1.Tema 1.v28.Analisis primal Microeconomia Avanzada

MICROECONOMÍA AVANZADA
Resúmenes de lecciones
Nota importante: Estos resúmenes no sustituyen en ningún caso el libro de texto
María José Lorenzo Segovia
1
PARTE I:
TEORÍA DEL COMPORTAMIENTO DEL
CONSUMIDOR Y DE LA DEMANDA
María José Lorenzo Segovia
Tema 1 . Teoría de la demanda:
Análisis primal
María José Lorenzo Segovia
Índice
1.1. Ordenación de las preferencias
1.2. La función de utilidad
1.3. El conjunto presupuestario
1.4 Equilibrio del consumidor: el problema primal
1.5 Estática comparativa de la conducta del consumidor
 Efecto sustitución de Hicks: utilidad constante
 Efecto sustitución: Slutsky (poder de compra constante)
María José Lorenzo Segovia
1.1. Ordenación de las preferencias
1. Hipótesis relativas a la relación de preferencias
2. Las curvas de indiferencia
3. La función de utilidad
4. La Relación marginal de sustitución
5. El equilibrio del consumidor: problema primal
María José Lorenzo Segovia
5
La relación (débil) de preferencias entre cestas
• La relación de preferencia
débil básica:
X
“ La cesta X es al menos
tan preferida como la
cesta X´… ”
X´


• Podemos derivar de la anterior
la relación de indiferencia
X
 X´
• Y la relación de preferencia estricta
X
X´
“ X

 X´
“ X

 X´
María José Lorenzo Segovia
y X´
X …”


y no X´
X …”


Hipótesis relativas a la relación de preferencias
María José Lorenzo Segovia
7
H ( x0 ) = {x / x0 
 x}
0
B( x 0 ) = { x / x 
x
 }
• Siendo:
=
I ( x 0 ) H=
( x 0 )  B( x 0 )
0
x
x
/
{  x}
H ( x 0 )  B( x 0 ) =  +n
María José Lorenzo Segovia
8
Representamos los conjuntos B(x0) y H(x0):
x2
Estrictamente
preferidas por
monotonicidad
I(x0)
B(x0)
x0
x20
Aumento de la satisfacción
H(x0)
I(x0)
x10
x1
Continuidad: H(x0) y B(x0) son conjuntos cerrados
María José Lorenzo Segovia
9
Hipótesis que dan forma a las curvas de
indiferencia
4. Monotonicidad o no saturación: x0>x´→x0
preferido a x1 → I(x0) pendiente negativa.
5. Convexidad estricta: B(x0) estrictamente convexo →
elimina tramos lineales de I(x0).
6. Diferenciabilidad: Inclinación de I(x0) única en cada
punto → elimina puntos angulares.
María José Lorenzo Segovia
10
Curvas de indiferencia:
De las hipótesis 1 a 4 se puede crear un mapa de curvas de indiferencia
con las siguientes propiedades:
•
•
•
•
•
Por todo punto pasa una curva de indiferencia (completas)
La curva de indiferencia es continua (continuidad)
La curva de indiferencia no es creciente (monotonía)
Las curvas de indiferencia no se cortan entre sí (transitividad)
Mientras más alejadas del origen, mayor satisfacción (no
saciedad)
María José Lorenzo Segovia
11
Convexidad débil
Convexidad estricta
y
y
x
x
z
z
ty+(1-t)z preferidas débilmente a x
Admite tramos lineales en las C.I
ty+(1-t)z estrictamente preferidas a x
No admite tramos lineales en las C.I
María José Lorenzo Segovia
La convexidad estricta elimina tramos rectos:
x2
No estrictamente convexos,
pero sí convexos
x1
María José Lorenzo Segovia
13
Las hipótesis 1 a 3 son cruciales …
Completitud
La función
de utilidad
Transitividad
Continuidad
María José Lorenzo Segovia
La función de utilidad representa el
orden de preferencias:
X X´
U(x) ≥U(x´)
Construcción de la función de utilidad……
María José Lorenzo Segovia
La función de utilidad…..
U(x)
…….
María José Lorenzo Segovia




