México: Geografía e historia

MEXICO: GEOGRAFIA E HISTORIA
Bandera
Escudo
Himno nacional: Himno Nacional Mexicano
México
Los Estados Unidos Mexicanos, conocido simplemente como México (náhuatl:
Mexihco, 'ombligo de la luna' )? es un país localizado en América del Norte. La sede de
los poderes de la Federación y capital del país es México, Distrito Federal, también
llamada Ciudad de México.
Limita con Estados Unidos de América al norte, al sureste con Guatemala y Belice, al
este con el Golfo de México y el Mar Caribe, y al oeste con el Océano Pacífico. En
extensión territorial ocupa la quinta posición en América, y el decimocuarto a nivel
mundial. México es el país con la mayor población hispanohablante en el mundo.
Capital
México, DF
• Población
8,720,916 hab.
• Coordenadas
19°03′ N 99°22′ O
Ciudad más poblada
México, D.F.
2
Idiomas oficiales
Ninguno. El español y 62 lenguas indígenas tienen la misma validez en todo el
territorio mexicano1.
Forma de gobierno
República federal democrática
Presidente
Felipe Calderón Hinojosa
Independencia
de España
• Iniciada
16 de septiembre de 1810
• Declarada
27 de septiembre de 1821
Superficie
Puesto 14º
• Total
1.984.375 km2
• % agua
2,5%
Fronteras
3'152 Km. al norte con E.U.A., al sureste 956 Km. con Guatemala y 193 Km. con
Costas
Belice
Océano Pacífico, Océano Atlántico
Población
Puesto 11º
• Total
107,449,525
• Densidad
52,3 hab/km2
PIB (nominal)
Puesto 10º
• Total (2006)
US$ 840.012 millones
• PIB per cápita
US$ 8.066 (2006)
PIB (PPA)
Puesto 10º
• Total (2006)
US$ 1.171.506 millones 2
• PIB per cápita
US$ 11.249 (2006)
IDH (2006)
0,821 (53º) – alto
Moneda
Peso mexicano ($, MXN)
Gentilicio
mexicano, mexicana, -a
Huso horario
UTC-6 a UTC-8
• en verano
UTC-5 a UTC-7
Dominio Internet
.mx
Prefijo telefónico
+52
Prefijo radiofónico
4AA-4CZ, 6DA-6JZ, XAA-XIZ
Código ISO
484 / MX / MEX
3
Miembro de: TLCAN, ONU, OEA, OCDE, APEC, G.3
1
No existe declaratoria constitucional de lengua oficial. La Ley General de Derechos Lingüísticos de los
Pueblos Indígenas señala que todas las lenguas indígenas que se hablen son lenguas nacionales e igualmente
válidas en todo el territorio nacional.
2
Fuente: FMI.
Toponimia
Artículo principal: Toponimia de México
Página del Códice Mendoza, donde se representa el glifo de México en el centro del
Anáhuac.
México es una entidad política que nació en el siglo XIX. Aunque algunos autores de la
Colonia se referían a sí mismos como mexicanos1, fue hasta después de la
independencia que se adoptó definitivamente el nombre de México para el país.
Desde su conformación como Estado federal, el nombre oficial del país es Estados
Unidos Mexicanos, aunque la Constitución de 1824 usaba indistintamente las
expresiones Nación Mexicana y Estados Unidos mexicanos2. La Constitución de 1857
oficializa el uso del nombre República Mexicana, pero en el texto se emplea también
la expresión Estados Unidos mexicanos3. La Constitución vigente, promulgada en 1917,
establece que el nombre oficial del país es Estados Unidos Mexicanos.
Existen varias hipótesis sobre el significado de la palabra "México". Es seguro es que se
trata de un vocablo de origen náhuatl Mēxihco, con el que los mexicas designaban la
capital de su Estado. La etimología de Mēxihco [me:ʃiʔko] no es clara. Una propuesta
comúnmente repetida sostiene que el nombre proviene de los vocablos mētz-tli 'luna' y
xīc-tli 'ombligo, centro' y el morfema locativo -co 'en, el lugar de', de esta forma, el
4
nombre de México significaría En el centro de la Luna, o En el centro del lago de la
Luna, que era uno de los nombres con que los mexicas conocieron el Lago de Texcoco.
Sin embargo, esta explicación no es satisfactoria ya que no encaja ni la cantidad
vocálica de la /ī/ de xīc- 'ombligo', ni el saltillo que precede al locativo, además la
derivación presenta una caída irregular del grupo -tz- en mētz-4.
Historia
Época Precolombina
Teotihuacan. Vista de la calzada de los muertos desde la pirámide de la Luna.
El territorio fue descubierto y habitado por grupos de cazadores y recolectores hace más
de 30.000 años. El inicio de la agricultura tuvo lugar hacia el año 9000 adC, aunque el
cultivo del maíz ocurrió sólo hacia el 5000 adC. Las primeras muestras de alfarería
datan de alrededor del 2500 adC. Con este hecho se define el inicio de la civilización
mesoamericana, en tanto que es definitorio de las sociedades sedentarias.
Los grupos aridoamericanos continuaron subsistiendo gracias a la recolección y la
cacería. Por su parte, en la mitad sur de México la agricultura permitió la transición de
las sociedades igualitarias del Preclásico temprano (2500 - 1500 adC) a las más
complejas del Preclásico medio, entre las que destaca la cultura olmeca. En ese tiempo
se desarrollaron los sistemas de irrigación que permitirían la estratificación de las
sociedades. Hacia el año 100 dC, la ciudad de Teotihuacan ocupó el lugar principal en
Mesoamérica, y difundió su influencia hasta lugares tan lejanos como Costa Rica y
Nuevo México.
En el siglo VIII comenzó la decadencia de Teotihuacan. La ciudad cedió su hegemonía
a numerosos Estados hostiles entre sí que dominaban regiones clave de la economía
5
mesoamericana. Dos siglos después estos Estados habían perdido fuerza, al tiempo que
llegaron del norte las primeras tribus chichimecas. En el noroeste, los pueblos
oasisamericanos se diferenciaron definitivamente del conjunto de Aridoamérica, y
crearon una civilización propia cuyos vestigios más importantes en territorio mexicano
se localizan en Paquimé.
Durante los siglos X al XII, el centro de México fue dominado por Tollan-Xicocotitlan,
la capital de los toltecas. Esta ciudad estableció vínculos muy fuertes con varias
regiones de Mesoamérica, pero particularmente con la península de Yucatán, donde se
ubica la ciudad maya de Chichén Itzá. En Oaxaca, mientras tanto, los mixtecos iniciaron
un proceso expansionista que los llevó a ocupar los Valles Centrales donde habitaban
los zapotecos. En 1325 los mexicas fundaron México-Tenochtitlan, la capital del Estado
más extenso que conoció la Mesoamérica prehispánica, que sólo rivalizó con los
purépechas de Tzintzuntzan.
Conquista
Sitio de Tenochtitlan, según el Códice Florentino.
En 1519, los españoles llegaron a lo que hoy es México, tocando tierra en la isla de
Cozumel. Encabezados por Hernán Cortés, incursionaron al territorio mesoamericano
por las costas de Veracruz. Fueron varios los pueblos que se aliaron a los españoles para
librarse del poderío mexica, entre ellos los tlaxcaltecas. Moctezuma Xocoyotzin,
tlatoani mexica, recibió pacíficamente a los recién llegados al pensar que Cortés era
Quetzalcoatl, rey tolteca que según la tradición se fue por el mar hacia el oriente jurando
regresar un día para retomar su territorios. La matanza de Toxcatl levantó en armas a los
mexicas contra los españoles y sus aliados.
6
Cuitláhuac y Cuauhtémoc fueron los últimos jefes del Imperio Mexica. El primero
derrotó a los invasores el 30 de junio de 1520, y murió poco después durante la
epidemia de huey cocoliztli. Cuauhtémoc, abandonado por la mayor parte de sus
aliados, finalmente fue capturado y asesinado por los españoles en 1521. En 1521 cae el
imperio mexica ante los ejércitos españoles compuestos principalmente por tlaxcaltecas.
Capturada México-Tenochtitlan, los españoles procedieron al sometimiento de los
reinos independientes. Los pueblos mesoamericanos fueron sometidos casi todos en los
siguientes cinco años a la caída de Tenochtitlan. Sin embargo, los grupos nómadas y
seminómadas del norte siguieron en resistencia hasta el siglo XX, cuando los yaquis
negociaron el armisticio con el ejército mexicano.
Con los militares españoles llegaron también misioneros que se dedicaron a convertir a
los indígenas a la religión católica. De los religiosos que llegaron al país se destacaron
Vasco de Quiroga, Motolinía, Martín de Valencia, Bernardino de Sahagún, Diego de
Landa , Junípero Serra , Sebastián de Aparicio y Bartolomé de las Casas.
Virreinato de la Nueva España
Acapulco, 1628.
Artículo principal: Virreinato de Nueva España
Tras la caída de Tenochtitlan, el gobierno quedó a cargo de Hernán Cortés,
autonombrado Capitán General de lo que pasó a llamarse la Nueva España. Luego fue
establecida la Real Audiencia de México, dependiente de la Corona Española, con el
propósito de realizar una mejor administración. El virreinato fue establecido en 1535, y
el primer virrey fue Antonio de Mendoza.
La base de la economía novohispana era la minería. Sin duda, el virreinato del Perú fue
muy superior en la producción de metales preciosos (oro y plata) en los primeros años
7
del reino español en América. Sin embargo, el descubrimiento de nuevo yacimientos
desde Sonora hasta el de sur de la provincia de Estados Unidos, permitió que
gradualmente la Nueva España ocupara el lugar de privilegio. La minería permitió el
desarrollo de otras actividades asociadas, especialmente los obrajes y la agricultura, que
convirtieron a las regiones del Bajío o los valles de México y Puebla en prósperas
regiones agrícolas y de actividad industrial incipiente. El comercio del virreinato era
realizado a través de dos puertos: Veracruz (Golfo de México) y Acapulco (Océano
Pacífico). A éste último llegaba la Nao de China que transportaba productos de las
Filipinas a Nueva España y de ahí se transportaban por tierra llegando a Puebla donde la
influencia oriental es notoria en su artesanía y en sus tradiciones como la de la "china
poblana" al Ayuntamiento de México y a Veracruz de donde se enviaba a España o a los
puertos del Atlántico. El comercio coadyuvó al florecimiento de estos puertos, de la
Ciudad de México y las regiones intermedias. Hay que señalar que hasta finales del
siglo XVIII, con la introducción de las reformas borbónicas, el comercio entre los
virreinatos españoles no estaba permitido.
La sociedad novohispana profesaba en su mayor parte la Religión Católica , La Santa
Inquisición tenía instalados sus oficios en el territorio. El territorio de la Nueva España
era lo suficientemente grande para que en él existiera una gran cantidad de pueblos
indígenas, una gran variedad de lenguas, sin excluir a los europeos, durante los
trescientos años de la Nueva España se tuvieron distintas disposiciones legales que
afectaron el comercio y la prosperidad de los novohispanos, pero en general su nivel de
prosperidad era el más alto de América, en especial los residentes de los Ayuntamientos
de México, Puebla de los Angeles, la Villa Rica de la Veracruz, Acapulco y Zacatecas,
sin excluir que algunas regiones padecieron grandes penurias como los californios por la
falta de prendas de vestir europeizadas, no obstante que poseían bastante ganado y
granos para su manutención. A pesar de que por regla general se propuso una política de
integración, la realidad política que imponía el otorgamiento de los puestos importantes
para la burocracia española, en especial a partir de la llegada de los borbones que
propugnaron hacia el modelo francés de colonización, contra los cuales los criollos o
hijos de españoles nacidos en México, empezaron a resentirse y aunado a la situación de
pobreza en que se encontraba la mayor parte de la población mestiza e indígena se
crearon divisiones tan graves como las castas en Yucatán. Durante el período virreinal
se gestaron muchas de las tradiciones e instituciones que han evolucionado, de
8
conformidad con el carácter al pueblo mexicano, a muchas de las características
mexicanas de la actualidad.
Independencia
Miguel Hidalgo y Costilla, iniciador de la guerra de independencia.
Artículo principal: Independencia de México
La ocupación francesa de España, a principios del siglo XIX, sirvió como pretexto a los
afanes independentistas de los criollos novohispanos. Luego de la fallida experiencia de
la Junta de México (1808), la conspiración de Querétaro sería finalmente la que
desataría la revolución de Independencia de México. En la conspiración participaban,
entre otros el cura Miguel Hidalgo, que daría el llamado a la insurrección en el pueblo
de Dolores (Guanajuato) el 16 de septiembre de 1810. Iniciando con tempranas victorias
(Guanajuato, Valladolid y Cerro de las Cruces), el ejército insurgente se retiró hacia
occidente, donde su suerte cambió radicalmente, hasta que fueron presos en Acatita de
Baján (Coahuila). En el año de 1811, los líderes insurgentes fueron fusilados y sus
cabezas expuestas en Guanajuato.
Para este tiempo, la revolución se había hecho fuerte en el sur de la intendencia de
México. Destaca la campaña del cura y Generalísimo José María Morelos y Pavón, que
recibió de Hidalgo la orden directa de encabezar la revolución en la Sierra Madre del
9
Sur. Tras romper el sitio de Cuautla, Morelos convocó al primer congreso americano en
1813, en Chilpancingo, que promulgó la Constitución de Apatzingán un año más tarde,
sobre la base del documento escrito por Morelos, intitulado Sentimientos de la Nación.
La necesidad de proteger al Congreso, y las contradicciones entre éste y el Siervo de la
Nación minaron la capacidad bélica del ejército insurgente. Derrotado en el valle que
hoy lleva su nombre, Morelos fue conducido a la ciudad de México para ser enjuiciado.
Muríó fusilado en San Cristóbal Ecatepec, en 1815.
Comenzó así una fase defensiva de las fuerzas independentistas. Los únicos frentes
fuertes eran el veracruzano, al mando de Guadalupe Victoria, y el de Vicente Guerrero,
en el sur de México. En el norte, la campaña relámpago de Pedro Moreno y Francisco
Javier Mina (un español de ideas liberales), había concluido desastrosamente, a pesar de
sus triunfos iniciales. La revolución popular de independencia mexicana se hallaba muy
lejos del triunfo. El virrey Apodaca ofrecía el indulto a los insurgentes, lo que minó sus
fuerzas. Aprovechando la situación, algunos militares criollos -que habían combatido a
los insurgentes durante los años anteriores- tomaron la dirección del movimiento.
Agustín de Iturbide pudo negociar con Vicente Guerrero y promulgaron el Plan de
Iguala en 1821. Poco tiempo después, llegó el nuevo —y último— virrey de Nueva
España, Juan O'Donojú, quien aceptó firmar el acta de independencia de México el 27
de septiembre de 1821.
Los primeros reconocimientos a la nación independiente provinieron de Chile, Gran
Colombia y Perú. En 1825, los Estados Unidos reconocieron al gobierno de México,
respetando los límites pactados en el Tratado de Adams-Onís.
Siglo XIX
Mientras se encontraba un candidato a la corona de México, se había instalado una
Junta de Gobierno Provisional. Meses después, en 1822, Agustín de Iturbide se hizo
proclamar Emperador de México. En aquel tiempo, formaban parte del territorio
mexicano el antiguo virreinato de Nueva España y el de la Capitanía General de
Guatemala. El Primer Imperio Mexicano duró unos pocos meses. Se vio envuelto en
una crisis, derivada de la necesidad de pagar los daños provocados por los once años de
revolución independentista, y de su enfrentamiento contra los republicanos. En 1823,
Antonio López de Santa Anna y Vicente Guerrero proclamaron el Plan de Casamata,
10
que desconoció el gobierno de Iturbide y anunciaba la instauración de una República.
Derrotado, el emperador se exilió y el imperio quedó disuelto con la separación de las
Provincias Unidas del Centro de América.
Antonio López de Santa Anna, una de las figuras más polémicas del México
decimonónico.
Tras un breve interludio, presidido por otra Junta Provisional, en 1824 el Congreso
Constituyente promulgó la Constitución de la República. El documento señalaba que la
Nación adoptaría un gobierno federal con división de poderes. El Congreso convocó a
elecciones, en que fue triunfador Guadalupe Victoria para el período de 1824-1828.
Concluida la presidencia de Victoria, la vida política mexicana se tornó inestable debido
a las pugnas entre la antigua aristocracia y el pequeño grupo de burgueses liberales del
país. El personaje central a lo largo de la primera mitad del siglo XIX fue Antonio
López de Santa Anna: Ascendió al poder once veces: cinco de ellas como abanderado
de los liberales y las otras seis como conservador.
En 1833 la primera reforma liberal del Estado, --encabezada por Valentín Gómez Farías
(a la sazón presidente interino, pues Santa Anna se había retirado a descansar a su
hacienda) y José María Luis Mora-- concluyó en la instalación de una república
centralista. En 1835 fueron promulgadas las Siete Leyes, constitución de corte
centralista cuya vigencia ocasionó la declaración de independencia de Zacatecas y
Texas. Este último territorio, perteneciente al estado de Coahuila y Texas, se separó de
México en 1836. Cinco años más tarde la República de Yucatán declaró su
independencia, y no se reincorporaría definitivamente a México hasta 1848.
11
El desastre de la primera república unitaria desembocó en el restablecimiento de la
Constitución de 1824, pero el 6 de enero de 1843 fue proclamada la Segunda República
Centralista, encabezada por Santa Anna. Incapaz de enfrentar la invasión
estadounidense, el gobierno central fue sustituido nuevamente por uno federal, que
comenzó el 22 de agosto de 1846. En este tiempo, México enfrentaba la guerra con
Estados Unidos. Este país se anexó la República de Texas en 1841, y en 1846 reclamó -infundadamente-- la posesión de la franja comprendida entre los ríos Bravo y Nueces.
La ocupación estadounidense duró de 1847 hasta 1848, y concluyó con la firma del
Tratado de Guadalupe-Hidalgo y la pérdida de más de la mitad del territorio mexicano.
Benito Juárez.
Los primeros años después de la invasión estadounidense fueron más o menos
tranquilos, pero los nuevos conflictos originados entre liberales y conservadores
ocasionaron la llegada --por décimo primera ocasión-- de Santa Anna al poder (1853 1855). Santa Anna se autonombró Dictador de México y gobernó con el título de Su
Alteza Serenísima por ley constitucional. Mientras tanto, el país estaba en bancarrota y
el gobierno era sumamente corrupto. Por ello, en 1854 los liberales se fueron a la
guerra, amparados en el Plan de Ayutla y encabezados por Juan Álvarez e Ignacio
Comonfort. La Revolución de Ayutla puso destierro a Santa Anna y puso de interino a
Álvarez. Su sucesor, Comonfort, promovió la promulgación de varias leyes liberales
(Leyes de Reforma) que, entre otras cosas, establecieron la separación entre el Estado
mexicano y la Iglesia Católica y anularon los privilegios de las corporaciones. La puesta
12
en marcha de estas leyes dio lugar a un nuevo conflicto entre liberales y conservadores,
conocido como Guerra de los Tres Años o Reforma.
Tras la renuncia de Comonfort, Benito Juárez ocupó el 15 de enero de 1858, la
presidencia interina de la república. Convocó a un nuevo Constituyente que promulgó la
nueva constitución mexicana, de orientación liberal. Las reformas contempladas por la
nueva constitución fueron motivo de una nueva rebelión conservadora en Tacubaya.
Según Plan de Tacubaya, los conservadores desconocieron el gobierno de Juárez y
nombraron un presidente provisional. El conflicto terminó con la victoria de los
liberales en enero de 1861. En ese mismo año, el gobierno de la República decretó la
suspensión de pagos de la deuda externa. Francia, uno de sus principales acreedores,
instó a España e Inglaterra a presionar por la vía militar al gobierno mexicano. La
marina de los aliados llegó a Veracruz en febrero de 1862. El gobierno mexicano se
aprestó a negociar por la vía diplomática, y logró el retiro de los ingleses y españoles.
Fusilamiento de Maximiliano, Miramón y Mejía en el Cerro de las Campanas.
Los franceses, por su parte, dieron comienzo a las hostilidades militares. Empezando
por la batalla de Puebla, ganada por el ejército de Ignacio Zaragoza y las milicias
populares, aunque también durante la campaña hubo victorias para los franceses. La
capital fue ocupada en junio de 1863. El gobierno republicano fue perseguido por los
franceses, y hasta establecerse en Paso del Norte. Mientras tanto, el 10 de julio la
Asamblea de Notables reunida en la capital nombró emperador de México a
Maximiliano de Habsburgo. El Segundo Imperio Mexicano duró hasta 1867, con la
derrota de los franceses y la rendición de los conservadores y el fusilamiento del
emperador en Santiago de Querétaro.
13
Juárez siguió en el poder hasta su muerte el 18 de julio de 1872. Los últimos años de su
gobierno fueron duramente criticados por las diversas facciones en que se habían
dividido los liberales, algunos consideraban que no era propio de un demócrata un
gobierno de 14 años. A la muerte de Juárez ocupó la presidencia Lerdo de Tejada, que
elevó a rango de ley constitucional las leyes radicales de Reforma promulgadas entre
1855 y 1856. Lerdo intentó reelegirse, pero los porfiristas se levantaron en armas y lo
derrocaron. Porfirio Díaz ocupó la presidencia en 1876. Así comenzó el período que en
la historia de México es conocido como Porfiriato. En este período las Leyes de
Reforma (en especial la Ley Lerdo) sirvieron de marco para favorecer la concentración
de tierras. Los campesinos eran enganchados para trabajar en las haciendas, y algunos
grupos indígenas que se mostraban particularmente rebeldes, como los yaquis y los
mayas fueron desterrados de sus lugares origen y obligados a trabajar hasta la muerte en
lugares como Valle Nacional, el valle del río Yaqui o Yucatán. El gobierno de Díaz
privilegiaba la inversión extranjera. La mayor parte del capital invertido en México era
francés, y en importancia seguían las inversiones inglesas, estadounidenses, alemanas y
españolas. Cuando Díaz apuntó que México estaba listo para la democracia en una
entrevista, algunos personajes le tomaron la palabra y se presentaron a las elecciones de
1910, ganadas por Francisco I. Madero. Díaz desconoció el resultado de los comicios y
así inició la Revolución Mexicana.
Siglos XX y XXI
Madero y Zapata en Cuernavaca, Morelos.
Al desconocer Díaz el resultado de las elecciones de 1910, Madero llamó al
levantamiento armado a través del Plan de San Luis. Se sumaron a la rebelión
numerosos grupos de las más diversas clases sociales y regiones, y enarbolando las más
variadas banderas: en el noroeste, Álvaro Obregón encabezó la revuelta de la pequeña
clase media campesina; en Chihuahua Francisco Villa encabezaba un regimiento
14
formado por ganaderos; en Coahuila, Venustiano Carranza representaba a los
hacendados; y en el estado de Morelos, Emiliano Zapata y sus tropas de indígenas
reclamaban el reparto agrario. Díaz finalmente dimitió el 24 de mayo de 1911. Salió
exiliado del país rumbo a Francia, donde murió y fue sepultado.
En febrero de 1913, Victoriano Huerta dio un golpe de Estado contra el presidente
Madero, a quien mandó asesinar junto con Pino Suárez en la "Decena Trágica".
También Zapata había desconocido a Madero, al no haber iniciado el reparto agrario. A
la muerte de Madero, las facciones revolucionarias se levantaron en armas contra el
usurpador, y lo derrocaron en 1914. Venustiano Carranza fue nombrado presidente, y
llamó a la redacción de la Constitución que rige actualmente en México. El documento
incorporó varias de las demandas sociales reivindicadas por los movimientos
revolucionarios. Mientras tanto, las facciones revolucionarias entraron nuevamente en
conflicto, que terminó con el asesinato de Carranza (Tlaxcalantongo, 1920), Zapata
(Chinameca, 1919) y Villa (Parral, 1923).
Obregón llegó al poder en 1920 . Obregón fue sucedido por Plutarco Elías Calles quien
puso varios artículos constitucionales en vigor. Consecuencias de ello fue la Guerra
Cristera, que enfrentó a tropas campesinas alentadas por la jerarquía católica contra el
ejército federal. Calles, opinaba que la Revolución había de perpetuarse en instituciones
y formó en marzo de 1929, el Partido Nacional Revolucionario, primer antecedente del
Partido Revolucionario Institucional (PRI). Calles fundó el Banco de México y puso fin
después de años de infructuosa lucha a la Cristiada mediante la no aplicación de las
reformas constitucionales y legales que la originaron. Al final de su período, Obregón se
reeligió, pero fue asesinado en San Ángel antes de tomar posesión. Siguieron tres
presidentes títeres de Calles que gobernaron dos años cada uno (1928-1934). Durante
este período, conocido como Maximato, México enfrentó la resaca de la crisis de 1929 y
perdió la soberanía sobre la Isla de la Pasión.
Lázaro Cárdenas, presidente, con el apoyo del "líder máximo" como también era
llamado Plutarco Elías Calles y quien dijo:"..más que mis hijos, hijos por la sangre,
Lázaro es mi hijo, hijo por el espíritu" para el primer período sexenal (1934-1940),
desterró a Calles y dio gran impulso a la educación ("socialista") y al reparto de tierras.
Es recordado por la expropiación petrolera, acontecida el 18 de marzo de 1938, y la
nacionalización de los ferrocarriles. A pesar de su inicio radical, el gobierno de
15
Cárdenas debió moderarse por la crisis económica derivado de los pagos de las
nacionalizaciones. Su sucesor, Manuel Ávila Camacho, frenó el reparto agrario, concilió
con la naciente burguesía industrial y enfrentó el inicio de la Segunda Guerra Mundial.
Durante los siguientes años de gobierno del PRI, México vivió una época de gran
desarrollo económico (el Milagro Mexicano), pero también fue tiempo de protestas y
peticiones de libertad y derechos civiles. En 1968, fue escenario de la matanza a los
manifestantes de Tlatelolco. Por otro lado se reabrió el debate sobre la economía
mexicana y se produjo una abertura y privatización hacia la década de los ochenta. En
1985, varias partes del país fueron sacudidas por un terremoto que dejó miles de
muertos y desaparecidos. El 1º de enero de 1994, se levantó en armas el EZLN. En el
año 2000 México vivió por primera vez, tras 71 años, la "alternancia" política cuando
una alianza de los partidos Acción Nacional y Verde Ecologista de México derrotó al
PRI en las elecciones presidenciales.
Durante el año 2006 México vivió un proceso de crisis debido a la inacción y titubeos
del gobierno, así como la polarización social por las elecciones presidenciales cuya
carrera se vio envuelta en numerosas polémicas y ataques entre los principales
aspirantes a la presidencia Andres Manuel Lopez Obrador, Felipe de Jesús Calderón
Hinojosa y Roberto Madrazo Pintado y así como con el movimiento desatado en el
estado de Oaxaca por maestros de la entidad, paralizando el regreso a clases de casi
todos los niños del estado e integrantes de la APPO, que fue controlado por el gobierno
estatal y federal a base de detención de dirigentes.
Geografía física
Mapa físico de México, donde se señalan algunas de los accidentes y regiones más
notables del país.
Artículo principal: Geografía de México
16
Comparte frontera por el norte con Estados Unidos y al sureste con Guatemala y Belice.
Su superficie es de 1'964,375 km², con una superficie continental de 1'959,248 km² y
una insular de 5,127 km². Esta extensión lo ubica en el decimocuarto lugar entre los
países del mundo con mayor territorio, ubicado en el sur del subcontinente
norteamericano. La longitud de sus costas continentales es de 11,122 km, por lo cual
ocupa el segundo lugar en América, después de Canadá, repartidos en dos vertientes: al
occidente, el océano Pacífico y el golfo de California; y al oeste, el golfo de México y el
mar Caribe, que forman parte de la cuenca del océano Atlántico.
Repartidas en su mar territorial se hallan numerosas islas, entre las que destacan los
archipiélagos de Revillagigedo (Socorro, Clarión, San Benedicto, Roca Partida), y las
islas Marías, en el Pacífico; las de Guadalupe, Cedros, Ángel de la Guarda, Coronado,
Rocas Alijos, Isla del Tiburón, Isla del Carmen, frente a la península de Baja California
y la costa de Sonora; y las de Ciudad del Carmen, Cozumel, Mujeres, y el arrecife
Alacranes, en la cuenca atlántica. En conjunto suman una superficie de 5,073 Km². La
posesión del Archipiélago del Norte y Los Farallones, reclamados por México, está
indefinida.
Relieve
Volcán Citlaltépetl con 5,610 m de altura.
El relieve se caracteriza por ser muy accidentado y alojar múltiples volcanes. El
territorio es recorrido por las sierras Madre Oriental y Madre Occidental, que son una
prolongación de las Montañas Rocosas. La sierra Madre Occidental termina en Nayarit,
en la confluencia con el Eje Neovolcánico. A partir de allí, paralela a la costa del
Pacífico, corre la Sierra Madre del Sur.
El Eje Neovolcánico atraviesa el territorio del oeste al oriente, hasta unirse con la sierra
Madre Oriental en el Escudo Mixteco o Zempoaltépetl (a 3.395 msnm de altitud). En el
17
Eje Neovolcánico, de gran actividad volcánica como su nombre lo indica, se ubican los
picos más altos de México: el Pico de Orizaba o Citlaltépetl (5.700 m), el Popocatépetl
(5.462 m), el Iztaccíhuatl (5.286 m) y el volcán Fuego de Colima. En esta provincia
geológica tuvo lugar el nacimiento del Paricutín, el volcán más joven del mundo.
Las prolongaciones al sureste de la sierra Madre Oriental son conocidas como Sierra
Madre de Oaxaca o de Juárez, que concluye con la Sierra Madre del sur en el istmo de
Tehuantepec. Al oriente de esta región se extienden la Mesa Central de Chiapas y la
Sierra Madre de Chiapas, que tiene su punto culminante en el volcán Tacaná (4 117 m).
Los accidentes geográficos más visibles del territorio mexicano son la península de Baja
California, en el noroeste, y la península de Yucatán, al oriente. La primera es recorrida
de norte a sur por una cadena montañosa que recibe los nombres de Sierra de Baja
California, de Sierra de San Francisco o de la Giganta. Su punto más alto es el volcán de
las Tres Vírgenes. La península de Yucatán, por el contrario, es una plataforma de
piedra caliza casi completamente llana.
Ubicada entre las sierras Madre Oriental y Occidental, y el Eje Neovolcánico, está la
Altiplanicie Mexicana, que a su vez es dividida en dos partes por pequeñas serranías
como la de Zacatecas y las de San Luis. La parte norte es más árida y más baja que la
sureña. En ella se localizan el desierto de Chihuahua y el semidesierto de Zacatecas. Al
sur de las serranías transversales se encuentra la fértil región del Bajío y numerosos
valles de tierra fría o templada, como la Meseta Tarasca, los valles de Toluca, México, y
el Poblano-Tlaxcalteca. En esta mitad sur del altiplano se concentra la mayor parte de la
población mexicana.
Entre el Eje Neovolcánico y la Sierra Madre del Sur se localiza la Depresión del Balsas
y la Tierra Caliente de Michoacán, Jalisco y Guerrero. Al oriente, atravesando la
intrincada Sierra Mixteca, se encuentran los Valles Centrales de Oaxaca, rodeados por
montañas abruptas que complican el acceso y las comunicaciones.
18
Hidrografía
Río Bravo o Grande del Norte.
Lago de Pátzcuaro, en el estado de Michoacán.
Los ríos de México se agrupan en tres vertientes. La vertiente del Pacífico, la del Golfo
y la vertiente interior. El más largo de los ríos mexicanos es el Bravo, de la vertiente del
Golfo. Éste tiene una longitud de 3.034 km, y sirve como límite con Estados Unidos.
Otros ríos en esta vertiente son el Usumacinta, que sirve como límite con Guatemala; el
río Grijalva, quizá el más caudaloso del país; y el río Pánuco, a cuya cuenca pertenece el
Valle de México.
En el Pacífico desembocan los ríos Lerma y Balsas, de vital importancia para las
ciudades de las tierras altas de México; los ríos Sonora, Fuerte, Mayo y Yaqui; que
sostienen la próspera agricultura del noroeste del país, y el río Colorado, compartido
con Estados Unidos. Los ríos interiores, es decir, aquellos que no desembocan en el
mar, suelen ser cortos y con caudal escaso. Destacan el río Casas Grandes en
Chihuahua, y el Nazas, en Durango. La mayor parte de los ríos de México tienen poco
caudal, y son casi todos ellos innavegables.
México alberga numerosos lagos y lagunas en su territorio, pero de tamaño modesto. El
más importante cuerpo interior de agua es el lago de Chapala(chapalapachala), en el
estado de Jalisco, y que a causa de la sobreexplotación está en riesgo de desaparecer.
Otros lagos importantes son el lago de Pátzcuaro, el Zirahuén y el Cuitzeo, todos ellos
19
en Michoacán. Además, la construcción de presas ha propiciado la formación de lagos
artificiales, como el de las Mil Islas, en Oaxaca.
Clima
México es un país con una gran diversidad climática. La situación geográfica del país lo
ubica en dos áreas bien diferenciadas, separadas por el trópico de Cáncer. Este paralelo
separaría al país en una zona tropical y una templada. Sin embargo, el relieve y la
presencia de los océanos influyen mucho en la configuración del mapa de los climas en
el país. De esta forma, en México es posible encontrar climas fríos de alta montaña a
unos cuántos centenares de kilómetros de los climas más calurosos de la llanura costera.
El más notable por sus variaciones es el clima del estado de Chihuahua, donde se dan
las temperaturas más bajas del país, que llegan en ocasiones a los -30 ºC, y las más altas
en el desierto de Sonora que en ocasiones llega a más de 45ºC. La zona cálida lluviosa
comprende la llanura costera baja del Golfo de México y del Pacífico. En esta región las
temperaturas oscilan entre los 15,6 °C y los 40 °C. Una zona calida comprende las
tierras localizadas entre los 614 y los 830 msnm. Aquí, las temperaturas oscilan entre
los 16,7 ºC en enero y de 21,1 ºC en julio. La zona fría va desde los 1.830 msnm de
altitud hasta los 2.745 metros.
El clima templado subhúmedo o semiseco alcanza temperaturas que oscilan entre los 10
y los 20 °C y presenta precipitaciones no mayores a los 1.000 mm anuales. A una altitud
superior a 1.500 metros, la presencia de este clima depende de la latitud de la región. En
las áreas con este tipo de clima, las heladas son una constante que se presenta cada año.
Un segundo tipo de clima lo constituyen el cálido-húmedo y el cálido-subhúmedo. En
las zonas con este clima, llueve durante el verano o a lo largo de todo el año. La
pluviosidad alcanza el índice de 1.500 mm, y presenta una media anual térmica que
oscila entre los 24 y 26 ºC. Las zonas con este tipo de clima se ubican en las planicies
costeras del golfo de México, del océano Pacífico, el istmo de Tehuantepec, en el norte
de Chiapas y en la península de Yucatán.
El trópico seco presenta variedades de los climas anteriores. Se localiza en los declives
de la Sierra Madre Occidental y Oriental, las cuencas altas de los ríos Balsas y
Papaloapan, así como en ciertas regiones del istmo de Tehuantepec, la península de
20
Yucatán y el estado de Chiapas. El trópico seco es, por lo tanto, la zona más amplia de
los climas cálidos extremosos en México.
Las zonas templadas son las regiones donde la precipitación anual es menor a 350 mm.
La temperatura anual varía entre los 15 y los 25 °C, y su índice de precipitación también
es sumamente variable. La mayor parte del territorio mexicano, ubicado al norte del
trópico de Cáncer, es una zona con este tipo de características
La estación húmeda se extiende entre los meses de mayo y octubre. En promedio llueve
durante 70 días al año. La tónica dominante, sin embargo, es la escasez de lluvia en la
mayor parte del territorio, hecho relacionado con los obstáculos que representan a las
nubes de lluvia las altas montañas que enmarcan la Altiplanicie Mexicana. En la zona
templada altiplánica del país, el promedio de lluvia es de 635 mm anuales. La zona más
fría, de alta montaña, registra índices de 460 mm. En tanto, el semidesierto del norte del
Altiplano apenas alcanza 254 mm de lluvia anuales. En contraste con la aridez de este
territorio (que concentra el 80% de la población mexicana), existen algunas regiones
que pueden recibir casi 1.000 mm y hasta 3.000 mm.
El promedio de temperatura para el país es de unos 19 °C. Sin embargo, la ciudad de
México presenta sus promedios extremos en los meses de enero (12 ºC) y julio (16,1
°C). En contraste con Ciudad Juárez, Chihuahua, Hermosillo y Monterrey donde las
Temperaturas son realmente extremas.
Política
Días feriados oficiales
Fecha
Motivo
1 de enero Año Nuevo
5 de febrero Día de la Constitución
21 de
Natalicio de Benito
marzo
Juárez
21
1 de mayo Día del Trabajo
Aniversario del inicio de
16 de
la lucha por la
septiembre Independencia de
México
20 de
Aniversario del inicio de
noviembre la Revolución Mexicana
1 de
diciembre
25 de
diciembre
Toma de posesión
presidencial (cada 6
años)
Navidad
Artículo principal: Política de México
Forma de gobierno
Según la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos (promulgada el 5 de
febrero de 1917), el país es una República Democrática, Representativa y Federal
integrada por 31 estados libres y soberanos y un distrito federal o capital, sede de los
poderes de la Federación. Los gobiernos de las entidades federativas y de la federación
se dividen en tres poderes: ejecutivo, legislativo y judicial.
El Poder Ejecutivo Federal reside en la Presidencia de la República. Es ejercido por el
presidente, jefe de Estado y de gobierno al mismo tiempo. El presidente tiene la facultad
de nombrar a los titulares de las secretarías de Estado, que son por eso integrantes del
gabinete presidencial. El mandato del presidente dura seis años, y no existe la
posibilidad de reelección ni vicepresidente. Éste fue suprimido desde la Constitución de
1857. En el caso que un presidente de la República no pueda concluir su mandato, la
presidencia interina queda en manos de la persona electa por el Congreso, o en su caso,
por la Comisión Permanente. Desde el año 2006, este cargo es ejercido por Felipe
Calderón Hinojosa.
22
El Poder Legislativo reside en el Congreso de la Unión, que se divide en dos cámaras:
La Cámara de Senadores (senado) y la Cámara de Diputados (cámara baja). El senado
se compone de 128 senadores (tres por entidad federativa más 32 de representación
proporcional). La Cámara de Senadores se renueva completamente cada 6 años en
concordancia con el periodo presidencial. La cámara baja se compone por 300
diputados de mayoría (distritos electorales uninominales) y 200 de representación
proporcional. Cada estado es representado en la Cámara de Diputados por un mínimo de
cuatro legisladores. Las elecciones para legisladores de la Cámara de Diputados se
celebran cada tres años. Los senadores y diputados federales no pueden ser reelegidos
para un segundo período consecutivo en la misma cámara. Los elegidos para ocupar
cargos de elección popular en México no pueden renunciar al mandato popular, pero en
caso necesario pueden solicitar licencia para separarse de su puesto.
El Poder Judicial recae en la Suprema Corte de Justicia de la Nación y en un conjunto
de tribunales inferiores y especializados. La Suprema Corte está formada por 11
ministros elegidos por el Congreso de la Unión. La duración del cargo de ministro de la
Suprema Corte es de 15 años.
División político-administrativa
La Federación mexicana está compuesta por 31 Entidades Federativas y un Distrito
Federal. Cada uno de los estados es libre y soberano, y posee una constitución y un
congreso propios.
Los gobiernos estatales se encuentran divididos en tres poderes: El Poder Ejecutivo, es
ejercido por el Gobernador del Estado, elegido cada seis años sin posibilidad de
reelección. Puede ser removido sólo a instancia de la Cámara de Senadores o del
Congreso del estado. El Poder Legislativo se deposita en el Congreso de cada estado;
está integrado por diputados elegidos para un período de tres años. El Poder Judicial es
encarnado por el Tribunal Superior de Justicia de cada entidad.
Los Estados se dividen en municipios. Existen 2 438 municipios. en la República
Mexicana. El estado con mayor número de ellos es Oaxaca, con 570. En contraste, Baja
California sólo tiene cinco. Los ayuntamientos municipales son encabezados por el
presidente municipal. El presidente municipal es elegido cada tres años, en fechas
23
variables de acuerdo con el calendario electoral de cada estado. Cada municipio posee
un Cabildo integrado por regidores y síndicos, electos para períodos de tres años
también. Ni el gobernador de un estado, ni los diputados de los congresos locales, ni los
miembros de los cabildos pueden renunciar a los cargos de elección popular.
Los poderes de la Federación residen en México, D.F. Hasta antes de 1997, como
territorio federal (con el nombre de Distrito Federal) el Gobierno de la entidad era
encabezado por un Regente, nombrado por el Presidente de la República en nombre de
la federación. El 6 de julio de aquel año, los capitalinos eligieron a su primer Jefe de
Gobierno desde la supresión del cargo de Gobernador del Distrito Federal en 1928.
Desde 1994, eligen diputados a la Asamblea Legislativa del Distrito Federal, una
especie de congreso estatal con funciones acotadas. El Distrito Federal se divide en
delegaciones políticas, y los jefes de estas unidades territoriales son electos
popularmente desde el año 2000 para períodos de tres años.
24
División política de México
Partidos políticos
Artículo principal: Partidos políticos de México
En México, la instancia encargada de regular la participación política electoral es el
Instituto Federal Electoral (IFE). El IFE fue creado con el propósito de hacer más
transparente la organización de las elecciones en México, luego del controvertido
proceso electoral federal de julio de 1988, en que los partidos de izquierda acusaron la
manipulación de las cifras por parte de la Secretaría de Gobernación. Bajo su modelo,
cada estado creó un organismo autónomo con propósito de organizar los comicios
locales. Entre otras funciones, el IFE está encargado de los asuntos relativos al Padrón
Electoral y de registrar los partidos políticos que participan en los procesos comiciales
federales.
25
En el año 2006, ocho partidos son reconocidos ante el IFE Todos pueden perder su
registro en caso de obtener menos de dos por ciento de los sufragios emitidos en las
elecciones que se celebrarán el 2 de julio de este año. Los partidos son (en orden de
fundación y registro ante el IFE):

Partido Acción Nacional (PAN): fundado en 1939, de tendencia conservadora y
democristiana. Este partido tiene actualmente la Presidencia de la República
(2007-2012) y gobierna en nueve estados, es la primera fuerza politica en el
congreso. Se autodefine como de "Centro Humanista y Reformista", pertenece a
la Internacional Demócrata Cristiana.

Partido Revolucionario Institucional (PRI): se proclama como continuador de
los principios de la Revolución de 1910, aunque a partir de la década de los
ochenta ha tendido más hacia el neoliberalismo. Es la tercera fuerza política en
el congreso, según los resultados finales de los comicios del 2 de julio de 2006,
perdió presencia tanto en la Cámara de Diputados como en la de Senadores, sin
embargo aún gobierna la mayoría de los estados (17). Este partido gobernó a
México por 71 años ininterrumpidos en la Presidencia de la Republica como tal.
Fue fundado como PNR (Partido Nacional Revolucionario) por Plutarco Elías
Calles en 1928, y posteriormente Lázaro Cárdenas del Río lo refundó como
PRM (Partido de la Revolución Mexicana), para finalmente adoptar en 1945 el
nombre que ostenta hasta hoy en día, siendo su primer candidato a la presidencia
el licenciado Miguel Alemán Valdés, primer civil en gobernar al país desde la
Revolución Mexicana.

Partido de la Revolución Democrática (PRD): nació como resultado de la
unificación de varios partidos de izquierda que apoyaron la candidatura
presidencial de Cuauhtémoc Cárdenas. Es la segunda fuerza política del país.
Gobierna en seis entidades, entre ellas, el Distrito Federal. Se proclama a sí
mismo como un partido de izquierda. Con resultado de las elecciones del 2 de
julio se ubicó como segunda fuerza política en el congreso.

Partido del Trabajo (PT): fue fundado en la década de los noventa, cuando
participó por primera vez en las elecciones presidenciales de 1994. De tendencia
izquierdista, generalmente se presenta a las elecciones en alianza con el PRD
26
(desde 1997) Entre otras ciudades importantes, gobernó durante nueve años
Victoria de Durango.

Partido Verde Ecologista de México (PVEM o Verde): es un partido que
proclama el ecologismo como ideología política. Ha participado en todas las
elecciones presidenciales desde 1994 en coalición con el PAN (2000) y P.R.I.
(2006). Es la cuarta fuerza en el congreso.

Convergencia: fue fundado en 2002 a partir de un grupo escindido del PRD,
encabezado por Dante Delgado Rannauro. A pesar de ello, es frecuente que
forme coaliciones con este partido. En las elecciones del 2006, formo una
alianza con el PRD y el Partido del Trabajo.

Partido Alternativa Socialdemócrata (PAS): es un partido nuevo que se presentó
por primera vez a elecciones en el año 2006. Logró su registro gracias a que
obtuvo el 2% de la votación. Adopta como ideología la socialdemocracia.

Partido Nueva Alianza (PANAL): como el PAS, fue registrado en 2005 ante el
IFE Se presentó a las elecciones federales del 2 de julio de 2006 y conservó su
registro al obtener más del 2% de la votación global en dichos comicios.
Cabe destacar que el PT y Convergencia lograron conservar su registro ante el IFE, aun
cuando sus adeptos no superan el millón de personas, gracias a que desde hace años se
presentan en alianza con el PRD. De haberse presentado como fuerzas políticas únicas,
desde hace años hubiesen desaparecido del mapa electoral.
27
Economía
Historia económica
Bolsa Mexicana de valores.
Durante la época colonial y el siglo XIX, México fue un país dedicado a la agricultura.
La mayor parte de sus ingresos por ventas extranjeras provenían de la explotación
minera, especialmente, de la plata. De este mineral, México ha ocupado el primer lugar
mundial en producción desde hace más de dos siglos.
El proceso de industrialización de México durante la Colonia y el primer siglo de vida
independiente fue sumamente lento. Entre los siglos XVI y XVIII, las leyes coloniales
impedían el desarrollo de las manufacturas en la Nueva España como en el resto del
Imperio Español. Éstas debían importarse de la metrópoli, que a su vez las adquiría
mayormente de las naciones industrializadas del norte de Europa. Todo el siglo XIX
hubo intentos por dotar de una planta industrial al país. Los gobiernos intentaron atraer
empresarios extranjeros, sin mucho éxito. Durante la década de 1830, Lucas Alamán
estableció el Banco del Avío, destinado al fomento industrial. Sin embargo, todas estas
tentativas rindieron escasos frutos.
A finales del siglo XIX, en el Porfiriato, la industria textil era la más desarrollada. Se
había establecido en el valle de Puebla, en la región de Orizaba y el valle de México. El
gobierno de Porfirio Díaz dio grandes privilegios al capital extranjero con la intención
de atraer inversión directa en la construcción de infraestructura de comunicaciones y
transporte, y en el crecimiento de la planta industrial. Sin embargo, los beneficios eran
28
para unos pocos extranjeros, mientras la mayoría de los mexicanos vivían en
condiciones de miseria y explotación.
En ese período de más de treinta años, entre 1876 y 1910, la red ferroviaria creció
asombrosamente, alcanzando los 20.000 km de vías. Por otro lado, se construyó la
primera hidroeléctrica de la nación (en Necaxa, Puebla) y se dio inicio a la explotación
de los yacimientos petrolíferos, que colocaron a México en el primer lugar mundial de
exportación de petróleo en la década de 1910. Cabe mencionar que los ricos campos
petrolíferos de Faja de Oro y Cerro Azul, localizados en el norte de Veracruz, fueron
brutalmente agotados por la Standard Oil Company, Royal Dutch Shell y sus
subsidiarias mexicanas, con un magro beneficio para el erario mexicano.
Tras el triunfo de la Revolución, dio inicio en México un segundo período de expansión
industrial, favorecido, entre otras cosas, por la nacionalización del petróleo y la Segunda
Guerra Mundial. En las décadas que siguieron a la conclusión de ese conflicto
internacional, la economía mexicana tenía un carácter mixto, es decir, la inversión
provenía tanto de la iniciativa privada como del Estado. Los sectores estratégicos fueron
convertidos en industrias paraestatales, tal fue el caso de la explotación minera, la
siderurgia, la producción de electricidad, la infraestructura carretera. Con la intención de
favorecer la transferencia tecnológica, el gobierno permitió que muchas firmas
internacionales establecieran filiales en el país, aunque siempre asociadas al capital
nacional. La agricultura, por otro lado, era fuertemente subsidiada por el Estado, que se
convirtió en el principal intermediario de los productos agropecuarios. Durante el
período comprendido entre 1950 y 1970, la economía de México creció a un ritmo de
6,27% anual, en lo que se dio en llamar el Milagro mexicano.
Sin embargo, el proteccionismo y el cierre del mercado mexicano; así como fiebre de
endeudamiento de la década de 1970 que concluyó con la crisis de la deuda de los años
ochenta, dieron fin al período de crecimiento de la economía mexicana. En 1983, el país
estaba en la bancarrota, y era incapaz de pagar sus deudas internacionales. Algo similar
estaba ocurriendo en el resto de América Latina. Para salir del trance, el gobierno
cambió sus políticas y dio inicio el período que en México se conoce como de los
tecnócratas, que continúa hasta el año 2006. Este período ha estado marcado por la
austeridad en el gasto social, el impulso que se ha dado a la privatización de las grandes
empresas paraestatales (de las que a la fecha sólo se conservan dos: Pémex y la
29
Comisión Federal de Electricidad), y un crecimiento económico dependiente de las
exportaciones de manufacturas (básicamente, hacia Estados Unidos).
La era tecnócrata no ha estado exenta de sobresaltos. Tras el relevo presidencial de
1994, México se vio sumergido en una nueva crisis, derivada de lo que el ex-presidente
Salinas de Gortari llamó el error de diciembre. La economía no se recuperó sino hasta
tres años después. A partir de ahí, el crecimiento ha promediado 4.85% anual, y el
incremento medio en el sexenio de Vicente Fox, que concluyo el 30 de Noviembre de
2006. La economía mexicana en 2006 creció por encima del 4.5 por ciento, la cifra más
alta en los seis años de mandato del ex presidente Vicente Fox, logrado gracias a la
estabilidad económica, los altos precios del petróleo y el dinamismo de las
exportaciones y de la demanda interna.
Aunque en lo político, el Gobierno de Fox, que acabó su mandato el pasado 30 de
noviembre, cerró sus seis años de gestión en medio de una crisis, los resultados
macroeconómicos se fortalecieron, con bajas tasas de interés y de inflación, que se situó
entre el 3.5 y 4 por ciento de promedio. Un factor favorable para México fue la
denominada bonanza petrolera, por los altos precios del crudo, que llegaron hasta los 70
dólares por barril y que, según los expertos, se mantendrán en torno a los 53 dólares por
barril. No obstante, diversos analistas censuran que el Gobierno haya desaprovechado
los ingresos extraordinarios por venta de petróleo y que éstos se usaran sólo para
equilibrar el gasto público, en detrimento de la inversión. La empresa estatal Pemex
prevé para este año ingresos totales por unos 100 mil millones de dólares, por sus ventas
en los mercados interior y exterior, lo que beneficiará al fisco en unos 70 mil millones
de dólares. Asimismo, la entrada de remesas provenientes de los mexicanos en el
exterior en 2006 superó los 20 mil millones de dólares, cifra superior a la del año
pasado y que supera la inversión extranjera directa y los ingresos por turismo.
Los analistas calculan que el crecimiento del PIB este año alcanzó en 2006 el 4.54 por
ciento, dato que supera los incrementos alcanzados durante todo el presente periodo de
gobierno. La creación de empleos también registró en 2006 resultados positivos, con
cerca de 900 mil puestos de trabajo nuevos, cifra que aunque no cubre la demanda
actual, es superior a la de los años anteriores, cuando apenas se creaban medio millón de
puestos de trabajo.
30
De las 44.4 millones de personas que integran la Población Económicamente Activa,
unos 18 millones tienen un empleo precario o trabajan en la economía sumergida. La
cifra de desempleados se sitúa en casi 2 millones de personas. Además, 2006 cerró con
un déficit por cuenta corriente de unos 2,600 millones de dólares, y un déficit comercial
de unos 5,700 millones de dólares. Un dato importante es que México tiene una deuda
exterior neta de unos 40,700 millones de dólares, cifra inferior en un 25 por ciento a los
casi 54 mil millones de dólares del año pasado. La desaceleración de la economía de
Estados Unidos, que bajará del 3.4 por ciento este año al 2.7 en 2007, impactará en las
exportaciones mexicanas, en particular de automóviles y maquiladoras (ensambladoras).
La macroeconomía mexicana tiene fortalezas y debilidades, y en 2006 logró mantenerse
a flote, gracias a ingresos extraordinarios procedentes del petróleo y de las remesas. Sin
embargo, los analistas apuntan que la debilidad de estas bases pueden generar mayores
conflictos, en particular por las enormes desigualdades que existen en las distintas
regiones y entre los grupos sociales.
Indicadores de la economía mexicana
Conforme a datos del Banco Mundial, en 2005 México tuvo el ingreso nacional bruto
per cápita más alto de Latinoamérica,5 así como también el Ingreso Nacional Bruto más
elevado en términos nominales de esta región ese año,6 consolidándose como un país de
ingreso medio-alto. En tanto, el FMI reportó que en 2006 tuvo el segundo PIB per
cápita en términos nominales después de Chile7 y el quinto por paridad de poder
adquisitivo8 a nivel latinoamericano. Además, la economía mexicana, en términos del
Producto Interior Bruto, fue en 2006 la decimocuarta más grande del mundo en valores
nominales y la duodécima en paridad por poder adquisitivo. Se conforma así como el
segundo mayor PIB nominal de América Latina, sólo superado por el de Brasil. Sin
embargo, la distribución de la riqueza del país no es equitativa y la división entre ricos y
pobres es muy grande. Aun así el país tuvo una increíble recuperación de la última crisis
financiera desatada en 1994-1995. México es el décimo mayor exportador del mundo y
recientemente se le ha nombrado como "Economía Emergente" como se les denomina a
las economias cuyo crecimiento ha sido sostenido en los últimos años. La actividad
económica del país depende en gran medida de su comercio con los Estados Unidos de
América, los cuales consumen más del 85% de las exportaciones mexicanas y dan
trabajo a casi el 10% de su población. El envío de remesas por parte de los migrantes
31
internacionales constituye la segunda fuente de ingresos más importante del país
después del petróleo.
Desde mediados de la década de los ochenta el país se ha inclinado por un modelo
económico neoliberal con un fuerte énfasis en la apertura comercial hacia otros
mercados, lo cual ha convertido al país en el líder mundial en acuerdos de libre
comercio habiendo firmado convenios de este tipo con 40 países en 12 diferentes
Tratados. Su asociación comercial principal es el Tratado de Libre Comercio de
América del Norte (T.L.C.A.N. o NAFTA, por su sigla en inglés), integrado son
Estados Unidos, Canadá. México también cuenta con un tratado de libre comercio con
la Unión Europea, con el bloque denominado EFTA (Luxemburgo, Suiza, Liechtenstein
y Noruega) y recientemente se selló un compromiso similar con Japón.
32
HUMANIDADES
FILOSOFIA
La Filosofía es un ejercicio de reflexión y de análisis sistemático u orgánico, de valor y
de sentido, sobre las realidades de la vida, que trata de comprender, metodológicamente,
cómo llegar a explicaciones esclarecedoras sobre la esencia de todos los diversos
elementos de la realidad, interesándose genuinamente por llegar a definir conceptos y
principios entre las partes y el todo que coexisten en el universo, por el obrar de los
seres humanos.
Etimología
La palabra procede del griego, y está compuesta de dos palabras (philos, que en griego
significa «amante de», y sophia, que significa pensamiento, sabiduría, conocimiento,
saber: φιλοσοφία («amor por la sabiduría»).
La Filosofía como Doctrina o corriente de pensamiento
La filosofía es en primer término un ejercicio especulativo que busca dar respuestas a
las cuestiones en un plano abstracto. En todas y cada una de las perspectivas de alguien
o de un procedimiento existe explicita o tácitamente una posición filosófica, que es la
abstracción necesaria al dar las implicaciones de la(s) "respuesta(s)" de un(os)
problema(s), es decir, se dan por sentado unos esquemas intuitivos propios a una
solución que se toman por ciertos (axiomas o en casos mas problemáticos pueden ser
tomados como dogmas).
La filosofía se estructura como doctrina, cuando en sí cimienta toda una estructura
consecuente y concatenable en la que se ven claramente principios sistemáticos. es por
esto que muchos no consideran al hedonismo una doctrina filosófica y más bien lo
toman como un modo de vida.
Historia de la Filosofía
Desde su aparición en Grecia hasta nuestros días, la filosofía siempre se ha ocupado
sustancialmente de las mismas cuestiones. Puede decirse que se trata de cuestiones
permanentes de la filosofía, ya que se refieren a formas permanentes de la experiencia
33
humana. Que sean permanentes no significa que estas cuestiones sean intemporales,
ajenas al tiempo y a la historia. Su planteamiento y respuestas adquieren formas
distintas a lo largo de la historia.
Todo esto pone de manifiesto que la reflexión filosófica debe atender a la situación
histórica efectiva en que nos encontramos.
Esto no quiere decir que deje de lado otras disciplinas como la moral y la ética, aunque
sí intervienen de forma directa en el momento de ejercer el pensamiento humano al
ejercer algún «juicio» sobre «x» tema que se deba trascender como idea.
Para los primeros filósofos de la Grecia antigua, la sabiduría era una virtud, una
búsqueda del conocimiento genuino, y una superación de las opiniones falsas. El propio
ejercicio de la filosofía empezó tomando trascendencia como una actividad intelectual y
crítica, orientada a reflexionar sobre las causas naturales que explicarían los distintos
fenómenos que se producen en la realidad sustituyendo a los mitos, en un paso del mito
al logos (el razonamiento), de la explicaciones ocultas o sobrenaturales —
frecuentemente atribuidas al capricho de los dioses—, a las explicaciones racionales,
donde las causas pueden ser observadas o deducidas lógica, objetiva, neutral y
metódicamente dentro de la propia realidad.
La cultura griega, al igual que todas las culturas de su entorno, contaba con una gran
abundancia de narraciones míticas mediante las cuales explicaba el origen de los
fenómenos naturales y, también, de las instituciones humanas. La tarea del filósofo
griego consiste en buscar una explicación racional frente a la explicación mítica.
Comienzan unas actitudes científicas y aunque sus primeros resultados no son
adecuados, es la actitud por la búsqueda de un método que nos dirija a la verdad y la
racionalidad de las cosas la que inicia una revolución conocida como la primera
ilustración.
Entran a escena los sofistas como los primeros pedagogos profesionales, enseñando las
distintas artes y ciencias, y promoviendo el método de la antilogía, y el razonamiento
por reducción al absurdo así como el arte de bien discurrir y discutir promovido por
Protágoras. Tales artes les obliga a especializarse en el análisis del lenguaje y, por
último, en el razonamiento. Hippias crea técnicas de memorización fáciles y efectivas,
34
las que investigó creando varios sistemas mnemotécnicos. Pródico dedicó también su
interés al lenguaje. Sócrates asistió a alguna de sus clases sobre esta materia; escribió en
particular sobre los sinónimos y su perfecta significación y delimitación.
A tal arte le llaman retórica y que debido a su formalismo no tiene relación o apego con
la moral. Así como hoy la ciencia trata de apartarse de la moral lo más posible, los
sofistas proponían tal concepto, chocando entonces con los filósofos morales. Sócrates
utiliza tales métodos y los usa para sus investigaciones éticas acerca de la virtud, para
luego proponer el método mayéutico para encontrar la verdad. Luego, Platón, estudioso
de la virtud, propone un método mejorado de la retórica, y le llama dialéctica, que sigue
siendo un método para razonar adecuadamente. Por último, Aristóteles desecha la
dialéctica como método y propone su método para razonar adecuadamente y le llama
Organon.
La filosofía y la ciencia
La "filosofía" se diferencia de la ciencia en que muchas de las preguntas que se plantea
no pueden ser respondidas recurriendo al empirismo experimental, y se diferencia de la
religión en que no puede aceptar explicaciones basadas en el dogmatismo, la fe o la
revelación, precisamente porque su razón de ser está en tratar de hallar las respuestas
dentro de la propia realidad de este mundo.
La relación entre filosofía con otras ciencias es mucho más próxima, mutuamente
influyente, y en ocasiones, complementaria. Diversas ciencias han tenido su origen en la
filosofía, o en otras ciencias. Algunos científicos han sido igualmente filósofos. El
propio planteamiento de las ciencias como disciplinas académicas procede de las
funciones originalmente desarrolladas por la academia fundada por Platón para la
investigación y la educación, si bien el término académico hoy en día también puede
referirse al fomento de una actividad cultural o científica.
La filosofía es una ciencia que estudia la totalidad de las cosas por sus causas últimas o
primeras con la sola luz natural de la razón. Es ciertamente una ciencia ya que es un
conocimiento cierto por las causas. Como la filosofía no repara en detalles sino que los
trasciende decimos que puede estudiar todas las cosas, no se queda en lo particular sino
que estudia lo universal. Al estudiar aquellos elementos que constituyen el ser, decimos
35
que estudia las causas últimas o primeras. Finalmente, utiliza la sola luz natural de la
razón ya que es una ciencia deductiva, los razonamientos parten de la intuición eidética
(conocimiento de la esencia), y esa razón es natural porque, a diferencia de la teología,
la filosofía no se ayuda de la fe.
La filosofía, el conocimiento y el saber
Un acercamiento a la sabiduría puede comenzar preguntándose por el sentido de la vida,
sobre la existencia de Dios, sobre la existencia del alma, por la naturaleza del ser y del
universo, qué es la verdad, qué es la conciencia, o qué convierte los comportamientos en
buenos o equivocados. A partir de estas aproximaciones se proponen teorías sobre la
naturaleza de la realidad.
Metodología
La filosofía es un saber o conocimiento teórico científico por las causas últimas o
primeras.
La tarea principal del filósofo es la de responder a la pregunta «¿Cómo llegar a la
verdad?». Sin embargo, al encontrar un método o proponerlo se ve en la tentativa de
aplicarlo a algunos temas o de aplicar los métodos ya existentes a alguna rama de la
ciencia, siempre sintiendo predilección por ciertos temas, y a veces se especializan en
éstos, como lo justo y el estudio de los valores con la ética, lo bello con la estética o
incluso en la economía.
Descripción y clasificación de las ciencias
Dentro de las ciencias, la ciencia experimental se ocupa exclusivamente del estudio del
universo natural, ya que por definición todo lo que puede ser detectado o medido forma
parte de él. Los científicos se ajustan, en su investigación, a un cierto método, el método
científico, un proceso para la adquisición de conocimiento empírico. La ciencia puede a
su vez diferenciarse en ciencia básica y aplicada, siendo esta última la aplicación del
conocimiento científico a las necesidades humanas y al desarrollo tecnológico.
Algunos descubrimientos científicos pueden resultar contraintuitivos, es decir,
contrarios al sentido común. Ejemplos de esto son la teoría atómica o la mecánica
36
cuántica, que desafían nociones comunes sobre la materia. Muchas concepciones
intuitivas de la naturaleza han sido transformadas a partir de hallazgos científicos, como
el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol o la teoría evolutiva de
Charles Darwin.
Disciplinas científicas
Esquema de clasificación planteado por el epistemólogo alemán Rudolf Carnap quien
fue el primero en dividir a la ciencia en:
Ciencias
formales
Ciencias
naturales
Por contraposición a las ciencias fácticas, son aquellas que no estudian
fenómenos empíricos. Utilizan la deducción como método de búsqueda
de la verdad: Lógica - Matemática
En ellas se encuadran las ciencias naturales que tienen por objeto el
estudio de la naturaleza. Siguen el método científico: Astronomía Biología - Física - Química - Geología
Son todas las disciplinas que se ocupan de los aspectos del ser humano -
Ciencias
cultura y sociedad- El método depende de cada disciplina particular:
sociales
Antropología - Demografía- Economía - Historia - Psicología Sociología
Terminologías usadas en ciencias
Los términos modelo, hipótesis, ley y teoría tienen significados distintos en la ciencia
que en el discurso coloquial. Los científicos utilizan el término modelo para referirse a
una descripción de algo, especialmente una que pueda ser usada para realizar
predicciones que puedan ser sometidas a prueba por experimentación u observación.
Una hipótesis es una afirmación que (aun) no ha sido bien respaldada o bien no ha sido
descartada. Una ley física o ley natural es una generalización científica basada en
observaciones empíricas.
La palabra teoría es incomprendida particularmente por el común de la gente. El uso
vulgar de la palabra "teoría" se refiere, equivocadamente, a ideas que no poseen
demostraciones firmes o respaldo. En contraposición, los científicos generalmente
37
utilizan esta palabra para referirse a cuerpos de leyes que realizan predicciones acerca
de fenómenos específicos.
Método científico
El método científico es el proceso mediante el cual una teoría científica es validada o
bien descartada.
Los principios fundamentales del método científico son:

La reproducibilidad, es decir, la capacidad de repetir un determinado
experimento en cualquier lugar y por cualquier persona. Esto se basa,
esencialmente, en la comunicación y publicidad de los resultados obtenidos. En la
actualidad éstos son publicados generalmente en revistas científicas y revisadas
por pares.

La falsabilidad, es decir, la capacidad de una teoría de ser sometida a potenciales
pruebas que la contradigan. Bajo este concepto no existe en la ciencia el
"conocimiento perfecto". Con excepción en la matemática, una teoría científica
"probada" —aun la más fundamental de ellas— se mantiene siempre abierta a
escrutinio (ver falsacionismo).
Existe una serie de pasos inherentes al proceso científico, los cuales son generalmente
respetados en la construcción y desarrollo de nuevas teorías. Éstos son:
38
El modelo atómico de Bohr, un ejemplo de una idea alguna vez aceptada y luego
refutada por medio de la experimentación.
1. Observación: el primer paso consiste en la observación de fenómenos
bajo una muestra.
2. Descripción: el segundo paso trata de una detallada descripción del
fenómeno.
3. Inducción: la extracción del principio general implícito en los resultados
observados.
4. Hipótesis: planteamiento de las hipótesis que expliquen dichos resultados
y su relación causa-efecto.
5. Experimentación: comprobación de las hipótesis por medio de la
experimentación controlada.
6. Demostración o refutación de las hipótesis.
7. Comparación Universal: constante contrastación de hipótesis con la
realidad.
La experimentación no es aplicable a todas las ramas de la ciencia; su exigencia no es
necesaria por lo general en áreas del conocimiento como la vulcanología, la astronomía,
la física teórica, etc. Sin embargo, la repetibilidad de la observación de los fenómenos
naturales es un requisito fundamental de toda ciencia.
Por otra parte, existen ciencias, especialmente en el caso de las ciencias humanas y
sociales, donde los fenómenos no sólo no se pueden repetir controlada y artificialmente
(que es en lo que consiste un experimento), sino que son, por su esencia, irrepetibles,
v.g. la historia. De forma que el concepto de método científico aplicado a estas ciencias
habría de ser repensado, acercándose más a una definición como la siguiente: "proceso
de conocimiento caracterizado por el uso constante e irrestricto de la capacidad crítica
de la razón, que busca establecer la explicación de un fenómeno ateniéndose a lo
previamente conocido, resultando una explicación plenamente congruente con los datos
de la observación".
39
Objetivos de la ciencia
El Instituto Max Planck, red de institutos de investigación científica en Alemania, que
lleva su nombre en honor del físico alemán que inició la mecánica cuántica.
A pesar de la creencia popular, el objetivo de la ciencia no es responder todos los
interrogantes. El objetivo de las ciencias físicas es responder únicamente aquellas
preguntas pertenecientes a la realidad física. Asimismo la ciencia no puede enfrentar
todas las preguntas posibles, por lo que la elección de cuáles responder es importante.
La ciencia no puede ni se ocupa de producir verdades absolutas. En cambio, la ciencia
física a menudo evalúa hipótesis sobre un cierto aspecto del mundo físico y las revisa o
reemplaza acorde a nuevas observaciones e información.
De acuerdo al empirismo la ciencia no hace declaración alguna sobre cómo es realmente
la naturaleza; la ciencia sólo puede producir conclusiones sobre nuestras observaciones
de la naturaleza. Desde luego si la gente realmente pensara esto sería un acto
imprudente confiar sus vidas a ciencias tales como la medicina. Tanto los científicos
como las personas que aceptan la ciencia creen —y más aún— actúan como si la
naturaleza fuera tal como la ciencia la describe. Aun así, esto es únicamente un
problema si aceptamos la noción empirista de la ciencia.
La ciencia no es una fuente de juicios de valor subjetivos, aunque ciertamente puede ser
utilizada en asuntos de ética y políticas públicas al señalar las consecuencias probables
de ciertas acciones. Sin embargo, la ciencia no puede decirnos cuál de esas
40
consecuencias es la deseable o "mejor". Lo que uno proyecta desde las hipótesis
científicas más razonables hacia otros dominios de interés no es un problema científico,
y como tal el método científico no ofrece ninguna ayuda a quienes deseen hacerlo. A
pesar de esto la justificación (o refutación) científica es utilizada en muchos casos.
Desde luego los juicios de valor son intrínsecos a la ciencia en sí misma. Por ejemplo, la
ciencia valora la verdad y el conocimiento.
El objetivo o propósito subyacente de la ciencia para con la sociedad e individuos es
producir modelos útiles de la realidad. Se ha dicho que es virtualmente imposible hacer
referencias desde los sentidos humanos que describan aquello que "es". Por otra parte,
como se ha dicho, la ciencia puede hacer predicciones basadas en observaciones. Estas
predicciones a menudo benefician a la sociedad o a los individuos que hagan uso de
ellas. Por ejemplo, la física newtoniana y, en casos más extremos, la relatividad nos
permiten predecir todo desde el efecto que una bola de billar tendrá al impactar sobre
otra hasta las trayectorias de transbordadores espaciales y satélites. Las ciencias sociales
nos permiten predecir (con precisión limitada por el momento) elementos como la
turbulencia económica así como también nos ayuda a comprender el comportamiento
humano, producir modelos útiles de la sociedad y trabajar más empíricamente con
políticas gubernamentales. La química y la biología han transformado nuestra habilidad
para usar y predecir reacciones químicas y biológicas. Sin embargo, en los tiempos
modernos estas disciplinas científicas (en particular las últimas dos) son más
generalmente utilizadas en conjunción para producir modelos y herramientas más
completos.
En breve, la ciencia produce modelos útiles que nos permiten realizar predicciones
útiles. La ciencia intenta describir aquello que "es", pero evita tratar de determinar qué
"es" (lo cual es imposible por razones prácticas). La ciencia es una herramienta útil, un
creciente cuerpo de entendimiento que nos permite enfrentar más efectivamente nuestro
ambiente y adaptarnos tanto social como individualmente.
41
Aplicaciones de la matemática en la ciencia
Principia Mathematica de Isaac Newton
La matemática es esencial para muchas ciencias. La función más importante de la
matemática dentro de la ciencia la desempeña en la expresión de modelos científicos. La
observación y colección de medidas, así como la creación de hipótesis y la predicción a
menudo requieren modelos matemáticos y uso extensivo de la matemática. Las ramas
de la matemática más comúnmente empleadas en la ciencia incluyen al cálculo y las
estadísticas, aunque virtualmente toda rama de la matemática tiene aplicaciones en la
ciencia, aun áreas "puras" como la teoría de números y la topología. El uso de
matemática es particularmente frecuente en física, y en menor medida en química,
biología y algunas ciencias sociales.
Algunos pensadores ven a la matemática como una ciencia, considerando que la
experimentación física no es esencial a la ciencia o que la demostración matemática
equivale a la experimentación. Otros opinan lo contrario, ya que en matemática no se
requiere evaluación experimental de las teorías e hipótesis. En cualquier caso, la utilidad
de la matemática para describir el universo es un tema central la filosofía de la
matemática.
Filosofía de la ciencia
La efectividad de la ciencia como método de adquirir conocimiento ha constituido un
notable campo de estudio para la filosofía. La filosofía de la ciencia intenta comprender
el carácter y justificación del conocimiento científico y sus implicaciones éticas. Ha
resultado particularmente difícil proveer una definición del método científico que pueda
servir para distinguir en forma clara la ciencia de la no ciencia.
42
La más bella y profunda emoción que nos es dado sentir es la sensación de lo místico.
Ella es la que genera toda verdadera ciencia. El hombre que desconoce esa emoción,
que es incapaz de maravillarse y sentir el encanto y el asombro, está prácticamente
muerto. Saber que aquello que para nosotros es impenetrable realmente existe, que se
manifiesta como la más alta sabiduría y la más radiante belleza, sobre la cual nuestras
embotadas facultades sólo pueden comprender en sus formas más primitivas. Ese
conocimiento, esa sensación, es la verdadera religión.
Albert Einstein
Historia de la ciencia
Nicolás Copérnico
A pesar de ser relativamente reciente el método científico (concebido en la revolución
científica), la historia de la ciencia no se interesa únicamente por los hechos posteriores
a dicha ruptura. Por el contrario, ésta intenta rastrear los precursores a la ciencia
moderna hasta tiempos prehistóricos.
En occidente la antesala a la ciencia fue la filosofía natural. Ésta desacreditaba la
experimentación como método de validación del conocimiento, concentrándose en
cambio en la observación pura. Uno de los más destacados filósofos naturales fue el
pensador Aristóteles (384 adC - 322 adC). El mundo oriental también desarrolló
sistemas científicos propios, siendo éstos muy superiores a sus contrapartes de
occidente durante gran parte de la historia.
43
Tras la caída del Imperio Romano de Occidente (476 dC) gran parte de Europa perdió
contacto con el conocimiento escrito y se inició la Edad Media. A este largo período de
estancamiento también se lo conoce como "Edad Oscura".
El renacimiento (siglo XIV en Italia), llamado así por el redescubrimiento de trabajos de
antiguos pensadores, marcó el fin de la edad media y fundó cimientos sólidos para el
desarrollo de nuevos conocimientos. De los científicos de esta época se destaca Nicolás
Copérnico, a quien se le atribuye haber iniciado la revolución científica con su teoría
heliocéntrica.
Entre los pensadores más prominentes que dieron forma al método científico y al origen
de la ciencia como sistema de adquisición de conocimiento cabe destacar a Roger
Bacon en Inglaterra, René Descartes en Francia y Galileo Galilei en Italia.
Actualidad
La historia reciente de la ciencia está marcada por el continuo refinado del
conocimiento adquirido y el desarrollo tecnológico, acelerado desde la aparición del
método científico.
Si bien las revoluciones científicas de principios del siglo XX estuvieron ligadas al
campo de la física a través del desarrollo de la mecánica cuántica y la relatividad
general, en el siglo XXI la ciencia se enfrenta a la revolución biotecnológica.
El desarrollo moderno de la ciencia avanza en paralelo con el desarrollo tecnológico,
impulsándose ambos campos mutuamente.
Divulgación científica
La divulgación científica pretende hacer asequible el conocimiento científico a la
sociedad más allá del mundo puramente académico. La divulgación puede referirse a los
descubrimientos científicos del momento como la determinación de la masa del
neutrino, de teorías bien establecidas como la teoría de la evolución o de campos
enteros del conocimiento científico. La divulgación científica es una tarea abordada por
escritores, científicos, museos y medios de comunicación.
44
(Vista interna), Reactor Internacional Termonuclear Experimental, uno de los más
ambiciosos proyectos científicos de la historia realizado gracias al trabajo conjunto
entre la Unión Europea (UE), Rusia, Estados Unidos (EE.UU.), Japón, China y Corea
del Sur
Algunos científicos notables han contribuido especialmente a la divulgación del
conocimiento científico más allá del mundo estrictamente académico. Entre los más
conocidos citaremos aquí a Stephen Hawking, Carl Sagan, Richard Dawkins, Stephen
Jay Gould, Martin Gardner y a autores de ciencia ficción como Isaac Asimov. Otros
científicos han realizado sus tareas de divulgación tanto en libros divulgativos como en
novelas de ciencia ficción como Fred Hoyle. La mayor parte de las agencias o institutos
científicos destacados en EE.UU. cuentan con un departamento de divulgación
(Education and Outreach) si bien ésta no es una situación común en la mayoría de los
países.
Influencia en la sociedad
Dado el carácter universal de la ciencia, su influencia se extiende a todos los campos de
la sociedad. Desde el desarrollo tecnológico a los modernos problemas de tipo jurídico
relacionados con campos de la medicina o la genética. En ocasiones la investigación
científica permite abordar temas de gran calado social como el Proyecto Genoma
Humano y de implicaciones morales como el desarrollo del armamento nuclear.
Asimismo la investigación científica moderna requiere en ocasiones de importantes
inversiones en grandes instalaciones como grandes aceleradores de partículas (CERN)
45
la exploración espacial, o la investigación de la fusión nuclear en proyectos como ITER.
En todos estos casos es deseable que los logros científicos conseguidos lleguen a la
sociedad.
46
DERECHO Y CIENCIAS SOCIALES
Derecho
El Derecho es el orden normativo e institucional de la conducta humana en sociedad
inspirado en postulados de justicia, cuya base son las relaciones sociales existentes que
determinan su contenido y carácter. En otras palabras, es el conjunto de normas que
regulan la convivencia social y permiten resolver los conflictos interpersonales.
La anterior definición da cuenta del Derecho positivo o efectivo, pero no explica su
fundamento; por ello juristas, filósofos y teóricos del Derecho han propuesto a lo largo
de la historia diversas definiciones alternativas, y distintas teorías jurídicas sin que
exista, hasta la fecha, consenso sobre su validez. El estudio del concepto del Derecho lo
realiza una de sus ramas, la Filosofía del Derecho.
Desde el punto de vista objetivo, dícese del conjunto de leyes, reglamentos y demás
resoluciones, de carácter permanente y obligatorio, creadas por el Estado para la
conservación del orden social. Esto sin tener en cuenta si es o no justa; es decir que si se
ha llevado a cabo el procedimiento adecuado para su creación, existe la norma sea justa
o no lo sea.
En la vida cotidiana
Existen multitud de situaciones en las que interviene el Derecho. Tienen trascendencia
jurídica actos tales como subir a un autobús, comprar la entrada al cine, adquirir un
periódico. Ante tales actos, podemos exigir que el autobús nos transporte a un lugar
determinado, o que se nos deje entrar a la sala de proyecciones para ver el espectáculo.
Adquirimos la propiedad del periódico y perdemos la del dinero que hemos pagado por
él.
En otros casos, el alcance jurídico de los hechos es aún más claro: nos quitan la cartera
y acudimos a la policía para que se inicie una actividad dirigida a descubrir al culpable y
se le imponga la pena correspondiente; compramos un apartamento a plazos sabiendo
que contraeremos una deuda, y que si no cumplimos con ella seremos demandados ante
los tribunales.
47
Si de estos ejemplos o de otros muchos queremos deducir cuál es su significado
jurídico, no será difícil llegar a la siguiente consecuencia: en todos los casos expuestos
podemos exigir de otros una conducta determinada, u otros nos la pueden exigir a
nosotros. Pero para que esto sea posible, es preciso que exista un conjunto de normas o
reglas establecidas, en virtud de las cuales surja la posibilidad de reclamar o de quedar
sujetos a una reclamación.
Si un individuo puede exigir que se le entregue el periódico a cambio de su precio, es
porque hay una regla o conjunto de reglas que así lo disponen, como también
preceptúan que el vendendor pueda exigir el pago de la mercancía. La existencia de una
regla o norma preestablecida es lo que da soporte jurídico, a todos los hechos y, de este
modo nos pone en contacto con el Derecho.
Origen
Es de naturaleza controvertida, sobre el tema los autores se han orientado a varias
posturas, entre ellas las de mayor aceptación suelen ser las siguientes:
El Derecho nace como una relación de fuerza entre personas desiguales, sea
material o psíquicamente.
El Derecho nace como reparación a una ofensa física o moral que una persona
inflije a otra.
El Derecho nace para regular la indemnización debida por el incumplimiento de
una palabra dada. En general para regular los negocios jurídicos entre las
personas.
El Derecho nace de la necesidad de regular las relaciones que surgen entre los
distintos sujetos de Derecho. A medida que las relaciones interpersonales se
vuelven más complejas el Derecho lo va receptando.
El Derecho nace como una reacción del Estado ante la autotutela individual
(venganza privada), monopolizando o, más bien, pretendiendo monopolizar el uso
de la violencia como instrumento de coerción y de resolución de conflictos.
48
Características
Una primera característica del Derecho es la bilateralidad, es decir, que un sujeto
distinto al afectado está facultado para exigir el cumplimiento de la norma. Por ello se le
otorga la cualidad "imperativo atributivo" al Derecho.

Imperativo: que impone un deber de conducta. Por ejemplo: pagar
impuestos al Estado.

Atributivo: que faculta a una persona distinta del obligado para exigir el
cumplimiento de este imperativo.
Una segunda característica del Derecho es su heteronomía. Se caracteriza por ser
autárquico. En el sentido de que el individuo puede discrepar del contenido de la norma,
pero le resulta irrelevante al Derecho si el está de acuerdo o no, pues las personas no se
las han dado a sí mismas. El Derecho es establecido por otro, una autoridad, organismo
o institución, denominada en general legislador. Paralelamente existen salvedades a esta
heteronomía: la costumbre, el acto jurídico y el acto corporativo.
Una tercera característica es la alteridad del Derecho, esta idea implica que el Derecho
y las normas jurídicas que lo forman se refieren siempre a la relación de un individuo
para con otros. El Derecho enlaza distintas personas y determina como debe ser su
comportamiento recíproco exterior. Por ejemplo en la relación jurídica de derecho de
alimentos entre el padre y un descendiente (hijo o nieto), vincula a estos dos sujetos y
les da facultades distintas: el padre tiene el deber de brindar alimentos mediante la
pensión alimenticia (sujeto pasivo o deudor) y los descendientes tienen el derecho que
su padre les brinde los alimentos necesarios (sujeto activo o acreedor).
Una última característica es la coercibilidad, que supone la legítima posibilidad de
utilizar la fuerza socialmente organizada en caso de exigir el cumplimiento de éste o de
aplicar la sanción correspondiente al violar el Derecho. La fuerza socialmente
organizada, para el Derecho, son las fuerzas policiales y de seguridad contempladas en
la Constitución y los tribunales de justicia. Es importante distinguir entre coercibilidad
y coacción; ésta última es el hecho materializado en sí, el hecho físico de la
coercibilidad.
49
RAMAS DEL DERECHO:
Las diversas ramas jurídicas son las siguientes:

Derecho Administrativo.

o Derecho de la función
Derecho mercantil.
o Contratos mercantiles
publica.
o Derecho concursal.
o Derecho urbanístico.
o Derecho de sociedades.

Sociedades.

Derecho alimentario.

Derecho ambiental.
o Derecho marítimo.

Derecho civil.
o Títulos valores y títulos de
crédito.
o Derecho de las personas.

o Derecho de cosas o de
bienes.
o Delitos y penas.

Bienes.
o Teoría del delito y de la

Derechos reales.

Posesión y mera
pena.
o Derecho penitenciario.

tenencia.
Derecho político.
o Derecho de daños.
o Derecho constitucional.
o Derecho de obligaciones.
o Ciencia política.

Obligaciones.

Contratos y

Derecho procesal.
o Derecho procesal
cuasicontratos.
administrativo.

o Derecho de sucesión.
Derecho aduanero.

Herencia y legado.
o Derecho procesal civil.

Sucesión intestada.
o Derecho procesal laboral.

Sucesión testada y
o Derecho procesal penal.
testamento.
o Derecho procesal
o Derecho nobiliario.
constitucional.
o Propiedad intelectual.

Derecho penal.

Derechos de autor.

Propiedad industrial.

Derecho registral y notarial.

Derecho religioso y eclesiástico.
o Derecho canónico.
Derecho de familia.
o Sharia.
o Adopción, filiación y
o Torá.
parentesco,

50
Derecho tributario o fiscal.
o Tutela y cúratela

Filosofía del derecho.
o Derecho de alimentos
o Teoría del derecho.
o Matrimonio y regimenes
o Teoría de la justicia.
patrimoniales del
o Sociología del derecho.
matrimonio.

o Separación, nulidad y
o Derecho romano.
divorcio.

Derecho económico.

Derecho informático.
Historia del derecho.
o Derecho germánico.
o Derecho indiano.

Derecho de los animales.
o Derecho biotecnológico.

Derecho internacional.
o Derecho internacional
privado.
o Derecho internacional
público.

