Taller de Matemáticas Tercera Lista de Ejercicios Para entregar el dı́a 17 de Noviembre de 2020 Nota: En este ejercicio se trata de construir una Pequeña Teorı́a Geométrica en la que se deben demostrar varios resultados de dicha teorı́a. El objetivo que se persigue es que el estudiante refuerce lo aprendido en la primera unidad del curso en lo que se refiere al uso de los principios de la loǵica simbólica y las varias formas de demostrar verdades matemáticas. 1. A manera de introducción Desde Tales de Mileto (∼ 624 a. C. — ∼ 547 a. C.), se ve muy claro el camino que los antiguos griegos trazaron para las matemáticas: En toda teorı́a1 matemática se debe partir de ciertos principios básicos que se suponen verdaderos de antemano, los llamados axiomas o postulados de la teorı́a, de manera tal que la demostración de cualquier verdad matemática que forma parte de dicha teorı́a (teoremas, lemas, corolarios, etc.), se deriva de sus axiomas y sigue las reglas de inferencia de la lógica simbólica (lógica matemática). En las teorı́as matemáticas modernas, aparte de los axiomas que las caracterizan, se especifican ciertos términos técnicos indefinidos, los llamados términos primitivos, los cuales no es posible definir dentro de la propia teorı́a y su significado sólo puede inferirse de los axiomas de la misma. Por ejemplo, en la Geometrı́a Plana, los términos primitivos son: punto, lı́nea y plano; en la Teorı́a de Conjuntos, los términos primitivos son: elemento, conjunto y “es elemento de” (este último término se abrevia por medio del sı́mbolo ∈). 2. Una Pequeña Teorı́a Geométrica En esta parte se establecen los términos primitivos y los axiomas de nuestra pequeña teorı́a geométrica. De ellos se deberán deducir, por medio de las reglas de la inferencia lógica, varios resultados que darán forma a esta teorı́a. También debemos apelar a la noción intuitiva que el lector tiene del concepto de conjunto. Nota: Debemos recomendar al lector que no les otorgue significado alguno a los términos primitivos que se especifican en lo que sigue. Igualmente, le sugerimos no equipararlos con los familiares términos punto y lı́nea de la geometrı́a plana. 1 En el contexto de las Ciencias Exactas y las Ciencias Naturales, el término teorı́a tiene un significado distinto del que se usa habitualmente en el lenguaje coloquial. En las ciencias duras, una teorı́a es un conjunto organizado de conocimientos bien establecidos y coherentes que le dan forma a la misma, y que se deducen a través de la observación, de la experimentación, o bien, por medio del razonamiento lógico. Dicho conjunto sistematizado de conocimientos puede explicar aquellos fenómenos naturales relacionados con esa teorı́a, ası́ como predecir su ocurrencia, dos aspectos que son fundamentales para probar la validez de ésta. Asimismo, los hechos que se deducen lógicamente de los principios y postulados de una teorı́a conforman un conjunto de verdades que definen dicha teorı́a. 1 Términos Primitivos: • Punto • Lı́nea Definición 1 Si un punto p es un elemento de un conjunto que constituye una lı́nea L (ver Axioma 1), diremos indistintamente que: • L contiene a p, • p se encuentra sobre L, • p pertenece a la lı́nea L, o bien, que • L es una lı́nea que contiene al punto p. Definición 2 Se dice que dos lı́neas L1 y L2 son paralelas si no existe punto alguno que pertenezca a las lı́nea L1 y L2 , simultáneamente. En este caso, también deiremos que L1 es paralela a L2 , o viceversa (ver Axioma 5). Axiomas: Axioma 1 Toda lı́nea es un conjunto de puntos. Axioma 2 Existen por lo menos dos puntos. Axioma 3 Si p y q son puntos, entonces existe una y sólo una lı́nea que contiene a p y a q. Axioma 4 Si L es una lı́nea, entonces existe un punto que no está en L. Axioma 5 Si L es una lı́nea y p es un punto que no pertenece a L, entonces existe una y sólo una lı́nea que contiene a p y es paralela a L. 3. Resultados de la Pequeña Teorı́a Geométrica En esta parte, se deben demostrar los resultados que se enuncian a continuación, de forma detallada y enumerando cada uno de los pasos de la demostración, . Teorema 1 Todo punto se encuentra, al menos, en dos lı́neas distintas. 2 Corolario (al Teorema 1) Toda lı́nea contiene, por lo menos, un punto. Teorema 2 Toda lı́nea contiene, por lo menos, dos puntos. Corolario (al Teorema 2) Toda lı́nea está completamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos que sean distintos. Teorema 3 Existen, por lo menos, cuatro puntos distintos. Teorema 4 Existen, por lo menos, seis lı́neas distintas. 4. Modelos para nuestra teorı́a ¿Serı́a posible que el lector pudiera hacer realidad esta Pequeña Teorı́a Geométrica por medio de algún modelo que sea tangible? 3