María José Lorenzo Segovia
17
1.2. La función de utilidad:
Las hipótesis 1 a 6 garantizan que
• U(x) es continua y dos veces diferenciable (al ser el orden
de preferencias continuo)
• Monótonamente creciente (por monotonicidad o no
saciedad)
• Estrictamente cuasi cóncava (por convexidad estricta)
• Representan órdenes de preferencias: la escala no importa.
Cualquier transformación monótona representa el mismo
orden.
María José Lorenzo Segovia
18
Irrelevancia de la cardinalización
• Dada cualquier función de utilidad U(x1,x2….xn) ORDINAL las siguientes
transformaciones representan las mismas preferencias:
Log U(x1….xn)
Exp[U(x1….xn)]
U ( x1 ....xn )
a + φ[U(x1…xn)]
Donde φ es cualquier función creciente y “a” un número real
María José Lorenzo Segovia
La Relación marginal de sustitución
• Una medida del grado de sustituibilidad entre bienes:
Pendiente curvas de indiferencia.
• La ordinalidad de U(x)→RMS es invariante con
transformaciones monótonas crecientes de U(x)
• Relación marginal de sustitución de x2 por x1:
∆x
dx
RMS 21 =
− 2 =
− 2
∆x1 U
dx1 U
María José Lorenzo Segovia
20
La RMS analíticamente
dU ( x) =
∂U ( x)
∂U ( x)
dx1 +
dx2 = 0
∂x1
∂x2


U1
U2
U1dx1 + U 2 dx2 = 0 ⇒ −
Siendo
Ui =
∂U
xi
dx2 U1
=
= RMS 21
dx1 U 2
La utilidad marginal del bien i
xj
María José Lorenzo Segovia
Gráficamente: la RMS
María José Lorenzo Segovia
Ejemplos de preferencias
BIENES COMPLEMENTARIOS PERFECTOS
x2
U=min. (ax1, bx2)
ax1=bx2
I1
RMS21=0
I0
Consumo conjunto
x1
María José Lorenzo Segovia
23
BIENES SUSTITUTOS PERFECTOS
x2
U=ax1+bx2
RMS21=a/b
constante
x1
María José Lorenzo Segovia
24
BIENES COMPLEMENTARIOS-SUSTITUTIVOS(*)
x2
1
A
U=min.{3x1+x2; x1+3x2}
Curva de indiferencia para p.ej. U=1
1/3
AB: 3x1+x2=1
CD: x1+3x2=1
C
3x1+x2=x1+3x2
tag.α=3
tagβ= 1/3
E
=3 en AE
α
B
1/3
β
D
1
RMS21 varía
x1
(*) Se consumen conjuntamente (complementarios)
pero dentro de un rango (sustitutos)
María José Lorenzo Segovia
=1/3 en ED
25
Otros…..
No se consumen conjuntamente
Preferencias cóncavas
U=max. (x1,x2)
U=ax1-bx2
sugerencia: siempre representar
María José Lorenzo Segovia
26
El conjunto presupuestario
Dados los precios de los bienes (p1, p2,….pn) y la renta monetaria disponible
para el gasto M:
Propiedades:
1. Acotado: Para pi , xi>0
2. Cerrado : Incluye las fronteras (recta de balance y eje de
ordenadas)
3. Convexo
4. No vacío, si M>0 y pi finito
María José Lorenzo Segovia
Con dos bienes:
M p1
x1 p1 + x2 p2 = M ⇒ x2 =
−
x1
p2 p2
x2
M/p2
dx2
dx1
M
p1
= −
p2
M/p1
Pendiente de la
restricción
presupuestaria: tasa
de intercambio de x2
por x1 en el mercado
x1
María José Lorenzo Segovia
1.4 Equilibrio del consumidor: el
problema primal