Derecho laboral.
o Derecho sindical.
o Derecho de la seguridad
social.
Un movimiento social puede entenderse como la agrupación informal de individuos u
organizaciones dedicadas a cuestiones político-sociales que tiene como finalidad el
cambio social. Los movimientos sociales como estructuras de cambio social tienen su
origen en las crisis de las organizaciones de izquierda socialdemócrata y del socialismo
real, principalmente partidos políticos y sindicatos. Surgen como modos de
organización de colectivos, fundamentalmente marginales, que luchan dentro de un
campo político más o menos concreto. Algunos ejemplos de estos movimientos son el
movimiento feminista, el movimiento ecologista, el movimiento obrero, el movimiento
pacifista o antimilitarista, o, más reciente en su surgimiento, el movimiento ocupa y el
movimiento antiglobalización.
51
La mayor parte de los autores coinciden en señalar que el término apareció en Alemania
hacia los años 1970 con la formación de los grupos de acción cívica (Bürgerinitiativen).
Los movimientos sociales rara vez confluyen en un partido político; su labor se basa En
presionar al poder político de una forma mediante reivindicaciones concretas o en crear
alternativas. Estas alternativas o reivindicaciones se convierten en su principal
identidad, sin tener que llegar a plasmar un ideario completo.
Son el equivalente a acción afirmativa o grupo de presión. Tienen las características de
un carácter de permanencia y con un número de personas representativo, con relación a
los que sufren o ignoran el problema. Su recuerdo histórico es muy antiguo, por
ejemplo, los Comuneros de Castilla. Son algunas veces el nacimiento de una idea con
líderes carismáticos memorables y su génesis puede derivar hacia un movimiento o
iniciar una revuelta o, más contundentemente, una revolución, como la Revolución
Mexicana y asimismo la eventual plataforma para un partido hacia el poder, opción que
parece un rodeo innecesario.
Es una forma instantánea y continuada de insertarse en el ámbito político, con
inicialmente poco esfuerzo organizativo, sin pertenecer a él, pero sí con fuerza de
cambio político, como la restauración de la democracia perdida en regímenes
autoritarios. Su análisis incluye su objetivo, el tipo de clientela y es interesante el
desarrollo de su proceso organizativo. El impacto en la sociedad es desde meramente
presencial, como una fuerza de choque perturbadora, o hasta resultar muy definitorio,
como grupos fuertes de interés y presión hacia el poder instituido. Deben cuidar su
progreso organizativo para ser eficaces y continuar perseverando y merecerse el honor
de co-artífices de eventos democráticos en las instituciones u otros más modestos, como
la información de los ciudadanos.
La vocación de los movimientos sociales es muy grande por su diversidad, por sus
muchos objetivos, desde su auge en los años 1960. Su prestigio también es grande. Es
una de las vías lógicas de participación ciudadana. No son Fundaciones sociales u
Organizaciones no gubernamentales (ONGs), que son unidades asistenciales. Tampoco
son Partidos políticos, cuyo fin es alcanzar el poder.
52
GRUPOS SOCIALES
Un grupo social, llamado también grupo orgánico, es un conjunto de personas que
desempeñan roles recíprocos dentro de la sociedad. Este puede ser fácilmente
identificado, tiene forma estructurada y es durable. Las personas dentro de él actúan de
acuerdo con unas mismas normas, valores y fines acordados y necesarios para el bien
común del grupo.
Cuando la adscripción a determinado grupo social está fuertemente determinada por
criterios económicos y está fuertemente influida por la clase de la familia en que nace el
individuo, el grupo social de los individuos se suele denominar clase social.
Descripción
Todo grupo implica ventajas y valores para cada uno de sus miembros. Cuando las
personas se dan cuenta de esto, de lo útil que es unirse con otras personas, se puede
llegar a la creación de un grupo con ese fin deseado, lo cual después da origen a lo que
es la asociación.
Estos se pueden dividir en diferentes clases de grupos:
1.- Grupos primarios: la familia. Formada ante todo por la convivencia diaria.
2.- Grupos secundarios: la escuela, el trabajo, los equipos deportivos y los grupos
artísticos, entre otros. Formados sobre todo por intereses afines, proyectos claros,
el libre acuerdo y cooperación.
53
ADMINISTRACION
1. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo trata de establecer una definición de Administración, así como la
definición que le han dado varios personajes, cuya influencia le ha dado una gran
importancia para el área de los negocios, reflejamos además sus antecedentes históricos,
desde sus imperios (Sumeria, Egipto, Babilonia, Los Hebreos, China, Gracia, Persia y
Roma), así como una reseña de los personajes de gran importancia en este tema
(Nicolás Maquiavelo, Adam Smith, Charles Babbage, Daniel Mccallum, Frederick
Winslow Taylor, Henry Metcalfe, Henry L. Gantt, Frank Y William Gilbreth, Henry
Farol, Max Weber, Mary Parker Follett, Chester I. Barnard, Elton Mayo, Abraham
Maslow Y Douglas Mcgregor, James March Y Herbert Simon, Hugo Munsterberg),
exponemos además la relación de la administración con otras ciencias (Derecho,
Economía, Ingeniería Industrial, Matemáticas, Psicología, y la Moral), así como sus
tipos. Exponemos sobre el Proceso Administrativo (Planeación, Organización,
Dirección y Control), sus conceptos y datos fundamentales, nos enfocaremos en dos
grandes Escuelas de la Administración, Como ser la Escuela de Relaciones Humanas,
que su mayor evento ha sido el experimento de Hawthorne, piesa fundamental por los
descubrimientos hechos en el, en esta escuela mencionamos además datos sobro uno de
los personajes que a mí parecer ha tenido una gran influencia en las Relaciones
Humanas, Dale Carnegie, que con su obra que es considerado un "Best Seller", no solo
por sus copias vendidas sino por su aporte por los cursos que a lo largo de los años se
han dictado y han servido de apoyo a grandes empresarios, podríamos mencionar a
Warren Buffett, el cual es graduado de este curso, la otra Escuela de la cual exponemos
es la Escuela de Sistemas, sus orígenes y sus eventos a lo largo de la historia.
Como parte suplementaria al presente trabajo expondremos sobre los Organigramas, su
finalidad, ventajas, desventajas, los requisitos para su elaboración, así como los criterios
que se tiene que tomar en cuenta, su simbología, su clasificación, los procesos y su
diseño, otra parte suplementaria es sobre los Manuales administrativos, ventajas y
desventajas, su clasificación, criterios metodológicos para el diagnóstico de los
manuales administrativos, su contenido, entre ellos explicaremos sobre el Manual de
Organización, Manual Específico de Reclutamiento y Selección, Manual de
54
Departamento, Manual de Personal y el Manual de Procedimientos Administrativos. El
contenido expuesto es extenso y a la ves muy productivo.
2. PROPÓSITO
El propósito fundamental del presente trabajo es hacer énfasis sobre la administración,
recabado información de varios Libros y especialmente del Internet, compartiendo con
el lector o la persona que este investigando sobre el tema, los conocimientos adquiridos
en esta materia de gran importancia en la Carrera de Contaduría, además de esto se trata
de facilitar los datos sobre los eventos más relevantes de la administración, creando de
esta forma una alternativa de información sobre la Administración, los Organigramas y
los Manuales Administrativos, logrando de esta forma una formación profesional y
brindando herramientas importantes para poner aplicarlas en las situaciones que a lo
largo de la vida de los negocios se puedan dar y al aplicarlas de la mejor manera obtener
los mejores resultados. La Administración es muy importante así como la Contabilidad,
las cuales deben ir juntas, así como el conocimiento de las dos materias, para poder dar
respuestas y desempeñarse y sugerencias en esta área.
3. DEFINICIONES, OBJETIVO, IMPORTANCIA Y CARACTERÍSTICAS
3.1 DEFINICION DE VARIOS AUTORES
Es un proceso muy particular consistente en las actividades de planeación, organización,
ejecución y control, desempeñadas para determinar y alcanzar los objetivos señalados
con el uso de seres humanos y otros recursos.
El Dr. George R. Terry la define como: "La administración consiste en lograr que se
hagan las cosas mediante otras personas".
Koontz y O’Donnell nos da la siguiente definición: "La dirección de un organismo
social y su efectividad en alcanzar objetivos, fundada en la habilidad de conducir a sus
integrantes".
V. Clushkov: "Es un dispositivo que organiza y realiza la trasformación ordenada de la
información, recibe la información del objeto de dirección, la procesa y la transmite
bajo la forma necesaria para la gestión, realizando este proceso continuamente".
55
E. F. L. Brech: "Es un proceso social que lleva consigo la responsabilidad de planear y
regular en forma eficiente las operaciones de una empresa, para lograr un propósito
dado".
J. D. Mooney: "Es el arte o técnica de dirigir e inspirar a los demás, con base en un
profundo y claro conocimiento de la naturaleza humana". Y contrapone esta definición
con la que da sobre la organización como: "la técnica de relacionar los deberes o
funciones específicas en un todo coordinado".
Peterson and Plowman: "Una técnica por medio de la cual se determinan, clarifican y
realizan los propósitos y objetivos de un grupo humano particular".
F. Tannenbaum: "El empleo de la autoridad para organizar, dirigir, y controlara a
subordinados responsables (y consiguientemente, a los grupos que ellos comandan), con
el fin de que todos los servicios que se prestan sean debidamente coordinados en el
logro del fin de la empresa".
Henry Fayol (considerado como el verdadero padre de la moderna Administración),
dice que "administrar es prever, organizar, mandar, coordinar y controlar".
F. Morstein Marx la concibe como: "Toda acción encaminada a convertir un propósito
en realidad positiva"…"es un ordenamiento sistemético de medios y el uso calculado de
recursos aplicados a la realización de un propósito".
Brook Adams. La capacidad de coordinar hábilmente muchas energías sociales con
frecuencia conflictivas, en un solo organismo, para que ellas puedan operar como una
sola unidad.
Es el proceso de planificación, organización, dirección y control del trabajo de los
miembros de la organización y de usar los recursos disponibles de la organización para
alcanzar las metas establecidas.
3.2 DEFINICION PERSONAL
Mi concepto personal de la Administración es "Es el proceso de lograr que las cosas se
realicen por medio de la planeación, organización, delegación de funciones, integración
de personal, dirección y control de otras personas, creando y manteniendo un ambiente
56
en el cual la persona se pueda desempeñar entusiastamente en conjunto con otras,
sacando a relucir su potencial, eficacia y eficiencia y lograr así fines determinados".
3.3 OBJETIVOS DE LA ADMINISTRACIÓN
Para que exista un sentido de satisfacción debe existir un objetivo, lo que da un
propósito al esfuerzo; además el objetivo debe tener un significado y valor; así que la
definición de objetivo es: "Un objetivo administrativo es una meta que se fija, que
requiere de un campo de acción definido y que sugiera la orientación para los esfuerzos
de un dirigente", en esta definición hay cuatro elementos que son:
1.
Meta
2.
Campo de acción
3.
Definición de la Acción
4.
Orientación
Séneca afirmó... "Si el hombre no sabe a cuál puerto se dirige, ningún viento le es
favorable."
Los Objetivos son importantes para llegar a los resultados deseados; la falta de objetivos
hace que la administración sea innecesariamente difícil, si es que se puede hablar en
rigor de administración; así que, los objetivos básicos son un prerrequisito para
determinar cualquier curso de acción y deben ser definidos con claridad para que los
comprendan todos los miembros de la empresa.
Albert Einstein dijo... "Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo."
A la administración por objetivos también se le llama Administración de Resultados, y
administración de metas, estimula la toma de decisiones, aumenta la productividad y
mejora la eficiencia administrativa, los resultados determinan el éxito del administrador
en el análisis final de la empresa.
La clasificación de objetivos en una empresa puede ser la siguiente:
1.
Obtener Utilidades (Económicos)
2.
Proporcionar buenos productos o servicios
3.
Mantener a la cabeza de los competidores
57
4.
Bienestar de los empleados (Sociales)
5.
Ser eficiente
6.
Progresar
3.4 IMPORTANCIA DE LA ADMINISTRACIÓN
No sería suficiente con decir que sin una buena administración ninguna organización
tendrá éxito; por lo cual mencionaremos algunos hechos para mencionar su importancia:
1.
La administración no solamente nació con la humanidad sino que se extiende a
la vez a todos los ámbitos geográficos y por su carácter Universal, lo encontramos
presente en todas partes. Y es que en el ámbito del esfuerzo humano existe
siempre un lado administrativo de todo esfuerzo planeado.
2.
Donde exista un organismo social allí estará presente la administración.
3.
No sirve de mucho que en una empresa existan buenas instalaciones, el mejor
equipo, la mejor ubicación, si lo todo lo anterior no va acompañado del elemento
humano necesario para dirigir las actividades, o sea que la administración es
importante para alcanzar objetivos de la organización.
4.
En las grandes empresas la administración científica o técnica es esencial ya que
no podrían existir sin una buena administración.
5.
La administración es un proceso universal ya que no solo se da en los países
capitalistas, sino que también en los países socialistas o de cualquier tipo que
sean, la administración es importante tanto en las pequeñas como el las grandes
empresas.
6.
Otro hecho importante es que por medio de la administración se puede elevar la
productividad y los niveles de vida en los países en vías de desarrollo.
7.
La administración imparte efectividad a los esfuerzos humanos. Ayuda a obtener
mejor personal, equipo, materiales, dinero y relaciones humanas.
8.
Se mantiene al frente de las condiciones cambiantes y proporciona previsión y
creatividad.
Edison dijo... "Dos personas unidas en una tarea común han de hacer mucho más que
duplicar las energías."
58
Concluiremos diciendo que la administración es importante por que se aplica en
cualquier tipo de organización con deseos de aumentar su productividad y el éxito,
dependiendo para esto del elemento humano y material.
3.5 CARACTERISTICAS DE LA ADMINISTRACION
Dentro de las características de la administración tenemos las siguientes:
1.
Universalidad: La administración se da donde quiera que existe un organismo
social (estado, ejército, empresas, iglesias, familia, etc.), porque en él tiene
siempre que existir coordinación sistemática de medios.
2.
Especificidad: La administración tiene sus propias características las cuales son
inconfundibles con otras ciencias, aunque va acompañada siempre de ellas
(funciones económicas, contables, productivas, mecánicas, jurídicas, etc.), son
completamente distintas.
3.
Unidad Temporal: Aunque se distingan etapas, fases y elementos del proceso
administrativo, éste es único y, por lo mismo, en todo momento de la vida de una
empresa se están dando, en mayor o menor grado, todos o la mayor parte de los
elementos administrativos.
4.
Unidad Jerárquica: Todos cuantos tienen carácter de jefes en un organismo
social, participan en distintos grados y modalidades, de la misma administración.
Así, en una empresa forman un solo cuerpo administrativo, desde el gerente
general, hasta el último mayordomo". Respetándose siempre los niveles de
autoridad que están establecidos dentro de la organización.
5.
Valor Instrumental: La administración es un instrumento para llegar a un fin, ya
que su finalidad es eminentemente práctica y mediante ésta se busca obtener
resultados determinados previamente establecidos.
6.
Flexibilidad: La administración se adapta a las necesidades particulares de cada
organización.
7.
Amplitud de Ejercicio: Esta se aplica en todos los niveles jerárquicos de una
organización.
También podríamos mencionar otras características como:
59
a.
Es un medio para ejercer impacto en la vida humana. Es decir, la administración
influye en su medio ambiente.
b.
Se logra mediante los esfuerzos. Para participar en la administración se requiere
dejar la tendencia a ejecutar todo por uno mismo y hacer que las tareas se
cumplan mediante los esfuerzos de otros.
c.
Es una actividad, no una persona o grupo de ellas. La administración no es
gente, es una actividad; las personas que administran pueden ser designadas como
Directores, gerentes de áreas, etc.
d.
La efectividad administrativa requiere el uso de ciertos conocimientos, aptitudes
y práctica. La habilidad técnica es importante para cumplir con un trabajo
asignado.
e.
La administración es intangible. Su presencia queda evidenciada por el resultado
de los esfuerzos.
f.
Los que la practican no son necesariamente los propietarios; es decir que el
administrador y el propietario no son necesariamente la misma persona.
3.6 LOS ONCE MANDAMIENTOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DEL SIGLO
XXI (Matthew nan)
La tendencia de los negocios para el tercer milenio es la valoración del capital
intelectual. Si los gerentes se prepararan para administrar y potenciar el capital
intelectual al menos de la misma manera como se preparan para administrar las finanzas
o la producción de sus firmas, sus compañías estarían mejor situadas y las personas que
hacen parte de ellas trabajarían con más corazón por ser los mejores.
Básicamente los 11 mandamientos de Kiernan hacen referencia a la potenciación del
capital intelectual, a continuación hacemos referencia a ellos:
1.
No juegues de acuerdo con las reglas de competencia dominantes de tu
empresa: Inventa las tuyas y haz que otros sigan tus pasos.
2.
¡Innovar o Morir!: Desarrolla estrategias y mecanismos conscientes para
promover innovaciones, realiza ejercicios de creatividad en toda la empresa.
3.
Vuelve a examinar tu empresa para encontrar activos estratégicos escondidos,
luego impúlsalos lo más que puedas: Quieres ser parte de una empresa
60
excepcional, fíjate en todos tus colaboradores y en todos los procesos, seguro
hallarás potencial de valor que podrás aprovechar y apalancar.
4.
Desarrolla la inclinación por la velocidad y la acción de tu empresa: El
análisis y la reflexión son muy buenas, pero no llegarás a ningún lado sin llevar
los planes a la práctica, más vale que seas rápido antes que otros se te adelanten.
Mejor dicho, no camines, corre y si puedes cómprate una moto por que tu
competencia se mueve más rápido de lo que imaginas.
5.
Debes ser proactivo y experimental: tienes una iniciativa en mente pero no
sabes como decirlo en la junta directiva por miedo al rechazo. Inténtalo y si dan
vía a tu idea llévala a cabo, la prueba y el error valen.
6.
Rompe barreras: Las compañías "virtuales" del siglo XXI están desmantelando
las barreras internas que con tanta frecuencia separan gente, departamentos y
disciplinas. Sal de lo convencional, empodera a tus colaboradores, dales
autonomía y capacidad de decisión, cambia horarios, formas de compensación y
de capacitación, etc.
7.
Emplea toda tu gente y todas sus capacidades, todo el tiempo: Empodera a
tus colaboradores, dales autonomía y capacidad de decisión, si tu los contrataste
es por que son los mejores cree en ellos.
8.
Globaliza tanto tu perspectiva como las bases de tu conocimiento: Los
mercados de mayor crecimiento en el mundo no sólo están fuera de Estados
Unidos, también están fuera de los países de la OECD. Conviértete en un
dirigente global, sí así como suena, las economías emergentes tienen crecimientos
muy rápidos que puedes aprovechar.
9.
Admite que la revolución ecoindustrial está sobre nosotros: Los resultados
financieros no son lo único que cuenta, debes pensar en tus hijos y nietos, los
lazos entre economía y medio ambiente son más estrechos día a día.
10. Has del aprendizaje organizacional una religión de tu empresa: Si tienes la
posibilidad de conocerte, aprender rápido y atacar, basado en dicho conocimiento,
las debilidades de tu empresa, tendrás una ventaja sobre tus competidores. Si el
aprendizaje lo conviertes en oportunidades, nuevos productos, servicios y
tecnologías antes que tu competencia, serás líder.
11. Desarrolla herramientas estratégicas para medir tu desempeño: No basta
con mediciones estáticas de las finanzas o el desempeño de mercados, debes
61
detectar los factores dinámicos que afectan la producción, las finanzas, el
mercado y en general, el entorno de tu empresa.
4. ANTECEDENTES HISTORICOS
A pesar de que en la historia de la humanidad siempre existió el trabajo, la historia de
las organizaciones y de su administración es un capítulo que comenzó en época reciente,
se puede afirmar que la administración es tan antigua como el hombre.
Las personas llevan muchos siglos formando y reformando organizaciones. Al repasar
la historia de la humanidad, aparece la huella de pueblos que trabajaron unidos en
organizaciones formales, por ejemplo los ejércitos griegos y romanos, la Iglesia
Católica Romana, la Compañía de las Indias Orientales. Las personas también han
escrito sobre cómo lograr que las organizaciones sean eficientes y eficaces, desde
mucho antes de que términos como "administración" fueran de uso común.
En toda su larga historia la administración se desarrolló con una lentitud impresionante.
Sólo a partir del siglo XX cuando las personas le dieron la mayor importancia a la
administración, este siglo atravesó etapas de desarrollo de notable innovación.
De todo lo anterior, los eventos y personajes que marcaron su huella en la historia de la
administración los mencionamos a continuación:
4.1 IMPERIOS
4.1.1 SUMERIA (5000 a. C.):
Fueron los primeros en tener escritura, los sacerdotes llevaban en forma arcaica, el
control administrativo del cobro de los impuestos.
La ascensión de Sargón I en 2334 a. C. marcó el comienzo de la dinastía de Acad; la
lengua acadia es la básica de los textos escritos en este tiempo, especialmente el antiguo
dialecto acadio. Con el declive de esa dinastía hacia el 2200 a. C., Acad fue eclipsada y
la lengua sumeria se convirtió otra vez en el lenguaje normal de la administración,
aunque en los próximos mil años los reyes se denominarán a sí mismos reyes de Sumer
y Acad.
62
Bajo la tercera dinastía de Ur (o Ur III), hay un masivo crecimiento de la burocracia real
con el consiguiente aumento de textos administrativos sin parangón en ningún otro
período de la historia de Mesopotamia.
Se pueden distinguir cuatro grandes períodos en la lengua sumeria:

Sumerio arcaico. Que cubre un periodo desde el 3.100 a.C. con la aparición de
los primeros registros sumerios hasta el 2.500 a.C. En esta etapa los textos de la
lengua son de carácter comercial y administrativo, aunque también los hay de
enseñanza en la forma de simples ejercicios de escritura. Debido a la escasez de
material hay dificultades para conocer con más exactitud este período de la lengua.

Sumerio antiguo o clásico. Que va desde el 2.500 a.C. al 2.300 a.C. y está
representado por los registros de los primeros gobernantes de Lagash. Esos textos
son de carácter comercial, legal y administrativo, aunque también hay inscripciones
reales y privadas, especialmente de carácter votivo, cartas y encantamientos. En
contraste con el período anterior, aquí nos hallamos con una mayor cantidad de
textos lo que hace posible una reconstrucción de la gramática sumeria y del
vocabulario.

Sumerio nuevo. Durante el período que va desde el 2.300 hasta el 2.000 a.C.
surge con gran fuerza la lengua acadia, usada a través de toda la región que cubre el
Imperio Acadio. Es el momento en el que la dinastía sargónica toma la hegemonía
de Babilonia y la lengua sumeria experimenta un retroceso ante el empuje del acadio
que la limita a una pequeña región en Sumer. Tras un breve período de recuperación
durante la tercera dinastía de Ur, el periodo del sumerio nuevo llega a su fin junto
con la tercera dinastía de Ur para dar paso a las dinastías de Isin, Larsa y Babilonia.

Post-sumerio. La última fase de la lengua tiene lugar en el periodo babilonio
antiguo, cuando Babilonia se convierte en la capital del país. Es el tiempo en el que
gobiernan las dinastías de Isin, Larsa y Babilonia. Durante el mismo los sumerios
perdieron su identidad política y su lengua dejó de ser hablada aunque continuó
siendo puesta por escrito en el sistema cuneiforme de escritura. En las últimas fases
de este período, el uso de la escritura sumeria se extendió en textos legales y
administrativos e inscripciones reales, que a veces son bilingües. Muchas
composiciones literarias sumerias que procedían por vía oral de períodos más
antiguos fueron puestas por escrito por primera vez en esta fase. En esa literatura
63
aparecen mitos, épica, himnos, lamentaciones, rituales, encantamientos y
proverbios. Por siglos tras el período babilonio antiguo, el estudio del sumerio
continuó en las escuelas babilónicas, hasta el punto de que Asurbanipal (siglo VII
a.C.), gobernante asirio, se jactaba de poder leer la lengua. Incluso ya en el período
helenístico hay tablillas cuneiformes que muestran las palabras sumerias transcritas
en letras griegas.
En la sociedad sumeria la escritura fue la base del progreso, y precisamente a Sumer se
debe estas invención hacia el año 3.000 A.C. Surgió con el desarrollo del comercio,
cuando los sumerios necesitaron un sistema para registrar sus transacciones
comerciales. Al principio grababan en tablas de arcilla, con un punzón de caña, sencillas
representaciones de objetos, denominadas pictografías. Los datos importantes se
conservaban en tablas cocidas al horno.
Observación Sumeria... "Gastemos si estamos condenados a morir, ahorremos si
esperamos larga vida".
REVOLUCION URBANA:
La revolución urbana trajo consigo la aparición del Estado y una determinada
estratificación económica y social, así como el uso de la escritura. Con ella se asiste a
una separación entre la producción primaria de alimentos y a las técnicas especializadas.
Las aldeas, encargadas de la producción de alimentos, no tardaron en quedar
subordinadas a los grandes centros urbanos.
Los excedentes de alimentos permitieron a los especialistas de las ciudades vivir sin
preocupación de esta labor. Los productores de alimentos, a su vez, recibían productos
especializados de los artesanos, cuyo control de las técnicas les permitió gozar de un
cierto prestigio social y cultural sobre el resto de la población.
Sin embargo, el estrato superior de la población lo ocupaban en la ciudad, los sacerdotes
y quienes desarrollaban funciones administrativas, como los escribas.
Aparecen ahora las grandes organizaciones de los templos y los palacios, que
diferenciarán substancialmente la ciudad de las aldeas. Los templos se dedicaban al
64
culto y eran casas de los dioses, mientras que los palacios eran habitados por los reyes,
en compañía de su corte y eran centros administrativos.
Los excedentes se acumulaban en los almacenes de los palacios, y en estos se realizaban
también tareas artesanales mediante la escritura y los archivos.
Templos y palacios disponían de edificios donde vivían los empleados dedicados a
ellos.
El personal especializado trabajaba para el estado; vivía de el directamente o recibía
tierras para cultivar. Eran auténticos siervos y formaban una élite social, política y
económica.
Los trabajadores del palacio eran muy variados, como se desprende de las listas de
profesiones conocidas. Los objetos se producían en serie, formándose una jerarquía
entre maestros artesanos, obreros y aprendices. El pago del trabajo dependía de la
capacidad del obrero y del puesto que desempeñaba, lo que llevo a una verdadera
estratificación laboral.
El centro de irradiación de la llamada Revolución Urbana fue la ciudad de Uruk en la
que pueden distinguirse dos periodos bien diferenciados: Uruk antiguo ( 3500-3200 ) y
Uruk reciente ( 3200-3000.
Uruk es una ciudad bien conocida gracias a las excavaciones. Era el mas importante de
los centros urbanos sumerios, como lo indica su superficie, sus templos y sus edificios
administrativos. Contaba con un gigantesco santuario en uno de los recintos sagrados en
el que mas tarde se construiría el Zigurat.
EL PERIODO PROTODINASTICO:
Esta fase suele ser dividida en Protodinástica I, Protodinástica II (2750-2600 a.C.),
Protodinástica III a (2600-2450 A.C.) y III b (2450-2350 A.C.). Son subdivisiones bien
conocidas por documentos de carácter administrativo y las ultimas por escritos de tipo
jurídico y político.
Un buen numero de ciudades, convertidas en estados aparecen asentadas a orillas del
Eufrates: Kish, Nippur, Akshat, Uruk, Ur y Shuruppak en la orilla oeste; Lagash, Adah,
65
Umma, Bal-Tibira y Zabalan, en la este. A este mundo sumerio pertenecen también
Mari y Asur, y relacionados con aquel, Susa y Jamazi, en el Zagros.
Estas ciudades-estado eran independientes pero compartían una misma civilización, la
sumeria. No esta del todo claro si los sumerios emigraron a estas tierras en bloque o si
tuvo lugar una lenta infiltración; los documentos escritos se redactaron en lengua
sumeria, pero en ellos se leen nombres semitas y Acadios. Estos últimos eran mas
numerosos en el norte mientras que los sumerios lo eran en el sur.
Un análisis de la onomástica nos lleva a la conclusión de que existieron, al menos tres
aportaciones diferentes: una presumeria procedente seguramente de Irán, una sumeria,
cuyos componentes eran funcionarios dedicados a la administración o personas
dedicadas a la elaboración de productos de transformación, y una tercera, semita, que se
dedicaba al control y desempeño de los cargos mas elevados. Las dos primeras
poblaciones, presumeria y sumeria se asentaron sobre todo en el nordeste, mientras que
la tercera semita lo hacia en el noroeste.
Otras lenguas, además de la sumeria, se infiltraron mas tardíamente, como la lengua
semita no acadia (eblaita y amorrea) en el oeste o la hurrita en el norte.
LA DUALIDAD TEMPLO- PALACIO:
La cultura sumeria se caracterizo por la existencia de dos polos, el templo y el palacio.
Ambos tenían en común el ser centros económicos de producción, distribución,
transformación y comercio de primer orden. Este último se llevaba a cabo por ríos y
tierras incluso con Anatolia, Egipto y el valle del Oxus.
Los templos tenían importantes explotaciones agrícolas y ganaderas. Funcionaban como
empresas autónomas con personal especializado de todo tipo: pastores, agricultores,
cuidadores, tejedores, carpinteros, carniceros, etc. Un sacerdote, un intendente y un
inspector eran los encargados de la administración, ayudados por los escribas. En el
templo trabajaban esclavos dedicados a labores de jardinería y molienda, pero también
hombres libres que recibían un salario en especie y lotes de tierra para cultivar con su
familia.
66
El segundo polo era el palacio, donde residía el rey. Se conocen palacios de este periodo
en Eridú, Kish, Mari, etc. El monarca desempeñaba las funciones de juez y de sumo
sacerdote. Como vicario del dios sobre la tierra era el que administraba sus bienes, pero
también administraba sus ciudades como si de una gran propiedad se tratara.
El mantenimiento de los canales, tan necesarios para la agricultura, y la defensa del
territorio eran otras de sus responsabilidades. El ejercito estaba formado por los
servidores de palacio ( en numero reducido ), a los que se añadían, en caso de necesidad
los campesinos, con los que llegaban a sumar entre seiscientos y setecientos efectivos.
En la llamada Estela de los Buitres los soldados forman una falange defendida por
escudos y armada con picas. Se conocían también como indica el estandarte de Ur,
carros de guerra tirados por onagros, que se utilizaban sobre todo para la persecución
del enemigo.
Los palacios funcionaban como grandes dominios. Su importancia era no solo de
carácter administrativo y político sino también económico.
Junto a estos dos polos, existían barrios de casas privadas, donde residían las familias
dedicadas a las actividades económicas.
El rey tenia los títulos de Lugal (en Kish y Uruk), En o gran sacerdote (en Uruk) y Ensi
del dios (en Lagash). El termino En indica que la realeza era de procedencia divina.
Pronto se produjo una separación entre las funciones culturales y políticas, con lo que
los templos perdieron parte de su importancia, sin embargo el monarca siempre estuvo
subordinado al dios, y los templos a la administración estatal, la ciudad estado que lo
unifico todo.
Las relaciones entre las diferentes ciudades-estado no siempre fueron pacificas, ya que
existían diferentes dioses y diferentes dinastías que con frecuencia buscaban una
justificación teológica. Los reyes sumerios mas poderosos intervinieron en la disputas
entre ciudades. Sólo Nippur, con su santuario consagrado a Enlil, dios de todos los
sumerios, desempeño un papel unificador
67
COMPUTACION
SISTEMAS OPERATIVOS
1.1 Introducción
Las computadoras han evolucionado de una manera impresionante, hoy en día son las
herramientas mas empleadas por el hombre y cada día se tratan de hacer más eficientes,
precisas y veloces. Esto evolución de las computadoras va de la mano con su software,
que es todos aquellos programas que no podemos ver fisicamente, pero si los podemos
usar para redactar un texto, navegar por Internet, programar, etc.
Este software se puede clasificar en 2 partes: los programas de aplicaciones que todos
aquellos que usan los usuarios (Word, Excel, etc.) y los programas del sistemas que son
los encargados de controlar las operaciones que realiza la computadora. El principal
programa del sistema es el llamado Sistema Operativo el cual es el responsable del
control de todos los recursos de la computadora y proporciona la base sobre la cual
pueden escribirse los programas de aplicaciones
Un Sistema Operativo es un programa que actúa como intermediario entre el usuario y
el hardware de un computador y su propósito es proporcionar un entorno en el cual el
usuario pueda ejecutar programas. El objetivo principal de un Sistema Operativo es,
entonces, lograr que el Sistema de computación se use de manera adecuada, y el
objetivo secundario es que el hardware del computador se emplee de manera eficiente.
1.2 Concepto y definiciones de Sistemas Operativos
Un Sistema Operativo es una parte importante de cualquier sistema de computación Un
sistema de computación puede dividirse en cuatro componentes: el hardware, el Sistema
Operativo, los programas de aplicaciones los usuarios. El hardware (Unidad Central de
Procesamiento (UCP), memoria y dispositivos de entrada/salida (E/S)) proporciona los
recursos de computación únicos. Los programas de aplicaciones compiladores, sistemas
de bases de datos, juegos de video y programas para negocios) definen la forma en que
estos recursos se emplean para resolver los problemas de computación de los usuarios.
68
Recursos administrados por el Sistema Operativo
Existen diversas definiciones de lo que es un Sistema Operativo, pero no hay una
definición exacta, es decir una que sea estándar; a continuación se presentan algunas:
1.- Se pueden imaginar un Sistema Operativo como los programas, instalados en el
software o firmware, que hacen utilizable el hardware. El hardware proporciona la
"capacidad bruta de cómputo"; los sistemas operativos ponen dicha capacidad de
cómputo al alcance de los usuarios y administran cuidadosamente el hardware para
lograr un buen rendimiento.
2.- Los Sistemas Operativos son ante todo administradores de recursos; el principal
recurso que administran es el hardware del computador; además de los procesadores, los
69
medios de almacenamiento, los dispositivos de entrada/salida, los dispositivos de
comunicación de los datos.
3.- Un Sistema Operativo es un programa que actúa como intermediario entre el usuario
y el hardware del computador y su propósito es proporcionar el entorno en el cual el
usuario pueda ejecutar programas. Entonces, el objetivo
principal de un Sistema
Operativo es, lograr que el sistema de computación se use de manera adecuada, y el
objetivo secundario es que el hardware del computador se emplee de manera eficiente.
4.- Un Sistema Operativo es un conjunto de programas que controla la ejecución de
programas de aplicaciones que actúa como una interfaz entre el usuario y el hardware de
una computadora, esto es, un Sistema Operativo explota y administra los recursos de
hardware de la computadora con el objeto de proporcionar un conjunto de servicios a
los usuarios del sistema.
En resumen, se podría decir que los Sistemas Operativos son un conjunto de programas
que crean la interfaz del hardware con el usuario, y que tiene dos funciones
primordiales, que son:

Gestionar el hardware.- Se refiere al hecho de administrar de una forma muy
eficiente los recursos de la maquina.

Facilitar el trabajo al usuario.- Permite una comunicación con los dispositivos de
la maquina
El Sistema Operativo se encuentra almacenado en la memoria secundaria. Primero se
carga y ejecuta un pedazo de que se encuentra en el procesador, el cual carga el BIOS, y
este a su vez carga el Sistema Operativo que carga todos los programas de aplicaciones
software variado.
1.3 Características de los Sistemas Operativos
En general, se puede decir que un Sistema Operativo tiene las siguientes características
1
Conveniencia. Un Sistema Operativo hace muy conveniente el uso de una
computadora.
70
2
Eficiencia. Un Sistema Operativo permite que los recursos de la computadora se
usen de la manera más eficiente posible.
3
Habilidad para evolucionar. Un Sistema Operativo deber construirse de manera
que permita el desarrollo, prueba o introducción efectiva de nuevas funciones del
sistema sin interferir con el servicio.
4
Encargado de administrar el hardware. El Sistema Operativo se encarga de
manejar de una mejor manera los recursos de la computadora en cuanto a hardware se
refiere, esto es, asignar a cada proceso una parte del procesador para poder compartir los
recursos.
5
Relacionar dispositivos (gestionar a través del kernel). El Sistema Operativo se
debe encargar de comunicar a los dispositivos periféricos, cuando el usuario así lo
requiera.
6
Organizar datos para acceso rápido y seguro.
71
7
Manejar las comunicaciones en red. El Sistema Operativo permite al usuario
manejar con alta facilidad todo lo referente a la instalación y uso de las redes de
computadoras.
8
Procesamiento por bytes de flujo a través del bus de datos.
9
Facilitar las entradas y salidas. Un Sistema Operativo debe hacerle fácil al usuario
el acceso y manejo de los dispositivos de Entrada/Salida de la computadora.
10
Técnicas de recuperación de errores.
11
Evita que otros usuarios interfieran. El Sistema Operativo evita que los usuarios
se bloqueen entre ellos, informándoles si esa aplicación esta siendo ocupada por otro
usuario.
12
Generación de estadísticas.
13
Permite que se puedan compartir el hardware y los datos entre los usuarios.
72
El software de aplicación son programas que se utilizan para diseño, tal como el
procesador de palabras, lenguajes de programación hojas de cálculo, etc.
El software de base sirve para interactuar el usuario con la máquina, son un conjunto de
programas que facilitan el ambiente plataforma, y permite el diseño del mismo.
El Software de base esta compuesto por:

Cargadores.

Compiladores.

Ensambladores.

Macros.
1.4 Clasificación de los Sistemas Operativos
Con el paso del tiempo, los Sistemas Operativos fueron clasificándose de diferentes
maneras, dependiendo del uso o de la aplicación que se les daba. A continuación se
mostraran diversos tipos de Sistemas Operativos que existen en la actualidad, con
algunas de sus características:
73
1.4.1 Sistemas Operativos por lotes
Los Sistemas Operativos por lotes, procesan una gran cantidad de trabajos con poca o
ninguna interacción entre los usuarios y los programas en ejecución. Se relacionan todos
los trabajos comunes para realizarlos al mismo tiempo, evitando la espera de dos o más
trabajos como sucede en el procesamiento en serie. Estos sistemas son de los modelos
tradicionales y antiguos, y fueron introducidos alrededor de 1956 para aumentar la
capacidad de procesamiento de los programas.
Cuando estos sistemas son bien planeados, pueden tener un tiempo de ejecución muy
alto, porque el procesador es mejor utilizado y los Sistemas Operativos pueden ser
simples, debido a la secuenciabilidad de la ejecución de los trabajos.
Algunos ejemplos de Sistemas Operativos por lotes exitosos son el SCOPE, del
DC6600, el cual esta orientado a procesamiento científico pesado, y el EXEC II para el
UNIVAC 1107, orientado a procesamiento académico.
Algunas otras características con que cuentan los Sistemas Operativos por lotes son:

Requiere que el programa, datos y de funciones al sistema sean remitidos todos
juntos en forma de lote.

Permiten poca o ninguna interacción entre usuario/programa en ejecución

Mayor potencial de utilización de recursos que procesamiento serial simple en
sistemas multiusuarios.

No conveniente para desarrollo de programas por bajo tiempo de retorno y
depuración

Conveniente para programas de largos tiempos de ejecución, Ej. análisis
estadísticos, nominas de personal, etc.).

Se
encuentra
en
muchos
computadores
procesamiento serial.
74
personales
combinados
con

Planificación del procesador sencilla, teóricamente procesados en orden de
llegada.

Planificación de memoria sencilla, generalmente se divide en dos: parte
residente del S.O. y programas transitorios.

No requieren gestión teórica de dispositivos en el tiempo.

Suelen proporcionar gestión sencilla de manejo de archivos: se requiere poca
protección, ningún control de concurrencia para el acceso.
Figura. Trabajos más comunes que realiza el Sistema Operativo por lotes.
1.4.2 Sistemas Operativos de tiempo real
Los Sistemas Operativos de tiempo real son aquellos en los cuales no tiene importancia
el usuario, sino los procesos. Por lo general, están subutilizados sus recursos con la
finalidad de prestar atención a los procesos en el momento que lo requieran. Se utilizan
en entornos donde son procesados un gran número de sucesos o eventos.
Muchos Sistemas Operativos de tiempo real son construidos para aplicaciones muy
específicas como control de tráfico aéreo, bolsas de valores, control de refinerías,
control de laminadores. También el ramo automovilístico y de la electrónica de
consumo, las aplicaciones de tiempo real esta creciendo muy rápidamente. Otros
campos de aplicaciones de los Sistemas Operativos de tiempo real son los siguientes:

Control de trenes.

Telecomunicaciones.

Sistemas de fabricación integrada.

Producción y distribución de energía eléctrica..

Control de edificios.
75

Sistemas multimedia.
Algunos ejemplos de Sistemas Operativos de tiempo real son: Works, Soláis, Lynus OS
y Spectra. Los Sistemas Operativos de tiempo real, cuentan con las siguientes
características
o
Se dan en entornos en donde deben ser aceptados y procesados gran cantidad de
sucesos, la mayoría externos al sistema computacional, en breve tiempo o dentro
de ciertos plazos.
o
Se utilizan en control industrial, conmutación telefónica, control de vuelo,
simulaciones en tiempo real., aplicaciones militares, etc.
o
Objetivo es proporcionar rápidos tiempos de respuesta.
o
Procesa de miles de interrupciones por segundo sin perder un solo suceso.
o
Proceso se activa tras ocurrencia de suceso, mediante interrupciones
o
Proceso de mayor prioridad expropia recursos.
o
Por tanto generalmente se utiliza planificación expropiativa basada en
prioridades.
o
Gestión de memoria menos exigente que tiempo compartido, usualmente
procesos son residentes permanentes en memoria.
o
Poblaciones de procesos en gran medida.
o
Poco movimiento de programas entre almacenamiento secundario y memoria.
76
Gestión de archivos se orienta más a velocidad de acceso que a utilización
o
eficiente del recurso.
1.4.3 Sistemas Operativos de multiprogramación, (Sistemas Operativos de
multitarea)
Se distinguen por sus habilidades para poder soportar las ejecuciones de dos o más
trabajos activos (que se están ejecutado) al mismo tiempo. Esto trae como resultado que
la Unidad Central de Procesamiento (UCP) siempre tenga alguna tarea que ejecutar,
aprovechando al mḩmo su utilización.
Su objetivo es tener a varias tareas en la memoria principal, de manera que cada uno
esta usando el procesador, o un procesador distinto, es decir, involucra todo la unidad
UCP.
Sistemas Operativos como UNIX, Windows 95, Windows 98, Windows NT, MAC-OS,
OS/2, soportan la multitarea.
Las características de un Sistema Operativo de multiprogramación multitarea son las
siguientes:

Mejora productividad del sistema y utilización de los recursos.

Multiplexa recursos entre varios programas.

Generalmente soportan múltiples usuarios (multiusuarios).

Proporcionan facilidades para mantener el entorno de usuarios individuales.

Requieren validación de usuario para seguridad y protección

Proporcionan contabilidad del uso de los recursos por parte de los usuarios.

Multitarea sin soporte multiusuario se encuentra en algunos computadores
personales o en sistemas de tiempo real.

Sistemas multiprocesadores son sistemas multitareas por definición, ya que
soportan la ejecución de multitareas sobre diferentes procesadores.

En general, los sistemas de multiprogramación se caracterizan por tener más
programas activos compitiendo por los recursos del sistema: procesador,
memoria, dispositivos periféricos.
77
1.4.4 Sistemas Operativos de tiempo compartido
Permiten la simulación de que el sistema y sus recursos son todos para cada usuario. El
usuario hace una petición a la computadora, esta la procesa tan pronto como le es
posible, y la respuesta aparecerá en la terminal del usuario.
Los principales recursos del sistema, el procesador, la memoria, dispositivos de E/S, son
continuamente utilizados entre los diversos usuarios, dando a cada usuario la ilusión de
que tiene el sistema dedicado para sí mismo. Esto trae como consecuencia una gran
carga de trabajo al Sistema Operativo, principalmente en la administración de memoria
principal y secundaria.
Ejemplos de Sistemas Operativos de tiempo compartido son Multics, OS/360 y DEC10.
Características de los Sistemas Operativos de tiempo compartido:

Populares representantes de sistemas multiprogramados multiusuario, Ej.:
sistemas de diseños asistidos por computador, procesamiento de texto, etc.

Dan la ilusión de que cada usuario tiene una maquina para sí

Utilizan algoritmo de reparto circular.

Programas se ejecutan con prioridad rotatoria que se incrementa con la espera y
disminuye después de concedido el servicio.

Evitan monopolización del sistema asignando tiempos de procesador (time slot).
78

Gestión de memoria proporciona protección de programas residentes.

Gestión de archivo debe proporcionar protección control de acceso debido a
que pueden existir miles usuarios accesando a un mismo archivo.
1.4.5 Sistemas Operativos distribuidos
Permiten distribuir trabajos, tareas o procesos, entre un conjunto de procesadores. Puede
ser que este conjunto de procesadores esta en un equipo o en diferentes, en este caso es
transparente para el usuario. Existen dos esquemas básicos de dos. Un sistema
fuertemente acoplado es a es aquel que comparte la memoria y un reloj global, cuyos
tiempos de acceso son similares para todos los procesadores. En un sistema d颩lmente
acoplado los procesadores no comparten ni memoria ni reloj, ya que cada uno cuenta
con su memoria local.
Los sistemas distribuidos deben de ser muy confiables, ya que si un componente del
sistema se compone otro componente debe de ser capaz de reemplazarlo.
Entre los diferentes Sistemas Operativos distribuidos que existen tenemos los
siguientes: Sprite, Solaris-MC, Mach, Chorus, Spring, Amoeba, Taos, etc.
79
Características de los Sistemas Operativos distribuidos:

Colección de sistemas autónomos capaces de comunicación y cooperación
mediante interconexiones hardware y software.
1.4.6 Sistemas Operativos de red
Son aquellos sistemas que mantienen a dos o más computadoras unidas a través de
algún medio de comunicación, con el objetivo primordial de poder compartir los
diferentes recursos y la información del sistema.
El primer Sistema Operativo de red estaba enfocado a equipos con un procesador
Motorola 68000, pasando posteriormente a procesadores Intel como Novell Netware.
Los Sistemas Operativos de red más ampliamente usados son: Novell Netware, Personal
Netware, LAN Manager, Windows NT Server, UNIX, LANtastic.
80
Figura. Se muestra un Sistema Operativo en red.
1.4.7 Sistemas Operativos paralelos
En estos tipos de Sistemas Operativos se pretende que cuando existan dos o más
procesos que compitan por algún recurso se puedan realizar o ejecutar al mismo tiempo.
En UNIX existe también la posibilidad de ejecutar programas sin tener que atenderlos
en forma interactiva, simulando paralelismo (es decir, atender de manera concurrente
varios procesos de un mismo usuario). Así en lugar de esperar a que el proceso termine
de ejecutarse (como lo haría normalmente), regresa a atender al usuario inmediatamente
después de haber creado el proceso.
Ejemplos de estos tipos de Sistemas Operativos está Alpha, PVM, la serie AIX, que es
utilizado en los sistemas RS/6000 de IBM.
81
Historia de los Sistemas Operativos
Para tratar de comprender los requisitos de un Sistema Operativo y el significado de las
principales características de un Sistema Operativo contemporáneo, es considerar como
han ido evolucionando con el tiempo.
Existen diferentes enfoques o versiones de como han ido evolucionando los Sistemas
Operativos
La primera de estas versiones podría ser esta:
En los 40's, se introducen los programas bit a bit, por medio de interruptores mecánicos
y después se introdujo el lenguaje. Maquina que trabajaba por tarjetas perforadas.
Con las primeras computadoras, desde finales de los años 40 hasta la mitad de los años
50, el programador interactuaba de manera directa con el hardware de la computadora,
no existía realmente un Sistema Operativo; las primeras computadoras utilizaban
bulbos, la entrada de datos y los programas se realizaban a través del lenguaje maquina
(bits) o a través de interruptores.
Durante los años 50's y 60's.- A principio de los 50's, la compañía General's Motors
implanto el primer sistema operativo para su IBM 170. Empiezan a surgir las tarjetas
perforadas las cuales permiten que los usuarios (que en ese tiempo eran programadores,
diseñadores, capturistas, etc.), se encarguen de modificar sus programas. Establecen o
apartaban tiempo, introducción de sus programas, corregían y depuraban sus programas
en su tiempo. A esto se le llamaba trabajo en serie. Todo esto se traduce en perdida de
tiempo y tiempos de programas excesivos.
En los años 60's y 70's se genera el circuito integrado, se organizan los trabajos y se
generan los procesos Batch (por lotes), lo cual consiste en determinar los trabajos
comunes y realizarlos todos juntos de una sola vez. En esta época surgen las unidades
de cinta y el cargador de programas, el cual se considera como el primer tipo de Sistema
Operativo.
En los 80's, inicia el auge de la INTERNET en los Estados Unidos de América. A
finales de los años 80's comienza el gran auge y evolución de los Sistemas Operativos.
82
Se descubre el concepto de multiprogramación que consiste en tener cargados en
memoria a varios trabajos al mismo tiempo, tema principal de los Sistemas Operativos
actuales.
Los 90's y el futuro, entramos a la era de la computación distribuida y del
multiprocesamiento a través de miles redes de computadoras, aprovechando el ciclo del
procesador.
Se tendrá una configuración dinámica con un reconocimiento inmediato de dispositivos
y software que se adentre o elimine de las redes a través de procesos de registro y
localizadores.
La conectividad se facilita gracias a estándares y protocolos de sistemas abiertos por
organizaciones como la Org. Interna de normas, fundación de software abierto, todo
estará controlado por los protocolos de comunicación y por la red de servicios digital
ISDN.
Se ha desarrollado otra versión la cual se ha hecho en base a etapas o generaciones:
1a. Etapa (1945-1955) Bulbos y conexiones.
83
Después de los infructuosos esfuerzos de Babbage, hubo poco progreso en la
construcción de las computadoras digitales, hasta la Segunda Guerra Mundial. A mitad
de la década de los 40's, Howard Aiken (Harvard), John Von Newman (Instituto de
Estudios Avanzados, Princeton), J. Prespe R. Eckert y Williams Mauchley (Universidad
de Pennsylvania), así como Conrad Zuse (Alemania), entre otros lograron construir
maquinas de cálculo mediante bulbos. Estas maquinas eran enormes y llenaban cuartos
completos con decenas de miles de bulbos, pero eran mucho más lentas que la
computadora casera más reconocida en nuestros días.
Toda la programación se llevaba a cabo en lenguaje de maquina absoluto y con
frecuencia se utilizaban conexiones para controlar las funciones básicas de la máquina.
Los lenguajes de programación eran desconocidos (incluso el lenguaje ensamblador). A
principio de la década de los 50's la rutina mejoro un poco con la introducción de las
tarjetas perforadas. Fue entonces posible escribir los programas y leerlas en vez de
insertar conexiones, por lo demás el proceso era el mismo.
2a. Etapa. (1955-1965) Transistores y Sistemas de Procesamiento por lotes.
La introducción del transistor a mediados de los años 50's modificó en forma radical el
panorama. Las computadoras se volvieron confiables de forma que podía fabricarse y
84
venderse a clientes, con la esperanza de que ellas continuaran funcionando lo suficiente
como para realizar un trabajo en forma.
3ra Etapa (1965-1980) : Circuitos integrados y multiprogramación
La 360 de IBM fue la primera línea principal de computadoras que utilizaron los
circuitos integrados, lo que proporcionó una gran ventaja en el precio y desempeño con
respecto a las máquinas de la segunda generación construidas a partir de transistores
individuales. Se trabajo con un sistema operativo enorme y extraordinariamente
complejo. A pesar de su enorme tamaño sus problemas el sistema operativo de la IBM
360 y los sistemas operativos similares de esta generación producidos por otros
fabricantes de computadoras realmente pudieron satisfacer, en forma razonable a la
mayoría de sus clientes. También popularizaron varias técnicas fundamentales, ausentes
de los sistemas operativos de la segunda generación de las cuales la más importante era
la de multiprogramación.
85
INGLES
Vocabulario: La empresa
inglés
español
brand name
marca
business
negocios
company
empresa, compañía
employee
empleado
factory
fábrica
headquarters
oficinas centrales
industry
industria
leading
delantera
multinational
multinacional
office
oficina
retail
venta al por menor
salary
salario
schedule
horario, programa
staff
plantilla
tax
impuesto
warranty
garantía
wholesale
venta al por mayor
workplace
lugar de trabajo
Pon en orden las siguientes frases como en el siguiente ejemplo:
I / married / when / young / was / I
I married when I was young
86
Escribe en las cajas de texto, al final del ejercicio encontrarás
las respuestas.
1) is / having / he / breakfast
2) every / basketball / play / I / Tuesday
3) 7:30 / gets up / my father / at
4) do / what / every / day / do / you / ?
5) holiday / going / I'm / on / thinking / of
6) I do / read / do / you / books / a lot of / Yes,
7) and / sometimes / the cinema / my friend / I / to / go
8) brother / doesn't / Canada / live / my / in
9) to / How / go / do / your / you / school
10) the summer / really / important / sun cream / wear / it's / to / in
11) days / these / Peter /what / doing / is / ?
87
12) looking / I'm / for / at / a job / the moment
13) visit / at / I / Christmas / my parents / will
Solución ejercicio:
1. He is having breakfast.
.2. I play basketball every tuesday.
3. My father gets up at 7:30
4. What do you do every day?
5. I'm thinking of going on holiday.
6. Do you read a lot of books? Yes, I do.
7. My friend and I sometimes go to the cinema.
8. My brother doesn't live in Canada.
9. How do you go to your school?
10. It's really important to wear sun cream in the summer.
12.What is Peter doing these days?
13 I'm looking for a job at the moment..
14. I will visit my parents at Christmas.
El pretérito (pasado) se utiliza para referir acciones o situaciones del
pasado.
EL PASADO SIMPLE (Simple Past)
El pasado simple funciona de manera similar al Presente simple, salvo que empleamos
el auxiliar 'did' para todas las personas (incluida la tercera persona singular 'he/she/it').
En la forma afirmativa, el auxiliar 'did' no aparece, empleando en su lugar la
terminación 'ed'. Esta es la forma de pasado para todos los 'Verbos Regulares'
88
Existe un amplio conjunto de verbos que no cumplen esta condición, es decir, para la
forma afirmativa no emplean la terminación 'ed' sino que su forma es irregular. No
siguen ninguna regla, por lo que la única manera de conocer su forma de pasado es
aprenderla. Se denominan 'Verbos Irregulares'.
AFIRMATIVA
NEGATIVA
I played
Yo jugué
I did not play
You played
Tú jugaste
You did not play Tú no jugaste
He played
Él jugó
He did not play
We played
Nosotros jugamos We did not play
You played
Vosotros jugasteis You did not play Vosotros no jugasteis
They played
Ellos jugaron
INTERROGATIVA
Yo no jugué
Él no jugó
Nosotros no jugamos
They did not play Ellos no jugaron
INT.-NEGATIVA
Did I play?
¿Jugué?
Did you play?
¿Jugaste? Didn't you play? ¿No jugaste?
Did he play?
¿Jugó?
Did we play?
¿Jugamos? Didn't we play?
Did you play?
¿Jugasteis? Didn't you play? ¿No jugasteis?
Did they play?
¿Jugaron? Didn't they play? ¿No jugaron?
Didn't I play?
Didn't he play?
¿No jugué?
¿No jugó?
¿No jugamos?
USO DEL PASADO SIMPLE
a.) Para acciones pasadas. Indican el período de tiempo durante el que se desarrolló y
completó una acción ya finalizada. Es habitual que vaya acompañado de un adverbio de
tiempo.
I bought this car last year / Compré este coche el año pasado
b.) Para expresar una acción indeterminada en el pasado:
They used pencils and paper / Utilizaron lápices y papel
c.) Para expresar una acción habitual en el pasado
They never drank alcohol / Nunca bebían alcohol
89
d.) Puede servir para expresar una condición improbable.
If I saw her, I should speak to her / Si le viera le hablaría
EL PASADO PROGRESIVO (Past Continuous)
Su estructura se forma con el pretérito del verbo auxiliar to be + el gerundio del verbo
que se quiere conjugar.
I was playing / Estuve jugando
Para la forma negativa se añade la 'not' al auxiliar
I was not playing / No estuve jugando
En la forma interrogativa se invierte el orden del sujeto y el auxiliar:
Was I playing? / ¿Estuve jugando?
USO DEL PASADO PROGRESIVO
a.) Para expresar una acción que se estaba desarrollando en el pasado pero cuyo fin no
conocemos o carece de importancia:
It was raining / Estaba lloviendo
b.) Para expresar dos acciones que se desarrollan simultáneamente
I was reading the newspaper while I was walking home / Estaba leyendo el
periódico mientras volvía a casa caminando
c.) Para expresar dos acciones que se desarrollan en el pasado, una de las cuales tuvo su
comienzo antes que la otra:
When I arrived John was talking on the phone / Cuando llegué John estaba
hablando por teléfono.
EL PRETÉRITO PERFECTO (Present Perfect)
90
El pretérito perfecto, se forma con el presente del verbo 'to have' a modo de auxiliar y el
participio pasivo del verbo que se conjuga según la siguiente construcción:
to have + participio del verbo a conjugar
I have played
Yo he jugado
You have played Tú has jugado
He has played
Él ha jugado
We have played
Nosotros hemos jugado
You have played Vosotros habéis jugado
They have played Ellos han jugado
La forma interrogativa, se obtiene anteponiendo el auxiliar al sujeto.
Have you played? / ¿Has jugado?
En la forma negativa se coloca 'not' después del auxiliar:
He has not played / Él no ha jugado
La forma interrogativa-negativa tiene la construcción auxiliar + not + sujeto
Haven't you played? / ¿No has jugado?
USO DEL PRETÉRITO PERFECTO (Present Perfect)
El ‘present perfect simple’ conecta / une el pasado y el presente de una manera parecida
al pretérito perfecto en español. Si decimos que algo ha ocurrido ('has happened'),
pensamos del pasado y del presente a la vez como si hiciesemos un puente del pasado al
presente.
Ejemplo:
- I can’t do my homework
because I’ve lost my book.
- No puedo hacer mis deberes
porque he perdido mi libro.
91
Así que muchas veces podemos cambiar una frase del ‘present perfect simple’ al
‘present simple’ y queda con un significado parecido.
I’ve lost my book
I don’t have it now
Have you seen the new Leonardo Di Caprio film
Your sister has left the door open
Hasn’t Danny got married yet?
I’ve finally found a job
Do you know it .
The door is open now
Is he still single?
I have a job now
Usamos el present perfect simple para acciones en el pasado que tienen un significado o
relevancia en la actualidad.
I’ve passed my driving test! / He aprobado el exámen de conducir
Have you seen the gorgeous new secretary? / ¿Has visto a la atractiva nueva
secretaria?
A terrorist has bombed a bus (acción en el pasado que tiene un significado ahora)
Adolf Hitler bombed London (no tiene relevancia ahora)
EL PRETÉRITO PERFECTO PROGRESIVO (Present Perfect Continuous)
Tiene la siguiente construcción:
sujeto + pretérito perfecto de 'to be' + gerundio
I have been playing / He estado jugando
He has been playing / Él ha estado jugando
En la forma negativa se coloca 'not' después del auxiliar:
I have not been playing / No he estado jugando
La forma interrogativa, se construye invirtiendo la posición del sujeto y el auxiliar:
Have I been playing? / ¿He estado jugando?
La forma interrogativa-negativa sigue la misma construcción que en el pretérito perfecto
92
Haven't I been playing? / ¿No he estado jugando?
USO DEL PRETÉRITO PERFECTO PROGRESIVO
Se usa cuando se quiere expresar el sentido de la continuidad de una acción que ha
comenzado en el pasado, que dura todavía en el presente y que incluso puede continuar
en el futuro.
I have been studying English for two years / Estudio inglés desde hace dos años
(y continúo estudiándolo en la actualidad)
TIME EXPRESSIONS (Las expresiones de tiempo)
El ‘present perfect’ es usado frecuentemente con las siguientes expresiones de tiempo:
Ever and never
Have you ever been to Scotland? / ¿Has estado alguna vez en Escocia?
I’ve never eaten paella. / Nunca he comido paella.
Just
I’ve just made tea, would you like a cup? / Acabo de hacer té. ¿Quieres una taza?
Ana and Jesús have just had a baby / Ana y Jesús acaban de tener un niño.
Recently and lately
I’ve recently passed the F.C.E. exam and I’m studying for the C.A.E.
Acabo de aprobar el exámen de FCE y estoy estudiando para el CAE.
Have you seen John lately? / ¿Has visto a John ultimamente?
So far
I’ve had three beers so far this evening and it’s only eight o’clock!
He tomado hasta ahora tres cervezas esta tarde y sólo son las ocho.
Yet and already
'yet' - normalmente se utiliza en frases interrogativas y va al final de la oración . Se usa
cuando esperamos que algo va a pasar en el futuro, no en el pasado ni en el presente.
93
Have you done your homework yet? / ¿Has terminado ya los deberes?
I don’t think Manoli has done the shopping yet. / Creo que Manoli todavía no ha
hecho la compra.
'already' - se usa en frases afirmativas e interrogativas y normalmente va detrás de los
verbos auxiliares o modales y delante de los demás verbos. Con 'already' decimos que
algo está en el presente o el pasado, no en el futuro.
Yes, I’ve already finished my homework / Sí, ya he terminado mis deberes
En Inglés británico yet y already acompaña habitualmente a los tiempos perfectos. En
Inglés Americano prefieren usar los tiempos pasados.
Compara:
Have you phoned your mother yet? (UK)
I’ve already phoned her (UK)
Did you phone your mother yet? (USA)
I already phoned her (USA)
Since and for
'For' - (how long something has lasted) Se usa para decir cuánto tiempo ha durado una
acción. En español suele decirse ‘desde hace’.
We’ve had this computer for about six months. / Tenemos esta computadora desde
hace unos seis meses.
'Since' - (when something started) Se usa como una referencia a un punto de tiempo
cuando algo empezó. En español suele decirse ‘desde’ o ‘desde que’.
We’ve had this car since January / Tenemos este coche desde enero.
Comparar:
I’ve known Eric since 1989.
I’ve known Eric for 15 years (si estamos en 2004)
94
ESPAÑOL
SUPERIOR
RAZONAMIENTO VERBAL Y ESPAÑOL
CONTESTA A LOS SIGUIENTES REQUERIMIENTOS:
01.- En cuál de las siguientes palabras se ha omitido la letra H :
a) ahogar
b) adesión
c)toalla
d) coetáneo
e) alharaca
02.- Teniendo en cuenta la letra h en posición intervocálica, qué palabra está mal
escrita:
a) mohíno
b) vahído
c) coesión
d) coartada
e)cohecho
COLOCA LA TILDE DONDE CORRESPONDA LUEGO CONTESTA:
“ Mi padre no pudo encontrar nunca donde fijar su residencia. Temia los valles calidos y
solo pasaba por ellos, como viajero.
Aún cuando se nos de solo estas, veamos cual es la mejor propuesta : ¡Cuan llena de
ignorancia es la niñez ! ¡cuan arrebatada la juventud y cuan pesada la vejez !.
¿Por que dijo Fray Luis de Granada ? Porque queria saber el porque de la condicion
humana.
03.- ¿Cuántas tildes has colocado ?
a) 11
b) 13
c) 15
d) 14
95
e) 16
04.- Entre las tildes que has escrito sólo son enfáticas :
a)5
b)7
c) 4
d) 3
e) 8
05.- Las tildes diacríticas sólo son :
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
LA PALABRA MAL ESCRITA ESTÁ EN:
06.a)caber
b) quepo
c) cabía
d) cupe
e) caberá
07.a) saber
b) se
c) sabía
d) supe
e) sabré
08.a)bursátil
96
b)desvencijar
c) desbaratar
d) disturbio
e)suburbio
09.a)precaber
b) avaricia
c) estival
d) probidad
e) inejecutabilidad
Comprensión de lectura
“Hoy es noche clara en el universo de mis recuerdos. La nostalgia cual luna se ha
propuesto reflectar el fulgor espiritual. El viento de mis pesares silba sin cesar trayendo
a mi memoria el huracán de mis frustraciones. Ante mis ojos, huidizo, pasa Cronos y al
tratar de llamarlo un galáxico nudo me impide pronunciar sonido alguno. En el silencio
de la claridad la atmósfera de las pasiones envuelve a un pequeño corazón que es un sol
irradiando amor. Allá a lo lejos, demasiado para poder alcanzarlo otro astro destella su
interminable saludo; más allá otros más, mentalmente les envío mis mensajes ; pero
abusando la mirada me percato que también son corazones esparcidos en la distancia del
universo que simboliza la fría grandeza de la soledad que es precisamente el universo
espiritual de ésta que es mi noche."
01.- Señale lo más compatible en torno al autor :
a) Está ubicado en el centro de sus recuerdos.
b) Se contradice permanentemente.
c) Se encuentra recordando el huracán de sus pasiones.
d) Le gusta simbolizar las cosas que ha experimentado.
e) Ha sufrido demasiados desengaños.
02.- El título más adecuado sería :
a) Las pasiones de la soledad.
97
b) El universo de la soledad.
c) El huracán de los recuerdos.
d) La soledad y los recuerdos.
e) La soledad y la nostalgia.
03.- Indique lo correcto :
a) La luna suele reflectar en la soledad del autor.
b) el pequeño sol irradia gran pasión en la silenciosa claridad.
c) Los galáxicos ojos del autor observaron a Cronos.
d) El autor se siente imposibilitado de poder comunicarse con los demás.
e) El astro rey saluda interminablemente a los demás.
04.- Según su opinión, el autor :
a) Es producto de sus recuerdos.
b) Tiene un corazón aprisionado.
c) Describe con ambigüedad el universo.
d) No es comprendido por Cronos.
e) Se encuentra en la soledad.
05.- Sobre los pesares del autor se podría decir que son :
a) Como soles distribuidos en el universo.
b) Producto de su propia nostalgia.
c) Provocados por sus recuerdos.
d) Productos de sus frustraciones.
e) Impulsados por el viento.
06.- ¿Cuál es el tema central del texto ?
a) Nostalgia.
b) La noche.
c) Las frustraciones
d) La soledad
e) El simbolismo.
98
ORDENA LAS ORACIONES, SEGÚN UN CRITERIO CRONOLÓGICO,
CONTEXTUAL, LÓGICO O SECUENCIAL. PIENSA UN POCO Y TENDRÁS LA
RESPUESTA CORRECTA...
I. NICOLÁS GOGOL, EL HOMBRE Y SU OBRA
1. Entre los años 1832 y 1836 la producción literaria de Gogol alcanza su máxima
intensidad creadora y una excepcional variedad.
2. Dentro de la literatura rusa Gogol ha sido considerado como representante de la
escuela naturalista.
3. Este digno representante de la narrativa rusa nació en 1809, en la ciudad de
Sorochincy. Estudia en Niezen y se instala en Petrogrado.
4. En los años mencionados comienza a escribir “Almas Muertas” y “El Inspector”.
5. En 1848 viaja a Palestina de donde regresa con una profunda depresión que lo lleva a
destruir todos sus escritos. Muy pronto fallece en Moscú, en 1852.
a) 1 - 2 - 4 - 5 - 3
b) 3 - 2 - 1 - 4 - 5
c) 2 - 3 - 1 - 4 - 5
d) 3 - 1 - 2 - 5 - 4
e) 1 - 2 - 3 - 4 - 5
II. YAWAR FIESTA
1. En las primeras páginas el autor describe la historia del despojo de las tierras de los
indios.
2. La novela comienza describiendo la configuración geográfica y social de Puquio.
3. El segundo libro de Arguedas, publicado en 1940, ha sido y es sin duda, el más leído
y el más discutido.
4. Allí conviven separados sin embargo, hasta en la ubicación de sus viviendas, cuatro
fuerzas : el indio de los ayllus ; el terrateniente ; el mestizo (el chalo), que ora trabaja de
sirviente, ora de comerciante, ora marcha a la capital a estudiar, y que oscila entre el
terrateniente y la comunidad ; y la autoridad, en particular el subprefecto.
5. El tema es simple : la historia de un pueblo grande, de una capital de provincia, tejida
en torno a una corrida de toros india.
99
a) 3 - 4 - 5 - 1 - 2
b) 2 - 4 - 1 - 3 - 5
c) 1 - 3 - 5 - 2 - 4
d) 3 - 4 - 2 - 1 - 5
e) 3 - 5 - 2 - 4 - 1
III. HALLAZGO INSÓLITO
1. El original debió ser muy anterior.
2. En 1952, el escritor boliviano Jesús Lara encontró una copia manuscrita de un drama,
cuyo tema era la conquista, fechado en Chayanta en 1871.
3. Esta fecha podría remontarse hasta fines del siglo XVII.
4. La obra se conoce con el título : La tragedia del fin de Atahualpa.
5. Termina cuando Pizarro ofrece la cabeza del Inca al Rey.
a) 2 - 1 - 3 - 4 - 5
b) 2 - 3 - 1 - 4 - 5
c) 1 - 2 - 4 - 3 - 5
d) 3 - 1 - 4 - 3 - 5
e) 4 - 2 - 1 - 3 - 5
IV. UNA SALVACIÓN
1. Qué mudanza presenciaban mis ojos.
2. Fui herido en octubre de 1916.
3. Habían transcurrido dos años desde que vi por última vez a mi patria, tiempo casi
indeterminable en semejantes circunstancias.
4. Con gran regocijo abandoné el frente, regresando a Alemania en un tren ambulancia.
5. Internáronme en un hospital próximo a Berlín.
a) 4 - 2 - 3 - 1 - 5
b) 1 - 3 - 4 - 5 - 2
c) 4 - 2 - 5 - 3 - 1
d) 2 - 4 - 3 - 1 - 5
100
e) 2 - 4 - 3 - 5 - 1
V. EL POETA CANTA A LA NATURALEZA
1. Cada grano, sólo, inerme con su diminuta fuerza, no puede con el mar.
2. Mas las arenas se juntan, se solidarizan, se alían, se hacen colinas, cerros enhiestos y
compactos para enfrentarse a la braveza de las olas.
3. En mar avienta las arenas de su seno.
4. El poderoso mar revienta, salpica, espuma, golpea, ruge.
5. Se encrespa inútilmente sabiéndose vencido.
a) 5 - 3 - 1 - 4 - 2
b) 3 - 1 - 2 - 4 - 5
c) 2 - 4 - 3 - 1 - 5
d) 1 - 3 - 4 - 2 - 5
e) 3 - 2 - 1 - 5 - 4
TIENES QUE QUITAR LA ORACIÓN QUE NO SE VINCULA CON LAS DEMÁS,
YA SEA POR EL CONTEXTO O POR CAER EN REDUNDANCIA. ÁNIMOS ES
SÚPER FÁCIL.
I. A TRAVÉS DE LA VIDA
1. En el ocaso de la vida.
2. Todos los actos, grandes o pequeños.
3. El cúmulo de las pequeñas o grandes cosas.
4. Que han marcado nuestro paso por la tierra.
5. Emergen con renovada vigencia en nuestra mente
a) 1 .................b) 3 .................c)5 ....................d) 2 ................e)4
II. MACCHU PICCHU
1. Las Ruinas de Macchu Picchu son la más grande muestra del ingenio de los
constructores Incas.
2. La ciudad del Cuzco está construida sobre las ruinas de los templos incaicos.
101
3. Esta cuidadela ubicada en la cima del monte del mismo nombre se salvó de la
destrucción debido a su difícil acceso.
4. Fue descubierta recién en las primeras décadas de nuestro siglo por un arqueólogo
inglés.
5. Actualmente es el punto d peregrinación para todos los que intentan descubrir
nuestras raíces americanas.
a) 1 .................b) 3.................... c)5 ..................d) 2 .............e)4
III. UNA QUINTA
1. Junto a la fábrica se hallaba la quinta.
2. En ella un corral y un inmenso granero.
3. En el centro del jardín había un estanque.
4. Atravesaba la charca un ridículo puente de metal.
5. No lejos un cobertizo servía de resguardo a la leña.
6. Cruzó el salón apenas iluminado.
a) 1 ............b) 3 .............c)6 ..............d) 2 .............e)4
IV. BONDADES DE LA ELECTRICIDAD
1. Mi difunto amigo Alex Ivanovich, por ejemplo, era partidario acérrimo del motor de
combustión interno y luchó con uñas y dientes contra la instalación del sistema
eléctrico.
2. Durante la reconstrucción de Moscú tuve el honor de instalar las primeras líneas
electrificadas de la Unión Soviética.
3. Gracias a los trolebuses, las distancia entre las ciudades europeas se han acortado.
4. Muchos se oponían a semejante medio de transporte.
5. Tuve que hacer grandes esfuerzos para convencer a la gente que los trolebuses eran
una buena idea.
a) 1 ............b) 3 ............c)5 ...........d) 2.............. e)4
V. NÓMADAS Y SEDENTARIOS
1. Los hombres errantes o en sus tiendas y míseros aduares obedecían únicamente al
102
jefe aceptado por ellos o designado más tarde, por la herencia, en una familia.
2. Pero esta tribu no tenía formada su conciencia colectiva ; no tenía la verdadera
libertad histórica.
3. la tribu primitiva era libre políticamente hablando.
4. Pasarán los tiempos ; se realizarán muchas invasiones y muchas conquistas; aparecerá
por fin la vida sedentaria.
5. Las tribus primitivas cultivan grandes áreas para su alimentación cuando se
convierten en sedentarios.
a) 1........... b) 3........... c)5 .............d) 2 .............e)4
VI. LA VISTA Y LA VISIÓN
1. La vista y la visión viene a ser lo mismo, pues, ambas están relacionadas con los
sentidos.
2. Demócrito tiene razón cuando dice que la vista es agua, pero se equivoca cuando
afirma que la visión no es más que imagen del objeto.
3. Pero la teoría general de las imágenes y dela reflexión, al parecer no se conocía
bastante en tiempo de Demócrito.
4. La imagen se produce porque el ojo es liso, pero la vista no consiste en esta
propiedad del ojo, como sólo existe en el ser que ve ; y el fenómeno designado por
Demócrito sólo es un efecto de la reflexión.
5. Es extraño también que este filósofo no haya ido más allá en este punto, y que no se
haya preguntado en qué consiste que el ojo es el único que ve, mientras que ninguno de
los otros cuerpos, en los cuales se forman igualmente imágenes, no pueden ver.
a) 1 .........b) 3........ c)5 .........d) 2 ...........e)4
VII. LA GENERACIÓN DE VALLEJO
1. La actual generación de América es tan retórica y falta de honestidad espiritual, como
las anteriores generaciones de las que ella reniega.
2. Presiento desde hoy un balance desastroso de mi generación, de aquí a unos quince o
veinte años.
3. La actual generación de América no anda menos extraviada que las anteriores.
4. Levanto mi voz y acuso a mi generación de impotente para crear o realizar un espíritu
103
propio, hecho de verdad, de vida, en fin, de sana y auténtica inspiración humana.
5. Se ha explotado las riquezas orientales sin medida ni moral alguna.
a) 1 .........b) 3........ c)5 .........d) 2 ..........e)4
VIII. UN ENFERMO EMPECINADO
1. Ud. no quiere sanarse don Luis.
2. Un enfermo apretaba los labios.
3. La negativa del enfermo hizo que la mujer pensara que no podía recuperarse.
4. El coronel escuchó la ira tremenda del abuelo : Tómatela, carajo.
5. Y mataron al mejor de los gallos, y doña Delfina recogió la sangre del animal en un
vasito : Tómeselo sin dejar una gota.
a) 1 ...........b) 3 ...........c)5 ..........d) 2........ e)4
Las oraciones siguientes utilizan verbos que significan aproximadamente DOMINAR.
Elija el más apropiado entre los que figuran a continuación.
Dominar, imperar, subyugar, sojuzgar, reducir, oprimir, ahogar, contener.
1. - En aquella casa..................... el gusto por la literatura italiana y todos leían” La
Divina Comedia” de Dante Alighieri.
2. - El régimen consiguió ...............durante decenios toda tentativa de renovación
cultural.
3. - De ninguna forma estoy dispuesto a dejarme ............... por semejantes
energúmenos.
4. - Se quedó .......................por la intensidad de aquella negra mirada.
5. - El pueblo no se dejará .................... por aquel aprendiz de tirano.
104
LAS PALABRAS ESTÁN EN DESORDEN. ORDÉNALAS Y LUEGO CONTESTA.
DEBE TENER ORDEN LÓGICO Y GRAMATICAL. CON UN POCO DE CALMA
LO LOGRARÁS...
1. Equidad del justo sostén sé porque el género es la
..............................................
¿Cuál es la primera y última palabra?
a) la – género b) sé – equidad c) el – género d) sé – género
e) el - equidad.
2. Los mejores nietos son padres los abuelos con
................................................
¿Cuál es la palabra que antecede a padres?
a) nietos b) con c) son d) abuelos e) mejores
3. No mismo en sí es tu amor si verdadero se agota
................................................
¿Cuál es la palabra que antecede a mismo?
a) amor b) sí c) agota d) verdadero e) no
4. Intelectual es la capacidad soslayada y femenina resistida aún
.......................................................
¿Cuál es la cuarta palabra de la oración?
a) la b) soslayada c) resistida d) femenina e) capacidad
5. Lo justo es bueno ser fácil es difícil
.................................
¿Cuál es la cuarta y última ?
a) bueno – justo b) bueno – difícil c) fácil – difícil
d) justo – bueno e) fácil – justo.
6. De Manuel arte ha museo visitar de regreso el
........................................
¿Cuál es la tercera y la antepenúltima?
105
a) Manuel - visitar b) ha - arte c) regresado – museo
d)museo - visitar e) regresado – el
7. Organizado la es conocimiento ciencia el
.....................................
¿Cuál es la palabra que sucede a “conocimiento”?
a) es b) organizado c) ciencia d) el e) la
8. De buena principio el salud toda la es profilaxis metódica
............................................
¿Cuál es la palabra que antecede a “metódica” y cuál la que sigue a “el”?
a) salud – principio b) principio - salud c) salud – profilaxis
d) profilaxis – principio e) principio – profilaxis.
Opiniones...y debate
Coloca tu opinión de la siguiente noticia. También puedes apoyar la idea de una
compañera o contradecirla con argumentos lógicos...
La explosión de Tikrit “tuvo lugar a las 08.10 hora local (05:10 GMT) cuando el coche
bomba, conducido por el suicida, se acercó al autobús en el momento en que los policías
que viajaban en el transporte se disponían a realizar un relevo en un puesto de control",
dijo el general Husein Ahmed, de la comisaría de la provincia de Salah Edin, centro de
Tikrit.
Este atentado y el hallazgo de otra fosa común elevaron hoy, viernes, a más de 250 el
número de víctimas mortales de la ola violencia que desde hace una semana azota Irak.
La espiral se inició el viernes 28 de abril, un días después del juramento del gobierno
electo, y desde entonces no ha dejado de enlutar este país en la peor escalada de ataques
y matanzas desde las elecciones legislativas del pasado 30 de enero. (Cadena Ser. 5 de
mayo de 2005)
Comprensión de Lectura
INDÍCANOS CUÁLES SON LAS ALTERNATIVAS QUE ESCOGES. NO OLVIDES
CONCENTRARTE. TÚ PUEDES, ÉXITOS...
106
"En una escena rupestre cotidiana entre los años 15 000 a 10 000 a.C., se detalla un
bisonte que agoniza, indefenso al ataque de los cazadores. Sus patas han dejado de
responderle y yace con la cabeza agachada, en un último esfuerzo para protegerse de las
jabalinas que se lanzan los hombres.
Esta pintura primitiva, de las muchas que hay en las profundidades de la Cueva de
Altamira (España), fue realizada durante un ritual mágico por las tribus nómades de
aquella época, con el fin de vencer al espíritu del bisonte antes de salir a cazarlo. Pero
además de su valor antropológico resulta interesante porque en ella se entremezclan dos
características del ser humano que fueron divorciándose en el curso de la historia: la
observación cuidadosa de la realidad (lo que hizo posible representar dicha escena) y el
temor a la naturaleza o a lo desconocido (de donde surgieron las creencias en espíritu
que animaban el ser).
De la primera de estas características nace la ciencia; la segunda se traduce en mitos,
religiones y rituales para controlar las “fuerzas ocultas” en las tinieblas de la
ignorancia."
1. El texto trata fundamentalmente de explicar:
A) La descripción de una escena rupestre.
B) Los orígenes de la ciencia y el mito.
C) El ritual mágico de las tribus nómadas.
D) El valor antropológico de Altamira.
E) La observación de la realidad.
2. Del texto se deduce que en la época primitiva, la caza del bisonte fue:
A) Indiscriminada B) Prohibida C) Esporádica.
D) Gregaria. E) Individual.
3. Según el texto, el temor a lo desconocido originó:
A) La pintura. B) La antropología. C) La religión.
D) El arte rupestre. E) La ciencia.
4. En el texto, el vocablo DIVORCIÁNDOSE tiene el significado de:
A) División B) Convergencia C) Disolución
D) Separación E) Complemento.
107
5. La creencia de que un bisonte es animado por un espíritu oculto es de naturaleza:
A) Racional B) Peligrosa. C) Histórica.
D) Observacional. E) Ritual
Creando – Vocabulario
En base a las siguientes palabra: boato, óbice, bisoño, conspicuo y zahora,
realiza la actividad Nro 3.
a) Haz una composición usando las palabras citadas.
b) El tema es libre.
c) Puede ser un poema, cuento corto, una historieta, una fábula, etc.
d) Debes ponerle un título.
Un poco de empeño y tendrás ÉXITO.
LECTURA DE COMPRENSION
Hoy es noche clara en el universo de mis recuerdos. La nostalgia cual luna se ha
propuesto reflectar el fulgor espiritual. El viento de mis pesares silba sin cesar trayendo
a mi memoria el huracán de mis frustraciones. Ante mis ojos, huidizo, pasa Cronos y la
tratar de llamarlo un galáxico nudo me impide pronunciar sonido alguno. En el silencio
de la claridad la atmósfera de las pasiones envuelve a un pequeño corazón que es un sol
irradiando amor. Allá a lo lejos, demasiado para poder alcanzarlo otro astro destella su
interminable saludo; más allá otros más, mentalmente les envío mis mensajes; pero
abusando la mirada me percato que también son corazones esparcidos en la distancia del
universo que simboliza la fría grandeza de la soledad que es precisamente el universo
espiritual de ésta que es mi noche.
01. - Señale lo más compatible en torno al autor:
a) Está ubicado en el centro de sus recuerdos. b) Se contradice permanentemente.
c) Se encuentra recordando el huracán de sus pasiones.
d) Le gusta simbolizar las cosas que ha experimentado. e) Ha sufrido demasiados
desengaños.
108
02. - El título más adecuado sería:
a) Las pasiones de la soledad. b) El universo de la soledad.
c) El huracán de los recuerdos. d) La soledad y los recuerdos.
e) La soledad y la nostalgia.
03. - Indique lo correcto:
a) La luna suele reflectar en la soledad del autor.
b) El pequeño sol irradia gran pasión en la silenciosa claridad.
c) Los galáxicos ojos del autor observaron a Cronos.
d) El autor se siente imposibilitado de poder comunicarse con los demás.
e) El astro rey saluda interminablemente a los demás.
04. - Según su opinión, el autor:
a) Es producto de sus recuerdos. b) Tiene un corazón aprisionado.
c) Describe con ambigüedad el universo. d) No es comprendido por Cronos.
e) Se encuentra en la soledad.
05. - Sobre los pesares del autor se podría decir que son:
a) Como soles distribuidos en el universo. b) Producto de su propia nostalgia.
c) Provocados por sus recuerdos. d) Productos de sus frustraciones.
e) Impulsados por el viento.
109
GENEROS LITERARIOS
Prosa, poesía y teatro son los tres grandes caminos formales que un autor puede
elegir para escribir. Algunos autores han experimentado con todos ellos, otros se han
dedicado a uno solo.
En esta nota nos volcaremos sobre todo a la prosa, y les daremos herramientas para que
puedan reconocer a los géneros literarios que pueden englobarse en dos grandes grupos:
fantasía y realidad.
Primero lo primero
Cualquier obra, sea del género que sea, debe ser coherente consigo misma, o coherente
en su incoherencia (como es el caso del absurdo). Nunca pensaremos que es estúpido
que exista vida en Plutón, si el autor nos ha convencido de ello. Una de las mayores
cualidades que se pueden tener a la hora de narrar es la verosimilitud, esto es, la
capacidad que tiene un escritor de hacernos creer lo que sea. Para esto se vale de
elementos de la cotidianeidad, y juega con sus posibilidades para crear una historia.
La literatura realista
Se reconoce porque toda la trama y sus personajes están dentro de las coordenadas de la
realidad. Sus hechos son lógicos, generalmente cronológicos, se rigen por la causa y el
efecto y sus personajes son asimilables a la vida de cualquier persona. Esto es así
porque una de las características principales de los libros realistas es el trabajo
puntilloso sobre la psicología de sus personajes y la descripción de su entorno.
En un principio estas obras se volcaron a la narración de hazañas de los grandes
hombres de la nobleza (el caso del Cantar del Mio Cid, en la Edad Media), pero poco a
poco se llega a otra noción del hombre, presentándolo en una dimensión más humana,
con sus conflictos internos y sus dudas. Hamlet, de Shakespeare es un ejemplo de esta
transición.
Ya más cercano a nuestro siglo, en la vorágine cultural europea, el realismo literario
110
sienta sus bases definitivas de la mano de Madame Bovary, personaje paradigmático del
conflicto del hombre común. Fue Gustave Flaubert (1821-1880) el autor de esta
magistral obra.
El ruso Fedor Dostoievski (1821-1881), contemporáneo del anterior, también es uno de
los más grandes autores de este género, siendo una de sus obras más importantes
Crimen y Castigo.
Dentro del realismo surgieron varias corrientes literarias específicas. Es el caso del
existencialismo francés, cuyos mayores exponentes fueron Albert Camus (1913-1960) y
Jean Paul Sartre (1905-1980). Las obras existencialistas parten de la negación de todo lo
que esté más allá de la experiencia humana. También podemos mencionar el grotesco,
que exacerba los conflictos del hombre, y la sátira, que constituye una crítica dirigida a
los poderes y sistemas de la sociedad.
Otra manifestación de la literatura realista es la narración policial, que tiene una
estructura propia. Su precursor fue el norteamericano Edgar Allan Poe (1809-1849).
Con su cuento Los asesinatos de la calle Morgue inspiró a figuras célebres como el
argentino Jorge Luis Borges, e inauguró el género por el que entraría el detective
Sherlock Homes, la pluma de Agatha Christie, y Gilbert K. Chesterton, cuyas obras
contienen elementos que participan de lo fantástico.
El género fantástico
Surge del entrecruzamiento de lo cotidiano con lo extraño. Rompe con la causa-efecto
del realismo, y lleva al lector a vacilar con respecto a la idea que tiene de la realidad. Lo
extraño puede tomar diversas formas: puede introducirse imprevisiblemente en la
realidad y hacerla tambalear; la realidad misma puede ser extraña, o en algún caso
extremo, ésta es anterior o paralela a la que conocemos.
La irrupción
El personaje de las historias en las que lo extraño irrumpe, es por lo general un ser
común y corriente, lúcido y escéptico, que poco a poco ve tambalearse el mundo a su
111
alrededor. Puede ser víctima de apariciones, de alucinaciones, de vampiros, o de
cualquier tipo de acontecimiento sobrenatural . Aquí se inscribe el género terrorífico,
muy explotado por Poe tanto en su prosa como en su poesía, poblada de espectros de
mujeres amadas, de bestias presagiosas y de espíritus atormentados por la cercanía de la
muerte. Así como Poe fue el precursor de la literatura policial, lo fue también de la
terrorífica. No existe autor de este género que no lo haya tomado como punto de partida.
Es el caso del norteamericano H. P. Lovecraft (1890-1937), quien inventó lo que la
crítica llamó horror cósmico. Allí el miedo se encarna, no ya en espíritus o seres
terrenales, sino en entidades venidas del espacio. Varios autores se le unieron, creando
los famosos Mitos de Cthulhu. Como Poe, Lovecraft no fue reconocido en vida.
Este tipo de historias encuentran su mejor expresión en las narraciones cortas (cuento y
novela corta), ya que logran un efecto más inmediato y puntual. También es habitual
que sean escritas en primera persona, lo que las dota de gran fuerza, pues es la víctima
quien nos habla y nos cuenta, desesperada, su relato.
Otra rama de lo terrorífico dentro de los géneros literarios, que ha llegado a convertirse
en un género en sí mismo, es el vampirismo. El trasfondo de estas narraciones es la
lucha interminable entre el bien y el mal, pero con un ingrediente más: el deseo y la
tentación del bien por ser parte de ese mal. Porque los vampiros encarnan la utopía de la
inmortalidad, y si bien muchos de ellos odian ese maligno don, los mortales llegan a
desearlo, abierta o secretamente. Las obras que inmortalizaron a los vampiros y que
constituyeron el disparador de una enorme producción literaria y más tarde
cinematográfica, fueron Drácula (1897) del Bram Stoker, y Carmilla (1872), de Joseph
Sheridan Le Fanu. Los vampiros contemporáneos más famosos son los que han salido
de la inteligente pluma de la norteamericana Anne Rice. Sus crónicas vampíricas, que
incluyen Entrevista con el vampiro, Lestat el vampiro, La reina de los condenados y El
ladrón de cuerpos, nos presentan a seres bellos, atormentados, solitarios, con una
increíble capacidad de amar y odiar al mismo tiempo.
La ciencia ficción
Es el caso en que toda la realidad es extraña. Habitualmente estas historias tienen lugar
112
en el futuro, y nacieron por el auge de las tecnologías y la era espacial. Uno de sus
mayores cultores es Ray Bradbury. En sus narraciones, los personajes han tenido que
abandonar la Tierra por diversas razones, y deben buscar el modo de subsistir en otros
planetas. En esta línea podemos mencionar sus obras Crónicas marcianas y Las doradas
manzanas del sol. Más tarde este autor se volcaría al género policial (La muerte es un
asunto solitario, etc.)
Arthur C. Clarke se caracteriza por su combinación de imaginación con rigor científico.
Es autor de 2001 Odisea en el espacio, que fue llevada al cine por Stanley Kubrick, y de
El fin de la infancia, que lleva a un punto extremo e insospechado la vacilación propia
de lo fantástico.
Pero existen tres grandes obras paradigmáticas de este género, no sólo por el excelente
uso de los recursos de la ciencia ficción, sino porque contienen un trasfondo político
muy pesimista y palpable. Nos referimos a Farenheit 451, del mencionado Bradbury, a
1984 de George Orwell, y Un mundo feliz, de Aldous Huxley. En los tres libros el
mundo se ha vuelto una suerte de prisión autoritaria, mecanizada, en la que no existe
posibilidad de escape.
El mundo paralelo
El genial J.R.R. Tolkien (1892-1973) fue el creador de la mitología más compleja y
completa del siglo XX, que llegó a su máxima expresión en El señor de los anillos, y su
precursor, El Hobbit. La cabeza de Tolkien es increíble. Inventó un mundo completo,
con su historia, su flora y su fauna, sus razas y sus lenguas.
Tomó elementos de la mitología griega y romana, de los cuentos maravillosos y el
folklore europeos, de lenguas antiguas y modernas, y lo conjugó todo creando el
universo maravilloso que inspiraría posteriormente a las famosas sagas norteamericanas
de Dungeons & Dragons y los juegos de rol.
Al leer a Tolkien y a sus seguidores, no se experimenta vacilación alguna con respecto a
la realidad de este mundo, sino que somos transportados a otro mundo, completamente
diferente, con sus códigos y leyes propias, pero que siguen respondiendo a motivos
113
humanos como bien y mal, lucha y conformidad, poder y sumisión.
La convivencia
Nos referimos al realismo mágico cuyo mayor exponente es el colombiano Gabriel
García Márquez con su célebre obra Cien años de soledad. Este autor abrió, para toda la
tradición literaria, el camino para conocer el espíritu latinoamericano. Elementos
aparentemente disímiles conviven felizmente en un universo en donde todo es posible.
Nociones tan convencionales como el tiempo, la familia, las costumbres, la muerte, se
invierten y se enrarecen hasta el punto en que es natural que uno de los personajes vaya
al encuentro de la muerte volando en una sábana.
De algún modo, Márquez, con una sabia y peculiar mirada literaria, conjugó las
costumbres y la magia de las creencias del trópico latinoamericano, ubicándolas como
sustento de la realidad.
Otros cultores de este género son Alejo Carpentier, Isabel Allende y Laura Esquivel.
Un caso aparte: Julio Cortázar
Este autor argentino supo aunar todos los elementos que hemos mencionado hasta
ahora. Tanto es así, que resulta difícil encasillarlo en algún género específico. Sus obras
circulan por el realismo, lo fantástico, lo mágico y lo terrorífico, pues para él todo esto
convive con las acciones humanas. En su novela Rayuela le plantea un juego al lector,
que puede elegir leerlo de diversas formas, enfrentándose a la realidad en forma
dislocada y sin un orden establecido.
Y para terminar con los géneros literarios: el absurdo
Es la expresión extrema del divorcio entre causas y consecuencias. Las obras de este
género siempre terminan mal, tienen un trasfondo trágico que perseguirá
incansablemente a sus personajes. Las intenciones de mejorar, de relacionarse
afectivamente o de cambiar de alguna forma lo adverso, se ven truncadas por el hecho
poderoso y fatal de la maldad y la incomprensión del otro, que se ve como característica
114
fundamental de los seres humanos.
Como ejemplos de esta tendencia, en la que las obras de teatro ofrecen la mejor vía de
expresión, podemos citar: Esperando a Godot de Samuel Beckett, La cantante calva de
Eugene Ionesco, Enrique VIII de Luigi Pirandello, y también la obra de Albert Camus
El malentendido.
Los Géneros Literarios
Los géneros literarios son los distintos grupos o categorías en que podemos clasificar las
obras literarias atendiendo a su contenido. La retórica clásica los ha clasificados en tres
grupos importantes: Lírico, Épico y Dramático
GENERO LIRICO: Expresa sentimientos y pensamientos, en este predomina la
subjetividad del escritor. Suele escribirse en versos pero también existen en prosa.
GENERO EPICO: Relata sucesos reales o imaginarios que le han ocurrido al poeta o a
otra persona. Es de carácter sumamente objetivo. Su forma de expresión fue siempre el
verso.
GENERO DRAMATICO: Es el tipo de genero que se usa en el teatro, en el que por
medio del dialogo y algunos personajes, el autor plantea conflictos diversos. Puede estar
escrito en verso o en prosa. Su finalidad esencial es la representación ante el publico.
Subgéneros Literarios
La gran mayoría de las obras responden a uno de estos tres grandes géneros, pero hay
que tomar en cuenta que las obras literarias se realizan en diferentes épocas y, a veces,
no se circunscriben a uno de estos tres grandes géneros. Por ello, existen el genero
teórico, que no es mas que un subgénero literario.
Subgéneros Líricos
Oda: Composición lírica en verso, de cierta extensión y de tema noble y elevado.
Elegia: Composición lírica.
Égloga: Composición poética del genero bucólico.
Sátira: Composición lírica en verso o en prosa, que censura vicios individuales o
115
colectivos.
La canción: poema en verso de tema amoroso, pero puede exaltar otras cosas.
Subgéneros Épicos
En este género podremos encontrar subgéneros en verso y en prosa. en verso tenemos:
La epopeya: Narra una acción memorable y de gran importancia para la humanidad o
para un pueblo.
Poema épico: Relata hazañas heroicas con el propósito de glorificar a la patria.
El romance: Tanda de versos octosílabos con rima asonante en los pares, que describe
acciones guerreras y caballerescas.
Entre los subgéneros narrativos en prosa encontramos:
El cuento: Popular y anónimo, o literario. Es un relato breve de una pericia inventada,
sucedida a uno o a varios personajes, con argumento muy sencillo; a veces con una
finalidad moral y se llama apólogo.
La novela: Es un relato largo, aunque de extensión variable, con un argumento mucho
mas d desarrollado que el del cuento. Y, a diferencia de lo que sucede con el cuento, al
lector le importa no solo lo que ocurre a los personajes, sino también lo que piensan y
sienten, como evolucionan espiritualmente y como influye en ellos la sociedad donde
viven.
Subgéneros Dramáticos:
La tragedia: Es la representación de terribles conflictos entre personajes superiores y
muy vehementes, los cuales son víctimas de grandes pasiones que no pueden dominar;
suele acabar con la muerte del protagonista.
La comedia: Es la representación, a través de un conflicto, del aspecto alegre y
divertido de la vida humana, y cuyo desenlace tiene que ser feliz.
El drama: Es la representación de problemas graves, con intervención, a veces, de
elementos cómicos, y su final suele ser sombrío.
Opera: Composición dramática, en la que los personajes cantan íntegramente sus
papeles, en lugar de recitarlos. Es el poema dramático compuesto por música.
Zarzuela: Obra literario-musical, genuinamente española, en la que se combinan
116
escenas habladas y cantadas. Suele reflejar vivos cuadros de costumbres,
preocupaciones populares, sátiras políticas.
Existen otros géneros literarios como lo son la oratoria y la didáctica. La oratoria
pretende disuadir a un auditorio la didáctica tiene la finalidad de enseñar. Algunos
subgéneros didácticos son:
La fábula: Relato en prosa o en verso de una anécdota de la cual puede extraerse una
consecuencia moral o moraleja; sus personajes suelen ser animales.
La epístola: también posible en verso o en prosa, expone algún problema de carácter
general, desde un punto de vista censorio o de sátira.
El ensayo: Es el subgénero didáctico mas importante en la actualidad; escrito siempre
en prosa, consiste en la exposición aguda y original de un tema científico, filosófico,
artístico, político, literario, religioso, etc.. con carácter general, es decir, sin que el lector
precise conocimientos especiales para comprenderlo.
La critica: Somete a juicio de valor, razonado, las obras o las acciones realizadas por
otras personas; si se juzgan obras o actos propios, el escrito se denomina autocrítica.
ETIMOLOGIAS
término
abscisa
etimología
lat. abscisa
('cortada')
gr. ákros
acronimia
('extremo'); gr.
ónoma ('nombre')
acuífero /a
acusmáticos
acutángulo
latín, aqua ('agua'),
lat. fero ('llevar')
gr. akoúsmatos ('lo
que se oye')
latín, acutum
('agudo'), lat.
sentido
otros ejemplos
'cortada,
truncada en un
absolver, absorber
punto'
'nombre formado
por extremos'
'que lleva agua'
acróstico, homonimia
acueducto, somnífero
'que oyen sin
ver, que oyen en acusma, acústica, acúsmato
silencio'
'ángulo agudo'
117
acupuntura, rectángulo
angulum
adiabático
adyacente
aerobios
aerodinámica
agnóstico /a
albinismo
alcalino
álgido
alveolar
amorfo /a
gr. a- dia- baíno
'que no absorbe
('que no atraviesa
ni transmite
calor')
calor'
lat. ad iacere
('tender, echar')
hipérbaton, acróbata,
apobático
'que yace, que
está puesto junto subyacente, adjuntar
a'
gr. aéro ('aire'); gr.
'vida con aire,
bíos ('vida')
con oxígeno'
gr. aéro ('aire'); gr.
'relativa a la
anaerobio, biogenética,
dina ('fuerza')
fuerza del aire'
biosfera
gr. a ('privación');
'que no conoce,
gr. gnostikós
incapaz de
('conocer')
conocer'
árabe album
'de color blanco,
('blanco'), -inum-,
sin
ismum
pigmentación'
árabe al qali ('la
sosa')
lat. algidum
('helado, muy frío')
lat. alveolum
('pequeña cavidad')
griego, á- ('sin'), gr.
morphé ('forma)
aerofagia, aerobio, aerolito
ácrata, gnosticismo,
incógnito
albino, albina, alba,
alborada
'hidróxido
metálico muy
alcaloide, alcalímetro
soluble en agua'
'lo más frío',
luego, 'lo más
algidez
alto'
'cavidad
posterior de los
alveolos
dientes'
'sin forma'
ateo, apático, anisosilábico
gr. anà ('de nuevo'); 'disolución,
análisis
gr. lysis
separación de
('disolución')
nuevo'
118
anáfora, biolisis
gr. anà ('de nuevo');
anámnesis
gr. mnêsis
('recuerdo')
gr. anà ('arriba');
anaparástasis
vez, de nuevo'
'reconstrucción,
gr. aná ('de nuevo');
gr. tomé ('corte')
que fue'
'cortado de
nuevo, dividido
soplo'), lat.
la flor con el
anemonem
viento'
gr. anà eurýno
aneurisma
('ensanchamiento de
nuevo')
anfibio
ingl. England
anglicismo
('Inglaterra'); -ismo
('tendencia')
anquilosamiento
antema
antemídeas
antobios
ruptura'
aneurismectomía
ambos medios'
galicismo, lusismo,
Inglaterra'
nihilismo
('encorvado'); ósis
encorvada,
('formación')
encorvamiento'
gr. anthemís
('manzanilla')
anfibología, anfiteatro
'perteneciente a
'formación
('florecer')
animismo
anadiplosis,
gr. agkýlos
gr. anthéo
anemófila, anemómetro,
'dilatación con
gr. amphí ('ambos'); 'ambas vidas, en
gr. bio- ('vida')
anatomía, tomo
otra vez'
gr. ánemos ('viento, 'planta que abre
anémona
anáfora, amnesia, analogía
pará (según), stásis estado, según lo éstasis, isostasia, anástasis
(posición)
anatómico /a
'recuerdo otra
anquilosarse, anquilosis
'tipo de adorno
inspirado en
antesis, hipantea, antílope
flores'
'plantas
compuestas de
antemis, antemina
manzanilla'
gr. ánthos ('flor'),
'vida en flor,
antobranquio, antozoo,
bíos ('vida')
insectos que
antología
119
fecundan flores'
gr. ánthropos
antrópico
('hombre'); -ico
('relación')
gr. ánthropos
antropomorfo
('hombre'); gr.
morphé ('forma')
lat. apendicem
apendicectomía
('accesorio'), gr.
ektomé ('corte')
apical
cima')
lat. cultura
('cuidado')
gr. apó ('lejos, muy
apogeo
el hombre'
'con forma de
hombre'
por encima'); gr. gêo ('tierra')
antropolito, filantropía
antropoide, antropología
'extirpación,
corte del
ectomía, dicotomía,
apéndice,
tricotomía
accesorio'
lat. apicem ('punta, 'con la punta de
lat. apis ('abeja');
apicultura
'en relación con
la lengua'
'cuidado de las
abejas'
'lejos de la tierra,
en lo más alto'
apical, ápice
viticultura, puericultura
apocárpico, apoteosis
gr. apó ('hacia'); gr. 'discurso en
apología
lógos ('palabra,
favor de alguien, apologética, apólogo
discurso')
alabanza'
gr. a póros, aporía 'imposibilidad de
aporía
('sin paso, estorbo,
pasar al
peligro')
razonamiento'
gr. apó ('que viene,
apostosis
lejos de'); gr. ptôsis
(‘caída')
arqueología
aporema, diaporismo
'que viene de la
apofonía, afelio, apocicia,
caída de algo'
apogeo
gr. arché
'estudio del
('principio'); gr.
origen, del
lógia ('estudio')
principio'
120
autarquía, arquitectura
atelectasia
gr. a- ek- tasis,
'falta de
éktasis ('sin
dilatación para el
extensión')
aire'
gr. autós ('uno
autoayuda
mismo'); lat.
adiutare ('ayudar')
gr. biblíon ('libro');
biblioteca
gr. théke ('caja,
armario')
bilabial
bioética
biotopo
bolus
botafuego
libros'
ludoteca
labios'
polinomio, trinomio,
dos particiones'
monomio
'vida con muchas
diversum ('varias
especies
direcciones')
variadas'
éthos ('costumbre')
gr. bio ('vida'); gr.
tópos('lugar')
gr. bólos ('golpe'),
lat. bolus ('lance')
'costumbres,
comportamientos
en la vida'
'lugar de vida'
'inyección breve
y rápida en la
vena'
lat. botare focum
'instrumento para
('lanzar fuego')
lanzar fuego'
gr. káryon
cariotipo
('núcleo'); gr. týpos 'tipo de núcleo'
('tipo')
catálisis
gr. katá ('hacia
bipartición, labiodental
'dos términos,
gr. bio ('vida'); lat.
gr. bio ('vida'); gr.
heteroayuda
fonoteca, mediateca,
('labio')
nomós ('partición,
cardiectasia
'caja, lugar de
'con los dos
distribución')
biodiversidad
mismo'
lat. bi labium
gr. bis ('dos'); gr.
binomio
'ayuda a uno
ataxia, gastrectasia,
biotecnología, simbiosis
biodegradable, etología,
ética
biotipo, biogénesis,
biografía
isobólico, diablo,
pirobolista
botafumeiro, botadura
cariosoma, carion,
cariotina
'disolución hacia catáfora, catabolismo
121
abajo'); gr. lysis
abajo,
('disolución')
acabamiento'
gr. képhalé
cefalalgia
('cabeza'); gr. -álgos 'dolor de cabeza' cefalitis, neuralgia
('dolor')
celiaco /a
gr. koilía ('cavidad
del vientre')
lat. centrum
centrípeta
cibernética
gr. kybernáo
'ciencia de los
('gobernar'); gr. -
procesos de
tica ('ciencia')
control'
('gobernar'); lat.
cinética
citología
'lugar donde se
guardan
películas'
'ciencia que
('movimiento'); -tica estudia el
('ciencia de')
movimiento'
gr. kýtos ('célula');
'estudio de la
gr. lógia ('estudio')
célula'
gr. klépto ('robo');
cleptomanía
basurero
gametos'
gr. kinesis
gr. -manía ('afición,
obsesión)
ciberespacio, robótica
cibernética'
atadura')
armario')
centrífuga, inapetencia
telebasura, gobierno,
'unión de dos
théke ('caja,
discelia
'la basura de la
gr. zygós ('yugo,
('movimiento');
celiaca, celiomialgia,
'que tiende, que
centro'
gr. kinesis
cineteca
del vientre'
('tender a')
*versura ('barrer')
cigoto
vientre, enfermo
('centro'); lat. petere se dirige al
gr. kybernáo
ciberbasura
'relativo al
'obsesión, locura
por el robo'
122
gigosis, cigocito, zigófito
hemeroteca, pinacoteca,
ludoteca
cinesis, cinemática,
kinésica
citosina, citoscopia, biocito
pirómano, megalomanía
lat. colossum, gr.
coliseo, coliseum kolossiáios
'gran anfiteatro'
colosal
('grandioso, colosal')
lat. contingentia
contingencia
('que puede suceder pueden suceder o
o no')
gr. chôros
corografía
'las cosas que
('comarca, región');
graphé
('descripción')
no'
acontecimiento,
contingente
'descripción del
país, de la
orografía, isocoro
región'
'relativo a la
craneal
gr. kranía ('cabeza') cabeza, encéfalo, craneoscopia, craneología
cráneo'
lat. creationem
creacionismo
('creación'), -ismo
(tendencia)
cromátida
cromosoma
deductivo
gr. chrôma ('color');
gr. eîdos ('aspecto')
con color'
lat. de ductum
'que va de lo
('conducido
general a lo
desde...')
particular'
('trabajo')
lat. de praedari
depredador
dermoestética
'aspecto de color'
gr. sôma ('cuerpo')
('pueblo'); gr. érgon
marxismo, futurismo,
la creación pura' seísmo
gr. chrôma ('color'); 'cuerpo pequeño
gr. dêmos
demiurgo
'movimiento de
cromatosis, ovoide,
asteroide
cromatina, somatoscopio
inductivo, aducir, conducir
'que trabaja para demócrata, ergonomía,
el pueblo'
energía
'el que saquea
('tomar, saquear'); - con violencia,
tor
destroza'
gr. dérma ('piel');
'ciencia,
gr. aisthetikós ('que tratamiento
123
depredar, depredación
dermatitis, hipodérmico
se percibe')
sensible de la
piel'
lat. des ('separac.'); 'ácido helicoidal
desoxirribonucleico gr. oxi ('oxíg.');
rhaibós (curvo)
gr. diá ('entre,
diacronía
através de');
chrónos ('tiempo')
gr. dyo ('dos'); gr.
diglosia
glossa ('lengua'),
inferior
en núcleo
ribosa, oxidación
perdido oxíg'
'a través del
diámetro, asincronía,
tiempo'
crónica
'dos lenguas'
desiguales
isoglosa, dilogía, glosar
gr. dýnamis
dinámica
('fuerza'); -ica
'ciencia que
('relativa a, ciencia
estudia la fuerza'
dinamómetro, dina, dinamo
de')
gr. deinós ('terrible,
dinosaurios
fuerte'); gr. saûros
('lagarto')
gr. dýs- ('mal'); gr.
dislexia
léxis ('elocución,
habla')
gr. dýs- ('mal');
disnea
pnéo, pnoiá
('respirar,
respiración')
domótica
dinoflagelados,
espantoso'
lepidosaurio
'mala
pronunciación'
disgrafia, disnea, dispepsia
'mala
respiración,
distrofia, apnea, neumático
dificultosa'
lat. domus ('casa');
'ciencia,
lat. -tica ('ciencia
organización del robótica, urbótica
de')
domicilio'
lat. dorsum ('dorso,
dorsal
'lagarto fuerte,
lomo, superficie,
revés')
'relativo al revés,
la parte de atrás'
124
predorsal, dorsopalatal
ecocardiología
ecodesarrollo
ecología
gr. echó ('eco,
'estudio del
sonido'); kardía
sonido del
('corazón'), logia
corazón'
gr. oîkos ('casa,
'desarrollo
lugar habitado'); lat. adecuado al
rotulus
lugar habitado'
gr. oîkos ('casa,
'palabra, estudio
lugar habitado'); gr. del lugar
lógos ('palabra')
gr. oîkos ('casa'); gr.
economía
nomós
('administración')
gr. oîkos ('casa,
ecoturismo
elipsis
gr. élleipsis ('falta,
omisión')
gr. em - bolismós
embolismo
('echar dentro,
intercalación')
gr. enképhalos
encefalograma
('cerebro'); gr.
grámma ('gráfico')
endémico
endoergónico
endonimia
gr. demos
('pueblo'); lat. en
ecografía
economato, antiecologistas
ecosistema, economía
habitado'
'administración
ecografía, economato,
de la casa'
ecotopo
'excursión que
lugar habitado'); fr. respeta el lugar
tour ('viaje')
ecocinesia, ecofonía,
ecosistema, economía
habitado'
'omisión de
palabras no
ecologismo, turismo
necesarias'
'reducción (de
embolia, embolismático,
huesos luxados)' emblema
descripción de la
cabeza''
electroencéfalocardiograma
'en el pueblo,
asentado en el
endemismo, demiurgo
territorio'
gr. éndon ('dentro'); 'trabajo hacia
hiperergia, hialurgia,
gr. érgon ('trabajo') dentro'
telérgica
gr. éndon ('dentro'); 'nombre interior,
gr. ónyma
del país de
125
exonimia, hiperonimia
('nombre')
origen'
gr. éndon ('dentro'); 'observación
endoscopia
endotérmico
entalpía
entelequia
gr. skopéo
hacia dentro, en microscopio, endocrino
('observo')
el interior'
gr. éndon ('dentro'); 'que absorbe
gr. thérme ('calor')
gr. enthálpo
('caliento')
gr. entelécheia
('actividad, energía')
gr. en tómos ('en
entomología
fragmento, insecto'); -logia
entropía
eoceno
lat. in, gr. tropé
('vuelta, giro')
gr. eos ('aurora');
kainós ('reciente')
gr. epí ('sobre'); gr.
epifenómeno
gr. epistéme
('conocimiento'); gr.
lógia ('estudio')
'energía activa'
'estudio de los
insectos'
eritrodermia
desorden, en
'período en el
comienzo de era
terciaria'
tropo, isotropía, politropía
holoceno, plioceno,
mioceno
'que aparece
fenómeno, epicentro
influencia'
'estudio del
conocimiento'
condiciones de
('administración')
trabajo'
dérma ('piel')
entomófilo, entomófago
evolución'
gr. nomós
gr. erithrós ('rojo');
entelequia
'grado de
gr. érgon ('trabajo'); 'estudio de las
ergonomía
termófilas, endogamia
'acción del calor' entalpía
phainómenon ('que encima sin
aparece')
epistemología
calor'
'piel enrojecida'
126
epistemático
Georgia, energúmeno,
ergómetro
eritrofobia, eritrosis,
eritremia
gr. stéreos ('sólido'),
estereoisómeros
ísos (igual), méros
(parte)
gr. stóma ('boca');
estomacal
stómachos ('orificio
estómacal')
gr. stómatos ('boca,
estomatólogo
orificio'); gr. lógos
('palabra')
'unidos en partes
iguales'
'en relación con
la boca'
'que estudia la
boca'
estereoisomería
estomatoma, pistón
estomatitis, estomatópodo
gr. éthnos (pueblo); 'ciencia de los
etnoagricultura
etnobotánica
lat. agrum
cultivos en el
('campo'), cultura
pueblo'
gr. éthnos (pueblo);
gr. botáne ('planta')
'ciencia de las
plantas en el
pueblo'
gr. éthnos (pueblo); 'ciencia de la
etnogeografía
gr. geo, graphé
tierra en relación
('descripción')
al pueblo'
gr. éthnos (pueblo); 'ciencia que cura
etnoiatría
etnolingüística
gr. iatreía
con usos del
('curación')
pueblo'
gr. éthnos (pueblo);
lat. lingua ('lengua')
gr. eu ('bien'); gr.
eufemismo
phéme ('hablar'); ismo
exoergónico
exotérmico /a
gr. éxo ('fuera de');
'ciencia de la
lengua en el
pueblo'
'tendencia a
hablar bien'
'trabajo hacia
gr. érgon ('trabajo') fuera'
gr. éxo ('fuera de');
'que axpulsa
gr. thérme ('calor')
calor'
127
etnohidrología, etnomúsica
etnogeografía,
etnogeología
etnotecnología,
etnoquímica
etnotecnología,
etnoquímica
etnoterapia, pediatría,
hidriatría
Eulalia, eutanasia, eufonía
hipoergia, ergógrafo,
anergia
exocarpo, exosfera
fenomenología
gr. phainómenon
'ciencia de los
('que aparece'); gr.
fenómenos, de
lógia
las esencias'
gr. phaíno
fenotipo
(aparcer'), týpos
('modelo, forma')
gr. phýlos ('que
filosofía
ama'); gr. sophía
('sabiduría')
fitoterapia
fractales
fricativa /o
funcional
aparece'
'amor a la
sabiduría'
gr. phytón ('planta, 'curación por las
vegetal'); therapeía plantas'
lat. fractus ('roto,
'creados con
creado con
fragmentos
fragmentos).
irregulares'
lat. fricare ('rozar,
'que fricciona,
restregar')
que roza'
lat. functionem
'relativo al papel,
('misión, función,
la función
ejercicio')
realizada'
gr. kháos ('abismo');
gaseoducto
'tipo, modelo que
lat. chaos ('caos'),
ductum
'conducción del
gas'
fenomenismo, fenotipo
genotipo, fitotipia, teletipo
sofista, Sofía
fitónimo, fitofilia, fitófago
fractal, fraccionario,
fracción
fricción, friccionar
disfunción, funcionario
oleoducto, acueducto
gr. génesis
génesis
('nacimiento,
'origen, principio
creación,
de las cosas'
filogénesis, ontogénesis
generación')
gr. geneá, genetikós 'ciencia del
genética
genotipo
('origen,
origen, de la
generación'), -tica
generación'
gr. génos ('origen,
'modelo de
generación'), týpos
origen, prototipo' linotipia
128
biogenética, citogenética
fenotipo, tipología,
('modelo')
geocéntrico
gr. ge-o- ('tierra');
'relativo al
lat. centrum
centro de la
('centro'), -icum
tierra'
gr. ge-o- ('tierra');
geodinámica /o
gr. dýnamis
('fuerza')
gr. ge-o- ('tierra');
geopaleontología paleo- ('antiguo'),
gerontogimnasia
grafología
hectómetro
hepático
tierra'
geodesia
estudio de los
seres antiguos de
gr. gérontos
'ejercicio
('anciano'), gymnós gimnástico de
('desnudo')
los ancianos'
gr. grápho
'estudio de la
('escribir'); gr. lógia escritura, de las
ingl. n ('r')
término
geometría, geología,
la tierra''
lat. i (''); gr. n ('r');
x
antropocéntrico
'fuerza de la
óntos ('ser')
('estudio, tratado')
teocéntrico,
geología, geofísica,
geófago
gimnástica, gerontocracia
grafema, agrafia, bolígrafo
grafías'
'r'
etimología
sentido
gr. hekatón ('ciento'); gr.
métron ('medida')
gr. hépatos ('hígado')
'cien metros'
'relativo al hígado'
gr. héteros ('otro,
heterogéneo / a
diferente'); gr. génos
'de diverso género'
('género')
hexaedro
hidrácido
gr. hex ('seis'); gr. hédra
('base, apoyo, cara')
gr. hydro ('agua'); lat.
129
'seis bases, caras'
'sal ácida de agua'
otros ejemplos
hectólitro,
hectógramo
hepatitis,
hepatología
heterosexual,
heterótropo
hexágono,
icosaedro, diedro
hidronimia,
acidu ('agresivo')
hidrófilo
hidrófugo
hidromiel
hilemorfismo
hipocorístico
hipotérmico / a
histeria
holismo
holoceno
holografía
homonimia
iconoclasta
idiopático
hidroterapia
gr. hydro ('agua'); gr.
'que ama, que busca hidronimia,
philo ('que ama')
el agua'
filosofía
gr. hydro ('agua'); lat.
'que rechaza, que
hidromasaje,
fugo ('que rehuye')
repele el agua'
centrífugar
gr. hydro ('agua'); lat.
'miel fermentada en hidráulico, hidrato,
melem ('miel')
agua'
gr. hyle ('materia'), gr.
'teoría de la síntesis hyle, hilomorfo,
morphé ('forma')
materia y forma'
gr. hypó ('debajo'); gr.
'diminutivo al modo hipocondríaco,
kóre ('niñeta')
de los niños'
gr. hypó ('debajo'); gr.
thérme ('calor')
'calor por debajo,
insuficiencia de
calor'
acción, 'reacción del
gr. hystéra ('útero')
útero'
melíferas
hilografía
hipotermia
hipótesis,
hipotensión
histérico,
histerismo,
histeralgia
gr. hólos ('todo'); lat. -
'sistema de la
holograma,
ismo ('movimiento')
totalidad, el todo'
panteísmo
gr. holos (todo), kainós
'período totalmente pleistoceno,
('reciente')
reciente'
plioceno, mioceno
gr. holos (todo), graphé
'descripción del
demografía,
('escritura, descripción')
todo, de la totalidad' hológrafo, holismo
gr. homós ('igual'); gr.
ónyma ('nombre')
sinonimia,
'nombre igual'
antonimia,
hiponimia
gr. eikón ('imagen'); gr.
'el que destruye las
iconografía,
klastes ('que rompe')
imágenes'
icónico
gr. ídios ('propio,
'que sufre una
idiosincrasia,
genético'); pathé
enfermedad
patogénesis
130
ignífugo
ilativo
inconmensurable
inductivo
('sufrimiento')
primitiva'
lat. ignis ('fuego'); lat.
'que auyenta, que
hidrófugo,
fugare ('auyentar')
rehuye el fuego'
nidífugas
lat. illativum, inferre
'que lleva de un sitio
('llevar, razonar, deducir') a otro, deductivo'
lat. in cum mensura -ble 'lo que no se puede
inapreciable,
('que no se puede medir') medir'
inestimable
'que va de lo
lat. in ductum
particular a lo
('conducido hacia...')
general'
lat. in sculptura
inscultura
('modelado, tallado
encima')
lat. inter legere ('leer
inteligente
internet
isoglosa
isohieta
jurásico
laser, láser
productivo,
inducido, dúctil
'arte de tallar sobre
escultura,
algo', en piedra...
escultural, esculpir
'el que lee dentro de inteligible,
dentro, entender,
las cosas, distingue' intelectual
discernir')
interacción
ilación
lat. inter actionem
'acción recíproca
interactivo,
('acción entre...')
entre dos o más'
intercontinental
lat. inter ('entre'); ingl.
net ('red')
'red internacional'
intercontinental,
intercom
gr. ísos ('igual'); gr.
'igual forma de
isocronía, isótopo,
glossa ('lengua')
hablar'
glosar
gr. ísos ('igual'); gr. hýein
('llover')
línea de puntos con
'igual cantidad de
lluvia'
de Jura ('sierra entre
'perteneciente a la
Francia y Suiza')
región de Jura'
ingl. Ligth
of Radiation 'luz
Amplification by
amplificada por la
Stimulated Emission
emisión
131
isolecítico,
isomería, isogonal
jurásica
estimulada de
radiación'
licántropo
litiasis
limnonimia
logoterapia
mayéutica
mediateca
megabyte
magalítico /a
marcescentes
maremoto
gr. lýos ('lobo'); gr.
'hombre - lobo'
ánthropos ('hombre')
gr. líthos ('piedra'); -iasis 'que posee piedra,
mesocarpio
micología
licomanía, licófora
hipodermolitiasis
('posesión, que posee')
mal de la piedra'
gr. límne ('lago,
'nombre del lago, de limnología,
marisma'); ónoma
la marisma, del
limnógrafo,
('nombre')
agua'
hipolimnio
gr. logos ('palabra'); gr.
therapeia ('curación')
'curación por la
palabra, con el
diálogo'
apiterapia,
logotipo, logopeda
gr. maíeusis ('parto'); -
'ciencia, técnica del mayéutica,
tica ('ciencia de')
parto, sacar a la luz' mayéutico
lat. media ('medios'); gr. 'lugar de los medios, microteca,
théke ('lugar de...')
los recursos'
gr. méga ('un millón');
'un millón de bytes, megavatio,
ingl. byte ('dígito')
de dígitos binarios'
videoteca
kilobytes
gr. megále ('grande'); gr. 'relativo a la piedra
megalito, litiasis,
líthos ('piedra')
litografía
grande'
lat. marcere, marcescere
('marchitarse')
'hojas que se
marchitan, secan y
marcescencia
no caen'
lat. mare motus
'movimiento del
terremoto, motriz,
('movimiento del mar')
mar'
marisma
'planta curativa de
medicamento,
medicina, médico gr. mediké ('alfalfa,
/a
licantropía,
mielga'), lat. medicum
gr. mésos ('medio'); gr.
carpós ('fruto')
La Media, en Persia' medical
'en medio del fruto'
gr. mýketos ('hongo'); gr. 'estudio, tratado de
lógia ('estudio, tratado')
132
los hongos'
mesodermia,
carpóforos
micosis,
micodermo,
micina
migrañas
mioceno
mitosis
gr. hemi ('medio'); gr.
'dolor en la mitad de
kranía ('cabeza')
la cabeza'
'período menos
gr. meîon (menos);
reciente que el
kainós ('reciente')
plioceno'
multidisciplinar
nanotecnología
necrosis
nemotecnia
neolítico
neuralgia
nidícolas
nidífugas
cráneo
paleoceno,
pleistoceno
'formación de
ôsis ('formación')
filamentos, división' mitosoma, mitoma
amitosis,
'elemento simple en mónadas,
('unidad'); gr. lógia
los compuestos'
('estudio')
morfología
hemistiquio,
gr. mítos ('filamento'); -
gr. mónos, monás
mónada
hemisferio,
gr. morphé ('forma'); gr.
lógia ('estudio, tratado')
'estudio de la forma'
'común a muchos
lat. multu ('mucho');
disciplina ('aprendizaje')
aprendizajes,
estudios'
monadología
amorfo,
dimorfismo
transdisciplinar
interdisciplinar
gr. nános ('enano'); gr.
'tecnología de lo
nanoordenador,
téchne ('arte, artificio');
pequeño'
nanómetro
gr. nekrós ('muerto');
'formación de
fosfonecrosis,
ôsis ('formación')
muerte de algo'
cardionecrosis
gr. mnéme ('memoria');
gr. téchne ('arte')
'arte en la
asociación con la
memoria'
nemotécnico,
mnemastenia
gr. neo ('nuevo'); gr.
'relativo a la piedra
líthos ('piedra')
nueva'
gr. neuro ('nervio'); gr.
'dolor, sufrimiento
neurópata,
álgos, algia ('dolor')
de los nervios'
neurolingüística
mesolítico, litiasis
lat. nidi colo (' que habita '(aves) que habitan
colonización,
el nido')
el nido'
colonia, colonía
lat. nidi fuga ('huida del
'(aves) que huyen
centrifugas,
133
nido')
nominalizar
nutricional
lat. nomen ('nombre')
lat. nutricem ('nodriza,
alimentadora')
del nido'
nidificación
'convertir en
nominal,
nombre'
onomástica
'que nutre, con
propiedades
alimenticias'
nutritivo,
desnutrido, nutrir
'que tiende a
oclusiva
lat. claudere ('cerrar')
cerrarse, a
oclusión, fricativa
obstruirse'
offimática
oligoceno
onomástica
ontología
orografía
ortografía
ortópteros
ingl. office ('oficina'); gr. 'ciencia de las
máthos ('ciencia')
oficinas, burótica'
gr. olígos (poco), kainós 'período poco
reciente, el segundo'
gr. ónoma ('nombre'),
'ciencia que estudia onomatopeya,
onomastikós
los nombres propios' onomancia
gr. óntos ('ser, ente'); gr. 'estudio del ser en
ontologismo,
lógia ('estudio, tratado')
cuanto tal'
óntico
gr. óros ('montaña'); gr.
'descripción de la
orogénesis,
graphé ('escritura')
montaña'
oronimia
gr. orthós ('recto'); gr.
graphé ('escritura')
gr. orthós ('recto'); gr.
ptéron ('ala')
'escritura correcta'
'alas rectas'
'que estudia el oído,
otorrinolaringólogo ('nariz'), láryggos ('
laringe')
oxicortistas
paleoceno
('reciente')
gr. otós ('r'), rhinós
ousía
ofimática
la nariz y la
garganta'
gr. ousía ('substancia')
'lo que está debajo,
lo que permanece'
ortopedia,
ortópteros
díptero,
himenópteros
otitis, rinitis,
laringales
ousía
gr. oxýs ('ácido'); lat.
'que cortan con
cortare ('cortar,
ácido, con oxígeno' oxicortador
134
oxicorte, oxicortar,
cercenar')
palafito
paleoceno
paleografía
palíndromo
pandemia
paralelepípedo
parangón
lat. palum fictum ('palo
'palo plantado en el
plantado, fijo')
agua'
'período más
gr. palaiós (antiguo),
antiguo de los
kainós ('reciente')
recientes'
gr. paleo- ('antiguo'); gr.
graphé ('esritura')
gr. pálin ('de nuevo'), gr.
drómos ('carrera')
'que se extiende a
dêmos ('pueblo')
todo el pueblo'
pediatría
mioceno
paleolítico,
paleontogénesis
palifrasia,
paligrafía, palinuro
epidemia,
endemia,
endemismo
paralelogramo,
gr. epípedos ('plano')
paralelístico
paralelos'
gr. parakóne ('piedra de 'comparación,
parasíntesis,
toque, piedra de afilar')
parangonar
modelo'
'mente confusa,
('equivocación del
equivocada'
disnoia,
esquizonoia,
paranoide
gr. para- ('al lado de');
'al lado, en torno a
paraestatal,
gr. psyché (espíritu')
la sicología'
parasíntesis
('enfermedad'); génna
('generación')
patrimonial
eoceno, oligoceno,
gr. parállelos ('paralelo'), 'cuerpo de planos
gr. páthos
patogenia
pasos', se lee al
gr. pân ('todo'); gr..
pensamiento')
parasicología
'otra vez sobre los
revés
gr. pará noeîn
paranoia
'escritura antigua'
sofitar, hito
lat. patres ('padres'), latmonium (cualidad)
'génesis, origen de
la enfermedad'
'relativo a la
herencia de los
padres'
gr. paidós ('niño'), gr.
135
'curación'
citogenia,
biogenia,
orogénesis
patria, patriarca,
testimonio
Pedagogía,
iatreía ('curación')
petroglifo
plioceno
pleistoceno
poliandria
polirrizos
politólogo
paidofilia, Otiatría
lat. petra ('roca'); gr.
'grabado en piedra,
glýpho ('grabar')
en roca'
gr. pleîon (más), kainós
('reciente')
problema
protoceltas
plioceno, mioceno,
oligoceno
kainós ('reciente')
reciente'
oligoceno
gr. poli- ('muchos'); gr.
'muchos, varios
polímeros,
andrós ('hombre')
hombres'
polisemia
gr. poli- ('muchos'); gr. rhiza- ('raíz')
gr. pólis ('ciudad'); gr.
lógos ('palabra, estudio')
'con varias raíces'
'que estudia la
política, cosas de
ciudad'
polinomio, rizoide,
regaliz
apolítico, policía,
politiqueo
'ciencia de la
praxis, eupraxia,
práctica'
práctico
lat. praedari ('saquear,
'tomar del entorno
predadores,
robar, cazar')
para vivir'
predación
gr. pró bállo ('lanzado
'cuestión propuesta
períbolo, bolo,
hacia delante')
por delante'
bolómetro
práctica'); lat. -tica
'en favor del
('movimiento'); -tica
movimiento'
('ciencia de'), pro-
propóleos
monolito
plioceno, mioceno,
gr. kinesis
procinético
litografía,
gr. pleîstos (muchísimo), 'período muy
('ciencia de')
predar
reciente que los
anteriores'
gr. pragma ('hecho,
pragmática
'período más
petrología,
'cera con que las
gr. pró ('antes'); pólis
abejas tapan la
('ciudad')
entrada'
gr. prôtos ('primero'); lat. 'primeros celtas'
136
profilaxis,
profiláctico,
kinesia
policía, fitopolio,
Trípoli, Nápoles
prototipo,
quadrivium
rarefacción
renacimiento
rizoma
robótica
rupestre
celta
protozoo, celtismo
lat. quadrivium ('cuatro 'cuatro vías, cuatro
trivium,
vías, cuatro caminos')
cuadratura, aviado
disciplinas'
gr. rarum facere ('hacer 'hacer menos denso,
enrarecer'
lat. re- ('de nuevo'); lat.
'acción de renacer,
nacencia,
nascere ('nacer')
nacer de nuevo'
nacionalizar
gr. -rhiza- ('raíz'); gr. oma ('resultado')
ingl. robot ('trabajo'); lat.
-tica ('ciencia de')
siderurgia
sinapsis
sincrónico /a
sinónimo
resultado de una
'ciencia,
organización del
trabajo'
rizina, rizomorfo,
rizófago
robótica, urbótica,
domótica
lat. rupes ('roca,
'relativo a la roca,
derrubios,
peñasco')
pared rocosa'
derrumbar
'ciencia del
numismática,
significado'
matemáticas
significado'); lat. -tica
('ciencia')
siderita
'semejante, con
raíz'
gr. sema ('señal,
semántica /o
rarefacer, rerefacto
raro, disperso, poroso')
gr. síderos ('hierro'), lat.
siderem ('estrella')
'meteorito con
hierro'', de las
estrellas
sideral, siderita,
siderosa
gr. síderos ('hierro'),
'obra, trabajo del
siderurgia,
érgon ('obra, trabajo')
hierro', meteórico
metalurgia
gr. syn ('conjuntamente');
apsís ('tiempo')
gr. syn ('conjuntamente');
chrónos ('nudo, enlace')
gr. syn ('conjuntamente');
gr. ónoma ('nombre')
137
'al mismo tiempo'
'unión entre una
neurona y cuerpo de
otra'
'nombre con otro'
ábside, mitapsis,
metasinapsis
sincronía,
cronómetro
antónimo,
onomástica
sofista
subducción
talasoterapia
taxáceas
gr. sophía ('sabiduría,
'oficio, habilidad del Sofía, sofisma,
ciencia'); -ista ('oficio')
sabio'
sofisticado
lat. sub ductionem
'deslizamiento de
subcutáneo,
('conducción por debajo') una placa bajo otra' acueducto
gr. thálassa ('mar'); gr.
therapeía ('curación')
lat. taxus (tejo''); lat. -
'que pertenecen al
acea ('perteneciene a')
tejo'
gr. téchne ('arte,
tecnócrata
telecracia
telemática
telequinesia
terabytes
terapéutico /a
hidroterapia,
helioterapia
ulmáceas, fagáceas
'poder de la técnica, burócrata,
artificio'); gr. krátos
del artificio'
('poder')
tectónico
'curación por el mar'
gr. tékton ('carpintero,
artesano')
'relativo a la
construcción, la
estructura'
gr. têle ('lejos'); gr.
tecnología
tectónica,
arquitectónico
'poder de la tele, de tenocracia, ácrata,
krátos ('fuerza, dominio') la visión a distancia' burrocracia
gr. têle ('lejos'); gr.
'ciencia de la
telemando,
máthos ('ciencia')
distancia'
informática
gr. têle ('lejos'); gr.
'movimiento a
cinética,
kinesia ('movimiento')
distancia'
cinemática
gr. tera- ('monstruoso, un
billón de'); ingl. byte
gr. therapeía ('curación')
'un billón de baytes' terabyte
'relativo a la
logoterapia,
curación'
logoterapeuta
teoterapia,
terapia
gr. therapeía ('curación') 'curación'
hagioterapia,
mitoterapia
gr. thérme, thermós
termobáricas
('calor'); báros, barýs
('peso')
138
'peso, presión del
isobaras, isotermo,
calor'
barómetro
gr. thérme, thermós
termodinámica
'fuerza del calor'
('calor'); dýnamis
('fuerza')
tetramorfo
toponimia
transpositor
transexual
trisqueles
'cuatro formas'
morphé ('forma')
vulgarismo
xilografía
zoomorfo
tetraedro,
tetrápodo
gr. tópos ('lugar, país');
ónoma ('nombre')
fitonimia,
'nombre del lugar'
hidronimia,
teonimia
lat. trans ponere ('poner 'poner más allá,
más allá')
cambiar de lugar'
lat. trans sexum -alem
bretón tri ('tres'), askell
('alas')
transcategorización
'relativo al cambio
transdisciplinar,
de sexo'
trasposición
símbolo celta
circular con 'tres
tetrasquel
alas'
tromboembolismo embolismós
(intercalación)
urbótica
dinamómetro
tetrástrofo,
gr. tetrás ('cuatro');
gr. thrómbos ('coágulo');
trivium
termómetro,
'interposición de un tromboflebitis,
coágulo'
lat. trivium ('tres vías,
'tres caminos, tres
tres caminos')
disciplinas'
lat. urbem ('ciudad'); lat.
-tica ('ciencia de')
'ciencia,
organización de la
ciudad'
trombosis, trombo
quadrivium
domótica, robótica,
urbótica
lat. vulgum ('pueblo,
'uso relativo al
masa'); lat. -ismo
pueblo'
gr. xýlon ('madera'); gr.
'escritura, grabado
xilofón, xilita,
graphé ('escritura')
en madera'
xilófago
gr. zoo ('animal'); gr.
'con aspecto animal'
morphé ('forma')
139
vulgo, vulgarizar
zoonimia,
espermatozoide
x
lat. i (''); gr. n ('r'); ingl. n
('r')
140
'r'
MATEMATICAS Y CÁLCULO
Matemática - Probabilidades y estadísticas
CALCULO DE PROBABILIDADES
• La expansión del cultivo de soja en la Argentina es objeto de una fuerte controversia
entre quienes aprecian las ventajas económicas actuales de dicha expansión y quienes
alertan sobre problemas de contaminación ambiental, de empobrecimiento cultural y
de fragilidad de la economía asociados con ella. En parte, los problemas mencionados
son característicos del monocultivo y ya han ocurrido en regiones donde el cultivo
hegemónico era otro.
• Nuestro problema será encontrar una manera para evaluar en qué medida la adopción
del cultivo de soja está asociada con la práctica del monocultivo a partir de los datos
de una encuesta en la cual se registran los cultivos realizados en los diferentes
establecimientos agrícolas de un área determinada. Para ello utilizaremos las
herramientas conceptuales y metodológicas que la estadística provee para realizar una
evaluación de este tipo.
Problema (datos ficticios)
En un estudio de la actividad agrícola en un partido de la Pampa Ondulada se
registraron los cultivos estivales de cosecha realizados en la última campaña en 100
establecimientos elegidos al azar dentro del partido. La planilla que llevaban los
encuestadores permitía registrar las siguientes opciones: Maíz, Girasol, Sorgo, Soja,
Cártamo. Entre los resultados de la encuesta se encontró que en 90 de los 100
establecimientos relevados se había cultivado soja y que, en 40 de ellos, la soja era el
único cultivo estival; además, 2 establecimientos realizaron otro tipo de monocultura
(datos ficticios).
• Identificar la población bajo estudio.
• Identificar la muestra.
• Detallar las 31 diferentes posibilidades para la lista de los cultivos realizados en un
establecimiento (los 31 eventos simples que componen el espacio muestral).
141
• Indicar cuáles eventos simples componen los siguientes eventos compuestos:
• "en el establecimiento se cultivó soja"
• "en el establecimiento de cultivó maíz y girasol"
• "el establecimiento realizó un único cultivo estival"
• "en el establecimiento se realizaron más de 3 cultivos diferentes"
DEFINICIONES
• Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos estos dos valores, que
describe la posibilidad de ocurrencia de un evento.
• Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.
• Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene siempre el mismo
resultado.
• Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas condiciones se obtienen distintos
resultados.
• Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de un experimento.
• Evento: Es una colección de uno o mas resultados de un experimento.
DEFINICIONES EVENTO O SUCESO ALEATORIO
• Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección de uno o mas resultados de un
experimento.
• E1 = Sacar un 5 al tirar un dado
• E2 = Sacar un número par al tirar un dado.
• E3 = Sacar un número menor que 7 al tirar un dado = EVENTO CIERTO
• E4 = Sacar un número mayor que 6 al tirar un dado = EVENTO IMPOSIBLE
142
DEFINICIONES SUCESOS COMPUESTOS
• Sucesos mutuamente excluyentes:
• Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de
ellos impide la ocurrencia del otro.
• P(AB) = P(AyB) = P(AB) = 0
• Sucesos colectivamente exhaustivos
• Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos cuando al menos uno de ellos
deba ocurrir siempre que se realiza el experimento.
• Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de
todos los sucesos deberá ser igual a 1.
DEFINICIONES ESPACIO MUESTRAL
• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento.
• Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de
• Listas
- Conjunto de posibles resultados al tirar un dado = {1;2;3;4;5;6}
• Diagramas de arbol
- Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas
C
Cá
S
C
Sá
143
S
• Tablas rejilla
- Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo y uno azul
112131415161
122232425262
132333435363
142434445464
152535455565
162636465666
• Conjuntos (Diagramas de Venn)
- Se pretende representar a las mujeres, a los universitarios pero es necesario tener
en cuenta que existen mujeres universitarias.
• Tablas de doble entrada
144
- Cuando se tienen dos o mas variables con dos o mas categorías cada una, por
ejemplo hombres y mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en Economía y
Administración Agraria.
Ingenieros
Agrónomos
Licenciados en
Economía y
Administración
M
40
25
65
H
60
30
90
100
55
155
Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total.
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
DEFINICION CLASICA
• Se basa en que todos los resultados son
• Igualmente probables o equiprobables.
• Mutuamente excluyentes
• Colectivamente exhaustivos
145
Número de resultados
Probabilidad de un evento
favorables
=
Número de resultados posibles
DEFINICION FRECUENCIAL
• Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de ocurrencia de un
evento se determina por observación del número de veces que eventos similares
ocurrieron en el pasado. (Frecuencia relativa)
Número de veces que el evento ocurrió en el
Probabilidad de un evento
pasado
=
Número de observaciones
Ejemplo:
Sea el experimento de estudiar una droga que cura cierta enfermedad en vacunos
enfermos. Se aplicó a 1000 vacunos y se curaron 700.
• El espacio muestral será S = {curado; no curado}
• Consideremos el evento de que el vacuno se cure.
• Probabilidad de curado = 700/1000 = 0,7
DEFINICION SUBJETIVA
• Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo, ni posibilidad de efectuar
repetidamente el experimento, se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen
saber y entender estimará la probabilidad.
Ejemplos:
• Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato
146
• Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón
• Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una compañía se
incremente en dos años.
AXIOMAS DE PROBABILIDADES
• Independientemente de que definición de probabilidad utilicemos, siempre se
deberán cumplir los siguientes tres axiomas.
Axiomas:
• Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número mayor o igual a cero
0 ≤ P(A)
• Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
P(S) = 1
• Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes
P(AB) = P(A) + P(B)
CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE PROBABILIDADES
P(Φ) = 0
Si Ā = suceso complementario de A es decir Ā = S - A, será P(Ā) = 1 - P(A)
Si A1A2, entonces P(A1) ≤ P(A2)
"A se cumple que P(A) ≤ 1
REGLA GENERAL DE LA SUMA
• Si A y B son dos sucesos no mutuamente excluyentes, luego la probabilidad de la
unión entre ambos está dada por la siguiente fórmula.
147
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
B
AyB
A
• Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes, se cumple:
P(A  B) = P(A) + P(B)
Ejemplo:
Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con
p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:
A = {E1,E4,E6}
B = {E3,E4,E5,E6,E7}
Encuentre:
(a) P(A)
(b) P(Ā)
(c) P(A  B)
148
a) P(A) = 3/8
(b) P(Ā) = 5/8
(c) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(A U B) = 3/8 + 5/8 - 2/8 = 6/8 = 0,75
resultado que es muy fácil verificar visualmente en el diagrama.
INDEPENDENCIA
• Dos eventos A y B son independientes cuando se cumple que la probabilidad
conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales.
P(A  B) = P(A)*P(B)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
• Probabilidad Condicional es la probabilidad de ocurrencia de un evento en
particular, dado que otro evento ha ocurrido. La probabilidad condicional de el evento
A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A|B).
REGLA GENERAL DEL PRODUCTO
• Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se calcula
según la siguiente fórmula:
P(A  B) = P(A)*P(B|A) = P(B  A) = P(B)*P(A|B)
149
• Si los eventos A y B son independientes la probabilidad conjunta de que ambos
sucedan se calcula según la siguiente fórmula:
P(A  B) = P(B  A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A)
Ejemplo:
Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con
p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:
A = {E1,E4,E6}
B = {E3,E4,E5,E6,E7}
Resolver:
(a) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué?
(b) ¿Son los sucesos A y B independientes? ¿Por qué?
(c) P(AB)
(d) P(A/B)
(a) No, porque AB ≠ 0
(b) No, porque P(A)*P(B) ≠ P(AB)
3/8 * 5/8 ≠ 2/8
150
(c) P(AB) = 2/8 = 0,25
(d) P(A/B) = P(AB) / P(B) = (2/8) / (5/8) = 2/5
Esto puede verse en el diagrama, ya que saber que B ocurrió, reduce nuestro espacio
muestral a los cinco elementos de B. Y de ellos, sólo dos pertenecen a A.
PROBLEMAS A RESOLVER
1) Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de
una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3,
respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8; si
gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las elecciones,
la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Considerar
todo el espacio muestral
Datos:
P(A) = 0,7
P(N/A) = 0,8
P(B) = 0,3
P(N/B) = 0,4
151
Solución:
P(N) = P(NA) + P(NB)
P(N) = P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)
P(N) = 0,8*0,7 + 0,4*0,3 = 0,68
2) El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la variedad
A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Considerar
tablas de contingencia
+15
-15
A 0,0378 0,5022 0,54
A 0,3022 0,1578 0,46
0,34
0,66
1
Solución:
a) P(+15A) = P(+15/A)*P(A) = 0,07*0,54 = 0,0378
b) P(A/-15) = P(A-15) / P(-15) = 0,5022 / 0,66 = 0,76
3) El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una enfermedad
grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en 20 si no ha habido
tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal infectada se recupera, ¿cuál es
la probabilidad de que haya recibido la vacuna preventiva?
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Regla del
producto.
Datos:
152
P( I ) = 0,7
P( R / I ) = 0,2
P( Ī ) = 0,3
P( R / Ī ) = 0,05
Incógnita:
P( I /R )
Matemática - Probabilidades y estadísticas
Ejercicios: Probabilidad condicional. Con reposición y sin reposición. Simples o
marginales, conjuntas. Regla de la independencia.
Ver resumen teórico
1) Un monedero contiene 2 monedas de plata y 4 de cobre, mientras un segundo
monedero contiene 4 monedas de plata y 3 de cobre.
Si se elige al azar una moneda de uno de los monederos, ¿cuál es la probabilidad de que
sea de plata?
Respuesta: 19/42
2) En una ciudad se publican tres periódicos: A, B y C. Realizada una encuesta, se
estima que de la población adulta el 20% lee por lo menos el periódico A, el 16% B y el
14% C. Se obtuvo también que el 8% lee al menos A y B, el 5% lee al menos A y C, el
4% lee al menos B y C, y el 2% lee los tres periódicos.
a) ¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos periódicos?
153
b) De los que leen al menos un periódico, ¿qué porcentaje lee A y B?.
Respuesta:
a) 0,35
b) 0,22857
3) Consideremos un experimento que tiene el siguiente espacio muestral: X = {x1; x2;
x3}.
Se sabe que P(xi + 1) = 2.P(xi), siendo i = 1, 2, 3; y se desea saber P(A), tal que: A = {x1;
x3}.
Respuesta: 5/7
4) Dos tiradores A y B tienen probabilidad de acertar al blanco de 0, y 0,7
respectivamente.
Cada uno tiene 3 balas en el cargador y cada disparo es hecho simultáneamente por
ambos tiradores. El torneo se termina cuando se agotan las balas o cuando alguno hace
blanco.
Sabiendo que A acertó, ¿cuál es la probabilidad de también haya acertado B y, por
tanto, se declare empatado el torneo?
Respuesta: 0,7
5) De una urna que posee 5 bolillas blancas y 8 bolillas negras se sacan las bolillas una
a una hasta dejar la urna con igual número de bolillas de cada color. Calcular la
probabilidad de lograr esto, por primera vez, en la quinta extracción.
Respuesta: 0,16317
154
6) Un sistema consiste en cuatro componentes que funcionan independientemente: A, B,
C y C2. La probabilidad de falla es de 0,01 para el componente A; 0,02 para el B y 0,10
para cada uno de los componentes C.
Si para el funcionamiento del sistema son necesarios los componentes A y B y al menos
uno de los C, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?
Respuesta: 0,9605
7) Sean A y B dos sucesos con P(A) = 3/8; P(B) = 5/8 y P(A  B) = 5/6, hallar P(A/B)
y P(A/B).
Respuesta:
P(A/B) = 4/15
P(A/B) = 4/9
8) Las tiendas "Montgomery" están distribuidas en los E.E.U.U. de la siguiente forma:
Area geográfica
Población de la ciudad
NE SE C NO SO Total
A1: Menos de 20000 habitantes
3
6
5
6
25
11 16
9
9
50
3
7
24
75
63 12 10
4
11 100
A2: Entre 20000 y 50000 habitantes 5
5
A3: Entre 50000 y 100000 habitantes 29 12
A4: Más de 100000 habitantes
Total
100 40 35 25 50 250
a) Diga cuál es la notación simbólica para la probabilidad de que una tienda
seleccionada al azar se localice:
i) En una ciudad al SO con menos de 20000 habitantes.
ii) En una ciudad del Centro, con una población de más de 20000 y menos de 50000
habitantes.
iii) En el SE.
155
iv) En una ciudad con menos de 50000 habitantes.
v) En el NO, dado que la tienda seleccionada se ubica en una ciudad con una población
entre 50000 y 100000 habitantes.
b) Determine cada una de las probabilidades del punto anterior.
c) Explicite qué tipo de probabilidad se determinó en los puntos anteriores.
d) Identifique y calcule la distribución de probabilidades marginales para el tamaño de
población de la ciudad.
e) Identifique y calcule la distribución de probabilidades condicionales para el área
geográfica, dado que el tamaño de la población de la ciudad es entre 50000 y 100000
habitantes.
Respuesta:
a-i) P(SO,A1)
a-ii) P(C,A2)
a-iii) P(SE)
a-iv) P(A1  A2)
a-v) P(NO/A3)
b-i) P(SO,A1) = 0,024
b-ii) P(C,A2) = 0,064
b-iii) P(SE) = 0,16
b-iv) P(A1  A2) = 0,3
b-v) P(NO/A3) = 0,09333
c)
Probabilidad conjunta:
156
Probabilidad marginal:
Probabilidad total:
Probabilidad condicional:
d)
P(A1) = 0,1
P(A2) = 0,2
P(A3) = 0,3
P(A4) = 0,4
e)
P(NE/A3) = 0,3867
P(SE/A3) = 0,16
P(C/A3) = 0,04
P(NO/A3) = 0,0933
P(SO/A3) = 0,32
9) En un banco hay un sistema de alarma. En una noche cualquiera, la probabilidad de
que suene la alarma cuando hay un robo es de 0,99; la de que suene si no hay robo es de
0,01; en tanto que la probabilidad de que ocurra un robo es de 0,002. Calcular la
probabilidad de que si suena la alarma haya un robo.
Solución:
P(S/R) = 0,99
P(S/R) = 0,01
157
P(R) = 0,002
P(R) = 0,998
P(S  R) = P(R).P(S/R)
P(S  R) = 0,00198
P(S  R) = P(R).P(S/R)
P(S  R) = 0,00998
Cuadro de contingencia:
S
S
R
0,00198 0,00002 0,002
R
0,00998 0,98802 0,998
0,01196 0,98804
1
P(R/S) = P(S  R)/P(S)
P(R/S) = 0,00198/0,01196
P(R/S) = 0,1655
10) Una lavadora de botellas X, perteneciente a una compaña lechera, procesa un 20%
de todas las botellas usadas diariamente y rompe un 4% de las que lava, en tanto que
otra lavadora Z procesa las restantes y rompe un 2%.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella seleccionada al azar esté rota?
b) Una botella escogida aleatoriamente se encuentra rota. ¿Cuál es la probabilidad de
que haya sido lavada en X?
Solución:
P(R/X) = 0,04
158
P(X) = 0,2
P(R/Z) = 0,02
P(Z) = 0,8
P(R  X) = P(X).P(R/X)
P(R  X) = 0,2.0,04
P(R  X) = 0,008
P(R  Z) = P(Z).P(R/Z)
P(R  Z) = 0,8.0,02
P(R  Z) = 0,016
a)
P(R) = P(R  X) + P(R  Z)
P(R) = 0,008 + 0,016
P(R) = 0,024
b)
P(X/R) = P(R  X)/P(R)
P(X/R) = 0,008/0,024
P(X/R) = 1/3
Matemática - Geometría
1) ¿A qué hora las agujas del reloj forman:
a) un ángulo agudo.
b) un ángulo recto.
159
c) un ángulo obtuso?
2) ¿Qué clase de ángulo es el suplemento de:
a) un ángulo agudo.
b) un ángulo recto.
c) un ángulo obtuso?
3) Sabiendo que A = 19°; B = 63°; C = 159° y D = 71°, resolver gráficamente y
analíticamente las siguientes operaciones:
a) A + B
b) D + C - A
c) A + B + C - D
d) A - B + C + D
4) Efectuar las siguientes sumas de ángulos:
a) 81° 34" + 48´ 17" + 12° + 51° 49" =
b) 56´ 54" + 10° 10´ 10" + 45° 39" =
c) 59´ + 15´ 14" + 23´ + 21´ 46" =
5) Calcular α - β y β - α, sabiendo:
a)α =
64° 28´
;β=
35°
b)α = 99° 50´ 36" ; β = 39° 15´
c)α =
47° 16´
; β = 25° 25´
d)α = 13° 49´ 18" ; β = 8° 14´ 40"
160
e)α = 85° 49´ 22" ; β =30° 55´ 10"
f) α =151° 27´ 47"; β =46° 35´ 52"
g)α = 34° 33´ 15" ; β =23° 46´ 39"
h)α = 120° 35" ; β = 90° 51"
79° 8"
i) α =
; β = 63° 9´ 17"
68° 29´ 33"
j) α =
; β =58° 50´ 48"
6) Hallar gráfica y numéricamente el complemento de cada uno de los siguientes
ángulos:
a) α = 20°
b) β = 39°
c) γ = 62°
d) δ = 46°
7) Calcular el complemento de cada uno de los siguientes ángulos:
a) α = 25° 33´
b) β = 15° 36´
c) γ = 81° 17´ 48"
d) δ = 69° 43´ 8"
e) ε = 52´ 47"
f) φ = 39° 35"
161
Matemática - Geometría
1) Dados tres puntos, A, B y C, no alineados, dibujar: la semirrecta de origen C que
contiene al punto B, y la AB´.
2) Dibujar dos semirrectas que tengan el mismo origen y no sean opuestas.
3) ¿Qué figura constituye la unión del conjunto de los puntos de la AB´ y los de la
semirrecta de origen A que no contiene al punto B?
4) Dibujar, sobre una recta, cuatro segmentos consecutivos.
5) ¿Cuál es la figura formada por la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta
de origen A que contiene al punto B y de la semirrecta de origen B que no contiene al
punto A?
6) Dados los puntos M, P, Q y S de la figura, hallar:
PS´ ∩ QS´
MQ´ ∩ QP´
MQ´ ∩ PS´
MQ´  PS
MQ  PS
7) Decir cual es el conjunto de los puntos tal que su intersección con XY de por
resultado el XY.
8) Comprobar, en un ejemplo, el carácter transitivo de la relación de mayor entre
segmentos.
9) Comprobar, en un ejemplo, el carácter transitivo de la relación de menor entre
segmentos.
10) ¿Si AB = CD y CD < EF, cómo es EF con respecto a AB?
162
11) ¿Si AB > MN y MN = EF, cómo es EF con respecto a AB?
12) ¿Si AB > CD, CD = EF y EF no es mayor que MN, cómo es AB con respecto a
MN?
13) ¿Si MN = PQ, PQ > RS y RS no es menor que TV, cómo es MN con respecto a
TV?
14) Verificar gráficamente en una suma de tres segmentos, la propiedad conmutativa.
15) Verificar gráficamente en una suma de cinco segmentos, la propiedad asociativa.
16) ¿Si AB > CD y MN > PQ, cómo es AB + MN con respecto a CD + PQ?
17) ¿Si RS < CD y AB = MN, cómo es RS + MN con respecto a AB + CD?
18) ¿Si AB < MN, cómo es AB x 6 con respecto a MN x 6?.
19) ¿Si AB + CD + EF = MN, cómo es MN con respecto a AB?
20) Comprobar gráficamente las propiedades de la resta de segmentos.
21) Expresar en símbolos las propiedades de la resta de segmentos.
22) Dibujar un segmento y hallar su duplo, su triplo y su cuádruplo.
