Formulario de Precálculo.
1.
5. Leyes de los logaritmos.
a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)
P
b) loga
= loga (P ) − loga (Q)
Q
Los Números.
1. Leyes de los exponentes y radicales.
m n
a) a a = a
d)
a n
b
g) a1/n
j)
m+n
m n
b) (a ) = a
n
mn
c) loga (Qn ) = n loga (Q)
n
c) (ab) = a b
m
a
bn
√
= na
a
= am−n
an
√
h) am/n = n am
r
√
n
a
a
k) n = √
n
b
b
=
e)
√
√ √
n
n
ab = n a b
n n
d ) aloga (x) = x
1
an
√ m
= ( n a)
f ) a−n =
e) loga (ax ) = x
i) am/n
f ) loga (1) = 0
l)
p√
m
n
a=
g) aloga (a) = 1
√
a
mn
h) log(x) = log10 (x)
2. Productos Notables.
i) ln(x) = loge (x)
2
a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
2
2
2
b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y
j ) Cambio de base:
2
c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
loga (Q) =
logb (Q)
logb (a)
2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas
2
d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2
2
e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2
3
f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
3
g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3
a) La Ecuación Cuadrática: ax2 + bx + c = 0 tiene
soluciones:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
2
El número b −4ac se llama discriminante de la ecuación.
i) Si b2 − 4ac > 0 las raı́ces son reales y diferentes.
ii) Si b2 − 4ac = 0 las raı́ces son reales e iguales.
iii) Si b2 − 4ac < 0 las raı́ces son complejas conjugadas.
4
h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4
5
j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5
k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
(x + y)n =
n X
n n−r r
x
y
r
r=0
b) Para la Ecuación Cúbica: x3 + ax2 + bx + c = 0
sean:
n
n!
Nota:
= n Cr =
r!(n − r)!
r
3b − a2
9ab − 27c − 2a3
,
R=
9
54
q
q
p
p
3
3
S = R + Q3 + R 2 ,
T = R − Q3 + R 2
Q=
4. Factores Notables.
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y)
b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 )
3
3
2
Entonces las soluciones son:
a
x1 =S + T −
3
S+T
a
x2 = −
+
+
2
3
S+T
a
x3 = −
+
−
2
3
2
c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2
e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y)
f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2
g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2
i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4
j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4
k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2
m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2
1
√ !
(S − T ) 3
i
2
√ !
(S − T ) 3
i
2
El número Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuación.
i) Si Q3 + R2 > 0, hay una raı́z real y dos son complejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las raı́ces son reales y por lo menos dos son iguales.
iii) Si Q3 + R2 < 0, las raı́ces son reales y diferentes.
3.
Funciones Trigonométricas.
3.1.
Relaciones
nométricas.
csc(A) =
entre
1
sen(A)
Funciones
cos3 (A) =
1
sec(A) =
cos(A)
sec (A) − tan (A) = 1
sen(A)
cos(A)
csc2 (A) − cot2 (A) = 1
tan(A) =
1
2
cos2 (A) =
1
2
3
sen (A) =
4.
3
4
−
1
2
+
1
2
sen5 (A) =
5
8
sen(A) −
5
16
sen(3A) +
1
16
sen(5A)
cos5 (A) =
5
8
cos(A) +
5
16
cos(3A) +
1
16
cos(5A)
cos(2A) +
sen(A) −
cos(4A)
2
3.3.
Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonométricas.
sen(A) + sen(B) = 2 sen
A+B
2
sen(A) − sen(B) = 2 sen
A−B
2
cos(A) + cos(B) = 2 cos
A+B
2
cos(A) − cos(B) = 2 sen
A+B
2
sen(A) sen(B) =
1
2
cos(A) cos(B) =
1
2
sen(A) cos(B) =
1
2
cos(2A)
1
4
1
8
+
cos(2A)
sen(3A)
cos
A−B
2
cos
A+B
2
cos
A−B
2
sen
B−A
2
cos(A − B) − cos(A + B)
sen(A − B) + sen(A + B)
cos(A − B) + cos(A + B)
Funciones Hiperbólicas.
Seno hiperbólico de x = senh(x) =
ex − e−x
2
Coseno hiperbólico de x = cosh(x) =
Cosecante hiperbólica de x = csch(x) =
ex + e−x
2
Tangente hiperbólica de x = tanh(x) =
4.1.
1
2
3
8
Potencias de Funciones Trigonométricas.
sen2 (A) =
cos(3A)
cos4 (A) =
cos(A)
1
=
cot(A) =
sen(A)
tan(A)
3.2.
1
4
cos(A) +
3
1
1
4
Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
sen2 (A) + cos2 (A) = 1
2
3
4
Secante hiperbólica de x = sech(x) =
ex − e−x
ex + e−x
2
ex − e−x
2
ex + e−x
Cotangente hiperbólica de x = coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
Relación entre las Funciones Hiperbólicas.
tanh(x) =
coth(x) =
senh(x)
cosh(x)
1
cosh(x)
=
tanh(x)
senh(x)
sech(x) =
1
cosh(x)
cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
sech2 (x) + tanh2 (x) = 1
1
csch(x) =
senh(x)
coth2 (x) − csch2 (x) = 1
2
Formulario de Cálculo.
Funciones Trigonométricas:
Derivadas.
En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x),
u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x.
Fórmulas Básicas:
Función:
Su Derivada:
f =k
f′ = 0
Función:
Su Derivada:
f = sen(u)
f ′ = cos(u) · u′
f = cos(u)
f ′ = − sen(u) · u′
f = tan(u)
f ′ = sec2 (u) · u′
f = csc(u)
f ′ = − csc(u) cot(u) · u′
f = sec(u)
f ′ = sec(u) tan(u) · u′
f = cot(u)
f ′ = − csc2 (u) · u′
Linealidad de la derivada:
f =k·u
f ′ = k · u′
f =u±v
f ′ = u′ ± v ′
f =k·u±c·v
′
′
f =k·u ±c·v
Funciones Trigonométricas Inversas:
Función:
f = arc cos(u)
u′
;
f′ = −√
1 − u2
f = arctan(u)
f′ =
f = arccsc(u)
u′
f′ = − √
u u2 − 1
f = arcsec(u)
u′
;
f′ = √
u u2 − 1
f = arccot(u)
f′ = −
′
Regla del Producto:
f =u·v
f = arc sen(u)
Su Derivada:
u′
f′ = √
; |u| < 1
1 − u2
f ′ = u · v ′ + v · u′
Regla del Cociente:
u
f=
v
v · u′ − u · v ′
f′ =
v2
Regla de la Cadena (Composición de funciones)
f = u(x) ◦ v(x)
f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x)
Regla de la Potencia:
f = vn
f ′ = n · v n−1 · v ′
f = k · vn
f ′ = k · n · v n−1 · v ′
f ′ = eu · u ′
f = au
f ′ = au · ln(a) · u′
Funciones Logarı́tmicas:
f = ln(u)
f = loga (u)
u′
f =
u
′
f′ =
u′
1 + u2
u′
;
1 + u2
|u| > 1
|u| > 1
Funciones Hiperbólicas:
Funciones Exponenciales:
f = eu
|u| < 1
u′
u · ln(a)
Una Función elevada a otra Función:
v · u′
v
′
v
′
f =u
f = u v · ln(u) +
u
3
Función:
Su Derivada:
f = senh(u)
f ′ = cosh(u) · u′
f = cosh(u)
f ′ = senh(u) · u′
f = tanh(u)
f ′ = sech2 (u) · u′
f = csch(u)
f ′ = −csch(u) coth(u) · u′
f = sech(u)
f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′
f = coth(u)
f ′ = −csch2 (u) · u′
Funciones Hiperbólicas Inversas:
17)
Función:
Su Derivada:
18)
f = arcsenh(u)
u′
f = √
1 + u2
19)
f = arccosh(u)
f = arctanh(u)
f = arccsch(u)
f = arcsech(u)
f = arccoth(u)
′
u′
f′ = √
;
u2 − 1
f′ =
′
u
;
1 − u2
f′ = −
20)
′
u
√
;
|u| 1 + u2
u′
f =
;
1 − u2
22)
|u| < 1
u′
f′ = − √
;
u 1 − u2
′
21)
|u| > 1
23)
u 6= 0
24)
25)
0<u<1
26)
|u| > 1
Fórmulas Básicas.
2)
0dx = C
R
kdx = kx + C
R
R
(k · u ± w · v)dx = k udx + w vdx + C
R
n+1
para n 6= −1.
4) Regla de la potencia un du = un+1
R u
5) Regla exponencial e du = eu
R
6) Regla logarı́tmica ln |u| du = u ln |u| − u
3)
7)
8)
R
R
u
37)
38)
39)
= ln |u| + C
40)
Trigonométricas.
9)
R
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
R
sec u tan udu = sec u
cot2 udu = − cot u − u
sen2 udu =
u
2
−
sen 2u
4
= 12 [u − sen u cos u]
R
cos2 udu =
u
2
+
sen 2u
4
= 12 [u + sen u cos u]
R
csc u cot udu = − csc u
R
senh udu = cosh u
R
tanh udu = ln[cosh u]
R
cosh udu = senh u
R
coth udu = ln[senh u]
R
Integrales con au + b.
au
au du =
+C
ln(a)
R du
R
R
sechudu = sen−1 [tanh u] = 2 tan−1 [eu ]
R
28) cschudu = ln tanh u2 = −2 coth−1 [eu ]
R
29) sech2 udu = tanh u
R
30) csch2 udu = − coth u
R
31) tanh2 udu = u − tanh u
R
32) coth2 udu = u − coth u
R
33) senh2 udu = senh4 2u − u2 = 21 [senh u cosh u − u]
R
34) cosh2 udu = senh4 2u + u2 = 21 [senh u cosh u + u]
R
35) sechu tanh udu = −sechu
R
36) cschu coth udu = −cschu
27)
En este formulario: k, w, C ∈ R son constantes reales, u = u(x)
y v = v(x) son funciones que dependen de x.
