ELC-30524 Sistemas de Potencia II Capítulo 2 Criterio de Áreas Iguales Prof. Francisco M. González-Longatt [email protected] http://www.giaelec.org/fglongatt/SP2.htm SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Sistemas de Potencia II Análisis de Estabilidad Introducción a los Métodos de Análisis SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Métodos para el Análisis de Estabilidad • El análisis de emprendido por: estabilidad transitoria puede – Métodos Clásicos. – Métodos Directos. – Métodos Híbridos • El primer método directo, fue el Criterio de Áreas Iguales, (Equal Area Criteria) para una maquina conectada a una barra de potencia infinita (OMIB One Machine Infinite Bus). SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Métodos Directos • Métodos directos más refinados, Liapunov, se asocia con el principio de invarianza de LaSelle, el cual es empleado para estimar la región de estabilidad del sistema de potencia (función de Liapunov). Fault-on Trajectory x f (t) A(x s ) xs xo ΩL SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Instant at which x f (t) leaves the attraction area estimate E { A( x S ) := x o ∈ ℜ n : lim Φ (t , x o ) → x s t →∞ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 } Métodos Directos • En 1966, El Abiad y Nagapan, calcularon todos los Puntos de Equilibrio Inestables (UEP Unestable Equilibrium Point) alrededor de los Puntos de Equilibrio Estable (SEP Stable Equilibrium Point) bajo investigación. • En 1979 se implementa el Control de los Puntos de Equilibrio Inestable (Control UEP) por el uso del criterio de aceleración SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Métodos Directos • En 1978, Kakimoto presenta el Método PEBS Potencial Energy Boundary Surface o Método de superficies de contorno de energía potencial, posee la ventaja que una estimación de CCT es obtenido sin el calculo de los puntos inestables de equilibrio pero como desventaja en algunos casos provee estimaciones no conservativas. PEBS PEBS potential energy level curve fault-on trajectory exit point (δ* ) level curve VCR = V(δ* ) controlling UEP found by the BCU method post-fault trajectory situation 2 (unstable) post-fault stable equilibrium point SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad post-fault trajectory situation 1 (stable) clearing time VTotal = VCR Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Métodos Directos • En 1994, (BPU: Boundary Control UEP) Control de Borde de Puntos de Equilibrio Inestables (Chiang), el cual esta basado en el concepto de controlar los UEP. PEBS PEBS potential energy level curve fault-on trajectory exit point (δ* ) level curve VCR = V(δ* ) controlling UEP found by the BCU method post-fault trajectory situation 2 (unstable) post-fault stable equilibrium point SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad post-fault trajectory situation 1 (stable) clearing time VTotal = VCR Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Sistemas de Potencia II Análisis de Estabilidad Criterio de Áreas Iguales SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales Generalidades: • Los estudios de estabilidad involucran el tratamiento con la ecuación de oscilación de la máquina, la cual en si forma más simple es una ecuación no lineal H b d δ (t ) = P acel 2 πf dt 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales Generalidades: H b d 2δ (t ) = Pacel 2 πf dt • La soluciones formales, no se pueden encontrar explícitamente; bajo las mayores simplificaciones apunta hacia integrales elípticas. • El problema de estabilidad generalizado ha sido enfocado a los métodos clásicos, que se basan en la resolución por métodos numéricos. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales Generalidades: • En el caso más simple, una máquina contra una barra de potencia infinita (One Machine Infinite Bus), o dos máquinas, el estudio de estabilidad puede ser efectuado con métodos que no requieren resolver la ecuación de oscilación, siendo los denominados métodos directos. • El más simple de los métodos directos es el denominado criterio de áreas iguales. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Para deducir el criterio de áreas iguales se hace para una máquina y una barra de potencia infinita, aunque las consideraciones efectuadas, pueden ser elevadas para el caso de un sistema general de dos máquinas jX LT jX 'd jX T 1 jX LT ∞ jX t 2 X G∞ = X 'd + X T 1 + X T 2 + X LT 1 // X LT 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales jX LT jX 'd jX T 1 jX LT ∞ jX t 2 X LT 1 X "d + XT 2 X T1 + + Ei V∞ X LT 2 X G∞ = X 'd + X T 1 + X T 2 + X LT 1 // X LT 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de potencia infinita, cumpliendo con la ecuación de oscilación 2 H d δ (t ) = Pacel = P mec − Pelec 2 ωs dt 2 ( ) • Siendo la velocidad angular relativa del rotor a la velocidad sincrónica, dada por: ωrel SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad dδ (t ) = = ω (t ) − ωs dt Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • La potencia eléctrica (Pelec) entregada por la máquina es: ' Pelec = Ei V∞ X G∞ senδ (t ) X LT 1 X "d + XT 2 X T1 + + Ei X LT 2 V∞ X G∞ = X 'd + X T 1 + X T 2 + X LT 1 // X LT 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • La potencia eléctrica (Pelec) entregada por la máquina es: Pelec = ' Ei V∞ X G∞ senδ (t ) • Considerando lo anterior la ecuación de oscilación de la máquina conectada a la barra de potencia infinita es: 2H d ωs 2 ( ) δ t d δ (t ) =M =P 2 dt SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 2 dt 2 acel = Pmec − Pelec Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Antes de que exista la perturbación en la máquina, ésta se encuentra operando en estado estable. • La potencia mecánica (Pmec) inyectada al generador es igual a la potencia eléctrica de salida (Pelec), por lo que la potencia total acelerante es cero (Pacel). • Siempre que se desprecie, las pérdidas por rozamiento mecánica, por fricción del aire, por corriente de Facoult, etc. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Siempre que se desprecie, las pérdidas por rozamiento mecánica, por fricción del aire, por corriente de Facoult, etc. Pacel = Pmec − Pelec Pacel = 0 Pmec = Pelec SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • En estas condiciones estables de operación, la velocidad real del rotor ω(t), es igual a la velocidad sincrónica ωs, de modo que la velocidad relativa del rotor es cero. • Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de potencia infinita, cumpliendo con la ecuación de oscilación: 2 H d 2δ (t ) = P = P − P acel mec elec 2 ω s dt ( SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad ) Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Siendo la velocidad angular relativa del rotor a la velocidad sincrónica, dada por: ωrel dδ (t ) = = ω (t ) − ω s dt • La potencia eléctrica (Pelec) entregada por la máquina puede ser obtenida de la relación potencia ángulo: Pelec = SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad ' Ei V∞ X G∞ senδ (t ) Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Considerando lo anterior la ecuación de oscilación de la máquina conectada a la barra de potencia infinita es: 2 H d 2δ (t ) ωs dt 2 =M d 2δ (t ) dt 2 = Pacel = Pmec − Pelec d δ (t ) ( ) M = P = P − sen δ t acel mec dt 2 X G∞ 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Ei' V∞ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales P Pmax = Ei V∞ Pelec = X G∞ Ei V∞ X G∞ senδ (t ) 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 π 2 π δ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Supóngase que ésta posición de equilibrio entre las potencias mecánica y eléctrica (despreciando las pérdidas) ocurre para un cierto ángulo de potencia inicial δ0. P Pmax = Ei V∞ Pelec = X G∞ X G∞ senδ (t ) 0 Pmec = Pmec 0 Pmec 0 Ei V∞ δ0 π δ max π δ 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales P Pmax = Ei V∞ Pelec = X G∞ mec elec X G∞ senδ (t ) 0 Pmec = Pmec 0 Pmec Punto Puntoestable establede de operación operación PPmec ==PPelec Ei V∞ Punto Puntoestable establede de operación operación PPmec ==PPelec mec 0 δ0 π δ max π elec δ 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Multiplíquese en ambos miembros de la ecuación de oscilación de