qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq DE EL SALVADOR wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui “DR. LUIS ALONSO opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg APARICIO” hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc MEDIDAS DE vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq DISPERSIÓN O wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui VARIABILIDAD opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ESTADISTICA I MATERIA: ESTADÍSTICA I Tema: MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD. LA DISPERSIÓN. Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos, la media, la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que necesitamos acerca de las características de los datos. Para aumentar nuestro entendimiento del patrón de los datos, debemos medir también su dispersión, extensión o variabilidad. La dispersión es importante porque: Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos. Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar esos problemas. Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes. Pero si hay dispersión en la mayoría de los datos, y debemos estar en capacidad de describirla. Ya que la dispersión ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, ¿cómo medimos la variabilidad de una distribución empírica? Vamos a considerar sólo algunas medidas de dispersión absolutas: el rango, desviación media, desviación semi-intercuartil, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación. El conocimiento de la forma de la distribución y del respectivo promedio de una colección de valores de una variable, puede servir para tener una idea bastante clara de la conformación, pero no de la homogeneidad de cada uno de los valores con respecto a la medida de tendencia central aplicada. En el caso de las variables con valores que pueden definirse en términos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio. A estos indicadores les llamamos medidas de dispersión, por cuanto que están referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersión en los datos interés, entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las medidas de la estadística descriptiva. Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta qué punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. 2 MATERIA: ESTADÍSTICA I Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras Por lo que las MEDIDAS DE DISPERSIÓN nos permiten describir las formas en que las observaciones están dispersas o diseminadas. También se conocen como medidas de dispersión, variabilidad o variación. a) AMPLITUD TOTAL O RANGO (AT) Es la diferencia entre el dato más alto y el dato más bajo de las observaciones At = X mayor - X menor EJEMPLO. Encuentre la AT para los valores 112, 125, 154, 164, 175 b) DESVIACIÓN MEDIA Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los datos con respecto a la media. La desviación media es una indicación de cómo están agrupados los datos: si estuviesen muy cercanos unos a otros, situados de forma muy sucesiva, la desviación media sería pequeña; si los datos estuviesen muy lejos unos de otros, o muy desagrupados, por ejemplo, formando dos o tres grupos de datos separados entre sí, la desviación media sería grande. Para SERIES SIMPLES, la fórmula es: DM = EJEMPLO. Encuentre la DM para los siguientes datos: 4, 5, 6, 7 y 8 Para DATOS AGRUPADOS, la fórmula es: DM = EJEMPLO. Encuentre la DM para la siguiente distribución de clases 3 Calificaciones(x) Frecuencia 1 -- 2 5 3 -- 4 18 5 -- 6 30 7 -- 8 22 9 -- 10 10 MATERIA: ESTADÍSTICA I EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS. 4 MATERIA: ESTADÍSTICA I 5 MATERIA: ESTADÍSTICA I c) DESVIACIÓN CUARTIL O RANGO SEMI-INTERCUARTIL. La desviación cuartil de un conjunto de datos se denota por Q y se define como: Donde Q1 y Q3 son el primer y tercer cuartil de esos datos. El rango intercuartil de define como la diferencia entre el cuartil tres y el cuartil uno Q 3 – Q1. d) VARIANZA Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de las diferencias entre los valores de los datos y la media aritmética. Para SERIES SIMPLES, la fórmula es: EJEMPLO. Encuentre la varianza para los siguientes datos: 4, 5, 6, 7 y 8 PARA DATOS AGRUPADOS, LA FÓRMULA ES: EJEMPLO. Calcular la varianza para la distribución que representa los coeficientes de inteligencia de un grupo de 600 personas. CI (x) 90 – 94 95 – 99 100 -- 104 105 --109 110 -- 114 Frecuencia 95 105 225 115 60 6 MATERIA: ESTADÍSTICA I PROPIEDADES DE LA VARIANZA: 1) La varianza es siempre una cantidad positiva: V(X) ≥ 0 2) La varianza de una constante es cero: V(K) = 0 3) La varianza del producto de una constante por una variable es igual al producto del cuadrado de la constante por la varianza de la variable: V(KX)=K2 V(X) 4) La varianza de la suma o resta de una variable y una constante es igual a la varianza de la variable: V(K+X) = V(X) Ejemplos: 1. El salario promedio que paga cierta empresa constructora es $2,800 con una desviación estándar de $350. Qué cambios se dan en la media y en la desviación estándar, si se dan las siguientes alternativas: a. Un aumento general de $200. b. Un aumento del 25% c. Si se hacen ambos aumentos de a y b. 2. En una empresa pequeña, la distribución de salarios tiene un promedio semanal de $150 y una desviación estándar de $25. Como solución a un conflicto laboral, la empresa propone dos alternativas: a. Un aumento general de 60% de los salarios. b. Un aumento general del 40% de los salarios y una bonificación adicional de $30 a cada empleado. ¿Cuál de estas alternativas propuestas le conviene aceptar al sindicato? 3. El salario promedio de los empleados de una empresa es $1200 y una varianza de 14,400. Qué cambios experimenta la media y la varianza; si se incrementan los salarios en un 20%, más una bonificación de $100. 4. La media y la desviación estándar de los salarios que paga cierta empresa, son de $4000 y $525 respectivamente. Como solución a un conflicto laboral, se presentan las siguientes alternativas: a. Un incremento general de $480. b. Un incremento general del 12% De acuerdo a los cambios que experimentan la media y la desviación en ambas alternativas, diga en que alternativa, los salarios individuales se comportan en forma más homogénea, después de los reajustes. 7 MATERIA: ESTADÍSTICA I 8 MATERIA: ESTADÍSTICA I e) DESVIACIÓN TÍPICA O ESTANDAR Es la raíz de la varianza Para SERIES SIMPLES la formula es: EJEMPLO. Encuentre la desviación típica para los siguientes datos: 4, 5, 6, 7 y 8 Para DATOS AGRUPADOS: EJEMPLO. Calcular la desviación típica para la distribución que representa los coeficientes de inteligencia de un grupo de 600 personas. CI (x) 90 – 94 95 – 99 100 -- 104 105 --109 110 -- 114 F 95 105 225 115 60 9 MATERIA: ESTADÍSTICA I 10 MATERIA: ESTADÍSTICA I 11 MATERIA: ESTADÍSTICA I f) COEFICIENTE DE VARIACIÓN o VARIABILIDAD. Es el tanto por ciento que representa la desviación estándar respecto a la media. C.V . S 100% x Mediante esta medida podemos comparar la dispersión de dos o más variables y además se utiliza para conocer el grado de representatividad de la media. En general, entre