R
tan2 udu = tan u − u
Hiperbólicas.
Integrales.
1)
R
41)
sen udu = − cos u
R
cos udu = sen u
R
tan udu = ln[sec u] = − ln[cos u] + C
R
cot udu = ln sen u
R
sec udu = ln[sec u + tan u] = ln tan u2 + π4
R
csc udu = ln[csc u − cot u] = ln tan u2
R
sec2 udu = tan u
R
csc2 udu = − cot u
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
4
R
du
au+b
=
1
a
ln (au + b)
R
udu
au+b
=
u
a
−
R
u2 du
au+b
=
(au+b)2
2a3
R
u3 du
au+b
=
(au+b)3
3a4
R
du
u2 (au+b)
1
b
b
a2
ln (au + b)
−
−
R
du
u(au+b)
R
du
(au+b)2
=
−1
a(au+b)
R
udu
(au+b)2
=
b
a2 (au+b)
R
u2 du
(au+b)2
=
au+b
a3
R
du
u(au+b)2
R
du
u2 (au+b)2
R
du
(au+b)3
=
ln
=
=
−
1
b(au+b)
a
b2
+
ln
1
a2
+
1
b2
−
b2
a3
+
au+b
u
ln (au + b)
3b2 (au+b)
a4
−
b3
a4
ln (au + b)
b2
a3 (au+b)
−a
b2 (au+b)
−1
2(au+b)2
+
3b(au+b)2
2a4
u
au+b
1
= − bu
+
=
2b(au+b)
a3
ln
1
b2 u
−
2b
a3
ln (au + b)
u
au+b
+
2a
b3
ln
au+b
u
ln (au + b)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
R
R
R
R
R
R
R
udu
(au+b)3
=
−1
a2 (au+b)
+
b
2a2 (au+b)2
u2 du
(au+b)3
=
2b
a3 (au+b)
−
b2
2a3 (au+b)2
57)
58)
59)
60)
n
(au + b) du =
(au+b)n+1
(n+1)a
61)
n
u (au + b) du =
n
u2 (au + b) du =
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
−
(au+b)n+3
(n+3)a3
b(au+b)n+1
(n+1)a2
−
√
2
√u du
au+b
=
2(3a2 u2 −4ab u+8b2 ) √
au
15a3
R
√du
u au+b
u2
=
√du
au+b
=−
√1
b
ln
√2
−b
√
R
77)
78)
+b
tan−1
au+b
bu
81)
+b
82)
√ √au+b−√b
au+b+ b
√
a
2b
−
2(3au−2b)
15a2
q
R
83)
au+b
−b
84)
√du
u au+b
85)
86)
q
3
(au + b)
87)
q
√
2(15a2 u2 −12ab u+8b2 )
u au + b du =
(au + b)3
105a3
2
√
√
au+b
du
u
au+b
u2 du
m
√u
du
au+b
um
du
√
au+b
√
R
= 2 au + b + b
=−
=
√
au+b
u
√
2um au+b
(2m+1)a
√
a
2
−
R
89)
√du
u au+b
2mb
(2m+1)a
au+b
= − (m−1)bu
m−1 −
m
88)
√du
u au+b
√
√
um au + bdu =
√
+
2u
(2m+3)a (au
R
90)
um−1
√
du
au+b
(2m−3)a R
(2m−2)b
91)
du
√
um−1 au+b
92)
+ b)3/2
R m−1 √
2mb
− (2m+3)a
u
au + bdu
√
au+b
um du
au+b
= − (m−1)u
m−1 +
au+b
um du
=
−(au+b)3/2
(m−1)bum−1
−
a
2(m−1)
(2m−5)a
(2m−2)b
R
R
2(au+b)(m+2)/2
a(m+2)
R
(au + b)m/2 du =
R
u2 (au + b)m/2 du =
R
(au+b)m/2
du
u
=
(au+b)m/2
du
u2
= − (au+b)bu
R
du
u(au+b)m/2
R
R
u(au + b)m/2 du =
2(au+b)(m+4)/2
a2 (m+4)
2(au+b)(m+6)/2
a3 (m+6)
4b(au+b)(m+4)/2
a3 (m+4)
−
2b2 (au+b)(m+2)/2
a3 (m+2)
+
2(au+b)m/2
m
(au+b)(m−2)/2
du
u
R
+b
(m+2)/2
=
2b(au+b)(m+2)/2
a2 (m+2)
−
+
ma
2b
2
b(m−2)(au+b)(m−2)/2
+
1
b
u2
u2 +a2
(au+b)m/2
du
u
R
du
u(au+b)(m−2)/2
R
Integrales con u2 + a2 .
80)
√
R√
2 (au+b)3
au + b du =
3a
R
76)
79)
R
R
75)
au + b.
2(au−2b) √
au
3a2
R
b2 (au+b)n+1
(n+1)a3
u (au + b) du =
um+1 (au+b)n
R m
n−1
nb
+ m+n+1
u (au + b)
du
m+n+1
m
R m−1
n
u (au+b)n+1
mb
=
− (m+n+1)a
u
(au + b) du
(m+n+1)a
R m
−um+1 (au+b)n+1
+ m+n+2
u (au + b)n+1 du
(n+1)b
(n+1)b
=
R
+
74)
n
m
√udu
au+b
R
para n 6= −1, −2
2b(au+b)n+2
(n+2)a3
√
2 au+b
a
R
72)
para n 6= −1, −2, −3
R √
62) u au + b du =
63)
(au+b)n+2
(n+2)a2
=
R
ln (au + b)
para n 6= −1
√ du
au+b
R
1
a3
73)
R
R
+
(au+b)2
2a
(au + b) du =
Integrales con
56)
71)
93)
94)
du
√
um−1 au+b
√
au+b
um−1 du
95)
5
R
du
u2 +a2
=
1
a
tan−1
R
udu
u2 +a2
=
1
2
ln u2 + a2
R
u2 du
u2 +a2
= u − a tan−1
R
u3 du
u2 +a2
=
u2
2
−
R
du
u(u2 +a2 )
=
1
2a2
R
du
u2 (u2 +a2 )
= − a21u −
R
du
u3 (u2 +a2 )
= − 2a21u2 −
R
du
(u2 +a2 )2
=
u
2a2 (u2 +a2 )
R
udu
(u2 +a2 )2
=
−1
2(u2 +a2 )
R
u2 du
(u2 +a2 )2
=
−u
2(u2 +a2 )
+
1
2a
R
u3 du
(u2 +a2 )2
=
a2
2(u2 +a2 )
+
1
2
R
R
R
du
u
a
ln u2 + a2
ln
u2
u2 +a2
1
a3
u
a
tan−1
1
2a4
+
1
=
u(u2 +a2 )2
a2
2
u
a
2a2 (u2 +a2 )
du
u2 (u2 +a2 )2
= − a41u −
du
u3 (u2 +a2 )2
= − 2a41u2 −
ln
1
2a3
ln(u2 + a2 )
+
1
2a4
ln
u
2a4 (u2 +a2 )
=
2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1
R
udu
(u2 +a2 )n
=
−1
2(n−1)(u2 +a2 )n−1
R
um du
(u2 +a2 )n
R
du
u(u2 +a2 )n
du
u
=
=
um (u2 +a2 )n
=
um−2 du
(u2 +a2 )n−1
1
a2
R
u2
(u2 +a2 )
− a2
du
R
3
2a5
−
+
1
2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1
R
1
2a4 (u2 +a2 )
du
R
u
a
tan−1
(u2 +a2 )n
R
u
a
tan−1
tan−1
1
a6
ln
2n−3
(2n−2)a2
+
um (u2 +a2 )n−1
−
1
a2
R
R
u
a
u2
u2 +a2
du
(u2 +a2 )n−1
du
u(u2 +a2 )n−1
um−2 du
(u2 +a2 )n
−
1
a2
R
du
um−2 (u2 +a2 )n
Integrales con u2 − a2 .
96)
97)
98)
99)
R
R
R
R
100)
101)
102)
103)
104)
105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
112)
113)
114)
du
u2 −a2
=
udu
=
u2 −a2
u2 du
u2 −a2
u3 du
u2 −a2
R
R
1
2a
ln
1
2
u−a
u+a
122)
= − a1 coth−1
=
du
u(u2 −a2 )
R
du
u3 (u2 −a2 )
R
udu
(u2 −a2 )2
R
du
(u2 −a2 )2
R
u2 du
(u2 −a2 )2
3
+
1
2a2
=
du
u2 (u2 −a2 )
a2
2
=
2
ln u − a
2 2
ln u u−a
2
+
1
2a2 u2
=
125)
2
1
a2 u
1
2a3
−
−u
2a2 (u2 −a2 )
=
−1
2(u2 −a2 )
=
−u
2(u2 −a2 )
=
−a
2(u2 −a2 )
ln
1
2a4
=
ln
+
1
4a
+
1
2
127)
ln
2
u
u2 −a2
du
u2 (u2 −a2 )2
= − a41u −
R
du
u3 (u2 −a2 )2
= − 2a41u2 −
R
du
(u2 −a2 )n
=
−u
2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1
R
udu
(u2 −a2 )n
=
−1
2(n−1)(u2 −a2 )n−1
R
R
R
du
u(u2 −a2 )n
um du
(u2 −a2 )n
du
um (u2 −a2 )n
ln
u
2a4 (u2 −a2 )
um−2 du
(u2 −a2 )n−1
=
1
a2
R
+ a2
R
131)
132)
u2
u2 −a2
3
4a5
+
ln
1
a6
133)
ln
2n−3
(2n−2)a2
−
1
a2
R
u−a
u+a
R
+
1
a2
u2
u2 −a2
du
(u2 −a2 )n−1
du
116)
117)
118)
119)
120)
121)
R
R
R
R
R
R
R
udu
a2 −u2
= − 21 ln(a2 − u2 )
a+u
= −u + a2 ln a−u
u du
a2 −u2
u3 du
a2 −u2
ln
2
= − u2 −
du
u(a2 −u2 )
=
1
2a2
a+u
a−u
=
2
1
2a
du
a2 −u2
1
a
tanh−1
R
du
um (u2 −a2 )n−1
=
du
u3 (a2 −u2 )
= − 2a21u2 +
+
1
2a3
ln
1
2a4
a+u
a−u
ln
u2 du
(a2 −u2 )2
=
u
2(a2 −u2 )
−
1
4a
R
u3 du
(a2 −u2 )2
=
a2
2(a2 −u2 )
+
1
2
R
du
u(a2 −u2 )2
= − a41u +
R
du
u3 (a2 −u2 )2
= − 2a41u2 +
dx
(a2 −x2 )n
=
x
2(n−1)a2 (a2 −x2 )n−1
R
xdx
(a2 −x2 )n
=
1
2(n−1)(a2 −x2 )n−1
R
R√
u2 + a2 du =
√
a+u
a−u
a+u
a−u
u2 (a2 −u2 )2
R
du
ln
ln
ln(a2 − u2 )
2 + 2a14 ln a2u−u2
1
2a2 (a2 −u2 )
=
1
4a3
+
u
2a4 (a2 −u2 )
+
1
2a4 (a2 −u2 )
3
4a5
+
ln
1
a6
ln
2n−3
(2n−2)a2
+
a+u
a−u
R
u2 + a2 .
