TASAS DE INTERES Y DE DESCUENTO

TASAS
DE INTERES
Y
DE DESCUENTO
EN LAS OPERACIONES
FINANCIERAS
Trabajo elaborado por el Profesor Adjunto de la cátedra
de
Matemática Financiera
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
2007
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
1.- TASAS EN GENERAL:
Según define el diccionario de la Real Academia Española la tasa es “la relación entre
dos magnitudes”.
Por otra parte, el concepto de interés, se expresa como el “lucro producido por un
capital”.
En Matemática Financiera las tasas miden la relación entre el valor del interés ganado
o pagado o del descuento practicado y el capital o valor nominal sobre el cual se
calculó aquel valor.
Para el caso de la tasa de interés la relación se produce entre el importe de los
intereses obtenidos en una inversión con respecto al capital invertido.
En la práctica comercial y financiera se utiliza como unidad de capital a la suma de $
100 y como unidad de tiempo al año, motivo por el cual se expresa que la tasa o razón
( r ) es, por ejemplo, del 12% anual, cuando se quiere significar que por cada $ 100 de
capital que se invierta se obtendrá, al cabo de un año, la suma de $ 12 en concepto
de intereses. Se habla aquí de una tasa o razón expresada en tanto por ciento.
El concepto de razón según el diccionario antes citado es: cociente de dos números o,
en general, de dos cantidades comparables entre sí. Es decir que razón y tasa son
términos equivalentes.
Sin embargo en Matemática Financiera siempre se trabaja, tanto en la demostración
de las fórmulas aplicables, como en la resolución de problemas o casos prácticos, con
una tasa de interés expresada en tanto por uno. Se divide la razón por 100 y se obtiene
la tasa en tanto por uno (i). En el ejemplo dado, entonces, la tasa i estaría enunciada
como 0,12 y significaría que por cada $ 1 de capital invertido se obtienen 12 centavos
de intereses.
En realidad no existe un solo tipo de tasa, dado que los diferentes métodos de cálculos
aplicables (interés simple o compuesto con capitalizaciones periódicas, subperiódicas
o continuas), o la manera de calcular los intereses (en forma vencida o adelantada),
determina la necesidad de distinguir qué tasa se utiliza en cada caso o cuál es la tasa
que efectivamente resulta en la operación financiera calculada.
1.1. TASA DE INTERES (i):
La tasa de interés es la renta o rendimiento obtenido por cierta unidad de capital en
determinada unidad de tiempo.
Cuando hablamos de tasa de interés entendemos que el capital está referido al
momento inicial de la operación (momento cero) y el interés se carga o suma en el
momento final (momento uno). Es decir que los intereses son siempre vencidos.
La tasa de interés determina, en función de su valor, del importe del capital y del
tiempo durante el cual está colocado, la magnitud de los intereses que se adicionarán
al final del plazo a ese capital en concepto de rendimiento o renta.
Debe quedar bien en claro, entonces, que según nuestro concepto, en todos los casos
cuando se trabaja con tasa de interés, los intereses se calculan al vencimiento de la
operación y se suman al capital invertido (se dice que los intereses son vencidos).
Al sumarse los intereses al capital se produce el fenómeno de la capitalización. Si la
operación financiera tiene un solo período de plazo o si los intereses son cobrados por
el acreedor en cada período, dejando para el período siguiente solamente el capital
inicial, se dice que los intereses son simples.
Para que los intereses se consideren compuestos la inversión de los fondos debe
repetirse en uno o más períodos (después del primero) y el inversor debe dejar
invertidos los intereses ganados en cada período anterior.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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1.2.- TASA DE DESCUENTO (d):
Además de la tasa de interés existe la denominada tasa de descuento (d). El
diccionario de la Real Academia Española define al descuento como la “cantidad
que se rebaja de un crédito como retribución del contrato de descuento.”
Y al contrato de descuento se lo conceptualiza como : “Aquel por el que se transmite
un derecho de crédito, normalmente expresado en un documento, a cambio de un
precio en dinero calculado mediante una rebaja o descuento sobre el valor de dicho
crédito al tiempo de su vencimiento”.
Es por ello que la tasa de descuento se utiliza cuando los intereses, en vez de abonarse
al final de la operación (tasa vencida), son descontados por adelantado sobre el valor
nominal o final de la deuda. En este caso se toma como referencia el momento uno y
el tiempo se cuenta hacia atrás.
Como sabemos, ello ocurre en las operaciones de descuento comercial y descuento
con tasa de descuento.
En el primero el descuento se practica sobre el valor nominal a interés simple y en el
segundo también sobre dicho valor pero a interés compuesto.
Podemos definir a la tasa de descuento como el descuento practicado a una unidad
de valor nominal en una unidad de tiempo.
Es sabido que el descuento comercial produce resultados absurdos ya que si el plazo
de la operación es prolongado o si la tasa es alta el valor actual del documento
puede ser nulo o negativo.
De cualquier manera no se puede soslayar el estudio de la tasa de descuento puesto
que la práctica bancaria la utiliza.
En efecto, en la Comunicación "A" 3052
del B.C.R.A. (Última comunicación
incorporada: “A” 4003. Texto ordenado al 22.08.03) en el punto 1.4. Modalidades de
aplicación, expresa: “Las tasas se aplicarán en forma vencida, salvo en las
operaciones de pago único a su vencimiento, en las que también podrá emplearse la
forma adelantada, según se convenga con los clientes”.
En el punto 3.2. Exposición en los documentos, se dice: En todas las operaciones,
cualquiera sea su instrumentación, corresponde que en los contratos, recibos, notas de
débito u otros documentos de relación con los clientes, donde se expliciten tasas o
importes de intereses, se deje expresa constancia de los siguientes aspectos.
3.2.1. Tasa de interés o de descuento anual contractualmente pactada, en
tanto por ciento con dos decimales.
3.2.2. Tasa de interés efectiva anual equivalente al cálculo de los intereses en
forma vencida, en tanto por ciento con dos decimales.
Queda claro entonces que las tasas pueden ser de interés o de descuento pero que la
tasa de efectiva debe ser siempre una tasa de interés equivalente al cálculo de los
intereses en forma vencida.
La información que el B.C.R.A. exige es para que, en base al conocimiento de la tasa
efectiva anual vencida de las distintas operaciones, los clientes tengan un índice de
comparación o parámetro, a fin de decidir la conveniencia o no de realizar un
depósito o solicitar un crédito bancario, aunque ese índice tenga sus defectos, puesto
que parte del criterio implícito de que la operación se repetirá en las mismas
condiciones que las iniciales hasta fin del año y que los intereses se capitalizarán
durante ese plazo.
También es importante señalar que la citada normativa determina, en cuanto al divisor
fijo a utilizar que el divisor general es de 365 días pero que para los Préstamos
hipotecarios sobre vivienda y prendarios sobre automotores, es de 360 días, “en las
operaciones comprendidas en los manuales de originación y administración de esos
préstamos”.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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RELACIONES ENTRE TASA DE INTERES Y TASA DE DESCUENTO:
Si se utiliza tasa de interés un capital de $ 1 cuyos intereses son pagaderos al final de la
operación en el plazo de un período se transforma en:
0
$1
1
$ (1+i)
Si la operación se efectúa con tasa de descuento a interés simple el valor nominal que
tenemos en el momento final se convierte en un valor actual al comienzo igual a:
0
$ (1 – d)
1
$1
Relacionando los valores del comienzo y del final de la operación:
1

1  d 
1  i 
1
1
11 d
1 
1  d 
1  d 
d
i 
1  d 
i 
1
1  i 
1
1 i 1
d  1

1  i 
1  i 
i
d 
1  i 
1  d 

Conociendo una de las dos tasas se halla la otra para el mismo plazo.
Ejemplo: en una operación a interés simple para un plazo de 160 días se usa una tasa
de interés nominal anual del 20%. Hallar la tasa de descuento nominal anual
equivalente.
La tasa de interés para el plazo de 160 días será= 0,20*160/365= 0,087671.
Usando la segunda fórmula hallamos que d= 0.087671/1.087671= 0.0806045 para el
mismo plazo de 160 días. La tasa nominal anual de descuento será= 0.080597*365/160
= 0.18387909 anual.
Comprobación: $ 1 al final de 160 días a la tasa de interés anual del 20% produce un
monto de $ 1.0877671. Si éste valor lo actualizamos con la tasa de descuento nominal
anual del 18,386, produce un valor actual igual a: 1,0877671*(1- 0.18386*160/365) = $1.
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1.3. FACTORES DE CAPITALIZACION Y ACTUALIZACION UTILIZANDO TASAS
DE INTERES Y DE DESCUENTO:
Cuando se utilizan tasas de interés y se trabaja con interés compuesto el factor de
capitalización está dado por la siguiente expresión:
n
n
v( i )   1  i 
y el de actualización por:
v(ni )   1  i 
n
Se utiliza el subíndice (i) para denotar que se trata de los factores para el caso en que
se utilizan tasas de interés.
Cuando se trabaja con capitalizaciones subperiódicas y se utilizan tasas
proporcionales esos índices se transforman en los siguientes:
nm
v
 nm
i
(
)
m
v nmi
(
m
)
i 

 1 
m

 nm
i 

 1 
m

Recordemos que el factor de capitalización se aplica cuando se conoce el valor
presente (actual) de una suma de dinero y se desea determinar el valor futuro de la
misma. A la inversa, el factor de actualización para los casos en que, conociendo el
valor futuro de la suma de dinero se desea determinar el valor presente (actual).
Podemos agregar los factores de capitalización y actualización a interés simple en los
que existe una única capitalización. Serían los siguientes:
v(i1)   1  in 
1
1
v(1i ) 
  1  in 
 1  in 
Si la operación se realiza con tasa de descuento (d) los factores de capitalización y
actualización surgen de las fórmulas determinadas en el Descuento con tasa de
descuento (es decir se trabaja con capitalización compuesta).
Partiendo de esas fórmulas tenemos:
V5  N  1  d 
n
para un valor nominal de un peso, resulta el factor de actualización:
v(nd )   1  d 
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
n
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En tanto que el factor de capitalización será:
v(dn)   1  d 
n
Se utiliza el subíndice (d) para denotar que se trata de factores para tasas de
descuento.
Cuando se opera con tasas de descuento proporcionales
nm
v
nm
d
(
)
m
v  dnm
(
m
)
d 

 1
m 

 nm
d 

 1
m 

En el caso del descuento comercial, como se trabaja con intereses simples existe una
sola capitalización. Los factores son, para hallar el valor actual y valor nominal de los
documentos, respectivamente, los siguientes:
v( d )   1  dn 
1
1
v(d1 ) 
  1  dn 
 1  dn 
Ejemplo práctico utilizando los factores para tasas de interés y de descuento:
Determinar el valor del siguiente flujo de fondos en el momento 2, utilizando factores
de capitalización y actualización con tasas de interés y de descuento, al 10% nominal
anual.
0
100
1
100
2
100
3
100
4
100
Valor del flujo de fondos con tasas de interés:
=100*1.1^2 +100*1.10^1 + 100 + 100*1.1^-1 + 100*1.1^- 2=
=100 (1,21 + 1.1 + 1 + 0.9090909 + 0.826446281) = $ 504,55
Valor del flujo de fondos con tasas de descuento:
=100*(1-0.10) ^-2 +100*0,90^-1 + 100 + 100*0.90^1 + 100*0.90^ 2=
=100 (1,234567901 + 1,1111111+ 1 + 0.90 + 0.81) = $ 505,57
Se observa que cuando se capitaliza el factor con tasa de descuento produce valores
mayores que con tasa de interés y que cuando se actualiza son mayores los valores
utilizando tasa de interés. En el total general tuvo más fuerza la capitalización que la
actualización por lo cual el valor del flujo de fondos en el momento 2 es mayor con
tasa de descuento.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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2.- TASAS NOMINALES.
Se denomina tasa nominal a aquella enunciada en los problemas que constituye uno
de los datos que se tiene en cuenta para calcular el resultado de una operación
financiera y, en otros casos, no está enunciada por ser la incógnita que se debe
despejar.
La tasa nominal más utilizada habitualmente es la tasa anual o periódica. Vemos que
en muchos textos de la materia no se señala el plazo de la tasa dando por
sobreentendido que se trata de una tasa anual.
Pero también se empezaron a utilizar en nuestro país, a raíz del proceso inflacionario
que tuvimos que soportar, tasas nominales subperiódicas1 que son aquellas tasas
nominales que se refieren a períodos inferiores al año. Es muy usada como tasa
subperiódica la tasa nominal mensual, aunque para las operaciones financieras que
se tramitan a través de la banca sea en realidad una tasa para 30 días y no mensual.
La diferencia que existe entre expresar la tasa como mensual o una tasa para 30 días
es que si trabajamos con la primera de ellas habrá 12 capitalizaciones anuales; en
cambio si la tasa corresponde a 30 días habrá 365/30 = 12,1666…. capitalizaciones,
con lo que los rendimientos efectivos al cabo de un año serán diferentes.
¿Por qué se llaman tasas nominales? Porque son las enunciadas en los problemas o en
las operaciones de crédito y porque sirven de base para los cálculos.
Según algunos autores, las tasas nominales que aquí se denominan subperiódicas por
referirse a plazos inferiores al año, también pueden ser periódicas y las subperiódicas
surgen de éstas cuando el plazo de la operación o la capitalización se realiza en un
lapso inferior a esos subperíodos. Según ese criterio si se enuncia en un problema por
ejemplo, la tasa del 2% bimestral, ésta sería una tasa periódica y para el caso en que
la capitalización fuera mensual se trabajaría con una tasa subperiódica del 1%.
3.- TASAS PROPORCIONALES:
Habitualmente en los problemas se enuncia una tasa anual, de tal manera que
cuando una operación se realiza a plazos inferiores al año o las capitalizaciones se
efectúan en subperíodos anuales, es necesario expresar esa tasa como una fracción
de la tasa anual.
Debemos recordar que el principio de aplicabilidad de las fórmulas en Matemática
Financiera determina que la tasa y el plazo de la operación siempre deben estar
expresados en la misma unidad de tiempo. De tal manera que si la tasa nominal es
anual y el plazo de la operación o el de la capitalización es en períodos menores al
año es necesario transformar la tasa anual proporcionándola a los citados plazos, de
allí que se la denomine proporcional y se la simbolice i/m si los intereses se pagan al
final del plazo de la operación o d/m si se descuentan por adelantado, siendo m el
número de capitalizaciones existentes en el año.
Si la operación o la capitalización se realizan, por ejemplo, a 3 meses y la tasa nominal
anual es del 13%, la tasa proporcional para ese plazo se hallará haciendo: 0,12*3/12.
Existiendo 4 trimestres en el año la tasa proporcional trimestral correspondiente al 12%
mensual, es la cuarta parte de la anual, o sea 0,12/4 = 0,03 trimestral.
En general, se da el nombre de tasas proporcionales a aquellas que corresponden a
distintos períodos y una es parte alícuota de la otra, en la misma proporción en que se
encuentran los períodos a que corresponden cada uno de ellas.
Cuando se trabaja a interés simple, los intereses se calculan de una sola vez por todo
el tiempo en que estuvo invertido el capital y son abonados, acreditados o
capitalizados únicamente al término de la operación. Por ello un capital colocado
durante n períodos a una tasa periódica i dará el mismo interés que al estar colocado
a una tasa proporcional i/m durante los n.m períodos.
En efecto, siendo I = C.i.n utilizando tasa proporcional i/m el Interés será igual a:
I = C. i/m. n.m = C. i. n
1
GIANNESCHI, Mario Atilio: “Curso de Matemática Financiera”, página 103, Ediciones
Macchi, Buenos Aires 2005.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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Esta demostración permite afirmar que en un régimen de capitalización a interés
simple se puede trabajar con las tasas que corresponden a cualquier unidad de
tiempo, siempre que sean proporcionales, pues el interés simple será el mismo.
En cambio, cuando el interés es compuesto (o sea se producen más de una
capitalización en el plazo de la operación) el hecho de que se utilice en la
capitalización subperiódica una tasa proporcional i/m (según se demuestra
analíticamente cuando se estudia la comparación de los montos con capitalización
periódica y subperiódica) produce un mayor monto que usando la tasa i en la
capitalización periódica.
4.- TASAS EFECTIVAS:
a) Para tasas de interés:
El hecho de que en las operaciones financieras se enuncie una tasa anual pero el
plazo de la operación o la capitalización se refiera a períodos inferiores al año,
modifica el rendimiento efectivo anual que se obtendrá ya que el procedimiento para
obtener una tasa efectiva anual presupone la capitalización de intereses.
Se denomina tasa efectiva al rendimiento que realmente se obtendría al cabo de un
año cuando se utiliza una tasa proporcional en la capitalización subperiódica.
Si en el problema tenemos una tasa de interés del 12% anual y se capitaliza
trimestralmente, para hallar la tasa efectiva anual tenemos que capitalizar la tasa
proporcional del 3% durante un año lo que arroja el siguiente resultado:
m
4
i 
0.12 