más pequeño es el valor del coeficiente, más representativa es la media. Valor del C.V. Grado de representatividad de la media De 0 a menos del 10 % De 10 % a menos del 20 % De 20 % a menos del 30 % De 30 % a menos del 40 % De 40 % a más Altamente representativa Bastante representativa Tiene representatividad Es de dudosa representatividad Carece de representatividad EJEMPLO. La siguiente tabla presenta la media y la desviación típica de la estatura de un grupo de personas, así como la media y la desviación típica de sus pesos: Estatura Media 166 cm. Desviación 7 cm. Peso 160 lb. 20 lb. Determine en que variable la media es más representativa. EJEMPLO. Determinar el grado de representatividad de la media, en la siguiente distribución de puntajes de un examen de física. Puntaje (x) 22--30 31--39 40--48 49--57 58--66 67--75 f 2 8 12 13 10 5 12 MATERIA: ESTADÍSTICA I 13 MATERIA: ESTADÍSTICA I 14 MATERIA: ESTADÍSTICA I VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN 15 MATERIA: ESTADÍSTICA I EJERCICIOS MEDIDAS DE DISPERSIÓN 1. En una prueba de aptitud verbal la nota más alta fue de 125 puntos y la más baja fue 37. Calcular el rango 2. Durante 10 días medimos cuántos minutos don Manuel tiene que esperar el bus que lo llevará a su trabajo. Los resultados son los siguientes: 10, 1, 13, 9, 5, 9, 10, 2, 3 y 8 Calcular el rango, la desviación media, la varianza y la desviación típica. 3. En un hospital se registra diariamente el número de ataques epilépticos que sufre cada paciente. Durante cinco días, los registros de tres pacientes fueron: Paciente A : 4, 3, 0, 2, 5 Paciente B: 3, 5, 0, 0, 2 Paciente C: 1, 2, 1, 2, 3 ¿Quién es el paciente más estable? 4. Erundina y Brígida aprenden el idioma japonés. En días anteriores se han dedicado a ello. Erundina: 6, 5, 6, 5, 4, 4, 5 y 8 horas Brígida: 5, 2, 7,3, 2, 7, 7, 3, 3, 8 horas ¿Quién ha sido la más constante? 5. En una clínica veterinaria se registra mensualmente el número de casos de rabia de acuerdo con la raza de perro. En un año, para los dálmatas y los bóxer se registraron los datos siguientes: Dálmatas: 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 3, 1, 4 Bóxer: 2, 1, 1, 1, 2, 4, 1,3, 2, 2, 3, 3 De acuerdo con estos datos y con el fin de evitar problemas de rabia, ¿de qué raza preferiría su mascota? ¿Dálmata? ¿Bóxer? 16 MATERIA: ESTADÍSTICA I 6. En 10 pruebas de Ciencias, Los puntajes obtenidos por Estefanía y Claudia son: Estefanía: 8, 6, 6, 9, 5, 1, 5, 4, 2, 4. Claudia: 5, 5, 4, 4, 7, 7, 5, 3, 4, 6. Para cada uno calcule: a) La amplitud total b) La desviación media c) La varianza d) La desviación típica e) ¿Quién ha tenido mayor rendimiento en esta asignatura? y ¿Por qué? 7. En la sección de empaque de una fábrica se registraron los siguientes tiempos requeridos (en segundos) para llenar cajas de cierto volumen fijo: 10.8 14.4 19.6 18.0 8.4 15.2 11.0 13.3 23.1 17.2 a) Halle la amplitud total. b) Encuentre la desviación media c) Obtenga la desviación típica d) Determine el grado de representatividad de la media aritmética. e) Calcule la varianza 8. Se tienen las calificaciones de un grupo de estudiantes de cierta universidad en un examen parcial de Estadística. Calificaciones Frecuencia 3.0 - 3.9 2 4.0 - 4.9 6 5.0 - 5.9 12 6.0 - 6.9 50 7.0 - 7.9 35 8.0 - 8.9 15 9.0 - 9.9 5 Calcule: a) La desviación típica b) La varianza c) Determine el grado de representatividad de la media aritmética 17 MATERIA: ESTADÍSTICA I 9. A continuación se presenta la distribución de las estaturas en centímetros de un grupo de 100 estudiantes: Estaturas (x) 150 - 156 157 - 163 164 - 170 171 - 177 178 - 184 f 5 25 45 15 10 a) Calcule la desviación media. b) Obtenga el valor de la desviación típica. c) Encuentre el valor de la varianza. d) Determine el grado de representatividad de la media para esa distribución. 