√
u u2 +a2
2
+
a2
2
ln u +
√
u 2 + a2
3/2
√
√
2
u(u2 +a2 )
2
2
u2 u2 + a2 du =
− a u 8u +a
4
√
4
− a8 ln u + u2 + a2
R
R
R
2
√u du
u2 +a2
=
3
√u du
u2 +a2
=
−
a2
2
ln u +
(u2 +a2 )
3
= − a1 ln
√du
u2 +a2
=−
√
u 2 + a2
√
− a2 u 2 + a2
√
3/2
√ du
u u2 +a2
u2
√
u u2 +a2
2
143)
R
147)
148)
149)
6
R
u3
√
√
√du
u2 +a2
=−
a+ u2 +a2
u
√
u2 +a2
a2 u
√
u2 +a2
2a2 u2
√
u2 +a2
u
√
2
2
− u2u+a
2
u2 +a2
du
u2
=−
u2 +a2
du
u3
=
R
du
(u2 +a2 )3/2
=
R
udu
(u2 +a2 )3/2
=
√ −1
u2 +a2
R
u2 du
(u2 +a2 )3/2
=
√ −u
u2 +a2
R
u3 du
(u2 +a2 )3/2
=
R
du
u(u2 +a2 )3/2
a2
√
=
√u
u2 +a2
+
√
+ ln u + u2 + a2
√
2
2
1
− 2a
ln a+ uu +a
u 2 + a2 +
a2
1
2a3
+ ln u +
√1
u2 +a2
√
u 2 + a2
2
√ a
u2 +a2
−
1
a3
ln
dx
(a2 −x2 )n−1
3/2
R √
(u2 +a2 )
u u2 + a2 du =
3
R
u2
a2 −u2
√
2
2
ln a+ uu +a
√
√
R √u2 +a2
2 + a2 − a ln a+ u2 +a2
142)
du
=
u
u
u
u
a
u2
a2 −u2
R
R
146)
1
2(a2 −u2 )
141)
145)
=
R
140)
u
a2 −u2
du
u2 (a2 −u2 )
udu
(a2 −u2 )2
137)
144)
ln(a2 − u2 )
2 R
R
139)
a2
2
ln
1
a2 u
=
u
2a2 (a2 −u2 )
134)
138)
u(u2 −a2 )n−1
Integrales con a2 − u2 , u2 < a2 .
115)
=
5/2
3/2
√
a2 (u2 +a2 )
(u2 +a2 )
u3 u2 + a2 du =
−
5
3
√
R
= ln u + u2 + a2 = senh−1 ua
135) √udu
2 +a2
√
R
136) √uudu
= u 2 + a2
2 +a2
um−2 du
(u2 −a2 )n
du
um−2 (u2 −a2 )n
du
(a2 −u2 )2
Integrales con
2
−
−
2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1
R
1
2a4 (u2 −a2 )
−1
=
=
1
2a4
130)
ln u2 − a
+
129)
u−a
u+a
u−a
u+a
R
−1
2a2 (u2 −a2 )
=
ln
u du
(u2 −a2 )2
du
u(u2 −a2 )2
128)
u−a
u+a
1
4a3
−
126)
R
R
123)
124)
ln u2 − a2
= u + a2 ln u−a
u+a
u2
2
u
a
R
√
a+ u2 +a2
u
150)
151)
152)
153)
154)
155)
156)
157)
R
R
R
R
R
du
u2 (u2 +a2 )3/2
=−
du
u3 (u2 +a2 )3/2
=
u2 + a
2 3/2
2
u u +a
u2 u2 + a
R (u2 +a2 )3/2
u
R (u2 +a2 )3/2
u2
R (u2 +a2 )3/2
u3
159)
160)
161)
162)
163)
164)
165)
166)
167)
168)
169)
170)
R
R
R
R
R
R
R
a4
−1
√
2a2 u2 u2 +a2
−
3
2a5
du =
2 3/2
√
a+ u2 +a2
u
R
R
174)
√
3a u u2 +a2
8
2 3/2
)
2
du
−
175)
176)
5
2 5/2
2
2
du =
(u2 +a2 )
3
177)
2 3/2
u(u +a )
a u(u +a )
=
−
6
24
√
√
4
6
2
2
a u u +a
− a16 ln u + u2
16
2
+
√
+ a2 u 2 + a2
√
a2
178)
179)
a+ u2 +a2
u
− a3 ln
√
(u2 +a2 )3/2
2
180)
2
+ 3u u2 +a
u
√
+ 32 a2 ln u + u2 + a2
du = −
du = −
(u2 +a2 )
− 32 a ln
√
=
√
u u2 −a2
2
=
(u2 −a2 )
+
3/2
3
u2
√du
u2 −a2
=
u3
√du
u2 −a2
=
sec−1
√
√
u 2 + a2
182)
√
a+ u2 +a2
u
183)
184)
u2 −a2
2a2 u2
a2
2
185)
ln u +
√
u 2 − a2
u
a
186)
+
187)
188)
1
2a3
√
u u2 −a2
2
sec−1
−
a2
2
u
a
ln u +
189)
√
u 2 − a2
190)
191)
3/2
√
√
2
u(u2 −a2 )
2
2
u u2 − a2 du =
+ a u 8u −a
4
√
4
− a8 ln u + u2 − a2
192)
2
5/2
√
(u2 −a2 )
u u2 − a2 du =
+
5
3
√
u2 −a2
du
u
√
u2 −a2
du
u2
a2 (u2 −a2 )
3
√
= u2 − a2 − a sec−1
=−
√
u2 −a2
u
+ ln u +
R
√
u2 −a2
du
u3
√
u2 −a2
2u2
=−
193)
3/2
194)
195)
u
a
√
u 2 − a2
196)
7
1
2a
+
du
(u2 −a2 )3/2
= − a2 √uu2 −a2
udu
(u2 −a2 )3/2
=
R
u2 du
(u2 −a2 )3/2
= − √u2u−a2 + ln u +
R
R
R
R
u3 du
=
(u2 −a2 )3/2
du
u(u2 −a2 )3/2
=
du
R
du
u3 (u2 −a2 )3/2
R
u 2 − a2
R
u u 2 − a2
√−1
u2 −a2
2a2 u2
u(u −a2 )
6
du =
(u
2
2
−a
3
ln u +
)
√
u 2 − a2
√
2
3/2
3
= − a1 ln( a+
u3
√du
a2 −u2
=−
2
√
3 u2 −a2
2
− 32 a sec−1
+
a2
2
sen−1
u
a
√
− a2 a2 − u 2
√
a2 −u2
)
u
√
a2 −u2
2a2 u2
−
√
u a2 −u2
2
1
2a3
+
ln( a+
a2
2
√
a2 −u2
)
u
sen−1
u
a
R √
(a2 −u2 )3/2
u a2 − u2 du = −
3
R
u
a
√
a2 −u2
a2 u
R√
a2 − u2 du =
R
u
a
a2 − u2 .
3
√u du
a2 −u2
(a2 −u2 )
+
2u2
√
5/2
√
− a2 u2 − a2 + a3 sec−1
(u2 −a2 )3/2
R
=−
2
a2 (u2 −a2 )
5
+
(u2 −a2 )3/2
√
a2 −u2
2
√du
a2 −u2
u
a
3/2
+ 3u u2 −a
u
√
− 32 a2 ln u + u2 − a2
u2
sec−1
a2 u(u2 −a2 )
24
+
7
= −u
R
a6
16
2 3/2
2
√u du
a2 −u2
R
+
5/2
(u2 −a2 )
√ udu
a2 −u2
√ du
u a2 −u2
√
2
3
2a5
−
5
R
R
√3
u2 −a2
(u2 −a2 )
= sen−1 ua
√
= − a2 − u 2
=
2a4
7/2
du = −
R
−
√
a4 u u2 −a2
16
R (u2 −a2 )3/2
√ du
a2 −u2
u2 −a2
2
du = −
R
a4
5/2
du =
R (u2 −a2 )3/2
u3
√u
u2 −a2
−
− 3a u 8u −a
√
+ 38 a4 ln u + u2 + a2
du =
u 3 u 2 − a2
u
a
sec−1
3/2
3/2
R
1
a3
√
u 2 − a2
u(u2 −a2 )
4
du =
−
u2
1
√
2 3/2
u2 u2 − a
−
√
u2 −a2
a4 u
du =
3/2
R
u
a2
=
3/2
2
√ a
u2 −a2
u 2 − a2 −
=−
u2 (u2 −a2 )3/2
R (u2 −a2 )3/2
√ −1
u2 −a2
√
u
a
sec−1
R
Integrales con
√
+ a2 u 2 − a2
u2 −a2
a2 u
√
3
2
√
u 2 − a2
√
u 2 − a2
1
a
+
181)
u2 − a2 .