El consumidor maximiza la utilidad
U satisface las hipótesis (1) a (6)
Sujeto a la restricción de factibilidad
El conjunto de consumo posible
es el ortante no negativo.
U(x)

x ∈R+n

y a la restricción presupuestaria
n
Σ pixi
i=1
≤M
La renta (M>0) y los precios
(p>0) son exógenos
María José Lorenzo Segovia
El problema primal: solución
gráfica
x2
 El consumidor maximiza su
utilidad...
 Sujeto al conj. presupuestario
Contornos de la
función objetivo
 Define el problema primal
 Solución al problema primal
Conjunto
presupuestario
Max U(x) sujeto a

n
Σ pixi ≤ M
x*
i=1
x1
María José Lorenzo Segovia
El problema primal: solución
analítica

Multiplicador
Lagrange
Maximiza
n
U(x) + µ M– Σ pi xi
[
 maximizamos la función
objetivo s. a la restricción
presupuestaria
]
...construimos el Lagrangiano
i=1

Si tenemos una solución interior x* ∈
n
R++
Un sistema de n+1 condiciones de
primer orden de tangencia:

U1(x∗ )
U2(x∗ )
… …
Un(x∗ )
Restricción
presup.
n
= µ∗ p1
= µ∗ p2
…
= µ∗ pn



una ecuación
para cada bien i.
Si solución
esquina x*i=0
sustituir “=“ por
“≤”
M = Σ pi x∗iMaría José Lorenzo Segovia
i=1
 Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e
igualamos a 0
 ... y c.r.a µ
 * denota valores
maximizadores de utilidad
Condiciones de primer orden CPO

Si ambos bienes i y j son positivos (solución interior)
Ui(x∗)
pi
———
= —
∗
Uj(x )
pj

RMSji = precios relativos
Si consumo de bien j fuera cero (solución esquina)
entonces...

Ui(x∗)
pi
———
> —
∗
Uj(x )
pj
RMS ≥ precios relativos→solución interior o esquina
María José Lorenzo Segovia
Solución interior
RMS= p1/p2
x*1>0
x*2 >0
x*2
0
x*1
María José Lorenzo Segovia
Solución esquina (I)
0
María José Lorenzo Segovia
Solución esquina (II)
0
María José Lorenzo Segovia
La solución: funciones de
demanda marshalliana
Resolviendo las CPO del primal, se obtiene un valor de consumo
de cada bien maximizador de utilidad...

xi* = Di (p, M)
que se conoce como la función de demanda ordinaria o
marshalliana del bien i.
• Siendo
María José Lorenzo Segovia
Ejemplos equilibrio del consumidor:
funciones de demanda ordinaria o
marshallianas
(Ver ejercicios 2D y 3A de GR)
María José Lorenzo Segovia
1. Función utilidad Cobb Douglas
(preferencias regulares):
 Max.U ( x) = x1α x2β

M
 s.a : x1 p1 + x2 p2 =
Lagrangiano
L( x, µ ) = x1α x2β − µ [ x1 p1 + x2 p2 − M ]
c. p.o :
∂L( x, µ )

p1 0 
= α x1α −1 x2β − µ =
∂x1


∂L( x, µ )
0
= β x1α x2β −1 − µ p=
2

∂x2
∂L( x, µ )
= x1 p1 + x2 p2 − M = 0
∂µ
María José Lorenzo Segovia
Dividiendo la primera por la segunda condición y sustituyendo el
x2 resultante en la tercera:
α x1α −1 x2β α x1α x2β x2 α x2 p1
β x1 p1
=
=
=
⇒ x2 =
α β −1
α β
β x1 x2
β x1 x1 x2 β x1 p2
α p2
 β x1 p1 
x1 p1 + p2 
M
=
 α p2 
αM
 β x1 p1 
x1 p1 + 
 = M ⇒ x1 =
(α + β ) p1
 α 
β p1
β p1  α M 
=
=
x2
x1
x2