la máquina por la primera derivada del ángulo de potencia respecto al tiempo, resulta: dδ (t ) d δ (t ) dδ (t ) M = (Pmec − Pelec ) 2 dt dt dt 2 • Ahora, se conoce por teoría de calculo diferencial: ( ) d [ f (t )] df (t ) = 2 f (t ) dt dt SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 2 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Ahora, se conoce por teoría de calculo diferencial: ( ) d [ f (t )] df (t ) = 2 f (t ) dt dt 2 • Si se considera: dδ (t ) f (t ) = dt 2 ⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ ⎞ ⎟ d⎜ ⎢ ⎜ ⎣ dt ⎥⎦ ⎟ 2 ⎝ ⎠ = 2 dδ (t ) d δ (t ) dt dt dt 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales ⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞ ⎟ d⎜ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ 2 dt ⎦ ⎣ 1 ⎝ ⎠ = dδ (t ) d δ (t ) 2 2 dt dt dt • El primer térmico de la ecuación anterior, puede ser reescrito, de una manera más simple como: ⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞ ⎟ d⎜ ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ 2 dt ⎣ ⎦ dδ (t ) d δ (t ) M ⎝ dδ (t ) ⎠ = (Pmec − Pelec ) M = 2 dt dt 2 dt dt SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Multiplicando en ambos miembros de la ecuación por diferencial de tiempo se tiene: ⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞ ( Pmec − Pelec ) ⎜ ⎟ d ⎢ dδ (t ) =2 ⎥ ⎜ ⎣ dt ⎦ ⎟ M ⎝ ⎠ SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales ⎛ ⎡ dδ (t ) ⎤ 2 ⎞ ( Pmec − Pelec ) ⎟ ⎜ =2 d ⎢ dδ (t ) ⎥ ⎜ ⎣ dt ⎦ ⎟ M ⎠ ⎝ • Si se integra con respecto al tiempo: δ 1 (P ⎡ dδ (t ) ⎤ mec − Pelec ) ( ) = 2 d δ t ∫ ⎢⎣ dt ⎥⎦ δ0 M 2 ⎡ dδ (t ) ⎤ = ⎢⎣ dt ⎥⎦ SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ1 ∫δ 0 ( Pmec − Pelec ) 2 dδ (t ) M Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • La integral plantada dentro del radical, se una integral definida evaluada entre el ángulo δ0, el cual corresponde al ángulo de potencia de la máquina cuando ésta funciona sincrónicamente antes que se produzca la perturbación, es decir dδ(t)/dt = 0. ⎡ dδ (t )⎤ ⎢⎣ dt ⎥⎦ = δ1 ∫δ SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0 δ1 ∫δ ( Pmec − Pelec ) 2 dδ (t ) 0 M ( Pmec − Pelec ) 2 dδ (t ) = 0 M Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • En general el ángulo de potencia δ(t) dejará de oscilar y la máquina volverá a funcionar sincrónicamente después de la perturbación cuando dδ(t)/dt = 0, o mejor escrito: ⎡ dδ (t ) ⎤ = ⎢⎣ dt ⎥⎦ 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ1 ∫δ 0 ( Pmec − Pelec ) 2 dδ (t ) M Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Criterio de Áreas Iguales • Se puede justificar que la máquina no permanecerá estática, respecto a la barra de potencia infinita, la primera vez que dδ(t)/dt se anule. • El hecho de que por un instante el ángulo de potencia deje de oscilar, puede ser interpretado como una indicación de estabilidad. • La interpretación geométrica de la derivada; el hecho de que dδ(t)/dt se anule, corresponde al punto en que la curva de oscilación de la máquina cuando el ángulo δ(t) alcanza el máximo y empieza a disminuir. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Sistemas de Potencia II Análisis de Estabilidad Criterio de Áreas Iguales - Aplicación Ilustrativa SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Considérese una máquina sincrónica operando como generador conectada a una barra de potencia infinita. ∞ 1 2 ∞ SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa ∞ 1 2 ∞ X G∞ SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Considérese una máquina sincrónica operando como generador conectada a una barra de potencia infinita ∞ X G∞ 0 Pmec E 'i ∠δ 0 0 Pelec V∞ ∠0° • Funciona en sincronismo con un ángulo de potencia inicial δ0 para la cual entrega una cierta potencia eléctrica Pelec SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Funciona en sincronismo con un ángulo de potencia inicial δ0 para la cual entrega una cierta potencia eléctrica que puede ser escrita en forma general como: ' Pmec = Pelec = G X G∞ Ei V∞ X G∞ senδ (t ) ∞ 0 Pmec E 'i ∠δ 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0 Pelec V∞ ∠0° Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Si