=
=
3/2
2u2
R √
(u2 −a2 )3/2
u u2 − a2 du =
3
R
173)
3/2
R√
u2 − a2 du =
R
172)
√3
2a4 u2 +a2
(u2 +a2 )5/2
√ udu
u2 −a2
√ du
u u2 −a2
171)
+
√
+ 38 a4 ln u + u2 + a2
= ln u +
3
√u du
u2 −a2
u(u +a
4
du =
√ du
u2 −a2
2
√u du
u2 −a2
ln
2
2 3/2
√u
u2 +a2
−
+
Integrales con
158)
√
u2 +a2
a4 u
3/2
√
√
2
4
u(a2 −u2 )
2
2
u2 a2 − u2 du = −
+ a u 8a −u + a8 sen−1
4
5/2
√
(a2 −u2 )
u3 a2 − u2 du =
−
5
3
a2 (a2 −u2 ) 2
3
u
a
197)
198)
199)
200)
201)
202)
203)
204)
205)
206)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
√
a2 −u2
du
u
√
a2 −u2
du
u2
=
udu
(a2 −u2 )3/2
=
u du
(a2 −u2 )3/2
u du
(a2 −u2 )3/2
du
u(a2 −u2 )3/2
=
a2
3/2
u 2 a2 − u 2
R
u 3 a2 − u 2
R (a2 −u2 )3/2
u
R (a
)
u3
ln
a4
a+ a2 −u2
u
√u
a2 −u2
+
2a4
√3
a2 −u2
√
a+ a2 −u2
u
3/2
du =
3/2
(a2 −u2 )7/2
7
+
214)
215)
216)
217)
R
du
au2 +bu+c
R
udu
au2 +bu+c
=
1
2a
=
u
a
R
u2 du
au2 +bu+c
2 3/2
−u
u
)
−
2 3/2
−u )
2u2
3
2 a ln
a2 (a2 −u2 )
5
228)
−
√
3u a2 −u2
2
+ 23 a2 sen−1
R
du
u(au2 +bu+c)
+
√
a+ a2 −u2
u
=
2
1
2c
ln
au2 +bu+c
u2
au2 +bu+c
−
b
2c
R
R
1
6a2
udu
u3 +a3
=
1
6a
R
u2 du
u3 +a3
=
1
3
du
u2 (u3 +a3 )
R
231)
R
du
(u3 +a3 )2
R
udu
(u3 +a3 )2
233)
R
u2 du
(u3 +a3 )2
234)
R
235)
236)
237)
8
=
R
du
au2 +bu+c
du
au2 +bu+c
du
u3 +a3
230)
232)
b
2a
ln au + bu + c
R
b2 −2ac
du
2a2
b
2c
−
du
u(au2 +bu+c)
−
c
a
= − cu(au21+bu+c) − 3a
c
R
du
− 2b
c
u(au2 +bu+c)2
um−2 du
au2 +bu+c
R
R
b
4ac−b2
2c
4ac−b2
du
au2 +bu+c
du
au2 +bu+c
R
R
du
au2 +bu+c
du
(au2 +bu+c)2
R
R
1
c
um−1
(m−1)a
R
du
u(u3 +a3 )
u
a
√
3 a2 −u2
2
ln au2 + bu + c −
−
1
2c(au2 +bu+c)
2a
4ac−b2
+
a(4ac+b2 )(au2 +bu+c)
=
du
un (au2 +bu+c)
R
229)
2
4ac−b2
b
2a2
R
+
(b2 −2ac)u+bc
+
=
du
au2 +bu+c
R
2au+b
(4ac−b2 )(au2 +bu+c)
=
um du
au2 +bu+c
5/2
−
tan−1 √2au+b
4ac−b2
=
√
√ 1
2au+b−√b2 −4ac
ln
b2 −4ac
2au+b+ b2 −4ac
√
u2 du
(au2 +bu+c)2
R
Integrales con au2 + bu + c.
R
224)
a+ a2 −u2
u
− a3 ln
(a
= − (4ac−b2bu+2c
)(au2 +bu+c) −
du
u2 (au2 +bu+c)2
227)
√
+ a2 a2 − u 2
√
3
du = −
udu
(au2 +bu+c)2
R
R
226)
(a2 −u2 )3/2
2
1
cu
=
b2 −2ac
2c2
−
du
(au2 +bu+c)2
R
−
b
a
R
um−1 du
au2 +bu+c
R
1
b
du
= − (n−1)cu
n−1 − c
un−1 (au2 +bu+c)
R
− ac un−2 (audu2 +bu+c)
Integrales con u3 + a3 .
5/2
(a
du
(au2 +bu+c)2
+
ln
5
u(a2 −u2 )
a2 u(a2 −u2 )
+
6
24
√
a4 u a2 −u2
a6
+ 16 sen−1 ua
+
16
2
au2 +bu+c
u2
R
=
223)
225)
(a2 −u2 )5/2
du = −
du =
ln
√
3/2
√
2
u(a2 −u2 )
2
2
+ 3a u 8a −u
4
+ 38 a4 sen−1 ua
3/2
du = −
R (a2 −u2 )3/2
3
2a5
du = −
2 3/2
−u
u2
+
−1
√
2a2 u2 a2 −u2
3/2
R
1
a3
du
u2 (au2 +bu+c)
du
u(au2 +bu+c)2
√ a
a2 −u2
b
2c2
R
R
222)
2
−
√
2
2
− aa4−u
u
du =
u
a
− sen−1
√1
a2 −u2
−
u a2 − u 2
213)
=
du
u3 (a2 −u2 )3/2
2
220)
221)
√ u
a2 −u2
=
R
219)
√ 1
a2 −u2
du
u2 (a2 −u2 )3/2
208)
212)
√u
a2 −u2
218)
− sen−1 ua
√
2
2
1
+ 2a
ln a+ au −u
√
= a2 − u 2 +
3
a2 − u 2
211)
√
a2 −u2
2u2
a2
=
R
210)
√
a2 −u2
u
=−
du
(a2 −u2 )3/2
2
√
√
2
2
a2 − u2 − a ln a+ au −u
=−
√
a2 −u2
du
u3
207)
209)
=
R
R
R
2
ln u3 + a3
1
3a3
=
ln
1
6a4
u
3a3 (u3 +a3 )
=
2√
3a5 3
1√
3a4 3
+
tan−1
u2
3a3 (u3 +a3 )
=
u3
u3 +a3
= − a31u −
+
+
tan−1
1√
a2 3
1
√
a 3
tan−1
tan−1
2u−a
√
a 3
2u−a
√
a 3
2
2
−au+a
ln u (u+a)
−
2
1
9a5
1√
a4 3
tan−1
2
ln u2(u+a)
−au+a2
2u−a
√
a 3
1
18a4
2
2
−au+a
ln u (u+a)
2
2u−a
√
a 3
= − 3(u31+a3 )
du
=
u(u3 +a3 )2
du
u2 (u3 +a3 )2
=
2
−au+a
ln u (u+a)
+
2
+
um du
u3 +a3
2
ln u2(u+a)
−au+a2 +
1
3a3 (u3 +a3 )
= − a61u −
um−2
m−2
du
un (u3 +a3 )
=
− a3
R
+
1
3a6
ln
u2
3a6 (u3 +a3 )
um−3 du
u3 +a3
−1
a3 (n−1)un−1
−
1
a3
R
u3
u3 +a3
−
4
3a6
R
udu
u3 +a3
du
un−3 (u3 +a3 )
2u−a
√
a 3
Integrales con u3 ± a3 .
238)
239)
240)
241)
242)
243)
244)
245)
246)
247)
248)
249)
250)
251)
R
R
R
du
u4 +a4
u2 du
u4 +a4
=
2
√
2
√2+a
ln uu2 +au
2
−au 2+a
h
√ − 2a31√2 tan−1 1 − u a 2 − tan−1 1 +
u3 du
u4 +a4
R
udu
u4 +a4
=
= − a41u − 4a51√2 ln
h
+ 2a51√2 tan−1 1 −
=
du
u(u4 +a4 )
R
du
u3 (u4 +a4 )
du
u4 −a4
R
udu
u4 −a4
R
√
1√
u2 −au√2+a2
ln
2
2
4a 2
u +au 2+a
h
√ − 2a1√2 tan−1 1 − u a 2
R
R
=
1+
+
√ i
u 2
a
263)
264)
265)
√ i
u 2
a
√
u 2
a
=
i 266)
267)
268)
269)
u2
a2
tan−1
270)
2
271)
= − 2a41u2 − 2a16 tan−1 ua2
1
−1 u
= 4a13 ln u−a
u+a − 2a3 tan
a
=
1
4a2
u2 du
u4 −a4
=
1
4a
u3 du
u4 −a4
=
1
4
R
du
u(u4 −a4 )
R
− tan
√
u2 −au√2+a2
u2 +au 2+a2
√ u 2
− tan−1 1
a
ln u4 + a4
4 = 4a14 ln u4u+a4
1
2a2
−1
1
4
R
R
262)
1√
2
4a3
du
u2 (u4 +a4 )
R
261)
du
u2 (u4 −a4 )
du
u3 (u4 −a4 )
ln
ln
2
2
u −a
u2 +a2
u−a
u+a
+
1
2a
ln u4 − a4
4 4
= 4a14 ln u u−a
4
=
=
1
a4 u
+
1
2a4 u2
1
4a5
+
ln
1
4a6
ln
252)
253)
254)
255)
256)
257)
258)
259)
260)
R
R
sen(au)du =
275)
276)
u−a
u+a
2
+
2
u −a
u2 +a2
1
2a5
tan−1
u
a
277)
278)
279)
u sen(au)du =
2
u sen(au)du =
2u
a2
3u2
a2
u3 sen(au)du =
R
un sen(au)du = − u
R
sen2 (au)du =
R
R
n
un sen(au)du = − u
n
u
2
−
u cos(au)
a
sen(au) +
R
R
280)
− cos(au)
a
sen(au)
a2
−
6
a4
+
nun−1
a2
sen(2au)
4a
R
2
u
a
sen(au)+
cos(au)
a
−
−
−
n
a
n(n−1)
a2
3u
8
2
a3
+
sen3 (au)du = − cos(ax)
+
a
sen4 (au)du =
cos(au)
a
−
u2
4
u sen(2au)
4a
−
(au)3
3·3!