23) Si un segmento se divide por tres y a ese resultado se lo multiplica también por tres,
¿qué segmento se obtiene?, comprobarlo gráficamente.
24) Dibujar un segmento, y mediante un hilo dividirlo aproximadamente en dos, tres,
cuatro, y seis partes iguales.
Matemática - Vectores
VECTORES (5° parte)
Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a
es el vector a.
163
Ejercicio: cálculo del ángulo que forman dos vectores
Dada la base del plano { u1, u2} donde | u1| = 2, | u2| = 1 y los vectores u1, u2 son
perpendiculares, calcular el ángulo que forman los vectores a = 3.u1 - 2.u2 y b = 2.u1 +
5.u2
Resolución:
u1•u1 = |u1| ² = 2 ² = 4
u1. u2 = u2. u1 = 0, ya que ambos vectores son perpendiculares, u2 = 6.4 + 15.0 - 4.0 10.1 = 14
De la misma forma:
a.a = (3.u1 - 2.u2).(3.u1 - 2.u2) = 9.4 - 6.0 - 6.0 + 4.1 = 40
b.b = (2.u1 + 5.u2).(2.u1 + 5.u2) = 4.4 + 10.0 + 10.0 + 25.1 = 41
cos α = 0,34
α = arc cos 0,34 = 69,8º
BASES ORTONORMALES
Se dice que una base { u1,u2} es ortogonal si los dos vectores que la forman tienen
módulo 1 y son perpendiculares entre sí.
Cuando se trabaja con este tipo de bases es sencillo calcular los productos escalares, ya
que
u1. u1 = | u1| = 1, porque u1 tiene módulo 1. u2. u2 = | u2| = 1, por el mismo argumento.
u1. u2 = 0, por ser perpendiculares ambos vectores.
Aplicando estos resultados a las fórmulas ya obtenidas, se tiene que dados los vectores
164
x = x1.u1 + x2.u2
y = y1.u1 + y2.u2
x.y = x1.y1 + x2.y2
x.x = x1 ² + x2 ²
,
y siendo α el ángulo que forman,
Ejercicios con bases ortonormales
En todos los ejercicios siguientes se considera que { u1,u2} es una base ortogonal
ortonormal del plano.
Hallar la proyección del vector a sobre el vector b, siendo a = 2 u1 + u2y
b = 3 u1 + 2 u2.
Resolución:
En primer lugar se calcula el módulo de dicha proyección. Para ello es conveniente
recordar que el producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno
de ellos por la proyección del otro sobre él.
Para determinar la proyección se observa que, por ser ésta paralela al vector b será de la
forma
p = t.b, donde t es un número real. Como el producto escalar es positivo, esto quiere
decir que la proyección p tiene el mismo sentido que b, con lo que t ha de ser positivo.
165
Entonces, |p| = |t.b| = t.|b|, con lo que t = |p|/|b|.
Sustituyendo:
t = 8/(√13.√13) = 8/13
Así, p = t.p = (8/13).(3.u1 + 2.u2) = (24/13).u1 + (16/13).u2
Hallar el área de un paralelogramo cuyos lados no paralelos son los vectores
a = 4.u1 - 3.u2 y b = 2.u1 + 3.u2
Resolución:
El área de un paralelogramo es igual al producto de dos de sus lados por el seno del
ángulo que forman:
S = |b|.h = |a|.|b|.sen α, puesto que sen α = h/|a|
Para calcular el seno de este ángulo se aplica la fórmula fundamental de la
trigonometría: sen ² α + cos ² α = 1.
Así, sen ² α = 1 - (-1/√325) ² = 1 - 1/325 = 324/325  sen α = 18/√325.
Y así el área es:
S = |a|.|b|.sen α = √25.√13.(18/√325) = 18
Aplicando la definición de producto escalar, demostrar el teorema de Pitágoras.
Resolución:
Sea un triángulo rectángulo, llamando b y c a los vectores que se pueden construir en
los catetos y a al vector de la hipotenusa, tal como se indica en la figura, se tiene a = b +
c, donde:
|a| ² = a•a = (b + c)•(b - c) = b•b + b•c + c•b + c•c
166
Pero, por ser un triángulo rectángulo, resulta que b.c = c.b = 0.
Así:
|a| ² = b•b + c•c = |b| ² + |c| ², que es la expresión del teorema de Pitágoras
Demostrar que las dos diagonales de un rombo son perpendiculares.
Resolución:
Sean a y b dos lados consecutivos del rombo. Sus diagonales son a + b y a - b.
Para ver que son perpendiculares bastará con comprobar que su producto escalar es 0:
(a + b)•(a - b) = a•a - a•b + b•a - b•b
Por la propiedad conmutativa del producto escalar, a.b = b.a. Así pues,
(a + b)•(a - b) = a•a - b•b = |a| ² - |b| ²
Hasta ahora no se ha utilizado el hecho de que se está trabajando con un rombo.
Esto significa que los dos lados |a| y |b| son iguales. Entonces (a + b)•(a - b) = |a| ² - |b| ²
= 0,
Con lo que las dos diagonales son perpendiculares.
Matemática - Trigonometría
Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALA
Geometría - Definiciones
# Recta: es una sucesión de infinitos puntos que se extiende en una misma dirección y
en ambos sentidos.
# Semirrecta - Rayo: es un subconjunto de puntos de una recta. Es una recta o un
segmento de recta que tiene un origen, una dirección y un sentido.
167
# Segmento: es una porción de una recta.
# Angulo: es la abertura formada por la unión de 2 semirrectas en un mismo punto
llamado vértice; las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo.
Es la figura geométrica formada por 2 rayos que tiene un punto común llamado vértice.
El ángulo se obtiene por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen.
La posición original de la semirrecta se denomina lado inicial y la posición final se
denomina lado terminal.
La rotación del ángulo se puede efectuar en 2 sentidos; en el sentido contrario a las
manecillas del reloj, en éste caso el ángulo es positivo y girando en el sentido de las
manecillas del reloj el ángulo es negativo.
# Medición de ángulos
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida. Para medir
los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y
el circular.
168
Sistemas de medidas angulares
# Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal
que corresponde a 1/360 que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y
1°/60 corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia 1´; éste a su vez se divide en
60 partes iguales y 1´/60 corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia 1".
# Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian.
¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una
circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece.
1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 = 57,29577951º = 57º 17´ 44,8"
Siendo;
π = 3,141592654
R=1
Las unidades de medida que pasaré a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y
circular.
169
Equivalencia entre los sistemas
α°/360° = αrad/2.π
Ejercicios de aplicación
1- Expresar en grados.
a)
53° 16´ 50" =
Respuesta: 53,28055556°
b)
170° 36´ 50" =
Respuesta: 170,6138889°
c)
28° 10´ =
Respuesta: 28,16666667°
d)
45° 36" =
Respuesta: 45,01°
e)
276° 09´ 07" =
Respuesta: 276,1519444°
2- Expresar en minutos.
a)
16° 29´ 32" =
Respuesta: 989,5´
b)
148° 19´ 37" =
Respuesta: 8899,6´
c)
45° 10´ =
Respuesta: 2710´
d)
82° 18" =
Respuesta: 4920,3´
3- Expresar en segundos.
a)
35° 19´ 43" =
Respuesta: 127183"
b)
72° 40´ =
Respuesta: 261600"
c)
180° 19" =
Respuesta: 496819"
d)
342° 18´ 56" =
Respuesta: 1232336"
4- Expresar en grados, minutos y segundos.
a)
38,466° =
Respuesta: 38° 27´ 57,6"
b)
126,03334° =
Respuesta: 126° 02´
c)
136,44´ =
Respuesta: 2° 16´ 26,4"
d)
362,62´ =
Respuesta: 6° 02´ 37,2"
170
e)
40436" =
Respuesta: 11° 13´ 56"
f)
68367" =
Respuesta: 18° 59´ 27"
5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.
a)
42° 29´ 36" =
Respuesta: 0,74 rad
b)
150° =
Respuesta: 2,61 rad = (5/6).π rad
c)
36° 18´ =
Respuesta: 0,63 rad
d)
146° 36" =
Respuesta: 2,54 rad
e)
184,68´ =
Respuesta: 0,05 rad
f)
58348" =
Respuesta: 0,28 rad
g)
270° =
Respuesta: 4,71 rad = (3/2).π rad
6- Reducir al sistema sexagesimal.
a)
1,36 rad =
Respuesta: 77° 57´ 42,42"
b)
0,28 rad =
Respuesta: 16° 03´ 03,44"
c)
(3/2).π rad =
Respuesta: 270°
d)
(3/4).π rad =
Respuesta: 42° 59´ 37,07"
e)
(2/5).π rad =
Respuesta: 72°
f)
(3/7).π rad =
Respuesta: 77° 08´ 34,29"
g)
(5/9).π rad =
Respuesta: 100°
h)
(11/12).π rad =
Respuesta: 165°
Ejercicios de aplicación
Se considera para π = 3,14.
1- Expresar en el sistema circular un ángulo de:
a)
18° =
Respuesta: (1/10).π rad
b)
30° =
Respuesta: (1/6).π rad
c)
36° =
Respuesta: (1/5).π rad
171
d)
43° =
Respuesta: 0,75 rad
e)
45° =
Respuesta: (1/4).π rad
f)
60° =
Respuesta: (1/3).π rad
g)
72° =
Respuesta: (2/5).π rad
h)
75° =
Respuesta: (5/12).π rad
i)
80° =
Respuesta: (4/9).π rad
j)
120° =
Respuesta: (2/3).π rad
k)
161° =
Respuesta: 2,81 rad
l)
540° =
Respuesta: 3.π rad
ll)
35° 40´ =
Respuesta: 0,62 rad
m)
42° 27´ 32" =
Respuesta: 0,74 rad
n)
42° 59´ 37" =
Respuesta: 0,75 rad
ñ)
46° 20´ 30" =
Respuesta: 0,81 rad
o)
55° 84´ =
Respuesta: 0,98 rad
p)
97° 25´ =
Respuesta: 1,70 rad
q)
150° 03´ 24" =
Respuesta: 2,61 rad
2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
a)
(1/12).π rad =
Respuesta: 15°
b)
(1/8).π rad =
Respuesta: 22° 30´
c)
(1/5).π rad =
Respuesta: 36°
d)
1 rad =
Respuesta: 57° 19´ 29,43"
e)
(3/5).π rad =
Respuesta: 108°
f)
(2/3).π rad =
Respuesta: 120°
g)
(3/4).π rad =
Respuesta: 135°
h)
2,5 rad =
Respuesta: 143° 18´ 43,5"
i)
(4/5).π rad =
Respuesta: 144°
j)
2,7 rad =
Respuesta: 154° 46´ 37,4"
k)
3,6 rad =
Respuesta: 206° 22´ 09,94"
172
l)
(4/3).π rad =
Respuesta: 240°
ll)
4,18888 rad =
Respuesta: 240° 07´ 36,76"
m)
(7/5).π rad =
Respuesta: 252°
n)
(5/3).π rad =
Respuesta: 300°
ñ)
(7/4).π rad =
Respuesta: 315°
o)
5,55555 rad =
Respuesta: 318° 28´ 15,6"
p)
6 rad =
Respuesta: 343° 56´ 56,5"
q)
6,17222 rad =
Respuesta: 353° 49´ 17,5"
r)
(7/3).π rad =
Respuesta: 420°
Matemática - Trigonometría
1) Pasar los siguientes ángulos a los demás sistemas:
a) 63° 21´ 24"
b) 1288° 76´ 64"
c) 2,1853.π
d) 5.π /3
2) Calcular el valor de x :
a) x = (sen 30° - sen 60°)/(sen 30° + sen 60°)
b) x = [(1 - sen 45°) ² + 2.cos 45°]/cos 60°
c) x = (sen 90°.sen 60° + cos 0°.cos 30°)/(sen 45°.cos 45°.tg 30°)
3) Reducción de ángulos al primer cuadrante. Calcular en cada caso el signo del ángulo
en el cuadrante:
a) sen 150° =
b) cos 120° =
173
c) tg 135° =
d) cotg 158° 10´ =
e) sen 100° 30´ =
f) sen 240° =
g) cos 210° =
h) tg 225° =
i) cotg 210° 50´ =
j) sen 330° =
k) sec 315° =
l) tg 300° =
m) sen 730° =
n) tg 3903° 20´ =
o) cosec 214° 40´ =
4) Hallar sin emplear tabla de valores los siguientes ángulos:
a) sen 240° =
b) tg 225° =
c) tg 300° =
d) sen 390° =
e) sec 135° =
f) sec 660° =
174
5) Resolver las siguientes identidades:
a) (1 + tg α).(1 - tg α) + sec ² α = 2
b) sen ² α .(1 + tg ² α) = tg ² α
c) cos α .cosec α .tg α = 1
Matemática - Trigonometría
TRIGONOMETRIA
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los
ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones
trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la
trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría
esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible,como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que
no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden
encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería,sobre todo en el
estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría plana
175
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría.
Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras
1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su
posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que
gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el
sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones
son de igual magnitud y en la misma dirección.
Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de
circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con
vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de
manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C,
de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad
angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de
manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un
radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que
1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes
Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide
en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte
decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan
con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ´ y el de segundos es ". Las
medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por
tanto, 61° 28´ 42,14" = 1,073 rad = 1,073
Se sobreentiende que el último valor es en radianes.
176
Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el
ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la
longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces:
s = π.r. θ /180
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de
un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está
en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con
la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que
forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser
positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x
será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r
entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x ²+ y ², aplicando el teorema de
Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
seno (sen) del ángulo θ = sen θ = y/r
coseno (cos) del ángulo θ = cos θ = x/r
tangente (tg) del ángulo θ = tg θ = y/x
cotangente (cotg) del ángulo θ = cotg θ = x/y
secante (sec) del ángulo θ = sec θ = r/x
cosecante (cosec) del ángulo θ = cosec θ = r/y
177
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo - es decir, si se añaden
360° - es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco
funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las
otras tres, es decir,
cotg θ = 1/tg θ ; sec θ = 1/cos θ ; cosec θ = 1/sen θ
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es
cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los
números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no
están definidas. Si el punto P está en el eje x,la y es 0; en este caso, la cotangente y la
cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los
ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían
entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La
sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones
trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función
del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones
de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica
a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la
figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de
manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
opuesto
sen θ =
a
=
hipotenusa
c
adyacente
cos θ =
b
=
hipotenusa
c
178
opuesto
tg θ =
a
=
adyacente
b
adyacente
cotg θ =
b
=
opuesto
a
hipotenusa
sec θ =
c
=
adyacente
b
hipotenusa
cosec θ =
c
=
opuesto
a
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden
obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q =
45 ° y que b = a, y además se sabe,por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De
aquí se deduce que c ² = 2.a ² o que c = a ². Por tanto
sen 45° = cos 45° = 1/√2
tg 45° = cotg 45° = 1
sec 45° = cosec 45° = √2
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se
pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal
utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil
calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q
y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás
ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan
en el siguiente apartado.
179
Igualdades trigonométricas
Las siguientes fórmulas, llamadas igualdades o identidades, muestran las relaciones
entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier ángulo q, o
pareja de ángulos q y f:
Utilizando con reiteración una o más fórmulas del grupo V, conocidas como fórmulas
de reducción, es posible calcular el seno de q y el coseno de q, para cualquier valor de q,
en función del seno y del coseno de ángulos entre 0° y 90°. Utilizando las fórmulas de
los grupos I y II, se pueden calcular los valores de la tangente, cotangente, secante y
cosecante de q en función del seno y del coseno. Por tanto, es suficiente tabular los
valores del seno y el coseno de q para valores de q entre 0° y 90°. En la práctica, para
evitar cálculos tediosos,se suelen también tabular las otras cuatro funciones para los
mismos valores de q. Sin embargo, desde la popularización de las calculadoras
electrónicas y los ordenadores o computadoras, las tablas de funciones trigonométricas
han caído en desuso.
La variación de los valores de las funciones trigonométricas para diversos ángulos se
pueden representar gráficamente (ver figuras adjuntas). Se puede ver con claridad en
estas curvas que todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, el valor de
cada una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El periodo de todas las
funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360° o 2p radianes. La tangente y la
cotangente tienen un periodo de 180 ° o p radianes.
180
Funciones inversas
La expresión ´y es el seno de q,´ o y = sen q, es equivalente a la expresión q es el ángulo
cuyo seno es igual a y, lo que se escribe como q = arcsen y, o también como q = sen-1y.
Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y arccosec y, se
definen del mismo modo. En la expresión y = sen q o q = arcsen y, un valor dado de y
genera un número infinito de valores de q, puesto que sen 30° = sen 150 ° = sen (30° +
360°)...= 1. Por tanto, si q = arcsen 1, entonces q = 30° + n360° y q = 150° + n360°,
para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor 30° se toma como valor
principal o fundamental del arcsen 1. Para todas las funciones inversas, suele darse su
valor principal. Hay distintas costumbres, pero la más común es que el valor principal
del arcsen y, arccos y, arctg y, arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un
ángulo entre 0° y 90°. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos:
-90° ≤ arcsen y; arctg y < 0°
90° < arccos y; arccotg y ≤ 0°
-180° ≤ arcsec y; arccosec ≤ -90°
El triángulo general
Entre las diversas aplicaciones prácticas de la trigonometría está la de determinar
distancias que no se pueden medir directamente. Estos problemas se resuelven tomando
la distancia buscada como el lado de un triángulo, y midiendo los otros dos lados y los
ángulos del triángulo. Una vez conocidos estos valores basta con utilizar las fórmulas
que se muestran a continuación.
Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos
respectivamente, es posible demostrar que
Las reglas del coseno y de la tangente tienen otras dos expresiones que se obtienen
rotando las letras a, b, c y A, B, C.
181
Estas tres relaciones son suficientes para resolver cualquier triángulo, esto es, calcular
los ángulos o lados desconocidos de un triángulo, dados: un lado y dos ángulos, dos
lados y su correspondiente ángulo, dos ángulos y un ángulo opuesto a uno de ellos (que
tiene dos posibles soluciones), o los tres lados.
Trigonometría esférica
La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia
triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas
contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo
plano, tiene seis elementos, los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin
embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales,
y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada
por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres
elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay
fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden utilizar para
calcular los elementos desconocidos.
La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección
estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos.
Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la
latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras
magnitudes.
Historia
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en
Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a
haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de
182
Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un
ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de
la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia
de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el
valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo
Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal
(base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas
con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de
unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del
libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos
desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que
hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante
muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás
al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también
un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los
griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una
proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de
hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus
tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las
tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las
últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco
funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la
trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos
sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos
de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en
los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y
también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de
la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley
islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por
ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado
183
(1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran
astrónomo Nasir al-Dín al-Tusí escribió el Libro de la figura transversal, el primer
estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas
independientes.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de
libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer
trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo
alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también
astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto
moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de
ciertas líneas. El matemático francés Fran|ois Viète incorporó el triángulo polar en la
trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos
múltiples, sen n. θ y cos n. θ, en función de potencias de sen θ y cos θ.
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés
John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También
encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas
proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier,
Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del
trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando
series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y
series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones
trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un
importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto
convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números
complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran
simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
184
MÁS INFORMACION
Grado, en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo
central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de
ángulos y arcos de un círculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale
a 1/21.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos,
cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con
el símbolo °, los minutos con ´ y los segundos con ", como en 41°18´09", que se lee "41
grados 18 minutos y 9 segundos".
La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias
físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente
de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia
angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas.
Las posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del
ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es
el meridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra.
Grados de latitud
Si la Tierra fuera una esfera exacta, un grado de latitud sería igual a 1/360 de la
circunferencia de un círculo dibujado sobre la superficie de la Tierra y que pasa por los
polos Norte y Sur. La Tierra, sin embargo, está achatada por los polos, por lo que la
longitud de un grado, determinado astronómicamente, varía del ecuador a los polos. En
el ecuador un grado de latitud son 110.568,18 m, o unos 110,57 km. La longitud de un
grado a 45° N o S, llamado ángulo medio, es 111.131,9 m o alrededor de 111,13 km.
Grados de longitud
El tamaño de un grado de longitud varía desde un valor máximo en el ecuador hasta
cero en los polos Norte y Sur. Esto es debido a que la longitud se mide como el arco de
un paralelo de latitud dada, y los círculos que forman los paralelos disminuyen en radio
al incrementar su distancia al ecuador. En el ecuador, un grado de longitud equivale a
112,09 km, pero a 40° N o S, un grado son 85,99 km. La longitud se puede medir
también utilizando horas hacia el este u oeste del meridiano principal, pues una hora
equivale a 15 grados y un minuto horario a 15 minutos angulares. Así, la longitud de la
185
ciudad de México puede escribirse como 99° o como 6 horas 36 minutos al oeste de
Greenwich.
Otras medidas angulares
En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen
cálculos, los ángulos se miden habitualmente en radianes (rad). En 360° hay 2p rad, o
unos 6,28 rad.
En el ejército, los ángulos se miden generalmente en milésimas, especialmente para la
localización de objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central
formado por un arco que es 1/6.400 del círculo. Una milésima equivale a 0,05625° y,
aproximadamente, 0,001 radianes.
Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por
un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes de un ángulo se
expresa como la razón del arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un
círculo, y el radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un ángulo fijo para
cualquier círculo. La medida en radianes de un ángulo no es la razón de la longitud de la
cuerda y el radio, sino la razón de la longitud del arco y el radio.
La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La
circunferencia de un círculo está dada por
C = 2pr
donde r es el radio del círculo y π es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de
un círculo es exactamente 2 π radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central
de un radián, se deduce que
2 π radianes = 360 grados
Al dividir 360° por 2 π se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17´44,8". En
aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas:
un radián = 57,3 grados
186
un grado = 0,01745 radianes
El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables.
Los ingenieros y técnicos utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se
usa casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor
simplicidad de ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series
infinitas de las funciones trigonométricas. Como se puede ver, mientras que el símbolo °
se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en
radianes.
Trigonometría
Grados y radianes
Las unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos.
Este tipo de medida está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.
Las equivalencias son las siguientes:
360° = un giro completo alrededor de una circunferencia
180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia
90° = 1/4 de vuelta
1° = 1/360 de vuelta, etc.
También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas
es mucho mas practico y directo que trabajar con grados.
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de
circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es
187
independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales,
el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o
familiar.
De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia;
solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.
Long. arco de circunferencia = [Angulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2π * r = 2<
Imagen >), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es
2pi. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°,
entonces podemos definir una equivalencia:
1 radian = 57,29°
a partir de esta igualdad, determinamos que:
90° = π/2 radianes
60° = π/3 radianes
45° = π/4 radianes
30° = π/6 radianes
Análisis Matemático - Límites
CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES (I)
Cálculo del límite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo:
f(x) = a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
188
A. Límite de una función polinómica en el punto x0 finito
El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función
en ese punto:
Límite de una función polinómica en el infinito
El límite de una función polinómica en el infinito es +∞ ó -∞,dependiendo de que el
coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:
a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn = + ∞; si an es positivo.
a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn = -∞; si an es negativo.
Ejercicio: cálculo de límites de funciones polinómicas
1) Calcular
4.x³ - 3.x - 2
Resolución:
(4.x³ - 3.x - 2) = 4.(-1)³ - 3.(-1) - 2 = -4 + 3 - 2 = -3
2)
3 + x ² - 4.x5 y
8.x³/3 + 5.x/2 - 6
Resolución:
3 + x ² - 4.x5 = -∞
ya que el coeficiente del término de mayor grado es -4.
8.x³/3 + 5.x/2 - 6 = + puesto que el coeficiente del término de mayor grado, 8/3, es
positivo.
∞
Cálculo de límites de funciones racionales
Una función racional es una función del tipo f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son
polinomios.
Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:
189
A. Límite de una función racional en el punto x0 finito
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite
puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
P(x)/Q(x) =
P(x)/
Q(x)
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones
polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.
Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.
A.1. El límite del denominador es distinto de cero:
Q(x) ≠ 0
Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se
halla su cociente.
A.2. El límite del denominador es cero:
Q(x) = 0
Si el denominador se anula en x0,puede ocurrir que el numerador también se anule en
x0, o que el numerador no se anule en x0.
A.2.1. El límite del numerador también es cero:
Q(x) = 0 y
P(x) = 0
En este caso se obtiene el resultado 0 / 0, que es una indeterminación.
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz de
los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente P(x) / Q(x) se puede simplificar.
Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien
aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya
simplificados.
A.2.2. El límite del numerador no es cero.
El límite del cociente da como resultado la indeterminación
190
P(x)/0
Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la
función f(x) = P(x) / Q(x), en el punto x0.
Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son
iguales, la función no tiene límite.
Ejercicio: cálculo de límites de funciones racionales (x  x0)
1) Calcular el límite de la función f(x) = (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4), cuando x  1
Resolución:
(2.x³ - 1)/(3.x ² + 4) =
(2.x³ - 1)/
(3.x ² + 4) = 1/7
2) Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10), cuando x
2
Resolución:
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) =
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/
(x ² + 3.x - 10) =
(2³ - 2.2 ² - 6.2 + 12)/(2 ² + 3.2 - 10) = 0/0
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de
Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2 x ² - 6 x +12 y
Q(x) = x ² + 3 x -10.
- Descomposición factorial de P(x):
1 -2 -6 12
2
2 0 -12
1 0 -6 0
P(x) = x³ - 2.x ² - 6.x + 12 = (x - 2).(x ² - 6)
- Descomposición factorial de Q(x):
1 3 -
191
10
2
2 10
1 5 0
P(x) = x ² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5)
- El límite del cociente P(x)/ Q(x) es:
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) =
[(x - 2).(x ² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)] =
(x ²
- 6)/(x + 5) = -2/7
3) Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 4.x)/x, cuando x  0
Resolución:
(3.x ² - 4.x)/x =
(3.x ² - 4.x)/
x = 0/0, indeterminación.
- Se simplifican numerador y denominador:
(3.x ² - 4.x)/x =
4) Calcular
x.(3.x - 4)/x =
(3.x - 4) = -4
1/(x - 3) ²
Resolución:
1/(x - 3) ² = 1/
(x - 3) ² = 1/0, indeterminación.
- Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el
punto x0 = 3.
1/(x - 3) ² =
1/
(x - 3) ² = 1/0 = + ∞
1/(x - 3) ² =
1/
(x - 3) ² = 1/0 = + ∞
Como los límites laterales coinciden,
1/(x - 3) ² = + ∞
Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x  1.
192
Resolución:
1 / (x - 1) =
1/
(x - 1) = 1/0, indeterminación.
- Se estudian los límites laterales:
1/(x - 1) =
1/
(x - 1) = 1/0 = + ∞
1/(x - 1) =
1/
(x - 1) = 1/0 = - ∞
Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite
cuando x tiende a 1.
Análisis Matemático - Límites
LIMITE DE UNA FUNCION
Idea intuitiva de límite de una función en un punto
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en
puntos muy próximos a x0.
Idea intuitiva de límite
1. Considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función,
cuando x se aproxima al valor 3?
Resolución:
- Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los
valores que toma la función en puntos muy próximos a 3.
Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:
- Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores
que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3,
mayor es la proximidad de f(x) a 7.
193
Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es
7, y se escribe
(2.x + 1) = 7
LIMITES LATERALES
- El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x  x0, es el valor al que
tiende la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0.
Para expresar el límite por izquierda se escribe
f(x)
- El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x  x0, es el valor al que
tiende la función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0.
Para expresar el límite por derecha se escribe
f(x)
Relación entre el límite y los límites laterales de una función
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites
laterales y coinciden:
f(x) = l 
f(x) =
f(x) = l
Si se verifica esto, y l es un número finito, se dice que la función es convergente.
En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:
(2.x + 1) =
(2.x + 1) = 7
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES
Si una función f(x) tiene límite cuando x  x0,el límite es único.
Esto se puede escribir también así:
Si
f(x) = l y
f(x) =l´  l = l´
194
Ejercicio: cálculo aproximado de límites
Sea la función definida por f(x) =
x ², si x ≠ 2
7, si x = 2
¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?
Resolución:
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 2, puede hacerse una tabla de
valores para puntos de abscisa próximos a 2:
Se observa que cuando x tiende a 2,tanto por la derecha como por la izquierda, la
función tiende al valor 4. Por lo tanto,
f(x) =
f(x) = 4 
Sea la función f(x) =
f(x) = 4
1, si x < 3
x - 2, si x > 3
definida en  - {3}
¿A qué valor se aproxima la función cuando x se aproxima a 3?
Resolución:
Cuando x se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, la función se
aproxima al valor 1. Por lo tanto,
f(x) = 1
Obsérvese cómo se pone de relieve que el valor del límite de una función en un punto es
independiente del valor que la función tome en ese punto.
En este ejemplo, el límite de la función en el punto 3 es 1 y sin embargo, la función ni
siquiera está definida en él.
195
LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
1. Se dice que una función f(x) converge, en el punto x0,hacia el valor l, o que su límite
en x0 es l, y se escribe
f(x) = l, cuando a valores muy próximos a x0 corresponden
valores de la función muy próximos a I.
La definición anterior se puede concretar más:
2. Una función f(x ) converge hacia I en x0,o tiene por límite I en x0,cuando para
todo entorno de I de radio ε, E(I, ε) = (I - ε, I + ε), hay un entorno de x0de radio δ ,
E(x0, δ) = (x0 - δ , x0 + δ),tal que para cualquier x de E(x0, δ),su imagen f(x ) está
en E(I, ε).
O bien:
3. Una función f(x) converge hacia l en x0, o tiene por límite l en x0, cuando para
cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x - x0 | < δ  | f(x) - l | < ε
Límites infinitos
Una función es divergente cuando su límite es + ∞ó -∞.
Se estudiarán los siguientes límites:
1.
f(x) = ±∞
2.
f(x) = l
3.
f(x) = ±∞
Caso 1.
f(x) = -∞
Sea la función f(x) = 1 / x ².
196
Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores
que toman las imágenes de puntos próximos a 0. De la observación de la gráfica de la
función se deduce que:
Para valores próximos a 0 y menores que 0, la función toma valores cada vez mayores.
Esto significa que
1/x ² = +∞
Para valores próximos a 0 y mayores que 0, la función toma valores cada vez mayores.
Esto significa que
Puesto que
1/x ² = +∞
1/x ² =
1/x ² = +∞, entonces
1/x ² = +∞
En el caso de la función g(x) = -1/x ², el límite de la función cuando x  0 es -∞.
Para valores próximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la izquierda,
los valores que toma la función son cada vez menores.
Caso 2.
f(x) = l
Sea la función y = x / (x - 1).
Observando la gráfica de la función, se ve como a medida que x toma valores cada vez
mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x
tiende a infinito es 1.
x/(x - 1) = 1
De la observación de la gráfica se deduce que a medida que x toma valores cada vez
menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x
tiende a -∞ es también 1.
x/(x - 1) = 1
Caso 3.
f(x) = ±∞
Sea la función f(x) = x + 5.
197
Observando la gráfica se ve claramente que cuando x tiende a más infinito, la función
también tiende a más infinito. Es decir, a valores cada vez mayores de x,corresponden
valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto,
(x + 5) = +∞
Cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez
menores. Por lo tanto,
(x + 5) = - ∞
Si se estudian los límites en el infinito de g(x) = -(x + 5), se tiene:
-(x + 5) = - ∞
- (x + 5) = +∞
Es decir, cuando x toma valores cada vez mayores, x  +∞, la función toma valores
cada vez menores, g(x)  -∞.
Y cuando x toma valores cada vez menores, x  +∞, la función toma valores cada vez
mayores, g(x)  +∞.
OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones tales que:
f(x) = A y
g(x) = B
Límite de una suma de funciones
El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites
de cada una de ellas:
(f + g)(x) =
f(x) +
g(x) = A + B
198
Límite de una resta de funciones
El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los
límites de cada una de ellas:
(f - g)(x) =
f(x) -
g(x) = A - B
Límite de un producto de funciones
El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los
límites de cada una de ellas:
(f.g)(x) =
f(x) .
g(x) = A.B
Límite de un cociente de funciones
El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los
límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:
(f/g)(x) =
f(x) /
g(x) = A/B (siempre que B ≠ 0)
Ejercicio: límites de suma, resta, producto y cociente de funciones
Si f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x; calcular:
(f + g)(x),
(f - g)(x),
(f.g)(x) y
(f/g)(x)
Resolución:
f(x) = 2 ² + 2 = 11 y
(f + g)(x) =
f(x) +
(f - g)(x) =
f(x) -
(f.g)(x) =
f(x) .
g(x) = 1/3
g(x) = 11 + 1/3 = 34/3
g(x) = 11 - 1/3 = 32/3
g(x) = 11.(1/3) = 11/3
199
(f/g)(x) =
f(x) /
g(x) = 11/(1/3) = 33
Análisis Matemático - Derivadas
Recta tangente a una curva en un punto
m = Δy/Δxm = tg α
y2´ = f´(x)
pero y2´ en a:
tg α = f´(a) m = f´(a)
por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a,es:
y1 = f´(a).x + b
Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la
curva.
1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente.
a- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
200
b- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
c- el resultado es la pendiente m.
m = f´(a)
d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
y1 = m.(x - a) + ya
2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la
curva.
a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra
igualando las funciones.
y1 = y2 m.x + b = f(x)
b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.
c- con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya.
d- el punto de intersección será:
P(a; ya)
e- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
f- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
g- verificar que f´(a) sea igual a m.
y2´ = m
201
3) Dada una recta cualquiera (y = m3.x + b3), hallar la recta tangente paralela a una
curva.
a- la pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
m3 = m1
b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de
intersección.
m3 = f´(a) m3 = f´(x)
c- despejar el x = a.
d- con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya.
e- el punto de intersección será:
P(a; ya)
f- armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
y1 = m3.(x - a) + ya
Análisis Matemático - Derivadas
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
LEMA (de monotonía).Sea f : I-->R una función. Supongamos que f´(t0)>0 en un punto t0interior. Entonces
existe Δ>0 tal que f(s)<f(t0)<f(t) cuando s (t0-Δ,t0) y t (t0,t0 +Δ), es decir, es
creciente en t0.
Análogamente si f´(t0)<0, es decreciente en t0.
Teorema de Rolle.-
202
Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces
existe c ε (a,b) tal que f´(c) = 0.
Teorema de Cauchy.Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c
 (a,b) tal que
[ f(b) - f(a) ] g´(c) = [ g(b) - g(a) ] f´(c).
Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos).Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ε
(a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f´(c).
Consecuencias del t.v.m.1.- T. del v.m. sobre monotonía.Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces
- si f´(t)≥0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].
- si f´(t)≤0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].
- si f´(t)=0 para todo t ε (a,b) entonces f es constante en [a,b].
2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f´(x) = g´(x)
para todo x  (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo
x  [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.
ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION
Crecimiento y decrecimiento de una función
Definición:
Sea f : [a, b] -->R, x0 (a, b), se dice que f es creciente en x0si existe un entorno de x0,
E (x0, h) tal que
203
Si x0 - h < x < x0  f(x) < f(x0)
Si x0 < x < x0 + h  f(x0) < f(x)
Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.
Proposición 1 (monotonía).-
Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x0  (a, b) . Entonces:
si f´(x0)>0, f es creciente en x0.
si f´(x0)<0, f es decreciente en x0.
Observación: La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x³
Proposición 2.Sea f : (a, b)-->R una función, x0 (a,b),f derivable en x0 y creciente (decreciente).
Entonces f ´(x0) ≥0 (f´(x0) ≤ 0).
Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.Definición: Sea f : [a, b] -->R, x0 (a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo
relativo en, x0 si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que x  E (x0, h) se tiene que f(x)
≤ f(x0) / f(x) ≥ f(x0).
Condición necesaria.f derivable en x0 (a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f´(x0)=0.
204
Condición suficiente.-
Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0 (a, b) y f derivable en el intervalo (x0Δ,x0 +Δ) contenido en I salvo quizás x0.
a) si f ´ (x)>0, x  (x0-Δ,x0) (f creciente a la izquierda de x0)
f ´ (x)<0, x  (x0,x0 +Δ) (f decreciente a la derecha de x0)
entonces f presente un máximo relativo en x0.
b) Análogamente para mínimo relativo.
Proposición 2.f : [a, b] -->R, x0 (a,b) tal que f ´ (x0)=0 y f " (x0) ≠ 0.
Entonces :
f"(x0)>0 entonces x0es mínimo relativo.
f"(x0)<0 entonces x0 es máximo relativo.
Condición necesaria y suficiente.Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0 (a, b) tal que f ´(x0)=0.
Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0y
supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0), derivada n-esima
de f.
En estas condiciones:
205
" La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo
relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo)
relativo."
Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.
Concavidad y convexidad
Definición:
-· Una función f es cóncava en el punto x0cuando la tangente a la gráfica de f en el punto
(x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.
De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos
de la gráfica queda por encima de la gráfica.
-· Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el
punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.
De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos
de la gráfica queda por debajo de la gráfica.
Condición suficiente de concavidad
206
Si una función f es tal quex  (a,b) f"(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)
Si una función f es tal que x  (a,b) f"(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)
Punto de inflexión
Definición: Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de
concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en
ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.
Condición necesaria.- Si x0 es punto de inflexión entonces f"(x0)= 0
Condición suficiente.- Sea x0 / f"(x0)= 0, entonces si además f"´(x0) ≠ 0, x0 es punto de
inflexión.
207
Regla de L´Hopital.Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando :
i) f,g son derivables en (a,b)
ii) g´(x) ≠ 0 para todo x  (a,b)
lim f´(x)
iii) Existe
= l  R (real o ± ∞)
x  a g´(x)
lim f(x)
iv)
lim
g(x)
=
xa
=0
xa
lim f(x)
Entonces existe
y su valor es l
x  a g(x)
Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de
limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1∞ , ∞° y 0°
Representación de funciones
ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACION DE FUNCIONES
Propiedades de f obtenidas
Caracterización
directamente
1.
Dominio (D) de la función
x  D  Existe y tal que y = f(x)
Recorrido (R) de la función
y  R  Existe x tal que y= f(x)
2.
Simetrías:
f(- x) = f(x) Eje de simetría OY
a) Función par
f(- x) = - f(x) Centro de simetría el
b) Función impar
3.
4.
5.
origen
f(x + T) = f(x) T periodo mínimo
Periodicidad
Puntos de corte con los ejes:
a) Corte con el eje OX
f(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos
b) Corte con el eje OY
f(0) = y Ninguno o un punto
Regiones de existencia de la función:
208
6.
a) Intervalos de positividad
f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX
b) Intervalos de negatividad
f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX
Ramas infinitas. Puntos en el infinito:
a) Punto de partida de la gráfica
(- ∞,?) Cuadrantes II o III
b) Punto de llegada de la gráfica
(+ ∞,?) Cuadrantes I o IV
7.
Asíntotas:
f (x) = ± ∞ (a = a, a+, a-)
lim
a) Asíntotas verticales: x = u
xa
lim
f(x) = k
b) Asíntotas horizontales: y = k
x  ±∞
lim
f(x)/x = m
x  ±∞
m y n 
c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n,
lim
[f(x) - m.x = b]
x  ±∞
lim
8.
m 
f(x) ≠ f(a)
Puntos de discontinuidad
xa
Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas
9.
Monotonía:
a) Intervalos de crecimiento
f´>0
b) Intervalos de decrecimiento
f´<0
c) Puntos críticos
f ´(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo
f ´(a)=0 y f"(a) < 0 Máximo
10.
Curvatura:
a) Intervalos de convexidad
f" > 0
b) Intervalos de concavidad
f" < 0
c) Puntos de inflexión
f"(a)=0 y f"´(a) > 0 Cóncavo - convexo
f"(a)=0 y f"´(a) < 0 Convexo - cóncavo
209
Análisis Matemático - Derivadas
Tabla de Derivadas e Integrales
Función
Derivada
Integral
y=c
y´ = 0
c.x
y = c.x
y´ = c
c.x ²/2
y = xn
y´ = n.xn-1
x(n + 1)/(n + 1)
y = x-n
y´ = -n/x(x + 1)
-x-(n + 1)/(n + 1)
y = x½
y´ = 1/(2.√x)
x3/2/(3/2)
y = xa/b
y´ = x(a/b - 1)/(b/a)
y = 1/x
y´ = -1/x ²
log x
y = sin x
y´ = cos x
-cos x
y = cos x
y´ = -sin x
sin x
y = tan x
y´ = 1/cos ² x
-log cos x
y = cotan x
y´ = -1/sin ² x
log sin x
y = sec x
y´ = sin x/cos ² x
y´ = log (tg x/2)
y = cosec x
y´ = -cos x/sin ² x
y´ = log [cos x/(1 - sen x)]
y = arctg x
y´ = 1/(1 + x ²)
x.arctg x - [log (1 + x ²)}/2
y = arccotan x
y´ = -1/(1 + x ²)
x.arccotg x + [log (1 + x ²)}/2
y = arcsen x
y = arccos x
y = arcsec x
y = arccosec x
210
y = sh x
y´ = ch x
ch x
y = ch x
y´ = sh x
sh x
y = th x
y´ = sech ²x
log ch x
y = coth x
y´ = -cosech ²x
log sh x
y = sech x
y´ = -sech x.th x
y = cosech x
y´ = -cosech x.coth x
y = log x
y´ = 1/x
x.(log x - 1)
y = logax
y´ = 1/x.log a
x.(log a x - 1/log a)
y = ex
y´ = ex
ex
y = ax
y´ = ax.log a
ax/log a
y = xx
y´ = xx.(log x + 1)
y = eu
y´ = eu.u´
y = u.v
y´ = u´.v + v´.u
y = u/v
y´ = (u´.v - u.v´)/v ²
∫u.dv + ∫v.du
y = uv
y = loguv
211
FISICA
Relación de Física con otras materias
Física con Astronomía
Desde el principio del conocimiento, el hombre, siempre ha sentido curiosidad por los
fenómenos que ocurren a su alrededor.
Esta curiosidad, llevó a que surgiera el llamado método científico, que intentaba
explicar de modo racional el porqué o como de las cosas.
Vemos que en la antiguedad todo lo que no se podía explicar era trasladado en forma
oral o escrita a las generaciones en un conocimiento vulgar.
Todos los hechos que se manifestaban en la naturaleza eran interpretados como divinos.
Los adjudicaban a dioses o mitos y leyendas para así tratar de ocultar la falta de un
método de observación e interpretación.
Los egipcios son un claro ejemplo de cultura en transición, algunas cosas las atribuían a
dioses poderosos, por ejemplo el cambio del día a la noche.
212
Ellos le daban nombre a esos astros como Ra para el Sol, Isis para la luna.
Pero a la hora de construir sus monumentales pirámides se basaron en misteriosos
cálculos de matemáticas y posición de algunos astros para dar dimensiones a esas
colosas e inmortales obras que nos han legado.
Con el correr de los siglos muchos fueron los hombres que intentaron separar las
divinidades de la explicación de los fenómenos desconocidos.
Así surgió el método científico, que básicamente consiste en observar, experimentar e
Interpretar.
Los primeros científicos o físicos eran personajes que dominaban muchas ciencias.
Este conocimiento llevó a varios de ellos de ser acusados de locos o poseídos porque la
gente sencilla no tenía la formación suficiente para establecer que era una nueva forma
de traspasar las barreras ideológicas que hasta ese momento dominaban el pensar.
213
La teoría de Aristóteles sobre la conformación del Sistema Solar con centro en la Tierra
y el Sol, la luna y los planetas girando alrededor de ella, fue una verdad aceptada por
mucho tiempo.
Es más, la Iglesia tenía en el Renacimiento la total convicción de que ello era así porque
coincidía con las interpretaciones que se sacaban de la Biblia y la creación del Universo
por parte de Dios.
La famosa Inquisición, que era un tribunal compuesto por obispos y cardenales, se
ocupaba de que nadie expresara públicamente lo contrario a lo que las Santas Escrituras
decían al respecto.
Imagínense que alguien tratara de ir contra las normas que durante tantos años habían
existido en el conocimiento de las multitudes.
Nicolás Copérnico astrónomo polaco presentó en el siglo XVI un modelo más sencillo
para sustituir el sistema de Tolomeo y de Aristóteles.
Copérnico creía que el Universo debería ser más sencillo, pues Dios no haría un mundo
tan complicado.
En el modelo el Sol estaba en reposo y los planetas, incluso la Tierra giraban en torno
de él en órbitas circulares. Esta idea ya había sido propuesta por algunos filósofos
griegos.
Ahora como este modelo iba en contra de las convicciones religiosas de la época,
Copérnico
se limitó a no publicar sus ideas. Luego con la aparición de sus investigaciones su teoría
causó grandes polémicas, y terminó por ser colocado en la lista de los libros prohibidos
de la época.
Galileo Galilei, físico y astrónomo italiano nacido en Pisa en 1564 efectuó grandes
contribuciones al desarrollo de las ciencias.
Como gran experimentador, logró construir el primer telescopio para sus
observaciones,logrando con lentes amplificar las imágenes.
214
Eran los pasos fundamentales para unir la Astronomía con la rama de la Física llamada
OPTICA.
Sus descubrimientos contradecían las creencias filosóficas también, entre ellos que la
superficie de la luna era rugosa e irregular y no como se creía de lisa y perfectamente
esférica.
Descubrió la existencia de 3 satélites que giraban en torno a Júpiter,contrario a la teoría
aristotélica que afirmaba que los astros giraban todos alrededor de la Tierra.
Algunos filósofos de su época se negaban a mirar a través de su telescopio, para no
verse obligados a admitir sus errores y llegaron a afirmar que las observaciones de
Galileo eran irreales y trucos inventados.
Con Venus encontró que también tenía fases como la Luna, esto lo llevó a la conclusión
de que eses planeta giraba alrededor del Sol como predijera Copérnico.
Todos estos datos lo llevaron a publicar sus observaciones defendiendo y divulgando la
teoría de que los planetas y la Tierra giraban alrededor del Sol.
Telescopio de Galileo Galilei
Su obra se llamó Diálogos Sobre los dos Grandes Sistemas del Mundo,publicada en
1632.
Las consecuencias del gran alboroto que provocaron estas ideas causó que la Iglesia lo
acusara de Hereje y fue apresado y sometido a juicio por la Inquisición en 1633.
Para evitar que fuese condenado a muerte (quemado vivo) Galileo se vio obligado a
negar sus ideas en una "confesión", leída en voz alta ante el Santo Oficio de la iglesia.
Salvado de la hoguera, pero considerado hereje
215
fue obligado a permanecer confinado a su casa, cerca de Florencia, hasta su muerte.
A pesar de que estaba casi ciego y muy enfermo, su mente continuó desarrollando
estudios hasta que en 1638 publicó su última obra titulada Dos Nuevas Ciencias.
Fallecía en enero de 1642.
Retrato de Galileo y sus observaciones
Johannes Kepler astrónomo alemán cuando publicó su primera obra Misterios
Cosmográficos en 1596 corrigió la teoría de Copérnico desarrollada por Galileo, dando
a conocer que los planetas giraban en torno al Sol pero sus órbitas eran elípticas y el
centro de uno de sus focos lo ocupaba el Sol.
Esto unió más la Física con la astronomía al establecerse las bases de la llamada
Mecánica Celeste.
Este movimiento planetario llevaría años más tarde a la elaboración de las leyes
fundamentales de la naturaleza de la Gravitación Universal de los planetas, genialidad
del matemático inglés Isaac Newton.
Isaac Newton
Nacido en 1642, Isaac Newton fue un gran físico y matemático que formuló las leyes
básicas de la Gravitación Universal.
216
Sus estudios sobre la luz y los colores, obtenidos de sus trabajos con prismas fueron
muy criticadas por muchos científicos de la época.
Estas críticas para sus estudios y publicaciones afectaron mucho su temperamento.
Muy tímido y retraído no polemizaba con nadie, en especial con sus más grandes
contrincantes Hooke y Huygens.
En 1864, doce años después de haber publicado sus trabajos, Newton fue visitado por su
amigo Edmund Halley ( descubridor del cometa que orbita el Sol y que lleva su
nombre) quién buscaba explicaciones para unos asuntos referentes a la Mecánica
Celeste.
Su sorpresa fue que Newton pudo aclarar todas sus dudas e incluso tenía todo un
Tratado acerca de La Mecánica y la Gravitación Universal en sus manos.
Como Newton no quería que sus estudios se publicaran debido a sus antiguas críticas
que recibiera, Halley logró persuadirlo y animarlo.
- Poderosa manifestación de la fuerza que se necesita para vencer la gravedad y enviar
al Discovery al exterior de nuestro planeta.
Se ofreció incluso a pagar los costos de la impresión de sus artículos.
Luego de dos años de actividad, en 1686, Isaac Newton presentó la primera edición de
su famosa obra Principios Matemáticos de la Filosofía Natural". Esta publicación lo
consagró
como uno de los grandes genios de la historia.
Sus tres leyes fueron los pilares de la Mecánica Celeste durante muchos años.
217
Su primer ley era la síntesis de las experiencias de Galileo en cuanto a la inercia de los
cuerpos.
La segunda establece el sentido y la orientación de la resultante de una fuerza que actúa
sobre un cuerpo en su aceleración.
La tercera involucra las fuerzas que interactúan entre dos cuerpos cuando se aplican
entre si conocida como principio de acción y reacción.
- Nuestra Tierra comparada con el resto de los planetas del Sistema Solar y el Sol
La Gravitación Universal surgió de sus estudios de las leyes de movimiento de Kepler.
La fuerza centrípeta que desarrolla el sol sobre los planetas es lo que los mantiene en
sus órbitas.
Estableció que esta fuerza era el resultado de una constante de proporcionalidad entre
las masas de los cuerpos y el cuadrado de la distancia que los separaba.
F = G m1.m2/r
Pasaron 100 años hasta que fue posible obtener en forma experimental la comprobación
real de la existencia de las fuerzas de atracción entre dos cuerpos.
El físico inglés Henry Cavendish con su balanza de torsión logró comprobar la atracción
entre dos esferas y así estableció el valor de G que fue 6.67 x 10-11 N.m / kg
Al establecer el valor de G y el R de la tierra fue posible calcular la fuerza de atracción
de la tierra en una partícula.
218
Tenemos así que con la aceleración de la gravedad g y el radio de la tierra y La
constante G fue posible calcular la masa de la tierra establecida en 5.97 x 10 24 kg.
A fines del siglo XIX los científicos comenzaron a encontrar algunos resultados que no
concordaban con las leyes de Newton en cuanto al comportamiento de algunos cuerpos
con velocidades próximas a la luz.
Estos problemas de inexactitud llevaron a que se formulara una nueva teoría que
sustituyese a la Mecánica Clásica. Surgió así la llamada Mecánica Relativista.
Albert Einstein físico alemán nacido en 1879, formuló en 1905 su célebre Teoría de la
Relatividad, dónde estableció ecuaciones para sustituir las newtonianas, que al aplicarse
al movimiento de partículas muy rápidas proporcionó resultados perfectos con las
observaciones.
Con los descubrimientos de Maxwell a cerca de la existencia de campos compuestos por
componentes magnéticos y eléctricos asociados, dando como resultado la formación de
campos electromagnéticos.
Estas teorías comprobadas por Heinrich Rudolf Hertz que produjo las primeras ondas
electromagnéticas y su detección, fueron los pilares de un contínuo desarrollo de lo que
hoy conocemos como la comunicación.
En la astronomía la implementación de avanzados detectores de frecuencias de radio
ocasionó que el hombre comenzara a dirigir sus antenas hacia el espacio.
219
- Sonda Exploradora Viking 1
Nuestra búsqueda de lo desconocido tenía básicamente 2 direcciones.
Primero, con el surgimiento de la Radio Astronomía era posible oir el ruido espacial
provocado por nuevos tipos de estrellas que dieron en llamarse Pulsares.
Segundo, intentar buscar evidencia extraterrestre por medio de la exploración de barrido
de frecuencias dirigido a las estrellas más cercanas.
Con los viajes espaciales de las sondas exploradoras Viking y Voyager, se determinó la
imposibilidad de que en nuestro sistema planetario existiera posibilidad de encontrar
formas de vida como la nuestra.
- Radio Telescopio
Las enormes distancias que nos separan del resto de las estrellas de nuestra galaxia,
hacen impensable enviar estaciones de búsqueda, máxime teniendo en cuenta que la
velocidad de dichas sondas está dada por la aceleración que toman cuando pasan cerca
de un planeta.
Estas terribles distancias han llevado a que hace pocos años se lograra poner en órbita el
primer telescopio del mundo en el espacio.
El telescopio Espacial Hubble, es el resultado de la insesante búsqueda de nuevas
estrellas en el firmamento donde tal vez algún día alojaran la civilización que tanto
anhelamos encontrar.
220
- Sonda Exploradora Voyager 1
El presente
Los astrofísicos del presente cuentan con toda la tecnología al alcance de su mano, para
desentrañar los misterios del Cosmos. La teoría de la expansión continua del Universo
desde el BIG-BANG es uno de los grandes temas de la actualidad.
- Telescopio espacial Hubble saliendo del interior del Transbordador espacial hacia su
órbita alrededor de nuestro planeta.
221
Todos estos años desde la carrera espacial del 60 han sido los principales protagonistas
de un ser humano explorador del porque estamos solos. Estamos solos en el Universo ?
Es tan grande la casualidad de que del infinito número de estrellas, galaxias y
constelaciones no podamos haber encontrado a nadie más.
Estas interrogantes predisponen a que se continúe barriendo el espacio exterior con
nuestras antenas, en la esperanza de poder encontrar algún rastro de comunicación que
pueda ser enviada por otras civilizaciones del otro lado del Cosmos.
El viajar de las ondas electromagnéticas a la velocidad de la luz es otra limitante que
nos encontramos.
Suponiendo que una civilización extraterrestre situada a 500 años luz emitiera un
mensaje, tardaríamos 500 años luz en recibirla. Para contestarle deberíamos invertir
otros 500 años luz. Nuestro mensaje llegaría dentro de 1000 años a su origen.
Increíble, sólo han pasado 1999 años desde el nacimiento de Cristo. Es por eso, que las
probabilidades de recibir y enviar un mensaje son infinitamente remotas. Nuestra
tecnología a pesar de ser muy avanzada carece de los medios para saltar esas distancias.
El combustible fósil que es no renovable, apenas si puede lograr despegar una nave de
nuestro planeta y escapar a su atracción.
El secreto es tratar de dilucidar las misteriosas fuerzas que entrañan a la energía atómica
para tratar de resolver el problema del impulso que nos permita viajar a velocidades
asombrosas para recorrer distancias.
Tenemos otra limitante que es nuestra espectativa de vida, por lo que también
deberemos encontrar la solución a ese detalle.
Las sondas exploradoras que han abandonado el sistema solar y se dirigen hacia la
eternidad. Llevan una placa donde están representados nuestros cuerpos desnudos de la
mujer y el hombre, coordenadas de nuestro planeta y ubicación dentro del sistema solar
así como también las fórmulas del Hidrógeno atómico, el cual es el elemento que se
encuentra en las estrellas junto con el helio en la combustión de las mismas para generar
luz y calor en los fríos terribles de 0 Kelvin o cero absoluto del espacio exterior.
222
También llevan un registro de voces y sonidos de nuestro planeta y algunas imágenes
del mismo para que la civilización que la encontrara a su paso pudiera interpretar en
caso de que no existieramos más, como fuimos y quienes éramos en ese entonces.
Física con Deportes.
Las leyes físicas quedan relacionadas con los deportes y la gimnasia desde el punto de
vista que nuestros movimientos están regidos por la gravedad.
En efecto, la atracción que ejerce sobre nuestro cuerpo, la atracción gravitatoria de la
tierra.
La estructura ósea de nuestro organismo, desde nuestros primeros pasos en la infancia,
debe luchar por conseguir una posición de equilibrio cuando estamos parados o nos
desplazamos.
El peso que nos da la balanza es el fiel reflejo de la masa que constituye nuestro
organismo y la aceleración de la gravedad 9,8 m/s.
Estudiando dicha fuerza, vemos que dependiendo de este parámetro, si estuviéramos en
la Luna "pesaríamos menos" pues allí la aceleración de la gravedad sería menor.
Esto lo pudieron comprobar los primeros astronautas que pisaron la Luna, los cuales
llevaban zapatos de plomo para evitar que flotaran en el vacío y no se pudieran
desplazar.
La principal manifestación de la fuerza de la gravedad es cuando pretendemos saltar
hacia arriba.
223
Nuestro impulso nos eleva hasta cierto punto y luego la tierra
nos atrae hacia ella.
Los gimnastas olímpicos utilizan técnicas que le permiten
mediante la utilización del principio del equilibrio.
La presencia de atmósfera en nuestro planeta, también tiene una
importante manifestación en el deporte.
La densidad del aire crea una resistencia a todo cuerpo que se
desplaza.
Esto se conoce como fuerza de rozamiento o fricción.
Los ciclistas han adoptado una serie de configuraciones en sus
cascos y bicicletas para minimizar el efecto de frenado que
ejerce el aire en sus cuerpos.
- Esta impresionante toma fotográfica revela el momento en que se produce la igualdad
de la fuerza de impulso con la fuerza de la gravedad.
El presentar un perfil muy agudo, ayuda a que las líneas de presión
rodeen el objeto que se desplaza y ejerzan la mínima resistencia.
- Casco de perfil agudo, cuerpo inclinado y materiales de carbono y
kevlar en el cuadro son algunas de las técnicas para presentar el
224
mínimo de resistencia al avance.
La tercera ley de Newton sobre el fenómeno de acción y reacción se manifiesta muy
asiduamente en algunos deportes cuando dos jugadores pugnan por la pelota que está en
juego.
La acción de uno de ellos sobre el objeto se traduce en un empuje que el otro jugador
debe contrarrestar.
La fuerza de la gravedad también afecta el desplazamiento de los objetos móviles como
por ejemplo las motos de competición.
En este deporte de la velocidad, nuestro cuerpo aprende a conservar el equilibrio.
Por el principio de la primera ley de newton podemos observar un fenómeno muy
peculiar.
Cuando la moto se dirige hacia una curva y su velocidad es
muy elevada, el conductor debe cancelar el momento de la
inercia para no salirse de la senda e ir a parar a la arena.
Para conseguir anular esa fuerza que tiende a mantener el
vehículo en la misma dirección que traía, el conductor se
inclina hacia el lado contrario y anula dicha fuerza
consiguiendo girar.
225
Por último destacamos que la densidad del elemento en que nos movemos también
ejerce una resistencia al avance, esto es de destacar en las competencias deportivas de
natación.
El estilo empleado y el perfil agudo también son fundamentales para
lograr desplazarse rápidamente y con el menor gasto de energía.
Física con Química
La Química es una de las ciencias que mas afinidad tiene con la Física.
En efecto, los fenómenos físicos ocurren generalmente en conjunción con los químicos.
Basta ver las manifestaciones de nuestro entorno para poder aplicar esta situación.
No olvidemos que química+física =Biología, o sea la manifestación de la vida y los
seres vivos.
Muchos físicos también contribuyeron a descubrir fenómenos químicos dado que en sus
experimentos utilizaban reacciones químicas que originaban reacciones físicas. Un claro
ejemplo de ello ha sido la búsqueda de la estructura y funcionalidad del átomo.
Recordemos que de una reacción en cadena, cuando un átomo radiactivo inestable es
bombardeado por un neutrón se produce un estallido del núcleo del mismo y sus
componentes a su vez rompen otros núcleos generando más colisiones.
Esto es una reacción química y su manifestación física es la generación de una inmensa
cantidad de energía en forma de calor.
Llamamos a esto reacción de fusión nuclear.
226
- Comienzo de explosión nuclear
Es la forma más aterradora de los últimos tiempos y fue descubierta cuando en 1945, un
6 de Agosto en Hiroshima Japón, Estados Unidos destruyó completamente esa ciudad.
Por los ensayos de Enrico Fermi el 2 de Diciembre de 1942, el Ejercito de Estados
Unidos probó en el desierto el primer estallido que provocó luego las dos grandes
masacres en Japón.
En Hiroshima se utilizó Uranio 235, en Nagasaki, ciudad universitaria, el 9 de Agosto
de 1945 Plutonio 239.
La humanidad aprendió de ello una lección que hizo que nunca más hasta la actualidad
se utilizaran estas bombas para una guerra.
Pero no todo es destrucción, ya que los científicos han utilizado estas reacciones en
cadena pero con fines pacíficos utilizando grafito como moderador de la fusión para
producir grandes cantidades de calor que se aprovechan para calentar y evaporar agua.
Este vapor producido es pasado por unas paletas de turbinas,en el mismo eje conectadas
a un generador para producir grandes cantidades de electricidad.
Son las Centrales Eléctricas Nucleares.
227
- Turbo generadores de central Nuclear.
La primera estación de generación de energía nuclear fue
construida en Inglaterra e inaugurada el 17 de Octubre de
1956. Su nombre es Calder Hall. Fue la primera en
obtener energía eléctrica a partir de un reactor nuclear
controlado.
En estas centrales se deben tomar normas de seguridad
mas estrictas que en otra plantas generadoras.
El riesgo de un escape radioactivo a la atmósfera sería un
desastre, ya que todo ser vivo que sea irradiado con estas
emisiones, sufre graves trastornos con una muerte segura.
- Calder Hall Inglaterra.
Veremos a continuación el tablero de mandos de una Central donde multitud de
medidores controlan cada paso y funcionamiento de las distintas etapas de generación
de una central Nuclear.
-Tablero de control en 1956.
228
Con el correr de los años y la tecnología
siempre a la vanguardia, estas primitivas
consolas de mando han sido sustituidas por
computadoras que controlan muchas funciones
en forma automática.
Calentamiento global
Aumento de la temperatura de la Tierra debido al uso de combustibles fósiles y a otros
procesos industriales que llevan a una acumulación de gases invernadero (dióxido de
carbono, metano, óxido nitroso y clorofluorocarbonos) en la atmósfera. Desde 1896 se
sabe que el dióxido de carbono ayuda a impedir que los rayos infrarrojos escapen al
espacio, lo que hace que se mantenga una temperatura relativamente cálida de nuestro
planeta (efecto invernadero). La cuestión es si los crecientes niveles de dióxido de
carbono registrados a lo largo del último siglo llevarán a un aumento de la temperatura
global.
El contenido en dióxido de carbono de la atmósfera ha venido aumentando un 0,4%
cada año como consecuencia del uso de combustibles fósiles como el petróleo, el gas y
el carbón; la destrucción de bosques tropicales por el método de cortar y quemar
también ha sido un factor relevante que ha influido en el ciclo del carbono. La
concentración de otros gases que contribuyen al efecto invernadero, como el metano y
los clorofluorocarbonos, está aumentando todavía más rápido. El efecto neto de estos
incrementos podría ser un aumento global de la temperatura, estimado en 2 a 6 °C en los
próximos 100 años. Un calentamiento de esta magnitud alteraría el clima en todo el
mundo, afectaría a las cosechas y haría que el nivel del mar subiera significativamente.
Desde 1850 se ha producido un incremento medio de la temperatura global de más o
menos 1 °C, pero éste podría ser sólo parte de una fluctuación natural. Tales
fluctuaciones se han registrado durante decenas de miles de años, y se producen en
ciclos a corto y a largo plazo. La dificultad de distinguir las emisiones de dióxido de
carbono de origen humano de las naturales es una de las razones por las que tanto ha
tardado en legislarse su control. No obstante, las consecuencias potenciales del
229
calentamiento global son tan amenazadoras que muchos prestigiosos científicos han
urgido la adopción de medidas inmediatas y han solicitado la cooperación internacional
para combatir el problema.
Efecto invernadero: Término que se aplica al papel que desempeña la atmósfera en el
calentamiento de la superficie terrestre. La atmósfera es prácticamente transparente a la
radiación solar de onda corta, absorbida por la superficie de la Tierra. Gran parte de esta
radiación se vuelve a emitir hacia el espacio exterior con una longitud de onda
correspondiente a los rayos infrarrojos, pero es reflejada de vuelta por gases como el
dióxido de carbono, el metano, el óxido nitroso, los halocarbonos y el ozono, presentes
en la atmósfera. Este efecto de calentamiento es la base de las teorías relacionadas con
el calentamiento global.
Ciclo del Carbono
En ecología, ciclo de utilización del carbono por el que la energía fluye a través del
ecosistema terrestre. El ciclo básico comienza cuando las plantas, a través de la
fotosíntesis, hacen uso del dióxido de carbono presente en la atmósfera o disuelto en el
agua. Parte de este carbono pasa a formar parte de los tejidos vegetales; el resto es
devuelto a la atmósfera o al agua mediante la respiración. Así, el carbono pasa a los
herbívoros que comen las plantas. Gran parte de éste es liberado en forma de CO2 por la
respiración, pero parte se almacena en los tejidos animales y pasa a los carnívoros, que
se alimentan de los herbívoros. En última instancia, todos los compuestos del carbono
se degradan por descomposición, y el carbono es liberado en forma de CO2, que es
utilizado de nuevo por las plantas.
Intercambios aire-agua: A escala global, el ciclo del carbono implica un intercambio
de CO2 entre dos grandes reservas: la atmósfera y las aguas del planeta. El CO2
atmosférico pasa al agua por difusión a través de la interfase aire-agua. Si la
concentración de CO2 en el agua es inferior a la de la atmósfera, éste se difunde en la
primera, pero si la concentración de CO2 es mayor en el agua que en la atmósfera, la
primera libera CO2 en la segunda. En los ecosistemas acuáticos se producen
intercambios adicionales. El exceso de carbono puede combinarse con el agua para
formar carbonatos y bicarbonatos. Los carbonatos pueden precipitar y depositarse en los
230
sedimentos del fondo. Parte del carbono se incorpora a la biomasa (materia viva) de la
vegetación forestal y puede permanecer fuera de circulación durante cientos de años.
Recursos totales de carbono: Los recursos totales de carbono, estimados en unos
44.443.1012 kg, se distribuyen en formas orgánicas e inorgánicas. El carbón fósil
representa un 22% del total. Los océanos contienen un 71% del carbono del planeta,
fundamentalmente en forma de iones carbonato y bicarbonato. Un 3% adicional se
encuentra en la materia orgánica muerta y el fitoplancton. Los ecosistemas terrestres, en
los que los bosques constituyen la principal reserva, contienen alrededor de un 3% del
carbono total. El 1% que queda se encuentra en la atmósfera, circulante, y es utilizado
en la fotosíntesis.
Adiciones a la atmósfera: Debido a la combustión de los combustibles fósiles, la
destrucción de los bosques y otras prácticas similares, la cantidad de CO2atmosférico ha
ido aumentando desde la Revolución Industrial. La concentración atmosférica ha
aumentado de unas 260 a 300 ppm estimadas en el período preindustrial, a más de 350
ppm en la actualidad. Este incremento representa sólo la mitad del dióxido de carbono
que, se estima, se ha vertido a la atmósfera. El otro 50% probablemente haya sido
absorbido y almacenado por los océanos. Aunque la vegetación del planeta puede
absorber cantidades considerables de carbono, es también una fuente adicional de CO2.
Estimaciones de población
La mayor parte de los padres potenciales de las próximas dos décadas ya han nacido.
Esto permite realizar estimaciones de población para este periodo con fiabilidad
razonable. Por otro lado, a lo largo de dos décadas, el grado de incertidumbre, tanto de
los índices demográficos como de otras características de la sociedad, crece a un ritmo
vertiginoso, haciendo que cualquier estimación resulte sólo especulativa.
Las estimaciones de las Naciones Unidas publicadas en 1990 indican que la población
mundial pasará de 5.300 millones de personas en 1990 a 6.200 millones en el año 2000
y a 8.500 millones en el 2025. Las estimaciones máximas y mínima para el año 2025
son de 9.100 millones y 7.900 millones respectivamente. El índice medio de natalidad
mundial, que en 1990 era del 26‰, se reducirá al 22‰ para finales del siglo, y al 17‰
en el año 2025. El mayor porcentaje de población con edades de alta mortalidad hará
231
que el índice de mortalidad media mundial se reduzca sólo un poco, pasando del 9‰ en
1990 al 8‰ en el 2025. La esperanza de vida media mundial, sin embargo, pasará de 65
años en 1990 a 73 años en el 2025.
En el mundo desarrollado, el crecimiento de la población seguirá siendo muy lento y en
algunos países incluso disminuirá. Se estima que la población de Europa occidental
decrecerá a partir del año 2000. En 1996 en las ciudades de Madrid y Londres había
más habitantes de 65 años que menores de 15. En España el índice de fecundidad es de
1,4 hijos por mujer, siendo uno de los países, junto con Italia, con menor natalidad del
mundo. En el caso estadounidense, las previsiones hablan de un crecimiento hasta el
año 2050, debido a la inmigración. A partir de este momento el índice de crecimiento
será prácticamente nulo. En cambio, para el año 2000, América Latina tendrá la mayor
tasa media anual de crecimiento del mundo.
Las Naciones Unidas estiman que los países menos desarrollados tendrán unos índices
de crecimiento de población en continuo descenso. Para el conjunto de países menos
desarrollados, el índice de crecimiento,que en el 1990 era del 2% anual, en el 2025 se
reducirá a la mitad. Africa seguirá siendo la zona con el índice de crecimiento más alto
(en 1990 este índice era del 3,1% y para el 2025 se estima que se reducirá al 2,2%). La
población africana se triplicará pasando de 682 millones de personas en 1990 a 1.580
millones de personas en el 2025 y se estima que seguirá creciendo hasta duplicar su
volumen de población en otros 35 años.
232
Políticas de población
Las políticas gubernamentales de población pretenden alcanzar objetivos de desarrollo y
bienestar aplicando medidas que, directa o indirectamente, inciden sobre procesos
demográficos como la fertilidad y la migración. Como ejemplos cabe citar el
establecimiento de la edad mínima reglamentaria para contraer matrimonio, los
programas de divulgación de uso de anticonceptivos y los controles de migración.
Cuando estas políticas se adoptan por razones distintas a las demográficas reciben el
nombre de políticas implícitas.
Los países europeos no tuvieron políticas de población hasta el siglo XX. Se concedían
ayudas a las familias numerosas en países tan dispares como Gran Bretaña,Suecia,
España y la Unión Soviética. Los fascistas italianos en la década de 1920 y los
nacionalsocialistas alemanes en la década de 1930 incluyeron el crecimiento de la
población como parte importante de sus doctrinas. Japón, con una economía comparable
a la de los países europeos, fue el primer país desarrollado en la era moderna que inició
un programa de control de natalidad. En 1948 el gobierno japonés instituyó una política
que incluía la anticoncepción y el aborto para limitar el tamaño de las familias.
Las políticas europeas a favor de la natalidad no tuvieron mucho éxito en la década de
1930 y sus ligeras variantes de las dos últimas décadas no parece que hayan logrado
detener la continua y preocupante disminución de la natalidad. El control gubernamental
de la migración parece que resulta más eficaz. La migración a corto plazo por demanda
de trabajo ha sido una práctica común en Europa occidental y ha dado a los diferentes
países la flexibilidad para reducir la migración durante las recesiones económicas.
Los países hispanoamericanos se plantearon los problemas de población derivados del
mestizaje y la existencia de amplias zonas de escasa presencia humana. "Gobernar es
poblar", fue una consigna generalizada, mientras se planteaban programas de atracción
de colonos, preferentemente europeos, que no siempre llegaban con facilidad. El
vertiginoso crecimiento de los índices de natalidad, las tradiciones y prejuicios
religiosos y familiares, las costumbres de fuerte arraigo, contrarias a la contracepción,
han obligado a todos los gobiernos a desarrollar campañas de información y educación,
a promover el control de la natalidad y los programas de planificación familiar.
233
La India fue el primero de los países en vías de desarrollo que adoptó una política
oficial para ralentizar el crecimiento de su población. El objetivo era facilitar el
desarrollo social y económico reduciendo la carga de una población joven y en
constante crecimiento. Estudios para investigar los conocimientos, actitudes y prácticas
sobre anticonceptivos de la población pusieron de relieve que un alto porcentaje de
parejas no deseaban tener más hijos, aunque algunos ya practicaban una anticoncepción
eficaz. Los programas de planificación familiar fueron considerados como una forma de
satisfacer el deseo de un amplio sector de la población de limitar y controlar la
natalidad.
La reducción del índice de crecimiento en Asia puede atribuirse sobre todo a las
estrictas políticas de control de la población en China. A pesar de su inmensa población,
China ha reducido con éxito los índices de natalidad y mortalidad. Recientemente, el
gobierno está apoyando una política de familias con un solo hijo con el fin de reducir el
índice actual de crecimiento anual del país del 14‰ al 0‰ en el año 2000.
En 1979, más del 90% de la población de los países en vías de desarrollo vivía bajo
gobiernos que, al menos en principio, permitían el acceso a anticonceptivos por razones
de sanidad y garantizaba el derecho a elegir el número de hijos y controlar los intervalos
entre nacimientos. Estudios recientes muestran que en muchos países se están
reduciendo los índices de natalidad y de crecimiento de la población nacional, en parte
gracias a los programas de planificación familiar propiciados por los gobiernos.
CICLO DEL AGUA
1- El agua
El agua está formada por moléculas con tres átomos: dos de hidrógeno y uno de
oxígeno. Esto fue demostrado por Lavoisier y Henry Cavendish entre 1781 y 1783. En
234
estado líquido estas moléculas están apiñadas en forma desordenada. Se pueden mover
libremente pero se mantienen adheridas unas a otras por fuerzas atómicas.
El grado de agitación de las moléculas está relacionado con la velocidad con que se
desplazan (por otra parte con la vibración propia) y tiene estricta relación con la
temperatura. Veamos una molécula de agua H20, su tamaño y disposición,
esquemáticamente:
1Å = 0,00000001 cm
2- El calor
La energía proporcionada por el Sol aumenta la velocidad promedio
de las moléculas. Decimos que entonces subió la temperatura en el
líquido. A temperatura ambiente (unos 20° C) un átomo de oxígeno
viaja por el espacio vacío que le rodea a 1.440 Km/h y uno de
hidrógeno a 5760 km/h en promedio. Notemos algunas cosas:
- Observe que el peso atómico del hidrógeno es 1 y el del oxígeno 16.
Tiene permiso para concluir que cuanto más pesada es una molécula
menos velocidad tendrá.
- A mayor temperatura, mayor velocidad en promedio.
- Si bien los átomos tienden a agruparse y no viajan solo, que es lo
que se calculó, el orden de magnitud es correcto, una molécula de gas
en el aire puede moverse por ejemplo entre los 1.000 y 5.000 km/h.
Pero no realiza mucho trayecto antes de chocarse con otra, entonces
no imagine pequeños proyectiles, sino como pelotitas en una caja de
sorteos de lotería, rebotando de un lado a otro y pegándose entre
ellas.
En definitiva, el calor del Sol agita las moléculas del líquido, sobre
todo las más superficiales.
235
3- El cambio
Imagine ahora la superficie de nuestro líquido calentada por el Sol. Una molécula muy
abundante en el aire, por ejemplo el nitrógeno, choca con la superficie del agua a esas
enormes velocidades. Así golpeadas, las moléculas de agua pueden ser arrancadas del
seno del líquido y quedar libre de la atracción de las otras. A esa molécula libre la
llamamos vapor de agua.
También puede ocurrir, y en general sucede, que la molécula de nitrógeno que chocó se
hunda en el líquido y quede atrapada por éste,aunque esa sea otra historia. Sigamos el
recorrido de nuestra molécula de agua.
Lo más increíble es que todo lo dicho sucede a temperatura ambiente, lo que implica
que la evaporación no es un fenómeno que se dé necesariamente en la ebullición, sino
que es un proceso constante.
Pongamos el caso en el que las moléculas de agua así desprendidas queden merodeando
la superficie. Esto dificulta a las próximas moléculas a evaporarse, ya que habiendo un
techo de vapor aumenta la probabilidad de chocar y tal vez ser atrapadas nuevamente
por el líquido.
Es eso lo que precisamente sucede por ejemplo en un recipiente cerrado donde se llega a
un equilibrio entre moléculas libres y atrapadas. El líquido se encuentra entonces
estable.
Para el caso de la superficie de un lago o del mar sin viento, las moléculas de vapor se
acumulan en la superficie y disminuyen el proceso de evaporación. Una suave brisa
alcanza para arrastrar lejos las moléculas y permitir el incremento de la evaporación.
Conclusión: El viento y el Sol son dos agentes de la evaporación.
236
4- El vapor
Este nuevo estado de libertad de las moléculas conforma el vapor de agua, de
características diferentes de cuando estaban más apiñadas conformando un líquido.
Las moléculas adquieren grandes velocidades chocando entre ellas muchísimas veces
por centímetro de recorrido.
La particularidad del vapor de agua es que es invisible y hay muy pocas moléculas por
metro cúbico. Si lo vemos, entonces no es vapor de agua, sino una pequeña nube de
gotitas.
Pero si el vapor es invisible, y las nubes se ven entonces quiere decir que las nubes no
están conformadas por vapor de agua sino por pequeñas gotas, como las que salen de la
pava al hervir agua.
Surge una pregunta importante: ¿En qué momento el vapor deja de ser invisible? ¿Qué
tamaño hace que una gota se vea? Y lo más importante es ¿Por qué luego de una
determinada medida se hace visible a pesar de que nuestro ojo no pueda ver ni un
tamaño ni otro?
237
5- Las nubes
La respuesta la podemos buscar teniendo en cuenta el hecho de las nubes dispersan la
luz blanca en todas direcciones y por eso se hacen visibles aunque esté formada por
gotas transparentes.
Ahora imaginemos unas micro gotas de agua invisible. Muchas de ellas están en el aire
que nos rodea. Luego crecen un poco más. ¿En qué momento ese grupo de gotas
comienza a hacerse visible, es decir a dispersar la luz?.
El fenómeno de dispersión es bastante complejo, pero basta con decir que la dispersión
aumenta en relación directa con la cantidad de átomos que conforman la gota.
Recordemos que una molécula de agua tiene un diámetro aproximado entre 1 y 2 Å.
A medida que la gota crece, comienza a dispersar más luz hasta que la nube formada
por estas gotitas en crecimiento se vuelve visible.
238
Pero este proceso no sigue en aumento constantemente. Si la gota crece por sobre la
medida de la longitud de onda de la luz, la dispersión no aumenta prácticamente nada en
adelante manteniendo un valor casi constante. ¿Y cuánto vale la longitud de onda de los
colores de la luz? Aproximadamente:
Luz
Longitud
Roja
6.500 Å
Naranja
6.000 Å
Amarilla
5.800 Å
Verde
5.200 Å
Azul
4.700 Å
Violeta
4.000 Å
Observe que el primer color que llega al máximo de dispersión es aquel de longitud de
onda menor: el violeta y azul. Una gota de nube mide aproximadamente entre 100.000
Å y 200.000 Å de radio. En general las gotas dispersarán todos los colores de igual
manera. Pero las moléculas de agua, independientemente de la gota,tienden a dispersar
como ya dijimos los tonos de azul. Y la atmósfera contiene mucho vapor de agua con
esta propiedad dispersiva de la luz: por esta razón vemos el cielo diurno con esta
tonalidad celeste. Por otro lado, la luz que queda sin dispersar y que llega a tierra (a
nuestros ojos), tendrá una marcada componente en los colores del resto del espectro:
amarillo, naranja y rojo. Cuando el rayo de luz tiene que atravesar mucha atmósfera
cargada de vapor, y esto sucede cuando la luz viene rasante desde el horizonte, el efecto
239
de dispersión de los azules deja un extremadamente marcado resto de los colores
complementarios. Así, filtrando el azul, queda ante nuestros ojos el mágico e intenso
rojo fuego del atardecer.
6- Lluvia, nieve y granizo
Si la condensación continúa y las gotas crecen, comenzarán a caer por su propio peso.
Es lo que llamamos lluvia. Una gota de lluvia promedio mide aproximadamente
10.000.000 Å (seguimos con la notación en ángstrom para marcar como se fue
incrementando el tamaño de la molécula de agua de 2 Å hasta la gota).
Es obvio que los dibujos no están a escala, si quisiéramos mantener la escala, no
podríamos usar la misma para la molécula que para una gota, no alcanzaría el tamaño de
ningún papel.
Para notar esto, si agrandáramos la molécula de agua al tamaño de una arveja (unos 8
mm de diámetro), la gota mediría unos 40 kilómetros.
Los mecanismos por los que el agua se condensa no son del todo conocidos. Algunas de
las variables que más se involucran en el proceso son:
- El choque de masas de aire a distinta temperatura.
- La aglutinación alrededor de partículas.
- La formación de cristales a baja temperatura y su posterior derretimiento.
- La acción de vientos en las nubes que produce el choque entre gotitas.
240
Si la gota es arrastrada hacia las alturas con bajas temperaturas, se forma hielo. Las
corrientes ascendentes pueden hacer circular el hielo por dentro de la nube una y otra
vez. Así se forma el granizo, capa por capa.
En cambio si es el cristal no derretido el que se aglutina, caerá a tierra en forma de
nieve.
De esta forma, nuestra molécula de agua, en una gota, cristal o hielo, continúa su ciclo.
7- Reaprovechamiento
Y el agua cae, mojando la tierra, alimentando los ríos o cubriendo de nieve las cumbres
y valles. Favoreciendo la fotosíntesis, permitiendo la vida.
La travesía de algunas gotas incluye el paseo por ríos subterráneos, tal vez se detenga
durante algún tiempo para formar parte de un organismo vivo como el de usted. Pero
tarde o temprano volverá a circular por ese gran recorrido, casi eterno del ciclo del agua.
Quizá se estanque millones de años en algún glaciar o en los hielos polares y despierte
de su letargo para regar los lagos y océanos. Esa circulación de las moléculas de agua se
debe en su mayor parte a la acción térmica del Sol que genera los vientos, propicia la
evaporación y provee a los mares del inmenso movimiento interno de las corrientes
oceánicas. No dejemos de lado a la gravedad, protagonista de esta parte fundamental del
ciclo del agua, de hacer correr los ríos al mar, de hacer caer la lluvia y de evitar que el
agua se pierda por el espacio, aunque un poco siempre termine escapándose.
241
En síntesis, la energía del Sol y la atracción de la gravedad ponen en movimiento este
monumental mecanismo que moviliza a las inanimadas moléculas de agua, tal vez
bebidas por un Tiranosaurio hace millones de años, arrastradas luego por la corriente de
un río montaña abajo, evaporada más tarde y arrastrada por los vientos para ser
precipitada junto a otras moléculas. Así caer en una refrescante tormenta en el
Kilimanjaro y "ver" como generaciones pasan y las especies evolucionan. Observe la
canilla más próxima. La tímida gota que puede estar cayendo ahora cuenta una historia
de variación y repeticiones, es testigo no viviente de una leyenda real que viene
perdurando millones de años.
8- Ciclo
«Todos los ríos van al mar, y sin embargo éste nunca se llena», escribía un sabio en la
Biblia. Y esa es la historia de un ciclo. Aunque vale aclarar que no se trata de un
recorrido tan claro como se suele dibujar, o siguiendo un orden como lo presentamos
aquí. En la mayoría de los libros y enciclopedias figura este esquema donde el agua se
evapora del mar, se condensa en nubes arrastradas por el viento y desciende en forma de
lluvia, llegando por un río de vuelta al mar.
242
A veces la lluvia se evapora antes siquiera de tocar la tierra; éste fenómeno recibe el
nombre de virgas.
También el agua se evapora mientras corre el río, o se condensa en cavernas y formando
el rocío.
Sucede también, como dijimos, que parte de esta masa de agua del planeta queda
estancada miles de millones de años en los hielos polares, nieves eternas y glaciares.
Existen mares cuya evaporación supera el aporte del líquido afluente y de lluvias,
secándose lentamente como el caso del Mar Muerto, que recibe agua en forma constante
y a pesar de no tener salida de agua visible por ningún lado, aún así su nivel no sube,
por el contrario, baja. Está evaporándose paulatinamente.
Marcamos estas excepciones para señalar que el ciclo del agua no es un ciclo tan
prolijo. Simplemente se ordena para ser explicado comenzando en algún punto
arbitrario para concluir, como ahora, en algún sitio donde no cueste demasiado imaginar
qué sucederá a continuación con las inquietas moléculas de agua.
Física - Electrodinámica
1° Un Anillo de radio a tiene una carga Q distribuida uniformemente. Si λ es la
densidad de carga lineal, determina una expresión para el campo creado a lo largo del
eje del anillo a una distancia x del centro y analiza el resultado cuando x = 0 y cuando x
>> a.
243
2° El potencial de cierta región varía según la expresión : V( r ) = 3x2y + 2x3yz-y3z2 V.
Deduce la expresión para el campo eléctrico en dicha región y calcula su valor en el
punto (1,1,1).
Solución: 12,16 N/C
3° Dos cargas de Q1 y Q2, de -2 μC y 2 μC, respectivamente, están situadas en un plano
cuyas coordenadas son (-2,0), la primera, y (2,0) la segunda. Calcula la fuerza ejercida
por esas dos cargas sobre otra carga Q3 de -3 μC, de coordenadas (0,4).
Solución: 2,4•10-3 N
4° Sobre una carga de - 2 μC situada en el origen actúa una fuerza de 0,002 jN. Calcula:
a) El campo eléctrico en dicho origen.
b) La fuerza que actuaría sobre una carga de 10 μC
Solución:
a) -1000 jN/C
b) -0,01 jN
5° Una esfera de 5 g de masa tiene una carga de -4 μC. ¿ Cuál debe ser el campo
eléctrico que habríamos de aplicar para que la esfera permanezca en reposo sin caer al
suelo? Sol: -12250 jN/C
6° Una bolita de corcho de 2 g de masa pende de un hilo ligero que se halla en el seno
de un campo eléctrico uniforme E = (4.i + 3.j).105 N/C. En esa situación, el ángulo que
forma el hilo con la vertical es de 30°. Determina:
a) La carga de la bolita
b) La tensión del hilo.
Solución: 1,97•10-8 C; 0,016 N
244
7° Dos esferas de 5 g están suspendidas de sendos hilos de 20 cm de longitud . Si las
esferas tienen cargas de 3•10-8 C y -3•10-8 C, respectivamente, y se hallan en el seno de
un campo eléctrico uniforme en la dirección del semieje positivo, determina la
intensidad del campo eléctrico cuando el sistema queda en equilibrio y los hilos forman
un ángulo de 15° con la vertical. Sol: 462 841 N/C
8° Dos esferas conductoras tienen por radios 90 y 45 cm respectivamente, y se hallan
cargadas de modo que sus superficies están a un potencial respecto del infinito de V1 =
10 V y V2 = 20 V. Si se encuentran en una zona del espacio vacío y entre sus centros
existe una separación de 10 m , calcula:
a) La fuerza que ejercen entre sí ambas esferas
b) El campo eléctrico en el punto medio de la recta que une sus centros.
c) La carga que quedará en cada esfera si ambas se unen con un cable conductor de
capacidad despreciable.
Solución:
a) 9•10-11 N
b) 0;
c) Q`1= 1,33•10-9 C; Q`2= 0,66•10-9 C;
9° En los puntos (1,0) y (0,1 ) de un sistema cartesiano plano cuyas dimensiones se
expresan en metros existen dos cargas fijas de +1/9 y -1/3 μC, respectivamente.
Determina el trabajo necesario para trasladar una carga de +3 μC, desde el origen de
coordenadas hasta el punto (1,1). Sol: 0
10° Entre dos placas planas y paralelas, separadas 40 cm entre sí, con cargas iguales y
de signo opuesto, existe un campo eléctrico uniforme de 4000 N/C. Si un electrón se
libera de la placa negativa:
a) ¿Cuándo tarda dicho electrón en chocar contra la placa positiva?
¿Qué velocidad llevará al impactar?
245
Solución: 3,3•10-8 s; 2,3•107 m/s
11° Una pequeña esfera de 0,5 g y con una carga de 6 nC cuelga de un hilo. Cuando el
sistema se introduce entre dos placas planas verticales y cargadas, separadas entre sí 10
cm, se observa que el hilo forma un ángulo de 15° con la vertical. ¿Cuál es la diferencia
de potencial existente entre las placas?
Solución: 21882,5 v
12° Un campo eléctrico uniforme de valor 200 N/C tiene la dirección del eje X. Si se
deja en libertad una carga de 2 μC, que se encuentra en reposo en el origen de
coordenadas:
a) ¿Cuál será la variación de energía potencial cuando la carga se encuentre en el punto
(4,0)?
b) ¿Cuál será su energía cinética en ese punto?
c) ¿Y la diferencia de potencial entre el origen y el punto (4,0)?
Solución: -1,6•10-3 J; 1,6•10-3 J; -800V
13° Se tiene un plano de grandes dimensiones con una densidad superficial de carga de
3•10-9 C/m2; calcula:
a) el campo eléctrico uniforme que genera
b) El trabajo que se realiza al desplazar una carga de -2 μC desde el punto A, a 2 cm de
la placa , hasta el punto B, a 8 cm de la misma.
Solución: 169,6 N/C; 2•10-5 J
14° Si se coloca de forma vertical una superficie plana cargada uniformemente y se
cuelga de ella mediante un hilo de seda de masa despreciable, una esfera de 2 g con una
carga de 4 nC, observamos que el ángulo que se forma son 35°. ¿Cual es la densidad
superficial de carga de dicha superficie?
Solución: 6•10-5 C/m2
246
Física - Optica
ESPEJOS Y LENTES
REFLEXION DE LA LUZ
La luz tropieza con la superficie de un cuerpo cualquiera, es difundida parcial o
totalmente en todas las direcciones posibles. No ocurre lo mismo cuando la superficie
del cuerpo está totalmente pulimentada. Entonces, la superficie devuelve el luminoso en
una dirección única que depende de la posición rayo con respecto a está superficie: se
dice que el rayo se ha reflejado, y que la superficie reflectora es un espejo. La forma
sencilla de los espejos es de un plano. La naturaleza nos ofrece un ejemplo en la
superficie de los lagos o de las aguas tranquilas, y el hombre, desde la épocas más
remotas, ha construido espejos de metal pulimentado. Mucho más tarde se fabricaron
espejos de vidrio o de cristal, que reflejaban la luz mediante una a de amalgama de
estaño (estaño disuelto en el mercurio, estaño de los espejos) y solamente hace menos
de un siglo se ha reemplazado el estaño por una capa delgada de plata depositada por
vía química.
Es sabido que los cristales o espejos planos producen, de los objetos situados delante de
ellos, imágenes semejantes a dichos objetos. Estudiando el mecanismo de formación de
estas imágenes llegaron los sabios de la Antigüedad al descubrimiento de las leyes de la
reflexión, que se encuentran ya formuladas, por ejemplo, en el tratado de Euclides: La
Catóptrica (300 años antes de J.C., aproximadamente).
IMAGENES PRODUCIDAS POR UN ESPEJO PLANO
Tracemos un círculo y diámetro en un plano horizontal y dispongamos después
verticalmente un espejo no plateado a lo largo del diámetro. Tomemos después dos
bujías del mismo diámetro y de la misma longitud, una de las cuales se colocará en el
círculo ante un espejo, que nos dará, por reflexión, su imagen. Procuremos entonces