10. Los siguientes datos son los tiempos de duración en segundos de 50 conversaciones 125, 65, 80, 97, 325, 400, 98, 74, 90, 120, 240, 85, 370, 135, 78, 326, 282, 145,192, 64, 108, 324, 207, 183, 94, 62, 315, 217, 192, 106, 78, 89, 207, 70, 69, 402, 68, 108, 361, 304, 273, 181, 91, 107, 404, 315, 125, 106, 176, 207 Calcular: Cuartil 1 y 3, mediana, Rango, desviación típica, coeficiente de variabilidad. Representar la información en un diagrama de bigote. 11. A continuación, se presenta la distribución de los coeficientes de inteligencia de un grupo de 200 personas: COEFICIENTES F 20 - 29 1 30 - 39 7 40 - 49 10 50 - 59 21 60 - 69 37 70 - 79 42 80 - 89 36 90 - 99 24 109 12 100 - 110 - 119 8 120 - 129 2 N 18 MATERIA: ESTADÍSTICA I Con esta información calcule a) La desviación media. b) El valor de la desviación típica. c) El valor de la varianza. d) El grado de representatividad de la media para esa distribución. 12. Analiza el siguiente diagrama de caja y bigotes y calcula, a partir de él, los valores máximo y mínimo, la mediana y los cuartiles. 13. Analiza el siguiente diagrama de caja y bigotes. Muestra los minutos que tarda en hacer efecto un medicamento en una población. Interpreta la información que presenta y responde a las preguntas. a) ¿A qué porcentaje de la población había hecho efecto al cabo de 30 minutos? b) ¿Al cabo de cuántos minutos había hecho efecto al 50 % de la población? c) ¿Cuántos minutos tardó en hacer efecto al 100% de la población? d) ¿A qué porcentaje había hecho efecto a los 55 minutos? e) ¿Cuánto tardó en hacer efecto a las tres cuartas partes de la población? 19 MATERIA: ESTADÍSTICA I GUIA DE ESTADISTICA SOBRE MEDIDAS DE DISPERSIÓN 1. Calcule la desviación típica para la siguiente distribución de puntajes del parcial de estadística I x f 32--42 43--53 54--64 65--75 76--86 16 28 64 22 10 2. Determine el grado de representatividad de la media aritmética, de la distribución de puntajes del problema anterior. 3. A continuación se presenta información sobre los salarios de los obreros de la construcción de dos países. El Salvador Guatemala x $219.43 $27.43 x Q700.00 Q50.00 En qué país es más homogéneo el comportamiento de los salarios. 4. A continuación se presenta un cuadro que resume el rendimiento de cuatro materias, además, se presenta los puntajes obtenidos por un alumno tomado del grupo de estudiantes Materia x σ CV Puntajes Matemática I 52 15 28.85% 60 Estadística I 60 16.67% 68 7.32% 80 Microeconomía I Sociología 6 75 5 75 a) Llene los espacios en blanco b) En qué materia la media es más representativa c) En qué materia salió mejor y qué materia salió peor con relación al grupo 20 MATERIA: ESTADÍSTICA I 5. La siguiente distribución corresponde al coeficiente al coeficiente de inteligencia de un grupo de 2225 estudiantes x 90--94 95--99 100-104 105--109 110--114 115--119 120--124 F 75 225 528 625 432 315 25 Se calculó la media y la desviación típica, siendo estos valores 106.85 y 6.72 respectivamente a) Compruebe estos valores b) Determine el grado de representatividad de la media 6. La tabla siguiente muestra la distribución de cargas máximas en toneladas cortas (1 tonelada corta = 200 lb. ) que soportan los cables producidos en cierta fábrica. Determinar la desviación media y la desviación semi-intercuartil de las cargas máximas en toneladas. Carga máxima (toneladas cortas). 