i'   1    1   1 
 1  1,03 4  1  1,12550881  1  0.1255

m
4 


Ello significa que al cabo de un año el rendimiento que efectivamente se obtendría es
del 12,55%.
Pero, en realidad, puede generalizarse ese concepto de tasa efectiva ya que no es
necesario que se apliquen tasas proporcionales a la capitalización subperiódica para
que la tasa efectiva periódica deba ser calculada de la misma forma.
Si enunciamos en el problema como tasa nominal subperiódica el 3% trimestral,
obtendríamos como tasa efectiva la misma hallada más arriba.
Con mucha razón dice Gianneschi en su libro citado que “la tasa efectiva es más un
concepto que una fórmula” y que cualquier duda debería resolverse apelando a la
definición general de tasa de interés.2
Como es sabido, el monto con capitalizaciones subperiódicas a tasa proporcional es
mayor que con capitalización periódica a tasa nominal y cuanto menor es el período
de capitalización (por haber mayor número de capitalizaciones en el año) ese monto
será cada vez mayor.
La relación entre tasa nominal y efectiva es la siguiente:
nm
i 
n

C0  1 
 C0  1  i 

m

m
i 

 1  m   1  i 


m
i 

1 m   1  i


Siendo :
m
i 

 1  m   1  i'


i'  i
2
GIANNESCHI, Mario Atilio: opus cit., página 103.
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La anterior demostración que determina que la tasa efectiva es mayor que la nominal
es aplicable siempre que la capitalización sea subperiódica (en períodos menores al
año), porque si esa capitalización se produce en lapsos superiores al año como m
sería menor que uno, produce el efecto inverso. En este último caso la tasa efectiva
será menor que la nominal.
Si, por ejemplo, la capitalización fuera cada 2 años, m sería igual a 0,5 con lo que la
tasa efectiva anual sería:
0 ,12 

i'   1 
0 ,5 

0 ,5
 1  0 ,113552872 ( 11,36%)
b) Para tasas de descuento:
Partiendo de la fórmula del valor actual en el descuento con tasa de descuento:
n
V5  N  1  d 
Para un valor nominal de $ 1 tenemos el factor de actualización
descuento:
n
n
con tasa de
vd   1  d 
Trabajando con tasa proporcional en la capitalización subperiódica se obtiene para el
plazo de un año:
d

vd  1 
 m
m
m
m
Es el factor de actualización para un año utilizando tasa de descuento proporcional
en forma subperiódica.
Para hallar la tasa efectiva anual d’ plantemos una igualdad entre el valor actual con
tasa proporcional y el valor actual con la tasa efectiva:
d 

1 m 


m
 1 d '
d 

d '  1 1
m


m
Si trabajamos con n en lugar de m, sabiendo que n es la inversa de m tenemos:
d '  1   1  dn 
1
n
(1)
Esta tasa la simbolizamos como d’ e identifica a la tasa de descuento efectiva anual
equivalente al cálculo de los intereses en forma adelantada tanto en el descuento
comercial como en de descuento con tasa de descuento.
Por otra parte es conocida la fórmula que se aplica para hallar la tasa efectiva en las
operaciones de descuento comercial que se deduce determinando la tasa del
período
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tp 
N   N  N .d .n 
N ( 1  dn )

N  N  N .d .n
d .n

N  1  dn 
1  dn
En base a esta tasa del período y capitalizando hasta el final del año:
1
dn  n

i'   1 
1
1  dn 

1
 1  dn  dn  n
i'  
 1
 1  dn 
1
 1 n
i'  
 1
 1  dn 
(2)
Esta tasa la simbolizamos en la cátedra como i’ e identifica a la tasa de interés
efectiva anual equivalente al cálculo de los intereses en forma vencida pero con la
aclaración de que se utiliza cuando corresponde al descuento comercial.
Hay otro procedimiento para llegar a una fórmula de la tasa efectiva de descuento
que es partir del valor nominal con tasa de descuento:
N  V5  1  d 
n
Para un valor actual de $ 1 se obtiene el factor de capitalización con tasa de
descuento:
v (dn)   1  d 
n
Trabajando con tasa proporcional se obtiene el factor de capitalización con
capitalización subperiódica.
v
 nm
(
d
)
m
d

 1 
m

 nm
Para n= 1
v
m
d
( )
m
d 

 1 
m

m
Es el monto producido por un valor actual de $ 1 al cabo de un año capitalizando en
forma subperiódica con tasa de descuento proporcional. Para hallar la tasa efectiva
anual se resta ese peso de valor actual y se obtiene:
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d

i '  1 
m

m
1
Si trabajamos con n en lugar de m, sabiendo que n es la inversa de m tenemos:
i '   1  dn 

1
n
1
Esta fórmula es equivalente a la Nº 2 anterior.
Veamos en un ejemplo si ambas fórmulas arrojan el mismo resultado:
Para una tasa de descuento nominal del 12% anual, si las capitalizaciones son
trimestrales, hallar la tasa efectiva anual de descuento respectiva.
Usando la fórmula (1) que es la que realmente debe utilizarse cuando se trabaja con
tasa de descuento y, por tanto, los intereses se calculan sobre el valor nominal del
documento, tenemos:
d '  1   1  dn 
1
n
12
3
d '  1  (1  0,12* 3 / 12)  1  (1  0,03)4  0,11470719
Se trata de una tasa anual.
Si utilizamos la fórmula (2) en sus dos versiones tenemos:
m
d 

i '  1   1
m

4
0,12 

i '  1
1 
4 

4
i '   1  0, 03   1  0, 97 4  1  0,1296
1
 1 n
i'  
 1
 1  dn 
12
3
1


i'  
 1 
 1  0,12* 3 / 12 
4
4
1


 1 
4
i'  
 1  
  1   1, 030927835   1  0,1296
 1  0, 03 
 0, 97 
Los resultados son iguales.
En resumen: utilizando la fórmula (1) se obtiene la verdadera tasa efectiva con tasa de
descuento. Usando la fórmula (2) en sus dos versiones se halla la tasa efectiva exigida
por el B.C.R.A. es decir que es una tasa de interés efectiva anual equivalente al
cálculo de los intereses en forma vencida, en tanto por ciento con dos decimales.
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La normativa reglamenta al respecto lo siguiente:
Cálculo de la tasa de interés efectiva anual. Se utilizarán las siguientes fórmulas.
3.3.1. Operaciones en las cuales, según el contrato, los intereses se calculan en forma
vencida para percepciones periódicas o íntegra y determinados proporcionalmente a
partir de una tasa anual:
I = {[(1 + is* m/df * 100) ** df/m]-1} * 100
3.3.2. Operaciones en las cuales, según el contrato, los intereses se calculan en forma
adelantada y se perciben íntegramente, determinados proporcionalmente a partir de
una tasa anual:
i = {[(1/1-d * m/df * 100) ** df/m]-1} * 100
En las expresiones anteriores se entiende
i : tasa de interés anual efectiva, equivalente al cálculo de los intereses en forma
vencida sobre saldos, en tanto por ciento, con dos decimales.
is : tasa de interés anual contractualmente aplicada, en tanto por ciento.
d : tasa de descuento anual contractualmente aplicada, en tanto por ciento.
m : cantidad de días correspondiente a cada uno de los subperíodos de percepción
de intereses cuando se los cobre en forma periódica, o de la operación cuando se los
cobre en una sola oportunidad. Cuando dichos subperíodos sean en días fijos por
lapsos mensuales, bimestrales, etc., se consideran a estos efectos como de 30 días, 60
días, etc., respectivamente.
df : 365 o 360, según el divisor fijo que corresponda utiliza.
Como se advertirá las fórmulas de tasas efectivas que se utilizan en la práctica de
Matemática Financiera son equivalentes a las determinadas por el BCRA pese a
algunos cambios metodológicos, especialmente porque éste trabaja con una tasa en
tanto por ciento y no en tanto por uno como se utiliza en la cátedra.
4.1.-CALCULO DE TASAS EFECTIVAS
OPERACIONES FINANCIERAS:
PARA
DISTINTOS
CASOS
DE
Veamos en un ejemplo sencillo cómo, tomando un mismo capital, un mismo tiempo y
una misma tasa nominal (de interés o de descuento), varían las tasas efectivas
resultantes cambiando la forma de pago o de cobro de los intereses.
La tasa anual de interés o de descuento es del 24% (0,24) y se debe calcular la tasa
efectiva de la operación a un año de plazo.
CASO 1): Un capital de $ 1 cuyos intereses son pagaderos al final de la operación en el
plazo de un año (interés simple):
0
$1
1 año
$1,24
El capital está referido al momento inicial (momento 0) y el interés al momento final
(momento 1). La tasa de interés anual obtenida efectivamente en la operación es del
24%, ya que se cobran $ 0,24 de interés por un capital prestado de $ 1. Como hay una
sola capitalización la tasa efectiva de la operación coincide con la nominal.
CASO 2): La operación se efectúa con tasa de descuento a interés simple
(descuento comercial):
0
$ (1 – 0.24) = 0,76
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
1 año
$1
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Se trata de una tasa de descuento del 24% ya que los intereses son adelantados.
Como el capital realmente prestado es de $ 0,76 y los intereses que se cobran son de $
0,24, el interés realmente cobrado en un año o tasa efectiva es de 0,24/0,76 =
0,315789473 anual (31,58%).
CASO 3): Si existe más de una capitalización en el término de un año y los
intereses se pagan al final del plazo (interés compuesto):
Por ejemplo: las capitalizaciones son trimestrales, es decir que hay 4 capitalizaciones
en el año (m = 4).
0
$1
$1
3
6
9
12 meses
[ (1+ i/m) ^ m] -1
[(1+ 0,24/4) ^ 4 ] -1= $ 1,262477
La tasa efectiva anual resultante es, por tanto el 26,25% anual.
Este caso también podría aplicarse y determinarse igual tasa efectiva si se considera
que la operación fue a interés simple a un plazo de 4 meses y se quiere determinar
cuál es la tasa efectiva anual, porque sabemos que para determinar la tasa efectiva
anual en una operación simple partiendo de los intereses del plazo de la operación, se
supone que los fondos se reinvierten durante el plazo restante hasta el año a la misma
tasa del período.
Si la tasa de los 3 meses es del 6% y se desea hallar la tasa efectiva anual se hace:
(1+ 0,06) ^ 4 -1= 0,262477
CASO 4): Si la operación financiera se pacta con capitalización continua:
0
$1
$1
1
ei
e 0.24 = 1,2712491
Se obtiene lo que se denomina el monto máximo, La tasa efectiva anual que resulta
en la operación es del 27,12% anual.
CASO 5): Si se utiliza la tasa instantánea en la capitalización continua
Si obtenemos la tasa instantánea: =
1
$1
$1
ln 1,24= 0.215111
1
e
e 0.215111 = 1,24
Se obtiene el mismo rendimiento efectivo que con la tasa nominal ya que la tasa
instantánea es equivalente a aquella.
CASO 6): Si se trata de una operación de descuento con tasa de descuento, es
decir que el documento se descuenta con intereses adelantados que se calculan
sobre el valor nominal del documento a interés compuesto. Suponiendo que los
períodos de capitalización sean semejantes al caso 3).
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0
3
6
9
(1 – d)n
(1 – 0.06)4 = 0,78074896
12 meses
$1
$1
Los intereses abonados por la operación alcanzan a (1 – 0,7807489)^6, o sea $
0,21925104, que relacionados con el préstamo efectivo de $0,78074896, determina
una tasa efectiva del 0,28082143 anual (28,08%).
En resumen: en las distintas operaciones financieras se enuncia la misma tasa nominal
anual de interés del 24% y el plazo para todas ellas es de un año. Sin embargo,
comprobamos que, según el método de cálculo o el plazo en que se capitalizan los
intereses, el rendimiento anual de la inversión es diferente.
Es por ello que en la práctica de las operaciones financieras se utiliza a la tasa efectiva
como tasa de comparación a efectos de homogeneizar la información y tener un
parámetro que, dentro de las limitaciones por los supuestos que conlleva, es útil para la
toma de decisiones de inversión.
5.- TASAS EQUIVALENTE Y CONVERTIBLE:
Se denomina tasa equivalente a aquella que, aplicada en un régimen de
capitalización subperiódica produce, para el mismo capital y en el mismo tiempo,
igual monto que la tasa nominal con capitalización periódica y se la simboliza con im
para el caso de tasa de interés y con dm para el caso de tasa de descuento.
Debido a que el uso de tasa proporcional en la capitalización subperiódica produce
un rendimiento efectivo anual mayor que con el de la nominal, se determina cuál es la
tasa también subperiódica que produciría igual rendimiento efectivo que la nominal y
de allí surge el concepto de tasa equivalente.
a) Tasas equivalente y convertible para tasas de interés
En consecuencia la tasa equivalente surge de:
nm
C 0  1  im   C 0  1  i 
m
 1  im    1  i 
n
1
m
im   1  i   1
Si la tasa nominal anual es del 12% y la capitalización es trimestral, la tasa equivalente
(que produciría un rendimiento efectivo anual igual al 12%), sería:
1
m
im   1  i   1
1
4
im   1  0,12   1  0,028737345 trimestral
Esta tasa equivalente es, como se dijo, subperiódica. Para expresarla en forma anual
debe multiplicarse por m, lo que determina la existencia de una nueva tasa llamada
convertible que es igual a:
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jm  im m
En el caso planteado la tasa convertible (anual) sería igual a 0,028737345* 4 =
0,114949378 (11,49%).
Pero en Matemática Financiera existe un concepto de tasa equivalente que es más
amplio y que se utiliza en general cuando se comparan dos tasas diferentes y se dice
que son equivalentes cuando, aplicadas a diferentes regímenes de capitalización
(interés simple o compuesto con capitalización subperiódica, periódica o continua), o
a dos métodos distintos de cálculo (intereses vencidos o adelantados), producen para
el mismo capital y el mismo tiempo el mismo rendimiento efectivo.
b) Tasas equivalente y convertible para tasa de descuento:
Llamamos tasa equivalente de descuento dm a aquella tasa subperiódica que
capitalizada con descuento compuesto, al cabo de un año produce un rendimiento
efectivo igual que la tasa nominal de descuento.
1  dm   1  d
1
m
1  dm   1  d 
1
m
dm  1  1  d 
m
La tasa equivalente trimestral de una tasa de descuento nominal anual del 12% es
igual a:
dm  1  1  d 
1
m
1
4
d m  1   1  0,12   1  0, 880,25
d m  0, 031453
La tasa equivalente, si la tasa fuera de interés, sería igual a 0,028737, lo que significa
que cuando se trabaja con tasa de descuento se produce lo inverso que con tasa de
interés. Sabemos que la tasa equivalente de interés subperiódica es menor que la tasa
proporcional. En cambio la tasa equivalente de descuento es mayor que la
proporcional.
Como en el caso de tasa de interés, la tasa de convertible para una tasa equivalente
de descuento dada, es igual a ésta multiplicada por m que es el número de
capitalizaciones anuales.
Por tanto (llamando gm a la tasa convertible):
gm = dm*m= 0,031453*4 = 0,125812
Quiere decir, entonces que es equivalente trabajar con una tasa de descuento anual
del 12,58% con actualización trimestral que con una tasa de descuento anual del 12%
con actualización anual. En ambos casos el rendimiento efectivo anual es del 12%.
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6.- TASA DEL PERÍODO EN UNA OPERACIÓN SIMPLE CUALQUIERA.
Supongamos que una persona recibe un préstamo o compra bienes por $ 100 y que a
los 180 días debe abonar un total de $ 123,67.
El gráfico de la operación es el siguiente:
0
$ 100
180
$123,67
Aunque no se exprese en el problema, es evidente que en esta transacción
(cualquiera sea la operación financiera pactada y el método de cálculo utilizado)
existe un tasa de interés implícita.
Cuando queremos saber cuál es la tasa de interés cobrada o pagada en una
operación financiera simple cualquiera, podemos hacerlo conociendo el importe del
préstamo o el valor de compra de los bienes (en el momento cero) y la suma a cobrar
o a pagar al final del plazo (en el momento n). Es decir que, pese a que la tasa de la
operación no esté enunciada, existe una tasa implícita que hace igualar el valor final
(suma a pagar al final del plazo) con el valor actual del capital en el momento inicial
de la operación (importe del préstamo o valor de la compra) o viceversa.
En efecto, si a la diferencia entre esos dos valores (que es el interés total de la
operación) la dividimos por el capital inicial, hallaremos lo que denominamos tasa de
interés del período.
En el presente caso la tasa del período se halla haciendo:
tp = (123,67 – 100)/100= 23,67/100= 0,2367
Es decir que se puede generalizar estableciendo que:
tp 
Reintegrado - Prestado Interés del período

