Complejos teoría

COMPLEJOS
Introducción Histórica:
Aparecen los números complejos en el S.XVII en la resolución de ecuaciones
cuadradas con el discriminante menor a cero.
Los complejos fueron estudiados por Descartes (1556-1650), Cardan y Girad.
Las reglas a las que obedecieron fueron enunciadas por Euler en su obra
“Introducción al análisis centesimal “y más tarde por D´Alambert y Cauchy.
Pero fue en 1890 cuando el ingeniero americano Steimetz tuvo la idea de aplicar
los complejos a la electricidad en el estudio de la corriente alterna. Dio así un
empuje inaudito al estudio de dicha corriente. Más tarde y ya con el camino
abierto, los números complejos resultan vitales en el estudio matemático de los
circuitos de radio y electrónica en general.
Apuntes
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Introducción matemática del complejo imaginario ( i ):
Como ya se ha explicado nacen los números complejos ante la dificultad
planteada en la resolución de ecuaciones de segundo grado en las que el
discriminante, Δ, es menor que cero.
i=  1
x2 + 4 = 0 ⇢ x2 = - 4 ⇢ x =  4 ; x = 4(1) = 4.  1 ⇢ x = ± 2i
Significado geométrico de la unidad imaginaria ( i ):
Podemos decir que -1 es un operador que al aplicarlo a un vector nos lo gira 180°.
Nos preguntamos: ¿Qué operador giraría el vector 90° en origen positivo?
OA (-1) = OB
¿Operador?
OA. Operador = OC
OC. Operador = OB ⇢ OA. Operador. Operador = OB
OA. (Operador)2 = OB ⇢ OA (-1) = OB ⇢ (Operador)2= -1 ⇢ Operador = 1  i
Apuntes
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Definición de número complejo:
Se define número complejo como un par ordenado de números reales (a, b). Al
conjunto de los números complejos se le designa C y a sus elementos z1 y z2.
Al primer número del par, a, se le llama parte real, y al segundo, b, parte
imaginaria.
(a, 0) Es el número real a.
(0,b) Es el número imaginario puro b.
Complejos Conjugados:
Decimos que dos complejos son conjugados cuando teniendo idéntica parte
real, las partes imaginarias son iguales en valor absoluto pero cambiadas de
signo.
⇢ Complejos conjugados
(4,5)
(4, -5)
Complejos Opuestos:
Dos complejos son opuestos cuando teniendo iguales, en valor absoluto, sus
componentes, ambas tienen signos opuestos.
⇢ Complejos opuestos.
(4,5)
(-4,-5)
Complejo Nulo:
Es aquel cuyas componentes son nulas.
⇢ Complejo nulo.
(0,0)
Apuntes
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Representación gráfica de los números complejos. Plano complejo. Diagrama
de Argand:
Modulo de un complejo:
El modulo de un complejo es la distancia desde el afijo al origen del sistema de
referencia.
|z|= a 2  b 2
Suma de complejos:
Dados dos números complejos z1(a, b) y z2(c, d), definimos la suma de estos dos
complejos como:
z1 + z2 = (a + c, b + d)
La suma de complejos cumple la ley de composición interna.
Apuntes
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Propiedades de la suma de números complejos:
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro (0,0) actúa como elemento neutro.
Elemento simétrico u opuesto. Dado un complejo (a, b), su complejo
opuesto (-a, -b) actúa como elemento simétrico.
Como consecuencia de todas estas propiedades el conjunto de los números
complejos respecto de la suma tiene estructura de grupo abeliano.
(C, +) Grupo abeliano
Producto de números complejos:
Si z1 (a, b) y z2 (c, d), definimos el producto de z1 y z2 por:
z1. z2 = (ac - bd , ad + bc)
Es una ley de la composición interna.
Propiedades del producto de números complejos:
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro. Existe elemento neutro y es el (1,0)
(a, b). (1,0) = (a.1-b.0, a.0+b.1) = (a, b)
Elemento inverso. Cualquier complejo (a, b) menos el (0,0) posee
elemento inverso. El elemento inverso de (a, b) es:
b 
 a
, 2
 2
2
2 
a b a b 
Demuestre el alumno que dicho complejo actúa como elemento inverso en el
producto en su cuaderno de clase.
Como consecuencia de las propiedades que acabamos de ver, el conjunto de
los números complejos exceptuando el (0,0) respecto de la multiplicación,
tiene estructura de grupo abeliano.