 ⇒=
α p2
α p2  (α + β ) p1 
María José Lorenzo Segovia
F. Demanda
Marshallianas
βM
(α + β ) p2
2. Sustitutos perfectos: U= ax1+bx2
• Siempre está dispuesto a ceder a de x2 a cambio de b de x1 manteniendo
su utilidad constante
x2
RMS21=-dx2/dx1= a/b
constante
M/p2
I1
Equilibrio interior o esquina
F. Demanda
Marshallianas
X1=
0
si p1/p2>a/b
M/p1 si p1/p2<a/b
M/p1 ≥X1≥0 si p1/p2=a/b
I0
M/p1
X2=
x1
0
si p1/p2<a/b
M/p2 si p1/p2>a/b
M/p2 ≥X2≥0 si p1/p2=a/b
3.Complementarios perfectos: U=min{ax1,bx2}
• Se consumen conjuntamente solo en proporción ax1=bx2→x1=bx2/a
x2
ax1=bx2
M/p2
I1
a
I0
b
María José Lorenzo Segovia
x1
M/p1
• Equilibrio:

 Max.U = min .{ax1 , bx2 }

M

 s.a : x1 p1 + x2 p2 =
b
ax1 = bx2 ⇒ x1 =
x2
a
sustituyendo en la restricción :
aM
bM
b 
; x1 =
 x2  p1 + x2 p2 = M ⇒ x2 =
bp1 + ap2
bp1 + ap2
a 
F. Demanda
Marshallianas
María José Lorenzo Segovia
4. Complementarios/sustitutivos : U=min{ x2+3x1; x1+3x2 }
• Curvas de indiferencia:
x2+3x1= x1+3x2→x1=x2
x2
1
A
C.I para para U=1:
X1=0→X2=1
•X2+3X1=1
X2=0→X1=1/3
(I)
1/3
tag.α= 3=RMS(I)
tag.β =1/3=RMS(II)
(II)
•X1+3X2=1
B
β
α
1/3
María José Lorenzo Segovia
x1
1
X1=0→X2=1/3
X2=0→X1=1
•El equilibrio: Puede ser interior o esquina. Comparamos RMS con p1/p2
1) Soluciones esquina:
x2
M/p2
A
> tagα →x1=0; x2=M/p2 →
x1
x2
p1/p2
<tagβ →x2=0; x1=M/p1 →
B
M/p1
x1
Soluciones esquina
María José Lorenzo Segovia
x2
2) tag. α ≥ p1/p2 ≥ tag. β
x1=x2
M/p2
C
x1 + 3x2 = x2 + 3x1 ⇒ x1 = x2
Sustituyendo en la restricción presupuestaria:
M
x=1 x=
2
p1 + p2
M/p1
Solución interior
María José Lorenzo Segovia
x1
5. Preferencias cuasilineales U ( x1 , x2 ) = Ln x1 + x2
El equilbrio puede ser interior (consume ambos bienes) o esquina (sólo
consume un bien).
• Solución interior: La maximización de (1) con respecto a xi sujeto a la restricción
presupuestaria nos da el sistema:
=
M p1 x1 + p2 x2
1 / x1 = µp1
x1 ( p1 , p2 , M ) =
1 = µp2
=
M p1 x1 + p2 x2
• Solución esquina: Si M/p2≤1→M≤p2
x2 ( p1 , p2 , M=
)
M
−1
p2
x2>0→M/p2>1
M
x1 ( p1 , p2 , M ) =
p1
x2 = 0
p2
p1
María José Lorenzo Segovia
M
M
− 1 si
− 1 ⟩ 0 ⇒ M ⟩ p2