9.3 – 9.7 9.8 – 10.2 10.3 – 10.7 10.8 – 11.2 11.3 – 11.7 11.8 – 12.2 12.3 – 12.7 12.8 – 13.2 N Número de cables. 2 5 12 17 14 6 3 1 60 7) Hallar el rango de los conjuntos de números : a) 5, 3, 8, 4, 7, 6, 12, 4, 3. b) 8,772, 6.453, 10.624, 8.628, 9.434, 6.351. 8) La mayor de 50 medidas es 8.34 kilogramos. Si el rango es 0.46 Kg., hallar la menor de esas medidas. 9) Calcule el rango, la varianza y la desviación típica de los siguientes valores correspondientes a la velocidad, en kilómetros por hora, de 15 automóviles, a su paso por un centro de monitoreo: 63, 52, 75, 49, 47, 79, 85, 66, 59, 62, 58, 56, 85, 73 y 69. Determine el coeficiente de variabilidad del ejercicio anterior. 21 MATERIA: ESTADÍSTICA I 10) La tabla muestra la distribución de los diámetros de los remaches salidos de una fábrica. Calcular el diámetro medio. El coeficiente de variabilidad para los diámetros de los remaches. Diámetro (cm) 0.7247 – 0.7249 0.7250 – 0.7252 0.7253 – 07255 0.7256 – 0.7258 0.7259 – 0.7261 0.7262 – 0.7264 0.7265 – 0.7267 0.7268 – 0.7270 0.7271 – 0.7273 0.7274 – 0.7276 0.7277 – 0.7279 0.7280 – 0.7282 N Frecuencia. 2 6 8 15 42 68 49 25 18 12 4 1 250 11) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución Xi ni 5 3 10 7 15 5 20 3 25 2 12) Calcular todas las medidas de dispersión para los datos de la siguiente distribución x n 0–100 90 100–200 140 200–300 150 300-800 120 13) Sumando 5 a cada número del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5, obtenemos 8, 11, 7, 6, 12, 10. Probar que ambos conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias ¿como están relacionadas las medias? 14) Multiplicando cada número 3, 6, 2, 1, 7 y 5 por 2 y sumando entonces 5, obtenemos el conjunto 11, 17, 9 7, 19 15. ¿Cual es la relación entre la desviación típica de ambos conjuntos? ¿Y entre las medias? 15) Tenemos una variable X de la que sabemos que: CV = 0,5 y que Sx = 3. ¿Cuál es el valor de la media de X? 22 MATERIA: ESTADÍSTICA I 16) La distribución de edades del Censo Electoral de Residentes a 1 de enero de 2009 para las comunidades autónomas de Aragón y Canarias, es la siguiente: Edades 16–18 18–30 30–50 50–70 70–90 Aragón 8 10 16 9 7 Canarias 10 12 13 10 5 a) Representa sobre los mismos ejes de coordenadas los histogramas de la distribución de la edad para las dos CC.AA. (emplea distinto trazo o distintos colores). ¿Que conclusiones obtienes a la vista de los histogramas? b) Calcula la edad mediana para las dos comunidades. Compáralas. ¿Qué indican estos resultados? c) Qué comunidad tiene mayor variabilidad en la distribución de su edad? 17). En el siguiente histograma se representa la distribución de los salarios (variable X), en miles de pesetas de una industria del sector cerámico: Conforme a esta información determinar a) Tabla estadística de frecuencias b) Salario mediano, moda y coeficiente de variación c) Sueldo mínimo del 20% de los empleados con mayor sueldo. ¿Qué porcentaje de la nómina corresponde a este grupo? d) De los sueldos de otra empresa también perteneciente al sector cerámico se sabe que el sueldo medio de sus trabajadores es de 120.000 ptas., con una varianza de 0,5 y que la mediana de los sueldos es de 125.000 ptas. ¿Qué empresa tiene un sueldo medio más representativo? Razona la respuesta. 23 MATERIA: ESTADÍSTICA I 18) Al lanzar 200 veces un dado se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias x n 1 a 2 32 3 35 4 33 5 b 6 35 Hallar la mediana, la moda y la varianza de la distribución, sabiendo que la media aritmética es 3,6. 