(C*, x) Grupo abeliano
Apuntes
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Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
Dados tres números complejos z1, z2, z3:
z1 (z2+z3) = z1z2 + z1z3
La 2ª operación ( . ) es distributiva respecto la 1ª (+) es (C*, +) Grupo abeliano
y es (C*, (.) ) Grupo abeliano por lo que es (C*, +, .) Cuerpo.
Cociente de números complejos:
Para dividir el complejo (c,d) entre el complejo (a, b) se multiplicara el
a
b
complejo (c, d) por el inverso de (a, b), el ( 2 2 , − 2 2 ):
(c, d)(a, b)=(c, d). (
a
a2 +b2
,−
b
a2 +b2
a +b
a +b
)
En la práctica, para dividir dos números complejos, se multiplican el numerador
y denominador por el conjugado del denominador.
Producto de un número real por un número complejo:
Para multiplicar un número real por un número complejo se multiplican las dos
componentes del número complejo por el número real. Esta operación es una
ley de composición externa que cumple las siguientes cuatro propiedades:
1)
2)
3)
4)
λ (z1+z2) = λz1+λz2
z (λ +µ)=z λ +zµ
(λ µ)z= λ (µz)  λ, µ R
1 x z = z x 1= z
z, z1, z2  R
Espacio vectorial de los números complejos:
(C, +, . λ) Espacio vectorial sobre R
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Unidad imaginaria ( i ):
Vimos en la introducción que i era la  1 . Para saber qué número complejo es
i tendríamos que hallar un complejo que su cuadrado fuera -1.
Hay dos complejos que verifican esto, (0,1) y el (0,-1). También vimos que
giraba un vector 90° en sentido positivo, por lo tanto i será (0,1).
Potencias de la unidad imaginaria ( i ):
i0= 1
i1= i
i2= -1
i3= -i
i4= 1...
i5= i3.i2=-i.(-1)= i
i6= i3.i3= -1
i7= i4.i3= -i
i54= (i4)13.i2=i2=-1 ↷
Se divide el exponente de la i entre cuatro y el cociente es el exponente al que
hay que elevar i4 y el resto será el exponente al que hay que elevar otra i. Por lo
54
tanto = 13 de cociente y dos de resto luego será (i4)13 y se multiplica por i2.
4
Quedando por lo tanto 1.i2= -1.
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Forma binómica de un complejo:
(a, b)=(a, 0)+(0, b)=(a, 0)+b(0,1)= a+bi
Potencia de un complejo en forma binómica:
Binomio de Newton:
(a+b)n = (n0)an + (n1)an-1 .b + (n2)an-2 .b2 + ... + (nn)bn
(nm )= C n,m =
n!
0!=1
m!(n−m)!
(a+bi)n = (n0)an +(n1)an-1 .bi + (n2)an-2 .(bi)2 + ... + (nn)(bi)n
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … 1
Ejemplo:
𝐶5,3 =
5!
3!2!
=
5.4.3.2.1
3.2.1 2.1
= 10
Triangulo de Pascal o de Tartaglia:
1
1
Cuadrado
Cubo
Cuarta
Quinta
Apuntes
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
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Forma polar o forma modulo-argumental de un complejo:
Para representar el afijo de un número complejo, además de las coordenadas
cartesianas, podemos usar también las coordenadas polares. En estas coordenadas, un
punto vendrá dado por la distancia al origen que en nuestro caso será el modulo del
complejo y el ángulo α del eje polar que en nuestro caso será el argumento del
complejo.
|z| = m = R
α = argumento principal
z = 𝒎𝜶 → Forma polar
Forma trigonométrica de un número complejo:
z = a+bi
cos α =
sen α =
a
m
b
m
→ a=m cos α
→ b=m sen α
z= m cos α +m sen α i
z= m (cos α +i sen α) → Forma trigonométrica
Formas de expresar un complejo:
z = (a,b) → Forma cartesiana
z = a+bi → Forma binómica
z = 𝑚𝛼 → Forma polar
z = m (cos α +i sen α) → Forma trigonométrica
Apuntes
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Ejemplo:
(2𝑥 + 𝑦)54 → 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 53
54!
54 53
54
54
=
= 27.53 → 1431.4𝑥 2 𝑦 52 = 5724𝑥 2 𝑦 52
( ) (2𝑥 + 𝑦)54 → ( ) →
52
52
52! 2!
