.- ¿Qué cantidad de títulos de 10 € nominales tendremos que comprar para
conseguir una renta mensual neta de 131,25 € sabiendo que estos valores producen
un interés anual del 3% liquidable mensualmente y hay una deducción del 18% en
concepto de impuestos? Si cotizan al 87%, ¿cuál es la rentabilidad efectiva neta de
estos títulos?
131.- El 15 de Noviembre se adquirieron 5.000 € nominales de Deuda amortizable al
2%, con el cupón del próximo vencimiento. La cotización seca en dicho día para estos
títulos es del 85%. Transcurridos 160 días, y después de haber cobrado el cupón del día
1 de Abril, son vendidas al cambio del 94,4%. Determine la rentabilidad de la operación
sabiendo que tanto en la compra como en la venta se ha pagado el 0,1% de corretaje
sobre el efectivo (cupones trimestrales coincidentes con los trimestres naturales).
132.- Hallar el número de títulos que se pueden comprar, la inversión que se realiza y
el sobrante no invertido si se dispone de 1.000 € y se quiere invertir en obligaciones de
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
10 € nominales con una rentabilidad efectiva neta del 5%. El corretaje y la comisión
suponen el 0,25% y los gastos fijos son de 0,60 €. Las obligaciones pagan un interés
anual de 0,50 € con deducción del 25%.
133.- Se compran obligaciones que rentan un 4,5% hasta obtener 4.500 € de renta, al
cambio del 115%. Este cambio baja a 98% y entonces se adquiere igual número de
valores. Calcule:
a) ¿A qué cambio deberán venderse todos los valores para no experimentar pérdidas?
b) ¿Que ganancias o pérdidas se tendrían si se venden todos los valores al 101%?
Téngase presente que en las transacciones se producen unos gastos de corretaje del
uno por mil y una comisión intermediaria sobre el nominal del 0,3%.
134.- ¿Cuantas acciones de 100 € nominales que cotizan al 240% y rentan un 5% anual
líquido habremos de pignorar para que nos concedan por 90 días un crédito de
aproximadamente 93.630 € líquidos, con un interés del 8% y cobrándonos el 0,25%
sobre el nominal del préstamo en concepto de gastos bancarios?
135.- Se pignoran 1.000 títulos de nominal 100 € que cotizan al 235% aplicando un
coeficiente reductor del 80%. La operación se concierta por seis meses a un interés
anticipado del 7% teniendo el prestatario unos gastos fijos de 30 € debido a la
operación realizada, gastos de corretaje del 0,3% sobre el efectivo pignorado y
comisión bancaria sobre el nominal del préstamo del 0,1%. Determine:
a) Préstamo concedido.
b) Líquido recibido.
c) Número de títulos a aportar a los dos meses si el cambio desciende hasta el cambio
de reposición.
d) ¿Qué reducción sufre el préstamo si sólo se aporta la mitad de títulos resultantes
del apartado anterior?
136.- Con 1.823,60 € adquirimos obligaciones que cotizan al 120%, corretaje sobre
efectivo 0,2%, gastos fijos de 2 €. A continuación pignoramos los valores en un banco
que cobra un interés anticipado del 7,5%, aplica un coeficiente reductor del 80%,
concede el préstamo a 120 días y cobra una comisión del 0,2% sobre el líquido de la
operación. Con el líquido obtenido compramos obligaciones de la misma clase, al
mismo cambio y con el mismo corretaje, gastos fijos de 2 €. Determine el interés
cobrado por las obligaciones si pagan un 10% con cupones trimestrales.
137.- Una sociedad amplía su capital en la proporción de una acción nueva a la par por
cada diez antiguas. Las acciones tiene un nominal de 100 €, y antes de la ampliación
cotizaban al cambio del 320%. Determine el valor del derecho de suscripción de los
antiguos suscriptores.
138.- Un señor posee 100 acciones de la sociedad Mathemática S.A. que cotizan al
110%. En este momento la sociedad amplía capital en la proporción de dos acciones
nuevas por cada cinco antiguas, al 95%. Este señor vende la mitad de los derechos de
suscripción y acude a la ampliación comprando todas las acciones que le
corresponden. ¿Qué importe recibirá por la venta de los derechos?. A continuación
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Relación de ejercicios. Curso 2019/20
pignora la totalidad de las acciones en un banco que cobra un interés del 8% y aplica
un coeficiente reductor del 80%. ¿Cuál será el líquido del préstamo solicitado por tres
meses?.
139.- Una sociedad hace dos ampliaciones de capital simultáneamente ofreciendo una
acción nueva gratis por cada cinco antiguas y tres nuevas a la par por cada diez
antiguas. Las antiguas se cotizaban antes de la ampliación a 220% y el nominal de las
acciones nuevas y antiguas es de 10 €. Determine el valor teórico de los derechos de
suscripción.
140.- Una sociedad hace tres ampliaciones de capital simultáneamente ofreciendo una
acción nueva gratis por cada tres antiguas, dos nuevas a la par por cada cinco antiguas
y tres nuevas a 12 € por cada siete antiguas. Las antiguas cotizaban antes de la
ampliación a 220% y el nominal de las acciones nuevas y antiguas es de 10 €.
Determine el valor teórico de los derechos de suscripción.
141.- La S.A. B amplía su capital con cargo a reservas entregando a los accionistas una
acción nueva por cada 75 antiguas. Las nuevas participarán de los beneficios de la
sociedad desde 1/7/2010 y la ampliación se realiza durante el mes de Marzo de 2008.
Se supone que las acciones viejas se han cotizado en bolsa a 307%. Los títulos son de
50 € nominales. La cotización al 28/2/2008 se estima que la diferencia por dividendo es
de 0,60 € por acción, cantidad que supone la percepción de dividendos de las antiguas
acciones en los meses que restan hasta mediados de año. Determine el valor teórico
del cupón.
142.- Una S.A. efectúa tres ampliaciones simultáneamente de la forma siguiente: 2
nuevas por cada 4 antiguas a la par, 2 nuevas por 8 antiguas a 120%, una gratis por
cada 10 antiguas. Las antiguas, que se cotizaban antes de la ampliación a 680%,
tendrán derecho a un dividendo de 0,5 € por acción al que no accederán las nuevas
igualándose después los derechos futuros. Calcule el valor de los derechos. El nominal
es de 50 €.
143.- Una sociedad hace dos ampliaciones de capital simultáneamente ofreciendo una
acción nueva gratis por cada tres antiguas y dos nuevas a la par por cada cinco
antiguas. Las acciones viejas percibirán un dividendo de 0,80 € al que no accederán las
nuevas que son gratis, igualándose después los derechos futuros. Las antiguas se
cotizaban antes de la ampliación a 220% y el nominal de las acciones nuevas y antiguas
es de 10 €. Determine el valor teórico de los derechos de suscripción.
144.- Un capitalista enterado de que en una sociedad va a efectuarse ampliación de
capital compra el 1 de Enero 100 acciones de 50 € nominales el cambio de 390% y
coloca en un banco, al 2% anual, el dinero necesario para comprar las acciones nuevas.
La ampliación se efectúa a la par el 1 de Julio a razón de una acción nueva por cada dos
antiguas, cargándose por gastos de emisión 1,2 € por cada una. Al final de dicho año
cobra un dividendo del 6% de las acciones viejas y del 3% de las nuevas. A final de año
vende todas las acciones al cambio de 370%. Determine el tanto por ciento de
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rentabilidad que le supuso el conjunto de estas operaciones respecto al capital que
movilizó el 1 de Enero.
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