se consideran despreciables las pérdidas de la máquina, tales como fricción mecánica y roce del aire, además de las corrientes de Facoult, la potencia mecánica (Pmec0) y la eléctrica (Pelec0) en la máquina son iguales, para un estado de operación normal. ' Pmec = Pelec = SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Ei V∞ X G∞ senδ (t ) Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa P Pmax Pelec = Pmec Punto PuntoINICIAL INICIAL de deoperación operación 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad a δ0 π /2 π δ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Supóngase que la potencia mecánica a la entrada del generador es aumenta bruscamente, pasando instantáneamente de Pmec0 a Pmec1. Pmec (t ) 1 Pmec X G∞ Pmec (t ) 0 Pmec t0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad t E 'i ∠δ 0 0 Pelec ∞ V∞ ∠0° Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Supóngase que la potencia mecánica a la entrada del generador es aumenta bruscamente, pasando instantáneamente de Pmec0 a Pmec1. 1.05 1 mec P P Potencia Mecanica [p.u] 0 mec 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0.5 t0 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 3 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Evidentemente la barra de potencia infinita no puede absorber cualquier cambio de potencia eléctrica mientras el voltaje y la frecuencia permanezcan constantes. • La diferencia que existe entre la potencia mecánica y la potencia eléctrica, se traduce en una potencia de aceleración (Pacel), que almacena en el rotor en forma de energía cinética; ocasionando un aumento de la velocidad del rotor, con lo que el ángulo de potencia aumenta desde δ0 hasta un nuevo valor. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa P Pmax Punto PuntoFINAL FINALde de operación operación 1 Pmec b Se Sedebe debepasar pasarde de un unestado estadoalalotro otro 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Punto PuntoINICIAL INICIAL de deoperación operación a δ0 δ1 π /2 π δ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa Se Sedebe debepasar pasarde de un unestado estadoalalotro otro P Pmax 1 Pmec 1.05 1 Pmec Potencia Mecanica [p.u] 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0 0.5 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 0 Pmec 3 a 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 δ1 π /2 π Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 δ CAI Aplicación Ilustrativa P Pmax Punto PuntoFINAL FINALde de operación operación 1 Pmec b 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Pelec = Pmec Punto PuntoINICIAL INICIAL de deoperación operación a δ0 δ1 π /2 π δ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa P Reaceleración Reaceleración Pmax Pelec > Pmec 1 Pmec b 0 Pmec Pelec < Pmec a Aceleración Aceleración 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 δ1 π /2 π δ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa P Pmax 1 Pmec 0 a δ0 π /2 δ1 π δ -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad b 0 Pmec Angulo de otencia [grados] • El sistema giratorio rotórico, continuará en aceleración siempre que la potencia mecánica inyectada en el eje del rotor sea mayor que la potencia eléctrica entregada en el generador, es decir desde el punto "a", hasta el punto "b"; con lo que se aumenta el ángulo de potencia desde δ0 hasta δ1. 0.5 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 3 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa 1.05 P 1 1 Pmec Potencia Mecanica [p.u] Pmax b 0 Pmec a 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0 0.5 -16 δ0 δ1 π /2 δ π δ1 δ0 Angulo de otencia [grados] 0 -18 -20 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 3 δ (t ) -22 -24 -26 -28 -30 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 1 0.5 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 3 CAI Aplicación Ilustrativa δ critic Máxima Máxima Exclusión Exclusióndel del ángulo ángulo Punto PuntoFINAL FINALde de operación operación δ1 δ0 Punto PuntoINICIAL INICIAL de deoperación operación SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 P Pmax 1.05 