colocar la segunda bujía de forma que se superponga a la imagen observada en el
espejo, lo que se logrará después de algunos tanteos, con tanta exactitud, que será
imposible distinguir la segunda de la imagen de la primera. La ilusión es tan perfecta
que si se enciende la bujía situada ante el espejo, la segunda parecerá también encendida
y el dedo que toca la mecha parecerá situado en la llama. (Figura 1)
247
Fig. 1
Cuando se ha obtenido esta coincidencia entre la segunda bujía y la imagen de la
primera, se comprueba que la bujía número dos está también situada en el circulo, en la
intersección de la perpendicular trazada desde la bujía numero no sobre el diámetro.
Esta disposición es sólo la simetría con respecto a un plano - el espejo - que se estudia
en geometría. Se observa, además, que las distancias de las bujías al espejo son iguales,
y que la imagen es también igual al objeto.
Dicho de otra forma, los rayos luminosos, después de reflejados por un espejo plano,
parecen proceder de puntos del espacio situados detrás del espejo y simétricos del
objeto. Un rayo luminoso trazado desde el punto A que llega al espejo M en el punto I
se refleja según IR,como si viniera del punto A ´, sobre la perpendicular AH, tal como
A ´ H = AH. (Fig. 2)
Fig. 2
Tracemos en la I la perpendicular IN, llamada también normal, al plano del espejo : el
rayo Al se denomina rayo incidente. I es el punto de incidencia ; el plano AlN,
perpendicular al espejo y es que contiene a la vez el rayo y la normal, se denomina
plano de incidencia, el ángulo AlN será el ángulo de incidencia î, mientras que el ángulo
RIN, que forma el rayo reflejado y la normal, se denomina ángulo de reflexión r.
PRIMERA LEY DE LA REFLEXION. Los triángulos rectángulos AHI y A ´ HIR, que
tienen un cateto común Hl y los otros dos lados iguales, AH = A ´ H, son iguales. Los
ángulos HAI y HA ´ I son también Iguales, pero los ángulos r y HA ´ I por
correspondientes; por consiguiente, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de
reflexión, que es la segunda ley de reflexión.
248
PROPIEDADES DE LAS IMAGENES PRODUCIDAS POR LOS ESPEJOS
PLANOS
Los rayos reflejados por los espejos planos parecen proceder de imágenes- situadas
detrás de dichos espejos: las imágenes carecen de existencia real, y se dice que son
virtuales.
Consideremos ahora un rayo incidente RIA ´ dirigido hacia A ´ es detenido por el
espejo en I y reflejado según IA de forma que A puede también considerarse como una
imagen, esta vez real, del objeto virtual A.
El hecho que la luz pueda circular a lo largo de los rayos luminosos, en ambos sentidos,
sin que se cambie de trayecto, es muy importante y constituye lo que se denomina
principio del retorno inverso de la luz.
Se verá más adelante que un sistema óptico cualquiera, una imagen y su objeto son
conjugados, es decir, que si se coloca un objeto. Si rayos luminosos que convergen en el
mismo punto son detenidos por un espejo plano, convergerán después de reflejados,
formando un verdadero punto luminoso, que es entonces una imagen real.
Las imágenes producidas por loe espejos planos tienen las mismas dimensiones que los
objetos correspondientes, pero de ellos no se deduce que sean iguales. El objeto y la
imagen no pueden superponerse, pero son simétricos con respecto a un plano como lo
son la mano derecha y la mano izquierda; como se sabe, no es posible introducir la
mano derecha en un guante izquierdo, ni inversamente. Resulta, pues, que un texto
escrito o impreso no puede leerse mediante reflexión en un espejo; pero si los rayos
luminosos se reflejan nuevamente en un segundo espejo, la imagen sufre una segunda
inversión; así, un texto se hace legible mediante dos reflexiones.
CAMPO DE ESPEJO
Un espejo no da solamente la imagen de una parte restringida del espacio situado ante
él; la experiencia muestra que esta porción, visible por reflexión, denominada campo del
espejo, depende a la vez de la posición del observador y de las dimensiones del espejo.
En efecto, los únicos rayos incidentes que penetran en el ojo O del observador, previa
reflexión, son evidentemente los dirigidos hacia O ´, imagen de O en el espejo. Los
249
únicos objetos visibles en el campo del espejo son, pues, los que están situados en el
interior del tronco de cono o de pirámide, de vértice O ´, circunscrito al espejo. (Fig.. 3).
Fig. 3
ESPEJOS PARALELOS
Consideremos que dos espejos planos M1 y M2 exactamente paralelos, cuyas caras
reflectoras están orientadas hacia el objeto situado entre ambos. El observador situado
hacia A ve un número imágenes tanto mayor cuanto más largos son los espejos. (Fig. 4).
Fig. 4
En efecto, un rayo luminoso como el R1 es reflejado por el espejo M1 como si
procediera de la imagen O ´ 1 simétrica de O con respecto al plano M1 después
encuentra el segundo espejo M sobre el cual se refleja de nuevo como si procediera de
la imagen O ´ 1 producida por M2 es decir, de O ´ 1/2 en el espejo M1 y, por
consiguiente, de O1,2,1; una nueva reflexión puede producirse sobre M2, etc., pero existe
otra segunda serie. En efecto, un rayo como R2 que incidiera primeramente sobre el
espejo M2 se alejaría como si procediera de la imagen O" 2.1.2 etc.
Todas estas imágenes están alineadas sobre una misma recta perpendicular a los dos
lados de los espejos que pasan por O. Es fácil ver que están dispuestas alternativamente
de cara y de espalda, y que las distancias entre ellas son alternativamente 2a y 2b si a y b
son las distancias del objeto O a los espejos M1 y M2 respectivamente.
250
Cuando los dos espejos no son exactamente paralelos, las imágenes están ya alineadas
sobre una misma recta, sino sobre un circulo radio más o menos grande; esta
observación permite ajustar el paralelismo de los espejos.
ESPEJOS ANGULARES
Supongamos ahora que los espejos M1 y M2 sean rectangulares:
Encontraremos, como en el caso anterior, dos series de imágenes, pero en un número
muy limitado, debido a que: un rayo luminoso trazado desde el objeto O no puede sufrir
más que dos reflexiones, en los casos más favorables, y 2°, ciertas imágenes coinciden.
El rayo luminoso R1 se refleja sobre M1 (Fig. 5).
Fig. 5
Como si procediera de la imagen O ´ 1 después de encontrar M2 es reflejado en
dirección de la imagen O ´ 1,2, y no puede sufrir otras reflexiones, antes de ser recibido
por el observador. Un segundo rayo como el R 2 que se refleja primeramente en M
2procedente
de la imagen O ´ 2 cae después sobre el espejo M1, por e que es reflejado de
nuevo como si procediera de la imagen O ´ 2,1, simétrica de O ´ 2 con respecto al plano
M1. Es evidente que las imágenes O ´ 1,2 y O ´ 2,1 coincidan en posición y sentido, y
que, además, las tres imágenes del objeto están situadas sobre un mismo circulo de
centro C y radio CO. Si el ángulo que forman los espejos no es exactamente de 90 °, las
dos imágenes O ´ 1,2 y O ´ 2,1 ya coinciden; su distancia es tanto mayor cuanto más
difiere de 90° el ángulo que forman los espejos. Así se tiene un procedimiento cómodo
para ajustar la perpendicular de dos espejos.
Consideremos el caso en que el ángulo de los espejos es de 60°. La (Fig. 6)
251
Fig. 6
muestra que se observan entonces cinco imágenes situadas e un circulo que pasa por el
objeto. De una manera general, si el ángulo de los espejos es 1/n de circunferencia, el
número de imágenes es n - 1. Por ejemplo, para el ángulo de 45°, que es de 1/8 de
circunferencia, habrá 8 - 1 = 7 imágenes.
CALEIDOSCOPIO
Este instrumento, debido al físico inglés Sir David Brewster (1818), es una aplicación
de los espejos angulares. En un cilindro bastante largo se introducen dos espejos, que
forman entre si un ángulo de 60° Uno de los fondos del tubo cilíndrico está constituido
por un vidrio de color, barbas de plumas, etc., cuyas posiciones relativas pueden variar
sacudiendo el instrumento o golpeando ligeramente el tubo. El observador mira los
objetos y sus imágenes a través de un agujero pequeño perforado el otro lado del tubo.
Las imágenes, a causa de su simetría, forman motivos decorativos susceptibles de
interesar a los dibujantes. (Fig. 7)
Fig. 7
ESPEJO TRIPLE
Se disponen tres espejos planos, perpendiculares entre si, de forma que se constituyan
un triedro trirrectángulo. En una habitación, dos paredes continuas y el suelo forman un
triedro trirrectángulo).
252
Un rayo luminoso que incida en uno de los tres espejos sufre varias reflexiones, siendo
finalmente devuelto, paralelamente a su dirección primitiva, hacia la fuente luminosa.
Esta propiedad no depende de la orientación del triedro con respecto al rayo (Fig.8).
Fig. 8
Este sistema de espejos se utiliza en las señalizaciones. Una de as estaciones está dotada
de un proyector orientado hacia el espejo triple, colocado en la segunda estación. Los
rayos luminosos, después de sufrir una reflexión, regresan hacia el proyector y sólo
pueden ser recogidos por los vigías de la primera Estación. Los señalizadores de la
segunda estación corresponden con la primera estación maniobrando ante el espejo
triple una pantalla opaca con un arreglo a un código convenido; los de la primera
estación pueden responder maniobrando una pantalla situada ante su proyector.
ESPEJO GIRATORIO
Cuando gira un espejo plano, los rayos reflejados son desviados e imagen se desplaza;
se estudiara sólo el caso más simple, que es también el más importante, el de un espejo
que gira alrededor de un eje situado en un plano.
Cuando el espejo M gira del ángulo â alrededor del eje I, el rayo reflejado IR toma la
dirección IR1 obtengamos el valor del ángulo RIR1. La normal IN en el punto de
incidencia ha girado también el ángulo â y se encuentra en IN1 el ángulo de incidencia î
+ NIN1 = = î + â; con arreglo a ley de la reflexión, este valor es también el de nuevo
ángulo r1 = N1IR1, pero (Fig.9)
Fig. 9
253
N1IR1 = NIR - NIN 1 = NIR + RIR 2- NIN
o î + a = î + RIR1 - â
es decir RIR1 = 2ª
Así pues, el rayo reflejado gira de un ángulo exactamente doble espejo. Más adelante se
verá la aplicación de este resultado a medida del ángulo.
En cuanto a la imagen O ´ del objeto O es arrastrada por la rotación espejo hacia O ´
1Como
las distancias Ol y O ´ 1I son ambas iguales a 0I, resulta que la imagen O ´ se
desplaza sobre una circunferencia de centro I y de radio I0 (Fig. 10).
Fig. 10
Cuando se desplaza un espejo plano permaneciendo paralelo a si mismo (traslación) por
ejemplo de M a M1 muestra la figura que la del punto 0 que va desde O ´ a 0 ´ 1 se
desplaza el doble: O ´ 01 = 2MM1 (Fig.11)
Fig. 11
HELIOSTATOS
Entre las numerosas aplicaciones de los espejos planos pueden citarse los helióstatos.
Los rayos solares muy intensos pueden utilizarse con provecho para iluminar
instrumentos de física o de observación. Para ello basta con enviarlos, mediante un
espejo, en la dirección escogida, pero es necesario modificar continuamente la posición
de este espejo para compensar el desplazamiento del sol en horizonte, desplazamiento
254
que varia con la hora y la latitud del lugar. Se han construido instrumentos denominados
helióstatos en los cuales un mecanismo accionado por un pequeño reloj mantiene los
rayos reflejados por el espejo en una dirección fija.
ESPEJOS ESFERICOS.- Entre los espejos cuya superficie reflectora es curva, los más
sencillos de construir son los espejos esféricos. Casquetes esféricos de metal o vidrio
plateado, que pueden clasificarse en dos grupos, según que la superficie reflectora sea
hueca o bombeada: espejos cóncavos y espejos convexos, respectivamente. Se
denomina eje óptico principal la recta que por el centro C de la esfera, es perpendicular
al plano base el casquete y atraviesa el espejo en el polo o vértice S. (Fig. 12)
Fig. 12
ESPEJOS CONCAVOS. En el estudio de estos espejos seguiremos la misma marcha
que en el de los espejos planos, empezando por determinar experimentalmente la
naturaleza, posición y magnitud de sus imágenes.
La abertura del espejo o su diámetro AB del circulo base; su abertura angular es el
ángulo ACB Nos limitaremos en nuestro estudio a los espejos de pequeña abertura, con
diámetro inferior a la mitad del radio de la esfera, que corresponde a un ángulo menor
que 20 a 25°.
1. Tomemos un objeto muy luminoso situado a gran distancia del espejo; suele decirse
en este caso que el objeto está infinitamente alejado del espejo o que está situado en el
infinito (para ello basta que el objeto esté situado a una distancia comprendida entre 50
a 100 veces el radio de curvatura del espejo). Podrá utilizarse para ello una lámpara
eléctrica. Tratemos de recoger los rayos reflejados sobre una pequeña pantalla de cartón
blanco, y comprobemos que la mitad la distancia entre el centro de espejo y su vértice
se tiene una imagen muy clara, pero muy pequeña, e invertida, de la lámpara y de los
objetos situados a su alrededor; el máximo de nitidez se obtiene cuando la pantalla está
situada perpendicularmente al eje óptico que pasa por la lámpara. Este plano en el que
255
se encuentran las imágenes de todos los puntos infinitamente alejados, se denomina
plano focal del espejo.
2. Aproximemos el objeto al espejo, de forma que la imagen permanezca al principio en
el plano focal, después, a medida que el objeto se aproxima al objeto.
3. La imagen de la pantalla es siempre invertida, y aumentada cada vez más. (Fig. 13).
Fig. 13
El ramillete mágico (El espejo da una imagen real derecha del ramo invertido y la
maceta vacía parece una maceta de flores)
4. Cuando el objeto llega al plano frontal (perpendicular al eje óptico) que pasa por el
centro C del espejo, la pantalla donde recoge la imagen debe estar también colocada en
el mismo plano; esta imagen, siempre invertida (Fig. 14), tiene exactamente la misma
dimensión que el objeto.
Fig. 14
5. Si continúa aproximándose el objeto, la imagen sigue alejándose cada vez más
rápidamente, llegando a ser, siempre invertida, mayor que el objeto.
6. Cuando el objeto se encuentra en el plano focal, la imagen se encuentra en el infinito
su dimensión es enorme y, por consiguiente, es muy poco luminosa. Encontramos en los
256
párrafos 4 y 5 resultados conformes con el principio del retorno inverso de la luz
relativo a la intercambiabilidad de la imagen y el objeto.
7. Cuando el objeto sobrepasa el plano focal, aproximándose al espejo, no es posible
recoger la imagen en una pantalla; la imagen, que hasta ese momento era real, se hace
virtual. Si nos colocamos de forma que recibamos en el ojo una parte de los rayos
reflejados, observamos una imagen todavía mayor que el objeto, pero del mismo
sentido, es decir, derecha, y que disminuye cuando el objeto se aproxima al espejo (Fig.
16)
Fig. 16
El espejo cóncavo puede dar, pues, imágenes reales y virtuales. Las imágenes y el
objeto se desplazan siempre en sentido inverso.
Es posible, valiéndose de los resultados de las experiencias precedentes, trazar una
curva que permita encontrar la posición de la imagen, conocida la del objeto, o
inversamente. Tomemos dos es de coordenadas rectangulares SP y SP ´ (Fig. 16). Sobre
el eje abscisas SP se llevan las distancias p del objeto al vértice del objeto, y sobre el eje
de ordenadas SP ´ las distancias correspondientes p ´ de la imagen del espejo. La curva
que une los representativos obtenidos pasa por el punto de coordenadas p = R y p ´ = R
la curva es una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son paralelas a los ejes de
coordenadas, a la distancia R denomina distancia o longitud focal f la mitad del radio de
altura R del espejo.
También se puede representar por una curva el aumento lineal, es decir, la relación entre
las dimensiones de la imagen y el objeto a las diversas distancias p del objeto al espejo.
Para ello a con medir la imagen en la pantalla. Esta relación será negativa cuando la
257
imagen sea invertida, como sucede cuando p varia entre f y el infinito, forma se obtiene
una rama de otra hipérbola.
DE LOS ESPEJOS CONCAVOS.
Aplicando las leyes de la reflexión a los espejos esféricos cóncavos es posible obtener la
dirección de los rayos reflejados, debiendo llegarse de nuevo, mediante razonamiento, a
los resultados de las experiencias anteriores, la teoría permitirá establecer, además,
fórmulas matemáticas y construcciones gráficas que fijen la posición, la dimensión y el
sentido de la imagen.
Sea M un espejo esférico (Fig. 17) de centro C y vértice S, y consideremos un rayo
incidente Al procedente del objeto A, situado cerca del eje óptico, y que encuentra el
espejo en I.
Fig. 17
Para determinar el ángulo de incidencia que traza la normal a la superficie en el punto I;
como en una esfera los radios son perpendiculares a los planos tangentes, estos radios
son:, por consiguiente, las normales buscadas. El rayo reflejado IR tendrá, pues, que: 1)
Estar en el plano AIC, que tomaremos como palmo de la figura, y 2) Formar con IC un
ángulo igual al AIC. Para encontrar más fácilmente la dirección del rayo reflejado, se
traza por el centro C un radio CS ´ paralelo al rayo luminoso incidente Al (CS ´ es un
eje óptico secundario). El rayo reflejado IR corta CS ´ . En efecto, los ángulos AlC y
ICS ´ son iguales por alternos internos, y el triángulo ICF ´ es isósceles,siendo FC = IF
´ . Si se traza desde F ´ la perpendicular F ´ H a IC se tendrá: IH = HC R/2 siendo R el
radio de la esfera; en el triángulo IF ´ C, F ´ C difiere muy poco de C, y por lo tanto, de
R/2 y F ´ está muy cerca del punto medio de S ´ C. En el triángulo H C F ´ HC/2 = F ´
C.cos î
ICF ´, por lo que, si î es el ángulo de incidencia:
258
HC = R/2 = F ´ C.cos î
FC = R/2.cos î
En virtud de la hipótesis que hemos formado, la abertura del espejo la semiabertura
angular es pequeña, y el ángulo î = ICS ´ es inferior a la semiabierta angular, y por
consiguiente menor de 10%; es decir, cos î está comprendida entre Cos 0° y Cos. 10°, o
sea entre 1 y 0,985.
F ´ C, que es igual a R/2, cuando î es muy pequeño y próximo de 0° aumenta
ligeramente hasta R/2, cuando î vale 10°, que es ya un ángulo notable.
CONVEXOS
Son espejos esféricos que reflejan los rayos por su cara convexa. Comprueba
inmediatamente que es imposible obtener imágenes reales de los objetos que se colocan
ante tales espejos; sólo dan imágenes virtuales derechas y más pequeñas que el objeto.
TEORIA DE LOS ESPEJOS CONVEXOS
Los rayos paralelos se reflejan como si procedieran de un foco situado en el eje
secundario paralelo a los rayos incidentes, pero este foco es, en este caso, virtual, y los
rayos reflejados divergen.
Puede hacerse nuevamente sobre la figura el mismo razonamiento que en el caso de los
espejos cóncavo.
Un punto A tiene su imagen virtual A ´ en el eje secundar o AC.
Se hará de SB = p, SB ´ = p, observando que si se escoge como sentido positivo el
inverso de la luz incidente (es decir, desde S hacia A tanto p, como la longitud focal SF
son negativos, se obtiene en nuevo la relación.
Fig. 18
259
1/P + 1/P ´ = 1/f
ESPEJOS PARABOLICO
Hemos visto que cuando la abertura de un espejo esférico se hace a vez mayor, los rayos
paralelos dirigido hacia los bordes del espejo (rayos marginales) pasan al reflejarse por
puntos que se separan cada vez más del foco (rayos centrales). Esta desviación
denomina aberración de esfericidad, y es del
1,5 por ciento para abertura de 20°
3,5 por ciento para abertura de 30°
6,4 por ciento para abertura de 40°
12,1 por ciento para abertura de 60°
Esta aberración es la que hace que los espejos cóncavos no puedan utilizarse en los
proyectores de ciertos telescopios, por lo que emplean espejos cuya superficie es un
paraboloide de revolución. Los espejos son los denominados parabólicos, porque su
superficie la engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva nominada
parábola. La propiedad fundamental de esta curva es la siguiente (Fig. 19)
Fig. 19
Sobre el eje de simetría de la curva existe un foco F tal que un rayo vector FI cualquiera
forma con la normal de la curva IN un ángulo igual al que forma una paralela IR al eje
con la misma normal.
Esta propiedad nos permite asimilar FI a una rayo luminoso incidente, e IR al rayo
reflejado, o inversamente. Por consiguiente, no se produce aberración alguna en el foco
de estos espejos, a los cuales pueden darse una gran abertura. Los proyectores de los
automóviles son espejos parabólicos en cuyos focos se colocan pequeñas lámparas
260
eléctricas de filamentos muy cortos, que constituyen fuentes luminosas puntuales.
Gracias al excelente rendimiento de estos espejos, de gran abertura, el alcance y la
luminosidad de estos faros son considerables.
LA LONGITUD FOCAL DE UN ESPEJO ESFERICO.
Si se conoce el radio de curvatura R se tendrá inmediatamente f = R/2. En el caso de un
espejo cóncavo bastará:
1) Medir la distancia p de un objeto y la p ´ de su imagen al espejo, y aplicar después la
fórmula
1/P + 1/P ´ = 1/f
Es ventajoso tratar de obtener la imagen en el mismo plano que el porque entonces p =
p ´ = 2f;
2) Medir el diámetro de la imagen focal del sol:
F = 0,0093
Fig. 20
LENTES
DIOPTRIO ESFERICO.- Es estudio de la refracción de un rayo luminoso a través de
una superficie esférica (porción de esfera o casquete esférico) que separa dos medios
refringentes diferentes es importante porque permite establecer fácilmente la teoría de
los lentes.
Puede construirse un dioptrio esférico tallando una superficie esférica en el extremo de
una varilla de vidrio cilíndrica. Un medio todavía más simple consiste en pegar en a
extremidad de un vidrio de lámpara cilíndrica un vidrio de reloj esférico delgado.
261
El sistema, mantenido verticalmente, se llena de agua (Fig. 1)
Fig. 1
FORMULA DEL DIOPTRIO. Toda da recta que paso por el centro de la esfera es un
eje óptico. Consideremos un punto luminoso P (Fig. 2), que forme con el centro de la
esfera el eje óptico PO. Demostraremos que un rayo luminoso cualquiera como el PI,
siempre que forme con el eje óptico un ángulo que no exceda de algunos grados,se
refracta según IP ´, pasando por un punto fijo P ´ del eje óptico. Este punto es, por
consiguiente, la imagen del punto objeto P.
Fig. 2
VERIFICACION EXPERIMENTAL
La fórmula del dioptrio puede verificarse utilizando el dispositivo el vidrio de lámpara
llena de agua. El objeto será una lámpara eléctrica; se buscará la imagen utilizando un
pequeño vidrio esmerilado sumergido en el agua y manteniendo en el extremo de una
ranura metálica.
Se comprobará fácilmente que un pequeño objeto perpendicular al eje óptico tiene una
imagen también perpendicular a este eje. Una construcción geométrica sencilla permite
obtener la imagen cuando se conoce la posición de los focos F y F ´. (Fig. 3)
262
Fig. 3
Un rayo procedente del punto A y paralelo al eje óptico se refracta, como si procediera
de un punto infinitamente alejado, pasando por el foco F ´ Análogamente, un rayo
incidente AF que pase por el foco-objeto, se refracta paralelamente al eje, porque la
imagen de F está infinitamente alejada de S.
Esos dos rayos refractados se cortan en A, imagen el punto A, y la imagen del objeto
AB es A ´ B. Pueden observarse que el rayo incidente AO, que pasa por el centro de la
esfera, se refracta sin desviación y alcanza A ´.
LENTES ESFERICAS DELGADAS
Se denominan lentes sólidos de materia transparente: vidrio, cristal,cuarzo, sal gema,
etc., que constan de dos caras, que son casquetes esféricos, o bien una cara plana y otra
esférica. El borde de los lentes suele ser, por lo general, circular, pero puede también
tener otra forma; por ejemplo, los cristales de los antiguos anteojos eran ovalados o
elípticos. Se denomina eje óptico de una lente la recta que pasa por los centros O y O ´
de las dos esferas que limitan la cara, o la recta que pasa por el centro de la esfera
perpendicular a la cara plana. Este eje atraviesa la lente en dos puntos S y S ´
denominados vértices. (Fig. 4).
Fig. 4
Pueden ocurrir dos casos: o bien el espesor de la lente en el centro, es decir, la distancia
SS ´ entre los vértices es superior al espesor del borde, en cuyo caso se dice que la lente
es convergente, o bien, inversamente, el espesor en el centro SS ´ es menor que el borde,
263
y entonces la lente es divergente. En cada tipo de lente se encuentran tres formas
posibles, que tienen nombres particulares y que describiremos a continuación,
agrupándolas en un cuadro para mayor claridad. (Fig. 5).
Fig. 5
1. Biconvexa; 2. Planoconvexa; 3. Menisco convergente, Bicóncava; 5. Planocóncava;
6. Menisco divergente.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LAS LENTES CONVERGENTES
1) Dirijamos la lente hacia objetos muy alejados, pero bien iluminados. Sobre una
pantalla de papel o cartón blanco, o sobre un vidrio esmerilado, podrá obtenerse una
imagen real invertida y muy pequeña de los objetos. Los rayos luminosos que han
atravesado la lente convergen en la pantalla colocada detrás de la misma, a una distancia
determinada que se llama, en este caso, distancia o longitud focal (figs. 5 y 6). El plano
en el que está situada la pantalla es el plano focal, es atravesado por el eje óptico en un
punto especialmente importante: el foco principal imagen (los restantes puntos del plano
focal en los focos secundarios).
FIG. 5
264
FIG. 6
Si se invierten las caras de la lente (delgada), el plano focal vuelve a encontrarse a la
misma distancia.
2) Aproximemos el objeto a la lente. Sea este objeto, por ejemplo, una bujía o una
lámpara cualquiera. Se comprueba que es necesario alejar la pantalla para obtener una
imagen neta, siempre invertida, pero mayor que la anterior. (Fig. 6 [2]).
3) Cuando el objeto está situado a una distancia de la lente exactamente igual al doble
de la longitud focal, hay que colocar la pantalla detrás de la lente, a una distancia
también doble de la longitud focal. La imagen, que continúa siendo invertida, tiene
entonces la misma dimensión que el objeto (Fig. 6 [3]).
4) Continuemos aproximando el objeto a la lente; la imagen se aleja cada vez más y
continúa aumentando, siempre invertida (Fig. 6 [4]).
5) Cuando la distancia del objeto a la lente es igual a la longitud focal, ya no puede
recogerse su imagen en la pantalla, por estar demasiado alejada: se dice que la imagen
está en el infinito. Nos encontramos entonces en el caso inverso al primero. El objeto es
el que ocupa el plano focal situado adelante de la lente (plano foco-objeto) y la imagen
está infinitamente alejada. A este plano focal le corresponde un foco principal objeto
(Fig. 6 [5]).
6) Acerquemos el objeto todavía más, situándolo entre el foco y la lente: no podrá
obtenerse imagen alguna sobre la pantalla, cualquiera que sea la posición de está ultima.
No obstante, si nos colocamos detrás de la lente, divisaremos al mismo lado que el
265
objeto una imagen aumentada y del mismo sentido que el objeto, es decir, una imagen
virtual y derecha (Fig. 6 [6]).
LENTES DIVERGENTES.
Seguiremos en el estudio de estas lentes la misma marcha que en el caso de los
convergentes. No es posible recoger en una pantalla la imagen de un objeto real,
cualquiera que sea su posición con respecto al lente.
Es posible, no obstante, ver esta imagen 1 que parece situada al mismo lado que el
objeto con respecto a la lente, y más cerca de esta última; por consiguiente, es virtual y
derecha, del mismo sentido que el objeto. Existe, también, un plano focal-imagen
virtual, en el que se encuentran situadas las imágenes de los puntos infinitamente
alejados de la lente. Los dos focos principales equidistantes también de la lente, pero
están invertidas, por hallarse el foco-objeto F a la derecha, si el sentido de la luz es de
izquierda a derecha, y el foco-imagen F a la izquierda.
DEFECTOS DE LAS LENTES
Las lentes, incluso delgadas, presentan defectos, denominados también aberraciones.
Estas aberraciones pueden manifestarse de diferentes formas, según las propiedades que
traten de obtenerse:
1) Si se desea obtener de un punto-objeto una imagen lo más fina posible (como
sucederá con los anteojos astronómicos), habrá que corregir la aberración de esfericidad
del sistema óptico. Esta aberración se manifiesta de que por el hecho que los rayos
refractados por los bordes de la lente (rayos marginales) cortan el eje óptico en puntos
que están más cerca de la lente que los rayos centrales. (Fig. 7). Es posible suprimir está
aberración con una sola lente, ya que depende del índice del vidrio, de los radios de
curvatura (forma de la lente), de su orientación con respecto a la luz incidente y de la
distancia del objeto. Es mínima para un objeto situado en infinito cuando el radio de la
cara de entrada es seis veces menor que el de la cara de salida. En la práctica, se toma la
forma planoconvexa. Para suprimir la aberración de esfericidad, hay que utilizar varios
lentes.
266
2) Una de las aberraciones más molestas de /as lentes es la aberración cromática;
consideraremos una lente convergente que da en su foco la imagen de una fuente
luminosa blanca muy alejada. Los bordes de la lente, actuando como prismas de ángulos
pequeños (Fig. 8). Desvían más los rayos rojos, de donde (Fig. 7 y 8). Desvían más los
rayos rojos, de donde resulta que el foco de los rayos azules y violeta se encuentran más
cerca de la lente que el foco de los rayos rojos.
Fig. 7 y 8
Si se coloca una pantalla en la posición 1, se obtendrá una mancha circular con bordes
rojos. En la posición 2, la mancha tendrá un diámetro mínimo, pero sus bordes estarán
todavía coloreados, produciendo la superposición del violeta y el rojo púrpura y rosa
Pálido. En la posición 3, aparecerá en la pantalla una mancha circula con borde violeta.
La distancia entre los focos de los rayos rojos y los rayos azules es relativamente
considerable, variando según la naturaleza del vidrio entre 1/60 y 1/30 de la longitud
focal.
Para corregir esta aberración y obtener lentes acromáticas, se adhieren a lentes
convergentes talladas en vidrios poco dispersivos, denominados crowns, lentes
divergentes de vidrios muy dispersivos, los flints, constituidos a base de silicato de
plomo, como el cristal. En la figura 9 pueden verse tipos de lentes acromáticas
corregidas también de la aberración de esfericidad.
3) Las otras aberraciones tiene de particular que dependen no solamente de la posición y
de la abertura del diafragma que pueda acompañar a la lente. En primer lugar, la imagen
de un objeto plano perpendicular al eje óptico es una superficie curva de revolución
alrededor de este eje. sobre una pantalla plana perpendicular al eje se recibe la imagen
de un cuadrado, puedo obtenerse una figura cuyos lados son más o menos abombados
267
en forma de la media luna, o bien en forma de tonel (figura 10), esta aberración se llama
distorsión, y es debida a que aumento lineal varia al alejarse del eje.
Fig. 9 y 10
Señalaremos, finalmente, la última aberración: el astigmatismo, que se manifiesta
principalmente si se toma como objeto un plano en el que han trazado círculos centrados
en el eje y radios salidos del centro. Es imposible ajustar en una pantalla plana (figuras
11 y 12), círculos y radios al mismo tiempo.
Fig. 11 y 12
Se logra corregir más o menos todas estas aberraciones utilizando varios lentes de
vidrios diferentes adheridas o separados por intervalos de aire, y disponiendo el
diafragma convenientemente, ya delante, detrás o entre los lentes.
Física - Optica
OPTICA
Rama de la física que se ocupa de la propagación y el comportamiento de la luz. En un
sentido amplio, la luz es la zona del espectro de radiación electromagnética que se
extiende desde los rayos X hasta las microondas, e incluye la energía radiante que
produce la sensación de visión. El estudio de la óptica se divide en dos ramas, la óptica
geométrica y la óptica física.
268
Naturaleza de la luz
La energía radiante tiene una naturaleza dual, y obedece a leyes que pueden explicarse a
partir de una corriente de partículas o paquetes de energía, los llamados fotones, o a
partir de un tren de ondas transversales (Movimiento ondulatorio). El concepto de fotón
se emplea para explicar las interacciones de la luz con la materia que producen un
cambio en la forma de energía, como ocurre con el efecto fotoeléctrico o la
luminiscencia. El concepto de onda suele emplearse para explicar la propagación de la
luz y algunos de los fenómenos de formación de imágenes. En las ondas de luz, como
en todas las ondas electromagnéticas, existen campos eléctricos y magnéticos en cada
punto del espacio, que fluctúan con rapidez. Como estos campos tienen, además de una
magnitud, una dirección determinada, son cantidades vectoriales. Los campos eléctrico
y magnético son perpendiculares entre sí y también perpendiculares a la dirección de
propagación de la onda. La onda luminosa más sencilla es una onda senoidal pura,
llamada así porque una gráfica de la intensidad del campo eléctrico o magnético trazada
en cualquier momento a lo largo de la dirección de propagación sería la gráfica de un
seno.
La luz visible es sólo una pequeña parte del espectro electromagnético. En el espectro
visible, las diferencias en longitud de onda se manifiestan como diferencias de color. El
rango visible va desde, aproximadamente, 350 nanómetros (violeta) hasta unos 750
nanómetros (rojo), un nanómetro, nm, es una milmillonésima de metro. La luz blanca es
una mezcla de todas las longitudes de onda visibles.
La velocidad de la luz en las sustancias materiales es menor que en el vacío, y varía para
las distintas longitudes de onda; este efecto se denomina dispersión. La relación entre la
velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de una longitud de onda determinada en
una sustancia se conoce como índice de refracción de la sustancia para dicha longitud de
onda. El índice de refracción del aire es 1,00029 y apenas varía con la longitud de onda.
En la mayoría de las aplicaciones resulta suficientemente preciso considerar que es igual
a 1.
Las leyes de reflexión y refracción de la luz suelen deducirse empleando la teoría
ondulatoria de la luz introducida. El principio de Huygens afirma que todo punto en un
frente de ondas inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas
269
secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad,
frecuencia y longitud de onda que el frente de ondas del que proceden. Con ello puede
definirse un nuevo frente de onda que envuelve las ondas secundarias. Como la luz
avanza en ángulo recto a este frente de ondas, el principio de Huygens puede emplearse
para deducir los cambios de dirección de la luz.
Cuando las ondas secundarias llegan a otro medio u objeto, cada punto del límite entre
los medios se convierte en una fuente de dos conjuntos de ondas. El conjunto reflejado
vuelve al primer medio, y el conjunto refractado entra en el segundo medio. El
comportamiento de los rayos reflejados y refractados puede explicarse por el principio
de Huygens. Es más sencillo, y a veces suficiente, representar la propagación de la luz
mediante rayos en vez de ondas. El rayo es la línea de avance, o dirección de
propagación, de la energía radiante. En la óptica geométrica se prescinde de la teoría
ondulatoria de la luz y se supone que la luz no se difracta. La trayectoria de los rayos a
través de un sistema óptico se determina aplicando las leyes de reflexión y refracción.
Optica física
Esta rama de la óptica se ocupa de aspectos del comportamiento de la luz tales como su
emisión, composición o absorción, así como de la polarización, la interferencia y la
difracción.
Polarización de la luz
Los átomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de radiación de duración muy
corta. Cada pulso procedente de un único átomo es un tren de ondas prácticamente
monocromático (con una única longitud de onda). El vector eléctrico correspondiente a
esa onda no gira en torno a la dirección de propagación de la onda, sino que mantiene el
mismo ángulo, o acimut, respecto a dicha dirección. El ángulo inicial puede tener
cualquier valor. Cuando hay un número elevado de átomos emitiendo luz, los ángulos
están distribuidos de forma aleatoria, las propiedades del haz de luz son las mismas en
todas direcciones, y se dice que la luz no está polarizada. Si los vectores eléctricos de
todas las ondas tienen el mismo ángulo acimutal (lo que significa que todas las ondas
transversales están en el mismo plano), se dice que la luz está polarizada en un plano, o
polarizada linealmente.
270
Cualquier onda electromagnética puede considerarse como la suma de dos conjuntos de
ondas: uno en el que el vector eléctrico vibra formando ángulo recto con el plano de
incidencia y otro en el que vibra de forma paralela a dicho plano. Entre las vibraciones
de ambas componentes puede existir una diferencia de fase, que puede permanecer
constante o variar de forma constante. Cuando la luz está linealmente polarizada, por
ejemplo, esta diferencia de fase se hace 0 o 180°. Si la relación de fase es aleatoria, pero
una de las componentes es más intensa que la otra, la luz está en parte polarizada.
Cuando la luz es dispersada por partículas de polvo, por ejemplo, la luz que se dispersa
en un ángulo de 90° con la trayectoria original del haz está polarizada en un plano, lo
que explica por qué la luz procedente del cenit está marcadamente polarizada.
Para ángulos de incidencia distintos de 0 o 90°, la proporción de luz reflejada en el
límite entre dos medios no es igual para ambas componentes de la luz. La componente
que vibra de forma paralela al plano de incidencia resulta menos reflejada. Cuando la
luz incide sobre un medio no absorbente con el denominado ángulo de Brewster, la
parte reflejada de la componente que vibra de forma paralela al plano de incidencia se
hace nula. Con ese ángulo de incidencia, el rayo reflejado es perpendicular al rayo
refractado; la tangente de dicho ángulo de incidencia es igual al cociente entre los
índices de refracción del segundo medio y el primero.
Física - Sonido
SONIDO
Fenómeno físico que estimula el sentido del oído. En los seres humanos, esto ocurre
siempre que una vibración con frecuencia comprendida entre unos 15 y 20.000 hercios
llega al oído interno. El hercio (Hz) es una unidad de frecuencia que corresponde a un
ciclo por segundo. Estas vibraciones llegan al oído interno transmitidas a través del aire,
y a veces se restringe el término sonido a la transmisión en este medio. Sin embargo, los
físicos modernos suelen extender el término a vibraciones similares en medios líquidos
o sólidos. Los sonidos con frecuencias superiores a unos 20.000 Hz se denominan
ultrasonidos.
271
Ondas sónicas
Infrasónicas
f < 16 Hz
Audibles
16 Hz < f < 20 kHz
Ultrasónicas
f > 20 kHz
f = 1/t [f] = 1/[t] = s-1 = Hz
Este artículo se ocupa de este campo de la física en líneas generales. Para lo relativo a la
ciencia arquitectónica del diseño de estancias y edificios con propiedades adecuadas de
propagación y recepción del sonido. Para lo relativo a la naturaleza del proceso
fisiológico de la audición de sonidos y la anatomía del mecanismo de audición en
personas y animales. En cuanto a las propiedades generales de la producción y
propagación de ondas vibracionales, entre ellas las ondas de sonido.
En general, las ondas pueden propagarse de forma transversal o longitudinal. En ambos
casos, sólo la energía y la cantidad de movimiento del movimiento ondulatorio se
propagan en el medio; ninguna parte del propio medio se mueve físicamente a una gran
distancia. Por ejemplo, imaginemos que atamos firmemente una cuerda a un poste por
un extremo, la estiramos sin tensarla del todo y sacudimos el otro extremo. Una onda se
desplazará por la cuerda hacia el poste, donde se reflejará y volverá hacia la mano. En
realidad, ninguna parte de la cuerda se mueve longitudinalmente hacia el poste, pero
todas las partes de la cuerda se mueven transversalmente. Este tipo de movimiento
ondulatorio se denomina onda transversal. Del mismo modo, si tiramos una piedra a un
estanque, una serie de ondas transversales se propaga desde el punto de impacto. Un
corcho que flote cerca de dicho punto se moverá hacia arriba y hacia abajo, es decir, de
forma transversal a la dirección del movimiento ondulatorio, pero apenas mostrará
movimiento longitudinal. En cambio, una onda de sonido es una onda longitudinal. A
medida que la energía del movimiento ondulatorio se propaga alejándose del centro de
la perturbación, las moléculas de aire individuales que transmiten el sonido se mueven
hacia delante y hacia atrás, de forma paralela a la dirección del movimiento ondulatorio.
Por tanto, una onda de sonido es una serie de compresiones y enrarecimientos sucesivos
del aire. Cada molécula individual transmite la energía a las moléculas vecinas, pero
una vez que pasa la onda de sonido, las moléculas permanecen más o menos en la
misma posición.
272
CARACTERISTICAS FISICAS
Cualquier sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad
especificando tres características de su percepción: el tono, la intensidad y el timbre.
Estas características corresponden exactamente a tres características físicas: la
frecuencia, la amplitud y la composición armónica o forma de onda. El ruido es un
sonido complejo, una mezcla de diferentes frecuencias o notas sin relación armónica.
Frecuencia
Existen distintos métodos para producir sonido de una frecuencia deseada. Por ejemplo,
un sonido de 440 Hz puede crearse alimentando un altavoz con un oscilador sintonizado
a esa frecuencia. También puede interrumpirse un chorro de aire mediante una rueda
dentada con 44 dientes que gire a 10 revoluciones por segundo; este método se emplea
en las sirenas. Los sonidos de un altavoz y una sirena de la misma frecuencia tendrán un
timbre muy diferente, pero su tono será el mismo, equivalente al la situado sobre el do
central en un piano. El siguiente la del piano, la nota situada una octava por encima,
tiene una frecuencia de 880 Hz. Las notas situadas una y dos octavas por debajo tienen
frecuencias de 220 y 110 Hz respectivamente. Por definición, una octava es el intervalo
entre dos notas cuyas frecuencias tienen una relación de uno a dos.
Una ley fundamental de la armonía afirma que dos notas separadas por una octava
producen una combinación eufónica cuando suenan simultáneamente. Cuando el
intervalo es de una quinta o de una tercera mayor, la combinación es progresivamente
menos eufónica. En física, un intervalo de una quinta implica que la relación de las
frecuencias de ambas notas es de tres a dos; en una tercera mayor, la relación es de
cinco a cuatro. La ley de la armonía afirma que dos o más notas producen un sonido
eufónico al sonar de forma simultánea si la relación entre sus frecuencias corresponde a
números enteros pequeños; si las frecuencias no presentan dichas relaciones, se produce
una disonancia. En un instrumento de tonos fijos, como un piano, no es posible
establecer las notas de forma que todas estas relaciones sean exactas, por lo que al
afinarlo es necesario un cierto compromiso de acuerdo con el sistema de tonos medios o
escala temperada.
273
Amplitud
La amplitud de una onda de sonido es el grado de movimiento de las moléculas de aire
en la onda, que corresponde a la intensidad del enrarecimiento y compresión que la
acompañan. Cuanto mayor es la amplitud de la onda, más intensamente golpean las
moléculas el tímpano y más fuerte es el sonido percibido. La amplitud de una onda de
sonido puede expresarse en unidades absolutas midiendo la distancia de desplazamiento
de las moléculas del aire, o la diferencia de presiones entre la compresión y el
enrarecimiento, o la energía transportada. Por ejemplo, la voz normal presenta una
potencia de sonido de aproximadamente una cienmilésima de vatio. Sin embargo, todas
esas medidas son muy difíciles de realizar, y la intensidad de los sonidos suele
expresarse comparándolos con un sonido patrón; en ese caso, la intensidad se expresa en
decibelios.
Intensidad
La distancia a la que se puede oír un sonido depende de su intensidad, que es el flujo
medio de energía por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación. En el
caso de ondas esféricas que se propagan desde una fuente puntual, la intensidad es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, suponiendo que no se produzca
ninguna pérdida de energía debido a la viscosidad, la conducción térmica u otros efectos
de absorción. Por ejemplo,en un medio perfectamente homogéneo, un sonido será nueve
veces más intenso a una distancia de 100 metros que a una distancia de 300 metros. En
la propagación real del sonido en la atmósfera, los cambios de propiedades físicas del
aire como la temperatura, presión o humedad producen la amortiguación y dispersión de
las ondas sonoras, por lo que generalmente la ley del inverso del cuadrado no se puede
aplicar a las medidas directas de la intensidad del sonido.
Timbre
Si se toca el la situado sobre el do central en un violín, un piano y un diapasón, con la
misma intensidad en los tres casos, los sonidos son idénticos en frecuencia y amplitud,
pero muy diferentes en timbre. De las tres fuentes, el diapasón es el que produce el tono
más sencillo, que en este caso está formado casi exclusivamente por vibraciones con
frecuencias de 440 Hz. Debido a las propiedades acústicas del oído y las propiedades de
274
resonancia de su membrana vibrante, es dudoso que un tono puro llegue al mecanismo
interno del oído sin sufrir cambios. La componente principal de la nota producida por el
piano o el violín también tiene una frecuencia de 440 Hz. Sin embargo, esas notas
también contienen componentes con frecuencias que son múltiplos exactos de 440 Hz,
los llamados tonos secundarios, como 880, 1.320 o 1.760 Hz. Las intensidades
concretas de esas otras componentes, los llamados armónicos, determinan el timbre de
la nota.
VELOCIDAD DEL SONIDO
La frecuencia de una onda de sonido es una medida del número de vibraciones por
segundo de un punto determinado. La distancia entre dos crestas sucesivas de la onda se
denomina longitud de onda. El producto de la longitud de onda y la frecuencia es igual a
la velocidad de propagación de la onda, que es la misma para sonidos de cualquier
frecuencia (cuando el sonido se propaga por el mismo medio a la misma temperatura).
Por ejemplo, la longitud de onda del la situado sobre el do central es de unos 78,2 cm, y
la del la situado por debajo del do central es de unos 156,4 centímetros.
La velocidad de propagación del sonido en aire seco a una temperatura de 0 °C es de
331,6 m/s. Al aumentar la temperatura aumenta la velocidad del sonido; por ejemplo, a
20 °C, la velocidad es de 344 m/s. Los cambios de presión a densidad constante no
tienen prácticamente ningún efecto sobre la velocidad del sonido. En muchos otros
gases, la velocidad sólo depende de su densidad. Si las moléculas son pesadas, se
mueven con más dificultad, y el sonido avanza más despacio por el medio. Por ejemplo,
el sonido avanza ligeramente más deprisa en aire húmedo que en aire seco, porque el
primero contiene un número mayor de moléculas más ligeras. En la mayoría de los
gases, la velocidad del sonido también depende de otro factor, el calor específico, que
afecta a la propagación de las ondas de sonido.
Generalmente, el sonido se mueve a mayor velocidad en líquidos y sólidos que en
gases. Tanto en los líquidos como en los sólidos, la densidad tiene el mismo efecto que
en los gases; la velocidad del sonido varía de forma inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la densidad. La velocidad también varía de forma proporcional a la raíz
cuadrada de la elasticidad. Por ejemplo, la velocidad del sonido en agua es de unos
1.500 m/s a temperaturas ordinarias, pero aumenta mucho cuando sube la temperatura.
275
La velocidad del sonido en el cobre es de unos 3.500 m/s a temperaturas normales y
decrece a medida que aumenta la temperatura (debido a la disminución de la
elasticidad). En el acero, más elástico, el sonido se desplaza a unos 5.000 m/s; su
propagación es muy eficiente.
REFRACCION, REFLEXION E INTERFERENCIAS
El sonido avanza en línea recta cuando se desplaza en un medio de densidad uniforme.
Sin embargo, igual que la luz, el sonido está sometido a la refracción, es decir, la
desviación de las ondas de sonido de su trayectoria original. En las regiones polares, por
ejemplo, donde el aire situado cerca del suelo es más frío que el de las capas más altas,
una onda de sonido ascendente que entra en la región más caliente, donde el sonido
avanza a más velocidad, se desvía hacia abajo por la refracción. La excelente recepción
del sonido a favor del viento y la mala recepción en contra del viento también se deben
a la refracción. La velocidad del aire suele ser mayor en las alturas que cerca del suelo;
una onda de sonido ascendente que avanza a favor del viento se desvía hacia el suelo,
mientras que una onda similar que se mueve en contra del viento se desvía hacia arriba,
por encima de la persona que escucha.
El sonido también se ve afectado por la reflexión, y cumple la ley fundamental de que el
ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Un eco es el resultado de la
reflexión del sonido. El sonar se basa en la reflexión de los sonidos propagados en agua.
Una bocina es un tubo cónico que forma un haz de ondas de sonido reflejando algunos
de los rayos divergentes en los lados del tubo. Un tubo similar puede recoger ondas de
sonido si se dirige el extremo ancho hacia la fuente de sonido.
El sonido también experimenta difracción e interferencia. Si el sonido de una única
fuente llega a un oyente por dos trayectorias diferentes (por ejemplo, una directa y otra
reflejada), los dos sonidos pueden reforzarse; sin embargo, si están fuera de fase pueden
interferir de forma que el sonido resultante sea menos intenso que el sonido directo sin
reflexión. Las trayectorias de interferencia son distintas para sonidos de diferentes
frecuencias, con lo que la interferencia produce distorsión en sonidos complejos. Dos
sonidos de distintas frecuencias pueden combinarse para producir un tercer sonido cuya
frecuencia es igual a la suma o diferencia de las dos frecuencias originales.
276
Sensaciones de tono
Si se practica una audimetría a una persona joven normal, se comprueba que su oído es
sensible a todos los sonidos entre 15-20 hercios y 15.000-20.000 hercios. El oído de las
personas mayores es menos agudo, sobre todo en las frecuencias más elevadas. El oído
es especialmente sensible en la gama que va desde el la situado por encima del do
central hasta el la que está cuatro octavas por encima; en esa zona, una persona puede
percibir un sonido cientos de veces más débil que una octava por encima o dos octavas
por debajo. El grado en que un oído sensible puede distinguir entre dos notas puras que
difieran ligeramente en intensidad o frecuencia varía en los diferentes rangos de
intensidad y frecuencia de los tonos. En sonidos de intensidad moderada situados en el
rango de frecuencia para el que el oído es más sensible (1 y 2 kHz aproximadamente),
es posible distinguir una diferencia de intensidad de un 20% (1 decibelio, o dB) y una
diferencia en frecuencia de un 0,33% (alrededor de una vigésima de nota). En este
mismo rango, la diferencia entre el sonido más tenue que puede oírse y el sonido más
fuerte que puede distinguirse como tal sonido (los sonidos más fuertes se ´sienten´, o
perciben, como estímulos dolorosos) es de unos 120 decibelios: una diferencia de
intensidad de aproximadamente un billón de veces.
Todas estas pruebas de sensibilidad se refieren a tonos puros, como los producidos por
un oscilador electrónico. Incluso para esos tonos puros, el oído es imperfecto. Dos notas
con frecuencias idénticas pero una gran diferencia de intensidad pueden aparentar una
ligera diferencia de tono. Más importante resulta la diferencia en las intensidades
relativas aparentes en las distintas frecuencias. A intensidades altas, el oído es
aproximadamente igual de sensible a la mayoría de las frecuencias, pero a bajas
intensidades el oído es mucho más sensible a las frecuencias medias que a las extremas.
Por tanto, un equipo de reproducción de sonido que funciona perfectamente parecerá no
reproducir las notas más graves y agudas si se reduce mucho la intensidad.
ULTRASONIDO
Rama de la física que se ocupa de las ondas de sonido de alta frecuencia, generalmente
por encima de 20.000 hercios (Hz), es decir, más allá de las frecuencias audibles. No
hay que confundirla con la supersónica, que trata de los fenómenos asociados al
movimiento de un objeto sólido a velocidades superiores a la del sonido. Los
277
generadores ultrasónicos modernos pueden producir frecuencias de varios gigahercios
(1 gigahercio, abreviado GHz, equivale a 1.000 millones de hercios) convirtiendo
corrientes eléctricas alternas en oscilaciones mecánicas. La detección y medida de ondas
ultrasónicas se lleva a cabo fundamentalmente mediante receptores piezoeléctricos o por
medios ópticos, ya que estas ondas pueden hacerse visibles a través de la difracción de
la luz.
La ultrasónica tiene muchas aplicaciones en diferentes campos de la física, la química,
la tecnología y la medicina. Las ondas ultrasónicas se emplean desde hace tiempo en
dispositivos de detección y comunicación llamados sonares, de gran importancia en la
navegación actual y en la guerra submarina. Entre las aplicaciones de la ultrasónica
están la determinación de propiedades de la materia como la compresibilidad o la
elasticidad. Los ultrasonidos también se emplean para producir emulsiones, como la
leche homogeneizada o las de las películas fotográficas, y para detectar fallos en
materiales industriales. Los ultrasonidos con frecuencias de gigahercios pueden
utilizarse en "microscopios acústicos" que pueden visualizar detalles de sólo 1
micrómetro (una millonésima de metro). Las ondas acústicas de superficie con
frecuencias ultrasónicas son un componente importante de los dispositivos electrónicos
de control.
En medicina, los ultrasonidos se emplean como herramienta de diagnóstico, para
destruir tejido enfermo y para reparar tejidos dañados. Las ondas ultrasónicas se han
empleado para tratar afecciones como bursitis, diferentes tipos de artritis reumática,
gota o lesiones musculares, y también para destruir cálculos renales. Como herramienta
de diagnóstico, los ultrasonidos son frecuentemente más reveladores que los rayos X,
que no son tan útiles para detectar las sutiles diferencias de densidad que aparecen en
ciertas formas de cáncer; también se emplean con mucha frecuencia para producir
imágenes del feto durante el embarazo. Cuando las ondas ultrasónicas atraviesan un
tejido, se ven más o menos reflejadas según la densidad y elasticidad del tejido. Con un
bisturí ultrasónico, un cirujano puede realizar una incisión más fina que con un
escalpelo convencional. Este tipo de técnicas se ha empleado para operaciones delicadas
en el cerebro y el oído. En fisioterapia se han utilizado con éxito dispositivos
diatérmicos en los que se emplean ondas ultrasónicas para producir calor interno como
resultado de la resistencia de los tejidos a las ondas.
278
Tres tipos de sonido importantes
En la voz, la música y el ruido, es raro escuchar un tono puro. Una nota musical
contiene, además de la frecuencia fundamental, tonos más agudos que son armónicos de
la misma. La voz contiene una mezcla compleja de sonidos, de los que algunos (pero no
todos) guardan una relación armónica entre sí. El ruido está formado por una mezcla de
muchas frecuencias diferentes dentro de un determinado rango; por tanto, puede
compararse con la luz blanca,que se compone de una mezcla de luces de los distintos
colores. Los distintos ruidos se distinguen por sus diferentes distribuciones de energía
en los distintos rangos de frecuencias.
Cuando se transmite al oído un tono musical que contiene determinados armónicos del
tono fundamental, pero carece de otros armónicos o del propio tono fundamental, el
oído forma diferentes ´batidos´ o pulsaciones cuya frecuencia es la suma o la diferencia
de los sonidos originales, con lo que producen los armónicos que faltan o el tono
fundamental que no figura en el sonido original. Estas notas también son armónicas de
la nota fundamental original. Esta respuesta incorrecta del oído puede ser útil. Por
ejemplo, un equipo reproductor de sonido sin un altavoz grande no puede producir
sonidos de tono más grave que el do situado dos octavas por debajo del do central; sin
embargo, el oído de una persona que escuche ese equipo puede proporcionar la nota
fundamental a partir de las frecuencias de batido de sus armónicos. Otra imperfección
del oído ante los sonidos ordinarios es la incapacidad de oír notas de alta frecuencia
cuando existen sonidos de baja frecuencia de intensidad considerable. Este fenómeno se
denomina enmascaramiento.
En general, para que se entienda el habla y se comprenda satisfactoriamente un tema
musical basta reproducir las frecuencias entre 250 y 3.000 Hz, el rango de frecuencias
de un teléfono normal. Sin embargo, algunos sonidos (como la zeta) requieren
frecuencias de hasta 6.000 Hz. Sin embargo, para que el efecto sea natural hay que
reproducir el rango que va aproximadamente de 100 a 10.000 Hz. Los sonidos
generados por unos pocos instrumentos musicales sólo pueden reproducirse con
naturalidad con frecuencias algo más bajas, y algunos ruidos necesitan frecuencias más
altas.
279
Física - Termodinámica
EL CALOR
Cantidades de calor
Aun cuando no sea posible determinar el contenido total de energía calorífica de un
cuerpo, puede medirse la cantidad que se toma o se cede al ponerlo en contacto con
otro a diferente temperatura. Esta cantidad de energía en tránsito de los cuerpos de
mayor temperatura a los de menor temperatura es precisamente lo que se entiende
en física por calor.
La ecuación calorimétrica
La experiencia pone de manifiesto que la cantidad de calor tomada (o cedida) por
un cuerpo es directamente proporcional a su masa y al aumento (o disminución) de
temperatura que experimenta. La expresión matemática de esta relación es la
ecuación calorimétrica.
Q = ce.m.(Tf - Ti)
(8.6)
Donde Q representa el calor cedido o absorbido, la masa del cuerpo y Tf y Ti las
temperaturas final e inicial respectivamente. Q será positivo si la temperatura final
es mayor que la inicial (Tf> Ti) y negativo en el caso contrario (Tf< Ti). La letra c
representa la constante de proporcionalidad correspondiente y su valor es
característico del tipo de sustancia que constituye el cuerpo en cuestión. Dicha
constante se denomina calor específico. Su significado puede deducirse de la
ecuación (8.6). Si se despeja c, de ella resulta:
ce = Q/ m.(Tf - Ti)
El calor específico de una sustancia equivale, por tanto, a una cantidad de calor por
unidad de masa y de temperatura; o en otros términos, es el calor que debe
suministrarse a la unidad de masa de una sustancia dada para elevar su temperatura
un grado.
Unidades de calor
La ecuación calorimétrica (8.6) sirve para determinar cantidades de calor si se
conoce la masa del cuerpo, su calor específico y la diferencia de temperatura, pero
280
además permite definir la caloría como unidad de calor. Si por convenio se toma el
agua líquida como sustancia de referencia asignando a su calor específico un valor
unidad, la caloría resulta de hacer uno el resto de las variables que intervienen en
dicha ecuación.
Una caloría es la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado centígrado (1
°C) la temperatura de un gramo de agua. Esta definición, que tiene su origen en la
época en la que la teoría del calórico estaba en plena vigencia, se puede hacer más
precisa si se considera el hecho de que el calor específico del agua varía con la
temperatura. En tal caso la elevación de un grado centígrado a la que hace
referencia la anterior definición ha de producirse entre 14,5 y 15,5 °C a la presión
atmosférica.
Una vez identificado el calor como una forma de energía y no como un fluido
singular, la distinción entre unidades de calor y unidades de energía perdió
significado. Así, la unidad de calor en el SI coincide con la de energía y es el joule
(J), habiendo quedado la caloría reducida a una unidad práctica que se ha mantenido
por razones históricas,pero que va siendo progresivamente desplazada por el joule.
Calor específico y capacidad calorífica
La ecuación calorimétrica puede escribirse también en la forma:
Q = C.(Tf - Ti)
(8.7)
Expresando así que en un cuerpo dado la cantidad de calor cedido o absorbido es
directamente proporcional a la variación de temperatura. La nueva constante de
proporcionalidad C recibe el nombre de capacidad calorífica
C = Q/(T Tf - Ti)
y representa la cantidad de calor que cede o toma el cuerpo al variar su temperatura
en un grado. A diferencia del calor específico, la capacidad calorífica es una
característica de cada cuerpo y se expresa en el SI en J/K. Su relación con el calor
específico resulta de comparar las ecuaciones (8.6) y (8.7) en las que ambas
magnitudes están presentes:
C = m.ce
(8.8)
De acuerdo con esta relación, la capacidad calorífica de un cuerpo depende de su
masa y de la naturaleza de la sustancia que lo compone.
281
Ejemplo de la determinación del calor específico: El calor específico de un cuerpo
puede determinarse mediante el calorímetro. Dado que éste es un atributo físico
característico de cada sustancia, la comparación del valor obtenido con los de una tabla
estándar de calores específicos puede ayudar a la identificación de la sustancia que
compone el cuerpo en cuestión.
Se pretende identificar el metal del que está formada una medalla. Para ello se
determina su masa mediante una balanza que arroja el valor de 25 g. A continuación se
calienta al « baño María »,hasta alcanzar una temperatura de 85 °C y se introduce en el
interior de un calorímetro que contiene 50 g de agua a 16,5 °C de temperatura. Al cabo
de un cierto tiempo y tras utilizar varias veces el agitador, la columna del termómetro
del calorímetro deja de subir señalando una temperatura de equilibrio de 19,5 °C. ¿De
qué metal puede tratarse?
Si se aplica la ecuación de conservación de la energía expresada en la forma, calor
tomado = - calor cedido, resulta:
Q1 = - Q2
m1.ce1.(T - T1) = - m2.ce2.(T - T2)
Considerando en este caso el subíndice 1 referido al agua y el 2 referido a la
moneda. Sustituyendo valores en la ecuación anterior, se,tiene:
50 g.1 (cal/g.°C).(19,5 °C - 16,5 °C) = - 25 g. ce2.(19,5 °C - 85 °C)
Operando y despejando ce2 resulta:
150 (cal/g.°C) = 1 637,5. ce2
ce2 = 0,09 cal/g.°C
Si se compara el resultado con una tabla de calores específicos de metales, se
concluye que puede tratarse de cobre. Otras propiedades físicas como el color, por
ejemplo, confirmarán el resultado.
Medida del calor
De acuerdo con el principio de conservación de la energía, suponiendo que no existen
pérdidas, cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas se ponen en contacto, el calor
tomado por uno de ellos ha de ser igual en cantidad al calor cedido por el otro. Para todo
282
proceso de transferencia calorífica que se realice entre dos cuerpos puede escribirse
entonces la ecuación:
Q1 = - Q2
En donde el signo - indica que en un cuerpo el calor se cede, mientras que en el otro
se toma. Recurriendo a la ecuación calorimétrica, la igualdad anterior puede
escribirse en la forma:
m1.ce1.(Te - T1) = m2.ce2.(Te- T2)
(8.9)
Donde el subíndice 1 hace referencia al cuerpo frío y el subíndice 2 al caliente. La
temperatura Teen el equilibrio será superior a T1 e inferior a T2. La anterior ecuación
indica que si se conocen los valores del calor específico, midiendo temperaturas y
masas, es posible determinar cantidades de calor. El aparato que se utiliza para ello
se denomina calorímetro. Un calorímetro ordinario consta de un recipiente de
vidrio aislado térmicamente del exterior por un material apropiado. Una tapa cierra
el conjunto y dos pequeños orificios realizados sobre ella dan paso al termómetro y
al agitador, los cuales se sumergen en un líquido llamado calorimétrico, que es
generalmente agua.
Cuando un cuerpo a diferente temperatura que la del agua se sumerge en ella y se
cierra el calorímetro, se produce una cesión de calor entre ambos hasta que se
alcanza el equilibrio térmico. El termómetro permite leer las temperaturas inicial y
final del agua y con un ligero movimiento del agitador se consigue una temperatura
uniforme. Conociendo el calor específico y la masa del agua utilizada, mediante la
ecuación calorimétrica se puede determinar la cantidad de calor cedida o absorbida
por el agua.
En este tipo de medidas han de tomarse las debidas precauciones para que el
intercambio de calor en el calorímetro se realice en condiciones de suficiente
aislamiento térmico. Si las pérdidas son considerables no será posible aplicar la
ecuación de conservación Q1 = - Q2 y si ésta se utiliza los resultados estarán
afectados de un importante error.
La ecuación (8.9) puede aplicarse únicamente a aquellos casos en los cuales el
calentamiento o el enfriamiento del cuerpo problema no lleva consigo cambios de
estado físico (de sólido a líquido o viceversa, por ejemplo). A partir de ella y con la
283
ayuda del calorímetro es posible determinar también el calor específico del cuerpo
si se conocen las temperaturas T1, T2 y Te, las masas m1y m2 y el calor específico del
agua.
Física - Termodinámica
CICLOS TERMODINAMICOS
Resulta útil tratar los procesos termodinámicos basándose en ciclos: procesos que
devuelven un sistema a su estado original después de una serie de fases, de manera que
todas las variables termodinámicas relevantes vuelven a tomar sus valores originales. En
un ciclo completo, la energía interna de un sistema no puede cambiar, puesto que sólo
depende de dichas variables. Por tanto, el calor total neto transferido al sistema debe ser
igual al trabajo total neto realizado por el sistema.
Un motor térmico de eficiencia perfecta realizaría un ciclo ideal en el que todo el calor
se convertiría en trabajo mecánico. El ciclo de Carnot, es un ciclo termodinámico que
constituye el ciclo básico de todos los motores térmicos, y demuestra que no puede
existir ese motor perfecto. Cualquier motor térmico pierde parte del calor suministrado.
El segundo principio de la termodinámica impone un límite superior a la eficiencia de
un motor, límite que siempre es menor del 100%. La eficiencia límite se alcanza en lo
que se conoce como ciclo de Carnot.
Ciclo Otto
En el punto a la mezcla de nafta y aire ya está en el cilindro.
ab: contracción adiabática.
284
cd: expansión adiabática.
bc: calentamiento isocórico.
ad: enfriamiento isocórico.
R: relación de compresión.
Cp: calor específico a presión constante
Cv: calor específico a volumen constante
γ = Cp/Cv (Sears 419 - Tabla 18.1)
η = 1 - 1/R(γ - 1)
Para un R = 8, y un γ = 1,4 (aire), η = 0,56
Ciclo diesel
El gasoil se inyecta durante la carrera ab.
ab: contracción adiabática.
cd: expansión adiabáticas.
ad: enfriamiento isocórico.
bc: expansión y calentamiento isobárica.
285
R: relación de compresión.
Cp: calor específico a presión constante
Cv: calor específico a volumen constante
γ = Cp/Cv (Sears 419 - Tabla 18.1)
η = 1 - 1/R( γ - 1)
Para un R = 15-20, y un γ = 1,4 (aire), η = 0,65-0,70
Ciclo de Carnot
Una máquina de Carnot es perfecta, es decir, convierte la máxima energía térmica
posible en trabajo mecánico. Carnot demostró que la eficiencia máxima de cualquier
máquina depende de la diferencia entre las temperaturas máxima y mínima alcanzadas
durante un ciclo. Cuanto mayor es esa diferencia, más eficiente es la máquina. Por
ejemplo, un motor de automóvil sería más eficiente si el combustible se quemara a
mayor temperatura o los gases de escape salieran a menor temperatura.
ab y cd: contracciones y expansiones isotérmicas.
bc y ad: contracciones y expansiones adiabáticas.
η = W/QH  η= (QH - QC)/QH  η = 1 - QC/ QH
QH = W ab = n.R.TH.ln Vb/Va
286
QC = W cd = n.R.TC.ln Vc/Vd
QC/QH = TC/TH
η = 1 - TC/TH
Ciclo de refrigeración
Los sistemas de compresión emplean cuatro elementos en el ciclo de refrigeración:
compresor, condensador, válvula de expansión y evaporador.
En el evaporador, el refrigerante se evapora y absorbe calor del espacio que está
enfriando y de su contenido.
A continuación, el vapor pasa a un compresor movido por un motor que incrementa su
presión, lo que aumenta su temperatura (entrega trabajo al sistema).
El gas sobrecalentado a alta presión se transforma posteriormente en líquido en un
condensador refrigerado por aire o agua.
Después del condensador, el líquido pasa por una válvula de expansión, donde su
presión y temperatura se reducen hasta alcanzar las condiciones que existen en el
evaporador.
QH = QC - L L = QC-QH
η = - QC /L  - QC/(QC-QH)
287
Sistemas de absorción
Algunos refrigeradores domésticos funcionan mediante el principio de absorción. En
ellos, una llama de gas calienta una disolución concentrada de amoníaco en agua en un
recipiente llamado generador, y el amoníaco se desprende en forma de vapor y pasa a un
condensador. Allí se licúa y fluye hacia el evaporador, igual que en el sistema de
compresión. Sin embargo, en lugar de pasar a un compresor al salir del evaporador, el
amoníaco gaseoso se reabsorbe en la solución diluida y parcialmente enfriada
procedente del generador, para formar de nuevo una disolución concentrada de
amoníaco. Este proceso de reabsorción se produce en un recipiente llamado absorbedor,
desde donde el líquido concentrado fluye de vuelta al generador para completar el ciclo.
Autor: Ricardo Santiago Netto
Física - Trabajo, Energía y Potencia
TRABAJO
Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada a un cuerpo, lo desplaza a lo
largo de una determinada distancia.
Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al
mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Por otra parte,
si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el
sostener un libro con el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro,
independientemente del esfuerzo necesario. El trabajo se expresa en Joules (J).
Cuando la fuerza tiene la dirección de movimiento.
L = F.d
L: Trabajo realizado por la fuerza.
Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación α con respecto al movimiento.
L = F.cos α .d
Todas las fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan trabajo.
288
La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el levantamiento de un cuerpo o en la
aceleración de un avión de reacción; también puede ser una fuerza electrostática,
electrodinámica o de tensión superficial.
Energía
La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la física. En el ámbito de la
física, debe suministrarse energía para realizar trabajo. La energía se expresa en joules
(J). Existen muchas formas de energía: energía potencial eléctrica y magnética, energía
cinética, energía acumulada en resortes estirados, gases comprimidos o enlaces
moleculares, energía térmica e incluso la propia masa.
Energía cinética
Cuando una fuerza aumenta la velocidad de un cuerpo también se realiza trabajo, como
ocurre por ejemplo en la aceleración de un avión por el empuje de sus reactores. Cuando
un cuerpo se desplaza con movimiento variado desarrolla energía cinética.
Ec = ½.m.v ²
L = F.d
L = Ec
F.d = ½.m.v ²
Ec: Energía cinética.
El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la
variación de la energía cinética de dicha partícula.
Δ Ec = Ec2 - Ec1
L = Ec2 - Ec1
F.d = ½.m.(v ²2 - v ²1)
Δ Ec: Variación de la energía cinética.
289
Energía potencial
Cuando se levanta un objeto desde el suelo hasta la superficie de una mesa, por ejemplo,
se realiza trabajo al tener que vencer la fuerza de la gravedad,dirigida hacia abajo; la
energía comunicada al cuerpo por este trabajo aumenta su energía potencial. Si se
realiza trabajo para elevar un objeto a una altura superior, se almacena energía en forma
de energía potencial gravitatoria.
Cuando un cuerpo varía su altura desarrolla energía potencial.
Ep = m.g.h  L = F.d  L = Ep
P.d = m.g.h
Ep: Energía potencial.
El trabajo realizado por la fuerza peso es igual a la variación de la energía potencial.
Δ Ep = Ep2 - Ep1
L = Ep2 - Ep1
P.d = m.g.(h2 - h1)
Δ Ep: Variación de la energía potencial.
En todas las transformaciones entre un tipo de energía y otro se conserva la energía
total, y se conoce como teorema de la energía mecánica (Δ EM). Por ejemplo, si se
ejerce trabajo sobre una pelota de goma para levantarla, se aumenta su energía potencial
gravitatoria. Si se deja caer la pelota, esta energía potencial gravitatoria se convierte en
energía cinética. Cuando la pelota choca contra el suelo, se deforma y se produce
fricción entre las moléculas de su material. Esta fricción se transforma en calor o
energía térmica.
Fuerzas conservativas
Para un cuerpo de masa m que se mueve del punto 1 al 2 y luego del punto 2 al 1.
290
Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula que
se mueve en cualquier viaje de ida y vuelta es 0.
Δ EM = 0
Δ EM : Variación de la energía mecánica.
Trabajo de fuerzas conservativas:
L = Δ EM
Δ EM = Δ Ec + Δ Ep
L = Δ Ec + Δ Ep
Fuerzas no conservativas
Para un cuerpo de masa m que se mueve del punto 1 al 2 y luego del punto 2 al 1.
Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula
que se mueve en cualquier viaje de ida y vuelta es distinto de 0.
Δ EM ≠ 0
Δ EM = HO
Δ EM: Variación de la energía mecánica.
HO : Trabajo de la fuerza de rozamiento.
Trabajo de fuerzas no conservativas:
L = Δ EM + HO
L = Δ Ec + Δ Ep + HO
Siendo: HO = Fr.d
291
Potencia
La potencia desarrollada por una fuerza aplicada a un cuerpo es el trabajo realizado por
ésta durante el tiempo de aplicación. La potencia se expresa en watt (W).
P=L/t
P = F.d / t
v=d/t
P = F.v
También:
P = (Δ Ec + Δ Ep + HO)/t
Si no hay fuerza de rozamiento
P = (Δ Ec +Δ Ep)/t
Si no cambio su altura
P = (Δ Ec)/t
P: potencia
Caballo de vapor: Unidad tradicional para expresar la potencia mecánica, es decir, el
trabajo mecánico que puede realizar un motor por unidad de tiempo; suele abreviarse
por CV. En el Sistema Internacional de unidades, la unidad de potencia es el vatio; 1
caballo de vapor equivale a 736 vatios. Su valor original era, por definición, 75
kilográmetros por segundo.
Autor: Ricardo Santiago Netto
292
Física - Trabajo, Energía y Potencia
Resolver:
1) Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 95 m/s. Se desea saber:
a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?.
b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?.
2) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de caída libre?.
3) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una velocidad de
40 m/s?.
4) ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae libremente desde 12
m de altura?.
5) Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y 3,5 de alto,
calcular:
a) ¿Qué aceleración adquiere?.
b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?.
c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?.
6) ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del suelo?.
7) Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al suelo?.
8) Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m, calcular la
energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un quinto piso, posee una
masa de 8,5 kg.
9) Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a tierra?.
293
10) Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad
inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué energía potencial al
alcanzar la altura máxima?.
Responder:
1) ¿Qué es energía?.
2) ¿Qué clases de energía conoce?.
3) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay transformación de energía?.
4) ¿Qué aparato o máquina transforma energía mecánica en luminosa?.
Resultados:
1)
Datos: P = 80 kgf
v0 = 95 m/s
t=7s
a) Mediante cinemática calculamos la velocidad luego de 7 s:
vf = v0 - g.t
vf = 95 m/s + (- 9,807 m/s ²).7 s  vf = 95 m/s - 68,649 m/s  vf = 26,351 m/s
Luego:
Ec = ½.m.v ²
La masa es:
m = 80 kg
Ec = ½.80 kg.(26,351 m/s) ²
294
Ec = 27775,01 J
b) Mediante cinemática calculamos la altura máxima:
vf ² - v0 ² = 2.g.h
- v0 ²/2.g = h
h = (95 m/s) ²/(2.9,807 m/s ²)  h = 460,13 m
Con éste dato hallamos la energía potencial:
Ep = m.g.h
Ep = 80 kg.9,807 (m/s ²).460,13 m
Ep = 361.000 J
Pero mucho mas simple es sabiendo que la energía potencial cuando se anula la
velocidad es igual a la energía cinética inicial (si no hay pérdidas):
Ec1 = Ep2
Ec1 = ½.m.v1 ²  Ec = ½.80 kg.(95 m/s) ²
Ec1 = 361.000 J = Ep2
2)
Datos: P = 38 N
t = 30 s
Calculamos la velocidad:
vf = g.t  vf = 9,807 (m/s ²).30 s  vf = 294,21 m/s
Con éste dato calculamos la energía cinética:
Ec = ½.m.v ²  Ec = ½.(38 N/9,807 m/s ²).(294,21 m/s) ²
295
Ec = 167.700 J
3)
Ec = ½.m.v ²  Ec = ½.350 kg.(40 m/s) ²
Ec = 280.000 J
4)
Si cae libremente su velocidad inicial es nula, por lo tanto toda su energía potencial
(dada por la altura) se convertirá en energía cinética:
Ec2 = Ep1
Ep1 = m.g.h
Ep1 = 2,5 kg.9,807 (m/s ²).12 m
Ep1 = 294,21 J = Ec2
5)
Datos: P = 200 N
l = 15 m
h = 3,5 m
t=3s
a) En el eje "x":
296
Σ Fx = m.a
Px = m.a
Pero:
Px = P.sen α
m.a = P.sen α
m.a = m.g.sen α
a = g.sen α
Por otra parte:
sen α = 3,5 m/15 m = 0,233
a = 9,807 (m/s ²).0,233
a = 2,29 m/s ²
b) Suponiendo que parte del reposo:
vf = a.t
Luego:
Ec = ½.m.vf ²  Ec = ½.m.(a.t) ²
Ec = ½.(200 N/9,807 m/s ²).(2,29 m/s ².3 s) ²
Ec = 480,54 J
c)
e = ½.a.t ²
e = ½.2,29 m/s ².(3 s) ²
297
e = 10,29 m
6)
Ep = m.g.h  Ep = 5 kg.9,807 (m/s ²).2 m  Ep = 98,07 J
7)
Si no hubo pérdidas por rozamiento, toda la energía potencial se transformó en energía
cinética:
Ec = 98,07 J
8)
h = 2,3 m.4 + 3 m = 14,5 m
El balcón del 5° piso es el techo del 4° piso
Ep = m.g.h  Ep = 8,5 kg.9,807 (m/s ²).14,5 m  Ep = 1017 J
9)
Recordemos que toda la energía potencial se transforma en energía cinética:
Ep1 = Ec2
Ep1 = Ec2 = m.g.h1  Ep1 = 1250 kg.9,807 (m/s ²).50 m  Ep = 612.937,5 J
10)
Primero hallamos la velocidad a los 3 s del lanzamiento:
v2 = v1 + g.t
v2 = 60 m/s + (- 9,807 m/s ²).3 s
v2 = 30,579 m/s
Luego calculamos la energía cinética:
298
Ec2 = ½.m.v2 ²  Ec2 = ½.5 kg.(30,579 m/s) ²  Ec2 = 2.337,69 J
Para la segunda parte debemos tener en cuenta que cuando alcanza la altura máxima la
velocidad se anula, por lo tanto, toda la energía cinética inicial se transformó en energía
potencial:
Ec1 = ½.m.v1 ²  Ec1 = ½.5 kg.(60 m/s) ²  Ec1 = 9.000 J
Ep2 = 9.000 J
QUIMICA
299
Química - Materia
ESTADOS DE AGREGACION
· Estado Gaseoso.
Los gases difieren fundamentalmente de los líquidos y de los sólidos en que el volumen
depende de su T ° y de la P aplicada.
A bajas P y altas T °, se cumplen aproximadamente las leyes de Boyle, Gay Lussac y
Avogadro, tal como se expresan en la ecuación de estado de los gases (Gas Ideal):
P.V = n.R.T
Pero a medida que aumenta la P o disminuye la T °, aparecen desviaciones manifiestas
del comportamiento ideal. Esto se ve cuando el Factor de Compresibilidad (Z) se desvía
de la unidad, sabiendo que dicho desvío se debe al comportamiento más real de un gas.
Dicho Z se calcula como:
P.V/R.T = 1 (para un mol del gas).
NOTA: Las Fuerzas de atracción Intermoleculares hacen que el Z < 1, mientras que el
efecto basado en el volumen de las moléculas hace que el Z > 1.
La ley de Boyle debe invalidarse a presiones muy elevadas, pues para tales presiones
pronostica volúmenes de gases infinitesimalmente pequeños, que realmente no podrían
existir pues el menor volumen que presentan es el de las moléculas del mismo gas.
Por otra parte, las Fuerzas Intermoleculares, pues éstas reducen a las fuerzas de colisión,
con lo que la p ejercida en las paredes de los recipientes por el gas real, es menor.
- Ecuación de un Gas Real:
Una de las más difundidas es la ecuación de Van der Waals, que introduce unas
correcciones a la ecuación de los gases:
Corrección de P  P real = P + n ².a/V ²
300
Corrección de V  V real = V - n.b
Donde a y b depende de cada gas.
Hay que decir que la corrección de P se debe a las fuerzas intermoleculares y la de
volumen a los volúmenes moleculares, por lo tanto la ecuación de un gas Real quedará
como:
(P + n ².a).(V - n.b)/V ² = n.R.T
A esta ecuación se la llama Ecuación de Van der Waals.
- Difusión y Efusión. Ley de Graham:
- Difusión = es el proceso de expansión a través del espacio por parte del gas.
- Efusión= es el proceso de pasaje a través de poros pequeños por parte del gas.
- Ley de Graham (aplicable a la Efusión de gases) =
"El tiempo que tarda un volumen de un gas para pasar a través de un orificio, es
inversamente proporcional a su velocidad de efusión", o sea que matemáticamente será:
t2/t1 = M2/M1 = δ 2/ δ 1
de donde se puede definir a la velocidad de Efusión como: v = V/t
Licuefacción de Gases:
301
En A tenemos un gas a elevada T y V, y baja P. Si disminuimos el V a T = constante, el
gas se compacta según la Ley de Boyle (P*V = constante) y observamos como aumenta
la presión hasta B.
A dicha presión (B), al disminuir el V vemos que la P no varía, esto se debe a que
comienzan a ejercerse fuerzas de atracción entre las moléculas. Esta presión se mantiene
constante. Hasta C donde todo el gas se convierte en liq. y la pendiente de la curva CD
evidencia la incompresibilidad de los mismos.
La porción de curva AB denota la existencia de gas solamente; la CD,líquido; en
cambio en la porción BC coexisten en equilibrio, gas y líquido,en donde la proporción
de líquido a gas aumenta cuando diminuye el volumen (de B a C).
Si se repite la experiencia a mayores T °, vemos que la curva es análoga a la anterior,
excepto que la porción horizontal, sobre la cual se efectúa la Licuefacción,es más corta.
La misma se reduce a un punto (E), el cual es el límite por encima de la cual no se
puede licuar un gas, es decir, que no existe el líquido por encima de esa Tc
(Temperatura crítica), Pc (Presión Crítica) y Vc (Volumen Crítico), cualquiera sea la
presión aplicada. La curva que pasa por el punto E se denomina Isotérma Crítica.
Generalmente se utiliza el término vapor para definir a una sustancia gaseosa cuando su
temperatura está por debajo del valor crítico, por lo tanto un vapor puede ser licuado
por efecto de la presión.
- Presión de Vapor:
Es la presión a la cual vapor y líquido coexisten en equilibrio (dentro del tramo BC de
la curva de Licuefacción de gases). Dicha presión aumenta al elevarse la T °,
estableciéndose un límite en el Punto Crítico.
302
- Ecuación de Clapeyron-Clausius:
D Pv/dT = Lv/T.(V vapor - V líquido)
Donde: D Pv/dT : representa la velocidad de variación
de la P de vapor con la T °.
Lv : calor Latente de Vaporización (Δ Hv).
V vapor y V líquido: Volúmenes de Vapor y Líquido
respectivamente.
T: Temperatura Absoluta.
Si integramos entre dos puntos, obtendremos:
Ln (pv2/pv1) = - Lv.(1/T2 - 1/T1)/R
pv = e - Lv/(R*T)
- Estado Líquido.
Para todo gas hay una temperatura en particular a la cual las fuerzas intermoleculares
toman suficiente intensidad como para que las moléculas condensen, formando un
nuevo estado: el líquido.
- Características del Estado Líquido:
En los gases las moléculas se mueven rápidamente y en forma desordenada. En los
sólidos, se mantienen juntas y en posiciones ordenadas. En cambio en los líquidos, es
una forma intermedia entre ambos, las moléculas se mueven más lentamente que en los
gases; pero las fuerzas intermoleculares las mantiene juntas dentro de un volumen
definido. No obstante, la velocidad con que se mueven éstas, les impide formar un
retículo cristalino (que sí se da en los sólidos),es por ello que un líquido retiene su
volumen pero no su forma, es decir, que adquieren la forma del recipiente que los
contiene.
Un cambio de P casi no altera a los líquidos, puesto que hay poco espacio entre sus
moléculas; en cambio un aumento en la T °, modifica ligeramente su volumen, por lo
que la densidad del líquido disminuye.
303
- Difusión:
Dos líquidos que son mutuamente solubles, se difundirán el uno en el otro al juntarlos.
La velocidad de difusión dependerá de las densidades de los mismos pero siempre serán
menores a la de los gases. Esto es debido a que las moléculas de los líquidos están
relativamente juntas, por lo tanto una molécula de un líquido sufre muchos choques con
las otras en un período dado, lo que alienta el proceso de difusión.
- Tensión Superficial:
Las moléculas superficiales están sometidas a fuerzas que las atraen hacia el interior de
los líquidos. Es como si la superficie de los mismos estuviesen sometidos a una
constante tensión, parecido a cuando una piel estrecha esta recubriendo una superficie.
A este fenómeno se lo denomina tensión superficial y es una de las causas por la cual
los líquidos tienden a adoptar la forma geométrica más simple, o sea la esfera (es el caso
de las gotas de líquido en caída libre).
La medición de dicha tensión superficial se realiza a través de la experiencia del
"capilar", en donde se observa el escalamiento de una semiesfera de líquido retenida
dentro de un tubo capilar, del cual debe conocerse su radio para lograr así obtener el
Coeficiente de Tensión Superficial (γ) :
γ =½.h.g.δ.r
Donde: h: es la altura que ha ascendido la
semi-burbúja.
δ: es la densidad del líquido.
r: es el radio del tubo capilar.
- Viscosidad:
Es la resistencia que presentan los líquidos al movimiento, o podría decirse también que
forma parte de un rozamiento interno del mismo, pues es una propiedad que se opone al
movimiento de capas adyacentes que se alojen dentro del seno del mismo.
304
Cuando un cuerpo de inserta dentro del seno de un líquido, la viscosidad hace que su
velocidad no sea nula en su estadía dentro de él, sino que adquiere una v = constante
cuando la fuerza de gravedad equilibra la fuerza que realiza la viscosidad para sacarlo
del líquido.
Para los cálculos de viscosidad en diferentes líquidos normalmente se utiliza la Fórmula
de Stokes, que para una esfera de radio "r" que cae a v = constante será:
v = 2.g.r ².(δ ´- δ)/9. μ
Donde: M : es el Coeficiente de Viscosidad
del Líquido.
δ ´: es la densidad de la esfera.
δ : es la densidad del líquido.
NOTA: Generalmente sucede que la δ ´>> δ por lo que la fórmula se ve reducida a:
v = 2.g.r ².δ ´/9. μ
La medición de la viscosidad se realiza indirectamente a través de una medición de
tiempos de caída de un mismo objeto dentro de dos sustancias: una de viscosidad
conocida y otra que será la que averiguaremos por medio de la fórmula:
t = μ /δ  μ = t. δ
NOTA: la Viscosidad Cinemática (v) es la relación que existe entre la Viscosidad
Absoluta y la Densidad del Líquido:
v = μ/δ
La relación de la Viscosidad con la T °, viene dada exponencialmente a través de la
fórmula:
μ = A.e E/(R*T)
Donde vemos que la viscosidad disminuye a medida que la T ° aumenta. También
debemos decir que A y E son ctes. Que dependen del líquido usado.
305
- Evaporación:
Las moléculas de un líquido tienen Energías Cinéticas que se distribuyen muy
ampliamente y cuyo promedio queda determinado según la T °. Esta energía cambia
cuando las moléculas chocan entre sí, o sea que pueden tener energías altas y bajas en
cualquier momento. Es por ello que las moléculas ubicadas en la superficie de los
líquidos poseen mayor Energía que el resto, es decir que escapan a las fuerzas de
atracción de las otras moléculas, pudiendo así, escapar al exterior (transformandosé en
estado gaseoso) mediante la ayuda de calor exterior. Este proceso de "escape" se lo
denomina Evaporación o Vaporización.
La energía que reciben éstas moléculas para escapar hacia el exterior se denomina Calor
o Entalpía de Vaporización. Al producirse este escape de moléculas, la energía media
de las mismas que quedaron en el líquido baja, por lo que la temperatura del mismo
disminuye. Al evaporarse los líquidos de un sistema abierto, el calor fluye desde el
exterior hacia la sustancia, para mantener su T °. De esta forma continúa el proceso de
evaporación del líquido, pues se inserta energía a las moléculas más superficiales, con
lo que vuelven a escapar.
La velocidad de evaporación de un líquido aumenta cuando aumenta la T ° del mismo,
pues existen mayor cantidad de moléculas con energía suficiente como para ubicarse
cerca de la superficie y evaporarse.
NOTA: La evaporación de líquido continúa hasta la eliminación del mismo, pues no
existe restricción hacia el gas evaporado del mismo.
- Presión de Vapor:
Al restringirse la vaporización de un líquido, hay que considerar el proceso inverso al
mismo: la condensación. Este proceso consiste en el pasaje de las moléculas evaporadas
a su estado original, el líquido.
Cuando las velocidades de vaporización y de condensación son iguales (a una T ° =
constante) se dice que el líquido está en equilibrio con su vapor, lo que significa que el
vapor está saturado y la presión que ejerce el vapor en dicho estado de equilibrio se
denomina Presión de Vapor (pv). Debe de notarse que a T ° = constante y siendo el
306
mismo líquido, las pv son iguales a pesar de que los volúmenes de vapor y líquido sean
diferentes. Esto demuestra que la pv sólo depende de la T °.
Cuando la Pv es igual a la P externa , se forman burbujas en el interior del líquido. Este es
el Punto de Ebullición del mismo (allí la T ° del líquido se mantiene constante durante
la ebullición del mismo). Si la P externa = 1 atm, la T ° del líquido en ese instante es el
Punto de Ebullición Normal del mismo.
NOTA: Recordemos que según la ley de presiones parciales de Dalton, en un recipiente
con vapor será:
P atmosférica = Pv + PH2O
- Estado Sólido.
Aquí rigen las leyes de las estructuras cristalinas, con las cuales se interpreta las
propiedades se los sistemas sólidos.
- Transiciones en Sólidos:
En el cero absoluto existen casi todas las sustancias como estructuras cristalinas, pero a
medida que aumenta la T °, éstas estructuras comienzan a vibrar hasta que llegan a una
T ° en donde se desarma la estructura y el sólido deja de serlo, para transformarse en
líquido. A este proceso se lo conoce como fusión.
Al proceso inverso, se lo denomina Congelación . Las Tf y T congelación son idénticas y a
dichas T ° se hallan en equilibrio ambas fases (en este tramo la T ° se mantiene
constante).
Por otra parte, la energía calórica que se necesita para realizar estos procesos se
denomina Calor de Fusión (o de Congelación, según sea la conversión).
- Presión de Vapor en los Sólidos (Sublimación):
La curva que indica la variación de la Pv en función de la T °, para los sólidos, se
denomina Curva de Sublimación. Esto se debe a que el pasaje desde el sólido hacia el
vapor sin pasar por el líquido se lo denomina Sublimación.
307
Análogamente puede hacerse pasar al vapor hacia el sólido, por medio del enfriamiento
del vapor, siempre que se cumpla que: Pv < Pv sólido en la fusión.
El cambio de estado en la materia va acompañado por una absorción de calor, que será
el Calor Latente de Sublimación (Hs), el cual viene relacionado con los calores de
Fusión (Hf) y de Vaporización (Hv), siempre que estén referidos a la misma T °:
Hs = Hf + Hv
- Cristalografía:
Los sólidos pueden presentarse en forma amorfa o cristalina. En el caso de la primera,
los átomos (o moléculas,o partículas) se ordenan de modo que la regularidad no
prevalezca sobre las distancias considerables. Desde el punto de vista estructural, los
sólidos amorfos se asemejan a los líquidos (ej.: vidrio, plásticos, etc.).
La forma cristalina, está dada por una sola longitud: la arista del cubo de la retícula
formada. La estructura de cualquier sistema que corresponde a este retículo es la
repetición en las tres direcciones de espacio de dicho elemento estructural. Estas
estructuras se denominan cristalinas y los cuerpos que las poseen se llaman cristales.
Las redes están formadas por una consecutiva adyacencia de varias retículas cristalinas,
de modo tal que cualquier punto de ella, puede ser usado como origen de un sistema.
- Elementos de Simetría:
- Plano de Simetría: es aquel que divide al cristal en dos partes iguales;
- Eje de Simetría: es aquel sobre el cual el cristal puede revolucionar de modo que
presente más de una vez su imagen en su transcurso.
- Centro de Simetría: es aquel punto por el que puede pasar cualquier recta que se
encuentre a la misma distancia en ambas direcciones.
- Redes de Bravais:
Se ha probado que solo son posibles 14 tipos de redes espaciales simples, es decir, que
existen solo 14 maneras de distribuir puntos semejantes en el orden tridimensional.
308
- Grupo de Simetría:
Sólo hay 32 posibles combinaciones diferentes de los elementos de simetría de un
cristal.
- Grupos Especiales:
Junto con las redes de Bravais, los 32 grupos de Simetría llevan 230 disposiciones
diferentes que se denominan Grupos Especiales.
- Sistemas Cristalinos:
Las redes de Bravais y los Grupos de Simetría, pueden dividirse en 7 sistemas
cristalinos que se diferencian por consideraciones de simetría. Algunos de ellos son:
- Cúbico.
- Tetragonal.
- Ortorrómbico.
- Hexagonal.
- Rombohédrico.
- Monoclinico.
- Triclínico.
NOTA: Los Planos de Miller se utilizan para poder descubrir la forma en que se
ordenan las moléculas en un cristal, a través del corte de dichos planos con las
estructuras cristalinas. Sus Indices están indicando la inversa de las intersecciones del
plano con los ejes, siempre que sean números enteros.
- Imperfecciones de los Cristales:
- Defecto de Frenkel: Al moverse una de las partículas del retículo, la estructura se
mueve por completo, quedando corrida de su formación original.
- Defecto de Schottky: La partícula desplazada deja el lugar vacío, que es ocupada por
otra partícula, con lo cual el corrimiento es de elementos y no de estructuras.
309
- Impurezas: Cuando encontramos dentro de los cristales, elementos que no son propios
del mismo.
NOTA: para poder saber que tipo de estructura posee un cristal deberemos recurrir a los
Rayos X, debido a que el tamaño de dichas retículas es sólo comparable con las
longitudes de ondas de dichos rayos. El proceso consiste la difracción de los Rayos X
sobre los cristales del elemento, produciéndose una imagen que permite obtener una
idea de cómo se sitúan las partículas en ese elemento.
Química - Materia
Propiedades de la Materia
Una propiedad de la materia es una cualidad de la misma que puede ser apreciada por
los sentidos, por ejemplo el color, la dureza, el peso, el volumen, etcétera.
Estas, y otras propiedades se clasifican en dos grandes grupos:
- Son aquellas que
Peso
Propiedades
varían con la cantidad
Volumen
extensivas
de materia considerada
Longitud
Punto de fusión
Punto de ebullición
Densidad
Propiedades
de la Materia
Propiedades
- Son aquellas que no
intensivas o
varían con la cantidad
específicas
de materia considerada
Coeficiente de
solubilidad
Indice de
refracción
Color
Olor
Sabor
310
Química - Materia
Responder:
1) Dado un sistema formado por: agua, tres bolitas de acero, carbón en polvo, vapor de
agua y aire (nitrógeno, oxígeno y dióxido de carbono); indicar:
a) cuántas fases forman el sistema y cuáles son.
b) cuántas sustancias hay y cuales son.
c) si el sistema es heterogéneo u homogéneo.
a) explicar cómo separaría el sistema.
2) Dado un sistema formado por: azúcar disuelto en agua y polvo de carbón; indicar:
b) cuántas fases forman el sistema y cuáles son.
c) cuántas sustancias hay y cuales son.
3) Citar un ejemplo de un sistema heterogéneo formado por 5 fases y 3 sustancias.
4) Calcular la composición centesimal de una muestra de granito, sabiendo que está
formado por: feldespato 2 g, cuarzo 3,5 g y mica 1,6 g.
5) Clasificar los siguientes sistemas materiales en: homogéneos, heterogéneos,
soluciones, compuestos o sustancias.
a) aire.
b) tinta china.
c) papel.
d) sal común.
e) alcohol.
f) manzana.
311
g) leche.
h) cobre.
i) agua.
j) zinc.
6) Clasifique los siguientes cambios como físicos o químicos:
a) explosión de la nafta en un motor.
b) formación de nubes.
c) cicatrización de una herida.
d) elaboración de caramelo por evaporación de una solución azucarada.
e) producción de luz mediante una lámpara eléctrica.
f) fusión del hielo.
g) oxidación de un metal.
h) estabilidad.
i) ductilidad.
j) decoloración de una tela.
7) Elabore una lista de 15 cambios químicos que ocurran cotidianamente y que sean
importantes para el mantenimiento de su vida.
8) Indicar ejemplos de sistemas que se puedan separar por:
a) filtración.
b) levigación.
c) centrifugación.
312
d) decantación.
Química - Estequeometría
Resolver:
1) ¿Qué masa de ácido sulfúrico se podrá obtener a partir de 250 g de azufre 98 % de
pureza?.
Ver solución al final de ésta página
2) ¿Qué masa de óxido resulta necesaria para obtener 3150 g de ácido nítrico?, ¿cuántos
moles de agua reaccionan?.
Ver solución al final de ésta página
3) Se hacen reaccionar 5,5 litros de oxígeno medidos en CNPT con cantidad suficiente
de nitrógeno, calcular:
a) Los moles de nitrógeno que reaccionan.
b) Volumen de nitrógeno necesario.
c) Número de moléculas del compuesto formado, sabiendo que se obtiene anhídrido
nítrico.
Ver solución al final de ésta página
4) Se quieren preparar 3000 kg de amoníaco a partir de la reacción:
N2 + 3.H2  2.NH3
Calcular:
a) Volumen de nitrógeno medido en CNPT necesarios.
b) Masa de hidrógeno necesaria.
Ver solución al final de ésta página
313
5) Se quieren obtener 15 litros de dióxido de carbono (CNPT) según la reacción:
Na2CO3 + 2.HCl  CO2 + H2O + 2.NaCl
Calcular:
a) Volumen de solución de HCl 38 % p/p (δ = 1,19 g/cm ³) necesario.
b) Masa de Na2CO3 necesaria.
c) Masa de NaCl que se forma.
Ver solución al final de ésta página
6) El cobre reacciona con el ácido sulfúrico según la ecuación:
2.H2SO4 + Cu  SO2 + CuSO4 + 2.H2O
Si se tienen 30 g de cobre y 200 g de H2SO4, calcular:
a) ¿Qué reactivo está en exceso y en qué cantidad?.
b) Número de moles de SO2 que se desprenden.
c) Masa de CuSO4 que se forma.
Ver solución al final de ésta página
7) El ácido bromhídrico y el ácido sulfúrico reaccionan según la ecuación:
H2SO4 + 2.HBr  SO2 + Br2 + 2.H2O
Si reaccionan 3 moles de H2SO4, calcular:
a) Masa de HBr necesaria.
b) Número de moles de Br2 formados, sabiendo que la reacción tiene un rendimiento del
90 %.
c) Volumen de SO2 que se desprende simultáneamente (medidos en CNPT).
314
Ver solución al final de ésta página
8) Cuando se trata el cobre con ácido nítrico se produce una reacción según la ecuación:
8.HNO3 + 3.Cu  3.Cu(NO3)2 + 2.NO + 4.H2O
Calcular:
a) ¿Cuántos gramos de ácido nítrico reaccionarán con 200 g de cobre.
b) ¿Qué peso de sal cúprica se obtendrá?.
Desarrollo:
En todos los ejercicios de estequeometría proceder de la siguiente forma:
Primero escribir la ecuación de formación y equilibrarla (balanceo).
Luego calcular los pesos de cada sustancia según los moles que intervienen, la suma de
los pesos a la izquierda de la flecha debe ser igual a la suma de los pesos a la derecha de
la flecha.
Resultados:
1) La ecuación de formación del trióxido de azufre es la siguiente:
2.S
+
3.O2

