clase 01

Movimiento Armónico Simple
(M.A.S.)
Ley de Newton:
k
m
F=ma
2x
d
-kx = m 2
dt
ω = k/m
x
k
d2x
2x = 0 Ecuación Diferencial
+
ω
dt2
F
m
Solución de la Ecuación Diferencial
d2x
2x = 0
+
ω
dt2
x(t) = A sen (ωt + δ)
A ... Amplitud del movimiento
ω ... Frecuencia Angular [rd/s]
δ ... Constante de Fase [rd]
x
A
T
A
t
T = 2π / ω [s]
f = 1/T [Hz]
ω = 2πf [rd/s]
d2x
2x = 0 es: x(t) = A sen(ωt+δ)
La solución de
+
ω
dt2
Demostración
x(t) = A sen(ωt+δ)
dx
= Aω cos(ωt+δ)
v=
dt
d2x
dt2
= -ω2 A sen(ωt+δ) = -ω2 x(t)
de donde:
d2x
2x = 0
+
ω
dt2
d2x
2x = 0
+
ω
Movimiento Armónico Simple:
dt2
x
t
v=
v
t
a
x(t) = A sen(ωt+δ)
v(t) = Aω cos(ωt+δ)
a=
T
t
dx
dt
dv
d2x
= 2
dt
dt
a(t) = -Aω2 sen(ωt+δ)
Trigonometría: sen(α + β) = sen α . cos β + sen β . cos α
x(t) = A sen(ωt+δ)
= a sen(ωt) + b cos(ωt)
a = A cosδ
b = A senδ
Α = a2 + b2
δ = arc tg (b/a)
A
x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt)
δ
v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt)
a
a(t) = -a ω2 sen(ωt) - b ω2 cos(ωt)
b
Condiciones Iniciales de un M.A.S.
Ejemplo 1: dados x0= x(t=0) y v(t=0) = 0
x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) ... en t = 0 resulta en:
x0 = b
v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt) ... en t = 0 resulta en:
0=aω
a=0
luego: x(t) = x0 cos(ω t) = x0 sen(ω t + π/2)
de donde se concluye que δ = π/2
note que: δ = arc tg (b/a) = arc tg (∞) = π/2
Condiciones Iniciales de un M.A.S.
Ejemplo 2: dados x(t=0) = 0 y v(t=0) = v0
x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) ... en t = 0 resulta en:
0=b
v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt) ... en t = 0 resulta en:
v0 = a ω
a = v0 /ω
luego: x(t) = (v0 /ω) sen(ω t)
de donde se concluye que δ = 0
Análisis Energético
Energía Potencial:
U(t) = k x2(t) / 2 =
1
k A2 sen2(ωt+δ)
2
Energía Cinética:
K(t) = m
v2(t) /
1
2=
m A2 ω2 cos2(ωt+δ)
2
... y como ω = k/m
1
K(t) =
k A2 cos2(ωt+δ)
2
1
E = U(t) + K(t) = 2 k A2
E
K
U
-A
A
x
Péndulo Simple
τ=Iα
-mg l sen θ =
l
2θ
dt2
tg θ ~ sen θ ~ θ < 6°
θ
2θ
d
-mg l θ ~ m.l2. 2
dt
g
d2θ
0~
θ+
2
dt
l
mg
ω= g/l
T = 2π / ω = 2π
d
2
m.l .
l/g
d2θ
2θ ~ 0
+
ω
dt2
Representación Fasorial de un M.A.S.
A x
ω
ωt
δ
t
x(t)= A sen(ωt+δ)
v
a
A
δ
t
Suma de M.A.S. de igual Frecuencia
+
x1(t) = a1 sen(ωt) + b1 cos(ωt)
x2(t) = a2 sen(ωt) + b2 cos(ωt)
x(t) = x1(t) + x2(t)
x(t) = (a1 + a2 )sen(ωt) + (b1 + b2)cos(ωt)
ω
A
Suma de M.A.S. de frecuencias diferentes
+
ω1
x1(t) = A sen(ω1t)
ω2
x2(t) = A sen(ω2t)
x(t) = A [sen(ω1t) + sen(ω2t)]
pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]
x(t) = 2A. sen(ωpt). cos(Δωt/2)]
Δω = ω2 - ω1
x(t) = A(t) sen(ωpt)
ωp = (ω2 + ω1)/2
con A(t) = 2A.cos(Δωt/2)]
x(t) = A(t) sen(ωpt)
ω2 ~ ω1
con A(t) = 2A.cos(Δωt/2)]
x
A(t)
Tp=2π/ωp
t
T=2π/Δω
Sistemas de Modulación
Portadora:
x(t) = A sen(ωpt + δ)
Amplitud Modulada: xAM(t) = A(t) sen(ωpt + δ)
Frecuencia Modulada: xFM(t) = A sen(2π f(t).t + δ)
Modulación de Fase: xPM(t) = A sen(ωpt + δ(t))
L
C
ω = 1/LC
Oscilación Amortiguada
F=ma
d2x
-kx – αv = m 2
dt
dx
d2x
-kx – α
=m 2
dt
dt
2c = α / m
d2x
dx
2x=0
+
2c
+
ω
dt2
dt
k
m
x
k
m
v
Fv = – α v
Solución de:
d2x
dx
2x=0
+
2c
+
ω
dt2
dt
cuando c < ω
x(t) = A(t) sen(ωpt + δ)
con ωp= ω2 – c2
A(t) = A e-ct
x(t)
A(t)
Oscilación Forzada
F=ma
d2x
-kx + F0 sen(w0t) = m 2
dt
k
m
x
f 0 = F0 / m
ω = k/m
d2x
dt2
+ ω2 x = f0 sen(w0t)
k
m
F = F0 sen(w0t)
Solución forzada de:
d2x
2 x = f sen(w t)
+
ω
(1)
0
0
2
dt
x(t) = A sen (w0t)
d2x
dt2
en (1)
= -w02 A sen(w0t)
-w02 A sen(w0t) + ω2 A sen(w0t) = f0 sen(w0t)
(ω2 - w02) A = f0
A=
Resonancia
A
f0
ω2 - w02
w0
ω