Prestado
Prestado
La tasa del período debe ser asimilada al concepto de tasa proporcional (i/m), con la
diferencia que ésta surge cuando se conoce la tasa anual y se determina la tasa del
período de la operación en función al tiempo proporcional que existe entre el período
en que está expresada la tasa y el plazo de la operación y la denominada tasa del
período surge, como se expresó, cuando, sin estar determinada explícitamente una
tasa de interés, dados los valores del capitales iniciales y finales se calcula la misma.
Pero también podemos afirmar que esta tasa es una tasa efectiva que corresponde al
período de la operación (180 días) ya que es el interés que realmente debemos pagar
o cobrar por el préstamo o la financiación de la compra durante los 180 días (el
23,67%).
Cualquiera sea el método de cálculo que se pacte en una operación para calcular la
tasa de interés, debemos considerar el capital realmente recibido o prestado al inicio
del plazo y el capital realmente reembolsado al final del mismo, los cuales surgirán de
la aplicación del método de cálculo pactado.
Debemos tener en cuenta que el mismo gráfico anterior podría aplicarse tanto al
interés simple o descuento racional pues en ambos casos los intereses se pagan al
vencimiento del plazo o también para una operación a interés compuesto en los
cuales se aplicaran diferentes cantidades de períodos de capitalización entre 0 y 180.
Para el caso del descuento de intereses por adelantado en el descuento comercial y
en el denominado descuento con tasa de descuento, la tasa efectiva del período y la
tasa efectiva anual también serán las mismas que las halladas en los casos de intereses
que se abonan al vencimiento, pero no ocurre lo mismo con tasas nominales de
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interés o de descuento pactadas que serán diferentes para las distintas modalidades y
diferentes sistemas de cálculo.
Para el caso de operaciones a interés simple y descuento racional a interés simple
podemos determinar la tasa nominal anual implícita de la operación tomando la tasa
del período de 180 días y haciendo:
i = 0,2367 * 365/180= 0,48 anual (48%)
7.- TASA EFECTIVA EN UNA OPERACIÓN SIMPLE CUALQUIERA.
En base a esa tasa para 180 días hallaremos ahora la tasa efectiva anual de la
operación que, como sabemos es el interés realmente obtenido al cabo de un año
cuando se utiliza la tasa proporcional en la capitalización subperiódica.
En realidad, el concepto de tasa efectiva es más amplio puesto que puede
denominarse, con carácter general, como tasa efectiva a aquella que permite
determinar el rendimiento que realmente se obtiene al cabo de un cierto período de
tiempo (generalmente un año) capitalizando a interés compuesto la tasa del período
de una operación financiera, cualquiera sea el método de cálculo que se utilice.
Si tomamos la tasa efectiva para la operación a 180 días, o sea el 23,67% y deseamos
hallar el rendimiento que se obtendría en un año de 365 días, partiendo del supuesto
de que la operación de referencia se reitera a interés compuesto a la misma tasa,
tantas veces como veces está contenido el plazo de la operación en un año, debe
aplicarse la fórmula:

i´  1  t p

m

 1  1 tp

1
n
1
Para este caso:

i'  1  t p

365 / 180
i'   1  0.2367 
1
365 / 180
 1  0 ,5385 anual
Es decir que: cualquiera haya sido la operación financiera (interés o descuento) y el
método de cálculo de intereses (simples vencidos o adelantados o compuestos
vencidos o adelantados) una tasa efectiva de 23,67% para 180 días produce al cabo
de un año de 365 días un rendimiento efectivo del 53,85%.

Cambio de plazo de la operación:
Supongamos ahora que deseamos cambiar el plazo de la operación y llevarla a 30
días pero conservando la tasa efectiva anual hallada y, por lo tanto debemos
determinar la tasa nominal anual equivalente, es decir aquella que utilizada en un
operación de interés simple o de descuento racional a interés simple produzca al
cabo de un año el mismo rendimiento efectivo del 53,85% anual.
Un procedimiento es hallar la tasa efectiva para 30 días partiendo de la efectiva para
180 días, de la siguiente manera:
Tasa efectiva para 30 días:
i'(30)= [(1+0,2367) 30/180]-1 = 0,036042076
(3,60%)
Tomando la tasa efectiva para 30 días (que a su vez es una tasa proporcional de una
anual que desconocemos) hallamos la tasa nominal anual estableciendo la
proporcionalidad respectiva:
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i= tp*1/n= 0,036042076*365/30= 0,438511925 (43,85%)
Para comprobar la corrección del resultado podemos hallar, en base a esa tasa
efectiva del período, la tasa efectiva anual que debe ser igual a la que se determinó
para operaciones a 180 días, en efecto:
i'= (1+tp)^1/n= 1,036042076365/30 –1= 0,53847917 (53,85%);
o partiendo de la tasa nominal anual hallada tenemos:
i’= (1+0.438511925*30/365)^ 365/30 –1= 0,53847917
En resumen: son tasas equivalentes

el 48% anual para operaciones a interés simple a un plazo de 180 días y

el 43,85% anual para operaciones a 30 días, puesto que en ambos casos la
tasa efectiva anual resultante es del 53,85%.
8.- TASA DEL PERÍODO Y TASA EFECTIVA EN EL INTERÉS SIMPLE:
Una operación a interés simple puede ser graficada de la siguiente manera:
0
C0
n
Co + C0.i.n
La tasa del período se halla, siguiendo el criterio anterior expuesto, restando al valor
final de la operación el valor al comienzo, y ese resultado dividiéndolo por el valor
inicial, de la siguiente manera:
tp 
C0  C0 in  Co
 i.n
C0
La tasa efectiva anual para este tipo de operaciones de interés simple resultará de
aplicar la fórmula general antes expresada:
m
1
i 

i´ 1    1  1  i.n  n  1
m

En estas fórmulas m es el número de capitalizaciones que hay en el año o período, o
sea que es la inversa de n. Por tanto m = 1/n.

Tasa nominal anual equivalente a determinada tasa efectiva
De esta fórmula de la tasa efectiva para operaciones a interés simple, podemos
deducir la de la tasa nominal equivalente cuando se conoce la efectiva.
Tenemos:
1
1
n
n
i'   1  in   1
i
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
1  i'   1  in 
 1  i' 
n
1
n
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Con esta fórmula podemos volver a encontrar la tasa nominal anual para operaciones
30 días que sea equivalente a la del 48% anual para 180 días:
i
( 1  0,53847917 )
30
365
30
365
1
 0,438511925 anual
Que es el mismo valor determinado con el procedimiento anterior.

Cálculo de tasas equivalentes en el interés simple para distintos plazos:
Otra forma para establecer tasas equivalentes dentro del interés simple para diferentes
plazos es igualar las tasas efectivas de ambas operaciones. Por ejemplo, conociendo
el 48% nominal anual para operaciones a 180 días, hallar la tasa nominal anual
equivalente si la operación se realiza a 30 días.
1
1
 1  i1 n1  n1  1   1  i2 n2  n2  1
1
1
 1  i1 n1  n1   1  i2 n2  n2
n2
 1  i1 n1  n1   1  i2 n2 
n2
 1  i1 n1  n
1
 1  i2 n2
n2
 1  i1 n1  n

1
i2
1
n2
Aplicando la fórmula para el caso planteado:
n2
 1  i1 n1  n

1
i2
1
n2
30
i2 
 1  0 ,48* 180 / 365  180  1
30 / 365
 0 ,4385329
El mismo resultado que los procedimientos anteriores.
9.- TASA DEL PERÍODO Y TASA EFECTIVA EN EL DESCUENTO COMERCIAL:
Seguimos con el mismo ejemplo planteado, pero ahora en un caso de descuento
comercial:
0
$ 100
V1= N (1- dn)= N - Ndn
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180
$123,67
N
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Es decir que se entiende que una persona tenía un documento de $ 123,67 que vence
dentro de 180 días y lo descontó comercialmente recibiendo en la fecha un valor de $
100. La tasa de descuento del período equivalente a la del interés simple se halla
relacionando los $ 23,67 de intereses con respecto al valor nominal del documento ya
que en el descuento comercial el descuento se calcula sobre ese valor.
Debemos replantear la relación establecida en el punto anterior que relacionaba el
interés del período con la suma prestada y ahora relacionarla con la suma a devolver.
La ecuación sería la siguiente:
tp=
En base a ello tenemos que la tasa de descuento del período será:
tp = (123,67 – 100)/123,67 = 23,67/123,67 = 0,191396458 para 180 días.
De esta manera podemos hallar la tasa nominal anual de descuento comercial
equivalente a la del interés simple para un plazo de 180 días.
Esa tasa nominal será:
d = 0,191396458 * 365/180 = 0,388109484 anual (38,81%)
Según demostraremos enseguida, esta tasa nominal anual aplicable para una
operación de descuento comercial a 180 días de plazo debe dar una tasa efectiva
anual igual a la determinada para la operación a interés simple para igual plazo
(53,85%).
Para demostrar la tasa del período y la tasa efectiva para operaciones de descuento
comercial generalizamos para una operación cualquiera con el siguiente gráfico:
0
N - Ndn
n
N
La tasa del período se hallará de la siguiente manera:
tp 
N   N  N .d .n 
N ( 1  dn )