p2
x2 ( p, M ) =  p2
0
si M ≤ p2 esquina

 p2
si M ⟩ p2 interior
p
1

x1 ( p, M ) =
m
 p si M ≤ p2 esquina
 1
María José Lorenzo Segovia
interior
Preferencias cuasilineales: gráfico
RMS(A)=RMS(B)=RMS(C)
x2
C
I2
B
I1
A
I0
X1*
x1
María José Lorenzo Segovia
x2
Preferencias cóncavas
Ejem: U(x1 ,x2)= x12 + x22
U(x1 ,x2)= max.U(x1 ,x2)
• Siempre solución esquina
∂ 2 x2
Cóncavas:
⟨0
2
∂x1
x1
X1*
María José Lorenzo Segovia
Sea un consumidor cuyas preferencias se representan por la función de utilidad
U(x1,x2)=x1+2x22. Siendo M la renta monetaria de este consumidor y pi (i=1,2) los precios de los
bienes las funciones de demanda marshalliana serán:
a) X1=0 ; X2=M/p2 si M<p22/2p1
b) X1=M/p1 ; X2=0
si M<p22/2p1
c) X1=M/p1 ; X2=0
si M>p2/2p1
d) Ninguna de las anteriores
Solución: Curvas de indiferencia cóncavas: siempre solución esquina. Debemos ver
donde max.U
M
M
A
A : x2 = 0; x1 = ⇒ U =
p1
p1
M 
M
B
B : x1 = 0; x2 = ⇒ U = 2  
p2
 p2 
2
B
2
p22
M M 
A  B ⇒ U ⟩U ⇒ ⟩ 2   ⇒ M ⟨
p1  p2 
2 p1
A
B
Si (p22/2p1)=M el equilibrio no está definido: puede ser A ó B
María José Lorenzo Segovia
A
M
p22
si M ⟨
p
2 p1
 1
x1 = 
2
p
0 si M ⟩ 2

2 p1

M
p22
si M ⟩
p
2 p1
 2
x2 = 
2
p
0 si M ⟨ 2

2 p1

x1
x2
p22 
2 p1 

2 
p2 
M
0=
ó
si M
2 p1 
p2

M
0=
ó
si M
p1
B
A
María José Lorenzo Segovia
4.- Sea la funcion de utilidad que representa las preferencias
U=max.(3x1,x2) . Si la renta monetaria de este consumidor es de
M=120, siendo los precios de los bienes p1=2, p2=1, las cantidades
demandadas en equilibrio serán:
a) X1=24 ; X2=72
b) X1=0 ; X2=120
c) X1=60 ; X2=0
d) Ninguna de las anteriores
María José Lorenzo Segovia
Gráficamente
Preferencias cóncavas :Solución esquina
x2
E1
E0
E2
β
∝
x1
María José Lorenzo Segovia
Solución: siempre solución esquina
Vemos la utilidad alcanzada en cada equilibrio
2 x1 + x2 =
120 
0
0
 ⇒ E : x1 =24; x2 =72 ⇒ U =72
x2 = 3 x1

M
E1 : x1 = 0; x2 =
= 120 ⇒ U 1 = 120
p2
Solución interior: no max. utilidad
M
E 2 : x1 = =
60; x2 =
0 ⇒U2 =
180
p1
Los resultados pueden generalizarse:
M
M 
⇒ U1 =
p2
p2 

M
3M 
2
2
E : x1 = ; x2 =
0 ⇒U =
p1
p1 
p
M 3M
⇒ 1 ⟩ 3 ⇒ sólo consume x 2
U 1 ⟩U 2 ⇒ ⟩
p2 p1
p2
E1 : x1 = 0; x2 =
U 1 ⟨U 2 ⇒
p
M 3M
⟨
⇒ 1 ⟨3 ⇒ sólo consume x1
p2 p1
p2
Se trata de bienes que nunca se consumen juntos (no son complementarios)
1.5 Estática comparativa de
la conducta del consumidor
María José Lorenzo Segovia
Cambios en las variables exógenas (pi ,M)
sobre cantidades demandadas óptimas (x*)
• 1) Cambios en renta M con p constantes : x1=f(M)
bienes normales o inferiores
x2
M 0/p2
Aumentos de renta
Reducciones de renta
M 0/p1
María José Lorenzo Segovia
x1
• X1 normal : dxi/dM >0
x2
Curva renta consumo (CRC)
I1
I0
x1
0
María José Lorenzo Segovia