Potencia Mecanica [p.u] Pmec (t ) c 1 1 Pmec 0.95 0.9 0.85 0 Pmec 0.8 0.75 0.7 0 0.5 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 3 0 δ0 π /2 δ1 π δ Angulo de potencia [grados] δ1 δ critic δ0 -30 0 -28 -26 -24 -22 -20 -18 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 1.8 2 δ (t ) Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Angulo de potencia [grados] δ1 δ critic δ0 P -30 0 Pmax -28 -26 -24 -22 -20 0.2 1 Pmec 0.4 0 Pmec 0.6 0.8 0 δ0 δ1 π /2 π δ 1 1.05 1.2 Potencia Mecanica [p.u] 1 0.95 1.4 0.9 1.6 0.85 0.8 1.8 0.75 0.7 SISTEMAS DE POTENCIA II 0 0.5 Estabilidad 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 2 M. González-Longatt, [email protected] 3 Francisco Copyright © 2007 -18 CAI Aplicación Ilustrativa • Evidentemente la barra de potencia infinita no puede absorber cualquier cambio de potencia eléctrica mientras el voltaje y la frecuencia permanezcan constantes. • La diferencia que existe entre la potencia mecánica y la potencia eléctrica, se traduce en una potencia de aceleración (Pacel), que almacena en el rotor en forma de energía cinética; ocasionando un aumento de la velocidad del rotor, con lo que el ángulo de potencia aumenta desde δ0 hasta un nuevo valor. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • El sistema giratorio rotorico, continuará en aceleración siempre que la potencia mecánica inyectada en el eje del rotor sea mayor que la potencia eléctrica entregada en el generador, es decir desde el punto "a", hasta el punto "b"; con lo que se aumenta el ángulo de potencia desde δ0 hasta δ1. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa P Pmax c A2 1 Pmec A1 0 Pmec 0 b a δ0 δ1 δc π π δ 2 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa P Área Áreade de desaceleración desaceleración Pmax Pelec > Pmec A2 1 Pmec A1 Pelec < Pmec 0 Pmec Área Áreade de aceleración aceleración 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 δ1 δc π δ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa de sincronismo: ω (t ) ≥ ωs • Por lo que el ángulo de potencia continua aumentando P Pmax A2 1 Pmec A1 0 Pmec 0 δ0 δ1 δc π δ 725 724 Velocidad [rad/seg] • En el punto "b" de la grafica corresponde donde la máquina termina de acelerar pero su velocidad rotorica es aun mayor que la velocidad 723 722 721 720 719 718 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Tiempo [seg] 1.4 1.6 1.8 2 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Angulo de potencia [grados] CAI Aplicación Ilustrativa δ critic c δ1 b a δ0 725 Velocidad [rad/seg] 724 723 722 721 720 b a 719 718 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Tiempo [seg] 1.4 1.6 1.8 2 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • • En el espacio comprendido entre el punto "b" y "c" la velocidad rotorica permanece por encima de la de sincronismo, la potencia eléctrica es mayor que la potencia mecánica, por lo que se hace presenta una potencia desacelerante, que es entregada por la energía cinética almacenada en el rotor, perdiendo velocidad el rotor, pero el ángulo de potencia continúa aumentando La zona marcada por "A2", denota la potencia de desaceleración SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Pelec > Pmec P Pmax Área Áreade de desaceleración desaceleración A2 1 Pmec A1 0 Pmec 0 δ0 δ1 δc π Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 δ CAI Aplicación Ilustrativa • Se predice que en este P proceso habrá P estabilidad alrededor del punto "b" con el nuevo P ángulo de potencia δ1 si el área de P desaceleración es igual al área de aceleración (A1 = A2). 0 max A2 1 mec A1 0 mec SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 δ1 δc π Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 δ CAI Aplicación Ilustrativa Velocidad [rad/seg] • Es importante mencionar que si durante el proceso de oscilación el rotor no puede entregar toda la energía cinética almacenada en el, su velocidad rotorica nunca disminuirá y el ángulo de potencia aumentará indefinidamente, perdiendo el sincronismo la 2500 máquina. 