R
sen(au)
du
u
= au −
R
sen(au)
du
u2
= − sen(au)
+a
u
R
du
sen(au)
=
1
a
R
udu
sen(au)
=
R
du
sen2 (au)
= − a1 cot(au)
du
sen3 (au)
= − 2acos(au)
sen2 (au) +
R
sen(pu) sen(qu)du =
R
1
a2
R
au +
(au)3
18
(au)5
5·5!
+
− ...
cos(au)
du
u
R
ln [csc(au) − cot(au)] =
7(au)5
1800
+
+ ...+
=
1
a
tan
π
4
+
au
2
udu
1−sen(au)
=
u
a
tan
π
4
+
au
2
R
du
1+sen(au)
= − a1 tan
R
=
− ua
ln tan
sen[(p−q)u]
2(p−q)
du
1−sen(au)
π
4
−
π
4
1
a
tan
−
au
2
ln tan
2(22n−1 −1)Bn (au)2n+1
(2n+1)!
1
2a
R
udu
1+sen(au)
cos(2au)
8a2
−
−
2
a2
+
au
au
2
+ ...
sen[(p+q)u]
2(p+q)
π
4
ln sen
−
au
2
2
au
2
π
4
+
au
2
π
4
+
au
2
π
4
−
ax
2
Integrales con cos(au).
Integrales con sen(au).
R
u sen2 (au)du =
+ a22 ln sen
R
du
1
π
au
1
3
273) (1−sen(au))
2 = 2a tan
4 + 2 + 6a tan
R
1
π
ax
1
dx
3
274) (1+senax)
2 = − 2a tan
4 − 2 − 6a tan
272)
u
a
tan−1
R
R
281)
cos(au)
6u
a3
282)
−
3
u
a
cos(au)
283)
un−1 cos(au)du
284)
285)
un−2 sen(au)du
+
cos(au)du =
R
R
un cos(au)du =
cos(au)
a2
R
u cos(au)du =
u2 cos(au)du =
2u
a2
R
u3 cos(au)du =
R
un cos(au)du = − u
R
cos2 (au)du =
u
2
R
cos3 (au)du =
sen(au)
a
R
cos4 (au)du =
3u
8
R
u cos2 (au)du =
u sen(au)
a
cos(au) +
3u2
a2
−
6
a4
un sen(au)
a
n
−
sen(4au)
32a
=
9
R
1
a2
cos(au)
du
u
+
+
−
sen(au)
a
n(n−1) R
a2
u2
a
−
cos(au)+
n
a
+
R
2
a3
sen(au)
u3
a
−
6u
a3
n
(au)2
2
+
= ln u −
(au)4
8
+
sen(au)
un−1 sen(au)du
nun−1
a2
cos(au)
un−2 cos(au)du
sen(2au)
4a
+
u2
4
−
sen3 (au)
3a
sen 2(au)
4a
+
+
u sen 2(au)
4a
(au)2
2·2!
sen 4(au)
32a
+
4
cos 2(au)
8a2
6
(au)
+ (au)
4·4! − 6·6! + . . .
R
R
cos(au)
286) cos(au)
− a sen(au)
du
u2 du = −
u
u
R du
287) cos(au)
= a1 ln [sec(au) + tan(au)] = a1 ln tan
R udu
288) cos(au)
=
sen(au)
cos3 (au)
3a
sen(2au)
4a
sen(au)
a
R
5(au)6
144
+ ...+
En (au)2n+2
(2n+2)(2n)!
o
+ ...
π
4
+
au
2
289)
290)
291)
292)
293)
294)
295)
296)
297)
R
du
cos2 (au)
=
tan(au)
a
du
cos3 (au)
=
sen(au)
2a cos2 (au)
R
cos(au) cos(pu)du =
R
317)
+
1
2a
sen[(a−p)u]
2(a−p)
R
du
1−cos(au)
= − a1 cot au
2
R
udu
1−cos(au)
= − ua cot au
2 +
R
du
1+cos(au)
R
udu
1+cos(au)
R
du
(1−cos(au))2
1
= − 2a
cot au
2 −
R
du
(1+cos(au))2
=
=
1
a
tan
=
u
a
tan au
2 +
1
2a
π
4
ln tan
2
a2
+
au
2
318)
sen[(a+pu)]
2(a+p)
−
319)
320)
321)
ln cos au
2
tan au
2 +
1
6a
1
6a
cot3
tan3
322)
au
2
323)
au
2
324)
Integrales con sen(au) y cos(au).
298)
299)
300)
301)
302)
303)
304)
305)
306)
307)
308)
309)
310)
311)
325)
R
sen(au) cos(au)du =
sen2 (au)
2a
sen(pu) cos(qu)du =
− cos[(p−q)u]
2(p−q)
R
senn (au) cos(au)du =
R
−
327)
n+1
(au)
cosn (au) sen(au)du = − cos(n+1)a
R
du
sen(au) cos(au)
2
sen (au) cos (au)du =
R
du
sen2 (au) cos(au)
R
R
R
=
du
sen(au) cos2 (au)
du
sen2 (au) cos2 (au)
sen2 (au)
cos(au) du
2
cos (au)
sen(au) du
1
a
= a1 ln tan
328)
+
au
2
329)
au
2
+
−
1
a sen(au)
330)
1
a cos(au)
331)
= − 2 cot(2au)
a
=
cos(au)
a
R
π
4
= a1 ln tan
=
du
sen(au)±cos(au)
−
332)
+ a1 ln tan
+ a1 ln tan
=
1
√
a 2
ln tan
sen(au)du
sen(au)±cos(au)
=
x
2
1
2a
cos(au)du
sen(au)±cos(au)
= ± x2 +
∓
au
2
au
2
au
+
π
4
333)
2
±
π
8
334)
335)
ln [sen(au) ± cos(au)]
336)
Integrales con tan(au).
312)
313)
314)
315)
316)
R
tan (au) du = − a1 ln cos(au) =
R
tan2 (au)du =
tan(au)
a
R
tan3 (au)du =
tan2 (au)
2a
R
tann (au)du =
tann−1 (au)
(n−1)a
R
tann (au) sec2 (au)du =
1
a
337)
ln sec(au)
338)
−u
+
1
a
339)
ln cos(au)
−
R
du
tan(au)
1
a
R
u tan2 (au)du =
R
=
1
a
ln tan(au)
ln sen(au)
u tan(au)
a
+
1
a2
ln cos(au) −
u2
2
1
a
R
cot(au)du =
R
cot3 (au)du = − cot2a(au) −
R
csc2 (au)
cot(au) du
R
ln sen(au)
−u
cot2 (au)du = − cot(au)
a
2
1
a
ln sen(au)
n+1
R
(au)
cotn (au) csc2 (au)du = − cot(n+1)a
R
du
cot(au)
R
R
= − a1 ln cot(au)
= − a1 ln cos(au)
+
u cot2 (au)du = − u cot(au)
a
n−1
(au)
cotn (au)du = − cot(n−1)a
−
1
a2
ln sen(au) −
R
cotn−2 (au)du
u2
2
R
sec(au)du =
R
1
a
ln [sec(au) + tan(au)] =
R
sec2 (au)du =
tan(au)
a
sec3 (au)du =
sec(au) tan(au)
2a
R
secn (au) tan(au)du =
R
u sec2 (au)du =
R
R
du
sec(au)
=
+
1
2a
1
a
ln tan
ax
2
+
π
4
ln [sec(au) + tan(au)]
secn (au)
na
sen(au)
a
secn (au)du =
x
a
tan(au) +
1
a2
secn−2 (au) tan(au)
a(n−1)
ln cos(au)
+
n−2
n−1
R
secn−2 (au)du
Integrales con csc(au).
ln [sen(au) ± cos(au)]
1
2a
=
Integrales con sec(au).
sen 4(au)
32a
ln [tan(au)]
− sen(au)
a
R
R
u
8
2
R
R
326)
cos[(p+q)u]
2(p+q)
senn+1 (au)
(n+1)a
R
sec2 (au)
tan(au) du
Integrales con cot(au).
ln sen au
2
au
2
2
a2
R
tann−2 (au) du
340)
tann+1 (au)
(n+1)a
341)
10
1
a
R
csc(au)du =
R
csc3 (au)du = − csc(au)2acot(au) +
R
du
csc(au)
ln [csc(au) − cot(au)] =
R
csc2 (au)du = − cot(au)
a
R
cscn (au) cot(au)du = − cscna(au)
R
u csc2 (au)du = − u cot(au)
+
a
R
1
2a
n
1
a
ln tan au
2
h
i
ln tan (au)
2
= − cos(au)
a
n−2
cscn (au)du = − csc
1
a2
ln [sen(au)]
(au) cot(au)
a(n−1)
+
n−2
n−1
R
cscn−2 (au)du
Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas.
342)
R
sen−1 (u/a)du = u sen−1 (u/a) +
u3
3
sen−1 (u/a) +
sen−1 (u/a)
du
u
=
(u/a)3
2·3·3
sen−1 (u/a)
du
u2
= − sen
344)
R
R
345)
346)
347)
348)
349)
350)
351)
352)
353)
354)
355)
356)
357)
358)
359)
360)
361)
362)
363)
364)
365)
366)
367)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
u2 sen−1 (u/a)du =
u sen−1 (u/a)du =
R
−
R
sen−1
u 2
a
u
a
+
(u/a)
u
du = u sen−1
u cos−1 (u/a)du =
u cos
−1
(u/a)
du
u
cos−1 (u/a)
du
u2
cos−1
(u/a)du =
−1
cos
u 2
a
+
−1
cos−1 (u/a)du = u cos−1
2
a2
4
=
π
2
1
a
−
a2
4
−
u3
3
cos−1 ua
ln(u) −
−1
= − cos
(u/a)
u
du = u cos−1
ln
1
2
−1
tan
(u/a)
du
u
−1
tan
(u/a)
du
u2
√
−
1
a
+
u 2
a
9
cot−1 (u/a)
du
u
−1
cot
(u/a)
du
u2
=
π
2
= − cot
a2 −u2
ln
√
a+ a2 −u2
u
a
2
ln u2 + a2
u
a
(u/a)
32
3
+
(u/a)
52
2
a
2
1
2a
5
379)
au
2
ln
(u/a)
72
−
R
7
+ ...