N  N  N .d .n
d .n

N  1  dn )
1  dn
Si utilizamos esta fórmula podemos ahora hallar la tasa del período de la operación de
descuento:
tp = (0,388109484*180/365) / (1-0. 388109484*180/365)= 0,23669999
Como vemos es el 23,67% para los 180 días igual a la tasa hallada para el período en
el caso del interés simple, por lo tanto también será igual la tasa efectiva anual
resultante.
Por su parte, para hallar la fórmula de la tasa efectiva:
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1
dn  n

d'   1 
1
1  dn 

1
 1  dn  dn  n
d'  
 1
 1  dn 
1
 1 n
d'  
 1
 1  dn 
Utilizando esta fórmula hacemos la comprobación pendiente:
1


d'  

 1  0,388109484* 180 / 365 
d'  0,5384792anual
365
180
1
Es la misma tasa efectiva anual del 53,85% que antes calculamos para la operación a
interés simple a 180 días.
Otra fórmula que podría utilizarse para hallar la tasa efectiva anual en una operación
de descuento puede hallarse de la siguiente forma:
Siendo:
N  V5  1  d 
n
Cuando la capitalización es subperiódica:
d 

N  V5  1  
m

 nm
Para n= 1 año
d 

N  V5  1  
m

m
Para un valor actual de $ 1 y n= 1año:
d 

N  1 
m

m
Siendo el descuento la diferencia entre el valor nominal y el actual, la tasa efectiva de
descuento será:
d 

d'   1  
m

m
1
Para el caso planteado:
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0 ,388109484 

d'   1 
365 / 180 

d'  0 ,538479168

365
180
1
Es el mismo valor hallado anteriormente.
10.- TASAS NOMINALES EQUIVALENTES EN EL DESCUENTO COMERCIAL:
Conociendo la fórmula de la tasa efectiva para el descuento comercial se puede
deducir de ella la que corresponde a la tasa nominal que resultará equivalente para
cualquier otro plazo.
1
 1 n
d'  
 1
1

dn


 1 
1  d'  

 1  dn 
1  dn   1  d' 
1
n
 1  d' 
 1 


 1  dn 
1   1  d'   dn
n
d
n
n
1   1  d' 
n
n
Si queremos obtener la tasa nominal anual para operaciones a 30 días equivalente a
la tasa efectiva del 53,85%, para una operación a 180 días de plazo, hacemos:
i = 1 – 1,5385 –30/365 *365/30 = 0,423269938 anual (o sea 42,33%)
Otro procedimiento que permite determinar tasas equivalentes entre operaciones de
interés simple y de descuento comercial es el que parte de igualar las fórmulas
efectivas determinadas para ambas operaciones, a saber:
1
 1 n
i'   1  in   1
y d'  
 1
 1  dn 
1
1
;
in 
1
 1  in  
1  dn
1  dn
 1  1  dn 
in= 

 1  dn 
1
n
 d 
i =

 1  dn 
Con esta fórmula podemos hallar una tasa nominal de interés simple que sea
equivalente a la de descuento comercial para el mismo plazo. Si tomamos la tasa
nominal del descuento comercial del 38,81%, y determinamos la tasa nominal de
interés simple utilizando la fórmula anterior tenemos:
is = 0,388109484/(1-0.388109484*180/365)= 0,479974998 anual
Es el 48% anual, que corresponde al valor de la tasa de interés simple utilizada al
comienzo de este trabajo.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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También podemos deducir, a partir de la fórmula hallada, la que nos permita
determinar la tasa de descuento, conociendo la tasa nominal del interés simple. Para
ello hacemos:
d
1  dn
 i  i* dn   d
i  1  dn   d
i
d  idn  i
d( 1  in )  i
d
i
( 1  in )
Aplicando esta última fórmula hallamos la tasa nominal de descuento comercial
equivalente al 48% nominal anual de interés simple:
id = 0,48/(1+0,48*180/365) =0,38812583 anual
La misma tasa que la hallada por otros procedimientos ya vistos.

Cálculo de tasas equivalentes del descuento comercial para diferentes
plazos.
Queremos ahora determinar, conociendo una tasa de descuento comercial, una tasa
equivalente para el mismo descuento, pero para un plazo diferente. Esto se encuentra
igualando las tasas efectivas, para las distintas tasas y plazos.
1
1

 n1

 n2
1
1

 1
 1
 1  d 1 n1 
 1  d 2 n2 
n2

 n1
1
1

 
1  d 2 n2
 1  d 1 n1 
n2
1  d 2 n2   1  d 1 n1  n1
d2 
1   1  d 1 n1 
n2
n1
n2
Si partimos de una tasa nominal anual del 38,81% para operaciones de descuento
comercial a 180 días hallamos la tasa equivalente pero para un plazo de 30 días:
30
d2 
1   1  0,3881* 180 / 365  180
30 / 365
 0,423245483
Es una tasa nominal anual de descuento del 42,32% para una operación cuyo plazo
sea de 30 días.
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11.- TASA DEL PERÍODO Y TASA EFECTIVA EN EL INTERÉS Y DESCUENTO
COMPUESTOS:
La operación puede ser graficada de la siguiente manera:
0
C0
V3
100
180
Co (1+i)n
V3 (1+i)n
123,67
En este caso las tasas dependerán del momento en que se efectúa realmente la
capitalización dentro del período de 180 días.
Si existe una sola capitalización a los 180 días el problema es similar al de interés
simple antes desarrollado puesto que con una sola capitalización el interés es simple y
no compuesto.
Supongamos que las capitalizaciones se efectúan cada 30 días, o sea durante el lapso
de la operación de 180 días en total existen 6 capitalizaciones.
Tenemos planteada la siguiente ecuación:
123,67= 100(1+i*30/365)6
de donde:
i = (1,23671/6 -1)*365/30 = 0,4385119 (43,85%) anual
En estos casos se tienen dos plazos:

uno el de la cantidad de capitalizaciones que existe dentro del plazo de la
operación y

el otro para hallar la tasa anual: es el valor de n (365/cantidad de días de la
capitalización).
La fórmula podría escribirse:
i = (1+ tasa efectiva) 1/Nº capitalizaciones -1)* 365/cantidad de días de capitalización
En resumen: trabajando a la tasa nominal anual del 43,85% anual para operaciones a
180 días, con capitalizaciones cada 30 días, se obtiene el mismo rendimiento anual
efectivo que en una operación a interés simple a 180 días o en una de interés
compuesto al mismo plazo y con capitalizaciones cada 180 días.
La tasa efectiva anual se halla de la siguiente manera:
i’= (1+0,4385119*30/180)365/30 - 1 = 0,5384792
anual (53,85%)
12.- TASAS DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO EQUIVALENTES:
Si igualamos los montos a interés simple y a interés compuesto, podemos hallar la tasa
nominal equivalente de una de ellas, conociendo la nominal de la otra, con
capitalizaciones anuales. Para capitales unitarios tenemos:
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1  ic 
n
 1  i sn
1
i c   1  i sn  n  1
is
1  ic 

n
1
n
Si aplicamos la fórmula y queremos hallar la tasa nominal anual de interés compuesto
equivalente a la tasa nominal anual del 48% para una operación a 180 días:
ic = (1+0,48*180/365)365/180 -1= 0,5385103 anual
Si el plazo de la operación es 30 días:
ic = (1+0,48*30/365)365/30 -1= 0,6012321 anual
Es decir que obtenemos las tasas efectivas anuales.
13.- TASA DEL PERÍODO Y TASA EFECTIVA EN EL INTERÉS Y DESCUENTO
CONTINUOS:
La operación puede ser graficada de la siguiente manera:
0
C
V
100
180
Cein
Vein
123,67
Planteamos la ecuación:
123,67 = 100ein
ln 123,67 = ln 100 + in ln e
ln 123,67 - ln 100 = in
i = (ln 123,67 - ln 100) * 1/n
i = ln 1,2367*365/180 = 0,4307944 anual (43,08%)
Esta tasa nominal anual aplicada durante 180 días produce un rendimiento para el
período del 23,67% y al cabo de un año del 53,85% efectivo.
Es decir que la tasa de 43,08% anual en operaciones a 180 días con capitalización
continua produce el mismo rendimiento efectivo que el 48% nominal anual a interés
simple o compuesto para ese mismo plazo.
También debemos recordar aquí que si igualamos los montos con capitalización
continua y discontinua, podemos hallar las tasas equivalentes para ambos sistemas.
Ello se efectúa siguiendo el siguiente procedimiento, tomando capitales unitarios para
cada caso:
( 1  ic )n  e n
ln( 1  ic )   .ln e
  ln( 1  ic )
ic  anti ln   1
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Aplicando la fórmula de la tasa instantánea tenemos:
= ln 1,48= 0,39204209
Esta tasa instantánea es equivalente para el caso de capitalizaciones anuales.
En el caso en estudio corresponde a 180 días:
= ln.(1+0.48*180/365)= 0,21245651 que sería la tasa de interés continuo del período
de 180 días equivalente a la tasa del 23,67% con capitalización periódica.
La tasa anual resultante será:  = 0,21245651*365/180= 0.43081 (43,08%) similar a la
anteriormente determinada, que resulta equivalente a la tasa nominal del 48% en un
sistema de capitalizaciones discontinuas y siempre para operaciones concertadas a
un plazo de 180 días.
14.-TASA DEL PERÍODO Y TASA EFECTIVA EN EL DESCUENTO COMPUESTO
CON TASA DE DESCUENTO:
La operación puede ser graficada de la siguiente manera:
0
V= N (1 – d) n
100
180
N
123,67
a) Si las capitalizaciones son cada 180 días (hay una sola):
100 = 123,67 (1 – d)
Tasa del período: tp= (1 - 100/123,67) = 0,191396459
Tasa nominal anual:
d = (1 - 100/123,67)*365/180 = 0,38810948
(38,81%)
Estas tasas son las mismas que las halladas cuando se trabajó con descuento
comercial y debe ser así porque, al haber una sola capitalización, el interés aún no se
transforma en compuesto.
b) Si dentro de ese plazo existen más de una capitalización:
Por ejemplo se efectúa cada 30 días:
100 = 123,67 ( 1 – d*30/365) 180/30
d = 1-(100/123,67) 30/180 * 365/30 = 0,42325687 anual (42,33%)
Vemos entonces que en la medida que se aumente el número de capitalizaciones la
tasa nominal equivalente también aumenta.
15.- TASA INSTANTANEA
15.1. CONCEPTO DE TASA INSTANTANEA:
La tasa instantánea es definida por Gianneschi 3 como “aquella que, aplicada a un
régimen de capitalización continua produce, para un mismo capital y en el mismo
tiempo, el mismo monto que la tasa nominal con capitalización periódica.”
Sabemos que, si utilizamos la fórmula del monto máximo con capitalización continua
ni
n
0
el monto que se obtiene es superior al que produce la misma tasa nominal i, en
régimen de capitalización periódica.
C  C .e
GIANNESCHI, MARIO ATILIO: “Curso de Matemática Financiera”, Ediciones Macchi, Buenos
Aires (2005), página 107 y ss.
3
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Habrá, sin embargo, una tasa distinta que, aplicada a la fórmula indicada, iguala los
montos. A esa tasa se la simboliza  , y se la denomina instantánea.
Por lo tanto:
C0 en  C0 (1  i)n
Tomando un capital de $1 en un período:
e   (1  i)
log(1  i)

log e
  ln(1  i)
Cuando se trata el tema del límite de la tasa convertible se efectúa el siguiente
desarrollo:
j

i  1 m

m


1 i  1






1  i   1 





m

1



m
j

m 
m 

j
m
j
m
m
j
m
m
j
 m





j
 m









lim m (1  i)  lim m e jm
lim m (1  i)  lim m e j
(1  i)  e j (I)
Por definición de tasa instantánea, resulta que:
C0  1  i   C0 e n
 1  i   e (II)
n
De (I) y (II) surge que:
  j
La tasa instantánea es el límite de la tasa convertible cuando m tiende a infinito. Es
igual a la tasa equivalente referida a cada instante, multiplicada por el número de
instantes que tiene el período.
Es una tasa proporcional y aplicada a su propia fórmula resulta equivalente a la tasa
nominal.
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Cuando se estudia la teoría general del interés se desarrolla el tema determinando
que la tasa instantánea es igual al cociente entre la derivada de la función y dicha
función:

f '( t ) d  ln . f ( t )

f(t )
dt
Es decir que la tasa instantánea es la derivada logarítmica de la función f(t).
Fornés Rubio4 dice que el interés que en un instante devenga un capital F(t) es una
cantidad infinitamente pequeña y, por tanto, imposible de utilizar en la práctica. Por
ese motivo se ha buscado un coeficiente que pudiera servir de base de comparación,
remitiéndolo a la unidad de tiempo. Este coeficiente es el resultado de multiplicar los
intereses obtenidos en un instante por el número infinito de instantes que contiene la
unidad de tiempo. Es un coeficiente proporcional a los intereses obtenidos en el
instante considerado. Esto es válido bajo el supuesto que el interés de cada instante es
constante en todos los instantes.