2000 1500 1000 500 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0 0.5 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 3 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa Velocidad [rad/seg] 2500 2000 1500 1000 500 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad 0.5 1 1.5 Tiempo [seg] 2 2.5 3 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Es necesario que el área de desaceleración debe ser igual al área de aceleración. • El ángulo de potencia que determina la mayor área de aceleración sin que la máquina pierda el sincronismo, es el llamado ángulo crítico δcritic. • El tiempo que corresponde para alcanzar el ángulo crítico se le denomina tiempo crítico tcritic. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • El tiempo critico se define como el tiempo máximo entre el inicio y el despeje de una falla, de manera que el sistema sea transitoriamente estable. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa Angulo de potencia [grados] • El ángulo de oscilación máxima δmax, se satisface cuando el ángulo de potencia del rotor alcanza máximo y dδ(t)/dt = 0 δ critic Angulo AnguloMáximo Máximo δ1 δ0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Geométricamente se puede estimar el área acelerante "A1" a través de la expresión: δ1 A1 = ∫ (Pmec − Pelec )dδ δ0 P Pmax A2 1 Pmec A1 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 δ1 δc π Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 δ CAI Aplicación Ilustrativa • El área de la zona desacelerante "A2" puede ser escrita por: P Pmax A2 A2 = ∫ δ max δ1 (Pelec − Pmec )dδ 1 Pmec A1 0 Pmec 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad δ0 δ1 δc π Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 δ CAI Aplicación Ilustrativa • Restando ambas zonas "A1 - A2" se obtiene: δ1 δ max δ0 δ1 A1 - A 2 = ∫ (Pmec − Pelec )dδ − ∫ A1 - A 2 = ∫ δ max δ0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad (Pelec − Pmec )dδ (Pmec − Pelec )dδ Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa A1 - A 2 = ∫ δ max δ0 (Pmec − Pelec )dδ • La ecuación anterior se satisface que dδ(t)/dt = 0, cuando las áreas acelerante y desacelerante son iguales A1 = A2 • Comprender el fenómeno de la máquina, demuestra que la energía ganada cuando el rotor se acelera y el ángulo δ(t) crece hasta δ1 se pierde cuando el rotor se frena cuando alcanza el valor δmax. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • La potencia acelerante de la máquina al ser perturbada se demostró que se puede escribir como: d 2δ (t ) dt 2 Pacel = M Pacel = M SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad d 2δ (t ) dt 2 Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • Considerando que la velocidad angular del rotor es cero en el momento de comenzar la perturbación, pero después de "t" segundos esta velocidad es : tP dδ (t ) Pacel acel =∫ dt = t 0 M dt M • Resultando que el desplazamiento angular rotorico en ese tiempo es: δ (t ) = δ 0 + ∫ t 0 SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Pacel Pacel 2 tdt = t + δ0 2M M Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 CAI Aplicación Ilustrativa • El ángulo crítico corresponde al tiempo crítico: Pacel 2 δc = δ0 + tc 2M • Se tiene el tiempo critico finalmente: 2M (δ c − δ ) tc = Pacel SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Limite de Estabilidad Transitoria • • El límite de estabilidad transitoria se refiere al valor de potencia que puede ser transmitida con estabilidad cuando el sistema es sujeto a un perturbación aperíodica (aperiodic disturbance). Por perturbación aperiodica significa una que no se produce con regularidad y solo después de intervalos tales que el sistema alcanza una condición de equilibrio entre perturbaciones. SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007 Limite de Estabilidad Transitoria • Los tres principales tipos de perturbaciones o disturbios transitorios que reciben consideración en los estudios de estabilidad, en orden de incremento de importancia son: 1. Incrementos de Carga 2. Operaciones de maniobra (Switching Operations) 3. Fallas con subsecuentes aislamiento de circuitos (circuit isolation) SISTEMAS DE POTENCIA II Estabilidad Francisco M. González-Longatt, [email protected] Copyright © 2007