2
2
u +a
u2
cot−1 (u/a) +
2
+
1
2a
ln
380)
R
um cos−1 (u/a)du =
um+1
m+1
1
cos−1 (u/a)+ m+1
um tan−1 (u/a)du =
um+1
m+1
tan−1 (u/a) −
R
um cot−1 (u/a)du =
um+1
m+1
cot−1 (u/a) +
R
a
m+1
a
m+1
R
R
eau
a
2u
a
u2 −
+
2
a2
m+1
√u
du
a2 −u2
m+1
√u
du
a2 −u2
um+1
u2 +a2 du
um+1
u2 +a2 du
11
R
R
eau
u
R
du
p+qeau
au
1·1!
= ln(u) +
+
−eau
(n−1)un−1
(au)2
2·2!
+
(au)3
3·3!
(−1)n n!
an
+ ···
eau
un−1 du
R
eau
un du
=
u
p
−
1
ap
R
du
(p+qeau )2
=
u
p2
+
R
du
peau +qe−au
R
eau sen (bu) du =
eau [a sen(bu)−b cos(bu)]
a2 −b2
eau cos (bu) du =
eau [a cos(bu)+bsen(bu)]
a2 +b2
R
R
=
+
a
n−1
R
ln (p + qeau )
1
ap (p+qeau )
−
1
ap2
ln |p + qeau |
q
p au
tan−1
e
q
√
=
au
2a√1−pq ln eau −√−q/p
eau ln udu =
√1
a pq
e
eau ln u
a
1
a
−
+
−q/p
eau
u du
R
R
ln (u) du = u ln (u) − u
2
2
n
n
R
R
ln2 udu = u ln2 u − 2u ln u + 2u
389)
R
du
u ln u
391)
R
ln u2 − a2 du = u ln u2 − a2 − 2u + a ln u+a
u−a
385)
387)
R
1
a
u−
R
384)
u2 +a
u2
1
sen−1 (u/a)− m+1
u2 eau du =
eau
a
u eau du =
[ln (u)] du = u [ln (u)] − 2u ln (u) + 2u
386)
2
R
R
R
383)
au
2
3
eau du =
Integrales con ln(u).
382)
2
tan−1 (u/a)
du
u
(u/a)
u
381)
ln u2 + a
378)
3
um+1
m+1
R
377)
√
− 2u − 2 a2 − u2 cos−1
um sen−1 (u/a)du =
R
cot−1 (u/a)+ au6 − a6 ln u2 + a2
ln u −
−1
375)
376)
2
u2 + a
u3
3
373)
sen(u/a)
du
u
cot−1 (u/a)du = u cot−1 (u/a) +
u2 cot−1 (u/a)du =
u
a
√
u a2 −u2
4
−
(u2 −2a2 )
= − u1 tan−1 (u/a) −
1
2
372)
tan−1 (u/a)− au6 + a6 ln u2 + a2
= (u/a) −
u cot−1 (u/a)du =
+ ···
374)
u2 + a2 tan−1 (u/a) −
u3
3
u2 tan−1 (u/a)du =
u
a
eau
a
R
R
n au
un eau du = u ae − na un−1 eau du
n−2
au
n−1
= e a un − nua + n(n−1)u
+ .... +
a2
con n = entero positivo
371)
√
a+ a2 −u2
u
cos−1
tan−1 (u/a)du = u tan−1 (u/a) −
u tan−1 (u/a)du =
a2 −u2
1·3·5(u/a)7
2·4·6·7·7
+
370)
√
a2 − u 2
u2
2
R
9
√
− 2u + 2 a2 − u2 sen−1
u 2
−
√
(u2 +2a2 )
1·3(u/a)5
2·4·5·5
369)
√
u a2 −u2
4
sen−1 (u/a) +
a
u
a
368)
√
a2 − u 2
u2
2
343)
Integrales con eau .
388)
R
[ln (u)] du = u [ln (u)] − n
u ln (u) du =
u2
2
R
um ln udu =
um+1
m+1
ln u
u du
=
R
ln u
u2 du
= − lnuu −
R
lnn udu
u
=
1
2
ln2 u
ln (u) −
1
2
ln u −
R
n−1
[ln (u)]
1
m+1
du
1
u
lnn+1 u
n+1
= ln (ln u)
R
390) ln u2 + a2 du = u ln u2 + a2 − 2u + 2a arctan ua
Integrales con senh(au).
392)
393)
394)
395)
396)
397)
398)
399)
400)
401)
402)
403)
404)
405)
cosh(au)
a
R
senh(au)du =
R
u2 senh(au)du =
R
senh(au)
du
u2
R
senh2 (au)du =
R
du
senh2 (au)
R
u senh(au)du =
R
senh(au)
du
u
R
du
senh(au)
406)
u cosh(au)
a
= au +
u2
a
− senh(au)
a2
+ a23 cosh(au) −
(au)3
3·3!
+
(au)5
5·5!
= − senh(au)
+a
u
= a1 ln tanh au
2
R
u senh(2au)
4a
u senh2 (au)du =
R
senh(au) senh(pu)du =
R
senhn (au)du =
R
du
senhn (au)
407)
2u
a2
senh(au)
408)
+ ...
409)
cosh(au)
du
u
410)
411)
senh(au) cosh(au)
2a
R
−
u
2
412)
cosh(2au)
8a2
−
−
u2
4
413)
= − coth(au)
a
R
um senh(au)du =
R
senh(au)
du
un
5.
Integrales con cosh(au).
=
=
414)
senh[(a+p)u]
2(a+p)
um cosh(au)
a
−
m
a
−
R
senh[(a−p)u]
2(a−p)
um−1 cosh(au)du
senhn−1 (au) cosh(au) n−1
− n
an
− senh(au)
(n−1)un−1
+
a
n−1
− cosh(au)
a(n−1) senhn−1 (au)
R
−
415)
R
416)
senhn−2 (au)du 417)
cosh(au)
un−1 du
418)
n−2
n−1
419)
R
du
senhn−2 (au)
R
cosh(au)du =
senh(au)
a
R
u cosh(au)du =
R
R
u senh(au)
a
R
u2 cosh(au)du = − 2u cosh(au)
+
a2
cosh(au)
du
u
= ln u +
R
cosh(au)
du
u2
= − cosh(au)
+a
u
du
cosh(au)
2
a
R
cosh2 (au)du =
R
du
cosh2 (au)
=
(au)2
2·2!
tan−1 eau
(au)4
4·4!
R
u2
a
+
+
(au)6
6·6!
+
senh(au) cosh(au)
2a
R
u cosh2 (au)du =
u2
4
+
R
cosh(au) cosh(pu)du =
=
senh(au)
+ ...
u senh(2au)
4a
cosh(2au)
8a2
−
tanh(au)
a
R
um cosh(au)du =
R
cosh(au)
du
un
R
coshn (au)du =
R
du
coshn (au)
=
=
2
a3
senh(au)
du
u
u
2
senh[(a−pu)]
2(a−p)
um senh(au)
a
−
m
a
+
R
senh[(a+p)u]
2(a+p)
um−1 senh(au)du
coshn−1 (au) senh(au) n−1
+ n
an
− cosh(au)
(n−1)un−1
+
a
n−1
senh(au)
a(n−1) coshn−1 (au)
F (t)
f (s)
F (t)
s
s2 + a2
cos(at)
a
1
(s − b)2 + a2
ebt sen(at)
a
s−b
(s − b)2 + a2
ebt cos(at)
1
s2 − a2
senh(at)
a
s
s2 − a2
cosh(at)
k
s
k
1
s2
t
1
sn
tn−1
(n − 1)!
1
sn
tn−1
Γ(n)
1
s−a
eat
1
(s − a)n
tn−1 eat
(n − 1)!
con n = 0, 1, 2, . . .
1
(s − b)2 − a2
ebt senh(at)
a
1
(s − a)n
tn−1 eat
Γ(n)
con n > 0
s−b
(s − b)2 − a2
ebt cosh(at)
1
(s − a)(s − b)
ebt − eat
b−a
1
+ a2
+
R
+
R
coshn−2 (au)du
senh(au)
un−1 du
n−2
n−1
R
du
coshn−2 (au)
Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (s)
s2
cosh(au)
a2
−
con k = constante
con n = 0, 1, 2, . . .