X1 inferior: dxi/dM <0
Inferior a partir del consumo X10
x2
Curva renta consumo (CRC)
I1
I0
0
x11 x10
María José Lorenzo Segovia
x1
x2
M /p2
Disminuye p1
Aumenta p1
0
M/p1
María José Lorenzo Segovia
x1
Variaciones en el propio precio p1: dos
efectos sobre x1
• Varía la renta real M/p1 : Efecto renta
• Varían los precios relativos p1/p2: Efecto sustitución
María José Lorenzo Segovia
Signos…
Siempre
negativo o nulo
• Efecto sustitución propio:
• Efecto renta:
dx1
⟩0 ⇒
dM
X1 normal
dx1
⟨0 ⇒
dM
X1 inferior
dx1
= 0⇒
dM
X1 independiente de M
María José Lorenzo Segovia
dx1
dp1
≤0
U
Dos definiciones del efecto sustitución
Hicks: Variación de las cantidades demandadas
manteniendo el nivel de utilidad alcanzado antes del cambio
Slusky : Variación de las cantidades demandadas
manteniendo el poder de compra alcanzado antes del cambio
María José Lorenzo Segovia
Efecto sustitución de Hicks: utilidad constante
M/p2
ES=xsH-x0
ER=x1-xsH
ET=ES+ER
ET=x1-x0
M´/p2
x0
x1
xsH
U1
U0
María José Lorenzo Segovia
x10
x1sH
x11
M´/p11
M/p11
Efecto sustitución: Slutsky (poder de compra
constante)
ES=xss-x0
M/p2
ER=x1-xss
ET=ES+ER
ET=x1-x0
M´/p2
x0
=
M ´ x10 p11 + x20 p20
x1
∆M = x10 ∆p1
xss
U1
Us
U0
x1
0
M/p1
0
x1ss
x11
M´/p11
M/p11
Curvas de demanda
• Demanda ordinaria o marshalliana:
• Mide el efecto TOTAL (ES+ER)
• Renta monetaria constante.
• Demanda compensada o Hicksiana :
• Mide sólo el efecto sustitución de Hicks
• Utilidad constante.
• Demanda de poder adquisitivo constante:
• Mide sólo el efecto sustitucion de Slutsky
• Poder de compra constante
María José Lorenzo Segovia
Curvas de demanda
g
U(x) estrictamente
convexa
h
Efecto sustitución
Hicks
D
Efecto
sustitución
Slutsky
p1 0
p11
Efecto
total
h
g
D
x1sH x1ss x11
Sólo la demanda marshalliana es observable
María José Lorenzo Segovia
3) Cambios en precios: varia p2→efectos sobre x1
Diferenciamos entre el efecto total de la variación medido sobre la c.d.
Marshalliana y el efecto sustitución, medido sobre la c.d. Hicksiana
(efecto neto)
a) Signo del efecto sustitución de Hicks: relación neta
(medido sobre la curva de demanda compensada o hicksiana)
∂x1
⟨0
∂p2 U
Complementarios hicksianos o netos
∂x1
⟩0
∂p2 U
Sustitutos hicksianos o netos
∂x1
=0
∂p2 U
Independientes hicksianos o netos
María José Lorenzo Segovia
Cambios en precios: varia p2→efectos sobre x1
b) Signo del efecto total :relación bruta
(medido sobre la curva de demanda marshalliana)
∂x1
⟨0
∂p2
Complementarios marshallianos o brutos
∂x1
⟩0
∂p2
Sustitutos marshallianos o brutos
∂x1
=0
∂p2
Independientes marshallianos o brutos
María José Lorenzo Segovia
Casos especiales:
1. Bienes complementarios perfectos: ES =0, solo hay ER, siendo ER=ET
ES=xs-x0=0
ER=x1-xs
x1
U1
x0=xs
U0
M/p01 M1/p11 M/p11
María José Lorenzo Segovia
ET=x1-x0
ER=ET
2. Bienes sustitutos perfectos con RMS>p1/p2: ES =0, solo hay ER, siendo ER=ET
Disminuye p1
U1
U0
x0
ES=xs-x0=0
ER=x1-xs
ET=x1-x0
x0=xs
x1
María José Lorenzo Segovia
ER=ET
3. Preferencias cuasilineales: ER =0, solo hay ES, siendo ES=ET
La curva de demanda ordinaria o
marshalliana coincide con la curva de
demanda compensada
x0
x1
U1
xs
x10= x1s
U0
M/p10
María José Lorenzo Segovia
M/p11