El coeficiente
es constante aceptando la hipótesis en que se basan todas las
operaciones financieras: una unidad de capital produce en un instante iguales
intereses que en otro.

e  1  i
i  e  1
  ln  1  i 
A la tasa instantánea se la llama “fuerza del interés”. La tasa convertible en el campo
de la capitalización discontinua es similar a la tasa instantánea en la capitalización
continua, siendo ésta el límite de la convertible cuando m tiende a infinito.
Para Murioni y Trossero 5 ni la tasa convertible ni la instantánea son verdaderas tasas. La
instantánea, según esos autores, es una intensidad o coeficiente de comparación que
nos permite pasar de la continuidad a la discontinuidad del interés utilizando en un
período finito una tasa equivalente a la tasa instantánea y obtener iguales resultados
que con el interés continuo, “que es el fundamento de la verdadera teoría del interés”.
Carrizo6 inicia su trabajo con el tema de la tasa de interés y dice que en la teoría del
interés es necesario establecer como postulado fundamental que “el capital crece
continuamente” y hace un paralelismo con el proceso natural de las plantas y las
asociaciones biológicas.
Cuando se mide el crecimiento de una planta al final de ciertos períodos de tiempo
no se interpreta que el crecimiento que indica la medición se ha producido
totalmente al finalizar el período. El crecimiento se produce continuamente a través de
todo el período pero recién se midió su magnitud al final.
El capital devenga interés en forma continua aunque por razones obvias de las
operaciones financieras sólo se determina la magnitud de los intereses al final de cierto
tiempo.
Surge un elemento fundamental en la teoría del interés: la tasa de crecimiento
instantánea del capital.
La tasa instantánea de interés es llamada también fuerza de interés por los actuarios
ingleses.
Muchas veces al escuchar hablar de tasa instantánea uno piensa que es una tasa que
se refiere a una unidad de tiempo muy pequeña (un instante), mas Carrizo afirma que
FORNÉS RUBIÓ, FRANCISCO: “Curso de Algebra Financiera”, Bosch Casa Editorial, Barcelona.
MURIONI, OSCAR y TROSSERO, ANGEL A.: “Manual de Cálculo Financiero”, Tesis Librería
Editorial, Buenos Aires, 1980.
4
5
CARRIZO, JOSE FERNANDO: “Conceptos básicos de Matemática Financiera” (F.C.E.
Universidad Nacional de Córdoba, julio 1972).
6
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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“la tasa instantánea corresponde a una unidad de tiempo (mensual, anual, etc.) y no a
un infinitésimo”.
Entonces, repetimos, la tasa instantánea de interés se define como el interés que
produciría la unidad monetaria en la unidad de tiempo, si el interés en cada instante a
lo largo de toda la unidad de tiempo fuera igual al interés producido en el primer
instante; lo que equivale a decir que para calcular la tasa instantánea en una unidad
de tiempo dada no se considera el interés que producen los intereses capitalizados.
La tasa instantánea, además, puede ser anual o subperiódica (es decir para períodos
mensuales, bimestrales, etc.).
15.2.- LA TASA INSTANTANEA DEL DESCUENTO
Así como existe una tasa instantánea de interés, también podemos mencionar una
tasa instantánea de descuento, la que se definiría como la fuerza de decrecimiento
de un capital final de un peso. Es el descuento de un peso en una unidad de tiempo
bajo el supuesto de que decrecimiento a lo largo de todo el período de la unidad es
igual al decrecimiento del último instante.
El concepto de tasa instantánea de descuento es similar al visto para la tasa de
interés. Es decir que es “aquella que, aplicada a un régimen de capitalización
continua produce, para un mismo capital y en el mismo tiempo, el mismo monto que
la tasa nominal con capitalización periódica.”
Recordando que el monto máximo con capitalización continua es:
___
C n  C0 .e ni
Para el caso de utilizar tasa de descuento el valor actual será:
__
V5  Ne ni
Y el valor nominal:
__
N  V5 e  ni
La tasa instantánea es aquella que, en un régimen de capitalización continua
producirá el mismo valor nominal que utilizando la tasa de descuento en la
capitalización discontinua o discreta. Para un valor de V= $1 y el plazo de n=1
1  d 
1
 e 
´
Designando a la tasa instantánea de descuento como
'
 'ln e  ln  1  d 
 '  ln  1  d 
 '   ln  1  d   ln  1  d 
1
Esta es la fórmula para hallar la tasa instantánea cuando se utiliza tasa de descuento,
pero por equivalencia entre tasas:
1  d 
1
 1 i
De donde, si se utiliza una tasa de descuento equivalente a la de interés:
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 '  ln 1  i 
Con lo cual queda que:
' 
15.3. RESOLUCION DE PROBLEMAS PRACTICOS DE LA TASA INSTANTANEA:
Usaremos los ejemplos que se incluyen en el libro de Gianneschi a efectos de
comentar los resultados y proponer otra forma de resolución.
El ejemplo 68 del libro pide calcular la tasa instantánea anual equivalente al 14% anual
con capitalizaciones semestrales.
La resolución se realiza calculando previamente la tasa efectiva de la operación:
m
2
i 
0,14 


i'  1   1  1
 1  0,1449 anual
m
2 


Y luego se halla la tasa instantánea de esta tasa efectiva anual:
  ln( 1  i')  ln1,1449  0,135317296
Cualquier alumno avispado podría interrogarnos porqué si nosotros enseñamos que la
tasa instantánea es equivalente a la NOMINAL y ahora la hallamos en base a la
EFECTIVA.
Quedan dos alternativas:
1) ¿Dimos mas el concepto de tasa instantánea al desarrollar la teoría del tema?
2) ¿Resolvimos mal el ejercicio práctico?
Si aceptamos la primera alternativa tendríamos que reexpresar el concepto de tasa
efectiva y decir entonces que la tasa instantánea es equivalente a la nominal cuando
la capitalización es periódica, pero que es equivalente a la efectiva cuando la
capitalización es subperiódica.
Pero el problema práctico podría resolverse de otra manera. Si tomamos la tasa
subperiódica semestral proporcional, en este caso del 7% y hallamos la tasa
instantánea de la misma, tendríamos:
  ln( 1  0,07 )  ln1,07  0,067658648semestral
Esta tasa instantánea es por supuesto semestral. Para hallar la anual, multiplicamos,
como se afirmó antes, por el número de períodos que existe en el año (en este caso2)
y obtenemos:
  0 ,067658648* 2  0 ,135317296anual
ES LA MISMA TASA QUE LA HALLADA UTILIZANDO LA EFECTIVA.
En el ejercicio 70 del libro se solicita para el 10% anual nominal, calcular:
a) La tasa efectiva anual si la capitalización es semestral, con tasa proporcional;
b) La tasa equivalente semestral;
c) La tasa instantánea semestral (aunque no lo dice se entiende que se refiere a
la anterior);
d) La tasa instantánea semestral equivalente a la proporcional.
Es decir que se solicitan dos tasas instantáneas equivalentes: una de la tasa
equivalente y otra de la tasa proporcional).
En la resolución que se agrega a este ejercicio el autor obtiene el resultado de la tasa
efectiva del punto a) que es igual al 10,25%, luego resuelve correctamente el cálculo
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de la tasa equivalente al 10% anual, con capitalización semestral, que es igual al
4,8808848% semestral.
Cuando resuelve el punto c) toma esta tasa hallada y determina la tasa instantánea
semestral que es igual a 0,047655089 semestral y realiza la comprobación que
determina un mismo monto que utilizando el 10% anual.
Podríamos continuar con la solución del problema de la siguiente manera:
 ( sem )  0 ,047655089
 ( anual )  0 ,047655089* 2  0 ,095310178
 ( anual )  ln( 1  i )  ln 1,10  0 ,095310178
 ( sem )  0 ,095310178 / 2  0 ,047655089
Es decir que la tasa instantánea semestral es proporcional a la tasa instantánea anual,
como ya se dijo, y da lo mismo hallar primero la equivalente y en base a ella
determinar la instantánea semestral, que hallar la instantánea anual en base a la
nominal y proporcionarla según la cantidad de subperíodos anuales.
Para determinar el caso d), o sea la tasa instantánea semestral equivalente a la
proporcional, se procede de la siguiente forma:
 ( sem )  ln 1,05  0 ,048790164
Si multiplicamos esa tasa semestral hallamos la anual que es la misma que podríamos
determinar hallando directamente la tasa instantánea de la efectiva.
 ( anual )  0 ,048790164* 2  0 ,097580328
 ( anual )  ln1,1025  0 ,097580328
ANEXO SOBRE NORMAS DEL BANCO CENTRAL Y
RIESGO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS
NORMAS DEL BANCO CENTRAL DE LA REPÚBLICA ARGENTINA (BCRA) RELACIONADAS
CON TASAS DE INTERÉS EN OPERACIONES ACTIVAS Y PASIVAS DE LAS INSTITUCIONES
FINANCIERAS:
a)
En depósitos de ahorro y plazo fijo: las tasas de interés se concertarán
libremente entre las entidades financieras y los clientes (aunque siempre el ahorrista
tiene que sujetarse a las pautas que establezca el Banco). Los intereses se liquidarán
sobre los capitales impuestos desde la fecha de recepción de los fondos hasta el día
anterior del vencimiento o retiro o el día de cierre del período de cálculo. Significa que
se cuenta el primer día en que se deposita y no el último. Se toma como divisor fijo
igual a 365 días.
b)
En operaciones de crédito: a la tasa que cobra el Banco se la denomina tasa
compensatoria y se concerta también libremente entre las entidades y los clientes.
Puede ser fija o variable. Los intereses solo pueden liquidarse sobre los saldos de
capitales efectivamente prestados y por los tiempos en que hayan estado a
disposición de los clientes. Las tasas se aplicarán en forma vencida, salvo en las
operaciones de pago único a su vencimiento, en las que también podrá emplearse en
forma adelantada, según se convenga. El divisor fijo es 365 días, salvo para préstamos
hipotecarios sobre vivienda y prendarios sobre automotores en donde se utiliza 360
días.
También existe la denominada tasa de interés de carácter punitorio adicional al interés
compensatorio, a aplicar en créditos vencidos e impagos durante el período en que
se produzcan los atrasos. En los préstamos amortizables mediante pagos periódicos, los
intereses sólo podrán aplicarse sobre el monto de las cuotas vencidas e impagas y no
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sobre el saldo de deuda total. No se pueden aplicar intereses punitorios en
operaciones de adelantos transitorios en cuenta corriente.
Además los bancos están facultados a percibir comisiones u otros cargos adicionales a
los intereses.
Expresión de las tasas:
En la operaciones financieras, según lo determina el BCRA las tasas de internes
deberán expresarse en forma homogénea y transparente dentro del mercado
financiero con la finalidad de que los usuarios del crédito dispongan de elementos
comparables para su evaluación.
La tasa de interés o de descuento debe expresarse en forma anual, en tanto por
ciento, con dos decimales. Quiere decir que en la ejercitación práctica de
Matemática financiera, como se trabaja con una tasa de interés en tanto por uno
debemos trabajar con 4 decimales, ajustando la última cifra., en mas o en menos
según el valor del quinto decimal.
También debe expresarse la tasa de interés efectiva anual equivalente al cálculo de
intereses en forma vencida, en tanto por ciento con dos decimales.
El cálculo de las tasas efectivas se realiza según las fórmulas que veremos más
adelante en esta Unidad.
La única limitación al cobro de intereses es la relativa a tarjetas de crédito que dispone
que el interés compensatorio no podrá superar en más del 25% a las tasas de interés
que la entidad haya aplicado, durante el mes inmediato anterior, en las operaciones
de préstamos personales sin garantías reales.
Por su parte, la tasa de interés punitorio no podrá superar en más del 50% a la tasa de
interés compensatorio que la entidad emisora aplique para la financiación de saldos
de tarjetas de crédito.
COSTO FINANCIERO TOTAL:
El BCRA determina que se debe mencionar en la publicidad que realicen las
instituciones financieras el costo financiero total el que, según se define, se expresará
en forma de tasa efectiva anual, en tanto por ciento con dos decimales, y se
determinará agregando a la tasa de interés el efecto de los cargos asociados a la
operación, cualquiera sea su concepto, en la medida que no impliquen la retribución
de un servicio efectivamente prestado o un genuino reintegro de gastos, teniendo en
cuenta los siguientes criterios:
1) Conceptos computables:
a)
Integración de cuotas sociales de entidades financieras de naturaleza
cooperativa.
b)
Comisiones por la intermediación de la entidad en operaciones de
compraventa de inmuebles vinculadas a préstamos otorgados para su
adquisición, en la medida en que exceda el valor normal de plaza.
c)
Primas y otras erogaciones por la contratación de seguros en relación
con los prestatarios y los bienes objeto de las financiaciones.
d)
Gastos:
1.
de apertura y mantenimiento de cuentas de depósitos y los vinculados
a tarjetas de crédito y/o de compra asociadas a las financiaciones.
2.
originados en la evaluación de los solicitantes de las financiaciones y en
la tasación de bienes.
3.
por envío de avisos de débito y otras notificaciones.
4.
Impuesto al valor agregado sobre los intereses en el caso de que el
prestatario sea consumidor final.
2) Conceptos no computables.
a)
Comisiones por acuerdos de utilización de fondos bajo la forma de
adelantos en cuenta corriente.
b)
Impuestos nacionales, provinciales y municipales que graven:
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c) Tasas, tarifas y otras retribuciones por servicios de reparticiones públicas tales
como las encargadas de la recaudación de tributos, los registros de
propiedades y de empresas de servicios públicos.
d) Honorarios de escribanía y reintegro de gastos por diligenciamiento notarial.
e)
Impuesto sobre los intereses pagados y el costo financiero del endeuda
miento empresario.
Se aclara que se trata de una enumeración sintetizada de las disposiciones del BCRA.
Para ver la norma completa consultar en la página de la institución
http://www.bcra.gov.ar la Comunicación "A" 3052 y modificatorias (Texto ordenado al
22.08.03).
Importante:
Los conceptos no computables referidos precedentemente lo son a los fines de la
determinación del costo financiero computable con motivo de la publicidad que
deben realizar las instituciones financieras, pero no a los efectos de determinar el real
costo financiero para el deudor que un especialista financiero debe determinar para
su cliente ya que, aunque para el BCRA no se los compute, son costos incurridos en la
obtención del préstamo y, por consiguiente, determinan un aumento de la tasa
efectiva del costo financiero.
En resumen: la tasa de interés debe reflejar el costo unitario del dinero y, a su vez el
precio del mismo. El primero se refiere a lo que le cuesta al deudor obtener el
préstamo y el segundo el que cobra el acreedor por la operación.
ESTRUCTURA DE LA TASA DE INTERES
Para realizar un análisis financiero conviene descomponer la tasa de interés en los
elementos que normalmente la integran, a saber:
a)
El interés propiamente dicho;
b)
El riesgo de la operación;
c)
El gasto administrativo;
d)
La desvalorización monetaria.
Como este tema ya se lo analizó en la Unidad I, nos referiremos a continuación
exclusivamente al tema de riesgo en las operaciones financieras.
Cualquier inversión financiera debe tener presente un factor condicionante como es el
riesgo. A mayor incertidumbre e inestabilidad de la inversión el riesgo se incrementa y
el inversor exige una mayor retribución por su inversión. Hay una relación rendimiento –
riesgo. La prima de riesgo implica que toda operación financiera debe tener una
rentabilidad mínima esperada igual a la rentabilidad sin riesgo más la rentabilidad
correspondiente al riesgo a asumir.
El riesgo se puede descomponer en dos niveles: el riesgo sistemático que es el
derivado de factores externos que no son posibles anularlos y el riesgo específico que
deriva de factores internos y son, en cierta medida, controlables y que pueden ser por
lo menos reducidos a través de una eficiente diversificación.
Son riesgos sistemáticos los riesgos provenientes de los siguientes factores: inflación,
tasa de interés, tipo de cambio, tasa de interés futura (riesgo de reinversión), riesgo
país y son riesgos específicos los relacionados con el mercado (riesgo económico),
endeudamiento (riesgo financiero), el crédito y la liquidez
Tipos de Riesgos:
a)
Riesgo de Inflación: es la variabilidad que se produce en el poder adquisitivo
de los flujos monetarios como consecuencia de la variación de precios. La suba de los
precios no solo disminuye la capacidad de compra del dinero, sino también la de los
ahorros. Los precios difícilmente se mantengan constantes porque en casi todos los
países existe alguna tasa de inflación. Esto obliga a obtener alguna rentabilidad por el
dinero por encima de la tasa de inflación. La tasa real de interés es la que mide el
rendimiento de la inversión teniendo en cuenta el incremento de precios habido en el
lapso de la inversión. El impacto de la subida de precios no es igual en todos los casos
ya que dependerá del tipo de inversión. Para inversiones a corto plazo no se verán
muy afectadas por esta contingencia. Cuanto mayor sea la correlación entre inflación
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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y los flujos de fondos menor será el impacto (ejemplo: rentas con interés variable). Si el
alza de precios se puede trasladar a los clientes, menor será el impacto. Las inversiones
en renta fija a largo plazo son las más afectadas.
b)
Riesgo cambiario: esta asociado con las fluctuaciones que sufre la moneda
nacional con respecto a otra moneda (apreciación o depreciación con respecto al
dólar estadounidense generalmente). Cuando una inversión se pacta en moneda
extranjera puede sufrir esas fluctuaciones.
c)
Riesgo de Crédito: Es aquel vinculado a la capacidad de pago del deudor, y
se refiere a la posibilidad de que éste se declare insolvente o en cesación de pagos.
Cuanto más riesgoso es el deudor más alta es la tasa que tiene que pagar. Cada
inversión puede tener distinto grado de riesgo y por ello la tasa de interés aplicable,
que incluya el riesgo, puede ser diferente.
d)
Riesgo País: Refleja la percepción de los inversores tanto locales como
extranjeros de cual es el riesgo de invertir en ese país. Se lo mide evaluando diversas
variables como la situación política, jurídica y social, las perspectivas de la economía
del país, reservas internacionales o el endeudamiento externo, etc. Se lo trata con
mayor extensión por separado.
e)
Riesgo de Mercado: Por lo general, cuando se hace mención al riesgo
relacionado con un determinado activo o un mercado, se hace referencia a la
volatilidad. Si un activo presenta un comportamiento estable, o sea su valor
permanece relativamente constante a lo largo de un período determinado de tiempo,
el activo es menos volátil, por lo tanto el inversor está menos expuesto a importantes
variaciones negativas o positivas en sus inversiones.
f)
Riesgo de interés: que se produce por las oscilaciones en el mercado de las
tasas de interés, que perjudican o favorecen a los inversores según bajen o suban.
g)
Riesgo de Reinversión: es la variabilidad que se produce en el rendimiento
como consecuencia de la reinversión de los flujos que va generando la inversión
financiera. Se presenta tanto al final de la operación en el momento en que se ha
recuperado lo invertido y se ha de recolocar en una nueva operación, como en el
transcurso de una operación en la que se van recibiendo flujos periódicos.
Calificación del Riesgo Crediticio
El riesgo crediticio es un indicador que el mercado o la institución financiera le atribuye
a determinada operación financiera, y mide el grado de probabilidad del
cumplimiento de las obligaciones contractuales por parte del deudor, evaluándose al
mismo tiempo el riesgo que asume el acreedor.
QUÉ ES EL RIESGO PAÍS?
Es un índice que pretende exteriorizar la evolución del riesgo que implica la inversión
en instrumentos representativos de la deuda externa emitidos por gobiernos de países
"emergentes". Tal riesgo es el de no pago por parte de los gobiernos emisores de las
sumas comprometidas (capital e intereses).
El índice de riesgo para un país adquiere relevancia al compararlo con el
correspondiente a otro país, o al ver su evolución en el tiempo.
La realidad económica y la teoría financiera, enseñan que cuanto mayor es el riesgo
de incobrabilidad de un crédito, mayor es la tasa de interés que se pretende cobrar,
siendo ésta no sólo la retribución por el uso del capital ajeno, sino que también
incorpora una prima de riesgo que “sobreremunera” al acreedor para que conceda
préstamos.
De forma análoga, una vez emitido el instrumento de deuda, cuanta mayor
incertidumbre exista respecto del cumplimiento, menor valor actual representará
dichos cobros futuros, ya que la tasa interna de retorno (T.I.R.) será mayor.
El riesgo-país se mide en "puntos básicos" (basic points") siendo 100 puntos básicos
equivalentes a 1% de tasa de interés.
Indice Riesgo-Soberano: definido como la capacidad y predisposición que tiene un
país, en cada momento, para pagar las obligaciones monetarias contraídas con sus
acreedores.
El Benchmark o Indice de Clasificación, que elaboran calificadoras de riesgo como
Standard & Poor's o Moody's Investors Service, establecen las escalas de Valores que
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
33
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proporcionan información sobre el nivel de riesgo crediticio utilizando una escala de
símbolos cuya calificación máxima es AAA y finalizan con la de peor calificación D.
Standard & Poor´s evalúa ocho áreas para determinar el perfil de riesgo soberano de
un país, que se resumen de la siguiente manera:
h) Riesgo Político: incluye la forma de gobierno, el grado de participación popular, los
riesgos de seguridad interno y externo y el grado de consenso en los objetivos de
política económica de un país.
 Estructura de los ingresos y estructura económica: Toma en cuenta el sistema de
economía de mercado que tiene el país, el estándar de vida, ingresos y distribución
de la riqueza y los recursos del mismo, entre los ítems más importantes
 Perspectivas de crecimiento económico: Volumen del ahorro y la inversión, tasa y
parámetro de crecimiento económico.