con n > 0
sen(at)
a
12
con a 6= b
f (s)
F (t)
f (s)
s5
+ a2 )3
F (t)
(8 − a2 t2 ) cos(at) − 7at sen(at)
8
s
(s − a)(s − b)
bebt − aeat
b−a
1
(s2 + a2 )2
sen(at) − at cos(at)
2a3
3s2 − a2
(s2 + a2 )3
t2 sen(at)
2a
s
(s2 + a2 )2
t sen(at)
2a
s3 − 3a2 s
(s2 + a2 )3
1 2
t
2
cos(at)
s2
(s2 + a2 )2
sen(at) + at cos(at)
2a
s4 − 6a2 s + a4
(s2 + a2 )4
1 3
t
6
cos(at)
s3
(s2 + a2 )2
cos(at) − 21 at sen(at)
s3 − a2 s
(s2 + a2 )4
t3 sen(at)
24a
s2 − a2
(s2 + a2 )2
t cos(at)
1
(s2 − a2 )2
s
(s2 − a2 )2
con a 6= b
(s2
1
− a2 )3
(3 + a2 t2 ) senh(at) − 3at cosh(at)
8a5
at cosh(at) − sinh(at)
2a3
(s2
s
− a2 )3
at2 cosh(at) − t senh(at)
8a3
t senh(at)
2a
(s2
s2
− a2 )3
at cosh(at) + (a2 t2 − 1) senh(at)
8a3
(s2
s3
− a2 )3
3t senh(at) + at2 cosh(at)
8a
(s2
s4
− a2 )3
(3 + a2 t2 ) senh(at) + 5at cosh(at)
8a
(s2
s5
− a2 )3
(8 + a2 t2 ) cosh(at) + 7at senh(at)
8
(s2
s2
− a2 )2
senh(at) + at cosh(at)
2a
(s2
s3
− a2 )2
cosh(at) + 12 at senh(at)
s2 + a2
(s2 − a2 )2
(s2
t cosh(at)
(s2
1
+ a2 )3
(3 − a2 t2 ) sen(at) − 3at cos(at)
8a5
3s2 + a2
(s2 − a2 )3
t2 senh(at)
2a
(s2
s
+ a2 )3
t sen(at) − at2 cos(at)
8a3
s3 + 3a2 s
(s2 − a2 )3
1 2
t
2
cosh(at)
(s2
s2
+ a2 )3
(1 + a2 t2 ) sen(at) − at cos(at)
8a3
s4 + 6a2 s + a4
(s2 − a2 )4
1 3
t
6
cosh(at)
(s2
s3
+ a2 )3
3t sen(at) + at2 cos(at)
8a
s3 + a2 s
(s2 − a2 )4
t3 senh(at)
24a
(s2
s4
+ a2 )a3
(3 − a2 t2 ) sen(at) + 5at cos(at)
8a
1
s3 + a3
eat/2
3a2
13
√
3 sen
√
3at
− cos
2
√
3at
+ e−3at/2
2
!
f (s)
F (t)
s
s3 + a3
eat/2
3a
s2
s3 + a3
1
3
1
s3 − a3
s
s3 − a3
s2
3
s − a3
1
s4 + 4a4
s
s4 + 4a4
s2
s4 + 4a4
cos
3at √
+ 3 sen
2
√
3at
− e−3at/2
2
!
!
√
3at
−at
at/2
e
+ 2e
cos
2
e−at/2
3a2
e3at/2 − cos
√
e−at/2
3a
1
3
√
eat
+
3 sen
√
√
2e−at/2 cos
3at
2
!
3at
+ e3at/2
2
!
3at √
− 3 sen
2
3at
− cos
2
√
√
s2
s4 − a4
1 senh(at) + sen(at)
2a
s3
− a4
1
√
s+a+ s+b
1
s s+a
1 sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at)
2a
1 senh(at) − sen(at)
2a3
1 cosh(at) − cos(at)
2a2
√
sen(at) senh(at)
2a2
1
s4 − a4
s
s4 − a4
√
1 sen(at)
cosh(at)
−
cos(at)
senh(at)
4a3
cos(at) cosh(at)
F (t)
s4
!
√
3at
2
s3
s4 + 4a4
f (s)
√
1
s(s − a)
√
1
s−a+b
√
s2 + a2
√
14
1
1
s2 − a2
1
cosh(at) + cos(at)
2
e−bt − e−at
√
2(b − a) πt3
√
fer at
√
a
√
eat fer at
√
a
eat
√
1
2
√ − beb t fcer b t
πt
J0 (at)
I0 (at)
A en grados
A en radianes
sen A
cos A
tan A
cot A
sec A
csc A
0◦
0
0
1
0
∞
1
∞
15o
π/12
30o
√ 1 √
6− 2
4
π/6
1
2
√ 1 √
6+ 2
4
45o
π/4
60o
π/3
75o
5π/12
90o
π/2
105o
7π/12
120o
2π/3
1√
3
2
135o
3π/4
1√
2
2
150o
5π/6
1
2
165o
11π/12
180o
π
195o
13π/12
210o
7π/6
225o
5π/4
−
1√
2
2
240o
4π/3
−
1√
3
2
255o
17π/12
270o
3π/2
285o
19π/12
300o
5π/3
−
1√
3
2
315o
7π/4
−
330o
11π/6
345o
23π/12
360o
2π
2−
√
3
2+
√
√
3
6−
1√
3
2
1√
3
3
√
1√
2
2
1√
2
2
1
1
√
1√
3
2
1
2
√
1√
3
3
2
√ 1 √
6+ 2
4
√ 1 √
6− 2
4
1
0
√ 1 √
6+ 2
4
√ 1 √
6− 2
4
−
√ 1 √
6− 2
4
−
−
1
2
√ 1 √
6+ 2
4
−1
−
√ 1 √
6+ 2
4
√ 3
√
− 3
−
1√
2
2
−1
−
1√
3
2
−
√ 1 √
6+ 2
4
− 2−
1√
3
3
2−
√ 3
√
3
− 2−
−
√
3
√ 3
−
√
√
6+
√ 3
−
√
√
6−
−
√
6−
1√
3
2
1√
3
3
√
−
1√
2
2
1
1
√
− 2
1
2
√
1√
3
3
−2
√ 1 √
6− 2
4
0
2+
√
3
2−
− 2+
√ 3
1√
2
2
1√
2
2
−1
1
2
1√
3
2
−
√ 1 √
6− 2
4
√ 1 √
6+ 2
4
− 2−
1
15
3
−
√
− 2−
−
√ 3
√ 3
√
1√
3
3
√
6−
√
6+
√
√ 3
√ 2
√
∓∞
1
√
2
±∞
√ 2
−
√
6+
√ 2
−2
√
− 2
−
√ 2
−
√
√
2
−
√
−
√
2√
3
3
6−
√ 2
−1
6−
√ 2
2√
3
3
√
− 2
2
6−
2
2
6+
2√
3
3
√
√
2
2√
3
3
6+
2
2√
3
3
2
√
− 3
− 2+
√ 2
∓∞
−1
1√
3
3
0
√
−
0
±∞
√ 1 √
6− 2
4
3
√
1
−1
3
2
2
6−
2√
3
3
−
3
√
2
√
− 2
−
√
2√
3
3
−2
√
− 3
2+
√
±∞
1√
3
3
− 2+
6+
2
2
6+
±∞
√
− 3
0
√
−1
0
√ 1 √
6+ 2
4
−
−
2−
√
2
2√
3
3
3
0
1
2
−
−
− 2+
−1
−
3
1
2
0
−
√
±∞
√ 1 √
6− 2
4
−
−
2+
3
√
−2
2
−
√
6+
∓∞
√ 2
Definición 1. Ecuación en Variables Separadas.
Consideremos la ecuación con forma estándar:
M (x)dx + N (y)dy = 0
(1)
La solución se obtiene integrando directamente:
Z
Z
M (x)dx +
N (y)dy = C
Definición 2. Ecuación en Variables Separables.
Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.
M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0
dy
= f (x)g(y)
dx
(2)
(3)
Para determinar la solución de la Ec.(2), se divide
la ecuación entre: M2 (x)N1 (y), para reducirla a la
ecuación en variables separadas:
La solución de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre
g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecuación en variables separadas:
M1 (x)
N2 (y)
dx +
dy = 0
M2 (x)
N1 (y)
1
dy = f (x)dx
g(y)
ahora sólo se integra directamente:
Z
Z
1
dy = f (x)dx + C
g(y)
ahora sólo se integra directamente:
Z
Z
N2 (y)
M1 (x)
dx +
dy = C
M2 (x)
N1 (y)
Definición 3. Ecuación Lineal.
La ecuación lineal tiene la forma general:
a(x)y ′ + b(x)y = g(x)
(4)
a(x), se llama coeficiente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma estándar:
y ′ + P (x)y = Q(x)
(5)
La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente principal y a partir de aquı́ se obtiene la solución de la Ec.(4), La solución es:
Z R
R
− P (x)dx
P (x)dx
y(x) = e
e
Q(x)dx + C
Si Q(x) = 0, la solución es:
y(x) = Ce
R
El termino e
P (x)dx
−
R
P (x)dx
se llama Factor Integrante de la ecuación.
Definición 4. Ecuación de Bernoulli.
Tiene la forma:
y ′ + P (x)y = Q(x)y n
(6)
con n 6= 0 y n 6= 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+1 , la ecuación de Bernoulli se reduce a
la ecuación lineal:
z ′ + (−n + 1)P (x)z = (−n + 1)Q(x)
al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solución de la Ec.(6) de Bernoulli es:
Z R
R
− (−n+1)P (x)dx
(−n+1)P (x)dx
−n+1
y
=e
(−n + 1) e
Q(x)dx + C
16
(7)
Definición 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales.
Consideramos la ecuación:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(8)
donde se cumple: My = Nx . La solución se obtiene de calcular:
R
R
i) u = M (x, y)dx,
iii) v = [N (x, y) − uy ]dy
ii)
calculamos: uy
iv)
La solución general implı́cita es: u + v = C
Definición 6. Factor Integrante.
Consideremos la ecuación:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(9)
donde My 6= Nx . Para determinar la solución de esta ecuación, se tiene que reducir a una ecuación exacta; ası́ que
debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes:
R My −Nx
R Nx −My
dx
dy
N
M
1) µ(x) = e
primero se
2) µ(y) = e
segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuación exacta:
µM (x, y)dx + µN (x, y)dy = 0
(10)
la solución de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la solución de la Ec.(9).
Definición 7. Función Homogénea.
Se dice que una función f (x, y) es una “función homogénea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor
real λ se cumple la propiedad:
f (xλ, yλ) = λn f (x, y)
donde n ∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una función homogénea de grado cero, se cumple que:
f (xλ, yλ) = f (x, y)
Definición 8. Ecuaciones Homogéneas de Grado Cero.
Consideremos las ecuaciones:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
dy
= f (x, y)
dx
(11)
(12)
Se dice que la Ec.(11) es homogénea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.