19) En un taller de reparación de automóviles recojo datos sobre los días de permanencia de los vehículos a reparar en él, y obtengo: Días de estancia Nº de coches 1 23 2 12 3 7 4 10 5 3 8 2 15 1 a) Calcula el número medio de días de permanencia. b) Determine la medida de su representatividad c) Calcula la mediana y la moda 20) La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 niños de una escuela elemental. C.I. ni 70 4 74 9 78 16 82 28 86 45 90 66 94 85 98 72 102 54 106 38 110 27 114 18 118 11 122 5 126 2 Calcula: a) El C.I. medio de los niños estudiados b) Su desviación típica. c) Si una madre afirma que exactamente la mitad de los niños del colegio tienen un C.I. superior al de su hijo, ¿qué C.I. tiene el niño? d) Supongamos que se quieren hacer estudios sobre el proceso de aprendizaje de los niños con mayor C.I., pero que el psicólogo solo puede atender al 15% de los niños del centro. ¿Qué C.I. deberá tener un niño como mínimo para ser considerado dentro de ese grupo de elegidos? (calcule el percentil 85). 21) La siguiente información corresponde al número de quejas recibidas por una sección de la PNC: 10, 12, 8, 5, 11, 10, 9, 14. a) Calcule la desviación típica. b) Calcule el coeficiente de variabilidad. c) Diga que tan buena es la media aritmética del número de quejas, para describir dicha información. 22) La tabla siguiente recoge la distribución de volúmenes de ventas anuales en las empresas cerámicas de la provincia durante el año pasado: 24 MATERIA: ESTADÍSTICA I Ventas 10 20 30 40 50 60 70 80 90 (dólares) - 19 - 29 - 39 - 49 - 59 - 69 - 79 - 89 - 99 Empresas 10 15 20 24 18 12 9 7 2 Calcular: a) La desviación semi – intercuartil. b) La desviación típica c) La varianza. d) El coeficiente de variabilidad 23) En julio del año recién pasado, los datos de préstamos personales del CITI, mostró una media de $650 y una desviación estándar de $300. En la actualidad, se calculó la media en $1000 y la desviación típica en $350. ¿Cree usted que mostraron mayor dispersión relativa los préstamos del Banco para este año? 24) A continuación se presentan dos series de la resistencia (en ohm) de un producto fabricado por dos compañías A y B. RESISTENCIA A RESISTENCIA B 3.6 1.9 3.8 2.1 3.9 2.7 4.0 3.5 4.1 3.8 4.2 4.2 4.5 4.8 4.6 5.6 4.7 5.9 4.8 7.7 a) Calcule el coeficiente de variación de la empresa A. b) Calcule el coeficiente de variación de la empresa B. c) Si tuviera que adquirir dicho producto, con qué empresa haría el negocio, asumiendo que el precio es igual en ambas empresas. 25) determine el grado de representatividad de la media para la siguiente distribución: x F 60 - 74 8 75 - 89 10 90 - 104 16 105 - 119 9 120 - 134 7 Total 50 25 MATERIA: ESTADÍSTICA I EVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes enunciados y contesta lo que se solicita. 1. La siguiente distribución de frecuencias muestra la estatura en cm de 108 alumnos. Intervalo (estatura) 123.5-128.5 128.5-133.5 133.5-138.5 138.5-143.5 143.5-148.5 148.5-153.5 153.5-158.5 158.5-163.5 Frecuencia (alumnos) 1 4 9 24 29 22 14 5 Calcula: La desviación media, La varianza y La desviación estándar. 2. Calcula el coeficiente de variabilidad de la siguiente distribución de frecuencias que muestra los defectos de 180 productos de una línea de papelería. Intervalo 42-46 47-51 52-56 57-61 62-66 67-71 72-76 Frecuencia 2 9 31 50 51 30 7 3. La siguiente distribución de frecuencias muestra las ventas en miles de pesos de 79 empresas. Ventas 10.5-15.5 15.5-20.5 20.5-25.5 25.5-30.5 30.5-35.5 Número de empresas 14 23 30 8 4 Obtén el coeficiente de variación y la desviación semi intercuartilica. 26