Flexibilidad fiscal: Abarca conceptos como la estructura impositiva, la
competitividad impositiva, presiones sobre gastos del Sector público y la capacidad
operativa del sector gubernamental en general y el total de equilibrios fiscales del
mismo. También se toma en cuenta la política fiscal, el objetivo del endeudamiento
del sector público y sus implicancias inflacionarias. Standard & Poor´s –como la
mayoría de las calificadoras internacionales-, considera relevante que los Gobiernos
tengan un moderado Gasto Público que evite excesivas presiones impositivas al resto
de los agentes económicos. De allí se desprende el concepto de competitividad
impositiva, ya que las inversiones eligen destinos sin gran presión tributaria. Podemos
apreciar que la flexibilidad fiscal que evalúan las calificadoras está en línea con los
argumentos neoclásicos que pregonan los organismos internacionales de crédito. No
se observa en la calificación de Standard & Poor´s un análisis cualitativo de las
erogaciones gubernamentales ni una evaluación de las situaciones fiscales primarias –
sin intereses de deuda- de los países, lo cual denota que se busca calificar el potencial
de recursos para afrontar el pago de obligaciones. En el caso de la República
Argentina, las peores calificaciones de deuda soberana coincidieron con periodos de
búsqueda de superávit fiscal primario (2000/2001). Se debe destacar que en esos
ciclos de superávit primario la política económica estaba orientada precisamente al
logro de un equilibrio fiscal sostenido. Los resultados de dicha política recesiva
mostraron la paradoja de una brutal suba del riesgo país.
Deuda pública: Estudia los activos financieros gubernamentales, el stock de deuda
pública y los intereses de la misma, composición de la deuda y su estructura, y los
pasivos gubernamentales por pensiones, bancarios y otros contingentes.
Estabilidad de precios: Tendencias de la inflación, política de tipo de cambio, grado
de autonomía del banco central. El concepto de autonomía del Banco Central es
fundamental en el análisis de las calificadoras internacionales. Se considera que el
Banco Central, como máxima autoridad monetaria, debe tener absoluta libertad en la
toma de decisiones que le competen. Sin embargo, se debe establecer que dicha
autonomía tiene que estar regulada o enmarcada dentro de ciertos controles para
que pueda compatibilizar con la política económica de un gobierno.
Flexibilidad de la Balanza de pagos: Se tiene en cuenta el impacto de la política fiscal
y monetaria en el sector externo, estructura de la cuenta corriente y composición de
los flujos de capital. No es tan importante el saldo de la balanza de cuenta corriente
sino su relación con el repago de la deuda, es decir se toma en cuenta si puede
generar divisas.
Deuda externa y liquidez: Evalúa el volumen y composición de la misma, el historial del
servicio de deuda, la estructura de vencimientos que debe afrontar y tipo de acreedor
del gobierno soberano. Las reservas de divisas del banco central son tenidas en
cuenta. Como se puede observar, los parámetros de evaluación son de diversa índole
y muchos de ellos pueden ser considerados subjetivos o a lo sumo de difícil medición.
En total Standard & Poor´s analiza a 72 países tanto en su deuda en moneda nacional
como su deuda en divisas. Existen otras calificadoras entre las que se destacan
Moody's, Merrill Lynch. Todas ellas son consideradas grandes formadoras de opinión en
los mercados ya que sus calificaciones son tomadas en cuenta por los operadores de
fondos comunes de inversión que manejan grandes portfolios en el mundo financiero.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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La realidad financiera muestra que la calificación de Riesgo Soberano incide
fuertemente en el Riesgo País.
El indicador de riesgo país elaborado por la consultora internacional JP Morgan Chase,
el movimiento y los precios de los bonos y títulos de deuda de los países denominados
EMERGENTES.
El indicador se llama técnicamente EMBI+ y está compuesto por las siglas de las
palabras Emerging Market Bond Index, es decir, Índice de Bonos de los Mercados
Emergentes.
Existe un EMBI+ general que agrupa las cotizaciones de los activos de 16 países
(Argentina, Nigeria, Ecuador, Brasil, Venezuela, Rusia, Turquía, Filipinas, Perú, Colombia,
Bulgaria, Panamá, México, Qatar, Polonia y Corea del Sur); estos países tienen la
característica de haber emitido una generosa cantidad de deuda en las últimas
décadas y recurren habitualmente a los mercados financieros internacionales para
realizar nuevas emisiones.
Se puede observar que para los grandes operadores internacionales la variación del
EMBI+ General, permite medir el pulso de la deuda conjunta de los 16 países. Se
explica de esta forma porqué una cesación de pagos o incumplimiento de alguno de
los países que integran el EMBI+ General, genera un inmediato efecto negativo en los
demás componentes del Grupo de Países Emergentes.
Podemos ejemplificar lo antedicho citando la Crisis Mexicana de 1995 y la Crisis Rusa
de 1998, que arrastraron a todos los países emergentes a graves problemas financieros
También se confecciona un EMBI+ para cada uno de los 16 países integrantes del
Mercado Emergente. Este índice refleja la cotización de los bonos de cada país en
particular. Este indicador es ponderado, es decir, algunos títulos pesan más que otros
en la canasta particular de Bonos emitidos por cada país.
La Argentina, por ende, tiene un EMBI+ propio que va a reflejar diariamente el pulso de
su deuda en los mercados internacionales. Algunos de los bonos que se medían antes
del default y que conformaban el Riesgo País Argentino eran el FRB, el PAR, el
DISCOUNT, todos ellos del PLAN BRADY; el GLOBAL 2008, el GLOBAL 2018 y el GLOBAL
2031; algunas series de BONTES también integraban la canasta argentina.
El título que más importa dentro de la canasta ponderada que compone el riesgo de
un país se denomina benchmark o referencia para el mercado. En el caso argentino el
título de referencia era el GLOBAL 2008.
Como se dijo el índice se mide en puntos básicos porcentuales, donde cada 100 de
estos puntos básicos porcentuales se corresponden con
un 1% de las tasas
frecuentemente utilizadas en nuestro mercado financiero.
Estos puntos indican la sobretasa que debe pagar una determinada canasta de bonos
de un determinado país con respecto a la canasta de bonos norteamericana (por
sobre las emisiones que realiza el Gobierno Norteamericano a través del Tesoro
Norteamericano).
Es decir, se toma como referencia el rendimiento de los Bonos Norteamericanos y se
realiza la comparación con los títulos públicos de países emergentes de similares
características (plazo, cupón, amortización, etc). El parámetro no es caprichoso, ya
que las consultoras que elaboran y utilizan el EMBI+ entienden que los títulos de deuda
de EEUU son los más seguros del mundo.
A partir del mes de junio de 2005 la Argentina volvió a tener un "riesgo país" más o
menos normal ya que el banco JP Morgan incorporó a su índice los nuevos bonos de
la deuda argentina. La entrada de dos papeles (el discount y el Par, emitidos ambos
en dólares y bajo legislación estadounidense) significó que el riesgo argentino bajó a
cerca de 920 puntos básicos el 13 de junio y a 489 puntos el 30 de junio, siempre
tomando en cuenta los precios registrados por los nuevos papeles el 6 de junio.
La diferencia de valores entre el 13 y el 30 de junio se explica en que la salida de los
viejos bonos del índice era escalonada y se completó recién a fines de ese mes.
El reemplazo de los viejos bonos en default por los bonos del canje no supone que la
deuda argentina gane peso en la composición del índice, donde hoy mandan los
títulos emitidos por Brasil y México. La participación argentina en el índice saltará del
1,66% al 1,69%. Esto quiere decir que la evolución de estos papeles incidirá poco y
nada en la marcha del índice EMBI Global.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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En los 90, y hasta antes del default, los papeles argentinos llegaron a ser los que más
aportaban a la composición del EMBI, con una ponderación de casi el 20%.
Ocurre que el JP Morgan solo incorpora a su índice papeles que se sometan a la
legislación estadounidense, y los bonos post default se rigen por la ley argentina. Hoy,
además, son los más negociados, en especial los que están emitidos en pesos y
ajustan su capital a la par de la inflación.
Actualmente la consultora Ecolatina elabora un riesgo país que toma en cuenta los
bonos emitidos tras el default, que se denomina IRFE (Índice de Riesgo Financiero
Ecolatina), con el objetivo de medir el riesgo de crédito implícito en la deuda de
cumplimiento regular (performing).
Mide el spread entre el rendimiento de los bonos performing del Estado Nacional y
bonos comparables del Tesoro de los Estados Unidos.
En otros términos, es el plus de rendimiento exigido por los inversores al gobierno
nacional por el riesgo de no pago de las sumas comprometidas (capital e intereses).
El IRFE se compone de 20 bonos emitidos por el Estado Nacional con valor nominal
total de 29.830 millones de dólares: Títulos Públicos: En Dólares: Boden 2005, Boden 2012
y Boden 2013. En Pesos ajustados por CER: Boden 2007, Boden 2008, Bogar 2018, Pre
2008 y Pro 2012. Préstamos Garantizados: En Pesos ajustados por CER: Global 2008,
Global 2009, Global 2015, Global 2018, Global 2031, Bonte 2002, Bonte 2003, Bonte
2005, Bonte 2006, Pro 2004, Pro 2006 y Pre 2004.
Conforme el Estado Nacional emita nuevos bonos y/o rescate los que actualmente
integran el índice la composición del IRFE tendrá las variaciones pertinentes.
El IRFE es calculado ponderando por capitalización los spreads entre el rendimiento de
cada uno de los bonos que se incluyen en el índice y el rendimiento de bonos
comparables de los Estados Unidos (considerados por el mercado financiero como
instrumentos de deuda libre de riesgo).
La ponderación de los spreads individuales surge de la capitalización de cada bono
en relación con la capitalización total en dólares del IRFE.
Se entiende por capitalización al producto entre el valor nominal emitido en moneda
de origen y el precio, considerando el tipo de cambio diario para llevar a dólares el
valor de los bonos en pesos.
Los bonos argentinos que devengan tasa LIBOR nominal, se comparan con los bonos
del Tesoro de los Estados Unidos (UST) que devengan interés nominal.
En el caso de los bonos argentinos ajustados por inflación (CER) y, por ende, que
devengan una tasa real, se utilizan en la comparación los bonos ajustados por
inflación del Tesoro de los Estados Unidos (Treasury Inflation Protected Securities -TIPS-).
El bono más representativo es el Boden 2012, seguido por el Bogar 2018. La
participación del total de los títulos públicos es superior al 60%, siendo el porcentaje
restante el peso que tienen los préstamos garantizados incluidos en el IRFE. IRFE
PRINCIPALES TASAS DE INTERÉS INTERNACIONALES
Para una economía pequeña, abierta al mercado internacional de capitales y con
escaso ahorro interno como la Argentina, el mercado externo ha sido en los últimos
años una de las principales fuentes de financiamiento, por lo cual las tasas de interés
internacionales son una variable fundamental para la toma de decisiones financieras y
son seguidas atentamente por los inversores. Un empeoramiento de las condiciones
financieras en el exterior que se refleje en mayores tasas de interés internacionales
dificultará el acceso tanto del sector público como del privado al financiamiento
externo y afectará a las tasas de interés domésticas. Por el contrario una caída de las
tasas de interés internacionales favorecerá el flujo de capitales hacia los mercados
emergentes y hará caer las tasas de interés domésticas. Las tasas internacionales más
relevantes para nuestro país son la LIBOR, la tasa de fondos federales de Estados
Unidos y las tasas implícitas en los bonos del Tesoro norteamericano.
LIBOR
La LIBOR (London Interbank Offered Rate) es una tasa a la cual los bancos toman
préstamos de otros bancos en el mercado interbancario londinense. Es una de las
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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tasas de referencia de corto plazo más utilizada por los inversores. En nuestro país es
utilizada comúnmente como tasa para ajustar el pago de renta de bonos del
gobierno y del sector privado y también para el cálculo de las cuotas de los préstamos
hipotecarios, personales y prendarios que otorgan los bancos.
Su importancia como tasa de referencia se basa en que el 20% de los préstamos
bancarios internacionales y más del 30% de las transacciones de monedas se realizan
a través de las oficinas de los bancos londinenses, que conforman un sistema
financiero de unas 500 entidades.
Es confeccionada por la Asociación Británica de Bancos (BBA) y es anunciada cada
día al mercado a las 11:00 horas de Londres.
Para calcular la LIBOR, la BBA toma los datos de tasas de préstamos interbancarios de
un conjunto de 16 bancos que son seleccionados para reflejar una muestra
representativa del mercado. Los resultados de la encuesta son publicados para
asegurar la transparencia del proceso de cálculo. Con los datos seleccionados se
eliminan aquellas tasas que estén en el cuartil superior e inferior de la muestra y se
promedia el resto de las tasas para sacar la LIBOR del día.
Tasa de Fondos Federales de Estados Unidos
La tasa de fondos es el precio que se paga por el dinero en el circuito interbancario
norteamericano por préstamos a un día (overnight). Es una tasa de interés libre ya que
no está regulada directamente por la Reserva Federal de Estados Unidos.
Los bancos norteamericanos deben mantener un porcentaje mínimo de sus depósitos
en la Reserva Federal para atender posibles episodios de salida de depósitos. Estos
fondos o encajes se denominan federal funds. En un momento determinado algunos
bancos tienen más fondos que los requeridos por la autoridad monetaria, mientras que
otros tienden a tener menos fondos que los exigidos por la Reserva Federal, por lo cual
se genera un mercado interbancario en el que los bancos con excesos de encaje le
prestan a los que necesitan cubrir sus posiciones de liquidez. La tasa a la que se
realizan dichos préstamos es la tasa de fondos federales.
Prime
Esta tasa surge del promedio de una muestra de tasas que las principales instituciones
financieras norteamericanas cobran por préstamos a empresas de primera línea.
Tasas de los bonos del Tesoro de Estados Unidos
Son las tasas internas de retorno (TIR) o tasas de interés implícitas de los bonos emitidos
por el Departamento del Tesoro de Estados Unidos. Son tasas de interés de referencia
tanto para la determinación de las tasas internas de la economía norteamericana
como para la determinación del piso del costo de financiamiento en el mercado
internacional de capitales. El rol prominente de estas tasas está dado por la liquidez y
por el monto en circulación de los bonos del Tesoro norteamericano en comparación
a otros instrumentos financieros.
Los movimientos en las tasas de interés implícitas en los bonos norteamericanos
afectan de manera determinante las condiciones de financiamiento de las economías