La Ec.(12) será homogénea si f (x, y) es una función homogénea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones
en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = xy y v = xy .
Si N es algebraicamente más sencilla que M , se elige u = xy .
Si M es algebraicamente más sencilla que N , se elige v = xy .
A) Con el cambio de variable u = yx .
La Ec.(11) se reduce a la ecuación en variables separadas:
dx
N (1, u)
+
du = 0
x
M (1, u) + uN (1, u)
la cual se integra directamente
la solución de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por
La Ec.(12) se reduce a la ecuación en variables separadas:
du
dx
=
f (1, u) − u
x
y
x
la cual se integra directamente
la solución de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por
17
y
x
R dx R
N (1, u)
+
du = C
x
M (1, u) + uN (1, u)
en el resultado de la integral.
R
R dx
du
=
+C
f (1, u) − u
x
en el resultado de la integral.
B) Con el cambio de variable v = xy .
La Ec.(11) se reduce a la ecuación en variables separadas:
dy
M (v, 1)
+
dv = 0
y
N (v, 1) + vM (v, 1)
la cual se integra directamente
la solución de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por
La Ec.(12) se reduce a la ecuación en variables separadas:
dv
1
f (v,1)
−v
=
dy
y
x
y
la cual se integra directamente
la solución de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por
x
y
R dy R
M (v, 1)
+
dv = C
y
N (v, 1) + vM (v, 1)
en el resultado de la integral.
R
dv
1
f (v,1)
−v
=
R dy
+C
y
en el resultado de la integral.
I. Wronskiano.
W [y1 , y2 , . . . , yn ] =
y1
y2
′
y1
′
y2
′′
′′
yn
···
′
yn
Primera derivada de las funciones.
′′
Segunda derivada de las funciones.
..
.
y1
y2
···
yn
..
.
..
.
..
.
..
.
(n−1)
y1
(n−1)
y2
Renglón de las funciones.
···
···
(n−1)
yn
Derivada de orden n − 1 de las funciones.
• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD).
• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] 6= 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI).
(1) Cálculo de yh (x). Ecuación Auxiliar.
Primero. Dada la ecuación:
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = g(x)
(13)
establecer la ecuación homogénea asociada:
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0
(14)
Segundo. Establecer la ecuación auxiliar :
an mn + an−1 mn−1 + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0
(15)
la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener:
⋆ raı́ces reales y diferentes
⋆ raı́ces reales repetidas
⋆ raı́ces conjugadas complejas, y
⋆ raı́ces conjugadas complejas repetidas
Por esta razón yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), ¡¡ no necesariamente existen los
cuatro casos !!
Caso i. Raı́ces Reales y Diferentes, y1 (x).
Sean m1 , m2 , m3 , . . . las raı́ces reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como:
y1 (x) = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + · · ·
(16)
Caso ii. Raı́ces Reales Repetidas, y2 (x).
Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 · · · las raı́ces reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:
y2 (x) = C1 emx + C2 xemx + C3 x2 emx + C4 x3 emx + · · ·
18
(17)
Caso iii. Raı́ces Conjugadas Complejas, y3 (x).
Sean m1 = α1 ± β1 i, m2 = α2 ± β2 i, m3 = α3 ± β3 i, . . . las raı́ces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte
de yh (x) se escribe como:
y3 (x) = eα1 x C1 cos(β1 x) + C2 sen(β1 x) +
eα2 x C3 cos(β2 x) + C4 sen(β2 x) +
Nota: Obsérvese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.
eα3 x C5 cos(β3 x) + C6 sen(β3 x) + · · · (18)
Caso iv. Raı́ces Conjugadas Complejas Repetidas, y4 (x).
Sean m1 = α ± βi = m2 = α ± βi = m3 = α ± βi = · · · las raı́ces conjugadas complejas repetidas de (15), entonces,
otra parte de yh (x) se escribe como:
y4 (x) = eαx C1 cos(βx) + C2 sen(βx) +
xeαx C3 cos(βx) + C4 sen(βx) +
Nota: Obsérvese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.
x2 eαx C5 cos(βx) + C6 sen(βx) + · · · (19)
• Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1 , y2 , . . . , yn , n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el
conjunto {y1 , y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14).
(2) Cálculo de soluciones particulares yp (x) para la Ec.(13).
Primer Método:Coeficientes Indeterminados.
La solución yp (x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta razón se utiliza la siguiente tabla:
entonces yp (x) se propone como
si g(x) es
k − cte
an
xn
+ an−1
A
xn−1
+ · · · + a2
x2
+ a1 x + a0
An xn + An−1 xn−1 + · · · + A2 x2 + A1 x + A0
cos(ax)
A cos(ax) + B sen(ax)
sen(ax)
A cos(ax) + B sen(ax)
eax
Aeax
Si g(x) es una multiplicación de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicación de las
respectivas yp (x).
Una vez propuesta yp (x), se debe calcular la solución general homogénea yh (x) y verificar que los términos de yp (x) no
aparezcan en yh (x); pero si algún término de yp (x) aparecen en yh (x), entonces, se deberá multiplicar dicho término
por x o x2 o x3 . . . o por alguna potencia xn , hasta que dicho término de la solución particular yp (x) no aparezcan
en la solución yh (x). Después yp (x) debe derivarse según las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las
derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores.
Segundo Método:Variación de Parámetros.
Cuando el término independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados,
es cuando se utiliza variación de parámetros.
Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuación homogénea asociada (14). En general,
una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la solución general homogénea yh (x) = C1 y1 (x) +
C2 y2 (x) + C3 y3 (x) + · · · + Ck yk (x), el CFS es:
{y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yk (x)}
Primero.Sólo se trabajará con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos
fundamentales de soluciones {y1 (x), y2 (x)} o { y1 (x), y2 (x), y3 (x) }, según se trate de una EDO de segundo o tercer
orden respectivamente.
19
Segundo.
Caso i. Ecuación de segundo orden.
La solución particular tiene la forma:
yp (x) = u1 y1 + u2 y2
donde:
u′1 =
−g(x)y2
,
W [y1 , y2 ]
u1 =
Z
−g(x)y2
dx
W [y1 , y2 ]
u′2 =
g(x)y1
,
W [y1 , y2 ]
u2 =
Z
g(x)y1
dx
W [y1 , y2 ]
Caso ii. Ecuación de tercer orden.
La solución particular tiene la forma:
yp (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3
donde:
′
u′1 =
′
g(x)[y2 y3 − y3 y2 ]
,
W [y1 , y2 , y3 ]
′
g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ]
,
W [y1 , y2 , y3 ]
u′3
g(x)[y1 y2 − y2 y1 ]
=
,
W [y1 , y2 , y3 ]
′
′
Z
g(x)[y2 y3 − y3 y2 ]
dx
W [y1 , y2 , y3 ]
u2 =
Z
g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ]
dx
W [y1 , y2 , y3 ]
u3 =
Z
g(x)[y1 y2 − y2 y1 ]
dx
W [y1 , y2 , y3 ]
′
u′2 =
′
u1 =
′
′
′
′
′
Finalmente la solución general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las yp (x) obtenidas por coeficientes indeterminados
y/o por variación de parámetros.
II. Transformada de Laplace L .
La transformada de Laplace de una función f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ∞) y es de
orden exponencial.
L {f (t)} =
Z
∞
e−st f (t)dt
0
una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}.
Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . .
Propiedades de la Transformada de Laplace.
• La transformada de Laplace es lineal porque:
L {kf (t)} = kL {f (t)}
L {k1 f (t) + k2 g(t)}
= k1 L {f (t)} + k2 L {g(t)}
donde: k, k1 y k2 son constantes.
• Transformada de una Derivada.
L {y} =
′
L {y } =
L {y ′′ } =
L {y ′′′ } =
..
.
(n)
L {y } =
Y (s)
sY (s) − y(0)
s2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0)
s3 Y (s) − s2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0)
sn Y (s) − sn−1 y(0) − sn−2 y ′ (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)
20
• Primer Teorema de Traslación o de Desplazamiento:
L {eat f (t)} = F (s − a)
Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f (t)} = F (s). Segundo se calcula F (s)
L {eat f (t)} = F (s − a).
s=s−a
, y ası́ se cumple que
• Función Escalón Unitario de Heaviside, denotada como U (t − a) o H(t − a).
0, 0 ≤ t ≤ a;
H(t − a) = U (t − a) =
1, t ≥ a.
• Función por partes en términos la función escalón unitario. Sea
f1 (t) 0 ≤ t ≤ a
f2 (t) a ≤ t < b
f (t) =
f3 (t) b ≤ t < c
f4 (t) t ≥ c
entonces:
f (t) = f1 (t)U (t) + f2 (t) − f1 (t) U (t − a) + f3 (t) − f2 (t) U (t − b) + f4 (t) − f3 (t) U (t − c)
• Segundo Teorema de Traslación:
L {f (t)U (t − a)} = e−as L f (t)
t=t+a
Primero se identifica el valor de a y f (t). Segundo, se calcula f (t) t=t+a . Tercero se calcula L f (t)
que L {f (t)U a} = e−as L f (t) t=t+a
t=t+a
. Y ası́ se tiene
III. Transformada Inversa de Laplace L −1 .
Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna función f (t). Entonces, se dice que f (t) es la transformada inversa de
Laplace de F (s), y se denota con L −1 {F (s)} = f (t).
• La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque:
L −1 {kF (s)} =
L −1 {k1 F (s) + k2 G(s)} =
kL −1 {F (s)}
k1 L −1 {F (s)} + k2 L −1 {G(s)}
donde: k, k1 y k2 son constantes.
Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace.
• Forma Inversa del Primer Teorema de Traslación.
L −1 {F (s − a)} = eat f (t)
• Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslación.
L −1 {e−as F (s)} = f (t)
t=t−a
Ua
Primero identificar el valor de a y F (s). Segundo calcular L −1 {F (s)} = f (t). Tercero evaluar f (t)
L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a.
21
t=t−a
y ası́ se tiene que