2.SO3
2.32,064 g + 3.(2.15,9994 g) = 2.(32,064 g + 3.15,9994 g)
64,128 g +
95,9964 g
=
160,1244 g
Mediante regla de tres simple calculamos que masa de azufre puro interviene:
Para: 100 % 
250 g de S
Luego: 98 %  m azufre = (98 %).(250 g de S):(100 %)
m azufre = 245 g de azufre puro.
315
Con éste resultado y mediante regla de tres simple calculamos la masa de trióxido de
azufre obtenido:
Para:
Luego:
64,128 g de
S
245 g de S

160,1244 g de SO3
m trióxido de azufre = (245 g de S).(160,1244 g de SO3):(64,128 g

de S)
m trióxido de azufre = 611,7527 g de SO3 puro.
Luego la ecuación de formación del ácido sulfúrico es la siguiente:
SO3
+
32,064 g + 3.15,9994
g
80,0622 g
H2O

2.1,00797 g + 15,9994
+
g
+
=
H2SO4
2.1,00797 g + 32,064 g +
4.15,9994 g
=
18,01534 g
98,07754 g
Con el valor de m trióxido de azufre y mediante regla de tres simple calculamos la masa de
ácido sulfúrico obtenido:
Para:
Luego:
80,0622 g de
SO3
611,7527 g de
SO3


98,07754 g de H2SO4
m ácido sulfúrico = (611,7527 g de SO3).(98,07754 g de
H2SO4):(80,0622 g de SO3)
m ácido sulfúrico = 749,4074 g de H2SO4 puro.
2) La ecuación de formación del ácido nítrico es la siguiente:
N2O5
2.14,0067 g +
5.15,9994 g
108,0104 g
+
+
+
H2O

2.1,00797 g +
15,9994 g
18,01534 g
316
=
=
2.HNO3
2.(1,00797 g +14,0067 g +
3.15,9994 g)
126,0257 g
Mediante regla de tres simple calculamos que masa de óxido nítrico necesaria:
Para:
126,0257 g de
HNO3

108,0104 g de N2O5
m óxido nítrico = (3150 g de HNO3).(108,0104 g de
Luego: 3150 g de HNO3 
N2O5):(126,0257 g de HNO3)
m óxido nítrico = 2699,7085 g de N2O5
Para calcular los moles lo hacemos de igual manera:
Para:
126,0257 g de
HNO3

Luego: 3150 g de HNO3 
1 mol de H2O
mol agua = (3150 g de HNO3).(1 mol de H2O):(126,0257
g de HNO3)
mol agua = 25 moles de agua.
3) La ecuación de formación del anhídrido nítrico es la siguiente:
5.O2
+
2.N2

2.N2O5
5.2.15,9994 g + 2.2.14,0067 g = 2.(2.14,0067 g + 5.15,9994 g)
159,994 g
+
56,0268 g
=
216,0208 g
Recordemos que en CNPT el volumen que ocupa un mol de gas es 22,4 litros, por lo
tanto:
5.O2
+
2.N2

2.N2O5
5.22,4 litros + 2.22,4 litros = 2.22,4 litros
112 litros
+ 44,8 litros = 44,8 litros
317
a) Para calcular los moles nitrógeno:
Para:
Luego:
112 litros de
O2
5,5 litros de
O2


2 moles de N2
mol nitrógeno = (5,5 litros de O2).(2 moles de N2):(112 litros de
O2)
mol nitrógeno = 0,01 mol de N2
b) Para calcular el volumen nitrógeno:
Para:
Luego:
112 litros de
O2
5,5 litros de
O2


44,8 litros de N2
V nitrógeno = (5,5 litros de O2).(44,8 litros de N2):(112 litros de
O2)
V nitrógeno = 2,2 litros de N2
c) Recordemos que en un mol hay 6,02.1023 moléculas, luego:
Para:
Luego:
112 litros
de O2
5,5 litros de
O2
2.6,02.1023 moléculas de N2O5


moléculas óxido nítrico = (5,5 litros de O2).(2.6,02.1023 moléculas
de N2O5):(112 litros de O2)
moléculas óxido nítrico = 2,96 moléculas de N2O5
4) La ecuación de formación del anhídrido nítrico es la siguiente:
N2
+
3.H2

2.NH3
2.14,0067 g + 3.2.1,00797 g = 2.(14,0067 g + 3.1,00797 g)
28,0134 g +
6,04782 g
=
34,06122 g
318
Recordemos que en CNPT el volumen que ocupa un mol de gas es 22,4 litros, por lo
tanto:
N2
+
3.H2

2.NH3
22,4 litros + 3.22,4 litros = 2.22,4 litros
22,4 litros + 67,2 litros = 44,8 litros
a) Si 3.000 kg de amoníaco = 3.000.000 g, para calcular el volumen nitrógeno medido
en CNPT:
Para:
Luego:
34,06122 g de
NH3
3.000.000 g de
NH3

22,4 litros de N2
V nitrógeno = (3.000.000 g de NH3).(22,4 litros de

N2):(34,06122 g de NH3)
V nitrógeno = 1.972.918,17 litros de N2
b) Para calcular la masa hidrógeno:
Para:
Luego:
34,06122 g de
NH3
3.000.000 g de
NH3

6,04782 g de H2
m hidrógeno = (3.000.000 g de NH3).(6,04782 g de

H2):(34,06122 g de NH3)
m hidrógeno = 532.672,053 g de H2 = 532,67 kg de H2
5) La ecuación estequeométrica es la siguiente:
Na2CO3
2.23 g + 12 g +
3.16 g
106 g
+
+
+
2.HCl
2.(1 g + 35,5
g)
73 g

=
CO2
12 g + 2.16
g
=
44 g
319
+
+
+
H2O
2.1 g + 16
g
18 g
+
+
+
2.NaCl
2.(23 g + 35,5
g)
117 g
a) Para calcular el ácido clorhídrico:
Para:
22,4 litros de

CO2
Luego: 15 litros de CO2 
73 g de HCl
m HCl = (15 litros de CO2).(73 g de HCl):(22,4 litros de
CO2)
m HCl = 48,88 g de HCl puro.
Para calcular el volumen de solución de HCl 38 % p/p:
Para: 38 % 
48,88 g
Luego: 100 %  m solución = (100 %).(48,88 g):(38 %)
m solución = 128,63 g
Si δ = m/V  V = m/ δ
V = (128,63 g)/(1,19 g/cm ³)
V = 108,1 cm ³
b) Para calcular la masa de Na2CO3:
Para:
Luego:
22,4 litros de
CO2
15 litros de
CO2


106 g de Na2CO3
m carbonato de sodio = (15 litros de CO2).(106 g de
Na2CO3):(22,4 litros de CO2)
m carbonato de sodio = 71 g de Na2CO3
320
c) Para calcular la masa de NaCl:
Para:
Luego:
22,4 litros de

CO2
15 litros de
117 g de NaCl
m cloruro de sodio = (15 litros de CO2).(117 g de NaCl):(22,4

CO2
litros de CO2)
m cloruro de sodio = 78,35 g de NaCl
6) La ecuación estequeométrica es la siguiente:
2.H2SO4
2.(2.1 g + 32 g +
4.16 g)
196 g
+
Cu

63,5
+
g
=
+ 63,5 =
g
SO2
32 g + 2.16
g
64 g
+
+
CuSO4
63,5 g + 32 + g
+
4.16 g
159,5 g
+
+
+
2.H2O
2.(2.1 g + 16
g)
36 g
a) Para calcular el reactivo que está en exceso comenzamos por cualquiera de los
involucrados:
Para: 63,5 g de Cu 
196 g de H2SO4
Luego: 30 g de Cu  m ácido sulfúrico = (30 g de Cu).(196 g de H2SO4):(63,5 g de Cu)
m ácido sulfúrico = 92,6 g de H2SO4
El ácido sulfúrico está en exceso y en la cantidad de:
200 g de H2SO4 - 92,6 g de H2SO4 = 107,4 g de H2SO4
A partir de acá tomamos como dato los 30 g de Cu.
321
b) El número de moles de SO2 que se desprenden será:
Para: 63,5 g de Cu 
1 mol de SO2
Luego: 30 g de Cu  m dióxido de azufre = (30 g de Cu).(1 mol de SO2):(63,5 g de Cu)
m dióxido de azufre = 0,47 mol de SO2
c) La masa de CuSO4 será:
Para: 63,5 g de Cu 
Luego: 30 g de Cu 
159,5 g de CuSO4
m sulfato cúprico = (30 g de Cu).(159,5 g de CuSO4):(63,5 g de
Cu)
m sulfato cúprico = 75,35 g de CuSO4
7) La ecuación estequeométrica es la siguiente:
H2SO4
+
2.HBr

SO2
+
Br2
+
2.H2O
2.1 g + 32 g + 4.16 g + 2.(1 g + 80 g) = 32 g + 2.16 g + 2.80 g + 2.(2.1 g + 16 g)
98 g
+
162 g
=
64 g
+ 160 g +
36 g
a) La masa de HBr será:
Para:
Luego:
1 mol de
H2SO4
3 mol de
H2SO4


162 g de HBr
m ácido bromhídrico = (3 mol de H2SO4).(162 g de HBr):(1 mol de
H2SO4)
m ácido bromhídrico = 486 g de HBr
322
b) El número de moles de Br2 formados al 100 %:
1 mol de
Para:
H2SO4
3 mol de
Luego:
H2SO4


1 mol de Br2
mol bromo = (3 mol de H2SO4).(1 mol de Br2):(1 mol de
H2SO4)
mol bromo = 3 mol de Br2 al 100 % de rendimiento.
mol bromo 90 % = mol bromo .0,90 = 0,9.3 mol de Br2 = 2,7 mol de Br2
c) El volumen de dióxido de azufre es:
Para:
Luego:
1 mol de
H2SO4
3 mol de
H2SO4


64 g de SO2 = 22,4 litros de SO2
V dióxido de azufre = (3 mol de H2SO4).(22,4 litros de SO2):(1
mol de H2SO4)
V dióxido de azufre = 67,2 litros de SO2
8) La ecuación estequeométrica es la siguiente:
8.HNO3
8.(1 g + 14 g +
3.16 g)
504 g
+
3.Cu

3.63,5
+
g
=
+ 190,5 =
g
3.Cu(NO3)2
3.(63,5 g + 2.(14 g +
3.16 g))
562,5 g
+
+
+
2.NO
2.(14 g +
16 g)
60 g
+
+
+
4.H2O
4.(2.1 g +
16 g)
72 g
a) La masa de ácido nítrico será:
Para: 190,5 g de Cu 
504 g de HNO3
Luego: 200 g de Cu  m ácido nítrico = (200 g de Cu).(504 g de HNO3):(190,5 g de Cu)
m ácido nítrico = 529,13 g de HNO3
323
b) La masa de nitrato cúprico será:
Para:
190,5 g de
Cu