emergentes. En términos generales si suben los retornos de los bonos norteamericanos
se encarecerá el costo del endeudamiento externo de dichas economías y viceversa.
Las tasas de retorno de los bonos norteamericanos se utilizan para la medición del
riesgo país en el caso de los bonos emergentes. La percepción general del mercado
es que los bonos del Tesoro norteamericano son títulos que no tienen riesgo de default
(riesgo de que el emisor decida no pagar su deuda), con lo cual sus retornos implícitos
se utilizan como piso la medición del riesgo país de bonos emergentes, que en general
están sujetos a mayores dudas por parte de los inversores en cuanto a sus
probabilidades de entrar en default. De esta manera, el riesgo país se mide como la
diferencia en puntos básicos entre la tasa interna de retorno o tasa implícita (TIR) del
bono emergente y la TIR del bono del Tesoro norteamericano de igual plazo. Este
spread representa el retorno adicional que deben ofrecer dichos papeles para
compensar a los inversores por tomar un mayor riesgo.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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PRINCIPALES TASAS DE INTERÉS INTERNAS
Call interbancario
Son las tasas que pagan los bancos por tomar préstamos en pesos o en dólares con
plazos de uno a siete días en el mercado interbancario argentino.
Tasa de pases del BCRA
Se dividen en tasas pasivas y tasas activas. Las operaciones de pases pasivos son
utilizadas por el BCRA para que las entidades cumplan con parte de los requisitos de
liquidez que deben constituir para eventuales episodios de pérdida de depósitos.
Consisten en la venta de títulos públicos en pesos o dólares o de certificados de
depósitos en bancos del exterior a las entidades financieras y en su compra a futuro
por parte del BCRA. La diferencia entre el precio de venta y el de compra define la
tasa de interés que paga el BCRA a los bancos por realizar los encajes con este
mecanismo.
Por su parte, las operaciones de pases activos son utilizadas por el BCRA para dar
asistencia a entidades financieras en caso de iliquidez transitoria. Consisten en la
compra al contado de títulos públicos en pesos o en dólares a precios de mercado a
las entidades financieras y en su venta a futuro por parte del BCRA. La diferencia entre
el precio de venta y el de compra define la tasa de interés que la autoridad monetaria
le cobra a los bancos por el financiamiento transitorio. El límite para el otorgamiento
de este tipo de préstamos a las entidades bancarias está dado por el margen de que
los títulos públicos en poder del BCRA no pueden superar el 33% de las reservas
internacionales de libre disponibilidad.
Tasas BAIBOR
Es una tasa de interés interbancaria calculada por el BCRA. Representa el promedio
de las tasas de interés declaradas como ofrecidas por 22 bancos de calidad
compatible con la máxima calificación según pautas del BCRA, para la concertación
de préstamos entre entidades financieras del país.
Tasas BADLAR
Las tasas Badlar son calculadas por el BCRA en base a una muestra de tasas de interés
que entidades de Capital Federal y Gran Buenos Aires pagan a los ahorristas por
depósitos a plazo fijo de 30 a 35 días y de más de un millón de pesos o dólares.
Además de ofrecer valores de referencia para grandes ahorristas, se utilizan para el
cálculo de los pagos de renta de los "bonos pagarés" que emite el gobierno nacional.
Tasas encuesta BCRA
Las tasas encuesta son elaboradas por el BCRA en base a una encuesta de tasas que
bancos de Capital Federal y Gran Buenos Aires le pagan a los ahorristas por depósitos
en caja de ahorro y a plazo fijo en pesos y en dólares. Además de ofrecer valores de
referencia para los ahorristas, estas tasas se utilizan para calcular la tasa de interés
variable en algunos créditos hipotecarios, prendarios y personales, y también para el
cálculo de los pagos de renta de algunos bonos que el gobierno nacional emite en el
mercado doméstico.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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CUADROS
ANEXOS
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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Cuadro Nº 1:
DETERMINACION DE TASAS EFECTIVAS ANUALES
EN EL INTERES SIMPLE Y DESCUENTO COMERCIAL PARA DISTINTOS PLAZOS
Tasa anual
48%
Interés simple
Descuento comercial
Plazos (en
días)
Tasa del
período
Tasa efectiva
anual
Tasa del
período
Tasa efectiva
anual
1
0,00132
0,61556
0,00132
0,61658
30
0,03945
0,60123
0,03945
0,63187
90
0,11836
0,57405
0,11836
0,66674
120
0,15781
0,56157
0,15781
0,68607
180
0,23671
0,53851
0,23671
0,72935
365
0,48000
0,48000
0,48000
0,92308
760
0,99945
0,39481
0,99945
35,83532
760,42
1,00000
0,39474
1,00000
¿¿??
800
1,05205
0,38815
1,05205
¿¿??
En el presente cuadro se consignan las tasas del período y las tasas efectivas tanto
para operaciones a interés simple como de descuento comercial, para distintos
plazos, correspondientes a una tasa nominal anual del 48%.
Es decir, que en el caso de ese plazo de 180 días se obtiene la tasa del período 23,67%
y la efectiva anual del 53,851% que es el planteo inicialmente realizado en este
trabajo.
A partir de allí se determinan cómo evolucionan las tasas efectivas si las operaciones
se siguen realizando a una tasa nominal anual del 48% pero varían los plazos de las
operaciones, tanto para el interés simple como para el descuento comercial.
¿Cuáles son las observaciones más importantes que podemos extraer de dichos
cuadros?
1) Para el interés simple a medida que la operación se realiza en un plazo más
breve y, por tanto el número de capitalizaciones anuales es mayor, el
rendimiento efectivo es mayor.
2) Cuando el plazo llega a un año exacto las operaciones a interés simple tienen
como tasa efectiva a la nominal. En otras palabras, ambas son iguales al 48%.
3) Superando el plazo de un año o 365 días las tasas efectivas son menores a la
nominal.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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4) Para el caso del descuento comercial ocurre lo contrario a lo expresado en 1);
a medida que la operación se realiza en un plazo más breve y, por tanto el
número de capitalizaciones anuales es mayor, el rendimiento efectivo es
menor.
5) a medida que el plazo de la operación disminuye también disminuye la tasa
efectiva de la operación.
6) Debido a la forma de cálculo de los intereses adelantados (se calculan sobre el
valor nominal), sabemos que este tipo de operaciones no puede realizarse a
plazos prolongados puesto que en razón de que la fórmula del valor actual es:
V1= N (1-dn)
en la medida que el producto entre la tasa y el tiempo se acerque a la unidad
el valor actual será cada vez menor, cuando sea igual a uno ese valor actual
será cero y a mayor plazo el valor actual será negativo.
Es decir que podemos establecer el plazo máximo antes de que se produzca
ese valor actual cero haciendo: i n/365 = 1, de donde resulta que: n = 365/0.48=
760,416... días. El plazo hasta el cual es positivo el valor actual es, entonces, 760
días en el cual la tasa efectiva alcanza una cifra de casi el 3.584% !!!!. A partir
de allí la operación se torna de imposible realización puesto que la tasa del
período es negativa.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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CUADRO Nº 2
TASAS NOMINALES EQUIVALENTES PARA DETERMINADA TASA
EFECTIVA EN EL INTERES SIMPLE Y EN EL DESCUENTO COMERCIAL
SI TOMAMOS UNA TASA EFECTIVA DEL 53,85% ANUAL Y HALLAMOS
LAS TASAS NOMINALES TENEMOS
PLAZOS
TASAS NOMINALES EQUIVALENTES
INTERES SIMPLE
DESCUENTO COMERCIAL
30
0,4385311925
0,4232454830
120
180
0,4628172620
0,4800000000
0,4016679300
0,3881000000
365
800
0,5385103000
0,7167174220
0,3500000000
0,2178769671
En el cuadro Nº 2 se determinan, a partir de la tasa efectiva hallada para una
operación a 180 días con una tasa nominal del 48% anual, o sea el 53,85% anual
efectivo, cuáles son las tasas equivalentes para diferentes plazos de la operación,
tanto para el interés simple como para el descuento comercial.
Las conclusiones que se obtienen de este cuadro son:
1) Para el interés simple se advierte que las tasas nominales equivalentes
aumentan en relación con el aumento del plazo de la operación. Y ello debe
ser así porque no es nada más que una consecuencia de la observación
formulada al analizar el cuadro Nº 1 donde se advirtió que la tasa efectiva
disminuía con el aumento del plazo. Si esto ocurre es necesario aumentar las
tasas nominales con el aumento de los plazos para que se mantenga la tasa
efectiva en el mismo valor.
2) Lo
contrario
ocurre
con
el
descuento
comercial:
deben
reducirse
sustancialmente las tasas nominales a medida que el plazo de la operación
aumenta para mantener la tasa efectiva y para evitar que se produzca el
fenómeno de la anulación del valor actual del documento.
3) Todo lo que se expresa para el interés simple se aplica para el descuento
racional a interés simple.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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CUADRO N º 3
INTERES COMPUESTO Y DESCUENTO COMPUESTO
Tasa del
período
Plazos
(en
días)
Tasa
efectiva
anual
CAPITALIZACION
CADA 30 DIAS
Tasa del
período
Tasa
efectiva
anual
CAPITALIZACION
CADA 90 DIAS
Tasa del Tasa efectiva
período
anual
CAPITALIZACION CADA
180 DIAS
30
90
120
0,03945
0,12309
0,16740
0,60123
0,60123
0,60123
0,03799
0,11836
0,16084
0,57405
0,57405
0,57405
0,03604
0,11208
0,15216
0,53851
0,53851
0,53851
180
365
0,26132
0,60123
0,60123
0,60123
0,25072
0,57405
0,57405
0,57405
0,23671
0,53851
0,53851
0,53851
800
1,80620
0,60123
1,70286
0,57405
1,57089
0,53851
En este cuadro se muestra cómo partiendo de una tasa nominal del 48% anual para
todos los casos, cuál es la tasa anual efectiva cambiando los plazos de las
operaciones, como así también la frecuencia de las capitalizaciones.
Las conclusiones que pueden formularse son las siguientes:
1) Las tasas efectivas anuales son las mismas cualquiera sea el plazo de la
operación siempre que las capitalizaciones se realizan en el mismo plazo.
Ejemplo en todos los casos de capitalizaciones a 30 días el rendimiento anual
efectivo es el 60,12% aunque el plazo de la operación varíe. Para
capitalizaciones cada 90 días el 57,40% y para capitalizaciones cada 180 días
el 53,851%, tal como vimos en los planteos iniciales.
2) También se observa en este cuadro que las tasas efectivas son mayores a
medida que las capitalizaciones se efectúan en plazos más breves.
3) Estas conclusiones puede también
ser aplicadas para operaciones de
descuento compuesto.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
43
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
CUADRO N º 4
DETERMINACION DE TASAS NOMINALES EQUIVALENTES PARA DISTINTOS REGIMENES
DATOS
PRESTAMO $ 100,00
TASA DEL PERIODO
TASA EFECTIVA ANUAL
SOLUCION:
DEVOLUCIÓN $ 123,67
PLAZO (DIAS)
180
0,2367
23,67%
0,5384792
53,85%
(reintegradoprestado)/prestado
(1+Tasa período)^(365/180)-1
Operación financiera
FORMULA PARA HALLAR TASA
NOMINAL
INTERES SIMPLE
DESCUENTO RACIONAL
i = Tasa período*1/n
i= 0,2367*365/180
INTERES COMPUESTO
DESCUENTO COMPUESTO
i = (1+tp)^n -1)*365/d
En tanto por En tanto por
uno
ciento
0,479975
48,00%
a) cap. Cada 30 días
i= (1,2367^1/6 -1)*365/30
0,438512
43,85%
b) cap. Cada 60 días
i= (1,2367^1/3 -1)*365/60
0,446414
44,64%
c) cap. Cada 90 días
i=(1,2367^1/2-1)*365/90
0,454507
45,45%
d) cap. Cada 180 días
i= (1,2367-1)*365/180
0,479975
48,00%
e) cap. Cada 365 días
i= (1,2367^365/180-1)
0,538479
53,85%
i= ln 1,2367*1/n
0,430794
43,08%
0,388109
38,81%
INTERES CONTINUO
DESCUENTO CONTINUO
d = (1-V/N)*365/180 o (1-1,5385^DESCUENTO COMERCIAL 180/365)*365/180
DESCUENTO CON TASA DE
DESCUENTO
d= 1- (V/N)^1/n
a) cap. Cada 30 días
d=(1- (100/123,67)^30/180)*365/30
0,423257
42,33%
b) cap. Cada 60 días
d=(1- (100/123,67)^60/180)*365/60
0,415895
41,59%
c) cap. Cada 90 días
d=(1- (100/123,67)^90/180)*365/90
0,408703
40,87%
d) cap. Cada 180 días
d=(1- (100/123,67)*365/180
0,388109
38,81%
e) cap. Cada 365 días
d=(1- (100/123,67)^365/180)
0,350007
35,00%
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
44
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
El cuadro precedente sintetiza lo expuesto en el trabajo y agrega nuevos cálculos de
tasas equivalentes para distintos regímenes y plazos de operaciones.
Algunas de las conclusiones que pueden extraerse del mismo son las siguientes:
1) En todos los casos se parte de la base de una operación que produce el
23,67% en una operación a 180 días y que corresponde, para operaciones a
interés simple y descuento racional al 48% nominal anual (tasa efectiva anual
del 53,85%).
2) Para el interés y el descuento compuesto, las tasas nominales equivalentes a la
operaciones expresadas en el punto anterior aumentan a medida que las
capitalizaciones se efectúan en períodos más prolongados, llegando a un valor
igual a la tasa efectiva para el plazo de 365 días y luego es superior a ésta. La
explicación es que para plazos superiores a un año es necesario aumentar las
tasas nominales para que produzcan el mismo rendimiento efectivo, puesto
que a capitalizaciones a plazos más breves, según ya se expresó, las tasas
efectivas son mayores.
3) Por ello cuando la capitalización es continua, ya sea en operaciones de interés
o de descuento, la tasa nominal equivalente es menor aún que las de interés
compuesto y descuento compuesto con capitalización discontinua, puesto
que el plazo en ese caso es un instante.
4) Cuando se trata de descuento comercial la tasa nominal anual equivalente,
siempre para una operación a 180 días es el 38,81%, bastante más baja que el
48% para el caso de interés simple.
5) También en el caso de descuento con tasa de descuento debe tenerse en
cuenta la cantidad de capitalizaciones que existen dentro del plazo de 180
días y, a medida que las capitalizaciones se efectúan en plazos mayores las
tasas nominales deben descender puesto que, como en el caso del descuento
comercial, en el descuento con tasa de descuento los intereses son
adelantados y se calculan sobre el valor nominal del documento. Es necesario
reducir cada vez más las tasas nominales para que se produzca la igualación
de tasas efectivas y, por ende, sean equivalentes al 48% anual.
6) Se advierte que para el caso en que las capitalizaciones se efectúen cada 180
días, es decir que exista una sola capitalización, la tasa nominal equivalente es
la misma que para el descuento comercial (38,81%).
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
45
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
COMPARACIONES ENTRE TASAS DE INTERES Y DE DESCUENTO
Capital
Período cero
Monto
Período
uno
Tasa de interés
efectiva anual
equivalente al
cálculo de los
intereses en forma
vencida
a) Capitalización periódica
1
(1+i)
i
b) Capitalización
1
(1+i/m)m
Tasa de interés (i)
subperiódica con tasa
proporcional
c) Capitalización
subperiódica con tasa
equivalente
d) Capitalización
continua
con tasa proporcional
e) Capitalización
continua
con tasa equivalente
i’=(1+in)1/n - 1> i
1
(1+im)m
i
1
ei
ei - 1 > i’
1
e
i
Capital
Período cero
Monto
Período
uno
Tasa de interés
efectiva anual
equivalente al
cálculo de los
intereses en forma
adelantada
(1 – d)
1
d’= 1-(1-d)= d
(1 – d/m)m
1
d