2
Igualdad de complejos en forma polar:
Para que dos complejos en forma polar sean iguales tienen que tener iguales sus
módulos y sus argumentos ser iguales o diferir un número completo de vueltas de
circunferencia.
360 n si α está en grados sexagesimales
2𝜋k si α está en radianes
Producto de complejos en forma polar:
Tengamos el complejo z = 𝑚𝛼 y el z´= 𝑚′𝛽 queremos saber lo que vale z. z´:
z = m (cos 𝛼 +i sen 𝛼)
z´= m´(cos 𝛽 +i sen 𝛽)
z. z´ = m m´ [cos 𝛼 .cos 𝛽 + i cos 𝛼 .sen 𝛽 + i sen 𝛼 . cos 𝛽 + i2 sen 𝛼 .sen 𝛽 ] ⇢
z. z´= m m´ [cos 𝛼 .cos 𝛽 - sen 𝛼 .sen 𝛽 + i ( sen 𝛼 .cos 𝛽 + cos 𝛼 .sen 𝛽) ⇢
z. z´= m m´ [cos (𝛼 +𝛽)+i sen (𝛼 +𝛽) ⇢
z. z´= (𝒎 𝒎´)(𝜶+𝜷)
Apuntes
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Cociente de complejos en forma polar:
Tengamos el complejo z = 𝑚𝛼 y el z´= 𝑚′𝛽 queremos saber lo que vale z/ z´:
z = m (cos 𝛼 + i sen 𝛼)
z´= m´ (cos 𝛽 + i sen 𝛽)
𝑧
𝑧´
=
=
=
𝒛
𝒛´
=
𝑚
𝑚´
𝑚
𝑚´
𝑚
𝑚´
𝑚
𝑚´
[
[
[
(𝑐𝑜𝑠 𝛼 +𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
(𝑐𝑜𝑠 𝛽 +𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽)
]=
𝑚
𝑚´
[
(𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼) (𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽)
(𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽) (𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽)
(𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑖𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 +𝑖𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 −𝑖 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽)
(𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 𝑖 2 𝑠𝑒𝑛2 𝛽)
(𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽) + 𝑖 (𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽)
1
]=
]=
]=
[ cos (𝛼 + 𝛽)+i sen (𝛼 + 𝛽)] ⇢
𝒎
= [ ] (𝜶 – 𝜷)
𝒎´
Potencia de un complejo en forma polar:
Para elevar un número complejo a una potencia, el modulo se eleva a la potencia y el
argumento tantas veces como indique el exponente.
z = 𝑚𝛼 ⇢ zn = (𝑚𝛼 )n = 𝑚𝛼 . 𝑚𝛼 . 𝑚𝛼 . 𝑚𝛼 . 𝑚𝛼 ... n veces =
= (m. m. m. m . . . n veces) (
Apuntes
𝛼+𝛼+𝛼+𝛼 ... n veces)
⇢ zn = 𝑚𝑛𝑛𝛼
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Formula de Moivre:
z = 𝑚𝛼 ⇢ zn = 𝑚𝑛𝑛𝛼 = mn (cos n 𝛼 +i sen n 𝛼)
z = 𝑚𝛼 ⇢ z = m (cos 𝛼 +i sen 𝛼) ⇢ zn = mn (cos 𝛼 +i sen 𝛼)n
mn (cos n 𝛼 +i sen n 𝛼) = mn (cos 𝛼 +i sen 𝛼)n
(cos n 𝛼 +i sen n 𝛼) = (cos 𝛼 +i sen 𝛼)n
(cos n 𝛼 +i sen n 𝛼) = (cos 𝛼 +i sen 𝛼)n Formula de Moivre
Raíz enésima de un complejo en forma polar:
𝑛
z = 𝑚𝛼 √𝑧 = 𝑛√𝑚𝛼 = Mβ
mα = (Mβ )n = 𝑀𝑛𝑛𝛽
Elevamos a n
𝑚𝛼 = 𝑀𝑛𝑛𝛽
Módulos ⇢ m = Mn ⇢ M = √𝑚
𝑛
Argumentos n𝛽 = 𝛼 + 360k ⇢ 𝛽 =
(𝛼 + 360k)
𝑛
k = 0, k = 1 ... k = n-1
Raíz cuadrada de un complejo en forma polar.
Haciendo en el caso anterior n= 2 obtenemos que el módulo de la raíz cuadrada será la
raíz cuadrada del módulo y el argumento al tomar k los valores 0 y 1 serán /2 y
  360 k
2
Apuntes


2
 180
.
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