Luego: 200 g de Cu 
562,5 g de Cu(NO3)2
m nitrato cúprico = (200 g de Cu).(562,5 g de Cu(NO3)2):(190,5 g
de Cu)
m nitrato cúprico = 590,55 g de Cu(NO3)2
Química - Estequeometría
Resolver:
1) El tejido óseo de una persona adulta pesa aproximadamente 11 kg y contiene 50 % de
Ca3 (PO4)2. Determinar los kilogramos de fósforo que hay en el tejido óseo de una
persona adulta.
Respuesta: 11,8 g
2) ¿Cuántos gramos de hidróxido de sodio son necesarios para neutralizar 364 g de
HCl?.
Respuesta: 400 g
3) ¿Cuántos gramos de hidróxido de calcio son necesarios para neutralizar 490 g de
ácido sulfúrico?.
Respuesta: 370 g
4) ¿Cuántos gramos de ácido nítrico se necesitan para neutralizar 370 g hidróxido de
calcio?.
Respuesta: 630 g
5) Calcular las masas de ácido clorhídrico y de hidróxido de sodio que se necesitan para
preparar 292 g de cloruro de sodio.
Respuesta: 182 g HCl y 200 g NaOH
324
6) Calcular la masa de sulfato ácido de sodio que se obtiene tratando 2,92 kg de cloruro
de sodio con ácido sulfúrico en cantidad suficiente. ¿Cuántos kilogramos de ácido
clorhídrico gaseoso se obtienen?. ¿Qué volumen ocupa ese gas?.
Respuesta: 6000 g NaHSO4
1,82 kg HCl
1117 dm3 HCl
7) Calcular la cantidad en peso y en volumen de CO2 (en CNPT) que se obtienen al
tratar 380 g de carbonato de calcio con la cantidad estequeométrica de ácido clorhídrico.
Calcular además, la cantidad de cloruro de calcio formado.
CaCO3 + 2.HCl  CaCl2 + H2O + CO2
Respuesta: 167,09 g
85,04 l
421,37 g
8) Calcular cuantos kilogramos y cuantos litros (en CNPT) de aire hacen falta para la
combustión completa de 100 kg de pentano (C5H12). El contenido de oxígeno en el aire
es del 21 % en volumen ó 23 % en peso.
Respuesta: 1542,6 kg
3809524 l
9) Una aleación tiene 20 % de cobre y 80 % de plata. Calcular la masa de sulfato
cúprico y sulfato de plata que se podrán obtener con 5 g de dicha aleación.
Respuesta: 1,63 g
2,08 g
10) Se necesitan 20 litros de oxígeno en CNPT. Calcular qué cantidad de clorato de
potasio de 95 % de pureza deben descomponerse para obtener ese volumen.
325
KClO3  KCl + 3/2.O2
Respuesta: 76,79 g
11) Reaccionan 10 g de aluminio con 10 g de oxígeno, ¿cuál de los reactivos está en
exceso?, ¿cuántos gramos de óxido de aluminio se forman?.
Respuesta: Oxígeno
18,89
Química - Estequeometría
Responder:
1) Para escribir la ecuación que representa una reacción química es necesario:
a) Conocer los reactivos que intervienen y de los productos de la reacción.
b) Conocer la fórmula de cada reactivo y los de los productos de la reacción.
c) Observar la ley de conservación de los átomos.
d) Conocer los indicados en todos los puntos anteriores.
2) Una ecuación química nos permite calcular:
a) Los pesos de las sustancias producidas.
b) Los pesos de las sustancias consumidas.
c) El número de moléculas de cualquier sustancia interviniente en la reacción.
d) Todos los datos expuestos en los puntos a), b) y c).
3) Una ecuación que represente la reacción química entre gases, nos permite conocer:
a) Las masas de los gases reaccionantes y de los gases obtenidos.
b) Los volúmenes de los gases reaccionantes y de los gases obtenidos.
326
c) El número de moléculas de los gases reaccionantes y de los gases obtenidos.
d) Todos los datos indicados en los puntos a), b) y c).
4) Los cálculos basados en una ecuación química se fundamentan en:
a) Las leyes gravimétricas de la química.
b) Las leyes volumétricas de la química.
c) Ninguna de las expuestas en los puntos a) y b).
d) En todas las leyes expuestas en los puntos a) y b).
5) Una reacción química se dice que es de síntesis, cuando:
a) Las sustancias reaccionantes son sustancias simples.
b) Cuando los productos obtenidos son sustancias simples.
c) Cuando se produce una modificación de valencias en las sustancias reaccionantes.
d) Ninguna respuesta es correcta.
6) En una reacción química de síntesis:
a) No existe cambio de valencia en los elementos participantes.
b) Se produce una verdadera reacción de óxido reducción
c) Existen cambios de valencia en los elementos participantes.
d) Se produce una sustancia compuesta a partir de sustancias simples.
7) Una reacción de descomposición se caracteriza porque:
a) A partir de una sustancia compuesta se obtienen dos o más sustancias compuestas.
b) A partir de una sustancia compuesta se obtienen dos o más sustancias simples.
327
c) Se producen cambios de valencias en los elementos.
d) No se producen cambios de valencia en los elementos.
Química - Orgánica
QUIMICA DE LOS COMPUESTOS DEL CARBONO
El átomo de carbono, debido a su configuración electrónica, presenta una importante
capacidad de combinación. Los átomos de carbono pueden unirse entre sí formando
estructuras complejas y enlazarse a átomos o grupos de átomos que confieren a las
moléculas resultantes propiedades específicas. La enorme diversidad en los compuestos
del carbono hace de su estudio químico una importante área del conocimiento puro y
aplicado de la ciencia actual.
Durante mucho tiempo la materia constitutiva de los seres vivos estuvo rodeada de no
pocas incógnitas. Frente a la materia mineral presentaba, entre otras, una característica
singular, su capacidad de combustión. Parecía como si los únicos productos capaces de
arder hubieran de proceder de la materia viviente. En los albores de la química como
ciencia se advirtió, además, que si bien la materia procedente de organismos vivos podía
degradarse en materia mineral por combustión u otros procesos químicos,no era posible
de ninguna manera llevar a cabo en el laboratorio el proceso inverso.
Argumentos de este estilo llevaron a Berzelius, a comienzos del siglo XIX, a sugerir la
existencia de dos tipos de materia en la naturaleza, la materia orgánica o materia
propia de los seres vivos, y la materia inorgánica. Para justificar las diferencias entre
ambas se admitió que la materia orgánica poseía una composición especial y que su
formación era debida a la intervención de una influencia singular o «fuerza vital»
exclusiva de los seres vivos y cuya manipulación no era posible en el laboratorio. La
crisis de este planteamiento, denominado vitalismo, llevó consigo el rápido desarrollo
de la química de la materia orgánica en los laboratorios, al margen de esa supuesta
«fuerza vital».
En la actualidad, superada ya la vieja clasificación de Berzelius, se denomina química
orgánica a la química de los derivados del carbono e incluye el estudio de los
328
compuestos en los que dicho elemento constituye una parte esencial, aunque muchos de
ellos no tengan relación alguna con la materia viviente.
EL ATOMO DE CARBONO
Configuración electrónica
El átomo de carbono constituye el elemento esencial de toda la química orgánica, y
dado que las propiedades químicas de elementos y compuestos son consecuencia de las
características electrónicas de sus átomos y de sus moléculas, es necesario considerar la
configuración electrónica del átomo de carbono para poder comprender su singular
comportamiento químico.
Se trata del elemento de número atómico Z= 6. Por tal motivo su configuración
electrónica en el estado fundamental o no excitado es 1 s ² 2 s ² 2 p ². La existencia de
cuatro electrones en la última capa sugiere la posibilidad bien de ganar otros cuatro
convirtiéndose en el ion C4- cuya configuración electrónica coincide con la del gas
noble Ne, bien de perderlos pasando a ion C4+ de configuración electrónica idéntica a la
del He. En realidad una pérdida o ganancia de un número tan elevado de electrones
indica una dosis de energía elevada, y el átomo de carbono opta por compartir sus
cuatro electrones externos con otros átomos mediante enlaces covalentes. Esa cuádruple
posibilidad de enlace que presenta el átomo de carbono se denomina tetravalencia.
Enlaces
Los cuatro enlaces del carbono se orientan simétricamente en el espacio de modo que
considerando su núcleo situado en el centro de un tetraedro, los enlaces están dirigidos a
lo largo de las líneas que unen dicho punto con cada uno de sus vértices. La formación
de enlaces covalentes puede explicarse, recurriendo al modelo atómico de la mecánica
cuántica, como debida a la superposición de orbitales o nubes electrónicas
correspondientes a dos átomos iguales o diferentes. Así, en la molécula de metano CH4
(combustible gaseoso que constituye el principal componente del gas natural), los dos
electrones internos del átomo de C, en su movimiento en torno al núcleo, dan lugar a
una nube esférica que no participa en los fenómenos de enlace; es una nube pasiva . Sin
embargo, los cuatro electrones externos de dicho átomo se mueven en el espacio
formando una nube activa de cuatro lóbulos principales dirigidos hacia los vértices de
329
un tetraedro y que pueden participar en la formación del enlace químico. Cuando las
nubes electrónicas de los cuatro átomos de hidrógeno se acercan suficientemente al
átomo de carbono, se superponen o solapan con los lóbulos componentes de su nube
activa, dando lugar a esa situación favorable energéticamente que denominamos enlace.
Todos los enlaces C —H en el metano tienen la misma longitud 1,06 Å (1 Å == 10-10 m)
y forman entre, sí ángulos iguales de 109°. Tal situación define la geometría tetraédrica
característica de los enlaces del carbono. La propiedad que presentan los átomos de
carbono de unirse de forma muy estable no sólo con otros átomos,sino también entre sí
a través de enlaces C — C, abre una enorme cantidad de posibilidades en la formación
de moléculas de las más diversas geometrías, en forma de cadenas lineales,cadenas
cíclicas o incluso redes cúbicas. Este es el secreto tanto de la diversidad de compuestos
orgánicos como de su elevado número.
El carbono frente al silicio
Cabe preguntarse si la situación del carbono es singular o si por el contrario algún otro
elemento participa de sus mismas propiedades. Observando el sistema periódico se
advierte que el silicio está situado en el mismo grupo justo debajo del carbono y con
idéntica configuración electrónica externa. ¿Por qué razón la vida se ha desarrollado
sobre los compuestos del carbono y no sobre los del silicio? ¿Por qué los derivados del
silicio son tan poco numerosos frente a los del carbono? La existencia en el silicio de
ocho electrones internos adicionales respecto del carbono hace que los electrones
externos o de valencia responsables del enlace químico estén más alejados del núcleo y,
por tanto, atraídos por él más débilmente. Ello se traduce en que la fuerza de los enlaces
del silicio es comparativamente menor; particularmente lo es el enlace Si-Si (cuya
energía de enlace es aproximadamente la mitad de la del enlace C — C), lo que le
convierte en más reactivo, es decir, menos estable químicamente.
No obstante, el silicio cristaliza formando una red tridimensional semejante a la del
diamante, y sus derivados constituyen el 87 % de la composición de la corteza terrestre.
Su combinación con el oxígeno origina la sílice o cuarzo (SiO2). El carácter
francamente polar de esta unión da lugar a estructuras reticulares o redes cristalinas que
por sus propiedades se parecen enormemente a las de los sólidos iónicos.
330
HIBRIDACION DE ORBITALES
La geometría de las moléculas en general y la de los compuestos del carbono en
particular, puede explicarse recurriendo a la idea de hibridación de orbitales. El análisis
de tres átomos típicos, el berilio (Be), el boro (B) y el carbono (C) permite ilustrar este
fenómeno mecanocuántico. El berilio tiene como configuración electrónica 1 s ²2 s ²; a
pesar de que todos sus orbitales están completos se combina dando lugar a moléculas
lineales con dos enlaces.
La explicación de este hecho experimental es la siguiente: cuando el átomo de Be se
excita, un electrón 2 s es promovido al orbital 2 px y la configuración electrónica del
berilio excitado, Be*, se convierte en 1s ²2s¹2px¹. Los dos electrones desapareados 2 s y
2 px pueden dar lugar a sendos enlaces, que por sus características deberían ser de
diferente intensidad. La observación experimental demuestra, sin embargo, que ambos
enlaces son equivalentes y la teoría cuántica del enlace químico explica este hecho
recurriendo a la idea de hibridación. Cuando el berilio se excita, se produce una
combinación entre los orbitales 2 s y 2 px que da lugar a sendos orbitales híbridos sp
equivalentes. En el átomo de boro, de configuración electrónica 1s ²2s ²2px¹, sucede
algo similar y el boro excitado, B*, alcanza la configuración 1s ²2s¹2px¹2py¹ por la
promoción de un electrón 2 s a un orbital 2 p. Los orbitales correspondientes a los tres
electrones desapareados se hibridan dando lugar a tres orbitales equivalentes sp ² que
determinan la geometría trigonal plana de sus enlaces.
El átomo de carbono, con configuración electrónica 1 s ²2 s ²2 p ² en el estado
fundamental, se convierte, por efecto de la excitación, en 1s ²2s¹2px¹2py¹2pz¹ con cuatro
electrones desapareados, cuyos orbitales respectivos se hibridan para dar lugar a otros
tantos orbitales equivalentes sp ³ cuyos lóbulos se orientan tetraédricamente. Los
lóbulos principales de los orbitales que resultan de la hibridación se denominan, con
frecuencia, nubes activas porque son ellas las que participan en la formación del enlace.
HIDROCARBUROS - ASPECTOS ESTRUCTURALES
La geometría de sus moléculas
Los hidrocarburos son los derivados del carbono más sencillos. Resultan de la unión
únicamente de átomos de carbono con átomos de hidrógeno y de átomos de carbono
331
entre sí formando cadenas que pueden ser abiertas o cerradas y cuyos «eslabones»
pueden estar unidos por enlaces simples o por enlaces múltiples. Aquellos
hidrocarburos que presentan únicamente enlaces simples reciben el nombre de
hidrocarburos saturados (alcanos).
El representante más sencillo de los hidrocarburos saturados es el metano CH4; no
obstante, el etano C2H6da una mejor idea de las características de este tipo de
hidrocarburos. La molécula de etano está compuesta por dos átomos de carbono y seis
átomos de hidrógeno que se unen entre sí mediante enlaces covalentes sencillos. Desde
un punto de vista puramente geométrico se puede representar la molécula de etano
mediante dos tetraedros contiguos y opuestos por uno de sus vértices, en donde los dos
átomos de carbono ocupan los centros de los respectivos tetraedros,y los de hidrógeno
los vértices libres. Todos los enlaces C —H tienen la misma longitud igual a 1,06 Å,
mientras que el enlace C —C, de características electrónicas diferentes, presenta un
valor superior e igual a 1,54 Å. El resto de los compuestos de esta serie de
hidrocarburos de cadena abierta puede obtenerse intercalando en el etano sucesivamente
grupos — CH2 —.
Las cadenas de los hidrocarburos saturados pueden también cerrarse formando
estructuras cíclicas. El ciclohexano es un ejemplo. Los enlaces C —C forman una
estructura hexagonal, no plana. Pueden presentarse dos posibles disposiciones
geométricas de sus átomos en el espacio respetando la geometría tetraédrica de los
enlaces del carbono: una en forma de silla y otra en forma de barco. En cada uno de los
vértices, los enlaces correspondientes se dirigen hacia los vértices de un tetraedro
imaginario, es decir, formando ángulos de 109° aproximadamente. Si la estructura
molecular fuera plana como en un hexágono, los ángulos CCC serían iguales a 120°, lo
que no es compatible con la geometría tetraédrica de los enlaces del carbono en los
hidrocarburos saturados. Dicha geometría explica entonces la conformación de la
molécula.
Los hidrocarburos no saturados se caracterizan, desde el punto de vista de su
estructura molecular, por la presencia de enlaces dobles (alquenos) o triples (alquinos).
La molécula de eteno o etileno está formada por dos átomos de carbono unidos por un
enlace doble; mediante sus otros dos enlaces restantes cada átomo de carbono se une a
otros tantos átomos de hidrógeno. La existencia de un doble enlace modifica
332
considerablemente la geometría de la molécula de eteno respecto de la de etano, ahora
los ángulos HCH y HCC son iguales a 120° como corresponde a una estructura plana.
Además la longitud de enlace C — C se acorta pasando de los 1,54 Å en el etano a 1,34
Å en el eteno, indicando con ello que la unión es más fuerte. A diferencia de lo que
sucede con un enlace sencillo, un enlace múltiple impide la rotación de la molécula en
torno a él y le confiere, por tanto, una cierta rigidez.
Enlaces σ y enlaces π
A la vista de la forma en la que los enlaces se representan en las fórmulas químicas
puede pensarse que los diferentes enlaces de una unión múltiple entre dos átomos de
carbono son equivalentes. Sin embargo, tanto la observación experimental como los
resultados de la teoría del enlace químico indican que ello no es así; los dos enlaces de
una unión doble no tienen la misma fuerza, uno se asemeja al de la unión simple
carbono-carbono y recibe el nombre de enlace σ; el otro es más frágil y se denomina
enlace π. Esta situación puede explicarse de forma cualitativa recurriendo a la imagen
de las nubes activas; a diferencia de lo que sucede en el etano, en el eteno pueden
distinguirse para cada átomo de carbono dos tipos de nubes activas, una con tres lóbulos
principales se encuentra en el plano de la molécula, la otra con dos se halla en un plano
perpendicular. El solapamiento frontal de las primeras da lugar a enlaces σ con los
átomos de H y entre los átomos de C; el solapamiento lateral de las segundas produce el
enlace π más débil.
Una situación de enlace peculiar es la que presenta el benceno, un hidrocarburo cíclico
y no saturado de singular importancia en la química orgánica. Aunque como el
ciclohexano el benceno posee un «esqueleto» de átomos de carbono formado por seis
unidades, presenta una diferencia importante, la presencia de dobles enlaces, tantos
como le permite la tetravalencia del carbono. De acuerdo con ella, cualquiera de las
siguientes estructuras, por ejemplo, se ajustaría correctamente a su fórmula molecular
C6H6:
333
Empleando un esquema de planos perpendiculares para distinguir entre los enlaces σ y
los enlaces π ambas estructuras se podrían representar como en la figura adjunta. Las
nubes electrónicas activas, cuyo solapamiento frontal genera los enlaces σ,están todas
en un mismo plano, lo que da lugar a una estructura plana formando un hexágono
regular. Las nubes electrónicas cuyo solapamiento lateral produce los enlaces π se
encuentran en un plano perpendicular al de la molécula.
Aun cuando las estructuras de partida parecen distinguir entre los enlaces dobles y los
sencillos en la molécula de benceno, observaciones experimentales han puesto de
manifiesto que la longitud de los diferentes enlaces C —C es idéntica e igual a 1,39 Å,
es decir, intermedia entre la de un enlace sencillo (1,54 Å) y uno doble (1,34 Å).
Estudios teóricos refuerzan la idea de que en el benceno se produce un solapamiento
lateral generalizado de las nubes situadas en planos perpendiculares al de la molécula, lo
que se traduce en sendos anillos superior e inferior. Eso significa que los electrones que
participan en los enlaces π están deslocalizados, es decir, no pueden ser asignados a
ningún par de átomos en concreto. Esta deslocalización da lugar a una importante
disminución en la energía potencial de la molécula, lo que explica la considerable
estabilidad química de este compuesto orgánico y de sus análogos.
GRUPOS FUNCIONALES - ASPECTOS ESTRUCTURALES
Los hidrocarburos presentan propiedades físicas y químicas que se derivan de su
estructura. Así, los hidrocarburos saturados, debido a la ausencia de dobles enlaces,se
caracterizan por su escasa reactividad. En condiciones ambientales los cuatro primeros
miembros de la serie son gases incoloros, pero a medida que aumenta el número de
grupos CH2 adicionales los hidrocarburos aumentan su punto de fusión, lo que les hace
334
ser líquidos y sólidos en esas mismas condiciones. La gasolina, por ejemplo, contiene,
entre otros componentes, una mezcla de hidrocarburos líquidos, y la parafina (en latín
parum = poca, affinis = afinidad, es decir, poca capacidad de reacción química) es, en
esencia, una mezcla de hidrocarburos sólidos a temperatura ambiente.
Sin embargo, junto con los enlaces C — C y C —H de los hidrocarburos saturados, que
se caracterizan por su estabilidad, otros diferentes grupos atómicos pueden estar
presentes en las cadenas hidrocarbonadas, dando lugar a distintos tipos de moléculas
orgánicas. Estos grupos atómicos que incrementan y modifican, de acuerdo con su
composición, la capacidad de reacción de los hidrocarburos se denominan grupos
funcionales. En ellos figuran elementos tales como el oxígeno, el nitrógeno o el azufre,
que hacen de los grupos funcionales auténticos centros reactivos de la molécula. Los
principales grupos funcionales son los siguientes.
Grupo hidroxilo (- OH)
Es característico de los alcoholes, compuestos constituidos por la unión de dicho grupo
a un hidrocarburo. El carácter polar del enlace O —H les confiere sus propiedades
químicas características, algunas de las cuales son parecidas a las de la molécula de
agua. Al igual que ésta, pueden ceder o aceptar iones H+ y actuar, por tanto, como ácido
o como base. El alcohol puede neutralizar a un ácido de forma parecida a como lo hace
una base inorgánico.
Grupo carbonilo (>C=O)
Su presencia en una cadena hidrocarbonada (R) puede dar lugar a dos tipos diferentes de
sustancias orgánicas: los aldehídos y las cetonas. En los aldehídos el grupo CO,
estando unido por un lado a un carbono terminal de una cadena hidrocarbonada y por
otro a un átomo de hidrógeno, ocupa una posición extrema en la cadena. En las cetonas,
por el contrario, el grupo carbonilo se une a dos cadenas hidrocarbonadas, ocupando por
tanto una situación intermedia. El enlace C = O del grupo carbonilo está fuertemente
polarizado, pues el oxígeno atrae la carga compartida hacia sí más que el carbono.
Dicha polarización es responsable de la actividad química de este grupo, que se hace
más destacada en los aldehídos debido a la posición extrema, y por tanto más accesible,
que ocupa dicho grupo en la cadena hidrocarbonada. Tanto los aldehídos como las
335
cetonas se pueden obtener mediante la oxidación suave de alcoholes. Inversamente, la
hidrogenación del grupo carbonilo reproduce el grupo alcohólico.
Grupo carboxilo
Es el grupo funcional característico de los ácidos orgánicos. En ellos el enlace O — H
está polarizado, pero ahora más intensamente que en el grupo hidroxilo, debido a que la
proximidad del grupo +C=O- contribuye al desplazamiento del par de electrones del
enlace O — H hacia el átomo de oxígeno. Por tal motivo, el átomo de hidrógeno se
desprende del grupo carboxilo, en forma de ion H+, con una mayor facilidad,
comportándose como un ácido. Un ácido orgánico puede obtenerse por oxidación de los
alcoholes según la reacción:
etanol
ácido etanoico o acético
CH3CH2OH
CH3COOH
Los ácidos orgánicos reaccionan con los alcoholes de una forma semejante a como lo
hacen los ácidos inorgánicos con las bases en las reacciones de neutralización. En este
caso la reacción se denomina esterificación, y el producto análogo a la sal inorgánico
recibe el nombre genérico de éster :
CH3COOH + CH3CH2OH  H2O + CH3 - COOC2H5
ácido acético etanol acetato de etilo
Los ácidos orgánicos son, en general, ácidos débiles.
336
Grupo amino
Puede considerarse como un grupo derivado del amoníaco (NH3) y es el grupo
funcional característico de una familia de compuestos orgánicos llamados aminas .Al
igual que el amoníaco, el grupo amino tiene un carácter básico, de modo que aceptan
con facilidad iones H+:
metil amina
ion metilamonio
CH3NH2
CH3NH3+
APLICACION: DETERMINACION DE LA FORMULA EMPIRICA DE UN
ALCOHOL
Se desea determinar la fórmula empírica de un alcohol, para lo cual se queman 92,0
gramos del alcohol problema y se obtienen como productos de la reacción de
combustión 176,0 g de dióxido de carbono y 108,0 g de agua. a) Identificar el alcohol
de que se trata. b) Escribir la reacción de combustión ajustada.
Un alcohol está constituido por átomos de H, C y O de modo que el cálculo de la
proporción en la que tales átomos intervienen permitirá determinar los subíndices
característicos de la fórmula empírica. En lo que sigue se procederá a calcular el número
de moles de cada elemento cuya proporción equivale a la del número de átomos
correspondientes.
nº de moles CO2 = nº de gramos/(nº de gramos/mol) = 176 g/(44,0 g/mol) = 4,0 moles
Pues M (CO2) = M(C) + 2M(O) = 1,02 + 2 · 16,0 = 44,0 g/mol
nº de moles H 2O = nº de gramos/(nº de gramos/mol) = 108 g/(18,0 g/mol) = 6,0 moles
337
Pues M(H2O) = 2M(H) + M(O) = 2 · 1,0 + 16,0 =18,0 g/mol
Como el CO2y el H2O son los dos únicos productos de la combustión, todo el C y el H
de tales productos procederá del alcohol de modo que los 92,0 g de alcohol contendrán
4,0 moles de átomos de carbono y 12,0 moles de átomos de hidrógeno,o lo que es lo
mismo, 4,0 · 12,0 = 48,0 gramos de carbono y
12,0 · 1,0 = 12,0 gramos de hidrógeno, siendo los 32,0 gramos restantes de oxígeno
(12,0 + 48,0 + 32 = 92,0), que equivalen a 32,0/16,0 = 2,0 moles de átomos de este
elemento.
La proporción en número de moles es por tanto:
4 de C: 12 de H : 2 de O
Proporción que, según el concepto de mol, equivale a la del número de átomos
correspondientes y que se traduce en una fórmula química del tipo C4H12O2, es decir,
C2H6O. Se trata, por tanto, del alcohol etílico o etanol, cuya fórmula semidesarrollada es
CH3-CH2OH.
La reacción de combustión ajustada de este alcohol vendrá dada por la ecuación:
C2H6O + 3O2 2CO2 + 3H2O
Los 92,0 g de alcohol se completan hasta los 176,0 + 108,0 = 284,0 g de productos con
el oxígeno atmosférico, que aparece como reactivo en el primer miembro de la ecuación
química.
ISOMERIA
El término isomería procede del griego (isos = igual; meros = parte) y se refiere a la
propiedad que presentan algunos compuestos, particularmente los orgánicos,de poseer
la misma fórmula molecular, pero características diferentes. Los compuestos isómeros
poseen la misma composición en lo que se refiere al tipo de elementos y a su
proporción; dicho de otro modo, tienen los mismos átomos componentes y en igual
número, pero organizados de diferente manera; son por tanto compuestos distintos.
338
Isomerías planas
El butano, por ejemplo, es un hidrocarburo saturado cuya fórmula empírica o molecular
es C4H10. Pero a esa misma fórmula empírica se ajustan dos compuestos diferentes que
pueden distinguirse, desde el punto de vista de la organización de sus átomos,
escribiendo su fórmula desarrollada o incluso semidesarrollada:
n-butano
isobutano
Para diferenciarlos se utilizan los nombres de n-butano (butano normal) e isobutano
(isómero del butano). Este tipo de isomería, que afecta a la disposición de los diferentes
eslabones de la cadena hidrocarbonada, recibe el nombre de isomería de cadena.
Otro tipo de isomería denominada isomería de posición, es la que presentan los
compuestos que teniendo la misma fórmula molecular e idéntica función química
(alcohol, ácido, aldehído, etc.), se diferencian en la posición que el grupo funcional
correspondiente ocupa en la molécula. Así, por ejemplo, el grupo alcohol - OH en el
propanol puede situarse unido, bien a un átomo de carbono extremo, o bien al átomo de
carbono central. En ambos casos la fórmula molecular es C3H8O,pero se trata de dos
compuestos diferentes:
n-propanol
iso-propanol
Un tercer tipo de isomería fácil de reconocer es la que afecta a la función (isomería de
función). La presentan los compuestos con igual fórmula molecular, pero diferente
339
función química. Tal es el caso, por ejemplo, de los aldehídos y las cetonas y,
particularmente, del propanol frente a la propanona:
Propanol y propanona
(C3H6O) (C3H6O)
Estereoisomerías
Cualquiera de las isomerías anteriormente consideradas constituye una isomería plana.
Se les otorga este nombre porque son tan fáciles de reconocer que basta disponer de la
fórmula plana de los compuestos para averiguar si son o no isómeros. No obstante, la
naturaleza presenta otros tipos de isómeros más difíciles de identificar; para conseguirlo
es preciso efectuar una representación de la molécula en el espacio y analizar la
orientación relativa de sus átomos o grupos de átomos; por tal motivo este tipo de
isomería recibe el nombre de isomería del espacio o estereoisomería. La forma más
simple de estereoisomería es la llamada isomería geométrica o isomería cis-trans.
Este tipo de isomería se presenta asociada a rotación impedida de la molécula sobre un
enlace carbono-carbono. Tal es el caso de aquellos hidrocarburos no saturados en los
que la presencia de un doble enlace elimina la posibilidad de rotación en torno a él. En
la figura adjunta se representa un esquema genérico de isómeros cis-trans; a y b
representan dos átomos o grupos de átomos diferentes.
El plano vertical que contiene al doble enlace divide en dos (1 y 2) al plano de la
molécula. En el primer caso (isómero-cis) los grupos a se hallan situados al mismo lado
(2) del doble enlace, mientras que en el segundo (isómero-trans) los grupos iguales entre
sí se hallan situados a uno y otro lado del plano definido por el doble enlace. Ambos
compuestos,cualesquiera que sean a y b, aun teniendo la misma composición química,
difieren en sus propiedades; son por tanto isómeros (estereoisómeros) .
340
El tipo de isomería más especial es la llamada isomería óptica. Los isómeros ópticos
poseen las mismas propiedades químicas y físicas salvo en lo que respecta a su
comportamiento frente a la luz, de ahí su nombre. La isomería óptica tiene su origen en
una orientación espacial diferente de los átomos o grupos de átomos que constituyen los
isómeros. Se trata, por tanto, de una estereoisomería. Se presenta cuando en la molécula
existe un átomo de carbono asimétrico, es decir, un átomo cuyos cuatro enlaces se
unen a átomos o grupos atómicos diferentes. En tal caso son posibles dos distribuciones
de los diferentes átomos en torno al carbono asimétrico, que guardan entre sí la misma
relación que un objeto y su imagen en el espejo, o lo que es lo mismo, que la mano
izquierda respecto de la mano derecha. Ambas conformaciones moleculares son
simétricas pero no idénticas, esto es, no superponibles, del mismo modo que tampoco lo
son las dos manos de una misma persona.
LA IMPORTANCIA DE LA QUIMICA ORGANICA
A pesar de su aparición tardía en la historia de la química, la química de los compuestos
del carbono es en la actualidad la rama de las ciencias químicas que crece con mayor
rapidez. La variedad de productos derivados del carbono puede resultar prácticamente
ilimitada debido a las propiedades singulares de dicho átomo y, por tanto, constituye
una fuente potencial de nuevos materiales con propiedades especiales, de medicamentos
y productos sanitarios, de colorantes, de combustibles, etc. Algunos de estos ejemplos
son considerados a continuación.
La materia viviente es, en parte, materia constituida por derivados del carbono. Las
transformaciones que sufren los seres vivos, y que observamos a simple vista, se
corresponden, desde un punto de vista submicroscópico o molecular, con cambios o
reacciones químicas de las sustancias biológicas. Azúcares, grasas, proteínas, hormonas,
ácidos nucleicos, son algunos ejemplos de sustancias, todas ellas compuestos del
carbono, de cuya síntesis y degradación en el interior de los organismos vivos se ocupa
la bioquímica.
Medicamentos
El mundo de los medicamentos ha constituido en el pasado y constituye en la actualidad
una parte importante de la investigación y el desarrollo de productos derivados del
341
carbono. Su importancia en orden a mejorar la esperanza de vida de los seres humanos y
sus condiciones sanitarias hace de esta área del conocimiento científico una herramienta
imprescindible para la medicina. Pero, ¿por qué los medicamentos son, por lo general,
compuestos orgánicos? ¿Cuál es el origen de este hecho?
Los fármacos actúan en el organismo a nivel molecular y es precisamente el
acoplamiento entre la molécula del fármaco y el receptor biológico, es decir, el sitio de
la célula o del microorganismo sobre el cual aquél actúa, el último responsable de su
acción curativa. Pero para que ese acoplamiento sea posible ambos agentes, fármaco y
receptor, tienen que presentar una cierta complementariedad tal y como sucede con una
cerradura y su correspondiente llave. Los receptores biológicos suelen ser moléculas de
gran tamaño y por este motivo son las cadenas carbonadas de los compuestos orgánicos
las que pueden poseer una estructura geométrica que mejor se adapte a la porción clave
del receptor; tal hecho, junto con la presencia de grupos funcionales con acciones
químicas definidas, son responsables de la abundancia de sustancias orgánicas entre los
productos farmacéuticos.
Polímeros orgánicos
Los polímeros orgánicos son compuestos formados por la unión de dos o más unidades
moleculares carbonadas idénticas que reciben el nombre de monómeros. La unión de
dos monómeros da lugar a un dímero, la de tres a un trímero, etc.
Los polímeros pueden llegar a contener cientos o incluso miles de monómeros,
constituyendo moléculas gigantes o macromoléculas.
Existen en la naturaleza diferentes sustancias que desde un punto de vista molecular son
polímeros, tales como el caucho o las proteínas; pero en el terreno de las aplicaciones
los más importantes son los polímeros artificiales. Su síntesis en los laboratorios de
química orgánica ha dado lugar a la producción de diferentes generaciones de nuevos
materiales que conocemos bajo el nombre genérico de plásticos. La sustitución de
átomos de hidrógeno de su cadena hidrocarbonada por otros átomos o grupos atómicos
ha diversificado las propiedades de los plásticos; la investigación en el terreno de los
polímeros artificiales ha dado como resultado su amplia implantación en nuestra
342
sociedad, sustituyendo a materiales tradicionales en una amplia gama que va desde las
fibras textiles a los sólidos resistentes.
Química - Orgánica
Grasas, aceites y jabones
1. ¿Cuál es la composición y estructura de las grasas y los aceites?
Se forman por la combinación del alcohol glicerol o propanotriol (comúnmente llamado
glicerina) con ciertos ácidos, llamados ácidos grasos.
Las grasas y los aceites son ésteres (un alcohol más un ácido). Como el alcohol que los
forma es el glicerol, se los llama también glicéridos. La numeración de la cadena se
hace a partir del grupo carboxilo.
2. ¿A qué se llama ácidos grasos?
Estos compuestos tienen, en general, una cadena hidrocarbonada larga, variable entre 12
y 26 átomos de carbono, en uno de cuyos extremos se encuentra el grupo ácido o
carboxilo.
La cadena hidrocarbonada puede ser saturada, es decir, tener enlaces simples entre sus
carbonos, o bien presentar uno o más dobles enlaces.
En las grasas de reserva de los animales existen sobre todo los ácidos de 16 y 18 átomos
de carbono.
Además de la nomenclatura que les corresponde oficialmente (terminación oico), son
conocidos por otros nombres que han sido derivados casi siempre de su origen.
Esto sucede, por ejemplo, con el ácido de 16 átomos de carbono, denominado
hexadecanoico, que habitualmente se conoce como ácido palmítico por ser el principal
componente del aceite de palma. Su fórmula molecular es C16H32O2.
Otro ácido graso importante es el ácido octadecanoico o esteárico. Su nombre se debe a
que es el más abundante en el sebo animal.
343
Además de estos ácidos saturados, tiene importancia el ácido oleico, con 18 carbonos;
su característica es la existencia de un doble enlace entre los carbonos nueve y diez. El
ácido linoleico tiene igualmente 18 átomos de carbono, con dos dobles enlaces entre los
carbonos 9 y 10 y entre los 12 y 13.
3. ¿Cómo se forma una grasa?
El glicerol tiene tres grupos OH. Por lo tanto, se puede combinar hasta con tres ácidos
grasos iguales o diferentes para constituir una gran variedad de grasas. Las grasas se
nombran según las reglas de nomenclatura de un éster cualquiera. Es una reacción
reversible, es decir, un proceso que se cumple en las dos direcciones. Por un lado, se
forma la grasa; pero algunas moléculas de esta pueden reaccionar con el agua
produciendo la reacción inversa en la que se regeneran el glicerol y el ácido graso. En
las grasas naturales predominan los ésteres,en los que intervienen tres ácidos grasos
iguales o diferentes. Se los denomina triglicéridos.
La grasa es un glicérido. El estado sólido se debe a que predominan los ácidos grasos
saturados (sólidos). Además de los glicéridos existen ácidos grasos libres y un residuo
formado por compuestos de estructura compleja, llamados esteroles, y también vitamina
E, denominada tocoferol. Esta última sustancia, además de su actividad como vitamina,
es un antioxidante natural que protege la grasa de la acción del aire.
4. ¿Cuáles son las propiedades más importantes de una grasa?
Son sustancias insolubles en agua y menos densas que ella. En cambio, se disuelven en
otros disolventes tales como la nafta, el éter, el benceno, el tetracloruro de carbono, el
cloroformo.
Las grasas pueden descomponerse, dando nuevamente el glicerol y los ácidos grasos
que las constituyen, en una reacción inversa a la de su formación. Como esta
descomposición es producida por el agua, el fenómeno se llama hidrólisis. Se realiza
con vapor de agua a presión, en autoclaves y utilizando catalizadores. En los seres
vivos, la hidrólisis se activa por el concurso de enzimas llamadas lipasas.
344
5. ¿Qué significa saponificación?
Esta importante reacción descompone las sustancias grasas cuando se las hierve con una
solución de un hidróxido fuerte, como el de sodio o el de potasio.
El fenómeno es comparable a la hidrólisis pero, en lugar de quedar libres los ácidos,se
convierten en las sales del metal del hidróxido empleado. Estas sales son los jabones.
Como los ácidos predominantes en las grasas son el palmítico, el esteárico y el oleico,
se formaran mezclas de palmitatos, estearatos y oleatos de sodio o de potasio, que son
los que componen la mayor parte de los jabones. Las reacciones de saponificación no
son reversibles.
6. ¿A qué se debe la rancidez de una grasa?
Las sustancias grasas sufren, por la acción del aire, el agua y las bacterias, fenómenos
complejos de descomposición llamados de rancidez o enranciamiento.
Ocurren reacciones de hidrólisis lentas, catalizadas por enzimas, que dan lugar a la
formación de aldehídos y cetonas. El oxígeno del aire ataca a los dobles enlaces y, en un
proceso progresivo, termina por romper la cadena de carbonos produciendo compuestos
de mal olor. En la manteca, esta alteración provoca la aparición del ácido butírico o
butanoico, causante del sabor y del olor que toma esta sustancia cuando se altera.
7. ¿Cómo se clasifican las sustancias grasas? Explicar cada una de ellas.
Las sustancias grasas se clasifican en grasas y aceites. Teniendo en cuenta su origen,
pueden ser animales o vegetales.
- Grasas animales, como el sebo extraído del tejido adiposo de bovinos y ovinos, grasa
de cerdo, la manteca, etc.
- Aceites animales, entre los que se encuentran los provenientes de peces como sardinas
y salmones, del hígado del tiburón y del bacalao, o de mamíferos marinos como el
delfín o la ballena; de las patas de vacunos, equinos y ovinos se extraen también aceites
usados como lubricantes e impermeabilizantes.
345
- Aceites vegetales, el grupo más numeroso; por sus usos pueden ser clasificados en
alimenticios, como los de girasol, algodón, maní, soja, oliva, uva, maíz y no
alimenticios, como los de lino, coco y tung.
1. Explicar la elaboración del aceite de semillas.
Podemos dividir su fabricación en las siguientes etapas:
a. Tratamientos preliminares de la materia prima.
b. Extracción del aceite.
c. Filtración y purificación.
d. Refinación.
e. Conservación
a. Tratamientos preliminares de la materia prima: Consisten en operaciones que
posibilitarán la extracción eficaz del aceite. Estas son:
a.1) Limpieza de la semilla, para eliminar los cuerpos extraños,
a.2) Secado, para reducir la humedad a un 10%,
a.3) Trituración o molido,
a.4) Cocción con vapor de agua, de la que se obtiene una pasta caliente que pasará al
proceso siguiente.
- Extracción del aceite: Luego de la obtención de la pasta caliente, se comienza la
extracción propiamente dicha, que deja un residuo llamado "torta". Este puede
destinarse a la alimentación animal.
La separación del aceite se puede hacer:
- Por prensado en frío o en caliente,
- Por medio de disolventes,
346
- Por ambos métodos combinados.
Hay diferentes tipos de prensas, pero el más usado actualmente es el que permite una
extracción continua. La prensa tiene forma cónica; en su interior hay una espiral que al
moverse arrastra la pasta oleaginosa hacia el extremo de menor diámetro, donde es
comprimida,
El aceite fluye a través de los orificios de la prensa. Este tipo de máquina es llamado
prensa propulsora; la torta que se separa tiene todavía entre un 6% y un 8% de aceite.
Más eficaz es la extracción de aceites por medio de disolventes, que deja un residuo con
menos del 1% de dicha sustancia. El disolvente más usado, por su menor precio, es la
nafta; pero también pueden utilizarse otros como el tetracloruro de carbono, el
dicloroetileno, etc.
Usando este método, el disolvente es conducido varias veces a través de la pasta, hasta
que queda saturado. La solución de aceite en el disolvente se destila; queda el aceite
(que no destila), y el disolvente puede volver a usarse varias veces.
a. Filtración y purificación: el aceite extraído tiene impurezas en suspensión que es
necesario separar. Para ello se lo pasa a través de filtros - prensas, formados por placas
perforadas recubiertas por un paño filtrante. El aceite crudo se envía a presión y, al
atravesar los paños deja las partículas sólidas que lo impurifican; el aceite purificado se
recolecta en el fondo del filtro.
b. Refinación: el aceite tiene naturalmente algunos ácidos grasos libres, cuya cantidad
puede aumentar por los tratamientos a que es sometido durante su extracción. También
contiene sustancias que le dan olores y sabores desagradables. Todos estos compuestos
deben ser eliminados por refinación.
Los ácidos libres se neutralizan agregando la proporción necesarias de soda cáustica a
60°C.
Para eliminar las sustancias que lo colorean se usan diversos agentes blanqueadores,
como tierras adsorbentes o carbón activado, los cuales se mantienen en contacto con el
aceite por medio de agitadores.
347
Después de decolorarlo, se lo desodoriza en tanques donde se hace el vacío (a 1 mm de
Hg). Se calienta el aceite y se le inyecta vapor de agua a 300°C. Los compuestos
volátiles que le dan mal olor son arrastrados por el vapor. Finalmente, se lo lleva a
tanque de almacenamiento.
c. Conservación: el aceite contiene naturalmente ciertas sustancias, como el tocoferol,
que lo protege de la oxidación y facilita su conservación. Esta sustancia se pierde
durante las operaciones de refinación, por lo que se le deben agregar sustancias
antioxidantes, permitidas por la ley.
2. Explicar el proceso de fabricación del jabón.
Las materias primas fundamentales son las grasas y sebos animales, los aceites
vegetales y de pescados, y también los residuos de la fabricación de aceites comestibles.
La fabricación de jabones consta de las siguientes etapas.
- Saponificación o empaste: las materias primas (grasas o aceites) se funden en calderas
de forma cilíndrica y fondo cónico. Se agrega una solución concentrada de un hidróxido
fuerte (lejía). La masa se mezcla y agita mediante vapor de agua inyectado en el seno
del líquido. Después de unas cuatro horas, se ha formado el jabón.
- Salado: consiste en el agregado de una solución concentrada de sal común (cloruro de
sodio, NaCl) para separar el jabón de la glicerina formada y del exceso de hidróxido de
sodio. Como el jabón es insoluble en el agua salada, se acumula en forma de grumos y
sube a la superficie por su menor densidad. Después de varias horas, se extrae por la
parte inferior la mezcla de glicerol y agua salada.
- Cocción: al jabón formado en la caldera se le agregan nuevas cantidades de Na(OH)
para lograr una saponificación completa, y se calienta. Al enfriarse, se separan
nuevamente dos capas: la superior, de jabón, y la inferior, de lejía. Al jabón se le agrega
agua y se cuece nuevamente; de esta manera se eliminan los restos de sal, glicerina y
lejía.
348
- Amasado: tiene por objeto lograr una textura homogénea, sin gránulos. Durante esta
etapa se le incorporan a la pasta sustancias tales como perfumes, colorantes y resinas,
para favorecer la formación de espuma persistente.
- Moldeado: el jabón fundido se vuelca en moldes de madera donde, por enfriamiento
lento, toma la forma de panes o pastillas; mediante equipos desecadores, se disminuye
el contenido de humedad hasta el 20%.
3. ¿Cómo se explica la acción detergente de los jabones?
La estructura de un jabón puede considerarse formada por dos partes:
a. Una cadena larga, formada por carbonos en unión covalente;
b. El grupo carboxilo, que, al estar disociado, tiene cargas eléctricas.
La cadena hidrocarbonada no es soluble en agua, pero tiene afinidad con las grasas, por
lo que se la denomina cola lipofílica o liposoluble. El extremo iónico tiene cargas
eléctricas y tiende a disolverse en el agua. Se lo llama cabeza hidrofílica o hidrosoluble.
Si se disuelve jabón en agua y se agrega un aceite, éste (por su menor densidad) forma
una fase sobre el agua. Las moléculas de jabón se orientan y se disponen en la interfase
con la cabeza hacia el agua y la cola hacia el aceite.
Si se agita este sistema, el aceite se subdivide en gotitas y cada una es rodeada por agua.
Las moléculas de jabón se orientan de la manera indicada.
Cada glóbulo de grasa tiene a su alrededor cargas eléctricas del mismo signo que, al
repelerse, hacen que las partículas grasas queden separadas entre sí, formando una
emulsión estable. En caso contrario, si no existiera el jabón,al agitar el sistema agua aceite, se formaría en el primer momento una emulsión, pero al cesar la
agitación,debido a la gran atracción entre sus moléculas, las gotitas se unirían entre si
formando nuevamente dos capas. Se dice, por esta propiedad, que el jabón emulsiona
las grasas.
En las superficies de ropas u objetos, la suciedad se adhiere por medio de una película
grasa que el agua no puede disolver. Al agregar jabón al agua y agitar, la grasa se
349
emulsiona y forma pequeñas gotas separadas, que son arrastradas por el agua del
lavado.
En los últimos años se han desarrollado detergentes sintéticos que, aunque de origen
distinto al de los jabones, tienen también en su constitución una porción lipofílica y otra
hidrofílica, y ejercen frente a las grasas una acción similar a la de los jabones. Tienen la
ventaje de que pueden sintetizarse a partir de los derivados del petróleo, por lo que su
costo es menor que el de los jabones. Actualmente se preparan detergentes que tienen
cadenas carbonadas rectas, que son biodegradables.
4. ¿Cómo se comportan los jabones en las aguas duras?
Sabemos que hay aguas que tienen disueltas una elevada proporción de sales de calcio y
de magnesio; se las llama aguas duras. En esta clase de agua, el jabón precipita, o sea,
se insolubiliza. La causa de este comportamiento es que la sal de sodio o potasio que
forma el jabón se combina con los iones calcio o magnesio del agua y forma sales de
estos metales, que son insolubles.
5. ¿Cuáles son las variedades comerciales de los jabones?
Según el hidróxido usado en la saponificación, los jabones obtenidos tienen distintas
características; por ellas se clasifican en:
- jabones duros, compuestos por sales de sodio;
- jabones blandos, compuestos por sales de potasio.
Los jabones para lavar son jabones de sodio, elaborados a partir de materias primas de
poco costo, como los sebos y las grasas animales. Si su elaboración no es cuidadosa,
pueden contener restos de hidróxido de sodio.
Hay diferentes calidades, que en el comercio se clasifican en:
a. extra puros;
b. puros;
c. de 1ª calidad;
350
d. de 2ª;
e. de 3ª.
La manera más generalizada de usarlos es en forma de polvo, obteniendo desecando una
solución jabonosa, que contiene además una porción de soda Solvay (Na2CO3.10 H2O),
dentro de calderas por donde circula aire caliente. Los jabones en polvo se clasifican en:
especiales, comunes e industriales.
Los jabones de tocador se elaboran a partir de aceites vegetales como materias primas;
por ejemplo, de los aceites de coco, palma y oliva. Se refinan para librarlos de restos de
soda cáustica, que perjudicarían la piel.
Los jabones de afeitar, las cremas jabonosas y las pastas dentífricas son preparados a
partir de jabones de potasio.
Química - Orgánica
Resolver:
1) Calcular la composición centesimal de cada elemento en los siguientes compuestos:
a. CH4O
b. CH5N
c. CH3I
d. CH4N2O
e. C12H22O11
2) Analizando una sustancia compuesta por C, H y O, se ha obtenido:
0,3543 g de CO2 y 0,1293 g de H2O
Habiendo partido de 0,1756 g de muestra. ¿Cuál es la composición centesimal?.
351
3) Se ha analizado una sustancia nitrogenada y se ha encontrado 0,2534 g de NH3,
habiendo partido de 1,257 g de muestra. ¿Qué porcentaje de N posee la muestra?.
4) Un hidrocarburo gaseoso tiene un peso molecular de 30 y contiene 80 % de C y 20 %
de H. ¿Cuál es la fórmula molecular?.
5) Siendo la composición centesimal de una sustancia la siguiente:
C: 39,34 % H: 8,19 % O: 52,5 %
y su peso molecular de 122, ¿cuál será su fórmula?.
6) Siendo la composición centesimal de una sustancia la siguiente:
C: 74,93 % H: 25,07 %
y su densidad respecto al aire 0,554 g/cm ³,determinar su peso molecular y su fórmula.
7) Se disuelven 4,6 g de un cierto compuesto orgánico en 1000 g de agua y el descenso
crioscópico observado fue de -0,186 °C. Sabiendo que k = 1860, ¿cuál es el peso
molecular del compuesto?.
8) Calcular el peso molecular de un azúcar, cuya solución en agua a 17,1 % da un
descenso crioscópico de 0,093 °C.
9) Disolviendo 1,86 g de glicerina en 100 g de agua, hierve a 105 °C. Sabiendo que k =
520, ¿cuál es el peso molecular de la glicerina?.
10) La solución que resulta de disolver 4 g de alcohol en 250 g de agua hierve a 100,26
°C. ¿Cuál es el peso molecular de dicho alcohol?.
Responder:
1) ¿Qué entiende por análisis centesimal?.
2) Teniendo las pesadas finales de CO2, H2O e NH3, ¿cómo se pasa de los valores
correspondientes a la composición centesimal de una sustancia?.
352
3) ¿Es suficiente la composición centesimal como expresión de la composición química
de una sustancia?. Defina los siguientes términos: fórmula
Química - Procesos Químicos
Refinación del cobre
Para refinar el cobre bruto se emplea el método electrolítico.
Se coloca al cobre bruto como ánodo, en una cuba electrolítica que contiene una
solución de CuSO4.
El sulfato cúprico se disocia:
CuSO4  Cu++ + SO4=
El polo negativo o cátodo, esta constituido por láminas de cobre puro.
Al circular la corriente, los cationes cobre se dirigen al cátodo, donde se reducen,
captando electrones y depositándose como cobre metálico, mientras los iones sulfato se
dirigen al ánodo y reaccionan con el cobre impuro, formando sulfato cúprico, que
vuelve a la solución.
Cátodo:
Cu++ + 2e-  Cu°
Anodo:
SO4= - 2e-  SO4°
Reacción global:
353
SO4 + Cu  CuSO4
Química - Procesos Químicos
ACERO
Hierro: El hierro puro es un metal blanco, grisáceo, dúctil y maleable.
Acero: El acero es un hierro carburado obtenido al estado líquido por fusión completa.
El porcentaje de carbono máximo que se le atribuye es 1,7 %.
Fundiciones: La fundición es un hierro con un porcentaje de carbono de 1,7 % hasta su
saturación 6,67 % (Fe3C).
Ver esquema
Estados alotrópicos
Ferrita: Hierro 100%
Perlita: Hierro (Fe 86,5%) + cementita (13,5%).
Cementita: Carburo férrico = Fe3C 100%, sustancia dura y frágil.
Ledeburita: Aleación Fe 95,7% + C 4,3%.
354
Química - Procesos Químicos
COMBUSTION
Pesos y volúmenes específicos de los productos de la combustión
Producto.
Peso especifico.
Volumen especifico
kg/m ³
m ³/kg
Anhídrido carbónico
CO2
1,875
0.533
Anhídrido sulfuroso
SO2
2,771
0.360
Agua (vapor).
H2O
0,762
1,210
Nitrógeno.
N2
1,191
0,838
Oxigeno.
O2
1.355
0,706
Aire.
-
1,225
0,815
Los volúmenes son a 15 °C y 760 mm.c.a.
El peso específico y volúmen específico de una mezcla de gases se saca
proporcionalmente.
Datos básicos para los cálculos de la combustión
Poder calorífico
Aire requerido para
Productos de la combustión de 1 kg de combustible
la combustión de
Reacción química
de la combustión
1 kg de combustible
Superior
Inferior
kcal/kg
kcal/kg
En peso kg/kg
En volúmen m ³/kg
kg
m³
CO2
H2O
SO2
N2
CO2
H2O
SO2
N2
C
a
CO2
7,751
7,751
11,53
9,40
3,66
-
-
8,86
1,95
-
-
7,42
H2
a
H2O
33,605
28,392
34,34
27,99
-
8,94
-
26,41
-
10,82
-
22,13
S
a
SO2
2,191
2,191
4,29
3,50
-
-
2,00
3,29
-
-
0,72
2,76
CH4
a CO2 y H2O
13,133
11,836
17,27
14,07
2,74
2,25
-
13,28
1,46
2,72
-
11,13
C2H2
a CO2 y H2O
11,825
11,427
13,30
10,84
3,38
0,69
-
10,22
1,80
0,83
-
8,56
C2H4
a CO2 y H2O
11,904
11,162
14,81
12,07
3,14
1,29
-
11,39
1,67
1,56
-
9,54
C3H8
a CO2 y H2O
11,913
10,969
15,70
12,80
2,99
1,63
-
12,07
1,59
1,97
-
10,11
C4H10 a CO2 y H2O
11,719
10,824
15,49
12,62
3,03
1,55
-
11,91
1,61
355
Química - Procesos Químicos
Parcial de Química Industrial
Parte A
1) A través del canal inclinado que muestra la figura, se introduce escoria fundida en un
horno de reverbero. El canal tiene las siguientes dimensiones:
H¹ = 0.356m
W = 0.303m
L = 2.42m
Comprobar si el canal no desborda cuando circula un caudal de 60 Ton/min y si así
fuere, calcular la altura de la escoria H.
Datos:
ρ escoria = 3590 kg/m ³
μ escoria = 10 poise
Rugosidad del canal = 0.303 x 10-³m
356
2) Una habitación cuyas dimensiones son 4m x 5 m y su altura es 3m, está construída
con paredes de 10 cm de espesor. Como sistema de calefacción se utiliza un serpentín
que consiste en un tubo de 14mm D1 y 16mm D2,por el cual circula vapor saturado a
120°C . Si la temperatura ambiente es de -27 °C:
a) Calcular la pérdida de calor hacia el exterior y la energía que es necesario suministrar
para mantener la habitación a 18°C (el techo no está aislado).
b) Qué caudal de vapor circula por el serpentín en esas condiciones?
c) El largo requerido para el serpentín
Datos:
h externo = 50 W/m ²°C
h interno = 20 W/m ²°C
h vapor = 1200 W/m ²°C
k pared = 0.6 W/m°C
k serpentín = 16 W/m°C
cv = 712.45 J/kg°C
λ 120°C = 2200 J/kg
Parte B:
1) Para la habitación del problema 2 de la parte A, halle una expresión para estimar el
tiempo necesario para que el aire alcance 18°C partiendo de la temperatura inicial igual
a la temperatura ambiente. Cuál es ese tiempo?
2) A qué tipo de fluidos, de los enumerados a continuación, corresponden las curvas de
características de velocidad de deformación bajo esfuerzo cortante que están
representadas?
a) Fluido Newtoniano
357
b) Fluido de la ley de potencia
c) Plástico de Bingham
d) Fluído ideal
1) Una solución acuosa de CMC al 2% presenta una curva de flujo que responde a la
relación √t = K (dv/dr)n
2) Encuentre la expresión del perfil de velocidades y de esfuerzo de corte, cuando
circula en régimen laminar por un tubo horizontal de radio R.
Parcial de Química Industrial
Problema 1: En el circuito de la figura, se produce, agua amoniacal. Con ese fín el agua
que es tomada del tanque (1), se hace circular par una columna de burbujeo donde se
pone en contacto con una mezcla de aire y amoníaco obteniéndose el agua amoniacal
por un intercambiador de calor de casco y tubos en contracorriente con una corriente de
agua de enfriamiento. Luego de ser enfriada la corriente de agua amoniacal es
bombeada hasta un tanque de donde se toma el producto para el envasado final.
El aqua de enfriamiento, luego de salir del intercambiador de calor a su vez es enfriada
en una torre de enfriamiento poniéndola en contacto con aire y se recircula al
intercambiador.
358
La cantidad de agua evaporada en la torre de enfriamiento se repone desde el tanque
principal (1).
Ver esquema
Circuito de agua - agua amoniacal. Todas las cañerías de Dn 1* Schedule 4 OS/
L eq = 150 m)
Circuito de enfriamiento
Circuito de aire + Amoníaco
Circuito de aire en torre de enfriamiento.
Otros datos: Nivel en el tanque de agua (1) : 25 m
Nivel en el tanque de agua amoniacal (5) : 35m
Nivel Intercambiador - Bomba: O m
Producción diaria de agua amoniacal = 100 Ton (24 hs)
Consumo diario de gas en la columna de burbujeo -75 Ton, 20 °C
Propiedades del liquido = Propiedades del agua.
Propiedades del gas - Propiedades del aire.
Todos Los caños son de acero comercial.
a) Caudal de agua de enfriamiento [ton/día]
b) Potencia de la bomba [HP]
c) Temperatura de salida del gas de la columna de burbujeo [°C] si el calor generado en
la absorción es de 130 kw
d) La longitud de los tubos del intercambiador [m] si n° -1D y D1 = 1/4 pulgada
359
e) El caudal de agua de enfriamiento aumenta su humedad absoluta en 0,01 (caudal aire
seco = 10000 m ³/h a 20 °C)
f) Concentración del producto final.
Problema 2: En una fábrica de cemento se utiliza un horno rotatorio al cual se alimentan
las materias primas a una temperatura de 20
°C (temp. ambiente). El horno tiene la capacidad de procesar 6,4 ton/h de material y
dispone de quemadores de gas indirectos (los
gases de combustión de 22000 Btu/lb, manteniendo al producto a una temperatura
media de 900 °C dentro del mismo. Sobre una
pared interna del horno se halla una capa de escoria de 10 cm de espesor. Suponer que
el calor de la relación es despreciable.
Las dimensiones de horno son las siguientes:
Largo: 15 m
Espesor acero: 0,15 m
Diámetro exterior: 2,5 m
Espesor aislación externa: 0,2 m
Propiedades físicas:
Se puede considerar a los efectos prácticos que tanto las materias primas como los
productos y la escoria depositada en las paredes
Tienen aproximadamente las mismas propiedades medias: Cp = 700 J/kg K k = 0,78
W/m K
Otras propiedades:
K acero = 27,2 W/m K
360
Mr gas = 17
K aislante = 0,067 W/m K
Coeficientes peculiares de transferencia de calor:
h interno = 1050 W/m ² K
h externo = 180 W/m ² K
Calcular el consumo diario de gas en Nm ³ (CNPT) sabiendo que el horno funciona en
continuo 24 hs. al día.
Parcial de Química Industrial
Parte A
Problema 1
Se desea bombear, 50 m ³/h de petróleo hasta una altura de 15m. Para ello se utiliza una
cañería de 25 km de longitud total (L + L4) y 0.128m de diámetro, a 12°C. Un proceso
alternativo consiste en calentar el petróleo a 50 °C y bombearlo en esas condiciones con
la misma instalación y otra posibilidad es modificar la instalación, reemplazándola por
dos tramos en paralelo de 0.064m de diámetro.
Cuál de los tres procedimientos consume menos energía por kg de petróleo a
transportar?
Datos:
A 12°C ρ = 914 kg/m ³ μ = 0.172 kg/m.s
A 50°C ρ = 870 kg/m ³ μ = 0.0157 kg/m.s
Cp = 0.45 Kcal/kg °C
Problema 2:
361
Se ensaya un diseño modificado de tanque agitado que contiene un nuevo tipo de
serpentín de calefacción. El tanque opera en estado estacionario y se alimenta con un
caudal W1 = 1 m ³/h de agua a 20°C, siendo la temperatura de salida 80 °C (igual a la
del tanque). La temperatura ambiente es Ta = 20 °C. Por el serpentín circula vapor a
12.5 bar. Las características del equipo son las siguientes:
Tanque cilíndrico:
Diámetro D = 0.70 m
Altura H = 1 m
Pared de acero de espesor e1 = 10 mm
Espesor aislante e2 = 25 mm
k1 = 10 W/m °C (acero)
k2 = 1 W/m °C (aislante)
kn = 600 W/m ² °C (externo)
Serpentín
D = 10 mm
L- 5 m
Calcular:
a) El calor perdido al ambiente O
b) El calor transferido por el vapor condensante y el caudal másico de vapor.
c) El coeficiente pelicular de transferencia de calor h para el serpentín.
d) Plantee el balance en estado no estacionario y asumiendo que los coeficientes y
propiedades físicas son independientes de la temperatura, calcule, para el caso del
362
arranque, el tiempo que la temperatura dentro del tanque (igual a la de salida) tarda en
pasar de 20°C a 70°C. Considere que el tanque siempre se encuentra lleno.
Una habitación cuyas dimensiones son 4 m x 5 m y su altura es 3 m, está construida con
paredes de 10 cm de espesor. Como sistema de calefacción utiliza un serpentín que
consiste en un tubo de 14 mm D1 y 16 mm De, por el cuál circula vapor saturado a
120°C. Si la temperatura ambiente es de -27°C:
a) Calcular la pérdida de calor hacia el exterior y la energía que es necesario suministrar
para mantener la habitación a 18°C (el techo no está aislado)
b) Qué caudal de vapor circula por el serpentín en esas condiciones?
c) El largo requerido para el serpentín.
Datos:
h externo = 50 W/m ² °C k pared = 0.6 W/m °C Cv =712.45 J/kg °C
h interno = 20 W/m ² °C k serpentín = 16 W/m °C λ 120°C = 2200 kJ/kg
h vapor = 7200 W/m ² °C
Parte B:
Para la habitación del problema 2 parte A, halle una expresión para estimar el tiempo
necesario para que el aire alcance 18 °C partiendo de la temperatura inicial igual a la
temperatura ambiente. Cuál es ese tiempo?
Problema 3:
Se bombea agua desde un tanque a otro colocado por encima del primero para usarla
posteriormente en una torre de humidificación (ambos tanques son abiertos) La
temperatura del agua en el primer tanque es de 170°F mientras que en el superior es de
70°F. Durante el trayecto de uno a otro el agua es enfriada con un intercambiador de
calor que le extrae 100.5 BTU/ib., y en el cuál hay una caída de presión de 50000 Pa. La
cañería entre los tanques es de 2" Schedule 40 y tiene 50 m de longitud. Existen en la
misma dos codos standard de 90°, dos válvulas exclusas abiertas y una válvula globo
363
1/2 abierta. Calculare el flujo másico sabiendo que el factor de fricción medio para toda
la cañería es de f = 0.006 y se utiliza una bomba de 2HP de rendimiento del 60%. (fig3).
BIOLOGIA
1. Los Bioelementos
La materia viva se distingue por su organización y propiedades características, que
dependen a su vez de su peculiar composición y estructura molecular. Todo tipo de
moléculas que forman parte de los materiales biológicos recibe el nombre de
biomoléculas ó también principios inmediatos, los cuales se forman al unirse
químicamente determinados elementos: los bioelementos. La materia viva está
constituída en un 96% por 6 bioelementos, llamados primarios: C, H, O, N, P y S.
Todo tipo de materia orgánica contiene los tres primeros; las proteínas tienen siempre,
además, N; los ácidos nucleicos, siempre P, el cual es, al mismo tiempo esencial para
constituir el ATP (la molécula energética), y para formar las membranas celulares
(fosfolípidos); el S, a su vez, forma parte de la metionina y la cisteína, dos 's que
normalmente se encuentran en todas las proteínas, forman puentes disulfuro y se
encuentra en multitud de biomoléculas fundamentales (CoA, p.ej.). Como estos seis
elementos forman la estructura de la materia orgánica, también se les llama a veces
bioelementos plásticos.
Figura 1: Las conchas de los moluscos forman un exoesqueleto calcáreo
(CO3Ca)
364
El resto de los bioelementos se llaman secundarios, y aunque su proporción es pequeña
en los materiales biológicos (a veces, sin embargo es muy alta: huesos, conchas de
moluscos, etc.), suelen ser imprescindibles para los procesos biológicos: Mg (clorofila
de los organismos fotosintéticos), Fe (citocromos de la cadena respiratoria), Na y K
(transmisión nerviosa), Ca (contracción muscular, coagulación sanguínea), etc. Aquellos
bioelementos secundarios que no siempre se encuentran en todos los materiales
biológicos y cuya proporción es inferior al 0,1%, se llaman oligoelementos, y suelen ser
necesarios en aquellos organismos que los presentan
2. Principios inmediatos
Los bioelementos (básicamente los primarios) se combinan químicamente entre sí,
normalmente mediante enlaces covalentes, y forman moléculas llamadas principios
inmediatos, que pueden ser inorgánicos y orgánicos. Los inorgánicos son aquéllos que
también pueden formar materiales inertes (rocas, minerales, agua), y son el agua y las
sales minerales; también reciben el nombre de materia inorgánica. Los principios
inmediatos orgánicos son moléculas que solamente se encuentran en la materia viva, y
son glúcidos, lípidos, proteínas y ácidos nucleicos; el conjunto de todos ellos constituye
lo que se llama materia orgánica. De forma general, los principios inmediatos se utilizan
biológicamente para tres funciones: estructural (forman estructuras biológicas),
energética (liberan ó almacenan energía), y dinámica (intervienen en reacciones
biológicas).
1. El agua
Químicamente es una molécula dipolar, pues los e- de los dos H se desplazan hacia el
átomo de O. Esto permite, entre otras cosas, la unión mediante puentes de hidrógeno de
millones de moléculas de agua entre sí, resultando que su estado físico sea líquido.
Como su constante dieléctrica es muy alta (~ 80), el agua es uno de los mejores
disolventes, lo que hace que las reacciones biológicas se desarrollen perfectamente en
su seno, y que actúe con función de transporte molecular.
Cuando el peso molecular del soluto es pequeño, se forma una disolución verdadera
(sales minerales, monosacáridos, 's), y una de sus propiedades es el fenómeno de la
ósmosis, que consiste en el paso del disolvente (agua) a través de una membrana
365
semipermeable que separa dos disoluciones de distinta concentración. Esto ocurre
normalmente en las células: si se encuentran en un medio hipertónico, el agua de las
células saldrá al exterior y sufrirán plasmólisis. Si las células se encuentran en un medio
hipotónico, el agua del exterior penetrará en ellas produciéndose su turgencia e incluso
su lisis.
Si la disolución contiene un soluto de elevado peso molecular (proteínas, polisacáridos),
entonces se trata de una dispersión coloidal, de gran importancia porque el citoplasma
celular es de este tipo (periferia en forma de gel y zona más interior en forma de sol: el
citosol), y uno de los fenómenos que tienen lugar es la diálisis, que consiste en la
separación a través de una membrana semipermeable (como es la membrana celular) de
solutos con alto peso molecular (coloides), de los solutos de bajo peso molecular
(cristaloides, propiedad que se utiliza, p.ej., en la filtración renal).
Otra propiedad importante del agua es su elevado coeficiente de capacidad calórica, que
hace que pueda absorber mucho calor aumentando poco su temperatura, lo que es
fundamental para los organismos donde se están produciendo continuamente reacciones
que liberan energía (respiraciones celulares), sin que por ello aumente su temperatura.
El agua es imprescindible para la vida; constituye entre un 60 y un 70% de la
composición de la materia viva, y normalmente la actividad de los órganos está en
relación directa a su contenido en agua.
2.2. Sales minerales
En el mundo biológico se pueden encontrar formando depósitos (conchas, huesos),
disueltas en disoluciones ó dispersiones coloidales a las que estabilizan (Na+, K+, Cl-,
etc.), ó formando parte de moléculas orgánicas.
366
Figura 2: La mioglobina tiene como núcleo central al hierro (Fe)
Aunque su proporción es pequeña, realizan funciones básicas:
- Función estructural: Forman endo y exoesqueletos (conchas, caparazones, huesos).
- Constituyen sistemas amortiguadores del pH en las disoluciones y fluidos biológicos
(tampones bifosfato, bicarbonato).
- Forman parte de moléculas esenciales: el Fe en la hemoglobina y citocromos, el Mg
en la clorofila, etc.
- Intervienen en el equilibrio osmótico celular.
- Participan en procesos dinámicos: transmisión nerviosa, contracción muscular,
coagulación sanguínea, etc.
1. La teoría celular
Fue enunciada inicialmente por M. Schleiden (1838) y T. Shwann (1839), y completada
por R. Wirchow (1855). Sus principios básicos son:
- La célula es la unidad estructural de los organismos. Quiere decir que todos los
organismos están formados por células: una sola en los organismos unicelulares y
367
muchas (miles ó millones) en los pluricelulares. De acuerdo con ésto, los virus, al
carecer de estructura celular, no serían organismos.
- La célula es la unidad funcional de los organismos. El funcionamiento de un
organismo depende del de sus células.
- La célula es la unidad genética de los organismos. Los organismos al reproducirse se
originan a partir de una célula.
Estos tres principios se pueden resumir en uno sólo: La célula es la unidad vital de la
materia viva. Quiere indicar que la célula es la estructura organizada más sencilla con
propiedades y funciones vitales.
1.1 Tipos de organización celular
Todo tipo de células presenta básicamente las siguientes características comunes:
- Mismo tipo de material (DNA) y funcionamiento (código genético) genéticos.
- Misma molécula energética: el ATP.
- Misma envoltura celular: la membrana citoplasmática.
- Reacciones bioquímicas catalizadas por enzimas.
Hay dos tipos de células según su organización estructural:
1.1.1
Estructura celular procariótica: se caracteriza porque su material genético no
está rodeado de envoltura y por tanto carece de núcleo constituido como tal.
Sólo las bacterias y cianobacterias (Reino Moneras) tienen este tipo de
organización celular.
368
Figura 1: Célula procariota
1.1.2 Estructura celular eucariótica: el material genético está agrupado y envuelto por
una membrana, constituyendo un núcleo verdadero. Todos los organismos excepto los
anteriores presentan sus células con esta organización.
Diferencias
Célula Procariótica
Célula Eucariótica
Nucleo
No
Sí
Material
DNA circular formando 1
genético
cromosoma bacteriano
Ribosomas
70 S
celular
Reproducción
abierto
varios
formando
cromosomas
independientes
80 S
Endomembranas No
Fisiología
DNA
Sí
En el mesosoma
En orgánulos diferenciados
División binaria
Mitosis
369
Figura 2: Célula eucariota
Por otra parte, la célula de estructura eucariótica puede ser de dos tipos: animal y
vegetal, que se diferencian básicamente en lo siguiente:
Estructuras
Animal
Vegetal
Pared celular de celulosa
No
Sí
Orgánulos especiales: Plastos
No
Sí; el principal es el
cloroplasto
Material de reserva energética Glucógeno
Almidón
Centrosoma
No
Sí
Origen de las células eucariotas: hay dos teorías para explicar el origen de las células
eucarióticas:
- Origen autógeno: la célula eucariótica se origina de la procariota al desarrollar
sistemas endomembranosos y órganulos internos rodeados de membrana.
370
- Origen endosimbiótico: la célula eucariótica deriva de la asociación simbiótica de
distintos tipos de células procarióticas.
2. Técnicas de estudio citológico
Básicamente hay de tres tipos:
2.1. Microscopía:
Consiste en el aumento del objeto a observar, dado que el ojo humano tiene un poder de
resolución de 0,1 mm (100 ), y las células tienen tamaños inferiores. Hay dos tipos de
microscopía:
- Microscopía óptica: utiliza luz visible y lentes ópticas para aumentar la imagen. Su
poder de resolución puede llegar a 0,2  , con lo que un objeto puede ser ampliado un
máximo de 1500 veces. Permite la observación de células vivas.
- Microscopía electrónica: utiliza haces de electrones y lentes electromagnéticas,
consiguiendo un poder de resolución de 100 Å (1Å = 10-10m), ampliando un objeto hasta
250.000 veces, que mediante tratamiento óptico ó digital puede llegar hasta el millón de
aumentos.
2.2. Fraccionamiento celular:
Consiste en la rotura de las células mediante un proceso osmótico, ultrasonidos, lisis
enzimática ó de manera mecánica, y posteriormente una centrifugación que concentrará
en diversas fases a los distintos orgánulos según su tamaño, con lo que se obtendrán
separadamente, permitiendo más fácilmente su estudio.
2.3. Citoquímica:
Mediante reacciones coloreadas, enzimáticas ó de inmunofluorescencia, se averigua la
composición bioquímica de las estructuras celulares, su localización y su
funcionamiento.
371
. La estructura de la célula eucariótica.
Todo tipo de célula eucariótica (animal ó vegetal) presenta tres estructuras bien
diferenciadas: la membrana citoplasmática, el citoplasma y el núcleo.
3.1. La membrana citoplamática:
Es una envoltura continua y flexible, de unos 75 Å de espesor, que rodea
completamente a la célula separándola del medio externo e impidiendo la salida del
contenido celular, pero permitiendo intercambios de materiales.
a) Composición, estructura y función de la membrana: el modelo de "mosaico
fluido" de Singer y Nicholson (1972), es el más aceptado porque es el que mejor explica
las propiedades de la membrana. Consta de una matriz fluída de doble capa lipídica, con
sus zonas polares (grupos -COOH) en ambos lados de la membrana y sus zonas
hidrófobas (cadenas hidrocarbonadas) en la parte interna, con proteínas que atraviesan
su espesor, bien libres (proteínas periféricas), ó unidas a los lípidos (proteínas
intrínsecas), y con función enzimática ó de transporte. Los lípidos en bicapa son fosfo y
glucolípidos (lípidos de membrana), con un fuerte carácter anfipático, y otros que
confieren estabilidad estructural (colesterol). En su parte externa presenta oligosacáridos
unidos a los lípidos y proteínas, formando el glucocálix, con función antigénica y de
reconocimiento celular. La membrana sirve para el mantenimiento íntegro del medio
interno celular, el intercambio de sustancias, el movimiento (pseudópodos), y el
reconocimiento molecular y celular.
b) Diferenciaciones de la membrana: son estructuras formadas a partir de la
membrana ó que la recubren externamente:
- Microvellosidades e invaginaciones: son finas prolongaciones externas ó internas
(respectivamente), que sirven para aumentar la superficie de contacto celular (p.ej. las
microvellosidades de las células epiteliales del intestino delgado, ó las invaginaciones
de las nefronas del riñón).
- Uniones celulares: son estructuras para unir y comunicar las células. Hay de muchos
tipos: desmosomas (filamentos proteicos formando placas de unión), uniones gap (unión
372
por túbulos proteicos y con un pequeño espacio intercelular), uniones herméticas (ajuste
de las membranas de células mediante hebras proteicas), etc.
- Pared celular: es exclusiva de las células de tipo vegetal, y consiste en una matriz de
celulosa dispuesta en tres capas que le confiere gran resistencia. Puede tener
punteaduras (adelgazamientos de la pared), plasmodesmos (finos canales de
comunicación), y estar impregnada de otras formaciones: lignina, suberina (corcho),
cutina, etc.
3.2. El citoplasma:
Es el medio interno celular, en estado coloidal (citosol), conteniendo todo tipo de
materiales orgánicos e inorgánicos, y donde se llevan a cabo ciertos procesos
metabólicos: glucólisis, fermentaciones, almacenamiento de materiales, etc. En el
citoplasma se encuentran estructuras membranosas, orgánulos con ó sin membrana y
una red de filamentos proteicos.
3.2.1. El citoesqueleto: recorriendo todo el citoplasma hay una densa red de filamentos
y túbulos proteicos de tres tipos, que forman el citoesqueleto:
Figura 4: Filamentos de actina del citoesqueleto de una célula
- Microfilamentos de actina: de función estructural y para permitir los movimientos
ameboideos y de contracción celular.
- Filamentos intermedios: de proteínas fibrosas, con función estructural.
373
- Microtúbulos de tubulina: forman los centríolos, el huso acromático, los
undulipodios y pseudópodos, y sirven de canales de transporte intracelular.
3.2.2. Estructuras membranosas
Construídas por membrana celular de similar tipo a la membrana citoplásmica. Son de
dos tipos: el retículo endoplasmático y el aparato de Golgi.
a) Retículo endoplasmático (R.E.): sistema membranoso y tubular que se extiende por
todo el citoplasma y comunica con la membrana nuclear. Puede llevar adosados a sus
caras externas gran cantidad de ribosomas que fabrican proteínas enzimáticas y de
membrana (R.E. granular ó rugoso), o bien no llevarlos, encargándose de la síntesis de
lípidos de membrana y del transporte de sustancias (R.E. agranular ó liso).
Figura 5: Distintos tipos de retículo
b) Aparato de Golgi: constituido por un conjunto de sáculos discoidales y vesículas ó
cisternas de secreción, que forman una estructura llamada dictiosoma. Se sitúa cerca del
núcleo y se encarga de organizar la circulación molecular de la célula, transportando,
madurando y acumulando proteínas del R.E. rugoso y lípidos de membrana del R.E.
liso. Además, en las células vegetales se encarga de la síntesis de los glúcidos de la
pared celular (celulosa y hemicelulosa).
374
Figura 6: Aparato de Golgi
Las células pueden realizar numerosas actividades de forma coordinada: captan
estímulos, procesan la información, se mueven, crecen, se reproducen, obtienen
alimento, eliminan residuos, llevan a cabo intercambios energéticos, etc.
Todas esas actividades se pueden clasificar en tres funciones básicas:
- Relación: las células captan información del medio y responden a los estímulos.
- Reproducción: las células se multiplican transfiriendo su información genética.
- Nutrición: las células obtienen la materia y la energía que necesitan para sus
actividades.
1. Funciones de relación
Las células necesitan comunicarse e interactuar con el medio que las rodea.
Esos procesos de comunicación serán diferentes en los organismos unicelulares y en los
pluricelulares.
- En los unicelulares una sola célula ha de ser capaz de percibir las características del
entorno, procesar la información y elaborar y ejecutar las respuestas adecuadas en cada
caso. Por ejemplo, un paramecio puede localizar y capturar su alimento o puede
enquistarse o huir a otro lugar si las condiciones son desfavorables.
375
- En los pluricelulares las funciones de relación del organismo se reparten entre diversas
células especializadas en distintas tareas como: captar estímulos, transmitir señales,
ejecutar respuestas. En cualquier caso, los millones de células (en la especie humana
unos 80 billones) que constituyen un organismo pluricelular deben comunicarse entre sí.
1.1. Modalidades de comunicación entre las células
En las células animales se pueden diferenciar básicamente tres modalidades de
comunicación entre las células:
a) Comunicación por contacto directo entre células contiguas. Se lleva a cabo
mediante minúsculos canales de comunicación de tipo "gap", presentes entre las células
de casi todos los tejidos animales, a través de los cuales pasan moléculas mensajeras de
unas células a otras.
b) Comunicación mediante moléculas unidas a membranas. Las células entran en
contacto y se acoplan las moléculas transmisoras de una célula a las receptoras de otra.
Esto ocurre por ejemplo durante el desarrollo embrionario y en el sistema
inmunológico.
c) Comunicación a distancia mediante moléculas segregadas. Puede ser de tres tipos:

Comunicación paracrina. Una célula se comunica con las de su entorno
inmediato mediante mensajeros químicos.

Comunicación endocrina. Se realiza a través de hormonas, producidas en
glándulas hormonales y vertidas al torrente sanguíneo. Es relativamente lento.
376

Comunicación sináptica. La realizan las neuronas del sistema nervioso que
transmiten impulsos con rapidez y precisión, pasando de unas neuronas a otras
mediante el proceso de sinapsis en el que intervienen neurotransmisores.
1.2. Recepción de estímulos y transducción de señales
Tras captar las moléculas mensajeras o trasmisores, las células activan variados y
complejos mecanismos moleculares a través de los cuales "interpretan" la información
recibida, desencadenando la correspondiente respuesta. Una de las moléculas más
importantes que participan en estos procesos de transducción e interpretación de señales
es el AMP cíclico.
377
1.3. Las respuestas de la célula
Las respuestas de las células frente a los estímulos pueden ser muy diversas. A menudo
implican procesos metabólicos, es decir realizarán unas u otras reacciones químicas,
pero también pueden llevar a cabo comportamientos como:
- Secreción de sustancias. Las moléculas son empaquetadas por el complejo de Golgi
en pequeñas vesículas y la célula las segrega en respuesta a la señal adecuada.
- Contracción. Aunque muchas células se pueden mover de alguna manera, quienes
están especializadas en esta tarea son las células o fibras musculares, con su citoplasma
recorrido por miofibrillas de actina y miosina.
- Desplazamiento de células libres. Los organismos unicelulares y ciertas células
libres de los pluricelulares, como los leucocitos, se pueden desplazar activamente en
respuesta a diversos estímulos, mediante pseudópodos, cilios o flagelos.
- Proliferación y diferenciación celular. El ciclo celular y los procesos de crecimiento,
multiplicación y diferenciación de las células, tienen lugar, como es lógico, en respuesta
a determinados estímulos, y modulados por complejos mecanismos de control.
378
Figura 2: Posibles respuestas de las células frente a diferentes estímulos
2. Funciones de reproducción
A lo largo de su vida, las células pasan por varias etapas, que suelen culminar en su
reproducción o división en dos células hijas. El conjunto de las transformaciones que
experimentan las células se conoce con el nombre de ciclo celular.
2.1. El ciclo celular
A lo largo del ciclo celular, las células van pasando, sucesivamente, por varias fases que
se agrupan en dos etapas fundamentales: la interfase y la fase mitótica.
379
- La interfase es un proceso de duración muy variable: horas, días, semanas o años,
dependiendo del tipo de célula. En el se diferencian a su vez tres fases:
1. Fase G1 o postmitótica. Se inicia en las células hijas que acaban de surgir por
mitosis. Durante esta fase, las células recién formadas experimentan un
crecimiento y formación de nuevos orgánulos, durante un período de tiempo
muy variable, normalmente de varios días o semanas, pero hay casos
excepcionales: por ejemplo, en los primeros estadios del desarrollo embrionario
esta fase es muy breve, casi inexistente; por el contrario, algunas células muy
especializadas, como las neuronas o las fibras musculares, quedan en esta fase
para toda su vida, en un estado de reposo especial llamado G0.
2. Fase S o de síntesis. Se va replicando el ADN hasta que, finalmente, cada
cromosoma queda formado por dos filamentos cromosómicos idénticos
llamados cromátidas, unidos por una zona llamada centrómero.
3. Fase G2 o premitótica. Es un breve período, durante el que la célula comprueba
que el ADN se ha replicado correctamente ,y que todo se encuentra en orden
para que los cromosomas se empiecen a condensar e inicien la aventura de la
división celular.
- La fase mitótica dura aproximadamente una hora, y se divide en dos fases que se
solapan en parte:
1. Mitosis. Es el proceso de división nuclear con un reparto exacto de cromosomas
(con su información genética) entre los dos núcleos resultantes.
2. Citocinesis. Es el proceso de segmentación del citoplasma y la consiguiente
formación de dos células hijas.
380
Figura 3: Fases del ciclo celular
Control del ciclo celular
Como es lógico, las diferentes fases del ciclo celular están sujetas a un control que evita
que la célula se divida de forma desordenada. Estos sistemas de control se han
empezado a desvelar recientemente y funcionan de un modo similar al programador de
una lavadora: poco a poco la célula va superando etapas, pasando de una fase a la
siguiente.
El control se establece a través de diferentes tipos de proteínas, entre las que destacan
las ciclinas y las quinasas, y se lleva a cabo en tres puntos de control: uno al final de G1,
otro al final de G2, antes de iniciarse la mitosis, y el tercero durante la metafase. En esos
puntos la célula sigue adelante o no dependiendo de ciertas señales internas (tamaño de
381
la célula, posición correcta de cromosomas, replicación correcta del ADN) y externas
(disponibilidad de alimento, presencia de factores de crecimiento, densidad celular del
tejido en el que se encuentra, etc.)
Figura 4: Puntos de control del ciclo celular
. El metabolismo: procesos anabólicos y catabólicos
Al observar una célula al microscopio óptico es difícil imaginar que, en algo tan
pequeño y aparentemente sencillo, puedan ocurrir tan complejos e intrincados procesos
metabólicos como los que hoy conocemos.
Sin duda, las células son los laboratorios más sofisticados que existen. En un espacio
increíblemente reducido tienen lugar multitud de reacciones químicas, todas ellas
perfectamente coordinadas y reguladas. Muchas de esas reacciones son además
mutuamente incompatibles, es decir, si trituramos la célula y se mezclan sus
componentes el resultado es un caos metabólico. Para que las diferentes rutas
metabólicas operen en armonía, es imprescindible un control riguroso mediante
diferentes enzimas específicas, y que las distintas rutas ocurran, en muchos casos, en
compartimentos celulares separados (orgánulos celulares).
382
Todos los procesos metabólicos se pueden clasificar en dos tipos: procesos anabólicos,
o de síntesis, y procesos catabólicos, o de degradación.
Se puede decir que el anabolismo se inicia con la síntesis de los primeros compuestos
orgánicos a partir de sustancias inorgánicas, mediante la fotosíntesis o la quimiosíntesis.
Esos primeros pasos anabólicos sólo los pueden realizar los organismos autótrofos.
Luego, a partir de moléculas orgánicas simples, se formarán, mediante diferentes rutas
anabólicas, todos los componentes orgánicos de los seres vivos.
El catabolismo se puede iniciar con la descomposición de muy diferentes sustancias
orgánicas, pero, al final, la mayoría de las rutas catabólicas confluyen en la respiración
celular, a través de la cual los compuestos orgánicos se terminan por degradar en
sustancias inorgánicas.
Naturalmente, muchas de las reacciones químicas, tanto anabólicas como catabólicas,
implican transformaciones energéticas, y los procesos que liberan energía (en general
los catabólicos) se acoplan a los que la consumen (en general los anabólicos)
Figura 1: Esquema simplificado de los principales procesos anabólicos
y catabólicos realizados por los organismos autótrofos y heterótrofos
383
1. Concepto de inmunidad
Inmunidad es el estado de resistencia, natural o adquirido, de un organismo vivo a los
agentes extraños, ya sean agentes infecciosos, tóxicos o degenerativos.
El Sistema Inmune es el conjunto de todos los elementos que intentan conseguir la
inmunidad.
2. La defensa del organismo ante los cuerpos extraños
A lo largo de la evolución los animales han desarrollado una serie de barreras
defensivas que protegen el medio interno, estable y rico en nutrientes, de la potencial
invasión por cuerpos extraños, principalmente microorganismos.
Las barreras pueden ser: a) Externas o internas, según su posición en el cuerpo, b) en
función de la dependencia de la identidad del cuerpo extraño, específicas, cuando
dependen del cuerpo extraño, o inespecíficas, si su protección es independiente del tipo
de agente invasor.
Teniendo en cuenta estos criterios de especificidad y localización, las barreras
defensivas se reúnen en tres grupos:
a) Barreras externas, inespecíficas también conocidas como primarias por ser las que
frenan inicialmente la invasión. Pueden ser:
- Barreras físicas, como la piel, que por su grosor y su descamación natural no es
fácilmente atravesada por los microorganismos; los cilios de las vías respiratorias; las
secreciones mucosas que atrapan a las sustancias extrañas en las aberturas naturales del
aparato digestivo, respiratorio, y reproductor y el efecto de arrastre de las lagrimas,
saliva y micción.
- Barreras químicas, como el pH ácido del estómago e intestino delgado, de los fluidos
del aparato urogenital y de las secrecciones de las glándulas sebáceas y sudoríparas y la
lisozima, enzima presente en las lagrimas y saliva que rompe la pared bacteriana.
- Barreras biológicas, pues la flora bacteriana autóctona, normalmente inofensiva,
compite y controla a muchas poblaciones de gérmenes invasores patógenos,
especialmente en el tubo digestivo.
b) Barreras inespecíficas internas o barreras secundarias. Es un conjunto de células
sanguíneas con capacidad fagocítica, como los macrófagos, granulocitos y células NK
384
(asesinas naturales o "natural killer") y de biomoléculas inactivadoras, como el sistema
del complemento y ciertas citocinas, que reaccionan indiscriminadamente ante cualquier
elemento extraño en el interior del cuerpo.
c) Barrera interna específica. Las células responsables, los linfocitos, reaccionan ante
ciertas sustancias extrañas, los antígenos, fabricando moléculas especializadas que solo
neutralizan al antígeno iniciador, los anticuerpos. Esta repuesta tiene memoria,
originando dos tipos de respuesta específica: la respuesta primaria, tras el primer
contacto con el antígeno y la respuesta secundaria, tras un nuevo contacto con el
antígeno, es más rápida e intensa que la primaria.
Ante los agresores colaboran los tres tipos de barreras.
Figura 1: Barreras primarias
3. Concepto de Antígeno (Ag)
Un antígeno es aquella sustancia que siendo reconocida como extraña por el sistema
inmune, es capaz de inducir en este una respuesta específica encaminada a su
eutralización.
La respuesta inmune consiste en la síntesis de un tipo de moléculas, los anticuerpos, que
se unen específicamente al antígeno, desencadenando esta unión el proceso destructivo
del Ag.
La mayoría de los Ag son proteínas, aunque muchos polisacáridos tienen también este
385
comportamiento. Como son macromoléculas, casi todas superiores a 5 D, pueden poseer
más de una zona con actividad antigénica. A estas regiones superficiales se las conoce
como determinantes antigénicos o epítopos, y por ellas se unen con los anticuerpos. Los
antígenos serán monovalentes, divalentes o polivalentes según los epítopos que posean.
Según la procedencia de los antígenos pueden ser:
Nombre
Autoantígeno
Aloantígeno
Xenoantígeno
Procedencia
Ejemplo
Del propio individuo,
Células cancerosas
autóctono
De individuos de la misma
especie
Glóbulos rojos, transplante
de corazón
De especies distintas al
receptor
Virus, bacterias, ácaros
Identificación de las células propias. En las membranas de nuestras células tenemos
unas proteínas conocidas como CMH, iniciales de complejo mayor de
histocompatibilidad, que marcan la pertenencia de las células a un individuo, son sus
señas de identidad. En la especie humana hay muchos grupos distintos de CMH, que
condicionaran la compatibilidad o el rechazo en los trasplantes, pues en este caso se
comportan como antígenos.
Figura 2: Esquema de un antígeno
386
4. Clases de células implicadas
Todas las células encargadas de la defensa corporal son células sanguíneas, en especial leucocitos. Según su función
principal la realicen en la respuesta específica o inespecífica se agrupan en los siguientes apartados
Cuestión para autoevaluación
¿Cuál es la concentración de los diferentes tipos de células sanguíneas?
a) Células que intervienen en la respuestas inespecífica.
- Células que responden mediante "armas químicas". Pertenecen a dos grupos de glóbulos blancos granulocitos.
- Basófilos, son polimorfonucleares por tener su núcleo dividido en varios lóbulos. Al igual que los mastocitos o células
cebadas de los tejidos, contienen heparina (anticoagulante) histamina (vasodilatador) y mensajeros intercelulares. Son
muy eficaces ante los parásitos, desencadenan los procesos de inflamación y su liberación inadecuada provoca las
alergias.
- Eosinófilos, polimorfonucleares que contienen en sus gránulos sustancias que actúan contra sustancias grandes no
fagocitables, como gusanos endoparásitos. También son los responsables de frenar la reacción inflamatoria, destruyendo
las sustancias que liberan los basófilos.
- Células fagocitarias, mediante seudópodos capturan las sustancias extrañas y las digieren gracias a los abundantes
lisosomas que poseen. A este grupo pertenecen:
- Granulocitos neutrófilos, son también polimorfonucleares y se les conoce como micrófagos por ser más pequeños que
los macrófagos.
- Monocitos, son los glóbulos blancos más abundantes. Su núcleo es en herradura. Circulan unos tres días en sangre, tras
lo cual pasan a los tejidos y se transforman en macrófagos, que pueden fagocitar patógenos grandes.
Los macrófagos son indispensables para iniciar la respuesta específica. Pueden actuar como células presentadoras de
antígenos (CPA), ya que tras digerir las sustancias extrañas o antígenos, los presentan desenmascarados, sobre sus
proteínas CMH, a los linfocitos, iniciando su maduración y la respuesta especifica. Estas células CPA tienen moléculas
387
CMH diferentes al resto de las células corporales. Los macrófagos intervienen en las dos modalidades de respuesta,
específica e inespecífica.
b) Células que intervienen en la respuestas específica.
Los linfocitos son los principales agentes de la respuesta inmune. Tienen un tamaño comprendido entre 6 y 10 , un
citoplasma sin gránulos y su núcleo es grande y esférico.
Se originan a partir de las células madre hematopoyéticas localizadas en médula ósea roja de los huesos (también en el
hígado fetal).
Todos tienen diferentes marcadores en su membrana que pueden actuar como antígenos, conocidos como clases de
diferenciación CD. La clase a que pertenecen se indica con un número tras las siglas CD. Cada uno aporta a las células
propiedades diferentes.
Los linfocitos pueden ser linfocitos T y linfocitos B según el lugar en que maduren.
- Linfocitos T. Reciben este nombre porque maduran en el timo. En su membrana poseen receptores específicos para el
antígeno (TCR, T cell receptor), por los que reconocen a los antígenos que les presentan las células presentadoras de
antígenos (CPA), unidos a proteínas del CMH. No producen anticuerpos. Hay tres clases de linfocitos T:
- Linfocitos Th o colaboradores (H de helper), también conocidos comoT4 por tener el antígeno CD4. Un grupo de
ellos activan a los linfocitos B, y otros lo hacen con los linfocitos T citotóxicos y los macrófagos.
- Linfocitos Tc o citotóxicos, destruyen células infectadas y anormales. Son CD8.
- Linfocitos Ts o supresores, frenan la respuesta inmune. Son también CD8.
- Células asesinas o NK (natural killer), son una modalidad de linfocitos T, sin proteínas CD, que destruyen células
cancerosas o infectadas por virus o bacterias, mediante mecanismos dependientes o no de los anticuerpos.
- Linfocitos B. La B que los identifica recuerda a la bolsa de Fabricio, órgano de las aves en el que se descubrieron.
Maduran en la médula ósea, tras contactar con el antígeno complementario de los anticuerpos de su membrana se
388
transforman en otras células mayores, las células plasmáticas, especializadas en secretar grandes cantidades de
anticuerpos que anulan al antígeno que inició la reacción. Tienen una vida corta.
Figura 3: Esquema de un macrófago y de los linfocitos
5. Órganos linfoides
Las células del sistema inmune, encabezadas por los linfocitos, se producen, maduran o
diferencian en un conjunto de órganos y tejidos que forman una red difusa.
389
Figura 4-a: Formación de las células inmunodependientes
Todas las células de este sistema proceden de las células madres hematopoyéticas de la
médula ósea. De ella se originan células precursoras de linfocitos, que pueden madurar
en distintos órganos:
- Órganos linfoides primarios. En ellos maduran definitivamente los linfocitos. En la
médula ósea maduran los linfocitos B y en el timo los linfocitos T.
- Órganos linfoides secundarios. En su interior interactúan los linfocitos con los
antígenos, diferenciándose en sus diferentes modalidades. Son el bazo, situado en el
abdomen, los ganglios linfáticos del sistema linfático, más abundantes en las regiones
cervical, clavicular, axilar e inguinal y el tejido linfoide asociado a las mucosas
(MALT) del tracto gastrointestinal, (apéndice y placas de Peyer), respiratorio
(amígdalas) y genitourinario.
390
Figura 4-b: Órganos linfoides
391
6. Anticuerpos (Ac)
Los anticuerpos son glucoproteínas secretadas por las células plasmáticas, capaces de unirse al antígeno que provocó su
formación formando el complejo Ag-Ac, cuyo resultado final es la inactivación de ese antígeno, ya sean virus, bacterias,
células cancerosas...
Figura 5: Esquema de un Anticuerpo
Estructura de los Anticuerpos
- La parte proteica es una inmunoglobulina (Ig) o = globulina, formada por cuatro cadenas unidas por puentes
bisulfuro, dos pesadas (H) idénticas y dos ligeras (L) también iguales entre sí. El conjunto adopta una forma de Y. Las
cadenas L pueden ser de dos tipos K o , mientras que las cadenas H son mas variables y determinan los diferentes tipos
de Ig.
Por medio del pie de la Y llevan a cabo sus funciones biológicas como unirse a las membranas celulares o al
complemento, mientras que por sus brazos abiertos o bisagra, que es flexible, se adaptan al antígeno, uniéndose a el y
formando el complejo Ag-Ac.
392
Los extremos de los brazos de ambas cadenas son muy variables según los tipos de Ig, a diferencia de las partes centrales
y basales que son semejantes en casi todas ellas.
- La parte glucídica, de menor tamaño, se ancla al pié de la Ig y desempeña funciones relacionadas con su transporte y
protección.
Funciones de los Anticuerpos
El complejo Ag-Ac inactiva a los Ag, neutralizando su toxicidad, provocando su precipitación o aglutinación, activando
el complemento, atrayendo a los macrófagos y aumentando la citotoxicidad de los linfocitos Tc y células NK.
Formación de los Anticuerpos
Cada tipo de Ac no se forma como consecuencia de la llegada del Ag, sino que está formado con anterioridad. Durante el
desarrollo embrionario se generan al azar, con independencia del Ag, mas de 109 clones diferentes de linfocitos, cada
uno de los cuales reconoce un determinante antigénico o epítopo distinto. Estos esperan, como los trajes a medida de una
gran superficie, la llegada del Ag. Cuando el Ag entra en el organismo, selecciona el clon de linfocitos al que reconoce
por medio de los receptores TCR de su membrana. Tras ello, los clones seleccionados proliferan y producen la respuesta
inmune. A este proceso se le conoce como selección clonal.
Variedades de Ig
Clase Unidades
Peso
molecular
%
del
total
Vida
media
IgG
1
150.000
75
30d
IgM
5
900.000
10
10d
IgA
1o2
15
8d
IgD
1
160.000400.000
180.000
<1
Propiedades
La más importante de la
R.I. secundaria
La primera que aparece en
la R.I. primaria
Abundante en las
secrecciones externas
horas En la menbrana linfocitos
393
B
IgE
1
190.000
<1
?
Relacionada con las
alergias
. Defensas inespecíficas internas
Estas defensas no son específicas, ni tienen memoria, es decir, responden siempre de la
misma manera, con la misma intensidad y rapidez, independientemente del tipo de
agente y del número de veces que haya penetrado. Intervienen todas las células con
capacidad fagocítica y sustancias inactivadoras solubles.
7.1. El sistema del complemento
El complemento es un conjunto de mas de 20 proteínas plasmáticas solubles,
globulinas, siempre presentes de forma inactiva. Se activan secuencialmente ante la
presencia de complejos Ag-Ac o directamente por Ag. Esta activación en cascada de sus
componentes puede tener las siguientes consecuencias finales:
- Formación de un complejo perforante que provoca la lisis del microorganismo invasor.
- Inicio de un proceso inflamatorio, pues sus componentes provocan vasodilatación.
- Opsonización de los patógenos haciéndoles mas "atractivos" a los macrófagos.
Estas proteínas reciben el nombre de complemento porque ayudan y complementan los
mecanismos de respuesta inmune.
394
Figura 6: Esquema del complemento
7.2. Respuesta inflamatoria
La inflamación es una respuesta inespecífica del organismo cuya finalidad es aislar e
inactivar a los agentes agresores y restaurar las zonas dañadas.
Los síntomas de las regiones inflamadas son:
- Rubor o enrojecimiento, al presentarse más riego sanguíneo.
- Calor, con aumento de la temperatura, creando un ambiente desfavorable para los
microorganismos, pues este aumento potencia la capacidad destructiva de los leucocitos
y disminuye la cantidad de hierro, necesario para los patógenos.
- Tumor o hinchazón, por el aumento de la permeabilidad capilar.
395
- Dolor, por estimulación de las terminaciones nerviosas con el fin de inmovilizar esa
zona.
Todos estos cambios están provocados por la liberación de mediadores (histamina,
tromboxanos,...) ya sea por las células dañadas, por los microorganismos o por
componentes del plasma. Entre ellos provocan los siguientes efectos citológicos :
- Salida de los leucocitos, por diapédesis, en los capilares sanguíneos.
- Migración y activación de los macrófagos.
- Desgranulación de los neutrófilos, que liberan productos líticos y moduladores de la
inflamación.
Como vemos las principales células que actúan son los macrófagos y los neutrófilos,
que fagocitan a los agentes externos, muriendo en parte en este proceso. También
pueden actuar células NK e iniciarse una respuesta inmune al ser atraídos a la zona los
linfocitos que atacaran a los antígenos introducidos. Por ello inflamación y respuestas
específicas pueden actuar conjuntamente.
El acúmulo de tejidos dañados y células muertas, tanto corporales como invasoras, es lo
que conocemos como pus.
396
Primer cuestionario de matemáticas (respuestas al final)
1.- El máximo común de 9, 12, 16 y 25 es:
a) 3
b) 1
c) 300
d) 3600
2.- El mínimo común múltiplo de 24, 48, 56 y 168 es:
a) 16
b) 24
c) 336
d) 2586
3.- El máximo común divisor de 7, 14, 28 y 56 es:
a) 7
b) 56
c) 1
d) 14
4.- El mínimo común múltiplo de 2, 3, 6, 12 y 50 es:
a) 150
b) 50
c) 1
d) 300
5.- El mínimo común de 16, 24, y 32:
a) 96
b) 192
c) 8
d) 48
6.- El producto que se obtiene al multiplicar un número compuesto impar por su recíproco
es:
a) 0
b) −1
c) 1
d) 2
7.- El resultado de multiplicar dos números irracionales es igual a un número:
a) irracional
b) entero
c) real
d) natural
8.- ¿Cuál de los siguientes números es irracional?:
a) ½
b) 2
c) 1.15
d) 16
9.- Los siguientes son números irracionales EXCEPTO:
b) π
c) 5
d) 4/5
a) 3
10.- La simplificación de la expresión 6 − 2(3 − 5) − 4 − 9 = es:
a) −13
b) 5
c) −3
d) 11
11.- La simplificación de la expresión 12 − 2[4 − 3(2 − 3)] = es:
a) −2
b) 2
c) 70
d) 9
12.- La simplificación de la expresión −50 − 3{2 − [16 − 2(3 − 5)]} = es:
a) −104
b) −4
c) 4
d) 6
13.- La simplificación de la expresión 50 − 3{2 − [16 + 2(3 − 5)]} = es:
a) 22
b) −22
c) 80
d) 86
14.- El resultado de la siguiente operación −12 − 3(2 − 7) − −(4 − 11) = es:
a) 4
b) 10
c) 6
d) −4
2
1
(3 − ) − 0.4 = es:
9
2
b) 1
c) 1
d) 0. 1
7
3
(4 − ) − 0.7 = es:
9
2
b) 0.16
c) 1.16
d) 1. 16
15.- El resultado de
a) .1
16.- El resultado de
a) 1.16
17.- El resultado de simplificar [(2)2 / 3 ]2 = es:
a) 3 3 2
c) 2 3 2
b) 2 2
d) 2
18.- El resultado de simplificar [(6)1/ 2 ]3 = es:
a) 6 2
b) 6 3
c) 6
d) 6 6
2
3
 