d '  1  1  
m

(1 – dm)m
1
d’=1- (1 – dm)m
e-d
1
d’=1- e-d
e-
1
d’=1- e-
Tasa de descuento (d)
a) Capitalización periódica
b) Capitalización
subperiódica con tasa
proporcional
c) Capitalización
subperiódica con tasa
equivalente
d) Capitalización continua
con tasa proporcional
e) Capitalización
continua
con tasa equivalente
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
46
m
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
COMPARACIONES ENTRE TASAS DE INTERES Y DE DESCUENTO
TASA NOMINAL ANUAL DEL 24%
Capital Período
cero
Monto
Período
uno
Tasa de interés efectiva
anual equivalente al
cálculo de los intereses
en forma vencida
1
(1+0,24)
0,24
1
(1+0,24/12)12
1
(1+0.01808758)12
=1,24
i’=(1+in)1/n – 1=
i’=(1+0,24/12)1/12 – 1=
0,268647 > i
i’= i =0.24
1
e 0.24
=1,27124915
ei – 1= 0,271249 > i’
e
=1,24
0,24= i
TASA DE INTERÉS (i)
a) Capitalización
periódica
b) Capitalización
subperiódica con
tasa proporcional
c) Capitalización
subperiódica con
tasa equivalente
im=(1,24)1/12-1=
0,01808758
d) Capitalización
continua con tasa
proporcional
e) Capitalización
continua con tasa
equivalente
1
(1+i)=0,215111379
Tasa de interés efectiva
anual equivalente al
cálculo de los intereses
en forma adelantada
TASA DE DESCUENTO
(d)
a) Capitalización
periódica
b) Capitalización
subperiódica con
tasa proporcional
c) Capitalización
subperiódica con
tasa equivalente
d) Capitalización
continua con tasa
proporcional
e) Capitalización
continua con tasa
equivalente
(1 – 0,24)= 0,76
1
(1 – 0,24/12)12
= 0,784716723
1
1,315789474
1
1,274345212
(1 –
0.022610206)12
=0,76
1
d’= 0,315789474
e-0,24
= 0,786627861
1
d’=1- e-d
d’= 0,213372139
e-0,27443684
=0,76
1
d’=1- 0,76= 0,24
1
d’=1-(1 – 0,24) = 0,24
0,315789474 (1)
d’=1-(1 – 0,24/12)12 =
0,215283276
0,274345
(1)
(1) TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES EQUIVALENTES AL CÁLCULO DE LOS INTERESES
EN FORMA VENCIDA
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
47
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
CALCULO DE TASAS EFECTIVAS DE INTERES Y DE DESCUENTO
PARA DISTINTOSPLAZOS DE CAPITALIZACION:
0,24
Tasa efectiva de
interés
tasa vencida
Tasa efectiva de
interés
tasa adelantada
Tasa efectiva de
descuento
año
1
0,240000
0,315789
0,240000
semestre
1/2
0,254400
0,291322
0,225600
cuatrimestre
1/3
0,259712
0,284211
0,221312
trimestre
1/4
0,262477
0,280821
0,219251
bimestre
1/6
0,265319
0,277534
0,217242
mes
1/12
0,268242
0,274345
0,215283
día
1/365
0,271149
0,271350
0,213434
0,271249
0,271249
0,213372
TASA NOMINAL
ANUAL
Plazos
capitalización
continua
En el gráfico siguiente se advierten claramente las diferencias existentes entre las tres
formas diferentes de cálculo de la tasa efectiva.
1) Cuando se trata de operaciones con tasa de interés (intereses vencidos) y
capitalizaciones subperiódicas a medida que aumenta el número de
capitalizaciones anuales, la tasa efectiva es cada vez mayor hallando su
máximo cuando la capitalización es continua. En todos los casos de
capitalización subperiódica las tasas efectivas son mayores que la nominal.
2) Cuando se trabaja con tasa de descuento (intereses adelantados) pero se
halla la tasa efectiva anual vencida ocurre lo contrario. El mayor valor de tasa
efectiva corresponde cuando existe una sola capitalización anual y a medida
que aumenta el número de capitalizaciones subperiódicas la tasa efectiva
disminuye siendo el menor valor cuando la capitalización es continua. En este
caso coincide con la tasa efectiva con tasa de interés (vencida). En este caso
todas las tasas efectivas son mayores que la nominal.
3) Si se utiliza la capitalización con tasa de descuento y se obtienen las tasas
efectivas anuales, las tasas efectivas son menores que la nominal de
descuento, salvo cuando la capitalización es anual en que la efectiva es igual
a la nominal.
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
48
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
COMPARACION TASAS EFECTIVAS
0,34
0,32
TASAS EFECTIVAS
0,3158
0,30
0,2913
0,2842
0,2808
0,28
0,26
0,2775
0,2597
0,2713
0,2711
0,2682
0,2653
0,2625
Tas a de interés efectiva tas a vencida
0,2743
0,2712
0,2712
Tas a interés efectivo tas a adelantada
Tas a efectiva de des cuento
0,2544
0,24
0,2400
0,2400
0,2256
0,2213
0,22
0,2193
0,2172
0,2153
0,2134
0,2134
continua
dia
mes
bimestre
trimestre
cuatrimestre
semestre
año
0,20
PLAZOS CAPITALIZACION
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
TALLER DE ACTUALIZACION DE MATEMATICA FINANCIERA
2007
Dr. Rodolfo Oscar Maurel
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