19.- Al simplificar  5  el resultado es:
6
 5 
a) 4
b) ¼
c) ½
d) 4/25
[ x 2 ]3 / 2
es:
x3(2− 2 / 3)
c) x−1
d) x1/3
20.- El resultado de simplificar
a) x
b) x1/2
1
( x + y )3 / 2
es:
21.- El resultado de simplificar 2
3
1/ 2
( x + y)
4
a) 2/3(x + y)
b) 2/3(x + y)2
c) 2/3(x + y)1/2
d) 2/3(x + y)3/4
3
(a − 1)5 / 2
4
es:
22.- El resultado de simplificar
2
1/ 2
(a − 1)
3
b) 8/9(a − 1)2
c) 9/8(a − 1)
a) 9/8(a − 1)3
d) 9/8(a − 1)2
1
( x + z )3 / 2
23.- La simplificación de la siguiente operación 2
es:
3
1/ 2
( x + z)
4
a) 2/3(x + z)
b) 2/3(x + z)2
c) 3/2(x + z)2
d) 2/3(x + z)1/2
2
2 
 + 1 + 3
3 
24.- El resultado de la siguiente operación 
es:
5
2 + − (2 + 4)
3
a) 52/21
b) 21/52
c) 52/−21
d) −21/52
25.- El resultado de la operación 3 32 − 2 50 + 3 72 − 128 es:
a) 48 2
b) 28 2
c) 12 2
d) 2
26.- El resultado de la operación
a) 9 3 3
b)
3
3
3
24 + 3 81 − 3 192 es:
c) 2 3 3
d) 3
27.- El resultado de la operación 3 128 + 3 54 − 3 250 es:
a) 2 3 2
b) 12 3 2
c) 2 2
d) 3 2
28.- El resultado de la operación 3 18 − 2 98 + 3 200 − 4 50 es:
a) 5 2
b) 11 2
c) 2
d) 73 2
29.- El resultado de la operación 2 98 − 27 + 32 − 2 75 es:
a) 11 2 − 6 3
b) 18 2 − 13 3
c) 10 2 − 7 3
d)
2− 3
30.- La adición de −7/12 a la diferencia de 11/3−5/4 es:
a) 11/4
b) 3
c) 11/6
d) 29/3
31.- La adición de −5/3 a la diferencia de 4/3−7/4 es:
a) 25/12
b) −15/12
c) 15/12
d) −25/12
32.- ¿Cuánto se pagara de interés por $16,400 depositados por un año al 12% de interés
anual?
a) $1640
b) $1968
c) $3280
d) $1460
33.- ¿Cuál será el precio de una computadora de $12,600 si se incrementa e precio en un
8%?
a) $10080
b) $13860
c) $13608
d) $13680
34.- ¿cuánto pagare por 2.5 Litros de aceite lubricante si el precio de 650 ml es de $4.50?
a) $17.30
b) $18.30
c) $19.30
d) $20.30
35.- El precio de 3 corbatas es de $524 ¿Cuál será el precio de 5 corbatas?
a) $876.3
b) $837.3
c) $783.3
d) $873.3
36.- Si Juan gana $7890.20 mensuales con un incremento a su sueldo de 8% ¿Cuál era su
sueldo anterior?
a) $7258.98
b) $8521.4
c) $7305.7
d) 7503.7
37.- 4 hombres hacen una obra en 12 días trabajando 9 horas diarias ¿En cuantos días se
hará la obra si se incrementa en dos hombres y se trabaja las mismas horas diarias?
a) 18
b) 8
c) 12
d) 27
38.- Dada la expresión a − 4[a − b + 2(a − b) − 3a ] su simplificación es:
a) a + 12b
b) a − 12b
c) 3a + 12b
d) 3a − 12b
39.- Dada la expresión 2 x − 3[ x + y + 4( x − y ) + y ] su simplificación es:
a) 13x + 6y
b) 13x – 6y
c) –13x + 6y
d) 17x + 6y
40.- Dada la expresión 3m − 2[m − 2n − 2(m − 3n) − 5n] su simplificación es:
a) 5m – 2n
b) m – 2n
c) m + 2n
d) 5m + 2n
41.- Si en una sustracción la diferencia es 3x 3 + 2 x 2 − 5 x y el sustraendo es
5 x 3 − 4 x 2 − 5 x entonces el minuendo equivale a:
a) −2 x 3 + 6 x 2
b) 2 x 3 − 6 x 2
c) 8 x 3 − 2 x 2 − 10 x
d) 8 x 3 − 2 x 2 + 10 x
42.- Si en una sustracción la diferencia es 4 x3 − 3x 2 + 8 x y el sustraendo es
2 x 3 − 5 x 2 − 11x el minuendo equivale a:
a) 2 x3 + 2 x 2 + 19 x b) 6 x3 − 8 x 2 − 3x
c) −2 x3 − 2 x 2 − 19 x d) 6 x3 + 8 x 2 − 3 x
43.- Si en una sustracción la diferencia es 7 x 3 + 2 x 2 − 8 x y el sustraendo es −2 x 2 − x + 4
entonces el minuendo es:
a) 7 x 3 − 9 x + 4
b) 5 x 2 + x − 4
c) −7 x3 − 4 x 2 + 7 x + 4
d) 7 x 3 + 8 x + 4
44.- Si en una sustracción la diferencia es −5 x3 + 6 x 2 − 3 x y el sustraendo es
2 x 3 − 4 x 2 + x entonces el minuendo equivale a:
a) −7 x3 + 10 x 2 − 7 x b) 7 x3 − 10 x 2 + 7 x c) −7 x3 + 2 x 2 + x
d) − 3x 3 + 2 x 2 − 2 x
45.- El desarrollo del binomio al cuadrado ( x3 + 1/ 3)2 es igual:
a) x 3 + 2 / 3x 3 + 1/ 9 b) x 6 + 1/ 9 c) x 6 + 2 / 3x 3 + 1/ 9 d) x 5 + 2 / 3x 3 + 1/ 6
46.- El desarrollo del binomio al cuadrado ( x 2 − 1/ 6) 2 es iguala a:
a) x 4 + 1/ 36
b) x 2 − 1/ 6 x + 1/ 36 c) x 4 − 1/ 6 x + 1/ 36
d) x 4 − 1/ 3x 2 + 1/ 36
47.- El desarrollo del binomio al cuadrado (2 x + 1/ 4) 2 es igual a:
a) x 2 + 1/ 2 x + 1/16 b) x 2 − 1/ 2 x + 1/16 c) 4 x 2 + x + 1/16
d) 4 x 2 + 1/ 2 x + 1/16
48.- el desarrollo del binomio al cuadrado ( x − 3 / 2) 2 es igual a:
a) x 2 − 3 x + 9 / 4
b) x 2 − 9 / 4
c) x 2 − 6 / 4 x + 9 / 4 d) x 2 − 3 / 4 x + 9 / 4
49.- El resultado de multiplicar (3 2 x − 3 x )(3 2 x + 3 x ) es:
a) 21x
b) 15x
c) 12x
d) 9 x 2 − 3x
50.- El resultado de multiplicar (2 x + 3 2 x )(2 x − 3 2 x ) es:
a) 14x
b) 22x
c) −22x
d) −14x
51.- El resultado de multiplicar ( 4 x − 2)( 4 x + 2) es:
d) 4x
a) 4x−2
b) 2x
c) 16x2−4
52.- El resultado de multiplicar ( x − 3 / 4)( x + 3 / 4) es:
a) x 2 + 3 / 4 x − 9 /16
b) x 2 − 9 /16
c) x 2 − 9 / 4
d) x 2 + 9 /16
53.- La expresión a 2 + ab + ax + bx corresponde a:
b) (a + b)(a + b)
c) (a + x)(b + x)
a) (a + x)(a − b)
d) (a + x)(a + b)
54.- La expresión x 2 − a 2 + x − a 2 x corresponde a:
a) ( x + 1)( x − a 2 )
b) ( x + 1)( x − a)
c) ( x + 1)( x 2 − a )
d) ( x + a )( x − a)
55.- La expresión 4a 3 − 1 − a 2 + 4a corresponde a:
a) (a + 1)(4a − 1)
b) (a 2 − 1)(4a + 1)
c) (a − 1)(4a − 1)
d) (a 2 + 1)(4a − 1)
56.- La expresión 3xy − 2 pq + xq − 6 py corresponde a:
a) ( x − 2 p )(3 y + q) b) ( x − 2 p )(3 y − q ) c) ( x − 2q)(3 y − p )
d) (3 x + q )(2 p − 3 y )
57.- El resultado de factorizar m3 − 1 es:
a) (m − 1)(m 2 + m + 1) b) (m + 1)(m2 + m + 1) c) (m − 1)(m 2 − m + 1) d) (m − 1)(m2 + m − 1)
58.- El resultado de factorizar 8m3 + 27 es:
a) (2m + 3)(4m 2 + 6m + 9)
b) (2m − 3)(4m 2 + 6m + 9)
d) (2m + 3)(4m 2 − 6m + 9)
c) (2m + 3)(4m 2 − 12m + 9)
59.- el resultado de factorizar x 2 − 9 / 25 es:
a) ( x + 3 / 5)( x + 3 / 5) b) ( x − 3 / 5)( x − 3 / 5)
c) ( x + 3 / 5)( x − 3 / 5)
60.- El resultado de factorizar x 2 − 1/ 4 es:
a) ( x + 1/ 2)( x + 1/ 2) b) ( x − 1/ 2)( x + 1/ 2)
c) ( x + 1/ 2)2
d) ( x + 3 / 5) 2
d) ( x − 1/ 2)( x − 1/ 2)
61.- el resultado de factorizar m3 + 1 es:
a) (m + 1)(m2 + m + 1) b) (m − 1)(m 2 + m + 1) c) (m + 1)(m2 + m − 1) d) (m + 1)(m 2 − m + 1)
62.- El resultado de factorizar x 2 + ax − bx − ab es:
b) ( x − a )( x − b)
c) ( x + a )( x − b)
a) ( x + a )( x + b)
d) ( x + a )(a + b)
63.- El resultado de factorizar 4am3 − 12amn − m 2 + 3n es:
a) (m 2 − 3n)(4am − 1) b) (m 2 + 3n)(4am − 1) c) (m 2 − 3n)(4am + 1) d) (m 2 + 3n)(4am + 1)
64.- El resultado de factorizar 2 x 2 + 11x + 5 es:
a) (2 x − 1)( x + 5)
b) (2 x + 1)( x − 5)
c) (2 x + 5)( x + 1)
d) (2 x + 1)( x + 5)
65.- El resultado de factorizar x 2 − 1/ 81 es:
a) ( x − 1/ 9)( x − 1/ 9) b) ( x − 1/ 9)( x + 1/ 9) c) ( x + 1/ 9)( x + 1/ 9) d) ( x − 1/ 9) 2
66.- El resultado de factorizar 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 es:
a) (2 x + 3 y )(2 x − 3 y )
b) (2 x + 3 y )(2 x + 3 y )
c) (2 x + 3 y ) 2
d) (2 x − 3 y ) 2
67.- El resultado de factorizar x 2 + x − 2 es:
a) ( x − 2)( x − 1)
b) ( x − 2)( x + 1)
c) ( x + 2)( x − 1)
d) ( x − 1)( x − 1)
68.- El resultado de factorizar x 2 + x − 12 es:
a) ( x − 2)( x − 6)
b) ( x − 4)( x + 3)
c) ( x + 12)( x − 1)
d) ( x − 3)( x + 4)
69.- Los factores de x 2 + 2 x − 24 es:
a) ( x − 6)( x − 4)
b) ( x − 6)( x + 4)
d) ( x − 8)( x − 3)
c) ( x + 6)( x − 4)
70.- El resultado de factorizar x 2 − 10 x − 24 es:
a) ( x − 6)( x − 4)
b) ( x − 6)( x + 4)
c) ( x + 12)( x − 2)
d) ( x − 12)( x + 2)
71.- El resultado de factorizar x 2 + 5 x − 36 es:
a) ( x − 9)( x − 4)
b) ( x − 9)( x + 4)
c) ( x + 9)( x − 4)
d) ( x − 12)( x − 3)
72.- El resultado de factorizar x 2 − 3 x − 180 es:
a) ( x − 12)( x − 15)
b) ( x − 12)( x + 15)
c) ( x + 12)( x − 15)
d) ( x − 12)( x − 25)
73.- El resultado de factorizar de 3m 2 + 7 m − 6 es:
a) (3m + 2)(m + 3)
b) (3m − 2)(m + 3)
c) (3m − 2)(m − 3)
d) (3m − 1)(m + 6)
x2 − 4
es:
5ax + 10a
x−2
x+2
c)
d)
2a
2a
74.- La simplificación de la expresión
a)
x−2
5a
b)
x+2
5a
2ax + 4bx
es:
3ay + 6by
c) 2 x / 3 y
d) 3x / 2 y
75.- La simplificación de la expresión
a) 2 x / 6 y
b) 4 x / 3 y
3 x 2 − 4 x − 15
es:
x2 − 5x + 6
3x − 3
3x − 5
c)
d)
x −3
x−2
76.- La simplificación de la expresión
a)
3x + 5
x−3
b)
3x + 5
x−2
m3 + n3
es:
( m + n)3
m 2 + mn + n 2
m+n
b)
c)
2
( m + n) 2
(m + n)
77.- La simplificación de la expresión
m 2 − mn + n 2
a)
( m − n) 2
m 2 − mn + n 2
d)
( m + n) 2
a3 + 1
es:
a 4 − a3 + a − 1
c) 1/(a + 1)
d) 1/(a 4 + a )
78.- La simplificación de la expresión
a) 1/(a − 1)
b) a 2 + 1/ a
1
x es equivalente a:
79.- La fracción
1
1−
x
a) x + 1
b) x − 1
c) ( x + 1) / x
x−
d) ( x − 1) / x
3
x es equivalente a:
80.- La fracción
5
x−4−
x
x+3
x−3
x −3
x+3
a)
b)
c)
d)
x −5
x −5
x+5
x+5
x+4+
81.- El valor de x que satisface a la ecuación 2( x − 3) = 4 x − 8 es:
a) 2
b) −1
c) −2
d) 1
82.- El valor de x que satisface a la ecuación 3( x − 5) = 7 x − 4 es:
a) 11/4
b) −11/4
c) 5/4
d) −5/4
83.- El valor de x que satisface a la ecuación 5(3 − x ) = 4 x + 12 es:
a) 1/3
b) −1/3
c) 4/9
d) 3
84.- El valor de x que satisface a la ecuación 5 x − 4(3 − x ) = 7 x + 9 es:
a) 3/2
b) −21/2
c) 21/2
d) −3/2
85.- Las raíces de la ecuación x 2 + 7 x + 10 = 0 son:
c) x = 2, x = −5
a) x = 5, x = 2
b) x = −2, x = 5
d) x = −2, x = −5
86.- Las raíces de la ecuación x 2 + 5 x + 6 = 0 son:
a) x = 3, x = 2
b) x = −2, x = 3
c) x = 2, x = −3
d) x = −3, x = −2
87.- Las raíces de la ecuación x 2 − 5 x − 36 = 0 son:
a) x = 9, x = 4
b) x = 9, x = −4
c) x = −9, x = 4
d) x = −4, x = −9
88.- Las raíces de la ecuación x 2 − 10 x − 24 = 0 son:
c) x = 6, x = −2
a) x = 6, x = 4
b) x = 2, x = −12
d) x = 12, x = −2
89.- Las raíces de la ecuación x 2 − 5 x − 24 = 0 son:
a) x = 8, x = 3
b) x = 8, x = −3
c) x = −8, x = −3
d) x = −8, x = 3
90.- Las raíces de la ecuación x 2 + x − 72 = 0 son:
a) x = 9, x = 8
b) x = 9, x = −8
c) x = −9, x = −8
d) x = −9, x = 8
91.- Las raíces de la ecuación 6 x 2 + 11x − 10 = 0 son:
a) x = 2/3, x = −5/2 b) x = −2/3, x = −5/2 c) x = 2/5, x = −2/3
d) x = −2/5, x = −3/2
92.- El producto de la siguiente expresión algebraica 3 x ( x 2 + 4 x 3 ) es:
a) 3x5 / 2 + 12 x 4 / 2
b) 3x 5/ 2 + 12 x 7 / 2
c) 3x5 / 2 − 12 x 4 / 2
d) 3x5 / 2 + 12 x 3/ 2
93.- El producto de la siguiente expresión algebraica x (3 x 4 − 4 x5 ) es:
b) 3x 5/ 2 + 4 x11/ 2
c) 3x 3/ 2 − 4 x11/ 2
d) 3x 5/ 2 − 4 x11/ 2
a) 3x 9 / 2 − 4 x11/ 2
94.- El resultado de la siguiente operación (24a 2b −4 c 3 ) ÷ (8a 5b −2 c −4 ) = es:
a) −3a 3b 2 c −7
c) 3a −3b −2 c 7
d) 3a −3b −2 c −7
b) 3a 2b −4 c 7
95.- El resultado de la siguiente operación (36a −3b −2 c 7 ) ÷ (9a 5b −2c −4 ) = es:
a) 4c11 / a8
b) −4c11 / a8
c) 4a11 / c8
d) 4a8 / c11
96.- El resultado de la siguiente operación (−144 x3 y −4 z 7 ) ÷ (36 x 2 y −2 z 7 ) = es:
b) 4 x / y 2
c) −4 x / y −2
d) −4 x / y 2
a) −4 x / y −2
97.- Si T = Kt2 siendo K = 2 y t > 0 podemos decir que T:
a) Es inversamente proporcional a t
b) Disminuye con respecto a t
c) Aumenta con respecto a t
d) Es constante con respecto a t
98.- La ecuación que expresa que “x” viaria directamente proporcional a la enésima
potencia de “a” es:
an
k
an
a) x =
c) x = ka n
b) x =
d) x = −
k
x
k
99.- En la ecuación ax + a 2 − x = a 2 + a + 1 el valor de x cuando a = −5
a) x = −8
b) x = 3/5
c) x = 2/3
d) x = 2
100.- En la ecuación ax + a 2 − x = a 2 + a + 1 el valor de x cuando a = −1/5
d) −2/3
a) x = 7/5
b) x = −3/2 c) −5/3
x
101.- La propiedad de log b   es igual a:
 y
a) log b x + log b y
b) log b x − log b y
c) log b x ÷ log b y
102.- El logaritmo de uno es:
a) Cero
b) No esta definido
103.- Dado log b N su equivalente es:
log x N
log x b
log x N
b)
c)
a)
log b N
log x N
log x b
c) Uno
d)
d) log b x × log b y
d) Negativo
log n x
log b x
104.- La expresión log x y n se puede escribir como:
a) x log y n
b) y log x n
c) n log y x
d) n log x y
105.- La solución de la ecuación 3x+1 = 81 es:
a) x = 2
b) x = 3
c) x = 4
d) x = 5
106.- La solución de la ecuación log x + log( x − 3) = 1 es:
b) x = 10, x = −1
c) x = 1, x = −10
a) x = 2, x = −5
d) x = −2, x = 5
107.- ¿Cuál propiedad NO es correcta?
a) log MN = log M + log N
b) logb MN = NlogbM
c) log M/N = log N − log M
d) log M÷N = log M−logN
108.- La solución de la ecuación 4x + 2 = 16x es:
a) x = 1
b) x = 2
c) x = 3
d) x = 4
109.- La solución de la ecuación log 3 (2 x + 6) − log 3 ( x − 4) = 2 es:
a) x = 6
b) x = 5
c) x = 3
d) x = 4
110.- La solución de la ecuación 5x−1 = 25 es:
a) x = 1
b) x = 3
c) x = 2
d) x = 4
111.- Para b > 1, log1/ b y es igual a:
a) − log b y
b) log b y
c) − log y b
d) log b 1/ y
112.- Aplicando las leyes de los logaritmos a la expresión
a)
b)
c)
d)
log 2 + 4 log( x + 3) − log( x − 1)
log 2 + 4 log( x + 3) − log x + log1
log 2 + 4 log( x + 3) − log x − log1
log 4 + 2 log( x + 3) − log( x − 1)
113.- La raíz de 22 x− 2 − 2 = 14
c) x = 3
a) x = 1/3
b) x = −3
2( x + 3) 4
su simplificación es:
x −1
d) x = −1/3
114.- La distancia entre los puntos A(6, −3), B(−2, 3) es:
c) 4
d) 8
a) 10
b) 10
115.- La distancia entre los puntos A(2, 4), B(4, 0) es:
a) 12
b) 10
c) 20
d) 20
116.- La función f ( x) = sen(2a ) se puede expresar:
a) cos 2 a − sen 2 a
b) 2 sen a cos a
c) 2sen a
d) 1 − 2 sen 2 a
117.- La tangente de 3x − 2 y es:
tan(3 x − 2 y )
tan 3 x − tan 2 y
tan 3x + tan 2 y
a)
b)
c)
1 − tan(3 x − 2 y )
1 − tan 3 x − tan 2 y
1 − tan 3 x tan 2 y
d)
tan 3 x − tan 2 y
1 + tan 3 x tan 2 y
118.- Si la tangente del ángulo agudo de un triángulo es igual a 1 ¿cuál es el valor del cos?
1
a) 2
b) 3
c) 1
d)
2
119.- Si la tangente del ángulo agudo de un triángulo es igual a 2. ¿Cuál es el valor de la
sec?
1
5
a) 5
b) ½
c)
d)
2
5
120.- La grafica de x 2 + y 2 = 4 tiene como dominio:
a) (−2, 2)
b) [−2, 2]
c) [0, 2]
d) [−2, 0]
x −3
es:
x−2
c) R ≠ 2
d) R ≠ −3
121.- El dominio de la función f ( x) =
a) R ≠ 3
b) R ≠ −2
122.- Los puntos en el plano consta de dos variables (x, y) con el nombre de:
a) Abscisas b) Ordenadas c) Coordenadas
d) Variables
123.- El punto medio de AB, donde A = (3, 2) B = (−8, −5) es:
a) (11/2, 7/2) b) (5/2, 3/2) c) (−3/2, −5/2) d) (−2.5, −1.5)
124.- El punto medio de AB, donde A = (−2, 2) B = (1, 3) es:
a) (−1/2, 5/2) b) (5/2, −1/2) c) (1/2, 5/2) d) (1/2, −5/2)
125.- El punto medio de AB, donde A = (−1, 2) B = (−3, −2) es:
a) (2, −4)
b) (−2, 0)
c) (−2, −4)
d) (0, −2)
126.- El punto medio de AB, donde A = (6, −5) B = (−8, −5) es:
a) (−2, −10) b) (−1, 0)
c) (−1, −5)
d) (1, −5)
127.- L distancia entre los puntos A(−3, 2) B(1, −1) es:
a) 5
b) 20
c) 5
d) 20
128.- La recta cuya ecuación es 4 x + 3 y − 5 = 0 tiene como pendiente:
b) 4/3
c) −4/3
d) −3
a) −4
129.- La recta cuya ecuación es 5 x − 2 y − 7 = 0 tiene como pendiente:
a) −5/2
b) 5/2
c) 2/5
d) 7/5
130.- La recta cuya ecuación es 3 y − 5 x − 15 = 0 tiene como pendiente:
c) 5/3
d) −5/3
a) 3/5
b) −3/5
5
x − 3 es:
4
d) Cero
131.- La pendiente de la recta expresada por f ( x) =
a) Negativa
b) Positiva
c) No definida
132.- La pendiente de una recta perpendicular a la recta y = 5 x − 3 es:
a) 5
b) 1/5
c) −1/5
d) −5
133.- La pendiente de una recta perpendicular a la recta y = −2 x − 3 es:
b) −2/3
c) ½
d) −1/2
a) −2
3
x − 2 se expresa en forma general como:
4
b) 3x − 4 y − 8 = 0
c) 3x + 4 y − 8 = 0
d) 3x − 4 y + 8 = 0
134.- La ecuación y =
a) 3x − 4 y − 2 = 0
5
x − 2 se expresa en forma general como:
3
b) 5 x − 3 y + 6 = 0
c) 5 x − 3 y − 2 = 0
d) 5 x − 3 y − 6 = 0
135.- La ecuación y =
a) 5 x + 3 y − 6 = 0
136.- La pendiente de la ecuación general esta dada por:
A
B
−A
A
b) −
c)
d) −
a)
B
A
−B
B
137.- El valor de m en la recta y = mx + 5 para que corte el eje de las ordenadas en el punto
A(3,0) es:
a) −5 / 3
b) 5 / 3
c) 3 / 5
d) −3 / 5
138.- El valor m en la recta y = mx − 3 para pase por el punto A(−2, 4) es:
d) −7/2
a) 7/2
b) 2/7
c) −2/7
139.- La forma simétrica de la ecuación de la recta con pendiente m = −3 / 4 y ordenada al
origen 3 es:
a) 3x + 4 y − 12
b) y = −3 / 4 x + 3
c) x / 4 + y / 3 = 1
d) y − 3 = −3 / 4( x − 0)
140.- El ángulo de inclinación de la recta expresada por f ( x) = x + 4 es:
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 90°
141.- El ángulo de inclinación de la recta expresada por f ( x) = − x − 2 es:
a) 45°
b) 60°
c) 90°
d) 135°
142.- El segmento de la recta definido por los puntos P(2, 5) y Q(−2, −5) pasa por el punto
de coordenadas:
a) (1, 0)
b) (0, 1)
c) (−1, −1)
d) (0, 0)
143.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 y 4, cual es el valor de la hipotenusa:
a) 25
b) 5
c) 7
d) 7
144.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 y uno de sus catetos 12 cual es el
valor de él otro cateto:
a) 8
b) 10
c) 7
d) 5
145.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 1 y 2, cual es el valor de la hipotenusa:
a) 5
b) 5
c) 7
d) 25
146.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 y uno de sus catetos 3, cual es el
valor del otro cateto:
a) 16
b) 4
c) 5
d) 2
147.- El valor x en el siguiente triángulo es:
a) 6
b)
5
c) 5
d) 7
148.- El valor x en el siguiente triángulo es:
a) 3 b) 5 c) 3 d) 5
149.- El valor x en el siguiente triángulo es:
a) 33 b) 33 c) 65 d) 65
150.- El valor que corresponde a sen 2 θ + cos 2 θ es:
b) 0
c) 1
c) cos(2θ )
a) −1
151.- Dado el triángulo rectángulo, el valor de la sec θ es:
a) 3/5
b) 4/5
c) 5/3
d) 7/4
152.- El valor de − sen 2θ − 2 cos 2θ es:
a) 1
b) −1
c) cos(2θ )
d) cos 2 θ
3
determinar el valor del seno y coseno:
4
3
4
cos θ =
=
5
5
3
3
cos θ =
=
4
2
3
3
cos θ =
=−
4
2
3
3
cos θ = −
=
4
2
1
sen θ = el valor del coseno es:
4
d) 15
b) 4/1
c) 15 / 4
153.- Si la Tan θ =
a) sen θ
b) sen θ
c) sen θ
d) sen θ
154.- Si
a) 15/4
155.- Si cos θ = 6 /10 el valor del seno es:
a) 10/8
b) 10/6
c) 8/10
d) 5/10
2
determinar el valor del seno:
3
b) 2/13
c) 3 / 13
d) 3/2
156.- Si tan θ =
a) 2 / 13
1
determinar el valor del coseno:
3
b) 2/3
c) 1/ 8
d) 8 / 3
157.- Si Sen θ =
a)
8
3
determinar el valor de la tangente:
4
b) 7 / 3
c) 3/4
d) 4/3
158.- Si sen θ =
a) 3 / 7
2
determinar el valor de la cosecante:
7
b) 7 / 3 5
c) 3 5 / 2
d) 3 5 / 7
159.- Si cos θ =
a) 2 / 3 5
160.- Si tan θ = 1 , determinar el valor del seno:
a)
2
b) 1/ 2
c) 1/2
d) 2
12
, determinar el valor de la tangente:
13
b) 12/5
c) 13/5
d) 5/13
161.- Si el cos θ =
a) 5/12
1
es igual con:
cos θ
b) csc θ
c) sec θ
d) tan θ
1
es igual con:
tan θ
b) se n θ
c) c s c θ
d) cot θ
1
es igual con:
sen θ
b) se n θ
c) csc θ
d) cot θ
162.- La expresión
a) sen θ
163.- La expresión
a) sec θ
164.- La expresión
a) sec θ
165.- La sec θ también puede expresarse como:
a) 1/ sen θ
b) 1/ cos θ
c) csc θ
d) 1/ sec θ
166.- La csc θ también puede expresarse como:
a) 1/ sen θ
b) sen θ
c) 1/ cos θ
d) sec θ
c)
3/2
d) 1/2
c)
3/2
d) 1/2
c)
3/2
d) 1/2
c)
3/2
d) 1/2
c)
3/2
d) 1/2
c)
3/2
d) 1/2
167.- El valor de sen 60° es:
a) 1
b)
2/2
168.- El valor de cos 60° es:
a) 1
b)
2/2
169.- El valor de sen 45° es:
a) 1
b)
2/2
170.- El valor de cos 45° es:
a) 1
b)
2/2
171.- El valor de sen 30° es:
a) 1
b)
2/2
172.- El valor de tan 45° es:
a) 1
b)
2/2
173.- El punto donde se interceptan las tres medianas de un triángulo es:
a) Incentro
b) Circuncentro
c) Ortocentro
d) Baricentro
174.- La campana de Gauss define a la función:
a) Paramétrica
b) Compuesta
c) Normal
d) Algebraica
175.- Si A y B son dos rectas paralelas, el valor del ángulo “x” es:
a) 25°
b) 35°
c) 45°
d) 55°
176.- La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (−1, 3) es:
a) 3/2
b) −3/2
c) 2/3
d) −2/3
177.- Dada la ecuación de una línea recta 3x − 2 y + 12 = 0 hallar sus intersecciones con los
ejes coordenados
a) x = 2, y = 3
b) x = −1, y = 4
c) x = −4, y = 6
d) x = 3, y = 5
178.- El punto de intersección entre las rectas:
a) (2, 3)
b) (3, −1)
c) (3, 1)
x − 2y = 5
2x + y = 5
d) (−3, 1)
es:
179.- Determinar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(−3, 6)
a) y = x + 2
b) y = 2 x − 1
c) y = −3 x + 2
d) y = − x + 3
180.- Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, −2), B(−1, 6)
a) y − 6 = 2( x + 1)
b) y + 6 = −2( x − 1) c) y − 6 = −2( x + 1) d) y + 6 = 2( x − 1)
181.- El lugar geométrico que corresponde a la ecuación x 2 + y 2 − 25 = 0 es:
a) Elipse
b) Parábola
c) Hipérbola
d) Circunferencia
182.- Si los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos (0, −6) (0, 6), su
ecuación es:
a) x 2 + y 2 = 6
b) x 2 + y 2 = 36
c) x 2 − y 2 = 36
d) x 2 + y 2 = 144
183.- Indicar cual de las siguientes circunferencias se encontraran totalmente en el primer
cuadrante.
a) ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 25
b) ( x − 4) 2 + ( y − 3)2 = 4
c) ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 36
d) ( x − 1) 2 + ( y − 1)2 = 4
184.- La ecuación x 2 + y 2 + 6 x − 8 y − 11 = 0 es una circunferencia con centro y radio en:
a) (6, −8) r = 6
b) (3, −4) r = 6
c) (−3, 4) r = 36
d) (−3, 4) r = 6
185.- Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro y radio son
respectivamente, (6, −5) y 4
a) x 2 + y 2 − 12 x + 10 y − 45 = 0
b) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 45 = 0
c) x 2 + y 2 − 12 x + 10 y + 45 = 0
d) x 2 + y 2 + 12 x − 10 y + 45 = 0
186.- Determinar el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuación general
2 x 2 + 2 y 2 − 2 x + 6 y − 27 = 0
a) (1/2, −3/2), r = 4 b) (−3, 2) r = 3
c) (2/3, 1/3) r = 1
d) (4, −1) r =5
187.- La ecuación de la circunferencia con centro en (−1, 2) y que pasa por el punto (3, 4)
es:
a) ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 20
b) ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 20
c) ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 20
d) ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 20
188.- El foco de la parábola y 2 + 8 x = 0 es:
a) (0, 2)
b) (−2, 0)
c) (0, −2)
d) (2,0)
189.- El foco de la parábola 3 x 2 − 9 y = 0 es:
a) (3/4, 0)
b) (0, 9/4)
c) (0, 3/4)
d) (0, −3/4)
190.- ¿Cuál ecuación corresponde a una hipérbola?
a) y = 1/ x
b) x 2 = 4 py
c) x 2 + y 2 = 4
d)
x2 y 2
−
=1
4 9
191.- Los semiejes mayor y menor de la elipse cuya ecuación esta dada por
16 x 2 + 9 y 2 = 144 son:
a) 16 y 9
b) 5 y 3
c) 3 y 4
d) 4 y 3
192.- La ecuación ordinaria de la cónica 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 24 y + 36 = 0 es:
( x − 2)2 ( y + 3) 2
+
4
9
2
( x + 2) ( y + 3) 2
b)
+
4
9
2
( x − 2) ( y − 3) 2
c)
+
4
9
2
( x − 3) ( y + 2) 2
d)
+
4
9
a)
=1
=1
=1
=1
193.- La ecuación de la elipse cuyos vértices son (0, −5), (0, 5) y sus focos son (0, −3), (0,
3) es:
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a)
b)
c)
d)
+
=1
+
=1
+
=1
+
=1
25 9
25 16
16 25
9 25
194.- La ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y directriz y = −5 es:
b) y 2 = 20 x
c) y 2 = −20 x
d) x 2 = 20 y
a) x 2 = −20 y
195.- La ecuación de la elipse con vértices (0, −3) (0, 3) y los puntos ( − 5 , 0)( 5 , 0)
como extremos del eje menor, es:
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a)
b)
c)
d)
+
=1
+
=1
+
=1
+
=1
5
9
25 9
25 16
9
5
196.- La ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en el origen y vértices y focos V(−4,
0)(4, 0) F(−5, 0)(5,0) es:
x2 y 2
x2 y2
x2 y 2
x2 y2
a)
b)
c)
d)
−
=1
−
=1
−
=1
+
=1
25 16
16 9
9 16
25 16
197.- Las ecuaciones paramétricas x = 3 − 2t , y = 4 − 5t corresponden a una:
a) Circunferencia
b) Hipérbola
c) Recta
d) Elipse
198.- Al transformar la ecuación polar r = 3cos θ se obtiene:
a) x 2 + y 2 + 3 x = 0 b) x 2 + y 2 − 3 x = 0 c) − x 2 + y 2 + 3 x = 0 d) x 2 − y 2 − 3 x = 0
199.-La ecuación de la recta expresada en coordenadas polares y = 2 x − 3 es:
a) r ( sen θ + 2 cos θ ) − 3 = 0
b) r ( sen θ − 2 cos θ ) − 3 = 0
c) sen θ − 2 cos θ − 3 = 0
d) r ( sen θ − 2 cos θ ) + 3 = 0
200.- La ecuación polar r 2 sen3 θ − cos θ = 0 expresada como ecuación cartesiana es:
a) x = y 3
b) y = x 3
c) x = y
d) x = y 2
Respuestas:
1.- b
2.- c
3.- a
4.- d
5.- a
6.- c
7.- c
8.- b
9.- d
10.- b
11.- a
12.- c
13.- c
14.- d
15.- d
16.- c
17.- c
18.- d
19.- b
20.- c
21.- a
22.- d
23.- a
24.- c
25.- c
26.- b
27.- a
28.- a
29.- b
30.- c
31.- d
32.- b
33.- c
34.- a
35.- d
36.- c
37.- b
38.- a
39.- c
40.- d
41.- c
42.- b
43.- a
44.- d
45.- c
46.- d
47.- c
48.- a
49.- b
50.- d
51.- a
52.- b
53.- d
54.- a
55.- d
56.- a
57.- a
58.- d
59.- c
60.- b
61.- d
62.- c
63.- a
64.- d
65.- b
66.- d
67.- c
68.- d
69.- c
70.- d
71.- c
72.- c
73.- b
74.- a
75.- c
76.- b
77.- d
78.- a
79.- a
80.- a
81.- d
82.- b
83.- a
84.- c
85.- d
86.- d
87.- b
88.- d
89.- b
90.- d
91.- a
92.- b
93.- a
94.- c
95.- a
96.- d
97.- c
98.- c
99.- c
100.- d
101.- b
102.- a
103.- c
104.- d
105.- b
106.- d
107.- c
108.- b
109.- a
110.- b
111.- a
112.- a
113.- c
114.- a
115.- c
116.- b
117.- d
118.- d
119.- a
120.- b
121.- c
122.- c
123.- d
124.- a
125.- b
126.- c
127.- c
128.- c
129.- b
130.- c
131.- b
132.- c
133.- c
134.- b
135.- d
136.- d
137.- a
138.- d
139.- c
140.- c
141.- d
142.- d
143.- b
144.- d
145.- a
146.- b
147.- c
148.- a
149.- a
150.- c
151.- d
152.- d
153.- a
154.- c
155.- c
156.- a
157.- d
158.- a
159.- b
160.- b
161.- a
162.- c
163.- d
164.- c
165.- b
166.- a
167.- c
168.- d
169.- b
170.- b
171.- d
172.- a
173.- d
174.- c
175.- c
176.- b
177.- c
178.- b
179.- d
180.- c
181.- d
182.- b
183.- b
184.- d
185.- c
186.- a
187.- a
188.- b
189.- c
190.- a
191.- d
192.- a
193.- c
194.- d
195.- a
196.- b
197.- c
198.- b
199.- b
200.- a
2. Problemas para Razonamiento Matemático
En este capítulo se presentan cerca de 160 ejercicios que fueron empleados en el
instrumento para incrementar el índice de ingreso al nivel superior de la Escuela
Bachilleres “Experimental”. Se resolvieron la mitad de los ejercicios, tal cual se presenta en
este capítulo, mientras que el resto de ellos se propusieron para su solución individual.
2.1. Razonamiento Matemático
Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes que
posibilite, tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación significativa de los
conceptos para plantear y resolver problemas de tipo matemático.
En lo sucesivo aparecerán diversas cuestiones que intentan desarrollar habilidades de
lectura, comprensión, planteamiento y elección – solución, mediante situaciones que
tienen alguna relación con las matemáticas.
Los mecanismos para resolver son muy diversos. Prácticamente todos los problemas
encuentran solución mediante procedimientos matemáticos, sin embargo, los requisitos
pueden no ser del nivel medio superior, por lo cual se ha presentado una solución idónea
para el nivel preuniversitario. En particular, en algunos casos procederemos mediante las
posibles respuestas, eligiendo e intentando mostrar, mediante diversos argumentos, si es o
no correcta la respuesta elegida.
Por último se señala que este material tiene un diseño basado en problemas resueltos y
problemas propuestos. Una vez expuestos los primeros, el estudiante debe tener la
habilidad para hallar solución a los segundos. Es inútil el desarrollo de habilidades sin al
menos intentar cada uno de los problemas que aparecen en la sección de problemas
propuestos.
2.2. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES.
2.2.1. Problemas sin opción múltiple
1. Un número es equivalente al cuádruplo de otro y la suma de ellos es 80.
Halle ambos números.
Solución:
El problema consiste en hallar un par de números que tienen una relación numérica entre
sí. Como ambos números son desconocidos asignaremos variables cualesquiera para
proceder.
Sean x y y el par de números buscados.
El enunciado, “la suma de ambos es 80”, implica necesariamente la ecuación x + y = 80 .
Sin embargo, el problema en su primer enunciado define que “un número es igual al
cuádruplo de otro”. Así, deberíamos entender que el cuádruplo de y es 4 veces y , en otros
términos, 4 y . Volviendo al enunciado del problema se genera la ecuación x = 4 y .
El proceso que ha concluido hasta el momento ha sido el de la lectura – comprensión.
Enseguida, en virtud de las ecuaciones generadas, procederemos a plantear el problema.
“Un número es igual al cuádruplo de otro” implica que x = 4 y
y “la suma de ambos es
80” implica la ecuación x + y = 80 .
Ahora bien, para hallar los números tendremos que ejecutar algún proceso algebraico. La
sugerencia es sustituir el valor de la variable x , en la ecuación x + y = 80 , para luego
despejar la variable y , es decir,
x + y = 80
4 y + y = 80
5 y = 80
y=
80
5
y = 16
El proceso ha determinado el valor y = 16 , sin embargo resta encontrar el valor de x ,
puesto que son los números buscados. De manera sencilla se puede sustituir el valor de y
en la ecuación x = 4 y , esto es,
x = 4(16)
x = 64
Evidentemente la suma de ambos números corresponde a 80, y el primero, 64, es el
cuádruplo del segundo, 16. Por lo tanto, los números buscados son 64 y 16.
2. Raúl tiene 14 años menos que David y ambas edades suman 56 años. ¿Qué
edad tiene cada uno?
Solución:
El problema deberá concluir una vez que se determinen las edades de los dos individuos en
cuestión. Para comenzar debemos asignar variables algebraicas a cada uno de ellos.
Sean r la edad de Raúl y d la edad de David.
En el enunciado es necesario comprender que David es mayor de edad que Raúl. De hecho
que su diferencia de edades es 14 años. Así, en un ejemplo numérico, si David tiene 24 años
entonces Raúl debe tener 10 años.
Por otra parte, la suma de las edades de Raúl y David debe ser 56.
Ahora bien, para plantear el problema debemos establecer una relación entre las variables
que corresponda a lo que se lee en el enunciado.
La primera oración del problema, “Raúl tiene 14 años menos que David”, implica
algebraicamente la ecuación
r +14 = d , o bien r = d − 14 . Además, “La suma de las
edades es 56”, genera la ecuación r + d = 56 .
Después de haber planteado el problema, se debe continuar con la solución del mismo. En
este caso tenemos un par de ecuaciones lineales que se podrían representar, sustituyendo
el valor de la variable d en la ecuación r + d = 56 , mediante
r + ( r + 14) = 56 , que es la
ecuación lineal a resolver.
Algebraicamente el proceso es simple, hay que despejar la variable única que aparece en la
ecuación, es decir,
r + ( r + 14) = 56
r + r + 14 = 56
2r + 14 = 56
2r = 56 − 14
2r = 42
r=
42
2
r = 21
Para terminar, habrá que sustituir el valor numérico de la variable r en la ecuación
r +14 = d , la cual generará el valor de la variable d que corresponde a la edad de David.
El proceso es el siguiente:
r + 14 = d
21 +14 = d
35 = d
Según la asignación de variables propuesta, la edad de Raúl es 21 años y la edad de David
es 35 años. Es importante verificar que las condiciones del problema se cumplan, en este
caso es evidente que la suma de ambas edades es 56 años, y que Raúl es 14 años menor que
David.
3. Un número es más grande que otro en 7 unidades. El doble del mayor
excede al triple del menor en 2. Hallar ambos números.
Solución:
En este caso la solución del problema es un poco más complicada. Lo leído indica que
debemos hallar un par de números, que llamaremos a y b , en donde uno de ellos es
mayor que el otro.
Sea a el mayor de los números buscados y b el menor de ellos.
La lectura permite determinar que el mayor de los números lo es en 7 unidades. Para
comprender esa frase, es conveniente ejemplificar numéricamente. Si el mayor de los
números es 10 entonces el menor de ellos debe ser 3, puesto que el mayor es “más grande”
en 7 unidades.
En términos algebraicos podríamos decir que a = b + 7 o bien que a − 7 = b , ambas
ecuaciones son equivalentes según el ejemplo anterior.
La dificultad del problema consiste en comprender el segundo enunciado. Recordemos que
a es el mayor de los números y b el menor. Así, el doble del mayor, 2a , excede o es más
grande que el triple del menor, 3b , en 2 unidades. Esto, en términos algebraicos,
representa que 2a − 2 = 3b o bien que 2a = 3b + 2 .
Podemos plantear entonces el problema a partir de un par de ecuaciones, que serían
a = b + 7 y 2a − 2 = 3b .
Para hallar los números debemos, de la misma forma que en los casos anteriores, sustituir
el valor de la variable a en la segunda ecuación 2a − 2 = 3b , esto es,
2a − 2 = 3b
2(b + 7) − 2 = 3b
2b + 14 − 2 = 3b
12 = 3b − 2b
12 = b
Para determinar el valor de a , debemos trabajar con la ecuación a = b + 7 , sustituyendo el
valor numérico que hemos encontrado, es decir,
a =b+7
a = 12 + 7
a = 19
Los números buscados son 19 y 12.
El primero es mayor que el segundo en 7 unidades. Además el doble del mayor, 38, excede
o es más grande, que el triple del menor, 36, en 2 unidades, lo cual se observa de manera
clara.
4. Hallar tres números enteros consecutivos, cuya suma sea 204.
Solución:
Para resolver este problema es importante recordar que números enteros son todos
aquellos de la colección Z = {− ∞,...,−3,−2,−1,0,1,2,3,..., ∞} .
Por otra parte, debemos hallar tres números de dicha colección que cuenten con la
característica de ser consecutivos. Ejemplificando, tendríamos que un número entero
consecutivo a 3 sería 4, consecutivo a 10 sería 11, consecutivo a 533 sería 534. Sin embargo,
¿cuál sería un número entero consecutivo a –10? Según el orden establecido, si pensamos
en –11 entonces se generaría un error. Observemos que el consecutivo siempre se
encuentra a la “derecha”, pensando en la recta numérica. Esto significa que el entero
consecutivo a –10 es –9, de la misma forma, el consecutivo a –533 es –532.
Una vez que se ha comprendido el concepto de número entero consecutivo procederemos a
plantear algebraicamente.
Sea x el primer número entero. Así para generar el siguiente debemos agregar la unidad,
es decir, si el número consecutivo a 14 es 14 + 1 entonces el número entero consecutivo a x
sería x + 1 . De la misma forma, el consecutivo a x + 1 , sería x + 2 .
Esto implica que x , x + 1 , x + 2 , son números enteros consecutivos.
Recordando el enunciado inicial, la suma de x , x + 1 , x + 2 , debe ser igual a 204, lo cual
indica que la ecuación lineal que se deberá resolver es x + ( x + 1) + ( x + 2) = 204 .
El proceso algebraico se indica en seguida.
x + ( x + 1) + ( x + 2) = 204
x + x + 1 + x + 2 = 204
3x + 3 = 204
3x = 204 − 3
3x = 201
x=
201
3
x = 67
Los tres números buscados serían 67, 68 y 69. La suma de ellos corresponde a 204, como
se exigen en el problema y evidentemente son números enteros consecutivos.
2.2.2 Problemas con opción múltiple.
En esta sección se presentarán cinco opciones de respuesta para cada caso, tal y
como aparecerán en la mayoría de los exámenes de selección al nivel superior. En algunos
casos se partirá de las soluciones para determinar cuál es la correcta. Debemos observar lo
conveniente que puede ser resolver un problema en virtud de sus soluciones.
5. Diana tiene 6 monedas más de 25 centavos que de 10 centavos. Si Diana
junta el total de monedas obtiene $ 9.20, ¿cuántas monedas tiene de cada
clase?
a) 22 monedas de 10 centavos y 28 de 25 centavos
b) 22 monedas de 25 centavos y 28 de 10 centavos
c) 25 monedas de 10 centavos y 10 de 25 centavos
d) 28 monedas de 10 centavos y 22 de 15 centavos
e) 20 monedas de 10 centavos y 26 de 25 centavos
Solución:
En este caso hablamos de un par de monedas que definiremos en seguida. Sea x el
número de monedas de 10 centavos, así x + 6 , será el número de monedas de 25 centavos,
puesto que Diana tiene 6 más de 25 centavos que de 10.
Ahora bien, en el enunciado, la cantidad económica que Diana tiene, $ 9.20 (o bien 920
centavos), se obtiene a partir de la suma del total de monedas, esto es,
10( x ) + 25( x + 6) = 920 .
El planteamiento del problema corresponde a la ecuación 10( x ) + 25( x + 6) = 920 , que se
resuelve mediante el siguiente proceso algebraico.
10 x + 25x + 150 = 920
35x + 150 = 920
35x = 920 − 150
35x = 770
x=
770
35
x = 22
Lo que hallamos es el número de monedas de 10 centavos que Diana tiene. Ahora como
x + 6 es el número de monedas de 25 centavos, entonces se deduce dicho número
sustituyendo, esto es,
x + 6 = 22 + 6 = 28
Por lo tanto Diana tiene 22 monedas de 10 centavos, y 28 monedas de 25 centavos.
Es claro que hay 6 monedas más de 25 centavos que de 10 centavos y que 22 monedas de
10 centavos hacen $ 2.2, mientras que 28 monedas de 25 centavos forman $ 7.0, lo cual
suma la cantidad final de Diana $ 9.2.
6. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor es
igual a un quinto del mayor.
a) 16 y 12
b) 25 y 21
c) 20 y 16
d) 20 y 18
e) 24 y 20
Solución:
Sean a y b dos números enteros. Si uno supera a otro entonces podremos
establecer que a es mayor que b . Así la frase “un entero supera en 4 a otro” representaría
la ecuación a − 4 = b .
Por otra parte se lee que “un cuarto del menor”, es decir,
mayor”, esto es,
1
b , es igual a “un quinto del
4
1
1
1
a . En términos algebraicos, podríamos establecer que b = a .
5
4
5
El par de ecuaciones que plantean el problema pueden ser
a−4=b y
b a
= . Ahora
4 5
bien, el proceso para determinar las soluciones a este problema consiste en sustituir el
valor de la variable b , en la igualdad
b a
= . En seguida el método.
4 5
b a
=
4 5
a−4 a
=
4
5
5( a − 4) = 4a
5a − 20 = 4a
5a − 4a = 20
a = 20
Hemos determinado el valor del mayor de los números buscados. Para hallar el otro valor
sustituiremos en a − 4 = b .
20 − 4 = b
b = 16
Por lo tanto los números buscados son 20 y 16, el primero supera en 4 al otro, y un cuarto
del menor es igual a un quinto del mayor.
7. Isabel tiene actualmente la mitad de la edad de Olivia, y dentro de doce años
tendrá
5
de la que Olivia tenga entonces. ¿Cuáles son las edades actuales de
6
Isabel y Olivia?
a) 3 y 6 años
b) 6 y 3 años
c) 4 y 7 años
d) 5 y 8 años
e) 12 y 15 años
Solución:
De manera similar a los casos anteriores definiremos las edades de Isabel y Olivia a
partir de una variable.
Sea x la edad de Isabel. Luego, la edad de Olivia será 2 x , puesto que Isabel tiene la mitad
de años respecto a Olivia.
Por su parte dentro de doce años dichas variables cambiarán por x + 12 para Isabel, y
2 x + 12 para Olivia.
Para plantear el problema correctamente habrá que considerar el dato que menciona
“dentro de doce años, Isabel, tendrá
x + 12 =
5
de la edad de Olivia”, así la igualdad que resulta es
6
5
(2 x + 12) ,
6
Procederemos a la solución de dicha ecuación. Hallaremos el valor de x , que corresponde
a la edad de Isabel.
x + 12 =
5
(2 x + 12)
6
x + 12 =
10 x + 60
6
6 x + 72 = 10 x + 60
72 − 60 = 10 x + 6 x
12 = 4 x
12
=x
4
3= x
Por lo tanto la edad de Isabel es 3 años, y la edad de Olivia corresponderá a 6 años puesto
que Isabel tiene la mitad de años que Olivia. Debemos pues señalar como correcta la
respuesta del inciso a.
8. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pulgadas. Determinar el
área del triángulo si su base es de 8 pulgadas menos que el doble de su altura.
a) 86 in2
b) 126 in2
c) 116 in2
d) 106 in2
e) 96 in2
Solución:
En este caso la solución requiere saber la base del triángulo y su altura para después
sustituir en la fórmula correspondiente al área.
Llamaremos a y b , altura y base respectivamente. La suma de a y b corresponde a 28, lo
cual algebraicamente significa que a + b = 28 . Por otra parte, la base b , es 8 pulgadas
menos que 2a , lo cual genera la ecuación b = 2a − 8 .
El proceso algebraico es similar a los casos anteriores.
a + b = 28
a + ( 2a − 8) = 28
a + 2a − 8 = 28
3a = 28 + 8
3a = 36
a=
36
3
a = 12
La base del triángulo se determina de la siguiente forma:
b = 2a − 8
b = 2(12) − 8
b = 24 − 8
b = 16
Por lo tanto, la altura del triángulo es 12 pulgadas y la base es igual a 16 pulgadas. Sin
embargo el problema exige calcular el área, para lo cual recordaremos que
A=
(16)(12)
= 96 .
2
El área del triángulo es igual a 96 pulgadas cuadradas, debemos marcar la respuesta del
inciso e.
9. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años
más que la menor y la de en medio 18 años menos que la mayor. Hallar las
respectivas edades.
a) 44, 26, 24
b) 40, 22, 20
c) 42, 24, 22
d) 48, 20, 20
e) 46, 24, 18
Solución:
En este caso la solución es más complicada puesto que debemos hallar tres datos
según el enunciado. Para plantear el problema definiremos las variables a, b, c , para las
edades de las tres personas. Además dichas variables relacionan en orden al mayor,
mediano y menor de edad respectivamente.
De la primera frase podemos escribir que a + b + c = 88 . En seguida, “la mayor”, es decir,
a , tiene 20 años más que la menor, lo cual significa que c = a − 20 . Por último tenemos
que la persona de en medio, es decir, b , tiene 18 años menos que la mayor, esto es,
b = a − 18 .
En la ecuación a + b + c = 88 podemos sustituir el resto de las ecuaciones para generar
a + ( a − 18) + ( a − 20) = 88 , que debemos solucionar para hallar la mayor de las edades.
a + a − 18 + a − 20 = 88
3a − 38 = 88
3a = 88 + 38
3a = 126
a=
126
3
a = 42 .
La mayor de las personas tiene 42 años de edad, la de en medio, b , tiene b = 42 − 18 , que
corresponde a 24 años, y por último la menor de las tres personas, que se representa con la
letra c , tiene c = 42 − 20 , que corresponde a 22 años.
El inciso que responde correctamente este problema es el inciso c, donde las edades
respectivas son 42, 24 y 22 años.
10. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. El mayor
excede al menor en 35° y el menor excede en 20° a la diferencia entre el mayor
y el mediano. Hallar los ángulos.
a) 80°, 35°, 65°
b) 70°, 55°, 55°
c) 80°, 55°, 45°
d) 70°, 65°, 45°
e) 70°, 45°, 150°
Solución:
Para este problema, relacionado con ecuaciones lineales, procederemos a responder
a partir de las soluciones propuestas.
Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso c. La siguiente tabla permite
ilustrar de mejor manera el mecanismo.
Condición
Planteamiento numérico
Se cumple
La suma de ángulos internos 80 + 55 + 45 = 180
de un triángulo es 180°.
El mayor, 80, excede al 80 – 45 = 35
menor, 45, en 35.
Se cumple
80 excede en 35 a 45
El menor excede en 20 a la 80 – 55 = 25
diferencia entre 80 y 55.
Se cumple
45 excede en 20 a 25
Luego, dado que las tres condiciones del problema se satisfacen, debemos señalar como
correcta la respuesta del inciso c.
En los incisos a, b, d, y e siempre la diferencia entre el mayor y el menor es diferente de 35°
lo cual respalda la respuesta del inciso c.
2.3
PROBLEMAS
QUE
SE
RESUELVEN
CON
ECUACIONES
CUADRÁTICAS.
En esta sección nos dedicaremos a plantear problemas mediante la ecuación
general de segundo grado. Lo novedoso es interpretar las soluciones que se generan puesto
que en cualquier caso hallaremos un par de ellas.
Para resolver, debemos generar una ecuación de la forma
ax 2 + bx + c = 0 , y
posteriormente determinar alguno de los métodos de solución para dicha ecuación.
11. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados
supera en 19 al producto de los números. Determine ambos números.
a) 12 y 5
b) 10 y 7
c) 9 y 8
d) 11 y 6
e) 13 y 4
Solución:
Definamos x, y como dos números naturales cualquiera. Como la suma de ellos es 17, sin
más, podemos expresar tal situación mediante x + y = 17 . La diferencia entre sus
cuadrados, es decir, x 2 − y 2 , supera en 19 al producto de los números, xy , lo cual queda
expresado a partir de la ecuación x 2 − y 2 = xy + 19 .
La igualdad anterior plantea el problema, el proceso algebraico se expone a continuación.
De la expresión x + y = 17 podemos despejar una variable, y = 17 − x . Dicho despeje se
deberá sustituir en la ecuación x 2 − y 2 = xy + 19 , esto es,
x 2 − y 2 = xy + 19
x 2 − (17 − x) 2 = x(17 − x) + 19
x 2 − (289 − 34 x + x 2 ) = 17 x − x 2 + 19
x 2 − 289 + 34 x − x 2 = 17 x − x 2 + 19
x 2 + 34 x − x 2 + x 2 − 17 x = 19 + 289
x 2 + 17 x = 308
x 2 + 17 x − 308 = 0
La última ecuación, x 2 + 17 x − 308 = 0 , es la que plantea correctamente el problema.
Ahora bien, para resolverla utilizaremos la fórmula general de segundo grado,
x=
− b ± b 2 − 4ac
, en donde sustituiremos los valores a = 1, b = 17, c = −308 , que
2a
corresponden a los coeficientes de la igualdad inicial.
− (17) ± (17) 2 − 4(1)(−308)
x=
2(1)
x=
− 17 ± 208 + 1232
2
x=
− 17 ± 1521
2
x=
− 17 ± 39
2
x1 =
− 17 + 39 22
=
= 11
2
2
x2 =
− 17 − 39 − 56
=
= −28
2
2
Existen dos valores de x y debemos escoger sólo uno de ellos. Para ello recordemos que
estamos en búsqueda de dos números naturales, es decir, mayores que cero, lo cual
implica que habría que desechar x 2 = −28 , puesto que no es un número natural.
Así, uno de los números es 11 y el otro se obtiene por sustitución en la igualdad y = 17 − x ,
generando el número 6.
Ambos números suman 17, y la diferencia de sus cuadrados, 112 − 6 2 = 121 − 36 = 85 ,
supera en 19 al producto de los números, (11)(6) = 66 , lo cual se comprueba fácilmente.
Debemos señalar como correcta la respuesta del inciso d.
12. La diferencia de las edades de Pedro y Jorge es 9. Pedro es el mayor y se
sabe que la suma de los cuadrados de las edades es igual a 305. Hallar las
edades de Pedro y Jorge.
a) 7 y 16 años
b) 16 y 7 años
c) 12 y 3 años
d) 15 y 8 años
e) 8 y 15 años
Solución:
Sea p la edad de Pedro y j la edad de Jorge, así p − j = 9 . Se sabe además que
Pedro es el mayor, por eso escribimos p − j = 9 y no j − p = 9 dado que obtendríamos
una diferencia negativa.
Por otra parte el enunciado “la suma los cuadrados de las edades es 305”, representa la
igualdad p 2 + j 2 = 305 .
Así, podemos sustituir el despeje p = 9 + j , de la siguiente forma:
p 2 + j 2 = 305
(9 + j ) 2 + j 2 = 305
81 + 18 j + j 2 + j 2 = 305
En seguida simplificaremos la ecuación hasta llegar a una del tipo ax 2 + bx + c = 0
81 + 18 j + 2 j 2 = 305
2 j 2 + 18 j + 81 − 305 = 0
2 j 2 + 18 j − 224 = 0
Esta ecuación puede simplificarse aún más dividiendo entre 2 cada término, generando la
igualdad j 2 + 9 j − 112 = 0 , en donde a = 1, b = 9, c = −112 .
Para resolver dicha ecuación utilizaremos nuevamente la fórmula general de segundo
grado, j =
− b ± b 2 − 4ac
, sustituyendo los valores que acabamos de definir.
2a
− (9) ± (9) 2 − 4(1)(−112) − 9 ± 81 + 448 − 9 ± 529 − 9 ± 23
j=
=
=
=
2(1)
2
2
2
j1 =
− 9 + 23 14
=
=7
2
2
j2 =
− 9 − 23 − 32
=
= −16
2
2
Es importante señalar que la edad de Jorge no puede ser –16 años, por lo cual esa solución
se descarta.
Por lo tanto la edad de Jorge es 7 años y la edad de Pedro, se obtiene por sustitución en la
ecuación p = 9 + j , generando que Pedro tiene 16 años de edad.
Es importante señalar que las condiciones del problema se satisfacen, es decir, Pedro es
mayor que Jorge en 7 años, y la suma de los cuadrados de los edades es 305, es decir,
16 2 + 7 2 = 305 .
Habrá que señalar como correcta la respuesta del inciso b.
13. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el
menor equivale a 3/10 del número intermedio.
a) 5, 6, 7
b) 4, 5, 6,
c) 6, 7, 8
d) 2, 3, 4
e) 1, 2, 3
Solución:
Según el problema 4, tres números consecutivos son x, x + 1, x + 2 . Habrá que señalar que
el mayor de ellos sería x + 2 , el intermedio x + 1 , y el menor x . Así, el cociente entre el
mayor y el menor, es decir,
3
x+2
, es igual a tres décimos del intermedio,
( x + 1) .
10
x
En términos algebraicos tendríamos la ecuación
x+2 3
= ( x + 1) , que se transforma a
10
x
una cuadrática mediante el siguiente proceso.
x + 2 3x + 3
=
x
10
10( x + 2) = x (3 x + 3)
10 x + 20 = 3 x 2 + 3 x
0 = 3 x 2 + 3 x − 10 x − 20
0 = 3 x 2 − 7 x − 20
3 x 2 − 7 x − 20 = 0
Utilizando la fórmula general definiendo a = 3, b = −7, c = −20 ,
soluciones, a saber, x1 = 4 y x 2 =
se obtienen dos
− 10
. Ahora, para elegir la adecuada debemos señalar
12
que no existe un número consecutivo al propuesto en la fracción, mientras que por el
contrario si lo hay para 4.
Por lo tanto los números buscados son 4, 5 y 6, que aparecen en el inciso b. Se verifica
también que el cociente entre el mayor y el menor,
3
6
6 15
, equivale a
(5) , es decir, = ,
10
4
4 10
lo que asegura la solución como correcta.
14. Una persona compró cierto número de libros por $180. Si hubiera
comprado seis libros menos por el mismo dinero entonces cada libro le
habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno?
a) 63, $5
Solución:
b) 5, $63
c) 5, $36
d) 36, $5
e) 32, $4
Sea x el número de libros que compró la persona en cuestión. El costo de cada libro
será
180
puesto que de haber comprado 10 libros entonces cada uno de ellos le habría
x
costado $ 18.
Algebraicamente tendríamos que si hubiera comprado seis libros menos por el mismo
dinero,
180
180
, entonces, cada libro le habría costado un peso más,
+1.
x−6
x
La ecuación que se genera, resolviendo la suma de fracciones
180
180 180 + x
,
+ 1 , es
=
x
x−6
x
la cual debe reducirse hasta llegar a una de segundo grado.
x (180) = ( x − 6)(180 + x )
180 x = x 2 + 174 x − 1080
0 = x 2 + 174 x − 180 x − 1080
0 = x 2 − 6 x − 1080
x 2 − 6 x − 1080 = 0
En este caso utilizaremos el método por factorización para generar el resultado. Debemos
hallar un par de números que multiplicados sean –1080 y sumados sean –6 , esto es,
x 2 − 6 x − 1080 = ( x − 36)( x + 30) .
Por lo tanto las dos soluciones que surgen, igualando a cero cada factor, son x1 = 36 y
x 2 = −30 . Sin embargo es imposible comprar –30 libros por lo que se debe descartar la
segunda opción.
Así el número de libros comprado fue 36, y su costo, dividiendo 180 entre 36, es de $ 5. Lo
cual aparece en la respuesta del inciso d.
Debemos notar que la respuesta del inciso c es similar pero incorrecta. En ese caso se
compraron 5 libros de 36 pesos, ¿qué pasaría si compramos seis libros menos? Es
imposible comprar –1 libro por lo que la respuesta se descarta, quedando como única
respuesta la del inciso d.
15. Una excursión costó $ 300. Si hubieran ido 3 estudiantes menos entonces
el costo por estudiante habría sido de $ 5 más, ¿cuántos estudiantes fueron a
la excursión?
a) 15
b) 16
c) 12
e) 14
f) 20
Solución:
Sea w el número de estudiantes que fueron a la excursión. Si suponemos que
fueron 10 estudiantes entonces el costo para cada uno de ellos sería de $ 30, en otros
términos,
300
, sería el costo por estudiante en la excursión.
w
Por otra parte si hubieran ido 3 estudiantes menos, es decir, w − 3 , entonces el costo por
estudiante,
300
300
, habría sido $ 5 más,
+ 5.
w−3
w
Algebraicamente tendríamos la igualdad
300
300 + 5w
que se justifica resolviendo la
=
w−3
w
suma de fracciones indicada.
Ahora bien, el proceso para determinar el valor de la variable es idéntico a los casos
anteriores.
300
300 + 5w
=
w−3
w
300 w = ( w − 3)(300 + 5w)
300 w = 5w 2 + 285 w − 900
0 = 5w 2 + 285 w − 300 w − 900
0 = 5w 2 − 15 w − 900
5w 2 − 15 w − 900 = 0
Esta última ecuación puede simplificarse dividiendo entre 5 cada término, resultando
w 2 − 3w − 180 = 0
Utilizando el método por factorización, la expresión w 2 − 3w − 180 = ( w − 15)( w + 12) , lo
cual genera el par de soluciones correspondientes a la ecuación de segundo grado, w1 = 15
y w2 = −12 .
La interpretación de ambas soluciones diría que no es posible que vayan –12 estudiantes a
la excursión.
Por lo tanto el número de estudiantes es de 15, de hecho cada uno paga un total de $20. La
respuesta correcta es la del inciso a.
16. Un caballo costó cuatro veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrados
del precio del caballo y el precio de los arreos es $ 860625. ¿Cuánto costó el
caballo y cuánto los arreos?
a) C $900, A b) C $720, A c) C $860, A d)
$225
$180
$215
C$1400, e) C $225, A
A$350
$900
Solución:
Para el último caso relacionado con las ecuaciones cuadráticas utilizaremos las respuestas
para determinar cuál es la correcta.
Supongamos que la respuesta correcta es la del inciso a. Así el caballo costaría $ 900 y los
arreos $ 225.
La siguiente tabla permitirá demostrar si es o no correcta la respuesta del inciso a.
Condición
Planteamiento numérico
El caballo cuesta cuatro veces (4)(225) = 900
Se cumple
lo que sus arreos
La suma de sus cuadrados es $ (900)2 + (225)2 = 810000 + 50625
860625
Se cumple
860625
Como ambas condiciones se satisfacen podemos estar seguros que la respuesta es la del
inciso a.
Sin embargo la respuesta del inciso e, parece tener la misma información, veamos
mediante el mismo mecanismo si se cumplen las hipótesis del problema.
En la respuesta del inciso e, el caballo cuesta $ 225 y sus arreos cuestan $ 900
Condición
Planteamiento numérico
El caballo cuesta cuatro veces (4)(900) = 225
lo que sus arreos
Error (4)(900) = 3600
La suma de sus cuadrados es (900)2 + (225)2 = 810000 + 50625
$ 860625
No se cumple
Se cumple
860625
Luego de la información presentada en las tablas se tiene que la respuesta correcta es la del
inciso a. Recordemos que la respuesta es única, lo que indica que una vez que se encontró
la correcta puede detenerse la búsqueda.
2.4 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON GEOMETRÍA.
Para los casos geométricos es fundamental lograr un esquema de la situación. En
caso que éste se presente como parte del problema habrá que observar detenidamente y
aceptar como cierta cualquier inferencia que se haga sobre el dibujo. Las aplicaciones que
son frecuentes para solucionar estos casos se relacionan con conceptos básicos como el
teorema de Pitágoras, semejanza de triángulos, etc.
17. En la figura se muestran dos torres, A y B, la separación entre ambas es de
42 m. Ambas tienen un reflector que les permite buscar a los presidiarios
cuando se fugan. Si un presidiario es localizado en la línea que une las torres.
¿Qué distancia habrá de la torre B al punto donde fue localizado, para que los
triángulos sean semejantes?
D
30m
18m
θ
A
a) 15.8 m
b) 18.0 m
c) 21.0 m
C
E
θ
B
42m
d) 26.2 m
e) 30.0 m
Solución:
En este caso la figura y las soluciones serán muy útiles para definir la situación de
manera correcta. El triángulo DAC es rectángulo y de la misma manera lo es el triángulo
EBC. Además los mismos triángulos comparten un ángulo en C, que tiene la misma
medida.
Lo que hemos demostrado hasta el momento es que los triángulos tienen dos ángulos
iguales, lo cual asegura que son semejantes.
Por su parte podemos establecer una relación entre sus lados, de tal forma que si
∆ DAC ≅ ∆ EBC entonces
AD AC DC
.
=
=
BE BC EC
Observando la figura es posible determinar que el segmento AD mide 30 metros, es decir,
la altura de la torre A, y que el segmento BE mide 18 metros, altura de la torre B.
Ahora verificaremos si la respuesta puede ser la del inciso a.
Si dicho inciso es correcto entonces la medida del segmento BC sería 15.8 metros y como
consecuencia la medida del segmento AC sería 26.2 metros, lo cual surge de restar la
medida total desde A hasta B, 42 metros, y la medida del segmento AC .
Por otra parte, como las razones entre lados de triángulos semejantes son iguales
tendríamos que
AD 30
AC 26.2
, es decir, 1.66, debería ser igual al cociente
, que
=
=
BE 18
BC 15.8
corresponde a 1.658.
Por lo tanto, como los cocientes son iguales y hablamos de triángulos semejantes podemos
aceptar que la distancia de B hasta donde fue localizado el presidiario es 15.8 metros. La
respuesta correcta es la del inciso a.
18. Se tiene el triángulo isósceles ABC, cuyos lados son: AB=4m, BC=6m,
AC=6m. Se tiene que el segmento DE que es paralelo a AB, la altura es
perpendicular a la base, E y F son puntos medios de BC y BA respectivamente.
¿Cuánto tiene de longitud el segmento DE?
C
G
6m
D
F
4m
A
a) 1.0 m
b) 2.0 m
c) 2.5 m
6m
E
d) 3.0 m
B
e) 3.2 m
Solución:
Los dos ángulos que tienen medidas iguales son el ∠ AFC para el primer triángulo,
y el ∠ DGC para el segundo triángulo. Además se determina según la definición de ángulos
internos que la medida de ∠ FAC es la igual a la medida de ∠ GDC.
Luego entonces, los triángulos AFC y DGC son semejantes dado que hemos mostrado un
par de ángulos iguales.
De la misma manera que el problema anterior, podemos escribir que si ∆ AFC ≅ ∆ DGC, lo
cual se verificó anteriormente, entonces
AF FC AC
.
=
=
DG GC DC
Según se observa en la figura, la medida del AF sería 2 metros puesto que F es el punto
medio del segmento AB. Además la medida de AC es 6 metros, lo cual implica que el
segmento DC mide 3 metros, ya que D divide en partes iguales al segmento AC.
Luego la ecuación
AF
AC
=
DG DC
generará el valor del segmento DG, que es la mitad del
segmento DE. Sustituyendo valores llegamos a la ecuación
2
6
= , de donde DG es igual
DG 3
a 1, por lo que el segmento DE mide 2 metros.
Debemos marcar como correcta la respuesta del inciso b.
19. En una circunferencia si se unen 2 puntos se forman 2 regiones, si se unen
3 puntos, de las diferentes maneras posibles, se forman 4 regiones. ¿Cuántas
regiones se forman si se unen 5 puntos cualquiera de todas las formas
posibles?
a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 16
Solución:
Se verifica que si se unen dos puntos de una circunferencia entonces se forman dos
regiones.
A
Región 1
Región 2
B
Bajo el mismo argumento debemos dividir la circunferencia a partir de 5 puntos en donde
cada punto esté unido con el resto, posteriormente contar cada región. Llamaremos a los
puntos A, B, C, D y E, y colocaremos un número en cada región.
C
1
B
2
6
12
3
13
5
4
7
14
D
9
15
8
A
10
16
11
E
Por lo tanto se forman 16 regiones si se unen 5 puntos de todas las formas posibles dentro
de una circunferencia. La respuesta correcta es la del inciso e.
20. En la figura mostrada GI es paralela JK , calcular el perímetro del
polígono formado por los segmentos HI , IJ , JK y KH .
I
J
3 2
G
2 2
H
K
4
C
4
A
1
F
B
2 2
E
a) 2 2
Solución:
b) 3 2
c) 3 + 2 2
3
d) 4 + 2 2
D
e) 6 + 4 2
Es claro que el perímetro del polígono se determinará sumando las medidas de los
lados HI , IJ , JK y KH .
Según se observa, el lado JK tiene una medida igual a 2 2 .
Para determinar las medidas de los lados IJ y KH , en la figura propuesta trazaremos un
eje de simetría.
I
J
3 2
G
2 2
H
K
4
C
4
A
1
F
B
2 2
E
3
D
Dicho eje nos permite observar que el segmento ED mide lo mismo que el IJ . Además,
que IJ es igual a KH , por lo que resta sólo un valor por determinar, el de HI .
Sin embargo, como la figura en cuestión es un paralelogramo, podemos decir, sin temor a
equivocarnos, que HI mide 2 2 . Por lo tanto la medida de los lados que forman al
paralelogramo KHIJ , son:
IJ = 3
JK = 2 2
KH = 3
HI = 2 2
El perímetro se obtendrá mediante la suma de los lados, lo cual corresponde al siguiente
procedimiento.
IJ + JK + KH + HI = 3 + 2 2 + 3 + 2 2 = 6 + 4 2 .
La respuesta correcta aparece en el inciso e.
21. El triángulo ABC es isósceles, su base es 4 y sus lados son iguales a 2 2 ,
las mediatrices a los lados AB y BC cortan a estos en los puntos D y E. Las
mediatrices se cortan en el punto F, que es punto medio de AC y a su vez es el
centro del círculo que es tangente a los lados AB y BC , en los puntos D y E.
¿Cuánto vale el área de este círculo?
B
E
D
F
A
a) πu2
b) 3/2πu2
C
d) 4πu2
c) 2πu2
e) 8πu2
Solución:
Para hallar el área de un círculo debemos saber primero su radio. Procederemos a
determinarlo.
El primer mecanismo consiste en observar que DBCG forman un paralelogramo, en donde
BC es paralelo a DG y DB es paralelo a CG. En la figura faltaría agregar una siguiente línea.
B
E
D
A
F
C
G
Las líneas BC y DG tendrían la misma medida, es decir, 2 2 , puesto que el segmento BC
es uno de los lados del triángulo isósceles. Por otra parte, como F pasa por el segmento DG
y es el centro de la circunferencia, entonces podemos asegurar que el segmento DF sería
igual a al FG, en otros términos, que el radio de la circunferencia sería igual a la mitad de
segmento DG. Esto indica que DF = r =
DG 2 2
=
= 2
2
2
Luego, el área del círculo está dada por la fórmula A = πr 2 , de donde surge el valor 2π u2,
que aparece en el inciso c.
22. En la figura se muestra el triángulo rectángulo en B. El punto M bisecta al
lado AB y los puntos P y Q trisectan al lado BC . Si A C es el área del círculo
centrado en M y A T es el área del triángulo ABC, encuentra la afirmación que
las compara correctamente. Nota: todas las circunferencias tienen el mismo
diámetro.
A
M
B
a) A C > A T
b) A C =
1
AT
3
c) A C < A T
P
Q
d) A C = A T
C
e) A C =
1
AT
2
Solución:
Asignemos un valor numérico al segmento MB para proceder.
Sea MB = 2. Así el radio de la circunferencia con centro en M sería precisamente 2, lo que
indica
que
el
área
de
la
misma
circunferencia
sería
Ac = πr 2 = (3.14)( 2) 2 = (3.14)(4) = 12.56 unidades cuadradas.
Por su parte el triángulo tiene una base que corresponde al triple del radio de la
circunferencia centrada en M ya que todas las circunferencias tienen el mismo diámetro.
Por lo tanto la base del triángulo es 6 unidades, mientras que su altura corresponde a la
medida del segmento AB, que según se observa es 4.
ba (6)(4) 24
=
=
= 12 unidades cuadradas.
2
2
2
Luego, AT =
Lo que hemos probado se satisface para cualquier caso numérico. Esto indica que el área
del círculo es mayor que el área del triángulo. Por lo tanto la respuesta correcta se
encuentra en el inciso a, AC > AT .
23. En el trapecio irregular ABCD el ángulo ADC es el doble del ángulo ABC.
Los lados AB, CD y DA miden a, c y d respectivamente. ¿Cuánto mide el lado
BC?
A
d
D
a
c
B
C
a) BC = d + b
b) BC = a + b
c) BC = d + c
d) BC = d + d
e) BC = d + a
Solución:
Tracemos una recta paralela al segmento AB, y llamémosla DP. Además x será el
ángulo interno en B. En la figura original debemos agregar la siguiente información.
A
d
D
a
B
c
x
C
P
Según la construcción, las rectas AB y DP son rectas paralelas, lo cual implica que el ∠ABC
= ∠DPC. Por otra parte, la clasificación de ángulos menciona que ángulos alternos internos
tienen la misma medida, alternos respecto a la diagonal (recta DP) e internos respecto a las
rectas AD y BC. En la figura tendríamos tres ángulos que tienen ya la misma medida, los
denotados con la letra x.
d x
aA
x
D
c
x
B
C
P
Según el enunciado original el ángulo ADC es el doble del ángulo ABC, por lo tanto si el
segundo se ha llamado x entonces el primero tendría que llamarse 2x.
Luego, hemos probado que el triángulo DPC tiene dos ángulos iguales, a saber ∠DPC y el
∠CDP, lo cual indica que dicho triángulo es isósceles, en donde los lados iguales serían los
segmentos CD y CP.
Por último, como se puede observar en la figura los segmentos BP y CP miden d y c
respectivamente. Así, la respuesta sería que BC = d + c, lo cual aparece en el inciso c.
24. Si el lado del cuadrado más grande mide 4 unidades, ¿cuánto mide el área
de la región sombreada?
a) 2 u2
b) 10 u2
c) 8 u2
d) 4 u2
e)
8 u2
Solución:
Habría varias formas de resolver este problema. Una muy simple sería ordenar los
cuadrados de manera que sea más visible su semejanza, es decir,
en donde se observa que el lado del cuadrado sombreado corresponde a 2 unidades, lo cual
implica que el mismo cuadrado tiene de área 4 unidades cuadradas.
Otro camino más formal sería establecer el teorema de Pitágoras para hallar la medida de
los lados de cada cuadrado. Por ejemplo, el lado del segundo cuadrado se obtendría
mediante la igualdad c2 = 22 + 22 = 8, lo cual implica que el lado tendría por medida c =
8.
De manera similar se obtendría la medida del lado del cuadrado sombreado, en donde
2
c2 =
2
⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞
8 8 16
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = = 4 + 4 = 4 = 4 , lo cual implica que el lado tendría por medida c =
⎝
⎠ ⎝
⎠
2.
Mostrando, nuevamente, que el área de la figura sombreada sería 4 unidades cuadradas.
Inciso d.
25. En la figura se tiene que 3DE = 5CB y que 4FG = 5DE. Si AG = 30 cm, la
longitud de BE es:
A
B
C
E
D
G
F
a) 5 cm
b) 10 cm
c) 48/5 cm
d) 72/5 cm
e) Ninguna de la
anteriores
Solución:
Como CB || DE || FG, tenemos:
∆ CBA semejante con ∆ DEA semejante con ∆ FGA. Por lo tanto las razones entre los lados
correspondientes de cada triángulo mantienen constante su razón, es decir,
AE DE
=
AG FG
AB CB
=
AE DE
AE 4
=
30 5
AB 3
=
24 5
AE = 24 cm
AB =
72
cm
5
Lo cual implica que BE = AE – AB
BE = 24 −
72 48
=
cm
5
5
La respuesta correcta aparece en el inciso c.
26. Al trazar las diagonales de un polígono regular de 5 lados, se forma una
estrella como en la figura. Entonces el ángulo β mide:
d
a) 36°
e
c
β
b) 45°
c) 60°
d) 72°
e) Ninguna de las anteriores
a
b
Solución:
Recordemos que todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia.
d
e
c
β
a
b
En este casi, cada uno de los cinco lados del pentágono subtiende arcos de magnitud
idéntica a 72°, que resulta de dividir el total, 360°, entre 5.
Esto implica que el arco AB mide 72° y además que el arco EC es igual a la suma de los
arcos CD + DC, en números se obtiene que el arco EC mide 144°.
Para un ángulo β como el de la figura se cumple la fórmula:
β=
AB + EC
2
β=
72 + 144 216
=
= 108°
2
2
(semisuma de los arcos que describe)
Luego, la medida del ángulo señalado denotado con β corresponde a 108°, señalando como
correcta la respuesta del inciso E.
27. ABCD es un cuadrado de lado a ; por los puntos medios se trazan nuevos
cuadrados. Entonces, el área del cuadrilátero sombreado mide:
C
H
D
a)
a2
8
b)
3a 2
16
G
B
s
E
F
5a 2
c)
32
5a 2
d)
8
A
e)
a2
9
Solución:
Los triángulos EAF y DAB son semejantes con proporciones
EF EA
=
, pero
DB DA
EA 1
= , y que E es punto medio.
DA 2
Esto implica que EF =
DB a 2
=
, lo cual se obtiene también por el Teorema de
2
2
Pitágoras sobre el triángulo AFE.
Por otra parte, el cuadrado más pequeño de lado s, tiene diagonal igual a EF, luego
s 2 + s 2 = EF 2 ⇒ s =
a
.
2
La región sombreada, tiene área A, que puede obtenerse como
A =
áreaABCD
Área cuadradododelados
de lado s
− áreacuadra
4
A=
1 ⎛ 2 a2
⎜a −
4 ⎜⎝
4
⎞ 3 2
⎟⎟ = a .
⎠ 16
Lo cual indica el área de la región sombreada, señalando la respuesta del inciso b.
2.5
PROBLEMAS
QUE
SE
RESUELVEN
CON
HABILIDAD
MATEMÁTICA.
En seguida los problemas requerirán de mayor concentración ya que los problemas
expuestos elevan su nivel taxonómico. Dejaremos de lado las ecuaciones y dibujos, y se
resolverá mediante habilidades y razonamientos matemáticos. La sugerencia es observar
siempre el tipo de respuesta que se propone puesto que en la mayoría de los casos esto nos
ayudará a determinar la correcta. Además, hay que intentar imaginar cada situación para
comprender de mejor manera lo planteado.
El primer tipo de problemas a resolver tiene que ver con series numéricas. En cada uno de
los siguientes casos la solución consiste en establecer una regla que permita generar el
siguiente número. Es importante señalar que dichas reglas se basan, en la mayoría de los
casos, en las operaciones básicas, suma, resta, multiplicación y división, la clave es
observar cada serie e intentar varias propuestas. La paciencia en estos casos es
fundamental.
28.
3, 4, 8, 9, 18, 19...
a) 20
b) 36
c) 38
d) 37
e) 35
Solución:
Para llegar de 3 al número siguiente, 4, la primera idea consiste en sumar la
unidad, es decir, 3 + 1 = 4, sin embargo, 4 + 1, no sumarían el 8 que está en la siguiente
posición. Así debemos pensar en una estrategia distinta para obtener, a partir de 4, el
número 8. Parecería que si multiplicamos 4 x 2 entonces llegaríamos a 8.
Posteriormente si a 8 le agregamos el número 1 entonces obtenemos 9, que es el siguiente
número, sucesivamente, multiplicando 9 x 2, llegamos a 18, y entonces estamos ya
ejecutando la misma regla para varios casos. En síntesis
Números de la serie
Regla para generar la serie
3
3+1=4
4
4x2=8
8
8+1=9
9
9 x 2 = 18
18
18 + 1 = 19
19
19 x 2 = 38
Luego entonces parecería que el número que sigue en la serie sería el producto de 19 y 2, lo
cual generaría el número 38 que está marcado con el inciso (c).
29.
3, 5, 9, 17, 33...
a) 66
b) 34
c) 60
d) 65
e) 63
Solución:
La regla parece ser sencilla, en este caso habrá que multiplicar cada número por 2 y
posteriormente, al resultado restarle la unidad, esto es:
Números de la serie
Regla para generar la serie
3
3x2=6
6–1=5
5
5 x 2 = 10
10 – 1 = 9
9
9 x 2 = 18
18 – 1 = 17
17
17 x 2 = 34
34 – 1 = 33
33
33 x 2 = 66
66 – 1 = 65
65
El número que sigue a 33 es, según la regla, el 65 que está marcado en el inciso d.
30.
1, 3, 7, 15, 31...
a) 60
b) 35
c) 65
d) 64
e) 63
Solución:
El análisis en este caso parece ser igual de sencillo que en los casos anteriores.
¿Cómo llegar del número 1 al número 3?
Según lo expuesto en el problema anterior, la suma debería ser la primera opción,
entonces, es claro que la regla inicial podría ser, 1 + 2 = 3, sin embargo para generar el
siguiente número la misma regla se hace insuficiente, ya que 3 + 2 = 5 y deseamos obtener
el número 7.
Así debemos proponer una segunda alternativa que genere el dato indicado según la serie.
Sin más, en la tabla podríamos escribir los siguientes pasos para obtener el número
indicado en la serie propuesta.
Números de la serie
Regla para generar la serie
1
1x2=2
2+1=3
3
3x2=6
6+1=7
7
7 x 2 = 14
14 + 1 = 15
15
15 x 2 = 30
30 + 1 = 31
31
31 x 2 = 62
62 + 1 = 63
63
Podemos concluir que la regla consistía en multiplicar cada número por 2 y posteriormente
agregar el número 1, así el dato que continua en la serie es el número 63, que aparece en la
respuesta del inciso e.
31.
9, 21, 33, 45...
b) 54
a) 56
c) 58
d) 55
e) 57
Solución:
La serie parece obtenerse de manera más sencilla. La primera intención será
siempre averiguar si mediante la suma es posible generar el número que sigue a 9 en la
serie propuesta, es decir, 21.
Si sumamos 9 + 12, entonces llegamos al resultado 21, que es el número que sigue en la
serie. Para verificar si ese es el proceso indicado entonces habría que sumar 21 + 12 y
averiguar si el resultado es 33.
En la tabla, la regla que parecería ser correcta indica que a cada número de la serie debe
sumarse el número 12 con tal de generar el consecutivo en la misma serie, esto es,
Números de la serie
Regla para generar la serie
9
9 + 12 = 21
21
21 + 12 = 33
33
33 + 12 = 45
45
45 + 12 = 57
57
Así el número que sigue a la serie es 57, el cual aparece en el inciso e.
32.
1/3, 1/9, 1/27...
a) 1/51
b) 1/81
c) 1/30
d) 1/33
e) 1/35
Solución:
Para este caso debemos recordar que la multiplicación de fracciones se hace de la
forma
a c ac
x =
. Particularmente, parece que cada número propuesto en la serie se
b d bd
multiplica por la fracción
1
. En la tabla tendríamos lo siguiente.
3
Números de la serie
Regla para generar la serie
1
3
1 1 1
x =
3 3 9
1
9
1 1 1
x =
9 3 27
1
27
1 1 1
x =
27 3 81
1
81
Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso b.
33.
2, 4, 3, 9, 4, 16, 5...
a) 10
b) 18
c) 15
d) 20
e) 25
Solución:
Parecería ser un poco más complicada la serie propuesta en este caso, sin embargo,
observando detenidamente, es sencillo inferir que el número buscado es el cuadrado de 5.
Es decir, la regla parece definirse mediante el enunciado “el cuadrado de”. Visualizar cada
caso a partir una tabla es recomendable.
Números de la serie
Regla para generar la serie
2
El cuadrado de 2 es
4
3
El cuadrado de 3 es
9
4
El cuadrado de 4 es
16
5
El cuadrado de 5 es
25
La respuesta correcta es la marcada con el inciso e. Hay que notar que los números 2, 3, 4 y
5 tienen una relación de orden, de menor a mayor, agregando siempre la unidad, el
número que seguiría a 25 sería 6, en virtud del mismo orden, lo cual no afecta el resultado.
34.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
a) 25
b) 31
c) 29
d) 33
e) 26
Solución:
Para la serie propuesta debemos observar detenidamente que se trata de una lista
ordenada de números primos. El siguiente número primo a 23 sería 29, puesto que dicho
número únicamente se divide entre él mismo y entre la unidad. ¿31 también es número
primo? Si lo es. Mantenemos que la respuesta es 29 ya que 29 antecede a 31 y hablamos de
una lista ordenada.
Por lo tanto la respuesta es la del inciso c.
35. ¿Cuánto es la mitad de cuatro elevado al doble de tres, menos la raíz
cúbica de ciento veinticinco?
a) 1448
b) 277
c) 386
d) 2048
e) 2043
Solución:
Según la lectura, el número cuatro está elevado a la sexta potencia, es decir, el doble
de tres. Además la raíz cúbica de 125 corresponde a 5. La coma que aparece indica que
debemos separar cada situación para resolver correctamente.
Luego, la situación numérica que se ha propuesto en el enunciado corresponde a
46
− 5,
2
elevando y reduciendo según se indica se llega al número 2043. El procedimiento se
expone a continuación.
46
4096
−5 =
− 5 = 2048 − 5 = 2043 . La respuesta correcta es la del inciso e.
2
2
36. ¿Cuánto es la mitad de cuatro, elevado al doble de tres, menos la raíz
cúbica de ciento veinticinco?
a) 1448
Solución:
b) 59
c) 386
d) 2048
e) 2043
Parecería que el problema anterior y el propuesto son idénticos, pero no es así.
Aparece una coma separando cada frase lo cual trae cambios radicales en la solución.
La mitad de cuatro, que es 2, debe elevarse a la sexta potencia, que corresponde al doble de
3, y por último hay que restar 5, que surge de extraer la raíz cúbica al número 125.
De esta forma, el procedimiento que determina la respuesta es el siguiente.
6
⎛4⎞
6
⎜ ⎟ − 5 = (2) − 5 = 64 − 5 = 59 .
2
⎝ ⎠
Por lo tanto el número que responde correctamente es 59, el cual aparece en el inciso b.
37. Un equipo de voleibol lleva perdidos 8 de 22 partidos jugados. Si gana los
siguientes 6, ¿cuál será su porcentaje final de victorias?
a) 28.57
b) 51.85
c) 63.63
d) 69.17
e) 71.42
Solución:
Es fundamental ejecutar una tabla de partidos bajo las tres características, jugados,
ganados y perdidos. El dato adicional consiste en recordar que en el voleibol no existen
partidos empatados. Así, según el problema, se podría generar la siguiente tabla.
Partidos jugados
Partidos ganados
22
Partidos perdidos
8
La diferencia entre el número de partidos jugados y el número de partidos perdidos, 22 –
8, generaría el número de partidos ganados, es decir, 14.
Posteriormente habría que agregar el dato que menciona que el equipo ganó los siguientes
6 juegos, en la tabla, se obtendría la siguiente información.
Partidos jugados
Partidos ganados
Partidos perdidos
22 + 6
14 + 6
8
Evidentemente la cantidad de partidos jugados se debe aumentar en 6 porque los juegos
que se ganan se deben de jugar primero. Además como se ganaron esos juegos la cantidad
de partidos ganados aumentó a 20. Luego entonces el porcentaje final de victorias se
calcula dividiendo el total de partidos ganados, 20, entre el total de partidos jugados, 28, y
⎛ 20 ⎞
⎟(100) = (0.7142)(100) = 71.42 , lo cual aparece en el
⎝ 26 ⎠
multiplicando por 100, es decir, ⎜
inciso e.
38. ¿Cuáles son las edades, en años, de tres amigos, si su suma es 72 y su
producto resulta mayor que 13600? Al mayor de ellos le falta una pierna.
a) 25, 25, 22
b) 24, 24, 24
c) 23, 23, 26
d) 22, 22, 28
e) 18, 24, 30
Solución:
En este caso utilizaremos las respuestas propuestas para generar el resultado
correcto, lo cual es permitido ya que en cualquier examen de admisión existe el mismo
formato de pregunta. Analizaremos la respuesta del inciso (a).
Dicha respuesta debería generar una suma igual a 72. Las edades 25, 25 y 22, satisfacen esa
condición, es decir, 25 + 25 + 22 = 72. Además el producto entre las mismas edades resulta
ser mayor que 13600, esto es, 25 x 25 x 22 = 13750. ¿Debemos marcar la respuesta del
inciso (a)? Falta una última condición por analizar. El dato “al mayor de ellos le falta una
pierna” implica que uno, y sólo uno, de los tres amigos es cojo, pero también, que uno, y
sólo uno, de ellos es mayor. Así la respuesta del inciso (a) es incorrecta ya que habría dos
amigos con la misma edad.
El análisis correspondiente al inciso (b) es similar al anterior. Sin embargo es aún más fácil
observar que de aceptar dicha respuesta entonces habría 3 amigos con la misma edad, lo
cual está prohibido porque uno de ellos es mayor.
En el caso del inciso (c), la suma de las tres edades resulta igual a 72, es decir, en la suma
23 + 23 + 26 = 72 se satisface la condición inicial, posteriormente, en el producto de las
edades tenemos que 23 x 23 x 26 = 13754, lo cual implica que el producto entre las edades
es mayor que 13600. Por último, es claro que la edad del mayor, es 26 años, y las edades de
los otros dos amigos son 23 y 23 años, lo cual no genera alguna contradicción. Queda
pendiente analizar los casos (d) y (e). En el primer caso, (d), el producto de las edades
resulta ser menor que 13600, es decir, 22 x 22 x 28 = 13552, lo cual es indicador para no
elegir esa respuesta. En el caso (e) el producto, 18 x 24 x 30 = 12960, lo cual es menor que
lo propuesto inicialmente.
Así la repuesta que debemos elegir, según lo analizado anteriormente, es la del inciso (c).
39. ¿Qué probabilidades existen de que el premio mayor del próximo sorteo
de la lotería termine en cero?
a) .00
b) .10
c) .25
d) .50
e) .35
Solución:
Las posibilidades de que el premio mayor de la lotería termine en cero son 1 de 10.
Por definición, la probabilidad de un evento es el cociente entre casos favorables y casos
posibles. ¿Cuáles son las posibles opciones en el último número cuando se juega a la
lotería? La respuesta son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, es decir, hay 10 casos
posibles por uno favorable, el que pide que el número que salga en la última posición sea 0.
Esto es un décimo o uno de cada diez, lo cual se indica en el inciso b.
40. El señor A tiene un auto que vale $10000. Lo vende al señor B con una
ganancia del 10%. Si el señor B lo vende al señor A con una pérdida del 10%
entonces
a) A no gana algo
b) A no gana nada
c) A gana $ 100
d) A gana $ 1000
e) A gana $ 900
Solución:
Cuando el señor A vende su auto, con ganancias del 10%, está vendiendo en $
11000. Eso significa que lleva ganados $ 1000. Sin embargo cuando el señor B lo regresa al
señor A perdiendo el 10%, B habrá vendido en $ 9900, ya que el 10% de $ 11000 son $
1100.
Esto último significa que el señor A ganó $ 100 pesos más, ya que su auto originalmente
estaba valuado en $ 10000.
Así el señor A gana $ 1100, respuesta que no aparece en alguna casilla. Debemos analizar
cuidadosamente el par de respuestas marcadas con los incisos a y b.
En el inciso b, la frase A no gana nada es la que debemos marcar como correcta. El análisis
es el siguiente. En la frase “el señor A gana nada” debemos entender que “el señor A gana
cero”, pero a dicha frase le antecede una negación, por lo tanto debemos entender que "el
señor A no gana cero”, lo cual es cierto, el señor A no gana cero, de hecho, el señor A gana
$ 1100.
La teoría dice que la negación de una negación es la afirmación del contenido, esto implica
que la frase propuesta en el inciso b, se traduciría como “el señor A gana algo”, de hecho
gana $ 1100.
La respuesta correcta es la del inciso b.
41. En una tómbola todas las esferas son rojas excepto tres, todas las esferas
son azules excepto tres, y todas las esferas son amarillas excepto tres.
¿Cuántas esferas hay en la tómbola? Nota: La última esfera es transparente
a) 4
b) 3
c) 8
d) 6
e) 2
Solución:
Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso d, es decir, hay 6 esferas en
la tómbola. La frase inicial, “todas las esferas son rojas excepto tres”, define como 3 el
número de esferas rojas en la tómbola. En el siguiente enunciado se definen como 3 el
número de esferas azules y ya no quedaría lugar para las esferas amarillas. Son 3 las
esferas rojas, 3 las azules, formarían 6. Analizaremos ahora la respuesta marcada en el
inciso a. Parecería que el número de esferas rojas es 1, el número de esferas azules es 1 y
que el número de esferas amarillas es 1 también. Todas excepto tres, genera la diferencia
entre 4 y 3, que es 1. Es claro que la última esfera es a la que hace referencia la nota.
Por lo tanto el número de esferas en la tómbola es 4. La respuesta correcta es la del inciso
a.
42. En un zoológico hay 40 animales. Se sabe que por lo menos uno es hembra
y que de cada dos animales por lo menos uno es macho. ¿Cuántos de los
animales son machos?
a) 1
Solución:
b) 19
c) 20
d) 21
e) 39
Imaginemos los 40 animales. La frase “por lo menos uno es hembra” significa que
hay una hembra pero que podría haber más, de hecho podrían ser 40 hembras, no se ha
dicho lo contrario.
Sin embargo, poco después dice que en cada pareja de animales por lo menos hay un
macho, ¿puede entonces haber 2 hembras? La respuesta es no. De permitir dos hembras en
el zoológico entonces esos animales podrían formar una pareja de hembras, lo cual está
prohibido ya que en cada pareja por lo menos uno es macho.
Ahora ¿podría haber 3 o más hembras?, evidentemente si permitimos la existencia de más
hembras entonces podrían formarse varias parejas de hembras lo cual no es posible por la
segunda condición del problema.
Luego entonces, el número de hembras es 1, lo cual indica que el resto son machos, es
decir, hay 1 hembra y 39 machos en el zoológico. La respuesta que debemos marcar es la
del inciso e.
43. En una clase hay 47 alumnos. Se sabe que por lo menos hay una niña y en
cualquier par de alumnos hay por lo menos un niño. ¿De cuántas maneras
distintas se puede elegir una pareja en la que haya una niña y un niño?
a) 1
b) 23
c) 46
d) 69
e) 92
Solución:
Nuevamente la labor inicial consiste en imaginar la situación planteada. Se sabe
que por lo menos hay una niña y esto implica que hay una niña pero que podría haber más,
por lo menos es una. De manera similar al problema anterior, ¿podría haber dos niñas? La
respuesta es no, recordemos que en cada par debe haber por lo menos un niño. De permitir
dos niñas en el grupo, ellas, podrían formar una pareja en donde la condición de “por lo
menos un niño” no se cumpla. Es claro que no pueden ser ni 3 ni más niñas porque se
formarían varias parejas de niñas lo cual no es permitido.
Así, en el grupo hay 1 niña y el resto, 46, son niños.
Pero el problema radica en determinar la cantidad de parejas diferentes que se pueden
formar con 1 niña y 46 niños.
La respuesta es 46 puesto que cada niño formaría una pareja diferente con la niña del
grupo. Inciso c.
44. María apuesta su dinero y gana el triple de lo que tenía, posteriormente
pierde 40 pesos quedándole un total de 80 pesos, ¿cuánto dinero tenía María
al principio?
a) $ 20
b) $ 40
c) $ 50
d) $ 30
e) $ 60
Solución:
Analicemos algunas de las respuestas. Si aceptamos como correcta la respuesta del
inciso b entonces María tendría $ 40 más el triple de lo que tenía, $ 120; por lo tanto
después de haber ganado tendría $ 160. Posteriormente María pierde $ 40 lo cual hace una
diferencia de $120. ¡Contradicción!. María termina con 80 pesos en la bolsa, lo cual quiere
decir que la respuesta correcta no es la del inciso b.
En un segundo intento analizaremos la respuesta del inciso d.
Parecería que de $ 30 iniciales el triple es $ 90, lo cual implica que María tendría la suma
de $ 120. Luego, como pierde $ 40, habría que comprobar que la diferencia entre $ 120 y $
40 sea lo que le quedó, un total de $ 80 pesos, lo cual asegura la respuesta.
Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso d.
De hecho, fácilmente, pudimos haber planteado este problema mediante la ecuación
x + 3 x − 40 = 80 , en donde, x sea el dinero que tenía María en un principio.
Resolviendo dicha ecuación tendríamos,
4 x − 40 = 80
4 x = 80 + 40
4 x = 120
x=
120
4
x = 30
Lo anterior solo es un método alterno para hallar la solución. María tenía $ 30 como se
indica en el inciso d.
45. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que
20 que no es primo?
a) 19/6
b) 17/6
c) 15/2
d) 5
e) 5/2
Solución:
El número impar menor que 20 que no es primo no puede ser 19, ya que es primo,
tampoco puede ser 18 puesto que es par, 17 también es primo y 16 es par.
Así el número impar menor que 20 que no es primo es 15, puesto que se divide entre 1, 3, 5,
15 y por supuesto es impar.
Además la tercera parte de 15 resulta de dividir 15 entre 3, generando el número 5 y su
mitad correspondería a la fracción 5/2, que aparece en el inciso e.
46. En una reunión, el anfitrión, advirtió que hubo 45 apretones de mano,
¿cuántas personas asistieron a la reunión?
a) 10
b) 12
c) 11
d) 9
e) 8
Solución:
Si aceptamos la respuesta del inciso d entonces el invitado que llegó en el noveno
lugar daría 8 apretones de mano, puesto que no se saluda a él mismo. El invitado que llegó
en octavo lugar daría 7 apretones de mano, puesto que aún no estaba presente el noveno.
Así, el invitado que llegó en séptimo lugar saludaría a 6 personas, el sexto invitado
saludaría a 5 personas, el quinto a 4 y así sucesivamente.
Esto indica que deberíamos sumar los apretones que cada invitado da cuando llega a la
reunión, es decir, si la respuesta fuese la marcada con el inciso d entonces, 8 + 7 + 6 + 5 +
4 + 3 + 2 + 1, debería ser igual a 45, pero no es así, la suma resulta ser 36. Por lo tanto la
respuesta no es la del inciso d.
Como la sumatoria es menor que el total de apretones requerido, entonces supondremos
que la respuesta es mayor que 9, así que pensemos en la opción marcada con el inciso a.
Si 10 personas fueron a la reunión entonces el décimo invitado saludó a 9 personas, el
noveno a 8, el octavo a 7, y así sucesivamente, esto es, 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, lo
cual debería ser igual a 45. Resolviendo la suma es posible determinar que, efectivamente,
10 personas fueron a la reunión. Debemos marcar la respuesta del inciso a.
47. Ramiro fue condenado a 6 años por asesinato, pero ganó $ 10,000 por
el "trabajo". Si su esposa legítima gasta $100 al mes, ¿cuánto dinero
le quedará cuando salga de la cárcel?
a) $ 0
b) $ 280
c) $ 2800
d) $ 3600
e) No se puede
saber
Solución:
En 6 años el número de meses que transcurre es de 72. Si la esposa gasta $ 100 al
mes entonces después de ese tiempo habrá gastado $ 7200 pesos. Cuando Ramiro salga de
la cárcel le quedarán $ 2800, que surge de restar los $ 10000 iniciales y $ 7200. Inciso b.
48. Paco se robó la bicicleta de Jesús. Paco se va en friega con la bicicleta a 35
Km/hr. Jesús carga su 357 mágnum en 8 segundos. ¿Qué tan lejos va a estar
Paco cuando Jesús le dispare? Nota: Paco viaja en línea recta y su velocidad
no cambia.
a) 77. 77 metros b) 7.77 metros
c) 777.7 metros
d)
77.77 e) 280 kilómetros
kilómetros
Solución:
Debemos recordar que dentro de la física hay un movimiento denominado MRU, en
el cual la velocidad es constante y la trayectoria es una línea recta, la fórmula general de
dicho desplazamiento corresponde a la expresión v =
d
, en donde, se involucra velocidad,
t
distancia y tiempo respectivamente.
En este caso, como el dato buscado corresponde a la distancia, habrá que generar una
expresión para encontrar dicha variable; sin más d = vt .
Ahora bien, el tiempo que Paco viaja es el mismo en el que Jesús carga su pistola, es decir,
8 segundos. Por otra parte la velocidad de Paco, 35 km/hr, deberá transformarse al sistema
internacional dividiendo dicho valor entre 3.6. Así la velocidad de Paco es 9.72 m/s.
Por último, sustituiremos en la ecuación d = vt en donde los datos son ya conocidos, es
decir, d = (9.72m / s )(8) = 77.76 m.
Por aproximación el dato que resulta es similar al que aparece en el inciso a, que es la
respuesta que debemos marcar en este problema.
La respuesta del inciso d es incorrecta pues las unidades deben ser metros y no kilómetros.
49. Cuatro niños se dividen una bolsa de canicas, a uno le toca la mitad, a otro
una cuarta parte, al tercero una quinta y al último le tocan 7. El número total
de canicas es:
a) 100
b) 120
c) 140
d) 180
e) 250
Solución:
Procederemos analizando las posibles opciones de respuesta. Algebraicamente
podría resolverse el problema a partir de la ecuación
x x x
+ + + 7 = x en donde la
2 4 5
variable representa la cantidad de canicas.
Elegiremos a la respuesta del inciso c. Así el número de canicas sería 140. Verificaremos
ahora si las condiciones del problema se cumplen.
Según el enunciado, al primer niño le toca la mitad de canicas, es decir, 70; al segundo
niño le toca una cuarta parte, es decir, 35; al tercer niño le toca una quinta parte que
corresponde a 28 y al último niño le tocan 7.
Si la respuesta es correcta entonces la sumatoria de los datos anteriores debe ser 140, esto
es, 70 + 35 + 28 + 7 = 140
Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso c, 140 canicas.
50. La media aritmética de un conjunto de 30 números es 10. Si quitamos el
número 68 de ese conjunto entonces la media aritmética de los restantes es:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Solución:
Se tienen 30 números en un conjunto. El promedio, o media aritmética, es 10, lo
cual indica que la sumatoria del total de números debió haber sido 300, ya que
300
= 10 .
30
El enunciado indica que se debe eliminar del conjunto de 30 números el 68, por lo tanto la
nueva suma correspondería a 232.
Para calcular el promedio de los números restantes tendremos que dividir 232 entre 29 ya
que es la cantidad de números bajo la eliminación del 68, es decir,
232
,
29
lo cual
corresponde a 8, que es la respuesta correcta y que aparece marcada con el inciso b.
51. Dos relojes se pusieron en hora a las 3 p.m. de cierto día. El primero se
adelanta un minuto cada dos horas y el segundo se atrasa un minuto cada 3
horas. ¿Qué diferencia habrá entre los dos relojes a las 9 a.m. del día
siguiente?
a) 3 minutos
b) 8 minutos
c) 13 minutos
d) 15 minutos
e) 18 minutos
Solución:
El número de horas que transcurre entre las 3 de la tarde y las 9 de la mañana del
día siguiente es 18. Luego, si el primer reloj se adelanta un minuto cada dos horas significa
que se habrá adelantado 9 minutos en total, que resulta de dividir el número de horas, 18, y
el número de minutos, 2. Por lo tanto el primer reloj marcará las 9:09 a.m.
El segundo reloj se atrasa un minuto cada 3 horas lo cual implica que después de 18 horas
se habrá atrasado por 6 minutos, marcando las 8:54 a.m.
La diferencia entre ambos relojes sería de 15 minutos. La respuesta correcta es la del inciso
d.
52. Una pelota se deja caer desde una altura de 30m. Al primer rebote alcanza
una altura ¾ veces de la altura total, al segundo rebote alcanza una altura ¾
veces la altura del primer rebote, y así sucesivamente. ¿Qué altura alcanza la
pelota al cuarto rebote?
a) 26.66 m
b) 22.50 m
c) 16.87 m
d) 9.49 m
e) 7.11 m
Solución:
En el primer rebote la altura alcanzada por la pelota es de 0.75 veces la altura
inicial, 30 metros.
Esto significa que la altura del primer rebote fue (0.75)(30) = 22.5 metros. La cantidad
0.75 es equivalente a la fracción ¾.
En el segundo rebote el mecanismo es similar, es decir, la altura será 0.75 veces la altura
del primer salto, es decir, 22.5. La altura del segundo rebote será de (0.75)(22.5) = 16.87
metros.
El proceso deberá repetirse hasta llegar al cuarto rebote. Es importante señalar que el
rebote varía en relación a la altura del rebote anterior.
La altura del tercer rebote será (0.75)(16.875) = 12.65 metros, y la altura del cuarto y
último rebote será (0.75)(12.656) = 9.49 metros, que aparece en el inciso d.
53. El valor de B varía en proporción directa con el de A; cuando B = 4, A = 20.
¿Cuánto valdrá A, si B vale 10?
a) 2
b) 8
c) 25
d) 50
e) 100
Solución:
En este caso podemos plantear de manera simple una regla de tres directa.
Representaremos con x a la incógnita que hace referencia al valor de A.
Valor de B
Valor de A
4
20
10
x
Para resolver, debemos multiplicar 10 y 20 y en seguida dividir el resultado entre 4, lo cual
genera el número 50 que aparece en el inciso d.
54. La cuarta potencia de la mitad de la raíz cúbica de 1000 es
a) 625
b) 825
c) 925
d) 525
e) 725
Solución:
Para comprender este problema debemos aceptar que la raíz cúbica de 1000 es 10.
Posteriormente la mitad de la raíz cúbica de 1000, es 5. Para resolver el problema debemos
hallar la cuarta potencia de 5, que corresponde a multiplicar 5 x 5 x 5 x 5 = 625.
Por lo tanto la respuesta correcta es la que aparece en el inciso a.
55. En una boda el novio juntó en su saco la mitad de la quinta parte de lo que
gastó en el pastel y en el vestido de la novia. Si el vestido costó el doble que el
pastel, y el pastel costó $ 1000, ¿cuánto junto el novio?
a) $ 400
b) $ 300
c) $ 3000
d) $ 1500
e) $ 2600
Solución:
Es sencillo saber que el vestido costó $ 2000, puesto que su valor fue el doble del
pastel, cuando este último tuvo un valor de $ 1000. Entonces la cantidad que representan
el pastel y el vestido juntos es de $ 3000. La quinta parte de $ 3000 es $ 600 y la mitad de
$ 600 es $ 300. Lo cual aparece en el inciso b.
56. En una fábrica de camisas se establece que el promedio para que las
costureras peguen los botones debe ser de 2.5 minutos por prenda. Un
ingeniero industrial realiza un estudio de tiempos y movimientos a 6
costureras, obteniendo las siguientes mediciones: 3 min, 2.8 min, 2.4 min,
2.05 min, 2.75 min. ¿Cuál debe ser el tiempo de la sexta costurera para no
rebasar el promedio establecido?
a) 2.00 min
b) 2.16 min
c) 2.20 min.
d) 2.40 min.
e) 2.50 min.
Solución:
El promedio se obtiene sumando el total de datos y dividiendo entre el número de
ellos. Como debemos hallar el tiempo para no rebasar el promedio supondremos que la
posible solución deberá ser la menor de los propuestas, es decir, aceptaremos la respuesta
del inciso a, se verificará a continuación si es o no la correcta.
Pr omedio =
3 + 2.8 + 2.4 + 2.05 + 2.75 + 2.00 15
=
= 2.5
6
6
Si sustituimos algún tiempo mayor al propuesto en el inciso a entonces el promedio
aumentará, de hecho rebasará el establecido, lo cual no es deseado.
Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso a.
57. Considera la lista: 289, 49, 25, 121. De los números: 119, 36, 244, 169, 144.
¿Cuál puede pertenecer a la lista?
a) 119
b) 36
c) 244
d) 169
e) 144
Solución:
Los casos suelen complicarse y abarcar varios conceptos matemáticos. En este caso la serie
consiste de números primos cualesquiera elevados al cuadrado, es decir,
Números de la serie
Regla para generar la serie
289 es el cuadrado de 17.
289
17 es primo ya que únicamente se divide entre la unidad y
él mismo.
49 es el cuadrado de 7.
49
7 es primo, los números 1 y 7 son sus únicos divisores.
25 es el cuadrado de 5
25
5 es primo, los números 1 y 5 son sus únicos divisores.
121 es el cuadrado de 11
121
11 es primo, los números 1 y 11 son sus únicos divisores.
El siguiente número no podría ser 119 puesto que no es un cuadrado de algún número.
Aunque 36 si lo es, tendríamos que 6 no es primo, lo dividen el 1, 2, 3 y el propio 6.
En la lista, el número que sigue es el marcado en el inciso d, que es 169. Las condiciones
expuestas en la anterior tabla argumentan la respuesta. 169 es el cuadrado de 13 y además
13 es primo, los números 1 y 13 son sus únicos divisores. La respuesta correcta es la del
inciso d. Queda en el lector averiguar porqué no son posibles las respuestas de los incisos c
y e.
58. ¿Cuál de los siguientes números no tiene un número primo de divisores
enteros positivos?
a) 3
Solución:
b) 5
c) 16
d) 40
e) 49
El enunciado menciona al conjunto de los números primos, que según el problema
anterior son aquellos que cuentan con dos divisores únicos y diferentes a saber, la unidad y
el propio número. Ahora bien, para resolver el problema es conveniente analizar que se
está en búsqueda de un número que NO tenga un número primo de divisores enteros
positivos.
La tabla siguiente nos permitirá comprender de mejor manera tal enunciado.
Números propuestos ¿Quiénes son todos ¿Cuántos
son
sus El
número
de
sus divisores?
divisores?
divisores, ¿es primo?
3
1, 3
2
Si
5
1, 5
2
Si
16
1, 2, 4, 8, 16
5
Si
40
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 8
N0
40
49
1, 7, 49
3
Si
La tabla muestra que el 40 es el único número de los propuestos que no cuenta con un
número primo de divisores. En otras palabras al 40 lo dividen 8 números y 8 no es primo,
como se pide en el enunciado. Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso d.
59. Junto a cada número se indica la cantidad de cifras que en él ocupan el
mismo lugar que en otro número oculto. Con base en esa información
descubra ese número entre las opciones.
01234
(3)
56784
(2)
94814
(2)
94186
(2)
a) 91284
b) 01284
c) 01264
d) 01714
e) 31714
Solución:
Haremos el análisis del problema en virtud de las soluciones propuestas.
En el caso del inciso a debemos hallar 3 números que aparezcan en el número oculto, es
decir, 91284, y que ocupen la misma posición que el número que se presenta como dato
inicial.
La tabla nuevamente nos permite visualizar tal situación.
Del número
0
1
2
3
4
aparecen 3 cifras en el número oculto ocupando la misma posición. Si el número oculto es
el del inciso a
9
1
2
8
4
es evidente, que dichas cifras serían 1, 2 y 4. Que aparecen en la segunda, tercera y quinta
posición respectivamente.
Para el segundo dato, tendríamos que hallar dos cifras que ocupen la misma posición en el
dato original y en el número oculto. Esto es,
5
6
7
8
4
9
1
2
8
4
Las posiciones cuarta y quinta están ocupadas por las mismas cifras, según se observa 8 y
4.
Continuando con el análisis de la respuesta del inciso a, tendríamos que en el tercer dato
los números 9 y 4 aparecen en la primera y última posición respectivamente. Lo cual
indica que se satisface la condición de tener 2 cifras en la misma posición. Por último es
sencillo observar que el cuarto dato y el número propuesto comparten en la misma
posición un par de números que son el 9 que aparece en la primera posición, y el 8 que
aparece en la cuarta.
Por lo tanto el número oculto según la codificación propuesta sería 91284, dado que es el
único que satisface las condiciones del problema. Respuesta inciso a.
60. De la siguiente sucesión: 4, 9, 14, 19, 24. ¿Qué número ocupará el lugar
100 de la sucesión?
a) 499
b) 444
c) 599
d) 549
e) 694
Solución:
Debemos determinar el procedimiento que permite construir la sucesión y así
conocer el número que ocupará el lugar número 100. La regla parece ser “suma 5”, es
decir, si a cada número de la lista se le agrega 5 entonces el resultado será el número
consecutivo en la sucesión.
Para responder al número que ocupe la posición 100 de la serie existirían dos mecanismos.
En el primero se construye una tabla generando cada uno de los números. Evidentemente
esto sería tardado pero tendría un alto grado de efectividad.
Por otra parte debemos observar que para encontrar el segundo número es posible escribir
que
9 = 5(1) + 4, el cual ocupa el segundo lugar de la serie. De la misma forma, para
generar 14 tendríamos que 14 = 5(2) + 4, ocupando el tercer lugar de la serie.
Luego podríamos construir la tabla siguiente
Números de la serie
Lugar que ocupa en la serie
4
1
9
2
9 = 5(1) + 4
14
3
14 = 5(2) + 4
19
4
19 = 5(3) + 4
24
5
24 = 5(4) + 4
29
6
29 = 5(5) + 4
...
...
...
x
100
x = 5(99) + 4
Regla para generar la serie
Sabiendo lo anterior, para hallar el número que ocupa el lugar 100 de la sucesión
multiplicamos 5 por 99 y le sumamos 4, obteniendo así 499. La regla que encontramos
exige restarle uno al número del lugar que ocupa el que estamos buscando.
Por lo tanto la respuesta aparece marcada con el inciso a.
61. Encuentra un entero positivo tal que el resultado de multiplicar su mitad y
su tercera parte sea él mismo.
a) 5
b) 6
c) 4
d) 8
e) 9
Solución:
⎛ n ⎞⎛ n ⎞
⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠
Sea n el número buscado. Así ⎜ ⎟⎜ ⎟ = n , correspondería a la expresión
algebraica que sintetiza el enunciado. Luego
n2
= n , por lo que n 2 = 6n , por lo tanto
6
n = 6 . Inciso b.
62. El papá de Emigdio tiene 45 años. Es quince años mayor que dos veces la
edad de Emigdio. ¿Cuántos años tiene Emigdio?
a) 5
b) 16
c) 14
d) 15
e) 18
Solución:
Sea x la edad de Emigdio. Entonces tendremos que 45, la edad del papá, es 15 años
mayor que el doble de la edad de Emigdio, 2x. Así, 45 = 15 + 2x, de donde se desprende que
el valor de x es 15. La respuesta correcta aparece en el inciso d.
63. En la televisión de Alejandra se reciben los canales del 2 al 42. Si
Alejandra enciende la televisión en el canal 15 y aprieta 518 veces el botón
para subir canales, ¿en qué canal quedará la televisión cuando se detenga?
a) 41
b) 42
c) 23
d) 35
e) 39
Solución:
Para que Alejandra llegue por primera vez al canal 2, es necesario que apriete el
botón 28 veces. Por otra parte, cada vez que da una vuelta completa iniciando en el canal 2
hasta el canal 42 y terminando otra vez en el canal 2, Alejandra debe apretar el botón 41
veces. Entonces, después
28 + (41 x 11) = 479 veces que aprieta el botón estará en el
canal 2. Ahora, si aprieta el botón 39 = 518 – 479 veces llegará al canal 41. Por lo tanto, la
televisión quedará en el canal 41. Inciso a.
64. El área de un cuadrado mide 4225 metros cuadrados. ¿Cuánto medirá el
área de un triángulo con base igual al lado y altura equivalente a 1/5 del lado?
a) 122.5 m2
b) 522 m2
c) 422.5 cm2
d) 224.5 m2
e) 422.5 m2
Solución:
Para obtener la medida del lado deberíamos extraer la raíz cuadrada del número
4225, lo cual nos genera que el lado del cuadrado mide 65 metros.
Por su parte, para calcular el área del triángulo debemos saber la medida de su base y de su
altura. El lado es igual a 65 metros mientras que la altura equivale a 65/5, lo cual es 13
metros.
El área del triángulo corresponde a A =
bxh 65 x13
=
= 422.5 metros cuadrados. Inciso e.
2
2
65. En un salón hay 20 estudiantes. Se sabe que por lo menos dos están
aprobados y que de cada tres estudiantes por lo menos uno está reprobado.
¿Cuántos de los alumnos están aprobados?
a) 18
b) 14
c) 19
d) 2
e) 10
Solución:
No podría haber en el salón tres estudiantes aprobados, puesto que ellos formarían
una terna de aprobados, mientras que se condiciona que por cada tres estudiantes al
menos uno esté reprobado. Lo anterior permite asegurar que sólo hay 2 estudiantes
aprobados, y el resto están reprobados. Respuesta del inciso d.
66. En una tómbola todas las esferas son rojas excepto tres, todas las esferas
son azules excepto tres, y todas las esferas son amarillas excepto tres.
¿Cuántas esferas hay en la tómbola? Nota: La última esfera es transparente
a) 4
b) 3
c) 8
d) 6
e) 2
Solución:
Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso d, es decir, hay 6 esferas en
la tómbola. La frase inicial, “todas las esferas son rojas excepto tres”, define como 3 el
número de esferas rojas en la tómbola. En el siguiente enunciado se definen como 3 el
número de esferas azules y ya no quedaría lugar para las esferas amarillas. Son 3 las
esferas rojas, 3 las azules, formarían 6.
Analizaremos ahora la respuesta marcada en el inciso a. Parecería que el número de
esferas rojas es 1, el número de esferas azules es 1 y que el número de esferas amarillas es 1
también. Todas excepto tres, genera la diferencia entre 4 y 3, que es 1. Es claro que la
última esfera es a la que hace referencia la nota.
Por lo tanto el número de esferas en la tómbola es 4. La respuesta correcta es la del inciso
a.
67. En una reunión todos los asistentes se saludaron entre sí. ¿Cuántas
personas había ahí, si en total se dieron 66 saludos?
a) 10
b) 12
c) 11
d) 9
e) 8
Solución:
Si aceptamos la respuesta del inciso d entonces el invitado que llegó en el noveno
lugar daría 8 apretones de mano, puesto que no se saluda a él mismo. El invitado que llegó
en octavo lugar daría 7 apretones de mano, puesto que aún no estaba presente el noveno.
Así, el invitado que llegó en séptimo lugar saludaría a 6 personas, el sexto invitado
saludaría a 5 personas, el quinto a 4 y así sucesivamente.
Esto indica que deberíamos sumar los apretones que cada invitado da cuando llega a la
reunión, es decir, si la respuesta fuese la marcada con el inciso d entonces, 8 + 7 + 6 + 5 +
4 + 3 + 2 + 1, debería ser igual a 66, pero no es así, la suma resulta ser 36. Por lo tanto la
respuesta no es la del inciso d.
Como la sumatoria es menor que el total de apretones requerido, entonces supondremos
que la respuesta es mayor que 9, así que pensemos en la opción marcada con el inciso b.
Si 12 personas fueron a la reunión entonces el doceavo invitado saludó a 11 personas, el
onceavo a 10, el décimo a 9, y así sucesivamente, esto es, 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3
+ 2 + 1, lo cual debería ser igual a 66. Resolviendo la suma es posible determinar que,
efectivamente, 12 personas fueron a la reunión. Debemos marcar la respuesta del inciso a.
68. Dos relojes se pusieron en hora a las 3 p.m. de cierto día. El primero se
adelanta un minuto cada dos horas y el segundo se atrasa un minuto cada 3
horas. ¿Qué diferencia habrá entre los dos relojes a las 9 a.m. del día
siguiente?
a) 3 minutos
b) 8 minutos
c) 13 minutos
d) 15 minutos
e) 18 minutos
Solución:
El número de horas que transcurre entre las 3 de la tarde y las 9 de la mañana del
día siguiente es 18. Luego, si el primer reloj se adelanta un minuto cada dos horas significa
que se habrá adelantado 9 minutos en total, que resulta de dividir el número de horas, 18, y
el número de minutos, 2. Por lo tanto el primer reloj marcará las 9:09 a.m.
El segundo reloj se atrasa un minuto cada 3 horas lo cual implica que después de 18 horas
se habrá atrasado por 6 minutos, marcando las 8:54 a.m.
La diferencia entre ambos relojes sería de 15 minutos. La respuesta correcta es la del inciso
d.
69. En el hipódromo se sabe que:
-
Negro es más veloz que Palomino
-
Azafrán es más veloz que Cubilete, pero a diferencia de Negro, es más
lento que Palomino
-
Negro es más lento que Melodía, y
-
Cubilete es más veloz que Azabache
¿Cuáles son los dos caballos más lentos?
a) Palomino y b)
Azafrán
Cubilete
y c)
Palomino
Azabache
Melodía
y d)
Cubilete
Azabache
y e)
Azafrán
y
Melodía
Solución:
Asignaremos letras para cada caballo, así Negro será N, Palomino será P, Azafrán,
A, Cubilete, C, Melodía, M, y Azabache, Az.
Por otra parte, según la información que aparece en el problema se puede generar una
relación de orden de la siguiente manera.
Frase
Interpretación
Negro es más veloz que Palomino
N>P
Azafrán es más veloz que Cubilete, pero más P > A > C
lento que Palomo
Nubio es más lento que Melodía
N<M
Cubilete es más veloz que Azabache
C > Az
Esto último implica que M > N > P > A > C > Az. Luego, los dos caballos más lentos son
Cubilete y Azabache, que aparece como respuesta en el inciso d.
70. ¿Cuál es el tercero de cinco número enteros consecutivos, tales que su
suma sea 695?
a) 128
b) 134
c) 139
d) 140
e) 145
Solución:
Algebraicamente, cinco números enteros consecutivos serían x, x + 1, x + 2, x + 3, x
+ 4. Cuando se suman todos los números el resultado debe ser igual a 695, lo cual se
reduce a la igualdad
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 695
Resolviendo dicha ecuación tendríamos que x = 137. Sin embargo estamos en búsqueda del
tercero de cinco números consecutivos, en donde si el primero es 137 entonces el tercero
será, agregando la unidad, 139, que aparece en el inciso e.
71. Un comerciante decidió vender a $15.60 la docena de alcachofas. ¿Cuánto
cobró a la clienta que compró cien alcachofas?
a) $ 86
b) $ 112
c) $ 120
d) $ 130
e) $144
Solución:
Obtendremos, mediante una regla de tres directa, el valor de una alcachofa. Así el
valor de la alcachofa será de $1.3. Cuando la clienta decide comprar 100 alcachofas deberá
pagar $ 130, que aparece en el inciso d.
72. Un caracol está en el fondo de un pozo de 12 metros y decide salir. Por el
día sube 5 metros y por la noche baja 2 metros, por lo tanto saldrá en
a) 3 días
b) 5 días
c) 4 días
d) 2 días
e) 6 días
Solución:
A partir de la lectura se puede inferir que el caracol, cada día subía 3 metros. El
argumento es el siguiente. Cuando había luz natural, el caracol lograba elevarse 5 metros,
sin embargo cuando llegaba la noche, el mismo, descendía 2 metros según la lectura. Cada
24 horas sucede que se eleva 5 metros y baja 2, lo cual indica que, al día en realidad el
caracol logra elevarse la diferencia entre los datos anteriores, 3.
Ahora el problema consiste en determinar el número de días en los cuales el caracol saldrá,
para lo cual debemos considerar la altura del pozo, 12 metros.
Si cada 24 horas el caracol logra elevarse 3 metros, según lo anteriormente expuesto,
entonces cuando el número de horas sea 48, es decir, el doble de horas, entonces el
número de metros será el doble también, esto se observa de mejor manera en la siguiente
tabla.
Número de días
Altura alcanzada cada día
1 día
3 metros
2 días
6 metros
3 días
9 metros
4 días
12 metros
Dada esta información es simple observar que cada día el caracol se eleva 3 metros por lo
cual, el día 4, llegará a los 12 metros de altura que es precisamente la altura del pozo.
Así la respuesta que debe marcarse como correcta es 4 días, es decir, inciso (c).
73. Un hombre tiene 20 años más que su hijo y en 5 años su edad será el triple
que la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre?
a) 30
b) 5
c) 25
d) 40
e) 34
Solución:
Sea P la edad del padre y H la edad del hijo. Entonces si el padre tiene 20 años más
que el hijo:
H + 20 = P
Y si en 5 años más la edad del padre será el triple que la del hijo:
3 (H + 5) = P + 5
Por lo tanto, se tiene el sistema de ecuaciones:
H + 20 = P
3H + 15 = P + 5
Que encuentra soluciones en H = 5 y P = 25.
Sin embargo la pregunta es ¿cuál es la edad actual del padre? A lo cual debemos responder
25 años. Inciso c.
74. En un curso de 50 personas, 25 alumnos obtuvieron 5.2 de promedio; 20
alumnos obtuvieron promedio de 5.7 y los demás promedio de 6.4. El
promedio del curso fue:
a) 5.7
b) 5.76
c) 5.52
d) 5.60
e) 5.80
Solución:
Se pide el promedio del curso, por lo tanto hay que ponderar cada promedio por el
número de alumnos que lo tuvo, es decir:
Pr =
(25 ⋅ 5.2) + (20 ⋅ 5.7) + (5 ⋅ 6.4)
= 5.52
50
Para generar el promedio fue necesario sumar cada calificación según el número de
ocasiones que se apareció, para dividir dicha suma entre el total de estudiantes que fue de
50. El resultado obtenido indica 5.52, lo cual aparece en el inciso c.
75. En una celebración cada uno de los asistentes entregó un regalo a cada
uno de los restantes. Terminando el evento, se habían contado un total de 110
regalos. El número de personas que asistió a la celebración fue:
a) 5
b) 6
c) 10
d) 11
e) 15
Solución:
Supongamos que a la celebración asistieron n personas. Cada una de ellas entregó
un regalo a cada una de las restantes (nadie se autorregaló ), es decir, cada persona entregó
(n-1) regalos, con lo cual el número de regalos contados fue de:
n(n – 1)= 110
n2 – n – 110 = 0
de donde la solución positiva de dicha ecuación sería 11.
Así la persona 11, regalo 10 veces, lo mismo que hizo la persona 10, y así sucesivamente.
Luego, el total de personas que asistió a la celebración es de 11. Inciso d.
76. Si P representa la probabilidad de que México clasifique para el próximo
Mundial de Futbol y Q la probabilidad de que no clasifique, entonces:
i. P + Q = 1
a) Sólo i
ii. P ≥ 0
b) Sólo ii
iii. Q ≤ 1
c) Sólo i y ii
d) Sólo ii y iii
e) i, ii y iii
Solución:
Veamos cada caso para así poder determinar cuál de ellos se cumple según las
condiciones del problema.
Según uno de los teoremas de Bernoulli para la probabilidad, un evento es mutuamente
excluyente si la ocurrencia del evento preliminar no incide en la ocurrencia de un evento
secundario, esto es, si ocurre P no pasa algo con Q. Por otra parte la probabilidad de un
evento seguro es la unidad, debe ser claro que México puede clasificar al mundial o puede
no clasificar. Así la suma de los eventos P y Q, según el teorema de Bernoulli y la deducción
anterior deberá ser 1. Lo cual satisface el primer punto.
Para el segundo y tercer punto la situación es aún más clara puesto que P debe ser, según
definición estrictamente mayor o igual que cero. Lo mismo Q, que debe ser, según
definición, estrictamente menor o igual que 1. Es importante señalar que ambos casos se
acotan por sí solos puesto que hablamos de probabilidad, es decir, P no puede ser 2 porque
en probabilidad siempre estaremos entre 0 y 1.
Luego, la respuesta es la del inciso e.
77. La señora González tiene 5 hijas, cada una de ellas tiene 4 hijas y cada una
de ellas tiene 3 hijas. ¿Cuántas descendientes tiene la señora González?
a) 95
b) 65
c) 45
d) 85
e) 90
Solución:
La señora González tiene 5 hijas y como cada hija tiene 4 hijas entonces, la señora
tendrá 20 nietas. Consecuentemente, mediante un argumento similar, la señora deberá
tener 60 bisnietas.
Luego, tienen 5 + 20 + 60 = 85 descendientes. Debemos señalar como respuesta la del
inciso d.
78. Renata marca un número de dos dígitos en su calculadora, lo multiplica
por 3, le suma 12 y divide el resultado entre 7. El número resultante es de dos
dígitos y termina en 5. ¿Cuál fue el número que marcó?
a) 30
b) 21
c) 53
d) 13
e) 31
Solución:
Supongamos que el número que marcó Renata es 10a + b y que el resultado que
obtiene al final es 10c + 5. De acuerdo a las operaciones que realizó, se tiene que:
3(10a + b) + 12 = 7(10c + 5)
30a +3b + 12 = 70c + 35
Para que el número de la izquierda termine en 5 es necesario que b = 1, entonces se reduce
la ecuación a 30a = 70c + 20. Como 30a ≤ 270, tenemos que c ≤ 3.
Si c = 3, a = 23/3 que no es entero. Por otra parte, si c = 2, a = 16/3 que tampoco es entero.
Por último, si c = 1, a = 3, luego la única solución es 31, que aparece en el inciso e.
Mucho más simple que lo anterior era partir de las opciones de respuesta y observar que la
única que satisface lo leído totalmente es precisamente 31.
79. En una caja de Leche se lee la siguiente información nutricional:
“Cada 100 ml. De leche contiene:
Sodio: 48 mg.
Potasio: 165 mg.
Calcio: 128 mg.
Fósforo: 103 mg.
Magnesio: 12 mg.”
¿Cuánto magnesio contiene una taza de leche de un cuarto de litro?
a) 0.3 g
b) 4.8 mg
c) 12 mg
d) 30 mg
e) 48 mg
Solución:
Un cuarto de litro de la taza corresponden a 250 ml. El mecanismo para hallar
solución a este problema consiste en establecer una regla de tres directa que involucre a las
variables mencionadas, es decir, si 100 ml de leche contienen 12 mg de magnesio entonces,
¿cuánto magnesio habrá en 250 ml de leche?
El resultado es 30 mg de magnesio. La respuesta correcta es la del inciso d.
80. Si n es un número natural tal que n ≥ 1, entonces, la suma de éste con su
sucesor y su antecesor siempre será divisible por:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 9
Solución:
El primer número que satisface la desigualdad n ≥ 1, es el propio 1. Luego la suma
de 1 con su sucesor, 2, y su antecesor, 0, es de 3. El resultado de la suma será divisible
entre 3.
Sin embargo vale la pena explorar varios casos mas para tener la certeza de la respuesta.
Así, el número 2 también cumple con n ≥ 1, la suma que se expone en la lectura
corresponde a 2 + 3 + 1, lo cual es 6, y nuevamente es divisible entre 3.
Veamos en caso siguiente. El número 3 es mayor o igual que 1. Por su parte, la suma
indicada tiene por resultado 9, lo cual también se divide entre 3.
Según los casos se indica que cada sumatoria tiene una característica especial, se divide
entre 3. El resultado indica que la respuesta es correcta para el inciso b.
81. Si x y y son números reales distintos de cero y distintos entre sí.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s), conociendo la
relación x 2 + x = y 2 + y ?
I. x = 2 y y = −3
II. x − y es un número impar
III. x 2 y − xy es siempre divisible por 3
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I, II y III
Solución:
Factorizando la relación:
x2 + x = y2 + y
x2 − y2 + x − y = 0
( x − y )( x + y + 1) = 0
Pero como x ≠ y ⇒ x − y ≠ 0 y entonces para que la expresión sea igual a cero, el otro
factor está “obligado a ser cero: x = −1 − y .
Por lo tanto:
I.
VERDADERO: Si x = 2 entonces y = −3
II.
VERDADERO: Si x es un número par, y siempre es impar, y si x es impar,
y es par. Por lo tanto x − y siempre es la suma o resta de un par con un impar y
por ende siempre es impar.
VERDADERO: Factorizando, la expresión queda ( x − 1) xy . Como − y es el
III.
sucesor de x y x − 1 es el antecesor de x , tenemos el producto de tres números
consecutivos. Luego, no existen tres números consecutivos de manera que uno
de ellos no sea múltiplo de 3, lo que implica que el producto de tres números de
los cuales uno de ellos es divisible por 3, también es divisible por 3. Nota: Los
signos no interesan, sólo interesa el valor de los números.
82. Una persona deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de
interés anual. Si después de un año retira $ 13294, el monto depositado
inicialmente es:
a) $ 11299
b) $ 11560
c) $ 11742
d) $ 11327
e) Ninguna de las
anteriores
Solución:
Este es un problema de interés simple. Entonces si llamamos x a la cantidad inicial
de dinero depositado, tenemos la ecuación:
x + 0.15 x = 13294
13294
x=
1.15
x = 11560
La cantidad depositada inicialmente fue $ 11560.
83. Dada la relación
1
1
1
=
+
. Si R1 y R2 disminuyen en un 10%. ¿Qué
R R1 R2
ocurre con R ?
a) Aumenta 10% b)
20%
Aumenta c) Aumenta 15% d)Disminuye
15%
e)Disminuye
10%
Solución:
Si R1 y R2 disminuyen en un 10% cada uno significa que R1 pasa a ser ( R1 − 0.1R1 )
y que R2 pasa a ser ( R2 − 0.1R2 ) . Por lo tanto, la expresión dada se transforma en:
10
10 10 ⎛ 1
1 ⎞
1
1
+
=
+
= ⎜⎜ + ⎟⎟
1
1
R1 − R1 R2 − R2 9 R1 9 R2 9 ⎝ R1 R2 ⎠
10
10
Y como sabemos que
10 ⎛ 1
1
⎜⎜ +
9 ⎝ R1 R2
1
1
1
=
+
, entonces:
R R1 R2
⎞ 10 ⎛ 1 ⎞
1
1
1
⎟⎟ = ⎜ ⎟ =
=
=
⎠ 9 ⎝ R ⎠ 9 R R − 1 R R − 0.1R
10
10
Es decir R disminuye en un 10%. Inciso e.
2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Iniciaron una competencia 25 personas y se les unieron otras 3 personas. Si sólo llegaron
a la meta 12 personas, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el número de
personas que NO llegaron a la meta?
a) 25 – (3 – 12)
b) 25 + (3 + 12)
c) (25 + 3) – 12
d) (25 – 3) + 12
e) (25 – 3) – 12
2. ¿Cuál expresión es la mayor si a y b son números enteros positivos?
a) a
b) b
c) a – b
d) b – a
e) a + b
3. Si p es positivo y q = 1 – (1/p), cuando aumenta p, entonces q
a) llega a ser b) llega a ser 0
c) se queda igual d) disminuye
e) aumenta
uno
4. Un avión voló durante 10 horas a una velocidad promedio de 540 kilómetros por hora.
¿Cuántos kilómetros recorrió?
a) 5.4
b) 54
c) 540
d) 5400
e) 54000
5. La igualdad a – b = b – a es cierta si
a) a > b
b) a = b
c) a < b
d) a = 2b
e) a = - 2b
6. ¿Cuál de los siguientes números es divisible por 3 y por 5, pero NO por 2?
a) 685
b) 750
c) 880
d) 975
e) 1000
7. Si el día primero de un mes es lunes, ¿cuál es el mayor número de miércoles que puede
haber en un mes de 31 días?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
8. El área de un rectángulo es 128 metros cuadrados. Si el largo mide 16 metros, ¿cuántos
metros mide el ancho?
a) 4
b) 8
c) 16
d) 32
e) 48
9. Julio ahorró $ 20 en 8 semanas. Si continúa ahorrando a esa razón, ¿cuánto ahorrará en
20 semanas?
a) 50
b) 48
c) 44
d) 40
e) 28
10. Si 1 de cada 15 niños de un pueblo pertenece a una organización juvenil, ¿cuántos de los
600 niños del pueblo son miembros de la organización?
a) 10
b) 20
c) 36
d) 38
e) 40
11. Jennifer recibe 5 puntos cada vez que entrega una tarea completa y 3 puntos si la
entrega es incompleta. Recibió 45 puntos en total. Si entregó 6 tareas completas, ¿cuántas
tareas incompletas entregó?
a) 3
b) 5
c) 13
d) 15
e) 27
12. Si p es un entero positivo divisible por 3, ¿cuál de los siguientes NO es divisible por 3?
a) 3p
b) 2p
c) 3p
d) 6p + 9
e) p + 1
13. En la expresión ax71 + bx51 + 6 = 10, ¿cuál es el valor de a + b, si x = 1?
a) 60
b) 16
c) 10
d) 4
e) 1.6
14. La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor es k. ¿Cuál es el otro número?
a) 2k
b) 2(k + 1)
c) 150 – k
d) 150 + k
e) 150 – 2k
15. De una hoja de papel de 10 centímetros de largo y 8 de ancho se desean obtener
triángulos de 4 centímetros cuadrados de área. El mayor número de triángulos que se
obtendrá es
a) 20
b) 10
c) 8
d) 5
e) 2
16. Una escuela tiene 1000 estudiantes de los cuales 300 son de primer año; 500 son
varones y 200 son estudiantes varones de primer año. ¿Cuántos estudiantes no son ni
varones no de primer año?
a) 800
b) 700
c) 500
d) 400
e) 300
17. ¿Cuántos números reales tienen la propiedad de que su cuarta parte es igual a su
cuadrado?
a) Ninguno
b) Uno
c) Dos
d) Tres
e) Cuatro
18. Para que los tres puntos (6,10), (26,5) y (m,18) sean colineales m debe valer:
a) 4
b) 1/4
c) – 26
d) – 1/26
e) 38
19. El radio de la circunferencia x2 + y2 – 18x + 6y + 41 = 0 es:
a) 4
b) 9
c) 5
d) 7
e) 8
Para los ejercicios 20 al 24 escoja la pareja de números propuestas que sea continuación de
cada una de las series enlistadas.
20.
128, 137, 146, 155,…
a) 164, 173
21.
d) 165, 175
e) 160, 175
b) 655, 765
c) 654, 755
d) 635, 735
e) 654, 745
c) 16/6, 18/7
d) 16/7, 18/8
e) 20/6, 25/7
3/2, 9/3, 12/4, 15/5,…
a) 18/6, 21/7
23.
c) 164, 172
215, 325, 435, 545,…
a) 645, 745
22.
b) 163, 172
b) 18/5, 21/6
1/1, 1/2, 1/6, 1/24,…
a) 1/30, 1/36
24.
b) 1/30, 1/120
c) 1/120, 1/720
d) 1/30, 1/36
e) 1/25, 1/30
c) 6.4, 12.8
d) 3.4, 6.8
e) 4, 8
c) 190
d) 180
e) 360
0.4, 0.8, 1.6, 3.2,…
a) 6.4, 11.8
b) 6.4, 13.8
25. La mitad del triple de 120 es:
a) 170
b) 150
26. La edad de Javier es el triple de la de Miguel y Arturo es mayor por 6 años que Miguel.
Si Miguel tiene 3 años de edad, entonces:
a)
Javier
es b)
Arturo
mayor
que mayor
Arturo
Javier
es c)
Arturo
y d) No se sabe e)
que Javier tienen la algo
misma edad
Miguel
mayor
es
que
Javier
27. Si a una fiesta asiste Raúl con su esposa y sus 4 hijos, cada hijo con su respectiva esposa
y dos amigos. ¿Cuántas personas asisten a la fiesta?
a) 18
b) 20
c) 16
d) 14
e) 22
28. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no es
primo?
a) 19/6
b) 17/6
c) 15/2
d) 5
e) 5/2
29. Ana tiene 6 años de edad, Paty es menor que Lulú por 8 años y la edad de Lulú es el
triple de la de Ana, ¿cuál es la edad de Paty?
a) 9
b) 8
c) 18
d) 10
e) 6
30. Martín es menor que Jesús y Daniel es mayor que Jesús, ¿cuál es el mayor?
a) No se sabe
b) Martín
c) Jesús
d) Daniel
e) Los 3 son de
la misma edad
31. Mi primo es el nieto de la madre del hermano de mi:
a) Madre
b) Hermana
c) Madrina
d) Prima
e) Sobrina
32. Joaquín tiene una caja grande con 4 medianas dentro, 3 chicas en cada una de las
medianas y 6 todavía más pequeñas en cada una de las chicas; entonces el total de cajas
que Joaquín tiene es:
a) 88
b) 89
c) 90
d) 54
e) 62
33. Un plomero tiene un tubo de 30 metros. Si diariamente corta un pedazo de 2 metros
terminará de cortarlo en:
a) 14 días
b) 16 días
c) 18 días
d) 15 días
e) 10 días
34. La media aritmética de un conjunto de 30 números es 10. Si quitamos el número 68 de
ese conjunto, entonces la media aritmética de los restantes es:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
35. Un bote de 20 litros se llena de agua; luego se sacan 4 litros y se reemplazan con
alcohol; después se sacan 4 litros de la mezcla y se reemplazan con alcohol. La cantidad de
litros de agua que queda en la mezcla final es:
a) 16/5
b) 16/9
c) 4/5
d) 36/5
e) 64/5
36. Un contenedor que tiene 50 metros de largo, 20 metros de ancho y una profundidad de
2 metros va a ser llenado hasta ¾ de su capacidad. El volumen de agua que se requiere es:
a) 2000 m3
b) 1750 m3
c) 1650 m3
d) 1500 m3
e) 1250 m3
37. Un tanque de Guerra de la armada norteamericana es capaz de correr a velocidad
promedio de 90 km/hr durante 4 horas y media, y otro lo hace a 40 km/hr durante 10
horas y cuarto. Luego…
a) Los dos recorren igual distancia
b) El segundo recorre poco más que el primero
c) El primero recorre poco más que el segundo
d) El primero recorre mucho menos que el segundo
e) El segundo recorre mucho menos que el primero
38. El perímetro de un cuadrado tiene el mismo número de metros que los metros
cuadrados de su área. ¿Cuál es ésta?
a) 1 m2
b) 2 m2
c) 4 m2
d) 8 m2
e) 16 m2
39. Para preparar un compuesto químico se han utilizado 20 gramos de sal y 100 gramos
de agua. ¿A qué porcentaje aproximado de salinidad ha quedado la solución?
a) 100%
b) 80%
c) 25%
d) 20%
e) 16%
40. Después de una noche de juego, el Lic. Gómez y el Gral. Hernández han apostado cien
mil pesos a una carta, Si gana Gómez se levantará de la mesa con el doble de lo que tendrá
el general. Si gana este último, los dos tendrán igual cantidad. ¿Cuánto tiene sobre la mesa
cada uno de ellos?
a) $ 300 000 y $ b) $ 500 000 y $ c) $ 300 000 y $ d) $ 700 000 y $ e)
100 000
300 000
500 000
500 000
Cada
uno
tiene $ 300 000
41. Cuando mi hermana nació yo tenía 7 años, hoy tengo el triple de la edad que ella tenía
hace siete años y dentro de siete años la suma de nuestras edades será siete por siete, ¿qué
edad tendré yo dentro de 7 años?
a) 20
b) 21
c) 24
d) 28
e) 35
42. Un granjero tiene 37 animales entre conejos y gallinas. Todos estos animales juntos
suman 100 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas tiene?
a) 12 conejos y 25 gallinas
b) 13 conejos y 24 gallinas
c) 15 conejos y 22 gallinas
d) 17 conejos y 20 gallinas
e) 20 conejos y 17 gallinas
43. Un planteamiento posible para conocer los números de conejos y gallinas en el
problema anterior es:
a) 4x + 2( 37 – x ) = 100
b) 4x + 2( 37x ) = 100
c) 4x – 2 ( 37 + x ) = 100
d) 4x – 2 ( 37x ) = 100
e) 4x + 2 ( 37 ) x = 100
44. A una fiesta asistieron 17 personas. Carola bailó con seis muchachos, Silvia con Siete,
Mireya con Ocho, y así sucesivamente hasta llegar a Rita quien bailó con todos los
muchachos. ¿Cuántos muchachos había en la fiesta?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
45. Del teorema: Si los dos términos de un quebrado se multiplican o dividen por un
mismo número, el quebrado no se altera, se desprenden las siguientes afirmaciones,
excepto:
a) Al multiplicar el denominador por un número, el quebrado queda dividido por el mismo
número
b) Al dividir el numerador por un número, el quebrado queda multiplicado por dicho
número
c) Al multiplicar el numerador por un número, el quebrado queda multiplicado por el
mismo número
d) Al dividir el denominador por un número, el quebrado queda multiplicado por el mismo
número
e) Al dividir el numerador por un número, el quebrado queda dividido por el mismo
número
46. Rosa tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermano tiene sólo la mitad de
hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y hermanas hay en la familia?
a)
hermanas
Cuatro b)
Cuatro c)
Cuatro d)
Tres e) Dos hermanas
y hermanas y tres hermanos y tres hermanos y tres y tres hermanas
cuatro hermanos hermanos
hermanas
hermanas
47. Alfredo tenía tres suéteres de lana por cada uno que tenía de estambre. En su
cumpleaños le regalaron uno de lana y dos de estambre. Si ahora su guardarropa tiene 2/3
de suéteres de lana, ¿cuántos suéteres tiene en total?
a) 6
b) 7
c) 9
d) 12
e) 15
48. Con base en los datos del problema anterior, ¿cuántos suéteres de lana tiene José
después de su cumpleaños?
a) 3
b) 4
c) 6
d) 9
e) 10
49. En una urna de 9 esferas numeradas de 1 al nueve. ¿Qué probabilidad hay de que al
sacar con los ojos cerrados un par, éste sume 15?
a) 2/9
b) 4/30
c) No se sabe d) 1/18
pues
saldrá
e) 4/36
al
azar
50. Un avión y un barco salen a las 6 de la mañana. Cada 18 minutos sale un avión y cada 2
horas un barco. ¿A qué hora volverán a salir simultáneamente un avión y un barco?
a) A las 12 del b) A las 4 de la c) A las 6 de la d) A las 9 de la e) A las 12 de la
día
tarde
tarde
noche
noche
51. La suma de las edades de dos hermanos no gemelos es de 32 años, ¿qué resultado
obtendremos si restamos ahora de la suma total la diferencia de edades?
a) Sólo si las edades son 12 y 20, podemos restas la diferencia del total y obtener el doble
de la edad del menor
b) Sea cual sea la diferencia, al restarla del total no obtendremos el doble de la edad de
ninguno de ellos
c) Obtendremos el doble de la edad del menor sólo si el mayor tiene menos de 24 años
d) Sea cual sea la diferencia, al restarla del total siempre obtendremos el doble de la edad
del menor de ellos
e) Obtendremos el doble de la edad del menor sólo si este tiene menos de 10 años
52. Si a es un número tal que a < 0, entonces:
a) 1/a > 0
b) 1/a < 0
c) 1/a = 0
d) 1/a > 1
e) 1/a = 1
53. Si en un recipiente tenemos 6 canicas rojas, 4 blancas y 5 azules, ¿cuál es la
probabilidad de que al extraer una con los ojos cerrados, ésta sea blanca?
a) 2/5
b) 4/15
c) 1/3
d) 3/5
e) 2/3
54. ¿Qué probabilidad tenemos de que la primera carta que saquemos de una bajara de 52,
sea un as?
a) ¼
b) 1/13
c) 1/26
d) 1/52
e) 1/104
55. Si son las 15 horas con 48 minutos y 15 segundos, ¿cuánto tiempo falta para que den las
8:00 p.m.?
a) 5 horas, 11 minutos y 45 segundos
b) 15105 segundos
c) 144000 segundos
d) 3 horas y 705 segundos
e) 250 minutos y 45 segundos
56. ¿Cuál de las siguientes cantidades quedaría más a la izquierda en la representación de
una recta numérica?
a) 10-10
b) 11
c) 41/4
d) 8.5 8.5
e) 3-1/3
57. Sea ABCD un rectángulo con BC = 2AB y sea BCE un triángulo equilátero. Si M es el
punto medio de CE, ¿cuánto mide el ángulo CMD?
a) 65°
b) 75°
c) 45°
d) 35°
e) 55°
58. En el rectángulo ABCD, el segmento MN es perpendicular a la diagonal AC en su
punto medio M . Además, la recta LN es paralela al lado CB . Si se sabe que ∠ ACB=57°,
encuentra ∠ LNM
D
C
M
L
B
A
N
a) 30°
b) 33°
c) 45°
d) 57°
e) 60°
59. En la figura ABCD es un rectángulo en el que AB =8 y BC =6; además DP es
perpendicular a la diagonal AC y QR es un segmento paralelo a AC con Q como punto
medio de DP . Encuentra la longitud del segmento PR .
D
R
C
8
B
Q
6
P
A
a) 2.4
b) 3.2
c) 3.6
d) 4.0
e) 5.0
60. Seleccione la forma adecuada de hacer afirmativa la siguiente frase, sin cambiar su
sentido original: Al no ignorar.
a) Al no estar b) Al saber
c) Al no saber
enterado
d) Al carecer de e) Al saber que
conocimiento
ignora
61. Todo triángulo equilátero es equiángulo. Todo triángulo equiángulo es equilátero.
Luego, __________
a) un equiángulo es triángulo sólo si es equilátero
b) un triángulo es equilátero sólo si es equiángulo
c) un triángulo puede ser equiángulo
d) un equilátero siempre es triángulo
e) sólo es triángulo un equilátero si es equiángulo
62. Seleccione la opción que se sigue de la afirmación: El número de los ángeles es par.
a) No es cierto, los ángeles no existen
b) la mitad de los ángeles son también un número par
c) el número de ángeles es divisible entre dos
d) Los ángeles no se pueden dividir
e) No es cierto, los ángeles son incontables
63. De acuerdo al siguiente esquema se puede afirmar que:
HOMBRES
AVES
MORTALES
a) Las aves son mortales
b) Todos los hombres son mortales
c) Hombres y aves son mortales
d) Ni las aves ni todos los hombres son mortales
e) Los mortales son hombres y aves
64. Escoja la forma adecuada de hacer afirmativa la frase, sin cambiar su sentido original:
A no estar libre de duda.
a)
Al
no b)
dudar
Al
seguro
estar c)
Al
libremente
dudar d)
Al
dudoso
estar e)
Al
no
estar
seguro
65. ¿Cuál de los siguientes enunciados define correctamente al Teorema de Pitágoras?
a) En un triángulo equilátero, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado
de la hipotenusa
b) En un triángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa
c) En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos al cuadrado es igual al doble de la
hipotenusa
d) En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado
de la hipotenusa
e) En un triángulo, el cuadrado de la suma de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa
66. En el interior de un cuadrado ABCD de lado a, se introdujeron 2 rectángulos como lo
indica la figura. El perímetro de la parte sombreada es
D
C
A
B
a) 2a
b) 3a
c) 4a
d) 3, 5a
e)
Falta
información
67. Sea ∆ ABC rectángulo en C. Sean P y Q puntos medios de los lados AC y BC
respectivamente. Si EFQP es un rectángulo, AC = 6 cm y BC = 8 cm, entonces el área del
rectángulo EFQP es:
C
P
A
a) 6 cm2
Q
E
F
b) 9 cm2
c) 75/4 cm2
B
d) 12 cm2
e) Ninguna de las
anteriores
68. En un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. ¿Cuánto suman los ángulos
interiores de un polígono?
a) 360°
b) 1080°
c) 1260°
d) 1800°
e)
Falta
información
69. Si β es un ángulo tal que 0 < β < α, y tanto α como β son ángulos obtusos, el
complemento del suplemento de β se mueve entre:
a) 90° y 180°
b) 0° y 90°
c) 0° y α - 90°
d) 180° - α y 90° e) α - 90° y 90°
70. ¿En cuál de los siguientes casos es posible construir ∆ un cualquiera?
i.
Teniendo sus tres ángulos interiores.
ii.
Teniendo dos lados y el ángulo que comprenden.
iii.
Teniendo dos de sus tres alturas y un lado.
a) Sólo i
b) i y ii
c) ii y iii
d) i, ii y iii
e) Ninguna de las
anteriores
71. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B punto medio del trazo CD,
donde C(3,7) y D(5,1) es:
a) 2/3
b) -2/3
c) 3/2
d) -3/2
e) 0
72. Dos grillos cantan durante diez segundos. Uno canta cada 48 segundos y el otro cada
56 segundos. Si a las 12 horas 48 minutos 52 segundos empezaron a cantar juntos, la
siguiente vez que comiencen al mismo tiempo serán las:
a) 12 horas 49 minutos 40 segundos
b) 12 horas 54 minutos 28 segundos
c) 12 horas 50 minutos 40 segundos
d) 12 horas 50 minutos 36 segundos
e) 12 horas 54 minutos 38 segundos
73. El menor de los números que arroja residuo 3 al dividirlo por 9, 13 y 17 es:
a) 120
b) 3981
c) 1992
d) 156
e) Ninguna de las
anteriores
74. Si n y m son dos números primos entre sí, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es
(son) verdadera(s)?
i. El mínimo común múltiplo entre n y m es nm.
ii. n y m no tienen divisores comunes, excepto el 1.
iii. Ambos números son primos.
a) Sólo i
b) Sólo ii
c) Sólo iii
d) i y ii
e) Ninguno de los
anteriores
75. La expresión mayor, cuando m = -1/2 es:
a) m
b) –m2
c) m3
d) –(2m)2
e) 2m3
76. Un kilo de manzanas vale 25% más que un kilo de naranjas y éste vale 10% más que un
kilo de peras. Si las peras valen $ 100 el kilo, cuatro kilos de manzanas valen:
a) $ 137.5
b) $ 550
c) $ 135
d) $ 142
e) Ninguna de las
anteriores.
77. Si x < y, ¿cuál (es) de los siguientes números son SIEMPRE negativos?
I.
xy2
II.
x–y
III.
xy – x2
a) Sólo I
b) Sólo II
c) II y III
d) I y II
e) I, II y III
78. En el rectángulo ABCD de la figura, AB || PR. Si FC = 5 cm, RF = 4 cm y AF = 10 cm.
¿Cuánto vale el perímetro del rectángulo ABCD?
D
C
P
A
a) 24 cm
R
F
B
b) 36 cm
c) 42 cm
d) 54 cm
e) 72 cm
79. En una elección, 8 candidatos se presentan postulando a 3 cargos diferentes. ¿Cuál es
el número de resultados distintos que pueden producirse? Nota: Una persona no puede
tener más de un cargo.
a) 10
b) 56
c) 60
d) 336
e) Ninguna de las
anteriores
80. Se lanza un dado 6 veces. La probabilidad de que el quinto lanzamiento salga un seis
es:
a) 1/66
b) 1/65
c) 5/6
d) 1
e) 1/6
Clave de respuestas.
1. c
2. e
3. d
4. d
5. b
6. d
7. d
8. b
9. a
10. e
11. b
12. e
13. d
14. e
15. a
16. d
17. c
18. c
19. d
20. a
21. b
22. a
23. c
24. c
25. d
26. c
27. a
28. c
29. d
30. d
31. a
32. a
33. a
34. b
35. d
36. b
37. b
38. e
39. e
40. d
41. d
42. b
43. a
44. e
45. b
46. b
47. e
48. e
49. d
50. a
51. b
52. b
53. b
54. b
55. b
56. a
57. b
58. b
59. d
60. b
61. b
62. c
63. d
64. d
65. d
66. c
67. d
68. c
69. c
70. c
71. a
72. e
73. c
74. d
75. c
76. b
77. b
78. c
79. d
80. e
RAZONAMIENTO NUMERICO (respuestas al final)
1.- En la secuencia 9, 36, 144, … ¿Cuál el número que sigue?
a) 316
b) 624
c) 576
d) 564
e) 486
2.- En la sucesión numérica 5, 4, 8, 7, 11, …, los dos números siguientes son
a) 9 y 10
b) 11 y 15
c) 9 y 13
d) 10 y 14
3.- En la sucesión numérica 55, 54, 52, 51, …, los dos números siguientes son:
a) 50 y 48
b) 47 y 48
c) 49 y 48
d) 48 y 49
4.- Observa la siguiente lista de números 3, 8, 13, 18, 23, 28, … el número que ocupa el lugar 8 en la lista es:
a) 33
b) 43
c) 38
d) 78
5.- En la sucesión numérica 4, 12, __, 240, 1440 el número que falta es:
a) 28
b) 48
c) 60
d) 120
6.- Observa la siguiente lista de números 3, –1, –5, … el número que ocupa el lugar 8 en la lista es:
a) –25
b) 25
c) 21
d) –21
7.- Observa la siguiente sucesión 2, 6, 18, … ¿cuál es el 5° termino de esta sucesión?
a) 162
b) 161
c) 48
d) 144
8. En la sucesión numérica XX, XXII, XXVI, XXVIII, …, el número que sigue es:
a) XXXII y XXIV b) XX y XXII
c) XXXI y XXXII d) XXI y XXIV
9.- Observe la siguiente lista de números 2, 23, 25, 27, 29, … El término que ocupa el lugar número 15 es:
a) 221
b) 229
c) 222
d) 215
10.- En la sucesión numérica 7, 15, 9, 17, …, el número que sigue es:
a) 19
b) 29
c) 11
d) 21
11.- Observe la siguiente lista de números 4, 7, 10, … ¿Si continuas escribiendo números en esta lista,
encontraras el número 46?
a) Si es el término 15 b) No c) si es el término 12 d) Si es el término 16
12.- ¿Qué número continua? 1024, 256, 64, 16, 4 …
1
a) –1
b) 1
c) 0
d)
4
13.- ¿Qué número completa la secuencia 3, 5, 9, 17, 33, __?
a) 66
b) 56
c) 65
d) 39
11 11 11
, , ,Κ La fracción siguiente es:
28 22 16
11
11
11
b)
c) −
d)
10
9
12
14.- En la serie
a)
11
18
15.- En la serie 81, 274, 97, … el número siguiente es:
b) 910
c) 3
d) 9
a) 310
16.- ¿Qué número continua? 26, 20, 17, 11, 8, __
a) 6
b) 4
c) 2
d) 3
17.- En la siguiente secuencia 4, 9, 11, 16, 18, … los siguientes dos términos son:
a) 23 y 25
b) 20 y 22
c) 21 y 23
d) 22 y 24
18.- Que número falta de la siguiente secuencia 4, 9, 16, __, 36, 49
a) 25
b) 20
c) 24
d) 28
19.- Que número falta de la siguiente secuencia 2, 6, __, 120, 720
a) 12
b) 8
c) 10
d) 24
20.- Que número falta de la siguientes secuencia 3, 7, 15, 31, __
a) 60
b) 64
c) 62
d) 63
21.- Que números faltan de la siguiente secuencia 7, 9, 6, 8, 5, __, __
a) 6 y 8
b) 7 y 4
c) 4 y 7
d) 8 y 9
22.- Que número falta de la siguiente secuencia 2, 5, 14, 41, __
a) 121
b) 123
c) 132
d) 122
23.- ¿Qué terna de letras representa la continuación mas lógica de la serie (Prescíndase de la ñ) z, y, x, u, v,
w, t, s, r, __, __, __
a) opq
b) poq
c) oqn
d) nop
24.- Los resultados de las sumas 99 + 99 + 9; y 999 + 9 se encuentran entre:
a) 100 y 1000 b) 207 y 1008 c) 200 y 1150 d) 150 y 1005
25.- ¿Cuáles son los resultados de las sumas? 9 + 9 + 9 + 9 = 99 + 99 + 99 + 99 =
999 =
a) 36 360 3600
b) 36 396 3996
c) 36 396 3906
d) 36 360 3996
999 + 999 + 999 +
26.- Observa la singularidad que existe en las sumas:
A + 95 = 202
B + 995 = 2002
C + 9995 = 20002
D + 99995 = 200002
G + __________ = 200000002
De acuerdo con esto, ¿Cuál número deberá de escribirse en el espacio en blanco?
a) 99995
b) 99999995 c) 9999999995
d) 9995
27.- Una enfermera da a un paciente una tableta cada 20 min. ¿Cuántas veces tendrá que dar el medicamento
en una jornada de 9 horas si, la primer tableta la da al llegar y la ultima al partir?
a) 28
b) 27
c) 29
d) 30
28.- Tres cuadrillas de pizcadores levantan el fruto de un pedido de 10 días ¿En cuántos días harían el mismo
trabajo 15 cuadrillas?
a) 50
b) 2
c) 5
d) 20
29.- Al iniciar el viaje, el tanque de gasolina de una camioneta estaba lleno hasta las tres cuartas partes de su
capacidad. Al llegar a su destino le queda solamente un tercio de su tanque. Si la capacidad total del tanque
es de 120 litros, ¿Cuántos litros de gasolina consumió en el trayecto?
a) 25 litros
b) 50 litros
c) 75 litros
d) 100 litros
30.- En la secuencia 1,
a)
1
12
b) 2
1 1
, , … ¿Cuál número continua?
3 9
1
1
c)
d)
27
2
31.- ¿Cuál de las fracciones es menor que
a)
1
6
b)
3
2
c)
3
4
3
?
5
d)
5
3
32.- En cuál opción se encuentra el valor que falta en la siguiente igualdad para que sea cierta ( )2 – 6 = 10
a) 16
b) 4
c) 2
d) 26
33.- ¿Cuál de las siguientes fracciones
a)
1
2
b)
3
4
c)
5
6
1 3 5 11
tiene el valor más pequeño?
, , ,
2 4 6 20
11
d)
20
34.- Usted tiene 30 monedas, se apuesta todo y recupera la apuesta mas 60 monedas, se gasta un tercio del
total en una camisa, 10 en un taxi y el diez por ciento del resto lo da de propina. ¿Cuánto le queda?
a) 18
b) 60
c) 50
d) 45
35.- Un cubo de madera de 30 cm. de lado se pinta completamente de rojo; luego se corta en 27 cubitos de 10
cm. De lado cada uno. ¿Cuántos serán los cubitos cortados que presentaran solo dos caras pintadas?
a) 25
b) 5
c) 12
d) 18
36.- Carmen pulsa 60 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulas más que 40 en el mismo tiempo.
¿Cuánto tiempo emplearan entre las dos para pulsar 360 caracteres en total?
a) 36 seg.
b) 16 seg.
c) 20 seg.
d) 40 seg.
37.- Al registrar las temperaturas en las ciudades A, B y C, el día de hoy a la misma hora se observo que las
ciudades A y C registraron la misma temperatura y la cuidad B tuvo una temperatura mas baja que de la
cuidad C. En la cuidad A, se registro una temperatura menor que cero grados. ¿Cómo es la temperatura de la
cuidad B con respecto a la cuidad A?
a) TB = TA
b) TB > TA
c) TB ≈ TA
d) TB < TA
38.- Un dueño de una cantina quiere dividir un vino que tiene un recipiente de 16 litros en 2 partes iguales,
para hacerlo solo dispone del recipiente original y dos recipientes vacíos de 11 y 6 litros. ¿Cuántas
operaciones de trasvase son necesarias para llevar a cabo esta misión?
a) 14
b) 12
c) 16
d) 18
39.- Un vehículo recorre 2600 kilómetros en 14 horas, ¿Cuánto recorre en 12 días, sí cada día esta en
movimiento 7 horas?
a) 16000 Km. b) 15600 Km. c) 18650 Km. d) 24560 Km.
40.- En un torneo de squash, ¿Cuántos partidos deben jugarse si hay 1046 jugadores?, si en cada partido el
perdedor queda fuera y el ganador avanza y termina un único campeón.
a) 543
b) 534
c) 1045
d) 1450
41.- El triple de un número menos 6 es 6, ¿cuál es el doble de ese número?
a) 6
b) 4
c) 8
d) 2
42.- Un dibujo, incluyendo el marco, tiene 36 cm. de largo y 16 cm. de ancho. Si el marco tiene 2 cm. de
ancho, ¿Cuál es el área en cm2 del dibujo?
a) 448
b) 484
c) 384
d) 348
43.- Seis peras pesan tres cuartos de kilogramos, ¿Cuál es el peso en gramos de una pera?
a) 125
b) 250
c) 120
d) 80
44.- El producto de 214 y 217 es
b) 4228
c) 44111
a) 2111
d) 2128
3
45.- Para preparar 8 porciones de gelatina se necesita 1 de taza de azúcar. Si se desean preparar 24
4
porciones ¿Cuántas tazas de azúcar se necesitan?
3
1
1
3
b) 5
c) 6
d) 6
a) 3
4
4
2
4
46.- ¿Cuál es el valor de k en la secuencia 4, 16, 64, 256, k?
a) 512
b) 1204
c) 1024
d) 1124
47.- ¿Cuál es área de la región sombreada de la figura siguiente?
a) 4ab
b) 2ab
c)
ab
2
d) (ab)2
48.- Determine la medida del menor ángulo formado por las manecillas de un reloj que marca las 3:30
exactamente
a) 90°
b) 270°
c) 180°
d) 45°
49.- ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo si su largo mide 5 cm. y su ancho mide 12 cm?
a) 169 cm.
b) 13 cm.
c) 144 cm.
d) 14 cm.
50.- Determine el número que sigue en la serie siguiente: 1, 2, 5, 8, 13, ?
a) 18
b) 16
c) 15
d) 25
51.- Determine el número que continua en la serie siguiente 4, 7, 12, 19, 28, ?
a) 41
b) 33
c) 39
d) 34
52.- Determine el número que falta 18(11), 36(22), 72(51), 144(116), 288(?)
a) 256
b) 254
c) 220
d) 253
53.- ¿Qué número falta en la serie siguiente?
a) 4
b) 6
c) 2
d) 8
54.- Carlos estuvo inconsciente durante 420 segundos, ¿Cuántos minutos permaneció inconsciente?
a) 7 min.
b) 12 min.
c) 42 min.
d) 14 min.
55.- Una persona diariamente usa shampoo, Cada que se le acaba acude a la tienda y compra la presentación
que le de más por su dinero. De las cuatro presentaciones siguientes ¿Cuál escogería?
a) 360 ml. por $9
b) 600 ml. por $14.40
c) 800 ml. por $18.40
d) 400 ml. por $8.40
56.- Un cajero trabaja a un ritmo de tres minutos por cliente y otro cajero trabaja a un ritmo de dos clientes
por minuto. ¿A cuantos clientes atienden los dos cajeros en una hora?
a) 60
b) 140
c) 65
d) 17
57.- El número que completa la serie
a) 134
b) 143
c) 101
es
d) 115
58.- El número que falta en la serie
a) 12
b) 54
c) 24
es
d) 32
59.- Determine el número que falta de la serie:
a) 28
b) 18
c) 8
es
d) 24
1
de kilo de frijoles cuestan $3.40 entonces 3 kilos de frijoles costaran
4
a) $40.8
b) $2.55
c) $20.55
d) $45.55
60.- Si
61.- José disponía de $3000.00 compro un sombrero con
¿Cuánto le sobro?
a) $1000.00 b) $2000.00
c) $500.00
1
1
de su dinero y una camisa con de o que quedo,
3
2
d) $1500.00
62.- Juan pidió 35 refrescos a una tienda. Los de naranja se los vendieron a 80 centavos y los de cola a 95
centavos. Si pago en total $30.25, ¿Cuántos refrescos de naranja pidió?
a) 20
b) 15
c) 8
d) 12
5 2
m equivale en decímetros cuadrados a:
4
b) 120 dm2 c) 80 dm2
d) 45 dm2
63.- Un terreno que mide
a) 125 dm2
64.- En la proporción,
a) 10
b) 2
72 8
¿Cuál es el valor de m?
=
18 m
c) 18
d) 72
65.- Calcula el valor de a en la siguiente proporción
a) 2
66.- Si 6 =
a) –12
b) 4
c) –2
h
, el valor de h es:
−2
b) 12
c) 3
a 26
=
7 91
d) –4
d) –3
67.- Si un terreno tiene un área de 120 m2 y otro tiene 360 m2, la razón del primero con respecto al segundo
es:
a) 1 a 3
b) 1 a 4
c) 1 a 2
d) 1 a 5
68.- En una escuela la proporción de hombres y mujeres es de 3 a 2. Si hay 354 hombres. ¿Cuántos alumnos
hay en total?
a) 236
b) 263
c) 590
d) 640
69.- ¿Cuál es el valor del ángulo x, formado por la recta L, perpendicular a la recta inclinada AB que forma
30° con la horizontal, tal como se muestra en la figura?
a) 50°
b) 40°
c) 60°
d) 30°
70.- ¿Cuál es el valor del ángulo x, formado por la recta L, perpendicular a la recta inclinada AB que forma
60° con la horizontal, tal como se muestra en la figura?
a) 45°
b) 20°
c) 30°
d) 10°
71.- ¿Cuál es el valor del ángulo x, formado por la recta L, perpendicular a la recta inclinada AB que forma
40° con la horizontal, tal como se muestra en la figura?
a) 60°
b) 45°
c) 40°
d) 50°
72.- ¿Cuánto mide el lado x?
a) 5 m
b) 3 m
c) 4 m
d) 12 m
73.- ¿Cuál es el valor de x?
a) 5 m
b) 9 m
c) 7 m
d) 4 m
74.- ¿Cuál es el valor de x?
a) 1.5 m
b) 2.5 m
c) 3 m
d) 3.5 m
75.- ¿Cuál es el valor de x?
a) 7.5 m
b) 8.5 m
c) 9 m
d) 9.5 m
76.- Se quiere construir una caja sin tapa, cual de las figuras sirve para hacer esta caja si no se permite
recortar y el cuadrado del sombreado debe ser la base:
a)
b)
c)
d)
77.- Relaciona las siguientes figuras:
a)
b)
Es a
c)
como
es a:
d)
78.- Un tanque de agua tarda en llenarse 120 minutos con tres surtidores ¿Cuántos surtidores se deben
emplear si debe llenarse en 40 minutos?
a) 1
b) 9
c) 6
d) 4
79.-Juan camina 36 Km. en 6 horas y su primo Miguel camina 25 kilómetros en 5 horas. Si parten juntos, al
mismo tiempo y en la misma dirección, después de que ambos caminan 12 horas,¿a qué distancia se
encuentra Juan de Miguel?
a) 12 km.
b) 6 km.
c) 4 km.
d) 8 km.
80.-Una persona gasta la mitad de su salario pagando la renta de su casa y un tercio lo gasta en el
mantenimiento de la misma. Si esta persona gana mensualmente 6,000.00 ¿Cuánto le queda después de hacer
estos gastos?
a) 1,000.00 b) 3,000.00 c) 2,000.00
d) nada
81.- ¿Cuál es la que sigue en la secuencia?
82.- Si se doblan las siguientes figuras a lo largo de la línea B ¿Qué figura no es simétrica con respecto a la
línea B?
83.- Qué parte sombreada representa la cuarta parte de la mitad de un entero?
84.- Lo números que se deben escribir dentro de las casillas vacías para completar la tabla son:
2
4
6
8
16
24
a) 7 y 36
b) 8 y 32
c) 10 y 26
d) 9 y 34
85.- ¿Cuántas unidades cúbicas contiene la siguiente figura?
a) 18
b) 20
c) 52
d) 84
86.- Si el minutero de un reloj recorre en una hora 360°, entonces entre las dos y las cinco recorre un ángulo
de:
a) 90°
b) 120°
c) 45°
d)20°
87.- Las tres quintas partes de 90° corresponde a un ángulo que mide:
a) 52
b) 34
c) 44
d) 54
Respuestas a razonamiento numerico
1.- c
2.- d
3.- c
4.- c
5.- b
6.- a
7.- a
8.- a
9.- b
10.- c
11.- a
12.- b
13.- c
14.- b
15.- a
16.- c
17.- a
18.- a
19.- d
20.- d
21.- b
22.- d
23.- a
24.- b
25.- b
26.- b
27.- a
28.- b
29.- b
30.- c
31.- a
32.- b
33.- a
34.- d
35.- c
36.- a
37.- d
38.- a
39.- b
40.- c
41.- c
42.- c
43.- a
44.- a
45.- b
46.- c
47.- b
48.- a
49.- b
50.- a
51.- c
52.- d
53.- b
54.- a
55.- d
56.- b
57.- b
58.- b
59.- a
60.- a
61.- a
62.- a
63.- a
64.- b
65.- a
66.- a
67.- a
68.- c
69.- c
70.- c
71.- d
72.- a
73.- b
74.- a
75.- c
76.- b
77.- a
78.- b
79.- a
80.- a
81.- b
82.- b
83.- d
84.- b
85.- d
86.- a
87.- d